3.1.1
空间向量的线性运算
课后导练
基础达标
1.下列量中是向量的是（
）
A.动能
B.磁场速度
C.功
D.频率
答案：B
2.下列命题中,正确的是（
）
A.若|a|=|b|,则a=b
B.若|a|>|b|,则a>b
C.若a=b,则|a|=|b|
D.若a≠b,则|a|≠|b|
答案：C
3.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且=+,则四边形ABCD是（
）
A.空间四边形
B.平行四边形
C.等腰梯形
D.矩形
答案：B
4.点D是空间四边形OABC的边BC的中点,则等于（
）
A.()-
B.(+)-
C.(+)-OA
D.+(+)
答案：C
5.在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，等于（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
6.已知空间四边形ABＣＤ中，G是CD的中点，则-（+）=___________.
答案：
7.如下图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1D1中点，若=a,=b,
=c,则用a,b,c表示应为______________.
答案：c-a+b
8.已知正方体ABCD—A′B′C′D′,点E、F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心，若=+x+y，则实数x=__________,y=_____________.
答案：
9.如下图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，M为A′B′中点，化简下列各式：
（1）++；
(2)++；
(3)（）+.
解析:(1)
==.
(2)++=
(3)()+=+=.
10.如右图，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，E为B′C′的三等分点且=,M为D′C′的中点.
试求下列各式中x,y,z的值.
(1)；
(2)；
(3).
解析:(1)∵=++
=,
∴x=1,y=1,z=.
(2)∵,
∴x=,y=.
(3)=++
=+
∴x=1,y=3,z=.
综合运用
11.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD中点,则+()的化简结果是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
12.设M是△ABC的重心,则AM等于（
）
A.(-)
B.(-)
C.(-)
D.(-)
答案：D
13.如下图所示,△ABC在平面α内,点P,Q是线段AB的三等分点,用向量,,表示向量,.
解析:(1)
=
=
=+()
=++.
(2)=+
=
=+()
=+()
=+.
拓展研究
14.已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O,Q是CD的中点，求下列各题中x、y的值：
(１)=；
(2).
解析:(1)
=-()
=--,
∴x=-,y=-.
(2)=+
=-2
=-2(-)
=-2+2,
∴x=2,y=-2.3.1.3
两个向量的数量积
课后导练
基础达标
1.已知非零向量a,b不平行，并且模相等，则a+b与a-b之间的关系是(
)
A.垂直
B.共线
C.不垂直
D.以上都可能
答案：A
2.如右图,已知PA⊥平面ABC，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＰＡ＝ＡＢ＝ＢＣ＝６，则PC等于
(
)
A.62
B.6
C.12
D.144
答案：C
3.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a-b+2c|等于(
)
A.
B.5
C.6
D.
答案：A
4.已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，ＡＡ′＝５，∠ＢＡＤ＝９０°，∠ＢＡＡ′＝∠ＤＡＡ′＝６０°，则ＡＣ′等于(
)
A.85
B.
C.5
D.50
答案：B
5.已知||=5,||=2,〈,〉=60°，=2+,=-2,则以OC、OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为________________.
答案：
6.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°，m⊥n，则λ=_________________．
答案：
7.已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
证明：如右图，连结ON，设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ，
又设=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|，
又=（）
=［+（）］
=（a+b+c），=c-b，
∴·=（a+b+c）（c-b）
=（a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c）
=（|a|2cosθ-|a|2cosθ-|a|2+|a|2）=0.
∴OG⊥BC.
8.如下图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D间的距离.
解：∵∠ACD=90°,∴·=0.
同理·=0.
∵AB与CD成60°角,∴〈,〉=60°或120°.
又=++,
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=3+2×1×1×cos〈,〉
=
∴||=2或.即B、D间的距离为2或.
9.如右图，空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点.
求下列向量的数量积
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解析:在空间四边形ABCD中，||=||=a,〈,〉=60°,
(1)·=a·acos60°=.
(2)||=a,||=a,〈,〉=60°.
∴·=a2cos60°=.
(3)||=,||=a,
又∥，〈,〉=π.
∴·=a2cosπ=.
(4)∵||=a,||=a,EF∥BD，
∴〈,〉=〈,〉=60°.
∴·=a2cos60°=a2.
综合运用
10.若a,b为两个非零向量,a·b=0,则下列各式中成立的是（
）
A.|a|=|b|
B.(a+b)·（a-b）=0
C.(a+b)·（a-b）=|a|2-|b|2
D.|a+b|=|a|+|b|
答案：C
11.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，则a2是下列哪一数量积的结果（
）
A.2
B.2
C.2
D.2
答案：B
12.若|a|=|b|，且非零向量a与b不平行，则a+b与a-b的夹角是____________.
答案：90°
13.在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，P在△ABC内的射影为O.试用向量法证明O为△ABC的垂心.
证明：如右图,设=a,=b,=c.
∵PA,PB,PC两两互相垂直,
∴a·b=0，b·c=0，c·a=0.
又PO⊥平面ABC,
∴PO⊥AB,
∴·=0.
又=-=b-a，
∴·=（b-a）·c=b·c-a·c=0.
又∵=,
∴·=·（）
=·-·=0，∴AB⊥CO.
同理可证AO⊥BC,BO⊥AC,
∴O为△ABC的垂心.
拓展研究
14.已知线段AB⊥平面α,BC?α,CD⊥BC,且CD与平面α成30°角，D与A在α的同侧，若AB=BC=CD=2，求AD的长.
解析:∵||2=·.
∴要求AD的长只要把用、、表示，再求其自身的数量积即可.
解：∵=++,
∴||2=·
=（++）·（++）
=||2+||2+||2+2·+2·+2·
①
∵AB=BC=CD=2,
∴||=||=||=2，
②
又∵AB⊥α,BCα,∴AB⊥BC,∴·=0,
③
CD⊥BC,∴·=0.
④
把②③④代入①可得：
||2=4+4+4+2·
=12+2·||·||cos〈,〉
=12+8·cos〈,〉
⑤
如右图所示，过D作DF⊥α于F，连CF，则∠DCF为直线CD与α所成的角.
∴∠DCF=30°,从而∠CDF=60°,
又∵AB⊥α.DF⊥α,∴AB∥DF.
∴〈,〉=〈,〉=60°.
∴〈,〉=120°代入⑤式得到
||2=12+8cos120°=12-4=8,
∴||=.从而AD=.3.1.2
空间向量的基本定理
课后导练
基础达标
1.若对任意一点O，且=,则x+y=1是P、A、B三点共线的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案：C
2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM=x++,则x的值为…(
)
A.1
B.0
C.3
D.
答案：D
3.在以下命题中,不正确的个数是（
）
①已知A,B,C,D是空间任意四点,则=0
②|a|+|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
③若a与b共线,则a与b所在的直线的平行
④对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若,(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
4.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:{a,b,c}为空间的一个基底,则命题p是命题q的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
5.下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是(
)
A.
B.=0
C.
D.
答案：B
6.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E为矩形ABCＤ的对角线的交点，设=a,=b,=c,则=____________.
答案：a+b+c
7.设O为空间任意一点,a,b为不共线向量,=a,=b,=ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C三点共线,则m,n满足____________.
答案：m+n=1.
8.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？
(1)=++；
(2)OP=2OA-2OB-OC.
解：(1)=++.
∵,∴P与A、B、C共面.
(2)=.
∵2-2-1=-1,∴P与A、B、C不共面.
9.如右图，已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且=,=.
求证：四边形EFGH是梯形．
证明：∵E、H分别是AB、AD的中点,
∴=,=，
==-=(-)==()
=(-)=()=.
∴∥且||=||≠||.
∴四边形EFGH是梯形.
综合运用
10.如右图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c，则下列向量中与B1M相等的向量是（
）
A.a+b+c
B.a+b+c
C.a-b+c
D.a-b+c
答案：A
11.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底，则从以下各向量a,b,c,a+b,a-b,a+c,a-c，b+c,b-c中选取出三个向量，使它们构成空间的基底，请你写出三个基底：_____________________.
答案：{a,b,c}或{a+b,a+c,b+c}或{a-b,a-c,b-c}等.
12.如右图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M是边OA的中点，G是△ABC的重心，则用基向量、、表示向量的表达式为_______________.
答案：=++
13.已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面
(1)
(2).
解法一:(1)原式可变形为=+()+()=.
由共面向量定理的推论知P与A、B、M共面．
(2)原式可变形为=+-=.
由共面向量定理的推论可得
P位于平面ABM内的充要条件可写成.
而此题推得=,
∴P与A、B、M不共面．
解法二:（1）原式可变形为.
∵3+（-1）+（-1）=1,
∴B与P、A、M共面,
即P与A、B、M共面.
（2）=,
∵4+（-1）+（-1）=2≠1,
∴P与A、B、M不共面.
拓展研究
14.已知P是ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.求证：
(1)E、F、G、H四点共面;
(2)平面EFGH∥平面ABCD.
证明：(1)如右图,证存在实数λ，u使=+.
连结PE、PF、PG、PH并延长分别交AB、BC、CD、DA于点M、N、Q、R.则M、N、Q、R为ABCD各边的中点，顺次连结M、N、Q、R所得四边形为平行四边形.
=()+(),
又PE=,PF=,PG=,
PH=,
∴=()+()=().
又∵=()=,
∴.∴E、F、G、H四点共面.
(2)证EF、EG∥平面ABCD.
∵=,==()=,∴MQ∥EG,MN∥EF.
∴平面EFGH∥平面ABCD.3.1.4
空间向量的直角坐标运算
自我小测
1．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
2．已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离||＝( )
A.
