江苏省淮安市2018届高三上学期期中学业质量检测 数学
文档属性
| 名称 | 江苏省淮安市2018届高三上学期期中学业质量检测 数学 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 504.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-11-13 19:53:04 | ||
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文档简介
2018届高三期中学业质量监测试题
数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，则▲．
2．复数（是虚数单位）的实部为▲．
3.
函数的定义域为▲．
4.某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，
A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．
为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法
从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽
取▲名血型为AB的学生．
5.
右图是一个算法流程图，则输出的的值为▲．
高三数学试题第1页（共4页）
6.抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为▲．
7.
已知，，则的取值集合为▲．
8.
在平行四边形中，，，，则的值为▲．
设等差数列的前项和为．若，且，，成等差数列，则数列
的通项公式▲．
在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆：外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为▲．
已知函数．设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点
，记为函数的导数，则的值为▲．
12.
已知函数与的图象关于原点对称，且它们的图象
拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD，不含A（0，1），
B（1，1），O（0，0），C（-1，-1），D（0，-1）五个点．
则满足题意的函数的一个解析式为▲．
13.
不等式的解集为▲．
14．在锐角三角形ABC中，的最小值为▲．
高三数学试题第2页（共4页）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
16．（本小题满分14分）
设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量，，
且．
（1）求A的大小；
（2）若，求的值．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆
和轴正半轴分别交于点，．
（1）若，求直线的斜率；
（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值．
高三数学试题第3页（共4页）
18．（本小题满分16分）
将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．
（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面
半径；
（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．
19．（本小题满分16分）
对于给定的正整数，如果各项均为正数的数列满足：对任意正整数，
总成立，那么称是“数列”．
（1）若是各项均为正数的等比数列，判断是否为“数列”，并说明理由；
（2）若既是“数列”，又是“数列”，求证：是等比数列．
20.
（本小题满分16分）
设命题：对任意的，恒成立，其中．
（1）若，求证：命题为真命题．
（2）若命题为真命题，求的所有值．
2018届高三期中学业质量监测试题
数学（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
在△ABC中，，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC的延长线于点E．
求证：△ABD∽△AEB．
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知变换把直角坐标平面上的点，分别变换成点，
，求变换对应的矩阵．
高三数学试题（附加）第1页（共2页）
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知直线与圆相切，求的值．
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知正数满足，求的最小值．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．
某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，他
决定逐个（不重复）进行尝试．
（1）求手机被锁定的概率；
（2）设第次输入后能成功开机，求的分布列和数学期望．
23．（本小题满分10分）
设，在集合的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较
大元素相加，和记为，较小元素之和记为．
（1）当时，求的值；
（2）求证：对任意的，为定值．
2018届高三期中学业质量监测试题（数学）
参考答案与评分建议
2017．11
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．已知集合，，则▲．
【答案】
2．复数（是虚数单位）的实部为▲．
【答案】2
3.
函数的定义域为▲．
【答案】
4.某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，
A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．
为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法
从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应
抽取▲名血型为AB的学生．
【答案】6
5.
右图是一个算法流程图，则输出的的值为▲．
【答案】3
6.抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为▲．
【答案】
7.
已知，，则的取值集合为▲．
【答案】
在平行四边形中，，，，则的值为▲．
【答案】5
设等差数列的前项和为．若，且，，成等差数列，则数列
的通项公式▲．
【答案】
在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆：外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为▲．
【答案】4
已知函数．设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点
，记为函数的导数，则的值为▲．
【答案】
12.
已知函数与的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线
段ABOCD，不含A（0，1），B（1，1），O（0，0），C（-1，-1），D（0，-1）五个点，
则满足题意的函数的一个解析式为▲．
【答案】
（）
13.
