1.1.1 命题
课堂导学
三点剖析
一、判断一个语句是否是命题
【例1】下列语句：①是无限循环小数；②x2-3x+2=0；③当x=4时，2x>0；④垂直于同一直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥难道菱形的对角线不平分吗？⑦把门关上.其中不是命题的是_____________.
解析：①是命题，能判断真假；②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；③是命题，能作出判断的语句；④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；⑤是命题；⑥是命题；⑦不是命题，没法作出判断.
答案：②④⑦
温馨提示
祈使句、疑问句一般不是命题.
二、判断命题及其真假
【例2】 (2006天津高考6，理) 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中为其命题的是( )
A.m⊥α,nβ,m⊥nα⊥β B.α∥β,m⊥α,n∥βm⊥n
C.α⊥β,m⊥α,n∥βm⊥n D.α⊥β,α∩β=m,n⊥mn⊥β
解析：对于选项A，反例如图
，此时α、β成任意角.
对于选项C，反例如图，此时m∥n.
对于选项D，反例如图，此时n与β斜交.
答案：B
三、将命题改写成“若p则q”的形式
【例3】 将下列命题改写成“若p则q”的形式,并判断真假；
(1)偶数能被2整除;
(2)奇函数的图象关于原点对称;
(3)同弧所对的圆周角不相等.
解析：(1)若一个数是偶数，则它能被2整除.真命题.
(2)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称.真命题.
(3)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等.假命题.
温馨提示
“若p则q”命题形式的改写关键是找到命题的条件和结论，任何一个命题都可以写成“若p则q”的形式.
各个击破
类题演练 1
若x∈Z，给出下列语句：
①x2-2x-3=0；②x2+1<0；③|x|>5；④x∈R.
试判断它们是否为命题.
解析：对语句①无法判断真假,因为不给定变量x的值时，不能确定x2-2x-3的值是否为0.
∴①不是命题；对语句②可以判断真假.故②是命题.语句③同①一样无法判断真假，故③也不是命题.由于整数一定是实数，
∴可以判断④是正确的.
即④是一个真命题.
变式提升 1
判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”
②“一个数不是正数就是负数”；
③“大角所对的边大于小角所对的边”；
④“x+y是有理数，则x、y也都是有理数”；
⑤“作△ABC∽△A′B′C′”.
解析：①通过反问疑问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题；
②是假命题.数0既不是正数也不是负数；
③是假命题.没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况；
④是假命题.如x=,y=-;
⑤祈使句.不是命题.
类题演练 2
判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
（1）末位是0的整数能被5整除.
（2）平行四边形的对角线相等且互相平分.
(3)两直线平行则斜率相等.
(4)△ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB.
(5)余弦函数是周期函数吗？
答案：(1)是命题，真命题.
(2)是命题，假命题.
(3)是命题，假命题.
(4)是命题，真命题.
（5）不是命题.
变式提升 2
判断下列命题的真假：
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形，
(2)0是最小的自然数：
（3）0既不是奇数，也不是偶数；
（4）空集是任何非空集合的真子集.
答案：（1）假 （2）真 （3）假 （4）真
类题演练 3
指出下列命题的条件p和结论q:
(1)若空间四边形为正四面体，则顶点在底面上的射影为底面的中心；
（2）若两条直线a和b都和直线c平行，则直线a和直线b平行.
答案：(1)条件p:空间四边形为正四面体.结论q:顶点在底面上的射影为底面的中心.
(2)条件p:两直线a和b都和直线c平行.
结论q:直线a和b平行.
变式提升 3
把下列命题改写成“若……则……”的形式并判断真假，
（1）对顶角相等；
（2）末位数是0的整数能被5整除.
解析：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等（真）；
（2）如果一个整数末位数是0，那么这个整数可以被5整除（真）.
1.1.2 量词
课堂导学
三点剖析
一、用符号语言表示含量词的命题
【例1】 指出下列命题中的全称命题，并用符号“”表示：
(1)对任意实数x，x2+3x+9>0；
(2)对每一个整数x，>0；
（3）所有奇数都不能被3整除。
解：均为全称命题
（1）x∈R,x2+3x+9>0；
(2)x∈Z,>0；
(3)x∈{奇数}，x不能被3整除.
温馨提示
本题主要考查符号语言的使用.
二、判断全称命题与存在性命题的真假
【例2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题？并判断其真假.
(1)对数函数都是单调函数;
(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;
(3)x∈{x|x是无理数},x2是无理数;
(4)x∈{x|x∈Z},log2x＞0.
解：(1)全称命题,真命题.
(2)存在性命题,真命题.
(3)全称命题,假命题,例如x=,但x2=3是有理数.
(4)存在性命题,真命题.
温馨提示
利用全称命题和存在性命题的定义来判断.
三、利用全称命题、存在性命题求，参数范围
【例3】函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.
(1)求f(0)的值；
（2）当f(x)+2解：(1)由已知等式f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x,
令x=1，y=0，得f(1)-f(0)=2,
又因为f(1)=0,所以f(0)=-2.
(2)由（1）知f(0)=-2,所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)·x.因为x∈(0,),所以f(x)+2∈(0,).要使x∈(0,)时，f(x)+21时不可能，所以
解得≤a<1.
各个击破
类题演练 1
指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是命题，并分别用符号“”“”表示.
（1）存在实数a,b,使|a-1|+|b-1|=0；
(2)对于实数a∈R,a0=1；
（3）有些实数x,使得|x+1|<1.
解：命题（1）(3)是存在性命题，命题（2）是全称命题，用“”“”表示分别为：
（1）a,b∈R,使|a-1|+|b-1|=0.
(2)a∈R,a0=1.
(3)x∈R,使|x+1|＜1.
变式提升 1
用符号“”与“”表示下面含有量词的命题.
（1）不等式|x-1|+|x-2|<3有实数解.
(2)若a,b是偶数，则a+b也是偶数.
解：（1）x∈R.
使|x-1|+|x-2|＜3.
(2)a,b∈R且a,b为偶数,使a+b为偶数.
类题演练 2
试判断以下命题的真假：
（1）x∈N，x4≥1；
(2)x∈Z,x3<1；
(3)x∈R,x2-3x+2=0；
(4)x∈R,x2+1=0.
解析：（1）由于0∈N,当x=0时，x4≥1不成立,所以此命题是假命题.
(2)由于-1∈Z,当x=-1时，能使x3＜1,
∴命题x∈Z，x3＜1是真命题.
（3）假命题.因为只有x=2或x=1时满足.
（4）假命题.
∵不存在一个实数x,使x2+1=0成立.
变式提升 2
判断下列全称命题的真假.
（1）有一个内角为直角的菱形是矩形；
（2）对任意a,b∈R,若a>b,则<;
(3)对任意m∈Z且为偶数，则2m+为偶数.
解：（1）是真命题.有一个内角为直角的平行四边形是矩形，而菱形都是平行四边形，于有一个角是直角的菱形是矩形.
（2）是假命题.
如5＞-3,而＞.
（3）是真命题.
∵m∈Z且为偶数,
∴（-1）m=1，
∴2m+=2m，为偶数.
类题演练 3
已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根.命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题.求m的取值范围.
答案：m≥3或1＜m≤2.
