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26.2.1 建立反比例函数模型解实际问题
基础训练
1.完成某项任务可获得500元报酬,考虑由x人完成这项任务,试写出人均报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式: .
2.某单位要建一个矩形草坪,已知它的长是y米,宽是x米,且y与x之间的函数关系式为y=,当它的长为25米时,它的宽为 .
3.小华以每分钟x字的速度书写,y分钟写了300个字,则y与x的函数关系式为( )
A.y= B.y=300x C.x+y=300 D.y=
4.一定质量的干松木,当它的体积V=2 m3时,它的密度ρ=0.5×103 kg/m3,则ρ与V的函数关系式是( )
A.ρ=1 000 V B.ρ=V+1 000 C.ρ= D.ρ=
5.用规格为50 cm×50 cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块.如果改用规格为a cm×a cm的地板砖y块也恰好能密铺该客厅,那么y与a之间的关系式为( )
A.y= B.y= C.y=150 000a2 D.y=150 000a
6.拖拉机的油箱中有油40 L,工作时间y(h)与工作时每小时的耗油量x(L)之间的关系用图象大致可表示为( )
7.已知甲、乙两地的路程s(单位:km)是定值,汽车行驶的平均速度v(单位:km/h)和行完全程所用的时间t(单位:h)的函数图象大致是( )
8.在公式I=中,当电压U一定时,电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为( )
9.如图,O是一根均匀木杆的中点,定点B处悬挂重物A,动点C处用一个弹簧秤垂直下拉,使杠杆在水平位置平衡.在这个杠杆平衡实验中,弹簧秤的示数y(单位:N)与弹簧秤作用点C离点O的距离x(单位:cm)之间的函数关系的大致图象是( )
10.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示,设小矩形的长和宽分别为x,y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,则y与x的函数图象是( )
11.某发电站的额定电压为1500万伏,设该地的电流为x,电阻为y,则y与x之间的函数图象大致是( )
提升训练
12.一辆汽车往返于甲、乙两地之间,如果汽车以50 km/h的平均速度从甲地出发,那么经过6 h可到达乙地.
(1)甲、乙两地相距多少千米
(2)如果汽车把速度提高到v km/h,那么从甲地到乙地所用时间t将怎样变化
(3)写出t与v之间的函数解析式.
(4)因某种原因,这辆汽车需在5 h内从甲地到达乙地,则此时汽车的平均速度至少应是多少
(5)已知汽车的平均速度最大可达80 km/h,那么它从甲地到乙地最少需要多长时间
13.某机床加工一批机器零件,如果每小时加工30个,那么12小时可以完成.
(1)设每小时加工x个零件,所需时间为y小时,写出y与x之间的函数解析式,并画出函数图象;
(2)若要在一个工作日(8小时)内完成,每小时要比原来多加工几个
14.如图是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完蓄水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象.
(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量.
(2)写出此函数的解析式.
(3)如果要6 h排完蓄水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少
(4)如果每小时排水量是5 000 m3,那么蓄水池中的水需要多少小时排完
15.某超市出售一批休闲鞋,进价为80元/双,在日常销售中发现,该休闲鞋的日销售量y(单位:双)是售价x(单位:元/双)的反比例函数,且当售价为100元/双时,每日售出30双.
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)若超市计划日销售利润为1 400元,则售价应定为多少
16.我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种,如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化的函数图象,其中BC段是双曲线y=(k为常数,k≠0)的一部分.请根据图中信息解答下列问题:
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多久
(2)求k的值;
(3)当x=16时,大棚内的温度为多少度
17.某地计划用120~180天(含120天与180天)的时间建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为360万米3.
(1)写出运输公司完成任务所需时间y(天)关于平均每天的工作量x(万米3)的函数解析式,并给出自变量x的取值范围;
(2)由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石方比原计划多5 000米3,工期比原计划减少了24天,则原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3
18.保护生态环境,建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化工厂2015年1月的利润为200万元.设2015年1月为第1个月,第x个月的利润为y万元.由于排污超标,该厂决定从2015年1月底起适当限产,并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降,从1月到5月,y与x成反比例.到5月底,治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加20万元,如图.