不等式的解集为▲．
【答案】
14．在锐角三角形ABC中，的最小值为▲．
【答案】25
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
证明：（1）在三棱柱中，，……
2分
又平面，平面，
所以平面．……
5分
（2）在直三棱柱中，平面，
又平面，所以．……
7分
因为，所以．
又因为点为棱的中点，所以．……
9分
又，平面，
所以平面．……
12分
又平面，
所以平面平面．……
14分
16．（本小题满分14分）
设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量，，
且．
（1）求A的大小；
（2）若，求的值．
解：（1）因为，所以，即．……
2分
由正弦定理得，，
所以．……
4分
在△ABC中，，，所以．
若，则，矛盾．
若，则．
在△ABC中，，所以．……
7分
（2）由（1）知，，所以．
因为，所以．
解得（负值已舍）．……
9分
因为，所以或．
在△ABC中，又，故，所以．
因为，所以．……
11分
从而
．……
14分
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆
和轴正半轴分别交于点，．
（1）若，求直线的斜率；
（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值．
解：（1）依题意，椭圆的左顶点，
设直线的斜率为，点的横坐标为，
则直线的方程为．①……
2分
又椭圆：，②
由①②得，，
则，从而．……
5分
因为，所以．
所以，解得（负值已舍）．……
8分
（2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③
由②③得，．……
10分
从而……
12分
，即证．……
14分
18．（本小题满分16分）
将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．
（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面
半径；
（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．
解：（1）设圆锥的母线长及底面半径分别为，
则……
4分
解得……
6分
（2）设被完全覆盖的长方体底面边长为，宽为，高为，
则
解得……
8分
则长方体的体积：
，……
10分
所以．令得，或（舍去）．
列表：……
12分
所以，当时，．……
14分
答：（1）圆锥的母线长及底面半径分别为分米，分米．
（2）长方体体积的最大值为立方分米．……
16分
19．（本小题满分16分）
对于给定的正整数，如果各项均为正数的数列满足：对任意正整数，
总成立，那么称是“数列”．
（1）若是各项均为正数的等比数列，判断是否为“数列”，并说明理由；
（2）若既是“数列”，又是“数列”，求证：是等比数列．
解：（1）是“数列”，理由如下：
因为是各项均为正数的等比数列，不妨设公比为．……
2分
当时，有……
4分
．
所以是“数列”．……
6分
（2）因为既是“数列”，又是“数列”，
所以，，①
，．②……
8分
由①得，，，③
……
10分
，．④
……
12分
③④②得，，．
因为数列各项均为正数，所以，．……
14分
所以数列从第3项起成等比数列，不妨设公比为．
①中，令得，，所以．
①中，令得，，所以．
所以数列是公比为的等比数列．……
16分
20.
（本小题满分16分）
设命题：对任意的，恒成立，其中．
（1）若，求证：命题为真命题．
（2）若命题为真命题，求的所有值．
解：（1）当时，命题：对任意的，恒成立．
①记，．
则，所以为上的单调增函数．
所以，即任意的，．……
3分
②记，．
则，故为上的单调增函数．
所以，即任意的，．
所以，命题为真命题．……
6分
（2）若命题为真命题，则当时，，所以．……
8分
此时，对任意的，恒成立．（）
若，记，．
则在上有唯一解，记为．
当时，，所以为上的单调减函数．
故，，即，与（）矛盾，舍．……12分
若，记，．
则在上有唯一解，记为．
当时，，所以为上的单调减函数．
故，，即，与（）矛盾，舍．
从而，所以，的值均唯一，分别为1，0．……
16分
数学（附加题）
2017．11
21．【选做题】
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
在△ABC中，，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC的延长线于点E．
求证：△ABD∽△AEB．
证明：因为，
所以．
又⊙O中，，
所以．……6分
又，
所以△ABD∽△AEB．……
10分
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知变换把直角坐标平面上的点，分别变换成点，
，求变换对应的矩阵．
解：设矩阵，则，且．……
2分
所以且……
6分
解得所以矩阵．……
10分
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知直线与圆相切，求的值．
解：以极点为坐标原点，极轴为轴，建立平面直角坐标系，
则将直线化为普通方程：，
即．……
3分
将圆化为普通方程：，
即．……
6分
因为直线与圆相切，所以，
解得．……
10分
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知正数满足，求的最小值．
解：由柯西不等式得，
，……
6分
当且仅当，即时取“”．
所以的最小值为．……
10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．
22．（本小题满分10分）
小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．