变式提升 3
若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+…+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值是( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
答案：A
1.1 命题与量词
1．了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假．
1．命题
(1)定义：能够判断________的语句叫做命题．
(2)表示形式：一个命题，一般可以用一个________英文字母表示，如：p，q，r，….
【做一做1】“同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”，该语句是命题吗？
(1)并不是任何语句都是命题，只有那些能够判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
(2)有些命题尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．如“在2020年前，将有人登上火星．”
(1)真命题：如果由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论，那么这样的命题叫做真命题．
(2)假命题：如果由命题的条件通过推理不一定得出命题的结论，那么这样的命题叫做假命题．
2．全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做______量词，并用符号“______”表示．
(2)全称命题：含有__________的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题的形式：一般地，设p(x)是某集合M的________元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的______x，p(x)”的命题．用符号简记为______________．
【做一做2】命题“对所有整数x，x2＋1＞0.”是全称命题吗？若是，用符号表示出来．
(1)与“所有”等价的说法有：“一切”“每一个”“任一个”等．
(2)全称命题有时省去全称量词，仍为全称命题．如：“菱形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
(1)存在量词：短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的____________，逻辑中通常叫做________量词，并用符号“________”表示．
(2)存在性命题：含有存在量词的命题，叫做______命题．
(3)存在性命题的形式：一般地，设q(x)是某集合M的________元素x具有的________，那么存在性命题就是形如“________集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为__________________．
【做一做3】判断命题“有一个整数x，x2＋1＝0.”是否是存在性命题，若是，用符号表示．
1．判断某个语句是否是命题
剖析：首先，要看这个句子的句型．一般地，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．其次，要看能不能判断其真假，也就是判断其是否成立．
2．判断一个全称命题是真(假)命题的方法
剖析：要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素x验证p(x)成立，一般用代数推理给出证明．要判断一个全称命题是假命题，只需举出一个反例(满足命题的条件，但不满足命题结论的例子)．例如，命题p：?x∈R，x2－4x≥0；当x＝1时，x2－4x＝－3，故命题p为假命题．
3．判断一个存在性命题是真(假)命题的方法
剖析：只要在限定集合M中，找到一个x＝x0使p(x0)成立即可；否则，这个存在性命题就是假命题．
【例1】判断下列语句是不是命题：
(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c是二次函数吗？
(2)偶数的平方仍是偶数；
(3)若空间的两条直线垂直，则这两条直线相交；
(4)两个向量的夹角可以等于π.
反思：判断某个语句是否是命题的方法：首先，要看这个句子的句型．其次，要看能不能判断其真假．
题型二 全称命题与存在性命题真假的判定
【例2】指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：
(1)p：所有正方形都是矩形；
(2)q：?x∈R，x2－x＋≥0；
(3)r：?x∈Z，x2＋2x≤0；
(4)s：至少有一个正整数x，使x3＋1＝0.
分析：利用全称命题和存在性命题的定义判定命题是全称命题还是存在性命题．
(1)利用正方形的定义进行判定；
(2)将不等式的左边配方后进行判定；
(3)将x＝－1代入不等式后进行判定；
(4)解方程x3＋1＝0后，依据方程的解进行判定．
反思：(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素x验证p(x)成立，一般用代数推理给出证明．要判断一个全称命题是假命题，只需举出一个反例．
(2)要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．
1下列语句中，不是命题的是( )
A．两点之间线段最短
B．互补的两个角相等
C．不是对顶角的两个角不相等
D．延长线段AB
2下列命题是存在性命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行线
D．存在实数大于等于3
3下列命题是假命题的是( )
A．若a·b＝0，那么a⊥b B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．7＞6
4下列命题中是真命题的是( )
A．?x∈R，x2＋1＜0 B．?x∈Z,3x＋1是整数
C．?x∈R，|x|＞3 D．?x∈Q，x2∈Z
5下列命题中是全称命题的是__________．
(1)菱形的四条边相等；(2)所有有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；(3)正数的平方根不等于0；(4)至少有一个正整数是偶数；(5)所有整数都是实数吗？
答案：
基础知识·梳理
1．(1)真假 (2)小写
【做一做1】是．
2．(1)全称 ? (2)全称量词 (3)所有 所有 ?x∈M，p(x)
【做一做2】分析：因该命题含有全称量词“所有”，故是全称命题．
解：是，用符号表示为：?x∈Z，x2＋1＞0.
3．(1)个体或部分 存在 ? (2)存在性 (3)有些 某种性质 存在 ?x∈M，q(x)
【做一做3】分析：因该命题含有存在量词，故该命题是存在性命题．
解：是，用符号表示为：?x∈Z，x2＋1＝0.
典型例题·领悟
【例1】解：(1)不是；(2)是；(3)是；(4)是．
【例2】解：(1)命题p是全称命题，
因为邻边相等的矩形是正方形，故命题p是真命题；
(2)命题q是全称命题，
因为?x∈R，x2－x＋＝2≥0，所以命题q是真命题；
(3)命题r是存在性命题，
因为－1∈Z，当x＝－1时，能使x2＋2x≤0，所以命题r是真命题；
(4)命题s是存在性命题，
因为由x3＋1＝0得x＝－1，而－1不是正整数，因此，没有任何一个正整数满足x3＋1＝0，所以命题s是假命题．
随堂练习·巩固
1．D 因只有选项D不能判断其真假，故选项D不是命题．
2．D 只有选项D中含有存在量词，故选项D是存在性命题．
3．B |a|＝|b|只是两向量的大小相等，但方向不一定相同，故两向量不一定相等．
4．B 因为1∈Z，当x＝1时，3x＋1＝4是整数，故选项B是真命题．
5．(1)(2)(3) 命题(2)含有全称量词，(1)(3)省略了全称量词，故(1)(2)(3)是全称命题；而(4)含有存在量词，故(4)是存在性命题，(5)是一般疑问句，不能判断其真假，不是命题．
1.1 命题与量词
课堂探究
探究一 命题及其真假判断
判断某个语句是否是命题的方法是先看句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次要看能不能判断其真假．
判断一个命题真假的方法：判断一个命题为真，要经过证明；判断一个命题为假，则只需举一反例即可．
【典型例题1】 下列语句是不是命题？如果是，说明其真假：
(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c是二次函数吗？
(2)偶数的平方仍是偶数；
(3)若空间的两条直线垂直，则这两条直线相交；
(4)两个向量的夹角可以等于π.
思路分析：(1)该语句是疑问句，不能判断其真假，故不是命题；
(2)因所有偶数的平方都是偶数，无一例外，故该语句是命题且为真命题；
(3)根据空间立体几何知识知，垂直的两条直线不一定相交，故所给语句是命题且为假命题；
(4)根据两个向量夹角的定义知，两个向量反向时夹角为π，故所给语句是命题且为真命题．
解：(1)不是；(2)是，真命题；(3)是，假命题；(4)是，真命题．
探究二 全称命题与存在性命题真假的判定
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的所有元素x，验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出限定集合中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举一个反例”)．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合中找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．
【典型例题2】 指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：
(1)p：所有正方形都是矩形；
(2)q：x∈R，x2－x＋≥0；
(3)r：x∈Z，x2＋2x≤0；
(4)s：至少有一个正整数x，使x3＋1＝0.
