1.3.1
推出与充分条件、必要条件
自我小测
1．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
3．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos
2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知α，β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ.p：a与b无公共点；q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
7．a＝0是直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行的__________条件．
8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件．
9．设p：关于x的不等式a1x2＋b1x＋c1＞0与a2x2＋b2x＋c2＞0的解集相同，q：＝＝，则q是p的__________条件．
10．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
11．设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析p：a＞2，且b＞1是q：两根α，β均大于1的什么条件．
12．若方程x2－mx＋3m－2＝0的两根x1，x2满足：1＜x1＜8,1＜x2＜8，求实数m的取值范围．
参考答案
1．解析：因为x2＋(y－2)2＝0，即x＝0，且y＝2，所以x(y－2)＝0.反之x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，所以x2＋(y－2)2＝0不一定成立．
答案：A
2．解析：函数f(x)的对称轴为x＝－，于是－＝1m＝－2.
答案：A
3．解析：由α＝＋2kπ(k∈Z)可得到cos
2α＝.
由cos
2α＝，得2α＝2kπ±(k∈Z)，
所以α＝kπ±(k∈Z)．
由cos
2α＝不一定得到α＝＋2kπ(k∈Z)，故选A.
答案：A
4．解析：l1与l2平行的充要条件为a×2＝2×1，且a×4≠－1×1，得a＝1，故选C.
答案：C
5．解析：α∥βα，β无公共点a，b无公共点；a，b无公共点不能推出α，β无公共点，即不能推出α∥β，则p是q的必要不充分条件．
答案：B
6．答案：C
7．解析：判定直线与直线平行的必要条件时要分a＝0与a≠0两种情况．
(1)因为a＝0，所以l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0.
所以l1∥l2，即a＝0l1∥l2；
(2)若l1∥l2，
当a≠0时，l1：y＝x－，l2：y＝x－，
所以＝，无解．
当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.
答案：充要
8．解析：a＞0，c＜0b2－4ac＞0函数f(x)有两个零点；函数f(x)有两个零点b2－4ac＞0a＞0，c＜0，故“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
9．解析：条件判定时，不一定非是充分或必要条件，因此情况有4种．
当＝＝＝－1，即a1＝－a2，b1＝－b2，c1＝－c2时，a1x2＋b1x＋c1＞0a2x2＋b2x＋c2＜0，所以解集不同，即qp；
当a1＝a2＝0时，b1＝2，c1＝4，b2＝4，c2＝8，解集相同，但无意义，即pq.
答案：既不充分也不必要
10．分析：先化简集合，然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“BA”，得关于a的不等式，求解即可．
解：p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}＝{x|x＞－1或x＜－3}，q：B＝{x||x|＜a}，
因为p是q的必要不充分条件，
所以BA.
当a≤0时，B＝，满足BA；
当a＞0时，B＝{x|－a＜x＜a}，要使BA，只需－a≥－1，此时0＜a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
11．解：由韦达定理，得α＋β＝a，αβ＝b.
先看由q是否推出p，因为α＞1，且β＞1，
所以a＝α＋β＞2，b＝αβ＞1，即由qp；
再看由p是否推出q，不妨取α＝4，β＝，a＝α＋β＝4＋＞2，b＝αβ＝4×＝2＞1，但q不成立，即pq.
所以a＞2，且b＞1是α＞1，且β＞1的必要不充分条件．
12．解：令f(x)＝x2－mx＋3m－2.
由题意，根的分布的图象如图中的抛物线①所示，则f(x)满足：图象与x轴有交点，所以Δ≥0.
又由图象可知f(1)＞0，且f(8)＞0；而仅满足这些，原方程的两根不一定在1到8之间，如图中的抛物线②.因此还必须有对称轴x＝落在1到8之间．而反过来，满足“Δ≥0，且f(1)＞0，f(8)＞0,1＜＜8”的抛物线与x轴必有交点且交点在1到8之间．
所以方程f(x)＝0的两根在1到8之间的充要条件是eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4(3m－2)≥0，,f(1)＝2m－1>0，,f(8)＝62－5m>0，,1<<8，))
即eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(m≥6＋2或m≤6－2，,m>，,m<，,2故所求的m的取值范围是6＋2≤m＜.3.1.4
空间向量的直角坐标运算
自我小测
1．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
2．已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离||＝( )
A.
B.
C.
D.
3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b夹角的余弦值为，则λ＝( )
A．2
B．－2
C．－2或
D．2或－
4．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
5．若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为( )
A.
B．－
C．2
D．±
6．正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则P点的坐标为__________．
8．已知A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，＝(－)，则点P的坐标是__________．
9.已知向量a＝(2，－1,2)，则与a共线且a·x＝－18的向量x＝__________.
10．如图所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3.
(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
(2)若以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
11．如图所示，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.
(1)求向量的坐标；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
12．正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且AM⊥BN，建立空间直角坐标系．
(1)求AA1的长；
(2)求〈，〉；
(3)对于n个向量a1，a2，…，an，如果存在不全为零的n个实数λ1，λ2，…，λn，使得λ1a1＋λ2a2＋…＋λnan＝0成立，则这n个向量a1，a2，…，an叫做线性相关，不是线性相关的向量叫线性无关，判断，，是否线性相关，并说明理由．
参考答案
1．解析：设C(a，b，c)，∵＝(－3，－2，－4)，
∴(－3，－2，－4)＝(a，b，c)，
∴(a，b，c)＝.故选A.
答案：A
2．解析：由题意，得M，则＝，
所以||＝＝.
答案：C
3．解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ，
|a|＝，|b|＝.
cos〈a，b〉＝＝＝.
55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝.
答案：C
4．解析：a∥b＝＝
答案：D
5．解析：＝(－6,1,2k)，C＝(－3,2，－k)，
则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k(－k)＝－2k2＋20＝0，
∴k＝±.
答案：D
6．解析：建立如图所示坐标系，由题意设A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,2)，A1(1,0,2)．
由＝(－1,0,2)，＝(0,1，－2)，
∴cos〈，〉＝＝－.∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，故选D.
答案：D
7．解析：＝(－x,1，－z)，
＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，
∴∴
∴P(－1,0,2)．
答案：(－1,0,2)
8．解析：∵＝(6,3，－4)，设P(a，b，c)，
则(a－2，b＋1，c－2)＝，
∴a＝5，b＝，c＝0，∴P.
答案：
9．解析：设x＝(x，y，z)，又a·x＝－18，
∴2x－y＋2z＝－18，①
又∵a∥x，∴x＝2λ，y＝－λ，z＝2λ，②
由①②知，x＝－4，y＝2，z＝－4，
∴x＝(－4,2，－4)．
答案：(－4,2，－4)
10．解：(1)正方形ABCD中，AB＝6，
∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3.
∴各点坐标分别为A(3，0,0)，B(0,3，0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(3，0,4)，B1(0,3，4)，C1(－3，0,4)，D1(0，－3，4)，M(0,3，2)，N(－3，0,3)．
(2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)．
11．解：B(0，－1,0)，C(0,1,0)，＝(0，－2,0)．
(1)由题意设D(0，m，n)(m<0，n>0)，
则＝(0，m＋1，n)，＝(0，m－1，n)．
因为∠BDC＝90°，所以⊥，
即(m－1)(m＋1)＋n2＝0.①
因为cos∠DCB＝＝＝，②
所以求解①②组成的方程组得或(舍去)或(舍去)，
所以D，所以＝.
(2)＝，＝(0,2,0)，
所以cos〈，〉＝＝＝－，所以与的夹角的余弦值为－.
12．解：(1)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AA1的长为a，则B(4,4,0)，N(2,2，a)，
＝(－2，－2，a)，A(4,0,0)，M，＝，由⊥得·＝0，即a＝2.
(2)＝(－2，－2,2)，＝(－4,0,2)，
cos〈，〉＝＝，
〈，〉＝arccos.
(3)由＝(－2,4，)，＝(－2，－2,2)，＝(0，－4,0)，
λ1(－2,4，)＋λ2(－2，－2,2)＋λ3(0，－4,0)＝(0,0,0)，
得λ1＝λ2＝λ3＝0，则，，线性无关．2.3.2
双曲线的简单几何性质
自我小测
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2
B．2
C.
