高三数学招生考试模拟测试试题（打包20套）

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝____________．
2. 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域是____________．
3. 已知sinα＝，且α∈，则tanα＝____________．
4. 定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝____________．
5. 函数y＝sinx－cosx－2(x＞0)的值域是____________．
6. 等差数列{an}中，前n项和为Sn，若S4＝8a1，a4＝4＋a2，则S10＝__________．
7. 设函数f(x)＝若f(a)＞f(1)，则实数a的取值范围是______________．
8. 等比数列{an}的公比大于1，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝____________．
9. 将函数y＝sin的图象向右平移φ个单位后，得到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，则φ的值等于________．
10. 已知函数f(x)＝ax＋(a，b∈R，b＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，且函数f(x)在区间上单调递增，则b的最大值等于__________．
11. 已知f(m)＝(3m－1)a＋b－2m，当m∈[0，1]时，f(m)≤1恒成立，则a＋b的最大值是__________．
12. △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若tanA＝2tanB，a2－b2＝c，则c＝____________．
13. 已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则＋的最小值为____________．
14. 设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≤0在区间I上恒成立，则称函数f(x)和g(x)在区间I上单调性相反．若函数f(x)＝x3－2ax与函数g(x)＝x2＋2bx在开区间(a，b)(a＞0)上单调性相反，则b－a的最大值等于____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝2cos(ω＞0)的最小正周期为2π.
(1) 求函数f(x)的表达式；
(2) 设θ∈，且f(θ)＝＋，求cosθ的值．
16.(本小题满分14分)
设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1) 求a1，a2的值；
(2) 求证：数列{an＋2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
17. (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝x2－2ax＋1.
(1) 若函数g(x)＝loga[f(x)＋a](a＞0，a≠1)的定义域是R，求实数a的取值范围；
(2) 当x＞0时，恒有不等式＞lnx成立，求实数a的取值范围．
18. (本小题满分16分)
如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元．(其中a是正常数)设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．
(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
(2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？
19. (本小题满分16分)
设函数f(x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝lnx.
(1) 当m＞1时，求函数y＝f(x)在[0，m]上的最大值；
(2) 记函数p(x)＝f(x)－g(x)，若函数p(x)有零点，求实数m的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2.
(1) 若S5＝16，a4＝a5，求a10；
(2) 已知S15＝15a8，且对任意n∈N*，有an＜an＋1恒成立，求证：数列{an}是等差数列；
(3) 若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整数m，n(m≠n)，使得am＝an.求当d1最大时，数列{an}的通项公式．

(一)
1. {x|0≤x≤2}　解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．
2. (－∞，－1)∪(2，＋∞)　解析：由x2－x－2＞0，则x＞2或x<1.本题主要考查对数式中真数大于0，以及一元二次不等式的解法．本题属于容易题．
3. －　解析：由sinα＝，α∈，得cosα＝－，则tanα＝＝－.本题主要考查同角三角函数关系．本题属于容易题．
4. －2　解析：由函数f(x)在R上是奇函数，则f(0) ＝0，又x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(3)＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－2.本题主要考查奇函数的性质．本题属于容易题．
5. [－4，0]　解析：由y＝sinx－cosx－2＝2sin－2，则－4≤y≤0.本题主要考查三角函数的值域，以及和差角公式的逆用．本题属于容易题．
6. 120　解析：由S4＝8a1，a4＝4＋a2得d＝2，a1＝3，则S10＝10a1＋45d＝120.本题主要考查等差数列通项公式以及求和公式．本题属于容易题．
7. a＜－1或a＞1　解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a－4>－2，则a>1；当a＜0时，－x－3＞－2，则a＜－1.所以实数a的取值范围是a＜－1或a＞1. 本题主要考查分段函数，以及简单不等式的解法．本题属于容易题．
8. 4　解析：由a5－a1＝15，a4－a2＝6(q>1)，得q＝2，a1＝1，则a3＝4. 本题主要考查等比数列通项公式．本题属于容易题．
9. 　解析：由函数y＝sin的图象向右平移φ个单位后，得到函数f(x)＝sin(2x＋－2φ)的图象，函数f(x)是偶函数，－2φ＝＋kπ，而φ为锐角，则k＝－1时φ＝.本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的奇偶性．本题属于容易题．
10. 　解析：函数f(x)＝ax＋(a，b∈R，b＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为2, f′(1)＝2，得a－b＝2，由函数f(x)在区间上单调递增，f′(x)≥0在区间上恒成立，得≥b，又a＝2＋b，则b≤.本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于中等题．
11. 　解析：将已知条件变形f(m)＝m(3a－2)＋b－a，当3a－2＝0时，即a＝，则有b－a≤1，即b≤a＋1，所以a＋b≤2a＋1＝2×＋1＝；当3a－2＞0，即a＞时，函数f(m)在[0，1]上单调递增，f(m)max＝f(1)＝3a－2＋b－a＝2a＋b－2≤1，则b≤3－2a，所以a＋b≤a＋3－2a＝3－a＜；当3a－2＜0，即a＜时，函数f(m)在[0，1]上单调递减，f(m)max＝f(0)＝b－a≤1，则b≤a＋1，所以a＋b≤2a＋1＜.综上所述，a＋b的最大值为.本题主要考查在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题．本题属于中等题．
12. 1　解析：由tanA＝2tanB?＝2，结合正、余弦定理转化为边的关系，有＝2×，化简有a2－b2＝c2，结合已知条件有c＝1.本题主要考查利用正、余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦．本题属于中等题．
13. 　解析：将x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋，设＝t＞0，则原式＝＋＝＝·＝[(1＋2t)＋＋1]≥×2＋＝，当且仅当t＝时，即x＝，y＝时，取“＝”．本题主要考查利用代数式变形，以及利用基本不等式求最值．本题属于难题．
14. 　解析：因为g(x)＝x2＋2bx在区间(a，b)上为单调增函数，所以f(x)＝x3－2ax在区间(a，b)上单调减，故?x∈(a，b)，f′(x)＝x2－2a≤0，即a≥，而b＞a，所以b∈(0，2)，b－a≤b－＝－(b－1)2＋，当b＝1时，b－a的最大值为.本题主要考查二次函数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于难题.
15. 解：(1) f(x)＝2cos＝2cos2－2cossin＝(1＋cosωx)－sinωx(2分)
＝－2sin.(4分)
∵ 函数f(x)的最小正周期为2π，∴ ＝2π，ω＝1.(6分)
∴ f(x)＝－2sin.(7分)
(2) 由f(θ)＝＋，得sin＝－.
∵ θ∈，∴ θ－∈，
∴ cos＝.(9分)
∴ cosθ＝cos
＝coscos－sinsin(12分)
＝×－×＝.(14分)
16. (1) 解：由已知，得2a1＝a2－3　①，
2(a1＋a2)＝a3－7　②.(2分)
又a1，a2＋5，a3成等差数列，
所以a1＋a3＝2a2＋10　③.(3分)
解①②③，得a1＝1，a2＝5.(5分)
(2) 证明：由已知，n∈N*时，2(Sn＋1－Sn)＝an＋2－an＋1－2n＋2＋2n＋1，即an＋2＝3an＋1＋2n＋1，
即an＋1＝3an＋2n(n≥2)，(7分)
由(1)得，a2＝3a1＋2，∴ an＋1＝3an＋2n(n∈N*)，(9分)
从而有an＋1＋2n＋1＝3an＋2n＋2n＋1＝3an＋3×2n＝3(an＋2n)．(11分)
又a1＋2＞0，∴ an＋2n＞0，∴ ＝3，
∴ 数列{an＋2n}是等比数列，且公比为3.(12分)
∴ an＋2n＝(a1＋2)×3n－1＝3n，即an＝3n－2n.(14分)
[注：① 不说明a2＝3a1＋2，就得an＋1＝3an＋2n(n∈N*)，扣1分；② 仅由an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)，就得到数列{an＋2n}是等比数列，扣1分．]
17. 解：(1) 由题意得，对任意x∈R，恒有f(x)＋a＞0，即恒有x2－2ax＋1＋a＞0，(2分)
于是Δ＝4a2－4(1＋a)＜0，(3分)
即a2－a－1＜0，解得＜a＜.(3分)
因为a＞0，a≠1，所以实数a的取值范围是(0，1)∪.(5分)
(2) 当x＞0时，不等式＞lnx等价于x－2a＋＞lnx，即2a＜x＋－lnx，(7分)
设g(x)＝x＋－lnx，则g′(x)＝1－－＝.(9分)
令g′(x)＝0，得x＝，
当0＜x＜时，g′(x)＜0，g(x)单调减，
当x＞时，g′(x)＞0，g(x)单调增，(11分)
故当x＝时，g(x)min＝g＝－ln，(13分)
所以2a＜－ln，
所以实数a的取值范围是.(14分)
18. 解：(1) 由题知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.
由正弦定理知＝＝，(2分)
即CD＝，AD＝，(3分)
所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝(12CD－4AD＋80)a
＝a＋80a(5分)
＝＋60a.(6分)
(2) S′＝20··a，(8分)
令S′＝0得cosα＝，(10分)
当cosα＞时，S′＜0；当cosα＜时，S′＞0，(12分)
所以当cosα＝时，S取得最小值，(13分)
此时sinα＝，AD＝＝5＋，(15分)
所以中转点D距A处 km时，运输成本S最小．(16分)
19. 解：(1) 当x∈[0，1]时，f(x)＝x(1－x)＋m＝－x2＋x＋m＝－＋m＋，
当x＝时，f(x)max＝m＋.(2分)
当x∈(1，m]时，f(x)＝x(x－1)＋m＝x2－x＋m＝＋m－，
因为函数y＝f(x)在(1，m]上单调递增，所以f(x)max＝f(m)＝m2.(4分)
由m2≥m＋得m2－m－≥0，又m＞1，所以m≥.(6分)
所以当m≥时，f(x)max＝m2；当1＜m＜时，f(x)max＝m＋.(8分)
(2) 函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x－1|－lnx＋m＝0有解，
即m＝lnx－x|x－1|有解．令h(x)＝lnx－x|x－1|，
当x∈(0，1]时，h(x)＝x2－x＋lnx.
因为h′(x)＝2x＋－1≥2－1＞0，(10分)
所以函数h(x)在(0，1]上是增函数，所以h(x)≤h(1)＝0.(11分)
当x∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x＋lnx.
因为h′(x)＝－2x＋＋1＝
＝－＜0，(12分)
所以函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，
所以h(x)＜h(1)＝0.(14分)
所以方程m＝lnx－x|x－1|有解时m≤0.
即函数p(x)有零点时实数m的取值范围是(－∞，0]．(16分)
20. (1) 解：由题意，得a1＝1，a2＝2，a3＝a1＋d1＝1＋d1，a4＝a2＋d2＝2＋d2，a5＝a3＋d1＝1＋2d1.(2分)
因为S5＝16，a4＝a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝7＋3d1＋d2＝16，2＋d2＝1＋2d1.所以d1＝2，d2＝3，(4分)
所以a10＝2＋4d2＝14.(5分)
(2) 证明：当n为偶数时，因为an＜an＋1恒成立，
即2＋d2＜1＋d1，(d2－d1)＋1－d2＜0恒成立，所以d2－d1≤0且d2＞1.(7分)
当n为奇数时，因为an＜an＋1恒成立，
即1＋d1＜2＋d2，(1－n)(d1－d2)＋2＞0恒成立，所以d1－d2≤0，于是有d1＝d2.(9分)
因为S15＝15a8，所以8＋d1＋14＋d2＝30＋45d2，
所以d1＝d2＝2，an＝n，所以数列{an}是等差数列．(11分)
(3) 解：若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整数m，n(m≠n)，使得am＝an，
由题意得，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m为奇数，n为偶数．
因为am＝an，所以1＋d1＝2＋d2.(13分)
因为d1＝3d2，所以d1＝.
因为m为奇数，n为偶数，所以3m－n－1的最小正值为2，此时d1＝3，d2＝1.(15分)
所以数列{an}的通项公式为an＝(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝________．
(第2题)
2. 如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝________．
3. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的实轴长为____________．
4. 某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n＝__________．
Read a，b
　i←1
While i≤2
　a←a＋b
　b←a－b
　i←i＋1
End While
Print a
(第5题)
5. 执行如图所示的伪代码，当输入a，b的值分别为1，3时，最后输出的a的值为__________．
6. 甲、乙两人下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下成和棋的概率为，则乙不输棋的概率为__________．
7. 已知直线y＝kx(k＞0)与圆C：(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，若AB＝，则k＝__________．
(第9题)
8. 若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是__________．
9. 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥OABD的体积为V1，四棱锥OADD1A1的体积为V2，则的值为__________．
10. 已知公差为2的等差数列{an}及公比为2的等比数列{bn}满足a1＋b1＞0，a2＋b2＜0，则a3＋b3的取值范围是__________．
11. 设f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x＋ln，记an＝f(n－5)，则数列{an}的前8项和为________．
12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，)，则|＋＋|的取值范围是__________．
13. 若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，则x＋的最大值为__________．
14. 已知函数f(x)＝Asin(x＋θ)－coscos(其中A为常数，θ∈(－π，0))，若实数x1，x2，x3满足：① x1＜x2＜x3，② x3－x1＜2π，③ f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则θ的值为__________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，向量m＝(cosA，sinB)，n＝(cosB，sinA)．
(1) 若acosA＝bcosB，求证：m∥n；
(2) 若m⊥n，a＞b，求tan的值．
16.(本小题满分14分)
如图，在三棱锥PABC中，∠PAC＝∠BAC＝90°，PA＝PB，点D，F分别为BC，AB的中点．求证：
(1) 直线DF∥平面PAC；
(2) PF⊥AD.
17. (本小题满分14分)
一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1米，如图所示．小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T.
(1) 试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；
(2) 求时间T最短时cosθ的值．
18. (本小题满分16分)
已知数列{an}，{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．
(1) 若数列{an}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{bn}的通项公式；
(2) 若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式；
(3) 在(2)的条件下，设cn＝，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
19. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆Ω：＋y2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆Ω交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.
(1) 求k1k2的值；
(2) 记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；
(3) 求证：直线AC必过点Q.
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ax4－x2，x∈(0，＋∞)，g(x)＝f(x)－f′(x)．
(1) 若a＞0，求证：
(ⅰ) f(x)在f′(x)的单调减区间上也单调递减；
(ⅱ) g(x)在(0，＋∞)上恰有两个零点；
(2) 若a＞1，记g(x)的两个零点为x1，x2，求证：4＜x1＋x2＜a＋4.
(七)
1. {－1，0，1}　解析：A＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．本题主要考查集合的交集以及简单的一元二次不等式的解法等基础知识．本题属于容易题．
2. －2－i　解析：z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i.本题主要考查复数的几何意义及乘法运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 2　解析：双曲线－y2＝1的实轴长为2a＝2.本题主要考查双曲线标准方程及实轴长等基础知识．本题属于容易题．
4. 200　解析：由＝，得n＝200.本题主要考查分层抽样的概念，属于容易题．
5. 5　解析：当i＝1时，a＝4，b＝1；当i＝2时，a＝5，b＝4，则最后输出的a的值为5.本题考查算法语句伪代码的运用．本题属于容易题．
6. 　解析：乙不输棋就是甲没有获胜，则所求的概率为1－＝.本题考查了对立事件的概率．本题属于容易题．
7. 　解析：由AB＝，R＝1，利用勾股定理得圆心(2，0)到直线kx－y＝0的距离为，而圆心到直线的距离为，则＝，则k2＝，又k＞0，k＝.本题考查了圆的性质，点到直线的距离等内容．本题属于容易题．
8. (2，＋∞)　解析：由“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，得“任意x∈R，ax2＋4x＋a＞0”为真命题，则a＞0，Δ<0，则实数a的取值范围是(2，＋∞)．本题考查了命题的否定，两种命题的真假关系，以及一元二次不等式的恒成立的条件．本题属于容易题．
9. 　解析：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，V1＝abc，V2＝abc，则＝.本题考查了三棱锥，四棱锥体积公式．本题属于容易题．
10. (－∞，－2)　解析：设a1＝x，b1＝y，则x＋y＞0，x＋2y＋2＜0，a3＋b3＝x＋4y＋4，利用线性规划可求得a3＋b3的取值范围是(－∞，－2)．本题考查了等差数列、等比数列的通项公式以及利用线性规划的方法求最值．本题属于容易题．
11. －16　解析：数列{an}的前8项：a1＝f(－4)，a2＝f(－3)，a3＝f(－2)，a4＝f(－1)，a5＝f(0)，a6＝f(1)，a7＝f(2)，a8＝f(3)，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＋f(x)＝0，即前8项和为f(－4)＝－f(4)＝－16.本题考查了函数的奇偶性，函数求值．本题属于容易题．
12. [7，11]　解析：设A(x，0)，B(0，y)，|＋＋|＝|(6－x，3－y)|＝，由题知x2＋y2＝4，设x＝2cosθ，y＝2sinθ，|＋＋|＝＝，则|＋＋|的取值范围是[7，11]．本题考查了向量坐标运算、求模以及三角代换等内容，本题属于中等题．
13. －1　解析：设x＋＝t，将2xy－1＝2yt－2代入已知等式，得(2ty－2)2＝(5y＋2)(y－2)，去括号合并得(4t2－5)y2－8(t－1)y＋8＝0，由题意，此方程一定有解，则Δ＝－2t2－4t＋7≥0，得－－1≤t≤－1.∵ x，y>0，∴ t>0，经检验得x＋的最大值为－1.本题主要考查消参思想、方程思想，利用判别式法求最值．本题属于难题．
14. －　解析：由题意，得f(x)＝Asinxcosθ＋Asinθcosx－cosx－sinx－＝(Acosθ－)sinx＋(Asinθ－)cosx－＝sin(x＋φ)－.
令f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝k，
(1) 当≠0时，函数的周期T＝2π，
则有x3－x1≥2π，与②不符，故不成立；
(2) 当＝0时，则有
当?tanθ＝?θ＝kπ＋(k∈Z)．
∵ θ∈(－π，0)，∴ θ＝－.
综上可得，θ＝－.
本题主要考查和差角公式、二倍角公式，三角函数的图象与性质，以及分类讨论、数形结合的思想．本题属于难题．
15. 证明：(1) 因为acosA＝bcosB，
所以sinAcosA＝sinBcosB，
所以m∥n.(7分)
(2) 因为m⊥n，
所以cosAcosB＋sinAsinB＝0，即cos(A－B)＝0.
因为a>b，所以A>B.
又A，B∈(0，π)，
所以A－B∈(0，π)，则A－B＝，(12分)
所以tan＝tan＝1.(14分)
16. 证明：(1) ∵ 点D，F分别为BC，AB的中点，∴ DF∥AC.
∵ DF 平面PAC，AC平面PAC，
∴ 直线DF∥平面PAC.(6分)
(2) ∵ ∠PAC＝∠BAC＝90°，
∴ AC⊥AB，AC⊥AP.
∵ AB∩AP＝A，AB，AP在平面PAB内，
∴ AC⊥平面PAB.(8分)
∵ PF平面PAB，∴ AC⊥PF.
∵ PA＝PB，F为AB的中点，∴ PF⊥AB.
∵ AC⊥PF，PF⊥AB，AC∩AB＝A，AC，AB在平面ABC内，
∴ PF⊥平面ABC.(12分)
∵ AD平面ABC，∴ AD⊥PF.(14分)
17. 解：(1) 过O作OG⊥BC于G，则OG＝1，
OF＝＝，EF＝1＋，＝θ，
所以T(θ)＝＋＝＋＋，θ∈.(7分)
(写错定义域扣1分)
(2) T(θ)＝＋＋，
T′(θ)＝－＝
＝－，(9分)
记cosθ0＝，θ0∈，
θ
θ0
T′(θ)
－
0
＋
T(θ)
单调递减
单调递增
故当cosθ＝时，时间T最短．(14分)
18. (1) 解：因为an＝＝－2，
Sn＝＝，(2分)
所以bn＝＝＝.(4分)
(2) 解：若bn＝n，则2Sn＝nan＋2n，
所以2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋2(n＋1)，
两式相减得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，
即nan＝(n－1)an＋1＋2.