思路分析：利用全称命题和存在性命题的定义判定命题是全称命题还是存在性命题．
(1)利用正方形的定义进行判定；
(2)将不等式的左边配方后进行判定；
(3)将x＝－1代入不等式后进行判定；
(4)解方程x3＋1＝0后，依据方程的解进行判定．
解：(1)命题p是全称命题，
因为正方形是邻边相等的矩形，所以命题p是真命题；
(2)命题q是全称命题，
因为x∈R，x2－x＋＝2≥0，所以命题q是真命题；
(3)命题r是存在性命题，
因为－1∈Z，当x＝－1时，能使x2＋2x≤0成立，所以命题r是真命题；
(4)命题s是存在性命题，
因为由x3＋1＝0，得x＝－1，而－1不是正整数，因此，没有正整数满足x3＋1＝0，所以命题s是假命题．
规律小结 全称命题与存在性命题的不同表述方法：
命题
全称命题“x∈A，p(x)”
存在性命题“x∈A，p(x)”
实质
全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题
存在性命题就是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题
表述方式
①所有x∈A，p(x)成立
②对一切x∈A，p(x)成立
③对每一个x∈A，p(x)成立
④任选一个x∈A，p(x)成立
⑤凡x∈A，都有p(x)成立
①存在x∈A，使p(x)成立
②至少有一个x∈A，使p(x)成立
③对有些x∈A，p(x)成立
④对某个x∈A，p(x)成立
⑤有一个x∈A，使p(x)成立
探究三 易错辨析
易错点 全称命题理解不全面
【典型例题3】 若关于x的不等式ax2＋ax＋1＞0对任意实数x都成立，求a的取值范围．
错解：要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，
则有解得0＜a＜4.
错因分析：这是一个全称命题，意味着每个x都满足ax2＋ax＋1＞0.本题错解中，只考虑了a≠0时的情况，忽视了a＝0时的判断．
正解：当a＝0时，1＞0，显然成立．
当a≠0时，要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，
则即0＜a＜4.
综上，a的取值范围是0≤a＜4.
1.1 命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1 数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理等都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨 1.并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
2．有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
思考2 常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒 全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3 如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
提示：判断一个命题是全称命题还是存在性命题，关键是看量词是全称量词还是存在量词．
名师点拨 存在性命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．
1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）
课堂导学
三点剖析
一、逻辑联结词“或”“且”“非”
【例1】 写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题，并判断真假.
(1)p:1是质数，q:1是方程x2+2x-3=0的根；
（2）p:平行四边形的对角线相等，q:平行四边形的对角线互相垂直;
(3)p:NZ，q:0∈N.
解析：每一道题都要写出三种形式的新命题，本题考查逻辑联结词“或”“且”“非”的应用.
（1）因为p假q真,所以p或q：1是质数或是方程x2+2x-3=0的根,为真；p且q：1是质数且是方程x2+2x-3=0的根，为假；非p:1不是质数，为真.
（2）因为p假q假，所以p或q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p且q：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p：平行四边形的对角线不一定相等，为真？
（3）因为p真q真，所以p或q：NZ或0∈N,为真；p且q：NZ且0∈N,为真；非p:NZ，为假.
温馨提示
为了正确判断命题的真假，首先要确定命题的构成形式，然后指出其中命题p、q的真假.再根据已有结论判断这个命题的真假.
二、含有一个量词的命题的否定
【例2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
（1）p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;
（2）p:x∈R,x2+2x+5>0.
解析：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“至少存在一个”，因此，p：至少存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立；即p:x∈R,使x2+x+1≠0成立.
（2）由于“x∈R”表示至少存在实数中的一个x，即命题中含有存在量词“至少存在一个”因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，p:对任意一个x都有x2+2x+5≤0,即x∈R,x2+2x+5≤0.
三、逻辑知识的综合应用
【例3】 已知c>0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.
解：函数y=cx在R上单调递减0＜c＜1.
不等式x+|x-2c|＞1的解集为R函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1.
因为x+|x-2c|=
所以函数y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c,
所以不等式x+|x-2c|＞1的解集为R2c＞1c＞.
若P正确,且Q不正确,
则0＜c≤.
若P不正确,且Q正确,
则c≥1,所以c的取值范围为（0,］∪［1,+∞）.
温馨提示
由p、q的真假可以判断p∨q、p∧q,p的真假.反过来，由p∨q、p∧q,p的真假也应能准确断定p、q的真假情况.如“p∧q”为假，应包括“p真q假”“p假q真”“p假q假”这三种情况.
各个击破
类题演练 1
指出下列复合命题的形式及其构成，并判断复合命题的真假:
(1)10≤10;(2)方程x2-6x-1=0没有实数根；（3）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.
解：（1）是“p∨q”形式的复合命题，其中p:10=10;q：10＜10.为真命题；也可认为是“p”形式的复合命题，其中p:10＞10.
(2)是“p”形式的复合命题，其中p:方程x2-6x-1=0有实根，p为假命题.
（3）是“p∧q”形式的复合命题，其中p:有两个角为45°的三角形是等腰三角形;q:有两个角为45°的三角形是直角三角形，为真命题.
变式提升 1
用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断真、假.
（1）5和7都是质数；
（2）平行四边形的对角线既互相垂直，又互相平分.
解：（1）“5和7都是质数”可以改写成“5是质数且7也是质数”.
∵“5是质数”与“7是质数”都是真命题.
∴这个命题是真命题.
（2）“平行四边形的对角线既互相垂直，又互相平分”可以改写成“平行四边形的对角线互相垂直且互相平分”.
∵“平行四边形的对角线互相垂直”是假命题.
∴这个命题是假命题.
类题演练 2
命题p：x∈R， <0的非p形式的命题是( )
A.x∈R,>0 B.x∈R,1≤x≤3
C.x∈R,x<1或x>3 D.x∈R,x≤1或x≥3
答案：D
变式提升 2
判断命题“x∈R,方程x2+2x+1=0有解”是全称命题还是存在性命题，并写出它的否定.
解析：由于x∈R表示x是任意实数，即命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；其否定是“x∈R,方程x2+2x+1=0无解”.
类题演练 3
已知a>0,a≠1,设P：函数y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减；Q：曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果P和Q有且只有一个正确，求a的取值范围.
答案：a的取值范围为［，1）∪（，+∞).
变式提升 3
设p:|x-a|<2,q:<1,若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
答案：实数a的取值范围为0≤a≤1.
