3.1.4
空间向量的直角坐标运算
课后训练
1．已知点B是点A(3,7，－4)在xOz平面上的射影，则||2＝( )
A．(9,0,16)
B．25
C．5
D．13
2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB中点M到点C的距离||＝( )
A．
B．
C．
D．
3．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A．
B．
C．4
D．8
4．已知a＝(cos
α，1，sin
α)，b＝(sin
α，1，cos
α)，则a＋b与a－b的夹角是( )
A．90°
B．60°
C．30°
D．0°
5．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，
6．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以＝a＝(2,1，－1)，＝b＝(1，－2,1)，＝c＝(1,1,1)为三条棱，则||＝__________.
7．已知三点P1(－x,1，－3)，P2(2，y，－1)，P3(－3,0，z)，若＝，则x＝__________，y＝__________，z＝__________.
8．已知点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，且＝a，＝b，则〈a，b〉＝__________.
9．设空间两个单位向量＝(m，n,0)，＝(0，n，p)与＝(1,1,1)的夹角都等于，求cos∠AOB.
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，问当点N位于AB何处时，MN⊥MC1
参考答案
1.
答案：B 由题意，得B(3,0，－4)，
∴||2＝32＋02＋(－4)2＝25.
2.
答案：C 由题意，得M(2,1.5,3)，＝(2,0.5,3)，
||＝.
3.
答案：A ∵，|b|＝3，
∴cos〈a，b〉＝，
sin〈a，b〉＝，
S＝|a||b|sin〈a，b〉＝.
4.
答案：A 因(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝cos2α＋12＋(sin
α)2－(sin2α＋12＋cos2α)＝0，
故a＋b与a－b的夹角是90°.
5.
答案：D a∥b
6.
答案： ∵＝a＋b＋c＝(2,1，－1)＋(1，－2,1)＋(1,1,1)＝(4,0,1)，
∴||＝.
7.
答案：6 由已知条件得，
(－3＋x,0－1，z＋3)＝(2＋3，y－0，－1－z)，
解得x＝6，，.
8.
答案：60° 由题中条件得
a＝(－1，－1,0)，b＝(－1,0，－1)．
故cos〈a，b〉＝
＝
＝，
所以〈a，b〉＝60°.
9.
答案：解：由题意得，
解得，
故cos∠AOB＝＝n2＝.
10.
答案：解：以A为坐标原点，棱AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，
则，C1(a，a，a)，N(x,0,0)．
＝，＝，
·＝xa－＝0，得x＝.
所以点N的坐标为，即N为AB的四等分点且靠近A点时，MN⊥MC1.1.1
命题与量词
课后训练
1．下列语句不是命题的是( )
A．一个正数不是质数就是合数
B．大角所对的边较大，小角所对的边较小
C．请把门关上
D．若x∈R，则x2＋x＋2＞0
2．下列语句是命题的是( )
A．|x＋a|
B．{0}∈N
C．元素与集合
D．真子集
3．命题“存在实数x，使x＋1＜0”可写成( )
A．若x是实数，则x＋1＜0
B．x∈R，x＋1＜0
C．x∈R，x＋1＜0
D．以上都不正确
4．对命题“一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数”改写错误的是( )
A．所有的一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
B．任意一个一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
C．任意一次函数f(x)＝ax＋b，f(x)是单调函数
D．有的一次函数f(x)不是单调函数
5．下列命题中的假命题是( )
A．x∈R，lg
x＝0
B．x∈R，tan
x＝1
C．x∈R，x3＞0
D．x∈R,2x＞0
6．下列语句是命题的是__________．
①地球上有四大洋；②－2∈N；③π∈R；④同垂直于一条直线的两个平面平行．
7．命题①奇函数的图象关于原点对称；②有些三角形是等腰三角形；③x∈R,2x＋1是奇数；④至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；⑤实数的平方大于零．其中是全称命题的是__________．
8．下列命题中，是真命题的为__________．
①5能整除15；②不存在实数x，使得x2－x＋2＜0；③对任意实数x，均有x－1＜x；④方程x2＋3x＋3＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为空集．
9．判断下列命题的真假．
(1)a∈R，函数y＝logax是单调函数；
(2)a∈{向量}，使a·b＝0.
10．求使命题为真命题的x的取值范围．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：B
3.
答案：B 由存在性命题的表示形式可知选项B正确．
4.
答案：D 由全称命题的表示形式可知选项D错误．
5.
答案：C 对于选项A，当x＝1时，lg
x＝0，为真命题；
对于选项B，当时，tan
x＝1，为真命题；
对于选项C，当x＜0时，x3＜0，为假命题；
对于选项D，由指数函数性质知，x∈R,2x＞0为真命题，故选C.
6.
答案：①②③④ 所给语句均能判断真假，故都是命题．
7.
答案：①③④ 根据全称命题的定义知，①③④是全称命题．
8.
答案：①②③⑤ 对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ＜0，故x2－x＋2＜0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ＜0，故方程x2＋3x＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，因分子恒为正，分母大于0，故商不可能小于0，即解集为空集，所以该命题是真命题．
9.
答案：分析：根据全称命题与存在性命题的真假法则判断．
解：(1)由于1∈R，当a＝1时，y＝logax无意义，因此命题“a∈R，函数y＝logax是单调函数”是假命题；
(2)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．
10.
答案：分析：要使命题p(x)：为真命题，就是要使x的取值满足，只需解不等式即可．
解：由得x(2x＋1)≥0且2x＋1≠0，
解得x≥0或，故x的取值范围为.2.3.2
双曲线的几何性质
课后训练
1．双曲线的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，那么它的离心率为( )
A．
B．
C．2
D．3
2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A．
B．
C．
D．
3．过点(2，－2)且与有公共渐近线的双曲线方程为( )
A．
B．
C．
D．
4．F1，F2是双曲线C的两个焦点，P是双曲线右支上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．
7．双曲线的渐近线方程为__________．
8．若双曲线的离心率为2，则k的值是__________．
9．根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．
(1)过点P，离心率；
(2)焦点在x轴上，F1，F2是双曲线的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，，且离心率为2.
10．如图所示，已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求双曲线的渐近线方程．
参考答案
1.
答案：B 因为双曲线的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，所以4b＝2a＋2c，即a＋c＝2b，再由a2＋b2＝c2即可求得离心率.
2.
答案：B 由方程组得a＝2，b＝2.
∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的标准方程为.
3.
答案：A 由题意可设双曲线方程为，又双曲线过点(2，－2)，代入即可求得k，从而求出双曲线方程为.
4.
答案：A 由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，故必有|F1F2|＝|PF2|，
即，从而得c2－2ac－a2＝0，
即e2－2e－1＝0，解之，得，
∵e＞1，∴.
