课时跟踪训练(十七) 常见函数的导数
1．已知f(x)＝，则f′(1)＝________.
2．给出下列命题：
①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若y＝，则y′＝－；④若y′＝3，则y＝3x.
其中正确的为________．
3．函数f(x)＝xa，a∈Q，若f′(－1)＝－4，则a的值是________．
4．在曲线f(x)＝上有一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．
5．已知直线y＝kx是曲线y＝ln
x的切线，则k的值等于________．
6．已知曲线y＝x3，求：
(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)过点P(1,0)的曲线的切线方程．
7．已知曲线y＝在点P(1,1)处的切线与直线m平行，且距离等于，求直线m的方程．
8．直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过P且垂直于l1且交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于点K，求KQ的长．
答
案
课时跟踪训练(十七)
1．解析：f′(x)＝(x－3)′＝－3x－4＝－，∴f′(1)＝－3.
答案：－3
2．解析：由常见函数的导数公式，易知①②正确，③④错误．③中y′＝－x，④中y＝3x＋a(a为常数)．
答案：①②
3．解析：f′(x)＝axa－1，∴f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4.∴a＝4.
答案：4
4．解析：f′(x)＝－.∵曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，∴－＝－tan
135°＝－1.∴x3＝8.∴x＝2.当x＝2时f(2)＝1.∴P点坐标为(2,1)．
答案：(2,1)
5．解析：∵y′＝(ln
x)′＝，设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(x－x0)．即y＝x＋ln
x0－1.由ln
x0－1＝0，知x0＝e.∴k＝.
答案：
6．解：y′＝3x2.
(1)当x＝1时，y′＝3，即在点P(1,1)处的切线的斜率为3，
∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)设切点坐标为(x0，y0)，则过点P的切线的斜率为3x，
由直线的点斜式，得切线方程y－x＝3x(x－x0)，
即3xx－y－2x＝0.
∵P(1,0)在切线上，∴3x－2x＝0.
解之得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，切线方程为y＝0.
当x0＝时，切线方程为27x－4y－27＝0.
7．解：∵y′＝－，
∴曲线在P(1,1)处的切线的斜率为k＝－3，
∴切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.
设直线m的方程为3x＋y＋b＝0，由平行线间的距离公式得＝，
∴|b＋4|＝10，∴b＝6或b＝－14，
故所求的直线m的方程为
3x＋y＋6＝0或3x＋y－14＝0.
8.解：如图，设P(x0，y0)，则
kl1＝f′(x0)＝，
∵直线l1与l2垂直，则
kl2＝－2
，
∴直线l2的方程为
y－y0＝－2
(x－x0)，
∵点P(x0，y0)在曲线y＝上，
∴y0＝.
在直线l2的方程中令y＝0，
则－＝－2
(x－x0)．
∴x＝＋x0，即xQ＝＋x0.
又xK＝x0，∴|KQ|＝xQ－xK＝＋x0－x0＝.课时跟踪训练(一) 四
种
命
题
1．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；
②三角函数是周期函数吗？
③一个数不是正数就是负数；
④老师写的粉笔字真漂亮！
⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0.
其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________________________．
3．命题“对于正数a，若a>1，则lg
a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．
4．命题“若α＝，则tan
α＝1”的逆否命题是__________．
5．给出下列命题：
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“若{an}既是等差数列，又是等比数列，则an＝an＋1(n∈N
)”的逆命题；
③“若m>1，则不等式x2＋2x＋m>0的解集为R”的逆否命题．
其中所有真命题的序号是________．
6．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)奇函数的图像关于原点对称；
(2)当x2－2x－3＝0时，x＝－3或x＝1；
(3)a<0时，函数y＝ax＋b的值随x值的增大而增大．
7．证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
8．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图像与x轴有交点．
答
案
课时跟踪训练(一)
1．解析：①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，所以是真命题．
答案：①③⑤ ⑤
2．若|a|＝|b|，则a＝－b
3．解析：逆命题：对于正数a，若lg
a>0，则a>1.否命题：对于正数a，若a≤1，则lg
a≤0.逆否命题：对于正数a，若lg
a≤0，则a≤1.根据对数的性质可知都是真命题．
答案：4
4．解析：将条件与结论分别否定，再交换即可．
答案：若tan
α≠1，则α≠
5．解析：①的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{an}中，若an＝an＋1(n∈N
)，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0……；对于③当m>1时，Δ＝4－4m<0恒成立，x2＋2x＋m>0的解集为R是真命题．因此逆否命题是真命题．
答案：①③
6．解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称，是真命题．
(2)若x2－2x－3＝0，则x＝－3或x＝1，是假命题．
(3)若a<0，则函数y＝ax＋b的值随着x值的增大而增大，是假命题．
7．证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．
由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，
所以m2＋n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
8．解：(1)该命题为真．
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．
(2)该命题为假．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点，则b2－4ac<0，为假．
否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则函数图像与x轴无交点，为假．
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无交点，则b2－4ac≥0，为假．课时跟踪训练(十二) 抛物线的标准方程
1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是________．
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上的点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为________．
3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
4．抛物线x2＝－ay的准线方程是y＝2，则实数a的值是________．
5．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．
6．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
7．设抛物线y2＝mx(m≠0)的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．
8．一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2
m时，水宽4
m，若水面下降1
m，求水的宽度．
答
案
课时跟踪训练(十二)
1．解析：由抛物线方程x2＝8y知，抛物线焦点在y轴上，由2p＝8，得＝2，所以焦点坐标为(0,2)．
答案：(0,2)
2．解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在x轴上，且过p(－3，m)，可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
由抛物线的定义可知，3＋＝5.∴p＝4.
∴抛物线方程为y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
3．解析：椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，由＝2，得p＝4.
答案：4
4．解析：由条件知，a＞0，且＝2，∴a＝8.
答案：8
5．解析：y2＝4x的焦点为(1,0)，则c＝1，＝2，∴a＝，
即m＝a2＝，n＝c2－a2＝，∴mn＝×＝.
答案：
6．解：(1)双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，且＝－3，∴p＝6，∴方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为
y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义，得5＝AF＝.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
7．解：当m＞0时，由2p＝m，得＝，这时抛物线的准线方程是x＝－.
