课件53张PPT。第三章 概 率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率【自主预习】
主题1:必然事件、不可能事件和随机事件
1.考察下列事件:(1)太阳从西边落下.(2)向上抛出的石头会下落.(3)在标准大气压下水温升高到100℃会沸腾.这些事件就其发生与否有什么共同特点?
提示:都是必然要发生的事件.2.考察下列事件:(1)在没有水分的真空中种子发芽. (2)在常温常压下钢铁融化.(3)铁球浮在水中.这些事件就其发生与否有什么共同特点?
提示:都是不可能发生的事件.3.考察下列事件:(1)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯;(2)山东地区一年里7月15日这一天最热;(3)抛掷一个骰子出现的点数为偶数.这些事件就其发生与否有什么共同特点?
提示:都是可能发生也可能不发生的事件.结合以上实例,总结必然事件、不可能事件和随机事件的定义:一定不会发生一定会发生可能发生也可能不发生主题2:事件A发生的频率与概率
1.请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币20次,其他同学观看并且记录硬币正面朝上的次数,这四位同学所掷硬币正面向上的次数相同吗?
提示:因为抛掷硬币是随机事件,做同样次数的重复试验,四位同学正面向上的次数可能不相同.2.随着试验次数的增加,硬币正面朝上的次数与试验总次数的比怎样变化?
提示:随试验次数的增加,比值趋于一个确定的常数.通过以上探究,试着写出频率与概率的定义:
频率与频数:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一
事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的
______为事件A出现的频数,称事件A出现
的比例fn(A)=___为事件A出现的频率.
?次数nA概率: (1)含义：
概率是度量随机事件发生的___________的量.
(2)与频率联系：
对于给定的随机事件A，事件A发生的__________
随着试验次数的增加稳定于_________，因此可
以用_________来估计_________. 可能性大小频率fn(A)概率P(A)频率fn(A)概率P(A)【深度思考】
结合教材上的实例,你认为频率与概率的关系是怎样的?
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________________________________________________一、频率在一定程度上可以反映事件发生可能性的大小,但频率又不是一个完全确定的数,随着试验次数的不同,产生的频率也可能不同,所以频率无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小.频率虽然不能很准确________________________________________________
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____地反映出事件发生的可能性的大小,但从大量的重复试验中发现,随着试验次数的增多,频率就稳定于某一固定值.即频率具有稳定性,这时就把这一固定值称为概率.________________________________________________
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____________________二、概率用来度量随机事件发生的可能性大小,在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.也就是说频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.【预习小测】
1.下列事件中的随机事件为 ( )
A.若a,b,c都是实数,则a(bc)=(ab)c
B.没有水和空气,人也可以生存下去
C.抛掷一枚硬币,反面向上
D.在标准大气压下,温度达到60℃时水沸腾【解析】选C.A中的等式是实数乘法的结合律,对任意实数a,b,c是恒成立的,故A是必然事件.在没有空气和水的条件下,人是绝对不能生存下去的,故B是不可能事件.抛掷一枚硬币时,在没得到结果之前,并不知道会是正面向上还是反面向上,故C是随机事件.在标准大气压的条件下,只有温度达到100℃,水才会沸腾,当温度是60℃时,水是绝对不会沸腾的,故D是不可能事件.2.下面的事件:①掷一枚硬币,出现反面;②异性电荷相互吸引;③3+5>10.必然事件是 ( )
A.② B.③ C.① D.②③【解析】选A.①是随机事件;②是必然事件;③是不可能事件.根据事件的相关概念可判断.3.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A出现的频数为________,事件A出现的频率为________.【解析】100次试验中有48次正面朝上,则52次反面朝
上,则频率= =0.52.
答案:52 0.524.从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个.
①三个正品;②两个正品,一个次品;③一个正品,两个次品;④三个次品;⑤至少一个次品;⑥至少一个正品.
其中必然事件是________,不可能事件是________,随机事件是________.【解析】从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是:“三个全是正品”,“二个正品一个次品”,“一个正品二个次品”.
答案:⑥ ④ ①②③⑤【补偿训练】袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球.
(2)从中任取2球.【解析】(1)条件为:从袋中任取1球.结果为:红、白、黄、黑4种.
(2)条件为:从袋中任取2球.若记(红,白)表示一次试验中,取出的是红球与白球,结果为:(红,白),(红,黄), (红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)6种.【互动探究】
1.判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件的关键是什么?
提示:关键是判断在一定的条件下所出现的某种结果是一定发生、一定不发生、还是不一定发生.2.随机事件概念中的“在条件S下”能否去掉?你能举例说明吗?
提示:不能.因为在不同的条件下试验结果往往是不一样的,当条件改变时,事件的性质要改变,如常温下水是液态的.改变条件:在-10℃,水是液态的就是不可能事件.3.概率为1的事件是否一定发生?概率为0的事件是否一定不发生?为什么?提示:任何事件发生的概率都是区间[0,1]的一个确定的数,用来度量该事件发生的可能性.小概率(接近于0)事件不是不发生,而是很少发生,大概率(接近于1)事件不是一定发生,而是经常发生,因此概率为1的事件不一定必然发生,同样概率为0的事件也不一定不发生.【拓展延伸】频率与概率区别与联系的常见表述
(1)频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性的大小.
(2)频率是不能脱离具体的n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值.
(3)频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.【探究总结】
知识归纳:方法总结:随机事件概率的理解及求法
(1)理解:概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率.(2)求法:通过公式fn(A)= 计算出频率,再由频率估算概率.【题型探究】
类型一:事件的结果和类型的判断
【典例1】(1)在1,2,3,…,10这10个数字中,任取3个数字,那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上选项均不正确(2)一次掷出质地均匀的硬币三枚,写出可能出现的所有结果.【解题指南】(1)根据事件的定义进行判断.
(2)观察所给事件的条件,按顺序写出所有结果.【解析】(1)选C.若取1,2,3,则和为6,否则和大于6,所以“这三个数字的和大于6”是随机事件.
(2)每枚硬币都有正面向上,反面向上两种结果,一共有8种可能结果.(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正), (反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).【规律总结】随机试验满足的三个条件
(1)试验是在相同的条件下重复进行的.
(2)试验的所有结果是明确可知的,但不止一个.
(3)每次试验的结果只有一个,但在试验之前,不能确定试验会出现其中的哪一个结果.特别提醒:在根据随机试验的条件写试验结果时,要按照一定的顺序,采用列举法写出全部结果,注意不能重复也不能遗漏.【巩固训练】指出下列事件哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?
(1)函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称.
(2)某人给其朋友打电话,却忘记了朋友电话号码的最后一个数字,就随意拨了一个数字,恰巧是朋友的电话号码.(3)直线y=kx+6是定义在R上的增函数.
(4)若|a+b|=|a|+|b|,则a,b同号.【解析】必然事件有(1);随机事件有(2)(3)(4).对于(4),当|a+b|=|a|+|b|时,有两种可能:一种可能是a,b同号,即ab>0,另外一种可能是a,b中至少有一个为0,即ab=0.类型二:随机事件的频率与概率
【典例2】国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测,结果如表所示:(1)计算表中优等品的各个频率.
(2)从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是多少?【解题指南】(1)根据频率的计算公式求解.
(2)由频率计算公式,求出每个抽取球数对应的频率,根据频率的近似值,得出概率.【解析】(1)如下表(2)根据频率与概率的关系,可以认为从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是0.95.【延伸探究】
1.(改变问法)典例2中条件不变问法改为“若从中任意抽取100个球,优等品数目是否一定为95个?”【解析】由典例的解析可知,任取一个球为优的概率为0.95,因此任取100个球,理论上应有95个优等品,但实际抽取中可能不是95个,但一定在95个左右摆动.2.(改变问法)典例2中条件不变问法改为“若随机抽取3 000个球,则优等品的数目大约是多少?”
【解析】由典例解析知任取一个球为优的概率为0.95.因此抽取3 000个球大约有3 000×0.95=2 850个优等品.【规律总结】
1.根据频率求随机事件概率的步骤
(1)利用频率的计算公式fn(A)= ,计算出频率值.
(2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.2.求频率的稳定值的方法
根据频数和重复试验的次数计算频率,可直接观察频率稳定在哪个常数附近,用它来估计概率值,也可在坐标系内描出各点(横坐标为次数,纵坐标为频率),观察频率值在哪个常数附近波动,则这个常数就可作为概率的近似值.【巩固训练】某市统计的2013年～2016年新生儿出生数及其中男婴数(单位:人)如下表:(1)试计算2013年～2016年每年男婴出生频率(精确到0.001).
(2)该市男婴出生的概率约是多少?【解析】(1)2013年男婴出生的频率为 ≈0.504.
同理可求得2014年、2015年和2016年男婴出生的频率
分别约为0.490,0.512,0.513.
(2)由以上计算可知,各年男婴出生的频率在0.49～
0.51之间,所以该市男婴出生的概率约为0.5.随机事件的概率
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.给出关于满足A?B的非空集合A,B的四个命题:
①若任取x∈A,则x∈B是必然事件;
②若任取x?A,则x∈B是不可能事件;
③若任取x∈B,则x∈A是随机事件;
④若任取x?B,则x?A是必然事件.
其中真命题的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.由真子集的定义可知:①③④是真命题,②是假命题.
2.(2016·新乡高一检测)在掷一枚硬币的试验中,共掷了100次,“正面向上”的频率为0.49,则“正面向下”的次数为 ( )
A.0.49 B.49 C.0.51 D.51
【解析】选D.“正面向上”的次数为100×0.49=49.
故“正面向下”的次数为100-49=51.
3.下列说法正确的是 ( )
A.概率是随机的,在试验前不能确定
B.在标准大气压下,水加热到90℃时会沸腾是必然事件
C.频率是客观存在的与试验次数无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
【解析】选D.A选项不正确,概率是客观存在,是确定的;B选项不正确,在标准大气压下,水加热到90℃时,不会沸腾.因此这是不可能事件;C选项不正确,频率是某项试验的结果,它是随试验次数的变化而变化的,不是客观存在的,故不正确;D选项正确,因为随着试验次数的增加,频率会逐渐稳定于某一个确定的常数附近,一般认为此常数即为所研究事件的概率.
4.(2016·成都高一检测)下列说法中,不正确的是 ( )
A.某人射击10次,击中靶心8次,则他击中靶心的频率是0.8
B.某人射击10次,击中靶心7次,则他击中靶心的概率是0.7
C.某人射击10次,击中靶心的频率是,则他应击中靶心5次
D.某人射击10次,击中靶心的频率是0.6,则他击不中靶心的次数应为4次
【解析】选B.根据频率=知A、C、D正确,B中应为频率为0.7并不一定是概率.
【易错警示】频率不一定是概率,只有当试验次数很大时频率才可近似看成概率.
5.“连续抛掷两枚质地均匀的骰子,记录朝上的点数”,该试验的结果共有
( )
A.6种 B.12种 C.24种 D.36种
【解析】选D.试验的全部结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3)(6,4),(6,5),(6,6),共36种.
6.(2016·广州高一检测)从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
则取到号码为奇数的频率是 ( )
A.0.53 B.0.5
C.0.47 D.0.37
【解析】选A.取到号码为奇数的频率是=0.53.
7.某人将一枚均匀的正方体骰子,连续抛掷了100次,出现6点的次数为19,则
( )
A.出现6点的概率为0.19
B.出现6点的频率为0.19
C.出现6点的频率为19
D.出现6点的概率接近0.19
【解析】选B.频率==0.19,频数为19.
8.已知α,β,γ是平面,a,b是两条不重合的直线,下列命题正确的是 ( )
A.“若a∥b,a⊥α,则b⊥α”是随机事件
B.“若a∥b,a?α,则b∥α”是必然事件
C.“若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β”是必然事件
D.“若a⊥α,a∩b=P,则b⊥α”是不可能事件
【解题指南】以立体几何为背景考查随机事件,对四个选项中涉及的空间中线面关系进行判断,由随机事件的定义确定其是否为随机事件.
【解析】选D.A选项中,a∥b,a⊥α,则b⊥α一定成立,故这是一个必然事件,命题不正确;
B选项中,若a∥b,a?α,则b∥α不一定正确,因为b可能在平面α内,命题不正确;
C选项中,若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β不一定成立,垂直于同一个平面的两个平面其位置关系可以相交,也可以平行,还可以垂直,故命题不正确;
D选项中,若a⊥α,a∩b=P,则b⊥α,不可能成立,故是不可能事件,命题正确.故选D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.从3双鞋子中,任取4只,其中至少有两只鞋是一双,这个事件是________(填“必然”,“不可能”或“随机”)事件.
【解析】由题意知该事件为必然事件.
答案:必然
10.在必修2的立体几何课上,小明同学学完了简单组合体的知识后,动手做了一个不规则形状的五面体,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
则落在桌面的数字不小于4的频率为________.
【解析】落在桌面的数字不小于4,即4,5的频数共13+22=35.所以频率==0.35.
答案:0.35
三、解答题
11.(10分)指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件?
(1)如果a,b都是实数,那么a+b=b+a.
(2)从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张,得到4号签.
(3)没有水分,种子发芽.
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫.
(5)在标准大气压下,水的温度达到50℃时沸腾.
【解析】结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知(1)是必然事件;(3),(5)是不可能事件;(2),(4)是随机事件.
【补偿训练】某人做试验“从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取小球两次,每次取一个,构成有序数对(x,y),x为第一次取到的小球上的数字,y为第二次取到的小球上的数字”.
(1)求这个试验结果的种数.
(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.
【解析】(1)当x=1时,有(1,2),(1,3),(1,4)三种结果.
当x=2时,有(2,1),(2,3),(2,4)三种结果.
当x=3时,有(3,1),(3,2),(3,4)三种结果.
当x=4时,有(4,1),(4,2),(4,3)三种结果.
故这个试验共有3×4=12种结果.
(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
3.1.1 随机事件的概率
课堂10分钟达标
1.下列现象中,是随机现象的有 ( )
①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;
②若a为整数,则a+1为整数;
③发射一颗炮弹,命中目标;
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.当a为整数时,a+1一定为整数,是必然现象,其余3个均为随机现象.
2.一个家庭中先后有两个小孩,则他(她)们的性别情况可能为 ( )
A.男女、男男、女女 B.男女、女男
C.男男、男女、女男、女女 D.男男、女女
【解析】选C.因为每一个孩子的性别都是随机的,第一个孩子可能是男孩,也可能是女孩,第二个孩子也是这样.
3.某人将一枚硬币连掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的 ( )
A.概率为 B.频率为
C.频率为6 D.概率接近0.6
【解析】选B.抛掷一次即进行一次试验,抛掷10次,正面向上6次,即事件A的频数为6,所以A的频率为=.
4.已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,那么共进行了________次试验.
【解析】设进行了n次试验,则有=0.02,得n=500,故进行了500次试验.
答案:500
5.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次10环,3次9环,4次8环,1次脱靶,在这次练习中,求这个人中靶的频率及中9环的频率分别是多少?
【解析】打靶10次,9次中靶,故中靶的频率为=0.9,其中3次中9环,故中9环的频率是=0.3.
【能力挑战题】(1)某厂一批产品的次品率为,问任意抽取其中的10件产品是否一定会发现一件次品?为什么?
(2)10件产品的次品率为,问这10件中必有一件次品的说法是否正确?为什么?