5.
答案：D 双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)，一个顶点，一条渐近线3y－mx＝0，由题意知，.
6.
答案：(±4,0) ∵椭圆的焦点坐标为(±4,0)，
∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，
∴c＝4，，c2＝a2＋b2，∴a＝2，b2＝12，
∴双曲线方程为，
∴渐近线方程为，即.
7.
答案： 利用公式可得渐近线方程为.
8.
答案：－31 利用双曲线的定义及离心率公式即可求得k＝－31.
9.
答案：解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设为所求．由，得.①
由点P在双曲线上，得.②
又a2＋b2＝c2，由①②得a2＝1，.
若双曲线的焦点在y轴上，设为所求．同理有，，a2＋b2＝c2.解之，得(舍去)．故所求双曲线的标准方程为.
(2)设双曲线的标准方程为，因|F1F2|＝2c，而，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理，得(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos
60°)，∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
又∵，
∴|PF1|·|PF2|＝48.
∴3c2＝48，c2＝16，由此得a2＝4，b2＝12.
故所求双曲线的标准方程为.
10.
答案：分析：由于双曲线的渐近线方程为，故只需求出的值即可，可以通过已知解Rt△F1F2P求得．
解：解法一：设F2(c,0)(c＞0)，P(c，y0)代入方程得，
∴.在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴，即.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2.∴.
故所求双曲线的渐近线方程为.
解法二：∵在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2|PF2|.
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a.∴.
∴，c2＝3a2＝a2＋b2.∴2a2＝b2.
∴，
故所求双曲线的渐近线方程为.1.3.1
推出与充分条件、必要条件
课后训练
1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
3．直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的( )条件．
A．充分不必要
B．既不充分也不必要
C．必要不充分
D．充要
5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
6．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的__________条件．
8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件．
9．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
10．已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－2x＋m＝0，(1)
x2＋2mx＋m2－m－1＝0，(2)
求方程(1)、(2)的根都是整数的充要条件．
参考答案
1.
答案：B 由题意知甲乙丙丁，故命题丁是命题甲的必要不充分条件．
2.
答案：C
3.
答案：B 当k1＝k2时，直线l1，l2可能平行也可能重合；当l1∥l2时，k1，k2一定相等．故选B.
4.
答案：A
5.
答案：B 由m为平面α内一条直线，m⊥β，得α⊥β，必要性成立；由m为平面α内一条直线，α⊥β，不能推出m⊥β，充分性不成立．故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
6.
答案：C 因{an}是首项大于零的等比数列，故a1＜a2数列{an}是递增数列，数列{an}是递增数列a1＜a2，所以“a1＜a2”是数列{an}是递增数列的充要条件．
7.
答案：必要不充分
8.
答案：充分不必要 a＞0，c＜0b2－4ac＞0函数f(x)有两个零点；函数f(x)有两个零点b2－4ac＞0a＞0，c＜0，故“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的充分不必要条件．
9.
答案：分析：先化简集合，然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“BA”，最后利用数轴分析，得关于a的不等式解决问题．
解：p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}＝{x|x＞－1或x＜－3}，B＝{x||x|＜a}，∵p是q的必要不充分条件，∴BA.
当a≤0时，B＝ ，满足BA；
当a＞0时，B＝{x|－a＜x＜a}，要使BA，只需－a≥－1，此时0＜a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
10.
答案：分析：方程(1)(2)的根都是整数即方程(1)(2)有实数根且为整数，因此先求出方程(1)(2)有实数根的充要条件，得到m的取值范围，由m∈Z，再逐一验证．
解：方程(1)有实根Δ＝4－4m≥0，即m≤1，方程(2)有实根Δ＝(2m)2－4(m2－m－1)＝4m＋4≥0，即m≥－1，所以(1)(2)同时有实数根－1≤m≤1.
因为m∈Z，所以m＝－1,0,1.
当m＝－1时，方程(1)无整数根；
当m＝0时，方程(1)(2)都有整数根；
当m＝1时，方程(2)无整数根．
综上所述，方程(1)、(2)的根都是整数的充要条件是m＝0.3.2.4
二面角及其度量
课后训练
1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
A．
B．
C．
D．
2．AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
3．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( )
A．相等
B．互补
C．关系无法确定
D．相等或互补
4．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，，这时二面角B－AD－C的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则面APB和面CDP所成二面角的度数是( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
6．已知直线l的方向向量v＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u＝(－2，－1,1)，则l与α的夹角为__________．
7．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为__________．
8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为__________．
9．在三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC＝3，，求AC与平面PBC所成角的大小．
10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，求二面角A′－FD－C的余弦值．
参考答案
1.
答案：C 设BC中点为D，则AD⊥平面BB1C1C，故∠AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角．在Rt△ADC1中，AD＝AB，AC1＝AB，
所以sin∠AC1D＝＝.
2.
答案：C 设AC和平面α所成的角为θ，则cos
60°＝cos
θcos
45°，故cos
θ＝，所以θ＝45°.
3.
答案：D
4.
答案：C ∠BDC就是二面角B－AD－C的平面角．
∵cos∠BDC＝，∴∠BDC＝60°.
5.
答案：C ∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角．
6.
答案：30° cos〈v，u〉＝，
∴sin
θ＝(θ为l与α的夹角)．
7.
答案：45° 作CD⊥α于D，连DA，DB，DM，∠CAD＝30°，CD＝AC，CM＝AM＝AC，sin∠CMD＝，故∠CMD＝45°.
8.
答案：90° 设BC中点为D，则PD⊥BC，AD⊥BC，∠PDA就是二面角P－BC－A的平面角．
9.
答案：分析：本题可以建立适当坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求．
解：由题意PA＝PB＝PC，点P在△ABC内的射影为△ABC的外心，即点P在△ABC内的射影O到点A，B，C的距离相等，又面PAC⊥面ABC，∴O为AC的中点，由直角三角形中的性质可知：∠ABC＝90°，以O为原点，，，为轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，)，B(，0,0)，C(0，，0)，A(0，，0)．
设n＝(x，y，z)为面PBC的法向量，可求得n＝(，，2)，＝(0，，0)．
设AC与平面PBC所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈n，〉|＝，∴θ＝30°.
∴AC与平面PBC所成角的大小为30°.
10.
答案：分析：本题可以建立适当坐标系，利用平面的法向量来求；也可作出二面角的平面角来求．
解：解法一：取线段EF的中点H，连A′H，
因为A′E＝A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF.
又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H平面A′EF，
所以A′H⊥平面BEF.
如图建立空间直角坐标系Axyz，
则A′(2,2,)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)．
故＝(－2,2,)，＝(6,0,0)．
设n＝(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，
所以
取，则n＝(0，－2，)．
又平面BEF的一个法向量m＝(0,0,1)，
故cos〈n，m〉＝.