1.2.1 “且”与“或”
1．了解“且”与“或”的含义．
2．能判断由“且”与“或”组成的新命题的真假．
1．“且”的含义及由“且”构成的新命题
(1)“且”的含义：逻辑联结词“______”与自然语言中的“______”“______”“______”相当．
(2)由“且”构成的新命题：一般地，用逻辑联结词“______”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作：p______q，读作“p且q”．
(3)“p且q”的真假：如果p，q______真命题，则p∧q是______命题；如果p，q两个命题中，______有一个是假命题，则p∧q是假命题．反过来，如果p∧q是______命题，则p，q一定______真命题；如果p∧q为______命题，则p，q两个命题中，______有一个是假命题．
注：在数理逻辑的书中，通常把如何判定p∧q的真假的几种情况总结为下表：
p
q
p∧q
真
______
真
真
______
假
______
真
假
假
假
______
【做一做1】用“且”联结命题p，q构成新命题，并判断新命题的真假：
p：16是2的倍数；q：16是8的倍数．
判断“且”命题的真假时，首先判断所给两个命题的真假，再利用“且”命题的真值表进行判定．
2．“或”的含义及由“或”构成的新命题
(1)“或”的含义：逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“______”是相当的．
(2)由“或”构成的新命题：一般地，用逻辑联结词“______”把命题p，q联结起来，就得到一个新命题，记作：p______q，读作“p或q”．
(3)“p或q”的真假：如果p，q两个命题中，至少有一个是______，则p______q是真命题；只有当两个命题都为______时，p∨q是______命题．
注：在数理逻辑的书中，通常把如何判定p∨q的真假的几种情况总结为下表：
p
q
p∨q
真
真
______
______
假
真
假
______
真
假
______
假
【做一做2】用“或”联结命题p，q构成新命题，并判断新命题的真假：
p：菱形的对角线互相平分；q：菱形的对角线相等．
判断“或”命题的真假时，首先判断所给两个命题的真假，再利用“或”命题的真值表进行判定．
1．如何理解联结词“且”
剖析：“且”与集合中“交集”的概念有关，与A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”意义相同，即“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要满足．举一个与“且”有关的例子：电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启，相应的电路就叫与门电路．
2．如何理解联结词“或”
剖析：“或”与集合中“并集”的概念有关，与A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”意义相同，它是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个是成立的，既可以是x∈A且xB，也可以是x∈B且xA，也可以是x∈A且x∈B.这与生活中的含义不完全相同，例如：“你去图书馆或去游泳馆”，两者不可能同时发生；再如，日常生活中，我们认为“苹果是长在树上或长在地里”这句话是不正确的．
“且”与“或”只有用来联结两个命题时，才称其为逻辑联结词．如：命题“方程|x|＝1的解是x＝1或x＝－1”中的“或”就不是逻辑联结词．
题型一 “p∧q”形式的命题及其真假的判定
【例1】分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”形式的新命题，并判断它们的真假：
(1)p：30是5的倍数；q：30是8的倍数．
(2)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等．
(3)p：x＝1是方程x－1＝0的根；q：x＝1是x＋1＝0的根．
分析：用逻辑联结词“且”把命题p，q联结起来构成“p∧q”形式的命题；利用命题“p∧q”的真值表判断其真假．
反思：(1)写“且”命题时，若两个命题有公共的主语，写成“且”命题时，后一个命题可省略主语．
(2)判断“且”命题真假的方法和步骤：①先判断每一个命题的真假；②利用真值表判断“且”命题的真假．
题型二 “p∨q”形式的命题及其真假的判定
【例2】分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”形式的命题，并判断它们的真假：
(1)p：正多边形各边相等；q：正多边形各内角相等．
(2)p：线段中垂线上的点到线段两端点距离相等；q：角平分线上的点到角的两边的距离不相等．
(3)p：正六边形的对角线都相等；q：偶数都是4的倍数．
分析：用逻辑联结词“或”把命题p，q联结起来构成“p∨q”形式的命题；利用命题“p∨q”的真值表判断其真假．
反思：(1)写“或”命题时，若两个命题有公共的主语，写成“或”命题时后一个命题可省略主语．
(2)判断“或”命题真假的方法和步骤：①先判断每一个命题的真假；②利用真值表判断“或”命题的真假．
题型三 易错题型
【例3】(1)命题“等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边”是由“或”或“且”构成的新命题吗？若是，指出是哪种形式；若不是，说明理由．
错解：不是由“或”或“且”构成的新命题．理由：因为命题中不含有逻辑联结词“或”或“且”．
错因分析：没有注意到该命题是省略联结词“且”的命题．
(2)命题“不等式x2＞1的解集是{x|x＞1，或x＜－1}”的构成形式是“p∨q”吗？为什么？
错解：是；因为该命题中含有逻辑联结词“或”．
错因分析：没有注意到“或”联结的不是两个命题．
1下列命题的构成是“p∨q”形式的是( )
A．5既是奇数又是质数
B．6≤7
C．π不是有理数
D．2是4的约数并且是7的约数
2下列命题的构成不是“p∧q”形式的是( )
A．2是6的约数，也是8的约数
B．方程x2＝1的一个解是x＝1，另一个解是x＝－1
C．2和－2是方程x2－4＝0的根
D．函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数
3命题“方程|x|＝2的解是x＝±2”中，使用逻辑联结词的情况是( )
A．使用了逻辑联结词“或”
B．使用了逻辑联结词“且”
C．使用了逻辑联结词“或”与“且”
D．没有使用逻辑联结词
4下列命题中既是“p∧q”形式的命题，又是真命题的是( )
A．15或20是5的倍数
B．1和2是方程x2－3x＋2＝0的根
C．方程x2＋2＝0有实数根
D．有一个角大于90°的三角形是钝角三角形
5命题“集合A是集合A∪B的子集或是集合A∩B的子集”是__________命题(填“真”或“假”)．
答案：
基础知识·梳理
1．(1)且 并且 及 和 (2)且 ∧ (3)都是 真 至少 真 都是 假 至少 真 假 假 假
【做一做1】分析：由“且”命题的定义写出新命题：16是2的倍数且是8的倍数；因命题p，q都是真命题，故新命题是真命题．
解：p∧q：16是2的倍数且是8的倍数．新命题是真命题．
2．(1)或者 (2)或 ∨ (3)真命题 ∨ 假 假 真
真 真 假
【做一做2】分析：由“或”命题的定义写出新命题：菱形的对角线相等或互相平分；因命题p是真命题，q是假命题，故新命题是真命题．
解：p∨q：菱形的对角线相等或互相平分．新命题是真命题．
典型例题·领悟
【例1】解：(1)p∧q：30是5的倍数且是8的倍数；
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
(2)p∧q：矩形的对角线互相平分且相等．
由于命题p和q都是真命题，故命题p∧q是真命题．
(3)p∧q：x＝1是方程x－1＝0的根且是方程x＋1＝0的根．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
【例2】解：(1)p∨q：正多边形各边相等或各内角相等．
由于命题p是真命题，命题q是真命题，故命题p∨q是真命题．
(2)p∨q：线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等或角平分线上的点到角的两边的距离不相等．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∨q是真命题．
(3)p∨q：正六边形的对角线都相等或偶数都是4的倍数．
由于命题p是假命题，命题q是假命题，故命题p∨q是假命题．
【例3】(1)正解：所给命题可改写为“等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边”，也就是“等腰三角形顶角的平分线垂直底边且等腰三角形顶角的平分线平分底边”，故该命题是由“且”构成的新命题．
构成形式：p∧q.
(2)正解：不是；因为“或”在此不是联结的两个命题．
随堂练习·巩固
1．B 2.B
3．D 命题“方程|x|＝2的解是x＝±2”可以写成“方程|x|＝2的解是x＝2或x＝－2”，其中的“或”不是联结的两个命题，故没有使用逻辑联结词．选D.
4．B 命题“1和2是方程x2－3x＋2＝0的根”可写成“1是方程x2－3x＋2＝0的根且2是方程x2－3x＋2＝0的根”，此命题是用“且”联结的两个命题构成的新命题，故是“p∧q”形式的命题；又两个命题都是真命题，故该命题是真命题．从而选B.
