2.2.2
椭圆的简单几何性质（一）
课后导练
基础达标
1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是（
）
A.(-1,0)、(1,0)
B.(-6,0)、(6,0)
C.(-，0)、(,0)
D.(0,-)、(0,)
答案：D
2.已知椭圆C:=1与椭圆=1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是（
）
A.=m2(m≠0)
B.=1
C.=1
D.以上都不可能
答案：A
3.曲线+=xy(
)
A.仅关于x轴对称
B.仅关于y轴对称
C.关于原点对称
D.以上都不对
答案：C
4.已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴，椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等，则（
）
A.a2=25,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9
答案：D
5.若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是_____________.
答案：=1
6.如右图，直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为______________________.
答案：
7.椭圆过（3，0）点，离心率e=，求椭圆的标准方程.
解：当椭圆的焦点在x轴上时，
∵a=3,=,
∴c=.
从而b2=a2-c2=9-6=3,
∴椭圆的方程为=1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
∵b=3,
=,
∴=.
∴a2=27.
∴椭圆的方程为=1.
∴所求椭圆的方程为=1或=1.
8.如右图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1、B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程.
分析：如题图，由椭圆中心在原点，焦点在x轴上知，椭圆方程的形式是+=1(a＞b＞0)，再根据题目条件列出关于a、b的方程组，求出a、b的值.
解：设椭圆方程为=1(a＞b＞0).
由椭圆的对称性知，|B1F|=|B2F|，又B1F⊥B2F，
因此△B1FB2为等腰直角三角形.
于是|OB2|=|OF|，即b=c.
又|FA|=,
即a-c=，且a2=b2+c2.
将以上三式联立，得方程组
解得a2=10，b2=5.
因此，所求椭圆的方程为=1.
综合运用
9.如右图，已知椭圆的对称轴是坐标轴，以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最短距离是，求此椭圆方程，并写出其中焦点在y轴上的椭圆的焦点坐标、离心率.
解析：由题设条件及椭圆定义知2a=4c；
且a-c=.
∴c=，a=2，b2=a2-c2=9.
当焦点在x轴上时，所求的方程为=1；
当焦点在y轴上时，所求的方程为=1.
对后一个方程，离心率e==，焦点坐标为（0，±）.
10.已知F1、F2是椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为e=，求此椭圆方程.
解析：由题意可得.
a=4，c=2，
∴b2=16-12=4.
所求椭圆方程为=1.
拓展探究
11.(2006全国Ⅰ，文20)
设P是椭圆+y2=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值.
解：依题意可设P（0，1），Q（x,y)则
|PQ|=
又因为Q在椭圆上，所以x2=a2(1-y2),
|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1
=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-)2-+1+a2
因为|y|≤1,a＞1,若a≥,则||≤1,
当y=时，|PQ|取最大值;
若1＜a＜,则当y=-1时
|PQ|取最大值2.第二章圆锥曲线与方程
测评A
(基础过关卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对抛物线y2＝4x，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0,1)
B．开口向上，焦点为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(0，))
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，焦点为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，0))
2．若方程mx2＋(2－m)y2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(0,2)
C．(1,2)
D．(0,1)
3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－
B．－1
C．－
D．－
4．已知椭圆＋＝1(a＞5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为( )
A．10
B．20
C．2
D．4
5．椭圆＋＝1的一个焦点为(0,1)，则m＝( )
A．1
B.eq
\f(－1±,2)
C．－2或1
D．－2或1或eq
\f(－1±,2)
6．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标和渐近线方程分别为( )
A．(±4,0)，y＝±eq
\f(,3)x
B．(±4,0)，y＝±x
C．(±2,0)，y＝±eq
\f(,3)x
D．(±2,0)，y＝±x
7．已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x2＝2py(p＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥y轴，则双曲线的离心率为( )
A.eq
\f(＋1,2)
B.＋1
C.＋1
D.eq
\f(2＋1,2)
8．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A.
B.eq
\f(,2)
C.
D．2
9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
10．已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2，给出如下四个结论：
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；
②a－a＝b－b；③＞；④a1－a2＜b1－b2.
其中，所有正确结论的序号是( )
A．②③④
B．①③④
C．①②④
D．①②③
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．点P是双曲线－y2＝1上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是__________．
12．双曲线－＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别是F1，F2，已知线段F1F2被点(b,0)分成5∶1两段，则此双曲线的离心率为__________．
13．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程是__________．
14．抛物线焦点在y轴上，且被y＝x＋1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为__________．
15．以下四个关于圆锥曲线的命题：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，若||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号)．
三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(6分)若已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1有相同的焦点，又椭圆与双曲线交于点P，求椭圆及双曲线的方程．
17．(6分)已知椭圆C短轴的一个端点为(0,1)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线y＝x＋b交椭圆C于A，B两点，若|AB|＝，求b.
18．(6分)已知抛物线y2＝4x，椭圆＋＝1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P，Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，试求：(1)m的值；(2)P，Q两点的坐标；(3)△PF1F2的面积．
19．(7分)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A，B两点．
(1)若p＝2，求线段AF中点M的轨迹方程；
(2)若直线AB的方向向量为n＝(1,2)，当焦点为F时，求△OAB的面积；
(3)若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA，MF，MB的斜率成等差数列．
参考答案
1．解析：抛物线y2＝4x开口向右，焦点为(1,0)，因此选C.
答案：C
2．解析：将椭圆方程变形为eq
\f(x2,)＋eq
\f(y2,)＝1，当焦点在x轴上时，则有＞＞0，解得0＜m＜1.
答案：D
3．解析：由已知，得准线方程为x＝－2，
∴F的坐标为(2,0)．
又A(－2,3)，
∴直线AF的斜率为k＝＝－.故选C.
答案：C
4．解析：由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴△ABF2的周长l＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.
由题意可知b2＝25,2c＝8，
∴c2＝16，a2＝25＋16＝41，
∴a＝，
∴l＝4，故选D.
答案：D
5．答案：C
6．解析：本题考查了椭圆和双曲线的相关性质．
易知椭圆焦点(±4,0)，双曲线离心率e＝＝2，c＝4，可知a＝2.
又因为a2＋b2＝c2，可得b＝2，双曲线的渐近线方程：y＝±x，即y＝±x.故选B.
答案：B
7．解析：因为双曲线与抛物线有相同的焦点，所以2c＝p.①
设双曲线的另一焦点为F1，则AF＝p，FF1＝p，
所以AF1＝p，
由双曲线的定义，知AF1－AF＝2a，
即p－p＝2a，②
①②相除，得e＝＋1.
答案：B
8．解析：y2＝8x的焦点为(2,0)，
所以eq
\b\lc\{\rc\
()
所以y＝keq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(－2))，
即y2－y－2k＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－16.
又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0，
(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
即＋(y1－2)(y2－2)＝0，
所以＋(y＋y)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，
＋eq
\b\lc\[\rc\](eq
\a\vs4\al\co1(eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())2－2×(－16)))＋4－16－＋4＝0，
解得k＝2，故选D.
答案：D
9．解析：因为MF2垂直于x轴，所以点M的坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(c，))，即在△MF2F1中，tan
30°＝，即＝eq
\f(,3)，化简，得3b2＝2ac，所以3c2－2ac－3a2＝0，两边同除以a2，得3e2－2e－3＝0，解得e＝或－eq
\f(,3)(舍)．
答案：A
10．解析：由已知条件可得a－b＝a－b，可得a－a＝b－b，而a1＞a2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a－a＝b－b，知②正确；由a－b＝a－b，可得a＋b＝b＋a，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，＞不正确，即③不正确；∵a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，∴a1＋a2＞b1＋b2＞0，而又由(a1＋a2)(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a2＜b1－b2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④，故应选C.
答案：C
11．解析：设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式可得x0＝2x，y0＝2y，代入双曲线方程得－＝1，即x2－4y2＝1.
答案：x2－4y2＝1
12．解析：由已知＝5，∴2c＝3b，
即4c2＝9b2＝9(c2－a2)，∴5c2＝9a2，∴e＝.
答案：
13．解析：因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，
所以e＝＝，解得＝，
所以双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x.
答案：y＝±x
14．解析：设抛物线方程为x2＝my，联立抛物线方程与直线方程y＝x＋1并消元，得2x2－mx－2m＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝－m，所以5＝·，把x1＋x2＝，x1x2＝－m代入解得m＝4或－20.所以抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝－20y.
答案：x2＝4y或x2＝－20y
15．解析：①中当k＝|AB|时，点P的轨迹是一条射线．②中点P的轨迹是以AC中点为圆心，以定圆半径的一半长为半径的圆．
答案：③④
16．解：由椭圆与双曲线有相同的焦点，得10－m＝1＋b，即m＝9－b.①
又点P在椭圆、双曲线上，
得
解由①，②，③组成的方程组，得m＝1，b＝8，
∴椭圆方程为＋y2＝1，双曲线方程为x2－＝1.
17．解：(1)由题意可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知b＝1，∴a2－c2＝1.
∵e＝＝，
∴a2＝9，b2＝1.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
得x2＋9(x＋b)2－9＝0,10x2＋18bx＋9b2－9＝0，
∴x1＋x2＝－b，x1x2＝，
∴|AB|＝＝＝，
∴－＝，
解得b＝2.
18．解：(1)∵抛物线方程为y2＝4x，∴2p＝4，∴＝1，
∴抛物线焦点F2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c＝1，a2＝9＝b2＋c2，
∴9＝m＋1，∴m＝8.
(2)解方程组
得或
∴点P，Q的坐标为，.
(3)点P的纵坐标就是△PF1F2的边F1F2上的高，
∴＝|F1F2|·|yP|＝×2×＝.
19．(1)解：设A(x0，y0)，M(x，y)，焦点F(1,0)，
则由题意
即
代入抛物线方程，得4y2＝4(2x－1)，
即所求的轨迹方程为y2＝2x－1.
(2)解：y2＝2x，F，直线y＝2＝2x－1，
由得y2－y－1＝0，
所以y1＋y2＝1，y1y2＝－1，
|AB|＝＝.
设d为原点O到直线AB的距离，则d＝，
所以S△OAB＝d|AB|＝.
(3)证明：显然直线MA，MB，MF的斜率都存在，分别设为k1，k2，k3，
点A，B，M的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M.
设直线AB：y＝k，代入抛物线方程，得y2－y－p2＝0，
所以y1y2＝－p2，
又y＝2px1，y＝2px2，
因而x1＋＝＋＝(y＋p2)，x2＋＝＋＝＋＝(y＋p2)，
所以k1＋k2＝＋＝＋＝－.
又因为k3＝＝－，
故k1＋k2＝2k3.
所以直线MA，MF，MB的斜率成等差数列．2.3.1
双曲线及其标准方程
自我小测
1．双曲线－＝1的焦距是( )
A．4
B．2
C．10
D．与m有关
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16
B．18
C．21
D．26
3．方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1＜k＜1
B．k＞0
C．k≤0
D．k＞1或k＜－1
4．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则点P的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1(x≤－3)
D.－＝1(x≥3)
5．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数m的值为( )
A．1
B．1或3
C．1或3或－2
D．3
6．方程＋＝1所表示的曲线为C，有下列命题：
①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4；
②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2；
③曲线C不可能是圆；
④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜4.
以上命题正确的是( )
A．②③
B．①④
C．②④
D．①②④
7．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为________________．
8．如果一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心P的轨迹方程为__________．
9．椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(s＞0，t＞0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝__________.
10．已知双曲线16x2－9y2＝144，F1，F2是左、右两焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2.
11．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
12．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．
参考答案
1．解析：由题意可知a2＝m2＋16，b2＝9－m2，
所以c2＝a2＋b2＝m2＋16＋9－m2＝25，
所以c＝5，所以2c＝10.
答案：C
2．解析：由双曲线的定义可知：|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋|AB|.
所以△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝26.
答案：D
3．解析：因为方程－＝1表示双曲线，
所以有(1＋k)(1－k)＞0，解得－1＜k＜1.
答案：A
4．解析：双曲线的定义是动点到两定点的距离的差的绝对值，由于本题中没有绝对值，因此只能代表距离B(5,0)点近的一支．
答案：D
5．解析：由题意可知m＞0，于是焦点都在x轴上，故有＝，解得m＝1.
答案：A
6．解析：①若C为椭圆，则eq
\b\lc\{\rc\
()
解得2＜t＜4，且t≠3.
②若C为双曲线，
则(4－t)(t－2)＜0，
所以t＞4或t＜2.
③当t＝3时，方程为x2＋y2＝1表示圆．
④若C为焦点在y轴上的椭圆，则eq
\b\lc\{\rc\
()
解得3＜t＜4.
答案：C
7．解析：令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点．令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，故a＝2，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8．解析：根据题意可知|PB|＝|PA|＋rB，
所以|PB|－|PA|＝rB，即|PB|－|PA|＝4，故点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，且2a＝4，c＝4，所以b2＝c2－a2＝12，故所求的方程为－＝1(x≤－2)．
答案：－＝1(x≤－2)
9．解析：由椭圆、双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2，①
|PF1|－|PF2|＝±2，②
由①2－②2得|PF1|·|PF2|＝m－s.
答案：m－s
10．解：因为||PF1|－|PF2||＝6，
所以(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36.
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100.
又因为|F1F2|＝2c＝10，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
所以∠F1PF2＝90°.
11．解：因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由|PM|－|PN|＝4，
得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，故所求方程为－＝1.
12．解法一：椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝3，a2＋b2＝9.
由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)，B(－，4)，由点A在双曲线上，即－＝1.
解方程组eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,－＝1，))
得eq
\b\lc\{\rc\
()
所以所求双曲线的方程为－＝1.
解法二：由已知得双曲线的两焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为双曲线与椭圆有一个交点纵坐标为4，
所以它们的一个交点为A(，4)．
因为||AF1|－|AF2||＝2a，
所以将A，F1，F2的坐标代入得a＝2.
又因为c＝3，
所以b2＝c2－a2＝5.
