1.3.1
推出与充分条件、必要条件
自我小测
1．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
3．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos
2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知α，β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ.p：a与b无公共点；q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
7．a＝0是直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行的__________条件．
8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件．
9．设p：关于x的不等式a1x2＋b1x＋c1＞0与a2x2＋b2x＋c2＞0的解集相同，q：＝＝，则q是p的__________条件．
10．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
11．设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析p：a＞2，且b＞1是q：两根α，β均大于1的什么条件．
12．若方程x2－mx＋3m－2＝0的两根x1，x2满足：1＜x1＜8,1＜x2＜8，求实数m的取值范围．
参考答案
1．解析：因为x2＋(y－2)2＝0，即x＝0，且y＝2，所以x(y－2)＝0.反之x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，所以x2＋(y－2)2＝0不一定成立．
答案：A
2．解析：函数f(x)的对称轴为x＝－，于是－＝1m＝－2.
答案：A
3．解析：由α＝＋2kπ(k∈Z)可得到cos
2α＝.
由cos
2α＝，得2α＝2kπ±(k∈Z)，
所以α＝kπ±(k∈Z)．
由cos
2α＝不一定得到α＝＋2kπ(k∈Z)，故选A.
答案：A
4．解析：l1与l2平行的充要条件为a×2＝2×1，且a×4≠－1×1，得a＝1，故选C.
答案：C
5．解析：α∥βα，β无公共点a，b无公共点；a，b无公共点不能推出α，β无公共点，即不能推出α∥β，则p是q的必要不充分条件．
答案：B
6．答案：C
7．解析：判定直线与直线平行的必要条件时要分a＝0与a≠0两种情况．
(1)因为a＝0，所以l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0.
所以l1∥l2，即a＝0l1∥l2；
(2)若l1∥l2，
当a≠0时，l1：y＝x－，l2：y＝x－，
所以＝，无解．
当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.
答案：充要
8．解析：a＞0，c＜0b2－4ac＞0函数f(x)有两个零点；函数f(x)有两个零点b2－4ac＞0a＞0，c＜0，故“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
9．解析：条件判定时，不一定非是充分或必要条件，因此情况有4种．
当＝＝＝－1，即a1＝－a2，b1＝－b2，c1＝－c2时，a1x2＋b1x＋c1＞0a2x2＋b2x＋c2＜0，所以解集不同，即qp；
当a1＝a2＝0时，b1＝2，c1＝4，b2＝4，c2＝8，解集相同，但无意义，即pq.
答案：既不充分也不必要
10．分析：先化简集合，然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“BA”，得关于a的不等式，求解即可．
解：p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}＝{x|x＞－1或x＜－3}，q：B＝{x||x|＜a}，
因为p是q的必要不充分条件，
所以BA.
当a≤0时，B＝，满足BA；
当a＞0时，B＝{x|－a＜x＜a}，要使BA，只需－a≥－1，此时0＜a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
11．解：由韦达定理，得α＋β＝a，αβ＝b.
先看由q是否推出p，因为α＞1，且β＞1，
所以a＝α＋β＞2，b＝αβ＞1，即由qp；
再看由p是否推出q，不妨取α＝4，β＝，a＝α＋β＝4＋＞2，b＝αβ＝4×＝2＞1，但q不成立，即pq.
所以a＞2，且b＞1是α＞1，且β＞1的必要不充分条件．
12．解：令f(x)＝x2－mx＋3m－2.
由题意，根的分布的图象如图中的抛物线①所示，则f(x)满足：图象与x轴有交点，所以Δ≥0.
又由图象可知f(1)＞0，且f(8)＞0；而仅满足这些，原方程的两根不一定在1到8之间，如图中的抛物线②.因此还必须有对称轴x＝落在1到8之间．而反过来，满足“Δ≥0，且f(1)＞0，f(8)＞0,1＜＜8”的抛物线与x轴必有交点且交点在1到8之间．
所以方程f(x)＝0的两根在1到8之间的充要条件是eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4(3m－2)≥0，,f(1)＝2m－1>0，,f(8)＝62－5m>0，,1<<8，))
即eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(m≥6＋2或m≤6－2，,m>，,m<，,2
故所求的m的取值范围是6＋2≤m＜.第一章常用逻辑用语
单元检测
(时间：90分钟，满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列命题：
(1)有的四边形是菱形；(2)有的三角形是等边三角形；(3)无限不循环小数是有理数；(4)
x∈R，x＞1；(5)0是最小的自然数．
其中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．设p，q是两个命题，则命题“p∨q”为真的充要条件是( )
A．p，q中至少有一个为真
B．p，q中至少有一个为假
C．p，q中有且只有一个为真
D．p为真，q为假
3．已知p：{1}{0,1}，q：{1}∈{1,2,3}，由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“”中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
4．命题p：x∈R，x＋6＞0，则是( )
A．x∈R，x＋6≥0
B．x∈R，x＋6≤0
C．x∈R，x＋6≥0
D．x∈R，x＋6≤0
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．“”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知p是r的充分条件，q是r的必要条件，那么p是q的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．(2010·四川高考，文5)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
9．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x＝3”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题
D．命题p：x∈R，使x2＋x＋1＜0，则：x∈R，均有x2＋x＋1≥0
10．下列命题中，真命题是( )
A．m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．“函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴交于负半轴”的充要条件是__________．
12．命题“存在x∈R，使得x2－3x＋10＝0”的否定是__________．
13．若命题p：x∈R，x2＋2x＋3＞0，则：__________.
14．在一次射击训练中，某战士连续射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，用p，q及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，)表示下列命题：
两次都击中目标可表示为：__________；
恰好一次击中目标可表示为：__________.
15．(2011·山东潍坊质检)下列四个命题：
①命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a＝0，则ab≠0”；
②若命题：p：x∈R，x2＋x＋1＜0，则：x∈R，x2＋x＋1≥0；
③若命题“”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
④命题“若0＜a＜1，则”是真命题．
其中正确命题的序号是__________(把所有正确的命题序号都填上)．
三、解答题(本大题共2个小题，共25分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(10分)给出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0都有实根；
(2)q：x∈{三角形}，x是等边三角形．
17．(15分)已知p：A＝{x||x－2|≤4}，q：B＝{x|(x－1－m)(x－1＋m)≤0}(m＞0)，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
参考答案
1.
答案：B (1)(2)(5)是真命题；无限不循环小数是无理数，故(3)是假命题；(4)显然是假命题．
2.
答案：A
3.
答案：B
4.
答案：D
5.
答案：B 由幂函数的图象知，x＞0时，图象在第一象限，不在第四象限，故原命题正确，其逆否命题也正确；逆命题：“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题，例如：函数y＝x＋1的图象不过第四象限，但它不是幂函数，故其逆命题是假命题，从而其否命题也是假命题．
6.
答案：A ∵当时，Δ＝1－4m＞0，
∴x2＋x＋m＝0有实数解；
当一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解时，Δ＝1－4m≥0，解得.
故“”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．
7.
答案：A 由已知prq，故p是q的充分条件．
8.
答案：A 函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为，
于是＝1m＝－2.
9.
答案：C 根据逆否命题的定义知选项A正确；x＝3|x|＞0，但|x|＞0x＝3，故知选项B正确；“p且q”为假命题，则至少有一个为假命题，故知选项C不正确；由命题p的否定知选项D正确．
10.
答案：A 当m＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故选A.
11.
答案：c＜0
12.
答案：对任意x∈R，都有x2－3x＋10≠0
13.
答案：x∈R，x2＋2x＋3≤0
14.
答案：p∧q (p∧q)∨(p∧q) “两次都击中目标”即“第一次击中目标且第二次也击中目标”，故“两次都击中目标”可表示为p∧q；
“恰好一次击中目标”即“第一次击中目标且第二次没击中，或第一次没击中且第二次击中”，
故“恰好一次击中目标”可表示为(p∧q)∨(p∧q)．
15.
答案：②③
16.
答案：分析：先分析命题所含的量词，明确命题是全称命题还是存在性命题，然后加以否定；可利用“p”与“
p”的真假性相反判断真假．
解：p：m∈R，方程x2＋mx－1＝0无实根．(假命题)
q：x∈{三角形}，x不是等边三角形．(假命题)
17.