B.
C.
D.
3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b夹角的余弦值为，则λ＝( )
A．2
B．－2
C．－2或
D．2或－
4．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
5．若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为( )
A.
B．－
C．2
D．±
6．正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则P点的坐标为__________．
8．已知A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，＝(－)，则点P的坐标是__________．
9.已知向量a＝(2，－1,2)，则与a共线且a·x＝－18的向量x＝__________.
10．如图所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3.
(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
(2)若以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
11．如图所示，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.
(1)求向量的坐标；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
12．正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且AM⊥BN，建立空间直角坐标系．
(1)求AA1的长；
(2)求〈，〉；
(3)对于n个向量a1，a2，…，an，如果存在不全为零的n个实数λ1，λ2，…，λn，使得λ1a1＋λ2a2＋…＋λnan＝0成立，则这n个向量a1，a2，…，an叫做线性相关，不是线性相关的向量叫线性无关，判断，，是否线性相关，并说明理由．
参考答案
1．解析：设C(a，b，c)，∵＝(－3，－2，－4)，
∴(－3，－2，－4)＝(a，b，c)，
∴(a，b，c)＝.故选A.
答案：A
2．解析：由题意，得M，则＝，
所以||＝＝.
答案：C
3．解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ，
|a|＝，|b|＝.
cos〈a，b〉＝＝＝.
55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝.
答案：C
4．解析：a∥b＝＝
答案：D
5．解析：＝(－6,1,2k)，C＝(－3,2，－k)，
则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k(－k)＝－2k2＋20＝0，
∴k＝±.
答案：D
6．解析：建立如图所示坐标系，由题意设A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,2)，A1(1,0,2)．
由＝(－1,0,2)，＝(0,1，－2)，
∴cos〈，〉＝＝－.∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，故选D.
答案：D
7．解析：＝(－x,1，－z)，
＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，
∴∴
∴P(－1,0,2)．
答案：(－1,0,2)
8．解析：∵＝(6,3，－4)，设P(a，b，c)，
则(a－2，b＋1，c－2)＝，
∴a＝5，b＝，c＝0，∴P.
答案：
9．解析：设x＝(x，y，z)，又a·x＝－18，
∴2x－y＋2z＝－18，①
又∵a∥x，∴x＝2λ，y＝－λ，z＝2λ，②
由①②知，x＝－4，y＝2，z＝－4，
∴x＝(－4,2，－4)．
答案：(－4,2，－4)
10．解：(1)正方形ABCD中，AB＝6，
∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3.
∴各点坐标分别为A(3，0,0)，B(0,3，0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(3，0,4)，B1(0,3，4)，C1(－3，0,4)，D1(0，－3，4)，M(0,3，2)，N(－3，0,3)．
(2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)．
11．解：B(0，－1,0)，C(0,1,0)，＝(0，－2,0)．
(1)由题意设D(0，m，n)(m<0，n>0)，
则＝(0，m＋1，n)，＝(0，m－1，n)．
因为∠BDC＝90°，所以⊥，
即(m－1)(m＋1)＋n2＝0.①
因为cos∠DCB＝＝＝，②
所以求解①②组成的方程组得或(舍去)或(舍去)，
所以D，所以＝.
(2)＝，＝(0,2,0)，
所以cos〈，〉＝＝＝－，所以与的夹角的余弦值为－.
12．解：(1)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AA1的长为a，则B(4,4,0)，N(2,2，a)，
＝(－2，－2，a)，A(4,0,0)，M，＝，由⊥得·＝0，即a＝2.
(2)＝(－2，－2,2)，＝(－4,0,2)，
cos〈，〉＝＝，
〈，〉＝arccos.
(3)由＝(－2,4，)，＝(－2，－2,2)，＝(0，－4,0)，
λ1(－2,4，)＋λ2(－2，－2,2)＋λ3(0，－4,0)＝(0,0,0)，
得λ1＝λ2＝λ3＝0，则，，线性无关．3.2.1
直线的方向向量与直线的向量方程
课后导练
基础达标
1.已知A（1，1，0），=（4，0，2）,点B的坐标为（
）
A.（7，-1，4）
B.(9,1,4)
C.(3,1,1)
D.(1,-1,1)
答案：B
2.=(-1,2,3)，=（l,m,n），=（0，-1，4），则等于（
）
A.（-1+l，1+m,7+n）
B.(1-l,-1-m,-7-n)
C.(1-l,1-m,7-n)
D.(-1+l,-1+m,-7+n)
答案：B
3.若a=(0,1,-1)，b=(1,1,0)，且(a+λb)⊥a，则实数λ的值是（
）
A.-1
B.0
C.1
D.-2
答案：D
4.已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=2,则x的值为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：C
5.已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是（
）
A.1
B.
C.
D.
答案：D
6.若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（
）
A.x<-4
B.-4C.0D.x>4
答案：A
7.已知A（-1，2，3）,B(3,4,4),C(1,2,3)，若ABCD为平行四边形，则D点的坐标为（只求一个点）__________________.
答案：(5,4,4)
8.已知=(1,1,0),=(4,1,0),=(4,5,-1),则向量与的夹角为________.
答案：arccos,
9.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·取最小值时，求点Q的坐标.
解析:设OQ=λ=(λ,λ,2λ),
则=（1-λ,2-λ,3-2λ）,
=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴·=6λ2-6λ+10=6(λ-)2-.
当λ=时，有最小值-,
此时=（，，），
即Q（，，）.
10.已知四边形ABCD的顶点分别为A(3,-1,2)、B(1,2,-1)、C(-1,1,-3)、D(3,-5,3).
试证明：它是一个梯形.
解析:∵=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),
=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),
∴=(4,-6,6)=-2(-2,3,-3)=-2.
∴与共线.
又由=-2知||=2||，
∴||≠||,
∴AB与CD平行,且|AB|≠|CD|.
又∵=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),
=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2).
显然与不平行.∴四边形ABCD为梯形.
综合运用
11.若=(a,3,4a-1),=(2-3a,2a+1,3),M是线段AB的中点,则||的最小值是…（
）
A.
B.
C.6
D.
答案：D
12.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若a≠b,且记|a-b|=m,则a-b与x轴正方向的夹角的余弦为（
）
A.
B.
C.
D.±
答案：A
13.设正四棱锥S—P1P2P3P4的所有棱长均为a,并且满足顶点S在Oz轴上，底面在xOy平面上，棱P1P2，P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴，试求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标.
解析:由题意可知，正四棱锥S—P1P2P3P4，如右图所示，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴.P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上，∵P1P2=a.而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上.∴P1(,,0),P2(-,,0).
P3与P1关于原点O对称,P4与P2关于原点O对称.
∴P3(-,-,0),P4(,-,0).
又∵SP1=a,OP1=.
∴在Rt△SOP1中,SO=.
∴S(0,0,).
拓展研究
14.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点.
求证：EF⊥平面B1AC.
证明:设正方体的棱长为2,建立如右图所示的直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),
B1(2,2,2),E(2,2,1),
F(1,1,2).
∴=(1,1,2)-(2,2,1)
=(-1,-1,1),
=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),
=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0).
而·=（-1，-1，1）·（0，2，2）
=（-1）×0+(-1)×2+1×2=0.
·=（-1，-1，1）·（-2，2，0）=2-2+0=0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩AC=A.
∴EF⊥平面B1AC.3.1.4
空间向量的直角坐标运算
课后训练
1．已知点B是点A(3,7，－4)在xOz平面上的射影，则||2＝( )
A．(9,0,16)
B．25
C．5
D．13
2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB中点M到点C的距离||＝( )
A．
B．
C．
D．
3．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A．
B．
C．4
D．8
4．已知a＝(cos
α，1，sin
α)，b＝(sin
α，1，cos
α)，则a＋b与a－b的夹角是( )
A．90°
B．60°
C．30°
D．0°
5．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，
6．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以＝a＝(2,1，－1)，＝b＝(1，－2,1)，＝c＝(1,1,1)为三条棱，则||＝__________.
7．已知三点P1(－x,1，－3)，P2(2，y，－1)，P3(－3,0，z)，若＝，则x＝__________，y＝__________，z＝__________.
8．已知点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，且＝a，＝b，则〈a，b〉＝__________.
9．设空间两个单位向量＝(m，n,0)，＝(0，n，p)与＝(1,1,1)的夹角都等于，求cos∠AOB.
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，问当点N位于AB何处时，MN⊥MC1
参考答案
1.
答案：B 由题意，得B(3,0，－4)，
∴||2＝32＋02＋(－4)2＝25.
2.
答案：C 由题意，得M(2,1.5,3)，＝(2,0.5,3)，
||＝.
3.
答案：A ∵，|b|＝3，
∴cos〈a，b〉＝，
sin〈a，b〉＝，
S＝|a||b|sin〈a，b〉＝.
4.
答案：A 因(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝cos2α＋12＋(sin
α)2－(sin2α＋12＋cos2α)＝0，
故a＋b与a－b的夹角是90°.
5.
答案：D a∥b
6.
答案： ∵＝a＋b＋c＝(2,1，－1)＋(1，－2,1)＋(1,1,1)＝(4,0,1)，
∴||＝.
7.
答案：6 由已知条件得，
(－3＋x,0－1，z＋3)＝(2＋3，y－0，－1－z)，
解得x＝6，，.
8.
答案：60° 由题中条件得
a＝(－1，－1,0)，b＝(－1,0，－1)．
故cos〈a，b〉＝
＝
＝，
所以〈a，b〉＝60°.