所以所求双曲线的方程为－＝1.2.4.2
抛物线的简单几何性质
课后导练
基础达标
1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p＞0)，则（
）
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
答案：C
2.抛物线x2=-4y的通径为AB，O为抛物线的顶点，则（
）
A.通径长为8，△AOB的面积为4
B.通径长为-4，△AOB的面积为2
C.通径长为4，△AOB的面积为4
D.通径长为4，△AOB的面积为2
答案：D
3.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于(
)
A.217
B.17
C.215
D.15
答案：C
4.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（
）
A.8p2
B.4p2
C.2p2
D.p2
答案：B
5.过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为(
)
A.8
B.16
C.32
D.64
答案：B
6.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是___________.
答案：-1≤k≤1
7.已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是__________________.
答案：3
8.2
8.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|=43，则焦点到AB的距离为_____________.
9.已知抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.
解法一:设直线上任意一点坐标为(x,y)，弦的两个端点为P1(x1,y1)、P2（x2,y2）.
∵P1、P2在抛物线上，
∴y12=6x1,y22=6x2.
两式相减得
（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2）.①
∵y1+y2=2,代入①得
k==3.
∴直线的方程为y-1=3(x-4),
即3x-y-11=0.
解法二:设所求方程为y-1=k(x-4).
由方程组
得ky2-6y-24k+6=0.
设弦的两端点P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、（x2,y2），
则y1+y2=.
∵Ｐ1Ｐ2的中点为(4，1),
∴=2.∴k=3.
∴所求直线方程为y-1=3(x-4)，
即3x-y-11=0.
10.设抛物线ｙ2＝２ｐｘ（ｐ＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且ＢＣ∥ｘ轴,证明直线AC经过原点O.
证明:∵抛物线的焦点为F（,0),
∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+，
代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.
设A（x1,y1)，B(x2,y2),则y1、y2是该方程的两根，
∴y1y2=-p2.
∵BC∥x轴，且点C在准线x=-上，
∴点C的坐标为（-,y2).
∴直线OC的斜率为
k=,
即k也是直线OA的斜率.
∴直线AC经过原点O.
综合运用
11.设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.
求证：直线AC经过原点O.
证明:∵抛物线的焦点为F（,0),
∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+，
代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.
设A（x1,y1)、B(x2,y2),则y1、y2是该方程的两根，
∴y1y2=-p2.
∵BC∥x轴，且点C在准线x=-上，
∴点C的坐标为（-,y2).
∴直线OC的斜率为k=,
即k也是直线OA的斜率.
∴直线AC经过原点O.
12.(2006上海高考，理20)
在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA·OB=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.
解：（1）设l:x=ty+3,代入抛物线y2=2x,消
去x得
y2-2ty-6=0.
设A（x1,y1）,B(x2,y2),
∴y1+y2=2t,y1·y2=-6,
·=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2
=t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2
=-6t2+3t·2t+9-6=3.
∴·=3,故为真命题.
(2)①中命题的逆命题是：若·=3，则直线l过点（3,0）是假命题.
设l:x=ty+b,代入抛物线
y2=2x,消去x得y2-2ty-2b=0.
设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1·y2=-2b.
∵·=x1x2+y1y2
=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-2bt2+bt·2t+b2-2b=b2-2b,
令b2-2b=3,得b=3或b=-1.
此时直线l过点（3，0）或（-1，0）.
故逆命题为假命题.
拓展探究
13.已知椭圆C1:=1,抛物线C2:(y-m)2=2px(p>0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(1)当AB⊥x轴时,求m,p的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
（2）若p=且抛物线C2的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.
答案：(1)解：当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称.
所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1,)或(1,-).
因为点A在抛物线上,所以=2p,即p=.
此时C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上.
（2）解法一:如右图，当C2的焦点在AB上时,由(1)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1).
由
消去y得（3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.①
设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
则x1、x2是方程①的两根,x1+x2=.
因为AB既是过C1的右焦点的弦,又是过C2的焦点的弦,
所以|AB|=(2-x1)+(2-x2)=4-(x1+x2),
且|AB|=(x1+)+(x2+)
=x1+x2+p=x1+x2+.
从而x1+x2+=4-(x1+x2），
所以x1+x2=,即.
解得k2=6,即k=±.
因为C2的焦点F′(,m)在直线y=k(x-1)上,
所以m=-k,即m=或m=-.
当m=时,直线AB的方程为y=-(x-1);
当m=-时,直线AB的方程为y=(x-1).
解法二:当C2的焦点在AB上时,由(1)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1).
由消去y得(kx-k-m)2=x.①
因为C2的焦点F′(,m)在y=k(x-1)上,
所以m=k(-1),即m=-k.
代入①有(kx)2=x,
即k2x2-(k2+2)x+=0.②
设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
则x1、x2是方程②的两根,x1+x2=.
由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.③
由于x1、x2也是方程③的两根,
所以x1+x2=.
从而,解得k2=6,
即k=±.
因为C2的焦点F′(,m)在直线y=k(x-1)上,
所以m=-k,
即m=或m=-.
当m=时,直线AB的方程为y=-(x-1);
当m=-时,直线AB的方程为y=(x-1).
解法三:设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2、y2),
因为AB既过C1的右焦点F(1,0),又过C2的焦点F′(,m),
所以|AB|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=(2-x1)+(2-x2),
即x1+x2=（4-p)=.①
由（1）知x1≠x2,于是直线AB的斜率
k==-3m,②
且直线AB的方程是y=-3m(x-1),
所以y1+y2=-3m(x1+x2-2)=.③
又因为,
所以3(x1+x2)+4(y1+y2)·=0.④
将①②③代入④得m2=,即m=或m=-.
当m=时,直线AB的方程为y=-(x-1);
当m=-时,直线AB的方程为y=(x-1).2.5
直线与圆锥曲线
课后导练
基础达标
1．若椭圆=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为(
)
A.2
B.-2
C.
D.
答案：D
2．已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为(
)
A.32
B.23
C.
D.
答案：C
3．以椭圆=1的右焦点为圆心,且与双曲线=1的渐近线相切的圆的方程为…
(
)
A.x2+y2-10x+9=0
B.x2+y2-10x-9=0
C.x2+y2+10x-9=0
D.x2+y2+10x+9=0
答案：A
4．已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(7,0),直线y=x-1与双曲线交于M、N的中点横坐标为,则此双曲线的方程为(
)
A.=1
B.
=1
C.=1
D.
=1
答案：A
5．直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆=1恒有公共点,则t的取值范围是.
答案：1≤t＜5
6．直线l与椭圆+y2=1交于P、Q两点,已知l的斜率为1,则弦PQ的中点轨迹方程为.
答案：x+4y=0
7．过抛物线y=ax2(a>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OP和OQ.求证:直线PQ恒过一个定点.
证明:设P(x1,ax12)、Q(x2,ax22),
则kPQ=a(x1+x2),
直线PQ的方程为
y-ax12=a(x1+x2)(x-x1),
即y-a(x1+x2)x+ax1x2=0,
∵OP⊥OQ,
∴kOP·kOQ=a2x1x2=-1.
∴y-分式-a(x1+x2)x=0,
即y-分式=a(x1+x2)(x-0).
∴PQ恒过定点M(0,).
8．已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点,若另有一条直线l经过P(-2,0)及线段AB的中点Q.
(1)求k的取值范围;
(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
解:(1)把y=kx-1代入双曲线方程x2-y2=1,
化简整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
由题设条件＜k＜-1.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x,y),则x=
=,y=,
∴直线l的方程为y=分k2+k-2式(x+2).
令x=0,b==,
∵-＜k＜-1,u=2k2+k-2为减函数,
∴-1＜u＜2-.
又u≠0,∴b＜-2或b＞2+.
9．对于椭圆x2+=1,是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰好被直线x+=0平分,若存在,求出l的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由.
解:设l的方程为y=kx+m,
代入x2+
=1,得
(k2+9)x2+2kmx+m2-9=0,
∴Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)＞0,
即m2-k2-9＜0.①
又,
∴m=.代入①得k2＞3,
∴k＞或k＜-.
从而直线l存在,且倾斜角的范围是(,)∪(,).
综合运用
10．过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,使|AF|>|BF|,过A作x轴的垂线交抛物线于C,则S△BCF等于(
)
A.64
B.32
C.16
D.8
解析：S△BFC=S△BAC-S△AFC
=·8（8+8）-（4+4）（8+8）
=32+64-16-16-16-32
=16.
答案：C
11．设P为双曲线=1右支上一点,F1、F2分别为其左、右焦点,M、N分别为双曲线的左、右顶点,则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点为(
)
A.M点或N点
B.在线段MN上
C.M点
D.N点
解析:设三个切点分别为A、B、C,
则|AF1|-|AF2|
=|CF1|-|BF2|
=(|CF1|+|PC|)-(|BF2|+|PB|)
=|PF1|-|PF2|=2a.
∴点A在双曲线上.又点A在F1F2上,
∴点A为右顶点.
答案:D
12．直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)将y=kx+1代入2x2-y2=1,
得(k2-2)x2+2kx+2=0.①
依题意
解得-2＜k＜-.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由(1)得②
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0),
则由FA⊥FB,得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,
即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0,
整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③
把②及c=代入③并化简得5k2+2k-6=0.
解得k=-或k=(-2,-)舍去.
可知k=使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
∴k=±.
∴直线PQ的方程为x-y-3=0或x+y-3=0.
13．抛物线关于x轴对称，的顶点为如右图，原点，点P(1,2)、A（x1,y1）、B(x2,y2)均在抛物线上
.
(1)写出该抛物线的方程及准线的方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.
解:(1)由已知可设抛物线方程为y2=2px.
∵P在抛物线上,∴4=2\5p\51.
∴p=2.
故抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1.
(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则kPA=(x1≠1),kPB=(x2≠1).
∵PA与PB的斜率存在且倾角互补,
∴kPA=-kPB.
∴.
∴y1+2=-(y2+2).
∴y1+y2=-4.
又A、B在抛物线上,
∴y12=4x1,y22=4x2.
∴y12-y22=4(x1-x2).
∴kAB==-1(x1≠x2).
拓展探究
14．设双曲线C-y2=1与直线l:x+y=1相交于A、B两点.
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；
（2）设直线l与y轴的交点为P，且=，求a的值.
解:(1)由
得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
由于直线与双曲线有两交点,
∴
解得0＜a＜且a≠1.
∴e=,而0＜a＜且a≠1.
∴e＞且e≠.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(0,1).
∵=,∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1).
由此得x1=,由于x1、x2都是(1)中方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的根,且1-a2≠0,
∴x1+x2==,x1x2==.
消去x2,得,由a＞0,
∴a=.2.3.1
双曲线及其标准方程
课后导练
基础达标
1.已知方程=1表示双曲线,则k的取值范围是(
)
A.-1B.k>0
C.k≥0
D.k>1或k<-1
答案：A
2.已知双曲线8kx2-ky2=2的一个焦点为(0,),则k的值等于(
)
A.-2
B.1
C.-1
D.
答案：C
3.已知双曲线=1上的一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（
）
A.3
B.6
C.9
D.12
答案：C
4.在方程mx2-my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（
）
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
答案：D
5.已知双曲线的方程为=1,点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m,F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（
）
A.2a+2m
B.4a+2m
C.a+m
D.2a+4m
答案：B
6.F1、F2是双曲线=1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|=32,则∠F1PF2=___________.
答案：90°
7.过点（3，4）及双曲线=1的两个焦点的圆的标准方程是___________.
答案：x2+（y-2）2=13
8.已知θ是三角形的一个内角,且sinθ-cosθ=,则方程x2sinθ-y2cosθ=1可能表示下列曲线中的.(填上所有可能情况)
①焦点在x轴上的椭圆
②焦点在y轴上的椭圆
③焦点在x轴上的双曲线
④焦点在y轴上的双曲线.
答案：③
9.根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（-3，）；
（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（，2）.
解：（1）设双曲线的方程为-=1，
由题意，得，
解得a2=，b2=4.
所以双曲线的方程为=1.
（2）设双曲线方程为-=1.
由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），
∴=1.
又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为=1.
10.已知定点A（3，0）和定圆C：（x+3)2+y2=16,动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程.
解:设P的坐标为（x,y).
∵圆C与圆P外切且过点A,
∴|PC|-|PA|=4.
∵|AC|=6＞4,
∴点P的轨迹是以C、A为焦点，2a=4的双曲线的右支.
∵a=2,c=3，∴b2=c2-a2=5.
∴=1(x＞0)为动圆圆心P的轨迹方程.
综合运用
11.过双曲线=1的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为多少
解:∵双曲线方程为=1,
∴c==13,于是焦点坐标为F1（-13，0）、F2（13，0）.
设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于A(-13,y)(y＞0).
∴.
∴y=,即|AF1|=.
又∵|AF2|-|AF1|=2a=24,
∴|AF2|=24+|AF1|=24+=.
故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为，.
12.经过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为π[]6的直线，与双曲线交于A、B两点，求
(1)｜ＡＢ｜；
(2)△F2AB的周长l(其中F2是双曲线的右焦点).
解：（1）F1（-2，0），F2（2，0）.
直线AB的方程为y=（x+2）.
将其代入双曲线方程，得8x2-4x-13=0.
设A（x1，y1）、B（x2，y2）.
∴x1+x2=，x1·x2=.
∴|AB|==3.
(2)a=1,由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=2.①
|BF2|-|BF1|=2a=2.②
①+②，得:
|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4，
|AF2|+|BF2|-3=4，
|AF2|+|BF2|=7，
∴△F2AB的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=10.
13.A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6
km，C在B的北偏西30°方向上，相距4
km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1
km）.A若炮击P地，求炮击的方位角.
解：以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，
则A（3，0）、B（-3，0）、C（-5，2）.
∵|PB|-|PA|=4，
∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是=1(x≥2).①
又∵|PB|=|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为
x-y+7=0.②
将②代入①得11x2-56x-256=0,得x=8或x=（舍）.
于是可得P（8，5）.