某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，
他决定逐个（不重复）进行尝试．
（1）求手机被锁定的概率；
（2）设第次输入后能成功开机，求的分布列和数学期望．
解：（1）设事件A：“手机被锁定”，
则．
答：手机被锁定的概率为．……
3分
（2）依题意，的所有可能值为1，2，3，4．
则，，
，，
所以的分布表为：
……
8分
所以（次）．……
10分
23．（本小题满分10分）
设，在集合的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较
大元素相加，和记为，较小元素之和记为．
（1）当时，求的值；
（2）求证：对任意的，为定值．
解：（1）当时，集合的所有元素个数为2的子集为：，，
，所以，．……
2分
（2）当时，依题意，
，
……
6分
．
则
所以．……
8分
又，所以．
从而．……
10分
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
开始
←
输出
结束
←
←
←
N
Y
（第5题）
x
y
O
A
B
C
D
1
-1
1
-1
（第12题）
A
B
C
A1
B1
C1
M
（第15题）
A
P
Q
x
y
O
l
M
N
（第17题）
（第18题）
甲
乙
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共2页，均为解答题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写
在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。
3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位
置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
A
B
C
E
D
（第21—A题）
O
开始
←
输出
结束
←
←
←
N
Y
（第5题）
x
y
O
A
B
C
D
1
-1
1
-1
（第12题）
A
B
C
A1
B1
C1
M
（第15题）
A
P
Q
x
y
O
l
M
N
（第17题）
甲
乙
甲
lx
rx
zyx
乙
x
yx
zyx
yx
0
↗
极大值
↘
A
B
C
E
D
（第21—A题）
O
1
2
3
4
数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，则▲．
2．复数（是虚数单位）的实部为▲．
3.
函数的定义域为▲．
4.某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，
A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．
为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法
从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽
取▲名血型为AB的学生．
5.
右图是一个算法流程图，则输出的的值为▲．
高三数学试题第1页（共4页）
6.抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为▲．
7.
已知，，则的取值集合为▲．
8.
在平行四边形中，，，，则的值为▲．
设等差数列的前项和为．若，且，，成等差数列，则数列
的通项公式▲．
在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆：外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为▲．
已知函数．设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点
，记为函数的导数，则的值为▲．
12.
已知函数与的图象关于原点对称，且它们的图象
拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD，不含A（0，1），
B（1，1），O（0，0），C（-1，-1），D（0，-1）五个点．
则满足题意的函数的一个解析式为▲．
13.
不等式的解集为▲．
14．在锐角三角形ABC中，的最小值为▲．
高三数学试题第2页（共4页）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
16．（本小题满分14分）
设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量，，
且．
（1）求A的大小；
（2）若，求的值．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆
和轴正半轴分别交于点，．
（1）若，求直线的斜率；
（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值．
高三数学试题第3页（共4页）
18．（本小题满分16分）
将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．
（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面
半径；
（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．
19．（本小题满分16分）
对于给定的正整数，如果各项均为正数的数列满足：对任意正整数，
总成立，那么称是“数列”．
（1）若是各项均为正数的等比数列，判断是否为“数列”，并说明理由；
（2）若既是“数列”，又是“数列”，求证：是等比数列．
20.