答案：分析：化简集合，实行等价转化即将条件“
p是
q的必要不充分条件即p是q的充分不必要条件”转化为“AB”，然后利用集合关系列不等式组解决问题．
解：p：A＝{x||x－2|≤4}＝{x|－2≤x≤6}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}(m＞0)，
∵p是q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
利用数轴分析可得两等号不能同时成立，
解得m≥5.故m的取值范围为[5，＋∞)．1.1.2
量词
课后导练
基础达标
1.下列存在性命题中假命题的个数是(
)
①有的实数是无限不循环小数
②有些三角形不是等腰三角形
③有的菱形是正方形
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：A
2.下列存在性命题中真命题的个数是（
）
①x∈R,x≤0
②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数
③x∈{x|x是无理数},x2是无理数
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：D
3.下列全称命题中假命题的个数是（
）
①2x+1是整数(x∈R)
②对所有的x∈R,x＞3
③对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
4.下列命题为存在性命题的是（
）
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
答案：D
5.下列命题正确的是(
)
A.对于实数q<1,方程x2+2x+q=0有实数根
B.有一个实数大于0或小于0
C.不存在一个实数其相反数是它本身
D.四边形的两条对角线互相垂直，则四边形为正方形
答案：A
6.（1）命题“x∈R，x2-x+3>0”的否定是________________.
（2）命题“x∈R，x2+1<0”的否定是________________.
答案：(1)x∈R,x2-x+3≤0
(2)x∈R,x2+1≥0
7.命题“有理数的平方仍是有理数”用符号“”写成全称命题为________________.
答案：x∈{有理数}，x2∈{有理数}
8.(预测题)下列叙述正确的命题序号是________________.
①x,y∈N,如果+y2=0,则x=0且y=0
②设P(x):2x>x2,则P(4)是真命题
③“每一个向量都有方向”是命题
④若P(x):sinx>cosx为真命题，则x∈(,)
答案：①③
9.用符号“”与“”表示下面含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0;
(2)存在一对实数,使2x+3y+3＜0成立;
(3)勾股定理.
解：（1）x∈R,x2≥0.
(2)(x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3＜0.
(3)a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，a2+b2=c2.
10.命题“三角形的三个内角中，至少有一个角不小于60°”是全称命题吗？若是，判断它的真假.
解析:是全称命题，且为真命题，可用反证法证明：在△ABC中，假设三角内角均小于60
°，则∠A+∠B+∠C＜180
°，这与内角和定理矛盾.
综合运用
11.命题“存在实数k<0，使方程x2+(2k+1)x+k=0必有两相异实根”是存在性命题吗？若是，判断其真假.
解析：是存在性命题，且是真命题，因为任意实数k，Δ=（2k+1）2-4k=4k2+1＞0恒成立，方程恒有两根，且k＜0时，两根之积为负，所以必有两相异实根.
12.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a、b、c,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立
解:∵f(x)的图象过点（-1，0），
∴a-b+c=0.
∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，
即1≤a+b+c≤1,
故有a+b+c=1.
∴b=,c=-a.
∴f(x)=ax2+x+-a.
故应x≤ax2+x+-a≤对一切x∈R成立.
即
恒成立
∴a=.
∴c=-a=.
∴存在一组常数：a=,b=,c=.
使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立.
13.在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a)
(x+a)<1对x∈R成立.求a的取值范围？
解析：（x-a）(x+a)＜1
?(x-a)［1-(x+a)］＜1
?-x2+x+a2-a-1＜0
?x2-x-a2+a+1＞0.
∵不等式对任意实数x成立，
∴Δ=1-4（-a2+a+1）＜0,
∴-＜a＜.
拓展探究
14.已知ａ>0,函数ｆ(x)=ａx-bx2.
(1)当b>0时,若对任意x∈R都有ｆ(x)≤1,证明ａ≤2；
(2)当b>1时,证明对任意x∈［0,1］,|ｆ(x)|≤1的充要条件是b-1≤ａ≤2.
证明：（1）依题意设对任意x∈R都有f(x)≤1,
∵f(x)=-b(x-)2+,
∴f()=≤1.
∵a＞0,b＞0,
∴a≤2.
(2)必要性：对任意x∈［0,1］.
|f(x)|≤1f(x)≥-1,
∴f(1)≥-1,
即a-b≥-1.
∴a≥b-1.
对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1f(x)≤1,
∵b＞1.
可以推出f()≤1,
即a·-1≤1.
∴a≤2.
∴b-1≤a≤2.
充分性：∵b＞1,a≥b-1,对任意x∈［0,1］,
可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即ax-bx2≥-1,
∵b＞1,a≤2,对任意x∈［0，1］，可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1,
即ax-bx2≤1.
∴-1≤f(x)≤1.
综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2.1.3.2
命题的四种形式
自我小测
1．有下列命题：
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“若a＞1，则ax2－2(a＋1)x＋a－3＞0的解集为R”的逆否命题；
③“若a＋是有理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中真命题是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
2．命题a的逆命题是b，命题b的否命题是c，则a与c互为( )
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．不能确定
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
4．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若整数a能被2整除，则a是偶数”的逆命题是：“若整数a是偶数，则a能被2整除”
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
6．命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是__________．
7．命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0”的逆命题是________________________________________________________________________．
8．有下列四个命题：
①如果xy＝1，则lg
x＋lg
y＝0；
②“如果sin
α＋cos
α＝，则α是第一象限角”的否命题；
③“如果b≤0，则方程x2－2bx＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④“如果A∪B＝B，则AB”的逆命题．
其中是真命题的有__________(填序号)．
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；
(2)若a＝2，则函数y＝ax是增函数．
10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若命题“A∩B＝”是假命题，求实数m的取值范围．
参考答案
1．解析：①中命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，是真命题；②中，由ax2－2(a＋1)x＋a－3＞0的解集为R知，a＞0，且[－2(a＋1)]2－4a(a－3)＜0，而满足条件的a不存在，故②中命题为假命题．③中命题为真命题．
答案：B
2．解析：设命题a是“若p，则q”，则命题b为“若q，则p”，命题c为“若q，则p”．故a与c互为逆否命题．
答案：C
3．答案：B
4．答案：C
5．解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数．显然此命题为假．又因为逆命题与否命题同真假，所以否命题为假，故选C.
答案：C
6．答案：到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上
7．答案：已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空解集
8．解析：命题①显然错误，例如：x＝－1，y＝－1时，lg
x＋lg
y无意义．对于②，其否命题为“如果sin
α＋cos
α≠，则α不是第一象限角”，因当α＝60°时，sin
α＋cos
α＝eq
\f(1＋,2)≠，故知其否命题为假命题．对于命题③，因当b≤0时，Δ＝4b2－4b≥0恒成立，故方程x2－2bx＋b＝0有实数根．由原命题与其逆否命题真假相同，可知命题③是真命题．对于④，其逆命题为“若AB，则A∪B＝B”，显然为真．
答案：③④
9．分析：依据四种命题的定义分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题．“0或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．
解：(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)
否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)
逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)
(2)逆命题：若函数y＝ax是增函数，则a＝2；(假)
否命题：若a≠2，则函数y＝ax不是增函数；(假)
逆否命题：若函数y＝ax不是增函数，则a≠2.(真)
10．解：因为A∩B＝是假命题，
所以A∩B≠，设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，
则U＝eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(meq
\b\lc\|\rc\}(eq
\a\vs4\al\co1(m≤－1，或m≥)))).
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2都非负，则有eq
\b\lc\{\rc\
()
即eq
\b\lc\{\rc\
()
解得m≥.