D．1
2．已知双曲线＋＝1的离心率e＜2，则k的取值范围是( )
A．k＜0或k＞3
B．－3＜k＜0
C．－12＜k＜0
D．－8＜k＜3
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则这个双曲线的方程为( )
A．2x2－4y2＝1
B．2x2－4y2＝2
C．2y2－4x2＝1
D．2y2－4x2＝3
4．过点(2，－2)且与－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为( )
A．－＋＝1
B.－＝1
C．－＋＝1
D.－＝1
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为( )
A．2
B．3
C.
D.
6．双曲线－＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，如图，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，交MF1于点H，交MF2于点N，则双曲线的离心率为( )
A．1＋
B．4＋2
C．2－2
D．2＋2
7．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________________．
8．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点(4，－2)，则它的离心率e＝__________.
9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为__________．
10．求以过原点且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切的两直线为渐近线，且过椭圆y2＋4x2＝4两焦点的双曲线的方程．
11．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的一点，∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，离心率为2，求此双曲线的标准方程．
12．已知双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为eq
\f(,4)c，求此双曲线的离心率．
参考答案
1．解析：由－＝1得渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(±4,0)，则焦点F(4,0)到渐近线y＝x的距离为d＝eq
\f(4,eq
\r(()2＋1))＝2.
答案：A
2．解析：由题意知k＜0，
所以e＝eq
\f(,2)＜2，
解得－12＜k＜0.
答案：C
3．解析：由于4x2＋y2＝1的焦点坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(0，±eq
\f(,2)))，即双曲线的焦点坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(0，±eq
\f(,2)))，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，由eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(eq
\f(,2)))2＝a2＋b2得a2＝，b2＝，再结合焦点在y轴上，故选C.
答案：C
4．解析：由题意可设双曲线方程为－y2＝k(k∈R，且k≠0)，又双曲线过点(2，－2)，代入即可求得k，从而求出双曲线方程为－＋＝1.
答案：A
5．解析：依题意，2a＋2c＝2·2b，
所以a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，
即3c2－2ac－5a2＝0，
所以3e2－2e－5＝0，所以e＝或e＝－1(舍)．
答案：D
6．解析：由题意知，|F1N|＝c，|NF2|＝c，
又|NF1|－|NF2|＝2a，即c－c＝2a，
所以e＝＝eq
\f(2,－1)＝＋1.
答案：A
7．解析：因为＝2，c＝4，所以a＝2，b＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以其渐近线方程为y＝±x.因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2知＝，解得e2＝，所以e＝eq
\f(,2).
答案：eq
\f(,2)
9．解析：因为双曲线上存在一点P使|PF1|=2|PF2|，如图．
又因为|PF1|-|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a，
即在双曲线右支上必存在点P使得|PF2|=2a.
所以|AF2|≤2a.
所以|OF2|-|OA|=c-a≤2a，
所以c≤3a，所以≤3.
又因为e＞1，所以1＜e≤3.
答案：1＜e≤3
10．解：圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为(2,0)，半径r＝1.设过原点的圆的切线方程为y＝kx.
由圆的切线的性质，可得eq
\f(|2k－0|,)＝r＝1.
解得k＝±eq
\f(,3).
故双曲线的渐近线方程为y＝±eq
\f(,3)x，
从而所求的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．①
将椭圆y2＋4x2＝4化为标准形式为＋x2＝1.
所以焦点坐标为(0，±)．
将点(0，)代入①，得－＝λ，
所以λ＝－1.
故所求双曲线的方程为－＝1.
11．解：设双曲线的标准方程为－＝1，因|F1F2|＝2c，而e＝＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理，得
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos
60°)，
所以4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
又＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝12，
所以|PF1|·|PF2|＝48.
由3c2＝48，所以c2＝16，得a2＝4，b2＝12.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
12．解法一：依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为eq
\f(,4)c，得eq
\f(ab,)＝eq
\f(,4)c，即ab＝eq
\f(,4)c2.
所以16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0.
所以3eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())2－10＋3＝0.
解得＝或＝3.
又0＜a＜b，所以＝3.
所以e＝eq
\r(1＋)＝2.
解法二：设A(a,0)，B(0，b)，则|AB|＝c.
令∠BAO＝α，则cos
α＝＝，sin
α＝eq
\f(eq
\f(,4)c,a)＝eq
\f(,4)e.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以e2＋＝1，即3e4－16e2＋16＝0.
所以e2＝或e2＝4，即e＝eq
\f(2,3)或e＝2.
又0＜a＜b，所以＞1，所以e＝eq
\r(1＋)＞.
所以离心率e为2.2.5
直线与圆锥曲线
自我小测
1．若椭圆＋＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为( )
A．2
B．－2
C.
D．－
2．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A．3
B．2
C.eq
\f(,3)
D.
3．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与双曲线交于M，N两点，且MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
4．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.eq
\b\lc\[\rc\](eq
\a\vs4\al\co1(－，))
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
5．设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )
A.
B．5
C.eq
\f(,2)
D.
6．已知直线y＝k(x＋2)与双曲线－＝1，有如下信息：联立方程组eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(y＝k(x＋2)，,－＝1，))消去y后得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，分类讨论：(1)当A＝0时，该方程恒有一解；(2)当A≠0时，Δ＝B2－4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，]
B．[，＋∞)
C(1,2]
D．[2，＋∞)
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为__________．
8．在直角坐标系中任给一条直线，它与抛物线y2＝2x交于A，B两点，则·的取值范围为__________．
9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝__________.
10．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线和椭圆有公共点时，
(1)求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．
11．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB.
(1)设OA的斜率为k，试用k表示点A，B的坐标；
(2)求弦AB中点M的轨迹方程．
12．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．解析：设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
又
①－②得
＋＝0，
即＋＝0，
所以所求直线的斜率为＝－.
答案：D
2．解析：依题设弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
又x＋2y＝4，x＋2y＝4，
∴x－x＝－2(y－y)，
此弦的斜率k＝＝－＝－，
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即y＝－x＋.
代入x2＋2y2＝4，整理得3x2－6x＋1＝0，
∴x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝eq
\r(1＋)×eq
\r(4－4×)＝eq
\f(,3).
答案：C
3．解析：由c＝，得a2＋b2＝7.
∵焦点为F(，0)，
∴可设双曲线方程为－＝1，①
并设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝x－1代入①并整理得
(7－2a2)x2＋2a2x－a2(8－a2)＝0，
∴x1＋x2＝－，
由已知得－＝－×2，解得a2＝2，
故双曲线的方程为－＝1.
答案：D
4．解析：由y2＝8x，得Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，直线l与抛物线有公共点，方程组eq
\b\lc\{\rc\
()有解，即k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0有解，Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0，得k2≤1，∴－1≤k≤1.
答案：C
5．解析：双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，由方程组eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝x2＋1，))消去y，得x2－x＋1＝0，有唯一解，所以Δ＝eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(－))2－4＝0，所以＝2，e＝＝eq
\f(,a)＝eq
\r(1＋eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())2)＝.
答案：D
6．解析：依题意可知直线恒过定点(－2,0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－，即0＜m≤4，又e＝eq
\r(1＋)＝eq
\r(1＋)，所以e≥.
答案：B
7．解析：设一个焦点为F(c,0)，其中c2＝a2＋b2，过F且垂直于x轴的弦为AB，则A(c，y0)，
∵A(c，y0)在双曲线上，∴－＝1.
∴y0＝±beq
\r(－1)＝±.∴|AB|＝2|y0|＝.
答案：
8．解析：设直线方程为x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，得y2－2ty－2b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2b，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝b2－2b＝(b－1)2－1，∴·的取值范围为[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
9．解析：如图，过B作BE垂直于准线l于E，
∵=，
∴M为AB的中点，
∴|BM|=|AB|.
又斜率为，∠BAE=30°，
∴|BE|=|AB|，∴|BM|=|BE|，
∴M为抛物线的焦点，∴p=2.
答案：2
10．解：联立得方程组eq
\b\lc\{\rc\
()
消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.
(1)由Δ≥0，得20－16m2≥0，
解得－eq
\f(,2)≤m≤eq
\f(,2).
(2)由根与系数的关系得eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－，,x1x2＝，))
所以弦长l＝＝eq
\r(2eq
\b\lc\[\rc\](eq
\a\vs4\al\co1(－)))＝.
当m＝0时，l取最大值为eq
\f(2,5)，此时直线的方程为y＝x.
11．解：(1)∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0，
∴直线OA的方程为y＝kx(k≠0)，
∴联立方程，得eq
\b\lc\{\rc\
()
解得xA＝，yA＝.