∵抛物线的准线与直线x＝1的距离为3，
∴1－＝3，解得m＝8，
这时抛物线的方程是y2＝8x.
当m＜0时，－1＝3，解得m＝－16.
这时抛物线的方程是y2＝－16x.
综上，所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.
8．解：如图建立直角坐标系．
设抛物线的方程为x2＝－2py，
∵水面离拱顶2
m时，
水面宽4
m，
∴点(2，－2)在抛物线上，
∴4＝4p，∴p＝1.∴x2＝－2y，
∵水面下降1
m，即y＝－3，而y＝－3时，x＝±，
∴水面宽为2
m.
即若水面下降1
m，水面的宽度为2
m.课时跟踪训练(十四) 圆锥曲线的共同性质
1．若双曲线－＝1的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为________．
2．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是________．
3．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为________________．
4．(福建高考)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
5．已知椭圆＋＝1内部的一点为A，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则MA＋MF的最小值为________．
6．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，求此双曲线离心率e的最大值．
7．已知平面内的动点P到定直线l：x＝2
的距离与点P到定点F(，0)之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
(1)求证：PF⊥l；
(2)若PF＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线的方程．
答
案
课时跟踪训练(十四)
1．解析：根据题意和已知可得方程组 e＝.
答案：
2．解析：曲线C1：＋＝1与曲线C2：－y2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P为第一象限的交点．则PF1＋PF2＝2，PF1－PF2＝2，解得PF1＝＋，PF2＝－.又F1F2＝4，在△F1PF2中，由余弦定理可求得
cos∠F1PF2＝＝.
答案：
3．解析：PM＋PN最大值为PF1＋1＋PF2＋1＝12，最小值为PF1－1＋PF2－1＝8.
答案：8,12
4．解析：直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.
在Rt△MF1F2中，MF1＝c，MF2＝c，
所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
答案：－1
5．解析：设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线定义知＝，∴d＝MF.∴MA＋MF＝MA＋d.由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值．MA＋d≥2
－1.
答案：2
－1
6．解：设P点坐标为P(x0，y0)，由圆锥曲线的统一定义得：
e＝＝，把PF1＝4PF2.
代入则有：x0＋＝4.
整理得＝3x0≥3a(∵x0≥a)．
∴e＝≤.∴离心率e的最大值为.
7．解：(1)设点P(x，y)，依题意，有＝.
整理，得＋＝1.所以动点P的轨迹C的方程为
＋＝1.
(2)由题意，设N(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)，
＋＝1，＋＝1.
k1·k2＝·＝
＝＝－，为定值．
8．解：(1)证明：右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P，
又F(c,0)，∴kPF＝＝－.
又∵kl＝，∴kPF·kl＝－·＝－1.∴PF⊥l.
(2)∵PF的长即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距离，
∴＝3，∴b＝3.又e＝＝，
∴＝.∴a＝4.
故双曲线方程为－＝1.课时跟踪训练(四) 含逻辑联结词的命题的真假判断
1．若p是真命题，q是假命题，则下列说法错误的是________．
①p∧q是真命题 ②p∨q是假命题 ③綈p是真命题 ④綈q是真命题
2．已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是am＋an＝ap＋aq成立的充分不必要条件(m，n，p，q∈N
)，则下面为真命题的是________．
①(綈p)∧(綈q)；②(綈p)∨(綈q)；③p∨(綈q)；④p∧q.
3．已知命题p：不等式ax＋b>0的解集为，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a
4．已知命题p：所有自然数都是正数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)
①綈p或q；②p或q；③綈p且綈q；④綈p或綈q
5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q
是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．
①(綈p)∨(綈q)；②p∨(綈q)；③(綈p)∧(綈q)；④p∨q.
6．写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p：是有理数，q：是整数；
(2)p：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)，
q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)．
7．命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a>0)，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若q 綈p，求实数a的取值范围．
8．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ，命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)p∨q为真命题；
(2)“p∨q”为真，“p∧q”为假．
答
案
课时跟踪训练(四)
1．解析：p是真命题，则綈p是假命题．q是假命题，则綈q是真命题．故p∧q是假命题，p∨q是真命题．
答案：①②③
2．解析：当a＝1.1，x＝2时，
ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，
此时，ax命题q，由等差数列的性质，
当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，
当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．
故綈p是真命题，綈q是假命题，
所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨((綈q)为真命题．
答案：②
3．解析：命题p是假命题，因为当a<0或a＝0时解集与已知不同；命题q也是假命题，因为不知道a，b的大小关系．所以只有非p是真命题．
答案：非p
4．解析：因为命题p为假命题，命题q为假命题，所以綈p且綈q为真命题，綈p或綈q为真命题．
答案：③④
5．解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p)∨(綈q)．
答案：①
6．解：(1)p或q：是有理数或是整数；p且q：是有理数且是整数；非p：不是有理数．因为p假，q假，所以p或q为假，p且q为假，非p为真．
(2)p或q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；p且q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；非p：不等式x2－2x－3＞0的解集不是(－∞，－1)．因为p假，q假，所以p或q假，p且q假，非p为真．
7．解：(1)由于a＝1，
则x2－4ax＋3a2<0 x2－4x＋3<0 1所以p：1解不等式组得2所以q：2由于p∧q为真，所以p，q均是真命题，
解不等式组得2所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2)綈p：x2－4ax＋3a2≥0，a>0，
x2－4ax＋3a2≥0 (x－a)(x－3a)≥0 x≤a或x≥3a，
所以綈p：x≤a或x≥3a，
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，由(1)知q：2由于q 綈p，所以B?A，
所以3≤a或3a≤2，即0所以实数a的取值范围是∪[3，＋∞)．
8．解：命题p为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
即a＞或a＜－1.①
命题q为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－.②
(1)当p∨q为真时，即p、q至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为；
∴“p∨q”为真时，a的取值范围是
.
(2)当“p∨q”为真，“p∧q”为假，即p，q有且只有一个是真命题时，有两种情况：当p真q假时，＜a≤1；当p假q真时，－1≤a＜－.
