3.1.2
空间向量的基本定理
课后导练
基础达标
1.若对任意一点O，且=,则x+y=1是P、A、B三点共线的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案：C
2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM=x++,则x的值为…(
)
A.1
B.0
C.3
D.
答案：D
3.在以下命题中,不正确的个数是（
）
①已知A,B,C,D是空间任意四点,则=0
②|a|+|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
③若a与b共线,则a与b所在的直线的平行
④对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若,(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
4.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:{a,b,c}为空间的一个基底,则命题p是命题q的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
5.下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是(
)
A.
B.=0
C.
D.
答案：B
6.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E为矩形ABCＤ的对角线的交点，设=a,=b,=c,则=____________.
答案：a+b+c
7.设O为空间任意一点,a,b为不共线向量,=a,=b,=ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C三点共线,则m,n满足____________.
答案：m+n=1.
8.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？
(1)=++；
(2)OP=2OA-2OB-OC.
解：(1)=++.
∵,∴P与A、B、C共面.
(2)=.
∵2-2-1=-1,∴P与A、B、C不共面.
9.如右图，已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且=,=.
求证：四边形EFGH是梯形．
证明：∵E、H分别是AB、AD的中点,
∴=,=，
==-=(-)==()
=(-)=()=.
∴∥且||=||≠||.
∴四边形EFGH是梯形.
综合运用
10.如右图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c，则下列向量中与B1M相等的向量是（
）
A.a+b+c
B.a+b+c
C.a-b+c
D.a-b+c
答案：A
11.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底，则从以下各向量a,b,c,a+b,a-b,a+c,a-c，b+c,b-c中选取出三个向量，使它们构成空间的基底，请你写出三个基底：_____________________.
答案：{a,b,c}或{a+b,a+c,b+c}或{a-b,a-c,b-c}等.
12.如右图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M是边OA的中点，G是△ABC的重心，则用基向量、、表示向量的表达式为_______________.
答案：=++
13.已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面
(1)
(2).
解法一:(1)原式可变形为=+()+()=.
由共面向量定理的推论知P与A、B、M共面．
(2)原式可变形为=+-=.
由共面向量定理的推论可得
P位于平面ABM内的充要条件可写成.
而此题推得=,
∴P与A、B、M不共面．
解法二:（1）原式可变形为.
∵3+（-1）+（-1）=1,
∴B与P、A、M共面,
即P与A、B、M共面.
（2）=,
∵4+（-1）+（-1）=2≠1,
∴P与A、B、M不共面.
拓展研究
14.已知P是ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.求证：
(1)E、F、G、H四点共面;
(2)平面EFGH∥平面ABCD.
证明：(1)如右图,证存在实数λ，u使=+.
连结PE、PF、PG、PH并延长分别交AB、BC、CD、DA于点M、N、Q、R.则M、N、Q、R为ABCD各边的中点，顺次连结M、N、Q、R所得四边形为平行四边形.
=()+(),
又PE=,PF=,PG=,
PH=,
∴=()+()=().
又∵=()=,
∴.∴E、F、G、H四点共面.
(2)证EF、EG∥平面ABCD.
∵=,==()=,∴MQ∥EG,MN∥EF.
∴平面EFGH∥平面ABCD.2.2.2
椭圆的简单几何性质（一）
课后导练
基础达标
1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是（
）
A.(-1,0)、(1,0)
B.(-6,0)、(6,0)
C.(-，0)、(,0)
D.(0,-)、(0,)
答案：D
2.已知椭圆C:=1与椭圆=1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是（
）
A.=m2(m≠0)
B.=1
C.=1
D.以上都不可能
答案：A
3.曲线+=xy(
)
A.仅关于x轴对称
B.仅关于y轴对称
C.关于原点对称
D.以上都不对
答案：C
4.已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴，椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等，则（
）
A.a2=25,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9
答案：D
5.若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是_____________.
答案：=1
6.如右图，直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为______________________.
答案：
7.椭圆过（3，0）点，离心率e=，求椭圆的标准方程.
解：当椭圆的焦点在x轴上时，
∵a=3,=,
∴c=.
从而b2=a2-c2=9-6=3,
∴椭圆的方程为=1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
∵b=3,
=,
∴=.
∴a2=27.
∴椭圆的方程为=1.
∴所求椭圆的方程为=1或=1.
8.如右图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1、B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程.
分析：如题图，由椭圆中心在原点，焦点在x轴上知，椭圆方程的形式是+=1(a＞b＞0)，再根据题目条件列出关于a、b的方程组，求出a、b的值.
解：设椭圆方程为=1(a＞b＞0).
由椭圆的对称性知，|B1F|=|B2F|，又B1F⊥B2F，
因此△B1FB2为等腰直角三角形.
于是|OB2|=|OF|，即b=c.
又|FA|=,
即a-c=，且a2=b2+c2.
将以上三式联立，得方程组
解得a2=10，b2=5.
因此，所求椭圆的方程为=1.
综合运用
9.如右图，已知椭圆的对称轴是坐标轴，以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最短距离是，求此椭圆方程，并写出其中焦点在y轴上的椭圆的焦点坐标、离心率.
解析：由题设条件及椭圆定义知2a=4c；
且a-c=.
∴c=，a=2，b2=a2-c2=9.
当焦点在x轴上时，所求的方程为=1；
当焦点在y轴上时，所求的方程为=1.
对后一个方程，离心率e==，焦点坐标为（0，±）.
10.已知F1、F2是椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为e=，求此椭圆方程.
解析：由题意可得.
a=4，c=2，
∴b2=16-12=4.
所求椭圆方程为=1.
拓展探究
11.(2006全国Ⅰ，文20)
设P是椭圆+y2=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值.
解：依题意可设P（0，1），Q（x,y)则
|PQ|=
又因为Q在椭圆上，所以x2=a2(1-y2),
|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1
=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-)2-+1+a2
因为|y|≤1,a＞1,若a≥,则||≤1,
当y=时，|PQ|取最大值;
若1＜a＜,则当y=-1时
|PQ|取最大值2.3.2.1
直线的方向向量与直线的向量方程
课后导练
基础达标
1.已知A（1，1，0），=（4，0，2）,点B的坐标为（
）
A.（7，-1，4）
B.(9,1,4)
C.(3,1,1)
D.(1,-1,1)
答案：B
2.=(-1,2,3)，=（l,m,n），=（0，-1，4），则等于（
）
A.（-1+l，1+m,7+n）
B.(1-l,-1-m,-7-n)
C.(1-l,1-m,7-n)
D.(-1+l,-1+m,-7+n)
答案：B
3.若a=(0,1,-1)，b=(1,1,0)，且(a+λb)⊥a，则实数λ的值是（
）
A.-1
B.0
C.1
D.-2
答案：D
4.已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=2,则x的值为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：C
5.已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是（
）
A.1
B.
C.
D.
答案：D
6.若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（
）
A.x<-4
B.-4C.0D.x>4
答案：A
7.已知A（-1，2，3）,B(3,4,4),C(1,2,3)，若ABCD为平行四边形，则D点的坐标为（只求一个点）__________________.
答案：(5,4,4)
8.已知=(1,1,0),=(4,1,0),=(4,5,-1),则向量与的夹角为________.
答案：arccos,
9.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·取最小值时，求点Q的坐标.
解析:设OQ=λ=(λ,λ,2λ),
则=（1-λ,2-λ,3-2λ）,
=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴·=6λ2-6λ+10=6(λ-)2-.
当λ=时，有最小值-,
此时=（，，），
即Q（，，）.
10.已知四边形ABCD的顶点分别为A(3,-1,2)、B(1,2,-1)、C(-1,1,-3)、D(3,-5,3).
试证明：它是一个梯形.
解析:∵=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),
=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),
∴=(4,-6,6)=-2(-2,3,-3)=-2.
∴与共线.
又由=-2知||=2||，
∴||≠||,
∴AB与CD平行,且|AB|≠|CD|.
又∵=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),
=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2).
显然与不平行.∴四边形ABCD为梯形.
综合运用
11.若=(a,3,4a-1),=(2-3a,2a+1,3),M是线段AB的中点,则||的最小值是…（
）
A.
B.
C.6
D.
答案：D
12.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若a≠b,且记|a-b|=m,则a-b与x轴正方向的夹角的余弦为（
）
A.
B.
C.
D.±
答案：A
13.设正四棱锥S—P1P2P3P4的所有棱长均为a,并且满足顶点S在Oz轴上，底面在xOy平面上，棱P1P2，P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴，试求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标.
解析:由题意可知，正四棱锥S—P1P2P3P4，如右图所示，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴.P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上，∵P1P2=a.而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上.∴P1(,,0),P2(-,,0).
P3与P1关于原点O对称,P4与P2关于原点O对称.
∴P3(-,-,0),P4(,-,0).
又∵SP1=a,OP1=.
∴在Rt△SOP1中,SO=.
∴S(0,0,).
拓展研究
14.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点.
求证：EF⊥平面B1AC.
证明:设正方体的棱长为2,建立如右图所示的直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),
B1(2,2,2),E(2,2,1),
F(1,1,2).
∴=(1,1,2)-(2,2,1)
=(-1,-1,1),
=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),
=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0).
而·=（-1，-1，1）·（0，2，2）
=（-1）×0+(-1)×2+1×2=0.
·=（-1，-1，1）·（-2，2，0）=2-2+0=0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩AC=A.
∴EF⊥平面B1AC.3.2.2
平面的法向量与平面的向量表示
课后导练
基础达标
1.点A（a,0,0）,B(0,b,0),C(0,0,c),则面ABC的一个法向量为（
）
A.（bc,ac,ab）
B.(ac,ab,bc)
C.(bc,ab,ac)
D.(ab,ac,bc)
答案：A
2.若△ABC所在平面为α,Pα,
且∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,则点P在平面α内的射影是△ABC的（
）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
答案：D
3.已知：a,b是直线，α是平面，则下列命题中正确的是（
）
A.a⊥α,a⊥bb∥α
B.a⊥b,a∥αb⊥α
C.a∥b,b∥αa∥α
D.a⊥α,a∥bb⊥α
答案：D
4.A平面α,AB、AC是平面α的两条斜线，O是A在平面α内的射影，AO=4，OC=，BO⊥OC,∠OBA=30°.求C到AB的距离（
）
A.
B.4
C.
D.
答案：A
5.如右图，直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB，BB′的中点.
(1)求证：CE⊥A′D;
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
答案：(1)证明:设=a,
=b,CC′=c,
根据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,
∴=b+c,
=-c+b-a.
∴·=-c2+b2=0.
∴CE⊥A′D.
(2)解:=-a+c,
∴||=|a|,||=|a|.
·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a2|,
∴cos〈,〉=.
6.已知P是正方形ABCD平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
求证：直线MN∥平面PBC.
证明：=++
=-++=-++
=-(-)++(+)
=-+=-
=().
在BC上取点E，
使BE=BC,
于是=(-)=.
∴MN∥PE.
∴MN∥平面PBC.
7.如右图，已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB=OC，求证PM⊥QN.
证明：=(+),=(+),
∴=+=(++)=(-+)
=(+)，
=+
=(++)
=(-+)
=(+)
=(-).
∴·
=(+)·(-)
=(2-2)
=(||2-||2).
由||=||，
∴·=0,
即⊥.
即⊥.
8.如右图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，CD1和DC1相交于点O，连结AO.
求证：AO⊥CD1.
证明:∵=+
=++
=++(+)
=+++
=++,
=+=-+,
∴·
=（++）·（-+）
=-·-·-·+·+·+·=0，
∴⊥即AO⊥CD1.
9.如右图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1侧面的三条对角线AB1、BC1、CA1中，如果AB1⊥BC1，求证：AB1⊥CA1.
证明：取AB、A1B1的中点D、D1，连A1D、BD1,A1B1C1—ABC为正三棱柱
综合运用
10.如右图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,D为AB的中点.
(1)求证：CD⊥平面ABB1A1；
（2）过CD作A1B的垂面；（注：写出作图过程，并说明理由）.
答案：(1)证明：∵CD⊥AA1,
又CD⊥AB,AA1∩AB=A,
∴CD⊥平面ABB1A.
(2)解:如下图,作DE⊥A1B于E;连接CE,则CE⊥A1B(三垂线定理).