5．真
1.2.1“且”与“或”
课堂探究
探究一 “p∧q”形式的命题及其真假的判定
1．写“且”命题时，若两个命题有公共的主语，后一个命题的主语可以省略．
2．判断“p∧q”命题真假的方法是：如果p，q都是真命题，则命题p∧q是真的；如果p，q中至少有一个是假命题，则命题p∧q是假的，因此要先判断每一个命题的真假，再利用真值表来判断．
【典型例题1】 分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”形式的新命题，并判断它们的真假：
(1)p：30是5的倍数；q：30是8的倍数；
(2)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等；
(3)p：x＝1是方程x－1＝0的根；q：x＝1是方程x＋1＝0的根．
思路分析：用逻辑联结词“且”把命题p，q联结起来构成“p∧q”形式的命题；利用命题“p∧q”的真值表判断其真假．
解：(1)p∧q：30是5的倍数且是8的倍数．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
(2)p∧q：矩形的对角线互相平分且相等．
由于命题p和q都是真命题，故命题p∧q是真命题．
(3)p∧q：x＝1是方程x－1＝0的根且是方程x＋1＝0的根．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
探究二 “p∨q”形式的命题及其真假判定
1．写“或”命题时，若两个命题有公共的主语，则后一个命题的主语可以省略．
2．判断“p∨q”命题真假的方法是：当两个命题p，q中至少有一个是真命题时，p∨q就为真命题；只有当两个命题都为假时，p∨q为假．
【典型例题2】 将下列命题用“或”联结成新命题，并判断其真假：
(1)p：9是奇数，q：9是素数；
(2)p：正弦函数是奇函数，q：正弦函数是增函数．
解：(1)p∨q：9是奇数或9是素数．
因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题．
(2)p∨q：正弦函数是奇函数或是增函数．
因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题．
探究三 应用逻辑联结词求参数的范围
含有逻辑联结词的命题p∧q，p∨q的真假可以用真值表来判断；反之，根据命题p∨q，p∧q的真假也可以判断命题p，q的真假．
【典型例题3】 已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
思路分析：这是一道综合题，它涉及命题、方程、不等式、一元二次方程根与系数的关系等．它可以先利用命题知识判定p，q的真假，再求m值，也可以先化简p，q的范围，再利用命题知识求解．
解：p：解得m＞2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
解得1＜m＜3.
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p为真，q为假，或p为假，q为真．
即或
解得m≥3或1＜m≤2.
所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}．
规律小结 应用逻辑联结词求参数范围的步骤
1.2.1“且”与“或”
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解含有“且”“或”联结词的复合命题的概念及其构成形式，理解“且”“或”的含义．
2．会用真值表判断由“且”与“或”构成的新命题的真假.
1．且
思考1“且”与自然语言中的哪些词语相当？
提示：“且”与自然语言中的“并且”“及”“和”相当．
思考2如何用“且”来定义集合A和集合B的交集？
提示：A∩B＝{x|(x∈A)∧(x∈B)}．
2．或
思考3 逻辑联结词“或”和日常语言中的“或者”相同吗？
提示：不相同，日常语言中的“或”是“不可兼有”的，而数学中的“或”是“可兼有但不必须兼有”．
思考4 如何用“或”定义集合A与集合B的并集？
提示：A∪B＝{x|(x∈A)∨(x∈B)}．
1.2.2 “非”(否定)
1．了解逻辑联结词“非”的含义．
2．会对含有量词的命题进行否定．
1．“非”的含义
逻辑联结词“非”(也称为“______”)的意义是由日常语言中的“______”“________”“____________”等抽象而来的．
【做一做1】下列词语与“非”的含义不同的是( )
A．是 B．不是
C．全盘否定 D．问题的反面
2．命题p的否定(非p)
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作______，读作“______”或“________”．
一般把如何由p的真假判定p的真假总结为下表：
p
p
真
______
______
真
(1)p的否定是p，p的否定是p，即p与p是相互否定的．(2)命题“p且q”的否定是“p或q”；命题“p或q”的否定是“p且q”．
【做一做2】已知命题p：函数y＝sin x是奇函数，写出命题p的否定，并判断其真假．
3．存在性命题的否定
存在性命题p：?x∈A，p(x)；
它的否定是p：__________.
否定存在性命题时，首先把存在量词改为全称量词，再对性质p(x)进行否定．
【做一做3】已知命题p：有些三角形是等腰三角形．写出命题p的非(否定)．
4．全称命题的否定
全称命题q：?x∈A，q(x)；
它的否定是q：__________.
否定全称命题时，首先把全称量词改为存在量词，再对性质q(x)进行否定．
【做一做4】已知命题q：矩形的对角线相等．写出命题q的非(否定)．
省略全称量词的全称命题的否定
剖析：有的全称命题省略了全称量词，否定时要特别注意．例如，q：实数的绝对值是正数．将q写成：“实数的绝对值不是正数”就错了．原因是q是假命题，q也是假命题，这与q，q一个为真一个为假相矛盾．正确的否定应为：“存在一个实数的绝对值不是正数”．为了避免出错，可用真值表加以验证．
(1)一般来说，全称命题的否定是一个存在性命题，存在性命题的否定是一个全称命题，因此在写其否定时，要把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
(2)下表是一些常用词语和它们的否定词语，理解它们对于今后解决问题大有帮助.
原词语
等于
大于(＞)
小于(＜)
是
都是
否定词语
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
原词语
至多有一个
至少有一个
至多有n个
否定词语
至少有两个
一个也没有
至少有n＋1个
原词语
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
某个
某两个
某些
不能
题型一 “p”形式的命题及其真假
【例1】写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：圆(x－1)2＋y2＝4的圆心是(1,0)；
(2)q：50是7的倍数；
(3)r：一元二次方程至多有两个解；
(4)s：7＜8.
反思：解决此类问题要依据命题的否定形式进行否定．注意常用词语的否定词语不能写错．
题型二 存在性命题与全称命题的否定
例2】写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：?x∈R，x2＋1＜0；
(2)q：每一个对角互补的四边形有外接圆；
(3)r：有些菱形的对角线互相垂直；
(4)s：所有能被3整除的整数是奇数．
分析：命题p，q是存在性命题，按存在性命题的否定形式进行否定即可．
命题r，s是全称命题，按全称命题的否定形式进行否定即可．
反思：(1)解决此类问题首先分清命题是存在性命题还是全称命题；然后按存在性命题和全称命题的否定形式进行否定．(2)全称命题的否定是一个存在性命题，存在性命题的否定是一个全称命题．
题型三 易错题型
【例3】写出命题“菱形的对角线相等”的否定．
错解：其否定是：菱形的对角线不相等．
错因分析：没有注意到该命题是省略了全称量词的全称命题，从而没把全称量词改为存在量词．
1命题“p”与命题“p”的真假关系是( )
A．可能都是真命题
B．一定是一真一假
C．可能都是假命题
D．不能判断
2命题2≠3的形式是( )
A．p B．p∨q
C．p∧q D．以上答案都不正确
3命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则p是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
4已知p，q是两个命题，且命题“p∧q”是假命题，则下列命题为真的是( )
A．p B．q
C．p且q D．p或q
5命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )
A．不存在x0∈R, B．存在x0∈R,
C．对任意的x0∈R, D．对任意的x0∈R,
答案：
基础知识·梳理
1．否定
2．非p p的否定 不是 全盘否定 问题的反面
【做一做1】A假 假
【做一做2】解：：函数y＝sin x不是奇函数；假命题．
3．?x∈A，(x)
【做一做3】解：：所有三角形都不是等腰三角形．
4．?x∈A，(x)
【做一做4】分析：此命题省略了全称量词“所有”，按全称命题的否定形式进行否定得到：有些矩形的对角线不相等．
解：：有些矩形的对角线不相等．
典型例题·领悟
【例1】解：(1)p：圆(x－1)2＋y2＝4的圆心不是(1,0)．(假)
(2)q：50不是7的倍数．(真)
(3)r：一元二次方程至少有三个解．(假)
(4)s：7≥8.(假)
【例2】解：(1)p：?x∈R，x2＋1≥0.(真)
(2)q：有些对角互补的四边形没有外接圆．(假)
(3)r：所有菱形的对角线都不互相垂直．(假)
(4)s：有些能被3整除的整数不是奇数．(真)
【例3】正解：有些菱形的对角线不相等．
随堂练习·巩固
1．B 2．A 3．C
4．D 由命题“p∧q”是假命题知p，q中至少有一个为假，但不能确定谁真谁假，故选项A，B，C错．命题“p∧q”是假命题，则其否定为真，从而选D.