以－替代上式中的k，解方程组eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(y＝－x，,y2＝2px，))
解得xB＝2pk2，yB＝－2pk，
∴Aeq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，))，B(2pk2，－2pk)．
(2)设AB中点M(x，y)，则由中点坐标公式，
得
消去参数k，得y2＝px－2p2，
即为M点的轨迹方程．
12．解：(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程，得＋(kx＋)2＝1.
整理，得eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(＋k2))x2＋2kx＋1＝0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，
等价于Δ＝8k2－4eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(＋k2))＝4k2－2＞0，
解得k＜－eq
\f(,2)或k＞eq
\f(,2)，
即k的取值范围为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(－∞，－eq
\f(,2)))∪eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(eq
\f(,2)，＋∞)).
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①，得x1＋x2＝－eq
\f(4k,1＋2k2).②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，③
而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，
所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，
把②③代入上式，解得k＝eq
\f(,2).
由(1)知k＜－eq
\f(,2)或k＞eq
\f(,2).
故没有符合题意的常数k.1.3.2
命题的四种形式
自我小测
1．有下列命题：
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“若a＞1，则ax2－2(a＋1)x＋a－3＞0的解集为R”的逆否命题；
③“若a＋是有理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中真命题是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
2．命题a的逆命题是b，命题b的否命题是c，则a与c互为( )
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．不能确定
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
4．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若整数a能被2整除，则a是偶数”的逆命题是：“若整数a是偶数，则a能被2整除”
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
6．命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是__________．
7．命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0”的逆命题是________________________________________________________________________．
8．有下列四个命题：
①如果xy＝1，则lg
x＋lg
y＝0；
②“如果sin
α＋cos
α＝，则α是第一象限角”的否命题；
③“如果b≤0，则方程x2－2bx＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④“如果A∪B＝B，则AB”的逆命题．
其中是真命题的有__________(填序号)．
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；
(2)若a＝2，则函数y＝ax是增函数．
10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若命题“A∩B＝”是假命题，求实数m的取值范围．
参考答案
1．解析：①中命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，是真命题；②中，由ax2－2(a＋1)x＋a－3＞0的解集为R知，a＞0，且[－2(a＋1)]2－4a(a－3)＜0，而满足条件的a不存在，故②中命题为假命题．③中命题为真命题．
答案：B
2．解析：设命题a是“若p，则q”，则命题b为“若q，则p”，命题c为“若q，则p”．故a与c互为逆否命题．
答案：C
3．答案：B
4．答案：C
5．解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数．显然此命题为假．又因为逆命题与否命题同真假，所以否命题为假，故选C.
答案：C
6．答案：到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上
7．答案：已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空解集
8．解析：命题①显然错误，例如：x＝－1，y＝－1时，lg
x＋lg
y无意义．对于②，其否命题为“如果sin
α＋cos
α≠，则α不是第一象限角”，因当α＝60°时，sin
α＋cos
α＝eq
\f(1＋,2)≠，故知其否命题为假命题．对于命题③，因当b≤0时，Δ＝4b2－4b≥0恒成立，故方程x2－2bx＋b＝0有实数根．由原命题与其逆否命题真假相同，可知命题③是真命题．对于④，其逆命题为“若AB，则A∪B＝B”，显然为真．
答案：③④
9．分析：依据四种命题的定义分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题．“0或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．
解：(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)
否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)
逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)
(2)逆命题：若函数y＝ax是增函数，则a＝2；(假)
否命题：若a≠2，则函数y＝ax不是增函数；(假)
逆否命题：若函数y＝ax不是增函数，则a≠2.(真)
10．解：因为A∩B＝是假命题，
所以A∩B≠，设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，
则U＝eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(meq
\b\lc\|\rc\}(eq
\a\vs4\al\co1(m≤－1，或m≥)))).
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2都非负，则有eq
\b\lc\{\rc\
()
即eq
\b\lc\{\rc\
()
解得m≥.
又集合eq
\b\lc\{\rc\}(eq
\a\vs4\al\co1(meq
\b\lc\|\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(m≥))))关于全集U的补集是{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．2.3.1
双曲线及其标准方程
自我小测
1．双曲线－＝1的焦距是( )
A．4
B．2
C．10
D．与m有关
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16
B．18
C．21
D．26
3．方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1＜k＜1
B．k＞0
C．k≤0
D．k＞1或k＜－1
4．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则点P的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1(x≤－3)
D.－＝1(x≥3)
5．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数m的值为( )
A．1
B．1或3
C．1或3或－2
D．3
6．方程＋＝1所表示的曲线为C，有下列命题：
①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4；
②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2；
③曲线C不可能是圆；
④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜4.
以上命题正确的是( )
A．②③
B．①④
C．②④
D．①②④
7．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为________________．
8．如果一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心P的轨迹方程为__________．
9．椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(s＞0，t＞0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝__________.
10．已知双曲线16x2－9y2＝144，F1，F2是左、右两焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2.
11．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
12．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．
参考答案
1．解析：由题意可知a2＝m2＋16，b2＝9－m2，
所以c2＝a2＋b2＝m2＋16＋9－m2＝25，
所以c＝5，所以2c＝10.
答案：C
2．解析：由双曲线的定义可知：|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋|AB|.
所以△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝26.
答案：D
3．解析：因为方程－＝1表示双曲线，
所以有(1＋k)(1－k)＞0，解得－1＜k＜1.
答案：A
4．解析：双曲线的定义是动点到两定点的距离的差的绝对值，由于本题中没有绝对值，因此只能代表距离B(5,0)点近的一支．
答案：D
5．解析：由题意可知m＞0，于是焦点都在x轴上，故有＝，解得m＝1.
答案：A
6．解析：①若C为椭圆，则eq
\b\lc\{\rc\
()
解得2＜t＜4，且t≠3.
②若C为双曲线，
则(4－t)(t－2)＜0，
所以t＞4或t＜2.
③当t＝3时，方程为x2＋y2＝1表示圆．
④若C为焦点在y轴上的椭圆，则eq
\b\lc\{\rc\
()
解得3＜t＜4.
答案：C
7．解析：令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点．令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，故a＝2，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8．解析：根据题意可知|PB|＝|PA|＋rB，
所以|PB|－|PA|＝rB，即|PB|－|PA|＝4，故点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，且2a＝4，c＝4，所以b2＝c2－a2＝12，故所求的方程为－＝1(x≤－2)．
答案：－＝1(x≤－2)
9．解析：由椭圆、双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2，①
|PF1|－|PF2|＝±2，②
由①2－②2得|PF1|·|PF2|＝m－s.
答案：m－s
10．解：因为||PF1|－|PF2||＝6，
所以(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36.
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100.
又因为|F1F2|＝2c＝10，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
所以∠F1PF2＝90°.
11．解：因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由|PM|－|PN|＝4，
得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，故所求方程为－＝1.
12．解法一：椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝3，a2＋b2＝9.
由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)，B(－，4)，由点A在双曲线上，即－＝1.
解方程组eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,－＝1，))
得eq
\b\lc\{\rc\
()
所以所求双曲线的方程为－＝1.
解法二：由已知得双曲线的两焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为双曲线与椭圆有一个交点纵坐标为4，
所以它们的一个交点为A(，4)．
因为||AF1|－|AF2||＝2a，
所以将A，F1，F2的坐标代入得a＝2.
又因为c＝3，
所以b2＝c2－a2＝5.
所以所求双曲线的方程为－＝1.3.2.1
直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2
平面的法向量与平面的向量表示
自我小测
1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2
B．－4
C．4
D．－2
2．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u＝(4,0,8)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．lα
D．l与α斜交
3．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝，y＝
4．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A．－
B.
C．－
D.
5．已知平面α过点A(1，－1,2)，其法向量n＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( )
A．(2,3,3)
B．(3，－3,4)
C．(－1,1,0)
D．(－2,0,1)
6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则( )
A．平面AED∥平面A1FD1
B．平面AED⊥平面A1FD1
C．平面AED与平面A1FD相交但不垂直
D．以上都不对
7．已知A，B，P三点共线，则对空间任一点O，＝α＋β，那么α＋β＝__________.
8．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝__________，z＝__________.
9．已知如图所示的正四棱锥，在向量－＋－，＋，＋，＋＋＋中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是__________．
10．已知三棱锥O ABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB.