【解析】(1)不一定,此处次品率指概率.从概率的统计定义看,当抽取件数相当多时,其中出现次品的件数与抽取总件数之比在附近摆动,是随机事件结果,而不是确定性数字结果,事实上这10件产品中有11种可能,全为正品,有1件次品,2件次品,……,直至有10件次品,本题若改为“可能有一件次品”便是正确的了.
(2)正确.这是确定性数学问题.
课件79张PPT。3.1.2
概率的意义【自主预习】
主题1:概率的理解
1.有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种说法正确吗?提示:这种说法是错误的,抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,它是大量试验得出的一种规律性结果,对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性,在连续抛掷一枚硬币两次的试验中,可能两次均正面朝上,也可能两次均反面朝上,也可能一次正面朝上,一次反面朝上.2.若某种彩票准备发行1 000万张,其中有1万张可以中奖,则买一张这种彩票的中奖概率是多少?买1 000张的话是否一定会中奖?提示:中奖的概率为1/1 000;不一定中奖,因为买彩票是随机的,每张彩票都可能中奖也可能不中奖.买彩票中奖的概率为1/1 000,是指试验次数相当大,即随着购买彩票的张数的增加,大约有1/1 000的彩票中奖.总结以上两个实例,概括对概率的正确理解:
随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中
含有_______,认识了这种随机性中的_______,就能使
我们比较准确地预测随机事件发生的_______.概率只
是度量事件发生的可能性的_____,不能确定是否发生.规律性规律性可能性大小主题2:游戏的公平性
1.某中学要在高一年级的二、三班中任选一个班参加社区服务活动,有人提议用如下方法选班:掷两枚硬币,正面向上记作2点,反面向上记作1点,两枚硬币的点数和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?提示:两枚硬币的点数和可列下表:很明显,试验的结果共有4种,而点数3占了两种,点数2和4各占一种,因此,每个班被选中的概率是不同的,这种方法是不公平的.2.上题中怎样设计规则才会公平呢?
提示:在其他条件不变的情况下,规则改为“两枚硬币的点数和是偶数选二班,点数和是奇数选三班”,由上表可知,此时游戏的规则是公平的.通过以上实例,总结游戏的公平性:
(1)在设计某种游戏规则时,一定要考虑这种规则对每
个参赛个体都是_____的这一重要原则.
(2)在各类游戏中,如果每人获胜的_________,那么游
戏就是公平的,否则就是不公平的.公平概率相等主题3:决策中的概率思想
根据下面的游戏规则:现有不透明的两个袋子,甲袋中有99个红球和1个黑球,乙袋中有1个红球和99个黑球.今随机地从一袋中抽取一球.回答下列问题:1.试分别计算从两个袋中抽取一个红球的可能性是多
少?
提示:甲袋中有99个红球和1个黑球,故随机地取出一球,
得到红球的可能性是 ;乙袋中有1个红球和99个黑球,
从中任取一球,得到红球的可能性是 .2.若随机抽取的是红球,问这球可能是从哪一个袋子中取出的?提示:因为从甲袋中取出一球是红球的概率比从乙袋中取出一球是红球的概率大.由极大似然法,既然在一次抽样中取到红球,当然可以认为是从概率大的袋子中取出的.所以我们可以作出推断:该红球是从甲袋中取出的.通过实例,总结决策中的概率思想:
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题,那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则,这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.【深度思考】
通过教材P113～P118实例的分析,你对概率是怎样认识
的?
________________________________________________
___________________________________
_______________________________________________1.概率存在于生活的方方面面,对概率的正确理解能指导生活,纠正生活中一些不正确的认识.2.概率是随机现象的统计规律,它具有相对的稳定性.【预习小测】
1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”,对预测的正确理解是 ( )
A.本市明天将有90%的地区降雨
B.本市明天将有90%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定会淋雨
D.明天出行不带雨具可能会淋雨【解析】选D.降雨概率为90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为90%,明天也可能不下雨.2.某医院治疗一种疾病的治愈率为 ,那么,前4个病人
都没有治愈,第5个病人治愈的概率是 ( )
A.1 B. C. D.0【解析】选B.每一个病人治愈与否都是随机事件,故第
5个人被治愈的概率仍为 .3.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是 ( )
A.抛一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则甲胜,两枚都是正面向上则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则甲胜,是黑色的则乙胜
D.甲,乙两人各写一个数字,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜【解析】选B.A项,P(点数为奇数)=P(点数为偶数)
= ;B项,P(一枚正面向上)= ,P(两枚都正面向上)
= ;C项,P(牌色为红)=P(牌色为黑)= ;D项,P(同奇或
同偶)=P(不同奇偶)= .4.玲玲和倩倩是一对好朋友,她俩都想去观看某明星的演唱会,可手里只有一张票,怎么办呢?玲玲对倩倩说: “我向空中抛2枚同样的一元硬币,如果落地后一正一反,就我去;如果落地后两面一样,就你去!”你认为这个游戏公平吗?答:________.【解析】两枚硬币落地共有四种结果:
正,正;正,反;反,正;反,反.
由此可见,她们两人得到门票的概率是相等的,所以公平.
答案:公平【补偿训练】若经检验,某厂的产品合格率为90%,问“从该厂产品中任意地抽取10件,其中一定有9件合格品”这种说法是否正确?为什么?【解析】不正确.因为产品的合格率为90%,指的是任意的抽取100件产品中可能有90件合格品,是随机事件,因此不能说10件产品中一定有9件合格品.【互动探究】
1.甲射手击中靶心的概率是0.9,乙射手击中靶心的概率是0.3,甲、乙两名射手各射击5次,能否认为甲射手一定比乙射手击中靶心的次数多?提示:不能,从概率的统计定义出发,甲击中靶心的概率
是0.9,并不意味着射击10次就一定能击中9次,只有进
行大量射击试验时,击中靶心的次数约为 n,其中n为
射击次数,而且当n越大时,击中的次数就越接近 n.同
样,乙击中的次数就越接近 n.但随机事件在一次试验中发生与否是随机的,并不是概率大就一定会发生,概
率小就不会发生.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.2.一个公平的游戏规则,它的标准是什么?
提示:规则是否公平,标准是获胜的概率是否相等,另外,同一种游戏,规则不同,公平性就不一样.对于一个不公平的游戏规则,使它公平的方法是什么?
提示:一是修改游戏规则,使每次游戏参赛各方获胜的机会均等;另一种是修改游戏工具,即选择或设计使每次游戏参赛各方获胜的机会均等的工具.3.如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点,你认为这枚骰子的质地是均匀的,还是不均匀的?如何解释这种现象?提示:这枚骰子的质地不均匀,统计中极大似然法思想
的概率解释是:在一次试验中概率大的事件比概率小的
事件出现的可能性大.如果这枚骰子的质地均匀,那么
抛掷一次出现1点的概率为 ,连续10次都出现1点的概
率为 =0.000 000 016 538,这是一个小概率事件,
几乎不可能发生.所以我们认为这枚骰子的质地不均匀.4.概率的正确理解和极大似然法是否矛盾?
提示:不矛盾,极大似然法只是一个统计思想方法,概率大其发生的可能性大,概率小发生的可能性小,但实际生活中的小概率事件也可能发生,如彩票中奖,几乎每期都有中大奖的.【拓展延伸】概率与生活的联系
彩票投注的中奖概率分布完全符合概率论的原理.彩票
的投注方法是一个玩数字的游戏.彩票号码的摇出是随
机事件,也可以说是一个随机现象,属概率论的一个基
本概念.我们引入彩票的一对常用语“冷门号码”及“热门号码”.有了“冷门号码”及“热门号码”的概念,我们只要捕捉到这种机会及时发现它们,将会提高中奖几率.以七乐彩为例,概率分布的四条法则:(1)奇数、偶数出现的次数应各占总数的 (不确定因
素除外).
(2)大数、小数出现的次数应各占总数的 (不确定因
素除外).(3)01～10区段、11～20区段、21～30区段,三区段出
现的数各占总数的 (不确定因素除外).
(4)各数出现的次数,随着试验(开奖)次数的增加不断
靠近平均值(不确定因素除外). 综上所述,随机的摇球事件随着试验(开奖)次数的
增加都会显示出它的某些规律性,而这种规律性可以借
助概率论的知识,利用概率统计法分析判断号码.今后
在选择号码时,首先应学会统计以下几种基本指标:奇
偶比、大小比、区域比等.通过数字统计,运用概率论原理来判断冷热号码出现的周期,分析号码可能出现的区段,缩小精选号码范围,为新一期选择号码提供参考依据,从而提高中奖的几率.【探究总结】
知识归纳:方法总结:
极大似然法:即“使得样本出现的可能性最大”作为决策的准则,它是统计中重要的统计思想方法之一.【题型探究】
类型一:概率的意义
【典例1】(1)下列说法正确的是 ( )
A.由生物学知道生男生女的概率均为 ,一对夫妇生两
个孩子,则一定生一男一女B.一次摸奖活动中,中奖概率为 ,则摸5张票,一定有
一张中奖
C.做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正
面的概率是
D.在同一年出生的367人中,至少有两人生日为同一天(2)有人告诉你,放学后送你回家的概率如下:
a.50%;b.2%;c.90%.
试将以上数据分别与下面的文字描述相配.
①很可能送你回家,但不一定送.
②送与不送的可能性一样多.
③送你回家的可能性极小.【解题指南】1.一个事件发生的概率反映事件发生的可能性的大小.2.随机事件的概率无论大小,该事件都有可能发生也有可能不发生.【解析】(1)选D.A不正确,概率为 是大量试验的结果
并不是两次试验中一定有一次发生;同理B不正确;C抛
硬币时出现正面的概率是 ,不是 ,所以C不正确;D因
为一年有365天(或366天),所以同一年出生的367人中
至少有两人生日相同.(2)概率为50%,指事件发生的可能性为50%,与②相配;概率为2%,指事件发生的概率较小,与③相配;概率为90%指事件发生的可能性很大,与①相配.【规律总结】利用概率的意义解题的三个关键点
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
(3)正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系,对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.【巩固训练】每道选择题有4个选项,其中只有1个选项
是正确的,某次考试共12道选择题,某同学说:“每个选
项正确的概率是 ,若每题都选择第一个选项,则一定
有3道题的选择结果正确.”这句话 ( )
A.正确 B.错误
C.有一定道理 D.无法解释【解析】选B.从四个选项中正确选择选项是一个随机
事件, 是指这个事件发生的概率,实际上,做12道选择
题相当于做12次试验,每次试验的结果是随机的,因此
每题都选择第一个选项可能没有一个正确,也可能有2
个,3个,…,12个正确.因此该同学的说法是错误的.类型二:概率的实际应用
【典例2】如图所示,有两个可以自由转
动的均匀转盘A,B,转盘A被平均分成3等
份,分别标上1,2,3三个数字;转盘B被平均分成4等份,
分别标上3,4,5,6四个数字.现为甲、乙两人设计游戏规则:自由转动转盘A和B,转盘停止后,指针分别指向一个数字,将指针所指的两个数字相加,如果和是6,那么甲获胜,否则乙获胜,你认为这个规则公平吗?【解题指南】列出所有试验的结果,然后根据结果判断两者获胜的概率是否相等,若相等游戏公平,否则不公平.【解析】不公平.列表如下:由表可知,可能的结果有12种,和为6的结果只有3种.因
此甲获胜的概率为 乙获胜的概率为
甲、乙获胜的概率不相等,所以这种游戏规则不公平.【延伸探究】
1.(变换条件)本例中,若将游戏规则改为:自由转动转盘A和B,转盘停止后,两个指针指向的两个数字相乘,如果积是偶数,那么甲获胜,否则乙获胜,游戏规则公平吗?【解析】不公平.列表如下:由表格可知,积为偶数的有8个,积为奇数的有4个,所以
甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 甲、
乙获胜的概率不相等,所以这种游戏规则不公平.2.(变换条件)若将本例中的转盘B换为如
图所示,且将游戏规则改为:自由转动转
盘A和B,转盘停止后,两个指针指向的两
个数字相加,如果和是偶数,那么甲获胜,否则乙获胜,游戏规则公平吗?【解析】该游戏规则是公平的,理由如下:
各种情况如表所示:由表格可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数
字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种,所以甲获胜
的概率P1= 乙获胜的概率P2= 即P1=P2,机
会是均等的,所以该游戏规则对双方是公平的.【规律总结】判断游戏规则公平性的关键及步骤
(1)关键:一种游戏对每个人来说是否公平,关键是看在这一游戏规则下,每个人获胜的概率是否相等.
(2)步骤:
①先借助概率计算公式,计算每个人获胜的概率;
②根据计算的结果判断.【巩固训练】某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟随机抽取一名学生,登记佩带胸卡的学生的名字.结果,150名学生中有60名佩带胸卡.第二次检查,调查了初中部的所有学生,有500名学生佩带胸卡.据此估计该中学初中部一共有多少名学生.【解析】设初中部有n名学生,依题得 解得
n=1 250.所以该中学初中部共有学生大约1 250名.类型三:极大似然法的应用
【典例3】某学校将要举行一系列的篮球比赛,为此学
校购买了100个篮球.但由于采购人员把关不严,发现有
30个篮球有质量问题.68个质量合格的篮球和2个质量
不合格的篮球被存放在左边的篮球架上,2个质量合格的篮球和28个质量不合格的篮球被存放在右边的篮球架上.体育课上,体育老师派张玉和王强去器材室拿两个篮球.回来后老师发现王强拿回来的篮球是质量合格的,而张玉拿回来的篮球是质量不合格的.问王强是从哪个篮球架上拿的篮球?张玉呢?【解题指南】根据题意与极大似然法,做出判断的依据是“样本出现的可能性最大”.【解析】左边的篮球架上有68个质量合格的篮球和2个
质量不合格的篮球,拿到质量不合格的篮球的可能性是
右边的篮球架上有2个质量合格的篮球和28个
质量不合格的篮球,拿到质量不合格的篮球的可能性是 由此可以看出,从右边篮球架上拿到质量不合格的篮球的概率比从左边篮球架上拿到质量不合格的篮球的概率大得多.由极大似然法知,既然张玉拿到的是质量不合格的篮球,所以我们可以做出统计推断认为他是从右边篮球架上拿的.同理可以认为王强是从左边的篮球架上拿到的篮球.【规律总结】使用极大似然法的前提及依据
(1)前提:面临的是从多个可选的答案中挑选正确答案的决策任务.(2)依据:在一次试验中,概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大,小概率事件很少发生,而大概率事件经常发生,故可利用随机事件发生的概率大小来帮助我们做出正确的决策.【巩固训练】某市交警部门在调查一起车祸的过程中,
所有的目击人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,
但由于天黑,均未看清该车的车牌号及颜色,而该市有
两家出租车公司,其中甲公司有100辆桑塔纳出租车,
3 000辆帕萨特出租车,乙公司有3 000辆桑塔纳出租车, 100辆帕萨特出租车,交警部门应认为肇事车为哪个公司的车辆比较合理? ( )
A.甲公司 B.乙公司
C.甲与乙公司 D.以上都对【解析】选B.由题可判断得甲公司桑塔纳车的概率为
≈0.03,乙公司桑塔纳车的概率为 ≈0.97.