∴A1B⊥平面CDE,则平面CDE即为所求作的平面.
11.如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.
求证：A1C⊥平面AEF.
证明:∵CB⊥平面A1B,∴A1C在平面A1B上的射影为A1B,又A1B⊥AE,AE平面A1B.
∴A1C⊥AE.同理A1C⊥AF,∴A1C⊥平面AEF.
12.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于H.
求证：B1D⊥平面ABD.
证明:由直三棱柱的性质,得平面ABC⊥平面BB1C1C,又由已知,AB⊥BC.
∴AB⊥平面BB1C1C.
又B1D平面BB1C1C,
∴AB⊥B1D.由已知,BC=CD=DC1=B1C1.
在Rt△BCD与Rt△DC1B1中可求得∠BDC=∠B1DC1=45°.
则∠BDB1=90°,即B1D⊥BD.
又AB∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.
13.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=2，建立如下图所示的坐标系;
确定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P.
解:如下图,设BP=t,则CQ=
,DQ=2-,
∴B1(2,0,2),D1(0,2,2),P(2,t,0),Q(,2,0).
∴=(,-2,2),
=(-2,2-t,2),
∵B1Q⊥D1P等价于·=0，
即--2(2-t)+2×2=0,
即=t，解得t=1.
此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即当P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B1Q⊥D1P.
14.如下图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：AB1⊥CA1.
证明:如下图,将BC1平移,使其与A1C在一个平面内,所以延长B1C1至D,使C1D=B1C1,于是BC1DC为平行四边形,只需证明AB1⊥平面A1CD即可,为此,连A1D.
∵A1C1=B1C1=C1D,∴A1B1⊥A1D,
又AA1⊥A1D,∴A1D⊥面ABB1A1.
因此AB1⊥A1D,又AB1⊥DC,可得AB1⊥平面A1DC,∴AB1⊥CA1.
拓展研究
15.如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为,侧棱长为,E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF⊥平面AB1C.
证明：把正四棱柱如下图放置在坐标系中，则各点坐标为A(,0,0),C(0,
,0),B1(,,),D1(0,0,),E(,,),F(,,).
设平面AB1C的法向量为n1=(1,λ1,μ1),则n1应垂直和.
而=(-2,2,0),=(0,2,3),
∴n1·=-+λ1=0及n1·=λ1+μ1=0.
∴λ1=1,μ1=.
∴n1=(1,1,
).
再假设平面D1EF的法向量为n2=(1,λ2,μ2),则n2应垂直、,而=(,,
),=(,,),
∴n2·=+λ2μ2=0,
n2·=+λ2μ2=0.
∴λ2=1,μ2=.
∴n2=(1,1,).
由于n1·n2=1+1·=1+1-2=0,
∴n1⊥n2.因此平面D1EF⊥平面AB1C.2.4.2
抛物线的简单几何性质
课后导练
基础达标
1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p＞0)，则（
）
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
答案：C
2.抛物线x2=-4y的通径为AB，O为抛物线的顶点，则（
）
A.通径长为8，△AOB的面积为4
B.通径长为-4，△AOB的面积为2
C.通径长为4，△AOB的面积为4
D.通径长为4，△AOB的面积为2
答案：D
3.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于(
)
A.217
B.17
C.215
D.15
答案：C
4.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（
）
A.8p2
B.4p2
C.2p2
D.p2
答案：B
5.过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为(
)
A.8
B.16
C.32
D.64
答案：B
6.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是___________.
答案：-1≤k≤1
7.已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是__________________.
答案：3
8.2
8.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|=43，则焦点到AB的距离为_____________.
9.已知抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.
解法一:设直线上任意一点坐标为(x,y)，弦的两个端点为P1(x1,y1)、P2（x2,y2）.
∵P1、P2在抛物线上，
∴y12=6x1,y22=6x2.
两式相减得
（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2）.①
∵y1+y2=2,代入①得
k==3.
∴直线的方程为y-1=3(x-4),
即3x-y-11=0.
解法二:设所求方程为y-1=k(x-4).
由方程组
得ky2-6y-24k+6=0.
设弦的两端点P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、（x2,y2），
则y1+y2=.
∵Ｐ1Ｐ2的中点为(4，1),
∴=2.∴k=3.
∴所求直线方程为y-1=3(x-4)，
即3x-y-11=0.
10.设抛物线ｙ2＝２ｐｘ（ｐ＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且ＢＣ∥ｘ轴,证明直线AC经过原点O.
证明:∵抛物线的焦点为F（,0),
∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+，
代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.
设A（x1,y1)，B(x2,y2),则y1、y2是该方程的两根，
∴y1y2=-p2.
∵BC∥x轴，且点C在准线x=-上，
∴点C的坐标为（-,y2).
∴直线OC的斜率为
k=,
即k也是直线OA的斜率.
∴直线AC经过原点O.
综合运用
11.设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.
求证：直线AC经过原点O.
证明:∵抛物线的焦点为F（,0),
∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+，
代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.
设A（x1,y1)、B(x2,y2),则y1、y2是该方程的两根，
∴y1y2=-p2.
∵BC∥x轴，且点C在准线x=-上，
∴点C的坐标为（-,y2).
∴直线OC的斜率为k=,
即k也是直线OA的斜率.
∴直线AC经过原点O.
12.(2006上海高考，理20)
在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA·OB=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.
解：（1）设l:x=ty+3,代入抛物线y2=2x,消
去x得
y2-2ty-6=0.
设A（x1,y1）,B(x2,y2),
∴y1+y2=2t,y1·y2=-6,
·=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2
=t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2
=-6t2+3t·2t+9-6=3.
∴·=3,故为真命题.
(2)①中命题的逆命题是：若·=3，则直线l过点（3,0）是假命题.
设l:x=ty+b,代入抛物线
y2=2x,消去x得y2-2ty-2b=0.
设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1·y2=-2b.
∵·=x1x2+y1y2
=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-2bt2+bt·2t+b2-2b=b2-2b,
令b2-2b=3,得b=3或b=-1.
此时直线l过点（3，0）或（-1，0）.
故逆命题为假命题.
拓展探究
13.已知椭圆C1:=1,抛物线C2:(y-m)2=2px(p>0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(1)当AB⊥x轴时,求m,p的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
（2）若p=且抛物线C2的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.
答案：(1)解：当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称.
所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1,)或(1,-).
因为点A在抛物线上,所以=2p,即p=.
此时C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上.
（2）解法一:如右图，当C2的焦点在AB上时,由(1)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1).
由
消去y得（3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.①
设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
则x1、x2是方程①的两根,x1+x2=.
因为AB既是过C1的右焦点的弦,又是过C2的焦点的弦,
所以|AB|=(2-x1)+(2-x2)=4-(x1+x2),
且|AB|=(x1+)+(x2+)
=x1+x2+p=x1+x2+.
从而x1+x2+=4-(x1+x2），
所以x1+x2=,即.
解得k2=6,即k=±.
因为C2的焦点F′(,m)在直线y=k(x-1)上,
所以m=-k,即m=或m=-.
当m=时,直线AB的方程为y=-(x-1);
当m=-时,直线AB的方程为y=(x-1).
解法二:当C2的焦点在AB上时,由(1)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1).
由消去y得(kx-k-m)2=x.①
因为C2的焦点F′(,m)在y=k(x-1)上,
所以m=k(-1),即m=-k.
代入①有(kx)2=x,
即k2x2-(k2+2)x+=0.②
设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
则x1、x2是方程②的两根,x1+x2=.
由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.③
由于x1、x2也是方程③的两根,
所以x1+x2=.
从而,解得k2=6,
即k=±.
因为C2的焦点F′(,m)在直线y=k(x-1)上,
所以m=-k,
即m=或m=-.
当m=时,直线AB的方程为y=-(x-1);
当m=-时,直线AB的方程为y=(x-1).
解法三:设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2、y2),
因为AB既过C1的右焦点F(1,0),又过C2的焦点F′(,m),
所以|AB|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=(2-x1)+(2-x2),
即x1+x2=（4-p)=.①
由（1）知x1≠x2,于是直线AB的斜率
k==-3m,②
且直线AB的方程是y=-3m(x-1),
所以y1+y2=-3m(x1+x2-2)=.③
又因为,
所以3(x1+x2)+4(y1+y2)·=0.④
将①②③代入④得m2=,即m=或m=-.
当m=时,直线AB的方程为y=-(x-1);
当m=-时,直线AB的方程为y=(x-1).1.1.1
命题
课后导练
基础达标
1.下列语句中能作为命题的一句是（
）
A.3比5大
B.太阳和月亮
C.高一年级的学生
D.x2+y2=0
答案：A
2.下列语句中不是命题的是（
）
A.台湾是中国的
B.两军相遇勇者胜
C.上海是中国最大的城市
D.连结A、B两点
答案：D
3.若A、B是两个集合,则下列命题中的真命题是（
）
A.如果AB,那么A∩B=A
B.如果A∩B=A,那么(A)∩B=
C.如果AB,那么A∪B=A
D.如果A∪B=A,那么AB
答案：A
4.下列命题中是假命题的是(
)
A.若a·b=0，则a⊥b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若ac2>bc2,则a>b
D.a2+b2≥2ab
答案：B
5.设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①(a·b)c=(c·a)b;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·c)
a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中,是真命题的有…（
）
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
答案：D
6.命题“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”，条件p:
____________,结论q:
____________;是____________命题.（填“真”“假”）
答案：一元二次方程ax2-bx-c=0
有两个不相等的实根
假
7.设A、B为两个集合.下列四个命题：①AB对任意x∈A,有x∈B;②ABA∩B=;③ABAB;④AB存在x∈A，使得xB.
其中真命题的序号是____________.（把符合要求的命题的序号都填上）
答案：④
8.设U为全集,下面三个命题中真命题的序号为____________.
①若A∩B=,则(A)∪(B)=U
②若A∪B=U,则(A)∩(B)=
③若A∪B=,则A=B=
答案：①②③
9.将下列命题改写成“若p，则q”的形式,并判断其真假.
(1)正n边形（n≥3）的n个内角全相等；
(2)末位数字是0或5的整数，能被5整除;
(3)方程x2-x+1=0有两个实根；
（4）“6是12和24的公约数”.
答案：(1)若n(n≥3)边形是正多边形，则它的n个内角全相等，真命题.
（2）若一个整数的末位数字是0或5，则能被5整除，真命题.
（3）若一个方程是x2-x+1=0，则它有两个实数根，假命题.
（4）若6是12和24的约数，则是12和24的公约数，真命题.
10.设有两个命题:p:不等式|x|+|x-1|≥m的解集为R;q:函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.若这两个命题中有且只有一个真命题,求实数m的范围.
解析：若p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1，若q为真命题，则7-3m＞1，所以m＜2.若p真q假，则m∈.若p假q真，则1＜m＜2.
综上所述，1＜m＜2.
综合运用
11.（1）已知“ax2+bx+1=0有解”是真命题，求a、b满足的条件.
（2）已知“若x1”是假命题，求a满足的条件.
解析：(1)当a=0时，b≠0；
当a≠0时，b2-4a≥0.
(2)由题意知:当x1＜x2＜0时，＜.
所以a＜0.
12.把下列命题改写为“若p,则q”的形式；
（1）负数的平方是正数；
（2）菱形的两条对角线互相垂直；
（3）方程x2-2x+1=0的解是x=1.
解析：（1）若一个数是负数，则它的平方是正数.
（2）若一个四边形是菱形，则它的两条对角线互相垂直.
（3）若x2-2x+1=0，则x=1.
13.判断下列命题真假并说明理由:
（1）合数一定是偶数；
（2）设a·b>0,且a+b>0则a>0且b>0.
解析：（1）假命题，例如9是合数，但不是偶数.
（2）真命题，∵a·b＞0，
∴a、b同号，又a+b＞0，
∴a、b不能同负，故a、b只能同正.
拓展探究
14.某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是诚实的，也可能是虚伪的,现知道以下两项事实：
①这100人中，至少有1名是诚实的；
②其中任何两人中，至少有1名是虚伪的.
请判断有多少名诚实的？多少名虚伪的？
解析：既然参加会议的人至少有一名是诚实的，就让这名诚实都与其余99人中的每人组成一对，根据“任何两人中至少有一名是虚伪的”可以推知剩下的99人都是虚伪的.