11．如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
(1)求cos〈，〉的值；
(2)求证：BN⊥平面C1MN.
12．如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，
求证：(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD；
(3)MN⊥平面PCD.
参考答案
1．解析：∵α∥β，∴＝＝，
∴k＝4.
答案：C
2．解析：∵u＝－4a，∴u∥a，∴a⊥α，∴l⊥α.
答案：B
3．解析：∵l1∥l2，∴a∥b，∴＝＝，
∴x＝，y＝.
答案：D
4．解析：a·b＝－4，|a|＝，|b|＝2，
cos
θ＝|cos〈a，b〉|＝＝＝.
答案：B
5．解析：设M(x，y，z)为平面内一点，则·n＝0，
即2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0.
又因为A项中坐标满足上式，故选A.
答案：A
6．解析：以D为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面AED的法向量为n1，平面A1FD1的法向量为n2.
可得n1·n2＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.
答案：B
7．答案：1
8．解析：因为＝(－1,2－y，z－3)，∥v，
故＝＝，
故y＝，z＝.
答案：
9．解析：因为－＋－＝＋＝0，不能作为这个平面的法向量，对其他三个化简后可知均与共线．而PO⊥平面ABCD，它们可作为这个平面的法向量．
答案：－＋－
10．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，设所求点D(x，y，z)．
由BD∥AC，DC∥AB∥，∥，
因此
即D点的坐标为(－1,1,2)．
11．解：以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系Oxyz.
(1)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0,1,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
(2)证明：依题意得C1(0,0,2)，N(1,0,1)，
∴M，
∴＝，＝(1,0，－1)，＝(1，－1,1)，
∴·＝×1＋×(－1)＋1×0＝0，
·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0，
∴⊥，⊥，
∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，
∴BN⊥平面C1MN.
12．证明：(1)如图，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)，则C(b，d,0)．
∵M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，
∴M，N，Q，
∴＝.
∵平面PAD的一个法向量为m＝(1,0,0)，
∴·m＝0，即⊥m.
又∵MN不在平面PAD内，
∴MN∥平面PAD.
(2)＝(0，－d,0)，⊥m，
又QN不在平面PAD内，
∴QN∥平面PAD.
又∵MN∩QN＝N，
∴平面MNQ∥平面PAD.
(3)＝(0，d，－d)，＝(b,0,0)，
∴·＝d＋(－d)＝0，
·＝0，
∴⊥，⊥，
∴MN⊥PD，MN⊥DC.
又PD∩DC＝D，
∴MN⊥平面PCD.3.2.3
直线与平面的夹角3.2.4
二面角及其度量
自我小测
1．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
2．已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE分别沿DE，CE折起，使AE与BE重合，A，B两点重合后记为点P，那么二面角P CD E的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．在三棱锥P ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
4．AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
5．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为( )
A．150°
B．45°
C．60°
D．120°
6．AB∥α，AA′⊥α，
A′是垂足，BB′是α的一条斜线段，B′为斜足，若AA′＝9，BB′＝6，则直线BB′与平面α所成角的大小为__________．
7．如图所示，将边长为a的正三角形ABC沿BC边上的高线AD将△ABC折起，若折起后B，C′间距离为，则二面角B AD C′的大小为__________．
8．等腰直角△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为__________．
9．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求SC与平面ABCD所成的角．
10．如图，在四棱锥P
ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD，求二面角A PB C的余弦值．
11．正方体ABCD A′B′C′D′的棱长等于2，E，F分别是B′D′，AC的中点．求：
(1)直线AB′和平面ACD′所成角的正弦值；
(2)二面角B′ CD′ A的余弦值．
参考答案
1．解析：以D为原点建立空间直角坐标系，如图，可得平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，
而＝(0，－1,1)，
∴cos〈，n〉＝＝，
∴〈，n〉＝30°.∴直线A1B与平面BDE成60°角．
答案：B
2．答案：A
3．解析：以O为原点，射线OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
设AB＝a，则OP＝a，＝，可求得平面PBC的法向量为n＝，
∴cos〈，n〉＝＝，
设与平面PBC所成的角为θ，
则sin
θ＝，故选D.
答案：D
4．解析：设AC和平面α所成的角为θ，则cos
60°＝cos
θcos
45°，故cos
θ＝，所以θ＝45°.
答案：C
5．解析：由条件知，·＝0，·＝0，
＝＋＋.
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉
＝(2)2，
∴cos〈，〉＝－，
即〈，〉＝120°，
∴二面角的大小为60°，故选C.
答案：C
6．答案：60°
7．答案：60°
8．答案：45°
9．解：是平面ABCD的法向量，
设与的夹角为φ.
∵＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)＝·＝1.
||＝1，||＝＝＝，
∴cos
φ＝＝.
∴φ＝arccos.
从而CS与平面ABCD所成的角为－arccos.
10．(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，
所以BD⊥平面PAD.
故PA⊥BD.
(2)解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，则
可取m＝(0，－1，－)，cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角A
PB
C的余弦值为－.
11．解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，
∵正方体的棱长等于2，E，F分别是B′D′，AC的中点，
∴A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D′(0,0,2)，B′(2,2,2)，E(1,1,2)，F(1,1,0)．
(1)＝(－2,0,2)，＝(－2,2,0)，＝(0,2,2)，
设n＝(x′，y′，z′)是平面ACD′的一个法向量，
则由
取x′＝1，得平面ACD′的一个法向量n＝(1,1,1)，
设直线AB′和平面ACD′所成角的大小为θ，
则sin
θ＝＝＝，
∴直线AB′和平面ACD′所成角的正弦值是.
(2)＝(2,2,0)，＝(0,2，－2)，
设m＝(x0，y0，z0)是平面B′CD′的一个法向量，
则由得取y0＝1得平面B′CD′的一个法向量m＝(－1,1,1)，
由cos
θ＝＝＝，
故二面角B′ CD′ A的余弦值是.1.2.2“非”（否定）
自我小测
1．命题“x＞0，都有x2－x≤0”的否定是( )
A．x＞0，使得x2－x≤0
B．x＞0，使得x2－x＞0
C．x＞0，使得x2－x＞0
D．x≤0，使得x2－x＞0
2．关于命题p：“x∈R，x2＋1≠0”的叙述正确的是( )
A．p：x∈R，x2＋1≠0
B．p：x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题，p是假命题
D．p是假命题，p是真命题
3．命题：存在n∈N,2n＞1
000的否定是( )
A．任意n∈N,2n≤1
000
B．任意n∈N,2n＞1
000
C．存在n∈N,2n≤1
000
D．存在n∈N,2n＜1
000
4．设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos
x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真
B．q为假
C．p∧q为假
D．p∨q为真
5．已知全集S＝R，AS，BS，若命题p：∈(A∪B)，则命题“p”是( )
A.A
B.∈SB
C.(A∩B)
D.∈(SA)∩(SB)
6．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是__________．
7．已知命题p：“x∈R，x＞”，命题p的否定为命题p，则命题p是“_______
______”；命题p是______________命题(填“真”或“假”)．
8．若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若p是假命题，则a的取值范围是__________．
9．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2≤0.
10．指出下列命题的结构形式及构成它们的简单命题，并判断它们的真假：
(1)正多边形既有内切圆又有外接圆；
(2)1－x2≤1；
(3)A(A∪B)．
参考答案
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：A
4．解析：因函数y＝sin
2x的最小正周期T＝＝π，故p为假命题．
因y＝cos
x的图象的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，故q也为假命题．所以p∧q为假．
答案：C
5．解析：p：∈(A∪B)，p：∈S(A∪B)＝(SA)∩(SB)．
答案：D
6．答案：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
7．解析：利用存在性命题的否定形式写出p为：x∈R，x≤.当x＞1时，x＞，故知p为假命题．
答案：x∈R，x≤ 假
8．解析：因为p为假命题，所以p为真命题，故－(a－1)≥4，所以a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
9．解：(1)p：x∈R，x2－x＋＜0.因为x2－x＋＝eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(x－))2≥0，所以p为假命题．
(2)q：存在正方形不是矩形，假命题．
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2＞0.
因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以r为真命题．
10．分析：可依据命题的几种结构形式(“p∨q”“p∧q”“
p”)直接写出它们的结构形式以及构成它们的简单命题；然后根据真值表判断其真假．
解：它们的结构形式依次为：(1)p∧q，(2)p∨q，(3)p.