5．D 该命题是存在性命题，利用存在性命题的否定形式判断可知选D.
1.2.2“非”（否定）
课堂探究
探究一 “p”形式的命题及其真假判断
“非”是由日常用语中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的，可以用“非”定义集合A在全集U中的补集．UA＝{x∈U|(x∈A)}＝{x∈U|xA}．
“p”与“p”真假不同，一个为真，另一个必定为假，它们互为否定，且有(p)＝p.
【典型例题1】 写出下列命题p的否定，并判断其真假：
(1)p：周期函数都是三角函数；
(2)p：偶函数的图象关于y轴对称；
(3)p：若x2－x≠0，则x≠0，且x≠1.
思路分析：要写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，然后根据真值表进行真假判断．
解：(1)p：周期函数不都是三角函数．
命题p是假命题，p是真命题．
(2)p：偶函数的图象不关于y轴对称，
命题p是真命题，p是假命题．
(3)p：若x2－x≠0，则x＝0或x＝1.
命题p是真命题，p是假命题．
规律小结 下表是一些常用词语和它们的否定词语，理解它们对于今后解决问题大有帮助.
原词语
等于
大于(＞)
小于(＜)
是
都是
否定词语
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
原词语
至多有一个
至少有一个
至多有n个
否定词语
至少有两个
一个也没有
至少有n＋1个
原词语
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
某个
某两个
某些
不能
探究二 存在性命题与全称命题的否定
解答存在性命题与全称命题的否定问题：(1)改变量词，把存在量词改为恰当的全称量词或把全称量词改为恰当的存在量词；(2)否定性质，把原命题中的“p(x)成立”改为“p(x)成立”．
【典型例题2】 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：x∈R，x2＋1＜0；
(2)q：每一个对角互补的四边形有外接圆；
(3)r：有些菱形的对角线互相垂直；
(4)s：所有能被3整除的整数是奇数．
思路分析：命题p，r是存在性命题，按存在性命题的否定形式进行否定即可．
命题q，s是全称命题，按全称命题的否定形式进行否定即可．
解：(1)p：x∈R，x2＋1≥0.(真)
(2)q：有些对角互补的四边形没有外接圆．(假)
(3)r：所有菱形的对角线不互相垂直．(假)
(4)s：有些能被3整除的整数不是奇数．(真)
探究三 易错辨析
易错点 否定不全面
【典型例题3】 若“x∈，sin x＋cos x＜m”为假命题，则实数m的取值范围是__________．
错解：由于“x∈，sin x＋cos x＜m”为假命题，则其否定“x∈，sin x＋cos x＞m”为真命题．
令f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，x∈，可知f(x)在上是增函数，在上是减函数，且f(0)＝，f＝1，所以f(x)min＝1.故有m＜1，即实数m的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
错因分析：原命题的否定应为“x∈，sin x＋cos x≥m”，漏掉了等号成立的情况，导致m的范围被缩小．
正解：令f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，x∈，
可知f(x)在上为增函数，在上为减函数．
由于f(0)＝，f＝2，f＝1，
所以1≤f(x)≤2.
由于“x∈，sin x＋cos x＜m”为假命题，
则其否定“x∈，sin x＋cos x≥m”为真命题，
所以m≤f(x)min＝1.
答案：(－∞，1]
1.2.2“非”（否定）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解含有“非”的命题的含义．
2．会判断含有逻辑联结词“非”的命题的真假．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1．命题p的否定p
(1)“非”命题的表示及读法：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)含有“非”的命题的真假判定：
p
p
真
假
假
真
思考1 对一个命题p进行否定，否定的是此命题的条件还是结论？
提示：对一个命题p进行否定，否定的是此命题的结论．
2．存在性命题的否定
存在性命题p
p
结论
x∈A，p(x)
x∈A，p(x)
存在性命题的否定是全称命题
思考2 存在性命题否定后如何进行真假判断？
提示：存在性命题的否定是全称命题，其真假性与存在性命题相反，只需判断出原存在性命题的真假即可作出判断．
3．全称命题的否定
全称命题q
q
结论
x∈A，q(x)
x∈A，q(x)
全称命题的否定是存在性命题
思考3 全称命题的否定描述是否唯一？
提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
思考4 省略全称量词的全称命题如何进行否定？
提示：有的全称命题省略了全称量词，否定时要特别注意．例如，q：实数的绝对值是正数．将q写成：“实数的绝对值不是正数”就错了．原因是q是假命题，q也是假命题，这与q，q一个为真一个为假相矛盾．正确的否定应为：“存在一个实数的绝对值不是正数．”为了避免出错，可用真值表加以验证．
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
1．了解推出的意义．
2．理解充分条件和必要条件的意义．
3．掌握判断充分条件、必要条件的方法．
1．命题的条件和结论
“如果p，则(那么)q”形式的命题，其中______称为命题的条件，______称为命题的结论．
【做一做1】指出命题“如果a＝－b，则a2＝b2”的条件和结论．
2．推出符号“?”的含义
当命题“如果p，则q”是______命题时，就说由______可以推出______，记作p?q，读作“p推出q”．
【做一做2】用符号“?”表示命题：若∠A＝60°，则sin A＝.
只有当一个命题是真命题时，才能使用推出符号“?”表示．例如：
“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”是真命题，故可用推出符号“?”表示为：两个三角形全等?它们的面积相等．
“如果两个三角形面积相等，那么它们全等”是假命题．故此命题不能用推出符号“?”表示．
(1)符号“”的含义．
当命题“如果p，则q”是假命题时，就说由p不能推出q.记作pq，读作“p不能推出q”．
(2)推出的传递性．
若p?q且q?r，则p?r.
3．充分条件、必要条件
如果p可推出q，则称______是______的充分条件，______是______的必要条件．
【做一做3】已知r：x＝8，s：x＞7，问r是s的充分条件吗？s是r的必要条件吗？s是r的充分条件吗？
4．充要条件
一般地，如果p?q，且______?______，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p?q.