又集合eq
\b\lc\{\rc\}(eq
\a\vs4\al\co1(meq
\b\lc\|\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(m≥))))关于全集U的补集是{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．第一章常用逻辑用语
测评A
(基础过关卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列命题：
(1)有的四边形是菱形；(2)有的三角形是等边三角形；(3)无限不循环小数是有理数；(4)
x∈R，x＞1；(5)0是最小的自然数．
其中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是( )
A．若a＞b，则a－1≤b－1
B．若a≥b，则a－1＜b－1
C．若a≤b，则a－1≤b－1
D．若a＜b，则a－1＜b－1
3．已知p：{1}{0,1}，q：{1}∈{1,2,3}，由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”
“
p”中，真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
4．已知命题p：x∈R，x＋6＞0，则p是( )
A．x∈R，x＋6≥0
B．x∈R，x＋6≤0
C．x∈R，x＋6≥0
D．x∈R，x＋6≤0
5．已知命题p：x∈R，使tan
x＝1；命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．其中正确的是( )
A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
6．下列命题正确的是( )
A．“a＝b”是“a·c＝b·c”的必要条件
B．a，l是直线，α是平面，a平面α，则“l∥a”是“l∥α”的充要条件
C．在△ABC中，“a＞b”是“sin
A＞sin
B”的充分不必要条件
D．“x∈R，x2＋≥m”恒成立的充要条件是m≤3
7．对下列命题的否定错误的是( )
A．p：负数的平方是正数；p：负数的平方不是正数
B．p：至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；p：任意一个整数，它是合数或质数
C．p：x∈N，x3＞x2；p：x∈N，x3≤x2
D．p：2既是偶数又是质数；p：2不是偶数或不是质数
8．在锐角△ABC中，“A＝”是“sin
A＝eq
\f(,2)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．下列命题是真命题的是( )
A．π是有理数
B．sin
30°＝eq
\f(,2)
C．若a＞b＞0，则a2＞b2
D．垂直于同一个平面的两个平面互相平行
10．已知p：|x－a|＜4；q：(x－2)(x－3)＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为( )
A．a≤－1或a≥6
B．a≠－1或a≥6
C．－1≤a≤6
D．－1＜a＜6
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．“函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴交于负半轴”的充要条件是__________．
12．已知命题p：x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是__________．
13．已知命题p：x∈R，x2＋≤2，命题q是命题p的否定，则命题p，q，p∧q，p∨q中是真命题的是__________．
14．命题p：x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定p是__________．
15．下列结论：
①若命题p：
x∈R，sin
x＝1；命题q：x∈R，x2－x＋1＞0，则命题“p∧p”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．
其中正确结论的序号为__________．(把你认为正确的命题序号都填上)
三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(6分)给出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0都有实根；
(2)q：x∈{六边形}，x是正六边形．
17．(6分)已知p：A＝{x||x－2|≤4}，q：B＝{x|(x－1－m)·(x－1＋m)≤0}(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．(6分)已知命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
求当甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围．
19．(7分)(1)是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件？
参考答案
1．解析：(1)(2)(5)是真命题；无限不循环小数是无理数，故(3)是假命题；(4)显然是假命题．
答案：B
2．解析：因为命题“若p，则q”的否命题既否定条件，又否定结论，所以命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是“若a≤b，则a－1≤b－1”．
答案：C
3．答案：B
4．答案：D
5．解析：命题p：x∈R，使tan
x＝1正确，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也正确，所以①正确，“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题，故应选D.
答案：D
6．解析：应对各选项逐一进行判断．A中，由a＝ba·c＝b·c，但a·c＝b·ca＝b.例如，当a与b不共线时，若a⊥c，b⊥c，有a·c＝b·c，但a≠b，故“a＝b”是“a·c＝b·c”的充分不必要条件；B中，“l∥a”是“l∥α”的既不充分也不必要条件；C中，“a＞b”是“sin
A＞sin
B”的充要条件．故A，B，C均不正确．D中，因为x2＋＝x2＋1＋－1≥3，故x2＋≥m恒成立的充要条件是m≤3.
答案：D
7．解析：A中p应为：有些负数的平方不是正数．
答案：A
8．解析：因为0＜A＜，所以当sin
A＝eq
\f(,2)时，A＝，所以在锐角△ABC中，“A＝”是“sin
A＝eq
\f(,2)”的充要条件．
答案：C
9．解析：π是无理数，故A是假命题；sin
30°＝，故B是假命题；显然C是真命题；垂直于同一个平面的两个平面也可能相交，故D是假命题．故选C.
答案：C
10．解析：可将条件关系转化为集合间的包含关系求a的范围．p：|x－a|＜4a－4＜x＜a＋4，记为A＝{x|a－4＜x＜a＋4}，q：(x－2)(x－3)＜02＜x＜3，记为B＝{x|2＜x＜3}，因为p是q的充分不必要条件，由命题间的关系有q是p的充分不必要条件，转化为集合关系即为BA，
所以eq
\b\lc\{\rc\
()且等号不能同时成立，得－1≤a≤6.
答案：C
11．答案：c＜0
12．解析：因为命题p是假命题，故p是真命题，即对x∈R，x2＋2ax＋a＞0恒成立，故Δ＝4a2－4a＜0.解得0＜a＜1.
答案：0＜a＜1
13．解析：应结合逻辑知识，先判断命题p，q的真假，对命题p：
x∈R，x2＋≤2，如x＝1时，命题成立，故p为真命题．又q与命题p的否定p真假相同，故q为假命题．结合真值表知p∧q为假命题，p∨q为真命题．
答案：p，p∨q
14．答案：
x∈R，f(x)＜m
15．解析：①中命题p为真，q为真，故p为假，则p∧q为假，所以①正确；②当a＝b＝0时，l1⊥l2，故②不正确；③正确，逆否命题为条件、结论全否定再变换位置，故①③正确．
答案：①③
16．分析：先分析命题所含的量词，明确命题是全称命题还是存在性命题，然后加以否定；可利用“p”与“p”真假性相反判断命题的真假．
解：p：m∈R，方程x2＋mx－1＝0无实根．(假命题)
q：x∈{六边形}，x不是正六边形．(假命题)
17．分析：化简集合，实行等价转化即将条件“p是q的必要不充分条件即p是q的充分不必要条件”转化为“AB”，然后利用集合关系列不等式组解决问题．
解：p：A＝{x||x－2|≤4}＝{x|－2≤x≤6}，
q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}(m＞0)，
因为p是q的必要不充分条件，
所以p是q的充分不必要条件．
利用数轴分析可得
eq
\b\lc\{\rc\
()两等号不能同时成立，
解得m≥5.故m的取值范围为[5，＋∞)．
18．解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
即a＞或a＜－1.①
乙命题为真时，2a2－a＞1，
即a＞1或a＜－.②
甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假，即＜a≤1；甲假乙真，即－1≤a＜－，
所以甲、乙中有且只有一个是真命题时，a的取值范围为eq
\b\lc\{\rc\}(eq
\a\vs4\al\co1(aeq
\b\lc\|\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(19．解：(1)欲使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件，则只要eq
\b\lc\{\rc\}(eq
\a\vs4\al\co1(xeq
\b\lc\|\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x<－)))){x|x＜－1或x＞3}，则只要－≤－1，即m≥2，故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件．
(2)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件，则只要eq
\b\lc\{\rc\}(eq
\a\vs4\al\co1(xeq
\b\lc\|\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x<－)))) {x|x＜－1或x＞3}，这是不可能的，故不存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件．1.1
命题与量词
课后训练
1．下列语句不是命题的是( )
A．一个正数不是质数就是合数
B．大角所对的边较大，小角所对的边较小
C．请把门关上
D．若x∈R，则x2＋x＋2＞0
2．下列语句是命题的是( )
A．|x＋a|
B．{0}∈N
C．元素与集合
D．真子集
3．命题“存在实数x，使x＋1＜0”可写成( )
A．若x是实数，则x＋1＜0
B．x∈R，x＋1＜0
C．x∈R，x＋1＜0
D．以上都不正确
4．对命题“一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数”改写错误的是( )
A．所有的一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
B．任意一个一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
C．任意一次函数f(x)＝ax＋b，f(x)是单调函数
D．有的一次函数f(x)不是单调函数
5．下列命题中的假命题是( )
A．x∈R，lg
x＝0
B．x∈R，tan
x＝1
C．x∈R，x3＞0
D．x∈R,2x＞0
6．下列语句是命题的是__________．
①地球上有四大洋；②－2∈N；③π∈R；④同垂直于一条直线的两个平面平行．
7．命题①奇函数的图象关于原点对称；②有些三角形是等腰三角形；③x∈R,2x＋1是奇数；④至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；⑤实数的平方大于零．其中是全称命题的是__________．
8．下列命题中，是真命题的为__________．
①5能整除15；②不存在实数x，使得x2－x＋2＜0；③对任意实数x，均有x－1＜x；④方程x2＋3x＋3＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为空集．
9．判断下列命题的真假．
(1)a∈R，函数y＝logax是单调函数；
(2)a∈{向量}，使a·b＝0.
10．求使命题为真命题的x的取值范围．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：B
3.
答案：B 由存在性命题的表示形式可知选项B正确．
4.
答案：D 由全称命题的表示形式可知选项D错误．
5.
答案：C 对于选项A，当x＝1时，lg
x＝0，为真命题；
对于选项B，当时，tan
x＝1，为真命题；
对于选项C，当x＜0时，x3＜0，为假命题；
对于选项D，由指数函数性质知，x∈R,2x＞0为真命题，故选C.
