阶段质量检测(四) 模块综合检测
[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]
题 号
一
二
总分
15
16
17
18
19
20
得 分
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把正确答案填在题中的横线上)
1．(安徽高考改编)命题“存在实数x，使x>1”的否定是___________________________．
2．命题：“若x2<1，则－1
3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为________________．
4．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于________．
5．(重庆高考)设P为直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.
6．设f(x)＝x2(2－x)，则f(x)的单调递增区间是________．
7．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____________________．
8．(北京高考改编)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是________．
9．(山东高考改编)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的________条件．
10．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是________．
11．(山东高考改编)抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________.
12．函数f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为________．
13．某名牌电动车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．
14．若方程＋＝1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜4且t≠；
②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜.
其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)过直角坐标平面xOy中的抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．
(1)用p表示线段AB的长；
(2)若·＝－3，求这个抛物线的方程．
16．(本小题满分14分)已知命题p：方程ax2＋ax－2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．
17.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln
x－f′(1)x＋ln，g(x)＝－－f(x)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设函数h(x)＝x2－mx＋4，若存在x1∈(0,1]，对任意的x2∈[1,2]，总有g(x1)≥h(x2)成立，求实数m的取值范围．
18．(本小题满分16分)某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2≤m≤3)，设每个水杯的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．
(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式；
(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值．
19．(本小题满分16分)(浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．
20．(本小题满分16分)已知点是椭圆E：＋＝1(a>b>0)上一点，离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆E交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．
答
案
阶段质量检测(四) 模块综合检测
1.对任意实数x，都有x≤1
2．解析：逆否命题就是逆命题的条件和结论的否定．
答案：若x≤－1或x≥1，则x2≥1
3．解析：由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.
答案：y＝x－1
4．解析：抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，焦点F到抛物线准线的距离等于4.
答案：4
5．解析：由PF1⊥x轴且P点在双曲线的左支上，可得P.又因为点P在直线y＝x上，所以－＝×(－c)，整理得c＝3b，根据c2＝a2＋b2得a＝2b，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
答案：
6．解析：f(x)＝－x3＋2x2，
∴f′(x)＝－3x2＋4x>0时，得0答案：
7．解析：设动圆圆心为P，半径为R，则P到(1,0)的距离等于P到直线x＝－1的距离，那么点P的轨迹是以(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，即方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
8．解析：依题意，e＝，e2＝>2，得1＋m>2，
所以m>1.
答案：m>1
9．解析：由q 綈p且綈p /
q可得p 綈q且綈q /
p，所以p是綈q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
10．解析：令f′(x)＝x2－4x＋3<0，得1∴f(x)的单调递减区间为(1,3)．
令1故f(x＋1)的减区间为(0,2)，
答案：(0,2)
11．解析：由已知得抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为＋＝1.双曲线的渐近线方程为y＝±x.对函数y＝x2求导得，y′＝x.设M(x0，y0)，则x0＝，即x0＝p，代入抛物线方程得，y0＝p.由于点M在直线＋＝1上，所以p＋×＝1，解得p＝＝.
答案：
12．解析：f′(x)＝2ax＋4，∵f(x)在[0,2]上最大值为f(2)，∴f′(x)>0在(0,2)上恒成立．
∴∴a≥－1.
答案：[－1，＋∞)
13．解析：∵y′＝x2－39x－40，令y′＝0，
解得x＝40或x＝－1(舍)．
当x>40时，y′>0；当0所以当x＝40时，y最小．
答案：40
14．解析：若为椭圆，则即1＜t＜4，且t≠；
若为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，即4＜t或t＜1；
当t＝时，表示圆，若C表示长轴在x轴上的椭圆，
则1＜t＜，故①②正确．
答案：①②
15．解：(1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程是y＝x－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，∴AB＝x1＋x2＋p＝4p.
(2)由(1)知x1x2＝，x1＋x2＝3p，
∴y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，
∴·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，
解得p2＝4，∴p＝2.
∴这个抛物线的方程为y2＝4x.
16．解：p：方程ax2＋ax－2＝0在[－1,1]上只有一个解，令f(x)＝ax2＋ax－2，则f(－1)·f(1)<0或f(1)＝0或Δ＝0 a≥1或a＝－8.
q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
则△＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
若p∨q为假命题，则p假且q假．
当p为假时，a<1且a≠－8；
q为假时，则a≠0且a≠2.