9.
答案：解：由题意得，
解得，
故cos∠AOB＝＝n2＝.
10.
答案：解：以A为坐标原点，棱AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，
则，C1(a，a，a)，N(x,0,0)．
＝，＝，
·＝xa－＝0，得x＝.
所以点N的坐标为，即N为AB的四等分点且靠近A点时，MN⊥MC1.3.2.1
直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2
平面的法向量与平面的向量表示
自我小测
1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2
B．－4
C．4
D．－2
2．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u＝(4,0,8)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．lα
D．l与α斜交
3．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝，y＝
4．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A．－
B.
C．－
D.
5．已知平面α过点A(1，－1,2)，其法向量n＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( )
A．(2,3,3)
B．(3，－3,4)
C．(－1,1,0)
D．(－2,0,1)
6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则( )
A．平面AED∥平面A1FD1
B．平面AED⊥平面A1FD1
C．平面AED与平面A1FD相交但不垂直
D．以上都不对
7．已知A，B，P三点共线，则对空间任一点O，＝α＋β，那么α＋β＝__________.
8．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝__________，z＝__________.
9．已知如图所示的正四棱锥，在向量－＋－，＋，＋，＋＋＋中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是__________．
10．已知三棱锥O ABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB.
11．如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
(1)求cos〈，〉的值；
(2)求证：BN⊥平面C1MN.
12．如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，
求证：(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD；
(3)MN⊥平面PCD.
参考答案
1．解析：∵α∥β，∴＝＝，
∴k＝4.
答案：C
2．解析：∵u＝－4a，∴u∥a，∴a⊥α，∴l⊥α.
答案：B
3．解析：∵l1∥l2，∴a∥b，∴＝＝，
∴x＝，y＝.
答案：D
4．解析：a·b＝－4，|a|＝，|b|＝2，
cos
θ＝|cos〈a，b〉|＝＝＝.
答案：B
5．解析：设M(x，y，z)为平面内一点，则·n＝0，
即2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0.
又因为A项中坐标满足上式，故选A.
答案：A
6．解析：以D为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面AED的法向量为n1，平面A1FD1的法向量为n2.
可得n1·n2＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.
答案：B
7．答案：1
8．解析：因为＝(－1,2－y，z－3)，∥v，
故＝＝，
故y＝，z＝.
答案：
9．解析：因为－＋－＝＋＝0，不能作为这个平面的法向量，对其他三个化简后可知均与共线．而PO⊥平面ABCD，它们可作为这个平面的法向量．
答案：－＋－
10．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，设所求点D(x，y，z)．
由BD∥AC，DC∥AB∥，∥，
因此
即D点的坐标为(－1,1,2)．
11．解：以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系Oxyz.
(1)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0,1,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
(2)证明：依题意得C1(0,0,2)，N(1,0,1)，
∴M，
∴＝，＝(1,0，－1)，＝(1，－1,1)，
∴·＝×1＋×(－1)＋1×0＝0，
·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0，
∴⊥，⊥，
∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，
∴BN⊥平面C1MN.
12．证明：(1)如图，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)，则C(b，d,0)．
∵M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，
∴M，N，Q，
∴＝.
∵平面PAD的一个法向量为m＝(1,0,0)，
∴·m＝0，即⊥m.
又∵MN不在平面PAD内，
∴MN∥平面PAD.
(2)＝(0，－d,0)，⊥m，
又QN不在平面PAD内，
∴QN∥平面PAD.
又∵MN∩QN＝N，
∴平面MNQ∥平面PAD.
(3)＝(0，d，－d)，＝(b,0,0)，
∴·＝d＋(－d)＝0，
·＝0，
∴⊥，⊥，
∴MN⊥PD，MN⊥DC.
又PD∩DC＝D，
∴MN⊥平面PCD.3.2.2
平面的法向量与平面的向量表示
课后导练
基础达标
1.点A（a,0,0）,B(0,b,0),C(0,0,c),则面ABC的一个法向量为（
）
A.（bc,ac,ab）
B.(ac,ab,bc)
C.(bc,ab,ac)
D.(ab,ac,bc)
答案：A
2.若△ABC所在平面为α,Pα,
且∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,则点P在平面α内的射影是△ABC的（
）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
答案：D
3.已知：a,b是直线，α是平面，则下列命题中正确的是（
）
A.a⊥α,a⊥bb∥α
B.a⊥b,a∥αb⊥α
C.a∥b,b∥αa∥α
D.a⊥α,a∥bb⊥α
答案：D
4.A平面α,AB、AC是平面α的两条斜线，O是A在平面α内的射影，AO=4，OC=，BO⊥OC,∠OBA=30°.求C到AB的距离（
）
A.
B.4
C.
D.
答案：A
5.如右图，直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB，BB′的中点.
(1)求证：CE⊥A′D;
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
答案：(1)证明:设=a,
=b,CC′=c,
根据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,
∴=b+c,
=-c+b-a.
∴·=-c2+b2=0.
∴CE⊥A′D.
(2)解:=-a+c,
∴||=|a|,||=|a|.
·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a2|,
∴cos〈,〉=.
6.已知P是正方形ABCD平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
求证：直线MN∥平面PBC.
证明：=++
=-++=-++
=-(-)++(+)
=-+=-
=().
在BC上取点E，
使BE=BC,
于是=(-)=.
∴MN∥PE.
∴MN∥平面PBC.
7.如右图，已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB=OC，求证PM⊥QN.
证明：=(+),=(+),
∴=+=(++)=(-+)
=(+)，
=+
=(++)
=(-+)
=(+)
=(-).
∴·
=(+)·(-)
=(2-2)
=(||2-||2).
由||=||，
∴·=0,
即⊥.
即⊥.
8.如右图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，CD1和DC1相交于点O，连结AO.
求证：AO⊥CD1.
证明:∵=+
=++
=++(+)
=+++
=++,
=+=-+,
∴·
=（++）·（-+）
=-·-·-·+·+·+·=0，
∴⊥即AO⊥CD1.
9.如右图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1侧面的三条对角线AB1、BC1、CA1中，如果AB1⊥BC1，求证：AB1⊥CA1.
证明：取AB、A1B1的中点D、D1，连A1D、BD1,A1B1C1—ABC为正三棱柱
综合运用
10.如右图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,D为AB的中点.
(1)求证：CD⊥平面ABB1A1；
（2）过CD作A1B的垂面；（注：写出作图过程，并说明理由）.
答案：(1)证明：∵CD⊥AA1,
又CD⊥AB,AA1∩AB=A,
∴CD⊥平面ABB1A.
(2)解:如下图,作DE⊥A1B于E;连接CE,则CE⊥A1B(三垂线定理).
∴A1B⊥平面CDE,则平面CDE即为所求作的平面.
11.如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.
求证：A1C⊥平面AEF.
证明:∵CB⊥平面A1B,∴A1C在平面A1B上的射影为A1B,又A1B⊥AE,AE平面A1B.
∴A1C⊥AE.同理A1C⊥AF,∴A1C⊥平面AEF.
12.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于H.
求证：B1D⊥平面ABD.
证明:由直三棱柱的性质,得平面ABC⊥平面BB1C1C,又由已知,AB⊥BC.
∴AB⊥平面BB1C1C.
又B1D平面BB1C1C,
∴AB⊥B1D.由已知,BC=CD=DC1=B1C1.
在Rt△BCD与Rt△DC1B1中可求得∠BDC=∠B1DC1=45°.
则∠BDB1=90°,即B1D⊥BD.
又AB∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.
13.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=2，建立如下图所示的坐标系;
确定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P.
解:如下图,设BP=t,则CQ=
,DQ=2-,
∴B1(2,0,2),D1(0,2,2),P(2,t,0),Q(,2,0).
∴=(,-2,2),
=(-2,2-t,2),
∵B1Q⊥D1P等价于·=0，
即--2(2-t)+2×2=0,
即=t，解得t=1.
此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即当P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B1Q⊥D1P.
14.如下图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：AB1⊥CA1.
证明:如下图,将BC1平移,使其与A1C在一个平面内,所以延长B1C1至D,使C1D=B1C1,于是BC1DC为平行四边形,只需证明AB1⊥平面A1CD即可,为此,连A1D.
∵A1C1=B1C1=C1D,∴A1B1⊥A1D,
又AA1⊥A1D,∴A1D⊥面ABB1A1.
因此AB1⊥A1D,又AB1⊥DC,可得AB1⊥平面A1DC,∴AB1⊥CA1.
拓展研究
15.如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为,侧棱长为,E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF⊥平面AB1C.
证明：把正四棱柱如下图放置在坐标系中，则各点坐标为A(,0,0),C(0,
,0),B1(,,),D1(0,0,),E(,,),F(,,).
设平面AB1C的法向量为n1=(1,λ1,μ1),则n1应垂直和.
而=(-2,2,0),=(0,2,3),
∴n1·=-+λ1=0及n1·=λ1+μ1=0.
∴λ1=1,μ1=.
∴n1=(1,1,
).
再假设平面D1EF的法向量为n2=(1,λ2,μ2),则n2应垂直、,而=(,,
),=(,,),
∴n2·=+λ2μ2=0,
n2·=+λ2μ2=0.
∴λ2=1,μ2=.
∴n2=(1,1,).