由极大似然法可得.概率的意义
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品.若用C表示抽到次品这一事件,则对C这一事件发生的说法正确的是 ( )
A.概率为
B.频率为
C.概率大于
D.每抽10台电视机,必有1台次品
【解析】选B.频率是概率的近似值,随着试验次数的增多,频率逐渐稳定于概率.
2.下列说法正确的是 ( )
A.一次摸奖活动中,中奖概率为,若摸5张票,前4张都未中奖,则第5张一定中奖
B.先后抛掷两枚大小一样的硬币,两枚都出现反面的概率是
C.10张票中有2张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到的可能性大
D.10张票中有2张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是
【解析】选D.选项A是错误的,因为第5张中奖的概率为;选项B中两枚都出现反面的概率是,选项C中先摸与后摸的可能性一样大,对于选项D,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是.
【补偿训练】给出下列三个命题,其中正确命题的个数是 ( )
(1)设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;
(2)做5次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是;
(3)随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.(1)概率指的是可能性,错误;(2)频率为,而不是概率,故错误;(3)频率不是概率,错误.
3.从12件同类产品中(其中10件正品,2件次品),任意抽取6件产品,下列说法中正确的是 ( )
A.抽出的6件产品必有5件正品,1件次品
B.抽出的6件产品中可能有5件正品,1件次品
C.抽取6件产品时,逐个不放回地抽取,前5件是正品,第6件必是次品
D.抽取6件产品时,不可能抽得5件正品,1件次品
【解题指南】先求出对应的概率,然后根据概率的正确理解选出正确答案.
【解析】选B.从12个产品中抽到正品的概率为=,抽到次品的概率为=,
所以抽出的6件产品中可能有5件正品,1件次品.
4.根据某医疗所的调查,某地区居民血型的分布为:O型50%,A型15%,AB型5%,B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率为 ( )
A.50% B.15% C.45% D.65%
【解析】选A.仅有O型血的人能为O型血的人输血,故选A.
5.给出下列四种说法,正确的是 ( )
A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品
B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是
【解析】选D.A错,次品率是大量产品的估计值,并不是针对200件产品来说的.B,C混淆了频率与概率的概念.D正确.
6.“某彩票的中奖概率为”意味着 ( )
A.买1 000张彩票就一定能中奖
B.买1 000张彩票中一次奖
C.买1 000张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性是
【解析】选D.根据概率的意义知中奖概率为意味着中奖的可能性是.
7.某班有男生25人,其中1人为班长,女生15人,现从该班选出1人,作为该班的代表参加座谈会,下列说法中正确的是 ( )
(1)选出1人是班长的概率为;
(2)选出1人是男生的概率是;
(3)选出1人是女生的概率是;
(4)在女生中选出1人是班长的概率是0.
A.(1)(2) B.(1)(3)
C.(3)(4) D.(1)(4)
【解析】选D.本班共有40人,1人为班长,故(1)对;而“选出1人是男生”的概率为=;“选出1人为女生”的概率为=,因班长是男生,所以“在女生中选班长”为不可能事件,概率为0.
8.(2016·杭州高一检测)同时向上抛100个铜板,落地时100个铜板朝上的面都相同,你认为对于这100个铜板下面情况更可能正确的是 ( )
A.这100个铜板两面是一样的
B.这100个铜板两面是不同的
C.这100个铜板中有50个两面是一样的,另外50个两面是不相同的
D.这100个铜板中有20个两面是一样的,另外80个两面是不相同的
【解析】选A.100个铜板朝上的面都相同的概率为,在一次试验中几乎不可能发生,由极大似然法知这100个铜板两面是一样的.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·合肥高一检测)某射击教练评价一名运动员时说:“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为________.
(1)该射击运动员射击了100次,恰有90次击中目标
(2)该射击运动员射击一次,中靶的机会是90%
【解析】射中的概率是90%说明中靶的可能性大小,即射击一次,中靶机会是90%,所以(1)不正确,(2)正确.
答案:(2)
10.(2016·济南高一检测)某地区牛患某种病的概率为0.25,且每头牛患病与否是互不影响的,今研制一种新的预防药,任选12头牛做试验,结果这12头牛服用这种药后均未患病,则此药________.(填“有效”或“无效”)
【解析】若此药无效,则12头牛都不患病的概率为(1-0.25)12≈0.032,这个概率很小,故该事件基本上不会发生,所以此药有效.
答案:有效
【误区警示】解答本题易出现主观判断,没有分析出求出一头牛不患病的概率,就可求12头牛都不患病的概率,没有充分考虑事件发生的各种因素,及其发生的可能性大小,而是根据表面现象主观臆断.
三、解答题
11.(10分)(2016·开封高一检测)高一(二)班张明同学投篮的命中率为0.6,他和同学进行投篮比赛,每人投10次,张明前4次都没有投中,那么剩下的6次一定能投中吗?如何理解命中率为0.6?
【解题指南】概率从数量上,反映了随机事件发生的可能性的大小,它与试验的次数无关,是个客观存在的一个常数.
【解析】如果把投篮作为一次试验,命中率是60%,指随着试验次数增加,即投篮次数的增加,大约有60%的球能够命中.对于一次试验来说,其结果是随机的,因此前4次没有命中是可能的,对后6次来说其结果仍然是随机的,即有可能命中,也可能没有命中.
3.1.2 概率的意义
课堂10分钟达标
1.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有
A.64个 B.640个 C.16个 D.160个
【解析】选C.80×(1-80%)=16.
2.某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明 ( )
A.该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件
B.该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件
C.合格率是99.99%,很高,说明该厂生产的10000件产品中没有不合格产品
D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【解析】选D.合格率是99.99%,是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小,即合格的概率.
3.下列说法一定正确的是 ( )
A.一名篮球运动员,号称“百发百中”,若罚球三次,不会出现三投都不中的情况
B.一枚硬币掷一次得到正面的概率为,那么掷两次一定会出现一次正面
C.如买彩票中奖的概率是万分之一,则买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
【解析】选D.随机事件的概率反映的是事件发生的可能性的大小,是在大量重复试验下的稳定值,一次随机试验可能发生也可能不发生.
4.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列哪个事件的概率最大 ( )
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上
【解析】选A.抛掷两枚梗币,其结果有“正正”“正反”“反正”,
“反反”四种情况.至少有一枚硬币正面向上包括三种情况,其概率最大.
5.现共有两个卡通玩具,团团、圆圆、凯凯三个小朋友都想要.他们采取了这样的办法分配玩具,拿一个飞镖射向如图所示的圆盘,若射中区域的数字为1,2,3,则玩具给团团和圆圆,若射中区域的数字为4,5,6,则玩具给圆圆和凯凯,若射中区域的数字为7,8,则玩具给团团和凯凯.试问这个游戏规则公平吗?
【解析】由题干图知,若射中1,2,3,7,8这5个数字,团团可得到玩具,所以团团得到玩具的概率是;同理圆圆得到玩具的概率是=;凯凯得到玩具的概率是.三个小朋友得到玩具的概率不相同,所以这个游戏规则不公平.
【能力挑战题】公元1053年,大元帅狄青奉旨率兵出征前,拿出100枚“宋元天宝”铜币,向众将士许愿:“如果钱币扔在地上,有字的一面会全部向上,那么这次出兵一定可以打败敌人!”在千军万马的注目之下,狄青用力将铜币向空中抛去,奇迹发生了:100枚铜币,枚枚有字的一面向上.顿时,全军欢呼雀跃,将士个个认为是神灵保佑,战争必胜无疑.事实上铜币有可能是________.(把你认为正确的填在横线上)
①铜币两面均有字;②铜币质量不均匀;③神灵保佑;④铜币质量均匀.
【解析】由极大似然法知铜币两面均有字,或铜币质量不均匀,因为这100枚铜币都是有字的面向上的概率为,一次试验几乎不可能发生.
答案:①②
课件71张PPT。3.1.3
概率的基本性质【自主预习】
主题1:事件的关系与运算
1.在抛掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件: C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4
点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于4},D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数}.如果事件C1发生,则一定有哪些事件发生?反之,成立吗?在集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述?提示:如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,D3,E,H,反之,如果事件D1,D3,E,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.所以从集合的观点看,事件C1是事件D3,E,H的子集,事件C1与事件D1相等.2.在问题1的基础上,如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生?事件C3和事件D2能同时发生吗?它们两个事件有什么关系?事件G与事件H呢?提示:如果事件D2与事件H同时发生,就意味着事件C5发生.事件C3和事件D2不能同时发生,且在一次试验中可能一个也不发生.同样的,事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.通过以上探究总结出事件间的关系及其运算事件的关系:发生B?AA?B不可能事件A∩B=?不可能事件必然事件A∩B=?事件的运算:事件A发生或事件B发生A∪BA+B事件A发生且事件B发生A∩BAB主题2:概率的基本性质
1.一个事件的频率的范围是什么?必然事件的频率呢?不可能事件的频率呢?提示:由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在0～1之间.必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0.2.如果事件A与事件B互斥,则事件A∪B发生的频数与事件A,B发生的频数有什么关系?fn(A∪B)与fn(A),fn(B)有什么关系?
提示:若事件A与事件B互斥,则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,从而有fn(A∪B)=fn(A)+fn(B).由于频率逐渐稳定于概率,所以根据上述频率的特点可
以总结出概率的几个基本性质:
(1)任何事件概率的取值范围为______.即0≤P(A)≤1.
(2)_________的概率为1,___________的概率为0.[0,1]必然事件不可能事件(3)概率的加法公式:若事件A与事件B为互斥事件,则
P(A∪B)=__________.
(4)若A与B互为对立事件,则P(A)=_______,P(_____)=1,
P(_____)=0.P(A)+P(B)1-P(B)A∪BA∩B【深度思考】
结合教材P121例题你认为利用概率的加法公式求概率
的步骤有哪些?
第一步:_________________________.
第二步:___________________________.
第三步:___________________________________.确定各个事件是两两互斥的求出各个事件分别发生的概率利用互斥事件的概率加法公式直接求解【预习小测】
1.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则( )
A.A?B B.A?B
C.A与B互斥 D.A与B互为对立事件【解析】选C.由互斥事件、对立事件的概念可知:A与B互斥但不对立.2.某小组有5名男生和3名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是 ( )
A.至少有1名男生与全是女生
B.至少有1名男生与全是男生
C.至少有1名男生与至少有1名女生
D.恰有1名男生与恰有2名女生【解析】选D.A中两事件互斥且对立,B,C中两个事件能同时发生故不互斥,D中两事件互斥不对立.3.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为 .事件A
表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点
数出现”,则一次试验中,事件A+ ( 表示事件B的对
立事件)发生的概率为 ( )【解析】选C.由题意记C表示“大于等于5的点数出
现”,事件A与事件C互斥.由概率的加法公式可得
P(A+C)=P(A)+P(C)= 4.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.25,则不中奖的概率为________.【解析】中奖的概率为0.1+0.25=0.35,中奖与不中奖互为对立事件,根据对立事件的概率公式,可得不中奖的概率为1-0.35=0.65.
答案:0.65【补偿训练】某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,
0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或7环的概率.
(2)不够7环的概率.
(仿照教材P 例2的解析过程)【解析】(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B.
故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.
所以射中10环或7环的概率为0.49.(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环,但由于这些概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手,不够7环的反面为大于等于7环,即7环、8环、9环、10环,由于这两个事件必有一个发生,另一个不发生,故是对立事件.设“不够7环”为事件E,则事件 为“射中7环或8环或9
环或10环”,又“射中7环”“射中8环”“射中9环”
“射中10环”是彼此互斥的事件,
所以P( )=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,
从而P(E)=1-P( )=1-0.97=0.03.
所以不够7环的概率为0.03.【互动探究】
1.观察互斥事件与对立事件的集合表示,思考互斥事件一定是对立事件吗?对立事件一定是互斥事件吗?提示:从互斥事件与对立事件的图示表示可以看出,对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.2.互斥事件和对立事件的定义中都用事件A和B来定义的,能否认为互斥事件和对立事件都是仅适用于两个事件之间?提示:不能,在一次试验中,只要不可能同时发生的事件都是互斥事件,一般适用于两个或多个事件之间.而对立事件,两者必有其一发生,仅适用于两个事件之间.3.概率的加法公式是否对任意的两个事件都适用呢?
提示:不是,只有两个事件为互斥事件的时候才成立,事实上,对任意的两个事件它们和事件的概率和每个事件的概率应该满足:P(A∪B)≤P(A)+P(B).4.如果事件A和事件B的互斥事件分别为C,D,那么C与D一定是互斥事件吗?
提示:不一定,C与D有可能同时发生,如A={出现1点}, B={出现2点},C={出现2,3,4,5,6点},D={出现1,3,4, 5,6点},显然此时C与D很有可能同时发生.【拓展延伸】多个互斥事件概率计算公式
一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生的概率,等于这n个事件分别发生的概率和,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2) +…+P(An).【探究总结】
知识归纳:方法总结:求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件.
(2)先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率.【题型探究】
类型一:事件关系的判断
【典例1】从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1～10各10张)中,任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”.
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”.(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.【解题指南】解此类问题,要紧紧抓住互斥与对立事件的定义来判断;或利用集合的观点,结合图形解题.【解析】(1)是互斥事件,不是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.【规律总结】互斥事件与对立事件的判断方法
(1)利用基本概念:互斥事件不可能同时发生;对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.(2)利用集合的观点来判断:设事件A与B所含的结果组
成的集合分别是A,B.事件A与B互斥,即集合A∩B=?;事
件A与B对立,即集合A∩B=?,且A∪B=I,也即A= B或B=
A.提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件可以是对多个事件来说的.
拓展:如果A1,A2,…,An中任何两个事件都是互斥事件,那么我们就说A1,A2,…,An彼此互斥.【巩固训练】从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球,观察红球个数和白球个数,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)至少有1个白球,都是白球.
(2)至少有1个白球,至少有1个红球.
(3)至少有1个白球,都是红球.【解析】(1)不是互斥事件,因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生,所以不是互斥事件.(2)不是互斥事件.因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”,“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”,两个事件可以同时发生,故不是互斥事件.(3)是互斥事件也是对立事件.因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生,且必有一个发生,所以是互斥事件也是对立事件.类型二:求对立、互斥事件的概率
【典例2】(1)抛掷一枚骰子,观察掷出骰子的点数,设
事件A为“出现奇数点”,事件B为“出现2点”,已知P(A)= ,P(B)= ,出现奇数点或2点的概率之和为
( )(2)一盒中装有各色球12只,其中5只红球、4只黑球、2只白球、1只绿球.从中随机取出1球,求取出1球是红球或黑球的概率.【解题指南】(1)先判断两事件互斥,再根据互斥事件的概率加法公式计算.
(2)首先把复杂的事件正确地分解为一些互斥事件的和,再根据概率的加法公式求解.【解析】(1)选D.记“出现奇数点或2点”为事件C,因
为事件A与事件B互斥,所以P(C)=P(A)+P(B)= (2)记事件A1={任取1球为红球};A2={任取1球为黑球}; A3={任取1球为白球};A4={任取1球为绿球}.
方法一:(利用互斥事件求概率)由题意得,P(A1)= ,
P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= .根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率公式得,取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)=P(A1) +P(A2)= 方法二:(利用对立事件求概率)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,所以任取1球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)= 【延伸探究】
1.(改变问法)题(2)改为求“取出1球是红球、黑球或白球”的概率.【解析】记事件A1={任取1球为红球};A2={任取1球为
黑球};A3={任取1球为白球};A4={任取1球为绿球}.