综上，知实数a的取值范围是a<1且a≠0，a≠－8.
17．解：(1)∵f(x)＝ln
x－f′(1)x＋ln，
∴f′(x)＝－f′(1)，∴f′(1)＝1－f′(1)，
∴f′(1)＝，
∴f(x)＝ln
x－＋ln
(x>0)，
故f′(x)＝－＝.
∴当00；当x>2时，f′(x)<0.
∴f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)．
(2)g(x)＝－－ln
x＋－ln
＝2x－－ln
x－ln
，
则g′(x)＝2－＋＝，
而2x2－x＋2＝22＋>0，故在(0,1]上g′(x)>0，即函数g(x)在(0,1]上单调递增，
∴g(x)max＝g(1)＝ln
2－1.
而“存在x1∈(0,1]，对任意的x2∈[1,2]，总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于“g(x)在(0,1]上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值”．
而h(x)在[1,2]上的最大值为h(1)，h(2)中的最大者，
则应有
∴
∴
∴m≥6－ln
2.
故实数m的取值范围为[6－ln
2，＋∞)．
18．解：(1)设日销售量为s，则s＝，因为x＝40时，s＝10，故10＝，则k＝10e40，
所以s＝，故y＝(x－30－m)(35≤x≤41)．
(2)由(1)知y′＝10e40·＝10e40·.
令y′＝10e40·＝0，则x＝31＋m.
当2≤m≤3时，y′<0，所以y在35≤x≤41上为减函数，
所以x＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e5(5－m)元．
19．解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，
则f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.
又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8.
(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．
f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝a.
当a>1时，
列表：
x
0
(0,1)
1
(1，a)
a
(a,2a)
2a
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
?
极大值3a－1
?
极小值a2(3－a)
?
4a3
比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得
g(a)＝
当a<－1时，
列表：
x
0
(0,1)
1
(1，－2a)
－2a
f′(x)
－
0
＋
f(x)
0
?
极小值3a－1
?
－28a3－24a2
得g(a)＝3a－1.
综上所述，f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为
g(a)＝
20．解：(1)由题意知，＝，所以＝，a2＝b2.
又＋＝1，解得a2＝4，b2＝3.
因此椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y得，
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.
由题意知Δ＝64k2m2－16(3＋4k2)(m2－3)
＝16(12k2－3m2＋9)>0，
即4k2－m2＋3>0.
又x1＋x2＝－，x1x2＝
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝.
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以·＝＝k2，
即(4k2－3)m2＝0，∵m≠0，∴k2＝.
由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ>0，
得0设d为点O到直线l的距离，
则S△OPQ＝d|PQ|
＝×
|x1－x2|
＝|m|
又因为m2≠3，
所以S△OPQ＝<×＝.
所以△OPQ面积的取值范围为(0，)．阶段质量检测(三) 导数及其应用
[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]
题 号
一
二
总分
15
16
17
18
19
20
得 分
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)
1．在Δx无限趋近于0时，无限趋近于1，则f′(x0)＝________.
2．若函数f(x)＝xsin
x＋cos
x，则f′＝________.
3．设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.
4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a＝________，b＝________.
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
6．用长14.8
m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的底面的一边比另一边长0.5
m，那么容器的最大容积为________m3.
7．已知使函数y＝x3＋ax2－a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a的值为________．
8．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.
9．已知函数f(x)＝x3－3x2＋3＋a的极大值为5，则实数a＝________.
10．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是________________________________．
11．函数y＝1＋的单调递增区间是______________________________________．
12．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln
x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.
13．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，则a1＋a2＋…＋a99＝________.
14．若函数f(x)＝2x2－ln
x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1；
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．
16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率；
(2)求函数的单调区间与极值．
17.(本小题满分14分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3
700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x－5
000(单位：万元)．
(1)求利润函数P(x)；(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
18．(本小题满分16分)已知x＝1是函数f(x)＝ax3－x2＋(a＋1)x＋5的一个极值点．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x－k)ex，
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
答
案
阶段质量检测(三) 导数及其应用
1．解析：由已知得Δx无限趋近于0时，无限趋近于－1，则f′(x0)＝－1.