∴“p∨q”为真，“p∧q”为假时，a的取值范围是
.课时跟踪训练(七) 圆锥曲线
1．平面内到一定点F和到一定直线l(F在l上)的距离相等的点的轨迹是_____________．
2．设F1、F2为定点，PF1－PF2＝5，F1F2＝8，则动点P的轨迹是________．
3．以F1、F2为焦点作椭圆，椭圆上一点P1到F1、F2的距离之和为10，椭圆上另一点P2满足P2F1＝P2F2，则P2F1＝________.
4．平面内动点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是________．
5．已知椭圆上一点P到两焦点F1、F2的距离之和为20，则PF1·PF2的最大值为________．
6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F作直线与抛物线相交于A、B两点，试判断以AB为直径的圆与l的位置关系．
7．动点P(x，y)的坐标满足＋＝8.试确定点P的轨迹．
8．在相距1
600
m
的两个哨所A，B，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340
m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时间早3
s．试判断爆炸点在怎样的曲线上？
答
案
课时跟踪训练(七)
1．过点F且垂直于l的直线
2．解析：∵5＜8，满足双曲线的定义，∴轨迹是双曲线．
答案：双曲线
3．解析：∵P2在椭圆上，∴P2F1＋P2F2＝10，
又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5.
答案：5
4．解析：由题意可知，|m|＜4，且m≠0，∴－4答案：(－4,0)∪(0,4)
5．解析：∵PF1＋PF2＝20，
∴PF1·PF2≤()2＝()2＝100.
答案：100
6．解：如图，取AB的中点O2，过A、B、O2分别作AA1⊥l，BB1⊥l，O2O1⊥l，根据抛物线的定义，知AA1＝AF，BB1＝BF，
∴O2O1＝＝＝＝R(R为圆的半径)，
∴以AB为直径的圆与l相切．
7．解：设A(2,0)，B(－2,0)，
则表示PA，
表示PB，又AB＝4，
∴PA＋PB＝8＞4，
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
8．解：由题意可知点P离B比离A远，
且PB－PA＝340×3＝1
020
m，
而AB＝1
600
m＞1
020
m，满足双曲线的定义，
∴爆炸点应在以A，B为焦点的双曲线的靠近A的一支上．课时跟踪训练(十一) 双曲线的几何性质
1．(陕西高考)双曲线－＝1的离心率为.则m＝________.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．
3．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是______________．
4．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为____________________．
5．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率e的取值范围是________．
6．根据下列条件求双曲线的标准方程：
(1)经过点(，3)，且一条渐近线方程为4x＋3y＝0.
(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.
7．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)求△F1MF2的面积．
答
案
课时跟踪训练(十一)
1．解析：∵a＝4，b＝，∴c2＝16＋m，e＝＝＝，∴m＝9.
答案：9
2．解析：根据题意，由于双曲线－＝1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为e＝，所以结果为2或.
答案：2或
3．解析：由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为：－y2＝λ(λ<0)，
∴－＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.
故双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
4．解析：∵e2＝＝＝1＋＝，∴＝，∴＝，∴y＝±x.
答案：y＝±x
5．解析：依题意得由此解得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即c≤2a，e＝≤2.又e>1，∴离心率e的取值范围是(1,2]．
答案：(1,2]
6．解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，
∴可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
∵双曲线经过点，∴×－＝λ.即λ＝1.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上，
∵PF1⊥PF2，且OP＝6，
∴2c＝F1F2＝2OP＝12，∴c＝6.
又P与两顶点连线夹角为，
∴a＝|OP|·tan＝2
，
∴b2＝c2－a2＝24.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
7．解：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，
∴＝2c，∴b2＝2ac.
由a2＋b2＝c2，
得c2－2ac－a2＝0，
∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
所以所求双曲线的离心率为1＋.
8．解：(1)∵离心率e＝，∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，知
λ＝42－(－)2＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6，即－＝1.
(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3.
由双曲线x2－y2＝6知，F1(2
，0)，F2(－2
，0)，
∴·＝(2
－3，－m)·(－2
－3，－m)
＝9－(2
)2＋m2＝0.
∴⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上．
(3)S△F1MF2＝×2c×|m|＝c|m|＝2
×＝6.课时跟踪训练(二) 充分条件和必要条件
1．(安徽高考改编)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．
2．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.
3．对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
③“a<5”是“a<3”的必要条件；
④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．
其中真命题的序号为________．
4．(北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的____________条件．
5．若p：x(x－3)<0是q：2x－36．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
7．求直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件．
8．已知p：－6≤x－4≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
答
案
课时跟踪训练(二)
1．解析：由(2x－1)x＝0可得x＝或x＝0，因为“x＝或x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．解析：由1×3－a×(a－2)＝0，得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.
答案：－1
3．解析：①“a＝b”是ac＝bc的充分不必要条件，故①错，②a>b是a2>b2的既不充分也不必要条件，故②错．③④正确．
答案：③④
4．解析：由sin
φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
5．解析：p：0若p是q的充分不必要条件，则≥3，即m≥3.
答案：[3，＋∞)
6．证明：(1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0.
(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
7．解：由得交点P(，)．
若直线l：ax－y＋b＝0经过点P，
则a×－＋b＝0.∴17a＋4b＝11.
设a，b满足17a＋4b＝11，则b＝，
代入方程ax－y＋b＝0，得ax－y＋＝0，
整理，得－a＝0.
∴直线l：ax－y＋b＝0恒过点，此点即为l1与l2的交点．
综上，直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件为17a＋4b＝11.
8．解：p：－6≤x－4≤6 －2≤x≤10.
q：x2－2x＋1－m2≤0 [x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)
1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为q是p的充分不必要条件．
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，如图，
故有或解得m≤3.
又m>0，所以实数m的范围为{m|01．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．
2．如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为________．
3．将长为l的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，则两矩形面积之和的最小值为________．
4．如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250
mL，则它的底面半径等于________时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10
km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km处．
6．某品牌电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p，ln
q万元，已知A，B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A，B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln
4≈1.4)
7．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
8．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100
km.