又kPA=tanα=,∴α=60°.
故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.
拓展探究
14.(2006江苏高考，17)
已知三点P（5，2）、F(-6,0)、F2(6,0).
（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、F1、F2关于直线y＝x对称点分别为P′、F1′、F2′,求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程.
解：(1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0）,其半焦距c=6.
2a=||PF1|+|PF2||=
∴a=3,b2=a2-c2=45-36=9.
∴所求椭圆的标准方程为=1.
(2)点P（5,2）、F1(-6,0)、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为P′(2,5)、F
1′(0,-6)、F2′(0,6).
设所求双曲线的标准方程为=1(a1＞0,b1＞0)
由题意知，半焦距c1=6,
2a1=||P′F1′|-|P′F2′||
=.
∴a1=2,b12=c12-a12=36-20=16.
∴所求双曲线的标准方程为=1.2.2.3
椭圆的简单几何性质（二）
课后导练
基础达标
1.若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是（
）
A.椭圆的短轴的端点
B.椭圆的长轴的一个端点
C.不是椭圆的顶点
D.以上都不对
答案：B
2.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8,则动点M的轨迹是(
)
A.圆
B.椭圆
C.直线
D.无法确定
答案：B
3.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，,则椭圆方程为(
)
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
答案：D
4.椭圆=1(a＞b＞0)的焦点到直线x=的距离为（
）
A.
B.
C.或
D.
答案：C
5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为……（
）
A.
B.
C.2-
D.-1
答案：D
6.椭圆=1的长轴长是短轴长的2倍，则a的值为___________.
答案：4或
7.椭圆=1上一点P到右焦点（1，0）的距离为，则点P到x轴的距离为___________.
答案：
8.椭圆=0（a＞b＞0）上任意一点，到两个焦点的距离分别为r1、r2.焦距为2c，若r1、2c、r2成等差数列，则椭圆的离心率为___________________.
答案：e=
9.求中心在原点，过点（1，），一条准线为x-4=0的椭圆方程.
解析：由准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），
将点（1，）代入椭圆方程，
得b2=.①
由一条准线方程是x-4=0.
∴=.②
又a2-b2=c2,③
由①②③消去b，c可得a2=4或a2=，相应地，b2=1或b2=，
故所求椭圆方程为+y2=1或=1.
10.点P（-3，1）在椭圆x2[]a2+y2[]b2=1（a＞b＞0）的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经过直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为多少？
解析:如下图所示.
kPA=-.
∴lPA:5x+2y+13=0.
则交点A的坐标为(,-2),据光的反射知识知kAF=-kPA=.
∴lAF:5x-2y+5=0.
∴与x轴交点即左焦点F(-1,0),即c=1.
又左准线x=-=-a2=-3,
∴a=.
∴e==.
综合运用
11.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439
km,远地点B(离地面最远的点)距地面2
384
km,并且F2、A、B在同一条直线上,地球半径约为6
371
km,求卫星运行的轨道方程.(精确到1
km)
解析:建立直角坐标系,使点A、B、F2在x轴上,F2为椭圆的右焦点(记F1为左焦点).
∵椭圆的焦点在x轴上,
∴设它的标准方程为+=1(a＞b＞0),
则a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6
371+439=6
810,
a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6
371+2
384=8
755.
∴a=7
782.5,c=972.5.
∴b2=a2-c2=7
782.52-972.52≈7
7222.
∴卫星运行的轨道方程是=1.
12．已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件：
（1）焦点F1的坐标为（3，0）；
（2）长半轴长为5.
则可求得此椭圆方程为=1（※），问可用其他什么条件代替条件（2），使所求得的椭圆方程仍为（※）？请写出两种以上替代条件.
解析：①短半轴长为4；②右准线方程为x=；③离心率为e=；④点P（3，）在椭圆上；⑤椭圆上两点间的最大距离为10；……（答案是开放的）
拓展探究
13.椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2|=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.
解法一:(1)因为点P在椭圆C上,所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3.
在Rt△PF1F2中,|F1F2|=,故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2-c2=4,
所以椭圆C的方程为=1.
(2)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1),
从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
因为A、B关于点M对称,
所以=-2,解得k=.
所以直线l的方程为y=(x+2)+1,
即8x-9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意)
解法二:(1)同解法一.
(2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
由题意x1≠x2且=1,①
=1.②
由①-②得
=0.③
因为A、B关于点M对称,
所以x1+x2=-4,y1+y2=2.
代入③得=,
即直线l的斜率为,
所以直线l的方程为y-1=(x+2),
即8x-9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意)2.2.2
椭圆的几何性质
自我小测
1．已知k＜0，则曲线＋＝1和＋＝1有相同的( )
A．顶点
B．焦点
C．离心率
D．长轴长
2．椭圆的对称轴为坐标轴，若它的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为eq
\f(,2)，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )
A.＋y2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C．x2＋4y2＝1
D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16
4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
5．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足·＝0的点P的个数为( )
A．0
B．2
C．3
D．4
6．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于______．
7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为∶的两段，则其离心率e为__________．
8．在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程为__________．
9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(1，))，且离心率e＝，求此椭圆的方程．
10．已知椭圆的焦点在x轴上，椭圆上一点的横坐标等于右焦点的横坐标，且纵坐标的长等于短半轴长的，求该椭圆的离心率．
11．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
参考答案
1．解析：c21＝9－4＝5，且焦点在x轴上；c22＝(9－k)－(4－k)＝5，且焦点在x轴上．
答案：B
2．答案：C
3．解析：若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝eq
\f(,2)，所以c＝.
所以b2＝a2－c2＝1.
所以方程为＋y2＝1，即x2＋4y2＝4；
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝eq
\f(,2)，
所以＝1－＝，
所以a2＝4b2＝16.
所以方程为＋＝1，即4x2＋y2＝16.
答案：D
4．解析：依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，所以4b2＝a2＋2ac＋c2.因为b2＝a2－c2，所以4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，
所以3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选B.
答案：B
5．解析：因为·＝0，所以PF1⊥PF2.
所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c＝＝2.
又b＝2，所以点P为短轴的两个端点．
答案：B
6．解析：椭圆的焦距长等于它的短轴长，即2b＝2c，则有a2＝b2＋c2＝2c2，解得a＝c，所以e＝＝eq
\f(,2).
答案：eq
\f(,2)
7．解析：由题意，得(a＋c)∶(a－c)＝∶，即＝eq
\f(,)，解得e＝5－2.
答案：5－2
8．解析：如图，根据题意可知F1B1⊥F1B2，|OF1|=3.
可知|OB2|=|OB1|=3，
所以b=c=3，a2=b2+c2=18.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．分析：由椭圆的离心率可得a，c的关系，从而知道b，c的关系，再由点在椭圆上，代入方程即可求得椭圆的标准方程．
解：由题意知椭圆的离心率e＝＝，所以a＝2c，
所以b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆的方程为＋＝1.
又点eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(1，))在椭圆上，
所以＋eq
\f(eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())2,3c2)＝1，所以c2＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
10．解法一：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
依题意设M点坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(c，b))，
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2，
所以|MF1|＋|MF2|＝eq
\r(4c2＋b2)＋b＝2a.
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，
所以3b＝2a，＝，
所以e2＝＝＝1－＝，
所以e＝eq
\f(,3).
解法二：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件设Meq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(c，b))，
将点M代入椭圆方程得＋＝1，
所以＝，＝eq
\f(,3)，即e＝eq
\f(,3).
11．(1)解：不妨设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由余弦定理得
cos
60°＝＝，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，所以|PF1|·|PF2|＝.
又因为|PF1|·|PF2|≤eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())2＝a2，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以≥，所以e≥.
又因为椭圆中0＜e＜1，
所以所求椭圆的离心率的取值范围是≤e＜1.
(2)证明：由(1)可知|PF1|·|PF2|＝b2，
＝|PF1|·|PF2|sin
60°＝×b2×eq
\f(,2)＝eq
\f(,3)b2.
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．2.1
曲线与方程
课后训练
1．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D．(2x＋3)2＋4y2＝1
2．“点M在曲线y2＝8x上”是点M的坐标满足方程的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个不同的交点，则( )
A．m∈R
B．m∈(－∞，1)
C．m＝1
D．m∈(1，＋∞)
4．下列方程中表示相同曲线的一对方程是( )
A．与y＝x2
B．y＝x与
C．与
D．y＝x与x2－y2＝0
5．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是( )
A．y＝2x2
B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1
D．2y＝8x2＋1
6．平面内与定点(－1,2)和直线3x＋4y－5＝0的距离相等的点的轨迹是__________．
7．方程所表示的曲线是__________________．
8．(1)方程(x－1)2＋(x2＋y2－1)2＝0表示的图形为__________．
(2)方程(x－1)2·(x2＋y2－1)2＝0表示的图形为__________．
9．点A(3,0)为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．
10．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为，求m的值．
参考答案
1.
答案：C 设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)，∵动点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.
2.
答案：B 曲线y2＝8x，即，所以点M在上，则必在曲线y2＝8x上．
3.
答案：D 已知条件可转化为联立后的方程组有两个不同的解．
4.
答案：C 选项A，B中两个x的取值范围不同；选项D中后者为y＝±x与前者对应法则不同，这些都决定了它们是不同的曲线；而选项C中两函数定义域与对应法则都相同，是同一函数，故其图象相同．
5.
答案：C 设AP的中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，整理，得2y＝8x2－1.
6.
答案：直线 ∵(－1,2)在直线3x＋4y－5＝0上，
∴轨迹是过定点(1,2)且垂直于3x＋4y－5＝0的直线．
7.
答案：直线x＝1或直线x＋y－1＝0(x≥1) 由方程可得或即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.
8.
答案：(1)点(1,0) (2)直线x－1＝0或圆x2＋y2－1＝0
(1)∵(x－1)2＋(x2＋y2－1)2＝0，
∴
∴即方程的图形表示点(1,0)．
(2)∵(x－1)2·(x2＋y2－1)2＝0，
∴x－1＝0或x2＋y2－1＝0，即方程的图形表示直线x－1＝0或圆x2＋y2－1＝0.
9.
答案：分析：设出点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，由题意可得∴再代入圆的方程即可．
解：由题意设点M(x，y)，P(x0，y0)，则
∴又∵(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1，
∴.
10.
答案：分析：直线与曲线交于两点，可设出这两点的坐标，然后灵活应用根与系数的关系求解．
解：设直线x＋y－m＝0与曲线y＝x2相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，联立直线与曲线得将(2)代入(1)得x2＋x－m＝0，
所以
所以
＝
＝
＝，
所以，所以m的值为2.2.4.1
抛物线的标准方程
自我小测
1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
2．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P坐标为( )
A.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，±eq
\f(,2)))
B.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，±eq
\f(,2)))
C.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，±))
D.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，±eq
\f(,2)))
3．若A是定直线l外的一个定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
4．设点P是抛物线y2＝16x上的点，它到焦点的距离h＝10，则它到y轴的距离d等于( )
A．3
B．6
C．9
D．12
5．抛物线y2＝24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝12x
C．y2＝16x
D．y2＝20x
6．抛物线y2＝12x的准线方程是__________，焦点坐标是__________．
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
8．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为__________．
9.
动圆P与定圆A：(x-2)2+y2=1外切，且与直线l：x=-1相切，求动圆圆心P的轨迹．
10．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点为直线x－2y－4＝0与x轴的交点．
(2)过抛物线y2＝2mx(m＞0)的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝6.
参考答案
1．解析：该题考查圆锥曲线的知识．显然抛物线y2＝2px的焦点坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，0))，椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，从而可得p＝4.故选D.
答案：D
2．解析：设P(x，y)，因为点P到焦点的距离为2，所以点P到准线x＝－的距离也是2，即x＋＝2，所以x＝，所以y＝±eq
\f(,2).所以选B.
答案：B
3．解析：设圆心为P，由圆过点A且与直线l相切可知，动点P到点A的距离等于它到直线l的距离．因此动圆的圆心轨迹为抛物线．
答案：D
4．解析：设点P到抛物线y2＝16x的准线的距离为l.由抛物线y2＝16x知＝4.由抛物线定义知l＝h，又l＝d＋，故d＝l－＝h－＝10－4＝6.
答案：B
5．解析：准线方程为l：x＝－6a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋6a＝5，a＝，抛物线方程为y2＝8x，故选A.
答案：A
6．解析：由y2＝12x知，＝3，所以准线方程为x＝－3，焦点坐标为(3,0)．
答案：x＝－3 (3,0)
7．答案：y2＝8x
8．解析：因为抛物线方程为y2=4x，
则准线方程为x=-1.
设P点坐标为P(x0，y0)，由图可知，
|PM|=x0+1=5.所以x0=4.
把x0=4代入y2=4x，解得y0=±4，
所以△MPF的面积为|PM|×|y0|＝×5×4＝10.
答案：10
9．解：设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x=-2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA.
因为动圆与定圆A：(x-2)2+y2=1外切，且与直线l：x=-1相切，
所以|PA|=1+|PD|，
即点P到点A的距离比它到直线l：x＝－1的距离大1.
所以点P到点A的距离与它到直线l′：x＝－2的距离相等，即|PA|＝|PD′|.
根据抛物线的定义，点P的轨迹是以点A为焦点，直线l′：x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.
10．解：(1)令y＝0得x＝4，
故抛物线焦点为(4,0)，＝4，p＝8，
抛物线方程为y2＝16x.
(2)设抛物线的准线为l，交x轴于点K，则l的方程为x=-，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，
则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝m，
同理|BF|＝|BB′|＝|FK|＝m.
又|AB|＝6，则2m＝6，所以m＝3.
故抛物线方程为y2＝6x.2.4.2
抛物线的简单几何性质
自我小测
1．设抛物线y2＝2x与过焦点F的直线交于A，B两点，则·的值是( )
A.