答案：－1
2．解析：∵f(x)＝xsin
x＋cos
x，
∴f′(x)＝(xsin
x＋cos
x)′
＝(xsin
x)′＋(cos
x)′
＝sin
x＋xcos
x－sin
x
＝xcos
x.
∴f′＝cos＝0.
答案：0
3．解析：f′(x)＝ln
x＋x·＝ln
x＋1，
由f′(x0)＝2，得ln
x0＋1＝2.
∴x0＝e.
答案：e
4．解析：∵y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a＝1.
又(0，b)在x－y＋1＝0上，故0－b＋1＝0，得b＝1.
答案：1 1
5．解析：由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a2－12≤0 －≤a≤，所以实数a的取值范围是[－，]．
答案：[－，]
6．解析：设容器底面短边长为x
m，则另一边长为
(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.
由3.2－2x>0，x>0，得0设容器的容积为y
m3，
则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，
y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，
令y′＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
从而，定义域(0,1.6)内只有在x＝1处有y′＝0，由题意，若x过小(接近0)或x过大(接近1.6)时，y值很小，因此，当x＝1时，ymax＝1.8，此时高1.2
m，
所以当容器的高为1.2
m时，容积最大，最大容积为1.8
m3.
答案：1.8
7．解析：∵y′＝3x2＋2ax，由3x2＋2ax＝0，得x＝0或x＝－.又当x＝0时，y＝0，∴－＝0.∴a＝0.经验证a＝0符合题意．
答案：0
8．解析：f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，∴f(x)在[－3，－2]，[2,3]上单调递增，在[－2,2]上单调递减．f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，故M＝24，m＝－8，则M－m＝32.
答案：32
9．解析：∵f′(x)＝3x2－6x；由f′(x)＝0得x＝0或x＝2；由f′(x)>0得x<0或x>2，则f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)；由f′(x)<0得0答案：2
10．解析：设F(x)＝f(x)g(x)，
则F(x)为奇函数，F(0)＝0.
∵x<0时，F′(x)>0，
且F(－3)＝－F(3)
＝－f(3)g(3)＝0，
∴F(x)示意图如图：
当x∈(－∞，－3)或(0,3)时，F(x)<0.
答案：(－∞，－3)∪(0,3)
11．解析：y′＝＝.
令y′>0，得1－ln
x>0，∴0故增区间为(0，e)
答案：(0，e)
12．解析：由f(x)＝2xf′(e)＋ln
x，得f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋ f′(e)＝－.
答案：－
13．解析：由于y′＝n＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝xn＝，∴an＝lg，∴原式＝lg
＋lg＋…＋lg＝lg＝lg＝－2.
答案：－2
14．解析：∵f′(x)＝4x－＝，x>0，∴当0时，f′(x)>0，f(x)为增函数，依题意得∴1≤k<.
答案：
15．解：(1)f′(x)＝2ax－a.
由已知得解得
∴f(x)＝x2－2x＋.
(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
16．解：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m，x＝1＋m，因为m>0，所以1＋m>1－m.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－m)
1－m
(1－m,1＋m)
1＋m
(1＋m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)内为减函数，
在(1－m,1＋m)内为增函数．
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，
且f(1＋m)＝m3＋m2－，
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，
且f(1－m)＝－m3＋m2－.
17．解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)
＝－10x3＋45x2＋3
700x－(460x－5
000)
＝－10x3＋45x2＋3
240x＋5
000(x∈N
，且1≤x≤20)．
(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3
240
＝－30(x－12)(x＋9)，
由P′(x)＝0，得x＝12，x＝－9(舍去)．
当00，P(x)单调递增；
当x>12时，P′(x)<0，P(x)单调递减．
∴当x＝12时，P(x)取得极大值，也为最大值．
∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
18．解：(1)依题意f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，
由f′(1)＝0得a＝1，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－x2＋2x＋5.
(2)曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，
即x3－x2＋2x＋5－2x－m＝0有三个实数根，
令g(x)＝x3－x2＋2x＋5－2x－m＝x3－x2＋5－m，则g(x)有三个零点．
由g′(x)＝x2－3x＝0得x＝0或x＝3.
令g′(x)>0得x<0或x>3；令g′(x)<0得0∴函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．
∴函数在x＝0处取得极大值，在x＝3处取得极小值．
要使g(x)有三个零点，只需解得∴实数m的取值范围为.