构成它们的简单命题依次为：(1)“正多边形有内切圆”和“正多边形有外接圆”．(2)“1－x2＜1”和“1－x2＝1”．(3)A(A∪B)．
其真假依次为：(1)真；(2)真；(3)假．2.2.2
椭圆的几何性质
自我小测
1．已知k＜0，则曲线＋＝1和＋＝1有相同的( )
A．顶点
B．焦点
C．离心率
D．长轴长
2．椭圆的对称轴为坐标轴，若它的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为eq
\f(,2)，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )
A.＋y2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C．x2＋4y2＝1
D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16
4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
5．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足·＝0的点P的个数为( )
A．0
B．2
C．3
D．4
6．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于______．
7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为∶的两段，则其离心率e为__________．
8．在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程为__________．
9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(1，))，且离心率e＝，求此椭圆的方程．
10．已知椭圆的焦点在x轴上，椭圆上一点的横坐标等于右焦点的横坐标，且纵坐标的长等于短半轴长的，求该椭圆的离心率．
11．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
参考答案
1．解析：c21＝9－4＝5，且焦点在x轴上；c22＝(9－k)－(4－k)＝5，且焦点在x轴上．
答案：B
2．答案：C
3．解析：若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝eq
\f(,2)，所以c＝.
所以b2＝a2－c2＝1.
所以方程为＋y2＝1，即x2＋4y2＝4；
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝eq
\f(,2)，
所以＝1－＝，
所以a2＝4b2＝16.
所以方程为＋＝1，即4x2＋y2＝16.
答案：D
4．解析：依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，所以4b2＝a2＋2ac＋c2.因为b2＝a2－c2，所以4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，
所以3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选B.
答案：B
5．解析：因为·＝0，所以PF1⊥PF2.
所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c＝＝2.
又b＝2，所以点P为短轴的两个端点．
答案：B
6．解析：椭圆的焦距长等于它的短轴长，即2b＝2c，则有a2＝b2＋c2＝2c2，解得a＝c，所以e＝＝eq
\f(,2).
答案：eq
\f(,2)
7．解析：由题意，得(a＋c)∶(a－c)＝∶，即＝eq
\f(,)，解得e＝5－2.
答案：5－2
8．解析：如图，根据题意可知F1B1⊥F1B2，|OF1|=3.
可知|OB2|=|OB1|=3，
所以b=c=3，a2=b2+c2=18.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．分析：由椭圆的离心率可得a，c的关系，从而知道b，c的关系，再由点在椭圆上，代入方程即可求得椭圆的标准方程．
解：由题意知椭圆的离心率e＝＝，所以a＝2c，
所以b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆的方程为＋＝1.
又点eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(1，))在椭圆上，
所以＋eq
\f(eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())2,3c2)＝1，所以c2＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
10．解法一：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
依题意设M点坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(c，b))，
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2，
所以|MF1|＋|MF2|＝eq
\r(4c2＋b2)＋b＝2a.
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，
所以3b＝2a，＝，
所以e2＝＝＝1－＝，
所以e＝eq
\f(,3).
解法二：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件设Meq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(c，b))，
将点M代入椭圆方程得＋＝1，
所以＝，＝eq
\f(,3)，即e＝eq
\f(,3).
11．(1)解：不妨设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由余弦定理得
cos
60°＝＝，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，所以|PF1|·|PF2|＝.
又因为|PF1|·|PF2|≤eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())2＝a2，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以≥，所以e≥.
又因为椭圆中0＜e＜1，
所以所求椭圆的离心率的取值范围是≤e＜1.
(2)证明：由(1)可知|PF1|·|PF2|＝b2，
＝|PF1|·|PF2|sin
60°＝×b2×eq
\f(,2)＝eq
\f(,3)b2.
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．3.1.3
两个向量的数量积
自我小测
1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直
B．共线
C．不垂直
D．以上都有可能
2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A.
B．97
C.
D．61
3．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝( )
A.
B.
C．－
D．0
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
5．已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
6．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，则a＋b＋c的模等于__________．
7．已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为__________．
8．如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则点C与D之间的距离为__________．
9．已知空间四边形ABCD，求·＋·＋·的值．
10．如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
参考答案
1．解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
答案：A
2．解析：|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×＋9×32＝61.
∴|2a－3b|＝.
答案：C
3．解析：∵＝－，
∴·＝·－·＝0，
∴〈，〉＝90°，
故cos〈，〉＝0.
答案：D
4．解析：＝－，＝－，
∴·＝2>0，
∴∠DBC为锐角，
同理可得∠BCD，∠BDC均为锐角．
答案：B
5．解析：∵关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，
∴Δ＝|a|2－4a·b≥0，即|a|2≥4a·b.
又∵a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉，
∴|a|2≥4|a||b|cos〈a，b〉．
∵|a|＝2|b|≠0，
∴cos〈a，b〉≤＝＝，
而〈a，b〉∈[0，π]，
∴≤〈a，b〉≤π.
答案：B
6．解析：因|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)
＝3，
故|a＋b＋c|＝.
答案：
7．解析：由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0.
∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.
答案：6
8．解析：∵AC⊥α，BD与α成30°角，
∴AC与BD所成角为60°.
又∵＝＋＋，||＝||＝|B|＝1，〈，〉＝〈，〉＝90°，〈，〉＝120°，
∴2＝(＋＋)2＝3－1＝2.
∴C，D两点间距离为.
答案：
9．解：·＋·＋·
＝·(－)＋·(－)－·(－)
＝·－·＋·－·－·＋·＝0.
10．(1)证明：＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，
∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2
＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解：结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.2.2.1
椭圆及其标准方程
自我小测
1．化简方程＋＝10为不含根式的形式是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
2．椭圆＋＝1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O是坐标原点)的值是( )
A．4
B．2
C．8
D.
3．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
4．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝( )
A．4
B．5
C．7
D．8
5．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上的一点，则△PF1F2的周长为( )
A．10
B．12
C．16
D．不确定
6．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝__________.
8．P是椭圆＋＝1上任意一点，F1，F2是焦点，那么∠F1PF2的最大值是__________．
9．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜eq
\f(x,2)＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为______．
10．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝1及圆B：(x－3)2＋y2＝81，动圆P与圆A外切，与圆B内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
11．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任意一点，求AQ的中点M的轨迹方程．
12．如图，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
参考答案
1．解析：由题意可知，方程表示点(x，y)与两个定点(0,3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6，6＜10，它符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝6，从而可求得b2＝16.
答案：C
2．解析：设另一个焦点为F2，则|MF1|＋|MF2|＝10，又|MF1|＝2，所以|MF2|＝8.而ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：A
3．解析：因为|AC|＋|BC|＋|AB|＝18，所以|CA|＋|CB|＝10＞|AB|＝8.所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程为＋＝1，且y≠0.
答案：D
4．解析：因为焦点在y轴上，所以eq
\b\lc\{\rc\
()6＜m＜10.
又焦距2c＝4，所以m－2－10＋m＝22m＝8.
答案：D
5．答案：B
6．答案：C
7．解析：分两种情况：焦点在x轴上或焦点在y轴上．
答案：3或5
8．解析：当点P为(0，)或(0，－)时∠F1PF2最大，此时|PF1|＝|PF2|＝2，|F1F2|＝2，故△PF1F2为等边三角形．
答案：60°
9．解析：因为点P(x0，y0)满足0＜＋y20＜1，
所以点P在椭圆内且不过原点，
所以2c≤|PF1|＋|PF2|＜2a.
又因为a2＝2，b2＝1，
所以a＝，b＝1，c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
所以2≤|PF1|＋|PF2|＜2.
答案：[2,2)
10．分析：利用椭圆的定义先判断出动圆圆心P的轨迹是椭圆，再求其方程．
解：设动圆P的半径为r.
由所给圆的方程知，A(－3,0)，B(3,0)，
由题意，可得|PA|＝r＋1，|PB|＝9－r，
故|PA|＋|PB|＝r＋1＋9－r＝10＞|AB|＝6.
由椭圆的定义知动点P的轨迹是椭圆．
其中2a＝10,2c＝6，即a＝5，c＝3，所以b2＝16.
故动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1.
11．解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)，利用中点公式，得eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x＝，,y＝，))所以eq
\b\lc\{\rc\
()
因为Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，
所以＋y20＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(x－))2＋4y2＝1.
12．解：由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，
所以|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos
120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
把②代入①解得|PF1|＝.