方法一:(利用互斥事件求概率)P(A1)= ,P(A2)= ,
P(A3)= ,P(A4)= .根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概
率公式得,取出1球为红球、黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 方法二:(利用对立事件求概率)A1∪A2∪A3的对立事件
为A4,由对立事件概率公式得,取出1球为红球、黑球或
白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=1- P(A4)=1- 2.(变换条件)题(2)条件变为:袋中有12个小球,分别为
红球、黑球、白球、绿球,从中任取一球,得到红球的
概率为 ,得到黑球或白球的概率是 ,得到白球或绿
球的概率也是 ,结果又是如何?【解析】从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到
黑球”“摸到白球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D,则
有P(B∪C)=P(B)+P(C)= ;P(D∪C)=P(D)+P(C)= ;
P(B∪C∪D)=1-P(A)= ,解得P(B)= ,P(C)= ,
P(D)= ,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)= 【规律总结】
1.求互斥事件或对立事件的概率的方法及注意点
(1)求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件化为一些彼此互斥的事件的和;二是先求该事件的对立事件的概率.(2)注意点:采用方法一,一定要注意将事件拆分为若干互斥事件,不能重复和遗漏;采用方法二,一定要找准其对立事件,否则容易出现错误.2.利用概率的加法公式求概率的步骤
(1)确定各个事件是两两互斥的.
(2)求出各个事件分别发生的概率.
(3)利用公式求事件的概率.【巩固训练】某公务员去外地开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4,求:
(1)他乘火车或乘飞机去的概率.
(2)他不乘轮船去的概率.【解析】设乘火车去开会为事件A,乘轮船去开会为事件B,乘汽车去为事件C,乘飞机去为事件D,它们彼此互斥,则P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.1,P(D)=0.4.
(1)P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.(2)设不乘轮船去开会为事件E,则P(E)=P(A∪C∪D)= P(A)+P(C)+P(D)=0.3+0.1+0.4=0.8,
另解:E与B是对立事件,
则P(E)=1-P(B)=1-0.2=0.8.概率的基本性质
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·青岛高一检测)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个黑球与都是黑球
B.至多有一个黑球与都是黑球
C.至少有一个黑球与至少有1个红球
D.恰有1个黑球与恰有2个黑球
【解析】选D.由互斥、对立事件的定义知A,C中两对事件均不互斥,B中的两个事件是对立事件,D中的两个事件只互斥而不对立.
【补偿训练】有一人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是 ( )
A.至多有1次中靶 B.2次都中靶
C.2次都不中靶 D.只有1次中靶
【解析】选C.至少有一次中靶的对立事件是两次都不中靶.
2.已知P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A∪B)等于 ( )
A.0.3 B.0.2
C.0.1 D.不确定
【解析】选D.由于不能确定A与B互斥,则P(A∪B)的值不能确定.
3.(2016·郑州高一检测)某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 ( )
A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96
【解析】选D.抽查一次抽得正品与抽得次品是对立事件,而抽得次品的概率为0.03+0.01=0.04,故抽得正品的概率为0.96.
4.(2016·天津高考)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.P(甲不输)=P(和棋)+P(甲获胜)=+=.
5.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】能把复杂的事件分解成几个互斥事件的和是解本题的关键.
【解析】选C.记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则A,B,C,D,E互斥,取到理科书的概率为事件B,D,E概率的和.
所以P(B∪D∪E)=P(B)+P(D)+P(E)=++=.
6.设C,D是两个随机事件,记D的对立事件为,则下面哪个叙述是正确的
( )
A.C∩D与C∪D互斥 B.C∩D与C∩互斥
C.C∩D与∪D互斥 D.C∩与C∪D互斥
【解析】选B.类比集合的关系和运算可知选项B正确.
7.某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”,根据数学成绩从某班学生中任意找出一人,如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2,该同学的成绩在[90,120]之间的概率为0.5,那么该同学的数学成绩超过120分的概率为
( )
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
【解析】选B.该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件,而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90,120](事件D)两事件的和事件,即P(A)=1-P(B)=1-[P(C)+P(D)]= 1-(0.2+0.5)=0.3.
8.关于互斥事件的理解,错误的是 ( )
A.若A发生,则B不发生;若B发生,则A不发生
B.若A发生,则B不发生,若B发生,则A不发生,二者必具其一
C.A发生,B不发生;B发生,A不发生;A,B都不发生
D.若A,B又是对立事件,则A,B中有且只有一个发生
【解析】选B.A,B互斥,A,B可以不同时发生,A,B也可以同时不发生,但只要一个发生,另一个一定不发生.对立事件是必定有一个发生的互斥事件,故只有B错.
【补偿训练】在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,则下列说法正确的是 ( )
A.A1与A2与A3是互斥事件,也是对立事件
B.A1∪A2∪A3是必然事件
C.P(A2∪A3)=0.8
D.事件A1,A2,A3的关系不确定
【解析】选D.比如在一个箱子中有白球、黄球和红球若干,从中任取一球,取到红球(记为事件A1)的概率为0.2,取到黄球(记为事件A2)的概率为0.3,取到黄球或红球(记为事件A3)的概率为0.5,显然A1∪A2与A3既不是互斥事件,又不是对立事件,故A错误;A1∪A2∪A3是“取到黄球或红球”,不是必然事件,故B错误;P(A2∪A3)=P(A3)=0.5,故C错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.一箱产品有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件:
①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”;
②“至少有1件次品”和“都是次品”;
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”;
④“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有________组.
【解析】对于①,“恰有1件次品”就是“1件正品,1件次品”,与“恰有2件次品”显然是互斥事件;
对于②,“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”,与“都是次品”可能同时发生,因此两事件不是互斥事件;
对于③,“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”,与“至少有1件次品”不是互斥事件;
对于④,“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”,与“都是正品”显然是互斥事件,故①④是互斥事件.
答案:2
10.(2016·太原高一检测)抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是,记事件A为“出现奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)=________.
【解析】记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4,由题意知这四个事件彼此互斥.则A∪B=A1∪A2∪A3∪A3
故P(A∪B)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=+++=.
答案:
【误区警示】本题易错的原因在于忽视了概率加法公式应用的前提条件,由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件,即出现1或3时,事件A,B同时发生,所以不能应用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)求解.
三、解答题
11.(10分)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下:
排队
人数
0
1
2
3
4
5人及5
人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是多少?
(2)至少3人排队等候的概率是多少?
【解析】记“有i人排队等候”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),“有5人及5人以上排队等候”为事件B,
则A0,A1,A2,A3,A4,及B是互斥事件且P(A0)=0.1,
P(A1)=0.16,P(A2)=0.3,P(A3)=0.3,P(A4)=0.1,P(B)=0.04.
(1)至多2人排队等候的概率为
P=P(A0∪A1∪A2)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56
(2)至少3人排队等候的概率为
P=1-P(A0∪A1∪A2)=1-0.56=0.44.
【一题多解】至少3人排队等候的概率为
P=P(A3+A4+B)=P(A3)+P(A4)+P(B)
=0.3+0.1+0.04=0.44.
3.1.3 概率的基本性质
课堂10分钟达标
1.给出以下结论:
(1)互斥事件一定对立.
(2)对立事件一定互斥.
(3)互斥事件不一定对立.
(4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率.
(5)事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).
其中正确命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.对立必互斥,互斥不一定对立,所以(2)(3)正确,(1)错;
又当A∪B=A时,P(A∪B)=P(A),所以(4)错;
只有A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),所以(5)错.
2.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则 ( )
A.A?B
B.A=B
C.A+B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
【解析】选C.设A={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3.
3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.52,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是 ( )
A.0.2 B.0.28 C.0.52 D.0.8
【解析】选A.设“摸出红球”为事件M,“摸出白球”为事件N,“摸出黑球”为事件E,则P(M)+P(N)+P(E)=1,所以P(E)=1-P(M)-P(N)=1-0.52-0.28=0.2.
4.在掷骰子的游戏中,向上的数字是1或2的概率是________.
【解析】事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2”为互斥事件,且二者发生的概率都是,所以“向上的数字是1或2”的概率是+=.
答案:
5.某医院派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下:
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56,求x的值.
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96,至少3人的概率为0.44,求y,z的值.
【解析】(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56,得0.1+0.16+x=0.56,所以x=0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96,
得0.96+z=1,所以z=0.04.
由派出医生至少3人的概率为0.44,
得y+0.2+z=0.44,所以y=0.44-0.2-0.04=0.2.
6.【能力挑战题】向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.2,炸中第二个军火库的概率为0.12,炸中第三个军火库的概率为0.28,三个军火库中,只要炸中一个另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.
【解析】设A,B,C分别表示炸弹炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件,事件D表示军火库爆炸,已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.
又因为只投掷了一枚炸弹,故不可能炸中两个及以上军火库,所以A,B,C是互斥事件,且D=A∪B∪C,所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28
=0.6,
即军火库发生爆炸的概率为0.6.
课件71张PPT。3.2 古典概型
3.2.1 古典概型【自主预习】
主题1:基本事件
1.抛掷两枚硬币,有哪几种可能结果?每种结果出现的概率是否相等?提示:抛掷两枚硬币有4种可能结果,是“正正”“正
反”“反正”“反反”,它们都是随机事件,出现的概
率是相等的,都是 .2.若甲乙两同学玩“剪子、包袱、锤头”的游戏,试写出他们的所有结果?
提示:第一个同学有三种结果,第二个同学也有三种结果,因此,所有结果有:剪子剪子、剪子包袱、剪子锤头、包袱剪子、包袱包袱、包袱锤头、锤头剪子、锤头包袱、锤头锤头.结合以上探究过程,总结基本事件的定义与特点:
定义:一次试验中,所有出现的基本结果中不能再分的
最简单的_________称为该试验的基本事件.
?随机事件特点:①任何两个基本事件是_____的;
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本
事件的和.互斥主题2:古典概型的判断
某同学从红、黄、蓝、白4个小球中,任取3个,试写出
这个试验的结果,这个试验有哪些特点.
提示:该试验的基本事件只有4个,如:红黄蓝、红黄
白、红蓝白,黄蓝白,而且每个基本事件发生的概率都
是 ,是等可能的.通过以上探究过程,总结古典概型的定义:
对于一个试验:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有_______.
(2)每个基本事件出现的可能性_____.
将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.有限个相等主题3:古典概型的概率公式
在抛掷硬币试验中,如何求正面朝上及反面朝上的概率?
提示:出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即
P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”).
由概率的加法公式,得P(“正面朝上”)+P(“反面朝
上”)=P(必然事件)=1,因此P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)= ,
即P(出现正面朝上)=
通过以上探究,写出古典概型的概率公式:
P(A)= .m表示______________________,n表示_____
___________.A包含的基本事件的个数基本事件的总数【深度思考】
结合教材P127例2你认为求解古典概型的解题步骤有哪
些?
第一步:____________________.
第二步:_______________________________________
____________.用字母A表示所求事件计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m第三步:_________________________.代入公式P(A)= ，求P(A) 【预习小测】
1.抛掷一枚骰子,下列不是基本事件的是 ( )
A.向上的点数是奇数 B.向上的点数是3
C.向上的点数是4 D.向上的点数是6【解析】选A.向上的点数是奇数包含三个基本事件:向上的点数是1,向上的点数是3,向上的点数是5,则A项不是基本事件,B,C,D三项均是基本事件.2.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个
兴趣小组,某学生只选报其中的2个,则基本事件共有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.该生选报的所有可能情况:{数学和计算机}、{数学和航空模型}、{计算机和航空模型},所以基本事件有3个.3.下列对古典概型的说法中正确的是 ( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
②每个事件出现的可能性相等;
③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则
P(A)= .
A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④【解析】选B.②中所说的事件不一定是基本事件,所以②不正确;根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.4.下列试验中是古典概型的为 ( )
A.种下一粒花生,观察它是否发芽
B.向正方形ABCD内,任意投掷一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合C.从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率
D.在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率【解析】选C.对于A,发芽与不发芽的概率一般不相等,不满足等可能性;对于B,正方形内点的个数有无限多个,不满足有限性;对于C,满足有限性和等可能性,是古典概型;对于D,区间内的点有无限多个,不满足有限性.5.在200瓶饮料中,有4瓶已过保质期,从中任取一瓶,则
取到的是已过保质期的概率是________.
【解析】所求概率为 =0.02.
答案:0.02【补偿训练】甲、乙、丙三名同学站成一排,求甲站在中间的概率.(仿照教材P127例2的解析过程)【解析】基本事件有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙
甲、丙甲乙、丙乙甲共六个,甲站在中间的事件包括乙
甲丙、丙甲乙共2个,所以甲站在中间的概率P= 【互动探究】
1.向一圆面内随机投一个点,若该点落在圆内任意一点都是等可能的,是古典概型吗?为什么?
提示:不是.因为试验的所有可能结果是圆内所有点,试验的所有可能结果数是无限的.2.射击运动员向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环、……命中1环和命中0环(即不命中),你认为这是古典概率模型吗?为什么?
提示:不是.因为所有可能的结果不是等可能的.3.从集合的观点分析,如果在一次试验中,等可能出现
的所有n个基本事件组成全集U,事件A包含的m个基本事
件组成子集A,那么事件A发生的概率P(A)等于什么?特
别地,当A=U,A=?时,P(A)等于什么?
提示:P(A)= ;当A=U时,P(A)=1;当A=?时,P(A)=0.n次试验中,随机事件A发生m次,随机事件A发生的频率
为 ;如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有
结果出现的可能性都相等,若事件A包含的基本事件数
有m个,古典概型的概率公式P(A)= .二者有什么区别?提示:如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有
结果出现的可能性都相等,若事件A包含的基本事件数
有m个,由于m,n都是定值,所以事件A的概率P(A)= 是
个定值.而频率中的m,n均随试验次数的变化而变化,但
一般来说频率 随着试验次数的增加总是趋近于P(A).【探究总结】
知识归纳:方法总结:列基本事件的三种方法
(1)列举法:一一列出所有基本事件的结果,一般适用于较简单的问题.
(2)列表法:一般适用于较简单的试验方法.
(3)树状图法:一般适用于较复杂问题中基本事件个数的探求.【题型探究】
类型一:求基本事件及基本事件数
【典例1】连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币是出现正面还是反面.(1)写出这个试验的所有基本事件.
(2)求这个试验的基本事件的总数.
(3)“恰有两枚正面朝上”这一事件包含哪几个基本事件?【解题指南】可按一定顺序将所有基本事件一一列举出来,即可得出所有基本事件,基本事件的个数即为基本事件总数.【解析】(1)用(正,反,正)来表示“连续掷3次硬币,第一次出现正面,第二次出现反面,第三次出现正面”.这个试验的所有基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).(2)基本事件的总数是8.
(3)“恰有两枚正面朝上”包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).【规律总结】
1.对基本事件的三个关注点
(1)不可分性.基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他的事件可以包含基本事件.
(2)有限性.所有的基本事件都是有限的.
(3)等可能性.每一个基本事件的发生都是等可能的.2.列举基本事件的注意点
列举时,要注意分清“有序”还是“无序”,按一定次序进行列举,防止重复和遗漏.采用列表、树状图等直观手段是防止重复与遗漏的有效方法.【巩固训练】做投掷2颗骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示第一颗骰子出现的点数,y表示第2颗骰子出现的点数.写出:(1)试验的基本事件.