6.
答案：①②③④ 所给语句均能判断真假，故都是命题．
7.
答案：①③④ 根据全称命题的定义知，①③④是全称命题．
8.
答案：①②③⑤ 对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ＜0，故x2－x＋2＜0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ＜0，故方程x2＋3x＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，因分子恒为正，分母大于0，故商不可能小于0，即解集为空集，所以该命题是真命题．
9.
答案：分析：根据全称命题与存在性命题的真假法则判断．
解：(1)由于1∈R，当a＝1时，y＝logax无意义，因此命题“a∈R，函数y＝logax是单调函数”是假命题；
(2)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．
10.
答案：分析：要使命题p(x)：为真命题，就是要使x的取值满足，只需解不等式即可．
解：由得x(2x＋1)≥0且2x＋1≠0，
解得x≥0或，故x的取值范围为.1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）
课后导练
基础达标
1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是（
）
A.简单命题
B.“p或q”形式的命题
C.“p且q”形式的命题
D.“非p”形式的复合命题
答案：C
2.如果命题“p∨q”与命题“p”都是真命题,那么（
）
A.命题p不一定是假命题
B.命题q一定为真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题p与命题q的真假相同
答案：B
3.已知全集S＝R，AS,BS,若命题p:∈(A∪B),则命题“p”是（
）
A.A
B.∈B
C.A∩B
D.∈(A)∩(B)
答案：D
4.命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是（
）
A.原函数与反函数的图象关于y=-x对称
B.原函数不与反函数的图象关于y=x对称
C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称
D.存在原函数与反函数的图象关于y=x对称
答案：C
5.命题p:a2+b2＜0(a、b∈R);命题q:a2+b2≥0(a、b∈R),下列结论正确的是（
）
A.“p∨q”为真
B.“p∧q”为真
C.“p”为假
D.“q”为真
答案：A
6．已知命题p、q,则“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的__________条件.
答案：必要不充分
7.命题p:0不是自然数，命题q:π是无理数，在命题“p∧q”“p∨q”“p”“q”中,假命题是______________，真命题是_______________.
答案：“p∧q”“ q”“p∨q”“ p”
8.若命题p:不等式ax+b>0的解集为{x|x>-ba},命题q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a答案： p
9.已知命题p:|x2-x|≥6,q:x∈Z且“p∧q”与“q”同时为假命题.求x的值.
解析：∵“p∧q”为假,
∴p、q至少有一命题为假.又“ q”为假,
∴q为真,从而可知p为假.
由p为假且q为真,
可得|x2-x|＜6且x∈Z,
即
∴
∴.
故x的值为-1、0、1、2.
10.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)3=2;
(2)5＞4;
(3)对任意实数x,x＞0;
(4)每个正方形都是平行四边形.
解：(1)的否定:3≠2,真命题.
(2)的否定:5≤4,假命题.
(3)的否定:存在实数x，使x≤0,真命题.
(4)的否定:存在正方形不是平行四边形,假命题.
综合运用
11.命题p:若a、b∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充要条件.
命题q:函数y=的定义域是(-∞,-1］∪［3,+∞).试判断p与q的真假性，及“p∨q”“p∧q”的真假性.
解析:命题p的判断可举反例:a=2,b=-3,
则|a|+|b|＞1,
但|a+b|=1,故命题p是假命题.
命题q:由函数解析式知|x-1|-2≥0,
解得x≤-1或x≥3,所以命题q真.
∴p∨q为真，p∧q为假.
拓展探究
12．已知命题p:不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R,命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
解：由不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R,
由绝对值的几何意义知m＜1；
由f(x)=-(5-2m)x是减函数知5-2m＞1,
∴m＜2.
又p∧q为假,p∨q为真,
∴p、q一真一假.若p真q假,可得m无解;
若p假q真,可得1≤m＜2.
由以上两种情况可得,
实数m的取值范围是1≤m＜2.
13．判断下列命题的真假，并写出命题的否定：
（1）有一个实数a，使不等式x2-(a+1)x+a>0成立；
（2）对任意实数x,不等式|x+2|≤0成立.
解析：（1）Δ=（a+1）2-4a=(a-1)2，任取a≠1有Δ＞0，则不等式成立.
∴命题为真命题.它的否定为：对任意实数x，使
x2-(a+1)x+a≤0成立.
(2)存在实数x=1,使|x+2|＞0，所以命题是假命题.它的否定为：存在实数x，使|x+2|＞0.1.3.1
推出与充分条件、必要条件
课后训练
1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
3．直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的( )条件．
A．充分不必要
B．既不充分也不必要
C．必要不充分
D．充要
5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
6．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的__________条件．
8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件．
9．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
10．已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－2x＋m＝0，(1)
x2＋2mx＋m2－m－1＝0，(2)
求方程(1)、(2)的根都是整数的充要条件．
参考答案
1.
答案：B 由题意知甲乙丙丁，故命题丁是命题甲的必要不充分条件．
2.
答案：C
3.
答案：B 当k1＝k2时，直线l1，l2可能平行也可能重合；当l1∥l2时，k1，k2一定相等．故选B.
4.
答案：A
5.
答案：B 由m为平面α内一条直线，m⊥β，得α⊥β，必要性成立；由m为平面α内一条直线，α⊥β，不能推出m⊥β，充分性不成立．故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
6.
答案：C 因{an}是首项大于零的等比数列，故a1＜a2数列{an}是递增数列，数列{an}是递增数列a1＜a2，所以“a1＜a2”是数列{an}是递增数列的充要条件．
7.
答案：必要不充分
8.
答案：充分不必要 a＞0，c＜0b2－4ac＞0函数f(x)有两个零点；函数f(x)有两个零点b2－4ac＞0a＞0，c＜0，故“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的充分不必要条件．
9.
答案：分析：先化简集合，然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“BA”，最后利用数轴分析，得关于a的不等式解决问题．
解：p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}＝{x|x＞－1或x＜－3}，B＝{x||x|＜a}，∵p是q的必要不充分条件，∴BA.
当a≤0时，B＝ ，满足BA；
当a＞0时，B＝{x|－a＜x＜a}，要使BA，只需－a≥－1，此时0＜a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
10.
答案：分析：方程(1)(2)的根都是整数即方程(1)(2)有实数根且为整数，因此先求出方程(1)(2)有实数根的充要条件，得到m的取值范围，由m∈Z，再逐一验证．
解：方程(1)有实根Δ＝4－4m≥0，即m≤1，方程(2)有实根Δ＝(2m)2－4(m2－m－1)＝4m＋4≥0，即m≥－1，所以(1)(2)同时有实数根－1≤m≤1.
因为m∈Z，所以m＝－1,0,1.
当m＝－1时，方程(1)无整数根；
当m＝0时，方程(1)(2)都有整数根；
当m＝1时，方程(2)无整数根．
综上所述，方程(1)、(2)的根都是整数的充要条件是m＝0.1.1.1
命题
课后导练
基础达标
1.下列语句中能作为命题的一句是（
）
A.3比5大
B.太阳和月亮
C.高一年级的学生
D.x2+y2=0
答案：A
2.下列语句中不是命题的是（
）
A.台湾是中国的
B.两军相遇勇者胜
C.上海是中国最大的城市
D.连结A、B两点
答案：D
3.若A、B是两个集合,则下列命题中的真命题是（
）
A.如果AB,那么A∩B=A
B.如果A∩B=A,那么(A)∩B=
C.如果AB,那么A∪B=A
D.如果A∪B=A,那么AB
答案：A
4.下列命题中是假命题的是(
)
A.若a·b=0，则a⊥b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若ac2>bc2,则a>b
D.a2+b2≥2ab
答案：B
5.设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①(a·b)c=(c·a)b;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·c)
a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中,是真命题的有…（
）
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
答案：D
6.命题“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”，条件p:
____________,结论q:
____________;是____________命题.（填“真”“假”）
答案：一元二次方程ax2-bx-c=0
有两个不相等的实根
假
7.设A、B为两个集合.下列四个命题：①AB对任意x∈A,有x∈B;②ABA∩B=;③ABAB;④AB存在x∈A，使得xB.
其中真命题的序号是____________.（把符合要求的命题的序号都填上）
答案：④
8.设U为全集,下面三个命题中真命题的序号为____________.
①若A∩B=,则(A)∪(B)=U
②若A∪B=U,则(A)∩(B)=
③若A∪B=,则A=B=
答案：①②③
9.将下列命题改写成“若p，则q”的形式,并判断其真假.