B．－
C．3
D．－3
2．抛物线y＝ax2(a＜0)的焦点坐标和准线方程分别为( )
A.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，0))，x＝－
B.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(－，0))，x＝－
C.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(0，))，y＝－
D.eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(0，－))，y＝－
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝4，则P点坐标为( )
A．(3,2)
B．(3，－2)
C．(3,2)或(3，－2)
D．(－3，±2)
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
5．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点坐标为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )
A.eq
\f(3,2)
B.eq
\f(2,5)
C.eq
\f(7,10)
D.eq
\f(,2)
6．抛物线y2＝2x上点P(1，－)到其焦点的距离为__________．
7．抛物线y2＝8x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．
8．已知抛物线y＝ax2的焦点为F，准线l与对称轴交于点R，过抛物线上一点P(1,2)，作PQ⊥l，垂足为Q，则梯形PQRF的面积为__________．
9．如图，已知抛物线的焦点为F(5,1)，准线方程为x＝1.
(1)求抛物线方程；
(2)求焦点到顶点的距离；
(3)求顶点坐标；
(4)已知A(6,2)，在抛物线上求一点Q，使得|QA|＋|QF|最小．
10．求顶点在原点、焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线方程．
参考答案
1．解析：抛物线y2＝2x的焦点坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，0)).设过焦点F的直线AB为x＝ay＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,x＝ay＋，))得y2－2ay－1＝0，所以y1y2＝－1，x1x2＝＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝－.
答案：B
2．解析：方程为x2＝y＝－y，则2p＝(p＞0)，则焦点Feq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(0，))，准线方程为y＝－.
答案：C
3．解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1.由|PF|＝xP＋1＝4，得xP＝3.代入抛物线方程得y2＝12，所以y＝±2.
答案：C
4．解析：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为(3,0)，半径为4.故有3＋＝4，所以p＝2.
答案：C
5．解析：点(1,2)在抛物线y2＝2px和直线ax＋y－4＝0上，
所以p＝2，a＝2，抛物线的焦点为(1,0)．
焦点到直线2x＋y－4＝0的距离为eq
\f(|2×1－4|,)＝eq
\f(2,)＝eq
\f(2,5).
答案：B
6．解析：抛物线y2＝2x的准线为x＝－，根据抛物线的定义P点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以d＝1＋＝.
答案：
7．解析：设所求点为(x0，y0)．因为抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，根据条件可知x0＋2＝，又因为y20＝8x0，
所以x0＋2＝，解得x0＝1，所以y0＝±2.
所以所求点的坐标为(1，－2)和(1,2)．
答案：(1，－2)和(1,2)
8．解析：将P(1,2)代入y＝ax2得a＝2.
所以y＝2x2，即x2＝y.
所以|FR|＝，|PQ|＝2＋＝，
所以S＝eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(＋))×1＝.
答案：
9．解：(1)该抛物线方程不是标准形式，应根据抛物线定义求它的方程．
设抛物线上任意一点M(x，y)，据定义，可得＝|x－1|，
整理得(y－1)2＝8(x－3)．
这就是所求的抛物线方程．
(2)根据抛物线的几何特征，抛物线焦点到顶点的距离应是焦点到准线距离的一半，而焦点到准线的距离为5－1＝4，故焦点到顶点的距离为2.
(3)根据抛物线顶点性质及中点坐标公式，顶点坐标为(3,1)．
(4)过点A作准线的垂线，垂足为R，交抛物线于点Q，则点Q即为所求．设抛物线上另有一点Q′(异于点Q)，点Q′到准线的距离为|Q′R′|，
则|Q′A|＋|Q′F|＝|Q′A|＋|Q′R′|≥|QA|＋|QR|＝|AR|.
由eq
\b\lc\{\rc\
()
解得eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x＝，,y＝2.))
故取最小值时点Q坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，2)).
10．解：设所求抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．①
直线方程变形为y＝2x＋1，②
设抛物线截直线所得弦为AB.
将②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则|AB|＝eq
\r((1＋22)eq
\b\lc\[\rc\](eq
\a\vs4\al\co1(eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())2－4×)))＝.
解得a＝12或a＝－4.
所以所求抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－4x.2.1.2
由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质
课后导练
基础达标
1.已知点O(0，0)，A(1，-2)，动点P满足｜PＡ｜＝3｜PＯ｜，则P点的轨迹方程是（
）
A.8x2+8y2+2x-4y-5=0
Ｂ.8x2+8y2-2x-4y-5=0
Ｃ.8x2+8y2+2x+4y-5=0
Ｄ.8x2+8y2-2x+4y-5=0
答案：A
2.已知直线l:2x+4y+3=0，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为1∶２两部分，则点Q的轨迹方程为（
）
A.2x+4y+1=0
Ｂ.2x+4y+3=0
Ｃ.2x+4y+2=0
Ｄ.x+2y+1=0
答案：Ａ
3.到点（－１，－２）的距离等于3的动点M的轨迹方程是（
）
Ａ.(x+1)2+(y+2)2＝3
Ｂ.(x+1)2+(y+2)2＝９
Ｃ.(x-1)2+(y-2)2＝3
Ｄ.(x-1)2+(y-2)2=9
答案：B
4.弦经过抛物线y2=2px的焦点,则该弦的中点的轨迹是(
)
A.抛物线
B.椭圆
C.双曲线
D.直线
答案：A
5.线段AB的长度是10，它的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB中点P的轨迹方程是________________.
答案：x2+y2=25
6.已知平面上有两定点A、B，｜AB｜＝2a，平面上一动点M到A、B两点距离之比为2∶１，则动点M的轨迹方程为____________________.
答案：3x2＋3ｙ2－10ａx＋3ａ2＝0
7.已知B(-3，0)、C(3，0)，△ABC中BC边上的高的长为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程.
解析:设H的坐标为(x，y)，则A点的坐标为(x，3)或(x，-3).
当A的坐标为(x，3)时，
∵AB⊥CH，
∴kAB·kCH=-1,
即=-1（x≠±3）.
化简整理得y=x2+3（x≠±3）.
x=±3时，y=0也适合此方程，所以方程y=x2+3为所求轨迹方程.
当A的坐标为(x，-3)时，同理可得H的轨迹方程为y=x2-3.
总之，△ABC的垂心H的轨迹方程是y=x2+3或y=x2-3.
8.已知△ABC的顶点B、C的坐标分别为(-1，-3)、(3，5)，若点A在抛物线y=x2-4上移动，求△ABC的重心P的轨迹方程.
解析:设△ABC的重心P的坐标为(x，y)，顶点A的坐标为（x1，y1），则y1=x12-4.
由重心坐标公式得
∴
代入y1=x12-4得3y-2=(3x-2)2-4.
化简整理得9x2-12x-3y+2=0.
又直线BC的方程为，即y=2x-1.
由
得或
∵A、B、C三点不在一条直线上，
∴P、B、C三点不共线.
∴轨迹中应去掉点(，)和(，-).
故△ABC的重心P的轨迹方程是9x2-12x-3y+2=0(x≠且x≠).
综合运用
9.线段AB与CD互相垂直且平分于点O，｜AB｜＝2a，｜CD｜＝2b，动点P满足｜PＡ｜·｜PＢ｜＝｜PC｜·｜PD｜，求动点P的轨迹方程.
解析：以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系,如右图所示.
设P（x,y）,又A（-a,0）、B（a,0）、C（0，-b）、D（0,b），
由题设知
|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.
∴·
=.
化简得x2-y2=为所求.
（证明略）
10.等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BD是AC边上的中线，AE⊥BD交BC于点E，用坐标法证明∠ADB=∠CDE.
证明:建立坐标系如右图所示，设｜AB｜=｜AC｜=a，则在坐标系中各点坐标是A(0，0)、B(0，a)、C(a，0)、D(，0).
由斜率公式得kBD==-2.
由已知AE⊥BD，得AE所在的直线方程是y=x.
E点的坐标(x0，y0)满足
解得kDE==2.
也就是tan∠CDE=2.
而tan∠ADB=tan(180°-∠CDB)
=-tan∠CDB=-kBD=-(-2)=2，
∴tan∠CDE=tan∠ADB.
又∠CDE和∠ADB都是锐角，
∴∠CDE=∠ADB.
11.过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解析：如右图，设点M的坐标为(x，y).
∵M为线段AB的中点，
∴A的坐标为(2x，0)，B的坐标为(0，2y).
∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2，4)，
∴PA⊥PB，kPA·ｋPＢ＝－１.
而kPＡ＝(x≠1)，
ｋPＢ＝，∴=-1(x≠1).
整理，得x+2y-5=0(x≠1).
∵当x=1时，A、B的坐标分别为(2，0)、(0，4),
∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程
x+2y-5=0.
综上所述，点M的轨迹方程是x+2y-5=0.
12.已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解析：设切点为N，则|MN|=λ|MQ|.
于是|MO|2-r2=（λ|MQ|）2.
将M（x，y）代入上式，得x2+y2-1=λ2（x-2）2+λ2y2，
整理得（λ2-1）（x2+y2）-4λ2x+（1+4λ2）=0.
当λ=1时，方程为x=，表示一直线.
当λ≠1时，方程为（x）2+y2=1+，表示一个圆.
拓展探究
13.已知A、B、C是直线l上的三个定点，其中AB的长为a，BC的长为c.动点Pl，但P与l在确定的平面α内，且恒有∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹.
解析：如右图，以AC为x轴，以B为坐标原点建立直角坐标系.
设P点的坐标为（x，y）.
由已知∠APB=∠BPC，
得.①
设A（-a，0），C（c，0），a＞0，c＞0.
则|PA|=，
|PC|=.
将其代入①得根，
化简，得（a2-c2）x2+（a2-c2）y2-2ac（a+c）x=0.②
当a=c时，方程②变为x=0，P点的轨迹为y轴（原点除外）.
当a≠c时，方程②（a-c）x2+（a-c）y2-2acx=0
x2+y2=0
（x）2+y2=（）2.
∴P点的轨迹是以（，0）为圆心，以为半径的圆.（除原点和点（，0）外）2.1
曲线与方程
自我小测
1．下列方程中表示相同曲线的一对方程是( )
A．x＝与y＝x2
B．y＝x与＝1
C．y＝lg
x与y＝lg
D．y＝x与x2－y2＝0
2．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是下图中的( )
3．已知点A(－1,0)，B(1,0)，且·＝0，则动点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1(x≠±1)
D．x2＋y2＝2(x≠±)
4．已知0≤α＜2π，点P(cos
α，sin
α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A.
B.
C.或
D.或
5．下列命题正确的是( )
A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线
B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0
C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0
6．已知点A(a,2)既是曲线y＝mx2上的点，也是直线x－y＝0上的点，则m＝__________.
7．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是__________．
8．直线y＝kx＋1与y＝2kx－3(k为常数，且k≠0)交点的轨迹方程是__________．
9．已知P为圆(x＋2)2＋y2＝1上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，求点M的轨迹方程，并说明轨迹形状．
10．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为3，求m的值．
参考答案
1．答案：C
2．解析：原方程可化为eq
\b\lc\{\rc\
()或eq
\b\lc\{\rc\
()或eq
\b\lc\{\rc\
()或eq
\b\lc\{\rc\
()作出其图象为D.
答案：D
3．解析：设动点M(x，y)，则
＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)．
由·＝0，
得(－1－x)(1－x)＋(－y)(－y)＝0，即x2＋y2＝1.
答案：A
4．解析：由(cos
α－2)2＋sin2α＝3，得cos
α＝.
又0≤α＜2π，
∴α＝或.
答案：C
5．解析：对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y≠2；B中“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有D是正确的．
答案：D
6．解析：根据点A在曲线y＝mx2上，也在直线x－y＝0上，则eq
\b\lc\{\rc\
()∴eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(a＝2，,m＝.))
答案：
7．解析：设PQ的中点的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，
则eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x＝，,y＝，))∴eq
\b\lc\{\rc\
()
又∵点P在曲线y＝2x2＋1上，
∴2y＋1＝8x2＋1，即y＝4x2.
答案：y＝4x2
8．解析：y＝kx＋1与y＝2kx－3联立，消去k，得y＝5.
由y＝kx＋1＝5，得kx＝4.
∵k≠0，∴x≠0.
故所求的轨迹方程为y＝5(x≠0)．
答案：y＝5(x≠0)
9．解：设M(x，y)，P(x1，y1)．
∵M为线段OP的中点，
∴eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x＝，,y＝，))即eq
\b\lc\{\rc\
()即P(2x,2y)．
将P(2x,2y)代入圆的方程(x＋2)2＋y2＝1，可得(2x＋2)2＋(2y)2＝1，
即(x＋1)2＋y2＝，
此方程为点M的轨迹方程，
∴点M的轨迹图形是以(－1,0)为圆心，为半径的圆．
10．分析：直线与曲线交于两点，可设出这两点的坐标，然后灵活应用根与系数的关系求解．
解：设直线x＋y－m＝0与曲线y＝x2相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，联立直线与曲线方程，得
eq
\b\lc\{\rc\
()eq
\b\lc\
\rc\
()
将②代入①，得x2＋x－m＝0，
所以eq
\b\lc\{\rc\
()
所以|AB|＝＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝3，
所以＝3，所以m的值为2.第二章圆锥曲线与方程
测评B
(高考体验卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
3．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．焦距相等
B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等
D．离心率相等
4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A.
B.
C．1
D.
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )
A．1
B.
C．2
D．3
6．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
7．(2014课标全国Ⅰ高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝( )
A.
B．3
C.
D．2
8．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
9．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0
B.x±y＝0
C．x±2y＝0
D．2x±y＝0
10．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为__________．
12．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
13已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝__________.
14．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是__________．
15．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．
三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
17．(6分)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
18．(6分)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程．
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
19．(7分)(2013广东高考)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
参考答案
1．解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.
又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.
将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
由y＝2px0，得16＝2p，解之，得p＝2，或p＝8.
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.
答案：C
2．解析：由于双曲线焦点在x轴上，且其中一个焦点在直线y＝2x＋10上，所以c＝5.
又因为一条渐近线与l平行，因此＝2，可解得a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为－＝1，故选A.
