江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.求实数a，b的值．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，P(m，n)为曲线C2上任一点，求m＋n的取值范围．
D. (选修4-5：不等式选讲)
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
(1) 求二面角ADFB的大小；
(2) 试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°.
23.设f(x，n)＝(1＋x)n，n∈N*.
(1) 求f(x，6)的展开式中系数最大的项；
(2) n∈N*时，化简C4n－1＋C4n－2＋C4n－3＋…＋C40＋C4－1；
(3) 求证：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n×2n－1.
(一)
21. A. 证明：连结BP，因为AB是圆O的直径，所以∠APB＝90°，从而∠BPC＝90°.(2分)
在△BPC中，因为E是边BC的中点，所以BE＝EC，从而
BE＝EP，因此∠1＝∠3.(4分)
因为B、P为圆O上的点，
所以OB＝OP，从而∠2＝∠4.(6分)
因为BC切圆O于点B，
所以∠ABC＝90°，即∠1＋∠2＝90°，(8分)
从而∠3＋∠4＝90°，于是∠OPE＝90°.
所以OP⊥PE.(10分)
B. 解：设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换下的像是P′(x′，y′)，则
＝＝，(2分)
所以(5分)
因为x′2＋y′2＝1，
所以(ax)2＋(bx＋y)2＝1，
即(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1，(7分)
所以由于a＞0，得a＝b＝1.(10分)
C. 解：曲线C1：的直角坐标方程为y＝3－2x，与x轴交点为.(2分)
曲线C2：的直角坐标方程为＋＝1，
与x轴交点为(－a，0)，(a，0)，(4分)
由a＞0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，所以a＝.(6分)
所以2m＋n＝3sinθ＋3cosθ＝3sin，(8分)
所以2m＋n的取值范围为[－3，3]．(10分)
[试题更正：题目中“求m＋n的取值范围”改为“求2m＋n的取值范围”]
D. 证明：＋＋＝1＋＋1＋＋1＋(4分)
＝3＋＋＋＋＋＋(8分)
≥3＋2＋2＋2＝9.(10分)
22. 解：(1) 以，，为正交基底，建立空间直角坐标系，则
E(0，0，1)，D(，0，0)，F(，，1)，B(0，，0)，A(，，0)，＝(，－，0)，＝(，0，1)．
平面ADF的法向量t＝(1，0，0)，(2分)
设平面DFB法向量n＝(a，b，c)，则n·＝0，n·＝0，
所以
令a＝1，得b＝1，c＝－，所以n＝(1，1，－)．(4分)
设二面角ADFB的大小为θ，从而cosθ＝|cos〈n，t〉|＝，∴ θ＝60°，
故二面角ADFB的大小为60°.(6分)
(2) 依题意，设P(a，a，0)(0≤a≤)，则＝(－a，－a，1)，＝(0，，0)．
因为〈，〉＝60°，
所以cos60°＝＝，解得a＝，(9分)
所以点P应在线段AC的中点处．(10分)
23. (1) 解：展开式中系数最大的项是第四项为Cx3＝20x3.(3分)
(2) 解：C4n－1＋C4n－2＋C4n－3＋…＋C40＋C4－1
＝[C4n＋C4n－1＋C4n－2＋…＋C4＋C]
＝(4＋1)n＝.(7分)
(3) 证明：因为kC＝nC，
所以C＋2C＋3C＋…＋nC＝n(C＋C＋C＋…＋C)＝n×2n－1.(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，圆O是△ABC的外接圆，点D是劣弧BC的中点，连结AD并延长，与以C为切点的切线交于点P，求证：＝.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵M＝的一个特征值为－2，求M2.
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中，已知直线C1：(t为参数)与椭圆C2：(θ为参数，a＞0)的一条准线的交点位于y轴上，求实数a的值．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，求证：＋＋≥27.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
(1) 设＝λ，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求λ的值；
(2) 若点D是AB的中点，求二面角DCB1B的余弦值．
23.已知k，m∈N*，若存在互不相等的正整数a1，a2，…，am，使得a1a2，a2a3，…，am－1am，ama1同时小于k，则记f(k)为满足条件的m的最大值．
(1) 求f(6)的值；
(2) 对于给定的正整数n(n≥2)：
(ⅰ) 当n(n＋2)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，求f(k)的解析式；
(ⅱ) 当n(n＋1)＜k≤n(n＋2)时，求f(k)的解析式．
(七)
21. A. 证明：连结CD，因为CP为圆O的切线，
所以∠PCD＝∠PAC.
又∠P是公共角，所以△PCD∽△PAC，(5分)
所以＝.
因为点D是劣弧BC的中点，所以CD＝BD，即＝.(10分)
B. 解：将λ＝－2代入
＝λ2－(x－1)λ－(x＋5)＝0，得x＝3，
故矩阵M＝.(5分)
∴ M2＝.(10分)
C. 解：直线C1：2x＋y＝9，
椭圆C2：＋＝1(0＜a＜3)，(5分)
准线：y＝±.由＝9，得a＝2.(10分)
D. 证明：因为正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，
所以1≥3，即ab2c3≤，(5分)
所以≥27.
因此，＋＋≥3≥27.(10分)
22. 解：(1) 由AC＝3，BC＝4，AB＝5，得∠ACB＝90°.(1分)
以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)．设D(x，y，z)，则由＝λ得＝(3－3λ，4λ，0)，而＝(－3，0，4)，
根据＝，解得λ＝或λ＝－.(5分)
(2) ＝，＝(0，4，4)，可取平面CDB1的一个法向量为n1＝(4，－3，3)；(7分)
而平面CBB1的一个法向量为n2＝(1，0，0)，并且〈n1，n2〉与二面角DCB1B相等，
所以二面角DCB1B的余弦值为cosθ＝cos〈n1，n2〉＝.(10分)
(第(1)题中少一解扣1分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分．第(2)题如果结果相差符号扣1分)
23. 解：(1) 由题意，取a1＝1，a2＝2，a1a2＜6，满足题意，
若?a3≥3，则必有a2a3≥6，不满足题意．
综上所述：m的最大值为2，即f(6)＝2.(4分)
(2) 由题意，当n(n＋1)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，
设A1＝{1，2，…，n}，A2＝{n＋1，n＋2，n＋3，…}，
显然，?ai，ai＋1∈A1时，满足aiai＋1≤n(n－1)＜n(n＋1)＜k，
∴ 从集合A1中选出的ai至多n个．
?aj，aj＋1∈A2时，ajaj＋1≥(n＋1)(n＋2)≥k，
∴ 从集合A2中选出的aj必不相邻．
∵ 从集合A1中选出的ai至多n个，
∴ 从集合A2中选出的aj至多n个，放置于从集合A1中选出的ai之间，
∴ f(k)≤2n.(6分)
(ⅰ) 当n(n＋2)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，
取一串数ai为1，2n，2，2n－1，3，2n－2，…，n－1，n＋2，n，n＋1，
或写成ai＝(1≤i≤2n)，
此时aiai＋1≤n(n＋2)＜k(1≤i≤2n－1)，a2na1＝n＋1＜k，满足题意，
∴ f(k)＝2n.(8分)
(ⅱ) 当n(n＋1)＜k≤n(n＋2)时，
从A1中选出的n个ai：1，2，…，n，考虑数n的两侧的空位，填入集合A2的两个数ap，aq，不妨设nap＞naq，则nap≥n(n＋2)≥k，与题意不符，
∴ f(k)≤2n－1.
取一串数ai为1，2n－1，2，2n－2，3，2n－3，…，n－2，n＋2，n－1，n＋1，n，
或写成ai＝(1≤i≤2n－1)，
此时aiai＋1≤n(n＋1)＜k(1≤i≤2n－2)，a2n－1a1＝n＜k，满足题意，
∴ f(k)＝2n－1.(10分)
(写出(ⅰ)(ⅱ)题的结论但没有证明各给1分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，四边形ABDC内接于圆，BD＝CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．
(1) 求证：∠EAC＝2∠DCE；
(2) 若BD⊥AB，BC＝BE，AE＝2，求AB的长．
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)，求矩阵M.
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程是(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，求曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标．
D. (选修4-5：不等式选讲)
设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．
(1) 证明：f(x)≥2；
(2) 若f(3)＜5，求实数a的取值范围．
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的概率为，购买C种商品的概率为.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．
(1) 求该网民至少购买2种商品的概率；
(2) 用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．
23.如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x1，x2，…，xk，其中xi∈{0，1}(1≤i≤k)，其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x0.