由于n1·n2=1+1·=1+1-2=0,
∴n1⊥n2.因此平面D1EF⊥平面AB1C.3.2.4
二面角及其度量
课后训练
1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
A．
B．
C．
D．
2．AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
3．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( )
A．相等
B．互补
C．关系无法确定
D．相等或互补
4．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，，这时二面角B－AD－C的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则面APB和面CDP所成二面角的度数是( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
6．已知直线l的方向向量v＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u＝(－2，－1,1)，则l与α的夹角为__________．
7．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为__________．
8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为__________．
9．在三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC＝3，，求AC与平面PBC所成角的大小．
10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，求二面角A′－FD－C的余弦值．
参考答案
1.
答案：C 设BC中点为D，则AD⊥平面BB1C1C，故∠AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角．在Rt△ADC1中，AD＝AB，AC1＝AB，
所以sin∠AC1D＝＝.
2.
答案：C 设AC和平面α所成的角为θ，则cos
60°＝cos
θcos
45°，故cos
θ＝，所以θ＝45°.
3.
答案：D
4.
答案：C ∠BDC就是二面角B－AD－C的平面角．
∵cos∠BDC＝，∴∠BDC＝60°.
5.
答案：C ∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角．
6.
答案：30° cos〈v，u〉＝，
∴sin
θ＝(θ为l与α的夹角)．
7.
答案：45° 作CD⊥α于D，连DA，DB，DM，∠CAD＝30°，CD＝AC，CM＝AM＝AC，sin∠CMD＝，故∠CMD＝45°.
8.
答案：90° 设BC中点为D，则PD⊥BC，AD⊥BC，∠PDA就是二面角P－BC－A的平面角．
9.
答案：分析：本题可以建立适当坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求．
解：由题意PA＝PB＝PC，点P在△ABC内的射影为△ABC的外心，即点P在△ABC内的射影O到点A，B，C的距离相等，又面PAC⊥面ABC，∴O为AC的中点，由直角三角形中的性质可知：∠ABC＝90°，以O为原点，，，为轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，)，B(，0,0)，C(0，，0)，A(0，，0)．
设n＝(x，y，z)为面PBC的法向量，可求得n＝(，，2)，＝(0，，0)．
设AC与平面PBC所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈n，〉|＝，∴θ＝30°.
∴AC与平面PBC所成角的大小为30°.
10.
答案：分析：本题可以建立适当坐标系，利用平面的法向量来求；也可作出二面角的平面角来求．
解：解法一：取线段EF的中点H，连A′H，
因为A′E＝A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF.
又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H平面A′EF，
所以A′H⊥平面BEF.
如图建立空间直角坐标系Axyz，
则A′(2,2,)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)．
故＝(－2,2,)，＝(6,0,0)．
设n＝(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，
所以
取，则n＝(0，－2，)．
又平面BEF的一个法向量m＝(0,0,1)，
故cos〈n，m〉＝.
所以二面角A′－DF－C的余弦值为.
解法二：取线段EF的中点H，AF的中点G，连A′G，A′H，GH.
因为A′E＝A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF.
又因为平面A′EF⊥平面BEF，
所以A′H⊥平面BEF.又AF平面BEF，
故A′H⊥AF.又因为G，H是AF，EF的中点，
易知GH∥AB，
所以GH⊥AF，于是AF⊥面A′GH，
所以∠A′GH为二面角A′－DF－C的平面角．
在Rt△A′GH中，A′H＝，GH＝2，A′G＝，
所以cos∠A′GH＝，
故二面角A′－DF－C的余弦值为.3.1.1
空间向量的线性运算
课后训练
1．已知λ∈R，a为非零向量，则下列结论正确的是( )
A．λa与a同向
B．|λa|＝λ|a|
C．λa可能是0
D．|λa|＝|λ|a
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有( )
①
②
③
④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，M为平面BB′C′C的中心，N为直线CC′的中点，则( )
A．’
B．
C．
D．
4．已知空间四边形ABCD，连AC，BD，设M是BC的中点，G为CD上一点，则等于( )
A．
B．
C．
D．
5．已知点G是正方形ABCD的中心，P为正方形ABCD所在平面外的一点，则等于( )
A．
B．
C．
D．
6．化简：(－)－(－)＝__________.
7．化简：__________.
8．在平行六面体ABCD－EFGH中，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝__________.
9．已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体，AA′的中点为E，点F为D′C′上一点，且.
(1)化简：＋＋.
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：D
3.
答案：C
4.
答案：A
5.
答案：D
6.
答案：0
7.
答案：
8.
答案： 因为＝＋＋，
所以＝＋＋＝x(＋)＋y(＋)＋z(＋)，
所以＝(x＋y)＋(x＋z)＋(y＋z)，
所以x＋y＝x＋z＝y＋z＝1，
所以x＋y＋z＝.
9.
答案：解：(1)由AA′的中点为E，得＝，又＝，D′F＝D′C′，
因此＝＝.
从而＋＋＝＋＋＝.
(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝(－＋)＋(＋)＝＋＋，
因此，β＝，γ＝.3.2.3
直线与平面的夹角
课后导练
基础达标
1.直线a与平面α内任一条线所成最小的角为θ，a是平面α的斜线，b是平面α内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（
）
A.最小值为θ,最大值为π-θ
B.最小值为θ,最大值为
C.最小值为θ,无最大值
D.无最小值，最大值为
答案：B
2.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1C1与平面ABC1D1所成的角
（
）
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
答案：A
3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B和面BB1D1D所成的角为（
）
A.15°
B.45°
C.60°
D.30°
答案：D
4.如左下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦值________________.
答案：
5.如右上图，S是△ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，判断△ABC的形状_________.
答案：锐角三角形
6.四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，
求：（1）BC与平面SAB所成的角；
（2）SC与平面ABC所成角的正弦值.
解析：(1)如右图,∵SA、SB、SC两两垂直,
∴SC⊥面SAB.
∴∠CBS是BC与平面SAB所成的角.
∵∠CBS=60°,
∴BC与平面SAB所成的角为60°.
(2)连结MC,在Rt△ASB中,∠SBA=45°,则SM⊥AB.
又SC⊥面SAB,
∴SC⊥AB,
∴AB⊥面SMC.过S作SO⊥MC于点O,则SO⊥AB,
∴SO⊥面ABC,
∴∠
SCM是SC与平面ABC所成的角.
设SB=a,则SC=a,SM=a,
在Rt△CSM中,CM=a,
∴sin∠SCM=.
7.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，PA是平面ABC的斜线，∠PAB=∠PAC=60°，
（1）求PA与平面ABC所成角的大小；
（2）PA的长等于多少时，点P在平面ABC上的射影O恰好在BC边上？
解：(1)如右图,过P作PO⊥平面ABC于O,则∠PAO为PA与平面ABC所成的角,
易证AO为∠BAC的平分线,则∠OAB=45°.
由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得
cos∠PAO=
=,
∴∠PAO=45°.
∴PA与平面ABC所成的角为45°.
(2)若O∈BC,在△AOB中,
BO=,sinB=,
由正弦定理可求得AO=.
∴PA=f,
即PA=时,点P在平面ABC上的射影O恰好在BC边上.
8.如右图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.
试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.
解：建立如右图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,,m),C(0,1,0),D(0,0,0),
B1(1,1,1),D1(0,0,1)
所以=(-1,1,0),
=(0,0,1),
=(-1,1,m),=(-1,1,0),
又由·=0,·=0知,
为平面BB1D1D的一个法向量.
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ,
则sinθ=cos(-θ)
=
依题意有,
解得m=,
故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32.
9.如右图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E为BC的中点，F为直线CC1上的动点，设C1F=λFC.
当λ=3时，求EF与平面ABCD所成的角.
解析：如右图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(1,2,0).
当λ=3时,F(0,2,1),
=(-1,0,1).设平面ABCD的法向量为n,
则n=(0,0,1).
设与n的夹角为θ,则cosθ=
∴EF与平面ABCD所成的角为45°.
综合运用
10.如下图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1=8，BD1与侧面BC1所成的角为30°.
求：BD1和底面ABCD所成的角.
解：正四棱柱AC1中,CC1⊥底面A1C1,
∴CC1⊥D1C1,
∵底面是正方形,∴D1C1⊥B1C1,
∴D1C1⊥侧面BC1,
∴D1C1⊥BC1,
∴∠D1BC1就是BD1与侧面BC1所成的角.
∴∠D1BC1=30°,
∵D1B=8,
∴D1C1=4,B1D1==BD.
∵D1D⊥底面AC,
∴∠D1BD就是BD1与底面AC所成的角.
△D1BD中,cos∠D1BD=.
∴∠D1BD=45°,
即BD1和底面ABCD所成的角为45°.
11.正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为a，侧棱长为a.
(1)建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；
（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
解：(1)以点A为坐标原点O,以AB所在直线为Oy轴,以AA1所在直线为Oz轴,以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴,建立空间直角坐标系,
由已知,得A(0,0,0)、B(0,a,0)、A1(0,0,2a)、C1(-a,,a).
(2)坐标系如右图，取A1B1的中点M，于是有M（0，,a）,连结AM、MC1,有=(a,0,0)且=(0,a,0),=(0,0,a).
由于·=0,
·=0,
∴MC1⊥面ABB1A1.
∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.
∵=(a,,a),=(0,,a),
∴·=0++2a2=a2.
而||==a,
||==a.
∴cos〈,〉=.
∴与所成的角,即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
12.如下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面C1BD.
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以A1A⊥平面ABCD.
连结AC,则AC是A1C在平面ABCD内的射影.
又BD⊥AC,故由三垂线定理知BD⊥A1C.
又A1B1⊥平面B1BCC1,
连结B1C,则B1C是A1C在平面B1BCC1内的射影.
因为BC1⊥B1C,
所以由三垂线定理知
BC1⊥A1C.