当n≥2时，(n－1)an－1＝(n－2)an＋2，
两式相减得(n－1)an－1＋(n－1)an＋1＝2(n－1)an，
即an－1＋an＋1＝2an.(8分)
又由2S1＝a1＋2，2S2＝2a2＋4得a1＝2，a2＝3，
所以数列{an}是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列，
故数列{an}的通项公式是an＝n＋1.(10分)
(3) 证明：由(2)得cn＝，对于给定的n∈N*，若存在k，t≠n，k，t∈N*，使得cn＝ck·ct，
只需＝·，
即1＋＝·，
即＝＋＋，则t＝，(12分)
取k＝n＋1，则t＝n(n＋2)，
所以对数列{cn}中的任意一项cn＝，都存在cn＋1＝和cn2＋2n＝使得cn＝cn＋1·cn2＋2n.(16分)
19. (1) 解：设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，＋y＝1，
所以k1k2＝·＝＝－.(4分)
(2) 解：联立得(1＋k)x2－4kx＋4(k－1)＝0，
解得xP＝，yP＝k1(xP－2)＝.
联立得(1＋4k)x2－16kx＋4(4k－1)＝0，
解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝，(8分)
所以kBC＝＝，kPQ＝＝＝，
所以kPQ＝kBC，故存在常数λ＝，使得kPQ＝kBC.(10分)
(3) 证明：当直线PQ与x轴垂直时，Q，
则kAQ＝＝＝k2，所以直线AC必过点Q.
当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为y＝，
联立解得xQ＝，yQ＝，
所以kAQ＝＝－＝k2，故直线AC必过点Q.(16分)
(不考虑直线PQ与x轴垂直情形扣1分)
20. 证明：(1) (ⅰ) 因为f(x)＝ax4－x2(x＞0)，所以f′(x)＝4ax3－x.
由(4ax3－x)′＝12ax2－1＜0得f′(x)的递减区间为，(2分)
当x∈时，f′(x)＝4ax3－x＝x(4ax2－1)＜0，
所以f(x)在f′(x)的递减区间上也递减．(4分)
(ⅱ) (证法1)g(x)＝f(x)－f′(x)＝ax4－x2－(4ax3－x)＝ax4－4ax3－x2＋x，
因为x＞0，由g(x)＝ax4－4ax3－x2＋x＝0得ax3－4ax2－x＋1＝0，
令φ(x)＝ax3－4ax2－x＋1，则φ′(x)＝3ax2－8ax－.
因为a＞0，且φ′(0)＝－＜0，所以φ′(x)必有两个异号的零点，记正零点为x0，则x∈(0，x0)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；x∈(x0，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，若φ(x)在(0，＋∞)上恰有两个零点，则φ(x0)＜0.(7分)
由φ′(x0)＝3ax－8ax0－＝0，显然x0≠，a＝代入φ(x0)得φ(x0)＝，
由于x－5x0＋8＞0，所以只需比较x0与的大小．
再由φ′(x0)＝3ax－8ax0－＝0得3ax0＝＞0，则x0＞.
所以φ(x0)＜0.
又φ(0)＝1＞0，所以在(0，x0)上有且仅有一个零点．
又φ(x)＝ax3－4ax2－x＋1＝x＋1，
令ax2－4ax＋＞0，解得x＞.
所以取M＝，当x＞M时，φ(x)＞0，
所以在(x0，M)上有且仅有一个零点．
故a＞0时，g(x)在(0，＋∞)上恰有两个零点．(10分)
(证法2)g(x)＝f(x)－f′(x)＝ax4－x2－(4ax3－x)＝ax4－4ax3－x2＋x，
因为x＞0，由g(x)＝ax4－4ax3－x2＋x＝0得ax3－4ax2－x＋1＝0，
令φ(x)＝ax3－4ax2－x＋1，
由φ′(x0)＝3ax－8ax0－＝0得3ax＝8ax0＋，
所以φ(x0)＝－ax0－x0＋.
因为φ′(x)对称轴为x＝，
所以φ′＝φ′(0)＝－＜0，
所以x0＞＞，
所以φ(x0)＝－ax0－＜0.
又φ(x)＝ax3－4ax2－x＋1＝ax2(x－8)＋x(ax2－1)＋1，
设，8中的较大数为M，则φ(M)＞0，
故a＞0时，g(x)在(0，＋∞)上恰有两个零点．(10分)
(证法3)g(x)＝f(x)－f′(x)＝ax4－x2－(4ax3－x)＝ax4－4ax3－x2＋x，
因为x＞0，由g(x)＝ax4－4ax3－x2＋x＝0得ax3－4ax2－x＋1＝0，
令φ(x)＝ax3－4ax2－x＋1，
若g(x)在(0，＋∞)上恰有两个零点，则φ(x)在(0，＋∞)上恰有两个零点，
当x＝2时，由φ(x)＝0得a＝0，此时φ(x)＝－x＋1在(0，＋∞)上只有一个零点，不合题意；
当x≠2时，由φ(x)＝ax3－4ax2－x＋1＝0得＝，(7分)
令φ1(x)＝＝x2－2x－4－，
则φ′1(x)＝＝＞0，
当x∈(0，2)时，φ(x)单调递增，且由y＝x2－2x－4，y＝－值域知φ(x)值域为(0，＋∞)；当x∈(2，＋∞)时，φ1(x)单调递增，且φ1(4)＝0.由y＝x2－2x－4，y＝－值域知φ(x)值域为(－∞，＋∞)；
因为a＞0，所以＞0，而y＝与φ1(x)有两个交点，所以φ1(x)在(0，＋∞)上恰有两个零点．(10分)
(3) (证法1)由(2)知，对于φ(x)＝ax3－4ax2－x＋1在(0，＋∞)上恰有两个零点x1，x2，
不妨设x1＜x2，因为φ(0)＝1＞0，φ＝(6－7a)＜0，所以0＜x1＜.(12分)
因为φ(4)＝－1＜0，φ＝(81a－10)＞0，
所以4＜x2＜，
所以4＜x1＋x2＜＋＝5＜a＋4.(16分)
(证法2)由(2)知＝，
因为x∈[0，2)时，φ1(x)单调递增，φ1＝，φ1(0)＝0＜φ1(x1)＝＜φ1，
所以0＜x1＜.(12分)
当x∈(2，＋∞)时，φ1(x)单调递增，φ1＝，φ1(4)＝0＜φ1(x2)＝＜φ1，
所以4＜x2＜.
所以4＜x1＋x2＜＋＝5＜a＋4.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝i.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 设全集U＝{x|x≥2，x∈N}，集合A＝{x|x2≥5，x∈N}，则?UA＝____________．
2. 复数z＝(a＜0)，其中i为虚数单位，|z|＝，则a的值为____________．
(第6题)
3. 双曲线－＝1的离心率为____________．
4. 若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为____________．
5. 已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x＝________.
6. 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为______________．
7. 函数f(x)＝的值域为____________．
8. 连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为__________．
9. 将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1， r2，r3，则r1＋r2＋r3＝____________．
10. 已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝____________．
11. 已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时的n的值为____________．
12. 若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝____________．
13. 已知函数f(x)＝|sinx|－kx(x≥0，k∈R)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x0，则＝____________．
14. 已知ab＝，a，b∈(0，1)，则＋的最小值为____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝2cosC.
(1) 求角C的大小；
(2) 若△ABC的面积为2，a＋b＝6，求边c的长．
16.(本小题满分14分)
如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.
(1) 求证：A1，C1，F，E四点共面；
(2) 若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE.
17. (本小题满分14分)
图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米．
(1) 当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；
(2) 若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？
18. (本小题满分16分)
如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B、C分别是椭圆O上的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M.
(1) 当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2) ① 记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；
② 求·的取值范围．
19. (本小题满分16分)
已知数列{an}满足：a1＝，an＋1－an＝p·3n－1－nq，n∈N*，p，q∈R.
(1) 若q＝0，且数列{an}为等比数列，求p的值；
(2) 若p＝1，且a4为数列{an}的最小项，求q的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a(a∈R)，e为自然对数的底数．
(1) 当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2) ① 若存在实数x，满足f(x)＜0，求实数a的取值范围；
② 若有且只有唯一整数x0，满足f(x0)＜0，求实数a的取值范围．
(三)
1. {2}　解析：由A＝{x|x≥3，x∈N}，则?UA＝{2}．本题考查了集合补集的概念，属于容易题．
2. －5　解析：z＝＋i，|z|＝＝，则a＝－5.本题主要考查复数的模的概念及除法运算等基础知识，属于容易题．
3. 　解析：由a＝2，c＝3得e＝.本题主要考查双曲线方程中a，b，c之间的关系及离心率的概念，属于容易题．
4. 2　解析：由平均数的定义知x＝12，再由方差公式得方差为2.本题主要考查平均数的概念及方差公式，属于容易题．
5. 9　解析：由a⊥(a－b)知，a2＝a·b，即5＝x－4，则x＝9.本题主要考查向量垂直以及向量数量积的性质与坐标运算，属于容易题．
6. 　解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环z＝2，x＝1，y＝2；第2次循环z＝3，x＝2，y＝3；第3次循环z＝5，x＝3，y＝5；第3次循环后z＝8，此时输出的结果为.本题考查流程图的基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
7. (－∞，1]　解析：可由函数的图象得到函数f(x)的值域为(－∞，1]．本题主要考查分段函数的图象，属于容易题．
8. 　解析：连续2次抛掷一枚骰子共有36种基本事件，则事件“两次向上的数字之和等于7”共有6种，则其发生的概率为.本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易题．
9. 5　解析：三个圆锥的底面周长分别为π，π，5π，则它们的半径r1，r2，r3依次为，，，则r1＋r2＋r3＝5.本题考查圆锥的侧面展开图中弧长与底面圆周长的关系．本题属于容易题．
10. －　解析：由sinθ－2cosθ＝－，sin2θ＋cos2θ＝1，θ是第三象限角，得sinθ＝－，cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝－.本题考查同角的三角函数关系．本题属于容易题．
11. 5或6　解析：由a5＝15，a10＝－10，得d＝－5，则an＝40－5n，Tn＝3(an＋ an＋5)＝15(11－2n), 则|Tn|取得最小值时的n的值为5或6.本题考查了等差数列的通项公式以及性质．本题属于中等题．
12. 18　解析：由直线l1和直线l2将圆分成长度相等的四段弧，r＝2，知：直线l1和直线l2之间的距离为4，圆心到直线l1、直线l2的距离都为2，可得a＝2＋1，b＝1－2，则a2＋b2＝18.本题综合考查了直线和圆的位置关系和点到直线的距离公式．本题属于中等题．
13. 　解析：由|sinx|－kx＝0有且只有三个根，又0为其中一个根，即y＝kx与y＝|sinx|相切，设切点为(x0，y0)，由导数的几何意义和斜率公式得－cosx0＝，即得tanx0＝x0，＝×＝×＝.本题综合考查了函数的图象变换，导数的几何意义和斜率公式，三角变换等内容．本题综合性强，属于难题．
14. 4＋　解析：将b＝代入y＝＋＝＋，其中15. 解：(1) 由余弦定理知acosB＋bcosA＝a·＋b·＝＝c，(3分)
∴ ＝1，∴ cosC＝.(5分)
又C∈(0，π)，C＝.(7分)
(2) ∵ S△ABC＝absinC＝2，∴ ab＝8.(10分)
∵ a＋b＝6，
∴ c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12，(13分)
∴ c＝2.(14分)
16. 证明：(1) 连结AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
所以EF∥AC.(2分)
由直棱柱知AA1平行等于CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1.(5分)
所以EF∥A1C1，故A1，C1，F，E四点共面．(7分)
(2) 连结BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1.(9分)
因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1.
又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D.(11分)
因为OD平面BB1D1D，所以OD⊥A1C1.
又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1?平面A1C1FE，A1E平面A1C1FE，所以OD⊥平面A1C1FE.(14分)
17. 解：(1) 以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，因为AB＝2米，所以半圆的半径为1米，
则半圆的方程为x2＋y2＝1(－1≤x≤1，y≤0)．(3分)
因为水深CD＝0.4米，所以OD＝0.6米．
在Rt△ODM中，
DM＝＝＝0.8(米)．(5分)
所以MN＝2DM＝1.6米，故渠中水面宽为1.6米．(6分)
(2) 为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为P(cosθ，sinθ)是圆弧BC上的一点，过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为xcosθ＋ysinθ＝1.(8分)
令y＝0，得E，令y＝－1，得F.
设直角梯形OCFE的面积为S，则S＝(CF＋OE)·OC＝×1＝.
S′＝＝，
令S′＝0，解得θ＝－，
当－＜θ＜－时，S′＜0，函数单调递减；
当－＜θ＜0时，S′＞0，函数单调递增．(12分)
所以θ＝－时，面积S取得最小值，最小值为.
此时CF＝＝，即当渠底宽为米时，所挖的土最少．(14分)
18. 解：(1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为＋＝1，即y＝x－1，
联立解得或(舍)，
即M.(2分)
连结BF，则直线BF：＋＝1，即x＋y－＝0，
而BF＝a＝2，d＝＝＝.(4分)
故S△MBF＝·BF·d＝·2·＝.(5分)
(2) (解法1)① 设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝＝－，
则直线PM的方程为y＝－x－1，
联立化简得x2＋x＝0，解得M，(8分)
所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，
所以k1·k2＝－·m＝－为定值．(10分)
② 由①知，＝(－m，3)，＝(－－m，＋2)＝，
所以·＝(－m，3)·
＝.(13分)
令m2＋4＝t＞4，故·＝＝＝t－＋7.
因为y＝t－＋7在t∈(4，＋∞)上单调递增，
所以·＝t－＋7＞4－＋7＝9，即·的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
(解法2)① 设点M(x0，y0)(x0≠0)，则直线PM的方程为y＝x－1，
令y＝－2，得P.(7分)
所以k1＝，k2＝＝，
所以k1k2＝·＝＝＝－(定值)．(10分)
② 由①知，＝，＝，
所以·＝＋3(y0＋2)
＝＋3(y0＋2)
＝＋3(y0＋2)＝.(13分)
令t＝y0＋1∈(0，2)，则·＝＝－t＋＋7，
因为y＝－t＋＋7在t∈(0，2)上单调递减，
所以·＝－t＋＋7＞－2＋＋7＝9，即·的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
19. 解：(1) q＝0，an＋1－an＝p·3n－1，
∴ a2＝a1＋p＝＋p，a3＝a2＋3p＝＋4p.
由数列{an}为等比数列，得＝，解得p＝0或p＝1.(3分)
当p＝0时，an＋1＝an，∴ an＝符合题意；(4分)
当p＝1时，an＋1－an＝3n－1，
∴ an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝＋(1＋3＋…＋3n－2)＝＋＝·3n－1，
∴ ＝3符合题意．(6分)
(2) (解法1)若p＝1，an＋1－an＝3n－1－nq，
∴ an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝＋(1＋3＋…＋3n－2)－[1＋2＋…＋(n－1)]q
＝[3n－1－n(n－1)q]．(8分)
∵ 数列{an}的最小项为a4，
∴ 对?n∈N*，有[3n－1－n(n－1)q]≥a4＝(27－12q)恒成立，即3n－1－27≥(n2－n－12)q对?n∈N*恒成立．(10分)
当n＝1时，有－26≥－12q，∴ q≥；
当n＝2时，有－24≥－10q，∴ q≥；
当n＝3时，有－18≥－6q，∴ q≥3；
当n＝4时，有0≥0，∴ q∈R；(12分)
当n≥5时，n2－n－12＞0，所以有q≤恒成立．
令cn＝(n≥5，n∈N*)，有cn＋1－cn＝＞0，
即数列{cn}为递增数列，∴ q≤c5＝.(15分)
综上所述，3≤q≤.(16分)
(解法2)因为p＝1，an＋1－an＝3n－1－nq，
又a4为数列{an}的最小项，
所以即
所以3≤q≤.(8分)
此时a2－a1＝1－q＜0，a3－a2＝3－2q＜0，
所以a1＞a2＞a3≥a4.(10分)
当n≥4时，令bn＝an＋1－an，bn＋1－bn＝2·3n－1－q≥2·34－1－＞0，
所以bn＋1＞bn，
所以0≤b4＜b5＜b6＜…，即a4≤a5＜a6＜a7＜….(14分)
综上所述，当3≤q＜时，a4为数列{an}的最小项，即所求q的取值范围为.(16分)
20. 解：(1) 当a＝1时，f(x)＝ex(2x－1)－x＋1，f′(x)＝ex(2x＋1)－1，(1分)
由于f′(0)＝0，
当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，2x＋1＞1，∴ f′(x)＞0；
当x∈(－∞，0)时，0＜ex＜1，2x＋1＜1，∴ f′(x)＜0，
∴ f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．(4分)
(2) ① 由f(x)＜0得ex(2x－1)＜a(x－1)．
当x＝1时，不等式显然不成立；
当x＞1时，a＞；当x＜1时，a＜.(6分)
记g(x)＝，g′(x)＝＝，
∴ g(x)在区间(－∞，0)和上为增函数，在(0，1)和上为减函数．
∴ 当x＞1时，a＞g＝4e，当x＜1时，a＜g(0)＝1.(8分)
综上所述，所有a的取值范围为(－∞，1)∪.(9分)
② 由①知a＜1时，x0∈(－∞，1)，
由f(x0)＜0，得g(x0)＞a，
又g(x)在区间(－∞，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，且g(0)＝1＞a，
∴ g(－1)≤a，即a≥，∴ ≤a＜1.(12分)
当a＞4e时，x0∈(1，＋∞)，由f(x0)＜0，得g(x0)＜a，
又g(x)在区间上单调递减，在上单调递增，且g＝4e＜a，
∴ 解得3e2＜a≤.(15分)
综上所述，所有a的取值范围为∪.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{0，a}，B＝{0，1，3}，若A∪B＝{0，1，2，3}，则实数a的值为____________．
2. 已知复数z满足z2＝－4，若z的虚部大于0，则z＝____________．
3. 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50～90 km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图(如图所示)，则速度在70 km/h以下的汽车有________辆．
(第3题)
　
4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为____________．
　S←1
　I←1
While I＜5
　S←S＋2
　I←I＋1
End While
Print S
(第4题)　　
5. 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若AB＝5，则ω的值为____________．
(第5题)
6. 若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为______________．
7. 抛物线y2＝4x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为____________．
8. 已知矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，若沿对角线AC折叠，使平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥DABC的体积为__________．
9. 若公比不为1的等比数列{an}满足log2(a1·a2·…·a13)＝13，等差数列{bn}满足b7＝a7，则b1＋b2＋…＋b13的值为____________．
10. 定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)＋(a－1)x＋b(a，b为常数)．若f(2)＝－1，则f(－6)的值为____________．
11. 已知||＝||＝，且·＝1.若点C满足|＋|＝1，则||的取值范围是____________．
12. 已知函数f(x)＝若关于x的不等式f(x)＜π的解集为，则实数a的取值范围是____________．
13. 已知点A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为____________．
14. 已知正数a，b，c满足b＋c≥a，则＋的最小值为____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＝，tan(A－B)＝－.
(1) 求tanB的值；
(2) 若b＝5，求c.
16.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：
(1) PB∥平面EAC；
(2) 平面PAD⊥平面ABCD.
17. (本小题满分14分)
如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数y＝x＋(1≤x≤9)模型，设PM＝x，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元．题中所涉及长度单位均为百米．
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价．
18. (本小题满分16分)
已知各项均为正数的数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*)．
(1) 若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；
(2) 若λ＝，求Sn.
19. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，左顶点为A(－4，0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3) 若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ex，其中a∈R，e为自然对数的底数．
(1) 若函数f(x)的图象在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，求a的值；
(2) 关于x的不等式f(x)＜－ex在(－∞，2)上恒成立，求a的取值范围；
(3) 讨论函数f(x)极值点的个数．
(九)
1. 2　解析：A＝{0，a}，B＝{0，1，3}, A∪B＝{0，1，2，3}，则a＝2.本题考查了集合并集的概念．本题属于容易题．
2. 2i　解析：复数z＝x＋yi，则z2＝x2－y2＋ 2xyi＝－4, 得x2－y2＝－4，xy＝0，则x＝0，y＝2，所以z＝2i.本题考查了复数的平方运算以及虚部的概念．本题属于容易题．
3. 75　解析：速度在70 km/h以下的频率为0.05×10＝0.5，150×0.5＝75辆．本题考查了频率分布直方图的知识．本题属于容易题．
4. 9　解析：I＝1时，S＝3；I＝2时，S＝5；I＝3时，S＝7；I＝4时，S＝9；I＝5时，输出的结果S为9.本题考查伪代码的知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
5. 　解析：AB＝5，|yA－yB|＝4，则|xA－xB|＝3＝，则T＝6＝，ω＝.本题主要考查三角函数周期求法．本题属于容易题．
6. 　解析：甲与丙都不在第一天值班，说明乙在第一天值班，则乙在第一天值班的概率为.本题主要考查古典概型中对立事件、互斥事件的概率．本题属于容易题．
7. 　解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，双曲线－＝1渐近线方程为3x－4y＝0，点(1，0)到渐近线的距离为.本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点，点到直线的距离公式．本题属于容易题．
8. 　解析：三棱锥DABC的高为，△ABC的面积为6，则三棱锥DABC的体积为.本题考查三棱锥的体积问题．本题属于容易题．
9. 26　解析：log2(a1·a2·…·a13)＝13得a1·a2·…·a13＝213，a＝213，a7＝2，b7＝2，则b1＋b2＋…＋b13＝13b7＝26.本题考查等比数列和等差数列的性质．本题属于中等题．
10. 4　解析：f(0)＝0，得b＝－1，f(2)＝－1，得a＝0，当x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)－x－1，f(－6)＝－f(6)＝－(－4)＝4.本题考查奇函数的性质，本题属于中等题．
11. [－1，＋1]　解析：∵ ·＝1，∴ ∠AOB＝，建系可设A(，0)，B，C(x，y)，
∴ ＋＝，
∴ ＋＝1，
∴ C的轨迹是以点M为圆心的圆，
∴ OM＝＝，
∴ ||∈[－1，＋1]．
本题通过建系来解决，重点考查了向量坐标运算和圆的性质. 本题属于中等题．
12. (－2，＋∞)　解析：当x≥0时，f(x)＝2x＋cosx，
∵ f′(x)＝2－sinx＞0，f(x)递增，结合f(0)＝1，f＝π
可知f(x)＜π的解集为.
当x＜0时，f(x)＝－x2＋ax，
不等式f(x)＜π可化为x2－ax＋π＞0，
当Δ＝a2－4π＜0即－2＜a＜2时，x2－ax＋π＞0恒成立，满足题意；
当Δ＝a2－4π≥0即a＜－2或a＞2时，
x2－ax＋π＞0的解集为x＜或x＞.
依题意知a≥2时，＞0.
综上可知，实数a的取值范围是(－2，＋∞)
本题考查利用导数判断函数的单调性，一元二次不等式解法，以及分类讨论思想的运用．本题属于难题．
13. 4　解析：直线AC的方程为＋y＝1即x＋ty－t＝0，设D(x，y)，∵ AD≤2BD即AD2≤4BD2，
∴ x2＋(y－1)2＜4[(x－1)2＋y2]，
＋≥表示圆外区域及圆周上的点，
直线x＋ty－t＝0与圆＋＝相离，
≥，化简得t2－4t＋1≥0，
解得t≥2＋或t≤2－.∴ 正整数t的值的值为4.
本题考查直线与圆的位置，一元二次不等式解法，以及数形结合思想的运用. 本题属于难题．
14. －　解析：由b＋c≥a，得＋1≥，则＋＝＋≥＋＝＋＋－≥－.本题考查基本不等式的运用，以及代数式的变形. 本题属于难题．
15. 解：(1) 在锐角三角形ABC中，由sinA＝，得cosA＝＝，(2分)
所以tanA＝＝.(4分)
由tan(A－B)＝＝－，得tanB＝2.(7分)
(2) 在锐角三角形ABC中，由tanB＝2，得sinB＝，cosB＝，(9分)
所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.(11分)
由正弦定理＝，得c＝＝.(14分)
16. 证明：(1) 连结BD与AC相交于点O，连结OE.(2分)
因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点．
因为E为棱PD中点，所以PB∥OE.(4分)
因为PB 平面EAC，OE平面EAC，
所以直线PB∥平面EAC.(6分)
(2) 因为PA⊥平面PDC，CD平面PDC，
所以 PA⊥CD.(8分)
因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD.(10分)
因为 PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.(12分)
因为CD平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD. (14分)
17. 解：(1) 在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y＝x＋(1≤x≤9)，PM＝x，
所以点P坐标为，直线OB的方程为x－y＝0，(2分)
则点P到直线x－y＝0的距离为
＝＝.(4分)
又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米，
则两条道路总造价为f(x)＝5x＋40·＝5(1≤x≤9)．(8分)
(2) 因为f(x)＝5x＋40·＝5，
所以f′(x)＝5＝.(10分)
令f′(x)＝0，得x＝4，列表如下：
x
(1，4)
4
(4，9)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以当x＝4时，函数f(x)有最小值，最小值为f(4)＝5＝30.(13分)
答：(1) 两条道路PM，PN总造价为f(x)＝5(1≤x≤9)；
(2) 当x＝4时，总造价最低，最低造价为30万元．(14分)
(注：利用三次均值不等式f(x)＝5＝5(＋＋)≥5×3＝30，当且仅当＝＝，即x＝4时等号成立，照样给分)
18. 解：(1) 令n＝1，得a2＝.
令n＝2，得a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，
所以a3＝.(2分)
由a＝a1a3，得＝，
因为λ≠0，所以λ＝1.(4分)
(2) 当λ＝时，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝anan＋1，
所以－＋－＝，即－＝，(6分)
所以数列是以2为首项，公差为的等差数列，
所以＝2＋(n－1)·，即Sn＋1＝an，①(8分)
当n≥2时，Sn－1＋1＝an－1，②
①－②得，an＝an－an－1，(10分)
即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，
所以＝(n≥2)，(12分)
所以是首项为的常数列，
所以an＝(n＋2)．(14分)
代入①得Sn＝an－1＝.(16分)
19. 解：(1) 因为左顶点为A(－4，0)，所以a＝4.又e＝，所以c＝2.(2分)
因为b2＝a2－c2＝12，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)
(2) 直线l的方程为y＝k(x＋4)，由消元得＋＝1.
化简得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，
所以x1＝－4，x2＝.(6分)
当x＝时，y＝k＝，所以D.
因为点P为AD的中点，所以P的坐标为(，)，则kOP＝－(k≠0)．(8分)
直线l的方程为y＝k(x＋4)，令x＝0，得E点坐标为(0，4k)，
假设存在定点Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，
则kOPkEQ＝－1，即－·＝－1恒成立，
所以(4m＋12)k－3n＝0恒成立，所以即
因此定点Q的坐标为(－3，0)．(10分)
(3) 因为OM∥l，所以OM的方程可设为y＝kx。
由得M点的横坐标为x＝±.(12分)
由OM∥l，得＝＝
＝＝·(14分)
＝≥2，
当且仅当＝即k＝±时取等号，
所以当k＝±时，的最小值为2.(16分)
20. 解：(1) 由题意，f′(x)＝ex，(2分)
因为f(x)的图象在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，
所以f′(0)＝1，解得a＝－1.(4分)
(2) (解法1)由f(x)＜－ex，得
ex[x3－2x2＋(a＋4)x－2a－4]＜－ex，
即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0对任意x∈(－∞，2)恒成立，(6分)
即(6－3x)a＞x3－6x2＝12x－8对任意x∈(－∞，2)恒成立．
因为x＜2，
所以a＞＝－(x－2)2.(8分)
记g(x)＝－(x－2)2，
因为g(x)在(－∞，2)上单调递增，且g(2)＝0，
所以a≥0，即a的取值范围是[0，＋∞)．(10分)
(解法2)由f(x)＜－ex，得
ex＜－ex，
即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0在(－∞，2)上恒成立，(6分)
因为x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0等价于(x－2)(x2－4x＋3a＋4)＜0，
① 当a≥0时，x2－4x＋3a＋4＝(x－2)2＋3a≥0恒成立，
所以原不等式的解集为(－∞，2)，满足题意．(8分)
② 当a＜0时，记g(x)＝x2－4x＋3a＋4，有g(2)＝3a＜0，
所以方程x2－4x＋3a＋4＝0必有两个根x1，x2，且x1＜2＜x2，
原不等式等价于(x－2)(x－x1)(x－x2)＜0，解集为(－∞，x1)∪(2，x2)，与题设矛盾，
所以a＜0不符合题意．
综合①②可知，所求a的取值范围是[0，＋∞)．(10分)
(3) 由题意，可得f′(x)＝ex，
所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点．(11分)
令g(x)＝x3－x2＋ax－a，
① 若f(x)有且只有一个极值点，所以函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次，
即g(x)为单调递增函数或者g(x)极值同号．
ⅰ) 当g(x)为单调递增函数时，g′(x)＝x2－2x＋a≥0在R上恒成立，得a≥1.(12分)
ⅱ) 当g(x)极值同号时，设x1，x2为极值点，则g(x1)·g(x2)≥0，
由g′(x)＝x2－2x＋a＝0有解，得a＜1，且x－2x1＋a＝0，x－2x2＋a＝0，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝a，
所以g(x1)＝x－x＋ax1－a＝x1(2x1－a)－x＋ax1－a＝－(2x1－a)－ax1＋ax1－a＝[(a－1)x1－a]，
同理，g(x2)＝[(a－1)x2－a],
所以g(x1)g(x2)＝[(a－1)x1－a]·[(a－1)x2－a]≥0，
化简得(a－1)2x1x2－a(a－1)(x1＋x2)＋a2≥0，
所以(a－1)2a－2a(a－1)＋a2≥0，即a≥0，
所以0≤a＜1.
所以，当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点；(14分)
② 若f(x)有三个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a＜0.
综上，当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点；
当a＜0时，f(x)有三个极值点．(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
1. 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝i；
2. 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，则A∩Z＝______________．
2. 若复数z＝(1－i)(m＋2i)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为____________．
3. 数据10，6，8，5，6的方差s2＝____________．
4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x，y，则为整数的概率是________．
(第6题)
5. 已知双曲线x2－＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，则m＝______________．　
6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．
7. 底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为____________．
8. 在等比数列{an}中，若a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，则a7＝__________．
9. 已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，)，则向量a，b的夹角为____________．
10. 直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，则实数a的值是____________．
11. 已知函数f(x)＝－x2＋2x，则不等式f(log2x)＜f(2)的解集为__________．
12. 将函数y＝sin2x的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点，则φ的最小值为____________．
13. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值为____________．
14. 已知函数f(x)＝ex－1＋x－2(e为自然对数的底数)，g(x)＝x2－ax－a＋3，若存在实数x1，x2，使得f(x1)＝g(x2)＝0，且|x1－x2|≤1，则实数a的取值范围是____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝4，c＝6，且asinB＝2.
(1) 求角A的大小；
(2) 若D为BC的中点，求线段AD的长．
16.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AC与BD交于点O，且平面PAC⊥底面ABCD，E为棱PA上一点．
(1) 求证：BD⊥OE；
(2) 若AB＝2CD，AE＝2EP，求证：EO∥平面PBC.
17. (本小题满分14分)
已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2＋k(n∈N*，k∈R)，且a1＝2，a3＋a5＝－4.
(1) 若k＝0，求数列{an}的前n项和Sn；
(2) 若a4＝－1，求数列{an}的通项公式an.
18. (本小题满分16分)
如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4 m，最低点B离地面2 m，观察者从距离墙x m(x＞1)，离地面高a m(1≤a≤2)的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.
(1) 若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？
(2) 若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．
19. (本小题满分16分)
如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OP⊥AF.
(1) 若点P坐标为(，1)，求椭圆C的方程；
(2) 延长AF交椭圆C于点Q，若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的2倍，求椭圆C的离心率；
(3) 求证：存在椭圆C，使直线AF平分线段OP.
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝cosx＋ax2－1，a∈R.
(1) 求证：函数f(x)是偶函数；
(2) 当a＝1时，求函数f(x)在[－π，π]上的最值；
(3) 若对于任意的实数x恒有f(x)≥0，求实数a的取值范围.
(二)
1. {－1，0，1}　解析：本题主要考查集合的运算．本题属于容易题．
2. －2　解析：z＝(1－i)(m＋2i)＝ m＋2＋(2－m)i是纯虚数，则m＝－2.本题主要考查纯虚数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 　解析：平均数为7，由方差公式得方差s2＝.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．
4. 　解析：本题的基本事件数为16，为整数的的基本事件数为8，则所求的概率是.本题考查古典概型，属于容易题．
5. 　解析：双曲线x2－＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋＝0，与x＋y＝0是同一条直线，则m＝.本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系．本题属于容易题．
6. －1　解析：由流程图知循环体执行8次，第1次循环S＝，n＝2；第2次循环S＝－1，n＝3；第3次循环S＝2，n＝4，…，第8次循环S＝－1，n＝9.本题考查了算法及流程图的基本内容．本题属于容易题．
7. 　解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为.本题考查了正四棱锥的体积公式．本题属于容易题．
8. 4　解析：由a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，得q3＝2，则a7 ＝a1(q3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系．本题属于容易题．
9. π　解析：由a＋b＝(1，)，得(a＋b)2＝3，则1＋4＋2a·b＝3，a·b＝－1＝|a||b|cosθ，cosθ＝－，则θ＝π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属于容易题．
10. －2　解析：由圆x2＋y2－2ax＋a＝0的圆心(a，0)，半径的平方为a2－a，圆心到直线ax＋y＋1＝0的距离的平方为a2＋1，由勾股定理得a＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．
11. (0，1)∪(4，＋∞)　解析：∵ 二次函数f(x)＝－x2＋2x的对称轴为x＝1，∴ f(0)＝f(2)，结合二次函数的图象可得log2x<0或log2x>2，解得04，∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞)．本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．
12. 　解析：易知y＝sin2(x＋φ)，即y＝sin(2x＋2φ)，∵ 图象过点，∴ sin＝，∴ ＋2φ＝＋2kπ或＋2φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝kπ或φ＝＋kπ，k∈Z.∵ φ>0，∴ φ的最小值为.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题属于中等题．
13. 　解析：∵ AO为△ABC的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使＝λ，即＝λ＋λ，∴ 　①.若AB边上的中线与AB交于点D，则＝2x＋y.∵ C、O、D三点共线，∴ 2x＋y＝1　②，由①②得x＝，y＝，∴ x＋y＝.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．
14. [2，3]　解析：易知函数f(x)＝ex－1＋x－2在R上为单调增函数且f(1)＝0，∴ x1＝1，则|1－x2|≤1解得0≤x≤2，∴ x2－ax－a＋3＝0在x∈[0，2]上有解，∴ a＝在x∈[0，2]上有解．令t＝x＋1∈[1，3]，则x＝t－1，a＝，即a＝t＋－2 在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，则当t＝2时a的最小值为2，当t＝1时a的最大值为3，∴ a的取值范围为[2，3]．本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．
15. 解：(1) 由正弦定理，得asinB＝bsinA，(2分)
因为b＝4，asinB＝2，所以sinA＝.(4分)
又0＜A＜，所以A＝.(6分)
(2) 若b＝4，c＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝16＋36－2×24×＝28，所以a＝2.(8分)
因为asinB＝2，所以sinB＝，从而cosB＝.(10分)
因为D为BC的中点，所以BD＝DC＝.
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cosB，即AD2＝36＋7－2×6××＝19，
所以AD＝.(14分)
16. 证明：(1) 因为平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD＝AC，BD⊥AC，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面PAC.
因为OE 平面PAC，所以BD⊥OE.(6分)
(2) 因为AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD交于O，
所以CO∶OA＝CD∶AB＝1∶2.
因为AE＝2EP，所以CO∶OA＝PE∶EA，所以EO∥PC.
因为PC平面PBC，EO 平面PBC，
所以EO∥平面PBC.(14分)
17. 解：(1) 当k＝0时，2an＋1＝an＋an＋2，即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}是等差数列．(2分)
设数列{an}公差为d，则解得(4分)
所以Sn＝na1＋d＝2n＋×
＝－n2＋n.(6分)
(2) 由题意，2a4＝a3＋a5＋k，即－2＝－4＋k，所以k＝2.(8分)
又a4＝2a3－a2－2＝3a2－2a1－6，所以a2＝3.
由2an＋1＝an＋an＋2＋2，得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝－2，
所以，数列{an＋1－an}是以a2－a1＝1为首项，－2为公差的等差数列．
所以an＋1－an＝－2n＋3.(10分)
当n≥2时，有an－an－1＝－2(n－1)＋3，
于是an－1－an－2＝－2(n－2)＋3，an－2－an－3＝－2(n－3)＋3，…，a3－a2＝－2×2＋3，a2－a1＝－2×1＋3，
叠加，得an－a1＝－2[1＋2＋…＋(n－1)]＋3(n－1)(n≥2)，
所以an＝－2×＋3(n－1)＋2＝－n2＋4n－1(n≥2)．(13分)
又当n＝1时，a1＝2也适合．
所以数列{an}的通项公式为an＝－n2＋4n－1，n∈N*.(14分)
18. 解：(1) 当a＝1.5时，过C作AB的垂线，垂足为D，则BD＝0.5 m，且θ＝∠ACD－∠BCD，由已知观察者离墙x m，且x＞1，则tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，(2分)
所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝＝
＝≤＝，当且仅当x＝＞1时，取“＝”．(6分)
又tanθ在上单调增，
所以，当观察者离墙 m时，视角θ最大．(8分)
(2) 由题意，得tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，又tanθ＝，所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝＝，(10分)
所以a2－6a＋8＝－x2＋4x，
当1≤a≤2时，0≤a2－6a＋8≤3，所以0≤－x2＋4x≤3，
即，解得0≤x≤1或3≤x≤4.(14分)
因为x＞1，所以3≤x≤4，所以x的取值范围为[3，4]．(16分)
19. (1) 解：因为点P(，1)，所以kOP＝.
因为AF⊥OP，－×＝－1，
所以c＝b，所以3a2＝4b2.(2分)
又点P(，1)在椭圆上，
所以＋＝1，解之得a2＝，b2＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.(4分)
(2) 解：由题意，直线AF的方程为＋＝1，与椭圆C的方程＋＝1联立消去y，得x2－＝0，解得x＝0或x＝，所以Q点的坐标为，(7分)
所以直线BQ的斜率为kBQ＝＝.
由题意得＝，所以a2＝2b2，(9分)
所以椭圆的离心率e＝＝＝.(10分)
(3) 证明：因为线段OP垂直AF，则直线OP的方程为y＝，与直线AF的方程＋＝1联立，解得两直线交点的坐标.