(1)当汽车以40
km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少L
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少L
答
案
课时跟踪训练(二十二)
1．解析：设该公司在甲地销x辆，那么乙地销15－x辆，利润L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30.由L′(x)＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.且当x＜10.2时，L′(x)＞0，x＞10.2时，L′(x)＜0，∴x＝10时，L(x)取到最大值，这时最大利润为45.6万元．
答案：45.6万元
2．解析：设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，00，f(x)单调递增；当d答案：d
3.解析：如图所示，设边长之比为2∶1的矩形周长为x，则边长之比为3∶2的矩形周长为l－x，两矩形面积之和为S＝·＋·＝＋(l－x)2，0x
(0，l)
l
(l，l)
S′
－
0
＋
S
单调递减
l2
单调递增
由上表可知，当x＝l时，S的最小值为l2.
答案：
4．解析：设圆柱的高为h，表面积为S，容积为V，底面半径为r，则表面积S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝，则S＝2πr·＋2πr2＝＋2πr2，S′＝－＋4πr，令S′＝0得r＝，因为S只有一个极值，所以当r＝时，S取得最小值，即此时所用的材料最省．
答案：
5．解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．
于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
因此，两项费用之和为y＝＋(x＞0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5，或x＝－5(舍去)．当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
6．解：设B型号电视机的投放金额为x万元(1≤x≤9)，农民得到的补贴为y万元，
则A型号的电视机的投放金额为(10－x)万元，
由题意得
y＝(10－x)＋ln
x＝ln
x－
x＋1,1≤x≤9，
∴y′＝－，
令y′＝0得x＝4，
由y′>0得1≤x<4，由y′<0得4故y在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，
∴当x＝4时，y取得最大值，且ymax＝
ln
4－×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.
故厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．
7．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，
V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
8．解：(1)当x＝40
km/h时，
汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5
h，
要耗油×2.5＝17.5(L)．
∴当汽车以40
km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5
L.
(2)当速度为x
km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了
h，设耗油量为h(x)升，依题意得
h(x)＝·
＝x2＋－(0＜x≤120)，
则h′(x)＝－＝(0＜x≤120)．
令h′(x)＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是单调递减函数；
当x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是单调递增函数．
∴当x＝80时，h(x)取到极小值，h(80)＝11.25.
∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，且h(120)＝>h(80)．
∴当x＝80时函数取得最小值．
∴当汽车以80
km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25
L.课时跟踪训练(十六) 瞬时变化率—导数
1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为________．
2．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率k为________．
3．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为________.
4．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
5．已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为________．
6．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程．
7．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x
h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．
8．已知曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在求出实数a的取值范围，若不存在，说明理由．
答
案
课时跟踪训练(十六)
1．解析：∵当Δt无限趋近于0时，－3Δt－6无限趋近于常数－6，∴该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.
答案：－6
2．解析：∵f(x)＝x2＋3x，∴＝＝Δx＋7，∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于7，从而A点处的切线斜率k＝7.
答案：7
3．解析：＝＝＝2a＋aΔx，当Δx→0时，→2a，∴2a＝2，a＝1.
答案：1
4．解析：由题意知f′(1)＝，f(1)＝＋2＝，
所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
答案：3
5．解析：∵y＝x2－2，∴＝
＝＝x＋Δx.∴当Δx→0时，→x.
∴y′|x＝1＝1，∴在点P处的切线斜率为1，
切线倾斜角为45°.
答案：45°
6．解：∵
＝＝2＋3Δx，
∴当Δx无限趋近于0时，2＋3Δx无限趋近于2，
∴f′(1)＝2，
所以直线的斜率为2，
所以直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
7．解：当x从6变到6＋Δx时，函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化率为：
＝
＝＝5＋Δx.
当x趋近于6时，即Δx无限趋近于0，平均变化率趋近于5，所以f′(6)＝5，导数f′(6)＝5表示当x＝6
h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6
h时温度的变化速度，每经过1
h时间，原油温度将升高5
℃.
8．解：存在．设切点为(t，t2＋1)，
则＝＝Δx＋2t，
当Δx趋于0时，趋于2t，即
切线斜率k＝f′(t)＝2t，
所以切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)，
将(1，a)代入得
t2－2t＋(a－1)＝0，因为有两条切线，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.课时跟踪训练(六) 含有一个量词的命题的否定
1．(重庆高考改编)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是______________________．
2．命题“ x∈ RQ，x3∈Q”的否定是________________．
3．命题“ x∈R，x2－x＋3>0”_____________________________________________．
4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是___________________．
5．若命题“ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
6．设语句q(x)：cos＝sin
x：
(1)写出q，并判定它是不是真命题；
(2)写出“ a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题．
7．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长相等．
8． x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围．
答
案
课时跟踪训练(六)
1．解析：因为“ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M，綈p(x)”故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2<0”．
答案：存在x∈R，使得x2<0
2．解析：存在性命题的否定是全称命题．
答案： x∈ RQ，x3 Q
3．解析：全称命题的否定是存在性命题．
答案： x∈R，x2－x＋3≤0
4．解析：此命题是一个全称命题，全称命题的否定是存在性命题．故该命题的否定是：“存在能被2整除的整数不是偶数”．
答案：存在能被2整除的整数不是偶数
5．解析：该命题p的否定是綈p：“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”，即关于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1>0的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1答案：(－1,3)
6．解：(1)q：cos＝sin
，
因为cos
0＝1，sin
＝1，
所以q是真命题．
(2) a∈R，q(a)：cos＝sin
a，
因为cos＝cos＝sin
a，
所以“ a∈R，q(a)”是真命题．
7．解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是綈p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实数根，所以綈p是真命题．
(2)这一命题的否定形式是綈q：对所有实数x，都有x2＋x＋1>0.利用配方法可以验证綈q是一个真命题．
(3)这一命题的否定形式是綈r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r是一个假命题．
8．解：已知不等式化为22x－2·2x＋2－a<0.①
令t＝2x，∵x∈[－1,2]，∴t∈，
则不等式①化为：t2－2t＋2－a<0，即a>t2－2t＋2，
原命题等价于： t∈，a>t2－2t＋2恒成立，令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，当t∈时，ymax＝10.