所以二面角A′－DF－C的余弦值为.
解法二：取线段EF的中点H，AF的中点G，连A′G，A′H，GH.
因为A′E＝A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF.
又因为平面A′EF⊥平面BEF，
所以A′H⊥平面BEF.又AF平面BEF，
故A′H⊥AF.又因为G，H是AF，EF的中点，
易知GH∥AB，
所以GH⊥AF，于是AF⊥面A′GH，
所以∠A′GH为二面角A′－DF－C的平面角．
在Rt△A′GH中，A′H＝，GH＝2，A′G＝，
所以cos∠A′GH＝，
故二面角A′－DF－C的余弦值为.2.4.1
抛物线的标准方程
课后训练
1．抛物线y2＝12x的焦点坐标是( )
A．(12,0)
B．(6,0)
C．(3,0)
D．(0,3)
2．经过点(2，－3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是( )
A．
B．
C．
D．y2＝4x
3．抛物线的准线方程是( )
A．
B．
C．
D．
4．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为( )
A．
B．
C．(x－1)2＋y2＝1
D．x2＋(y－1)2＝1
5．设点P是抛物线y2＝16x上的点，它到焦点的距离h＝10，则它到y轴的距离d等于( )
A．3
B．6
C．9
D．12
6．抛物线x＝2y2的焦点坐标是__________．
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
8．抛物线x－4y2＝0的准线方程是__________．
9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，求该抛物线的方程及其准线方程．
10．如图，已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F是抛物线的焦点，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：
(1)y1y2＝－p2，；
(2)(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)为定值．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：B
3.
答案：D
4.
答案：C
5.
答案：B 设点P到抛物线准线的距离为l.由抛物线y2＝16x知.由抛物线定义知l＝h，又，故.
6.
答案：
7.
答案：y2＝8x
8.
答案：
9.
答案：分析：用“设而不求”和“点差法”即可解决．
解：解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为，与y2＝2px联立，得y2－2py－p2＝0，∴y1＋y2＝2p.由题意知y1＋y2＝4，∴p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得y1＋y2＝4，y12＝2px1，y22＝2px2，两式相减，得，
∴p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
10.
答案：分析：设出直线AB的方程并与抛物线方程联立，借助于一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解．
解：(1)∵焦点，
当k存在时，设直线AB的方程为，
由消去x得ky2－2py－kp2＝0.
由一元二次方程根与系数的关系得
y1y2＝－p2，.
又由，∴，
∴
＝
＝
＝.
当k不存在时，直线AB的方程为，
则y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2.
.
综上，y1y2＝－p2，.
(2)当k存在时，由抛物线的定义，得|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.①
又∵x1＋x2＝＋p，代入①得
.
当k不存在，即时，A，B，.
综上，|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)由(1)、(2)，得x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，
∴.
故为定值.3.1.1
空间向量的线性运算
课后训练
1．已知λ∈R，a为非零向量，则下列结论正确的是( )
A．λa与a同向
B．|λa|＝λ|a|
C．λa可能是0
D．|λa|＝|λ|a
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有( )
①
②
③
④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，M为平面BB′C′C的中心，N为直线CC′的中点，则( )
A．’
B．
C．
D．
4．已知空间四边形ABCD，连AC，BD，设M是BC的中点，G为CD上一点，则等于( )
A．
B．
C．
D．
5．已知点G是正方形ABCD的中心，P为正方形ABCD所在平面外的一点，则等于( )
A．
B．
C．
D．
6．化简：(－)－(－)＝__________.
7．化简：__________.
8．在平行六面体ABCD－EFGH中，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝__________.
9．已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体，AA′的中点为E，点F为D′C′上一点，且.
(1)化简：＋＋.
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：D
3.
答案：C
4.
答案：A
5.
答案：D
6.
答案：0
7.
答案：
8.
答案： 因为＝＋＋，
所以＝＋＋＝x(＋)＋y(＋)＋z(＋)，
所以＝(x＋y)＋(x＋z)＋(y＋z)，
所以x＋y＝x＋z＝y＋z＝1，
所以x＋y＋z＝.
9.
答案：解：(1)由AA′的中点为E，得＝，又＝，D′F＝D′C′，
因此＝＝.
从而＋＋＝＋＋＝.
(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝(－＋)＋(＋)＝＋＋，
因此，β＝，γ＝.3.1.2
空间向量的基本定理
课后训练
1．AM是△ABC中BC边上的中线，设＝e1，＝e2，则为( )
A．e1＋e2
B．
C．e1－e2
D．
2．设O，A，B，C为空间四边形的四个顶点，点M，N分别是边OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为( )
A．
B．
C．
D．
3．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，且有6＝＋2＋3，则( )
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C共面
D．O，P，A，B，C五点共面
4．如果a，b，c共面，b，c，d也共面，则下列说法正确的是( )
A．若b与c不共线，则a，b，c，d共面
B．若b与c共线，则a，b，c，d共面
C．当且仅当c＝0时，a，b，c，d共面
D．若b与c不共线，则a，b，c，d不共面
5．三射线AB，BC，BB1不共面，若四边形BB1A1A和四边形BB1C1C的对角线均互相平分，且＝x＋2y＋3z，那么x＋y＋z的值为( )
A．1
B．
C．
D．
6．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k＝__________.
7．已知D，E，F分别是△ABC中BC，CA，AB上的点，且＝，＝，＝，设＝a，＝b，则＝__________.
8．已知G是△ABC的重心，点O是空间任意一点，若＋＋＝λ，则λ＝__________.
9．已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量＝k，＝k，＝k，＝k，求证：
(1)点E，F，G，H共面；
(2)AB∥平面EG.
10．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：A
3.
答案：B 6＝＋2＋3，得－＝2(－)＋3(－)，
＝2＋3，∴，，共面．又它们有同一公共点P，∴P，A，B，C四点共面．
4.
答案：A
5.
答案：D 由题意知AB，BC，BB1不共面，四边形BB1C1C为平行四边形，＝，
∴{，，}为一个基底．又由向量加法＝＋＋，∴x＝2y＝3z＝1.
∴x＝1，，，∴x＋y＋z＝.
6.
答案：±1 ke1＋e2与e1＋ke2共线，则存在唯一的实数x，使ke1＋e2＝x(e1＋ke2)，.
7.
答案：
8.
答案：3
9.
答案：分析：(1)要证E，F，G，H四点共面，可先证向量，，共面，即只需证可以用，线性表示；
(2)可证明与平面EG中的向量或，之一共线．
证明：(1)∵＋＝，
∴k＋k＝k.
而＝k，＝k，
∴＋k＝.
又＋＝，∴＝k.