答案：A
3．解析：因为0＜k＜9，所以方程－＝1与－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线．双曲线－＝1中，其实轴长为10，虚轴长为2，焦距为2＝2；双曲线－＝1中，其实轴长为2，虚轴长为6，焦距为2＝2.因此两曲线的焦距相等，故选A.
答案：A
4．解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即±x－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d＝＝.
答案：B
5．解析：设A点坐标为(x0，y0)，则由题意，得S△AOB＝|x0|·|y0|＝.抛物线y2＝2px的准线为x＝－，所以x0＝－，代入双曲线的渐近线的方程y＝±x，得|y0|＝.由得b＝a，所以|y0|＝p.所以S△AOB＝p2＝，解得p＝2或p＝－2(舍去)．
答案：C
6．解析：设P点坐标为(x0，y0)，则＋＝1，
kPA2＝，kPA1＝，于是kPA1·kPA2＝＝＝－.故kPA1＝－.
∵kPA2∈[－2，－1]，
∴kPA1∈.故选B.
答案：B
7．解析：如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4.
过Q作QH⊥l于H，则|QH|＝|QF|.
由题意，得△PHQ∽△PMF，
则有＝＝，
∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3.
答案：B
8．解析：由离心率为，可知c＝a，∴b＝a，
∴渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.
答案：B
9．解析：由题意，知椭圆C1的离心率e1＝，
双曲线C2的离心率为e2＝.
因为e1·e2＝，
所以＝，
即＝，
整理可得a＝b.
又双曲线C2的渐近线方程为bx±ay＝0，
所以bx±by＝0，即x±y＝0.
答案：A
10．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，
∴
①－②，得
＋＝0，
即＝－，
∵AB的中点为(1，－1)，
∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，
而＝kAB＝＝，
∴＝.
又∵a2－b2＝9，
∴a2＝18，b2＝9，
∴椭圆E的方程为＋＝1.故选D.
答案：D
11．解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
12．解析：抛物线的准线方程为y＝－，设A，B的横坐标分别为xA，xB，则|xA|2＝|xB|2＝3＋2，
所以|AB|＝|2xA|.
又焦点到准线的距离为p，由等边三角形的特点得p＝|AB|，即p2＝×4×，所以p＝6.
答案：6
13．解析：如图所示．
根据余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，即|BF|2－16|BF|＋64＝0，得|BF|＝8.
又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB|·|BF|cos
∠ABF，得|OF|＝5.
根据椭圆的对称性|AF|＋|BF|＝2a＝14，得a＝7.
又|OF|＝c＝5，故离心率e＝.
答案：
14．解析：由双曲线方程可知，它的渐近线方程为y＝x与y＝－x，它们分别与x－3y＋m＝0联立方程组，解得A，B.
由|PA|＝|PB|知，可设AB的中点为Q，
则Q，
由PQ⊥AB，得kPQ·kAB＝－1，
解得2a2＝8b2＝8(c2－a2)，即＝.
故＝.
答案：
15．解析：设B在x轴上的射影为B0，由题意得，|B0F1|＝|F1F2|＝，得B0坐标为，即B点横坐标为－.设直线AB的斜率为k，又直线过点F1(－c,0)，
∴直线AB的方程为y＝k(x＋c)．
由得(k2＋b2)x2＋2ck2x＋k2c2－b2＝0，
其两根为－和c，由韦达定理得解之，得c2＝，∴b2＝1－c2＝.
∴椭圆方程为x2＋y2＝1.
答案：x2＋y2＝1
16．分析：(1)利用椭圆的几何性质可得BF2＝a＝，再把点C的坐标代入即可求出椭圆方程；
(2)写出B，F2的坐标，用b，c表示直线AB的方程，联立椭圆方程表示出点A的坐标，利用点A与点C的对称性，表示出点C的坐标，利用直线F1C的斜率及kF1C·kAB＝－1建立a，b，c的关系，再结合平方关系求离心率．
解：设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)因为B(0，b)，
所以BF2＝＝a.
又BF2＝，故a＝.
因为点C在椭圆上，
所以＋＝1.解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为＋＝1.
解方程组
得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，
且F1C⊥AB，
所以·＝－1.
又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.
故e2＝.
因此e＝.
17．分析：在第(1)问中，根据椭圆中a，b，c的关系及题目给出的条件可知点M的坐标，从而由斜率条件得出a，c的关系，再利用离心率公式可求得离心率，注意离心率的取值范围；在第(2)问中，根据题目条件，O是F1F2的中点，MF2∥y轴，可得a，b之间的一个关系式，再根据条件|MN|＝5|F1N|，可得|DF1|与|F1N|的关系，然后可求出点N的坐标，代入C的方程，可得a，b，c的另一关系式，最后利用a，b，c的关系式可求得结论．
解：(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，
即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|，
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，
则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
18．分析：第(1)问求动点M的轨迹C的方程，就是找出动点M(x，y)中x与y的关系，依据点M到点F(1,0)的距离比它到y轴距离多1建立等式|MF|＝|x|＋1，而|MF|可用两点间距离公式表示，化简整理可得轨迹C的方程．
而对于第(2)问，由于直线过定点(－2,1)，可用点斜式得直线方程y－1＝k(x＋2)，讨论直线l与曲线C公共点个数问题可转化为直线与曲线方程联立得到的方程组解的个数问题．由第(1)问知曲线C的方程分为两段：一段是抛物线，一段为射线，而由直线与抛物线联立得到的是二次项含字母的方程，需对二次项系数以及根的判别式作出讨论，还要注意与抛物线联立后有解时x的取值为非负这一条件．
解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，
化简整理得y2＝2(|x|＋x).
故点M的轨迹C的方程为y2＝
(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x＜0)．
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
ⅰ)当k＝0时，此时y＝1.
把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.
ⅱ)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则
由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③
(a)若由②③解得k＜－1，或k＞.
即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
(b)若或由②③解得k∈，或－≤k＜0.
即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．
当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．
故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
(c)若
由②③解得－1＜k＜－，或0＜k＜.
即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
综合ⅰ，ⅱ可知，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；
当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；
当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
19．解：(1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy，
由＝，结合c＞0，解得c＝1.
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0，
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.
因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，
所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0.
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1.
联立方程
消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0.
由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，
所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.
又点P(x0，y0)在直线l上，
所以x0＝y0＋2.
所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝22＋.
所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.2.2.1
椭圆及其标准方程
课后导练
基础达标
1.椭圆=1上一点到两个焦点的距离和为…(
)
A.26
B.24
C.4
D.2
答案：D
2.下列说法中正确的是(
)
A.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆
B.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段
C.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线
D.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条线段
答案：D
3.已知椭圆的方程为=1,焦点在x轴上,则m的范围是(
)
A.-4≤m≤4且m≠0
B.-4C.m>4或m<-4
D.0答案：B
4.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1、F2的距离之差为2,则△PF1F2是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
答案：B
5.椭圆=1的焦距等于2,则m的值为(
)
A.5或3
B.8
C.5
D.16
答案：A
6.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是________________.
答案：(±,0)
7.过点(-3,2)且与=1有相同焦点的椭圆的方程是________________.
答案：=1
8.若方程=-1表示椭圆，则实数k的取值范围是_________________.
答案：3＜k＜5且k≠4
9.过原点的直线与椭圆=1(a>b>0)相交于A、B两点,若F(c,0)是椭圆右焦点,则△FAB的最大面积是多少？
解析：∵S△FAB=S△OAF+S△OBF
=c·|yA|+分式c·|yB|
=c·(|yA|+|yB|),
而(|yA|+|yB|)max=2b,
∴(S△FAB)max=bc.
10.点P是椭圆=1上的一点,F1、F2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.
解析：在椭圆=1中,a=,b=2,
∴c==1.
∵点P在椭圆上,
∴|PF1|+|PF2|=2a=2,|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=20.①
由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos30°=|F1F2|2=4,②
①-②得(2+)|PF1||PF2|=16,
∴|PF1||PF2|=16(2-).
∴S△F1PF2=|PF1||PF2|·sin30°=8-4.
综合运用
11.F1，F2是椭圆C：=1的焦点，在C上求满足PF1⊥PF2的点P的个数？
解析：a=2，c=2，e=，
设P（x0，y0），则|PF1|=2+x0，|PF2|=2-x0.
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
即（2+x0）2+（2-x0）2=16，解得x0=0.
故在椭圆上存在两点，即短轴的两顶点使PF1⊥PF2.
12.已知圆C1：（x+1）2+y2=1和圆C2：（x-1）2+y2=9，求与圆C1外切而内切于圆C2的动圆圆心P的轨迹方程.
解析：圆C1圆心C1坐标为（-1，0），
半径r1=1，圆C2圆心C2坐标为（1，0）
半径r2=3，动点P满足
|PC1|=r+1，|PC2|=3-r
∴|PC1|+|PC2|=4
∴动点P的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为4的椭圆上，故点P的轨迹方程为=1.
13.已知P为椭圆=1上的点，设F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=，求△F1PF2的面积.
解析：∵|PF1|+|PF2|=20，
又∠F1PF2=
由斜弦定理知：
∴|PF1|·|PF2|=.
∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sin=.
拓展探究
14.(2006河北石家庄二模，21)已知椭圆的焦点是F1（-1，0）、F2（1，0）.P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
（1）求椭圆的方程;
(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2=120°，求tan∠F1PF2.
解：（1）由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，
∴2a=4.又2c=2.∴b=.
∴椭圆的方程为=1.
(2)设∠F1PF2=θ，
则∠PF2F1=60°-θ.
由正弦定理得
.
由等比定理得
∴=
整理得5sinθ=(1+cosθ).
∴.故tan.
tan∠F1PF2=tanθ=.2.3.2
双曲线的简单几何性质
自我小测
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2
B．2
C.
D．1
2．已知双曲线＋＝1的离心率e＜2，则k的取值范围是( )
A．k＜0或k＞3
B．－3＜k＜0
C．－12＜k＜0
D．－8＜k＜3
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则这个双曲线的方程为( )
A．2x2－4y2＝1
B．2x2－4y2＝2
C．2y2－4x2＝1
D．2y2－4x2＝3
4．过点(2，－2)且与－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为( )
A．－＋＝1
B.－＝1
C．－＋＝1
D.－＝1
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为( )
A．2
B．3
C.
D.
6．双曲线－＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，如图，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，交MF1于点H，交MF2于点N，则双曲线的离心率为( )
A．1＋
B．4＋2
C．2－2
D．2＋2
7．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________________．
8．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点(4，－2)，则它的离心率e＝__________.
9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为__________．
10．求以过原点且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切的两直线为渐近线，且过椭圆y2＋4x2＝4两焦点的双曲线的方程．
11．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的一点，∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，离心率为2，求此双曲线的标准方程．
12．已知双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为eq
\f(,4)c，求此双曲线的离心率．
参考答案
1．解析：由－＝1得渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(±4,0)，则焦点F(4,0)到渐近线y＝x的距离为d＝eq
\f(4,eq
\r(()2＋1))＝2.
答案：A
2．解析：由题意知k＜0，
所以e＝eq
\f(,2)＜2，
解得－12＜k＜0.
答案：C
3．解析：由于4x2＋y2＝1的焦点坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(0，±eq
\f(,2)))，即双曲线的焦点坐标为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(0，±eq
\f(,2)))，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，由eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(eq
\f(,2)))2＝a2＋b2得a2＝，b2＝，再结合焦点在y轴上，故选C.
答案：C
4．解析：由题意可设双曲线方程为－y2＝k(k∈R，且k≠0)，又双曲线过点(2，－2)，代入即可求得k，从而求出双曲线方程为－＋＝1.
答案：A
5．解析：依题意，2a＋2c＝2·2b，
所以a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，
即3c2－2ac－5a2＝0，
所以3e2－2e－5＝0，所以e＝或e＝－1(舍)．
答案：D
6．解析：由题意知，|F1N|＝c，|NF2|＝c，
又|NF1|－|NF2|＝2a，即c－c＝2a，
所以e＝＝eq
\f(2,－1)＝＋1.
答案：A
7．解析：因为＝2，c＝4，所以a＝2，b＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以其渐近线方程为y＝±x.因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2知＝，解得e2＝，所以e＝eq
\f(,2).
答案：eq
\f(,2)
9．解析：因为双曲线上存在一点P使|PF1|=2|PF2|，如图．
又因为|PF1|-|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a，
即在双曲线右支上必存在点P使得|PF2|=2a.
所以|AF2|≤2a.
所以|OF2|-|OA|=c-a≤2a，
所以c≤3a，所以≤3.
又因为e＞1，所以1＜e≤3.
答案：1＜e≤3
10．解：圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为(2,0)，半径r＝1.设过原点的圆的切线方程为y＝kx.
由圆的切线的性质，可得eq
\f(|2k－0|,)＝r＝1.
解得k＝±eq
\f(,3).
故双曲线的渐近线方程为y＝±eq
\f(,3)x，
从而所求的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．①
将椭圆y2＋4x2＝4化为标准形式为＋x2＝1.
所以焦点坐标为(0，±)．
将点(0，)代入①，得－＝λ，
所以λ＝－1.
故所求双曲线的方程为－＝1.
11．解：设双曲线的标准方程为－＝1，因|F1F2|＝2c，而e＝＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理，得
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos
60°)，
所以4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
又＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝12，
所以|PF1|·|PF2|＝48.
由3c2＝48，所以c2＝16，得a2＝4，b2＝12.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
12．解法一：依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为eq
\f(,4)c，得eq
\f(ab,)＝eq
\f(,4)c，即ab＝eq
\f(,4)c2.
所以16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0.
所以3eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())2－10＋3＝0.
解得＝或＝3.
又0＜a＜b，所以＝3.
所以e＝eq
\r(1＋)＝2.
解法二：设A(a,0)，B(0，b)，则|AB|＝c.
令∠BAO＝α，则cos
α＝＝，sin
α＝eq
\f(eq
\f(,4)c,a)＝eq
\f(,4)e.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以e2＋＝1，即3e4－16e2＋16＝0.