所以只须a>10即可．即所求实数a的取值范围是(10，＋∞)．课时跟踪训练(十九) 单
调
性
1．函数y＝x2－ln
x的单调递减区间为________．
2．函数f(x)＝的单调递减区间是________．
3．(浙江高考改编)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是________．
4．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________．
5．已知函数f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)．则不等式x2f－f(x)<0的解集为________．
6．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax.讨论f(x)的单调性．
7．已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函数，求实数a的取值范围．
8．已知函数f(x)＝的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
答
案
课时跟踪训练(十九)
1．解析：y′＝x－＝＝，令y′≤0，∵x>0，∴0x的单调减区间是(0,1]．
答案：(0,1]
2．解析：令f′(x)＝<0，解得0答案：(0,1)，(1，e)
3．解析：由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图像的切线的斜率自左至右先增大后减小．
答案：②
4．解析：h′(x)＝2＋，由h(x)在(1，＋∞)上是增函数，知h′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．h′(x)＝，当k≥0时，显然h′(x)≥0成立．当k<0时，由h′(x)≥0 －k≤2x2，而2x2>2，即－k≤2，∴k≥－2，∴－2≤k<0.
答案：[－2，＋∞)
5．解析：令φ(x)＝，则φ′(x)＝<0.∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，又x2fx.又∵x>0，∴0答案：(0,1)
6．解：f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.
①当a≥1时，f′(x)≥0，当且仅当a＝1，x＝－1时，
f′(x)＝0，所以f(x)是R上的增函数．
②当a<1时，f′(x)＝0有两根x1＝－1－，
x2＝－1＋.
当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈(－1－，－1＋)时，
f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈(－1＋，＋∞)时，
f′(x)>0，f(x)是增函数．
7．解：由已知得f′(x)＝2a＋，
∵f(x)在(0,1]上单调递增，
∴f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立．
令g(x)＝－，而g(x)＝－在(0,1]上单调递增，
∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.
当a＝－1时，f′(x)＝－2＋.
对x∈(0,1]也有f′(x)≥0.
∴a＝－1时，f(x)在(0,1]上为增函数．
∴综上，f(x)在(0,1]上为增函数，
实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
8．解：(1)由函数f(x)的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，
知f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，＝－2，①
又f′(x)＝，
所以＝－.②
由①②得a＝2，b＝3.
(因为b＋1≠0,
所以b＝－1舍去)
所以所求函数解析式是f(x)＝.
(2)由(1)可得f′(x)＝.
令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2，
则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0，
当3－20，
所以f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)；
单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．课时跟踪训练(五) 量 词
1．下列命题：
①有的质数是偶数；
②与同一平面所成的角相等的两条直线平行；
③有的三角形的三个内角成等差数列；
④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，
其中是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(只填序号)
2．下列命题中的假命题是________．
① x∈R,2x－1>0；
② x∈N
，(x－1)2>0；
③ x∈R，lg
x<1；
④ x∈R，tan
x＝2.
3．用符号“ ”或“ ”表示下面含有量词的命题：
(1)实数的平方大于或等于0：________________________________________________；
(2)存在一对实数，使3x－2y＋1≥0成立：_____________________________________.
4．命题“ x∈R＋，2x＋＞a成立”是真命题，则a的取值范围是________．
5．已知“ x∈R，ax2＋2ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
6．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：
(1)对任意x∈R，zx＞0(z>0)；
(2)对任意非零实数x1，x2，若x1＜x2，则>；
(3) α∈R，使得sin(α＋)＝sin
α；
(4) x∈R，使得x2＋1＝0.
7．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1) x∈R，都有x2－x＋1>；
(2) α，β，使cos(α－β)＝cos
α－cos
β；
(3) x，y∈N，都有(x－y)∈N；
(4) x，y∈Z，使x＋y＝3.
8．(1)对于任意实数x，不等式sin
x＋cos
x>m恒成立，求实数m的取值范围；
(2)存在实数x，不等式sin
x＋cos
x>m有解，求实数m的取值范围．
答
案
课时跟踪训练(五)
1．解析：根据所含量词可知②④是全称命题，①③是存在性命题．
答案：②④ ①③
2．解析：对②，x＝1时，(1－1)2＝0，∴②假．
答案：②
3．(1) x∈R，x2≥0
(2) x∈R，y∈R,3x－2y＋1≥0
4．解析：∵x∈R＋，∴2x＋≥2，
∵命题为真，∴a＜2.
答案：(－∞，2)
5．解析：当a＝0时，不等式为1>0，
对 x∈R,1>0成立．
当a≠0时，若 x∈R，ax2＋2ax＋1>0，
则解得0综上，a的取值范围为[0,1)．
答案：[0,1)
6．解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题．
(1)∵zx＞0(z>0)恒成立，
∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝－1，x2＝1，x1＜x2，但<，
∴命题(2)是假命题．
(3)当α＝时，sin(α＋)＝sin
α成立，
∴命题(3)为真命题．
(4)对任意x∈R，x2＋1＞0，∴命题(4)是假命题．
7．解：(1)法一：当x∈R时，x2－x＋1＝2＋≥>，所以该命题是真命题．
法二：x2－x＋1> x2－x＋>0，由于Δ＝1－4×＝－1<0，所以不等式x2－x＋1>的解集是R，所以该命题是真命题．
(2)当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝cos＝cos
＝，cos
α－cos
β＝cos
－cos
＝－0＝，此时cos
(α－β)＝cos
α－cos
β，所以该命题是真命题．
(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2 N，所以该命题是假命题．
(4)当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，即 x，y∈Z，使x＋y＝3，所以该命题是真命题．
8．解：(1)令y＝sin
x＋cos
x，x∈R.
∵y＝sin
x＋cos
x＝sin(x＋)≥－.
又∵ x∈R，sin
x＋cos
x>m恒成立．
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(1)令y＝sin
x＋cos
x，x∈R.
∵y＝sin
x＋cos
x＝sin(x＋)∈[－，
]，
又∵ x∈R，sin
x＋cos
x>m有解．
∴只要m<即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，)．课时跟踪训练(十八) 函数的和、差、积、商的导数
1．(广东高考)若曲线y＝ax2－ln
x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
2．函数f(x)＝＋在x＝2处的导数为________．
3．已知f(x)＝x2＋2f′x，则f′＝________.
4．(江西高考)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
6．求下列函数的导数．
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝3x2＋xcos
x；
(3)y＝＋；
(4)y＝lg
x－；
(5)y＝.
7．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线，求实数a
、b、c的值．
8．如图，抛物线方程为x2＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列．
答
案
课时跟踪训练(十八)
1．解析：因为y′＝2ax－，依题意得y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝.