(2)事件“出现点数之和大于8”.
(3)事件“出现点数相等”.
(4)事件“出现点数之和等于7”.【解析】(1)这个试验的基本事件共有36个,列举如下: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,
2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,
5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件: (3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),
(6,4),(6,5),(6,6).(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件:
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).
(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件:
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).类型二:古典概型的判断
【典例2】(1)下列概率模型中,是古典概型的为 .
①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率.
②从1,2,3,…,10中任取一个整数,求取到1的概率.
③向一个正方形ABCD内任意投一点P,求点P刚好与点A重合的概率.(2)袋中有形状、大小相同的4个白球,2个黑球,3个红球,每球都有一个区别于其他球的编号,从中摸一个球.
①如果把每个球的编号看作一个基本事件,建立概率模型,问该模型是否为古典概型?
②若以球的颜色为基本事件,以这些基本事件建立概率模型,该模型是否为古典概型?【解题指南】(1)从有限性和等可能性两个角度考虑.
(2)根据古典概型的定义进行判断.【解析】(1)①基本事件有无限个.②基本事件有10个,等可能发生.③基本事件有无限个.
答案:②(2)①由于共有9个球,且每个球的编号各不相同,所以做一次试验共有9种不同的结果;又由于所有球的大小、形状一样,因此每个球被摸到的可能性相等.故属于古典概型.②由于9个球共三种颜色,因此共有三个基本事件,又由
于所有球的大小、形状一样,因此每个球被摸到的可能
性相等,而白球4个,故一次摸球摸到白球的可能性为 ,
同理摸到黑球的可能性为 ,摸到红球的可能性为
显然三个基本事件出现的可能性不等,故不是古典概型.【规律总结】判断古典概型的方法
(1)一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.(2)并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:
①基本事件个数有限,但非等可能.
②基本事件个数无限,但等可能.
③基本事件个数无限,也不等可能.【巩固训练】袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球,有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件,是否为古典概型?【解析】由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法,又因为所有球大小相同,因此每个球被摸到的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.类型三:古典概型的概率计算
【典例3】从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.【解题指南】每次取出一个,取后不放回,其一切可能的结果组成的基本事件是等可能发生的,因此可用古典概型解决.【解析】每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其
一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a1,a2),
(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).其中小括号
内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示
第2次取出的产品,用A表示“取出的两件产品中恰好有
一件次品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),
(b1,a2)},事件A由4个基本事件组成,因而,P(A)= 【延伸探究】
1.(改变问法)其他条件不变,求第一次取到的是正品的概率.【解析】每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其
一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a1,a2), (a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).其中小括号
内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示
第2次取出的产品,用A表示“第一次取到的是正品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(a1,a2),(a2,a1)},事件
A由4个基本事件组成,因而P(A)= 2.(变换条件)在上例中,把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,求取出的两件中恰好有一件次品的概率.【解析】有放回地连续取出两件,其一切可能的结果
为:(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),
(b1,a2),(b1,b1),(b1,a1),由9个基本事件组成,由于每
一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事
件的出现是等可能的.用B表示“取出的两件产品中恰
有一件次品”这一事件,则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1), (b1,a2)},事件B包含4个基本事件,因而P(B)= .【规律总结】求解古典概型概率的步骤
(1)判断是否为古典概型.
(2)算出基本事件的总数n.
(3)算出事件A中包含的基本事件个数m.(4)算出事件A的概率,即P(A)= .
在运用公式计算时,关键在于求出m,n.在求n时,应注意这n种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.【巩固训练】现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.
试求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率.
(2)所取的2道题不是同一类题的概率.【解题指南】利用列举法,弄清楚基本事件总数和所求的事件包含的基本事件数,利用古典概型的公式计算概率.【解析】(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4,2道乙类
题依次编号为5,6.任取2道题的基本事件为(1,2),(1,
3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共有15个;
并且这些基本事件的出现是等可能的,记事件A表示“张同学所取的2道题都是甲类题”,则A包含的基本事
件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6个,
所以P(A)= (2)基本事件同(1).记事件B表示“张同学所取的2道题
不是同一类题”,
则B包含的基本事件有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),
(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8个,所以P(B)= 古典概型
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.一个家庭有两个小孩,则所有可能的基本事件有 ( )
A.(男,女),(男,男),(女,女)
B.(男,女),(女,男)
C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)
D.(男,男),(女,女)
【解析】选C.两个孩子有先后出生之分.
【延伸探究】一个家庭中有两个小孩,这两个小孩都为女孩的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.两个小孩共有四种情况:(男,女),(女,男),(女,女),(男,男),基本事件总数为4,两个小孩都为女孩的概率为.
2.(2016·石家庄高一检测)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况:{1,2},{1,3}, {1,4},{2,3},{2,4},{3,4},满足取出的2个数之差的绝对值为2的有{1,3},{2,4},故所求概率是=.
3.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.正方形四个顶点可以确定6条直线,甲乙各自任选一条共有36个基本事件,两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)包括10个基本事件,所以概率等于.
4.(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.把5名同学依次编号为甲乙丙丁戊,基本事件空间Ω={甲乙,甲丙,甲丁,甲戊,乙丙,乙丁,乙戊,丙丁,丙戊,丁戊},包含基本事件总数n=10.设A表示事件“甲被选中”,则A={甲乙,甲丙,甲丁,甲戊},包含基本事件数m=4.所以概率为P==.
【补偿训练】从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,不考虑先后顺序共有10种取法,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),
(c,e),(d,e),其中取到字母a的有4种:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),所求概率为P==.
【误区警示】在计算基本事件的总数时,由于没有弄清题意,分不清“有序”和“无序”,因而常常出现“重算”或“漏算”的错误,突破这一思维障碍的有效方法是交换次序,看是否对结果造成影响.有影响就是有序,无影响即无序.
5.一袋中装有大小相同的八个球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中有放回地每次取一个球,共取2次,记“取得两个球的编号和大于或等于14”为事件A,则P(A)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.事件A包括(6,8),(7,7),(7,8),(8,6),(8,7),(8,8)这6个基本事件,由于是有放回地取,基本事件总数为8×8=64(个),所以P(A)==.
6.(2016·阜阳高一检测)设a是抛掷一枚骰子得到的点数,则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实根的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.基本事件总数为6,若方程有不相等的实根,则a2-8>0,满足上述条件的a为3,4,5,6,故P(A)==.
7.(2016·长沙高一检测)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.利用古典概型求解.
设袋中红球用a表示,2个白球分别用b1,b2表示,3个黑球分别用c1,c2,c3表示,则从袋中任取两球所含基本事件为:(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),
(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),
(c2,c3),共15个.
两球颜色为一白一黑的基本事件有:
(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共6个.
所以其概率为=.
8.(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.根据题意可以知道,所输入密码所有可能发生的情况如下:M1,M2,M3,M4,M5,I1,I2,I3,I4,I5,N1,N2,N3,N4,N5共15种情况,而正确的情况只有其中一种,所以输入一次密码能够成功开机的概率是.
【补偿训练】(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5), (1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种,其中(3,4,5)为一组勾股数,共一种,所以3个数构成一组勾股数的概率为.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2016年暑假期间的旅游目的地,则济南被选入的概率是________.
【解题指南】解答本题可先考虑所求事件的对立事件的概率,然后利用对立事件即可求解.
【解析】事件“济南被选入”的对立事件是“济南没有被选入”.某城市没有入选的可能的结果有四个,故“济南没有被选入”的概率为,所以其对立事件“济南被选入”的概率为P=1-=.
答案:
10.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.
【解析】设4只球分别为白、红、黄1、黄2,从中一次随机摸出2只球,所有基本事件为(白,红)、(白,黄1)、(白,黄2)、(红,黄1)、(红,黄2)、(黄1,黄2),共6个,颜色不同的有(白,红)、(白,黄1)、(白,黄2)、(红,黄1)、(红,黄2),共5个,所以2只球颜色不同的概率为.
答案:
三、解答题
11.(10分)(2016·天津高一检测)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,
①列出所有可能的抽取结果;
②求抽取的2所学校均为小学的概率.
【解析】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,1所大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为(A1,A2), (A1,A3), (A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),
(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种.
②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3种,所以P(B)==.
3.2.1 古典概型
课堂10分钟达标
1.下列是古典概型的是 ( )
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件时
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件时
C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
【解析】选C.A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B中的基本事件是无限的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性.
2.抛掷一枚骰子,观察向上的点数,则该试验中,基本事件的个数是 ( )
A.1 B.2 C.4 D.6
【解析】选D.抛掷一枚骰子,观察向上的点数,其结果为1,2,3,4,5,6.它们都为基本事件,所以基本事件的个数为6.
3.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为 ( )
A.{正好2个红球} B.{正好2个黑球}
C.{正好2个白球} D.{至少1个红球}
【解析】选D.至少1个红球包含,一红一白或一红一黑或2个红球,所以{至少1个红球}不是基本事件,其他项中的事件都是基本事件.
4.在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率是________.
【解析】可重复地选取两个数共有4×4=16(种)可能,其中一个数是另一个数的2倍的有1,2;2,1;2,4;4,2共4种,故所求的概率为=.
答案:
5.从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表.
求:(1)甲被选中的概率.(2)丁没被选中的概率.
【解析】(1)记甲被选中为事件A,基本事件有甲乙,甲丙,甲丁,乙丙,乙丁,丙丁共6个,事件A包含的事件有甲乙,甲丙,甲丁共3个,则P(A)==.
(2)记丁被选中为事件B,由(1)同理可得P(B)=,又因丁没被选中为丁被选中的对立事件,设为C,则P(C)=1-P(B)=1-=.
【能力挑战题】四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是多少?
【解析】从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该问题属于古典概型.又所有基本事件包括(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)共四种,其中能构成三角形的有(3,5,7)一种,故概率为P=.
课件52张PPT。3.2.2
(整数值)随机数(random numbers)的产生【自主预习】
主题1:整数值随机数的产生方法
1.把25个大小形状相同的小球分别标上1,2,3,…,24, 25,从中任选一球,怎样使每个球被随机的选出来?在此过程中,球上对应的数有什么样的特点?提示:把这些球放入一个袋中,然后把它们充分搅拌,从中摸出一个球,这个球就是随机产生出来的.那么这个球上对应的数也是随机产生出来的,就称其为随机数.2.除了1中的方法,还有其他方法吗?产生过程是怎样的?
提示:用计算器产生.过程如下:以后反复按 键,就可以不断产生你需要的随
机数.通过以上探究,总结随机数和伪随机数的概念:
随机数:要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数,把n个___
_______相同的小球分别标上1,2,3,…,n,放入
一个袋中,把它们_________,然后从中摸出一
个,这个球上的数就称为随机数.大小形状充分搅拌?
伪随机数:计算机或计算器产生的随机数是依照_______
___产生的数,具有_______(周期很长),它们具
有类似_______的性质.因此,计算机或计算器
产生的并不是_____________,我们称它们为
伪随机数.确定算法周期性随机数真正的随机数主题2:用随机模拟法估计概率
1.若抛掷一枚均匀的骰子30次,如果没有骰子,你有什么办法得到试验的结果?
提示:由于骰子的六个面上的标数是1～6的整数,所以可以用计算器或计算机产生30个1～6之间的随机数.2.如果一个古典概型的基本事件总数为n,在没有试验条件的情况下,你有什么办法进行m次试验,并得到相应的试验结果?
提示:将n个基本事件编号为1,2,…,n,由计算器或计算机产生m个1～n之间的随机数.通过以上探究,总结随机模拟方法:
将随机试验中所有基本事件进行_____,利用计算器或
计算机产生随机数,从而获得试验结果.这种用计算器
或计算机模拟试验的方法,称为_____________或_____
_________.编号随机模拟方法蒙特卡罗方法【深度思考】
结合教材P132例6你认为用随机模拟方法估计概率的步
骤有哪些?
第一步:_____________.
第二步:_____________________________________.
第三步:_____________.
第四步:_________________.建立概率模型进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)统计试验结果写出概率的估计值【预习小测】
1.下列不能产生随机数的是 ( )
A.抛掷骰子试验
B.抛硬币
C.计算器
D.正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5,抛掷该正方体【解析】选D.D项中,出现2的概率为 ,出现1,3,4,5的
概率均是 ,则D项不能产生随机数.2.用随机模拟方法得到的频率 ( )
A.大于概率 B.小于概率
C.等于概率 D.是概率的估计值
【解析】选D.根据频率和概率的关系可知,频率是概率的估计值.【补偿训练】掷两枚骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时,产生的整数值随机数中,每几个数字为一组 ( )
A.1 B.2 C.9 D.12【解析】选B.由于掷两枚骰子,每枚骰子有6种可能结果,所以产生的整数值随机数中,每2个数字为一组.3.中考、高考时随机编排考场是利用计算机能_____.
【解析】由于计算机能产生随机数,考场随机编排正是利用了这一点.
答案:产生随机数4.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是________.【解析】[a,b]中共有b-a+1个整数,每个整数出现的可
能性相等,所以每个整数出现的可能性是 .
答案: 【补偿训练】通过模拟试验产生了20组随机数:
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标,求四次射击中恰有三次击中目标的概率.(仿照教材P132例6的解析过程)【解析】因为表示三次击中目标分别是:3013,2604,
5725,6576,6754,共5个数.随机数总共20个,所以所求
的概率近似为 =0.25.【互动探究】
1.用计算机模拟试验来代替大量的重复试验有什么优点?提示:用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法真正进行.因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法,它可以在短时间内多次重复地来做试验,不需要对试验进行具体操作,可以广泛应用到各个领域.2.利用随机模拟法获得的事件发生的可能性与频率有什么区别?提示:利用随机模拟法获得的事件发生的可能性的大小数据也是一种频率,只能是随机事件发生的概率的一种近似估计.但是,由于随机数产生的等可能性,这种频率比较接近概率.并且,有些试验没法直接进行(如下雨),故这种模拟试验法在科学研究中具有十分重要的作用.【探究总结】
知识归纳:注意事项:随机数产生的两个注意点
(1)进行正确的编号,并且编号要连续.
(2)正确把握抽取的范围和容量.【题型探究】
类型一:(整数值)随机数的产生方法
【典例1】请用两种方法:在1～100之间产生10个整数值的随机数.【解题指南】1.应用随机模拟的方法,动手做试验.
2.利用计算器或计算机模拟试验产生随机数.【解析】方法一:随机模拟的方法.
(1)把100个大小、形状相同的小球分别标上号码1,2,3,…,100;
(2)把这些已经标上号码的小球放到一个袋子中搅拌均匀.(3)从袋子中任意摸出一个小球,这个球上的数就是第一个随机数.
(4)把步骤(3)中的操作重复10次,即可得到10个1～100之间的整数值随机数.方法二:用计算器产生
按键过程如下:以后反复按 键9次,就可得到10个1～100之间的
取整数值的随机数.【规律总结】随机数的产生方法及优缺点【巩固训练】如果事件A在每次试验中发生的概率都相等,那么可以用随机模拟方法估计n次重复试验事件A恰好发生k次的概率.你能写出随机模拟的步骤吗?【解析】(1)按事件A的概率确定表示各个结果的数字个数及总个数.