(1) 当k＝4时，若要求x0为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？
(2) 当k＝11时，若要求x0为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？
(三)
21. A. (1) 证明：因为BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD.
因为CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD.(2分)
所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD.
因为∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD.(5分)
(2) 解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB.(6分)
因为BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，
所以AC＝EC.(7分)
由切割线定理得EC2＝AE·BE，即AB2＝AE·(AE－AB)，
即AB2＋2AB－4＝0，解得AB＝－1.(10分)
B. 解：设M＝，则＝3＝，
故(3分)
＝，故(6分)
联立以上两方程组解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，
故M＝.(10分)
C. 解：由消去t得曲线C1的普通方程为y＝x(x≥0)；(3分)
由ρ＝2，得ρ2＝4，得曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.(6分)
联立解得
故曲线C1与C2的交点坐标为(，1)．(10分)
D. (1) 证明：由a＞0，有f(x)＝＋|x－a|
≥＝＋a≥2，
所以f(x)≥2.(4分)
(2) 解：f(3)＝＋|3－a|.
当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5得3＜a＜.(6分)
当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，
由f(3)＜5得＜a≤3.(8分)
综上，a的取值范围是.(10分)
22. 解：(1) 记“该网民购买i种商品”为事件Ai，i＝2，3，则
P(A3)＝××＝，
P(A2)＝××＋××＋××＝，(3分)
所以该网民至少购买2种商品的概率为
P(A3)＋P(A2)＝＋＝.
答：该网民至少购买2种商品的概率为.(5分)
(2) 随机变量η的可能取值为0，1，2，3，
P(η＝0)＝××＝，
又P(η＝2)＝P(A2)＝，P(η＝3)＝P(A3)＝，
所以P(η＝1)＝1－－－＝.
所以随机变量η的概率分布为
η
0
1
2
3
P
(8分)
故数学期望E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(10分)
23. 解：(1) 当k＝4时，第4层标注数字依次为x1，x2，x3，x4，第3层标注数字依次为x1＋x2，x2＋x3，x3＋x4，第2层标注数字依次为x1＋2x2＋x3，x2＋2x3＋x4，
所以x0＝x1＋3x2＋3x3＋x4.(2分)
因为x0为2的倍数，所以x1＋x2＋x3＋x4是2的倍数，则x1，x2，x3，x4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1＋C＋1＝8种标注方法．(4分)
(2) 当k＝11时，第11层标注数字依次为x1，x2，…，x11，第10层标注数字依次为x1＋x2，x2＋x3，…，x10＋x11，第9层标注数字依次为x1＋2x2＋x3，x2＋2x3＋x4，…，x9＋2x10＋x11，以此类推，可得x0＝x1＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx10＋x11.(6分)
因为C＝C＝45，C＝C＝120，C＝C＝210，C＝252均为3的倍数，所以只要x1＋Cx2＋Cx10＋x11是3的倍数，即只要x1＋x2＋x10＋x11是3的倍数．(8分)
所以x1，x2，x10，x11四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个x3，x4，…，x9可以取0或1，这样共有(1＋C)×27＝640种标注方法．(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵A＝，求矩阵A的特征值和特征向量．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2－8ρsin＋13＝0，已知A，B，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．
D. (选修4-5：不等式选讲)
设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋≥2y＋3.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，AA1＝2，点P是棱BB1上一点，满足＝λ(0≤λ≤1)．
(1) 若λ＝，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；
(2) 若二面角PA1CB的正弦值为，求λ的值．
23. 已知数列{an}满足an＝3n－2，f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，n∈N*.求证：
(1) g(2)＞；
(2) 当n≥3时，g(n)＞.
(九)
21. A. 证明：连结OT.
因为AT是切线，所以OT⊥AP.(2分)
因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，
所以AB∥OT，
所以∠TBA＝∠BTO.(5分)
又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，(8分)
所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.(10分)
B. 解：矩阵A的特征多项式为
f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，(2分)
由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.(4分)
当λ1＝2时，特征方程组为
故属于特征值λ1＝2的一个特征向量α1＝；(7分)
当λ2＝3时，特征方程组为
故属于特征值λ2＝3的一个特征向量α2＝.(10分)
C. 解：圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋4x－4y＋13＝0，
即(x＋2)2＋(y－2)2＝3.(4分)
又A(0，－1)，B(0，－3)，所以AB＝2.(6分)
P到直线AB距离的最小值为2－＝，(8分)
所以△PAB面积的最小值为×2×＝.(10分)
D. 证明：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，
2x＋－2y＝2(x－y)＋(4分)
＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，(8分)
所以2x＋≥2y＋3.(10分)
22. 解：以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
因为AB＝AC＝1，AA1＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，2)，B1(1，0，2)，P(1，0，2λ)．(1分)
(1) 由λ＝得，＝，＝(1，0，－2)，＝(0，1，－2)，
设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由得
不妨取z1＝1，则x1＝y1＝2，
从而平面A1BC的一个法向量为n1＝(2，2，1)．(3分)
设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，n1〉|＝||＝，
所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为.(5分)
(2) 设平面PA1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
＝(1，0，2λ－2)，
由得
不妨取z2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，
所以平面PA1C的法向量为n2＝(2－2λ，2，1)．(7分)
则cos〈n1，n2〉＝.
因为二面角PA1CB的正弦值为，
所以＝，(9分)
化简得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9(舍去)，
故λ的值为1.(10分)
23. 证明：(1) 由题意知，an＝3n－2，g(n)＝＋＋＋…＋，(1分)
当n＝2时，g(2)＝＋＋＝＋＋＝＞.(2分)
(2) 用数学归纳法加以证明：
① 当n＝3时，g(3)＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋＋＋＋
＝＋＋
＞＋＋
＝＋＋＞＋＋＞，
所以当n＝3时，结论成立．(4分)
② 假设当n＝k时，结论成立，即g(k)＞，
则n＝k＋1时，
g(k＋1)＝g(k)＋(6分)
＞＋
＞＋－
＝＋
＝＋，
由k≥3可知，3k2－7k－3＞0，即g(k＋1)＞.
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
综合①②可得，当n≥3时，g(n)＞.(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，AB是圆O的直径，CB与圆O相切于点B，E为线段CB上一点，连结AC，AE，分别交圆O于D，G两点，连结DG并延长交CB于点F.若EB＝3EF，EG＝1，GA＝3，求线段CE的长．
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，若Aα＝Bα，求实数x，y的值．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ，若直线l与曲线C相交于A，B两点．求线段AB的长．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知函数f(x)＝|x－1|.若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．
(1) 求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；
(2) 记X为选出的4名选手中女选手的人数，求X的概率分布和数学期望．
23.已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2，1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
(二)
21. A. 解：因为EG＝1，GA＝3，所以EA＝EG＋GA＝4.
因为EG·EA＝EB2，则EB＝2.
又EB＝3EF，所以EF＝，FB＝.(4分)
连结BD，则∠AGD＝∠ABD，∠ABD＋∠DAB＝90°，∠C＋∠CAB＝90°，
所以∠C＝∠AGD，所以∠C＋∠DGE＝180°，
所以C，E，G，D四点共圆．(8分)
所以FG·FD＝FE·FC＝FB2，
所以FC＝，CE＝CF－EF＝2.(10分)
B. 解：Aα＝，Bα＝，(4分)
由Aα＝Bα得解得x＝－，y＝4.(10分)
C. 解：由ρ＝2sinθ－2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.
直线l的方程化成普通方程为x－y＋1＝0.(6分)
圆心到直线l的距离为d＝＝，(8分)
所求弦长AB＝2＝.(10分)
D. 证明：要证f(ab)＞|a|f，只需证|ab－1|＞|b－a|，
只需证(ab－1)2＞(b－a)2，(6分)
而(ab－1)2－(b－a)2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)＞0，
从而原不等式成立．(10分)
22. 解：(1) 选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C·C·C＋C＝21种．(3分)
(2) X的可能取值为0，1，2，3.(4分)
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝.(8分)
X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(10分)
23. 解：(1) 将点(2，1)代入抛物线x2＝2py的方程，得p＝2，
所以，抛物线C的标准方程为x2＝4y.(4分)
(2) 设直线l的方程为y＝kx－1，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1)，
由得x2－4kx＋4＝0，
则Δ＝16k2－16＞0，x1·x2＝4，x1＋x2＝4k，
所以kA′B＝＝＝，
于是直线A′B的方程为y－＝(x－x2)，(8分)
所以y＝(x－x2)＋＝x＋1，当x＝0时，y＝1，
所以直线A′B过定点(0，1)．(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，AB是圆O的直径，弦CA，BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F，连结FD.求证：∠DEA＝∠DFA.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵M＝的两个特征向量α1＝，α2＝，若β＝，求M2β.