所以＝|PF1|·|F1F2|·sin
120°＝××2×eq
\f(,2)＝eq
\f(3,5)，
即△PF1F2的面积是.2.4.1
抛物线的标准方程
自我小测
1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
2．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P坐标为( )
A.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，±eq
\f(,2)))
B.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，±eq
\f(,2)))
C.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，±))
D.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，±eq
\f(,2)))
3．若A是定直线l外的一个定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
4．设点P是抛物线y2＝16x上的点，它到焦点的距离h＝10，则它到y轴的距离d等于( )
A．3
B．6
C．9
D．12
5．抛物线y2＝24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝12x
C．y2＝16x
D．y2＝20x
6．抛物线y2＝12x的准线方程是__________，焦点坐标是__________．
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
8．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为__________．
9.
动圆P与定圆A：(x-2)2+y2=1外切，且与直线l：x=-1相切，求动圆圆心P的轨迹．
10．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点为直线x－2y－4＝0与x轴的交点．
(2)过抛物线y2＝2mx(m＞0)的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝6.
参考答案
1．解析：该题考查圆锥曲线的知识．显然抛物线y2＝2px的焦点坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，0))，椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，从而可得p＝4.故选D.
答案：D
2．解析：设P(x，y)，因为点P到焦点的距离为2，所以点P到准线x＝－的距离也是2，即x＋＝2，所以x＝，所以y＝±eq
\f(,2).所以选B.
答案：B
3．解析：设圆心为P，由圆过点A且与直线l相切可知，动点P到点A的距离等于它到直线l的距离．因此动圆的圆心轨迹为抛物线．
答案：D
4．解析：设点P到抛物线y2＝16x的准线的距离为l.由抛物线y2＝16x知＝4.由抛物线定义知l＝h，又l＝d＋，故d＝l－＝h－＝10－4＝6.
答案：B
5．解析：准线方程为l：x＝－6a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋6a＝5，a＝，抛物线方程为y2＝8x，故选A.
答案：A
6．解析：由y2＝12x知，＝3，所以准线方程为x＝－3，焦点坐标为(3,0)．
答案：x＝－3 (3,0)
7．答案：y2＝8x
8．解析：因为抛物线方程为y2=4x，
则准线方程为x=-1.
设P点坐标为P(x0，y0)，由图可知，
|PM|=x0+1=5.所以x0=4.
把x0=4代入y2=4x，解得y0=±4，
所以△MPF的面积为|PM|×|y0|＝×5×4＝10.
答案：10
9．解：设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x=-2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA.
因为动圆与定圆A：(x-2)2+y2=1外切，且与直线l：x=-1相切，
所以|PA|=1+|PD|，
即点P到点A的距离比它到直线l：x＝－1的距离大1.
所以点P到点A的距离与它到直线l′：x＝－2的距离相等，即|PA|＝|PD′|.
根据抛物线的定义，点P的轨迹是以点A为焦点，直线l′：x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.
10．解：(1)令y＝0得x＝4，
故抛物线焦点为(4,0)，＝4，p＝8，
抛物线方程为y2＝16x.
(2)设抛物线的准线为l，交x轴于点K，则l的方程为x=-，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，
则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝m，
同理|BF|＝|BB′|＝|FK|＝m.
又|AB|＝6，则2m＝6，所以m＝3.
故抛物线方程为y2＝6x.3.1.1
空间向量的线性运算
自我小测
1．如图所示的空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于( )
A.
B．3
C．3
D．2
2．平行六面体ABCD A1B1C1D1中，O为BD1与AC1的交点，下列说法正确的是( )
A．＝(＋＋)
B．＝
C．＝(B＋＋)
D．＝(＋)
3．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则等于( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
4．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A．＋＝0
B．＋＝0
C．＋＝0
D．＋＋＝0
5．设点M是BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
6．化简：(－)－(－)＝__________.
7．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝__________.
8.在平行六面体ABCD
EFGH中，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝__________.
9．在四面体ABCD中，E，F分别为棱AC，BD的中点，求证：＋＋＋＝4.
10．已知ABCD
A′B′C′D′是平行六面体，AA′的中点为E，点F为D′C′上一点，且D′F＝D′C′.
(1)化简：＋＋；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
参考答案
1．解析：－A＋＝＋B＝＋2＝3.
答案：B
2．解析：＋＋＝＋＝.故选A.
答案：A
3．解析：＝－＝(＋)－＝×(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
∴应选B.
答案：B
4．解析：∵＋＝2，
∴－＋－＝0，
即＋＝0.
答案：C
5．解析：由|＋|＝|－|＝||＝||＝4，
又M为BC的中点，
所以||＝|＋|＝2.
答案：C
6．答案：0
7．答案：a＋b－c
8．解析：因为＝＋＋，
所以＝＋＋＝x(＋)＋y(＋)＋z(＋)，
所以＝(x＋y)＋(x＋z)＋(y＋z)，
所以x＋y＝x＋z＝y＋z＝1，
所以x＋y＋z＝.
答案：
9．证明：左边＝(＋)＋(＋)
＝2＋2＝2(＋)＝4＝右边，得证．
10．解：(1)由AA′的中点为E，得＝，
又＝，D′F＝D′C′，
因此＝＝.
从而＋＋＝＋＋＝.
(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝(－＋)＋(＋)＝＋＋，
因此α＝，β＝，γ＝.3.1.2
空间向量的基本定理
自我小测
1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则( )
A．m，n，p共线
B．m与p共线
C．n与p共线
D．m，n，p共面
2．如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
3．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，且有6＝＋2＋3，则( )
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面
D．O，P，A，B，C五点共面
4．三射线AB，BC，BB1不共面，若四边形BB1A1A和四边形BB1C1C的对角线均互相平分，且＝x＋2y＋3z，那么x＋y＋z的值为( )
A．1
B.
C.
D.
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A.
B.
C．－
D．－
6．已知G是△ABC的重心，点O是空间任意一点，若＋＋＝λ，则λ＝__________.
7．在ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
8．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，若＝x·＋2y·＋3z·，则x＋y＋z等于__________．
9．已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量＝k，＝k，＝k，＝k.
求证：(1)点E，F，G，H共面；
(2)AB∥平面EFGH.
10．如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
参考答案
1．解析：p＝2a＝m＋n，即p可由m，n线性表示，所以m，n，p共面．
答案：D
2．解析：＝＋B＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c.∴应选A.
答案：A
3．解析：由6＝＋2＋3，得－＝2(－)＋3(－)，即＝2＋3，∴，，共面．又它们有同一公共点P，∴P，A，B，C四点共面．
答案：B
4．解析：由题意知AB，BC，BB1不共面，四边形BB1C1C为平行四边形，＝，∴{，，}为一个基底．
又由向量加法＝＋＋，
∴x＝2y＝3z＝1.
∴x＝1，y＝，z＝，∴x＋y＋z＝.
答案：D
5．解析：如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝.
答案：A
6．答案：3
7．解析：设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，＝a＋b，
∴λ＋μ＝λ＋μ＝a＋b，
∴a＋b＝a＋b，
∴∴
∴λ＋μ＝.
答案：
8．解析：如图，＝＋＋＝＋＋(－1)·，
又已知＝x·＋2y·＋3z·，
∴x·＋2y·＋3z·＝＋＋(－1)·
x＝1，y＝，z＝－，
∴x＋y＋z＝1＋－＝.
答案：
9．思路分析：(1)要证E，F，G，H四点共面，可先证向量，，共面，即只需证可以用，线性表示；
(2)可证明与平面EFGH中的向量或，之一共线．
证明：(1)∵＋＝，
∴k＋k＝k.
而＝k，＝k，
∴＋k＝.
又＋＝，
∴＝k.
同理：＝k，＝k.
∵ABCD是平行四边形，
∴＝＋，
∴＝＋，
即＝＋.又它们有同一公共点E，
∴点E，F，G，H共面．
(2)由(1)知＝k，
∴AB∥EF.又AB 平面EFGH，
∴AB与平面EFGH平行，即AB∥平面EFGH.
10．证明：＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋.
∵O是B1D1的中点，
∴＋＝0，∴＝＋.
∴，，共面，且B1C 平面OC1D.