结论：1名诚实的，99名虚伪的.2.3.1
双曲线及其标准方程
课后导练
基础达标
1.已知方程=1表示双曲线,则k的取值范围是(
)
A.-1B.k>0
C.k≥0
D.k>1或k<-1
答案：A
2.已知双曲线8kx2-ky2=2的一个焦点为(0,),则k的值等于(
)
A.-2
B.1
C.-1
D.
答案：C
3.已知双曲线=1上的一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（
）
A.3
B.6
C.9
D.12
答案：C
4.在方程mx2-my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（
）
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
答案：D
5.已知双曲线的方程为=1,点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m,F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（
）
A.2a+2m
B.4a+2m
C.a+m
D.2a+4m
答案：B
6.F1、F2是双曲线=1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|=32,则∠F1PF2=___________.
答案：90°
7.过点（3，4）及双曲线=1的两个焦点的圆的标准方程是___________.
答案：x2+（y-2）2=13
8.已知θ是三角形的一个内角,且sinθ-cosθ=,则方程x2sinθ-y2cosθ=1可能表示下列曲线中的.(填上所有可能情况)
①焦点在x轴上的椭圆
②焦点在y轴上的椭圆
③焦点在x轴上的双曲线
④焦点在y轴上的双曲线.
答案：③
9.根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（-3，）；
（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（，2）.
解：（1）设双曲线的方程为-=1，
由题意，得，
解得a2=，b2=4.
所以双曲线的方程为=1.
（2）设双曲线方程为-=1.
由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），
∴=1.
又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为=1.
10.已知定点A（3，0）和定圆C：（x+3)2+y2=16,动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程.
解:设P的坐标为（x,y).
∵圆C与圆P外切且过点A,
∴|PC|-|PA|=4.
∵|AC|=6＞4,
∴点P的轨迹是以C、A为焦点，2a=4的双曲线的右支.
∵a=2,c=3，∴b2=c2-a2=5.
∴=1(x＞0)为动圆圆心P的轨迹方程.
综合运用
11.过双曲线=1的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为多少
解:∵双曲线方程为=1,
∴c==13,于是焦点坐标为F1（-13，0）、F2（13，0）.
设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于A(-13,y)(y＞0).
∴.
∴y=,即|AF1|=.
又∵|AF2|-|AF1|=2a=24,
∴|AF2|=24+|AF1|=24+=.
故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为，.
12.经过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为π[]6的直线，与双曲线交于A、B两点，求
(1)｜ＡＢ｜；
(2)△F2AB的周长l(其中F2是双曲线的右焦点).
解：（1）F1（-2，0），F2（2，0）.
直线AB的方程为y=（x+2）.
将其代入双曲线方程，得8x2-4x-13=0.
设A（x1，y1）、B（x2，y2）.
∴x1+x2=，x1·x2=.
∴|AB|==3.
(2)a=1,由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=2.①
|BF2|-|BF1|=2a=2.②
①+②，得:
|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4，
|AF2|+|BF2|-3=4，
|AF2|+|BF2|=7，
∴△F2AB的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=10.
13.A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6
km，C在B的北偏西30°方向上，相距4
km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1
km）.A若炮击P地，求炮击的方位角.
解：以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，
则A（3，0）、B（-3，0）、C（-5，2）.
∵|PB|-|PA|=4，
∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是=1(x≥2).①
又∵|PB|=|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为
x-y+7=0.②
将②代入①得11x2-56x-256=0,得x=8或x=（舍）.
于是可得P（8，5）.
又kPA=tanα=,∴α=60°.
故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.
拓展探究
14.(2006江苏高考，17)
已知三点P（5，2）、F(-6,0)、F2(6,0).
（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、F1、F2关于直线y＝x对称点分别为P′、F1′、F2′,求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程.
解：(1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0）,其半焦距c=6.
2a=||PF1|+|PF2||=
∴a=3,b2=a2-c2=45-36=9.
∴所求椭圆的标准方程为=1.
(2)点P（5,2）、F1(-6,0)、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为P′(2,5)、F
1′(0,-6)、F2′(0,6).
设所求双曲线的标准方程为=1(a1＞0,b1＞0)
由题意知，半焦距c1=6,
2a1=||P′F1′|-|P′F2′||
=.
∴a1=2,b12=c12-a12=36-20=16.
∴所求双曲线的标准方程为=1.2.5
直线与圆锥曲线
课后导练
基础达标
1．若椭圆=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为(
)
A.2
B.-2
C.
D.
答案：D
2．已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为(
)
A.32
B.23
C.
D.
答案：C
3．以椭圆=1的右焦点为圆心,且与双曲线=1的渐近线相切的圆的方程为…
(
)
A.x2+y2-10x+9=0
B.x2+y2-10x-9=0
C.x2+y2+10x-9=0
D.x2+y2+10x+9=0
答案：A
4．已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(7,0),直线y=x-1与双曲线交于M、N的中点横坐标为,则此双曲线的方程为(
)
A.=1
B.
=1
C.=1
D.
=1
答案：A
5．直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆=1恒有公共点,则t的取值范围是.
答案：1≤t＜5
6．直线l与椭圆+y2=1交于P、Q两点,已知l的斜率为1,则弦PQ的中点轨迹方程为.
答案：x+4y=0
7．过抛物线y=ax2(a>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OP和OQ.求证:直线PQ恒过一个定点.
证明:设P(x1,ax12)、Q(x2,ax22),
则kPQ=a(x1+x2),
直线PQ的方程为
y-ax12=a(x1+x2)(x-x1),
即y-a(x1+x2)x+ax1x2=0,
∵OP⊥OQ,
∴kOP·kOQ=a2x1x2=-1.
∴y-分式-a(x1+x2)x=0,
即y-分式=a(x1+x2)(x-0).
∴PQ恒过定点M(0,).
8．已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点,若另有一条直线l经过P(-2,0)及线段AB的中点Q.
(1)求k的取值范围;
(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
解:(1)把y=kx-1代入双曲线方程x2-y2=1,
化简整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
由题设条件＜k＜-1.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x,y),则x=
=,y=,
∴直线l的方程为y=分k2+k-2式(x+2).
令x=0,b==,
∵-＜k＜-1,u=2k2+k-2为减函数,
∴-1＜u＜2-.
又u≠0,∴b＜-2或b＞2+.
9．对于椭圆x2+=1,是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰好被直线x+=0平分,若存在,求出l的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由.
解:设l的方程为y=kx+m,
代入x2+
=1,得
(k2+9)x2+2kmx+m2-9=0,
∴Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)＞0,
即m2-k2-9＜0.①
又,
∴m=.代入①得k2＞3,
∴k＞或k＜-.
从而直线l存在,且倾斜角的范围是(,)∪(,).
综合运用
10．过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,使|AF|>|BF|,过A作x轴的垂线交抛物线于C,则S△BCF等于(
)
A.64
B.32
C.16
D.8
解析：S△BFC=S△BAC-S△AFC
=·8（8+8）-（4+4）（8+8）
=32+64-16-16-16-32
=16.
答案：C
11．设P为双曲线=1右支上一点,F1、F2分别为其左、右焦点,M、N分别为双曲线的左、右顶点,则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点为(
)
A.M点或N点
B.在线段MN上
C.M点
D.N点
解析:设三个切点分别为A、B、C,
则|AF1|-|AF2|
=|CF1|-|BF2|
=(|CF1|+|PC|)-(|BF2|+|PB|)
=|PF1|-|PF2|=2a.
∴点A在双曲线上.又点A在F1F2上,
∴点A为右顶点.
答案:D
12．直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)将y=kx+1代入2x2-y2=1,
得(k2-2)x2+2kx+2=0.①
依题意
解得-2＜k＜-.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由(1)得②
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0),
则由FA⊥FB,得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,
即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0,
整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③
把②及c=代入③并化简得5k2+2k-6=0.
解得k=-或k=(-2,-)舍去.
可知k=使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
∴k=±.
∴直线PQ的方程为x-y-3=0或x+y-3=0.
13．抛物线关于x轴对称，的顶点为如右图，原点，点P(1,2)、A（x1,y1）、B(x2,y2)均在抛物线上
.
(1)写出该抛物线的方程及准线的方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.
解:(1)由已知可设抛物线方程为y2=2px.
∵P在抛物线上,∴4=2\5p\51.
∴p=2.
故抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1.
(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则kPA=(x1≠1),kPB=(x2≠1).
∵PA与PB的斜率存在且倾角互补,
∴kPA=-kPB.
∴.
∴y1+2=-(y2+2).
∴y1+y2=-4.
又A、B在抛物线上,
∴y12=4x1,y22=4x2.
∴y12-y22=4(x1-x2).
∴kAB==-1(x1≠x2).
拓展探究
14．设双曲线C-y2=1与直线l:x+y=1相交于A、B两点.
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；
（2）设直线l与y轴的交点为P，且=，求a的值.
解:(1)由
得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
由于直线与双曲线有两交点,
∴
解得0＜a＜且a≠1.
∴e=,而0＜a＜且a≠1.
∴e＞且e≠.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(0,1).
∵=,∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1).
由此得x1=,由于x1、x2都是(1)中方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的根,且1-a2≠0,
∴x1+x2==,x1x2==.
消去x2,得,由a＞0,
∴a=.2.2.3
椭圆的简单几何性质（二）
课后导练
基础达标
1.若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是（
）
A.椭圆的短轴的端点
B.椭圆的长轴的一个端点
C.不是椭圆的顶点
D.以上都不对
答案：B
2.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8,则动点M的轨迹是(
)
A.圆
B.椭圆
C.直线
D.无法确定
答案：B
3.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，,则椭圆方程为(
)
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
答案：D
4.椭圆=1(a＞b＞0)的焦点到直线x=的距离为（
）
A.
B.
C.或
D.
答案：C
5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为……（
）
A.
B.
C.2-
D.-1
答案：D
6.椭圆=1的长轴长是短轴长的2倍，则a的值为___________.
答案：4或
7.椭圆=1上一点P到右焦点（1，0）的距离为，则点P到x轴的距离为___________.
答案：
8.椭圆=0（a＞b＞0）上任意一点，到两个焦点的距离分别为r1、r2.焦距为2c，若r1、2c、r2成等差数列，则椭圆的离心率为___________________.
答案：e=
9.求中心在原点，过点（1，），一条准线为x-4=0的椭圆方程.
解析：由准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），
将点（1，）代入椭圆方程，
得b2=.①
由一条准线方程是x-4=0.
∴=.②
又a2-b2=c2,③
由①②③消去b，c可得a2=4或a2=，相应地，b2=1或b2=，
故所求椭圆方程为+y2=1或=1.
10.点P（-3，1）在椭圆x2[]a2+y2[]b2=1（a＞b＞0）的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经过直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为多少？
解析:如下图所示.
kPA=-.
∴lPA:5x+2y+13=0.
则交点A的坐标为(,-2),据光的反射知识知kAF=-kPA=.
∴lAF:5x-2y+5=0.
∴与x轴交点即左焦点F(-1,0),即c=1.
又左准线x=-=-a2=-3,
∴a=.
∴e==.
综合运用
11.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439
km,远地点B(离地面最远的点)距地面2
384
km,并且F2、A、B在同一条直线上,地球半径约为6
371
km,求卫星运行的轨道方程.(精确到1
km)
解析:建立直角坐标系,使点A、B、F2在x轴上,F2为椭圆的右焦点(记F1为左焦点).
∵椭圆的焦点在x轴上,
∴设它的标准方程为+=1(a＞b＞0),
则a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6
371+439=6
810,
a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6
371+2
384=8
755.
∴a=7
782.5,c=972.5.
∴b2=a2-c2=7
782.52-972.52≈7
7222.
∴卫星运行的轨道方程是=1.
12．已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件：
（1）焦点F1的坐标为（3，0）；
（2）长半轴长为5.
则可求得此椭圆方程为=1（※），问可用其他什么条件代替条件（2），使所求得的椭圆方程仍为（※）？请写出两种以上替代条件.
解析：①短半轴长为4；②右准线方程为x=；③离心率为e=；④点P（3，）在椭圆上；⑤椭圆上两点间的最大距离为10；……（答案是开放的）
拓展探究
13.椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2|=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.