同理：＝k，＝k.
∵ABCD是平行四边形，
∴＝＋，
∴，
即＝＋.又它们有同一公共点E，
∴点E，F，G，H共面．
(2)由(1)知＝k，
∴AB∥EF.又AB平面EG，
∴AB与平面EG平行，即AB∥平面EG.
10.
答案：分析：结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用，，表示出来，即可求出x，y，z的值．
解：解法一：如图所示，取PC的中点E，连NE，则＝－.
∵＝
＝＝－，
＝－＝－＝，
∴＝－－.
连AC，则
＝－＝＋－，
∴＝－－(＋－)
＝－－＋，
∴，，.
解法二：如图所示，在PD上取一点F，使F分所成比为2，连MF，则＝＋，
而＝＝－，
＝－＝－＝＝(－)，
∴＝－－＋，
∴，，.
解法三：∵＝－＝－
＝(＋)－(＋)
＝－＋－(－＋＋)
＝－－＋，
∴，，.2.3.1
双曲线及其标准方程
课后训练
1．双曲线的方程为，则它的两焦点坐标是( )
A．(±2,0)
B．(±4,0)
C．(0，±2)
D．(0，±4)
2．方程表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1＜k＜1
B．k＞0
C．k≤0
D．k＞1或k＜－1
3．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m的值为( )
A．1
B．1或3
C．1或3或－2
D．3
4．已知方程ax2－ay2＝b，且ab＜0，则它表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．椭圆
5．与双曲线共焦点，且过点的双曲线的标准方程为( )
A．
B．
C．
D．
6．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________________．
7．已知F是双曲线的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
8．已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上且满足，则△F1PF2的面积是__________．
9．已知双曲线的焦点为F1(0，－6)，F2(0,6)，且经过点(2，－5)．求该双曲线的标准方程．
10．已知双曲线经过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．
参考答案
1.
答案：B 由c2＝a2＋b2＝10＋6＝16，焦点又在x轴上，
∴两焦点坐标为(±4,0)．
2.
答案：A 因为方程表示双曲线，
所以有(1＋k)(1－k)＞0，解得－1＜k＜1.
3.
答案：A 由题意可知m＞0，于是焦点都在x轴上，故有，解得m＝1.
4.
答案：C 原方程可变形为，即.可知它表示焦点在y轴上的双曲线．
5.
答案：D 由题意知：c2＝16＋4＝20，设所求的双曲线方程为．则a2＋b2＝20，且，解得a2＝12，b2＝8.所以双曲线的标准方程为.
6.
答案： 令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解．即该圆与y轴无交点．令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，∴适合条件的双曲线a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，∴双曲线的标准方程为.
7.
答案：9 设右焦点为F1，依题意，
|PF|＝|PF1|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9
8.
答案：1 设P为左支上的点，F1为左焦点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
②－①2，得r1r2＝2.∴.
9.
答案：分析：由焦点坐标可知，焦点在y轴上，可设方程为(a＞0，b＞0)，又知c＝6，再把点代入即可求得．
解：设所求的双曲线方程为，则有解得
故所求的双曲线的标准方程为.
10.
答案：分析：此题由于不知道焦点在哪个轴上，所以需分两种情况来讨论，然后再把两点代入即可．此题还可以设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1.然后再把两点代入即可．
解：解法一：当焦点在x轴上时，设所求的双曲线的标准方程为．因为M(1,1)，N(－2,5)两点在双曲线上，所以解得当焦点在y轴上时，设双曲线方程为，同理，有解得舍去．
故所求的双曲线的标准方程为.
解法二：设所求的双曲线方程为Ax2＋By2＝1.
因为M(1,1)，N(－2,5)两点在双曲线上，代入上述方程有解得
故所求的双曲线的标准方程为.3.1.3
两个向量的数量积
课后训练
1．|a＋b|＝|a－b|的充要条件是( )
A．a＝0或b＝0
B．a∥b
C．a·b＝0
D．|a|＝|b|
2．下列式子中正确的是( )
A．|a|·a＝a
B．(a·b)2＝a2·b2
C．(a·b)c＝a(b·c)
D．|a·b|≤|a|·|b|
3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝( )
A．
B．
C．
D．0
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
5．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角是( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
6．|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，则a＋b＋c的模等于__________．
7．a≠c，b≠0，a·b＝b·c且d＝a－c，则〈b，d〉＝__________.
8．向量a，b之间的夹角为30°，|a|＝3，|b|＝4，求a·b，a2，b2，(a＋2b)·(a－b)．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：D
3.
答案：D ∵＝－，∴·＝·－·＝0，
∴〈，〉＝90°，故cos〈，〉＝0.
4.
答案：B ＝－，＝－，·＝＞0，∠DBC为锐角，同理可得∠BCD，∠BDC均为锐角．
5.
答案：C ∵c⊥a，∴c·a＝(a＋b)·a＝0，可得a·b＝－1，cos〈a，b〉＝，故向量a与b的夹角是120°.
6.
答案： 因|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)＝3，
故|a＋b＋c|＝.
7.
答案：90° ∵a·b＝b·c，∴(a－c)·b＝0，∴b⊥d.
8.
答案：分析：利用向量数量积的定义、性质及运算律．
解：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos
30°＝，
a2＝a·a＝|a|2＝9，
b2＝b·b＝|b|2＝16，
(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝9＋6－32＝－23
9.
答案：分析：选择{，，}为基底，先求·，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈，〉，最后确定〈，〉．
解：不妨设正方体棱长为1，＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
∵＝a－c，＝a＋b，
∴·＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1.
而||＝||＝，∴cos〈，〉＝.
又〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.
∴异面直线A1B与AC所成的角为.2.4.2
抛物线的简单几何性质
课后训练
1．抛物线y＝4x2的准线方程为( )
A．
B．
C．
D．
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4
B．－2
C．4或－4
D．12或－2
3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A．y＝12x2
B．y＝－36x2
C．y＝12x2或y＝－36x2
D．或
4．若抛物线的焦点为(1,0)，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x
B．y2＝2x
C．y2＝4x
D．无法确定
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A．
B．1
C．2
D．4
6．焦点在x轴的正半轴上，并且过点(2，－4)的抛物线的标准方程为__________．
7．若抛物线y2＝4x上一点到焦点的距离为5，则这点的坐标为__________．
8．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为__________．
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
10．已知点A(2,1)和抛物线C：y2＝x，F为抛物线的焦点，P是C上任意一点．
(1)求的最小值；
(2)点P到直线x＋2y＋4＝0的距离的最小值．
参考答案
1.
答案：D 由题意知，所以.准线方程为.
2.
答案：C 设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，
由定义知点P到准线的距离为4，
故＋2＝4，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为x2＝－8y，代入点P的坐标得m＝±4.