所以e2＝或e2＝4，即e＝eq
\f(2,3)或e＝2.
又0＜a＜b，所以＞1，所以e＝eq
\r(1＋)＞.
所以离心率e为2.2.5
直线与圆锥曲线
自我小测
1．若椭圆＋＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为( )
A．2
B．－2
C.
D．－
2．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A．3
B．2
C.eq
\f(,3)
D.
3．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与双曲线交于M，N两点，且MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
4．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.eq
\b\lc\[\rc\](eq
\a\vs4\al\co1(－，))
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
5．设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )
A.
B．5
C.eq
\f(,2)
D.
6．已知直线y＝k(x＋2)与双曲线－＝1，有如下信息：联立方程组eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(y＝k(x＋2)，,－＝1，))消去y后得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，分类讨论：(1)当A＝0时，该方程恒有一解；(2)当A≠0时，Δ＝B2－4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，]
B．[，＋∞)
C(1,2]
D．[2，＋∞)
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为__________．
8．在直角坐标系中任给一条直线，它与抛物线y2＝2x交于A，B两点，则·的取值范围为__________．
9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝__________.
10．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线和椭圆有公共点时，
(1)求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．
11．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB.
(1)设OA的斜率为k，试用k表示点A，B的坐标；
(2)求弦AB中点M的轨迹方程．
12．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．解析：设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
又
①－②得
＋＝0，
即＋＝0，
所以所求直线的斜率为＝－.
答案：D
2．解析：依题设弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
又x＋2y＝4，x＋2y＝4，
∴x－x＝－2(y－y)，
此弦的斜率k＝＝－＝－，
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即y＝－x＋.
代入x2＋2y2＝4，整理得3x2－6x＋1＝0，
∴x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝eq
\r(1＋)×eq
\r(4－4×)＝eq
\f(,3).
答案：C
3．解析：由c＝，得a2＋b2＝7.
∵焦点为F(，0)，
∴可设双曲线方程为－＝1，①
并设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝x－1代入①并整理得
(7－2a2)x2＋2a2x－a2(8－a2)＝0，
∴x1＋x2＝－，
由已知得－＝－×2，解得a2＝2，
故双曲线的方程为－＝1.
答案：D
4．解析：由y2＝8x，得Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，直线l与抛物线有公共点，方程组eq
\b\lc\{\rc\
()有解，即k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0有解，Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0，得k2≤1，∴－1≤k≤1.
答案：C
5．解析：双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，由方程组eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝x2＋1，))消去y，得x2－x＋1＝0，有唯一解，所以Δ＝eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(－))2－4＝0，所以＝2，e＝＝eq
\f(,a)＝eq
\r(1＋eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())2)＝.
答案：D
6．解析：依题意可知直线恒过定点(－2,0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－，即0＜m≤4，又e＝eq
\r(1＋)＝eq
\r(1＋)，所以e≥.
答案：B
7．解析：设一个焦点为F(c,0)，其中c2＝a2＋b2，过F且垂直于x轴的弦为AB，则A(c，y0)，
∵A(c，y0)在双曲线上，∴－＝1.
∴y0＝±beq
\r(－1)＝±.∴|AB|＝2|y0|＝.
答案：
8．解析：设直线方程为x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，得y2－2ty－2b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2b，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝b2－2b＝(b－1)2－1，∴·的取值范围为[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
9．解析：如图，过B作BE垂直于准线l于E，
∵=，
∴M为AB的中点，
∴|BM|=|AB|.
又斜率为，∠BAE=30°，
∴|BE|=|AB|，∴|BM|=|BE|，
∴M为抛物线的焦点，∴p=2.
答案：2
10．解：联立得方程组eq
\b\lc\{\rc\
()
消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.
(1)由Δ≥0，得20－16m2≥0，
解得－eq
\f(,2)≤m≤eq
\f(,2).
(2)由根与系数的关系得eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－，,x1x2＝，))
所以弦长l＝＝eq
\r(2eq
\b\lc\[\rc\](eq
\a\vs4\al\co1(－)))＝.
当m＝0时，l取最大值为eq
\f(2,5)，此时直线的方程为y＝x.
11．解：(1)∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0，
∴直线OA的方程为y＝kx(k≠0)，
∴联立方程，得eq
\b\lc\{\rc\
()
解得xA＝，yA＝.
以－替代上式中的k，解方程组eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(y＝－x，,y2＝2px，))
解得xB＝2pk2，yB＝－2pk，
∴Aeq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，))，B(2pk2，－2pk)．
(2)设AB中点M(x，y)，则由中点坐标公式，
得
消去参数k，得y2＝px－2p2，
即为M点的轨迹方程．
12．解：(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程，得＋(kx＋)2＝1.
整理，得eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(＋k2))x2＋2kx＋1＝0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，
等价于Δ＝8k2－4eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(＋k2))＝4k2－2＞0，
解得k＜－eq
\f(,2)或k＞eq
\f(,2)，
即k的取值范围为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(－∞，－eq
\f(,2)))∪eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(eq
\f(,2)，＋∞)).
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①，得x1＋x2＝－eq
\f(4k,1＋2k2).②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，③
而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，
所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，
把②③代入上式，解得k＝eq
\f(,2).
由(1)知k＜－eq
\f(,2)或k＞eq
\f(,2).
故没有符合题意的常数k.2.3.2
双曲线的简单几何性质
课后导练
基础达标
1.双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x，则双曲线方程为（
）
A.x2-y2=96
B.y2-x2=160
C.x2-y2=80
D.y2-x2=24
答案：D
2.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是（
）
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
答案：B
3.中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（
）
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
答案：D
4.焦点为(0，6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是（
）
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
答案：B
5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
6.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为_____________,虚轴长为_____________,渐近线方程为,离心率为_______________.
答案：2
4
y=±x
7.准线方程为x+y=1，相应的焦点为（1，1）的等轴双曲线方程是_________________.
答案：xy=
8.已知双曲线x2-3y2=3上一点P到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P点到右准线的距离为______________.
答案：6
9.双曲线=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值.
解：直线y=kx-1过(0，-1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.
当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=±x.
∴k=±式.
10.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A（4，-1），圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.
解:∵点A与圆心O的连线的斜率为-，
∴过A的切线的斜率为4.
∴双曲线的渐近线方程为y=±4x.
设双曲线方程为x2=λ.
∵点A（4，-1）在双曲线上，
∴16=λ,λ=.
∴双曲线的标准方程为=1.
综合运用
11.已知双曲线=1(a＞0,b＞0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求|PF1|·|PF2|的最小值.
解:设P点的横坐标为x0，则x0≥a或x0≤-a.由焦半径公式得|PF1|·|PF2|=|a-ex0||a+ex0|=|a2-
x02|=x02-a2=x02-a2.
∵|x0|≥a,∴x02≥a2.
∴|PF1|·|PF2|≥·a2-a2=b2.
当|x0|=a时，上式“=”成立.
∴|PF1|·|PF2|的最小值为b2.
12.在双曲线=-1的一支上有不同的三点A（x1，y1）、B（x2，6）、C（x3，y3），与焦点F（0，5）的距离成等差数列.
（1）求y1+y3的值；
（2）求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标.
答案：（1）解：∵=e.
∴|PF|=ey-a.又A、B、C到F的距离成等差数列，
∴2（ey2-a）=（ey1-a）+（ey3-a）.
∴y1+y3=2y2=12.
（2）证明：由题意，得.
①-②，得（y1-y3）（y1+y3）（x1-x3）·（x1+x3）=0.
∴
若x1+x3=0，
则kAC=0，y1=y3=y2=6，A、B、C三点共线，这是不可能的.
∴x1+x3≠0.则AC的中垂线方程为y-6=（x）.
即y=.
因此，AC的中垂线过定点（0，）.
13.双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=,求双曲线的方程.
解:∵双曲线的中心在原点，准线和x轴垂直，
∴双曲线的方程是标准的且焦点在x轴上.
∵=4,=.
∴a=2,c=8.∴b2=82-22=60.
∴双曲线的方程是=1.
拓展探究
14.已知双曲线=1，F为其右焦点，A（4，1）为平面上一点，点P为双曲线上一点，求|PA|+
|PF|的最小值（如右图）.
解：由双曲线的第二定义可知=e，其中d为P到右准线l：x=的距离，e=.
∴|PF|=ed=d.
∴|PA|+|PF|=|PA|+·d.
∴|PA|+|PF|=|PA|+d，则求|PA|+|PF|的最小值：在双曲线上求一点P，使P到A的距离与到右准线l：x=的距离之和最小，如题图，由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直线所引的线段中，垂线段最短，从而过点A向右准线l：x=作垂线ＡＢ，交双曲线于P点，此时|PA|+d最小，即|PA|+|PF|最小，最小值为垂线段AB的长，易求|AB|=，故|PA|+|PF|的最小值为.
15.已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)若A、B是W上的不同两点,O是坐标原点,求·的最小值.
解法一:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.
又半焦距c=2,故虚半轴长b=.
所以W的方程为=1,x≥.
(2)设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2.
从而·=x1x2+y1y2=x12-y12=2.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.
故x1+x2=,x1x2=.
所以·=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=
=.
又因为x1x2＞0,所以k2-1＞0,从而·＞2.
综上,当AB⊥x轴时,·取得最小值2.
解法二:(1)同解法一.
(2)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则xi2-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2).
令si=xi+yi,ti=xi-yi,
则siti=-2,且si＞0,ti＞0(i=1,2),所以
·=x1x2+y1y2
=(s1+t1)(s2+t2)+(s1-t1)(s2-t2)
=s1s2+t1t2≥=2.
当且仅当s1s2=t1t2,即时“=”成立.
所以·的最小值是2.2.3.2
双曲线的几何性质
课后训练
1．双曲线的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，那么它的离心率为( )
A．
B．
C．2
D．3
2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A．
B．
C．
D．
3．过点(2，－2)且与有公共渐近线的双曲线方程为( )
A．
B．
C．
D．
4．F1，F2是双曲线C的两个焦点，P是双曲线右支上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．
7．双曲线的渐近线方程为__________．
8．若双曲线的离心率为2，则k的值是__________．
9．根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．
(1)过点P，离心率；
(2)焦点在x轴上，F1，F2是双曲线的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，，且离心率为2.
10．如图所示，已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求双曲线的渐近线方程．
参考答案
1.
答案：B 因为双曲线的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，所以4b＝2a＋2c，即a＋c＝2b，再由a2＋b2＝c2即可求得离心率.
2.
答案：B 由方程组得a＝2，b＝2.
∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的标准方程为.
3.
答案：A 由题意可设双曲线方程为，又双曲线过点(2，－2)，代入即可求得k，从而求出双曲线方程为.
4.
答案：A 由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，故必有|F1F2|＝|PF2|，
即，从而得c2－2ac－a2＝0，
即e2－2e－1＝0，解之，得，
∵e＞1，∴.
5.
答案：D 双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)，一个顶点，一条渐近线3y－mx＝0，由题意知，.
6.
答案：(±4,0) ∵椭圆的焦点坐标为(±4,0)，
∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，
∴c＝4，，c2＝a2＋b2，∴a＝2，b2＝12，
∴双曲线方程为，
∴渐近线方程为，即.
7.
答案： 利用公式可得渐近线方程为.
8.
答案：－31 利用双曲线的定义及离心率公式即可求得k＝－31.
9.
答案：解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设为所求．由，得.①
由点P在双曲线上，得.②
又a2＋b2＝c2，由①②得a2＝1，.
若双曲线的焦点在y轴上，设为所求．同理有，，a2＋b2＝c2.解之，得(舍去)．故所求双曲线的标准方程为.
(2)设双曲线的标准方程为，因|F1F2|＝2c，而，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理，得(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos
60°)，∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
又∵，
∴|PF1|·|PF2|＝48.
∴3c2＝48，c2＝16，由此得a2＝4，b2＝12.
故所求双曲线的标准方程为.
10.
答案：分析：由于双曲线的渐近线方程为，故只需求出的值即可，可以通过已知解Rt△F1F2P求得．
解：解法一：设F2(c,0)(c＞0)，P(c，y0)代入方程得，
∴.在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴，即.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2.∴.
故所求双曲线的渐近线方程为.
解法二：∵在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2|PF2|.
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a.∴.
∴，c2＝3a2＝a2＋b2.∴2a2＝b2.
∴，
故所求双曲线的渐近线方程为.2.1.1
曲线与方程的概念
课后导练
基础达标
1.曲线y=与xy=2的交点是（
）
A.（1，1）
B.（2，2）
C.直角坐标系内的任意一点
D.不存在
答案：D
2.下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是(
)
A.y=x与y=
B.(x-1)2+(y+2)2=0与(x-1)(y+2)=0
C.y=与xy=1
D.y=lgx2与y=2lgx
答案：C
3.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的_________条件（
）
A.充分
B.必要
C.充要
D.既不充分又不必要
答案：B
4.“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的___________条件（
）
A.充分
B.必要
C.充要
D.既不充分又不必要
答案：B
5.已知0≤α<2π,点P(cosα,sinα)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为(
)
A.
B.
C.或
D.或
答案：C
6.曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=0与x轴的交点坐标是_____________.
答案：（4，0）和（-1，0）
7.方程(x+y-1)(x-y+2)=0表示_______________________.
答案：两条直线x+y-1=0和x-y+2=0
8.判断点P(-4，3)、Q(-3，-4)、R(，2)是否在方程ｘ2＋ｙ2＝２５（ｘ≤0）所表示的曲线上.
答案：点P在曲线x2+y2=25(x≤0)上，点Q、R都不在曲线x2+y2=25(x≤0)上.
综合运用
9.点M到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，则点M的轨迹方程是__________________.
答案：2x+y=0或2x-y=0
10.设A、B两点的坐标是(-a，0)、(a，0)，若动点M满足ｋＭＡ·ｋＭＢ＝-１，则动点M的轨迹方程是____________________.