因为BD∩BC1=B，
所以A1C⊥平面C1BD.
拓展研究
13.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）求EB与底面ABCD所成的角为正切值.
分析：如下图所示建立空间直角坐标系,D是坐标原点,设DC=a.
(1)证明:连结AC,AC交BD于G,连结EG.
依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,,).
因为底面ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心.
故点G的坐标为(,,0).所以=(a,0,-a).
=(,0,-).所以=2.
这表明PA∥EG.
而EG平面EDB且PA平面EDB，因为PA∥平面DEB.
(2)解:依题意得B(a,a,0),C(0,a,0).
取DC的中点F(0,
,0),连结EF,BF.
因为=(0,0,),=(a,,0),=(0,a,0).
所以·=0,
·=0.
所以FE⊥FB,FE⊥DC.
所以EF⊥底面ABCD,BF为BE在底面ABCD内的射影.
∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角.
||=,||==a.
所以tan∠EBF=.
所以,EB与底面ABCD所成的角的正切值为.3.2.3
直线与平面的夹角3.2.4
二面角及其度量
自我小测
1．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
2．已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE分别沿DE，CE折起，使AE与BE重合，A，B两点重合后记为点P，那么二面角P CD E的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．在三棱锥P ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
4．AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
5．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为( )
A．150°
B．45°
C．60°
D．120°
6．AB∥α，AA′⊥α，
A′是垂足，BB′是α的一条斜线段，B′为斜足，若AA′＝9，BB′＝6，则直线BB′与平面α所成角的大小为__________．
7．如图所示，将边长为a的正三角形ABC沿BC边上的高线AD将△ABC折起，若折起后B，C′间距离为，则二面角B AD C′的大小为__________．
8．等腰直角△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为__________．
9．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求SC与平面ABCD所成的角．
10．如图，在四棱锥P
ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD，求二面角A PB C的余弦值．
11．正方体ABCD A′B′C′D′的棱长等于2，E，F分别是B′D′，AC的中点．求：
(1)直线AB′和平面ACD′所成角的正弦值；
(2)二面角B′ CD′ A的余弦值．
参考答案
1．解析：以D为原点建立空间直角坐标系，如图，可得平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，
而＝(0，－1,1)，
∴cos〈，n〉＝＝，
∴〈，n〉＝30°.∴直线A1B与平面BDE成60°角．
答案：B
2．答案：A
3．解析：以O为原点，射线OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
设AB＝a，则OP＝a，＝，可求得平面PBC的法向量为n＝，
∴cos〈，n〉＝＝，
设与平面PBC所成的角为θ，
则sin
θ＝，故选D.
答案：D
4．解析：设AC和平面α所成的角为θ，则cos
60°＝cos
θcos
45°，故cos
θ＝，所以θ＝45°.
答案：C
5．解析：由条件知，·＝0，·＝0，
＝＋＋.
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉
＝(2)2，
∴cos〈，〉＝－，
即〈，〉＝120°，
∴二面角的大小为60°，故选C.
答案：C
6．答案：60°
7．答案：60°
8．答案：45°
9．解：是平面ABCD的法向量，
设与的夹角为φ.
∵＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)＝·＝1.
||＝1，||＝＝＝，
∴cos
φ＝＝.
∴φ＝arccos.
从而CS与平面ABCD所成的角为－arccos.
10．(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，
所以BD⊥平面PAD.
故PA⊥BD.
(2)解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，则
可取m＝(0，－1，－)，cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角A
PB
C的余弦值为－.
11．解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，
∵正方体的棱长等于2，E，F分别是B′D′，AC的中点，
∴A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D′(0,0,2)，B′(2,2,2)，E(1,1,2)，F(1,1,0)．
(1)＝(－2,0,2)，＝(－2,2,0)，＝(0,2,2)，
设n＝(x′，y′，z′)是平面ACD′的一个法向量，
则由
取x′＝1，得平面ACD′的一个法向量n＝(1,1,1)，
设直线AB′和平面ACD′所成角的大小为θ，
则sin
θ＝＝＝，
∴直线AB′和平面ACD′所成角的正弦值是.
(2)＝(2,2,0)，＝(0,2，－2)，
设m＝(x0，y0，z0)是平面B′CD′的一个法向量，
则由得取y0＝1得平面B′CD′的一个法向量m＝(－1,1,1)，
由cos
θ＝＝＝，
故二面角B′ CD′ A的余弦值是.3.1.2
空间向量的基本定理
课后训练
1．AM是△ABC中BC边上的中线，设＝e1，＝e2，则为( )
A．e1＋e2
B．
C．e1－e2
D．
2．设O，A，B，C为空间四边形的四个顶点，点M，N分别是边OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为( )
A．
B．
C．
D．
3．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，且有6＝＋2＋3，则( )
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C共面
D．O，P，A，B，C五点共面
4．如果a，b，c共面，b，c，d也共面，则下列说法正确的是( )
A．若b与c不共线，则a，b，c，d共面
B．若b与c共线，则a，b，c，d共面
C．当且仅当c＝0时，a，b，c，d共面
D．若b与c不共线，则a，b，c，d不共面
5．三射线AB，BC，BB1不共面，若四边形BB1A1A和四边形BB1C1C的对角线均互相平分，且＝x＋2y＋3z，那么x＋y＋z的值为( )
A．1
B．
C．
D．
6．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k＝__________.
7．已知D，E，F分别是△ABC中BC，CA，AB上的点，且＝，＝，＝，设＝a，＝b，则＝__________.
8．已知G是△ABC的重心，点O是空间任意一点，若＋＋＝λ，则λ＝__________.
9．已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量＝k，＝k，＝k，＝k，求证：
(1)点E，F，G，H共面；
(2)AB∥平面EG.
10．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：A
3.
答案：B 6＝＋2＋3，得－＝2(－)＋3(－)，
＝2＋3，∴，，共面．又它们有同一公共点P，∴P，A，B，C四点共面．
4.
答案：A
5.
答案：D 由题意知AB，BC，BB1不共面，四边形BB1C1C为平行四边形，＝，
∴{，，}为一个基底．又由向量加法＝＋＋，∴x＝2y＝3z＝1.
∴x＝1，，，∴x＋y＋z＝.
6.
答案：±1 ke1＋e2与e1＋ke2共线，则存在唯一的实数x，使ke1＋e2＝x(e1＋ke2)，.
7.
答案：
8.
答案：3
9.
答案：分析：(1)要证E，F，G，H四点共面，可先证向量，，共面，即只需证可以用，线性表示；
(2)可证明与平面EG中的向量或，之一共线．
证明：(1)∵＋＝，
∴k＋k＝k.
而＝k，＝k，
∴＋k＝.
又＋＝，∴＝k.
同理：＝k，＝k.
∵ABCD是平行四边形，
∴＝＋，
∴，
即＝＋.又它们有同一公共点E，
∴点E，F，G，H共面．
(2)由(1)知＝k，
∴AB∥EF.又AB平面EG，
∴AB与平面EG平行，即AB∥平面EG.
10.
答案：分析：结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用，，表示出来，即可求出x，y，z的值．
解：解法一：如图所示，取PC的中点E，连NE，则＝－.
∵＝
＝＝－，
＝－＝－＝，
∴＝－－.
连AC，则
＝－＝＋－，
∴＝－－(＋－)
＝－－＋，
∴，，.
解法二：如图所示，在PD上取一点F，使F分所成比为2，连MF，则＝＋，
而＝＝－，
＝－＝－＝＝(－)，
∴＝－－＋，
∴，，.
解法三：∵＝－＝－
＝(＋)－(＋)
＝－＋－(－＋＋)
＝－－＋，
∴，，.3.1.3
两个向量的数量积
课后训练
1．|a＋b|＝|a－b|的充要条件是( )
A．a＝0或b＝0
B．a∥b
C．a·b＝0
D．|a|＝|b|
2．下列式子中正确的是( )
A．|a|·a＝a
B．(a·b)2＝a2·b2
C．(a·b)c＝a(b·c)
D．|a·b|≤|a|·|b|
3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝( )
A．
B．
C．
D．0
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
5．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角是( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
6．|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，则a＋b＋c的模等于__________．
7．a≠c，b≠0，a·b＝b·c且d＝a－c，则〈b，d〉＝__________.
8．向量a，b之间的夹角为30°，|a|＝3，|b|＝4，求a·b，a2，b2，(a＋2b)·(a－b)．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：D
3.
答案：D ∵＝－，∴·＝·－·＝0，
∴〈，〉＝90°，故cos〈，〉＝0.
4.
答案：B ＝－，＝－，·＝＞0，∠DBC为锐角，同理可得∠BCD，∠BDC均为锐角．
5.
答案：C ∵c⊥a，∴c·a＝(a＋b)·a＝0，可得a·b＝－1，cos〈a，b〉＝，故向量a与b的夹角是120°.
6.
答案： 因|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)＝3，
故|a＋b＋c|＝.
7.
答案：90° ∵a·b＝b·c，∴(a－c)·b＝0，∴b⊥d.
8.
答案：分析：利用向量数量积的定义、性质及运算律．
解：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos
30°＝，
a2＝a·a＝|a|2＝9，
b2＝b·b＝|b|2＝16，
(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝9＋6－32＝－23
9.
答案：分析：选择{，，}为基底，先求·，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈，〉，最后确定〈，〉．
解：不妨设正方体棱长为1，＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
∵＝a－c，＝a＋b，
∴·＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1.
而||＝||＝，∴cos〈，〉＝.
又〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.