因为线段OP被直线AF平分，所以P点坐标为.(12分)
由点P在椭圆上，得＋＝1，
又b2＝a2－c2，设＝t，得4[(1－t)2·t＋t2]＝1.　(*)(14分)
令f(t)＝4[(1－t)2·t＋t2]－1＝4(t3－t2＋t)－1，
因为f′(t)＝4(3t2－2t＋1)＞0，所以函数f(t)单调增．
又f(0)＝－1＜0，f(1)＝3＞0，
所以f(t)＝0在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解，
故存在椭圆C，使线段OP被直线AF垂直平分．(16分)
20. (1) 证明：函数f(x)的定义域为R，
因为f(－x)＝cos(－x)＋a(－x)2－1＝cosx＋ax2－1＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3分)
(2) 解：当a＝1时，f(x)＝cosx＋x2－1，则f′(x)＝－sinx＋2x，令g(x)＝f′(x)＝－sinx＋2x，则g′(x)＝－cosx＋2＞0，所以f′(x)是增函数．
又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数．
又函数f(x)是偶函数，
故函数f(x)在[－π，π]上的最大值是π2－2，最小值为0.(8分)
(3) 解：f′(x)＝－sinx＋2ax，
令g(x)＝f′(x)＝－sinx＋2ax，则g′(x)＝－cosx＋2a，
① 当a≥时，g′(x)＝－cosx＋2a≥0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，故f(x)≥0恒成立．(12分)
② 当a≤－时，g′(x)＝－cosx＋2a≤0，所以f′(x)是减函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，所以f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．(14分)
③ 当－＜a＜时，必存在唯一x0∈(0，π)，使得g′(x0)＝0，因为g′(x)＝－cosx＋2a在[0，π]上是增函数，所以当x∈(0，x0)时，g′(x)＜0，即f′(x)在(0，x0)上是减函数．又f′(0)＝0，所以当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0，即f(x)在(0，x0)上是减函数．而f(0)＝0，所以当x∈(0，x0)时，f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．
综上，实数a的取值范围是.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
1. 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为底面积，h为高．
2. 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，标准差为，其中＝xi.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，C＝A∩B，则集合C的子集的个数为________．　
2. 若复数z满足(2－i)z＝4＋3i(i为虚数单位)，则|z|＝__________．
3. 甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为__________．
4. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，则数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的标准差为__________．
5. 如图所示，该伪代码运行的结果为__________．
　S←0
　i←1
While S≤20
　S←S＋i
　i←i＋2
End While
Print i
(第5题)
6. 以双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为__________．
7. 设M，N分别为三棱锥PABC的棱AB，PC的中点，三棱锥PABC的体积记为V1，三棱锥PAMN的体积记为V2，则＝__________．
8. 已知实数x，y满足约束条件则的最大值为__________．
9. 若f(x)＝sin(x＋θ)－cos(x＋θ)是定义在R上的偶函数，则θ＝__________．
10. 已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，则向量a，b的夹角为__________．
11. 已知线段AB的长为2，动点C满足·＝λ(λ为常数)，且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．
12. 若函数f(x)＝ex＋x3－x－1的图象上有且只有两点P1，P2，使得函数g(x)＝x3＋的图象上存在两点Q1，Q2，且P1与Q1、P2与Q2分别关于坐标原点对称，则实数m的取值集合是__________．　
13. 若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为bn，则得到一个新数列{bn}．例如，若数列{an}是1，2，3，…，n，…，则数列{bn}是0，1，2，…，n－1，….现已知数列{an}是等比数列，且a2＝2，a5＝16，则数列{bn}中满足bi＝2 016的正整数i的个数为__________．
14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2－a2＝ac，则－的取值范围是__________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，a＋c＝4.
(1) 当a，b，c成等差数列时，求△ABC的面积；
(2) 设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．
16. (本小题满分14分)
如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．求证：
(1) EF∥平面PAD；
(2) 平面PDE⊥平面PEC.
17. (本小题满分14分)
一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE，EF，FA，使得∠EAF＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为椭圆C上两点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)．
(1) 若PF⊥x轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程；
(2) 若圆O的半径为，点P，Q满足kOP·kOQ＝－，求直线PQ被圆O截得弦长的最大值．
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝mlnx(m∈R)．
(1) 若函数y＝f(x)＋x的最小值为0，求m的值；
(2) 设函数g(x)＝f(x)＋mx2＋(m2＋2)x，试求g(x)的单调区间；
(3) 试给出一个实数m的值，使得函数y＝f(x)与h(x)＝(x＞0)的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}满足a1＝m，an＋1＝(k∈N*，r∈R)，其前n项和为Sn.
(1) 当m与r满足什么关系时，对任意的n∈N*，数列{an}都满足an＋2＝an?
(2) 对任意实数m，r，是否存在实数p与q，使得{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是同一个等比数列？若存在，请求出p，q满足的条件；若不存在，请说明理由；
(3) 当m＝r＝1时，若对任意的n∈N*，都有Sn≥λan，求实数λ的最大值.
(二十)
1. 8　解析：C＝{1，3，5}，则集合C的子集的个数为8. 本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．
2. 　解析：z＝＝＝1＋2i，则|z|＝.本题主要考查复数的模的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 　解析：从两盒中各取一个球的基本事件数为9，没有红球的基本事件数为1，则至少有一个红球的概率＝1－没有红球的概率＝1－＝.本题主要考查对立事件概率的求法．本题属于容易题．
4. 2　解析：由s2＝(xi－)2＝2，则数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是8，标准差为2.本题主要考查方差、标准差公式．本题属于容易题．
5. 11　解析：满足循环S与i：S＝1，i＝3；S＝4，i＝5；S＝9，i＝7；S＝16，i＝9；S＝25，i＝11.本题关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
6. 　解析：设F(c，0)到双曲线的渐近线bx－ay＝0的距离为b，则a＝b，c＝a，则该双曲线的离心率为.本题主要考查双曲线的渐近线方程，焦点坐标，直线与圆相切条件．本题属于容易题．
7. 　解析：设△AMN面积为S，点P到平面AMN的距离为h，则V2＝Sh，而V1＝2××2S×h，则＝.本题主要考查等高锥体体积的求法．本题属于容易题．
8. 　解析：＝，它表示可行域内的点与连线的斜率，作出可行域，发现可行域内的点(1，4)为最优解，代入可得＝.本题主要考查线性规划的运用，目标函数为斜率模型．本题属于容易题．
9. －　解析：f(x)＝sin(x＋θ)－cos(x＋θ)＝2sin，由已知条件知θ－＝±，则θ＝－.本题主要考查函数的奇偶性，三角函数的和差角公式．本题属于容易题．
10. 　解析：|b|＝1，|a|＝5，对|a－b|＝两边平方，得2a·b＝5，2|a||b|cosθ＝5，cosθ＝，则向量a，b的夹角为.本题主要考查平方法求向量的模问题，以及数量积定义的运用．本题属于容易题．
11. －　解析：建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x，y)，则·＝x(x－2)＋y2＝λ，则(x－1)2＋y2＝λ＋1，得＝，点C的轨迹是以(1，0)为圆心为半径的圆且与x2＋y2＝外离或相切．所以≤，λ的最大值为－.本题主要考查圆与圆的位置关系，以及解析法的运用．本题属于中等题．
12. 　解析：设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则Q1(－x1，－y1) ，Q2(－x2，－y2), 有y1＝ex1＋x－x1－1，y2＝ex2＋x－x2－1，y1＝x＋ ，y2＝x＋，∴ f(x)＝g(x)有且仅有两个根，即m＝xex－x2－x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有且仅有两个根．令h(x)＝xex－x2－x, h′(x)＝(x＋1)(ex－1)，∴ h(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在 (－1，0)上单调递减，当 x→－∞时，h(x)→－∞；当 x→＋∞时，h(x)→＋∞，∴ m＝h(－1)＝，∴ m∈.本题主要考查方程的思想，函数的思想，以及导数的运用. 本题属于难题．
13. 22 015　解析：因为{an}是等比数列，且a2＝2，a5＝16，则有?∴ an＝2n－1，要使bi＝2 016，所以必须有满足am＜n的m有2 016个，即a1，a2，a3，…，a2 016，所以22 015＜n≤22 016(当22 0162 016)，所以n可以取22 015＋1，22 015＋2，…，22 016，共22 016－22 015＝22 015个，正整数i的个数即为n的个数．本题主要考查等比数列通项公式，以及新定义的运用. 本题属于难题．
14. 　解析：由b2＝a2＋ac＝a2＋c2－2accosB，得c2＝ac(1＋2cosB)，所以cosB＝－1＝，所以－＝－＝.因为△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2>c2，则2a2＋ac>c2，所以2＋>，则－1<<2.因为>0，所以0<<2，而cosB＝∈，所以∈，所以－∈.本题主要考查解三角形的运用，以及一元二次不等式解法，同角三角函数关系的运用．本题属于难题．
15. 解：(1) 因为a，b，c成等差数列，所以b＝＝2.(2分)
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac＝4，解得ac＝4，(6分)
从而S△ABC＝acsinB＝2×＝.(8分)
(2) (解法1)因为D为AC边的中点，
所以＝(＋)，(10分)
则　2＝(＋)2＝(　2＋2·＋　2)
＝(c2＋2accosB＋a2)＝[(a＋c)2－ac]＝4－ac(12分)
≥4－＝3，当且仅当a＝c时取等号，
所以线段BD长的最小值为.(14分)
(解法2)因为D为AC边的中点，所以可设AD＝CD＝d.
由cos∠ADB＋cos∠CDB＝0，得
＋＝0，
即BD2＝－d2＝8－ac－d2.(10分)
因为b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac，即4d2＝16－3ac，
所以d2＝4－ac，(12分)
故BD2＝4－ac≥4－＝3，当且仅当a＝c时取等号，
所以线段BD长的最小值为.(14分)
16. 证明：(1) 取PD的中点G，连结AG，FG.(2分)
因为F，G分别是PC，PD的中点，
所以GF∥DC，且GF＝DC.
又E是AB的中点，所以AE∥DC，且AE＝DC，
所以GF∥AE，且GF＝AE，
所以AEFG是平行四边形，故EF∥AG.(4分)
又AG?平面PAD，EF 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.(6分)
(说明：也可以取DC中点，用面面平行来证线面平行)
(2) 因为PD⊥底面ABCD，EC?底面ABCD，
所以CE⊥PD.(8分)
取DC中点H，连结EH.
因为ABCD是矩形，且AB＝2AD，
所以ADHE，BCHE都是正方形，
所以∠DEH＝∠CEH＝45°，即CE⊥DE.(10分)
又PD，DE是平面PDE内的两条相交直线，
所以CE⊥平面PDE.(12分)
而CE平面PEC，所以平面PDE⊥平面PEC.(14分)
17. 解：(解法1)设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.
则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，从而只要求S的最小值．(2分)
设∠EAB＝α(0°＜α＜45°)，在△ABE中，因为AB＝1，∠B＝90°，所以BE＝tanα，
则S△ABE＝AB·BE＝tanα；(4分)
又∠DAF＝45°－α，所以S△ADF＝tan(45°－α)，(6分)
所以S＝[tanα＋tan(45°－α)]＝.(8分)
令x＝tanα∈(0，1)，则
S＝＝＝(10分)
＝≥(2－2)＝－1，
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号．(12分)
从而三个区域的总投入T的最小值约为(－1)×105元．(14分)
(说明：这里S的最小值也可以用导数来求解：
因为S′＝，则由S′＝0，得x＝－1.
当x∈(0，－1)时，S′＜0，S递减；当x∈(－1，1)时，S′＞0，S递增．
所以当x＝－1时，S取得最小值为－1)
(解法2)设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.
则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，从而只要求S的最小值．(2分)
如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设直线AE的方程为y＝kx(0＜k＜1)，即k＝tan∠EAB，
因为∠EAF＝45°，
所以直线AF的斜率为tan(∠EAB＋45°)＝，
从而直线AF的方程为y＝x.(6分)
在方程y＝kx中，令x＝1，得E(1，k)，
所以S△EAB＝AB·BE＝k；
在方程y＝x中，令y＝1，得F，所以S△ADF＝AD·DF＝·；
从而S＝，k∈(0，1)．(10分)
以下同解法1.(14分)
(解法3)设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.
则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，从而只要求S的最小值．(2分)
设∠DAF＝α，∠BAE＝β(0°＜α，β＜45°)，则S＝(tanα＋tanβ)，(4分)
因为α＋β＝90°－∠EAF＝45°，
所以tan(α＋β)＝＝1，(8分)
所以tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ≥1－，(10分)
即2S≥1－S2，解得S≥－1，即S取得最小值为－1，
从而三个区域的总投入T的最小值为(－1)×105元．(14分)
18. 解：(1) 因为椭圆C的方程为＋＝1，
所以A(－2，0)，F(1，0)．(2分)
因为PF⊥x轴，所以P.
而直线AP与圆O相切，
根据对称性，可取P，(4分)
则直线AP的方程为y＝(x＋2)，
即x－2y＋2＝0.(6分)
由圆O与直线AP相切，得r＝，
所以圆O的方程为x2＋y2＝.(8分)
(2) 易知，圆O的方程为x2＋y2＝3.
① 当PQ⊥x轴时，kOP·kOQ＝－k＝－，
所以kOP＝±，此时得直线PQ被圆O截得的弦长为.(10分)
② 当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2≠0)，
首先由kOP·kOQ＝－，得3x1x2＋4y1y2＝0，
即3x1x2＋4(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，
所以(3＋4k2)x1x2＋4kb(x1＋x2)＋4b2＝0　(*)．(12分)
联立
消去x，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，
将x1＋x2＝－，x1x2＝代入(*)式，得2b2＝4k2＋3.(14分)
由于圆心O到直线PQ的距离为d＝，
所以直线PQ被圆O截得的弦长为l＝2＝，故当k＝0时，l有最大值为.
综上，因为＞，所以直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为.(16分)
19. 解：(1) 由题意，得函数y＝mlnx＋x，
所以y′＝＋1＝.
① 当m≥0时，函数y在(0，＋∞)上单调递增，此时无最小值，舍去；(2分)
② 当m＜0时，由y′＝0，得x＝－m.
当x∈(0，－m)，y′＜0，原函数单调递减；x∈(－m，＋∞)，y′＞0，原函数单调递增．
所以x＝－m时，函数y取最小值，即mln(－m)－m＝0，解得m＝－e.(4分)
(2) 由题意，得g(x)＝mlnx＋mx2＋(m2＋2)x，
则g′(x)＝＝，(6分)
① 当m≥0时，g′(x)≥0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
② 当m＜0时，由g′(x)＝0，得x＝－或x＝－.
若m＝－，则－＝－，此时g′(x)≤0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减；
若－＜m＜0，则－＜－，由g′(x)＞0，解得x∈，由g′(x)＜0，解得x∈∪，所以函数g(x)在上单调递增，在与上单调递减；
若m＜－，则－＞－，同理可得，函数g(x)在上单调递增，在与上单调递减．
综上所述，g(x)的单调区间如下：
当m≥0时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当m＝－时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜m＜0时，函数g(x)的增区间为，减区间为(0，－)与；
当m＜－时，函数g(x)的增区间为，减区间为与(－，＋∞)．(10分)
(3) m＝符合题意．理由如下：(12分)
此时f(x)＝lnx.
设函数f(x)与h(x)上各有一点A，B，
则f(x)以点A为切点的切线方程为y＝x＋lnx1－，
h(x)以点B为切点的切线方程为y＝x＋，
由两条切线重合，得　(*)(14分)
消去x1，整理得lnx2＝1－，即lnx2－1＋＝0.
令φ(x)＝lnx－1＋，得φ′(x)＝－＝，
所以函数φ(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．
又φ(1)＝0，所以函数φ(x)有唯一零点x＝1，
从而方程组(*)有唯一解即此时函数f(x)与h(x)的图象有且只有一条公切线．
故m＝符合题意．(16分)
20. 解：(1) 由题意，得a1＝m，a2＝2a1＝2m，a3＝a2＋r＝2m＋r，
首先由a3＝a1，得m＋r＝0.(2分)
当m＋r＝0时，因为an＋1＝(k∈N*)，
所以a1＝a3＝…＝m，a2＝a4＝…＝2m，故对任意的n∈N*，数列{an}都满足an＋2＝an.
即当实数m，r满足m＋r＝0时，题意成立．(4分)
(2) 依题意，a2n＋1＝a2n＋r＝2a2n－1＋r，则a2n＋1＋r＝2(a2n－1＋r)，
因为a1＋r＝m＋r，
所以当m＋r≠0时，{a2n＋1＋r}是等比数列，且a2n＋1＋r＝(a1＋r)2n＝(m＋r)2n.
为使{a2n＋1＋p}是等比数列，则p＝r.
同理，当m＋r≠0时，a2n＋2r＝(m＋r)2n，则欲使{a2n＋q}是等比数列，则q＝2r.(8分)
综上所述：
① 若m＋r＝0，则不存在实数p，q，使得{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是等比数列；
② 若m＋r≠0，则当p，q满足q＝2p＝2r时，{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是同一个等比数列．(10分)
(3) 当m＝r＝1时，由(2)可得a2n－1＝2n－1，a2n＝2n＋1－2，
当n＝2k时，an＝a2k＝2k＋1－2，
Sn＝S2k＝(21＋22＋…＋2k)＋(22＋23＋…＋2k＋1)－3k
＝3(2k＋1－k－2)，
所以＝3.
令ck＝，则ck＋1－ck＝－＝＜0，
所以≥，λ≤.(13分)
当n＝2k－1时，an＝a2k－1＝2k－1，
Sn＝S2k－a2k＝3(2k＋1－k－2)－(2k＋1－2)＝2k＋2－3k－4，
所以＝4－，同理可得≥1，λ≤1.
综上所述，实数λ的最大值为1.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 设复数z满足(z＋i)(2＋i)＝5(i为虚数单位)，则z＝____________．
2. 设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，则B∩?UA＝____________．
3. 某地区有高中学校10所、初中学校30所、小学学校60所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校________所．
4. 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点P(1，－2)，则该双曲线的离心率为____________．
(第7题)
5. 函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为____________．
6. 某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为____________．
7. 如图所示的流程图中，输出S的值是____________．
8. 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝3.若点M是BC的中点，则三棱锥MPAD的体积为__________．
9. 已知实数x，y满足则2x＋y的最大值为____________．
10. 已知平面向量a＝(4x，2x)，b＝，x∈R.若a⊥b，则|a－b|＝__________．
11. 已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a2＝，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则的值为__________．
(第12题)
12. 如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为____________．
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是____________．
14. 已知函数f(x)＝若不等式f(x)≥kx对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(B－C)＝1－cosA，且b，a，c成等比数列．求：
(1) sinB·sinC的值；
(2) A的值；
(3) tanB＋tanC的值．
16.(本小题满分14分)
如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，点D，E分别是A1C，AB的中点．
(1) 求证：ED∥平面BB1C1C；
(2) 若AB＝BB1，求证：A1B⊥平面B1CE.
17. (本小题满分14分)
已知等差数列{an}的公差d为整数，且ak＝k2＋2，a2k＝(k＋2)2，其中k为常数且k∈N*.
(1) 求k及an；
(2) 设a1＞1，{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项为1，公比为q(q＞0)，前n项和为Tn.若存在正整数m，使得＝T3，求q.
18. (本小题满分16分)
如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭．现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合)建栈桥．考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部．已知BC＝2OB＝2(km)．设湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2)，∠BOP＝θ.
(1) 求S关于θ的函数关系式；
(2) 试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值；若不存在，说明理由．
19. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率是e，定义直线y＝±为椭圆的“类准线”．已知椭圆C的“类准线”方程为y＝±2，长轴长为4.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上)，过点P作圆O：x2＋y2＝3的切线l，过点O且垂直于OP的直线与l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．
20. (本小题满分16分)
已知a，b为实数，函数f(x)＝ax3－bx.
(1) 当a＝1且b∈[1，3]时，求函数F(x)＝＋2b＋1的最大值M(b)；
(2) 当a＝0，b＝－1时，记h(x)＝.