解法一:(1)因为点P在椭圆C上,所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3.
在Rt△PF1F2中,|F1F2|=,故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2-c2=4,
所以椭圆C的方程为=1.
(2)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1),
从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
因为A、B关于点M对称,
所以=-2,解得k=.
所以直线l的方程为y=(x+2)+1,
即8x-9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意)
解法二:(1)同解法一.
(2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
由题意x1≠x2且=1,①
=1.②
由①-②得
=0.③
因为A、B关于点M对称,
所以x1+x2=-4,y1+y2=2.
代入③得=,
即直线l的斜率为,
所以直线l的方程为y-1=(x+2),
即8x-9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意)3.1.4
空间向量的直角坐标运算
课后导练
基础达标
1.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A的坐标为(-1，2，1)，点B的坐标为(1，3，4)，则(
)
A.=(-1，2，1)
B.=(1，3，4)
C.=(2，1，3)
D.=(-2，-1，-3)
答案：C
2.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)是两个非零向量，则a∥b的充要条件是（
）
A.
B.
C.存在实数k，使得a+kb=0
D.存在非零实数k，使a=kb
答案：D
3.已知a=(1,,),b=(-3,λ,-1)满足a∥b,则λ等于（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
4.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1)，c=(3,1,0)，则|a-b+2c|等于（
）
A.3
B.2
C.
D.5
答案：A
5.若a=(1,5,-2)，b=(3,x,3)，且a⊥b,则x=_________________.
答案：
6.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),c=(3,0,2)，则a-2b+4c=________________.
答案：(19,-10,9)
7.已知点A（3，8，-5），B（-2，0，8）,则||=____________________.
答案：
8.判断下列各小题中的两个向量是否平行：
（1）a=(1,3,-2),b=(-2,-6,4);
(2)a=(-2,0,5),b=(8,0,20).
解析:(1)∵a=-b,
∴a∥b.
(2)不存在实数k,使得a=kb,
∴a与b不平行.
9.设a=(2,2m-3,n+2),b=(4,2m+1,3n-2),且a∥b,求实数m,n的值.
解析:∵a∥b,
设a=λb.
则
①得λ=,代入②得m=,
代入③得n=6,
∴m=,n=6.
综合运用
10.已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4）那么△ABC的形状是（
）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.A、B、C三点共线
答案：A
11.已知a=(2,cosθ,sinθ)，b=(sinθ,2,cosθ)，则a+b与a-b的夹角为（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案：D
12.已知a=(-1,0,1)，b=(1,2,3)，若ka-b与b垂直，则k=_________________.
答案：7
13.已知A、B、C三点的坐标各是（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3）.求P点的坐标使(1);(2)
.
解析:先求出、，然后利用运算性质很快便可得结果.
=(2,6,-3),=(-4,3,1).
(1)=(6,3,-4)=(3,,-2)，则P点坐标为（3，，-2）；
(2)设P为（x,y,z），则=（x-2,y+1,z-2）,
又()=
=(3,,-2).
∴x=5,y=,z=0，则P点坐标为（5，，0）.
拓展研究
14.已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根;a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb.
(1)当|c|取最小值时,求t的值;
(2)在(1)的情况下,求b和c的夹角大小.
解析:(1)∵关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根.
∴Δ=(t-2)2-4(t2+3t+5)≥0,
即-4≤t≤-,
又c=(-1,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),
∴|c|=
=
∵t∈［-4,-］时，上述关于t的函数单调递减,
∴t=时，|c|取最小值.
（2）当t=时，c=(,1,),
∴cos〈b,c〉=
=
==.
∴〈b,c〉=π-arccos=arccos
即为b与c的夹角.2.1.2
由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质
课后导练
基础达标
1.已知点O(0，0)，A(1，-2)，动点P满足｜PＡ｜＝3｜PＯ｜，则P点的轨迹方程是（
）
A.8x2+8y2+2x-4y-5=0
Ｂ.8x2+8y2-2x-4y-5=0
Ｃ.8x2+8y2+2x+4y-5=0
Ｄ.8x2+8y2-2x+4y-5=0
答案：A
2.已知直线l:2x+4y+3=0，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为1∶２两部分，则点Q的轨迹方程为（
）
A.2x+4y+1=0
Ｂ.2x+4y+3=0
Ｃ.2x+4y+2=0
Ｄ.x+2y+1=0
答案：Ａ
3.到点（－１，－２）的距离等于3的动点M的轨迹方程是（
）
Ａ.(x+1)2+(y+2)2＝3
Ｂ.(x+1)2+(y+2)2＝９
Ｃ.(x-1)2+(y-2)2＝3
Ｄ.(x-1)2+(y-2)2=9
答案：B
4.弦经过抛物线y2=2px的焦点,则该弦的中点的轨迹是(
)
A.抛物线
B.椭圆
C.双曲线
D.直线
答案：A
5.线段AB的长度是10，它的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB中点P的轨迹方程是________________.
答案：x2+y2=25
6.已知平面上有两定点A、B，｜AB｜＝2a，平面上一动点M到A、B两点距离之比为2∶１，则动点M的轨迹方程为____________________.
答案：3x2＋3ｙ2－10ａx＋3ａ2＝0
7.已知B(-3，0)、C(3，0)，△ABC中BC边上的高的长为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程.
解析:设H的坐标为(x，y)，则A点的坐标为(x，3)或(x，-3).
当A的坐标为(x，3)时，
∵AB⊥CH，
∴kAB·kCH=-1,
即=-1（x≠±3）.
化简整理得y=x2+3（x≠±3）.
x=±3时，y=0也适合此方程，所以方程y=x2+3为所求轨迹方程.
当A的坐标为(x，-3)时，同理可得H的轨迹方程为y=x2-3.
总之，△ABC的垂心H的轨迹方程是y=x2+3或y=x2-3.
8.已知△ABC的顶点B、C的坐标分别为(-1，-3)、(3，5)，若点A在抛物线y=x2-4上移动，求△ABC的重心P的轨迹方程.
解析:设△ABC的重心P的坐标为(x，y)，顶点A的坐标为（x1，y1），则y1=x12-4.
由重心坐标公式得
∴
代入y1=x12-4得3y-2=(3x-2)2-4.
化简整理得9x2-12x-3y+2=0.
又直线BC的方程为，即y=2x-1.
由
得或
∵A、B、C三点不在一条直线上，
∴P、B、C三点不共线.
∴轨迹中应去掉点(，)和(，-).
故△ABC的重心P的轨迹方程是9x2-12x-3y+2=0(x≠且x≠).
综合运用
9.线段AB与CD互相垂直且平分于点O，｜AB｜＝2a，｜CD｜＝2b，动点P满足｜PＡ｜·｜PＢ｜＝｜PC｜·｜PD｜，求动点P的轨迹方程.
解析：以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系,如右图所示.
设P（x,y）,又A（-a,0）、B（a,0）、C（0，-b）、D（0,b），
由题设知
|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.
∴·
=.
化简得x2-y2=为所求.
（证明略）
10.等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BD是AC边上的中线，AE⊥BD交BC于点E，用坐标法证明∠ADB=∠CDE.
证明:建立坐标系如右图所示，设｜AB｜=｜AC｜=a，则在坐标系中各点坐标是A(0，0)、B(0，a)、C(a，0)、D(，0).
由斜率公式得kBD==-2.
由已知AE⊥BD，得AE所在的直线方程是y=x.
E点的坐标(x0，y0)满足
解得kDE==2.
也就是tan∠CDE=2.
而tan∠ADB=tan(180°-∠CDB)
=-tan∠CDB=-kBD=-(-2)=2，
∴tan∠CDE=tan∠ADB.
又∠CDE和∠ADB都是锐角，
∴∠CDE=∠ADB.
11.过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解析：如右图，设点M的坐标为(x，y).
∵M为线段AB的中点，
∴A的坐标为(2x，0)，B的坐标为(0，2y).
∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2，4)，
∴PA⊥PB，kPA·ｋPＢ＝－１.
而kPＡ＝(x≠1)，
ｋPＢ＝，∴=-1(x≠1).
整理，得x+2y-5=0(x≠1).
∵当x=1时，A、B的坐标分别为(2，0)、(0，4),
∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程
x+2y-5=0.
综上所述，点M的轨迹方程是x+2y-5=0.
12.已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解析：设切点为N，则|MN|=λ|MQ|.
于是|MO|2-r2=（λ|MQ|）2.
将M（x，y）代入上式，得x2+y2-1=λ2（x-2）2+λ2y2，
整理得（λ2-1）（x2+y2）-4λ2x+（1+4λ2）=0.
当λ=1时，方程为x=，表示一直线.
当λ≠1时，方程为（x）2+y2=1+，表示一个圆.
拓展探究
13.已知A、B、C是直线l上的三个定点，其中AB的长为a，BC的长为c.动点Pl，但P与l在确定的平面α内，且恒有∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹.
解析：如右图，以AC为x轴，以B为坐标原点建立直角坐标系.
设P点的坐标为（x，y）.
由已知∠APB=∠BPC，
得.①
设A（-a，0），C（c，0），a＞0，c＞0.
则|PA|=，
|PC|=.
将其代入①得根，
化简，得（a2-c2）x2+（a2-c2）y2-2ac（a+c）x=0.②
当a=c时，方程②变为x=0，P点的轨迹为y轴（原点除外）.
当a≠c时，方程②（a-c）x2+（a-c）y2-2acx=0
x2+y2=0
（x）2+y2=（）2.
∴P点的轨迹是以（，0）为圆心，以为半径的圆.（除原点和点（，0）外）2.2.1
椭圆及其标准方程
课后导练
基础达标
1.椭圆=1上一点到两个焦点的距离和为…(
)
A.26
B.24
C.4
D.2
答案：D
2.下列说法中正确的是(
)
A.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆
B.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段
C.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线
D.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条线段
答案：D
3.已知椭圆的方程为=1,焦点在x轴上,则m的范围是(
)
A.-4≤m≤4且m≠0
B.-4C.m>4或m<-4
D.0答案：B
4.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1、F2的距离之差为2,则△PF1F2是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
答案：B
5.椭圆=1的焦距等于2,则m的值为(
)
A.5或3
B.8
C.5
D.16
答案：A
6.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是________________.
答案：(±,0)
7.过点(-3,2)且与=1有相同焦点的椭圆的方程是________________.
答案：=1
8.若方程=-1表示椭圆，则实数k的取值范围是_________________.
答案：3＜k＜5且k≠4
9.过原点的直线与椭圆=1(a>b>0)相交于A、B两点,若F(c,0)是椭圆右焦点,则△FAB的最大面积是多少？
解析：∵S△FAB=S△OAF+S△OBF
=c·|yA|+分式c·|yB|
=c·(|yA|+|yB|),
而(|yA|+|yB|)max=2b,
∴(S△FAB)max=bc.
10.点P是椭圆=1上的一点,F1、F2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.
解析：在椭圆=1中,a=,b=2,
∴c==1.
∵点P在椭圆上,
∴|PF1|+|PF2|=2a=2,|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=20.①
由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos30°=|F1F2|2=4,②
①-②得(2+)|PF1||PF2|=16,
∴|PF1||PF2|=16(2-).
∴S△F1PF2=|PF1||PF2|·sin30°=8-4.
综合运用
11.F1，F2是椭圆C：=1的焦点，在C上求满足PF1⊥PF2的点P的个数？
解析：a=2，c=2，e=，
设P（x0，y0），则|PF1|=2+x0，|PF2|=2-x0.
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
即（2+x0）2+（2-x0）2=16，解得x0=0.
故在椭圆上存在两点，即短轴的两顶点使PF1⊥PF2.
12.已知圆C1：（x+1）2+y2=1和圆C2：（x-1）2+y2=9，求与圆C1外切而内切于圆C2的动圆圆心P的轨迹方程.
解析：圆C1圆心C1坐标为（-1，0），
半径r1=1，圆C2圆心C2坐标为（1，0）
半径r2=3，动点P满足
|PC1|=r+1，|PC2|=3-r
∴|PC1|+|PC2|=4
∴动点P的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为4的椭圆上，故点P的轨迹方程为=1.