∴B1C∥平面ODC1.1.2.1“且”与“或”
自我小测
1．下列命题中是“p∧q”形式的命题是( )
A．28是5的倍数或是7的倍数
B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根
C．函数y＝ax(a＞1)是增函数
D．函数y＝ln
x是减函数
2．下列命题为假命题的是( )
A．3是7或9的约数
B．两向量平行，其所在直线平行或重合
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．若x2＋y2＝0，则x＝0，且y＝0
3．如果命题“p∨q”是真命题，命题“p∧q”是假命题，那么( )
A．命题p，q都是假命题
B．命题p，q都是真命题
C．命题p，q有且只有一个是真命题
D．以上答案都不正确
4．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的点P(x，y)可能是( )
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
5．已知命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a＞0，且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，那么函数y＝f(x)的图象关于点(3,0)对称，则( )
A．“p∧q”为真
B．“p∨q”为假
C．p真q假
D．p假q真
6．“3≥3”是__________形式的命题，它是__________命题(填“真”或“假”)．
7．设命题p：3≥2，q：3∈[2，＋∞)，则命题“p∨q”“p∧q”中，真命题是__________．
8．命题p：等腰三角形有两条边相等；q：等腰三角形有两个角相等．由命题p，q构成的“且”命题是__________________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
9．已知命题p：x∈[1,2]，x2－m≥0，命题q：x∈R，x2＋mx＋1＞0，若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
10．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同交点．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．
参考答案
1．解析：选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．
答案：B
2．解析：选项A是由“3是7的约数”与“3是9的约数”构成的“或”命题，其中“3是9的约数”为真，故是真命题；B为真命题；C是由“菱形的对角线相等”与“菱形的对角线互相垂直”构成的“且”命题，其中，“菱形的对角线相等”为假，故是假命题；D为真命题．
答案：C
3．解析：因命题“p∨q”是真命题，故p，q中至少有一个是真命题，因命题“p∧q”是假命题，故p，q中至少有一个是假命题，所以p，q中有且只有一个是真命题．
答案：C
4．解析：由eq
\b\lc\{\rc\
()解得eq
\b\lc\{\rc\
()或eq
\b\lc\{\rc\
()
答案：C
5．解析：命题p显然为真，而对命题q，当函数y＝f(x－3)关于原点对称时，函数y＝f(x)的图象应关于点(－3,0)对称，所以为假．
答案：C
6．答案：p∨q 真
7．答案：p∨q，p∧q
8．答案：等腰三角形有两个角相等且有两条边相等 真
9．解：因为p∧q为真命题，所以命题p，q都为真命题．
由p是真命题，得m≤x2在[1,2]上恒成立．
因为x∈[1,2]，所以m≤1.
由q是真命题，得Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2.
所以－2＜m≤1，
即所求实数m的取值范围是(－2,1]．
10．解：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a＞1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于相异两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p真q假或p假q真．
①若p真，且q假，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，且曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于相异两点，则a∈eq
\b\lc\[\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，1)).
②若p假，且q真，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，且曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于相异两点，则a∈eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，＋∞)).
综上所述，a的取值范围为eq
\b\lc\[\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，1))∪eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，＋∞)).1.1
命题与量词
自我小测
1．下列语句不是命题的是( )
A．一个正数不是质数就是合数
B．大角所对的边较大，小角所对的边较小
C．请把门关上
D．若x∈R，则x2＋x＋2＞0
2．下列4个命题中，设U为全集，则假命题是( )
A．若A∩B＝，则(UA)∪(UB)＝U
B．若A∩B＝，则A＝B＝
C．若A∪B＝U，则(UA)∩(UB)＝
D．若A∪B＝，则A＝B＝
3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ.给出下列4个命题，其中真命题的个数是( )
①若l∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.
A．1
B．2
C．3
D．4
4．对命题“一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数”改写错误的是( )
A．所有的一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
B．任意一个一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
C．任意一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数
D．有的一次函数f(x)不是单调函数
5．下列命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．
其中全称命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
6．命题：①奇函数的图象关于原点对称；②有些三角形是等腰三角形；③x∈R,2x＋1是奇数；④实数的平方大于零．其中是全称命题的是__________(填序号)．
7．下列命题中，是真命题的是__________(填序号)．
①5能整除15；②不存在实数x，使得x2－x＋2＜0；③对任意实数x，均有x－1＜x；④方程x2＋3x＋3＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式＜0的解集为空集．
8．已知p(x)：x2－2x－m＞0，如果p(1)不成立，p(2)成立，则实数m的取值范围是__________．
9．用符号“”与“”表示下列命题，并判断其真假．
(1)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；
(2)存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0.
10．求使命题p(x)：≥0为真命题的x的取值范围．
参考答案
1．答案：C
2．解析：A∩B＝只说明A与B无公共元素，如U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{3,4}，此时A与B都不是，故B错误．
答案：B
3．解析：①中，l∥β，mβ，l与m平行或异面，故①错；
②中，l⊥m，mβ，无法确定l与β的位置关系，故α与β不一定平行，所以②错误；
③中，l与m可平行、相交、异面，故③错误；
④中，l∥m，l⊥α，则m⊥α，又因为mβ，所以α⊥β，正确．
答案：A
4．解析：由全称命题的表示形式可知，选项D错误．
答案：D
5．答案：B
6．解析：根据全称命题的定义知，①③④是全称命题．
答案：①③④
7．解析：对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ＜0，故x2－x＋2＜0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ＜0，故方程x2＋3x＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，因分子恒为正，分母大于0，故商不可能小于0，即解集为空集，所以该命题是真命题．
答案：①②③⑤
8．解析：若p(1)不成立，则1－2－m≤0，所以m≥－1，
若p(2)成立，则22－2×2－m＞0，所以m＜0，
故－1≤m＜0.
答案：[－1,0)
9．解：(1)
m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．
当m＝－1时，方程无实根，故该命题为假命题．
(2)x∈R，使x2＋x＋1≤0.
因为x2＋x＋1＝eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(x＋))2＋＞0，故该命题为假命题．
10．分析：要使命题p(x)：≥0为真命题，就是要使x的取值满足≥0，只需解不等式≥0即可．
解：由≥0得x(2x＋1)≥0，且2x＋1≠0，
解得x≥0或x＜－，
故x的取值范围为eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(xeq
\b\lc\|\rc\}(eq
\a\vs4\al\co1(x≥0，或x＜－)))).2.1
曲线与方程
自我小测
1．下列方程中表示相同曲线的一对方程是( )
A．x＝与y＝x2
B．y＝x与＝1
C．y＝lg
x与y＝lg
D．y＝x与x2－y2＝0
2．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是下图中的( )
3．已知点A(－1,0)，B(1,0)，且·＝0，则动点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1(x≠±1)
D．x2＋y2＝2(x≠±)
4．已知0≤α＜2π，点P(cos
α，sin
α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A.
B.
C.或
D.或
5．下列命题正确的是( )
A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线
B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0
C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0
6．已知点A(a,2)既是曲线y＝mx2上的点，也是直线x－y＝0上的点，则m＝__________.
7．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是__________．
8．直线y＝kx＋1与y＝2kx－3(k为常数，且k≠0)交点的轨迹方程是__________．
9．已知P为圆(x＋2)2＋y2＝1上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，求点M的轨迹方程，并说明轨迹形状．
10．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为3，求m的值．
参考答案
1．答案：C
2．解析：原方程可化为eq
\b\lc\{\rc\
()或eq
\b\lc\{\rc\
()或eq
\b\lc\{\rc\
()或eq
\b\lc\{\rc\
()作出其图象为D.
答案：D
3．解析：设动点M(x，y)，则
＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)．
由·＝0，
得(－1－x)(1－x)＋(－y)(－y)＝0，即x2＋y2＝1.
答案：A
4．解析：由(cos
α－2)2＋sin2α＝3，得cos
α＝.
又0≤α＜2π，
∴α＝或.
答案：C
5．解析：对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y≠2；B中“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有D是正确的．
答案：D
6．解析：根据点A在曲线y＝mx2上，也在直线x－y＝0上，则eq
\b\lc\{\rc\
()∴eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(a＝2，,m＝.))
答案：
7．解析：设PQ的中点的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，
则eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x＝，,y＝，))∴eq
\b\lc\{\rc\
()
又∵点P在曲线y＝2x2＋1上，
∴2y＋1＝8x2＋1，即y＝4x2.
答案：y＝4x2
8．解析：y＝kx＋1与y＝2kx－3联立，消去k，得y＝5.
由y＝kx＋1＝5，得kx＝4.
∵k≠0，∴x≠0.