（本小题满分16分）
设命题：对任意的，恒成立，其中．
（1）若，求证：命题为真命题．
（2）若命题为真命题，求的所有值．
2018届高三期中学业质量监测试题
数学（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
在△ABC中，，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC的延长线于点E．
求证：△ABD∽△AEB．
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知变换把直角坐标平面上的点，分别变换成点，
，求变换对应的矩阵．
高三数学试题（附加）第1页（共2页）
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知直线与圆相切，求的值．
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知正数满足，求的最小值．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．
某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，他
决定逐个（不重复）进行尝试．
（1）求手机被锁定的概率；
（2）设第次输入后能成功开机，求的分布列和数学期望．
23．（本小题满分10分）
设，在集合的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较
大元素相加，和记为，较小元素之和记为．
（1）当时，求的值；
（2）求证：对任意的，为定值．
2018届高三期中学业质量监测试题（数学）
参考答案与评分建议
2017．11
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．已知集合，，则▲．
【答案】
2．复数（是虚数单位）的实部为▲．
【答案】2
3.
函数的定义域为▲．
【答案】
4.某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，
A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．
为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法
从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应
抽取▲名血型为AB的学生．
【答案】6
5.
右图是一个算法流程图，则输出的的值为▲．
【答案】3
6.抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为▲．
【答案】
7.
已知，，则的取值集合为▲．
【答案】
在平行四边形中，，，，则的值为▲．
【答案】5
设等差数列的前项和为．若，且，，成等差数列，则数列
的通项公式▲．
【答案】
在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆：外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为▲．
【答案】4
已知函数．设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点
，记为函数的导数，则的值为▲．
【答案】
12.
已知函数与的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线
段ABOCD，不含A（0，1），B（1，1），O（0，0），C（-1，-1），D（0，-1）五个点，
则满足题意的函数的一个解析式为▲．
【答案】
（）
13.
不等式的解集为▲．
【答案】
14．在锐角三角形ABC中，的最小值为▲．
【答案】25
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
证明：（1）在三棱柱中，，……
2分
又平面，平面，
所以平面．……
5分
（2）在直三棱柱中，平面，
又平面，所以．……
7分
因为，所以．
又因为点为棱的中点，所以．……
9分
又，平面，
所以平面．……
12分
又平面，
所以平面平面．……
14分
16．（本小题满分14分）
设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量，，
且．
（1）求A的大小；
（2）若，求的值．
解：（1）因为，所以，即．……
2分
由正弦定理得，，
所以．……
4分
在△ABC中，，，所以．
若，则，矛盾．
若，则．
在△ABC中，，所以．……
7分
（2）由（1）知，，所以．
因为，所以．
解得（负值已舍）．……
9分
因为，所以或．
在△ABC中，又，故，所以．
因为，所以．……
11分
从而
．……
14分
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆
和轴正半轴分别交于点，．
（1）若，求直线的斜率；
（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值．
解：（1）依题意，椭圆的左顶点，
设直线的斜率为，点的横坐标为，
则直线的方程为．①……
2分
又椭圆：，②
由①②得，，
则，从而．……
5分
因为，所以．
所以，解得（负值已舍）．……
8分
（2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③
由②③得，．……
10分
从而……
12分
，即证．……
14分
18．（本小题满分16分）
将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．
（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面
半径；
（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．
解：（1）设圆锥的母线长及底面半径分别为，
则……
4分
解得……
6分
（2）设被完全覆盖的长方体底面边长为，宽为，高为，
则
解得……
8分
则长方体的体积：
，……
10分
所以．令得，或（舍去）．
列表：……
12分
所以，当时，．……
14分
答：（1）圆锥的母线长及底面半径分别为分米，分米．
（2）长方体体积的最大值为立方分米．……
16分
19．（本小题满分16分）
对于给定的正整数，如果各项均为正数的数列满足：对任意正整数，
总成立，那么称是“数列”．
（1）若是各项均为正数的等比数列，判断是否为“数列”，并说明理由；
（2）若既是“数列”，又是“数列”，求证：是等比数列．
解：（1）是“数列”，理由如下：
因为是各项均为正数的等比数列，不妨设公比为．……
2分
当时，有……
4分
．
所以是“数列”．……
6分
（2）因为既是“数列”，又是“数列”，
所以，，①
，．②……
8分
由①得，，，③
……
10分
，．④
……
12分
③④②得，，．
因为数列各项均为正数，所以，．……
14分
所以数列从第3项起成等比数列，不妨设公比为．
①中，令得，，所以．
①中，令得，，所以．
所以数列是公比为的等比数列．……
16分
20.