13.已知P为椭圆=1上的点，设F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=，求△F1PF2的面积.
解析：∵|PF1|+|PF2|=20，
又∠F1PF2=
由斜弦定理知：
∴|PF1|·|PF2|=.
∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sin=.
拓展探究
14.(2006河北石家庄二模，21)已知椭圆的焦点是F1（-1，0）、F2（1，0）.P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
（1）求椭圆的方程;
(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2=120°，求tan∠F1PF2.
解：（1）由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，
∴2a=4.又2c=2.∴b=.
∴椭圆的方程为=1.
(2)设∠F1PF2=θ，
则∠PF2F1=60°-θ.
由正弦定理得
.
由等比定理得
∴=
整理得5sinθ=(1+cosθ).
∴.故tan.
tan∠F1PF2=tanθ=.1.3.1
推出与充分条件、必要条件
课后导练
基础达标
1.设集合M={x|0)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
2.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是（
）
A.x>1
B.x<1
C.x>3
D.x<3
答案：A
3.条件p:“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，条件q:“直线l的斜率为-2”，则p是q的(
)
A.充分不必要条件
B.充要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案：B
4.对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是…(
)
A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
答案：B
5.“cosα＝”是“α=2kπ+,k∈Z”的（
）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
6.函数y=x2+bx+c,x∈［0,+∞)是单调函数的充要条件是______________.
答案：b≥0
7.设p、r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的____________条件,r是t的__________条件.
答案：充分
充要
8．“tanα=1”是α=的______________.
答案：必要不充分条件
9．已知:p:|5x-2|>3;q:>0,则p是q的什么条件.
解：p:|5x-2|＞3,
所以5x-2＞3，或5x-2＜-3,
所以x＞1,或x＜-,
所以 p:-≤x≤1.
因为q:＞0.
所以x2+4x-5＞0.
即x＞1,或x＜-5.
所以 q:-5≤x≤1(如下图所示)
所以 p是 q的充分非必要条件.
综合运用
10.求函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件.
解析：若a2+b2=0,
即a=b=0,此时
f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x|x|=-f(x),
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件.
又若f(x)=x|x+a|+b为奇函数，
即f(-x)=-f(x),
∴(-x)|-x+a|+b=-x|x+a|-b,则必有a=b=0,
即a2+b2=0,
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充要条件.
11.设p：x2-x-20>0,q:<0,则p是q的什么条件？
解析:p:x2-x-20＞0,
化简p:x＞5或x＜-4.
q:＜0,
化简q:-1＜x＜1或x＜-2或x＞2.
作数轴易得pq但qp.
∴p是q的充分不必要条件.
拓展探究
12.设a、b∈R，已知命题p：a=b;命题q:（）2≤,则p是q成立的什么条件？
解析：充分性：当a=b时，
=a,
即()2=a2.
又==a2,
∴()2=.
故当a=b时，()2≤.
必要性：当()2≤,
展开得-+≥0,即(a-b)2≥0a=b.
∴p:a=b;q:()2≤,p是q的充分不必要条件.3.1.3
两个向量的数量积
课后导练
基础达标
1.已知非零向量a,b不平行，并且模相等，则a+b与a-b之间的关系是(
)
A.垂直
B.共线
C.不垂直
D.以上都可能
答案：A
2.如右图,已知PA⊥平面ABC，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＰＡ＝ＡＢ＝ＢＣ＝６，则PC等于
(
)
A.62
B.6
C.12
D.144
答案：C
3.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a-b+2c|等于(
)
A.
B.5
C.6
D.
答案：A
4.已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，ＡＡ′＝５，∠ＢＡＤ＝９０°，∠ＢＡＡ′＝∠ＤＡＡ′＝６０°，则ＡＣ′等于(
)
A.85
B.
C.5
D.50
答案：B
5.已知||=5,||=2,〈,〉=60°，=2+,=-2,则以OC、OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为________________.
答案：
6.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°，m⊥n，则λ=_________________．
答案：
7.已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
证明：如右图，连结ON，设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ，
又设=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|，
又=（）
=［+（）］
=（a+b+c），=c-b，
∴·=（a+b+c）（c-b）
=（a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c）
=（|a|2cosθ-|a|2cosθ-|a|2+|a|2）=0.
∴OG⊥BC.
8.如下图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D间的距离.
解：∵∠ACD=90°,∴·=0.
同理·=0.
∵AB与CD成60°角,∴〈,〉=60°或120°.
又=++,
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=3+2×1×1×cos〈,〉
=
∴||=2或.即B、D间的距离为2或.
9.如右图，空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点.
求下列向量的数量积
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解析:在空间四边形ABCD中，||=||=a,〈,〉=60°,
(1)·=a·acos60°=.
(2)||=a,||=a,〈,〉=60°.
∴·=a2cos60°=.
(3)||=,||=a,
又∥，〈,〉=π.
∴·=a2cosπ=.
(4)∵||=a,||=a,EF∥BD，
∴〈,〉=〈,〉=60°.
∴·=a2cos60°=a2.
综合运用
10.若a,b为两个非零向量,a·b=0,则下列各式中成立的是（
）
A.|a|=|b|
B.(a+b)·（a-b）=0
C.(a+b)·（a-b）=|a|2-|b|2
D.|a+b|=|a|+|b|
答案：C
11.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，则a2是下列哪一数量积的结果（
）
A.2
B.2
C.2
D.2
答案：B
12.若|a|=|b|，且非零向量a与b不平行，则a+b与a-b的夹角是____________.
答案：90°
13.在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，P在△ABC内的射影为O.试用向量法证明O为△ABC的垂心.
证明：如右图,设=a,=b,=c.
∵PA,PB,PC两两互相垂直,
∴a·b=0，b·c=0，c·a=0.
又PO⊥平面ABC,
∴PO⊥AB,
∴·=0.
又=-=b-a，
∴·=（b-a）·c=b·c-a·c=0.
又∵=,
∴·=·（）
=·-·=0，∴AB⊥CO.
同理可证AO⊥BC,BO⊥AC,
∴O为△ABC的垂心.
拓展研究
14.已知线段AB⊥平面α,BC?α,CD⊥BC,且CD与平面α成30°角，D与A在α的同侧，若AB=BC=CD=2，求AD的长.
解析:∵||2=·.
∴要求AD的长只要把用、、表示，再求其自身的数量积即可.
解：∵=++,
∴||2=·
=（++）·（++）
=||2+||2+||2+2·+2·+2·
①
∵AB=BC=CD=2,
∴||=||=||=2，
②
又∵AB⊥α,BCα,∴AB⊥BC,∴·=0,
③
CD⊥BC,∴·=0.
④
把②③④代入①可得：
||2=4+4+4+2·
=12+2·||·||cos〈,〉
=12+8·cos〈,〉
⑤
如右图所示，过D作DF⊥α于F，连CF，则∠DCF为直线CD与α所成的角.
∴∠DCF=30°,从而∠CDF=60°,
又∵AB⊥α.DF⊥α,∴AB∥DF.
∴〈,〉=〈,〉=60°.
∴〈,〉=120°代入⑤式得到
||2=12+8cos120°=12-4=8,
∴||=.从而AD=.3.1.1
空间向量的线性运算
课后导练
基础达标
1.下列量中是向量的是（
）
A.动能
B.磁场速度
C.功
D.频率
答案：B
2.下列命题中,正确的是（
）
A.若|a|=|b|,则a=b
B.若|a|>|b|,则a>b
C.若a=b,则|a|=|b|
D.若a≠b,则|a|≠|b|
答案：C
3.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且=+,则四边形ABCD是（
）
A.空间四边形
B.平行四边形
C.等腰梯形
D.矩形
答案：B
4.点D是空间四边形OABC的边BC的中点,则等于（
）
A.()-
B.(+)-
C.(+)-OA
D.+(+)
答案：C
5.在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，等于（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
6.已知空间四边形ABＣＤ中，G是CD的中点，则-（+）=___________.
答案：
7.如下图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1D1中点，若=a,=b,
=c,则用a,b,c表示应为______________.
答案：c-a+b
8.已知正方体ABCD—A′B′C′D′,点E、F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心，若=+x+y，则实数x=__________,y=_____________.
答案：
9.如下图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，M为A′B′中点，化简下列各式：
（1）++；
(2)++；
(3)（）+.
解析:(1)
==.
(2)++=
(3)()+=+=.
10.如右图，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，E为B′C′的三等分点且=,M为D′C′的中点.
试求下列各式中x,y,z的值.
(1)；
(2)；
(3).
解析:(1)∵=++
=,
∴x=1,y=1,z=.
(2)∵,
∴x=,y=.
(3)=++
=+
∴x=1,y=3,z=.
综合运用
11.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD中点,则+()的化简结果是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
12.设M是△ABC的重心,则AM等于（
）
A.(-)
B.(-)
C.(-)
D.(-)
答案：D
13.如下图所示,△ABC在平面α内,点P,Q是线段AB的三等分点,用向量,,表示向量,.
解析:(1)
=
=
=+()
=++.
(2)=+
=
=+()
=+()
=+.
拓展研究
14.已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O,Q是CD的中点，求下列各题中x、y的值：
(１)=；
(2).
解析:(1)
=-()
=--,
∴x=-,y=-.
(2)=+
=-2
=-2(-)
=-2+2,
∴x=2,y=-2.2.3.2
双曲线的简单几何性质
课后导练
基础达标
1.双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x，则双曲线方程为（
）
A.x2-y2=96
B.y2-x2=160
C.x2-y2=80
D.y2-x2=24
答案：D
2.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是（
）
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
答案：B
3.中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（
）
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
答案：D
4.焦点为(0，6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是（
）
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
答案：B
5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
6.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为_____________,虚轴长为_____________,渐近线方程为,离心率为_______________.
答案：2
4
y=±x
7.准线方程为x+y=1，相应的焦点为（1，1）的等轴双曲线方程是_________________.
答案：xy=
8.已知双曲线x2-3y2=3上一点P到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P点到右准线的距离为______________.
答案：6
9.双曲线=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值.
解：直线y=kx-1过(0，-1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.
当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=±x.
∴k=±式.
10.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A（4，-1），圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.
解:∵点A与圆心O的连线的斜率为-，
∴过A的切线的斜率为4.
∴双曲线的渐近线方程为y=±4x.
设双曲线方程为x2=λ.
∵点A（4，-1）在双曲线上，
∴16=λ,λ=.
∴双曲线的标准方程为=1.
综合运用
11.已知双曲线=1(a＞0,b＞0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求|PF1|·|PF2|的最小值.
解:设P点的横坐标为x0，则x0≥a或x0≤-a.由焦半径公式得|PF1|·|PF2|=|a-ex0||a+ex0|=|a2-
x02|=x02-a2=x02-a2.
∵|x0|≥a,∴x02≥a2.
∴|PF1|·|PF2|≥·a2-a2=b2.
当|x0|=a时，上式“=”成立.
∴|PF1|·|PF2|的最小值为b2.
12.在双曲线=-1的一支上有不同的三点A（x1，y1）、B（x2，6）、C（x3，y3），与焦点F（0，5）的距离成等差数列.
（1）求y1+y3的值；
（2）求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标.
答案：（1）解：∵=e.
∴|PF|=ey-a.又A、B、C到F的距离成等差数列，
∴2（ey2-a）=（ey1-a）+（ey3-a）.
∴y1+y3=2y2=12.
（2）证明：由题意，得.
①-②，得（y1-y3）（y1+y3）（x1-x3）·（x1+x3）=0.
∴
若x1+x3=0，
则kAC=0，y1=y3=y2=6，A、B、C三点共线，这是不可能的.
∴x1+x3≠0.则AC的中垂线方程为y-6=（x）.
即y=.
因此，AC的中垂线过定点（0，）.
13.双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=,求双曲线的方程.
解:∵双曲线的中心在原点，准线和x轴垂直，
∴双曲线的方程是标准的且焦点在x轴上.
∵=4,=.
∴a=2,c=8.∴b2=82-22=60.
∴双曲线的方程是=1.
拓展探究
14.已知双曲线=1，F为其右焦点，A（4，1）为平面上一点，点P为双曲线上一点，求|PA|+
|PF|的最小值（如右图）.
解：由双曲线的第二定义可知=e，其中d为P到右准线l：x=的距离，e=.