∴异面直线A1B与AC所成的角为.3.1.3
两个向量的数量积
自我小测
1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直
B．共线
C．不垂直
D．以上都有可能
2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A.
B．97
C.
D．61
3．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝( )
A.
B.
C．－
D．0
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
5．已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
6．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，则a＋b＋c的模等于__________．
7．已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为__________．
8．如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则点C与D之间的距离为__________．
9．已知空间四边形ABCD，求·＋·＋·的值．
10．如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
参考答案
1．解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
答案：A
2．解析：|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×＋9×32＝61.
∴|2a－3b|＝.
答案：C
3．解析：∵＝－，
∴·＝·－·＝0，
∴〈，〉＝90°，
故cos〈，〉＝0.
答案：D
4．解析：＝－，＝－，
∴·＝2>0，
∴∠DBC为锐角，
同理可得∠BCD，∠BDC均为锐角．
答案：B
5．解析：∵关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，
∴Δ＝|a|2－4a·b≥0，即|a|2≥4a·b.
又∵a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉，
∴|a|2≥4|a||b|cos〈a，b〉．
∵|a|＝2|b|≠0，
∴cos〈a，b〉≤＝＝，
而〈a，b〉∈[0，π]，
∴≤〈a，b〉≤π.
答案：B
6．解析：因|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)
＝3，
故|a＋b＋c|＝.
答案：
7．解析：由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0.
∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.
答案：6
8．解析：∵AC⊥α，BD与α成30°角，
∴AC与BD所成角为60°.
又∵＝＋＋，||＝||＝|B|＝1，〈，〉＝〈，〉＝90°，〈，〉＝120°，
∴2＝(＋＋)2＝3－1＝2.
∴C，D两点间距离为.
答案：
9．解：·＋·＋·
＝·(－)＋·(－)－·(－)
＝·－·＋·－·－·＋·＝0.
10．(1)证明：＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，
∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2
＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解：结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.3.1.1
空间向量的线性运算
自我小测
1．如图所示的空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于( )
A.
B．3
C．3
D．2
2．平行六面体ABCD A1B1C1D1中，O为BD1与AC1的交点，下列说法正确的是( )
A．＝(＋＋)
B．＝
C．＝(B＋＋)
D．＝(＋)
3．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则等于( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
4．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A．＋＝0
B．＋＝0
C．＋＝0
D．＋＋＝0
5．设点M是BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
6．化简：(－)－(－)＝__________.
7．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝__________.
8.在平行六面体ABCD
EFGH中，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝__________.
9．在四面体ABCD中，E，F分别为棱AC，BD的中点，求证：＋＋＋＝4.
10．已知ABCD
A′B′C′D′是平行六面体，AA′的中点为E，点F为D′C′上一点，且D′F＝D′C′.
(1)化简：＋＋；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
参考答案
1．解析：－A＋＝＋B＝＋2＝3.
答案：B
2．解析：＋＋＝＋＝.故选A.
答案：A
3．解析：＝－＝(＋)－＝×(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
∴应选B.
答案：B
4．解析：∵＋＝2，
∴－＋－＝0，
即＋＝0.
答案：C
5．解析：由|＋|＝|－|＝||＝||＝4，
又M为BC的中点，
所以||＝|＋|＝2.
答案：C
6．答案：0
7．答案：a＋b－c
8．解析：因为＝＋＋，
所以＝＋＋＝x(＋)＋y(＋)＋z(＋)，
所以＝(x＋y)＋(x＋z)＋(y＋z)，
所以x＋y＝x＋z＝y＋z＝1，
所以x＋y＋z＝.
答案：
9．证明：左边＝(＋)＋(＋)
＝2＋2＝2(＋)＝4＝右边，得证．
10．解：(1)由AA′的中点为E，得＝，
又＝，D′F＝D′C′，
因此＝＝.
从而＋＋＝＋＋＝.
(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝(－＋)＋(＋)＝＋＋，
因此α＝，β＝，γ＝.3.1.2
空间向量的基本定理
自我小测
1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则( )
A．m，n，p共线
B．m与p共线
C．n与p共线
D．m，n，p共面
2．如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
3．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，且有6＝＋2＋3，则( )
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面
D．O，P，A，B，C五点共面
4．三射线AB，BC，BB1不共面，若四边形BB1A1A和四边形BB1C1C的对角线均互相平分，且＝x＋2y＋3z，那么x＋y＋z的值为( )
A．1
B.
C.
D.
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A.
B.
C．－
D．－
6．已知G是△ABC的重心，点O是空间任意一点，若＋＋＝λ，则λ＝__________.
7．在ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
8．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，若＝x·＋2y·＋3z·，则x＋y＋z等于__________．
9．已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量＝k，＝k，＝k，＝k.
求证：(1)点E，F，G，H共面；
(2)AB∥平面EFGH.
10．如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
参考答案
1．解析：p＝2a＝m＋n，即p可由m，n线性表示，所以m，n，p共面．
答案：D
2．解析：＝＋B＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c.∴应选A.
答案：A
3．解析：由6＝＋2＋3，得－＝2(－)＋3(－)，即＝2＋3，∴，，共面．又它们有同一公共点P，∴P，A，B，C四点共面．
答案：B
4．解析：由题意知AB，BC，BB1不共面，四边形BB1C1C为平行四边形，＝，∴{，，}为一个基底．
又由向量加法＝＋＋，
∴x＝2y＝3z＝1.
∴x＝1，y＝，z＝，∴x＋y＋z＝.
答案：D
5．解析：如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝.
答案：A
6．答案：3
7．解析：设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，＝a＋b，
∴λ＋μ＝λ＋μ＝a＋b，
∴a＋b＝a＋b，
∴∴
∴λ＋μ＝.
答案：
8．解析：如图，＝＋＋＝＋＋(－1)·，
又已知＝x·＋2y·＋3z·，
∴x·＋2y·＋3z·＝＋＋(－1)·
x＝1，y＝，z＝－，
∴x＋y＋z＝1＋－＝.
答案：
9．思路分析：(1)要证E，F，G，H四点共面，可先证向量，，共面，即只需证可以用，线性表示；
(2)可证明与平面EFGH中的向量或，之一共线．
证明：(1)∵＋＝，
∴k＋k＝k.
而＝k，＝k，
∴＋k＝.
又＋＝，
∴＝k.
同理：＝k，＝k.
∵ABCD是平行四边形，
∴＝＋，
∴＝＋，
即＝＋.又它们有同一公共点E，
∴点E，F，G，H共面．
(2)由(1)知＝k，
∴AB∥EF.又AB 平面EFGH，
∴AB与平面EFGH平行，即AB∥平面EFGH.
10．证明：＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋.
∵O是B1D1的中点，
∴＋＝0，∴＝＋.
∴，，共面，且B1C 平面OC1D.
∴B1C∥平面ODC1.3.2.5
距离
课后导练
基础达标
1.如右图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（
）
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线CA上
D.△ABC内部
答案：A
2.下列命题中正确命题的个数为（
）
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；
④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：B
3.如右图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°,M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（
）
A.PA=PB＞PC
B.PA=PB＜PC
C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
答案：C
4.正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，点M分的比为，N为B1B的中点，则||为…（
）
A.
a
B.a
C.a
D.a
答案：A
5.(2005全国高考卷Ⅲ，11)不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（
）
A.3个
B.4个
C.6个
D.7个
答案：D
6.如左下图，AB垂直于△BCD所在的平面，AC=，AD=，BC∶BD=3∶4，当△BCD的面积最大时，点A到直线CD的距离为______________.
答案：
7.如右上图，在Rt△ABC中，AF是斜边BC上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为_______.
答案：
8.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，过点A、C、B1的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,l与直线AC的距离为______________.
答案：a
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=a.
(1)求证：MN∥平面BB1C1C；
（2）求MN的长.
答案：(1)证明：作MP∥AB，NQ∥AB分别交BB1、BC于P、Q，连结PQ.由作图可得PM∥QN，
A1M=a,MB=3a,
由，得PM=a,
同理QN=a,
∴PMQN,
PQNM是平行四边形，
MN∥PQ，PQ平面BB1C1C，
∴MN∥平面BB1C1C.
(2)解：∵BP=PM=a,又BQ=a,
在Rt△PBQ中，可求得PQ=a.
∴MN=PQ=a.
综合运用
10.如右图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P-CD-B为45°.
(1)求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；
（3）设AD=2，CD=2，求点A到平面PEC的距离.
答案：(1)证明：取PC的中点G，连结EG、FG.
∵F是PD的中点，∴FG∥CD，且FG=CD.
而AE∥CD，且AE=CD，
∴EA∥GF，且EA=GF.
故四边形EGFA是平行四边形,
从而EG∥AF.
又AF平面PEC，EG平面PEC,
∴AF∥平面PEC.
(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴AD是PD在平面ABCD上的射影.
又CD⊥AD，
∴CD⊥PD，CD⊥AD，
∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角.
∴∠ADP=45°,则AF⊥PD.
又AF⊥CD，PD∩CD=D,
∴AF⊥平面PCD.
由（1），EG∥AF，
∴EG⊥平面PCD.
而EG平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.
(3)解析：过F作FH⊥PC交PC于H，
又平面PEC⊥平面PCD，则FH⊥平面PEC，∴FH为点F到平面PEC的距离.
而AF∥平面PEC，故FH等于点A到平面PEC的距离.
在△PFH与
△PCD中，
∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC为公共角，
∴△PFH∽△PCD,=.
∵AD=2,CD=2,PF=,
PC==4,
∴FH=·2=1.
∴点A到平面PEC的距离为1.