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
已知直线l的参数方程为曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，试判断直线l与曲线C的位置关系．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知正数x，y，z满足x＋2y＋3z＝1，求＋＋的最小值．
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概率都为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
(1) 求第3局甲当裁判的概率；
(2) 记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布与数学期望．
23. 记f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)(n≥2，n∈N*)．
(1) 求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2) 当n≥2，n∈N*时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明．
(二十)
21. A. 证明：连结AD，∵ AB是圆O的直径，
∴ ∠ADB＝90°，∴ ∠ADE＝90°.(4分)
∵ EF⊥FB，∴ ∠AFE＝90°，∴ A，F，E，D四点共圆，
∴ ∠DEA＝∠DFA.(10分)
B. 解：设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，
则由可解得m＝n＝0，λ1＝2，λ2＝1.(4分)
又β＝＝＋2＝α1＋2α2，(6分)
所以M2β＝M2(α1＋2α2)＝λα1＋2λα2＝4＋2＝.(10分)
C. 解：直线l的普通方程为2x－y－2＝0；
曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，它表示圆．(4分)
由圆心到直线l的距离d＝＝＜2，得直线l与曲线C相交．(10分)
D. 解：＋＋＝(x＋2y＋3z)
＝1＋4＋9＋＋＋＋＋＋(4分)
≥14＋2＋2＋2＝36，
所以＋＋的最小值为36.(10分)
22. 解：(1) 第2局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，
所以第3局甲当裁判的概率为×＋×＝.(4分)
(2) X可能的取值为0，1，2.(5分)
P(X＝0)＝××＝；(6分)
P(X＝1)＝×＋×＋××＝；(7分)
P(X＝2)＝×＝.(8分)
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(10分)
23. 解：(1) 因为f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)＝(3n＋2)C，
所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140.(3分)
(2) 由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.(4分)
下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可．
① 当n＝2时，f(2)＝8能被4整除，结论成立；(5分)
② 假设n＝k时，结论成立，即f(k)＝(3k＋2)C能被4整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(3k＋5)C
＝(3k＋2)C＋3C
＝(3k＋2)(C＋C)＋(k＋2)C(7分)
＝(3k＋2)C＋(3k＋2)C＋(k＋2)C
＝(3k＋2)C＋4(k＋1)C，
此式也能被4整除，即n＝k＋1时结论也成立．
综上所述，所有f(n)的最大公约数为4.(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图所示，△ABC是圆O的内接三角形，且AB＝AC，AP∥BC，弦CE的延长线交AP于点D.求证：AD2＝DE·DC.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵M＝的属于特征值8的一个特征向量是e＝，点P(－1，2)在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＋4＝0.求曲线C上的点到直线l的最大距离．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知|x|＜2，|y|＜2，求证：|4－xy|＞2|x－y|.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.
(1) 在平面ABCD内找一点F，使得D1F⊥平面AB1C；
(2) 求二面角CB1AB的平面角的余弦值．
23.已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，a≠－1，0，1.设b＝a＋.
(1) 求证：an＋1＝ban－an－1(n≥2，n∈N*)；
(2) 当n(n∈N*)为奇数时，an＝，猜想当n(n∈N*)为偶数时，an关于b的表达式，并用数学归纳法证明．
(五)
21. A. 证明：连结AE，则∠AED＝∠B.(2分)
∵ AB＝AC，∴ ∠ACB＝∠B，
∴ ∠ACB＝∠AED.(4分)
∵ AP∥BC，
∴ ∠ACB＝∠CAD，∴ ∠CAD＝∠AED.(6分)
又∠ACD＝∠EAD，∴ △ACD∽△EAD.(8分)
∴ ＝，即AD2＝DE·DC.(10分)
B. 解：由题意知＝8×，
故解得(5分)
∴ ＝，
∴ 点Q的坐标为(－2，4)．(10分)
C. 解：将l转化为直角坐标方程为x＋y＋4＝0.(3分)
在C上任取一点A(cosα，sinα)，α∈[0，2π)，则点A到直线l的距离为
d＝＝
＝.(7分)
当α＝时，d取得最大值，最大值为2＋，此时A点为(，1)．(10分)
D. 证明：因为|4－xy|2－4|x－y|2＝(4－xy＋2x－2y)(4－xy－2x＋2y)(2分)
＝(2＋x)(2－y)(2－x)(2＋y)＝(4－x2)(4－y2)＞0，(7分)
∵ |x|＜2，|y|＜2，
∴ |4－xy|＞2|x－y|.(10分)
22. 解：(1) 以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D1(0，1，1)，B1(1，－1，1)，设F(a，b，0)，则＝(a，b－1，－1)，(3分)
由得a＝b＝，(5分)
∴ F，即F为AC的中点．(6分)
(2) 由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1＝＝.(7分)
设平面B1AB的法向量n2＝(x，y，z)，
得取n2＝(0，1，1)．(8分)
则cos〈n1，n2〉＝＝－.(9分)
∴ 二面角CB1AB的平面角的余弦值为.(10分)
23. (1) 证明：ban－an－1＝－＝＝an＋1.(3分)
(2) 解：猜想当n(n∈N*)为偶数时，an＝(4分)
下面用数学归纳法证明这个猜想．
① 当n＝2时，a2＝＝a2＋1＋a－2＝－1＝b2－1，结论成立．(5分)
② 假设当n＝k(k为偶数)时，结论成立，即
ak＝＝0,(－1)iCb－2i＝bk－Cbk－2＋…＋(－1)iCbk－2i＋…＋(－1)，此时k＋1为奇数，
∴ ak＋1＝＝0,(－1)iCbk＋1－2i＝bk＋1－Cbk－1＋…＋(－1)iCbk＋1－2i＋…＋(－1)Cb，(6分)
则当n＝k＋2(k为偶数)时，
ak＋2＝bak＋1－ak＝[bk＋2－Cbk＋…＋(－1)iCbk＋2－2i＋…＋(－1)Cb2]－[bk－Cbk－2＋…＋(－1)iCbk－2i＋…＋(－1)]
＝bk＋2－bk＋…＋(－1)i(C＋C)bk＋2－2i＋…＋(－1)
＝bk＋2－bk＋…＋(－1)iCbk＋2－2i＋…＋(－1)
＝＝0,(－1)iCbk＋2－2i，结论也成立．(9分)
根据①和②，可知当n(n∈N*)为偶数时，均有an＝(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程．
21. (本小题满分10分)
已知直线l：x＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x－y＝1，求矩阵A.
22.(本小题满分10分)
在极坐标系中，求圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值．
23. (本小题满分10分)
某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元．活动规定：① 参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；② 可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③ 如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．
(1) 如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；
(2) 若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．
24.(本小题满分10分)
已知函数f(x)＝2x－3x2，设数列{an}满足：a1＝，an＋1＝f(an)．求证：
(1) ?n∈N*，都有0＜an＜；
(2) ＋＋…＋≥4n＋1－4.
(八)
21. 解：(1) 设直线l：x＋y＝1上任意一点M(x，y)在矩阵A的变换作用下，变换为点M′(x′，y′)．
由＝＝，得(5分)
又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′－y′＝1，即(mx＋ny)－y＝1.
依题意解得所以A＝.(10分)
22. 解：圆的直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，(3分)
直线的直角坐标方程为y＝x，(6分)
圆心(0，4)到直线的距离为d＝＝2，则圆上点到直线距离最大值为D＝d＋r＝2＋4＝6.(10分)
23. 解：(1) 设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元为事件M.
则P(M)＝×＝，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元的概率为.(4分)
(2) 参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：
① 先在甲箱中摸球，参与者获奖金x可取0，m，m＋n，
则P(x＝0)＝，P(x＝m)＝×＝，P(x＝m＋n)＝×＝，
E(x)＝0×＋m×＋(m＋n)×＝＋.(6分)
② 先在乙箱中摸球，参与者获奖金h可取0，n，m＋n，
则P(h＝0)＝，P(h＝n)＝×＝，P(h＝m＋n)＝×＝，
E(h)＝0×＋n×＋(m＋n)×＝＋.(8分)
E(x)－E(h)＝.