(1)正n边形（n≥3）的n个内角全相等；
(2)末位数字是0或5的整数，能被5整除;
(3)方程x2-x+1=0有两个实根；
（4）“6是12和24的公约数”.
答案：(1)若n(n≥3)边形是正多边形，则它的n个内角全相等，真命题.
（2）若一个整数的末位数字是0或5，则能被5整除，真命题.
（3）若一个方程是x2-x+1=0，则它有两个实数根，假命题.
（4）若6是12和24的约数，则是12和24的公约数，真命题.
10.设有两个命题:p:不等式|x|+|x-1|≥m的解集为R;q:函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.若这两个命题中有且只有一个真命题,求实数m的范围.
解析：若p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1，若q为真命题，则7-3m＞1，所以m＜2.若p真q假，则m∈.若p假q真，则1＜m＜2.
综上所述，1＜m＜2.
综合运用
11.（1）已知“ax2+bx+1=0有解”是真命题，求a、b满足的条件.
（2）已知“若x1”是假命题，求a满足的条件.
解析：(1)当a=0时，b≠0；
当a≠0时，b2-4a≥0.
(2)由题意知:当x1＜x2＜0时，＜.
所以a＜0.
12.把下列命题改写为“若p,则q”的形式；
（1）负数的平方是正数；
（2）菱形的两条对角线互相垂直；
（3）方程x2-2x+1=0的解是x=1.
解析：（1）若一个数是负数，则它的平方是正数.
（2）若一个四边形是菱形，则它的两条对角线互相垂直.
（3）若x2-2x+1=0，则x=1.
13.判断下列命题真假并说明理由:
（1）合数一定是偶数；
（2）设a·b>0,且a+b>0则a>0且b>0.
解析：（1）假命题，例如9是合数，但不是偶数.
（2）真命题，∵a·b＞0，
∴a、b同号，又a+b＞0，
∴a、b不能同负，故a、b只能同正.
拓展探究
14.某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是诚实的，也可能是虚伪的,现知道以下两项事实：
①这100人中，至少有1名是诚实的；
②其中任何两人中，至少有1名是虚伪的.
请判断有多少名诚实的？多少名虚伪的？
解析：既然参加会议的人至少有一名是诚实的，就让这名诚实都与其余99人中的每人组成一对，根据“任何两人中至少有一名是虚伪的”可以推知剩下的99人都是虚伪的.
结论：1名诚实的，99名虚伪的.1.2.2“非”（否定）
自我小测
1．命题“x＞0，都有x2－x≤0”的否定是( )
A．x＞0，使得x2－x≤0
B．x＞0，使得x2－x＞0
C．x＞0，使得x2－x＞0
D．x≤0，使得x2－x＞0
2．关于命题p：“x∈R，x2＋1≠0”的叙述正确的是( )
A．p：x∈R，x2＋1≠0
B．p：x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题，p是假命题
D．p是假命题，p是真命题
3．命题：存在n∈N,2n＞1
000的否定是( )
A．任意n∈N,2n≤1
000
B．任意n∈N,2n＞1
000
C．存在n∈N,2n≤1
000
D．存在n∈N,2n＜1
000
4．设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos
x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真
B．q为假
C．p∧q为假
D．p∨q为真
5．已知全集S＝R，AS，BS，若命题p：∈(A∪B)，则命题“p”是( )
A.A
B.∈SB
C.(A∩B)
D.∈(SA)∩(SB)
6．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是__________．
7．已知命题p：“x∈R，x＞”，命题p的否定为命题p，则命题p是“_______
______”；命题p是______________命题(填“真”或“假”)．
8．若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若p是假命题，则a的取值范围是__________．
9．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2≤0.
10．指出下列命题的结构形式及构成它们的简单命题，并判断它们的真假：
(1)正多边形既有内切圆又有外接圆；
(2)1－x2≤1；
(3)A(A∪B)．
参考答案
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：A
4．解析：因函数y＝sin
2x的最小正周期T＝＝π，故p为假命题．
因y＝cos
x的图象的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，故q也为假命题．所以p∧q为假．
答案：C
5．解析：p：∈(A∪B)，p：∈S(A∪B)＝(SA)∩(SB)．
答案：D
6．答案：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
7．解析：利用存在性命题的否定形式写出p为：x∈R，x≤.当x＞1时，x＞，故知p为假命题．
答案：x∈R，x≤ 假
8．解析：因为p为假命题，所以p为真命题，故－(a－1)≥4，所以a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
9．解：(1)p：x∈R，x2－x＋＜0.因为x2－x＋＝eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(x－))2≥0，所以p为假命题．
(2)q：存在正方形不是矩形，假命题．
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2＞0.
因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以r为真命题．
10．分析：可依据命题的几种结构形式(“p∨q”“p∧q”“
p”)直接写出它们的结构形式以及构成它们的简单命题；然后根据真值表判断其真假．
解：它们的结构形式依次为：(1)p∧q，(2)p∨q，(3)p.
构成它们的简单命题依次为：(1)“正多边形有内切圆”和“正多边形有外接圆”．(2)“1－x2＜1”和“1－x2＝1”．(3)A(A∪B)．
其真假依次为：(1)真；(2)真；(3)假．1.2.2“非”（否定）
课后训练
1．命题“2不是质数”的构成形式是( )
A．p∧q
B．p∨q
C．
D．以上答案都不正确
2．若命题“”与“p∧q”都是假命题，则( )
A．命题p，q都是真命题
B．命题p，q都是假命题
C．命题p是真命题，命题q是假命题
D．命题q是真命题，命题p是假命题
3．a，b不全为0是指( )
A．a，b全不为0
B．a，b中至多有一个为0
C．a，b中只有一个不为0
D．a，b中至少有一个为0
4．命题“菱形的对角线互相垂直”的否定是__________．
5．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是__________．
6．命题“所有人都晨练”的否定是__________．
7．已知命题p：“x∈R，”，命题p的否定为命题q，则命题q是“________”；命题q是________命题(填“真”或“假”)．
8．命题p：0不是自然数，命题是无理数，则在命题(1)“p∧q”；(2)“p∨q”；(3)“”；(4)“”中，真命题的序号是__________，假命题的序号是__________．
9．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)集合A是集合A∪B的子集；
(2)T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sin
x.
10．指出下列命题的结构形式以及构成它们的简单命题，并判断它们的真假：
(1)q：1－x2≤1；
(2)s：A(A∪B)．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：C
3.
答案：B
4.
答案：有些菱形的对角线不互相垂直
5.
答案：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
6.
答案：有的人不晨练
7.
答案：x∈R， 假 利用存在性命题的否定形式写出为：x∈R，.当x＞1时，，故知为假．
8.
答案：(2)(3) (1)(4) 先判断命题p，q的真假，可知p假q真；再利用含有逻辑联结词的命题的真假判断方法(真值表)进行判断，其中(2)(3)为真，(1)(4)为假．
9.
答案：分析：(1)利用命题的否定形式写出其否定，根据集合A∪B的定义可判断其真假；
(2)利用全称命题的否定形式写出其否定，再利用正弦函数的周期判断其真假．
解：它们的否定及真假如下：
(1)集合A不是集合A∪B的子集；(假)
(2)T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)≠sin
x．(假)
10.
答案：分析：可依据命题的几种结构形式(“p∨q”，“p∧q”，“p”)直接写出它们的结构形式以及构成它们的简单命题；然后根据真值表判断其真假．
解：它们的结构形式依次为：(1)p∨q，(2)pp.