11.如右图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB.
(1)求证：平面PCE⊥平面PCD；
（2）求点D到平面PCE的距离.
答案：(1)证明：取PD的中点F，则AF⊥PD.
∵CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD.
∴AF⊥平面PCD.
取PC的中点G，连结EG、FG，可证AFGE为平行四边形，∴AF∥EG.
∴EG⊥平面PCD.
∵EG在平面PCE内，
∴平面PCE⊥平面PCD.
(2)解析：在平面PCD内，过点D作DH⊥PC于H.
∵平面PCE⊥平面PCD，
∴DH⊥平面PCE，
即DH为点D到平面PCE的距离.
在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=a.
在Rt△PCD中，PD=a,CD=a,PC=a.
∴DH=a.
12.如下图，若正方体AC1的棱长为3，|CM|=2|MA|，|BN|=2|NC1|，求线段MN的长.
解析：如题图，∵|CM|=2|MA|,
∴可知，M（2，1，0）.
同理可得N（1，3，2），
∴|MN|=3.
13.如下图，在棱长均为2的正三棱柱中，建系如下图，M是正方形BCC1B1的中心，求AM的长.
解析：由题意，A（0，-1，0），过M作MN⊥BC于点N，过N作NP⊥OC于点P，∵M是正方形BCC1B1的中心，
∴N是BC的中点，P是OC的中点.
∴|PN|=|OB|=.
∴M(,,1).
∴|AM|==2.
拓展研究
14.如右图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求AD1与A1B的距离.
解：设MN是AD1与A1B的公垂线段，N∈A1B,M∈AD1,设=i,=j,=k,以i,j,k为坐标向量建立空间直角坐标系.
则=（-1，0，1），=（0，1，1）.
设=t=(0,t,t),
=λ
=(-λ,0,λ),有M（0,t,t）、N(1-λ,0,λ).
∴=(1-λ,0,λ)-(0,t,t)=(1-λ,-t,λ-t).
由⊥,得
（1-λ,-t,λ-t）·（-1，0，1）=2λ-t-1=0.①
由⊥A，得（1-λ,-t,λ-t）·（0，1，1）=λ-2t=0.②
解①②得λ=,t=,∴=(,,),
||==.故AD1与A1B间的距离为.3.1.4
空间向量的直角坐标运算
课后导练
基础达标
1.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A的坐标为(-1，2，1)，点B的坐标为(1，3，4)，则(
)
A.=(-1，2，1)
B.=(1，3，4)
C.=(2，1，3)
D.=(-2，-1，-3)
答案：C
2.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)是两个非零向量，则a∥b的充要条件是（
）
A.
B.
C.存在实数k，使得a+kb=0
D.存在非零实数k，使a=kb
答案：D
3.已知a=(1,,),b=(-3,λ,-1)满足a∥b,则λ等于（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
4.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1)，c=(3,1,0)，则|a-b+2c|等于（
）
A.3
B.2
C.
D.5
答案：A
5.若a=(1,5,-2)，b=(3,x,3)，且a⊥b,则x=_________________.
答案：
6.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),c=(3,0,2)，则a-2b+4c=________________.
答案：(19,-10,9)
7.已知点A（3，8，-5），B（-2，0，8）,则||=____________________.
答案：
8.判断下列各小题中的两个向量是否平行：
（1）a=(1,3,-2),b=(-2,-6,4);
(2)a=(-2,0,5),b=(8,0,20).
解析:(1)∵a=-b,
∴a∥b.
(2)不存在实数k,使得a=kb,
∴a与b不平行.
9.设a=(2,2m-3,n+2),b=(4,2m+1,3n-2),且a∥b,求实数m,n的值.
解析:∵a∥b,
设a=λb.
则
①得λ=,代入②得m=,
代入③得n=6,
∴m=,n=6.
综合运用
10.已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4）那么△ABC的形状是（
）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.A、B、C三点共线
答案：A
11.已知a=(2,cosθ,sinθ)，b=(sinθ,2,cosθ)，则a+b与a-b的夹角为（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案：D
12.已知a=(-1,0,1)，b=(1,2,3)，若ka-b与b垂直，则k=_________________.
答案：7
13.已知A、B、C三点的坐标各是（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3）.求P点的坐标使(1);(2)
.
解析:先求出、，然后利用运算性质很快便可得结果.
=(2,6,-3),=(-4,3,1).
(1)=(6,3,-4)=(3,,-2)，则P点坐标为（3，，-2）；
(2)设P为（x,y,z），则=（x-2,y+1,z-2）,
又()=
=(3,,-2).
∴x=5,y=,z=0，则P点坐标为（5，，0）.
拓展研究
14.已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根;a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb.
(1)当|c|取最小值时,求t的值;
(2)在(1)的情况下,求b和c的夹角大小.
解析:(1)∵关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根.
∴Δ=(t-2)2-4(t2+3t+5)≥0,
即-4≤t≤-,
又c=(-1,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),
∴|c|=
=
∵t∈［-4,-］时，上述关于t的函数单调递减,
∴t=时，|c|取最小值.
（2）当t=时，c=(,1,),
∴cos〈b,c〉=
=
==.
∴〈b,c〉=π-arccos=arccos
即为b与c的夹角.3.2.5
距离
课后训练
1．在三棱锥P－ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝90°，PA＝PB＝PC＝13，则点P到平面ABC的距离为( )
A．12
B．6
C．3
D．
2．半径为R的球面上有A，B，C三点，其中A和B及A和C的球面距离都是πR，B和C的球面距离是πR，则球心O到平面ABC的距离是( )
A．
B．
C．
D．
3．已知A，B两点到平面α的距离分别为1和2，线段AB在α内的射影线段长为，则直线AB与平面α的夹角为( )
A．
B．
C．或
D．或
4．不共面的四个点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有( )
A．3个
B．4个
C．6个
D．7个
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为( )
A．
B．
C．
D．
6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1和C1D1的中点，则直线EF到平面B1D1D的距离为__________．
7．已知直角三角形ABC的直角顶点C在平面α内，AB∥α，AC，BC与α所成角分别为45°和30°，若AB＝6，则AB到α的距离为__________．
8．在三棱锥P－ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则点P到平面ABC的距离等于__________．
9．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱AB，CC1，D1A1上，且正方体的棱长为a，AE＝CF＝D1G＝b.
(1)求证：DB1⊥平面EFG；
(2)求B1到平面EFG的距离．
参考答案
1.
答案：A 设BC的中点为D，则由已知可证∠PDB＝∠PDC＝∠PDA，PD⊥平面ABC，PD就是所求距离，在Rt△ADC中，，.
2.
答案：C 由题知∠AOB＝∠AOC＝90°，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝R，在Rt△AOD中，高OH即为所求．
利用VA－OBC＝VO－ABC，得R2·R＝·OH，
∴.
3.
答案：C 按照A，B两点在平面α的同侧或异侧分别讨论．
4.
答案：D 不共面的四个点构成三棱锥．平行于各个面的中截面有4个，夹在一组对棱正中间且与它们平行的平面有3个．
5.
答案：C 利用＝可求得点A1到截面AB1D1的距离为.
6.
答案： 设B1D1中点为O，EF中点为K，则KO即为EF到平面B1D1D的距离，.
7.
答案： 设AB到α的距离为h，，，由勾股定理AB2＝AC2＋CB2可得()2＋(2h)2＝62，解得.
8.
答案： 利用VA－PBC＝VP－ABC可求得点P到平面ABC的距离为.
9.
答案：分析：点E在PA上，可将E到平面PBC的距离转化为A到平面PBC的距离问题，借助于面面垂直作出A到平面PBC的距离．
解：∵E是PA的中点，∴点E到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离的一半．
∵PC⊥平面ABCD，
∴平面PBC⊥平面ABCD，
故过点A在平面ABCD内作AH⊥BC，交BC于点H，得AH⊥平面PBC，
∴AH为点A到平面PBC的距离．又AH＝AB·sin
60°＝，则点E到平面PBC的距离为.
10.
答案：分析：正方体中建系较为方便，可建系求平面的法向量，用向量法证明线面垂直和求点面距离．
解：(1)证明：以D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，B1(a，a，a)，E(a，b,0)，F(0，a，b)，G(b,0，a)．
所以＝(a，a，a)，＝(－a，a－b，b)，＝(b，－a，a－b)．
所以·＝0，·＝0.
所以DB1⊥EF，DB1⊥FG.而EF∩FG＝F，
所以DB1⊥平面EFG.
(2)设△EFG的重心在点H处，
则.
而＝，所以点H在DB1上，即HB1⊥平面EFG，
＝－＝，
所以||＝(2a－b)，
所以点B1到平面EFG的距离为(2a－b)．3.2.4
二面角及其度量
课后导练
基础达标
1.在60°的二面角α-a-β内有一点P，P到α、β的距离分别为3和5，求P到棱a的距离（
）
A.
B.
C.14
D.
答案：A
2.已知α-l-β为直二面角，A、B在l上，AC、BD分别在面α、β内，且AC与l的夹角为45°（如下图的位置），BD⊥l,AC=，AB=2，BD=4，求CD的长（
）
A.
B.
C.
D.4
答案：C
3.过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA=AB，求平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案：B
4.在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=a,AD=3a,∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD，PA=a,则二面角P-CD-A为_______________.
答案：arctan
5.如右图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如果将△DAE和△CBE分别沿DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，求面PCD与面ECD所成的二面角_________________.
答案：30°
6.如右图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
证明：∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°,
∴AB=AC,取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,
∴∠AOS为二面角A-BC-S的平面角.设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°.