∴|PF|=ed=d.
∴|PA|+|PF|=|PA|+·d.
∴|PA|+|PF|=|PA|+d，则求|PA|+|PF|的最小值：在双曲线上求一点P，使P到A的距离与到右准线l：x=的距离之和最小，如题图，由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直线所引的线段中，垂线段最短，从而过点A向右准线l：x=作垂线ＡＢ，交双曲线于P点，此时|PA|+d最小，即|PA|+|PF|最小，最小值为垂线段AB的长，易求|AB|=，故|PA|+|PF|的最小值为.
15.已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)若A、B是W上的不同两点,O是坐标原点,求·的最小值.
解法一:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.
又半焦距c=2,故虚半轴长b=.
所以W的方程为=1,x≥.
(2)设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2.
从而·=x1x2+y1y2=x12-y12=2.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.
故x1+x2=,x1x2=.
所以·=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=
=.
又因为x1x2＞0,所以k2-1＞0,从而·＞2.
综上,当AB⊥x轴时,·取得最小值2.
解法二:(1)同解法一.
(2)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则xi2-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2).
令si=xi+yi,ti=xi-yi,
则siti=-2,且si＞0,ti＞0(i=1,2),所以
·=x1x2+y1y2
=(s1+t1)(s2+t2)+(s1-t1)(s2-t2)
=s1s2+t1t2≥=2.
当且仅当s1s2=t1t2,即时“=”成立.
所以·的最小值是2.1.1.2
量词
课后导练
基础达标
1.下列存在性命题中假命题的个数是(
)
①有的实数是无限不循环小数
②有些三角形不是等腰三角形
③有的菱形是正方形
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：A
2.下列存在性命题中真命题的个数是（
）
①x∈R,x≤0
②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数
③x∈{x|x是无理数},x2是无理数
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：D
3.下列全称命题中假命题的个数是（
）
①2x+1是整数(x∈R)
②对所有的x∈R,x＞3
③对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
4.下列命题为存在性命题的是（
）
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
答案：D
5.下列命题正确的是(
)
A.对于实数q<1,方程x2+2x+q=0有实数根
B.有一个实数大于0或小于0
C.不存在一个实数其相反数是它本身
D.四边形的两条对角线互相垂直，则四边形为正方形
答案：A
6.（1）命题“x∈R，x2-x+3>0”的否定是________________.
（2）命题“x∈R，x2+1<0”的否定是________________.
答案：(1)x∈R,x2-x+3≤0
(2)x∈R,x2+1≥0
7.命题“有理数的平方仍是有理数”用符号“”写成全称命题为________________.
答案：x∈{有理数}，x2∈{有理数}
8.(预测题)下列叙述正确的命题序号是________________.
①x,y∈N,如果+y2=0,则x=0且y=0
②设P(x):2x>x2,则P(4)是真命题
③“每一个向量都有方向”是命题
④若P(x):sinx>cosx为真命题，则x∈(,)
答案：①③
9.用符号“”与“”表示下面含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0;
(2)存在一对实数,使2x+3y+3＜0成立;
(3)勾股定理.
解：（1）x∈R,x2≥0.
(2)(x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3＜0.
(3)a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，a2+b2=c2.
10.命题“三角形的三个内角中，至少有一个角不小于60°”是全称命题吗？若是，判断它的真假.
解析:是全称命题，且为真命题，可用反证法证明：在△ABC中，假设三角内角均小于60
°，则∠A+∠B+∠C＜180
°，这与内角和定理矛盾.
综合运用
11.命题“存在实数k<0，使方程x2+(2k+1)x+k=0必有两相异实根”是存在性命题吗？若是，判断其真假.
解析：是存在性命题，且是真命题，因为任意实数k，Δ=（2k+1）2-4k=4k2+1＞0恒成立，方程恒有两根，且k＜0时，两根之积为负，所以必有两相异实根.
12.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a、b、c,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立
解:∵f(x)的图象过点（-1，0），
∴a-b+c=0.
∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，
即1≤a+b+c≤1,
故有a+b+c=1.
∴b=,c=-a.
∴f(x)=ax2+x+-a.
故应x≤ax2+x+-a≤对一切x∈R成立.
即
恒成立
∴a=.
∴c=-a=.
∴存在一组常数：a=,b=,c=.
使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立.
13.在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a)
(x+a)<1对x∈R成立.求a的取值范围？
解析：（x-a）(x+a)＜1
?(x-a)［1-(x+a)］＜1
?-x2+x+a2-a-1＜0
?x2-x-a2+a+1＞0.
∵不等式对任意实数x成立，
∴Δ=1-4（-a2+a+1）＜0,
∴-＜a＜.
拓展探究
14.已知ａ>0,函数ｆ(x)=ａx-bx2.
(1)当b>0时,若对任意x∈R都有ｆ(x)≤1,证明ａ≤2；
(2)当b>1时,证明对任意x∈［0,1］,|ｆ(x)|≤1的充要条件是b-1≤ａ≤2.
证明：（1）依题意设对任意x∈R都有f(x)≤1,
∵f(x)=-b(x-)2+,
∴f()=≤1.
∵a＞0,b＞0,
∴a≤2.
(2)必要性：对任意x∈［0,1］.
|f(x)|≤1f(x)≥-1,
∴f(1)≥-1,
即a-b≥-1.
∴a≥b-1.
对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1f(x)≤1,
∵b＞1.
可以推出f()≤1,
即a·-1≤1.
∴a≤2.
∴b-1≤a≤2.
充分性：∵b＞1,a≥b-1,对任意x∈［0,1］,
可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即ax-bx2≥-1,
∵b＞1,a≤2,对任意x∈［0，1］，可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1,
即ax-bx2≤1.
∴-1≤f(x)≤1.
综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2.2.1.1
曲线与方程的概念
课后导练
基础达标
1.曲线y=与xy=2的交点是（
）
A.（1，1）
B.（2，2）
C.直角坐标系内的任意一点
D.不存在
答案：D
2.下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是(
)
A.y=x与y=
B.(x-1)2+(y+2)2=0与(x-1)(y+2)=0
C.y=与xy=1
D.y=lgx2与y=2lgx
答案：C
3.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的_________条件（
）
A.充分
B.必要
C.充要
D.既不充分又不必要
答案：B
4.“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的___________条件（
）
A.充分
B.必要
C.充要
D.既不充分又不必要
答案：B
5.已知0≤α<2π,点P(cosα,sinα)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为(
)
A.
B.
C.或
D.或
答案：C
6.曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=0与x轴的交点坐标是_____________.
答案：（4，0）和（-1，0）
7.方程(x+y-1)(x-y+2)=0表示_______________________.
答案：两条直线x+y-1=0和x-y+2=0
8.判断点P(-4，3)、Q(-3，-4)、R(，2)是否在方程ｘ2＋ｙ2＝２５（ｘ≤0）所表示的曲线上.
答案：点P在曲线x2+y2=25(x≤0)上，点Q、R都不在曲线x2+y2=25(x≤0)上.
综合运用
9.点M到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，则点M的轨迹方程是__________________.
答案：2x+y=0或2x-y=0
10.设A、B两点的坐标是(-a，0)、(a，0)，若动点M满足ｋＭＡ·ｋＭＢ＝-１，则动点M的轨迹方程是____________________.
答案：x2+y2=a2（x≠±a）
11.已知点M到点F(0，1)和直线l:y=-1的距离相等，求点M的轨迹方程.
解析:设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是集合P=｛Ｍ｜｜ＭＦ｜＝｜ＭＱ｜｝，其中Q是点M到直线y=-1的垂线的垂足.由两点间距离公式及点到直线的距离公式得＝｜y+1｜，将上式两边平方得x2+(y-1)2=(y+1)2，化简得y=x2.①
下面证明方程①是所求轨迹的方程.
(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；
(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，那么y1=x12，
即x12＋（ｙ1-１）2＝（ｙ1＋１）2，｜y1+1｜，｜Ｍ1Ｆ｜＝｜Ｍ1Ｑ1｜.其中Q1是点M1到直线y=-1的垂线的垂足,因此点M1是曲线上的点.
由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如下图所示.
12.已知点P(x0，ｙ0）在曲线ｆ（ｘ，ｙ）＝0上，P也在曲线g(x，y)=0上.求证：P在曲线f(x，y)+λｇ（ｘ，ｙ）＝0上(λ∈R）.
证明:∵点P在曲线f(x，y)=0上也在曲线g(x，y)=0上，
∴f（x0，y0）＝0，ｇ（x0，y0）＝0.
∴f（x0，y0）＋λｇ（x0，y0）＝0＋λ·0＝0,
即P点在曲线f(x，y)＋λｇ（x，y）＝0上.
13.求方程(x+y-1)
=0的曲线.
解析:把方程（ｘ＋ｙ－１）＝0写成或x-y-2=0.
由,得
∴表示射线x+y-1=0(x≥).
∴方程(x+y-1)=0的曲线是射线x+y-1=0(x≥)和直线x-y-2=0.
拓展探究
14.判断过点P（0，-1）且与x轴平行的直线l是否是方程|y|=1所表示的曲线.
解析：如右图，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y=-1.因此，直线l上的点都满足方程|y|=1，即直线l上的点都在方程|y|=1所表示的曲线上.
然而，以方程|y|=1的解为坐标的点不全在直线l上.这是因为方程|y|=1表示两条直线y=1和y=-1.
所以|y|=1不是直线l的方程，l也不是方程|y|=1所表示的曲线.1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）
课后导练
基础达标
1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是（
）
A.简单命题
B.“p或q”形式的命题
C.“p且q”形式的命题
D.“非p”形式的复合命题
答案：C
2.如果命题“p∨q”与命题“p”都是真命题,那么（
）
A.命题p不一定是假命题
B.命题q一定为真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题p与命题q的真假相同
答案：B
3.已知全集S＝R，AS,BS,若命题p:∈(A∪B),则命题“p”是（
）
A.A
B.∈B
C.A∩B
D.∈(A)∩(B)
答案：D
4.命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是（
）
A.原函数与反函数的图象关于y=-x对称
B.原函数不与反函数的图象关于y=x对称
C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称
D.存在原函数与反函数的图象关于y=x对称
答案：C
5.命题p:a2+b2＜0(a、b∈R);命题q:a2+b2≥0(a、b∈R),下列结论正确的是（
）
A.“p∨q”为真
B.“p∧q”为真
C.“p”为假
D.“q”为真
答案：A
6．已知命题p、q,则“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的__________条件.
答案：必要不充分
7.命题p:0不是自然数，命题q:π是无理数，在命题“p∧q”“p∨q”“p”“q”中,假命题是______________，真命题是_______________.
答案：“p∧q”“ q”“p∨q”“ p”
8.若命题p:不等式ax+b>0的解集为{x|x>-ba},命题q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a答案： p
9.已知命题p:|x2-x|≥6,q:x∈Z且“p∧q”与“q”同时为假命题.求x的值.
解析：∵“p∧q”为假,
∴p、q至少有一命题为假.又“ q”为假,
∴q为真,从而可知p为假.
由p为假且q为真,
可得|x2-x|＜6且x∈Z,
即
∴
∴.
故x的值为-1、0、1、2.
10.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)3=2;
(2)5＞4;
(3)对任意实数x,x＞0;
(4)每个正方形都是平行四边形.
解：(1)的否定:3≠2,真命题.
(2)的否定:5≤4,假命题.
(3)的否定:存在实数x，使x≤0,真命题.
(4)的否定:存在正方形不是平行四边形,假命题.
综合运用
11.命题p:若a、b∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充要条件.
命题q:函数y=的定义域是(-∞,-1］∪［3,+∞).试判断p与q的真假性，及“p∨q”“p∧q”的真假性.
解析:命题p的判断可举反例:a=2,b=-3,
则|a|+|b|＞1,
但|a+b|=1,故命题p是假命题.
命题q:由函数解析式知|x-1|-2≥0,
解得x≤-1或x≥3,所以命题q真.
∴p∨q为真，p∧q为假.
拓展探究
12．已知命题p:不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R,命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
解：由不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R,
由绝对值的几何意义知m＜1；
由f(x)=-(5-2m)x是减函数知5-2m＞1,
∴m＜2.