(2)利用计算机或计算器产生整数随机数,按第(1)步要求产生n个随机数,n个随机数作为一组共组成N组数.(3)统计这N组中恰有k个数字在表示试验发生的数组中
的组数m,则n次重复试验事件A恰好发生k次的概率为 .类型二:用随机模拟法估计概率
【典例2】种植某种树苗成活率为0.9,若种植这种树苗5棵,求恰好成活4棵的概率.设计一个试验,随机模拟估计上述概率.【解题指南】根据随机模拟法估计概率的步骤求解.
这里试验出现的可能结果是有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型的概率公式,但可以用随机模拟方法模拟出种植5棵恰好4棵成活的概率.【解析】利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数,我们用0代表不成活,1至9的数字代表成活,这样可以体现成活率是0.9,因为是种植5棵,所以每5个随机数作为一组,可产生30组随机数:69801 66097 77124 22961
74235 31516 29747 24945
57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120
21782 58555 61017 4524144134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624
30344 01117这就相当于做了30次试验,在这些数组中,如果恰有一
个0,则表示恰有4棵成活,共有9组这样的数,于是我们
得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率约为
=30%.【规律总结】
1.随机模拟试验的步骤
(1)设计概率模型.(2)进行模拟试验.(3)统计试验结果.2.计算器和计算机产生随机数的方法
用计算器的随机函数RANDI(a,b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a,b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.【巩固训练】已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7, 8,9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 4698
3661 9597 7424 6710 4281据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率
为 ( )
A.0.85 B.0.819 2 C.0.8 D.0.75【解析】选C.该射击运动员射击4次至少击中3次,考虑
该事件的对立事件,故看这20组数据中含有0和1的个数
多少,含有2个或2个以上的有4组数,故所求概率为
=0.8,故选C.(整数值)随机数(random numbers)的产生
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.关于随机数的说法正确的是 ( )
A.随机数就是随便取的一些数字
B.随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数
C.用计算器或计算机产生的随机数为伪随机数
D.不能用伪随机数估计概率
【解析】选C.因为计算器或计算机是按照固定的算法产生的随机数,并不是真正的随机数.
2.袋中有2个黑球,3个白球,除颜色外小球完全相同,从中有放回地取出一球,连取三次,观察球的颜色.用计算机产生0到9的数字进行模拟试验,用0,1,2,3代表黑球.4,5,6,7,8,9代表白球.在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为 ( )
160 288 905 467 589 239 079 146 351
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选B.只要找两个4～9之间的数和一个0～3之间的数即可.
3.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计,该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为 ( )
A.0.50 B.0.45 C.0.40 D.0.35
【解析】选A.两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一.它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10个,因此所求的概率为=0.5.
4.袋子中有四个小球,分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字,从中任取一个小球,取到“丙”就停止,用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率:先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数,且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字,以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计,直到第二次就停止概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意知在20组随机数中表示第二次就停止的有13 43 23 13 13共5组随机数,故所求概率为P==.
5.已知某运动员每次投篮命中的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示没有命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431
257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )
A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15
【解析】选B.恰有两次命中的有191,271,932,812,393,共有5组,则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率近似为=0.25.
6.用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现2点的概率,下列步骤中不正确的是 ( )
A.用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x,如果x=2,我们认为出现2点
B.我们通常用计数器n记录做了多少次掷骰子试验,用计数器m记录其中有多少次出现2点,置n=0,m=0
C.出现2点,则m的值加1,即m=m+1;否则m的值保持不变
D.程序结束,出现2点的频率作为概率的近似值
【解析】选A.计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生的是1到7之间的整数,包括7,共7个整数.
7.以下说法正确的是 ( )
A.由于随机模拟法产生的随机数是伪随机数,所以随机模拟法不适用于求古典概型的概率值
B.由于计算机产生的随机数是依据有周期性的随机函数产生的,所以计算机产生的随机数不适用于代替试验次数较多的随机试验
C.随机模拟法只适用于古典概型问题
D.随机模拟法适用于代替所有基本事件发生的可能性都相等的随机试验
【解析】选D.对于随机模拟法的理解要清楚,虽然产生的是伪随机数,但具有类似随机数的性质,可用于古典概型,并不只用于古典概型,由于其随机性,故适用于所有基本事件发生可能性相等的随机试验.
8.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0至9之间的整数值的随机数,如果我们用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,顺次产生的随机数如下:
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 631 257 393 027 556 488
730 113 137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:191,271,932,812, 631,393,137,共7组随机数,所以所求概率为.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.在用随机数(整数)模拟求“有4个男生和5个女生,从中取4个,求选出2个男生2个女生”的概率时,可让计算机产生1～9的随机整数,并用1～4代表男生,用5～9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是________.
【解析】1～4代表男生,用5～9代表女生,4678表示一男三女.
答案:选出的4个人中,只有1个男生
10.抛掷两枚均匀的正方体骰子,用随机模拟方法估计朝上面的点数的和是6的倍数的概率时,用1,2,3,4,5,6分别表示朝上面的点数是1,2,3,4,5,6.用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个,每组第i个数组成一组,共组成60组数,其中有一组是16,这组数表示的结果是否满足朝上面的点数的和是6的倍数:________.(填“是”或“否”)
【解析】16表示第1枚骰子向上的点数是1,第二枚骰子向上的点数是6,则朝上面的点数的和是1+6=7,不表示和是6的倍数.
答案:否
三、解答题
11.(10分)同时抛掷两枚均匀的正方体骰子,用随机模拟方法计算向上面都是1点的概率.
【解题指南】抛掷两枚均匀的正方体骰子相当于产生两个1到6的随机数,因而我们可以产生整数随机数.然后以两个一组分组,每组第1个数表示第一枚骰子的点数,第2个数表示第二枚骰子的点数.
【解析】步骤:
(1)利用计算器或计算机产生1到6的整数随机数,然后以两个一组分组,每组第1个数表示第一枚骰子向上的点数.第2个数表示另一枚骰子向上的点数.两个随机数作为一组共组成n组数.
(2)统计这n组数中两个整数随机数字都是1的组数m.
(3)则抛掷两枚骰子向上面都是1点的概率估计为.
3.2.2（整数值）随机数（random numbers）的产生
课堂10分钟达标
1.抛掷一枚骰子5次,若正面向上用随机数0表示,反面向上用随机数1表示,下面表示5次抛掷恰有3次正面向上的是( )
A.1 0 0 1 1 B.1 1 0 0 1
C.0 0 1 1 0 D.1 0 1 1 1
【解析】选C.在随机模拟试验中,必须弄清楚随机数与试验结果的对应.
2.某银行储蓄卡上的密码是一个6位数号码,每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取.某人未记住密码的最后一位数字,如果随意按密码的最后一位数字,则正好按对密码的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.只考虑最后一位数字即可,从0到9这10个数字中随机选一个的概率为.
3.随机函数RANDBETWEEN(1,2016)产生从整数________到整数________的取整数值的随机数.
【解析】随机函数RANDBETWEEN(a,b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.
答案:1 2016
4.一体育代表队共有21名水平相当的运动员.现从中抽取11人参加某场比赛,其中运动员甲必须参加.写出利用随机数抽取的过程.
【解析】甲必须参加,实质就是从20名运动员中抽取10名.
(1)把其余20名运动员编号,号码为1,2,3,…,19,20.
(2)用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,20)或计算器的随机函数RANDI(1,20)产生10个1～20之间的不同的整数值随机数.
(3)上面10个号码对应的10名运动员和甲就是要抽取的对象.
【能力挑战题】一个袋中有7个大小、形状相同的小球,其中6个白球,1个红球,现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取,试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
【解析】用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率,所以每三个随机数作为一组.例如,产生20组随机数.
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
这就相当于做了20次试验,在这组数中,前两个数字不是7,第三个数字恰好是7,就表示第一次,第二次摸到的是白球,第三次摸到的恰好是红球,它们分别是567和117共两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为=0.1.
课件69张PPT。3.3 几何概型
3.3.1 几何概型【自主预习】
主题1:几何概型的定义
根据下列试验回答问题:
赌博游戏:甲乙两赌徒掷骰子,
规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜.转盘游戏:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.
1.两个试验的结果有何特点?它们是古典概型吗,为什么?提示:第一个试验包含的基本事件数是有限个,且每个事件的发生是等可能的,所以第一个试验满足古典概型;第二个试验指针指向圆弧上哪一点均是等可能的,基本事件数是无限多个,虽然每个事件发生也是等可能的,但不满足古典概型.2.在两种转盘游戏中,甲获胜的概率与字母B所在的扇形区域的哪个因素有关?哪个因素无关?
提示:与扇形的弧长(或面积)有关,与扇形区域所在的位置无关.总结以上探究,写出几何概型的定义及特点:
定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
_____(_____或_____)成比例,则称这样的概率模
型为几何概率模型,简称为_________.
?长度面积体积几何概型特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有
_________.
(2)每个基本事件出现的可能性_____.无限多个相等主题2:几何概型概率的计算公式
1.在主题1中的两个试验中概率的求法一样吗?你又是如何解决这些问题的?提示:不一样.第一个试验骰子的六个面上的数字是有限个的,且每次投掷都是等可能的,因而可以利用古典概型公式求解;第二个试验指针指向的每个方向都是等可能的,但指针所指的方向却是无限个的,因而无法利用古典概型求解,但可以借助几何图形的长度、面积比等分析概率.2.有一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少?你是怎样计算的?
提示:从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.如图,记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A.把绳子
三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.
由于中间一段的长度等于绳长的 ,于是事件A发生的
概率P(A)= .通过以上探究,试着总结出几何概型的概率计算公式:
P(A)= 【深度思考】
结合教材P136例1你认为求与长度有关的几何概型的步
骤有哪些?
第一步:________________________________________.
第二步:___________________________.
第三步: ____________________.代入公式求解P(A)=首先找到试验的全部结果所构成的区域长度I找出事件A所构成的区域长度I0【预习小测】
1.下列关于几何概型的说法错误的是 ( )
A.几何概型也是古典概型中的一种
B.几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关
C.几何概型中每一个结果的发生具有等可能性
D.几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个【解析】选A.几何概型与古典概型是两种不同的概型,故A错误,其余选项均正确.2.下列概率模型中,是几何概型的有 ( )
(1)从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到1的概率.
(2)从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率.
(3)从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到大于1而小于2的数的概率.(4)向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离中心不超过1cm的概率.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.(1)中的概率模型不是几何概型,因为虽然区间[-10,10]中有无限多个点,但取到1只是1个数字不能构成区域;(2)中的概率模型是几何模型;(3)中的概率模型是几何概型;(4)中的概率模型是几何概型.3.一个红绿灯路口,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为45秒.当你到达路口时,恰好看到黄灯亮的概率是 ( )【解析】选C.设看到黄灯亮为事件A,构成事件A的“长
度”等于5,试验的全部结果所构成的区域长度是30+5
+45=80,所以P(A)= 4.面积为S的△ABC,D是BC的中点,向△ABC内部投一点,那么点落在△ABD内的概率为________.【解析】向△ABC内部投一点的结果有无限个,属于几
何概型.设点落在△ABD内为事件M,则P(M)=
答案: 5.如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线
围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒
豆子,它落在阴影区域内的概率为 ,则阴
影区域的面积为________.【解析】由几何概型的概率公式知
答案:【补偿训练】取一根长为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,求剪得两段的长都不小于2m的概率.(仿照教材P136例1的解析过程)【解析】如图所示.记“剪得两段绳长都不小于2m”为事件A.把绳子五等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中
间一段的长度等于绳长的 ,所以事件A发生的概率P(A)
= .【互动探究】
1.几何概型的基本事件有无数多个吗?
提示:是,这也是几何概型与古典概型的区别之一.2.几何概型与古典概型有什么区别?
提示:古典概型要求随机试验所包含的所有基本事件的个数必须是有限多个;几何概型要求随机试验所包含的基本事件应当是无限多个,而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.3.利用几何概型概率公式求解的关键是什么?
提示:关键是找到构成事件A及试验全部结果构成的区域长度(面积或体积).4.在几何概型中,概率为0的事件一定是不可能事件,概率为1的事件一定是必然事件.这种说法正确吗?为什么?提示:不正确.如果随机事件所在区域是一个单点A,由于单点A的长度、面积、体积均为0,根据几何概型概率的计算公式,则该事件出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点A,则该事件出现的概率为1,但它不是必然事件.【探究总结】
知识归纳:注意事项:几何概型的两个关注点
(1)基本事件的发生具有等可能性.
(2)基本事件有无数个.【题型探究】
类型一:几何概型的判断
【典例1】判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型,还是几何概型.
(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率.
(2)某月某日,某个市区降雨的概率.(3)设A为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点与A连接,求弦长超过半径的概率.
(4)从[0,10]中任取一个整数x,求x>3的概率.
(5)从[0,5]中任取一个数x,求x>3的概率.【解题指南】根据几何概型的两大特征:基本事件的无限性与等可能性进行逐一判断.【解析】(1)抛掷两颗骰子,出现的所有可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型.
(2)不是几何概型,因为它不具有等可能性.
(3)是几何概型,因为它具有无限性与等可能性.(4)由题知,x可取的所有值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,共11个基本事件,且由x的任意性知它们是等可能的,因此属于古典概型.
(5)由于在[0,5]中有无穷多个数,即基本事件有无限个,且由x的任意性知它们是等可能的,因此属于几何概型.【规律总结】判断一个概率模型是古典概型还是几何概型的步骤
(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等,若不相等,那么这个概率模型既不是古典概型也不是几何概型.(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等,再判断试验结果的有限性,当试验结果有有限个时,这个概率模型是古典概型;当试验结果有无限个时,这个概率模型是几何概型.【巩固训练】下列概率问题中属于几何概型的为________.
(1)随机地向正方形内掷硬币30次,统计硬币正面朝上的概率.
(2)从一批产品中抽取50件进行检验,有5件次品,求正品的概率.(3)箭靶的直径为60cm,其中,靶心的直径只有12cm,任意向靶射箭,射中靶心的概率为多少?【解析】根据古典概型和几何概型的特点,知(1)(2)为古典概型,(3)为几何概型.
答案:(3)类型二:与长度或角度有关的概率问题
【典例2】(1)在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM,与线段AB交于点M,则AM
=67.5°,
记A表示在∠ACB内部任作一射线CM,与线段AB交于点
M,AM又∠ACB=90°,∠ACC′=67.5°,所以P(A)=
故AM答案:(2)记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”
为事件A,如图所示,不妨在过等边△BCD的顶
点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦,当弦为CD
时,就是等边三角形的边长,弦长大于CD等价于圆心O到
弦的距离小于OF,由几何概型的概率公式得P(A)=
答案:【延伸探究】
1.(改变问法)若将本例(1)改为:“在等腰Rt△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求|AM|<|AC|的概率”,答案还一样吗?【解析】不一样,这时M点可取遍AC′(长度与AC相等)
上的点,故此事件的概率应为 2.(改变问法)其他条件不变,将本例(1)改为:
(1)在线段BC上任取一点M,求使∠CAM<30°的概率.
(2)在∠CAB内任作射线AM,求使∠CAM<30°的概率.【解析】(1)设CM=x,则0若∠CAM<30°,则0故∠CAM<30°的概率为(2)设∠CAM=θ,则0°<θ<45°.
若∠CAM<30°,则0°<θ<30°,
故∠CAM<30°的概率为P(B)= 【规律总结】
1.与长度有关的概率求解步骤2.与角度有关的两种几何概型
(1)涉及射线的转动问题.