(1)分别求该工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数解析式.
(2)治污改造工程完工后经过几个月,该厂月利润才能达到2015年1月的水平
(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期,问该厂资金紧张期共有几个月
参考答案
基础训练
1.y=
2.8米 3.A 4.D 5.A 6.D
7.B 8.D 9.A 10.A
11.错解:B
诊断:本题错在忽略了自变量的取值范围为x>0,解此类题时,求出函数的解析式后一定要联系实际确定自变量的取值范围.
正解:C
提升训练
12.解:(1)50×6=300(km),即甲、乙两地相距300 km.
(2)t将减小.
(3)t=(v>0).
(4)根据题意,得≤5,所以v≥60.故此时汽车的平均速度至少应是60 km/h.
(5)t==3.75(h),即这辆汽车从甲地到乙地最少需要3.75 h.
13.解:(1)需加工的零件数为30×12=360(个).
∴y与x之间的函数解析式为y=(x>0),函数图象如图.
(2)当y=8时,x=360÷8=45,45-30=15(个).
∴要在8小时内完成,每小时要比原来多加工15个.
14.解:(1)因为当蓄水量一定时,每小时的排水量与排水所用时间成反比例,所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为4 000×12=48 000(m3).
(2)因为此函数为反比例函数,
所以解析式为V=(t>0).
(3)如果要6 h排完蓄水池中的水,那么每小时的排水量为V==8 000(m3).
(4)如果每小时排水量是5 000 m3,那么排完蓄水池中的水所需时间为t==9.6(h).
15.解:(1)设y=(k≠0),
由题意,得30=,
解得k=3 000,
所以函数解析式为y=(x>0).
(2)令(x-80)·y=1 400,
即(x-80)·=1 400,解得x=150,
故售价应定为150元/双.
16.解:(1)12-2=10(h),即恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间为10 h.
(2)把点B的坐标(12,18)代入y=,得18=,解得k=216.
(3)由(2)得当x≥12时,y=.把x=16代入,得y==13.5,
即当x=16时,大棚内的温度为13.5 ℃.
17.解:(1)由题意易得y=(2≤x≤3).
(2)设原计划每天运送土石方m万米3,则实际每天运送土石方(m+0.5)万米3,根据题意得,-=24.解这个分式方程得,m=-3或m=2.5.经检验,m=2.5是该分式方程的解且符合题意,m=-3不符合题意,舍去.
m+0.5=2.5+0.5=3.
∴原计划每天运送土石方2.5万米3,实际每天运送土石方3万米3.
18.解:(1)设该工厂治污期间y与x之间对应的函数解析式为y=(1≤x≤5),治污改造工程完工后y与x之间对应的函数解析式为y=k2x+b(x>5).
将(1,200)代入y=中,得k1=200.
∴该工厂治污期间y与x之间对应的函数解析式为y=(1≤x≤5).
令x=5,则y==40.
∴治污改造工程顺利完工后,该厂第6个月的利润为60万元.
将(5,40),(6,60)代入y=k2x+b中,得
解得
即治污改造工程完工后y与x之间对应的函数解析式为y=20x-60(x>5).
(2)将y=200代入y=20x-60,得200=20x-60,解得x=13.
故改造工程完工后经过8个月,该厂月利润才能达到2015年1月的水平.
(3)将y=100代入y=(1≤x≤5)中,得100=,则x=2.
将y=100代入y=20x-60(x>5)中,得100=20x-60,则x=8.
月利润少于100万元的有3月、4月、5月、6月、7月,故该厂资金紧张期共有5个月.