当＞时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；
当＝时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；
当＜时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．
答：当＞时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当＝时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当＜时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．(10分)
24. (1) 解：① 当n＝1时，a1＝， 有0
∴ n＝1时，不等式成立．(1分)
② 假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即0则当n＝k＋1时，ak＋1＝f(ak)＝2ak－3a
＝－3＝－3＋，
于是－ak＋1＝3.
∵ 0即0<－ak＋1<，可得0∴ 当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②可知，对任意的正整数n，都有0(2) 由(1)可得－an＋1＝3，
两边同时取以3为底的对数，可得
log3＝1＋2log3，
化简为1＋log3＝2，
∴ 数列是以log3为首项，2为公比的等比数列，(7分)
∴ 1＋log3＝2n－1log3，
化简求得－an＝·，
∴ ＝3·42n－1.
∵ n≥2时，2n－1＝C＋C＋C＋…＋C≥1＋n－1＝n，
n＝1时，2n－1＝1，
∴ n∈N*时，2n－1≥n，∴ ＝3·42n－1≥3·4n，
＋＋…＋＝3(420＋421＋…＋42n－1)≥3(41＋42＋…＋4n)＝4n＋1－4，
∴ ＋＋…＋≥4n＋1－4.(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P.求证：AP·AN＋BP·BM＝AB2.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
求矩阵的特征值及对应的特征向量．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
已知直线l的极坐标方程为ρsin＝3，曲线C的参数方程为(θ为参数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
D. (选修4-5：不等式选讲)
设x，y均为正数，且x＞y，求证：x＋≥y＋3.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.
(1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；
(2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．
23. 证明：对一切正整数n，5n＋2·3n－1＋1能被8整除．
(六)
21. A. 证明：作PE⊥AB于E，
∵ AB为直径，
∴ ∠ANB＝∠AMB＝90°，(2分)
∴ P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆．(6分)
(8分)
①＋②得AB(AE＋BE)＝AP·AN＋BP·BM，(9分)
即AP·AN＋BP·BM＝AB2.(10分)
B. 解：特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)2－1＝λ2－6λ＋8，(3分)
由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.(6分)
将λ1＝2代入特征方程组，得?x＋y＝0，可取为属于特征值λ1＝2的一个特征向量．(8分)
同理，当λ2＝4时，由?x－y＝0，
所以可取为属于特征值λ2＝4的一个特征向量．
综上所述，矩阵有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；
属于λ1＝2的一个特征向量为，属于λ2＝4的一个特征向量为.(10分)
C. 解：由ρsin＝3，可得ρ＝3，
∴ y－x＝6，即x－y＋6＝0.(3分)
由得x2＋y2＝4，圆的半径为r＝2，(6分)
∴ 圆心到直线l的距离d＝＝3.(8分)
∴ P到直线l的距离的最大值为d＋r＝5.(10分)
D. 证明：x－y＋＝(x－y)＋(3分)
＝＋＋，(5分)
∵ x＞y，x－y＞0，
∴ ＋＋≥3
＝3，
当且仅当＝＝时取等号，此时x－y＝2.(10分)
22. 解：(1) 以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，
则A(3，0，0)，C1(0，3，3)，＝(－3，3，3)，B(3，3，0)，E(3，0，2)，＝(0，－3，2)．
所以cos〈，〉＝＝＝－，
故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.(5分)
(2) B(3，3，0)，＝(0，－3，2)，＝(3，0，－1)．
设平面BED1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得
所以则n＝(x，2x，3x)，不妨取n＝(1，2，3)，
设直线BB1与平面BED1F所成角为α，则
sinα＝|cos〈，n〉|＝||＝.(9分)
所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.(10分)
23. 证明：① 当n＝1时，能被8整除；(2分)
② 假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，结论成立，(4分)
则5k＋2·3k－1＋1能被8整除．
设5k＋2·3k－1＋1＝8m，m∈N*，
当n＝k＋1时，5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·3k－1－4＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·(3k－1＋1)，(7分)
而当k≥2，k∈N*时3k－1＋1显然为偶数，设为2t，t∈N*，
故5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·(3k－1＋1)＝40m－8t(m，t∈N*)，也能被8整除，
故当n＝k＋1时结论也成立．
由①②可知对一切正整数n，5n＋2·3n－1＋1能被8整除．(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，AB为圆O的直径，直线CD与圆O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连结AD、BD.若AC＝4，DE＝3，求BD的长．
B. (选修4-2：矩阵与变换)
设矩阵M＝(a∈R)的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy中，若曲线C在矩阵M变换下得到的曲线的方程为x2＋y2＝1，求曲线C的方程．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，已知点A的极坐标为，圆E的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋4sinθ，试判断点A和圆E的位置关系．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知正实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝1.求证：＋＋＋≤2.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，设＝λ(λ∈R)．
(1) 若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
(2) 若二面角B1A1C1D的大小为60°，求实数λ的值．
23.设集合M＝{1，2，3，…，n}(n∈N，n≥3)，记M的含有三个元素的子集个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn.
(1) 分别求，，，的值；
(2) 猜想关于n的表达式，并证明之．
(十)
21. A. 解：因为CD与圆O相切于D，所以∠CDA＝∠DBA.(2分)
因为AB为圆O的直径，所以∠ADB＝90°.
又DE⊥AB，所以△EDA∽△DBA，所以∠EDA＝∠DBA，所以∠EDA＝∠CDA.(4分)
又∠ACD＝∠AED＝90°，AD＝AD，所以△ACD≌△AED.
所以AE＝AC＝4，所以AD＝＝5.(6分)
又＝，所以BD＝·AD＝.(10分)
B. 解：由题意，矩阵M的特征多项式f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，
因矩阵M有一个特征值为2，f(2)＝0，所以a＝2.(4分)
所以M＝＝，即
代入方程x2＋y2＝1，得(2x)2＋(2x＋y)2＝1，
即曲线C的方程为8x2＋4xy＋y2＝1.(10分)
C. 解：点A的直角坐标为(2，－2)，(2分)
圆E的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，(6分)
则点A到圆心E的距离d＝＝4>r＝2，
所以点A在圆E外．(10分)
D. 证明：因为(＋＋＋)2≤4(1＋2a＋1＋2b＋1＋2c＋1＋2d)，(6分)
又a＋b＋c＋d＝1，
所以(＋＋＋)2≤24，
即＋＋＋≤2.(10分)
22. 解：分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(0，4，2)．(2分)
(1) 当λ＝1时，D为BC的中点，
所以D(1，2，0)，＝(1，－2，2)，＝(0，4，0)，＝(1，2，－2)．
设平面A1C1D的法向量为n1＝(x，y，z)，
则所以取n1＝ (2，0，1)．
又cos〈，n1〉＝＝＝，
所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(6分)
(2) 因为＝λ，所以D，
所以＝(0，4，0)，＝.
设平面A1C1D的法向量n1＝(x，y，z)，则
所以取n1＝(λ＋1，0，1)．
又平面A1B1C1的一个法向量为n2＝(0，0，1)，由题意得|cos〈n1，n2〉|＝，
所以＝，解得λ＝－1或λ＝－－1(不合题意，舍去)，
所以实数λ的值为－1.(10分)
23. 解：(1) ＝2，＝，＝3，＝.(4分)
(2) 猜想＝.(5分)
下用数学归纳法证明之．
证明：① 当n＝3时，由(1)知猜想成立；
② 假设当n＝k(k≥3)时，猜想成立，即＝，而Sk＝C，所以得Tk＝C.(6分)
则当n＝k＋1时，易知Sk＋1＝C，
而当集合M从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k，k＋1}时，Tk＋1在Tk的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(k－1)个k，
所以Tk＋1＝Tk＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k－1)
＝C＋2(C＋C＋C＋…＋C)
＝C＋2(C＋C＋C＋…＋C)
＝C＋2C＝C＝Sk＋1，
即＝.
所以当n＝k＋1时，猜想也成立．
综上所述，猜想成立．(10分)
(说明：未用数学归纳法证明，直接求出Tn来证明的，同样给分．)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，圆O的直径AB＝10，C为圆上一点，BC＝6.过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE的长．
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵M＝，求逆矩阵M－1的特征值．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，已知点A，圆C的方程为ρ＝4sinθ(圆心为点C)，求直线AC的极坐标方程．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知a≥0，b≥0，求证：a6＋b6≥ab(a4＋b4)．
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一点，且SP＝PD.