① 函数h(x)的图象上一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝y(x)，记g(x)＝h(x)－y(x)．问：是否存在x0，使得对于任意x1∈(0，x0)，任意x2∈(x0，＋∞)，都有g(x1)g(x2)＜0恒成立？若存在，求出所有可能的x0组成的集合；若不存在，说明理由；
② 令函数H(x)＝若对任意实数k，总存在实数x0，使得H(x0)＝k成立，求实数s的取值集合．
(五)
1. 2－2i　解析：z＝－i＝2－2i.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识，属于容易题．
2. {2}　解析：?UA＝{2，4}，B＝{2，3}，则B∩?UA＝{2}．本题考查集合相等的概念及集合中元素互异性，属于容易题．
3. 6　解析：×30＝6.本题主要考查分层抽样的概念，属于容易题．
4. 　解析：双曲线－＝1过点P(1，－2) 的渐近线方程为bx＋ay＝0，得b＝2a，则c＝＝a，则离心率为.本题主要考查双曲线的渐近线方程，离心率等概念．本题属于容易题．
5. 　解析：由－x2＋2≤2，即f(x)≤log22＝，函数f(x)的值域为.本题主要考查二次函数的最值，对数的化简．本题属于容易题．
6. 　解析：从5名学生中随机选出3名学生共有10种选法，男女生都有共9种(即去掉选的是3名女生的情况)，则所求的概率为.本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易题．
7. 　解析：k＝1时，S＝－；k＝2时，S＝；k＝3时，S＝3，恢复工厂到初始值；可以发现周期为3，2015中共有671个周期，还余2个数，则输出S的值是.本题考查流程图基础知识，关键把握好每一次循环体的执行情况．本题属于容易题．
8. 　解析：三棱锥MPAD的底面MAD的面积为，高PA＝3，则体积为，本题主要考查锥体的体积公式，属于容易题．
9. 7.5　解析：作出可行域发现最优解为，则目标函数z＝2x＋y的最大值为2.5＋5＝7.5.本题考查线性规划解决最值问题，属于容易题．
10. 2　解析：由4x＋2x－2＝0，得2x＝1，所以x＝0，则a－b＝(0，2)，|a－b|＝2.本题考查了指数方程，向量数量积的坐标运算及模的求法．本题属于容易题．
11. 117　解析：设等比数列{an}的公比为q，由a1＋a2＝，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则q2＋q4＝40，则q＝3，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝＋40，a1＋a2＋a3＋(a1＋a2＋a3)q3＝＋40，得a1＋a2＋a3＝，则＝(a1＋a2＋a3)q6＝××93＝117.本题考查了等比数列中的整体思想求和，属于中等题．
12. 　解析：(解法1)设＝a，＝b，则＝－a＋b，设＝λ，则＝＋＝a＋λb.因为＝ma＋nb，所以有 1－λ＝m，λ＝n，消去λ得m＋n＝1，＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝.(解法2)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建系，则A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)，设＝λ＝(－3λ，4λ)，则＝＋＝(4－3λ，4λ)．因为＝m＋n＝(4m，4n), 所以有 4－3λ＝4m，4λ＝4n，消去λ得m＋n＝1(下同解法1)．本题考查了平面向量的线性表示或坐标运算，利用基本不等式，运用“1”的代换求最值．本题属于中等题．
13. 　解析：设P点坐标为(x，y)，∵ PB＝2PA，∴ PB2＝4PA2，即(x－4)2＋y2－4＝4(x2＋y2－1)，整理得3x2＋3y2＋8x－16＝0.(方法1)该方程表示一个圆，圆心，r＝.因为P点有且只有两个，所以直线和圆相交，故<，解得b∈.(方法2)因为P在直线x＋y－b＝0上，所以y＝－x＋b，代入3x2＋3y2＋8x－16＝0，得4x2＋(8－2b)x＋b2－16＝0.因为P点有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b2＋8b－80<0，所以b∈.本题考查了直线与圆的位置关系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法，其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；方法2用代数方法算方程根的个数．本题属于难题．
14. [－3，e2]　解析：① 当x＝0时，0≥0，所以k∈R.② 当x<0时，2x2－3x≥kx，同除以x，即k≥2x－3恒成立，所以k≥－3.③ 当x>0时，ex＋e2≥kx，同除以x，即k≤恒成立，令g(x)＝，下面只需求出g(x)的最小值．g′(x)＝，令g′(x)＝0，即(x－1)ex－e2＝0.令h(x)＝(x－1)ex－e2，h′(x)＝xex>0，所以h(x)在x∈(0，＋∞)上是单调递增函数．显然x＝2是方程(x－1)ex－e2＝0的根，由单调性可知x＝2是唯一实数根．当x∈(0，2)时g(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，g(x)单调递增，所以g(2)是函数g(x)的最小值，且g(2)＝e2，所以k≤e2.综上，实数k的取值范围是[－3，e2]．本题突出了函数思想和分类讨思想，考查了利用导数求最值和恒成立问题．本题属于难题．
15. 解：(1) 因为A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)．
由cos(B－C)＝1－cosA，得cos(B－C)＝1＋cos(B＋C)，
展开，整理得sinB·sinC＝.(2分)
(2) 因为b，a，c成等比数列，所以a2＝bc.
由正弦定理，得sin2A＝sinBsinC，从而sin2A＝.(6分)
因为A∈(0，π)，所以sinA＝.
因为a边不是最大边，所以A＝.(8分)
(3) 因为B＋C＝π－A＝，
所以cos(B＋C)＝cosBcosC－sinBsinC＝－，
从而cosBcosC＝.(10分)
所以tanB＋tanC＝＋＝(12分)
＝＝－2－.(14分)
16. 证明：(1) 连结AC1，BC1，
因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，
所以D是AC1的中点．(2分)
在△ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点，
所以DE∥BC1.(4分)
因为DE 平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，
所以ED∥平面BB1C1C.(6分)
(2) 因为△ABC是正三角形，E是AB的中点，
所以CE⊥AB.
因为正三棱柱A1B1C1ABC中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交线为AB，所以CE⊥平面ABB1A1.
从而CE⊥A1B.(9分)
在矩形ABB1A1中，因为＝＝，
所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，从而∠B1A1B＝∠BB1E.
因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°，
所以A1B⊥B1E.(12分)
因为CE，B1E平面B1CE，CE∩B1E＝E，
所以A1B⊥平面B1CE.(14分)
17. 解：(1) 由题意，得(2分)
②－①，得d＝4＋.
因为d，k∈N*，所以k＝1，或k＝2.(4分)
当k＝1时，d＝6，代入①，解得a1＝3，所以an＝6n－3.
当k＝2时，d＝5，代入①，解得a1＝1，所以an＝5n－4.(6分)
(2) 因为a1＞1，所以an＝6n－3，从而Sn＝3n2.(7分)
由＝T3，得＝1＋q＋q2，整理，得q2＋q＋1－＝0.(9分)
因为Δ＝1－4≥0，所以m2≤.
因为m∈N*，所以m＝1或m＝2.(11分)
当m＝1时，q＝(舍)，q＝.
当m＝2时，q＝0或q＝－1(均舍去)．
综上所述，q＝.(14分)
18. 解：(1) 在△COP中，CP2＝CO2＋OP2－2CO·OPcosθ＝10－6cosθ，
从而△CDP的面积S△CDP＝CP2＝(5－3cosθ)．
因为△COP的面积S△COP＝OC·OPsinθ＝sinθ，(6分)
所以S＝S△CDP＋S△COP－S扇形OBP
＝(3sinθ－3cosθ－θ)＋，0＜θ≤θ0＜π，cosθ0＝.(9分)
(注：定义域2分．当DP所在直线与半圆相切时，设θ取得最大值θ0，此时在△COP中，OP＝1，OC＝3，∠CPO＝30°，CP＝，由正弦定理得＝6sinθ0，cosθ0＝.)
(2) 存在．
S′＝(3cosθ＋3sinθ－1)，
令S′＝0，得sin＝.(12分)
当0＜θ＜θ0时，S′＞0，所以当θ＝θ0时，S取得最大值．(14分)
(或者：因为0＜θ＜π，所以存在唯一θ0∈，使得sin＝.当0＜θ＜θ0＜π时，S′＞0，所以当θ＝θ0时，S取得最大值．)
此时cos＝－，cosθ0＝cos[(θ0＋)－]＝.(16分)
19. 解：(1) 由题意又a2＝b2＋c2，解得b＝，c＝1，(4分)
所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)
(2) 点A在椭圆C上．证明如下：
设切点为Q(x0，y0)，x0≠0，则x＋y＝3，切线l的方程为x0x＋y0y－3＝0，
当yP＝2时，xP＝，即P，
则kOP＝＝，(7分)
所以kOA＝，直线OA的方程为y＝x.(9分)
由解得
即A(，)．(11分)
因为＋＝
＝＝1，
所以点A的坐标满足椭圆C的方程．(14分)
当yP＝－2时，同理可得点A的坐标满足椭圆C的方程，
所以点A在椭圆C上．(16分)
20. 解：(1) F(x)＝|x2－lnx－b|＋2b＋1，
记t(x)＝x2－lnx，x∈，则t′(x)＝2x－，
令t′(x)＝0，得x＝.(1分)
当＜x＜时，t′(x)＜0，t(x)在上为单调减函数；
当＜x＜2，t′(x)＞0，t(x)在上为单调增函数，
又t＝＋ln2，t(2)＝4－ln2，t＝，且t(2)－t＝－2ln2＞0，
所以t(x)的取值范围为.(3分)
当b∈[1，3]时，记v(t)＝|t－b|＋2b＋1，则
v(t)＝
因为函数v(t)在上单调递减，在(b，4－ln2]上单调递增，
且v＝3b＋，v(4－ln2)＝b＋5－ln2，
v－v(4－ln2)＝2b＋，
所以当b≤时，最大值M(b)＝v(4－ln2)＝b＋5－ln2，
当b＞时，最大值M(b)＝v＝3b＋，
所以M(b)＝(5分)
(2) h(x)＝，
① h′(x)＝，h′(x0)＝，
所以y(x)＝(x－x0)＋y0，
g(x)＝－y0－(x－x0)，g(x0)＝0.(7分)
g′(x)＝－，g′(x0)＝0.
令G(x)＝g′(x)＝－，G′(x)＝，
所以g′(x)在上单调递减，在上单调递增，
若x0＜e，则x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，g(x)＜g(x0)＝0；x∈(x0，e)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)＜g(x0)＝0，不符合题意．
若x0＞e，则x∈时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)＞g(x0)＝0；
x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，g(x)＞g(x0)＝0，不符合题意．
若x0＝e，则x∈时g(x)＜0，x∈时g(x)＞0，符合题意．
综上，存在x0满足要求，且x0的取值集合为{e}．(10分)
② 因为对任意实数k，总存在实数x0，使得H(x0)＝k成立，所以函数y＝H(x)的值域为一切实数．
y＝x在[s，＋∞)上是增函数，其值域为.(11分)
对于函数y＝，y′＝，当x＝e时，y′＝0，
当x＞e时，y′＜0，在(e，＋∞)上为单调减函数，
当0＜x＜e时，y′＞0，在(0，e)上为单调增函数．
若s＞e，则函数y＝在(0，e]上是增函数，在[e，s)上是减函数，其值域为，
又＜，不符合题意，舍去；(13分)
若0＜s≤e，则函数y＝在(0，s)上是增函数，值域为，
由题意得≤，即s2－2elns≤0.　①
记u(s)＝s2－2elns，u′(s)＝2s－＝.
当0＜s＜时，u′(s)＜0，u(s)在(0，)上为单调减函数．
当s＞时，u′(s)＞0，u(s)在(，e)上为单调增函数，
所以，当s＝时，u(s)有最小值u()＝0，从而u(s)≥0恒成立(当且仅当s＝时，u(s)＝0.)　②(15分)
由①②得，u(s)＝0，所以s＝.
综上所述，实数s的取值集合为{}．(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x|x2－2x＜0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝____________．
2. 若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z的虚部为____________．
3. 如图，若输入的x值为，则相应输出的值为________．
(第3题)
　　　　　　(第4题)
4. 某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)、第二组[160，165)、…、第八组[190，195]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示．估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm以上(含180 cm)的人数为____________．
5. 双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为____________．
6. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是________．
7. 已知等比数列{an}满足a2＋2a1＝4，a＝a5，则该数列的前5项和为____________．
8. 已知正四棱锥底面边长为4，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为__________．
9. 已知函数f(x)＝sin(0≤x＜π)，且f(α)＝f(β)＝(α≠β)，则α＋β＝________．
10. 已知m＝(cosα，sinα)，n＝(2，1)，α∈，若m·n＝1，则sin＝__________．
11. 已知a＞b＞1且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为__________．
12. 已知圆O：x2＋y2＝4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为____________．
13. 已知数列{an}中，a1＝a(0＜a≤2)，an＋1＝(n∈N*)，记Sn＝a1＋a2＋…＋an.若Sn＝2 015，则n＝____________．
14. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a|＋|x－2a|－3|a|)．若集合{x|f(x－1)－f(x)＞0，x∈R}＝ ，则实数a的取值范围为____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D.求证：
(1) DE∥平面ABC1；
(2) 平面AB1D⊥平面ABC1.
16. (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx(ω＞0)的周期为π.
(1) 当x∈时，求函数y＝f(x)的值域；
(2) 已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f＝，且a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面积．
17.(本小题满分15分)
如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足＝λ(λ∈R)，PO⊥F2M，O为坐标原点．
(1) 若椭圆方程为＋＝1，且P(2，)，求点M的横坐标；
(2) 若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围．
18. (本小题满分15分)
某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy.
(1) 若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
(2) 为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为S＝lh)
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝(ax2＋x＋2)ex(a＞0)，其中e是自然对数的底数．
(1) 当a＝2时，求f(x)的极值；
(2) 若f(x)在[－2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
(3) 当a＝1时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋4在[t，t＋1]上有解．
20. (本小题满分16分)
若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*)，则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数．
(1) 已知an＝n2，且f(m)＝m2，写出b1，b2，b3；
(2) 已知an＝2n，且f(m)＝m，求{bm}的前m项和Sm；
(3) 已知an＝2n，且f(m)＝Am3(A∈N*)，若数列{bm}中，b1，b2，b5是公差为d(d≠0)的等差数列，且b3＝10，求d的值及A的值．
(八)
1. {1}　解析：A＝{x|0＜x＜2}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝{1}．本题主要考查集合的交集以及简单的一元二次不等式的解法等基础知识．本题属于容易题．
2. 3　解析：z＝2＋3i，则z的虚部为3.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 　解析：由于sin>cos，则y＝cos，所以输出的值为.本题考查了流程图的基础知识以及特殊角的三角函数值．本题属于容易题．
4. 144　解析：由题意知，组距为5，这所学校高三年级全体男生身高180 cm以上(含180 cm)的人数为800×[1－5(0.008＋0.016＋0.08＋0.06)]＝144.本题考查了频率分布直方图基础知识．本题属于容易题．
5. 4　解析：由题意知，焦点(±5，0)到渐近线的距离为b＝4.本题考查了双曲线焦点及渐近线等基础知识．本题属于容易题．
6. 　解析：由从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数共有10种取法，其中2个数的和为偶数共有4种，则所求的概率是.本题考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．
7. 31　解析：由a＝a5，得a1＝1，代入a2＋2a1＝4，则a2＝2，得到公比为2，则该数列的前5项和为1＋2＋4＋8＋16＝31.本题考查了等比数列的通项公式以及求和公式等内容．本题属于容易题．
8. 5　解析：由正四棱锥底面边长为4，则对角线的一半长为4，再由体积公式得四棱锥的高为3，则此四棱锥的侧棱长为5. 本题考查了正四棱锥体积、底面边长与侧棱长的关系．本题属于容易题．
9. 　解析：由f(x)＝sin＝，则2α＋＝，2β＋＝，相加并化简得α＋β＝.本题主要考查了已知三角函数的值求角，此时一定要注意角的范围．本题属于容易题．
10. －　解析：由m·n＝2cosα＋sinα＝1，又cos2α＋sin2α＝1，由α∈，得cosα＝，则sin＝－cos2α＝1－2cos2α＝－.本题主要考查了数量积的坐标运算，同角的三角函数关系，二倍角公式等内容．本题属于中等题．
11. 3　解析：由a＞b＞1，得logab＜1，由2logab＋3logba＝7，得logab＝，即b2＝a，a＋＝a＋－1＋1≥2＋1＝3，则a＋的最小值为3.本题考查了对数的运算，指数与对数的互化，以及基本不等式的运用、代数式的变换．本题属于中等题．
12. ±1　解析：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为 y＝kx＋m (m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由x2＋y2＝4，y＝kx＋m，消去y，得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－4＝0 ，且x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ，故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以·＝＝k2，化简得m2k2＝m2.又m≠0，所以k2＝1，即k＝±1.本题考查了直线与圆的位置关系，以及韦达定理的运用，此方法也同样适用于直线与椭圆的位置关系．本题属于中等题．
13. 1 343　解析：当1≤a≤2时，a1＝a，a2＝3－a≤2，a3＝a.若n为偶数时，即×3＝2 015，无解；若n为奇数时，×3＋a＝2 015，即3n＝4 033－2a，n∈N*，由2≤2a≤4，2a＝4，得n＝1 343.当0＜a≤1时，a1＝a，a2＝3－a＞2，a3＝1－a，a4＝a＋2，a5＝a.同理此时a＝，得n＝1 343.本题考查了数列的和问题，突出分类讨论思想和函数周期思想．本题属于难题．
14. 　解析：∵ {x|f(x－1)－f(x)>0，x∈R}＝ ，∴ f(x－1)－f(x)≤0恒成立，即f(x－1)≤f(x)．
(1) 当a≤0时，当x≥0时，f(x)＝x，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ 函数f(x)是在R上的解析式为f(x)＝x，而f(x－1)是由f(x)向右平移1个单位，则函数f(x)和f(x－1)的图象有下图关系：
通过图象观察，当a≤0时，f(x－1)≤f(x)恒成立；
(2) 当a>0时，当x≥0时，f(x)＝∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ f(x)在R上的图象为(如下图)：
要使f(x－1)≤f(x)，两图象只要满足：
由图知，只要满足－3a＋1≥3a，即0综上可得，当a≤时，f(x－1)≤f(x)恒成立．
本题考查了集合、分段函数、函数的图象与性质、不等式等内容的综合运用，体现了数形结合思想和分类讨论的思想．本题属于难题．
15. 证明：(1) ∵ D、E分别为BC、CC1中点，
∴ DE∥BC1.(2分)
∵ DE 平面ABC1，BC1平面ABC1，
∴ DE∥平面ABC1.(6分)
(2) 直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
∵ AD平面ABC，∴ CC1⊥AD.(8分)
∵ AB＝AC，D为BC中点，∴ AD⊥BC.
∵ CC1∩BC＝C，CC1，BC平面BCC1B1，
∴ AD⊥平面BCC1B1.
∵ BC1平面BCC1B1，∴ AD⊥BC1.(11分)
∵ BC1⊥B1D，B1D∩AD＝D，B1D，AD平面AB1D，
∴ BC1⊥平面AB1D.
∵ BC1平面ABC1，
∴ 平面AB1D⊥平面ABC1.(14分)
16. 解：(1) f(x)＝(1＋cos2ωx)＋sin2ωx＝sin(2ωx＋)＋.(2分)
∵ f(x)的周期为π，且ω>0，
∴ ＝π，解得ω＝1，
∴ f(x)＝sin＋.(4分)
又0≤x≤， 得≤2x＋≤π，－≤sin(2x＋)≤1，0≤sin＋≤＋1，即函数y＝f(x)在x∈上的值域为.(7分)
(2) ∵ f＝，∴ sin＝.
由A∈(0，π)，知∴ A＝.(9分)
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝b2＋c2－bc，
∴ 16＝(b＋c)2－3bc.
∵ b＋c＝5，∴ bc＝3，(12分)
∴ S△ABC＝bcsinA＝.(14分)
17. 解：(1) ∵ ＋＝1，
∴ F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴ kOP＝，kF2M＝－，kF1M＝，
∴ 直线F2M的方程为y＝－(x－2)，直线F1M的方程为y＝(x＋2)．(4分)
由解得x＝，
∴ 点M的横坐标为.(6分)
(2) 设P(x0，y0)，M(xM，yM)，
∵ ＝2，
∴ ＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，
∴ M，＝.
∵ PO⊥F2M，＝(x0，y0)，
∴ x0＋y＝0，即x＋y＝2cx0.(9分)
联立方程得消去y0得c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0，
解得x0＝或 x0＝.(12分)
∵ －a∴ x0＝∈(0，a)，
∴ 0.
综上，椭圆离心率e的取值范围为.(15分)
18. 解：(1)设抛物线的方程为y＝－ax2(a>0)，则抛物线过点，
代入抛物线方程解得a＝，(3分)
令y＝－6，解得x＝±20，则隧道设计的拱宽l是40米．(5分)
(2) 抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点，代入抛物线方程得a＝.
令y＝－h，则－x2＝－h，解得x2＝，
则＝，h＝.(9分)
∵ h≥6，∴ ≥6，即20＜l≤40，
∴ S＝lh＝l·＝(20＜l≤40)．(12分)
∴ S′＝＝＝.