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26.2.1 建立反比例函数模型解实际问题
数学
九年级下
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教学目标
导入新课
你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学
知识吗？
（1）体积为20cm 的面团做成拉面，面条的总长度y
与面条粗细（横截面积）s有怎样的函数关系？
（2）某家面馆的师傅收益精湛，
他拉的面条粗1mm2
面条总长是多少？
教学目标
导入新课
1
知识点
实际问题中的反比例函数关系式
下列问题中，如何利用函数来解答，请列出关系式
(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t
（单位:h）随该列车平 均速度v（单位:km/h）的变化
而变化；
(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草
坪的长为y随宽x的变化；
知1－导
教学目标
导入新课
知1－导
归 纳
利用反比例函数解决实际问题要建立数学模型，即
把实际问题转化为反比例函数问题，利用题中存在
的公式、隐含的规律等相等关系确定函数解析式，
再利用函数的图象及性质去研究解决问题．
教学目标
新课讲解
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积 为104 m3的圆柱
形煤气储存室.
储存室的底面积S (单位：m2)与其 深度d(单位：m)有 怎样的函数关系？
公司决定把储存室的底面积S定为 500 m2,施工队施工
时应该向地下掘进多深？
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，公司临
时改变计划， 把储存室的深度改为15 m.相应地，储
存室的底面积应改为多少（结果保留 小数点后两位)？
知1－讲
教学目标
新课讲解
解: (1)根据圆柱的体积公式，得Sd= 104，
所以S关于d的函数解析式为
(2)把S=500代入 得
解得d=20(m).
如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向
地下掘进20 m深.
知1－讲
教学目标
新课讲解
(3)根据题意，把d=15代入
得
解得
当储存室的深度为15 m时，底面积应改为666. 67 m2.
知1－讲
教学目标
新课讲解
知1－讲
总 结
利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际
问题中的等量关系，把实际问题转化为数学问题回
答.
教学目标
新课讲解
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完
毕恰好用了 8 天时间.
轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载
完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？
分析：根据“平均装货速度 × 装货天数=货物的总量”，
可以求出轮船装 载货物的总量；再根据“平均卸货速度
=货物的总量 ÷ 卸货天数”，得到v关 于t的函数解析式.
知1－讲
教学目标
新课讲解
解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得
k=30×8 = 240，
所以v关于t的函数解析式为
(2)把t=5代入
得 (吨/天).
知1－讲
教学目标
新课讲解
知1－讲
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载
完，那么平均每天卸载48吨.对于函数 当
t>0时，t越小，v越大.这样若货物不超过5天卸载完，
则平均每天至少要卸载48吨.
教学目标
新课讲解
知1－讲
总 结
利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
(1)审题，确定变量间的函数关系，设出含待定系数的函
数解析式；
(2)建立适当的平面直角坐标系；
(3)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(4)用待定系数法求出函数的解析式；
(5)利用反比例函数的图象及其性质去分析解决问题．
教学目标
巩固提升
如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1 L
(1 L=1 dm3)的圆锥形漏斗.
(1)漏斗口的面积S (单位：dm2)
与漏斗的深d (单位：dm)有
怎样的函数关系？
(2)如果漏斗口的面积为100 cm2，
那么漏斗的深为多少？
知1－练
解：(1) (2) 30cm.
教学目标
巩固提升
一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地.
(1)当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有
怎样的函数关系？
(2)如果该司机必须在4 h之内回到甲地，那么返程时
的平均速度不能小于多少？
知1－练
解：(1) (2) 120km/h.
教学目标
巩固提升
新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖. 已知楼体外表面的面积为5×103 m2.
(1)所需的瓷砖块数n与每块免砖的面积S (单位：m2)有
怎样的函数关系？
(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、
白和蓝三种颜色的瓷砖， 每块瓷砖的面积都是80
cm2，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为2 : 2 : 1，需
要三种瓷砖各多少块？
知1－练
解：(1)
(2) 250 000块，250 000块，125 000块.