19．解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，k－1)
(k－1)
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
－ek－1
?
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k.
当0由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为
f(k－1)＝－ek－1.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
20．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，
即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，
解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，
h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
?
28
?
－4
?
3
由此可知：
当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；
当－3因此，k的取值范围是(－∞，－3]．阶段质量检测(一) 常用逻辑用语
[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]
题 号
一
二
总分
15
16
17
18
19
20
得 分
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)
1．命题：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是____________________________．
2．命题“ x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是_____________________________________．
3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．
4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是________(填所有真命题的序号)．
①(綈p)∨q；②p∧q；③p∨q；④(綈p)∨(綈q)．
5．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是________个．
6．(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的________条件．
7．(湖南高考改编)“18．命题“若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．
9．(辽宁高考改编)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为________．
10．命题p：任意两个等边三角形都是相似的．
①它的否定是_________________________________________________________；
②否命题是_____________________________________________________________．
11．已知命题p：不等式|x－1|>m的解集是R，命题q：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是________．
12．下列结论中正确命题的个数是________．
①命题p：“ x∈R，x2－2≥0”的否定形式为綈p：“ x∈R，x2－2<0”；
②若綈p是q的必要条件，则p是綈q的充分条件；
③“M
>N”是“M>N”的充分不必要条件．
13．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中，选出适当的一种填空：
(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的__________________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上为增函数”的________________．
14．已知命题p：“ x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“ x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a的取值范围为________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；
(2)p：有的素数是偶数；
(3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0；
(4)p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.
16.(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若α＝β，则sin
α＝sin
β；
(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；
(3)已知a，b，c，d都是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
17．(本小题满分14分)已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．
18．(本小题满分16分)设有两个命题：p：关于x的不等式x2＋2x－4－a≥0对一切x∈R恒成立；q：已知a≠0，a≠±1，函数y＝－|a|x在R上是减函数，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．
19．(本小题满分16分)已知p：≤2；q：x2－2x＋1≤m2(m>0)．若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
20．(本小题满分16分)已知命题p：不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2>0的解集是R，命题q：sin
x＋cos
x>m.如果对于任意的x∈R，命题p是真命题且命题q为假命题，求m的范围．
答
案
阶段质量检测(一) 常用逻辑用语
1．若a≠0且b≠0，则ab≠0
2．解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题．
答案： x∈R，x2－2x＋1<0
3．解析：l1与l2平行的充要条件是a(a＋1)＝2×1，且a×4≠1×(－1)，可解得a＝1或a＝－2，故a＝1是l1∥l2的充分不必要条件．
答案：充分不必要
4．解析：命题p真，命题q假，因此綈p假，綈q真，①是假命题，②假命题，③真命题，④真命题．
答案：③④
5．解析：显然①假，②真，对于③，当k<0时，Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，故③为真．
答案：2
6．解析：便宜 没好货，等价于其逆否命题，好货 不便宜，∴“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．解析：设A＝{x|1故A?B，即当x0∈A时，有x0∈B，反之不一定成立．
因此“1答案：充分不必要
8．解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．
又∵它的逆命题若“x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”是真命题，∴它的否命题也是真命题．
答案：4
9．解析：设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列，所以p3为假命题；由于an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．
答案：p1，p4
10．①存在两个等边三角形不相似
②如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似
11．解析：命题p：m<0，命题q：m<2.
∵p与q一真一假，
∴或解得0≤m<2.
答案：[0,2)
12．解析：对于①，易知是正确的；对于②，由綈p是q的必要条件知：q 綈p则p 綈q，即p是綈q的充分条件，正确；对于③，由M>N不能得知()M>()N，因此③是错误的．综上所述，其中正确的命题个数是2.
答案：2
13．解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．
(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上为增函数”的充分不必要条件．
答案：(1)充要条件 (2)充分不必要条件
14．解析：由 x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由 x∈R，x2＋4x＋a＝0，得Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，从而a的取值范围为[e,4]．
答案：[e,4]
15．解：(1)綈p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．綈p为真命题．
(2)綈p：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故綈p为假命题．
(3)綈p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.綈p为真命题．
(4)綈p： x0，y0∈R，x＋y＋2x0－4y0＋5≠0.