故所求的轨迹方程为y＝5(x≠0)．
答案：y＝5(x≠0)
9．解：设M(x，y)，P(x1，y1)．
∵M为线段OP的中点，
∴eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x＝，,y＝，))即eq
\b\lc\{\rc\
()即P(2x,2y)．
将P(2x,2y)代入圆的方程(x＋2)2＋y2＝1，可得(2x＋2)2＋(2y)2＝1，
即(x＋1)2＋y2＝，
此方程为点M的轨迹方程，
∴点M的轨迹图形是以(－1,0)为圆心，为半径的圆．
10．分析：直线与曲线交于两点，可设出这两点的坐标，然后灵活应用根与系数的关系求解．
解：设直线x＋y－m＝0与曲线y＝x2相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，联立直线与曲线方程，得
eq
\b\lc\{\rc\
()eq
\b\lc\
\rc\
()
将②代入①，得x2＋x－m＝0，
所以eq
\b\lc\{\rc\
()
所以|AB|＝＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝3，
所以＝3，所以m的值为2.2.4.2
抛物线的简单几何性质
自我小测
1．设抛物线y2＝2x与过焦点F的直线交于A，B两点，则·的值是( )
A.
B．－
C．3
D．－3
2．抛物线y＝ax2(a＜0)的焦点坐标和准线方程分别为( )
A.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，0))，x＝－
B.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(－，0))，x＝－
C.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(0，))，y＝－
D.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(0，－))，y＝－
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝4，则P点坐标为( )
A．(3,2)
B．(3，－2)
C．(3,2)或(3，－2)
D．(－3，±2)
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
5．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点坐标为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )
A.eq
\f(3,2)
B.eq
\f(2,5)
C.eq
\f(7,10)
D.eq
\f(,2)
6．抛物线y2＝2x上点P(1，－)到其焦点的距离为__________．
7．抛物线y2＝8x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．
8．已知抛物线y＝ax2的焦点为F，准线l与对称轴交于点R，过抛物线上一点P(1,2)，作PQ⊥l，垂足为Q，则梯形PQRF的面积为__________．
9．如图，已知抛物线的焦点为F(5,1)，准线方程为x＝1.
(1)求抛物线方程；
(2)求焦点到顶点的距离；
(3)求顶点坐标；
(4)已知A(6,2)，在抛物线上求一点Q，使得|QA|＋|QF|最小．
10．求顶点在原点、焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线方程．
参考答案
1．解析：抛物线y2＝2x的焦点坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，0)).设过焦点F的直线AB为x＝ay＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,x＝ay＋，))得y2－2ay－1＝0，所以y1y2＝－1，x1x2＝＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝－.
答案：B
2．解析：方程为x2＝y＝－y，则2p＝(p＞0)，则焦点Feq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(0，))，准线方程为y＝－.
答案：C
3．解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1.由|PF|＝xP＋1＝4，得xP＝3.代入抛物线方程得y2＝12，所以y＝±2.
答案：C
4．解析：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为(3,0)，半径为4.故有3＋＝4，所以p＝2.
答案：C
5．解析：点(1,2)在抛物线y2＝2px和直线ax＋y－4＝0上，
所以p＝2，a＝2，抛物线的焦点为(1,0)．
焦点到直线2x＋y－4＝0的距离为eq
\f(|2×1－4|,)＝eq
\f(2,)＝eq
\f(2,5).
答案：B
6．解析：抛物线y2＝2x的准线为x＝－，根据抛物线的定义P点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以d＝1＋＝.
答案：
7．解析：设所求点为(x0，y0)．因为抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，根据条件可知x0＋2＝，又因为y20＝8x0，
所以x0＋2＝，解得x0＝1，所以y0＝±2.
所以所求点的坐标为(1，－2)和(1,2)．
答案：(1，－2)和(1,2)
8．解析：将P(1,2)代入y＝ax2得a＝2.
所以y＝2x2，即x2＝y.
所以|FR|＝，|PQ|＝2＋＝，
所以S＝eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(＋))×1＝.
答案：
9．解：(1)该抛物线方程不是标准形式，应根据抛物线定义求它的方程．
设抛物线上任意一点M(x，y)，据定义，可得＝|x－1|，
整理得(y－1)2＝8(x－3)．
这就是所求的抛物线方程．
(2)根据抛物线的几何特征，抛物线焦点到顶点的距离应是焦点到准线距离的一半，而焦点到准线的距离为5－1＝4，故焦点到顶点的距离为2.
(3)根据抛物线顶点性质及中点坐标公式，顶点坐标为(3,1)．
(4)过点A作准线的垂线，垂足为R，交抛物线于点Q，则点Q即为所求．设抛物线上另有一点Q′(异于点Q)，点Q′到准线的距离为|Q′R′|，
则|Q′A|＋|Q′F|＝|Q′A|＋|Q′R′|≥|QA|＋|QR|＝|AR|.
由eq
\b\lc\{\rc\
()
解得eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x＝，,y＝2.))
故取最小值时点Q坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，2)).
10．解：设所求抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．①
直线方程变形为y＝2x＋1，②
设抛物线截直线所得弦为AB.
将②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则|AB|＝eq
\r((1＋22)eq
\b\lc\[\rc\](eq
\a\vs4\al\co1(eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())2－4×)))＝.
解得a＝12或a＝－4.
所以所求抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－4x.3.2.5
距离
自我小测
1．已知A，B两点到平面α的距离分别为1和2，线段AB在α内的射影线段长为，则直线AB与平面α的夹角为( )
A.
B.
C.或
D.或
2．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为( )
A.
B．2
C．3
D．4
3．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点M到平面BDD1B1的距离是( )
A．a
B.
C.a
D.a
4．如图，正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是( )
A．2
B.
C.
D.
5．在三棱锥P ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则点P到平面ABC的距离等于__________．
6．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为__________．
7．如图所示，在直平行六面体ABCD A1B1C1D1中，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在AA1上
，且AE＝AA1＝.DC1⊥BE，则点B到平面EDC1的距离为__________．
8．在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直线B1C与平面ABC所成的角为30°.试求点C1到平面AB1C的距离．
9．如图，四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
参考答案
1．解析：按照A，B两点在平面α的同侧和异侧分别讨论．
答案：C
2．解析：过A，B作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′，
则||＝3，||＝2，||＝5，又＝＋＋，∴||2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，
∴||＝2，故选B.
答案：B
3．解析：方法一：由线面关系知AA1∥平面BDD1B1，
∴只需求B点到平面BDD1B1的距离，
而AC⊥平面BDD1B1，
∴d＝a.
方法二：建立以D为坐标原点的空间直角坐标系，
＝，n＝(－1,1,0)，
∴d＝＝＝a.
答案：C
4．解析：方法一：建立如图所示直角坐标系，
则A1(0，－1,2)，C1(0,1,2)，E，F(0,0,2)．
则＝，||＝＝.
方法二：设AC中点为G，连GE，GF，在Rt△FGE中，|EF|2＝|FG|2＋|GE|2＝4＋1＝5，∴EF＝.
答案：C
5．解析：利用VA
PBC＝VP
ABC可求得点P到平面ABC的距离为.
答案：
6．解析：VB1 ABC1＝VA BB1C1，
VA BB1C1＝×AB＝，
∴VB1 ABC1＝·h，
＝AB·＝，∴h＝.
答案：
7．解析：建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0)，A(1，－1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，E，
∴＝(0,1,2)，＝.
设平面EDC1的法向量为n＝(x，y,1)，
∴
∴n可取为，∴点B到平面EDC1的距离为d＝＝＝.
答案：
8．解：建立如图所示的空间直角坐标系，
在Rt△B1BC中，BB1＝1，∠B1CB＝30°，
∴BC＝，B1C＝2，
∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0，，1)，
设n＝(x，y，z)是由C1向平面AB1C所作垂线上的方向单位向量，则n⊥，且n⊥.
即
解得n＝(另一种情况舍去)，
∴·n＝(－1，，0)·＝－，
则d＝|·n|＝＝为所求的距离．
9．(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)，＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，
∴＝＋，∴∥平面PFB.
又∵DE平面PFB，∴DE∥平面PFB.
(2)解：∵DE∥平面PFB，
∴E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离．
设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
令x＝2，得y＝－1，z＝1.
∴n＝(2，－1,1)，＝(－1,0,0)，
∴D到平面PFB的距离为d＝＝＝，
即点E到平面PFB的距离为.