(2)扇形中有关落点区域的问题,常以角度的大小作为区域的度量标准进行概率的计算.【巩固训练】在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为 ( )【解析】选C.设其中一段AC长为xcm,则另一段BC长为
(12-x)cm,其中0由题意x(12-x)<32?0为4+4=8,故概率为 类型三:与面积或体积有关的概率问题
【典例3】(2016·大连高一检测)设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.【解题指南】(1)该题是古典概型问题,利用古典概型
的有关知识求解.
(2)该题是几何概型问题,解答本题可先求出试验的全
部结果构成的平面区域的面积S,再求出构成事件A的区
域面积S1,进而代入公式P(A)= 即可.【解析】设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”,当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个:(0,0)(0,1),(0,2),(1,0), (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),
其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.
事件A中包含9个基本事件,故事件A发生的概率为P(A)
= (2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.
构成事件A的区域为
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},
所以所求的概率为P(A)= 【规律总结】求解与面积或体积有关的几何概型问题的步骤【巩固训练】如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,则P(A)= ( )【解析】选D.豆子落在正方形EFGH内是随机的,故可以
认为豆子落在正方形EFGH内任一点是等可能的,属于几
何概型.因为圆的半径为1,所以正方形EFGH的边长是
,则正方形EFGH的面积是2,又圆的面积是π,所以
P(A)= . 几何概型
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·厦门高一检测)两根电线杆相距100m,若电线遭受雷击,且雷击点距电线杆10m之内时,电线杆上的输电设备将受损,则遭受雷击时设备受损的概率为
( )
A.0.1 B.0.2 C.0.05 D.0.5
【解析】选B.如图,两根电线杆相距MN=100m,MP=10m,QN=10m,则当雷击点在MP或QN范围上时,设备受损,故P==0.2.
2.将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】求出阴影部分的面积,利用几何概型求概率.
【解析】选B.阴影部分的面积S阴=π×12=,长方形的面积S=2×1=2.
所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是==.
3.(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=.
【补偿训练】如图,在正方形围栏内均匀撒米粒,一只小鸡在其中随意啄食,此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.设事件A表示小鸡正在正方形的内切圆中,则事件A的几何区域为内切圆的面积S=πR2(2R为正方形的边长),全体基本事件的几何区域为正方形的面积,由几何概型的概率公式可得P(A)==,即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点,则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.体积型几何概型问题.P==.
5.如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由几何概型的计算方法,可以得出所求事件的概率为P= ==.
6.如图所示,设M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN,则弦MN的长超过R的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.过圆心O作与OM垂直的直径CD,连接MD,MC,则MD=MC=R.当点N不在半圆弧上时,MN>R,故所求的概率P==.
7.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L,则L与线段BC相交的概率为
( )
A. B. C. D.
【解题指南】从角度方面考虑,注意和射线的区别.
【解析】选B.由于直线向两端无限延伸,当直线绕点A旋转时,直线和线段BC相交的概率为=.
【延伸探究】本题中若将直线改为射线,则结果如何呢?
【解析】选C.由于射线不是向两端无限延伸的,所以当射线绕点A旋转时,射线和线段BC相交的概率为=.
8.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则= ( )
A. B. C. D.
【解题指南】解本题的关键是找出使△APB的最大边是AB的临界条件,首先是确定AD【解析】选D.如图,
在矩形ABCD中,以B,A为圆心,以AB为半径作圆交CD分别于E,F,当点P在线段EF上运动时满足题设要求,所以E,F为CD的四等分点,设AB=4,则DF=3,AF=AB=4,在直角三角形ADF中,AD==,所以=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2015·山东高考改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为________.
【解题指南】本题是以对数函数为背景的长度之比型几何概型的计算.
【解析】由-1≤lo≤1得≤x+≤2,即0≤x≤,故所求概率为=.
答案:
10.一个球形容器的半径为3cm,里面装有纯净水,因不小心混入了1个感冒病毒,从中任取1mL水(体积为1cm3),含有感冒病毒的概率为________.
【解析】水的体积为πR3=π·33=36π(cm3)=36π(mL),则含感冒病毒的概率为P=.
答案:
三、解答题
11.(10分)已知函数f(x)=-x2+ax-b.
(1)若a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率.
(2)若a,b都是从区间[0,4]任取的一个数,求f(1)>0成立时的概率.
【解题指南】准确判断概率模型是古典概型还是几何概型的关键是:基本事件是否只有有限个,每个基本事件发生是否等可能.
【解析】(1)a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N=5×5=25(个).
函数有零点的条件为Δ=a2-4b≥0,即a2≥4b.
因为事件“a2≥4b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),
(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个.所以事件“a2≥4b”的概率为P=.
(2)因为a,b都是从区间[0,4]上任取的一个数,f(1)=-1+a-b>0,所以a-b>1,此为几何概型,所以事件“f(1)>0”的概率为P==.
3.3.1 几何概型
课堂10分钟达标
1.在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17A. B. C. D.
【解析】选C.因为a∈(15,25],所以P(172.在长为10厘米的线段AB上任取一点G,用AG为半径作圆,则圆的面积介于
36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选D.以AG为半径作圆,面积介于36π平方厘米到64π平方厘米,则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间.故所求概率P(A)==.
3.某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.等待的时间是0到5之间的一个实数,而且每个实数出现的概率都是一样的.所以,等待时间不超过3分钟的概率,也就是从0到5之间任取一个实数,它小于等于3的概率为.
4.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为________.
【解析】如图,在等腰直角三角形的直角边OA,OB上分别取中点C,D,则OC=1,OD=1,则事件“点到此三角形的直角顶点的距离不大于1”的概率为P===.
答案:
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取一点M,则使四棱锥M-ABCD的体积不超过(事件A)的概率为________.
【解析】设点M到平面ABCD的距离为h,则VM-ABCD=Sh≤.又S=1,所以只要h≤即可.所有满足h≤的点组成以四边形ABCD为底面,为高的长方体,其体积为.又正方体的体积为1,所以使四棱锥M-ABCD体积不超过(事件A)的概率为P(A)==.
答案:
6.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,求该地点无信号的概率.
【解析】由题意知,将两个四分之一圆补成半圆,其面积为×π×12=,矩形面积为2,则所求概率为=1-.
【补偿训练】【能力挑战题】如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是
( )
A.1- B.-
C. D.
【解析】选A.设OA=OB=r,则两个以为半径的半圆的公共部分面积为
2=,
两个半圆外部的阴影部分面积为
πr2-=,
所以所求概率为=1-.
课件68张PPT。3.3.2
均匀随机数的产生【自主预习】
主题1:均匀随机数的产生
1.在古典概型中我们可以利用(整数值)随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢?我们常用的是[0,1]上的均匀随机数,如何利用计算器产生0～1之间的均匀随机数?提示:能.利用计算器产生0～1之间的均匀随机数2.如何利用计算机产生[0,1]之间的均匀随机数?
提示:用计算机的方法如下:用Excel演示.
(1)选定A1格,键入“=rand( )”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的[0,1]上的均匀随机数.(2)选定A1格,点击复制,然后选定要产生随机数的格,比如A2～A100,点击粘贴,则在A2～A100的数都是[0,1]上的均匀随机数.这样我们就很快就得到了100个0～1之间的均匀随机数,相当于做了100次随机试验.通过以上探究,试着总结出均匀随机数的定义及产生方
法:
定义:如果试验的结果是区间[a,b]内的_____一个实数,
而且出现任何一个实数是_______的,则称这些实
数为均匀随机数.
?任何等可能产生方法:方法一,利用几何概型产生;
方法二,用转盘产生;
方法三,用_______或_______产生.计算器计算机主题2:用随机模拟方法估计概率和不规则图形的面积
1.向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖N支.则如何利用随机模拟的方法统计出分别落在正方形和阴影部分的飞镖数?提示:①先产生两组[0,1]内的均匀随机数a=RAND, b=RAND;
②经过平移和伸缩变换:x=2(a-0.5),y=2(b-0.5);
③统计出满足的结果数和试验的总次数.即统计出落在正方形和阴影部分的飞镖数.2.观察如图所示的图形,回答有关问题:(1)图中阴影部分为一个不规则的图形,你可以采用什么方法求其面积?
提示:计算不规则图形的面积可利用几何概型,并通过随机模拟方法可以近似计算不规则图形的面积.(2)解决不规则图形面积的计算公式是什么?
提示:利用公式
P(A)≈
计算出不规则图形的面积.总结以上探究过程,试着写出用随机模拟近似计算随机
事件概率的方法:
试验模拟法:制作两个转盘模型,进行模拟试验,并统计
试验结果,进行近似计算.?
计算机模拟法:用______软件产生[0,1]上的均匀随机
数进行模拟,注意操作步骤.Excel【深度思考】
结合教材P139例3你认为用随机模拟方法估计几何概型的概率方法步骤有哪些?
第一步:建立概率模型.
第二步:进行模拟试验(可用计算器或计算机进行).第三步:统计试验结果.
第四步:利用公式计算概率.【预习小测】
1.下列关于随机数的说法:
(1)计算器只能产生[0,1]之间的随机数.
(2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数.
(3)计算器只能产生均匀随机数.(4)我们通过命令rand( )*(b-a)+a来得到两个整数值之间的随机数.
其中正确的是________.【解析】答案:(4)2.已知b1是[0,1]上的均匀随机数,b=3(b1-3),则b是区间________上的均匀随机数.
【解析】因为b1-3是[-3,-2]上的均匀随机数,所以b是区间[-9,-6]上的均匀随机数.
答案:[-9,-6]3.边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影部分,在中央随机撒1粒豆子,它落在阴影部分的概率是0.3,则阴影部分的面积估计为________.【解析】设阴影面积为S,则 ≈0.3,所以S≈1.2.
答案:1.24.边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影部分,在中央随机撒1 000粒豆子,它落在阴影部分有250粒,则阴影部分的面积估计为________.【解析】设阴影面积为S,则 所以S≈1.
答案:15.设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于6cm,现用直径等于2cm的硬币投掷到网格上,用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率.(仿照教材P139例3的解析过程)【解析】记事件A表示硬币与格线有公共点,设硬币中心为B(x,y).
步骤:(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.
(2)经过平移,伸缩变换,则x=(x1-0.5)6,y=(y1-0.5)6,得到两组[-3,3]内的均匀随机数.(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1
(满足条件|x|≤2或|y|≤2的点(x,y)的个数).
(4)计算频率 ,即为硬币落下后与格线有公共点的概
率.【互动探究】
1.整数值随机数与均匀随机数有何异同?提示:均匀随机数与整数值随机数的共同点是都是等可能取值,二者都是随机产生的随机数,在一定的区域长度上出现的机会是均等的.不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数,整数值随机数只取区间内的整数.2.如果x是[0,1]上的均匀随机数,怎样才能得到它在[a,b]上相应的均匀随机数?提示:如果x是区间[0,1]上的均匀随机数,则a+(b-a)x就是[a,b]上的均匀随机数;利用计算机Excel中的随机函数“rand( )*(b-a)+a”也可以得到.3.能否用均匀随机模拟方法估计长度型的概率呢?如果能,那么取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,请用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2m的概率.提示:能,设剪得两段的长都不小于2m为事件A.
(1)利用计算器或计算机产生n个[0,1]之间的均匀随机数,x=RAND.
(2)作伸缩变换:y=x*(5-0),转化为[0,5]上的均匀随机数.(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m.
(4)则概率P(A)的近似值为 .【探究总结】
知识归纳:方法总结:[a,b]上均匀随机数的产生方法
1.利用计算器或计算机产生[0,1]内的均匀随机数x1=RAND.
2.利用伸缩和平移变换,x=x1·(b-a)+a就可以得到[a,b]内的均匀随机数.【题型探究】
类型一:均匀随机数的产生
【典例1】(1)设x是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变
换y=2x+3,则x= 对应变换成的均匀随机数是( )
A.0 B.2 C.4 D.5(2)在利用随机模拟法计算如图阴影部分
(曲线y= 与x轴,x=±1围成的部分)的
面积时,需要经过伸缩变换得到两个区间
________和 上的均匀随机数.【解题指南】(1)利用伸缩变换公式x=x1(b-a)+a求解.
(2)观察区域内点的横、纵坐标的取值范围.【解析】(1)选C.当x= 时,y=2× +3=4.
(2)由图可知需产生的两组均匀随机数所在区间为
[-1,1]与[0,2].
答案:[-1,1] [0,2]【规律总结】
1.应用随机数进行几何概型计算时应注意的问题
(1)确定所需产生的随机数组,如长度、角度只需产生一组均匀随机数,面积要产生两组均匀随机数,体积要产生三组均匀随机数.(2)由试验对应的区域,确定对[0,1]内的均匀随机数进行变换.
(3)由事件A发生的条件确定随机数满足的关系.
2.产生均匀随机数的关键
用随机模拟方法求概率,其实质是先求频率,用频率近似代替概率.产生均匀随机数关键是设计好“程序”或者说“步骤”,并找到各数据需满足的条件.【巩固训练】将[0,1]内的均匀随机数转化为[-3,4]内的均匀随机数,需要实施的变换为 ( )
A.a=a1*7 B.a=a1*7+3
C.a=a1*7-3 D.a=a1*4
【解析】选C.根据伸缩、平移变换a=a1*[4-(-3)]+
(-3)=a1*7-3.类型二:用随机模拟法估计概率
【典例2】解放军某部进行特种兵跳伞
演习,如图所示,在长为16m,宽为14m的
矩形内有大、中、小三个同心圆,其半
径分别为1m,2m,5m.若着陆点在圆环B内,则跳伞成绩为
合格;若着陆点在环状的阴影部分,则跳伞成绩为良好;若跳伞者的着陆点在小圆A内,则跳伞成绩为优秀;否则为不合格.若一位特种兵随意跳下,假设他的着陆点在矩形内,利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率.【解题指南】本题为面积型几何概型,所求的概率为面积之比,若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比.【解析】设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”.
(1)利用计算器或计算杌产生两组[0,1]上的均匀随机
数,a1=RAND,b1=RAND.
(2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=14b1-7,得到
[-8,8]与[-7,7]上的均匀随机数.(3)统计满足-81(4)计算频率fn(A)= 即为所求概率的近似值.【延伸探究】在本例中,如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率.
【解析】设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”.
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.(2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=14b1-7,得到
[-8,8]与[-7,7]上的均匀随机数.
(3)统计满足-8a2+b2>25的点(a,b)的个数N1.
(4)计算频率fn(A)= 即为所求概率的近似值.【规律总结】
1.用随机模拟方法估计几何概型的概率的步骤
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机
数a1=RAND.
(2)经过伸缩变换x=2ax-a,y=2by-b,得到一组[-a,a],
[-b,b]上的均匀随机数.(3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数
个数N1.
(4)计算频率fn(A)= ,即为所求概率的近似值.2.用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概
率的区别
长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可,所求事
件的概率为表示事件的长度之比,对面积型几何概型问
题,一般需要确定点的位置,而一组随机数是不能在平
面上确定点的位置的,故需要利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标,从而确定点的位置,所求事件的概率为点的个数比.【巩固训练】取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1m的概率.【解析】设剪得两段的长都不小于1m为事件A.
方法一:(1)利用计算器或计算机产生n个[0,1]内的均匀随机数,x=RAND.