(1) 求直线AB与CP所成角的余弦值；
(2) 求二面角APCD的余弦值．
23. 已知函数f0(x)＝x(sinx＋cosx)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.
(1) 求f1(x)，f2(x)的表达式；
(2) 写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明．
(十一)
21. A. 解：因为圆O的直径为AB，C为圆上一点，
所以∠ACB＝90°，AC＝＝＝8.
因为直线l为圆O的切线，所以∠DCA＝∠CBA.
所以Rt△ABC∽Rt△ACD，所以＝＝.(5分)
因为AB＝10，BC＝6，
所以AD＝＝，DC＝＝.
由DC2＝DE·DA，得DE＝＝＝.(10分)
B. 解：设M－1＝，则
MM－1＝＝，
所以＝，
所以解得
所以M－1＝.(5分)
M－1的特征多项式f(λ)＝
＝(λ－1)＝0，所以λ＝1或.
所以，矩阵M的逆矩阵M－1的特征值为1或.(10分)
C. 解：(解法1)以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
圆C的平面直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝8，圆心C(0，2)．
A的直角坐标为(，)．(4分)
直线AC的斜率kAC＝＝－1.
所以，直线AC的直角坐标方程为y＝－x＋2，(8分)
极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝2，即ρsin＝2.(10分)
(解法2)在直线AC上任取一点M(ρ，θ)，不防设点M在线段AC上．
由于圆心为C，S△OAC＝S△OAM＋S△OCM，(4分)
所以×2×2sin＝×2×ρsin＋×ρ×2sin，
即ρ(cosθ＋sinθ)＝2，
化简，得直线AC的极坐标方程为ρsin＝2.(10分)
D. 证明：∵ a6＋b6－ab(a4＋b4)＝a5(a－b)－(a－b)b5(2分)
＝(a－b)(a5－b5)(4分)
＝(a－b)2(a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4)，(8分)
又a≥0，b≥0，
∴ a6＋b6－ab(a4＋b4)≥0，
即a6＋b6≥ab(a4＋b4)．(10分)
22. 解：(1) 如图，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)．
设P(x0，y0，z0)，
由＝，得(x0，y0，z0－2)＝(0，2，－2)，
∴ x0＝0，y0＝，z0＝，点P坐标为.
＝，＝(1，0，0)，(2分)
设直线AB与CP所成的角为α，
则cosα＝＝.(4分)
(2) 设平面APC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
所以
令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，m＝(4，－2，1)．(6分)
设平面SCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
由于＝(1，0，0)，＝(0，－2，2)，
所以
令y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)．(8分)
设二面角APCD的大小为θ，
由于cos〈m，n〉＝＝－，
所以，由向量m，n的方向，得cosθ＝－cos〈m，n〉＝.(10分)
23. 解：(1) 因为fn(x)为fn－1(x)的导数，
所以f1(x)＝f′0(x)＝(sinx＋cosx)＋x(cosx－sinx)
＝(x＋1)cosx＋(x－1)(－sinx)，(2分)
同理，f2(x)＝－(x＋2)sinx－(x－2)cosx.(4分)
(2) 由(1)得f3(x)＝f′2(x)＝－(x＋3)cosx＋(x－3)sinx，(5分)
把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为
f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)cos，
f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)cos，
f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)cos，
猜测fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos(x＋)(*)．(7分)
下面用数学归纳法证明上述等式．
(ⅰ) 当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立；
(ⅱ) 假设当n＝k时，等式(*)成立，
即fk(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos.
则当n＝k＋1时，
fk＋1(x)＝f′k(x)
＝sin＋(x＋k)cos＋cos＋(x－k)
＝(x＋k＋1)cos＋[x－(k＋1)]
＝[x＋(k＋1)]sin＋[x－(k＋1)]cos(x＋π)，
即当n＝k＋1时，等式(*)成立．
综上所述，当n∈N*时，fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos成立．(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
已知△ABC内接于圆O，BE是圆O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA·AC＝BE·AD.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知变换T把平面上的点(3，－4)，(5，0)分别变换成(2，－1)，(－1，2)，试求变换T对应的矩阵M.
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M(1，2)，倾斜角为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ＝6cosθ.若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA·MB的值．
D. (选修4-5：不等式选讲)
设x为实数，求证：(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1)．
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．
(1) 求恰好摸4次停止的概率；
(2) 记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．
23. 设实数a1，a2，…，an满足a1＋a2＋…＋an＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|an|≤1(n∈N*且n≥2)，令bn＝(n∈N*)．求证：|b1＋b2＋…＋bn|≤－(n∈N*)．
(十七)
21. A. 证明：连结AE.
∵ BE是圆O的直径，∴ ∠BAE＝90°.(2分)
∴ ∠BAE＝∠ADC.(4分)
∵ ∠BEA＝∠ACD，∴ Rt△BEA∽Rt△ACD.(7分)
∴ ＝，∴ BA·AC＝BE·AD.(10分)
B. 解：设M＝，
由题意，得＝，(3分)
∴ (5分)
解得(9分)
即M＝.(10分)
C. 解：直线l的参数方程为(t为参数)，(2分)
圆C的普通方程为(x－3)2＋y2＝9.(4分)
直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得
t2＋2(－1)t－1＝0，(6分)
设该方程两根为t1，t2，则t1·t2＝－1.(8分)
∴ MA·MB＝|t1·t2|＝1.(10分)
D. 证明：因为 右－左＝2x4－2x3－2x＋2(2分)
＝2(x－1)(x3－1)＝2(x－1)2(x2＋x＋1)(4分)
＝2(x－1)2≥0，(8分)
所以，原不等式成立．(10分)
22. 解：(1) 设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则
P＝C×××＝.(4分)
(2) 由题意，得X＝0，1，2，3，
P(X＝0)＝C×＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝1－－－＝，(8分)
∴ X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(10分)
23. 证明：① 当n＝2时，a1＝－a2，
∴ 2|a1|＝|a1|＋|a2|≤1，即|a1|≤，
∴ |b1＋b2|＝|a1＋|＝≤＝－，即当n＝2时，结论成立．(2分)
② 假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时，结论成立，
即当a1＋a2＋…＋ak＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|ak|≤1时，
有|b1＋b2＋…＋bk|≤－.(3分)
则当n＝k＋1时，由a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|ak＋1|≤1，
∵ 2|ak＋1|＝|a1＋a2＋…＋ak|＋|ak＋1|≤|a1|＋|a2|＋…＋|ak＋1|≤1，
∴ |ak＋1|≤.(5分)
∵ a1＋a2＋…＋ak－1＋(ak＋ak＋1)＝0，且
|a1|＋|a2|＋…＋|ak－1|＋|ak＋ak＋1|≤|a1|＋|a2|＋…＋|ak＋1|≤1，
由假设可得|b1＋b2＋…＋bk－1＋|≤－，(7分)
∴ |b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1|＝|b1＋b2＋…＋bk－1＋＋|
＝|(b1＋b2＋…＋bk－1＋)＋(－)|
≤－＋|－|
＝－＋|ak＋1|
≤－＋(－)×
＝－，
即当n＝k＋1时，结论成立．
综上，由①和②可知，结论成立．(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，在Rt△ABC中，AB＝BC.以AB为直径的圆O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结AE交圆O于点F.求证：BE·CE＝EF·EA.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知a，b是实数，如果矩阵A＝所对应的变换T把点(2，3)变成点(3，4)．
(1) 求a，b的值；
(2) 若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin＝，椭圆C的参数方程为(t为参数)．
(1) 求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；
(2) 若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
D. (选修4-5：不等式选讲)
解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．
(1) 求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；
(2) 设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．
23.设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*，n≥2.
(1) 设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值；
(2) 设bn＝ak＋1(k∈N，k≤n－1)，Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(m∈N，m≤n－1)，求的值．
(十三)
21. A. 证明：连结BD.因为AB为直径，所以BD⊥AC.
因为AB＝BC，所以AD＝DC.(4分)
因为DE⊥BC，AB⊥BC，所以DE∥AB，(6分)
所以CE＝EB.(8分)
因为AB是直径，AB⊥BC，所以BC是圆O的切线，
所以BE2＝EF·EA，即BE·CE＝EF·EA.(10分)
B. 解：(1) 由题意，得＝，
得6＋3a＝3，2b－6＝4，(4分)
所以a＝－1，b＝5.(6分)
(2) 由(1)，得A＝.