显然，当p是q的充要条件时，______也是______的充要条件，p是q的充要条件，又常说成______当且仅当______，或p与q______.
【做一做4】已知p：两直线平行；q：内错角相等．试判断p是q的什么条件？
对充要条件的判定，首先要分清条件p和结论q，不但要看是否能由p?q而且还要看是否能由q?p.
充分不必要条件、必要不充分条件和既不充分也不必要条件．
如果p?q，且qp，则称p是q的充分不必要条件；
如果pq，且q?p，则称p是q的必要不充分条件；
如果pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
1．对充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”的理解
剖析：(1)充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是足以保证结论成立的．例如，说“x＞8”是“x＞6”的一个充分条件，就是说“x＞8”这个条件，足以保证“x＞6”成立．
(2)必要条件：说条件是必要的，就是说该条件必须要有，必不可少．从上例可以看出，如果x＞6，那么x可能大于8，也可能不大于8；但如果x不大于6，那么x不可能大于8.因此要使x＞8必须要有x＞6这个条件．必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行．
2．从集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件
剖析：首先建立与p，q相对应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}．
若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB，BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
题型一 充分条件、必要条件的判断
【例1】在下列各题中，试判定p是q的什么条件：
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；
(2)p：同位角相等，q：两直线平行；
(3)p：x＝3，q：x2＝9；
(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
分析：(1)利用“两个因式的积等于零?两个因式中至少有一个等于零”及充分条件、必要条件的定义判断．
(2)利用平行线的判定和性质定理以及充分、必要条件的定义判断．
(3)利用平方与开平方的意义，通过计算进行判断．
(4)利用平行四边形的判定和性质定理进行判断．
反思：判断p是q的什么条件的方法与步骤：
(1)分清条件p和结论q；(2)判断命题“若p，则q”和命题“若q，则p”的真假；(3)依据充分、必要条件的定义给出结论．
题型二 利用充分条件、必要条件求参数的范围
【例2】已知p：{x|x2－5x＋4＜0}，q：{x|1－m＜x＜1＋m}，p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．
分析：先化简集合，条件“若p是q的必要不充分条件”?“q?p且pq”，即集合{x|1－m＜x＜1＋m}是集合{x|x2－5x＋4＜0}的真子集，从而明确两集合之间关系，再利用数轴分析得到关于m的不等式组．
反思：化简集合，实施等价转化，明确集合之间关系是解决本题的关键．本题也可将“p是q的必要不充分条件”转化为“p是q的充分不必要条件”来解决．
题型三 求充要条件
【例3】求函数y＝f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方的充要条件．
分析：先求“函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方”的必要条件，然后再看该条件能否推出“函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方”，即其充分性是否成立．
题型四 易错题型
【例4】设p：A＝{x|x2－5x－6＜0}，q：B＝{x|－1＜x＜2a}，且p是q的充分条件，求a的取值范围．
错解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6，
因为p是q的充分条件，故2a＞6，即a＞3.
所以a的取值范围为a＞3.
错因分析：“p是q的充分条件?A?B”，而错解用了“p是q的充分条件?AB”，导致丢掉等号的错误．
1(2012·广州综合测试，理5)已知函数f(x)＝2x＋1，对于任意正数a，|x1－x2|＜a是|f(x1)－f(x2)|＜a成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2已知p：x＝0，q：x(x－1)＝0；则p是q的__________条件．
3已知在△ABC中，p：AB＝AC，q：∠C＝∠B；p是q的__________条件．
4已知p：x2＝1，q：x＝1；则p是q的__________条件．
5已知p：x(x－3)＜0，q：|x|＜2；则p是q的__________条件．
6已知p：{x|x2＜1}，q：{x|x＞a}，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
答数：
基础知识·梳理
1．p q
【做一做1】解：命题的条件是：a＝－b，结论是：a2＝b2.
2．真 p q
【做一做2】分析：因为所给命题为真命题，故可用推出符号表示．
解：∠A＝60°?sin A＝.
3．p q q p
【做一做3】分析：x＝8?x＞7，但x＞7x＝8.
因为x＞7x＝8，所以s不是r的充分条件．
解：因为x＝8?x＞7，所以r是s的充分条件，s是r的必要条件；又因为x＞7x＝8，所以s不是r的充分条件．
4．q p q p q p 等价
【做一做4】解：因为p?q，且q?p，所以p是q的充要条件．
典型例题·领悟
【例1】解：(1)因为命题“若(x－2)(x－3)＝0，则x＝2”是假命题，而命题“若x＝2，则(x－2)(x－3)＝0”是真命题，所以p是q的必要条件，但不是充分条件，即p是q的必要不充分条件；
(2)因为命题“若同位角相等，则两直线平行”是真命题，而命题“若两直线平行，则同位角相等”也是真命题，所以p是q的充要条件；
(3)因为命题“若x＝3，则x2＝9”是真命题，而命题“若x2＝9，则x＝3”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件；
(4)因为命题“若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形”是假命题，而命题“若四边形是平行四边形，则四边形的对角线相等”也是假命题，所以p不是q的充分条件，也不是必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．
【例2】解：设集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，B＝{x|1－m＜x＜1＋m}，则p：A＝{x|1＜x＜4}，q：B＝{x|1－m＜x＜1＋m}，
因此：C＝{x≥4，或x≤1}，：D＝{x≥1＋m，或x≤1－m}．
∵是的必要不充分条件，
∴DC，如图．
∴两个等号不同时成立，解得m≥3，故m的取值范围为[3，＋∞)．
【例3】解：由函数f(x)的图象全在x轴上方可知，若f(x)是常量函数，则?a＝1；若f(x)是二次函数，则?1＜a＜19，故函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方?1≤a＜19.
由以上推导过程知：反之若1≤a＜19，函数f(x)的图象在x轴上方，即1≤a＜19?函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方．
综上，函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方的充要条件是1≤a＜19.
【例4】正解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6，
因为p是q的充分条件，即A?B，
故2a≥6即a≥3，所以a的取值范围为a≥3.
随堂练习·巩固
1．B 2．充分不必要 3．充要 4．必要不充分
5．既不充分也不必要 由x(x－3)＜0得0＜x＜3，由|x|＜2得－2＜x＜2，因此pq且qp，故p是q的既不充分也不必要条件．
6．分析：先化简集合，根据p是q的充分不必要条件得到AB，然后利用集合关系解决问题．
解：设A＝{x|x2＜1}＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＞a}，则p：A＝{x|－1＜x＜1}，q：B＝{x|x＞a}．
∵p是q的充分不必要条件，
∴AB.结合数轴分析可得a≤－1，
∴a的取值范围为(－∞，－1]．
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
课堂导学
三点剖析
一、充分条件与必要条件的判断
【例1】在下列各题中,判断A是B的什么条件,并说明理由.
(1)A:|p|≥2,p∈R,B:方程x2+px+p+3=0有实根;
(2)A:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,B:c2=(a2+b2)r2.
解析:(1)当|p|≥2时,例如p=3,则方程x2+3x+6=0无实根,而方程x2+px+p+3=0有实根,必有p≤-2或p≥6,可推出|p|≥2,故A是B的必要不充分条件.