∴BC=a,SO=a,AO2=AC2-OC2=a2-a2=a2.
∴SA2=AO2+OS2.
∴∠AOS=90°.
从而平面ABC⊥平面BSC.
7.如右图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=，求二面角A-PB-C的大小.
解：如题图,作CH⊥AB于H,因为PA⊥平面ABC,所以CH⊥PA,从而CH⊥平面PAB.作HD⊥PB于D,连结CD,由三垂线定理得CD⊥PB,所以∠CDH为二面角A-PB-C的平面角.
在Rt△ACB中,CH=.
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.又BC⊥AC,
∴BC⊥平面PAC,
∴BC⊥PC.
在等腰直角三角形PCB中,易知CD=1,在Rt△CHD中,
sin∠CDH==.
故二面角A-PB-C的大小是arcsin.
8.如右图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小.
解：过P作PF⊥AD1于F,
∵AB⊥平面AA1D1D,
∴AB⊥PF,
∴PF⊥平面ABD1.
由点F作FE⊥BD1于E,连结EF,则PE为平面ABD1的斜线,EF为PE在平面ABD1内的射影,则PE⊥BD1.
∴∠PEF为二面角A-BD1-P的平面角.
∵Rt△AFP∽Rt△ADD1,∴,
∴PF=.
在△PBD1中,PD1=PB=,
∵PE⊥BD1,
∴BE=BD1=.
在Rt△PBE中,PE=,
在Rt△PEF中,sin∠PEF=,
∴∠PEF=30°,
∴二面角A-BD1-P的大小为30°.
9.如右图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，∠ABC＝90°，ＳA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.
求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
解析：如右图,延长BA、CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱.
∵AD∥BC,BC=2AD,
∴EA=AB=SA,
∴SE⊥SB.
∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线.
又BC⊥EB,
∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB上的射影.
∴CS⊥SE.
∴∠BSC是所求二面角的平面角.
∵SB=,BC=1,BC⊥SB,
∴tan∠BSC=,
即所求二面角的正切值为.
综合运用
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是AB、BC、DD1的中点.求二面角M-B1N-B的正弦值.
解：用三垂线定理求二面角.BE⊥B1N,Q点为垂足,
∵MB⊥平面BB1N,BQ为斜线MQ在平面BB1中的射影,且BQ⊥B1N,
∴MQ⊥B1N.
∴∠BQM为二面角M-B1N-B的平面角.
设AB=1,在Rt△BEC中,BC=1,BE=,cos∠NBQ=.
在Rt△BNQ中,
BQ=BNcos∠NBQ=·=.
在Rt△MBQ中,
tan∠MQB===,
sin∠MQB=.
∴二面角M-B1N-B的正弦值为.
11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1=AB=1，M是CC1的中点，求面A1MB与面ABC成的角.
解：对无棱二面角传统方法是先做出棱来,本题延长A1M交AC于N,连接BN,则可确定∠A1BA是所求二面角之平面角.以向量法解决这一类问题可以回避做图找角的过程.这里只要求出两半平面的法向量,求法向量夹角就可以了.简解:如右图建系,设面A1MB的法向量n=（1,m,n）,由·n=0、·n=0,
得m=,n=.
又面ABC的法向量p=(0,0,1),
可解得cos〈n,p〉,
即〈n,p〉=45°.
因此,所求二面角的大小为45°.
拓展研究
12.如下图，几何体∠APC=90°，∠APB=60°，PB=BC=4，PC=3，求二面角B-PA-C的大小.
解析：作BD⊥AP,D为垂足,
∵CP⊥AP,
∴二面角B-PA-C的大小等于〈,〉.
在Rt△PBD中,BD=PB·sin∠BPA=4·sin60°=23,DP=BP·cos∠BPA=4·cos60°=2.
∵=++,
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·,
即42=(2)2+22+42+2×2×4cos〈,〉.
求得cos〈,〉=.
∴〈,〉=π-arccos.
于是〈,〉=arccos.
因此所求二面角B-PA-C为arccos3.2.2
平面的法向量与平面的向量表示
课后训练
1．设O(0,0,0)，M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若＝，则点B的坐标为( )
A．(－1,3，－3)
B．(9,1,1)
C．(1，－3,3)
D．(－9，－1，－1)
2．设l1的方向向量为a＝(2,4,5)，l2的方向向量为b＝(3，x,3y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是( )
A．6,15
B．6，
C．3,15
D．3，
3．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )
A．－3或1
B．3或－1
C．－3
D．1
4．已知直线l的方向向量为v＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－4,5,2)，则l与α的关系是( )
A．l⊥α
B．l∥α
C．lα
D．l∥α或lα
5．已知平面α过点A(1，－1,2)，法向量有n＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( )
A．(2,3,3)
B．(3，－3,4)
C．(－1,1,0)
D．(－2,0,1)
6．已知A，B，P三点共线，则对空间任一点O，＝α＋β，那么α＋β＝__________.
7．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝__________，z＝__________.
8．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则三角形ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是__________．
9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点，求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.
10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
参考答案
1.
答案：B 由＝得(5，－1,2)＝(x－4，y－2，z＋1)，可得点B(9,1,1)．
2.
答案：B a∥b，故x，y的值分别是6，.
3.
答案：A ∵|a|＝，
∴x＝±4.
又∵a·b＝2×2＋4×y＋2×x＝0，
∴y＝－1±2，
∴x＋y＝－3或1.
4.
答案：D 因为v·u＝0，所以l∥α或lα.
5.
答案：A 设M(x，y，z)为平面内一点，
∴·n＝0，即2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0.
又∵A项中坐标满足上式，∴选A.
6.
答案：1
7.
答案： 因为＝(－1,2－y，z－3)，∥v，故，故，.
8.
答案：一条线段或一个钝角三角形
9.
答案：证明：不妨设已知正方体的棱长为1，以A为坐标原点，，，′的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz.由已知条件得M，B(1,0,0)，C(1,1,0)，A′(0,0,1)，，B′(1,0,1)．所以＝，＝(1,1，－1)，＝(0,0,1)．因为·＝0，
所以MN⊥A′C.又·′＝0，所以MN⊥BB′.
10.
答案：解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，，，点M(1,1，m)，
则＝，＝，＝(1,1，m－1)．
∵D1M⊥平面EFB1，
∴D1M⊥且⊥，
∴·＝0，·＝0，
∴
∴.
故取B1B的中点M，能满足D1M⊥平面EFB1.3.2.5
距离
自我小测
1．已知A，B两点到平面α的距离分别为1和2，线段AB在α内的射影线段长为，则直线AB与平面α的夹角为( )
A.
B.
C.或
D.或
2．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为( )
A.
B．2
C．3
D．4
3．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点M到平面BDD1B1的距离是( )
A．a
B.
C.a
D.a
4．如图，正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是( )
A．2
B.
C.
D.
5．在三棱锥P ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则点P到平面ABC的距离等于__________．
6．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为__________．
7．如图所示，在直平行六面体ABCD A1B1C1D1中，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在AA1上
，且AE＝AA1＝.DC1⊥BE，则点B到平面EDC1的距离为__________．
8．在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直线B1C与平面ABC所成的角为30°.试求点C1到平面AB1C的距离．
9．如图，四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
参考答案
1．解析：按照A，B两点在平面α的同侧和异侧分别讨论．
答案：C
2．解析：过A，B作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′，
则||＝3，||＝2，||＝5，又＝＋＋，∴||2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，
∴||＝2，故选B.
答案：B
3．解析：方法一：由线面关系知AA1∥平面BDD1B1，
∴只需求B点到平面BDD1B1的距离，
而AC⊥平面BDD1B1，
∴d＝a.
方法二：建立以D为坐标原点的空间直角坐标系，
＝，n＝(－1,1,0)，
∴d＝＝＝a.
答案：C
4．解析：方法一：建立如图所示直角坐标系，
则A1(0，－1,2)，C1(0,1,2)，E，F(0,0,2)．
则＝，||＝＝.
方法二：设AC中点为G，连GE，GF，在Rt△FGE中，|EF|2＝|FG|2＋|GE|2＝4＋1＝5，∴EF＝.
答案：C
5．解析：利用VA
PBC＝VP
ABC可求得点P到平面ABC的距离为.
答案：
6．解析：VB1 ABC1＝VA BB1C1，
VA BB1C1＝×AB＝，
∴VB1 ABC1＝·h，
＝AB·＝，∴h＝.
答案：
7．解析：建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0)，A(1，－1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，E，
∴＝(0,1,2)，＝.
设平面EDC1的法向量为n＝(x，y,1)，
∴
∴n可取为，∴点B到平面EDC1的距离为d＝＝＝.
答案：
8．解：建立如图所示的空间直角坐标系，
在Rt△B1BC中，BB1＝1，∠B1CB＝30°，
∴BC＝，B1C＝2，
∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0，，1)，
设n＝(x，y，z)是由C1向平面AB1C所作垂线上的方向单位向量，则n⊥，且n⊥.
即
解得n＝(另一种情况舍去)，
∴·n＝(－1，，0)·＝－，
则d＝|·n|＝＝为所求的距离．
9．(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)，＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，
∴＝＋，∴∥平面PFB.
又∵DE平面PFB，∴DE∥平面PFB.
(2)解：∵DE∥平面PFB，
∴E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离．
设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
令x＝2，得y＝－1，z＝1.
∴n＝(2，－1,1)，＝(－1,0,0)，
∴D到平面PFB的距离为d＝＝＝，
即点E到平面PFB的距离为.