3.
答案：D 分两类a＞0，a＜0，可得，.
4.
答案：C ∵焦点(1,0)在x轴的正半轴上，∴抛物线的标准方程为y2＝4x.故选C.
5.
答案：C 圆x2＋y2－6x－7＝0的圆心坐标为(3,0)，半径为4.y2＝2px(p＞0)的准线方程为，
∴，∴p＝2.故选C.
6.
答案：y2＝8x 设标准方程为y2＝2px.由于过点(2，－4)，
∴(－4)2＝4p.
∴p＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝8x.
7.
答案：(4,4)或(4，－4) 设此点坐标为(x0，y0)，根据题意，可得x0＋1＝5，从而求出x0，y0的值．
8.
答案： ，则，
∴，解得.
∴，因此点B到该抛物线的准线的距离为.
9.
答案：分析：由题意可设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，再由抛物线的定义可得．
解：设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，则焦点，由题意可得解之，得或
故所求的抛物线方程为x2＝－8y，m的值为.
10.
答案：分析：利用抛物线的定义及平面几何知识可解决此题．
解：(1)设点P到准线的距离为d，则|AP|＋|PF|＝|AP|＋d，当PA垂直于准线时，|PA|＋d最小，最小值为.
(2)设点P的坐标为(t2，t)，则点P到直线x＋2y＋4＝0的距离，
故当t＝－1时，.2.1
曲线与方程
课后训练
1．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D．(2x＋3)2＋4y2＝1
2．“点M在曲线y2＝8x上”是点M的坐标满足方程的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个不同的交点，则( )
A．m∈R
B．m∈(－∞，1)
C．m＝1
D．m∈(1，＋∞)
4．下列方程中表示相同曲线的一对方程是( )
A．与y＝x2
B．y＝x与
C．与
D．y＝x与x2－y2＝0
5．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是( )
A．y＝2x2
B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1
D．2y＝8x2＋1
6．平面内与定点(－1,2)和直线3x＋4y－5＝0的距离相等的点的轨迹是__________．
7．方程所表示的曲线是__________________．
8．(1)方程(x－1)2＋(x2＋y2－1)2＝0表示的图形为__________．
(2)方程(x－1)2·(x2＋y2－1)2＝0表示的图形为__________．
9．点A(3,0)为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．
10．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为，求m的值．
参考答案
1.
答案：C 设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)，∵动点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.
2.
答案：B 曲线y2＝8x，即，所以点M在上，则必在曲线y2＝8x上．
3.
答案：D 已知条件可转化为联立后的方程组有两个不同的解．
4.
答案：C 选项A，B中两个x的取值范围不同；选项D中后者为y＝±x与前者对应法则不同，这些都决定了它们是不同的曲线；而选项C中两函数定义域与对应法则都相同，是同一函数，故其图象相同．
5.
答案：C 设AP的中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，整理，得2y＝8x2－1.
6.
答案：直线 ∵(－1,2)在直线3x＋4y－5＝0上，
∴轨迹是过定点(1,2)且垂直于3x＋4y－5＝0的直线．
7.
答案：直线x＝1或直线x＋y－1＝0(x≥1) 由方程可得或即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.
8.
答案：(1)点(1,0) (2)直线x－1＝0或圆x2＋y2－1＝0
(1)∵(x－1)2＋(x2＋y2－1)2＝0，
∴
∴即方程的图形表示点(1,0)．
(2)∵(x－1)2·(x2＋y2－1)2＝0，
∴x－1＝0或x2＋y2－1＝0，即方程的图形表示直线x－1＝0或圆x2＋y2－1＝0.
9.
答案：分析：设出点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，由题意可得∴再代入圆的方程即可．
解：由题意设点M(x，y)，P(x0，y0)，则
∴又∵(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1，
∴.
10.
答案：分析：直线与曲线交于两点，可设出这两点的坐标，然后灵活应用根与系数的关系求解．
解：设直线x＋y－m＝0与曲线y＝x2相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，联立直线与曲线得将(2)代入(1)得x2＋x－m＝0，
所以
所以
＝
＝
＝，
所以，所以m的值为2.1.2.2“非”（否定）
课后训练
1．命题“2不是质数”的构成形式是( )
A．p∧q
B．p∨q
C．
D．以上答案都不正确
2．若命题“”与“p∧q”都是假命题，则( )
A．命题p，q都是真命题
B．命题p，q都是假命题
C．命题p是真命题，命题q是假命题
D．命题q是真命题，命题p是假命题
3．a，b不全为0是指( )
A．a，b全不为0
B．a，b中至多有一个为0
C．a，b中只有一个不为0
D．a，b中至少有一个为0
4．命题“菱形的对角线互相垂直”的否定是__________．
5．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是__________．
6．命题“所有人都晨练”的否定是__________．
7．已知命题p：“x∈R，”，命题p的否定为命题q，则命题q是“________”；命题q是________命题(填“真”或“假”)．
8．命题p：0不是自然数，命题是无理数，则在命题(1)“p∧q”；(2)“p∨q”；(3)“”；(4)“”中，真命题的序号是__________，假命题的序号是__________．
9．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)集合A是集合A∪B的子集；
(2)T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sin
x.
10．指出下列命题的结构形式以及构成它们的简单命题，并判断它们的真假：
(1)q：1－x2≤1；
(2)s：A(A∪B)．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：C
3.
答案：B
4.
答案：有些菱形的对角线不互相垂直
5.
答案：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
6.
答案：有的人不晨练
7.
答案：x∈R， 假 利用存在性命题的否定形式写出为：x∈R，.当x＞1时，，故知为假．
8.
答案：(2)(3) (1)(4) 先判断命题p，q的真假，可知p假q真；再利用含有逻辑联结词的命题的真假判断方法(真值表)进行判断，其中(2)(3)为真，(1)(4)为假．
9.
答案：分析：(1)利用命题的否定形式写出其否定，根据集合A∪B的定义可判断其真假；
(2)利用全称命题的否定形式写出其否定，再利用正弦函数的周期判断其真假．
解：它们的否定及真假如下：
(1)集合A不是集合A∪B的子集；(假)
(2)T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)≠sin
x．(假)
10.
答案：分析：可依据命题的几种结构形式(“p∨q”，“p∧q”，“p”)直接写出它们的结构形式以及构成它们的简单命题；然后根据真值表判断其真假．
解：它们的结构形式依次为：(1)p∨q，(2)pp.
构成它们的简单命题依次为：
(1)“1－x2＜1”和“1－x2＝1”．(2)A(A∪B)．
其真假依次为：(1)真；(2)假．2.2.2
椭圆的几何性质
课后训练
1．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )
A．
B．
C．
D．
3．过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
4．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则a的取值范围是( )
A．a＜0
B．－1＜a＜0
C．a＜1
D．无法确定
5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
6．如果椭圆的离心率为，则k＝__________.