3
教学目标
巩固提升
知1－练
4 某汽车的油箱一次加满汽油45 L，可行驶y km，设
该汽车每行驶100 km耗油x L，则y关于x的函数解
析式为____________．
电是商品，可以提前预购．小明家用购电卡购买
800 kW·h的电，那么这些电能够用的天数n(天)与
小明家平均每天的用电量m(kW·h)之间的函数解析
式为____________；如果平均每天用电4 kW·h，
那么这些电可用________天．
200
教学目标
巩固提升
知1－练
(中考·临沂)已知甲、乙两地相距20 km，汽车从甲
地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：h)关
于行驶速度v(单位：km/h)的函数关系式是( )
A．t＝20v B.
C． D．
B
教学目标
巩固提升
知1－练
小华以每分x个字的速度书写，y min写了300个
字，则y与x的函数关系式为( )
A． B．y＝300x
C．x＋y＝300 D．
A
教学目标
巩固提升
知1－练
用规格为50 cm×50 cm的地板砖密铺客厅恰好需
要60块．如果改用规格为a cm×a cm的地板砖y块
也恰好能密铺该客厅，那么y与a之间的关系式为
( )
A． B．
C．y＝150 000a2 D．y＝150 000a
A
教学目标
新课讲解
2
知识点
实际问题中的反比例函数的图象
知2－讲
学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y 天.
（1）则y与x之间有怎样的函数关系？
（2）画函数图象
教学目标
新课讲解
知2－讲
解：（1）煤的总量为：0.6×150=90吨，
∵
∴
（2）函数的图象为：
教学目标
新课讲解
总 结
知2－讲
针对具体的反比例函数解答实际问题，应明确其
自变量的取值范围，所以其图形是反比例函数图形的
一部分.
教学目标
新课讲解
知2－讲
例3 水池内原有12 m3的水，如果从排水管中每小时流
出x m3的水，那么经过y h就可以把水放完．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)画出函数的图象；
(3)当x＝6时，求y的值．
(1)由生活常识可知xy＝12，从而可得y与x之间的函
数关系式．(2)画函数的图象时应把握实际意义，
即x＞0，所以图象只能在第一象限内．(3)直接把x
＝6代入函数关系式中可求出y的值．
导引：
教学目标
新课讲解
知2－讲
解：(1)由题意，得xy＝12，
所以 (x＞0)．
(2)列表如下：
x(x＞0) … 2 4 6 8 12 …
… 6 3 2 1.5 1 …
教学目标
新课讲解
知2－讲
描点并连线，
如图所示．
(3)当x＝6时，
教学目标
新课讲解
总 结
知2－讲
考虑到本题中时间y与每小时排水量x的实际意义，因
而x应大于0，因此在画此实际问题中的反比例函数的
图象时，只能画出第一象限的一个分支，第三象限的
分支在此题中必须舍去．
教学目标
巩固提升
1 已知甲、乙两地相距s (单位：km)，汽车从甲地匀速
行驶到乙地，则汽车行驶 的时间t (单位：h)关于行驶
速度v(单位：km/h)的函数图象是( )
知2－练
C
教学目标
巩固提升
【2016·海南】某村耕地总面积为50万m2，且该村人均耕地面积y(单位：万m2/人)与总人口x(单位：人)的函数图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y 与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为
2 m2，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，
人均耕地面积为1万m2
知2－练
2
D
教学目标
巩固提升
知2－练
3 【中考·来宾】已知矩形的面积为10，相邻两边的
长分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是( )
C
教学目标
巩固提升
知2－练
4 (中考·宜昌)如图，市煤气公司计划在地下修建一个
容积为104 m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面
积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)的函数图象大致
是( )
A
教学目标
课堂小结
用反比例函数解决实际问题的步骤：
(1)审清题意，找出问题中的常量、变量(有时常量、变量
以图象的形式给出)，并且理清常量与变量之间的关系；
(2)根据常量与变量之间的关系，设出反比例函数解析式；
(3)利用待定系数法确定函数解析式，并注意自变量的取
值范围；
(4)利用反比例函数的图象与性质解决实际问题．
1
知识小结
教学目标
课堂小结
三角形的面积为8 cm2，底边上的高y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系用图象来表示是( )
易错点：忽视自变量的实际意义造成错误.
D
2
易错小结
谢 谢！
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