构成它们的简单命题依次为：
(1)“1－x2＜1”和“1－x2＝1”．(2)A(A∪B)．
其真假依次为：(1)真；(2)假．第一章常用逻辑用语
测评B
(高考体验卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
3．下列叙述中正确的是( )
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
4．设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q
B．p∧q
C．(p)∧(q)
D．p∨(q)
5．(安徽高考)命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A．x∈R，|x|＋x2＜0
B．x∈R，|x|＋x2≤0
C．x0∈R，|x0|＋x20＜0
D．x0∈R，|x0|＋x20≥0
6．(安徽高考)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．(2012辽宁高考)已知命题p：x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则p是( )
A．x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
D．x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
9．(课标全国Ⅰ高考)已知命题p：x∈R,2x＜3x；命题q：x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q
B．p∧q
C．p∧q
D．p∧q
10．(山东高考)给定两个命题p，q.若p是q的必要而不充分条件，则p是q的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．(山东东营一中高三月考改编)已知p：|x|＜1，q：x2＋x－6＜0，则q是p的__________条件．
12．(山东淄博淄川一中月考改编)已知命题p：x∈R，使eq
\f(x2＋3,)＝2；命题q：“a＝2”是“函数y＝x2－ax＋3在区间[1，＋∞)上单调递增”的充分但不必要条件．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“(p)∧q”是真命题；③命题“(p)∨q”是真命题；④命题“p∨(p)”是假命题．
其中正确说法的序号是__________．
13．(湖北高考改编)命题“x∈R，x2≠x”的否定是__________．
14．(重庆高考改编)已知命题
p：对任意x∈R，总有|x|≥0；
q：x＝1是方程x＋2＝0的根．
则下列命题为假命题的是__________．
①p∧q
②p∧q
③p∧q
④p∧q
15．(山东淄博高三入学检测)已知p：－1≤x≤5，q：|x|＜a(a＞0)，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(6分)(山东烟台高三模拟)设p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；q：不等式2x2＋x＞2＋ax，对x∈(－∞，－1)恒成立，如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．
17．(6分)(广东珠海第一学期期末)若“x满足：2x＋p＜0”是“x满足：x2－x－2＞0”的充分条件，求实数p的取值范围．
18．(6分)(山东微山一中期末)已知p：≤0，q：(x－m)(x－m＋3)≥0，m∈R，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．(7分)(江西赣州四所重点中学期末联考)设集合A＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，关于x的不等式(x－2a)(x＋a)＞0的解集为B(其中a＜0)．
(1)求集合B；
(2)设p：x∈A，q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
参考答案
1．解析：当a＝0，b＝－1时，a＞b成立，但a2＝0，b2＝1，a2＞b2不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件．
反之，当a＝－1，b＝0时，a2＝1，b2＝0，即a2＞b2成立，但a＞b不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．
综上，“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，应选D.
答案：D
2．解析：由＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an，
所以当＜an时，必有an＋1＜an，
则{an}是递减数列；
反之，若{an}是递减数列，必有an＋1＜an，
从而有＜an.
所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均为真命题，故选A.
答案：A
3．解析：对于A项，当a＜0时不成立．
对于B项，当b＝0时，“a＞c”推不出“ab2＞cb2”．
对于C项，否定应为存在x∈R，x2＜0，故C不正确．
对于D项，由线面垂直的性质可得α∥β成立．故选D.
答案：D
4．解析：对命题p中的a与c可能为共线向量，故命题p为假命题．由a，b，c为非零向量，可知命题q为真命题．故p∨q为真命题．故选A.
答案：A
5．解析：全称命题的否定是特称命题，否定结论，所以选C.
答案：C
6．解析：由(2x－1)x＝0，得x＝或x＝0.
故(2x－1)x＝0是x＝0的必要不充分条件．
答案：B
7．解析：点(2，－1)在直线l：x＋y－1＝0上，而直线l上的点的坐标不一定为(2，－1)，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件．
答案：A
8．解析：全称命题的否定为存在性命题，即
若p为“x∈M，q(x)”，
则p为“x∈M，q(x)”，故选C.
答案：C
9．解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，
因为h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，
所以x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．
所以x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.
答案：B
10．解析：由题意：qp，pq，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p是q的充分而不必要条件．故选A.
答案：A
11．解析：因为p：|x|＜1，即－1＜x＜1，而q：x2＋x－6＜0中，－3＜x＜2，所以q是p的必要不充分条件．
答案：必要不充分
12．解析：对于命题p：eq
\f(x2＋3,)＝2，则x2＋3＝2，两边平方得x4＋6x2＋9＝4x2＋8，即x4＋2x2＋1＝0，(x2＋1)2＝0不成立，故而p为假；对于命题q，若a＝2，则函数y＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上单调递增成立；反之不成立，故而q为真，所以p∧q为假，(p)∧q为真，所以正确说法序号为②③④.
答案：②③④
13．解析：全称命题“x∈M，p(x)”的否定为存在性命题“x∈M，p(x)”．
答案：x∈R，x2＝x
14．解析：由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，所以p为假，q为真．所以p∧q为真，p∧q为假，p∧q为假，p∧q为假．
答案：②③④
15．解析：易知q：－a＜x＜a.
又因为p是q的充分不必要条件，
所以eq
\b\lc\{\rc\
()
所以a＞5.
答案：a＞5
16．解：若p真，则Δ＜0，且a＞0，故a＞2；
若q真，则a＞2x－＋1，对x∈(－∞，－1)恒成立，y＝2x－＋1在(－∞，－1]上是增函数，ymin＝1，此时x＝－1，故a≥1.
“p∨q”为真，“p∧q”为假，等价于p，q一真一假，故1≤a≤2.
17．解：由2x＋p＜0，得x＜－，令A＝eq
\b\lc\{\rc\}(eq
\a\vs4\al\co1(xeq
\b\lc\|\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(x<－)))).
由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，
令B＝{x|x＞2，或x＜－1}．
由题意，知AB，即－≤－1，
即p≥2.
故实数p的取值范围是[2，＋∞)．
18．解：对于p：≤0，得eq
\b\lc\{\rc\
()
所以－1＜x≤1.
对于q：(x－m)(x－m＋3)≥0，m∈R，
得x≥m或x≤m－3.
又因为p是q的充分不必要条件，
所以pq，qp.
所以m－3≥1或m≤－1，
所以m≥4或m≤－1.
故实数m的取值范围是m≥4或m≤－1.
19．解：(1)因为a＜0，所以2a＜－a，所以B＝{x|x＜2a，或x＞－a}＝(－∞，2a)∪(－a，＋∞)．
(2)由(1)知p：RA＝(－2,3)，q：RB＝[2a，－a]．
由p是q的充分不必要条件知RARB，
故eq
\b\lc\{\rc\
()
解得a≤－3，
所以a的取值范围为(－∞，－3]．1.2.1“且”与“或”
自我小测
1．下列命题中是“p∧q”形式的命题是( )
A．28是5的倍数或是7的倍数
B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根
C．函数y＝ax(a＞1)是增函数
D．函数y＝ln
x是减函数
2．下列命题为假命题的是( )
A．3是7或9的约数
B．两向量平行，其所在直线平行或重合
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．若x2＋y2＝0，则x＝0，且y＝0
3．如果命题“p∨q”是真命题，命题“p∧q”是假命题，那么( )
A．命题p，q都是假命题
B．命题p，q都是真命题
C．命题p，q有且只有一个是真命题
D．以上答案都不正确
4．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的点P(x，y)可能是( )
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
5．已知命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a＞0，且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，那么函数y＝f(x)的图象关于点(3,0)对称，则( )
A．“p∧q”为真
B．“p∨q”为假
C．p真q假
D．p假q真
6．“3≥3”是__________形式的命题，它是__________命题(填“真”或“假”)．
7．设命题p：3≥2，q：3∈[2，＋∞)，则命题“p∨q”“p∧q”中，真命题是__________．
8．命题p：等腰三角形有两条边相等；q：等腰三角形有两个角相等．由命题p，q构成的“且”命题是__________________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
9．已知命题p：x∈[1,2]，x2－m≥0，命题q：x∈R，x2＋mx＋1＞0，若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
10．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同交点．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．
参考答案
1．解析：选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．
答案：B
2．解析：选项A是由“3是7的约数”与“3是9的约数”构成的“或”命题，其中“3是9的约数”为真，故是真命题；B为真命题；C是由“菱形的对角线相等”与“菱形的对角线互相垂直”构成的“且”命题，其中，“菱形的对角线相等”为假，故是假命题；D为真命题．
答案：C
3．解析：因命题“p∨q”是真命题，故p，q中至少有一个是真命题，因命题“p∧q”是假命题，故p，q中至少有一个是假命题，所以p，q中有且只有一个是真命题．
答案：C
4．解析：由eq
\b\lc\{\rc\
()解得eq
\b\lc\{\rc\
()或eq
\b\lc\{\rc\
()
答案：C
5．解析：命题p显然为真，而对命题q，当函数y＝f(x－3)关于原点对称时，函数y＝f(x)的图象应关于点(－3,0)对称，所以为假．
答案：C
6．答案：p∨q 真
7．答案：p∨q，p∧q
8．答案：等腰三角形有两个角相等且有两条边相等 真
9．解：因为p∧q为真命题，所以命题p，q都为真命题．
由p是真命题，得m≤x2在[1,2]上恒成立．
因为x∈[1,2]，所以m≤1.