答案：
2．解析：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝()′＝
＝，∴f′(2)＝0.
答案：0
3．解析：f′(x)＝2x＋2f′，令x＝－，
则f′－＋2f′，∴f′＝.
答案：
4．解析：由题意y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝＝2.
答案：2
5．解析：因为y′＝＝≥－1，所以－1≤tan
α<0，所以≤α<π.
答案：
6．解：(1)y′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5；
(2)y′＝(3x2)′＋(xcos
x)′＝6x＋cos
x－xsin
x；
(3)y′＝()′＋()′＝2(x－2)′＋3(x－3)′
＝－4x－3－9x－4＝－－；
(4)y′＝(lg
x)′－(x－2)′＝＋；
(5)∵y＝x3＋x－＋，
∴y′＝(x3)′＋(x－)′＋′
＝3x2－x－＋
＝3x2－x－＋x－2cos
x－2x－3sin
x.
7．解：∵f(x)过点(2,0)，∴f(2)＝2×23＋a×2＝0.
解得a＝－8.
同理g(2)＝4b＋c＝0，
∵f′(x)＝6x2－8，∴在点P处切线的斜率为k＝f′(2)＝6×22－8＝16.
又g′(x)＝2bx，∴2b×2＝16.∴b＝4.
∴c＝－4b＝－16.
综上：a＝－8，b＝4，c＝－16.
8．解：由题意设A，B，
M(x0，－2p)．由x2＝2py，得y＝，则y′＝，
所以kMA＝，kMB＝.
因此直线MA的方程为y＋2p＝(x－x0)．
直线MB的方程为y＋2p＝(x－x0)．
又A，B分别在直线MA，MB上，
所以＋2p＝(x1－x0)，
①
＋2p＝(x2－x0)，
②
由①②得＝x1＋x2－x0，
因此x0＝，
所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．课时跟踪训练(八) 椭圆的标准方程
1．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为________．
2．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是________．
3．已知方程(k2－1)x2＋3y2＝1是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是________．
4．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
5．已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；
(2)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过M(2，)．
7．如图，设点P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MD＝PD，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．
8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．
答
案
课时跟踪训练(八)
1．解析：由椭圆定义知，a＝5，P到两个焦点的距离之和为2a＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.
答案：5
2．解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－b2＝－＝，故c＝.所以该椭圆的焦点坐标为.
答案：
3．解析：方程(k2－1)x2＋3y2＝1可化为＋＝1.
由椭圆焦点在y轴上，得解之得k>2或k<－2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
4．解析：由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.
答案：8
5．解析：在△F1PF2中，
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos
60°，
即25＝PF＋PF－PF1·PF2.①
由椭圆的定义，得
10＝PF1＋PF2.②
由①②，得PF1·PF2＝25，
∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin
60°＝.
答案：
6．解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5.
∴b2＝a2－c2＝144.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一：由9x2＋5y2＝45，
得＋＝1，c2＝9－5＝4，
所以其焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)．
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由点M(2，)在椭圆上，所以MF1＋MF2＝2a，
即2a＝＋＝4，
所以a＝2，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：由法一知，椭圆9x2＋5y2＝45的焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)，
则设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，
将M(2，)代入，得＋＝1(λ＞0)，
解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
7．解：设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，
由已知易得
∵P在圆上，∴x2＋(y)2＝25.
即轨迹C的方程为＋＝1.
8．解：设动圆M的半径为r，
则|MA|＝r，|MB|＝8－r，
∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，
∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，
∴a＝4，c＝3，
∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴所求动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.课时跟踪训练(二十) 极大值与极小值
1．关于函数的极值，有下列说法：
①导数为零的点一定是函数的极值点，
②函数的极小值一定小于它的极大值，
③f(x)在定义域内最多只能有一个极大值或一个极小值，
④若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．
其中错误的是________．(把你认为错误的序号都写出来)
2．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图像如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为________．
3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为a＝________，b＝________.
4．(福建高考改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是________．
① x∈R，f(x)≤f(x0)；
②－x0是f(－x)的极小值点；
③－x0是－f(x)的极小值点；
④－x0是－f(－x)的极小值点．
5．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x＋m的图像不经过第四象限，则实数m的取值范围是________．
6．求函数f(x)＝x3－12x的极值．
7．已知x＝4是函数f(x)＝aln
x＋x2－12x＋11的一个极值点．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
8．设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b，a，b∈R.
(1)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，试求a的取值范围．
答
案
课时跟踪训练(二十)
1．解析：由导数与极值的关系及极值定义可知：①②③错误，④正确．
答案：①②③
2．解析：极大值点在导函数f′(x0)＝0处，且满足x0左侧为正，右侧为负，由图像知有3个．
答案：3
3．解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，又当x＝1时有极值－2，
∴f′(1)＝3a＋b＝0，①
a＋b＝－2.②
联立①②，解得
答案：1，－3
4．解析：不妨取函数f(x)＝x3－x，则x＝－为f(x)的极大值点，但f(3)>f，∴排除①；取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，∴排除②；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除③，∵－f(－x)的图像与f(x)的图像关于原点对称，由函数图像的对称性可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点，∴填④.
答案：④
5．解析：f′(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，令f′(x)>0，得x<－2或x>1，f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上为增函数，在(－2,1)上为减函数．若不经过第四象限，则f(1)≥0，得＋－2＋m≥0，
∴m≥.
答案：m≥
6．解：函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值f(－2)＝16
?
极小值f(2)＝－16
?
从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.
当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.
7．解：(1)f′(x)＝＋2x－12.
∵x＝4是函数f(x)的一个极值点，
∴f′(4)＝＋2×4－12＝0，a＝16.