当20＜l＜20时，S′<0；当20＜l≤40时，S′＞0，即S在(20，20)上单调递减，在(20，40]上单调递增，
∴ S在l＝20时取得最小值，此时l＝20，h＝.
答：当拱高为米，拱宽为20米时，使得隧道口截面面积最小．(15分)
19. 解：(1) f(x)＝(2x2＋x＋2)ex，则f′(x)＝(2x2＋5x＋3)ex＝(x＋1)(2x＋3)ex.(2分)
令f′(x)＝0 ，解得x＝－1，－.
x
(－∞，－)
－
(－，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增
极大值
减
极小值
增
∴ f(x)极大值＝f＝5e－ ，f(x)极小值＝f(－1)＝3e－1.(4分)
(2) 问题转化为f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋3]ex≥0在x∈[－2，2]上恒成立；
又ex>0，即ax2＋(2a＋1)x＋3≥0在x∈[－2，2]上恒成立；(6分)
令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋3.
∵ a＞0，对称轴x＝－1－＜0.
① 当－1－≤－2，即0＜a≤时，g(x)在[－2，2]上单调增，
∴ g(x)min＝g(－2)＝1＞0，∴ 0＜a≤.(8分)
② 当－2＜－1－＜0，即a>时，g(x)在上单调减，在上单调增，
∴ Δ＝(2a＋1)2－12a≤0，解得1－≤a≤1＋，
∴ ＜a≤1＋.
综上，a的取值范围是.(10分)
(3) ∵ a＝1，设h(x)＝(x2＋x＋2)ex－x－4，h′(x)＝(x2＋3x＋3)ex－1，
令φ(x)＝(x2＋3x＋3)ex－1，φ′(x)＝(x2＋5x＋6)ex，
令φ′(x)＝(x2＋5x＋6)ex＝0，得x＝－2，－3.
x
(－∞，－3)
－3
(－3，－2)
－2
(－2，＋∞)
φ′(x)
＋
0
－
0
＋
φ(x)
增
极大值
减
极小值
增
∴ φ(x)极大值＝φ(－3)＝－1<0，φ(x)极小值＝φ(－2)＝－1<0.(13分)
∵ φ(－1)＝－1<0，φ(0)＝2>0，
∴ 存在x0∈(－1，0)，x∈(－∞，x0)时φ(x)<0，x∈(x0，＋∞)时φ(x)>0，
∴ h(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．
∵ h(－4)＝>0，h(－3)＝－1<0，h(0)＝－2<0，h(1)＝4e－5>0，
由零点的存在性定理可知：h(x)＝0的根x1∈(－4，－3)，x2∈(0，1)，即t＝－4，0.(16分)
20. 解：(1) m＝1，则a1＝1≤1，∴ b1＝1；m＝2，则a1＝1<4，a2＝4≤4，∴ b2＝2；
m＝3，则a1＝1<9，a2＝4<9，a3＝9≤9，∴ b3＝3.(3分)
(2) m为偶数时，则2n≤m，则bm＝；m为奇数时，则2n≤m－1，则bm＝；
∴ bm＝(5分)
m为偶数时，则Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝(1＋2＋…＋m)－×＝；
m为奇数时，则Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝Sm＋1－bm＋1＝－＝.
∴ Sm＝(8分)
(3) 依题意：an＝2n，f(1)＝A，f(2)＝8A，f(5)＝125A，
设b1＝t，即数列{an}中，不超过A的项恰有t项，∴ 2t≤A＜2t＋1.
同理：2t＋d≤8A＜2t＋d＋1，2t＋2d≤125A＜2t＋2d＋1，
即故max≤A＜min.
由得d<4.∵ d为正整数，∴ d＝1，2，3.(10分)
当d＝1时，max＝max＝2t，
min＝min＝<2t 不合题意，舍去；
当d＝2时，max＝max＝2t，
min＝min＝<2t 不合题意，舍去；
当d＝3时，max＝max＝2t ，
min＝min＝>2t适合题意，(12分)
此时2t≤A＜×2t，b1＝t，b2＝t＋3，b5＝t＋6，∴ t＋3≤b3≤t＋6.
∵ b3＝10，∴ 4≤t≤7.∵ t为整数，∴ t＝4，t＝5，t＝6或t＝7.
∵ f(3)＝27A，b3＝10，∴ 210≤27A＜211，∴ ≤A＜.(14分)
当t＝4时，24≤A＜，∴ 无解．
当t＝5时，25≤A＜，∴ 无解．
当t＝6时，26≤A＜，∴ 64≤A＜.
当t＝7时，27≤A<，∴ 无解．
∴ 26≤A＜.
∵ A∈N*，∴ A＝64或A＝65.
综上：d＝3，A＝64或65.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 若全集为U＝R，A＝{x|x2－x＞0}，则?UA＝____________．
2. i为虚数单位，计算＝____________．
3. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为____________．
(第5题)
4. 已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最小值是________．
5. 阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是____________．
6. 已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，0)，则|2a＋b|＝______________．
7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)＜0的解集是____________．
8. 设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：
① 若bα，c∥α，则b∥c；② 若bα，b∥c，则c∥α；
③ 若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④ 若c∥α，c⊥β，则α⊥β.
其中正确的命题是__________．(填序号)
9. 以抛物线y2＝4x的焦点为焦点，以直线y＝±x为渐近线的双曲线标准方程为____________．
10. 一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为 cm，则圆锥的体积是____________ cm3.
11. 函数y＝asin(ax＋θ)(a＞0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为____________．
12. Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝____________．
13. 函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为____________．
14. 由sin36°＝cos54°，可求得cos2 016°的值为____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，四棱锥PABCD中，PD＝PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点．求证：
(1) AM∥平面PBC；
(2) CD⊥PA.
16.(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量m＝(a－c，b＋c)，n＝(b－c，a)，且m∥n.
(1) 求B；
(2) 若b＝，cos＝，求a.
17. (本小题满分14分)
如图，某工业园区是半径为10 km的圆形区域，离园区中心O点5 km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．
(1) 设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；
(2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．
18. (本小题满分16分)
已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左顶点为A(－3，0)，圆心在原点的圆O与椭圆的内接△AEF的三条边都相切．
(1) 求椭圆方程；
(2) 求圆O方程；
(3) B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．
19. (本小题满分16分)
已知数列{an}的各项都为自然数，前n项和为Sn，且存在整数λ，使得对任意正整数n都有Sn＝(1＋λ)an－λ恒成立．
(1) 求λ值，使得数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2) 若数列{an}为等比数列，此时存在正整数k，当1≤k＜j时，有i＝2 016，求k.
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2a＋1]ex.
(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 设x＞0，2a∈[3，m＋1]，f(x)≥b2a－1e恒成立，求正数b的范围．
(六)
1. [0，1]　解析：?UA＝{x|x2－x≤0}＝[0，1]．本题考查集合补集的概念及一元二次不等式的解法，属于容易题．
2. －i　解析：＝＝－i.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识，属于容易题．
3. 　解析：由5只球中一次摸出2只球，共有10种摸法，摸到的2只球颜色不同的摸法共有6种，则所求的概率为.本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易题．
4. 1　解析：作出可行域发现最优解为(1，－1)，则目标函数z＝2x＋y的最小值为1.本题考查线性规划解决最值问题，属于容易题．
5. 240　解析：n＝30时，S＝30；n＝28时，S＝30＋28；n＝26时，S＝30＋28＋26；以此类推，n＝2时，S＝30＋28＋26＋……＋2＝240.本题考查流程图基础知识，关键是把握好每一次循环体的执行情况．本题属于容易题．
6. 　解析：2a＋b＝(－3，2)，则|2a＋b|＝.本题考查向量的坐标运算，以及利用平方法求模. 本题属于容易题．
7. (－2，0)∪(2，＋∞)　解析：由x＞0时，f(x)＝1－log2x，则作出图象，再由f(x)是定义在R上的奇函数，利用对称性作出x＜0的图象，由图象可得不等式f(x)＜0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞) .本题考查函数的奇偶性，对数函数的图象变换．本题属于容易题．
8. ④　解析：①中b与c可以异面；②中c可以在平面α内；③中c可以与平面β平行. 本题考查线面平行、垂直的性质与判定，属于容易题．
9. －＝1　解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，即c＝1；以直线y＝±x为渐近线的双曲线标准方程设为－＝1，则λ＋λ＝c2＝1，得λ＝.双曲线标准方程为－＝1.本题考查双曲线标准方程、焦点、渐近线等内容，属于容易题．
10. 3π　解析：由侧面积等于底面面积的2倍，得2×3π＝R×2π×，得R＝2，由勾股定理得圆锥的高为3，则圆锥的体积是×3×3π＝3π cm3.本题考查圆锥的高、底面面积、侧面积等内容，以及圆锥的体积公式．本题属于容易题．
11. 2　解析：函数的周期T为，则＝，最高点和其相邻最低点的距离为2 ＝≥＝2.本题考查三角函数的周期、基本不等式求最值等内容．本题属于中等题．
12. 　解析：设Sn＝kn(n＋1)，S2n＝2kn(2n＋1)＝4kn2＋2kn符合题意，则a3＝S3－S2＝12k－6k＝6k，a5＝S5－S4＝30k－20k＝10k，则＝.本题考查等差数列求和公式特征，以及Sn与an之间的关系．本题属于中等题．
13. ∪(1，＋∞)　解析：画图，y2＝kx－k过定点(1，0)，找到临界(－0.5，0.5)和(1，0)连线斜率－与临界f′(1)＝1.由图象知实数k的取值范围为∪(1，＋∞)．本题考查了分段函数、函数的零点问题以及导数问题，利用数形结合思想求参数范围．本题属于难题．
14. －　解析：cos2 016°＝－cos36°，又sin36°＝cos54°，2sin18°cos18°＝cos18°－4sin218°cos18°，4sin218°＋2sin18°－1＝0，sin18°＝，则cos2 016°＝－cos36°＝2sin218°－1＝－.本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式、以及利用二倍角公式推导三倍角公式：cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos2α－1)cosα－2cosαsin2α＝2cos3α－cosα－(2cosα－2cos3α)＝4cos3α－3cosα＝cosα－4sin2αcosα.本题属于难题．
15. 证明：(1) 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点，所以AB∥CM，且AB＝CM，所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形．(3分)
所以AM∥BC.(4分)
又BC平面PBC，AM是平面PBC外一条直线，(6分)
故AM∥平面PBC.(7分)
(2) 连结PM，因为PD＝PC，点M是CD的中点，
所以CD⊥PM.(8分)
因为四边形ABCM是矩形，所以CD⊥AM.(9分)
又PM平面PAM，AM平面PAM，PM∩MA＝M，(11分)
所以CD⊥平面PAM.(12分)
又AP平面PAM，所以CD⊥PA.(14分)
16. 解：(1) 因为m∥n，所以a2＋c2－b2＝ac.(2分)
因为cosB＝＝＝，B∈(0，π)，(5分)
故B＝.(6分)
(2) 因为A＋∈，cos＝，(8分)
所以sin＝，(9分)
所以sinA＝sin＝.(11分)
在△ABC中，由正弦定理可得＝，解得a＝1.(14分)
17. 解：(1) 如图1，作OH⊥AB，设垂足为H，记OH＝d，α＝2∠AOH，(1分)
图1
因为cos∠AOH＝，要使α有最小值，只需要d有最大值，结合图象可得d≤OP＝5 km，(3分)
当且仅当AB⊥OP时，dmax＝5 km.
此时αmin＝2∠AOH＝2×＝.(4分)
设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S，
根据题意可得S＝f(α)＝S扇形－S△AOB＝50(α－sinα)，(6分)
f′(α)＝50(1－cosα)≥0恒成立，f(α)为增函数，(7分)
所以Smin＝f＝50 km2.(8分)
答：视角的最小值是，较小区域面积的最小值是50 km2.(9分)
图2
(2) 如图2，过O分别作OH⊥AB，OH1⊥CD，垂足分别是H，H1，
记OH＝d1，OH1＝d2，由(1)可知
d1∈[0，5]，
所以d＋d＝OP2＝25，且
d＝25－d.(10分)
因为AB＝2，CD＝2，
所以AB＋CD＝2(＋)
＝2(＋)，(11分)
记L(d1)＝AB＋CD＝2(＋)，
可得L2(d1)＝4[175＋2]，(12分)
由d∈[0，25]，可得d＝0，或d＝25时，L2(d1)的最小值是100(7＋4)，
从而AB＋CD的最小值是20＋10 km.(13分)
答：两条公路长度和的最小值是20＋10 km.(14分)
18. 解：(1) 由题意可知＝，a＝3，得c＝，(2分)
因为a2＝b2＋c2，所以b2＝，故椭圆的标准方程是＋＝1.(4分)
(2) 设直线AE的方程：y＝k(x＋3)，点E(x1，y1)，
由可得(4k2＋1)x2＋24k2x＋36k2－9＝0.(5分)
因为－3＋x1＝－，得x1＝，代入直线y＝k(x＋3)，得y1＝，所以E.(7分)
同理可得F.(8分)
根据条件可知圆心O到直线AE的距离等于圆心O到直线EF的距离．
可得＝||＝r，解之得k2＝，(9分)
从而r2＝1，所以圆O的方程为x2＋y2＝1.(10分)
(3) 设直线BM的方程为y＝kx＋，因为直线BM与圆O相切，所以d＝r，解得k＝±.(11分)
当k＝，lBM：y＝x＋，
由可得x2＋x＝0，所以M(－，－1)．(13分)
同理可得N(，－1)，(14分)
可得直线MN方程是y＝－1，(15分)
直线MN与圆O的位置关系是相切．(16分)
19. 解：(1) (解法1)因为Sn＝(1＋λ)an－λ，　①
所以Sn＋1＝(1＋λ)an＋1－λ.　②
②－①得λan＋1＝(1＋λ)an，　③(2分)
当λ＝0时，an＝0，数列{an}是等差数列．(4分)
当λ≠0时，a1＝(1＋λ)a1－λ，a1＝1，且an＋1－an＝an，　④
要使数列{an}是等差数列，则④式右边an为常数，即an＋1＝an为常数，
④式左边an＋1－an＝0，an＝0，又a1＝1，矛盾！(6分)
综上可得：λ＝0时，数列{an}为等差数列，且an＝0.(7分)
(解法2)若数列{an}是等差数列，必有2a2＝a1＋a3，
当λ＝0时，a1＝a2＝a3＝0，满足2a2＝a1＋a3，(1分)
此时Sn＝an，从而Sn＋1＝an＋1，(3分)
故an＝0.(4分)
当λ≠0时，a1＝1，a2＝1＋，a3＝，(5分)
由2a2＝a1＋a3，得2＝1＋，该方程无解．(6分)
综上可得：λ＝0时，数列{an}为等差数列，其中an＝0.(7分)
(2) 由(1)可得：当λ＝0时，不是等比数列，(8分)
当λ＝－1时，由①得Sn＝1，则a1＝S1＝1，
an＝Sn－Sn－1＝0(n≥2)，不是等比数列．(9分)
当λ≠0，且λ≠－1时，得＝1＋，{an}为公比是q＝1＋的等比数列．(10分)
又对任意n，an∈N，则q＝1＋∈N，故仅有λ＝1，q＝2时，满足题意．
又由(1)得a1＝1，故an＝2n－1.(11分)
因为i＝＝2 016，
所以2k－1(2j－k＋1－1)＝2 016＝25×32×7，(13分)
j－k＋1≥2，2j－k＋1－1为大于1的奇数，2k－1＝25，k＝6，(15分)
则2j－5－1＝32×7，2j－5＝64，j＝11，故仅存在k＝6时，j＝11，i＝2 016.(16分)
20. 解：(1) f′(x)＝(ax2－x)ex＝x(ax－1)ex.
若a＝0，则f′(x)＝－xex，令f′(x)＞0，则x＜0；令f′(x)＜0，则x＞0；
若a＜0，由f′(x)＞0，得＜x＜0；由f′(x)＜0，得＞x或0＜x；
若a＞0，由f′(x)＜0，得0＜x＜；由f′(x)＞0，得x＞或x＜0.
综上可得：当a＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)；(3分)
当a＜0时，函数f(x)的增区间是，减区间是(0，＋∞)，；(5分)
当a＞0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，，减区间是.(7分)
(2) 因为2a∈[3，m＋1]，由(1)x∈(0，＋∞)上函数f(x)的最小值是f.
因为f(x)≥b2a－1e恒成立，所以f≥b2a－1e恒成立，(8分)
所以e(2a－1)≥b2a－1e恒成立，即2a－1≥b2a－1恒成立．(9分)
由2a∈[3，m＋1]，令2a－1＝t∈[2，m]，则t≥bt，所以lnb≤＝g(t)．(10分)
由g′(t)＝，可知函数g(t)在(0，e)上递增；(e，＋∞)上递减，且g(2)＝g(4)．(11分)
当2＜m≤4时，g(t)min＝g(2)＝，从而lnb≤，解得0＜b≤；(13分)
当m＞4时，g(t)min＝g(m)＝，从而lnb≤，解得0＜b≤m.(15分)
故：当2＜m≤4时，0＜b≤；当m＞4时，0＜b≤m.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为底面积，h为高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1，2，5}，则A∩B＝________．
2. 已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________．
3. 书架上有3本数学书，2本物理书．若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________．
4. 运行如图所示的伪代码，其结果为________．
　S←1
For I From 1 To 7 Step 2
　S←S＋I
End For
Print S
5. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________．
6. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为________．
7. 已知实数x，y满足则目标函数z＝x－y的最小值为________．
8. 若一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________．
9. 在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cosB＝，则边c＝________．
10. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________．
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·的值为________．
12. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(－4，0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A、B两点．若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为____________．
13. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝2x＋，设g(x)＝若函数y＝g(x)－t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是________．
14. 设函数y＝的图象上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1) 求函数y＝f(x)的解析式；
(2) 当x∈时，求f(x)的取值范围．
16.(本小题满分14分)
如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心，∠ACB＝，M是棱BC的中点．求证：
(1) OM∥平面ABB1A1；
(2) 平面ABC1⊥平面A1BC.
17. (本小题满分14分)
如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16 km处，直线AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)：① 垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；② 垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大)．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30 t和50 t，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？
18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r>0)作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.
(1) 若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2) 若r＝.