由q是真命题，得Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2.
所以－2＜m≤1，
即所求实数m的取值范围是(－2,1]．
10．解：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a＞1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于相异两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p真q假或p假q真．
①若p真，且q假，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，且曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于相异两点，则a∈eq
\b\lc\[\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，1)).
②若p假，且q真，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，且曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于相异两点，则a∈eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，＋∞)).
综上所述，a的取值范围为eq
\b\lc\[\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，1))∪eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，＋∞)).1.2.1“且”与“或”
课后训练
1．下列命题中不是“p且q”形式的命题是( )
A．函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象一定过(0,1)
B．3和－3是方程x2－9＝0的实数根
C．1不是质数且不是合数
D．正方形的四条边相等且四个角相等
2．下列命题中是“p∧q”形式的命题是( )
A．28是5的倍数或是7的倍数
B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根
C．函数y＝ax(a＞1)是增函数
D．函数y＝ln
x是减函数
3．下列说法与x2＋y2＝0含义相同的是( )
A．x＝0且y＝0
B．x＝0或y＝0
C．x≠0且y≠0
D．x≠0或y≠0
4．以下判断正确的是( )
A．命题“p∨q”是真命题时，命题p一定是真命题
B．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题
C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是真命题时，命题“p∨q”一定是真命题
5．如果命题“p∨q”是真命题，命题“p∧q”是假命题，那么( )
A．命题p，q都是假命题
B．命题p，q都是真命题
C．命题p，q有且只有一个是真命题
D．以上答案都不正确
6．命题“n∈R，n≤n”的构成形式是__________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
7．命题“所有正多边形都有一个内切圆和一个外接圆”的构成形式是__________，组成该命题的两个命题是____________________，____________________.
8．命题p：等腰三角形有两条边相等；q：等腰三角形有两个角相等．命题p，q构成的“且”命题是____________________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
9．已知c＞0且c≠1，设命题p：函数y＝x2＋cx＋1的图象与x轴有两个交点；q：当x＞1时，函数y＝logcx＞0恒成立．如果p∨q为假，求c的取值范围．
10．已知命题p：函数y＝x2＋mx＋1在区间(－1，＋∞)上是单调增函数；q：函数y＝4x2＋4(m－2)＋1的函数值恒大于零．若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．
参考答案
1.
答案：A
2.
答案：B 选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．
3.
答案：A 因两个非负数的和等于0，故每个加数都为0，即x2＝0且y2＝0，所以x＝0且y＝0.
4.
答案：D 利用真值表可以判断选项D正确．
5.
答案：C 因命题“p∨q”是真命题，故p，q中至少有一个是真命题，因命题“p∧q”是假命题，故p，q中至少有一个假命题，所以p，q中有且只有一个是真命题．
6.
答案：p∨q 真
7.
答案：p∧q 所有正多边形都有一个内切圆 所有正多边形都有一个外接圆
8.
答案：等腰三角形有两个角相等且有两条边相等 真
9.
分析：先由p，q为真，分别求出c的范围；再由p∨q为假知p，q都假；然后列出关于c的不等式组来解决．
解：若p为真，则Δ＝c2－4＞0(c＞0且c≠1)，
所以c＞2.
若q为真，则c＞1.
因为p∨q为假，所以p，q都为假，
当p为假时，0＜c≤2且c≠1，
当q为假时，0＜c＜1，
所以当p，q都为假时，0＜c＜1，即c的取值范围为(0,1)．
10.
答案：分析：先由p，q为真，分别求出m的范围；再由p∧q为假，p∨q为真知，命题p，q一真一假；然后分“p真q假”和“p假q真”两种情况列出关于m的不等式组来解决．
解：若p为真，则，所以m≥2；
若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16＜0，解得1＜m＜3，
因为p∧q为假，p∨q为真，所以p，q一真一假．
当p真q假时，得到解得m≥3；
当p假q真时，得到解得1＜m＜2.
综上，m的取值范围是{m|m≥3或1＜m＜2}．1.3.2
命题的四种形式
课后导练
整合提升
基础达标
1.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s.则s是p的逆命题t的(
)
A.逆否命题
B.逆命题
C.否命题
D.原命题
答案：C
2.当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是(
)
A.若q，则p
B.若p，则q
C.若q，则p
D.p且q
答案：C
3.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中(
)
A.真命题的个数一定是奇数
B.真命题的个数一定是偶数
C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D.以上判断均不正确
答案：B
4.有下列四个命题，其中真命题是(
)
①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题
②“相似三角形的周长相等”的否命题
③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题
④若“A∪B=B，则AB”的逆否命题
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
答案：C
5.用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是（
）
A.假设是有理数
B.假设是有理数
C.假设或是有理数
D.假设＋是有理数
答案：D
6.命题“若a>1,则a>0”的逆命题是___________，逆否命题是______________.
答案：若a＞0,则a＞1
若a≤0,则a≤1
7.命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且___________的三棱锥是正三棱锥.
答案：顶点到底面三角形三个顶点距离相等
8.已知a,b都是实数，命题“若a+b>0,则a,b不全为0”的逆否命题是____________.(用“若p则q”的形式写出这一逆否命题)
答案：若a,b全为0，则a+b≤0.
9.写出命题“若a2>b2,则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断这四种命题的真假.
解析：先根据四种命题的定义写出相应的命题，然后通过举反例判断相应命题为假命题，或说明相应命题为真命题，因为不等式的性质到目前还比较生疏，所以在判断时有一定难度.
解：原命题：若a2＞b2,则a＞b.
逆命题：若a＞b,则a2＞b2.
否命题：若a2≤b2,则a≤b.
逆否命题：若a≤b,则a2≤b2.
取a=-1,b=0,有a2＞b2，但a＞b不成立，所以原命题为假，取a=-2,b=-3，有a＞b，但a2＞b2不成立，所以逆命题为假.
根据原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假的性质，这四种命题全为假命题.
10.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
（1）m>时，mx2-x+1=0无实根;
(2)当abc=0时，a=0或b=0或c=0.
解析:改造原命题成“若p则q”形式，再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题.在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律.
（1）原命题：“若m＞，则mx2-x+1=0无实根”，是真命题；
逆命题：“若mx2-x+1=0无实根，则m＞”是真命题；
否命题：“若m≤，则mx2-x+1=0有实根”是真命题；
逆否命题：“若mx2-x+1=0有实根，则m≤”是真命题.
（2）原命题：“若abc=0,则a=0或b=0或c=0”是真命题；
逆命题：“若a=0或b=0或c=0，则abc=0”是真命题；
否命题：“若abc≠0,则a≠0且b≠0且c≠0”是真命题；（注意：“a=0或b=0或c=0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”）
逆否命题：“若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0，”是真命题.
综合运用
11.证明：如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.
证明:如右图，不妨设直线a、b、l中，a∥b,l与a是异面直线，且l与b不相交.
假设l与b不是异面直线，则l与b共面，即l与b可能相交，也可能平行.
若l与b相交，这与已知矛盾.
若l与b平行，即l∥b,又a∥b，得l∥a,这与l与a异面相矛盾.
综上可知,l与b是异面直线.
12.求证两条相交直线有且只有一个交点.
证明：假设结论不成立，即有两种可能.
①无交点;②不止一个交点.
①若直线a、b无交点，那么a∥b或异面这与已知矛盾;②若a、b不止一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A、B就有两条直线，这与“经过两点只有一条直线相矛盾，综上所述，两条相交直线有且只有一个交点”.
13.判断命题“若c>0则y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点”的逆否命题的真假.
解析：∵c＞0,
∴Δ=1+4c＞0，
∴y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点，即命题为真.
∴其逆否命题也为真.
拓展探究
14.已知函数f(x)=ax+(a>1).
(1)证明：函数f(x)在（-1，+∞）上为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
解析：（1）任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,＞1,且ax1＞0.
∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)＞0.
又∵x1+1＞0,x2+1＞0.
∴
=
=＞0.
于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+＞0.
故函数f(x)在（-1，+∞）上为增函数.
(2)证法一：设存在x0＜0(x0≠-1)，满足f(x0)=0,则ax0=,且0＜ax0＜1.
∴0＜＜1,即＜x0＜2.与假设x0＜0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
证法二：设存在x0＜0(x0≠-1)，满足f(x0)=0.
①若-1＜x0＜0,则＜-2,ax0＜1.
∴f(x0)＜-1与f(x0)=0矛盾.