綈p为真命题．
16．解：(1)逆命题：若sin
α＝sin
β，则α＝β；
否命题：若α≠β，则sin
α≠sin
β；
逆否命题：若sin
α≠sin
β，则α≠β.
(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；
逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．
(3)逆命题：已知a，b，c，d都是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d；
否定题：已知a，b，c，d都是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d；
逆否命题：已知a，b，c，d都是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.
17．解：由
得即2＜x＜3.
∴q：2＜x＜3.
设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，
∵綈p 綈q，∴q p.∴B A.
即2＜x＜3满足2x2－9x＋a＜0.
设f(x)＝2x2－9x＋a，
要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，
需有即
∴a≤9.
∴实数a的取值范围是{a|a≤9}．
18．解：∵不等式x2＋2x－4－a≥0对x∈R恒成立，
∴x2＋2x－4≥a对x∈R恒成立，
令y＝x2＋2x－4，
∴ymin＝－5，∴a≤－5，
∴命题p即为p：a≤－5，
函数y＝－|a|x(a≠0，a≠±1)在R上是减函数，
∴|a|>1，∴a>1或a<－1，
∵p∧q为假，p∨q为真，
∴p，q一真一假，
∴或
∴－51.
即实数的取值范围是(－5，－1)∪(1，＋∞)．
19．解：法一：由x2－2x＋1≤m2(m>0)，
得1－m≤x≤1＋m.
∴綈q：A＝{x|x<1－m或x>1＋m，m>0}．
由≤2，得－2≤x≤10.
∴綈p：B＝{x|x<－2或x>10}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，且m>0，
∴A?B.
∴
解得m≥9.
注意到当m≥9时，③中等号成立，而②中等号不成立．∴实数m的取值范围是.
法二：∵綈p是綈q的必要不充分条件
∴q是p的必要不充分条件
∴p是q的充分不必要条件
∴C?D，
又∵p：C＝{x|－2≤x≤10}，
q：D＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
∴ 解得m≥9.
故实数m的取值范围是.
20．解：对于命题p：
(1)当m－1＝0时，原不等式化为2>0恒成立，满足题意．
(2)当m－1≠0时，只需
得1对于命题q：
sin
x＋cos
x＝sin(x＋)∈[－，]，若对于任意的x∈R，命题q：sin
x＋cos
x>m是假命题，则m≥.综上，m的取值范围是[，9)．阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程
[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]
题 号
一
二
总分
15
16
17
18
19
20
得 分
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)
1．(江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为____________________．
2．(四川高考改编)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是________．
3．(辽宁高考)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
4．已知动圆P与定圆C：(x＋2)2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是________________________．
5．两个焦点为(±2,0)且过点P的椭圆的标准方程为_____________________．
6．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF＝2，则BF＝________.
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．
8．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是________．
9．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝2a2的一个交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1＝3PF2，则双曲线的离心率为________．
10．已知双曲C1＝－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐进线的距离为2，则抛物线C2的方程为________________________．
11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为_____________________．
12．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1·PF2的值是________．
13．若椭圆mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)与直线y＝1－x交于A、B两点，过原点与线段AB的中点的连线斜率为，则的值为________．
14．(四川高考改编)从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知双曲线与椭圆＋＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为，求双曲线的方程．
16．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，且与直线x＋y－1＝0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．
17.(本小题满分14分)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．
18．(本小题满分16分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．
19．(本小题满分16分)(陕西高考)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．
20．(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．
答
案
阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程
1．解析：令－＝0，解得y＝±x.
答案：y＝±x
2．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以所求距离为＝.
答案：
3．解析：由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5,0)，所以P，Q都在双曲线的右支上，则有FP－PA＝6，FQ－QA＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP＋FQ＝28，所以△PQF的周长为FP＋FQ＋PQ＝44.
答案：44
4．解析：设P(x，y)，动圆P在直线x＝1的左侧，其半径等于1－x，则PC＝1－x＋1，即＝2－x.
∴y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
5．解析：∵两个焦点为(±2,0)，
∴椭圆的焦点在x轴上，且c＝2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∴，解得a2＝10，b2＝6.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有，焦点F(1,0)，AF＝x1＋1＝2，x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故BF＝AF＝2.