① 求证：k1k2＝－；
② 求OP·OQ的最大值．
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝的图象在x＝0处的切线方程为y＝x，其中e是自然对数的底数．
(1) 求实数a的值；
(2) 若对任意的x∈(0，2)，都有f(x)＜成立，求实数k的取值范围；
(3) 若函数g(x)＝lnf(x)－b(b∈R)的两个零点为x1，x2，试判断g′的正负，并说明理由．
20. (本小题满分16分)
设数列{an}共有m(m∈N，m≥3)项，记该数列前i项a1，a2，…，ai中的最大项为Ai，该数列后m－i 项ai＋1，ai＋2，…，am中的最小项为Bi，ri＝Ai－Bi(i＝1，2，3，…，m－1)．
(1) 若数列{an}的通项公式为an＝2n，求数列{ri}的通项公式；
(2) 若数列{an}是单调数列，且满足a1＝1，ri＝－2，求数列{an}的通项公式；
(3) 试构造一个数列{an}，满足an＝bn＋cn，其中{bn}是公差不为零的等差数列，{cn}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m(m∈N，m≥3)，数列{ri}都是单调递增的，并说明理由
(十)
1. {－1}　解析：由A＝{－1，1}，B＝{－1，2，5}，则A∩B＝{－1}．本题考查了集合交集的概念，属于容易题．
2. 　解析：z＝＝＋i，|z|＝＝.本题主要考查复数的模的概念及除法运算等基础知识，属于容易题．
3. 　解析：基本事件数共10种，取出的2本书都是数学书的事件有(数1，数2)，(数1，数3)，(数2，数3)，共3种，则取出的2本书都是数学书的概率为.本题考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．
4. 17　解析：由题设伪代码的循环体执行如下：S＝1＋1＋3＋5＋7＝17.本题考查伪代码的基础知识，属于容易题．
5. 17　解析：360×＝18人，则从高三年级学生中抽取的人数为55－20－18＝17.本题主要考查分层抽样的概念，属于容易题．
6. 　解析：由题设知抛物线的方程为y2＝2px，将P(1，3) 代入y2＝2px，得p＝，即抛物线焦点到准线的距离为p，即为.本题主要考查抛物线的方程，以及p的几何意义，属于容易题．
7. －3　解析：画出可行域发现z＝x－y过点(1，4)时，z＝x－y 取得最小值－3.本题主要考查简单的线性规划问题．本题属于容易题．
8. 2　解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为8，该正方体的棱长为2.本题主要考查简单的几何体的体积问题，属于容易题．
9. 7　解析：由cosB＝，得sinB＝，则sinC＝sin(A＋B)＝，由正弦定理得＝，得c＝7.本题主要考查和差角公式，以及利用正弦定理解三角形．本题属于中等题．
10. 20　解析：an＞0，前n项和Sn＞0, S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，S9－S6＝(S6－S3)2/S3＝(S6－2S3＋S3)2/S3＝(5＋S3)2/S3＝(S＋10S3＋25)/S3＝S3＋ 25/S3＋ 10，由均值不等式得：当且仅当S3＝5时，S3＋25/S3有最小值5＋5＝10，此时S3＋25/S3 ＋10有最小值10＋10＝20，则S9－S6的最小值为20.本题主要考查等比数列的性质以及基本不等式．本题属于中等题．
11. －2　解析：由AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，利用余弦定理得BC＝2，·＝·＝·＋·，而由利用余弦定理知cosB＝，可得·＝－2.本题主要考查余弦定理和向量的数量积问题．本题属于中等题．
12. x±3y＋4＝0　解析：由设AB的中点为H，连接AC，HC，设HC＝y，AH＝x，则由勾股定理得：，得，所以tanHPC=，则k=，直线l过点P(－4，0)，则直线l的方程为x±3y＋4＝0. 本题主要考查垂径定理，勾股定理，斜率与倾斜角的关系．本题属于中等题．
13. 　解析：f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝2x＋，由f(0)＝0，得m＝－1，作出y＝g(x)的图象，再作直线y＝t，可以发现当t∈时，y＝g(x)的图象与直线y＝t有且只有一个交点，即函数y＝g(x)－t有且只有一个零点，所以实数t的取值范围是.本题突出了函数思想和分类讨论思想，考查了利用导数求最值和恒成立问题．本题属于难题．
14. 　解析：不妨设点P在y轴左侧，Q在y轴右侧，P一定在y＝－x3＋x2上．① 若Q在y＝－x3＋x2上，设Q(x，－x3＋x2)，则P(－x，x3＋x2)，OP⊥OQ，·＝－x2＋(x3＋x2)(x2－x3)＝0，所以x4－x2＋1＝0，无解．② 若Q在y＝alnx上，设Q(x，alnx)(x≥e)，则P(－x，x3＋x2)，OP⊥OQ，·＝－x2＋alnx(x3＋x2)＝0，化简得alnx(x＋1)＝1.因为a≠0，所以lnx(x＋1)＝.设f(x)＝lnx(x＋1)(x≥e)，f′(x)＝lnx＋＋1，x≥e时，f′(x)>0恒成立，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(e)，即lnx(x＋1)≥e＋1，所以≥e＋1，即0＜a≤.本题突出了函数思想和分类讨论思想，考查了向量数量积处理垂直问题、利用导数求最值问题．本题属于难题．
15. 解：(1) 由图象知，A＝2，(2分)
又＝－＝，ω＞0，所以T＝2π＝，得ω＝1.(4分)
所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又－＜φ＜，所以φ＝.(6分)
所以f(x)＝2sin.(8分)
(2) 当x∈时，x＋∈，(10分)
所以sin∈，即f(x)∈[－，2]．(14分)
16. 证明：(1) 在△A1BC中，因为O是A1C的中点，M是BC的中点，所以OM∥A1B.(4分)
又OM 平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，所以OM∥平面ABB1A1.(6分)
(2) 因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥BC.
又∠ACB＝，即BC⊥AC，而CC1，AC平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.(8分)
而AC1平面ACC1A1，所以BC⊥AC1.
又ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.而BC，A1C平面A1BC，且BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.(12分)
又AC1平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面A1BC.(14分)
17. 解：(解法1)由条件①，得＝＝.(2分)
设PA＝5x，PB＝3x，则
cos∠PAB＝＝＋，(6分)
所以点P到直线AB的距离
h＝PAsin∠PAB＝5x·
＝＝，(10分)
所以当x2＝34，即x＝时，h取得最大值15 km，
即选址应满足PA＝5 km，PB＝3 km.(14分)
(解法2) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．(2分)
则A(－8，0)，B(8，0)．
由条件①，得＝＝.(4分)
设P(x，y)(y＞0)，则3＝5，
化简，得(x－17)2＋y2＝152(y＞0)，(10分)
即点P的轨迹是以点(17，0)为圆心，15为半径的位于x轴上方的半圆．则当x＝17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15 km.
所以点P的选址应满足在上述坐标系中且坐标为(17，15)．(14分)
18. (1) 解：因为椭圆C右焦点的坐标为(，0)，所以圆心M的坐标为，(2分)
从而圆M的方程为(x－)2＋＝.(4分)
(2) ① 证明：因为圆M与直线OP：y＝k1x相切，所以＝，即(4－5x)k＋10x0y0k1＋4－5y＝0，(6分)
同理，有(4－5x)k＋10x0y0k2＋4－5y＝0，
所以k1，k2是方程(4－5x)k2＋10x0y0k＋4－5y＝0的两根，(8分)
从而k1k2＝＝＝＝－.(10分)
② 解：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，联立解得x＝，y＝，(12分)
同理，x＝，y＝，
所以OP2·OQ2＝·＝·＝·(14分)
≤＝，当且仅当k1＝±时取等号．所以OP·OQ的最大值为.(16分)
19. 解：(1) 由题意得f′(x)＝，因函数在x＝0处的切线方程为y＝x，所以f′(0)＝＝1，得a＝1.(4分)
(2) 由(1)知f(x)＝＜对任意x∈(0，2)都成立，所以k＋2x－x2＞0，即k＞x2－2x对任意x∈(0，2)都成立，从而k≥0.(6分)
又不等式整理可得k＜＋x2－2x，令g(x)＝＋x2－2x，
所以g′(x)＝＋2(x－1)＝(x－1)＝0，得x＝1，(8分)
当x∈(1，2)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1，2)上单调递增，
同理，函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以k＜g(x)min＝g(1)＝e－1.
综上所述，实数k的取值范围是[0，e－1)．(10分)
(3) 结论是g′＜0.(11分)
证明：由题意知函数g(x)＝lnx－x－b，所以g′(x)＝－1＝，
易得函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以只需证明＞1即可．(12分)
因为x1，x2是函数g(x)的两个零点，所以相减得x2－x1＝ln.
不妨令＝t＞1，则x2＝tx1，则tx1－x1＝lnt，所以x1＝lnt，x2＝lnt，
即证lnt>2，即证φ(t)＝lnt－2·>0.(14分)
因为φ′(t)＝－＝>0，所以φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t)>φ(1)＝0.
综上所述，函数g(x)总满足g′<0成立．(16分)
20. 解：(1) 因为an＝2n单调递增，所以Ai＝2i，Bi＝2i＋1，
所以ri＝2i－2i＋1＝－2i，1≤i≤m－1.(4分)
(2) 若{an}单调递减，则Ai＝a1＝1，Bi＝am，所以ri＝a1－am>0，不满足ri＝－2，所以{an}单调递增．(6分)
则Ai＝ai，Bi＝ai＋1，所以ri＝ai－ai＋1＝－2，即ai＋1－ai＝2，1≤i≤m－1，
所以{an}是公差为2的等差数列，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，1≤n≤m－1.(10分)
(3) 构造an＝n－，其中bn＝n，cn＝－.(12分)
下证数列{an}满足题意．
证明：因为an＝n－，所以数列{an}单调递增，
所以Ai＝ai＝i－，Bi＝ai＋1＝i＋1－，(14分)
所以ri＝ai－ai＋1＝－1－，1≤i≤m－1.
因为ri＋1－ri＝－
＝>0，
所以数列{ri}单调递增，满足题意．(16分)
(说明：等差数列{bn}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{cn}的首项c1为负，公比q∈(0，1)，这样构造的数列{an}都满足题意．)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面面积，h为高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{－1，0，1}，则A∩B＝____________．
2. 若复数z＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)满足|z|＝3，则a的值为____________．
3. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是____________．
4. 根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S为__________．
　S←0
　I←1
While S≤10
　S←S＋I2
　I←I＋1
End While
Print S
(第4题)　　　(第5题)
5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10 000户家庭的月消费金额(单位：元)，所有数据均在区间[0，4 500]上，其频率分布直方图如上图所示，则被调查的10 000户家庭中，有__________户月消费额在1 000元以下．
6. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6的值为______________．
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)过点P(1，1)，其一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的方程为____________．
8. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1ADE的体积为__________．
9. 若函数f(x)＝(a，b∈R)为奇函数，则f(a＋b)的值为____________．
10. 已知sin＝，则sin＋sin2的值为____________．
11. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(4，0)．若直线x－y＋m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是____________．
12. 已知边长为6的正三角形ABC，＝，＝，AD与BE交于点P，则·的值为____________．
13. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x＞0)和y＝x3(x＞0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值为____________．
14. 已知函数f(x)＝2ax2＋3b(a，b∈R)．若对于任意x∈[－1，1]，都有|f(x)|≤1成立，则ab的最大值是____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab.
(1) 求角C的大小；
(2) 若c＝2acosB，b＝2，求△ABC的面积．
16.(本小题满分14分)
如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：
(1) BE⊥AC；
(2) BE∥平面ACD1.
17. (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点A(2，1)，离心率为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．
18. (本小题满分16分)
如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1 km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上)，T为切点．
(1) 按下列要求建立函数关系：
① 设∠OPQ＝α(rad)，将△OPQ的面积S表示为α的函数；
② 设OQ＝t(km)，将△OPQ的面积S表示为t的函数；
(2) 请你选用(1)中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝a＋lnx(a∈R)．
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．
20. (本小题满分16分)
若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．
(1) 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.
① 求{an}的通项公式；
② 试判断{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
(2) 已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z(n∈N*)．求证：{an}为“等比源数列”.
(十一)
1. {0，1}　解析：由－1?A，0∈A，1∈A，则A∩B＝{0，1}．本题考查了集合交集的概念，属于容易题．
2. ±　解析：|z|＝＝3，则a＝±.本题主要考查复数的模的概念，属于容易题．
3. 　解析：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数的基本事件数共6种，只有(1，3)两个数的积为奇数，其他5种情况均为偶数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是.本题考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．
4. 14　解析：由题设伪代码的循环体执行如下：S＝12＋22＋32＝14.本题考查伪代码的基础知识，属于容易题．
5. 750　解析：月消费额在1 000元以下的频率为0.000 15，组距为500，总户数为10 000，则所求的户数为10 000×500×0.000 15＝750.本题考查频率分布直方图的基础知识．本题属于容易题．
6. 63　解析：在等比数列{an}中，由S2，S4 －S2，S6－S4成等比数列，可得S6的值为63.本题考查等比数列的性质，属于容易题．
7. 2x2－y2＝1　解析：由渐近线方程y＝x，可得b＝a，再将点P(1，1)代入方程可得a2＝，b2＝1，则该双曲线的方程为2x2－y2＝1.本题考查双曲线的方程及其渐近线方程等基础知识，属于容易题．
8. 　解析：三棱锥B1ADE的体积＝三棱锥DB1AE的体积＝×1××1×＝.本题考查三棱锥的体积求法，涉及变换顶点等基础知识．本题属于容易题．
9. －1　解析：函数f(x)为奇函数，由对称性知b＝2，a＝－1，f(a＋b)＝f(1)＝－1. 本题考查函数的奇偶性、对称性等知识，属于容易题．
10. 　解析：由诱导公式得sin＝－sin＝－，sin2＝cos2＝，则sin＋sin2＝－＝.本题考查三角函数诱导公式，同角三角函数的关系等知识．本题属于容易题．
11. [－2，2]　解析：设点P(x，x＋m)，由PA＝PB，得2x2＋2mx＋m2－4＝0，则Δ＝32－4m2≥0，则实数m的取值范围是[－2，2]．本题考查两点间的距离公式，判别式法，以及一元二次不等式解法等知识．本题属于中等题．
12. 　解析：以D点为坐标原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，则B(－3，0)，C(3，0)，A(0，3)，E(1，2)，P，则·的值为.本题考查向量的数量积，以及坐标运算，属于中等题．
13. 　解析：以设直线l的斜率为k，则k＝2x1＝3x＝，解之得x1＝，x2＝，则＝.本题考查导数的几何意义，以及两点的斜率公式．本题属于中等题．
14. 　解析：当a＝0时，ab＝0；当a＞0时，f(1)＝2a＋3b≤1，f(0)＝3b≥－1，则ab≤a(1－2a)≤；当a＜0时，f(1)＝2a＋3b≥－1, f(0)＝3b≤1，则ab≤－a(1＋2a)≤.综上，ab的最大值是.本题考查函数图象与最值，不等式，以及分类讨论思想的应用．本题属于难题．
15. 解：(1) 在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得＝－，即cosC＝－.(3分)
因为0＜C＜π，所以C＝.(6分)
(2) (解法1)因为c＝2acosB，由正弦定理，得sinC＝2sinAcosB.(8分)
因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)，
所以sin(A＋B)＝2sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.(10分)
又－＜A－B＜，
所以A－B＝0，即A＝B，所以a＝b＝2.(12分)
所以△ABC的面积为S△ABC＝absinC＝×2×2×sin＝.(14分)
(解法2)由c＝2acosB及余弦定理，得c＝2a×，(8分)
化简得a＝b，(12分)
所以△ABC的面积为S△ABC＝absinC＝×2×2×sin＝.(14分)
16. 证明：(1) 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，
连结BD交AC于点F，连结B1D1交A1C1于点E.
因为四边形ABCD是菱形，
所以BD⊥AC.
因为ABCDA1B1C1D1为直棱柱，所以BB1⊥平面ABCD.
又AC平面ABCD，
所以BB1⊥AC.(3分)
又BD∩BB1＝B，BD平面B1BDD1，BB1平面B1BDD1，
所以AC⊥平面B1BDD1.(5分)
而BE平面B1BDD1，
所以BE⊥AC.(7分)
(通过证明等腰三角形A1BC1，得BE⊥A1C1，再由AC∥A1C1得BE⊥AC，可得7分)
(2) 连结D1F，因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直棱柱，
所以四边形B1BDD1为矩形．
又E，F分别是B1D1，BD的中点，
所以BF＝D1E，且BF∥D1E.(9分)
所以四边形BED1F是平行四边形，所以BE∥D1F.(11分)
又D1F平面ACD1，BE 平面ACD1，
所以BE∥平面ACD1.(14分)
17. 解：(1) 由条件知椭圆＋＝1(a＞b＞0)离心率为e＝＝，所以b2＝a2－c2＝a2.
又点A(2，1)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，
所以＋＝1，(2分)
解得所以，所求椭圆的方程为＋＝1.(4分)
(2) 将y＝kx＋m(k≠0)代入椭圆方程，得x2＋4(kx＋m)2－8＝0，整理，得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0.　①
由线段BC被y轴平分，得xB＋xC＝－＝0，
因为k≠0，所以m＝0.(8分)
因为当m＝0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(－x，－kx)，由方程①，得x2＝.
因为AB⊥AC，A(2，1)，
所以·＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0，
所以k＝±.(12分)
由于k＝时，直线y＝x过点A(2，1)，故k＝不符合题设．
所以，此时直线l的方程为y＝－x.(14分)
18. 解：(1) ① 由题设知，在Rt△O1PT中，∠OPT＝α，O1T＝1，所以O1P＝.
又OO1＝1，所以OP＝＋1.
在Rt△OPQ中，OQ＝OPtanα＝tanα＝.(3分)
所以，Rt△OPQ的面积为
S＝OP·OQ＝＝＝.(5分)
(取值范围不写或不正确扣1分)
② 由题设知，OQ＝QT＝t，O1T＝1，且Rt△POQ∽Rt△PTO1，所以＝，即＝，
化简，得OP＝(t＞1)．(8分)
所以，Rt△OPQ的面积为S＝OQ·OP＝t·＝(t＞1)．(10分)
(取值范围不写或不正确扣1分)
(2) (解法1)选用(1)中①的函数关系
S＝.
S′＝
＝
＝
＝.(13分)
由S′＝＝0，得α＝.
列表：
α
S′
－
0
＋
S
?
极小值
?
所以，当α＝时，△OPQ的面积S的最小值为＝(km2)．(16分)
(解法2)选用(1)中②的函数关系S＝(t＞1)．
S′＝＝(t＞1)．(13分)
由S′＝＝0(t＞1)，得t＝.
列表：
t
(1，)
(，＋∞)
S′
－
0
＋
S
?
极小值
?
所以，当t＝时，△OPQ的面积S的最小值为＝(km2)．(16分)
19. 解：(1) 由函数f(x)＝a＋lnx(a∈R)，得
f′(x)＝(lnx＋2)．(2分)
令f′(x)＝0，得x＝e－2.列表如下：
x
(0，e－2)
e－2
(e－2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
因此，函数f(x)的单调增区间为(e－2，＋∞)，单调减区间为(0，e－2)．(5分)
(2) 由(1)可知，fmin(x)＝f(e－2)＝a－2e－1.(6分)
(ⅰ) 当a＞2e－1时，由f(x)≥f(e－2)＝a－2e－1＞0，得函数f(x)的零点个数为0.(8分)
(ⅱ) 当a＝2e－1时，因f(x)在(e－2，＋∞)上单调递增，在(0，e－2)上单调递减，故x∈(0，e－2)∪(e－2，＋∞)时，f(x)＞f(e－2)＝0.此时，函数f(x)的零点个数为1.(10分)
(ⅲ) 当a＜2e－1时，fmin(x)＝f(e－2)＝a－2e－1＜0.
① a≤0时，因为当x∈(0，e－2]时，f(x)＝a＋lnx＜a≤0，
所以函数f(x)在区间(0，e－2]上无零点；
另一方面，因为f(x)在[e－2，＋∞)上单调递增，且f(e－2)＝a－2e－1＜0，又e－2a∈(e－2，＋∞)，且f(e－2a)＝a(1－2e－a)＞0，此时，函数f(x)在(e－2，＋∞)上有且只有一个零点．
所以，当a≤0时，函数f(x)零点个数为1.(13分)
② 0＜a＜2e－1时，因为f(x)在[e－2，＋∞)上单调递增，且f(1)＝a＞0，f(e－2)＝a－2e－1＜0，所以函数f(x)在区间(e－2，＋∞)上有且只有1个零点；
另一方面，因为f(x)在(0，e－2]上单调递减，且f(e－2)＝a－2e－1＜0，又e－∈(0，e－2)，且f＝a－＞a－＝0(当x＞0时，ex＞x2成立)，此时函数f(x)在(0，e－2)上有且只有1个零点．
所以，当0＜a＜2e－1时，函数f(x)的零点个数为2.
综上所述，当a＞2e－1时，f(x)的零点个数为0；当a＝2e－1，或a≤0时，f(x)的零点个数为1；当0＜a＜2e－1时，f(x)的零点个数为2.(16分)
20. (1) 解：① 由an＋1＝2an－1，得an＋1－1＝2(an－1)，且a1－1＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2分)
所以an－1＝2n－1.
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1＋1.(4分)
② 数列{an}不是“等比源数列”．用反证法证明如下：
假设数列{an}是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列．
因为an＝2n－1＋1，所以am＜an＜ak.(7分)
所以a＝am·ak，得(2n－1＋1)2＝(2m－1＋1)(2k－1＋1)，即22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1.
又m＜n＜k，m，n，k∈N*，
所以2n－m－1≥1，n－m＋1≥1，k－1≥1，k－m≥1.
所以22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m为偶数，与22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1矛盾．
所以，数列{an}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．
综上可得，数列{an}不是“等比源数列”．(10分)
(2) 证明：不妨设等差数列{an}的公差d≥0.