②若x0＜-1,则＞0,ax0＞0,
∴f(x0)＞0与f(x0)=0矛盾.
故方程f(x)=0没有负数根.1.1
命题与量词
自我小测
1．下列语句不是命题的是( )
A．一个正数不是质数就是合数
B．大角所对的边较大，小角所对的边较小
C．请把门关上
D．若x∈R，则x2＋x＋2＞0
2．下列4个命题中，设U为全集，则假命题是( )
A．若A∩B＝，则(UA)∪(UB)＝U
B．若A∩B＝，则A＝B＝
C．若A∪B＝U，则(UA)∩(UB)＝
D．若A∪B＝，则A＝B＝
3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ.给出下列4个命题，其中真命题的个数是( )
①若l∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.
A．1
B．2
C．3
D．4
4．对命题“一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数”改写错误的是( )
A．所有的一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
B．任意一个一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
C．任意一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数
D．有的一次函数f(x)不是单调函数
5．下列命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．
其中全称命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
6．命题：①奇函数的图象关于原点对称；②有些三角形是等腰三角形；③x∈R,2x＋1是奇数；④实数的平方大于零．其中是全称命题的是__________(填序号)．
7．下列命题中，是真命题的是__________(填序号)．
①5能整除15；②不存在实数x，使得x2－x＋2＜0；③对任意实数x，均有x－1＜x；④方程x2＋3x＋3＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式＜0的解集为空集．
8．已知p(x)：x2－2x－m＞0，如果p(1)不成立，p(2)成立，则实数m的取值范围是__________．
9．用符号“”与“”表示下列命题，并判断其真假．
(1)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；
(2)存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0.
10．求使命题p(x)：≥0为真命题的x的取值范围．
参考答案
1．答案：C
2．解析：A∩B＝只说明A与B无公共元素，如U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{3,4}，此时A与B都不是，故B错误．
答案：B
3．解析：①中，l∥β，mβ，l与m平行或异面，故①错；
②中，l⊥m，mβ，无法确定l与β的位置关系，故α与β不一定平行，所以②错误；
③中，l与m可平行、相交、异面，故③错误；
④中，l∥m，l⊥α，则m⊥α，又因为mβ，所以α⊥β，正确．
答案：A
4．解析：由全称命题的表示形式可知，选项D错误．
答案：D
5．答案：B
6．解析：根据全称命题的定义知，①③④是全称命题．
答案：①③④
7．解析：对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ＜0，故x2－x＋2＜0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ＜0，故方程x2＋3x＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，因分子恒为正，分母大于0，故商不可能小于0，即解集为空集，所以该命题是真命题．
答案：①②③⑤
8．解析：若p(1)不成立，则1－2－m≤0，所以m≥－1，
若p(2)成立，则22－2×2－m＞0，所以m＜0，
故－1≤m＜0.
答案：[－1,0)
9．解：(1)
m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．
当m＝－1时，方程无实根，故该命题为假命题．
(2)x∈R，使x2＋x＋1≤0.
因为x2＋x＋1＝eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(x＋))2＋＞0，故该命题为假命题．
10．分析：要使命题p(x)：≥0为真命题，就是要使x的取值满足≥0，只需解不等式≥0即可．
解：由≥0得x(2x＋1)≥0，且2x＋1≠0，
解得x≥0或x＜－，
故x的取值范围为eq
\b\lc\{\rc\
(eq
\a\vs4\al\co1(xeq
\b\lc\|\rc\}(eq
\a\vs4\al\co1(x≥0，或x＜－)))).1.3.1
推出与充分条件、必要条件
课后导练
基础达标
1.设集合M={x|0)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
2.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是（
）
A.x>1
B.x<1
C.x>3
D.x<3
答案：A
3.条件p:“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，条件q:“直线l的斜率为-2”，则p是q的(
)
A.充分不必要条件
B.充要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案：B
4.对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是…(
)
A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
答案：B
5.“cosα＝”是“α=2kπ+,k∈Z”的（
）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
6.函数y=x2+bx+c,x∈［0,+∞)是单调函数的充要条件是______________.
答案：b≥0
7.设p、r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的____________条件,r是t的__________条件.
答案：充分
充要
8．“tanα=1”是α=的______________.
答案：必要不充分条件
9．已知:p:|5x-2|>3;q:>0,则p是q的什么条件.
解：p:|5x-2|＞3,
所以5x-2＞3，或5x-2＜-3,
所以x＞1,或x＜-,
所以 p:-≤x≤1.
因为q:＞0.
所以x2+4x-5＞0.
即x＞1,或x＜-5.
所以 q:-5≤x≤1(如下图所示)
所以 p是 q的充分非必要条件.
综合运用
10.求函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件.
解析：若a2+b2=0,
即a=b=0,此时
f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x|x|=-f(x),
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件.
又若f(x)=x|x+a|+b为奇函数，
即f(-x)=-f(x),
∴(-x)|-x+a|+b=-x|x+a|-b,则必有a=b=0,
即a2+b2=0,
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充要条件.
11.设p：x2-x-20>0,q:<0,则p是q的什么条件？
解析:p:x2-x-20＞0,
化简p:x＞5或x＜-4.
q:＜0,
化简q:-1＜x＜1或x＜-2或x＞2.
作数轴易得pq但qp.
∴p是q的充分不必要条件.
拓展探究
12.设a、b∈R，已知命题p：a=b;命题q:（）2≤,则p是q成立的什么条件？
解析：充分性：当a=b时，
=a,
即()2=a2.
又==a2,
∴()2=.
故当a=b时，()2≤.
必要性：当()2≤,
展开得-+≥0,即(a-b)2≥0a=b.
∴p:a=b;q:()2≤,p是q的充分不必要条件.1.3.2
命题的四种形式
课后训练
1．命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题是( )
A．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B都不是锐角
B．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
C．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B必有一钝角
D．在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，则∠C＝90°
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
3．下列说法正确的是( )
A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为假
B．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为真
C．一个命题的否命题为真，则它的逆否命题为真
D．一个命题的逆否命题为真，则它的逆命题为真
4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
5．下列命题中，是真命题的为( )
A．“若二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，则b2－4ac＞0”的逆否命题
B．“正方形的四条边相等”的逆命题
C．“若x2－4＝0，则x＝2”的否命题
D．“对顶角相等”的逆命题
6．命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是__________．
7．命题“若x，y是偶数，则x＋y是偶数(x∈Z，y∈Z)”的逆否命题是__________，它是__________命题(填“真”或“假”)．
8．有下列四个命题：
①如果xy＝1，则lg
x＋lg
y＝0；
②“如果，则α是第一象限角”的否命题；
③“如果b≤0，则方程x2－2bx＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④“如果A∪B＝B，则AB”的逆命题．
其中是真命题的有__________．
9．写出命题“正n(n≥3)边形的n个内角全相等”的否定和否命题．
10．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；
(2)若a＝2，则函数y＝ax是增函数．
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：B
3.
答案：B 由四种命题的关系可知，一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系，根据互为逆否的两个命题是等效的(同真同假)，可得选项B正确．
4.
答案：B
5.
答案：C 对于A项，该命题是假命题，故其逆否命题也为假；对于B项的逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”是假命题；对于C项的否命题为“若x2－4≠0，则x≠2”为真命题；对于D项的逆命题为“相等的角是对顶角”为假命题．
6.
答案：到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上
7.
答案：若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数(x∈Z，y∈Z) 真
8.
答案：③④ 命题①显然错误，例如：x＝－1，y＝－1时，lg
x＋lg
y无意义．对于②，其否命题为“如果，则α不是第一象限角”，因当α＝60°时，，故知其否命题为假．对于命题③，因当b≤0时，Δ＝4b2－4b≥0恒成立，故方程x2－2bx＋b＝0有实数根．由原命题与其逆否命题真假相同，知命题③的逆否命题是真命题．对于④，其逆命题为“若AB，则A∪B＝B”，显然为真．
9.
答案：分析：对该命题的结论加以否定得到其否定为：正n边形的n个内角不全相等．对该命题的结论和条件分别加以否定得到其否命题为：不是正n边形的n个内角不全相等．
解：命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．
10.
答案：分析：依据四种命题的定义分别写出逆命题、否命题、逆否命题．“0或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．
解：(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)
否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)
逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)
(2)逆命题：若函数y＝ax是增函数，则a＝2；(假)
否命题：若a≠2，则函数y＝ax不是增函数；(假)
逆否命题：若函数y＝ax不是增函数，则a≠2.(真)