(2)若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=,
所以c2=(a2+b2)r2;反过来,若c2=(a2+b2)r2,则=r成立,说明x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,即圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,故A是B的充分必要条件.
温馨提示
对于涉及充分必要条件判断的问题,必须以准确,完整理解充分,必要条件的概念为基础,有些问题需转化为等价命题后才容易判断.
二、探寻充分条件与必要条件
【例2】 设定义域为R的函数.则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )
A.b<0且c>0 B.b>0且c<0
C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0
解析：f(x)=
故函数f(x)的图象如下图.
由图知，f(x)图象关于x=1对称，且f(x)≥0,
若方程f2(x)+bf(x)+c=0①有7个解，则方程t2+bt+c=0②有两个不等实根，且一根为正，一根为0.否则，若方程②有两相等实根，则方程①至多有4个解，若方程②有两个不等正实根，则方程①有8解.
∵f(x)=0满足方程，则c=0,
又∵另一个f(x)>0,
∴b=-f(x)<0.
故b<0且c=0,选C.
答案：C
温馨提示
充分与必要条件的寻找，要重视它们的定义.
三、充要条件的证明
【例3】 证明关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为-1的充要条件是a-b+c=0.
证明：①充分性
∵a-b+c=0，
∴a·(-1)2+b·(-1)+c=0，
∴x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴a-b+c=0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充分条件.
②必要性
∵x=-1是方程ax2+bx+c=0的根，
∴a·（-1）2+b·(-1)+c=0即a-b+c=0
∴a-b+c=0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的必要条件.
综合①②关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.
各个击破
类题演练 1
(2005江西高考) 在△ABC中,命题p:==;命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
答案：C
变式提升 1
命题甲：“a、b、c成等差数列”是命题乙：+=2的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
类题演练 2
(2005湖北高考) 对任意实数a、b、c,给出下列命题:
①“a=b”是“ac=bc”的充要条件
②“a+5”是无理数是“a是无理数”的充要条件
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件
④“a<5”是“a<3”的必要条件
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
变式提升 2
已知条件p：x+y≠-2,条件q:x,y不都是-1，则p是q的_______________条件( )
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
答案：A
类题演类 3
已知a,b,c均为实数，求证：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明：（1）充分性：若ac＜0,则b2-4ac＞0且ca＜0.
∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.
(2)必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则Δ=b2-4ac＞0,x1·x2=＜0，
∴ac＜0.
由（1）（2）知，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
变式提升 3
已知p：|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
解析：由x2-2x+1-m2≤0得
1-m≤x≤1+m,
∴q:A={x|x＞1+m或x＜1-m,m＞0},
由|1|≤2得-2≤x≤10,
∴p:B={x|x＞10或x＜-2}.
∵p是q的必要而不充分条件.
∴AB 解得m≥9.
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
课堂探究
探究一 充分条件、必要条件的判断
要判断p是q的充分条件、必要条件首先应分清条件p和结论q，然后按下面的一般步骤进行判断．
(1)判定“若p，则q”的真假．
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
【典型例题1】 在下列各题中，判断p是q的什么条件．
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根；
(3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等．
思路分析：解决此类问题就是要判定命题“如果p，则q”和命题“如果q，则p”的真假．
解：(1)因为x－2＝0(x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为m＜－2方程x2－x－m＝0无实根，
而方程x2－x－m＝0无实根m＜－2，
所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为pq，
而qp，
所以p是q的充分不必要条件．
探究二 利用充分条件、必要条件求参数的范围
解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决．
【典型例题2】 已知p：x2－8x－20＜0，q：x2－2x＋1－m2＜0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
思路分析：根据q是p的充分不必要条件，找出p和q对应的集合间的关系，列出不等式组，求出m的范围．
解：令命题p对应的集合为A，
命题q对应的集合为B，
由x2－8x－20＜0，
得(x－10)(x＋2)＜0，
解得－2＜x＜10，
所以A＝{x|－2＜x＜10}．
又由x2－2x＋1－m2＜0，
得[x－(1＋m)][x－(1－m)]＜0，
因为m＞0，
所以1－m＜x＜1＋m，
所以B＝{x|1－m＜x＜1＋m，m＞0}．
因为q是p的充分不必要条件，
所以BA.
所以且两等号不能同时成立．
解得0＜m≤3.
经检验知m＝3时符合题意．
所以m的取值范围是(0,3]．
规律小结 用集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件：
首先建立与p，q相对应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.
若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB，BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
探究三 充要条件的证明与探求
要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：
(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性；
(2)等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件．
【典型例题3】 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
思路分析：(1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论．
证明：先证必要性：
因为a＋b＝1，即b＝1－a，
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
再证充分性：
因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
由ab≠0，即a≠0，且b≠0，
所以a2－ab＋b2≠0，只有a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
【典型例题4】 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
思路分析：结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解．
解：①a＝0时，方程有一个负实根．
②a≠0时，显然方程没有零根．
若方程有两个异号的实根，则a＜0；
若方程有两个负实根，则
解得0＜a≤1.
综上可知：若方程至少有一个负实根，则a≤1；反之，
若a≤1，则方程至少有一个负实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
点评 若令f(x)＝ax2＋2x＋1，由f(0)＝1≠0，可排除方程一个根为负根，另一根为0的情形，并要注意，不能忽视对a＝0的特殊情况进行讨论．
探究四易错辨析
易错点 充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价
【典型例题5】 已知p：A＝{x|x2－5x－6＜0}，q：B＝{x|－1＜x＜2a}，且p是q的充分条件，求a的取值范围．
错解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6.
因为p是q的充分条件，故2a＞6，即a＞3.
所以a的取值范围为a＞3.
错因分析：“p是q的充分条件AB”，而错解用了“p是q的充分条件AB”，导致丢掉等号的错误．
正解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6，
因为p是q的充分条件，即AB，
故2a≥6，即a≥3，
所以a的取值范围为a≥3.
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
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课程目标
学习脉络
1.了解推出的意义．
2．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
3．会具体判断所给条件是哪一种条件.
1．推出
“如果p，则(那么)q”形式的命题，其中p，q分别表示研究对象所具有的性质．p称做命题的条件，q称做命题的结论．
当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说，由p成立可推出q成立，记作pq，读作“p推出q”．
思考1 推出是否具有传递性？
提示：推出具有传递性．若pq，且qr，则pr.
2．充分条件、必要条件
如果由p可推出q，我们称p是q的充分条件；q是p的必要条件．
思考2 若p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？
提示：不唯一，如x＞3是x＞0的充分条件，而x＞5，x＞10等也是x＞0的充分条件．
思考3 p是q的充分条件与q是p的必要条件有怎样的关系？
提示：p是q的充分条件反映了pq，而q是p的必要条件也反映了pq，所以p是q的充分条件与q是p的必要条件表达的是同一个逻辑关系，只是说法不同．
3．充要条件
思考4 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？
提示：(1)充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是足以保证结论成立的．例如，说“x＞8”是“x＞6”的一个充分条件，就是说“x＞8”这个条件，足以保证“x＞6”成立．
(2)必要条件：说条件是必要的，就是说该条件必须要有，必不可少．例如，如果x＞6，那么x可能大于8，也可能不大于8；但如果x不大于6，那么x不可能大于8.因此要使x＞8必须要有x＞6这个条件．必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行．