由矩阵的逆矩阵公式得B＝.(8分)
所以B2＝.(10分)
C. 解：(1) 由ρsin＝ ，得
ρ＝，即x－y＝，
化简得y＝x－，
所以直线l的直角坐标方程是y＝x－.(2分)
由＋＝cos2t＋sin2t＝1，得椭圆C的普通方程为＋＝1.(4分)
(2) 联立直线方程与椭圆方程，得
消去y，得＋(x－1)2＝1，
化简得5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝，(8分)
所以A(0，－)，B，
则AB＝＝.(10分)
D. 解：当x≤－2时，不等式化为(2－x)＋x(－x－2)＞2，
解得－3＜x≤－2；(3分)
当－2＜x＜2时，不等式化为(2－x)＋x(x＋2)＞2，
解得－2＜x＜－1或0＜x＜2；(6分)
当x≥2时，不等式化为(x－2)＋x(x＋2)＞2，
解得x≥2；(9分)
所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1或x＞0}．(10分)
22. 解：(1) 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：
甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．
所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率
P＝C＋CC＋CC＝.(4分)
(2) ξ的取值为0，1，2，3，所以 ξ的概率分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(8分)
所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.(10分)
23. 解：(1) 因为ak＝(－1)kC，
当n＝11时，|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|＝C＋C＋C＋C＋C＋C
＝(C＋C＋…＋C＋C)＝210＝1 024.(3分)
(2) bk＝ak＋1＝(－1)k＋1C＝(－1)k＋1C，(5分)
当1≤k≤n－1时，bk＝(－1)k＋1C＝(－1)k＋1(C＋C)＝(－1)k＋1C＋(－1)k＋1C
＝(－1)k－1C－(－1)kC.(7分)
当m＝0时，||＝||＝1.(8分)
当1≤m≤n－1时，
Sm＝－1＋[(－1)k－1C－(－1)kC]＝－1＋1－(－1)mC＝－(－1)mC，
所以||＝1.
综上，||＝1.(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F.求证：AB2＝BE·BD－AE·AC.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵A＝，向量α＝，计算A5α.
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(α为参数)，求直线l与曲线C交点P的直角坐标．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知a，b∈R，a＞b＞e(其中e是自然对数的底数)，求证：ba＞ab.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．
(1) 求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；
(2) 若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
23. 在集合A＝{1，2，3，4，…，2n}中，任取m(m≤n，m，n∈N*)个元素构成集合Am.若Am的所有元素之和为偶数，则称Am为A的偶子集，其个数记为f(m)；若Am的所有元素之和为奇数，则称Am为A的奇子集，其个数记为g(m)．令F(m)＝f(m)－g(m)．
(1) 当n＝2时，求F(1)，F(2)，F(3)的值；
(2) 求F(m)．
(十九)
21. A. 证明：连结AD，因为AB为圆的直径，所以AD⊥BD.
又EF⊥AB，则A，D，E，F四点共圆，
所以BD·BE＝BA·BF.(5分)
又△ABC∽△AEF，所以＝，即AB·AF＝AE·AC，
所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·(BF－AF)＝AB2.(10分)
B. 解：因为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，
由f(λ)＝0，得λ＝2或λ＝3.(3分)
当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝.
设＝m＋n，解得(6分)
所以A5α＝2×25＋1×35＝.(10分)
C. 解：直线l的普通方程为y＝x，①(3分)
曲线C的直角坐标方程为y＝x2(x∈[－2，2])，②(6分)
联立①②解方程组得或
根据x的范围应舍去
故P点的直角坐标为(0，0)．(10分)
D. 证明：因为ba>0，ab>0，
所以要证ba>ab，只要证alnb>blna，只要证>.(因为a>b>e)(4分)
取函数f(x)＝，因为f′(x)＝，
所以当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减．
所以，当a>b>e时，有f(b)>f(a)，即>.(10分)
22. 解：(1) 设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，
则P(A)＝＝.(4分)
(2) 设“在1次摸奖中，获奖” 为事件B，则获得一等奖的概率为P1＝＝；
获得三等奖的概率为P3＝＝；
所以P(B)＝＋＋＝.(8分)
由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C＝，P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P(X)
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(10分)
23. 解：(1) 当n＝2时，集合为{1，2，3，4}，
当m＝1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，
f(1)＝2，g(1)＝2，F(1)＝0；
当m＝2时，偶子集有{2，4}，{1，3}，奇子集有{1，2}，{1，4}，{2，3}，{3，4}，
f(2)＝2，g(2)＝4，F(2)＝－2；(3分)
当m＝3时，偶子集有{1，2，3}，{1，3，4}，奇子集有{1，2，4}，{2，3，4}，
f(3)＝2，g(3)＝2，F(3)＝0.(4分)
(2) 当m为奇数时，偶子集的个数f(m)＝CC＋CC＋CC＋…＋CC，
奇子集的个数g(m)＝CC＋CC＋…＋CC，
所以f(m)＝g(m)，F(m)＝f(m)－g(m)＝0.(6分)
当m为偶数时，偶子集的个数f(m)＝CC＋CC＋CC＋…＋CC，
奇子集的个数g(m)＝CC＋CC＋…＋CC，
所以F(m)＝f(m)－g(m)＝CC－CC＋CC－CC＋…－CC＋CC.(7分)
一方面，
(1＋x)n(1－x)n＝(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn)[C－Cx＋Cx2－…＋(－1)nCxn]，
所以(1＋x)n(1－x)n中xm的系数为
CC－CC＋CC－CC＋…－CC＋CC；(8分)
另一方面，(1＋x)n(1－x)n＝(1－x2)n，(1－x2)n中xm的系数为(－1)Cn，
故F(m)＝(－1)Cn.
综上，F(m)＝(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C.若DB＝DC，求证：CA＝AO.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0.求圆心的极坐标．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知a，b为非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 一批产品共10件，其中3件是不合格品．用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：
方式一：一次性随机抽取2件；
方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件．
记抽取的不合格产品数为ξ.
(1) 分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；
(2) 比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．
23.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，设点A(－t，0)，B(t，0)(t＞0)，过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点(P在Q上方)．
(1) 若t＝1，直线PQ的倾斜角为，求直线PA的斜率；
(2) 求证：∠PAO＝∠QAO.
(十二)
21. A. 证明：连结OD，AD.
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°， AB＝2AO.(3分)
因为DC是圆O的切线，所以∠CDO＝90°.(6分)
因为DB＝DC，所以∠B＝∠C，
于是△ADB≌△ODC，从而AB＝CO，
即2OA＝OA＋CA，得CA＝AO.(10分)
B. 解：设矩阵A的逆矩阵为，则＝，
即＝，于是a＝－1，b＝c＝0，d＝，
从而矩阵A的逆矩阵为A－1＝，(7分)
所以A－1B＝＝.(10分)
C. 解：以极坐标系的极点为直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.(3分)
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6.(6分)
于是圆心的直角坐标为(1，－1)，则其极坐标为.(10分)
D. 证明：由a，b为非负实数，作差得
a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)
＝(－)[()5－()5]．(4分)
当a≥b时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0；
当a＜b时，＜，从而()5＜()5，得(－)[()5－()5]＞0.
所以a3＋b3≥(a2＋b2)．(10分)
22. 解：(1) 方式一中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布，ξ～H(2，3，10)．
于是P(ξ＝0)＝＝＝；
P(ξ＝1)＝＝＝；
P(ξ＝2)＝＝＝.
因此ξ的概率分布可表示为下表：
ξ
0
1
2
P
(3分)
方式二中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从二项分布，ξ～B.
于是P(ξ＝0)＝C＝；
P(ξ＝1)＝C＝；
P(ξ＝2)＝C＝.
因此ξ的概率分布可表示为下表：
ξ
0
1
2
P
(6分)
(2) 由(1)知，方式一中ξ的数学期望(平均数)为E(ξ)＝2×＝(个)；
方式二中ξ的数学期望(平均数)为E(ξ)＝2×＝(个)．
两种抽取方式抽到的不合格品的平均数相等，均为个．(10分)
23. (1) 解：若t＝1，直线PQ的倾斜角为，则直线PQ的方程为y＝x－1.