(2)作伸缩变换:y=x*(3-0),转化为[0,3]上的均匀随机数.(3)统计出[1,2]内均匀随机数的个数m.
(4)则概率P(A)的近似值为 .方法二:(1)做一个带有指针的转盘,把圆周五等分,标
上刻度[0,3],这里3和0重合.
(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针,记下指针
在[1,2]内(表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数
m及试验总次数n.
(3)则概率P(A)的近似值为 .类型三:利用随机模拟试验估计不规则图形的面积
【典例3】利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积,并估计π的近似值.【解析】(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.
(2)经过平移和伸缩变换,a=2(a1-0.5),b=2(b1-0.5)得到两组[-1,1]上的均匀随机数.
(3)统计试验总次数N和点落在圆面的次数N1(满足a2+b2≤1的点(a,b)的个数)(4)计算频率 ,即为点落在圆内的概率近似值.
(5)设圆的面积为S,则由几何概型概率公式得P= ,即
≈ ,则S≈ 即为圆面积的近似值,又S圆=πr2=π,
则π=S≈ ,即为圆周率π的近似值.【规律总结】利用随机模拟法估计图形面积的步骤
(1)把已知图形放在平面直角坐标系中,将图形看成某
规则图形(长方形或圆等)内的一部分,并用阴影表示.
(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点,求出落
在阴影部分的概率P(A)= .(3)设阴影部分的面积是S,规则图形的面积是S′,则有
= ,解得S= S′,则已知图形面积的近似值为
S′.【巩固训练】利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(抛物线y=2-2x-x2与x轴围成的图形)的面积.【解析】①利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;
②经过平移和伸缩变换,a=a1·4-3,b=b1·3,得到一组[-3,1]和一组[0,3]上的均匀随机数;
③统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1(满足条件b<2-2a-a2的点(a,b)的个数);④计算频率 就是点落在阴影部分的概率的近似值;
⑤设阴影部分的面积为S,由几何概型概率公式得点落
在阴影部分的概率为 ,所以 ≈ ,故S≈ 即为
阴影部分面积的近似值.均匀随机数的产生
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.在线段AB上任取三个点x1,x2,x3,则x2位于x1与x3之间的概率是 ( )
A. B. C. D.1
【解析】选B.因为x1,x2,x3,是线段AB上任意的三个点,任何一个数在中间的概率相等且都是.
2.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m,其实际概率的大小为n,则
( )
A.m>n B.mC.m=n D.m是n的近似值
【解析】选D.随机模拟法求概率,只是对概率的估计.
【补偿训练】关于随机模拟方法,下列说法正确的是 ( )
A.比扔豆子试验更精确
B.所获得的结果比较精确
C.可以用来求平面图形面积的精确值
D.是用计算器或计算机模拟实际的试验操作
【解析】选D.扔豆子试验本身就是一种模拟试验,利用随机模拟方法所求出的面积或概率都是估计值,不是精确值.
3.(2015·广州高一检测)在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油,假若在海域中任意一点钻探,那么钻到油层面的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油,假若在海域中任意一点钻探,那么钻到油层面的概率是=.
4.要产生[-3,3]上的均匀随机数y,现有[0,1]上的均匀随机数x,则y不可取为
( )
A.-3x B.3x C.6x-3 D.-6x-3
【解析】选D.由0≤x≤1,得-9≤-6x-3≤-3,故y不能取-6x-3.
5.将[0,1]内的均匀随机数转化为[-2,6]内的均匀随机数,需要实施的变换为
( )
A.a=8a1 B.a=8a1+2
C.a=8a1-2 D.a=6a1
【解析】选C.设变换式为a=ka1+b,
则有
解得
故实施的变换为a=8a1-2.
【一题多解】本题还可以有如下解法:
选C.采用逐个验证法,对C选项,把0代入等于-2,把1代入等于6符合要求,其他选项均不符合.
6.设x,y是两个[0,1]上的均匀随机数,则0≤x+y≤1的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.如图所示,所求的概率为P==.
7.在区间[0,10]内任取两个数,则这两个数的平方和也在[0,10]内的概率为
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.将取出的两个数分别用x,y表示,
则0≤x≤10,0≤y≤10,
要求这两个数的平方和也在区间[0,10]内,
即要求0≤x2+y2≤10,
故此题可以转化为求0≤x2+y2≤10在区域0≤x≤10,0≤y≤10内的面积问题,如图所示:
由几何概型知识可得到概率为=.
【补偿训练】节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】本题考查的是几何概型问题,首先明确两串彩灯开始亮是通电后4秒内任一时刻等可能发生,第一次闪亮相互独立,而满足要求的是两串彩灯第一次闪亮的时刻相差不超过2秒.
【解析】选C.由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能发生,所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积,而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积,
根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是=.
8.如图所示,墙上挂着一块边长为16cm的正方形木块,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m之外向此板投镖,设镖击中线上或没有投中木板时不算,可重投,
记事件A表示投中大圆内,事件B表示投中小圆与中圆形成的圆环内,事件C表示投中大圆之外.
(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,a1=RAND,b1=RNAD.
(2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=16b1-8,得到两组[-8,8]内的均匀随机数.
(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2+b2<36的点(a,b)的个数),投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4A.,, B.,,
C.,, D.,,
【解析】选A.P(A)的近似值为,P(B)的近似值为,P(C)的近似值为.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知b1是[0,1]上的均匀随机数,b=6(b1-0.5),则b是区间 上的均匀随机数.
【解题指南】根据所给的b1是[0,1]上的均匀随机数,依次写出b1-是上的均匀随机数和b=6(b1-0.5)是[-3,3]上的均匀随机数,得到结果.
【解析】因为b1是[0,1]上的均匀随机数,
所以b1-是上的均匀随机数,
所以b=6(b1-0.5)是[-3,3]上的均匀随机数.
答案:[-3,3]
10.如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.
【解析】由几何概型可知=,所以S=0.18.
答案:0.18
三、解答题
11.(10分)如图所示,曲线y=x2与y轴、直线y=1围成一个区域A(图中的阴影部分),用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法).
【解题指南】随机模拟方法可以采用转盘或扔豆子等试验进行,也可以利用计算器或计算机产生随机数进行.
【解析】方法一:我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子,数出落在区域A内的豆子数与落在正方形内的豆子数,根据≈,即可求区域A面积的近似值.例如,假设撒1 000粒豆子,落在区域A内的豆子数为700,则区域A的面积S≈=0.7.
方法二:对于上述问题,我们可以用计算机模拟上述过程,步骤如下:
第一步,产生两组[0,1]内的均匀随机数,它们表示随机点(x,y)的坐标.如果一个点的坐标满足y≥x2,就表示这个点落在区域A内.
第二步,统计出落在区域A内的随机点的个数M与落在正方形内的随机点的个数N,可求得区域A的面积S≈.
3.3.2 均匀随机数的产生
课堂10分钟达标
1.用计算器或计算机产生20个[0,1]之间的随机数x,但是基本事件都在区间[-1,3]上,则需要经过的线性变换是 ( )
A.y=3x-1 B.y=3x+1
C.y=4x+1 D.y=4x-1
【解析】选D.将区间[0,1]伸长为原来的4倍,再向左平移一个单位得区间[-1,3],所以需要经过的线性变换是y=4x-1.
2.与均匀随机数特点不符的是 ( )
A.它是[0,1]内的任何一个实数
B.它是一个随机数
C.出现的每一个实数都是等可能的
D.是随机数的平均数
【解析】选D.A、B、C是均匀随机数的定义,均匀随机数的均匀是“等可能”的意思,并不是“随机数的平均数”.
3.质点在数轴上的区间[0,2]上运动,假定质点出现在该区间各点处的概率相等,那么质点落在区间[0,1]上的概率为 ( )
A. B. C. D.以上都不对
【解析】选C.区间[0,2]的长度为2,记“质点落在区间[0,1]上”为事件A.则事件A的区间长度为1,则P(A)=.
4.如图,在正方形内有一扇形(见阴影部分).扇形对应的圆心是正方形的一顶点,半径为正方形的边长,在这个图形上随机地撒一粒黄豆,它落在扇形外正方形内的概率为________.
【解析】设正方形的边长为1,扇形的面积S扇形=π×12=,所以概率P=1-=1-.
答案:1-
5.在如图的正方形中随机撒一把芝麻,用随机模拟的方法来估计圆周率π的值.如果撒了1 000粒芝麻,落在圆内的芝麻总数是776粒,求这次模拟中π的估计值.(精确到0.001)
【解析】假设正方形的边长是2,则正方形的面积是4,圆的半径是1,则圆的面积是π,根据几何概型的概率公式得到≈.所以π≈3.104.
6.【能力挑战题】从甲地到乙地有一班车在9:30到10:00到达,若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9:45到10:15出发的汽车到丙地去,问他能赶上车的概率是多少?
【解析】能赶上车的条件是到达乙地时汽车没有出发,我们可以用两组均匀随机数x和y来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间,当x≤y时能赶上车.
设事件A表示“他能赶上车”.
①利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.
②经过变换x=0.5x1+9.5,y=0.5y1+9.75.
③统计出试验总次数N和满足条件x≤y的点(x,y)的个数N1.
④计算频率fn(A)=,则即为概率P(A)的近似值.
课件42张PPT。单元复习课
第三章 概率类型一:随机事件的频率与概率
【典例1】某射击运动员为2016年奥运会做准备,在相同条件下进行射击训练,结果如下:(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少?
(2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少?(3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗?
(4)假如该射击运动员射击了10次,前9次中有8次击中靶心,那么第10次一定击中靶心吗?【解析】(1)由题意,击中靶心的频率与0.9接近,故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9=270(次).
(3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定不击中靶心.(4)不一定.因为每一次射击都是随机的,可能击中也可能击不中.【规律总结】用频率估算概率的方法
(1)进行大量的随机试验,求得频数.
(2)由频率计算公式fn(A)= 得频率.
(3)由频率与概率的关系估计概率.【巩固训练】下表是某灯泡厂对一批灯泡质量检测的情况:请填写合格品频率表,并观察频率表,估计灯泡合格品的概率是________.【解析】由表中数据易得:这6次检测灯泡试验中,出现合格品的频率依次是0.98,0.97,0.985,0.984, 0.981,0.982.
观察这些频率值,可以发现随着所抽查灯泡数的不断增加,频率值在0.98附近摆动,由概率的统计定义可得,“灯泡合格品”的概率约为0.98.答案:0.98 0.97 0.985 0.984 0.981 0.982 0.98类型二:互斥事件与对立事件及概率计算
【典例2】(1)抽查10件产品,设事件A为“至少有2件次品”,则事件A的对立事件为 ( )
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品(2)甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.
①甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?
②甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?【解析】(1)选B.“至少有n个”的反面是“至多有n-1个”,又因为事件A为“至少有2件次品”,所以事件A的对立事件为“至多有1件次品”.(2)把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2. “甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有:(x1,p1), (x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有:(p1,x1), (p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;
“甲、乙都抽到选择题”的情况有:(x1,x2),(x1,x3), (x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有:(p1,p2),(p2,p1),共2种.①“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断
题”的概率为
②“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为 故
“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为 【规律总结】
1.互斥或对立事件的判断方法
(1)根据定义判断:
互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的.
在一次试验中,两个互斥事件不可能同时发生,强调的“不同时发生”,即两个事件互相排斥.有可能都不发生,也可能只有一个发生.对立事件:必定而且只有一个发生,没有第三种可能.
(2)根据二者关系判断:
两个事件互斥未必对立;两个事件对立一定互斥.2.互斥事件概率的求法
(1)判:判断各事件是否互斥.
(2)拆:会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏.
(3)求:先分别求出每个事件的概率,再根据互斥事件的概率加法公式求得最后的结果.3.对立事件概率的求法
(1)当某事件A所包含的基本事件较多,而它的对立事件
所包含的情形(基本事件)较少时,利用P(A)=1-P( )计
算事件A的概率比较简单.
(2)有“至多”或“至少”要求的概率题,多数应用公
式P(A)=1-P( )进行计算.【巩固训练】同时抛掷两枚骰子,既不出现5点也不出
现6点的概率为 ,则5点或6点至少出现一个的概率是
________.【解析】记既没有5点也没有6点的事件为A,则P(A)=
,5点或6点至少出现一个的事件为B.
因为A∩B=?,A∪B为必然事件,所以A与B是对立事件,
则P(B)=1-P(A)=1-
故5点或6点至少出现一个的概率为 .
答案:类型三:古典概型
【典例3】现有8名某运动会志愿者,其中志愿者A1,A2, A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.
(1)求A1被选中的概率.
(2)求B1和C1不全被选中的概率.【解析】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语的志愿者
各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω= {(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,
B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),
(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,
C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},即由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机
会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.
用M表示“A1被选中”这一事件,则M={(A1,B1,C1), (A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,
C2)},即事件M由6个基本事件组成.故P(M)= (2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件,则其对立
事件 表示“B1和C1全被选中”这一事件.
因为 ={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},即事件
由3个基本事件组成,所以P( )=
由对立事件的概率公式得
P(N)=1-P( )= 【规律总结】
1.古典概型概率计算的关键及注意点
(1)关键:分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事
件的个数m,再利用公式P(A)= 求出概率.
(2)注意点:用列举法把基本事件一一列举出来,在列举
时必须按某一顺序,做到不重不漏.2.古典概型综合应用的解法
古典概型问题经常与统计的简单知识综合命题,如与分层抽样、样本平均数、方差等知识综合命题.解答该类问题的关键是用列举法计算随机事件所包含的基本事件数.【巩固训练】(2016·长沙高一检测)袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两个球,求下列事件的概率:
(1)A:取出的两球都是白球.
(2)B:取出的两球1个是白球,另1个是红球.
(3)C:取出的两球中至少有一个白球.【解析】设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号
为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2),
(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,
6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种.(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的
取法总数,即是从4个白球中任取两个的取法总数,共有
6种,为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).
所以取出的两个球全是白球的概率为P(A)= (2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个是红球,而另
一个是白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),
(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8种.
所以取出的两个球一个是白球,一个是红球的概率为
P(B)= (3)方法一:因为C=A∪B且A,B为互斥事件,
所以P(C)=P(A)+P(B)=
方法二:设C的对立事件为D:取出的两球中没有白球(全
为红球),而D含有1个基本事件(5,6).
所以P(C)=1-P(D)=类型四:几何概型及其综合应用
【典例4】(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7:30, 8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( )(2)在半径为1的圆周上任取两点,连成一条弦,其长超
过该圆内接正三角形边长 的概率是多少?【解析】(1)选B.如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中,而当他到
达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超
过10分钟,根据几何概型,所求概率P= (2)设事件M=“弦长超过 ”,固定一点A于圆周上,以
此点为顶点作内接正三角形ABC,显然只有当弦的另一
端点D落在 上时,才有|AD|>|BC|> ,由几何概率公
式知P(M)= .【规律总结】求解几何概型的关注点
(1)验证两个基本特征:
每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性.(2)选准考虑问题的角度:
在解题时要审清条件,转化为与长度、面积、体积等有关的几何概型,然后用公式求解.【巩固训练】在[-1,1]上任取两个实数a,b,求一元二次方程x2+2ax+b2=0有两个非负实数根的概率.【解析】由题意,得
设该事件为A,那么A={(a,b)||a|≥|b|,且-1≤a≤0}.
用图形表示即为图中阴影部分.
则P(A)=