7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为两段，则其离心率为__________．
8．直线x＋2y－2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点．则该椭圆的离心率等于__________．
9．已知椭圆过点，且离心率，求此椭圆的方程．
10．已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，求椭圆的方程．
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：A 由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2aa＝2.又，c＝1.故b2＝a2－c2＝4－1＝3.故选A.
3.
答案：C 在Rt△PF1F2中，设|PF1|＝m，由已知得，|PF2|＝2m，则.
4.
答案：B 方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以.
5.
答案：B 依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，
∴4b2＝a2＋2ac＋c2.
∵b2＝a2－c2，∴4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，
∴3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得或e＝－1(舍)．故选B.
6.
答案：4或 当焦点在x轴上，即k＞1时，b＝3，，
∴，
∴，解得k＝4.符合k＞1，∴k＝4；
当焦点在y轴上，即－8＜k＜1时，a＝3，，
∴，
∴，解得，符合－8＜k＜1，
∴.综上得k＝4或.
7.
答案： 由题意得，即，解得.
8.
答案： 由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴，y轴的交点分别为(2,0)，(0,1)，它们分别是椭圆的焦点和顶点，所以b＝1，c＝2，从而，.
9.
答案：分析：由椭圆的离心率可得a，c的关系，从而知道b，c的关系，再由点在椭圆上，代入方程即可，从而求得椭圆的标准方程．
解：由题意知，椭圆的离心率，
∴，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，
∴椭圆的方程为，
又点在椭圆上，∴，
∴c2＝1，∴椭圆的方程为.
10.
答案：分析：由离心率及a2＝b2＋c2可得a＝2b，由菱形面积为4，可得ab＝2，两式联立可求得a，b，从而得到椭圆的方程．
解：由，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.由题意可知，即ab＝2.
解方程组得
所以椭圆的方程为.2.2.1
椭圆及其标准方程
课后训练
1．椭圆的焦点坐标是( )
A．(±5,0)
B．(0，±5)
C．(0，±12)
D．(±12,0)
2．已知椭圆的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝( )
A．4
B．5
C．7
D．8
3．设F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则△PF1F2的周长为( )
A．10
B．12
C．16
D．不确定
4．已知椭圆的焦距为，椭圆上一点到两焦点的距离的和为8，则椭圆的标准方程为( )
A．
B．
C．
D．或
5．椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2
B．4
C．8
D．
6．设M是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点．若|MF2|＝4，则|MF1|＝__________.
7．已知椭圆的焦距|F1F2|＝6，AB是过焦点F1的弦，且△ABF2的周长为20，则该椭圆的标准方程为__________．
8．已知椭圆的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为____________．
9．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝1及圆B：(x－3)2＋y2＝81，动圆P与圆A外切，与圆B内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
10．已知椭圆上一点P，F1，F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2的面积．
参考答案
1.
答案：B 易知焦点在y轴上，a2＝169，b2＝144.
则.
2.
答案：D 因为焦点在y轴上，
所以
又焦距为4，所以m－2－10＋m＝4m＝8.
3.
答案：B
4.
答案：D ∵，∴.∵2a＝8，∴a＝4.又∵焦点不知在哪个轴上，∴标准方程有两个，故选D.
5.
答案：B 设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8，又因点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以.故选B.
6.
答案：6
7.
答案：或 由椭圆定义知4a＝20，
∴a＝5.而2c＝6，∴c＝3，∴b2＝52－32＝16.
∴椭圆的标准方程为或.
8.
答案：
∵点P(x0，y0)满足，
∴点P在椭圆内且不过原点，
∴|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＜2a.
又∵a2＝2，b2＝1，
∴c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
∴.
9.
答案：分析：利用椭圆定义先判断动圆圆心P的轨迹是椭圆，再求其方程．
解：设动圆的半径为r.
由所给圆的方程知：A(－3,0)，B(3,0)．
由题意可得，|PA|＝r＋1，|PB|＝9－r，
故|PA|＋|PB|＝10＞|AB|＝6，
由椭圆定义知动点P的轨迹是椭圆．
其中2a＝10,2c＝6，即a＝5，c＝3，所以b2＝16，
故动圆圆心P的轨迹方程为.
10.
答案：分析：计算三角形的面积有多种公式可供选择，其中与已知条件联系最密切的应为＝|PF1|·|PF2|·sin
θ，所以应围绕|PF1|·|PF2|进行计算．
解：如图，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，而在△F1PF2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
θ＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos
θ＝4c2，即4(a2－c2)＝2|PF1|·|PF2|(1＋cos
θ)．
∴|PF1||PF2|＝，
∴|PF1|·|PF2|.1.2.1“且”与“或”
课后训练
1．下列命题中不是“p且q”形式的命题是( )
A．函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象一定过(0,1)
B．3和－3是方程x2－9＝0的实数根
C．1不是质数且不是合数
D．正方形的四条边相等且四个角相等
2．下列命题中是“p∧q”形式的命题是( )
A．28是5的倍数或是7的倍数
B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根
C．函数y＝ax(a＞1)是增函数
D．函数y＝ln
x是减函数
3．下列说法与x2＋y2＝0含义相同的是( )
A．x＝0且y＝0
B．x＝0或y＝0
C．x≠0且y≠0
D．x≠0或y≠0
4．以下判断正确的是( )
A．命题“p∨q”是真命题时，命题p一定是真命题
B．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题
C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是真命题时，命题“p∨q”一定是真命题
5．如果命题“p∨q”是真命题，命题“p∧q”是假命题，那么( )
A．命题p，q都是假命题
B．命题p，q都是真命题
C．命题p，q有且只有一个是真命题
D．以上答案都不正确
6．命题“n∈R，n≤n”的构成形式是__________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
7．命题“所有正多边形都有一个内切圆和一个外接圆”的构成形式是__________，组成该命题的两个命题是____________________，____________________.
8．命题p：等腰三角形有两条边相等；q：等腰三角形有两个角相等．命题p，q构成的“且”命题是____________________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
9．已知c＞0且c≠1，设命题p：函数y＝x2＋cx＋1的图象与x轴有两个交点；q：当x＞1时，函数y＝logcx＞0恒成立．如果p∨q为假，求c的取值范围．
10．已知命题p：函数y＝x2＋mx＋1在区间(－1，＋∞)上是单调增函数；q：函数y＝4x2＋4(m－2)＋1的函数值恒大于零．若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．
参考答案
1.
答案：A
2.
答案：B 选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．
3.
答案：A 因两个非负数的和等于0，故每个加数都为0，即x2＝0且y2＝0，所以x＝0且y＝0.