解方程组得P(3＋2，2＋2)．
因为A(－1，0)，所以直线PA的斜率kPA＝＝.(3分)
(2) 证明：因为直线PQ经过点B(t，0)，且与抛物线相交于P，Q两点，
所以可设直线PQ的方程为x＝my＋t.
联立方程组消去x得y2－4my－4t＝0，解得y＝2m±2，
于是P(2m2＋2m＋t，2m＋2)，Q(2m2－2m＋t，2m－2)．(7分)
所以直线PA的斜率kPA＝＝＝.
同理，直线QA的斜率kQA＝＝－.
可见kPA＝－kQA，结合图形，得∠PAO＝∠QAO.(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，AB是圆O的直径，C为圆O外一点，且AB＝AC，BC交圆O于点D，过D作圆O的切线交AC于点E.求证：DE⊥AC.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
在平面直角坐标系xOy中，设点A(－1，2)在矩阵M＝对应的变换作用下得到点A′，将点B(3，4)绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中，已知直线(t为参数)与曲线(θ为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知a，b，c∈R，4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值．
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 一个摸球游戏，规划如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．
(1) 求概率P(X＝0)的值；
(2) 为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．
(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！)
23.设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k(k∈N*)，其中ai∈{0，1}(i＝1，2，…，4k)．当S4k除以4的余数是b(b＝0，1，2，3)时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m(b)．
(1) 当k＝2时，求m(1)的值；
(2) 求m(3)关于k的表达式，并化简．
(十五)
21. A. 证明：连结OD，
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
由圆O知OB＝OD，所以∠B＝∠BDO.
从而∠BDO＝∠C，所以OD∥AC.(6分)
因为DE为圆O的切线，所以DE⊥OD，
又OD∥AC，所以DE⊥AC.(10分)
B. 解：设B′(x，y)，
依题意，由＝，得A′(1，2)．(4分)
则＝(2，2)，＝(x－1，y－2)，
记旋转矩阵N＝，(6分)
则＝，即＝，
解得
所以点B′的坐标为(－1，4)．(10分)
C. 解：将直线的参数方程化为普通方程，得y＝2x＋1. ①(3分)
将曲线的参数方程化为普通方程，得
y＝1－2x2(－1≤x≤1)． ②(6分)
由①②，得或(8分)
所以A(－1，－1)，B(0，1)，
从而AB＝＝.(10分)
D. 解：由柯西不等式，得[12＋12＋]≥(2a＋b＋c)2.(6分)
因为4a2＋b2＋2c2＝4，
所以(2a＋b＋c)2≤10.
所以－≤2a＋b＋c≤.
所以2a＋b＋c的最大值为，
当且仅当a＝，b＝，c＝时等号成立．(10分)
22. 解：(1) 事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，
则P(X＝0)＝3××＝.(3分)
(2) 依题意，X的可能值为k，－1，1，0，
且P(X＝k)＝＝，P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝3××＝，(6分)
结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为
E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝(元)，(8分)
为使收益X的数学期望不小于0元，所以k≥110，即kmin＝110.(10分)
23. 解：(1) 当k＝2时，数列a1，a2，a3，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，
所以m＝C＋C＝64.(3分)
(2) 依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，…，或(4k－1)个1，其余为0，
所以m(3)＝C＋C＋C＋…＋C.(5分)
同理，得m(1)＝C＋C＋C＋…＋C.
因为C＝C(i＝3，7，11，…，4k－1)，
所以m(1)＝m(3)．
又m(1)＋m(3)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝24k－1，
所以m(3)＝24k－2＝42k－1.(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
在△ABC中，∠A＝2∠B，∠C的平分线交AB于点D，∠A的平分线交CD于点E.求证：AD·BC＝BD·AC.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到直线x＋y－b＝0(a，b∈R)，求a＋b的值．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝.若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知x＞0，y＞0，z＞0，且xyz＝1，求证：x3＋y3＋z3≥xy＋yz＋zx.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F.
(1) 求抛物线的方程；
(2) 若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E.试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．
23. 甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N*)局．根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)．
(1) 求P(2)与P(3)的值；
(2) 试比较P(n)与P(n＋1)的大小，并证明你的结论．
(十八)
21. A. 证明：因为∠CAB＝2∠B，AE为∠CAB的平分线，
所以∠CAE＝∠B.
因为CD是∠C的平分线，所以∠ECA＝∠DCB，
所以△ACE∽△BCD，
所以＝，即AE·BC＝BD·AC.(5分)
因为∠AED＝∠CAE＋∠ECA，∠ADE＝∠B＋∠DCB，
所以∠AED＝∠ADE，所以AD＝AE，
所以AD·BC＝BD·AC.(10分)
B. 解：设P(x，y)是直线x＋y－2＝0上任意一点，
由＝，得(x＋ay)＋(x＋2y)－b＝0，即x＋y－＝0.(5分)
由条件得＝1，－＝－2，解得
所以a＋b＝4.(10分)
C. 解：曲线C的普通方程为(x－)2＋y2＝4，表示以(，0)为圆心，2为半径的圆．(3分)
直线l的直角坐标方程为y＝x.(6分)
所以圆心到直线的距离为，
所以线段AB的长为2＝.(10分)
D. 证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，
所以x3＋y3＋z3≥3xyz，
x3＋y3＋1≥3xy，
y3＋z3＋1≥3yz，
x3＋z3＋1≥3xz，
将以上各式相加，得
3x3＋3y3＋3z3＋3≥3xyz＋3xy＋3yz＋3zx.
因为xyz＝1，从而x3＋y3＋z3≥xy＋yz＋zx.(10分)
22. 解：(1) 由题意点P到准线的距离为PO，
由抛物线的定义，点P到准线的距离为PF，
所以PO＝PF，即点P在线段OF的中垂线上，(2分)
所以＝，p＝3，
所以抛物线的方程为y2＝6x.(4分)
(2) 由抛物线的对称性，设点A在x轴的上方，
所以点A处切线的斜率为，
所以点A处切线的方程为y－y0＝.
令上式中y＝0，得x＝－y，
所以B点坐标为.(6分)
又E，F，
所以＝，＝，
所以＝，所以FA∥BE.
又AE∥FB，故四边形AEBF为平行四边形．(8分)
再由抛物线的定义，得AF＝AE，所以四边形AEBF为菱形．(10分)
23. 解：(1) 若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，
所以P(2)＝C＋C＝，
同理P(3)＝C＋C＋C＝.(4分)
(2) 在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n＋1局，
故P(n)＝C＋C＋…＋C
＝(C＋C＋…＋C)·
＝(C＋C＋…＋C－C)·
＝(22n－C)·
＝，(7分)
所以P(n＋1)＝.
因为＝＝＝
＝＞1，
所以＞，
所以P(n)＜P(n＋1)．(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC.
(1) 求证：AC是∠PAH的平分线；
(2) 求PC的长．
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．已知椭圆C的参数方程为(θ为参数)，点M的极坐标为.若P是椭圆C上任意一点，试求PM的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
D. (选修4-5：不等式选讲)
求函数f(x)＝5＋的最大值．
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．
(1) 求X是奇数的概率；
(2) 求X的概率分布列及数学期望．
23.在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，Pn(x，y)，n∈N*.记直线APn的斜率为kn.
(1) 若k1＝2，求P1的坐标；
(2) 若k1为偶数，求证：kn为偶数．
(十六)
21. A. (1) 证明：连结AB.
因为PA是半圆O的切线，所以∠PAC＝∠ABC.
因为BC是圆O的直径，所以AB⊥AC.
因为AH⊥BC，
所以∠CAH＝∠ABC，所以∠PAC＝∠CAH，
所以AC是∠PAH的平分线．(5分)
(2) 解：因为H是OC中点，半圆O的半径为2，
所以BH＝3，CH＝1.
因为AH⊥BC，所以AH2＝BH·HC＝3，所以AH＝.
在Rt△AHC中，AH＝，CH＝1，所以∠CAH＝30°.
由(1)可得∠PAH＝2∠CAH＝60°，所以PA＝2.
由PA是半圆O的切线，所以PA2＝PC·PB，
所以PC·(PC＋BC)＝(2)2＝12，所以PC＝2.(10分)
B. 解：设曲线C上的任意一点P(x，y)，P在矩阵A＝对应的变换下得到点Q(x′，y′)．
则＝， 即x＋2y＝x′，x＝y′，
所以x＝y′，y＝.(5分)
代入x2＋2xy＋2y2＝1，得y′2＋2y′·＋2＝1，即x′2＋y′2＝2，
所以曲线C1的方程为x2＋y2＝2.(10分)
C. 解：M的极坐标为，故直角坐标为M(0，1)，且P(2cosθ， sinθ)，
所以PM＝＝，sinθ∈[－1，1]．(5分)
当sinθ＝－时，PMmax＝，此时cosθ＝±.