（本小题满分16分）
设命题：对任意的，恒成立，其中．
（1）若，求证：命题为真命题．
（2）若命题为真命题，求的所有值．
解：（1）当时，命题：对任意的，恒成立．
①记，．
则，所以为上的单调增函数．
所以，即任意的，．……
3分
②记，．
则，故为上的单调增函数．
所以，即任意的，．
所以，命题为真命题．……
6分
（2）若命题为真命题，则当时，，所以．……
8分
此时，对任意的，恒成立．（）
若，记，．
则在上有唯一解，记为．
当时，，所以为上的单调减函数．
故，，即，与（）矛盾，舍．……12分
若，记，．
则在上有唯一解，记为．
当时，，所以为上的单调减函数．
故，，即，与（）矛盾，舍．
从而，所以，的值均唯一，分别为1，0．……
16分
数学（附加题）
2017．11
21．【选做题】
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
在△ABC中，，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC的延长线于点E．
求证：△ABD∽△AEB．
证明：因为，
所以．
又⊙O中，，
所以．……6分
又，
所以△ABD∽△AEB．……
10分
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知变换把直角坐标平面上的点，分别变换成点，
，求变换对应的矩阵．
解：设矩阵，则，且．……
2分
所以且……
6分
解得所以矩阵．……
10分
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知直线与圆相切，求的值．
解：以极点为坐标原点，极轴为轴，建立平面直角坐标系，
则将直线化为普通方程：，
即．……
3分
将圆化为普通方程：，
即．……
6分
因为直线与圆相切，所以，
解得．……
10分
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知正数满足，求的最小值．
解：由柯西不等式得，
，……
6分
当且仅当，即时取“”．
所以的最小值为．……
10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．
22．（本小题满分10分）
小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．
某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，
他决定逐个（不重复）进行尝试．
（1）求手机被锁定的概率；
（2）设第次输入后能成功开机，求的分布列和数学期望．
解：（1）设事件A：“手机被锁定”，
则．
答：手机被锁定的概率为．……
3分
（2）依题意，的所有可能值为1，2，3，4．
则，，
，，
所以的分布表为：
……
8分
所以（次）．……
10分
23．（本小题满分10分）
设，在集合的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较
大元素相加，和记为，较小元素之和记为．
（1）当时，求的值；
（2）求证：对任意的，为定值．
解：（1）当时，集合的所有元素个数为2的子集为：，，
，所以，．……
2分
（2）当时，依题意，
，
……
6分
．
则
所以．……
8分
又，所以．
从而．……
10分
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
开始
←
输出
结束
←
←
←
N
Y
（第5题）
x
y
O
A
B
C
D
1
-1
1
-1
（第12题）
A
B
C
A1
B1
C1
M
（第15题）
A
P
Q
x
y
O
l
M
N
（第17题）
（第18题）
甲
乙
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共2页，均为解答题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写
在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。
3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位
置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
A
B
C
E
D
（第21—A题）
O
开始
←
输出
结束
←
←
←
N
Y
（第5题）
x
y
O
A
B
C
D
1
-1
1
-1
（第12题）
A
B
C
A1
B1
C1
M
（第15题）
A
P
Q
x
y
O
l
M
N
（第17题）
甲
乙
甲
lx
rx
zyx
乙
x
yx
zyx
yx
0
↗
极大值
↘
A
B
C
E
D
（第21—A题）
O
1
2
3
4
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