又p∧q为假,p∨q为真,
∴p、q一真一假.若p真q假,可得m无解;
若p假q真,可得1≤m＜2.
由以上两种情况可得,
实数m的取值范围是1≤m＜2.
13．判断下列命题的真假，并写出命题的否定：
（1）有一个实数a，使不等式x2-(a+1)x+a>0成立；
（2）对任意实数x,不等式|x+2|≤0成立.
解析：（1）Δ=（a+1）2-4a=(a-1)2，任取a≠1有Δ＞0，则不等式成立.
∴命题为真命题.它的否定为：对任意实数x，使
x2-(a+1)x+a≤0成立.
(2)存在实数x=1,使|x+2|＞0，所以命题是假命题.它的否定为：存在实数x，使|x+2|＞0.3.2.3
直线与平面的夹角
课后导练
基础达标
1.直线a与平面α内任一条线所成最小的角为θ，a是平面α的斜线，b是平面α内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（
）
A.最小值为θ,最大值为π-θ
B.最小值为θ,最大值为
C.最小值为θ,无最大值
D.无最小值，最大值为
答案：B
2.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1C1与平面ABC1D1所成的角
（
）
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
答案：A
3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B和面BB1D1D所成的角为（
）
A.15°
B.45°
C.60°
D.30°
答案：D
4.如左下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦值________________.
答案：
5.如右上图，S是△ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，判断△ABC的形状_________.
答案：锐角三角形
6.四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，
求：（1）BC与平面SAB所成的角；
（2）SC与平面ABC所成角的正弦值.
解析：(1)如右图,∵SA、SB、SC两两垂直,
∴SC⊥面SAB.
∴∠CBS是BC与平面SAB所成的角.
∵∠CBS=60°,
∴BC与平面SAB所成的角为60°.
(2)连结MC,在Rt△ASB中,∠SBA=45°,则SM⊥AB.
又SC⊥面SAB,
∴SC⊥AB,
∴AB⊥面SMC.过S作SO⊥MC于点O,则SO⊥AB,
∴SO⊥面ABC,
∴∠
SCM是SC与平面ABC所成的角.
设SB=a,则SC=a,SM=a,
在Rt△CSM中,CM=a,
∴sin∠SCM=.
7.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，PA是平面ABC的斜线，∠PAB=∠PAC=60°，
（1）求PA与平面ABC所成角的大小；
（2）PA的长等于多少时，点P在平面ABC上的射影O恰好在BC边上？
解：(1)如右图,过P作PO⊥平面ABC于O,则∠PAO为PA与平面ABC所成的角,
易证AO为∠BAC的平分线,则∠OAB=45°.
由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得
cos∠PAO=
=,
∴∠PAO=45°.
∴PA与平面ABC所成的角为45°.
(2)若O∈BC,在△AOB中,
BO=,sinB=,
由正弦定理可求得AO=.
∴PA=f,
即PA=时,点P在平面ABC上的射影O恰好在BC边上.
8.如右图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.
试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.
解：建立如右图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,,m),C(0,1,0),D(0,0,0),
B1(1,1,1),D1(0,0,1)
所以=(-1,1,0),
=(0,0,1),
=(-1,1,m),=(-1,1,0),
又由·=0,·=0知,
为平面BB1D1D的一个法向量.
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ,
则sinθ=cos(-θ)
=
依题意有,
解得m=,
故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32.
9.如右图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E为BC的中点，F为直线CC1上的动点，设C1F=λFC.
当λ=3时，求EF与平面ABCD所成的角.
解析：如右图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(1,2,0).
当λ=3时,F(0,2,1),
=(-1,0,1).设平面ABCD的法向量为n,
则n=(0,0,1).
设与n的夹角为θ,则cosθ=
∴EF与平面ABCD所成的角为45°.
综合运用
10.如下图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1=8，BD1与侧面BC1所成的角为30°.
求：BD1和底面ABCD所成的角.
解：正四棱柱AC1中,CC1⊥底面A1C1,
∴CC1⊥D1C1,
∵底面是正方形,∴D1C1⊥B1C1,
∴D1C1⊥侧面BC1,
∴D1C1⊥BC1,
∴∠D1BC1就是BD1与侧面BC1所成的角.
∴∠D1BC1=30°,
∵D1B=8,
∴D1C1=4,B1D1==BD.
∵D1D⊥底面AC,
∴∠D1BD就是BD1与底面AC所成的角.
△D1BD中,cos∠D1BD=.
∴∠D1BD=45°,
即BD1和底面ABCD所成的角为45°.
11.正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为a，侧棱长为a.
(1)建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；
（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
解：(1)以点A为坐标原点O,以AB所在直线为Oy轴,以AA1所在直线为Oz轴,以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴,建立空间直角坐标系,
由已知,得A(0,0,0)、B(0,a,0)、A1(0,0,2a)、C1(-a,,a).
(2)坐标系如右图，取A1B1的中点M，于是有M（0，,a）,连结AM、MC1,有=(a,0,0)且=(0,a,0),=(0,0,a).
由于·=0,
·=0,
∴MC1⊥面ABB1A1.
∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.
∵=(a,,a),=(0,,a),
∴·=0++2a2=a2.
而||==a,
||==a.
∴cos〈,〉=.
∴与所成的角,即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
12.如下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面C1BD.
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以A1A⊥平面ABCD.
连结AC,则AC是A1C在平面ABCD内的射影.
又BD⊥AC,故由三垂线定理知BD⊥A1C.
又A1B1⊥平面B1BCC1,
连结B1C,则B1C是A1C在平面B1BCC1内的射影.
因为BC1⊥B1C,
所以由三垂线定理知
BC1⊥A1C.
因为BD∩BC1=B，
所以A1C⊥平面C1BD.
拓展研究
13.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）求EB与底面ABCD所成的角为正切值.
分析：如下图所示建立空间直角坐标系,D是坐标原点,设DC=a.
(1)证明:连结AC,AC交BD于G,连结EG.
依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,,).
因为底面ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心.
故点G的坐标为(,,0).所以=(a,0,-a).
=(,0,-).所以=2.
这表明PA∥EG.
而EG平面EDB且PA平面EDB，因为PA∥平面DEB.
(2)解:依题意得B(a,a,0),C(0,a,0).
取DC的中点F(0,
,0),连结EF,BF.
因为=(0,0,),=(a,,0),=(0,a,0).
所以·=0,
·=0.
所以FE⊥FB,FE⊥DC.
所以EF⊥底面ABCD,BF为BE在底面ABCD内的射影.
∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角.
||=,||==a.
所以tan∠EBF=.
所以,EB与底面ABCD所成的角的正切值为.2.4.1
抛物线的标准方程
课后导练
基础达标
1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是（
）
A.x2=-28y
B.y2=28x
C.y2=-28x
D.x2=28y
答案：B
2.已知抛物线的焦点在直线3x-y+36=0上，则抛物线的标准方程是（
）
A.x2=72y
B.x2=144y
C.y2=-48x
D.x2=144y或y2=-48x
答案：D
3.已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p的值为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：A
4.若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是(
)
A.y2=-16x
B.y2=-32x
C.y2=16x
D.y2=16x或y=0(x<0)
答案：C
5.抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标为(
)
A.(0,)或(0,-)
B.(0,)
C.(0,)
D.(,0)
答案：C
6.圆心在抛物线ｙ2＝２ｘ上，且与ｘ轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是_____________.
答案：(x-)2+(y±1)2=1
7.与抛物线y2=1[]4x关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是_______________.
答案：y=
8.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是_____________________.
答案：(9，±6)
9.抛物线的焦点F在x轴上，A（m,-3）在抛物线上，且|AF|=5，求抛物线的标准方程.
解：设抛物线方程为
y2=2px或y2=-2px(p＞0).
∵A点在抛物线上,
∴(-3)2=2pm或(-3)2=-2pm.
∴m=±.①
又|AF|=+|m|=5,②
把①代入②可得+=5,
即p2-10p+9=0.
∴p=1或p=9.
∴所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
10.已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x轴，求抛物线的方程.
解:设M(x,y)为抛物线上的任意一点，
则由抛物线的定义，得.
平方整理，得y=x2-x+3，为所求抛物线的方程.
综合运用
11.求抛物线y=ax2的焦点坐标和准线方程.
解：方程y=ax2不是抛物线的标准方程的形式，需将其化成标准方程.
抛物线方程可化为x2=y，其中2p=，
∴p=|a|，焦点在y轴上.
当a＞0时，焦点坐标为（0，），准线方程为y=-；
当a＜0时，焦点坐标为（0，），准线方程为y=-.
综上所述，可知：抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，），准线方程为y=-.
12.求抛物线x2=y上的点P到直线2x-y-4=0的距离最小时的点P的坐标.
解：设点P(x,y)，则x2=y.
P到直线2x-y-4=0的距离d=|2x-x2-4|=|x2-2x+4|=［(x-1)2+3］.
∴当x=1时，d最小,此时y=1.
∴P(1,1)为所求.
拓展探究
13.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F任作一条直线m,交抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.
证明：如右图，设P1P2的中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q
1、Q2、Q0，根据抛物线的定义,得
｜P1F｜=｜P1Q1｜,
｜P2F｜=｜P2Q2｜.
∴｜P1P2｜=｜P1F｜+｜P2F｜
=｜P1Q1｜+｜P2Q2｜.
∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,｜P1P0｜=｜P0P2｜,
∴｜P0Q0｜=（｜P1Q1｜+｜P2Q2｜）=｜P1P2｜.
由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0
与准线相切.
14.如右图，已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.
解：(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,于是,4+=5,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x,
(2)∵点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).
又∵F(1,0),∴kFA=,又MN⊥FA,∴kMN=,
则FA的方程为y=
(x-1),MN的方程为y-2=,解方程组得.
∴N(,).
(3)由题意得,圆M的圆心是点(0,2),半径为2,
当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离,
当m≠4时,直线AK的方程为y=(x-m),
即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d＞2,
解得m＞1.∴当m＞1时,直线AK与圆M相离;
当m=1时,直线AK与圆M相切;
当m＜1时,直线AK与圆M相交.1.3.2
命题的四种形式
课后导练
整合提升
基础达标
1.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s.则s是p的逆命题t的(
)
A.逆否命题
B.逆命题
C.否命题
D.原命题
答案：C
2.当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是(
)
A.若q，则p
B.若p，则q
C.若q，则p
D.p且q
答案：C
3.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中(
)
A.真命题的个数一定是奇数
B.真命题的个数一定是偶数
C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D.以上判断均不正确
答案：B
4.有下列四个命题，其中真命题是(
)
①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题
②“相似三角形的周长相等”的否命题
③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题
④若“A∪B=B，则AB”的逆否命题
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
答案：C
5.用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是（
）
A.假设是有理数
B.假设是有理数
C.假设或是有理数
D.假设＋是有理数
答案：D
6.命题“若a>1,则a>0”的逆命题是___________，逆否命题是______________.
答案：若a＞0,则a＞1
若a≤0,则a≤1
7.命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且___________的三棱锥是正三棱锥.
答案：顶点到底面三角形三个顶点距离相等
8.已知a,b都是实数，命题“若a+b>0,则a,b不全为0”的逆否命题是____________.(用“若p则q”的形式写出这一逆否命题)
答案：若a,b全为0，则a+b≤0.
9.写出命题“若a2>b2,则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断这四种命题的真假.
解析：先根据四种命题的定义写出相应的命题，然后通过举反例判断相应命题为假命题，或说明相应命题为真命题，因为不等式的性质到目前还比较生疏，所以在判断时有一定难度.
解：原命题：若a2＞b2,则a＞b.
逆命题：若a＞b,则a2＞b2.
否命题：若a2≤b2,则a≤b.
逆否命题：若a≤b,则a2≤b2.
取a=-1,b=0,有a2＞b2，但a＞b不成立，所以原命题为假，取a=-2,b=-3，有a＞b，但a2＞b2不成立，所以逆命题为假.
根据原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假的性质，这四种命题全为假命题.
10.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
（1）m>时，mx2-x+1=0无实根;
(2)当abc=0时，a=0或b=0或c=0.
解析:改造原命题成“若p则q”形式，再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题.在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律.