4.
答案：D 利用真值表可以判断选项D正确．
5.
答案：C 因命题“p∨q”是真命题，故p，q中至少有一个是真命题，因命题“p∧q”是假命题，故p，q中至少有一个假命题，所以p，q中有且只有一个是真命题．
6.
答案：p∨q 真
7.
答案：p∧q 所有正多边形都有一个内切圆 所有正多边形都有一个外接圆
8.
答案：等腰三角形有两个角相等且有两条边相等 真
9.
分析：先由p，q为真，分别求出c的范围；再由p∨q为假知p，q都假；然后列出关于c的不等式组来解决．
解：若p为真，则Δ＝c2－4＞0(c＞0且c≠1)，
所以c＞2.
若q为真，则c＞1.
因为p∨q为假，所以p，q都为假，
当p为假时，0＜c≤2且c≠1，
当q为假时，0＜c＜1，
所以当p，q都为假时，0＜c＜1，即c的取值范围为(0,1)．
10.
答案：分析：先由p，q为真，分别求出m的范围；再由p∧q为假，p∨q为真知，命题p，q一真一假；然后分“p真q假”和“p假q真”两种情况列出关于m的不等式组来解决．
解：若p为真，则，所以m≥2；
若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16＜0，解得1＜m＜3，
因为p∧q为假，p∨q为真，所以p，q一真一假．
当p真q假时，得到解得m≥3；
当p假q真时，得到解得1＜m＜2.
综上，m的取值范围是{m|m≥3或1＜m＜2}．2.5
直线与圆锥曲线
课后训练
1．若椭圆的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为( )
A．2
B．－2
C．
D．
2．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
4．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为，直线y＝x－1与双曲线交于M，N两点，且MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程为( )
A．
B．
C．
D．
5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
6．直线l过抛物线y2＝ax的焦点，并且垂直于x轴，若直线l被抛物线截得的线段长为4，则a＝__________.
7．已知椭圆C1：的右顶点A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1，则椭圆C1的方程为__________．
8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝__________.
9．在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长．
10．讨论直线y＝kx＋1与双曲线x2－y2＝1的公共点的个数．
参考答案
1.
答案：D 设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
又
①－②得
，
即，
所以.
2.
答案：C 依题设弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
又，，
∴x12－x22＝－2(y12－y22)，
此弦斜率，
∴此弦的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即.
代入x2＋2y2＝4，整理得3x2－6x＋1＝0，
∴，
∴
＝.
3.
答案：C 双曲线的一、三象限渐近线的斜率，
要使双曲线和直线y＝2x有交点，
只要满足即可，
∴，∴，∴.
4.
答案：D 由，得a2＋b2＝7.
∵焦点为，
∴可设双曲线方程为，①
并设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝x－1代入①并整理得
(7－2a2)x2＋2a2x－a2(8－a2)＝0，
∴，
由已知得，解得a2＝2，
得双曲线的方程为.
5.
答案：C 设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky2－8y＋16k＝0.当k＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，由Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k≤1.所以－1≤k≤1.
6.
答案：±4 抛物线y2＝ax的焦点为，所以直线l与抛物线的两个交点坐标是和，所以，解得a＝±4.
7.
答案： 由题意得
∴所求的椭圆方程为＋x2＝1.
8.
答案：8 直线AF的方程为：，
当x＝－2时，，∴．
当时，代入y2＝8x中，x＝6，
∴．
∴|PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.
9.
答案：分析：题目中涉及弦的中点，既可以考虑中点坐标公式，又可以考虑平方差公式．
解：当直线斜率不存在时，M不可能为弦的中点，
所以可以设直线方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程，消去y，得
(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，
显然1＋4k2≠0，Δ＝16(12k2＋4k＋3)＞0，
由，解得.
故所求弦所在的直线方程为x＋2y－4＝0.
由消去x，得y2－2y＝0，
∴y1＝0，y2＝2.
∴弦长
＝
＝.
10.
答案：分析：将y＝kx＋1代入双曲线方程得x的方程，讨论方程解的个数即可．
解：联立直线与双曲线方程消去y得(1－k2)x2－2kx－2＝0.
当1－k2＝0，即k＝±1时，解得x＝ 1；
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝8－4k2.
由Δ＞0得＜k＜，由Δ＝0得，
由Δ＜0得k＜或k＞.
所以当k∈(，－1)∪(－1,1)∪(1，)时，直线与双曲线有两个公共点；
当时，直线与双曲线有1个公共点；
当k＝±1时，直线与双曲线有1个公共点；
当k∈(－∞，)∪(，＋∞)时，直线与双曲线无公共点．3.2.5
距离
课后训练
1．在三棱锥P－ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝90°，PA＝PB＝PC＝13，则点P到平面ABC的距离为( )
A．12
B．6
C．3
D．
2．半径为R的球面上有A，B，C三点，其中A和B及A和C的球面距离都是πR，B和C的球面距离是πR，则球心O到平面ABC的距离是( )
A．
B．
C．
D．
3．已知A，B两点到平面α的距离分别为1和2，线段AB在α内的射影线段长为，则直线AB与平面α的夹角为( )
A．
B．
C．或
D．或
4．不共面的四个点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有( )
A．3个
B．4个
C．6个
D．7个
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为( )
A．
B．
C．
D．
6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1和C1D1的中点，则直线EF到平面B1D1D的距离为__________．
7．已知直角三角形ABC的直角顶点C在平面α内，AB∥α，AC，BC与α所成角分别为45°和30°，若AB＝6，则AB到α的距离为__________．
8．在三棱锥P－ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则点P到平面ABC的距离等于__________．
9．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱AB，CC1，D1A1上，且正方体的棱长为a，AE＝CF＝D1G＝b.
(1)求证：DB1⊥平面EFG；
(2)求B1到平面EFG的距离．
参考答案
1.
答案：A 设BC的中点为D，则由已知可证∠PDB＝∠PDC＝∠PDA，PD⊥平面ABC，PD就是所求距离，在Rt△ADC中，，.
2.
答案：C 由题知∠AOB＝∠AOC＝90°，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝R，在Rt△AOD中，高OH即为所求．
利用VA－OBC＝VO－ABC，得R2·R＝·OH，
∴.
3.
答案：C 按照A，B两点在平面α的同侧或异侧分别讨论．
4.
答案：D 不共面的四个点构成三棱锥．平行于各个面的中截面有4个，夹在一组对棱正中间且与它们平行的平面有3个．
5.
答案：C 利用＝可求得点A1到截面AB1D1的距离为.
6.
答案： 设B1D1中点为O，EF中点为K，则KO即为EF到平面B1D1D的距离，.
7.
答案： 设AB到α的距离为h，，，由勾股定理AB2＝AC2＋CB2可得()2＋(2h)2＝62，解得.