所以PM的最大值是，此时点P的坐标是.(10分)
D. 解：函数定义域为[0，4]，且f(x)≥0.
由柯西不等式得[52＋()2][()2＋()2]≥(5·＋·)2，(5分)
即27×4≥(5·＋·)2，
所以5＋≤6.
当且仅当＝5，即x＝时，取等号．
所以，函数f(x)＝5＋的最大值为6.(10分)
22. 解：(1) 记“X是奇数”为事件A，能组成的三位数的个数是48.(2分)
X是奇数的个数有28，所以P(A)＝＝.
答：X是奇数的概率为.(4分)
(2) X的可能取值为3，4，5，6，7，8，9.
当X＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X＝3)＝＝；
当X＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X＝4)＝＝；
当X＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X＝5)＝＝；
当X＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X＝6)＝＝；
当X＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X＝7)＝＝；
当X＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X＝8)＝＝；
当X＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X＝9)＝＝.(8分)
所以X的概率分布列为
X
3
4
5
6
7
8
9
P
E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×＋9×＝.(10分)
23. (1) 解：因为k1＝2，所以＝＝2，
解得x0＝1，y0＝1，所以P1的坐标为(1，1)．(2分)
(2) 证明：设k1＝2p(p∈N*)，即＝＝2p，
所以x－2px0＋1＝0，所以x0＝p±.(4分)
因为y0＝x，所以kn＝＝＝x＋，
所以当x0＝p＋时，
kn＝(p＋)n＋＝(p＋)n＋(p－)n.(6分)
同理，当 x0＝p－时，kn＝(p＋)n＋(p－)n.
①当n＝2m(mN*)时， kn＝2Cpn－2k(p2－1)k，所以 kn为偶数．
②当n＝2m＋1(mN)时，kn＝2Cpn－2k(p2－1)k，所以 kn为偶数．
综上，kn为偶数．(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，直线AB与圆O相切于点B，直线AO交圆O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C，且AD＝3DC，BC＝，求圆O的直径．
B. (选修4-2：矩阵与变换)
设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下得到的曲线方程．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.设P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知函数f(x)＝，g(x)＝，若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a的取值范围．
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.
(1) 证明：平面DFC⊥平面D1EC；
(2) 求二面角ADFC的大小．
23. 在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如下图所示．
(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2) 已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列．
(十四)
21. A. 解：因为DE是圆O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°.
又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°.(3分)
又AB切圆O于点B，得∠ABD＝∠BED，
所以∠CBD＝∠DBA.(5分)
即BD平分∠CBA，则＝＝3.
又BC＝，从而AB＝3，所以AC＝＝4，
所以AD＝3.(8分)
由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，
故DE＝AE－AD＝3，即圆O的直径为3.(10分)
B. 解：MN＝＝，(4分)
设(x，y)是曲线y＝sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为(x′，y′)．
则＝，(6分)
所以x′＝x，y′＝2y，则x＝2x′，y＝y′，(8分)
代入y＝sinx，得y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.
即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y＝2sin2x.(10分)
C. 解：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，
从而有x2＋y2＝2y，(3分)
所以x2＋(y－)2＝3.(5分)
设P，C(0，)，
PC＝＝.(8分)
故当t＝0时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3，0)．(10分)
D. 解：存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，
等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a，(2分)
因为f(x)＋g(x)＝＋＝×＋1×，(4分)
由柯西不等式：(×＋1×)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，(7分)
所以f(x)＋g(x)＝＋≤8，当且仅当x＝10时取“＝”，(9分)
故常数a的取值范围是(－∞，8)．(10分)
22. (1) 证明：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)．
∵ E为AB的中点，∴ E点坐标为E(1，1，0)．
∵ D1F＝2FE，
∴ ＝＝(1，1，－2)＝，
＝＋＝(0，0，2)＋＝.(2分)
设n＝(x，y，z)是平面DFC的法向量，则∴
取x＝1得平面FDC的一个法向量n＝(1，0，－1)．(3分)
设p＝(x，y，z)是平面ED1C的法向量，则∴
取y＝1得平面D1EC的一个法向量p＝(1，1，1)．(4分)
∵ n·p＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0，
∴ 平面DFC⊥平面D1EC.(5分)
(2) 解：设q＝(x，y，z)是平面ADF的法向量，则
∴ 取y＝1得平面ADF的一个法向量q＝(0，1，－1)．(7分)
设二面角ADFC的平面角为θ，由题中条件可知θ∈，
则cosθ＝－＝－＝－，(9分)
∴ 二面角ADFC的大小为120°.(10分)
23. (1) 解：杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k＝0，1，2，…，n组成．
如果第n行中有＝＝，＝＝，
那么3n－7k＝－3，4n－9k＝5，(2分)
解这个联立方程组，得k＝27，n＝62.(3分)
即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为3∶4∶5.(4分)
(2) 证明：若有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差数列，
则2C＝C＋C，2C＝C＋C，
即＝＋，
＝＋.(6分)
所以有＝＋，
＝＋，
经整理得到n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.
两式相减可得n＝2r＋3，
于是C，C，C，C成等差数列，(8分)
而由二项式系数的性质可知C＝C＜C＝C，
这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．(10分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)
数学附加分
(满分40分，考试时间30分钟)
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21. (本小题满分10分)
已知矩阵A＝，B＝，若矩阵AB－1对应的变换把直线l变为直线l′：x＋y－2＝0，求直线l的方程．
22.(本小题满分10分)
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为ρsin＝3.
(1) 把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 已知P为曲线C：(θ为参数)上一点，求P到直线l的距离的最大值．
23. (本小题满分10分)
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，a，a(0＜a＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.
(1) 求ξ的分布列及数学期望；
(2) 在概率P(ξ＝i)(i＝0，1，2，3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a的取值范围．
24.(本小题满分10分)
如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD＝1，D1D＝2，点P为棱CC1的中点．
(1) 设二面角AA1BP的大小为θ，求sinθ的值；
(2) 设M为线段A1B上的一点，求的取值范围．
(四)
21. 解：B－1＝，
∴ AB－1＝＝.(5分)
设直线l上任意一点(x，y)在矩阵AB－1对应的变换下为点(x′，y′)，
＝，∴
代入l′，得(x－2y)＋(2y)－2＝0，化简后得l：x＝2.(10分)
22. 解：(1) 直线l的极坐标方程ρsin＝3，则
ρsinθ－ρcosθ＝3，即ρsinθ－ρcosθ＝6，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋6＝0.(5分)
(2) 因为P为曲线上一点，
所以P到直线l的距离
d＝＝，
所以当cos(θ＋φ)＝1时，d的最大值为.(10分)
23. 解：(1) P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝CC(1－a)2＝(1－a)2，
P(ξ＝1)＝C·C(1－a)2＋CCa(1－a)
＝(1－a2)，
P(ξ＝2)＝C·Ca(1－a)＋CCa2
＝(2a－a2)，
P(ξ＝3)＝C·Ca2＝.(4分)
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(1－a)2
(1－a2)
(2a－a2)
(5分)
ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.(6分)
(2) P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)，
P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝.
P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.
由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范围是.(10分)
24. 解：(1) 如图，以点D为原点O，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则A(1，0，0)，A1(1，0，2)，P(0，1，1)，B(1，1，0)，
所以＝(0，0，2)，＝(0，1，0)．
设平面AA1B的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则得n＝(1，0，0)，(1分)
同理向量＝(1，－1，1)，＝(1，0，－1)．
设平面PA1B的法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则得m＝(1，2，1)，(3分)
所以cos〈n，m〉＝＝，(4分)
则sinθ＝.(5分)
(2) 设M(x，y，z)，因为＝λ，即(x－1，y－1，z)＝λ(0，－1，2)，所以M(1，1－λ，2λ)，(6分)
＝(0，λ－1，－2λ)，＝(－1，λ，1－2λ)，
＝＝
＝.(7分)
令2λ－1＝t∈[－1，1]，则＝，
当t∈[－1，0)时，∈；当t∈(0，1]时，∈；当t＝0时，＝0，
所以∈，则∈.(10分)