(2)由(1)知f(x)＝16ln
x＋x2－12x＋11(x>0)，
f′(x)＝＋2x－12＝＝，
由>0，得x<2或x>4，又x>0，
∴当x∈(0,2)或x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递增．
由<0得2∴当x∈(2,4)时，f(x)单调递减．
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(4，＋∞)，单调递减区间是(2,4)．
8．解：(1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)，
当a＝－时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝，x3＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
(－∞，0)
0
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)在(0，)和(2，＋∞)上是增函数，
在区间(－∞，0)和(，2)上是减函数．
(2)f′(x)＝x(4x2＋3ax＋4)，
显然x＝0不是方程4x2＋3ax＋4＝0的根．
∵f(x)仅在x＝0处有极值，
∴方程4x2＋3ax＋4＝0有两个相等的实根或无实根，Δ＝9a2－4×16≤0，解得－≤a≤，这时，f(0)＝b是唯一极值，因此满足条件的a的取值范围是.课时跟踪训练(九) 椭圆的几何性质
1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是________________________________________________________________________．
3．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．
5．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率是________．
6．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率e＝，经过点A(，－2)，求椭圆的标准方程．
7．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
8．若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于－，试求椭圆的离心率及其方程．
答
案
课时跟踪训练(九)
1．解析：法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
答案：
2．解析：依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝4，b2＝3.
答案：＋＝1
3．解析：c2＝25－k－(9－k)＝16，c＝4.故两条曲线有相同的焦距．
答案：焦距
4．解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－，y＝b2－.所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，即k1·k2的值为－.
答案：－
5．解析：设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°.由题意知，F1F2＝PF2＝2c，F2M＝－c.在Rt△PF2M中，F2M＝PF2，即－c＝c.∴e＝＝.
答案：
6．解：设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)，则＋＝1.①
由已知e＝，∴＝，∴c＝a.
∴b2＝a2－c2＝a2－(a)2，即b2＝a2.②
把②代入①，得＋＝1，
解得a2＝25，∴b2＝16，∴所求方程为＋＝1.
7．解：椭圆方程可化为＋＝1，
由m>0，易知m>，
∴a2＝m，b2＝.
∴c＝＝.
由e＝，得
＝，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为F1，F2，
顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
8．解：令x＝－c，代入＋＝1(a＞b＞0)，
得y2＝b2(1－)＝，∴y＝±.
设P(－c，)，椭圆的右顶点A(a,0)，上顶点B(0，b)．
∵OP∥AB，∴kOP＝kAB，∴－＝－，
∴b＝c.而a2＝b2＋c2＝2c2，∴a＝c，∴e＝＝.
又∵a－c＝－，解得a＝，c＝，∴b＝，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.课时跟踪训练(十五) 平均变化率
1．函数f(x)＝在x＝1到x＝2之间的平均变化率为________．
2．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/(mg/mL)
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
服药后30～70
min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．
3．一棵树2011年1月1日高度为4.5
m,2012年1月1日高度为4.98
m，则这棵树2011年高度的月平均变化率是________．
4．在曲线y＝x2＋1的图像上取一点(1,2)及邻近一点(1.1，2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________．
5．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
6．已知正弦函数y＝sin
x，求该函数在和内的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明含义．
7．路灯距地面8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min的速度在地面上从路灯在地面上射影点C沿某直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯的第一个10
s内身影的平均变化率．
8．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
答
案
课时跟踪训练(十五)
1．解析：＝＝－.
答案：－
2．解析：＝＝－0.002.
答案：－0.002
3．解析：＝0.04.
答案：0.04
4．解析：＝＝2.1.
答案：2.1
5．解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误．
答案：③
6．解：当自变量从0变到时，函数的平均变化率为
k1＝＝＝.
当自变量从变到时，函数的平均变化率为
k2＝＝＝.
易知3
>6(2－)，∴k1>k2，即函数y＝sin
x在内的平均变化率大于在内的平均变化率，说明函数y＝sin
x的图像在内比较陡峭，在内比较平缓．
7．解：(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x
m，AB为身影长度，AB的长度为y
m，
由于CD∥BE，则＝，
即＝，所以y＝f(x)＝x.
(2)在[0,10]上身影的平均变化率为：
＝＝.
即人离开路灯的第一个10
s内身影的平均变化率为.
8．解：山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝，∴hBC>hAB.
∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．课时跟踪训练(十三) 抛物线的几何性质
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是________．
2．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
3．过点(0,1)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线有________条．
4．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________．
5．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FM∶MN＝________.
6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
7．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为，求此抛物线方程．
8．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
答
案
课时跟踪训练(十三)
1．解析：这里p＝4，焦点(2,0)，准线x＝－2，∴焦点到准线的距离是4.
答案：4
2．解析：抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
答案：2
3．解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x＝0，满足与抛物线y2＝4x只有一个公共点．当斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，再与y2＝4x联立整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当k≠0时，由Δ＝0可得k值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条．
答案：3
4．解析：设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为(，0)，将x＝代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，故p＝6.点P在准线上，到AB的距离为p＝6，所以△PAB的面积为×6×12＝36.
答案：36
5．解析：如图所示，过点M作MM′垂直于准线y＝－1于点M′，则由抛物线的定义知MM′＝FM，所以＝，由于△MM′N∽△FOA，则＝＝，则MM′∶MN＝1∶，即FM∶MN＝1∶.
答案：1∶
6．解：法一：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
则焦点F(，0)，由题设可得
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2.
法二：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，焦点F(，0)，准线方程x＝－，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于M到准线方程的距离，
则3＋＝5，∴p＝4.
因此抛物线方程为y2＝8x.
又点M(3，m)在抛物线上，于是m2＝24，
∴m＝±2.
7．解：设抛物线方程为：x2＝ay(a≠0)，
由方程组
消去y得：2x2－ax＋a＝0，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.
设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
弦长为|AB|＝
＝
＝
.
∵|AB|＝，∴
＝，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴所求抛物线方程为：x2＝－4y或x2＝12y.
8．解：(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，
则|PA|2＝2＋y2＝2＋2x
＝2＋.
∵x≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x＝0时，
|PA|min＝，故距点A最近的点的坐标为(0,0)．
(2)法一：设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则P到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝＝.
当y0＝1时，dmin＝＝.
∴点P的坐标为.
法二：设与直线x－y＋3＝0平行的抛物线的切线为x－y＋t＝0，与y2＝2x联立，消去x，
得y2－2y＋2t＝0，
由Δ＝0，得t＝，此时y＝1，x＝，
∴点P坐标为，两平行线间的距离就是点P到直线x－y＋3＝0的最小距离，即dmin＝.课时跟踪训练(二十一) 最大值与最小值
1．函数f(x)＝x3＋x2－2x＋3，x∈[－3,4]的最大值为________，最小值为________．
2．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，则m的取值范围是________．
3．函数f(x)＝exsin
x在区间上的值域为________．
4．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2，则f(x)的解析式为________________________．
5．函数f(x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m的取值范围是________．
6．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
7．已知函数f(x)＝ax4ln
x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
答
案
课时跟踪训练(二十一)
1．解析：f′(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2.∵f(－3)＝，f(－2)＝，f(1)＝，f(4)＝，∴f(x)max＝，f(x)min＝.