答案：x2+y2=a2（x≠±a）
11.已知点M到点F(0，1)和直线l:y=-1的距离相等，求点M的轨迹方程.
解析:设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是集合P=｛Ｍ｜｜ＭＦ｜＝｜ＭＱ｜｝，其中Q是点M到直线y=-1的垂线的垂足.由两点间距离公式及点到直线的距离公式得＝｜y+1｜，将上式两边平方得x2+(y-1)2=(y+1)2，化简得y=x2.①
下面证明方程①是所求轨迹的方程.
(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；
(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，那么y1=x12，
即x12＋（ｙ1-１）2＝（ｙ1＋１）2，｜y1+1｜，｜Ｍ1Ｆ｜＝｜Ｍ1Ｑ1｜.其中Q1是点M1到直线y=-1的垂线的垂足,因此点M1是曲线上的点.
由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如下图所示.
12.已知点P(x0，ｙ0）在曲线ｆ（ｘ，ｙ）＝0上，P也在曲线g(x，y)=0上.求证：P在曲线f(x，y)+λｇ（ｘ，ｙ）＝0上(λ∈R）.
证明:∵点P在曲线f(x，y)=0上也在曲线g(x，y)=0上，
∴f（x0，y0）＝0，ｇ（x0，y0）＝0.
∴f（x0，y0）＋λｇ（x0，y0）＝0＋λ·0＝0,
即P点在曲线f(x，y)＋λｇ（x，y）＝0上.
13.求方程(x+y-1)
=0的曲线.
解析:把方程（ｘ＋ｙ－１）＝0写成或x-y-2=0.
由,得
∴表示射线x+y-1=0(x≥).
∴方程(x+y-1)=0的曲线是射线x+y-1=0(x≥)和直线x-y-2=0.
拓展探究
14.判断过点P（0，-1）且与x轴平行的直线l是否是方程|y|=1所表示的曲线.
解析：如右图，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y=-1.因此，直线l上的点都满足方程|y|=1，即直线l上的点都在方程|y|=1所表示的曲线上.
然而，以方程|y|=1的解为坐标的点不全在直线l上.这是因为方程|y|=1表示两条直线y=1和y=-1.
所以|y|=1不是直线l的方程，l也不是方程|y|=1所表示的曲线.第二章
圆锥曲线与方程
单元检测
(时间：90分钟，满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )
A．10
B．20
C．
D．
2．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m等于( )
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的( )
A．焦距为10
B．实轴与虚轴分别为8和6
C．离心率是或
D．离心率不确定
4．下列曲线中离心率为的是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知P为双曲线上一点，F1，F2为焦点，若∠F1PF2＝60°，则等于( )
A．
B．
C．
D．
6．抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是( )
A．
B．
C．8
D．－8
7．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为( )
A．x2－y2＝2
B．
C．x2－y2＝1
D．
8．已知双曲线的离心率为e，抛物线x＝2py2的焦点为(e,0)，则p的值为( )
A．2
B．1
C．
D．
9．双曲线的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1,3)
B．(1,3]
C．(3，＋∞)
D．[3，＋∞)
10．已知抛物线C的方程为，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．
C．
D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线的标准方程为__________．
12．直线l：x－y＋1＝0和椭圆相交于A，B两点，则弦|AB|＝__________.
13．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝__________.
14．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝__________.
15．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为__________．
三、解答题(本大题共2个小题，共25分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(10分)已知B为线段MN上一点，|MN|＝6，|BN|＝2.动圆C与MN相切于点B.分别过M，N作圆C的切线，两切线交于点P.求点P的轨迹方程．
17．(15分)已知椭圆的一个顶点为A(0,1)，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，点M在椭圆上，且满足，求k的值．
参考答案
1.
答案：D 因为|F1F2|＝8，所以c＝4，故，解得a＝，再由椭圆的定义可求得△ABF2的周长．
2.
答案：B ，，，
所以.又m＞0，所以m＝.所以选B.
3.
答案：C 由双曲线的渐近线方程为，
可知或.
或.
所以选C.
4.
答案：B 在方程中，a＝2，.
∴离心率.
5.
答案：A ∵|PF1|－|PF2|＝±2a，
且4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2.
∴＝|PF1|·|PF2|sin
60°＝.
6.
答案：B 将抛物线的方程化为标准形式，
其准线方程是，.
7.
答案：A 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ＞0)，
渐近线方程为y＝±x，焦点到直线的距离.
∴c＝2.∵2λ＝c2＝4，∴λ＝2.
8.
答案：D 依题意得e＝2，抛物线方程为，故，得.
9.
答案：B 由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图．
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，
即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|＝2a，
即|AF2|≤2a.
∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a.
又∵c＞a，∴a＜c≤3a，
∴1＜≤3，即1＜e≤3.
10.
答案：D 过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线方程为，即4x－ty－t＝0，由得2tx2－4x＋t＝0，Δ＝16－4×2t2＜0，
解得或.
11.
答案： 设与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为.
12.
答案： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得7x2＋8x－8＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
由弦长公式可得
|AB|＝|x2－x1|
＝.
13.
答案：2 由焦点弦，得，
∴2p＝|AB|×，∴p＝2.
14.
答案：－1 焦点坐标为(1,0)，代入直线方程得a＝－1.
15.
答案： 由题意得2a＝12，，所以a＝6，，b＝3，故椭圆G的方程为.
16.
答案：分析：应用切线长定理进行线段之间的转化，根据圆锥曲线的定义求方程．
解：以MN所在的直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，O为坐标原点，建立坐标系，如图所示．
设MP，NP分别与⊙C相切于D，E两点，则
|PM|－|PN|＝|MD|－|NE|＝|MB|－|BN|＝6－2－2＝2，且|MN|＞2.
∴点P的轨迹是以M，N为焦点，2a＝2,2c＝6的双曲线的右支(顶点除外)．
由a＝1，c＝3，知b2＝8.
∴点P的轨迹方程为x2－＝1(x＞1)．
17.
答案：解：(1)∵双曲线－y2＝1的离心率为，
∴椭圆的离心率为.
又∵b＝1，∴a＝2.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m，n)．
由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝0.
∵＝＋，
∴，．
∵点M在椭圆上，∴m2＋4n2＝4，
∴
＝[(x12＋4
y12)＋3(x22＋4y22)＋x1x2＋y1y2]
＝(4＋12＋y1y2)＝4.
∴y1y2＝0，
∴(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝，
即，∴.
此时Δ＝(8k)2－4(1＋4k2)×0＝64k2＝16＞0，
∴k的值为.2.4.1
抛物线的标准方程
课后训练
1．抛物线y2＝12x的焦点坐标是( )
A．(12,0)
B．(6,0)
C．(3,0)
D．(0,3)
2．经过点(2，－3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是( )
A．
B．
C．
D．y2＝4x
3．抛物线的准线方程是( )
A．
B．
C．
D．
4．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为( )
A．
B．
C．(x－1)2＋y2＝1
D．x2＋(y－1)2＝1
5．设点P是抛物线y2＝16x上的点，它到焦点的距离h＝10，则它到y轴的距离d等于( )
A．3
B．6
C．9
D．12
6．抛物线x＝2y2的焦点坐标是__________．
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
8．抛物线x－4y2＝0的准线方程是__________．
9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，求该抛物线的方程及其准线方程．
10．如图，已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F是抛物线的焦点，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：
(1)y1y2＝－p2，；
(2)(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)为定值．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：B
3.
答案：D
4.
答案：C
5.
答案：B 设点P到抛物线准线的距离为l.由抛物线y2＝16x知.由抛物线定义知l＝h，又，故.
6.
答案：
7.
答案：y2＝8x
8.
答案：
9.
答案：分析：用“设而不求”和“点差法”即可解决．
解：解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为，与y2＝2px联立，得y2－2py－p2＝0，∴y1＋y2＝2p.由题意知y1＋y2＝4，∴p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得y1＋y2＝4，y12＝2px1，y22＝2px2，两式相减，得，
∴p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
10.
答案：分析：设出直线AB的方程并与抛物线方程联立，借助于一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解．
解：(1)∵焦点，
当k存在时，设直线AB的方程为，
由消去x得ky2－2py－kp2＝0.
由一元二次方程根与系数的关系得
y1y2＝－p2，.
又由，∴，
∴
＝
＝
＝.
当k不存在时，直线AB的方程为，
则y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2.
.
综上，y1y2＝－p2，.
(2)当k存在时，由抛物线的定义，得|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.①
又∵x1＋x2＝＋p，代入①得
.
当k不存在，即时，A，B，.
综上，|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)由(1)、(2)，得x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，
∴.
故为定值.2.3.1
双曲线及其标准方程
课后训练
1．双曲线的方程为，则它的两焦点坐标是( )
A．(±2,0)
B．(±4,0)
C．(0，±2)
D．(0，±4)
2．方程表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1＜k＜1
B．k＞0
C．k≤0
D．k＞1或k＜－1
3．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m的值为( )
A．1
B．1或3
C．1或3或－2
D．3
4．已知方程ax2－ay2＝b，且ab＜0，则它表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．椭圆
5．与双曲线共焦点，且过点的双曲线的标准方程为( )
A．
B．
C．
D．
6．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________________．
7．已知F是双曲线的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
8．已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上且满足，则△F1PF2的面积是__________．
9．已知双曲线的焦点为F1(0，－6)，F2(0,6)，且经过点(2，－5)．求该双曲线的标准方程．
10．已知双曲线经过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．
参考答案
1.
答案：B 由c2＝a2＋b2＝10＋6＝16，焦点又在x轴上，
∴两焦点坐标为(±4,0)．
2.
答案：A 因为方程表示双曲线，
所以有(1＋k)(1－k)＞0，解得－1＜k＜1.
3.
答案：A 由题意可知m＞0，于是焦点都在x轴上，故有，解得m＝1.
4.
答案：C 原方程可变形为，即.可知它表示焦点在y轴上的双曲线．
5.
答案：D 由题意知：c2＝16＋4＝20，设所求的双曲线方程为．则a2＋b2＝20，且，解得a2＝12，b2＝8.所以双曲线的标准方程为.
6.
答案： 令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解．即该圆与y轴无交点．令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，∴适合条件的双曲线a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，∴双曲线的标准方程为.
7.
答案：9 设右焦点为F1，依题意，
|PF|＝|PF1|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9
8.
答案：1 设P为左支上的点，F1为左焦点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
②－①2，得r1r2＝2.∴.
9.
答案：分析：由焦点坐标可知，焦点在y轴上，可设方程为(a＞0，b＞0)，又知c＝6，再把点代入即可求得．
解：设所求的双曲线方程为，则有解得
故所求的双曲线的标准方程为.
10.
答案：分析：此题由于不知道焦点在哪个轴上，所以需分两种情况来讨论，然后再把两点代入即可．此题还可以设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1.然后再把两点代入即可．
解：解法一：当焦点在x轴上时，设所求的双曲线的标准方程为．因为M(1,1)，N(－2,5)两点在双曲线上，所以解得当焦点在y轴上时，设双曲线方程为，同理，有解得舍去．
故所求的双曲线的标准方程为.
解法二：设所求的双曲线方程为Ax2＋By2＝1.
因为M(1,1)，N(－2,5)两点在双曲线上，代入上述方程有解得
故所求的双曲线的标准方程为.2.4.1
抛物线的标准方程
课后导练
基础达标
1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是（
）
A.x2=-28y
B.y2=28x
C.y2=-28x
D.x2=28y
答案：B
2.已知抛物线的焦点在直线3x-y+36=0上，则抛物线的标准方程是（
）
A.x2=72y
B.x2=144y
C.y2=-48x
D.x2=144y或y2=-48x
答案：D
3.已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p的值为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：A
4.若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是(
)
A.y2=-16x
B.y2=-32x
C.y2=16x
D.y2=16x或y=0(x<0)
答案：C
5.抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标为(
)
A.(0,)或(0,-)
B.(0,)
C.(0,)
D.(,0)
答案：C
6.圆心在抛物线ｙ2＝２ｘ上，且与ｘ轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是_____________.
答案：(x-)2+(y±1)2=1
7.与抛物线y2=1[]4x关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是_______________.
答案：y=
8.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是_____________________.
答案：(9，±6)
9.抛物线的焦点F在x轴上，A（m,-3）在抛物线上，且|AF|=5，求抛物线的标准方程.
解：设抛物线方程为
y2=2px或y2=-2px(p＞0).
∵A点在抛物线上,
∴(-3)2=2pm或(-3)2=-2pm.
∴m=±.①
又|AF|=+|m|=5,②
把①代入②可得+=5,
即p2-10p+9=0.
∴p=1或p=9.
∴所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
10.已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x轴，求抛物线的方程.
解:设M(x,y)为抛物线上的任意一点，
则由抛物线的定义，得.
平方整理，得y=x2-x+3，为所求抛物线的方程.
综合运用
11.求抛物线y=ax2的焦点坐标和准线方程.
解：方程y=ax2不是抛物线的标准方程的形式，需将其化成标准方程.
抛物线方程可化为x2=y，其中2p=，
∴p=|a|，焦点在y轴上.
当a＞0时，焦点坐标为（0，），准线方程为y=-；
当a＜0时，焦点坐标为（0，），准线方程为y=-.
综上所述，可知：抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，），准线方程为y=-.
12.求抛物线x2=y上的点P到直线2x-y-4=0的距离最小时的点P的坐标.
解：设点P(x,y)，则x2=y.
P到直线2x-y-4=0的距离d=|2x-x2-4|=|x2-2x+4|=［(x-1)2+3］.
∴当x=1时，d最小,此时y=1.
∴P(1,1)为所求.
拓展探究
13.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F任作一条直线m,交抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.
证明：如右图，设P1P2的中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q
1、Q2、Q0，根据抛物线的定义,得
｜P1F｜=｜P1Q1｜,
｜P2F｜=｜P2Q2｜.
∴｜P1P2｜=｜P1F｜+｜P2F｜
=｜P1Q1｜+｜P2Q2｜.
∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,｜P1P0｜=｜P0P2｜,
∴｜P0Q0｜=（｜P1Q1｜+｜P2Q2｜）=｜P1P2｜.
由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0
与准线相切.
14.如右图，已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.
解：(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,于是,4+=5,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x,
(2)∵点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).
又∵F(1,0),∴kFA=,又MN⊥FA,∴kMN=,
则FA的方程为y=
(x-1),MN的方程为y-2=,解方程组得.
∴N(,).
(3)由题意得,圆M的圆心是点(0,2),半径为2,
当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离,
当m≠4时,直线AK的方程为y=(x-m),
即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d＞2,
解得m＞1.∴当m＞1时,直线AK与圆M相离;
当m=1时,直线AK与圆M相切;
当m＜1时,直线AK与圆M相交.2.4.2
抛物线的简单几何性质
课后训练
1．抛物线y＝4x2的准线方程为( )
A．
B．
C．
D．
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4
B．－2
C．4或－4
D．12或－2
3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A．y＝12x2
B．y＝－36x2
C．y＝12x2或y＝－36x2
D．或
4．若抛物线的焦点为(1,0)，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x
B．y2＝2x
C．y2＝4x
D．无法确定
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A．
B．1
C．2
D．4
6．焦点在x轴的正半轴上，并且过点(2，－4)的抛物线的标准方程为__________．
7．若抛物线y2＝4x上一点到焦点的距离为5，则这点的坐标为__________．
8．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为__________．
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
10．已知点A(2,1)和抛物线C：y2＝x，F为抛物线的焦点，P是C上任意一点．
(1)求的最小值；
(2)点P到直线x＋2y＋4＝0的距离的最小值．
参考答案
1.
答案：D 由题意知，所以.准线方程为.
2.
答案：C 设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，
由定义知点P到准线的距离为4，
故＋2＝4，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为x2＝－8y，代入点P的坐标得m＝±4.
3.
答案：D 分两类a＞0，a＜0，可得，.
4.
答案：C ∵焦点(1,0)在x轴的正半轴上，∴抛物线的标准方程为y2＝4x.故选C.
5.
答案：C 圆x2＋y2－6x－7＝0的圆心坐标为(3,0)，半径为4.y2＝2px(p＞0)的准线方程为，
∴，∴p＝2.故选C.
6.
答案：y2＝8x 设标准方程为y2＝2px.由于过点(2，－4)，
∴(－4)2＝4p.
∴p＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝8x.
7.
答案：(4,4)或(4，－4) 设此点坐标为(x0，y0)，根据题意，可得x0＋1＝5，从而求出x0，y0的值．
8.
答案： ，则，
∴，解得.
∴，因此点B到该抛物线的准线的距离为.
9.
答案：分析：由题意可设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，再由抛物线的定义可得．
解：设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，则焦点，由题意可得解之，得或
故所求的抛物线方程为x2＝－8y，m的值为.
10.
答案：分析：利用抛物线的定义及平面几何知识可解决此题．
解：(1)设点P到准线的距离为d，则|AP|＋|PF|＝|AP|＋d，当PA垂直于准线时，|PA|＋d最小，最小值为.
(2)设点P的坐标为(t2，t)，则点P到直线x＋2y＋4＝0的距离，
故当t＝－1时，.2.2.1
椭圆及其标准方程
自我小测
1．化简方程＋＝10为不含根式的形式是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
2．椭圆＋＝1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O是坐标原点)的值是( )
A．4
B．2
C．8
D.
3．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
4．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝( )
A．4
B．5
C．7
D．8
5．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上的一点，则△PF1F2的周长为( )
A．10
B．12
C．16
D．不确定
6．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝__________.
8．P是椭圆＋＝1上任意一点，F1，F2是焦点，那么∠F1PF2的最大值是__________．
9．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜eq
\f(x,2)＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为______．
10．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝1及圆B：(x－3)2＋y2＝81，动圆P与圆A外切，与圆B内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
11．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任意一点，求AQ的中点M的轨迹方程．
12．如图，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
参考答案
1．解析：由题意可知，方程表示点(x，y)与两个定点(0,3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6，6＜10，它符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝6，从而可求得b2＝16.
答案：C
2．解析：设另一个焦点为F2，则|MF1|＋|MF2|＝10，又|MF1|＝2，所以|MF2|＝8.而ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：A
3．解析：因为|AC|＋|BC|＋|AB|＝18，所以|CA|＋|CB|＝10＞|AB|＝8.所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程为＋＝1，且y≠0.
答案：D
4．解析：因为焦点在y轴上，所以eq
\b\lc\{\rc\
()6＜m＜10.
又焦距2c＝4，所以m－2－10＋m＝22m＝8.
答案：D
5．答案：B
6．答案：C
7．解析：分两种情况：焦点在x轴上或焦点在y轴上．
答案：3或5
8．解析：当点P为(0，)或(0，－)时∠F1PF2最大，此时|PF1|＝|PF2|＝2，|F1F2|＝2，故△PF1F2为等边三角形．
答案：60°
9．解析：因为点P(x0，y0)满足0＜＋y20＜1，
所以点P在椭圆内且不过原点，
所以2c≤|PF1|＋|PF2|＜2a.
又因为a2＝2，b2＝1，
所以a＝，b＝1，c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
所以2≤|PF1|＋|PF2|＜2.
答案：[2,2)
10．分析：利用椭圆的定义先判断出动圆圆心P的轨迹是椭圆，再求其方程．
解：设动圆P的半径为r.
由所给圆的方程知，A(－3,0)，B(3,0)，
由题意，可得|PA|＝r＋1，|PB|＝9－r，
故|PA|＋|PB|＝r＋1＋9－r＝10＞|AB|＝6.
由椭圆的定义知动点P的轨迹是椭圆．
其中2a＝10,2c＝6，即a＝5，c＝3，所以b2＝16.
故动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1.
11．解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)，利用中点公式，得eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x＝，,y＝，))所以eq
\b\lc\{\rc\
()
因为Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，
所以＋y20＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(x－))2＋4y2＝1.
12．解：由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，
所以|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos
120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
把②代入①解得|PF1|＝.
所以＝|PF1|·|F1F2|·sin
120°＝××2×eq
\f(,2)＝eq
\f(3,5)，
即△PF1F2的面积是.2.2.2
椭圆的几何性质
课后训练
1．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )
A．
B．
C．
D．
3．过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
4．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则a的取值范围是( )
A．a＜0
B．－1＜a＜0
C．a＜1
D．无法确定
5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
6．如果椭圆的离心率为，则k＝__________.
7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为两段，则其离心率为__________．
8．直线x＋2y－2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点．则该椭圆的离心率等于__________．
9．已知椭圆过点，且离心率，求此椭圆的方程．
10．已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，求椭圆的方程．
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：A 由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2aa＝2.又，c＝1.故b2＝a2－c2＝4－1＝3.故选A.
3.
答案：C 在Rt△PF1F2中，设|PF1|＝m，由已知得，|PF2|＝2m，则.
4.
答案：B 方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以.
5.
答案：B 依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，
∴4b2＝a2＋2ac＋c2.
∵b2＝a2－c2，∴4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，
∴3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得或e＝－1(舍)．故选B.
6.
答案：4或 当焦点在x轴上，即k＞1时，b＝3，，
∴，
∴，解得k＝4.符合k＞1，∴k＝4；
当焦点在y轴上，即－8＜k＜1时，a＝3，，
∴，
∴，解得，符合－8＜k＜1，
∴.综上得k＝4或.
7.
答案： 由题意得，即，解得.
8.
答案： 由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴，y轴的交点分别为(2,0)，(0,1)，它们分别是椭圆的焦点和顶点，所以b＝1，c＝2，从而，.
9.
答案：分析：由椭圆的离心率可得a，c的关系，从而知道b，c的关系，再由点在椭圆上，代入方程即可，从而求得椭圆的标准方程．
解：由题意知，椭圆的离心率，
∴，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，
∴椭圆的方程为，
又点在椭圆上，∴，
∴c2＝1，∴椭圆的方程为.
10.
答案：分析：由离心率及a2＝b2＋c2可得a＝2b，由菱形面积为4，可得ab＝2，两式联立可求得a，b，从而得到椭圆的方程．
解：由，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.由题意可知，即ab＝2.
解方程组得
所以椭圆的方程为.2.2.1
椭圆及其标准方程
课后训练
1．椭圆的焦点坐标是( )
A．(±5,0)
B．(0，±5)
C．(0，±12)
D．(±12,0)
2．已知椭圆的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝( )
A．4
B．5
C．7
D．8
3．设F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则△PF1F2的周长为( )
A．10
B．12
C．16
D．不确定
4．已知椭圆的焦距为，椭圆上一点到两焦点的距离的和为8，则椭圆的标准方程为( )
A．
B．
C．
D．或
5．椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2
B．4
C．8
D．
6．设M是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点．若|MF2|＝4，则|MF1|＝__________.
7．已知椭圆的焦距|F1F2|＝6，AB是过焦点F1的弦，且△ABF2的周长为20，则该椭圆的标准方程为__________．
8．已知椭圆的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为____________．
9．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝1及圆B：(x－3)2＋y2＝81，动圆P与圆A外切，与圆B内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
10．已知椭圆上一点P，F1，F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2的面积．
参考答案
1.
答案：B 易知焦点在y轴上，a2＝169，b2＝144.
则.
2.
答案：D 因为焦点在y轴上，
所以
又焦距为4，所以m－2－10＋m＝4m＝8.
3.
答案：B
4.
答案：D ∵，∴.∵2a＝8，∴a＝4.又∵焦点不知在哪个轴上，∴标准方程有两个，故选D.
5.
答案：B 设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8，又因点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以.故选B.
6.
答案：6
7.
答案：或 由椭圆定义知4a＝20，
∴a＝5.而2c＝6，∴c＝3，∴b2＝52－32＝16.
∴椭圆的标准方程为或.
8.
答案：
∵点P(x0，y0)满足，
∴点P在椭圆内且不过原点，
∴|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＜2a.
又∵a2＝2，b2＝1，
∴c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
∴.
9.
答案：分析：利用椭圆定义先判断动圆圆心P的轨迹是椭圆，再求其方程．
解：设动圆的半径为r.
由所给圆的方程知：A(－3,0)，B(3,0)．
由题意可得，|PA|＝r＋1，|PB|＝9－r，
故|PA|＋|PB|＝10＞|AB|＝6，
由椭圆定义知动点P的轨迹是椭圆．
其中2a＝10,2c＝6，即a＝5，c＝3，所以b2＝16，
故动圆圆心P的轨迹方程为.
10.
答案：分析：计算三角形的面积有多种公式可供选择，其中与已知条件联系最密切的应为＝|PF1|·|PF2|·sin
θ，所以应围绕|PF1|·|PF2|进行计算．
解：如图，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，而在△F1PF2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
θ＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos
θ＝4c2，即4(a2－c2)＝2|PF1|·|PF2|(1＋cos
θ)．
∴|PF1||PF2|＝，
∴|PF1|·|PF2|.2.5
直线与圆锥曲线
课后训练
1．若椭圆的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为( )
A．2
B．－2
C．
D．
2．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
4．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为，直线y＝x－1与双曲线交于M，N两点，且MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程为( )
A．
B．
C．
D．
5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
6．直线l过抛物线y2＝ax的焦点，并且垂直于x轴，若直线l被抛物线截得的线段长为4，则a＝__________.
7．已知椭圆C1：的右顶点A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1，则椭圆C1的方程为__________．
8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝__________.
9．在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长．
10．讨论直线y＝kx＋1与双曲线x2－y2＝1的公共点的个数．
参考答案
1.
答案：D 设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
又
①－②得
，
即，
所以.
2.
答案：C 依题设弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
又，，
∴x12－x22＝－2(y12－y22)，
此弦斜率，
∴此弦的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即.
代入x2＋2y2＝4，整理得3x2－6x＋1＝0，
∴，
∴
＝.
3.
答案：C 双曲线的一、三象限渐近线的斜率，
要使双曲线和直线y＝2x有交点，
只要满足即可，
∴，∴，∴.
4.
答案：D 由，得a2＋b2＝7.
∵焦点为，
∴可设双曲线方程为，①
并设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝x－1代入①并整理得
(7－2a2)x2＋2a2x－a2(8－a2)＝0，
∴，
由已知得，解得a2＝2，
得双曲线的方程为.
5.
答案：C 设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky2－8y＋16k＝0.当k＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，由Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k≤1.所以－1≤k≤1.
6.
答案：±4 抛物线y2＝ax的焦点为，所以直线l与抛物线的两个交点坐标是和，所以，解得a＝±4.
7.
答案： 由题意得
∴所求的椭圆方程为＋x2＝1.
8.
答案：8 直线AF的方程为：，
当x＝－2时，，∴．
当时，代入y2＝8x中，x＝6，
∴．
∴|PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.
9.
答案：分析：题目中涉及弦的中点，既可以考虑中点坐标公式，又可以考虑平方差公式．
解：当直线斜率不存在时，M不可能为弦的中点，
所以可以设直线方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程，消去y，得
(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，
显然1＋4k2≠0，Δ＝16(12k2＋4k＋3)＞0，
由，解得.
故所求弦所在的直线方程为x＋2y－4＝0.
由消去x，得y2－2y＝0，
∴y1＝0，y2＝2.
∴弦长
＝
＝.
10.
答案：分析：将y＝kx＋1代入双曲线方程得x的方程，讨论方程解的个数即可．
解：联立直线与双曲线方程消去y得(1－k2)x2－2kx－2＝0.
当1－k2＝0，即k＝±1时，解得x＝ 1；
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝8－4k2.
由Δ＞0得＜k＜，由Δ＝0得，
由Δ＜0得k＜或k＞.
所以当k∈(，－1)∪(－1,1)∪(1，)时，直线与双曲线有两个公共点；
当时，直线与双曲线有1个公共点；
当k＝±1时，直线与双曲线有1个公共点；
当k∈(－∞，)∪(，＋∞)时，直线与双曲线无公共点．