（1）原命题：“若m＞，则mx2-x+1=0无实根”，是真命题；
逆命题：“若mx2-x+1=0无实根，则m＞”是真命题；
否命题：“若m≤，则mx2-x+1=0有实根”是真命题；
逆否命题：“若mx2-x+1=0有实根，则m≤”是真命题.
（2）原命题：“若abc=0,则a=0或b=0或c=0”是真命题；
逆命题：“若a=0或b=0或c=0，则abc=0”是真命题；
否命题：“若abc≠0,则a≠0且b≠0且c≠0”是真命题；（注意：“a=0或b=0或c=0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”）
逆否命题：“若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0，”是真命题.
综合运用
11.证明：如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.
证明:如右图，不妨设直线a、b、l中，a∥b,l与a是异面直线，且l与b不相交.
假设l与b不是异面直线，则l与b共面，即l与b可能相交，也可能平行.
若l与b相交，这与已知矛盾.
若l与b平行，即l∥b,又a∥b，得l∥a,这与l与a异面相矛盾.
综上可知,l与b是异面直线.
12.求证两条相交直线有且只有一个交点.
证明：假设结论不成立，即有两种可能.
①无交点;②不止一个交点.
①若直线a、b无交点，那么a∥b或异面这与已知矛盾;②若a、b不止一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A、B就有两条直线，这与“经过两点只有一条直线相矛盾，综上所述，两条相交直线有且只有一个交点”.
13.判断命题“若c>0则y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点”的逆否命题的真假.
解析：∵c＞0,
∴Δ=1+4c＞0，
∴y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点，即命题为真.
∴其逆否命题也为真.
拓展探究
14.已知函数f(x)=ax+(a>1).
(1)证明：函数f(x)在（-1，+∞）上为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
解析：（1）任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,＞1,且ax1＞0.
∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)＞0.
又∵x1+1＞0,x2+1＞0.
∴
=
=＞0.
于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+＞0.
故函数f(x)在（-1，+∞）上为增函数.
(2)证法一：设存在x0＜0(x0≠-1)，满足f(x0)=0,则ax0=,且0＜ax0＜1.
∴0＜＜1,即＜x0＜2.与假设x0＜0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
证法二：设存在x0＜0(x0≠-1)，满足f(x0)=0.
①若-1＜x0＜0,则＜-2,ax0＜1.
∴f(x0)＜-1与f(x0)=0矛盾.
②若x0＜-1,则＞0,ax0＞0,
∴f(x0)＞0与f(x0)=0矛盾.
故方程f(x)=0没有负数根.3.2.5
距离
课后导练
基础达标
1.如右图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（
）
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线CA上
D.△ABC内部
答案：A
2.下列命题中正确命题的个数为（
）
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；
④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：B
3.如右图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°,M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（
）
A.PA=PB＞PC
B.PA=PB＜PC
C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
答案：C
4.正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，点M分的比为，N为B1B的中点，则||为…（
）
A.
a
B.a
C.a
D.a
答案：A
5.(2005全国高考卷Ⅲ，11)不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（
）
A.3个
B.4个
C.6个
D.7个
答案：D
6.如左下图，AB垂直于△BCD所在的平面，AC=，AD=，BC∶BD=3∶4，当△BCD的面积最大时，点A到直线CD的距离为______________.
答案：
7.如右上图，在Rt△ABC中，AF是斜边BC上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为_______.
答案：
8.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，过点A、C、B1的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,l与直线AC的距离为______________.
答案：a
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=a.
(1)求证：MN∥平面BB1C1C；
（2）求MN的长.
答案：(1)证明：作MP∥AB，NQ∥AB分别交BB1、BC于P、Q，连结PQ.由作图可得PM∥QN，
A1M=a,MB=3a,
由，得PM=a,
同理QN=a,
∴PMQN,
PQNM是平行四边形，
MN∥PQ，PQ平面BB1C1C，
∴MN∥平面BB1C1C.
(2)解：∵BP=PM=a,又BQ=a,
在Rt△PBQ中，可求得PQ=a.
∴MN=PQ=a.
综合运用
10.如右图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P-CD-B为45°.
(1)求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；
（3）设AD=2，CD=2，求点A到平面PEC的距离.
答案：(1)证明：取PC的中点G，连结EG、FG.
∵F是PD的中点，∴FG∥CD，且FG=CD.
而AE∥CD，且AE=CD，
∴EA∥GF，且EA=GF.
故四边形EGFA是平行四边形,
从而EG∥AF.
又AF平面PEC，EG平面PEC,
∴AF∥平面PEC.
(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴AD是PD在平面ABCD上的射影.
又CD⊥AD，
∴CD⊥PD，CD⊥AD，
∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角.
∴∠ADP=45°,则AF⊥PD.
又AF⊥CD，PD∩CD=D,
∴AF⊥平面PCD.
由（1），EG∥AF，
∴EG⊥平面PCD.
而EG平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.
(3)解析：过F作FH⊥PC交PC于H，
又平面PEC⊥平面PCD，则FH⊥平面PEC，∴FH为点F到平面PEC的距离.
而AF∥平面PEC，故FH等于点A到平面PEC的距离.
在△PFH与
△PCD中，
∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC为公共角，
∴△PFH∽△PCD,=.
∵AD=2,CD=2,PF=,
PC==4,
∴FH=·2=1.
∴点A到平面PEC的距离为1.
11.如右图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB.
(1)求证：平面PCE⊥平面PCD；
（2）求点D到平面PCE的距离.
答案：(1)证明：取PD的中点F，则AF⊥PD.
∵CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD.
∴AF⊥平面PCD.
取PC的中点G，连结EG、FG，可证AFGE为平行四边形，∴AF∥EG.
∴EG⊥平面PCD.
∵EG在平面PCE内，
∴平面PCE⊥平面PCD.
(2)解析：在平面PCD内，过点D作DH⊥PC于H.
∵平面PCE⊥平面PCD，
∴DH⊥平面PCE，
即DH为点D到平面PCE的距离.
在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=a.
在Rt△PCD中，PD=a,CD=a,PC=a.
∴DH=a.
12.如下图，若正方体AC1的棱长为3，|CM|=2|MA|，|BN|=2|NC1|，求线段MN的长.
解析：如题图，∵|CM|=2|MA|,
∴可知，M（2，1，0）.
同理可得N（1，3，2），
∴|MN|=3.
13.如下图，在棱长均为2的正三棱柱中，建系如下图，M是正方形BCC1B1的中心，求AM的长.
解析：由题意，A（0，-1，0），过M作MN⊥BC于点N，过N作NP⊥OC于点P，∵M是正方形BCC1B1的中心，
∴N是BC的中点，P是OC的中点.
∴|PN|=|OB|=.
∴M(,,1).
∴|AM|==2.
拓展研究
14.如右图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求AD1与A1B的距离.
解：设MN是AD1与A1B的公垂线段，N∈A1B,M∈AD1,设=i,=j,=k,以i,j,k为坐标向量建立空间直角坐标系.
则=（-1，0，1），=（0，1，1）.
设=t=(0,t,t),
=λ
=(-λ,0,λ),有M（0,t,t）、N(1-λ,0,λ).
∴=(1-λ,0,λ)-(0,t,t)=(1-λ,-t,λ-t).
由⊥,得
（1-λ,-t,λ-t）·（-1，0，1）=2λ-t-1=0.①
由⊥A，得（1-λ,-t,λ-t）·（0，1，1）=λ-2t=0.②
解①②得λ=,t=,∴=(,,),
||==.故AD1与A1B间的距离为.3.2.4
二面角及其度量
课后导练
基础达标
1.在60°的二面角α-a-β内有一点P，P到α、β的距离分别为3和5，求P到棱a的距离（
）
A.
B.
C.14
D.
答案：A
2.已知α-l-β为直二面角，A、B在l上，AC、BD分别在面α、β内，且AC与l的夹角为45°（如下图的位置），BD⊥l,AC=，AB=2，BD=4，求CD的长（
）
A.
B.
C.
D.4
答案：C
3.过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA=AB，求平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案：B
4.在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=a,AD=3a,∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD，PA=a,则二面角P-CD-A为_______________.
答案：arctan
5.如右图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如果将△DAE和△CBE分别沿DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，求面PCD与面ECD所成的二面角_________________.
答案：30°
6.如右图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
证明：∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°,
∴AB=AC,取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,
∴∠AOS为二面角A-BC-S的平面角.设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°.
∴BC=a,SO=a,AO2=AC2-OC2=a2-a2=a2.
∴SA2=AO2+OS2.
∴∠AOS=90°.
从而平面ABC⊥平面BSC.
7.如右图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=，求二面角A-PB-C的大小.
解：如题图,作CH⊥AB于H,因为PA⊥平面ABC,所以CH⊥PA,从而CH⊥平面PAB.作HD⊥PB于D,连结CD,由三垂线定理得CD⊥PB,所以∠CDH为二面角A-PB-C的平面角.
在Rt△ACB中,CH=.
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.又BC⊥AC,
∴BC⊥平面PAC,
∴BC⊥PC.
在等腰直角三角形PCB中,易知CD=1,在Rt△CHD中,
sin∠CDH==.
故二面角A-PB-C的大小是arcsin.
8.如右图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小.
解：过P作PF⊥AD1于F,
∵AB⊥平面AA1D1D,
∴AB⊥PF,
∴PF⊥平面ABD1.
由点F作FE⊥BD1于E,连结EF,则PE为平面ABD1的斜线,EF为PE在平面ABD1内的射影,则PE⊥BD1.
∴∠PEF为二面角A-BD1-P的平面角.
∵Rt△AFP∽Rt△ADD1,∴,
∴PF=.
在△PBD1中,PD1=PB=,
∵PE⊥BD1,
∴BE=BD1=.
在Rt△PBE中,PE=,
在Rt△PEF中,sin∠PEF=,
∴∠PEF=30°,
∴二面角A-BD1-P的大小为30°.
9.如右图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，∠ABC＝90°，ＳA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.
求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
解析：如右图,延长BA、CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱.
∵AD∥BC,BC=2AD,
∴EA=AB=SA,
∴SE⊥SB.
∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线.
又BC⊥EB,
∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB上的射影.
∴CS⊥SE.
∴∠BSC是所求二面角的平面角.
∵SB=,BC=1,BC⊥SB,
∴tan∠BSC=,
即所求二面角的正切值为.
综合运用
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是AB、BC、DD1的中点.求二面角M-B1N-B的正弦值.
解：用三垂线定理求二面角.BE⊥B1N,Q点为垂足,
∵MB⊥平面BB1N,BQ为斜线MQ在平面BB1中的射影,且BQ⊥B1N,
∴MQ⊥B1N.
∴∠BQM为二面角M-B1N-B的平面角.
设AB=1,在Rt△BEC中,BC=1,BE=,cos∠NBQ=.
在Rt△BNQ中,
BQ=BNcos∠NBQ=·=.
在Rt△MBQ中,
tan∠MQB===,
sin∠MQB=.
∴二面角M-B1N-B的正弦值为.
11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1=AB=1，M是CC1的中点，求面A1MB与面ABC成的角.
解：对无棱二面角传统方法是先做出棱来,本题延长A1M交AC于N,连接BN,则可确定∠A1BA是所求二面角之平面角.以向量法解决这一类问题可以回避做图找角的过程.这里只要求出两半平面的法向量,求法向量夹角就可以了.简解:如右图建系,设面A1MB的法向量n=（1,m,n）,由·n=0、·n=0,
得m=,n=.
又面ABC的法向量p=(0,0,1),
可解得cos〈n,p〉,
即〈n,p〉=45°.
因此,所求二面角的大小为45°.
拓展研究
12.如下图，几何体∠APC=90°，∠APB=60°，PB=BC=4，PC=3，求二面角B-PA-C的大小.
解析：作BD⊥AP,D为垂足,
∵CP⊥AP,
∴二面角B-PA-C的大小等于〈,〉.
在Rt△PBD中,BD=PB·sin∠BPA=4·sin60°=23,DP=BP·cos∠BPA=4·cos60°=2.
∵=++,
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·,
即42=(2)2+22+42+2×2×4cos〈,〉.
求得cos〈,〉=.
∴〈,〉=π-arccos.
于是〈,〉=arccos.
因此所求二面角B-PA-C为arccos