8.
答案： 利用VA－PBC＝VP－ABC可求得点P到平面ABC的距离为.
9.
答案：分析：点E在PA上，可将E到平面PBC的距离转化为A到平面PBC的距离问题，借助于面面垂直作出A到平面PBC的距离．
解：∵E是PA的中点，∴点E到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离的一半．
∵PC⊥平面ABCD，
∴平面PBC⊥平面ABCD，
故过点A在平面ABCD内作AH⊥BC，交BC于点H，得AH⊥平面PBC，
∴AH为点A到平面PBC的距离．又AH＝AB·sin
60°＝，则点E到平面PBC的距离为.
10.
答案：分析：正方体中建系较为方便，可建系求平面的法向量，用向量法证明线面垂直和求点面距离．
解：(1)证明：以D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，B1(a，a，a)，E(a，b,0)，F(0，a，b)，G(b,0，a)．
所以＝(a，a，a)，＝(－a，a－b，b)，＝(b，－a，a－b)．
所以·＝0，·＝0.
所以DB1⊥EF，DB1⊥FG.而EF∩FG＝F，
所以DB1⊥平面EFG.
(2)设△EFG的重心在点H处，
则.
而＝，所以点H在DB1上，即HB1⊥平面EFG，
＝－＝，
所以||＝(2a－b)，
所以点B1到平面EFG的距离为(2a－b)．3.2.2
平面的法向量与平面的向量表示
课后训练
1．设O(0,0,0)，M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若＝，则点B的坐标为( )
A．(－1,3，－3)
B．(9,1,1)
C．(1，－3,3)
D．(－9，－1，－1)
2．设l1的方向向量为a＝(2,4,5)，l2的方向向量为b＝(3，x,3y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是( )
A．6,15
B．6，
C．3,15
D．3，
3．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )
A．－3或1
B．3或－1
C．－3
D．1
4．已知直线l的方向向量为v＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－4,5,2)，则l与α的关系是( )
A．l⊥α
B．l∥α
C．lα
D．l∥α或lα
5．已知平面α过点A(1，－1,2)，法向量有n＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( )
A．(2,3,3)
B．(3，－3,4)
C．(－1,1,0)
D．(－2,0,1)
6．已知A，B，P三点共线，则对空间任一点O，＝α＋β，那么α＋β＝__________.
7．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝__________，z＝__________.
8．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则三角形ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是__________．
9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点，求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.
10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
参考答案
1.
答案：B 由＝得(5，－1,2)＝(x－4，y－2，z＋1)，可得点B(9,1,1)．
2.
答案：B a∥b，故x，y的值分别是6，.
3.
答案：A ∵|a|＝，
∴x＝±4.
又∵a·b＝2×2＋4×y＋2×x＝0，
∴y＝－1±2，
∴x＋y＝－3或1.
4.
答案：D 因为v·u＝0，所以l∥α或lα.
5.
答案：A 设M(x，y，z)为平面内一点，
∴·n＝0，即2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0.
又∵A项中坐标满足上式，∴选A.
6.
答案：1
7.
答案： 因为＝(－1,2－y，z－3)，∥v，故，故，.
8.
答案：一条线段或一个钝角三角形
9.
答案：证明：不妨设已知正方体的棱长为1，以A为坐标原点，，，′的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz.由已知条件得M，B(1,0,0)，C(1,1,0)，A′(0,0,1)，，B′(1,0,1)．所以＝，＝(1,1，－1)，＝(0,0,1)．因为·＝0，
所以MN⊥A′C.又·′＝0，所以MN⊥BB′.
10.
答案：解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，，，点M(1,1，m)，
则＝，＝，＝(1,1，m－1)．
∵D1M⊥平面EFB1，
∴D1M⊥且⊥，
∴·＝0，·＝0，
∴
∴.
故取B1B的中点M，能满足D1M⊥平面EFB1.1.3.2
命题的四种形式
课后训练
1．命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题是( )
A．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B都不是锐角
B．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
C．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B必有一钝角
D．在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，则∠C＝90°
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
3．下列说法正确的是( )
A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为假
B．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为真
C．一个命题的否命题为真，则它的逆否命题为真
D．一个命题的逆否命题为真，则它的逆命题为真
4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
5．下列命题中，是真命题的为( )
A．“若二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，则b2－4ac＞0”的逆否命题
B．“正方形的四条边相等”的逆命题
C．“若x2－4＝0，则x＝2”的否命题
D．“对顶角相等”的逆命题
6．命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是__________．
7．命题“若x，y是偶数，则x＋y是偶数(x∈Z，y∈Z)”的逆否命题是__________，它是__________命题(填“真”或“假”)．
8．有下列四个命题：
①如果xy＝1，则lg
x＋lg
y＝0；
②“如果，则α是第一象限角”的否命题；
③“如果b≤0，则方程x2－2bx＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④“如果A∪B＝B，则AB”的逆命题．
其中是真命题的有__________．
9．写出命题“正n(n≥3)边形的n个内角全相等”的否定和否命题．
10．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；
(2)若a＝2，则函数y＝ax是增函数．
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：B
3.
答案：B 由四种命题的关系可知，一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系，根据互为逆否的两个命题是等效的(同真同假)，可得选项B正确．
4.
答案：B
5.
答案：C 对于A项，该命题是假命题，故其逆否命题也为假；对于B项的逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”是假命题；对于C项的否命题为“若x2－4≠0，则x≠2”为真命题；对于D项的逆命题为“相等的角是对顶角”为假命题．
6.
答案：到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上
7.
答案：若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数(x∈Z，y∈Z) 真
8.
答案：③④ 命题①显然错误，例如：x＝－1，y＝－1时，lg
x＋lg
y无意义．对于②，其否命题为“如果，则α不是第一象限角”，因当α＝60°时，，故知其否命题为假．对于命题③，因当b≤0时，Δ＝4b2－4b≥0恒成立，故方程x2－2bx＋b＝0有实数根．由原命题与其逆否命题真假相同，知命题③的逆否命题是真命题．对于④，其逆命题为“若AB，则A∪B＝B”，显然为真．
9.
答案：分析：对该命题的结论加以否定得到其否定为：正n边形的n个内角不全相等．对该命题的结论和条件分别加以否定得到其否命题为：不是正n边形的n个内角不全相等．
解：命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．
10.
答案：分析：依据四种命题的定义分别写出逆命题、否命题、逆否命题．“0或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．
解：(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)
否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)
逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)
(2)逆命题：若函数y＝ax是增函数，则a＝2；(假)
否命题：若a≠2，则函数y＝ax不是增函数；(假)
逆否命题：若函数y＝ax不是增函数，则a≠2.(真)