答案：2
7．解析：在△ABF中，AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos∠ABF＝102＋82－2×10×8×＝36，则AF＝6.由AB2＝AF2＋BF2可知，△ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c＝OF＝＝5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以BF＝AF1＝8.由椭圆的性质可知AF＋AF1＝14＝2a a＝7，则e＝＝.
答案：
8．解析：设P(x，y)为抛物线上任意一点，则P到直线的距离d＝＝＝，
∴当x＝1时，d取最小值，此时P的坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
9．解析：由得PF1＝3a，PF2＝a，
设∠F1OP＝α，则∠POF2＝180°－α，
在△PF1O中，
PF＝OF＋OP2－2OF1·OP·cos
α ①，
在△OPF2中，
PF＝OF＋OP2－2OF2·OP·cos(180°－α) ②，
由cos(180°－α)＝－cos
α与OP＝a，
①＋②得c2＝3a2，∴e＝＝＝.
答案：
10．解析：∵双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的率心率为2.∴＝＝2，∴b＝a.∴双曲线的渐近线方程为
x±y＝0.∴抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2.
∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.
答案：x2＝16y
11．解析：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，
即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3.
所以E的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．解析：取P在双曲线的右支上，
则∴
∴PF1·PF2＝(＋)(－)＝m－a.
答案：m－a
13．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点(x0，y0)．
由得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0
∴x1＋x2＝，∴x0＝.∴y0＝.
又＝，∴＝，∴＝.
答案：
14．解析：由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则＝，即该椭圆的离心率是.
答案：
15．解：在椭圆＋＝1中，焦点坐标为(0，±)，
离心率e′＝，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1.
16．解：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵e＝，∴a2＝4b2，即a＝2b.
∴椭圆方程为＋＝1.
把直线方程代入并化简，得5x2－8x＋4－4b2＝0.
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝(4－4b2)．
∴y1y2＝(1－x1)(1－x2)
＝1－(x1＋x2)＋x1x2＝(1－4b2)．
由于OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0.
解得b2＝，a2＝.
∴椭圆方程为x2＋y2＝1.
17．解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝.
(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，
直线AB的方程为y＝－(x－c)．
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B.
所以|AB|＝·|c－0|＝c.
由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin
∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.
法二：设AB＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由椭圆定义BF1＋BF2＝2a可知，BF1＝3a－t.
由余弦定理得(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos
60°可得，
t＝a.
由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，
a＝10，b＝5.
18．解：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，当直线l斜率不存在时，|AB|＝4，不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知k≠0，
则x1＋x2＝.
由抛物线定义知，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，
∴x1＋x2＋2＝8，即＋2＝8.
解得k＝±1.
所以直线l的方程为y＝±(x－1)，
即x－y－1＝0，x＋y－1＝0.
19．解：(1)设M到直线l的距离为d，根据题意d＝2|MN|.
由此得|4－x|＝2，
化简得＋＝1，
所以，动点M的轨迹方程为＋＝1.
(2)法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋3代入＋＝1中，
有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
其中Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0，
故k2>.
由根与系数的关系得，
x1＋x2＝－，①
x1x2＝.②
又因为A是PB的中点，故x2＝2x1，③
将③代入①，②，得
x1＝－，x＝，
可得2＝，且k2＞，
解得k＝－或k＝，
所以直线m的斜率为－或.
法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵A是PB的中点，
∴x1＝，①
y1＝.②
又＋＝1，③
＋＝1，④
联立①，②，③，④解得或
即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)，
所以直线m的斜率为－或.
20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形且|AB1|＝|AB2|，
故∠B1AB2为直角，从而|OA|＝|OB2|，即b＝.
结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故
S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|
＝·b＝b2，
由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.
因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意，直线PQ的倾斜角不为0，
故可设直线PQ的方程为x＝my－2，代入椭圆方程得
(m2＋5)y2－4my－16＝0.(
)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是方程(
)的两根，
因此y1＋y2＝，y1·y2＝.
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以
·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－＋16
＝－，
由PB2⊥QB2，知·＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2.
当m＝2时，方程(
)化为9y2－8y－16＝0.
故y1＝，y2＝，|y1－y2|＝，
△PB2Q的面积S＝|B1B2|·|y1－y2|＝.
当m＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB2Q的面积S＝.
综上所述，△PB2Q的面积为.