答案：
2．解析：设y＝x2－4x，y′＝2x－4，令y′＝0，得x＝2.∴y＝x2－4x在(－∞，2)上是减函数，即在x∈[0,1]上也是减函数，
∴ymin＝12－4＝－3，∴m≤－3.
答案：(－∞，－3]
3．解析：f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)．∵x∈，∴f′(x)>0，∴f(x)在上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e.
答案：[0，e]
4．解析：f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝a.当x∈[－1,0]时，f′(x)≥0，f(x)单调增，当x∈[0,1]时，f′(x)<0，f(x)单调减．∴f(x)max＝f(0)＝b＝1.∵f(－1)＝－a，f(1)＝2－a，∴f(x)min＝f(－1)＝－a，∴－a＝－2，即a＝.∴f(x)＝x3－2x2＋1.
答案：f(x)＝x3－2x2＋1
5．解析：f′(x)＝－3x2＋2mx＝x(－3x＋2m)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.∵x∈(0,2)，∴0<<2，∴0答案：(0,3)
6．解：f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，即－3x2＋6x＋9＝0，解得x1＝－1，x2＝3(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
2＋a
?
－5＋a
?
22＋a
由此得f(2)，f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，∴f(2)＝22＋a＝20，∴a＝－2，
从而得函数f(x)在[－2,2]上的最小值为f(－1)＝－5＋a＝－7.
7．解：由题意知f(1)＝b－c＝－3－c，因此b＝－3.
对f(x)求导，得
f′(x)＝4ax3ln
x＋ax4·＋4bx3
＝x3(4aln
x＋a＋4b)．
由题意知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12，
从而f′(x)＝48x3ln
x(x>0)．令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，
并且此极小值也是最小值．
所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．
整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.
所以c的取值范围为(－∞，－1]∪.
8．解：(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有
即化简得
解得a＝1，b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x1＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.课时跟踪训练(三) “且”“或”“非”
1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”的构成形式是________．
2．如果原命题是“p或q”的形式，那么它的否定形式是________________________．
3．由命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是
________________________________________________________________________，
“p且q”形式的命题是_____________________________________________________，
“非p”形式的命题是_____________________________________________________．
4．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是______________________，
否命题是_________________________________________________________________．
5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；
(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；
(3)命题“非空集 UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．
6．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
(1)12可以被3或4整除；
(2)3是12和15的公约数．
7．分别写出由命题p：方程x2－4＝0的两根符号不同，q：方程x2－4＝0的两根绝对值相等构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．
8．写出下列各命题的否定形式及否命题：
(1)面积相等的三角形是全等三角形；
(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
答
案
课时跟踪训练(三)
1．解析：正方形的两条对角线互相垂直并且平分，是p且q的形式．
答案：p且q
2．綈p且綈q
3．6是12或24的约数 6是12的约数且是24的约数 6不是12的约数
4．解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
答案：末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
5．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.
答案：(1)p且q (2)p或q (3)非p
6．解：(1)这个命题是“p或q”的形式，其中p：12可以被3整除；q：12可以被4整除．
(2)这个命题是“p且q”的形式，其中p：3是12的约数；q：3是15的约数．
7．解：p或q：方程x2－4＝0的两根符号不同或绝对值相等．
p且q：方程x2－4＝0的两根符号不同且绝对值相等．
非p：方程x2－4＝0的两根符号相同．
8．解：(1)否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形；
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．
(2)否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零；否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．
(3)否定形式：若xy＝0，则x≠0且y≠0；
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.课时跟踪训练(十) 双曲线的标准方程
1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．
2．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF
2＝S△IPF1－λS△IF1F2，则λ＝________.
3．若方程＋＝1(k∈R)表示双曲线，则k的范围是________．
4．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.
5．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2＝(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是__________．
6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，)；
(2)过点P1(3，－4
)，P2(，5)．
7．设F1，F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝120°.求△F1PF2的面积．
8．如图，在△ABC中，已知|AB|＝4
，且三内角A，B，C满足2sin
A＋sin
C＝2sin
B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
答
案
课时跟踪训练(十)
1．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设PF1＝11，根据双曲线的定义知|PF1－PF2|＝2a＝10，∴PF2＝1或PF2＝21，而F1F2＝14，∴当PF2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF2＝21.
答案：21
2．解析：设△PF1F2内切圆的半径为r，则由S△IPF
2＝S△IPF
1－λS△IF
1F
2 ×PF2×r＝×PF1×r－λ×F1F2×r
PF1－PF2＝λF1F2，根据双曲线的标准方程知2a＝λ·2c，∴λ＝＝.
答案：
3．解析：依题意可知：(k－3)(k＋3)<0，求得－3答案：－34．解析：由双曲线－＝1可知a>0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.
答案：1
5．解析：∵·＝0，∴⊥.∴||2＋||2＝40.∴(||－||)2＝||2－2||·||＋||2＝40－2×2＝36.∴|||－|||＝6＝2a，a＝3.又c＝，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
6．解：(1)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)．
由双曲线的定义知，|PF1－PF2|
＝|－
|
＝|
－
|＝8，即2a＝8，则a＝4.
又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，分别将点P1(3，－4
)，P2(，5)代入，得解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.
7．解：由已知得a＝2，b＝1；c＝
＝，
由余弦定理得：
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos
120°
即(2
)2＝(PF1－PF2)2＋3PF1·PF2
∵|PF1－PF2|＝4.∴PF1·PF2＝.
∴S△F1PF2＝PF1·PF2·sin
120°＝××＝.
8．解：以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A(－2
，0)，B(2
，0)．设边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，由正弦定理得sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
∵2sin
A＋sin
C＝2sin
B，∴2a＋c＝2b，即b－a＝.
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2
<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．∵a＝，c＝2
，∴b2＝6.
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．