当d＝0时，等差数列{an}为非零常数数列，数列{an}为“等比源数列”．
当d＞0时，因为an∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{an}中必有一项am＞0.
为了使得{an}为“等比源数列”，
只需要{an}中存在第n项，第k项(m＜n＜k)，使得a＝amak成立，即[am＋(n－m)d]2＝am[am＋(k－m)d]，
即(n－m)[2am＋(n－m)d]＝am(k－m)成立．(13分)
当n＝am＋m，k＝2am＋amd＋m时，上式成立．
所以{an}中存在am，an，ak成等比数列．
所以，数列{an}为“等比源数列”．(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
圆锥的体积公式：V圆锥＝Sh，其中S是圆锥的底面积，h是高．
圆锥的侧面积公式：S圆锥＝πrl，其中r是圆柱底面的半径，l为母线长．
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，那么A∪(?UB)＝__________．
2. 已知(a－i)2＝2i，其中i是虚数单位，那么实数a＝__________．
3. 从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)，得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2＝__________．
4. 同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为__________．
5. 若双曲线x2＋my2＝1过点(－，2)，则该双曲线的虚轴长为__________．
(第7题)
6. 函数f(x)＝的定义域为__________．
7. 某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的x＝15，则实数a＝__________．
8. 若tanα＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝__________．
9. 若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是__________．
10. 设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为__________．
11. 已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋f(log3)＞0(a＞0且a≠1)，则a的取值范围是__________．
12. 设公差为d(d为奇数，且d＞1)的等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－9，Sm＝0，其中m＞3，且m∈N*，则an＝__________．
13. 已知函数f(x)＝x|x2－a|，若存在x∈[1，2]，使得f(x)＜2，则实数a的取值范围是__________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，设点A(1，0)，B(0，1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式　2≥(m－2)·＋m(·)·(·)对任意实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是__________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(cosB，cosC)，n＝(4a－b，c)，且m∥n.　
(1) 求cosC的值；
(2) 若c＝，△ABC的面积S＝，求a，b的值．
16. (本小题满分14分)
在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB，D是AB的中点．
(1) 求证：BC1∥ 平面A1CD；
(2) 若点P在线段BB1上，且BP＝BB1，求证：AP⊥平面A1CD.
17. (本小题满分14分)
某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x＞0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－b(a，b为实常数)．
(1) 求函数q(x)的表达式；
(2) 当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，右顶点、上顶点分别为A、B，原点O到直线AB的距离等于ab.
(1) 若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；
(2) 若过点(0，1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q.试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由．
19. (本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且对任意的正整数n，都有Sn＋1＝λSn＋3n＋1，其中常数λ＞0.设bn＝(n∈N*)．
(1) 若λ＝3，求数列{bn}的通项公式；
(2) 若λ≠1且λ≠3，设cn＝an＋×3n(n∈N*)，证明数列{cn}是等比数列；
(3) 若对任意的正整数n，都有bn≤3，求实数λ的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝a·ex＋x2－bx(a，b∈R，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，其导函数为y＝f′(x)．　
(1) 设a＝－1，若函数y＝f(x)在R上是单调减函数，求b的取值范围；
(2) 设b＝0，若函数y＝f(x)在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；
(3) 设b＝2，且a≠0，点(m，n)(m，n∈R)是曲线y＝f(x)上的一个定点，是否存在实数x0(x0≠m)，使得f(x0)＝f′(x0－m)＋n成立？证明你的结论
(十七)
1. {1，2，5}　解析：?UB＝{1，5}，A∪(?UB)＝{1，2，5}．本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．
2. －1　解析：由(a－i)2＝2i，a2－2ai－1＝2i，∴ －2ai＝2i，a＝－1.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 　解析：由＝160，从而s2＝[2(160－160)2＋(162－160)2＋2(159－160)2]＝.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．
4. 　解析：同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次的基本事件有8种，有两枚硬币正面向上的基本事件有3种，三枚硬币正面向上的基本事件有1种，则至少有两枚硬币正面向上的基本事件有4种，从而至少有两枚硬币正面向上的概率为.本题考查用列举法求古典概型的概率．本题属于容易题．
5. 4　解析：双曲线x2＋my2＝1过点(－，2)，则m＝－，得b2＝4，则该双曲线的虚轴长2b＝4.本题考查双曲线的方程基础知识．本题属于容易题．
6. (0，1)∪(1，2)　解析：由2x－x2＞0，x－1≠0得0＜x＜2，且x≠1.本题考查对数函数的定义域、一元二次不等式解法等基础知识．本题属于容易题．
7. 1　解析：由题设可知2[2(2a＋1)＋1]＋1＝15，则实数a＝1.本题考查了算法语句及流程图的基本概念．本题属于容易题．
8. －　解析：tan(α－β)＝－，则tan(β－α)＝，故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－.本题考查了和差角的正切公式．本题属于容易题．
9. [0，10]　解析：由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得圆心为(－1，2)，半径为1，又直线与圆始终有公共点，则d≤r，得≤1，即|m－5|≤5，得0≤m≤10.本题考查了直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式．本题属于容易题．
10. 　解析：由＝＝，得a＝r，＝＝.本题考查了正方体的体积和表面积，圆锥的体积以及利用侧面展开图求侧面积．本题属于容易题．
11. (0，1)∪(3，＋∞)　解析：f′(x)＝3x2＋2＞0，得函数f(x)在R上单调递增；又f(－x)＝－f(x)，由f(1)＋f(log3)＞0，得loga3<1＝logaa，而a＞0且a≠1，得或则a的取值范围是(0，1)∪(3，＋∞)．本题考查了函数单调性和奇偶性，对数运算和分类讨论的思想．本题属于中等题．
12. 3n－12　解析：由Sm－1＝－9，Sm＝0，得am＝Sm－Sm－1＝9，而Sm＝0＝(a1＋am)，得a1＝－9，而am＝a1＋(m－1)d，得(m－1)d＝18.又d为奇数，且d＞1，m＞3，且m∈N*，得m＝7，d＝3，则an＝3n－12.本题考查了等差数列的通项与前n项和的公式的应用．本题属于中等题．
13. (－1，5)　解析：f(x)＝x|x2－a|<2，∵ x∈[1，2]，∴ |x2－a|<，∴ －0，y2在[1，2]上单调递增，x＝2时(y2)max＝5，∴ (y1)min14. －1　解析：将点A(1，0)，B(0，1)，C(a，b)，D(c，d)的坐标代入不等式　2≥(m－2)·＋m(·)·(·)，化简得a2－mca＋c2＋b2＋d2－mbd－mbc≥0，即Δ1＝m2c2－4c2－4b2－4d2＋4mbd＋4mbc≤0恒成立，即4d2－4mbd－m2c2＋4c2＋4b2－4mbc≥0.则Δ2＝16m2b2－16(－m2c2＋4b2＋4c2－4mbc)≤0，即(m2－4)b2＋4mcb＋(m2－4)c2≤0恒成立，得有m4－12m2＋16≥0，又m2<4，m2≤6－2，则实数m的最大值是－1.本题考查了平面向量的坐标运算与不等式恒成立的条件，以及一元二次不等式的解法．本题属于难题．
15. 解：(1) ∵ m∥n，∴ ccosB＝(4a－b)cosC.(2分)
由正弦定理，得sinCcosB＝(4sinA－sinB)cosC，
化简，得sin(B＋C)＝4sinAcosC.(4分)
∵ A＋B＋C＝π，∴ sinA＝sin(B＋C)．
∵ A∈(0，π)，sinA>0，∴ cosC＝.(6分)
(2) ∵ C∈(0，π)，cosC＝，
∴ sinC＝＝＝.
∵ S＝absinC＝，∴ ab＝2.　①(9分)
∵ c＝，由余弦定理得3＝a2＋b2－ab，
∴ a2＋b2＝4.　②(12分)
由①②，得a4－4a2＋4＝0，从而a2＝2，a＝±(舍负)，
∴ b＝，∴ a＝b＝.(14分)
16. 证明：(1) 连结AC1，设交A1C于点O，连结OD.
∵ 四边形AA1C1C是矩形，∴ O是AC1的中点．(2分)
在△ABC1中， O，D分别是AC1，AB的中点，
∴ OD∥BC1.(4分)
又OD平面A1CD，BC1?平面A1CD，
∴ BC1∥平面A1CD.(6分)
(2) ∵ CA＝CB，D是AB的中点，∴ CD⊥AB.
∵ 在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC⊥侧面AA1B1B，交线为AB，又CD平面ABC，∴ CD⊥平面AA1B1B.(8分)
∵ AP平面A1B1BA，∴ CD⊥AP.(9分)
∵ BB1＝BA，BB1＝AA1 ，BP＝BB1，
∴ ＝＝，
∴ Rt△ABP∽Rt△A1AD，从而∠AA1D＝∠BAP，
∴ ∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90°，
∴ AP⊥A1D.(12分)
∵ CD∩A1D＝D，CD?平面A1CD，A1D平面A1CD，
∴ AP⊥平面A1CD.(14分)
17. 解：(1) 当20≤x≤180时，由
得(2分)
故q(x)＝(4分)
(2) 设总利润f(x)＝x·q(x)，
由(1)得f(x)＝(6分)
当0＜x≤20时，f(x)＝＝126 000－，f(x)在[0，20]上单调递增，
所以当x＝20时，f(x)有最大值120 000.(8分)
当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x－300·x，f′(x)＝9 000－450·，
令f′(x)＝0，得x＝80.(10分)
当200，f(x)单调递增，
当80所以当x＝80时，f(x)有最大值240 000.(12分)
当180答：当x等于80元时，总利润取得最大值240 000元．(14分)
18. 解：由题意，得点A(a，0)，B(0，b)，直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由题设，得＝ab，化简，得a2＋b2＝1.　①(2分)
(1) ∵ e＝＝，∴ ＝，即a2＝3b2.　②
由①②，解得(5分)
∴ 椭圆C的方程为＋4y2＝1.(6分)
(2) 点F1在以PQ为直径的圆上．
由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，
由得(b2＋a2k2)x2＋2ka2x＋a2－a2b2＝0，(*)(8分)
则Δ＝(2ka2)2－4(b2＋a2k2)(a2－a2b2)＝0，
化简，得1－b2－a2k2＝0，∴ k2＝＝1.
∵ 点P在第二象限，∴ k＝1.(10分)
把k＝1代入方程(*)，得x2＋2a2x＋a4＝0，
解得x＝－a2，从而y＝b2，∴ P(－a2，b2)．(11分)
从而直线PF2的方程为y－b2＝(x＋a2)，
令x＝0，得y＝，∴ 点Q.(12分)
从而＝(－a2＋c，b2)，＝，(13分)
从而·＝c(－a2＋c)＋＝
＝，
∵ a2＋b2＝1，a2＝b2＋c2，∴ ·＝0.(15分)
∴ 点F1在以PQ为直径的圆上．(16分)
19. 解：因为Sn＋1＝λSn＋3n＋1，n∈N*，
所以当n≥2时，Sn＝λSn－1＋3n，
从而an＋1＝λan＋2·3n，n≥2，n∈N*.
又在Sn＋1＝λSn＋3n＋1中，令n＝1，可得a2＝λa1＋2·31，满足上式，所以an＋1＝λan＋2·3n, n∈N*.(2分)
(1) 当λ＝3时， an＋1＝3an＋2·3n，n∈N*，
从而＝＋，即bn＋1－bn＝.
又b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为的等差数列，
所以bn＝.(4分)
(2) 当λ>0且λ≠3且λ≠1时，
cn＝an＋×3n＝λan－1＋2×3n－1＋×3n
＝λan－1＋×3n－1(λ－3＋3)
＝λ＝λ·cn－1，(7分)
又c1＝3＋＝≠0，
所以{cn}是首项为，公比为λ的等比数列， cn＝·λn－1.(8分)
(3) 在(2)中，若λ＝1，则cn＝0也适合，所以当λ≠3时，
cn＝·λn－1.
从而由(1)和(2)可知
an＝(9分)
当λ＝3时，bn＝，显然不满足条件，故λ≠3.(10分)
当λ≠3时，bn＝×－.
若λ>3时， >0，bn若0<λ<1时，>0，－>0，bn>bn＋1，n∈N*，且bn>0.
所以只须b1＝＝1≤3即可，显然成立．故0<λ<1符合条件；(12分)
若λ＝1时，bn＝1，满足条件．故λ＝1符合条件；(13分)
若1<λ<3时，<0，－>0，从而bn因为b1＝1>0.故bn∈，要使bn≤3成立，只须－≤3即可．于是1＜λ≤.(15分)
综上所述，所求实数λ的范围是.(16分)
20. 解：(1) 当a＝－1时，f(x)＝－ex＋x2－bx，
∴ f′(x)＝－ex＋2x－b.
由题意f′(x)＝－ex＋2x－b≤0对x∈R恒成立．(1分)
由－ex＋2x－b≤0，得b≥－ex＋2x，
令F(x)＝－ex＋2x，则F′(x)＝－ex＋2，令F′(x)＝0，得x＝ln2.
当x0，F(x)单调递增，当x>ln2时，F′(x)<0，F(x)单调递减，从而当x＝ln2时，F(x)有最大值2ln2－2，∴ b≥2ln2－2.(3分)
(2) 当b＝0时，f(x)＝aex＋x2，由题意aex＋x2＝0只有一解．
由aex＋x2＝0，得－a＝，令G(x)＝，则G′(x)＝，令G′(x)＝0，得x＝0或x＝2.(5分)
当x≤0时，G′(x)≤0，G(x)单调递减，G(x)的取值范围为[0，＋∞)；当00，G(x)单调递增，G(x)的取值范围为；当x≥2时，G′(x)≤0，G(x)单调递减，G(x)的取值范围为.
由题意，得－a＝0或－a＞，从而a＝0或a<－，
∴ 当a＝0或a<－时，函数y＝f(x)只有一个零点．(8分)
(3) f(x)＝aex＋x2－2x，f′(x)＝aex＋2x－2，
假设存在，则有f(x0)＝f′(x0－m)＋n＝f′(x0－m)＋f(m)，
即＝f′，
∵ f′＝ae＋2·－2，
＝
＝＋(x0＋m)－2，
∴ ae＝.(*)(10分)
∵ a≠0，∴ e＝，不妨设t＝x0－m>0，则e＋m＝.
两边同除以em，得e＝，即te＝et－1，(12分)
令g(t)＝et－te－1，则g′(t)＝et－(e＋e)＝e.
令h(t)＝e－－1，则h′(t)＝e－＝(e－1)>0，
∴ h(t)在(0，＋∞)上单调递增．
∵ h(0)＝0，∴ h(t)>0对t∈(0，＋∞)恒成立，(14分)
即g′(t)>0对t∈(0，＋∞)恒成立，
∴ g(t)在(0，＋∞)上单调递增．
又g(0)＝0，
∴ g(t)>0对t∈(0，＋∞)恒成立，即(*)式不成立，(15分)
∴ 不存在实数x0(x0≠m)，使得f(x0)＝f′(x0－m)＋n成立．(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 设集合A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝____________．
2. 若复数z＝(1＋mi)(2－i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为____________．
3. 将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是__________．
4. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为__________．
(第4题)
　　　　　　(第5题)
(第7题)
5. 执行如图所示的流程图，则输出的k的值为__________．
6. 设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，则a10＝______________．
7. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是____________．
8. 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且它的图象过点，则φ的值为__________．
9. 已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．
10. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是____________．
11. 在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，且＝2，AD＝，则AC的长为____________．
12. 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为____________．
13. 已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠?，则－的最大值是__________．
14. 若存在两个正实数x、y，使得等式x＋a(y－2ex)(lny－lnx)＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为__________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知α为锐角，cos＝.求：
(1) tan的值；
(2) sin的值．
16. (本小题满分14分)
如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M、N分别为AB、PA的中点．
(1) 求证：PB∥平面MNC；
(2) 若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.
17.(本小题满分14分)
如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)上．若点A(－a，0)，B(0，)，且＝.
(1) 求椭圆M的离心率；
(2) 设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．
① 若点P(－3，0)，直线l过点，求直线l的方程；
② 若直线l过点(0，－1)，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围．
19. (本小题满分16分)
对于函数f(x)，在给定区间[a，b]内任取n＋1(n≥2，n∈N*)个数x0，x1，x2，…，xn，使得a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，记S＝|f(xi＋1)－f(xi)|.若存在与n及xi(i≤n，i∈N)均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f(x)在区间[a，b]上具有性质V.
(1) 若函数f(x)＝－2x＋1，给定区间为[－1，1]，求S的值；
(2) 若函数f(x)＝，给定区间为[0，2]，求S的最大值；
(3) 对于给定的实数k，求证：函数f(x)＝klnx－x2在区间[1，e]上具有性质V.
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝(－1)nSn＋pn(p为常数，p≠0)．
(1) 求p的值；
(2) 求数列{an}的通项公式；
(3) 设集合An＝{a2n－1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn.若b1≠c1，求证：对任意n∈N*，Pn≠Qn.
(十三)
1. {x|－2＜x＜1}　解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．
2. －2　解析：z＝(2＋m)＋(2m－1)i，则2＋m＝0，所以m＝－2.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 　解析：将一骰子连续抛掷两次，共有36种基本事件．抛掷两次没有一次是1点的基本事件数为25种，则所求的概率为1－＝.本题考查用列举法解决古典概型问题以及对立事件概率的求法．本题属于容易题．
4. 9　解析：(0.004＋0.002)×50×30＝9.本题主要考查频率分布直方图的基础知识．本题属于容易题．
5. 5　解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环S＝3，k＝2；第2次循环S＝8，k＝3；第3次循环S＝16，k＝4；第4次循环S＝27，k＝5.本题考查伪代码基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
6. 19　解析：由S1，S2，S4成等比数列，利用求和公式得d＝2a1，又S3＝a，3a1＋3d＝(a1＋d)2，联立可得a1＝a，a1不为0，则a1＝1，d＝2，所以a10＝19.本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，以及等比数列通项公式．本题属于容易题．
7. 8　解析：三棱锥AA1EF的体积＝×S△A1AF×2＝8.本题主要考查正三棱柱所含的三棱锥的体积的求法．本题属于容易题．
8. －　解析：f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的最小正周期为π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，它的图象过点，则sin＝－，φ＝－.本题主要考查三角函数周期性求法，以及利用角的范围确定角的值．本题属于容易题．
9. [－4，2]　解析：f(x)≥－1，即等价或解之得－4≤x≤0或010. y＝±2x　解析：直线AB恰好过点F，则A，又点A在双曲线的渐近线上，代入y＝kx，得k＝2，则双曲线的渐近线方程是y＝±2x.本题主要考查抛物线标准方程以及焦点坐标．本题属于容易题．
11. 3　解析：以A点为原点，直线AC为x轴建立平面直角坐标系，则B(－2，2)，C(b，0)，＝3，即3(x－b，y)＝(－2－b，2)，得x＝，y＝，代入x2＋y2＝，得b＝3.本题考查向量共线的坐标运算以及两点间的距离公式．本题属于中等题．
12. 　解析：设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝，则x2＋y2＝4　①.又P在圆M上，则(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1　②.由①②得1≤≤3，所以≤a≤.本题考查两圆有公共点的条件，以及一元二次不等式的解法．本题属于中等题．
13. 　解析：由题意知－2∈{x|－2－tx1时，不符合任意正数t都满足；当－214. a＜0或a≥　解析：由题中方程可得 1＋aln＝0，令t＝，则1＋a(t－2e)lnt＝0，则a＝对于正数t有解．设g(t)＝(2e－t)lnt，则g′(t)＝－lnt－1＝0，则t＝e，t>e时，g(t)为减函数，t15. 解：(1) 因为α∈，所以α＋∈，
所以sin＝＝，(3分)
所以tan＝＝2.(6分)
(2) 因为sin＝sin
＝2sincos＝，(9分)
cos＝cos＝2cos2－1＝－，(12分)
所以sin＝sin
＝sincos－cossin＝.(14分)
16. 证明：(1) 因为M，N分别为AB，PA的中点，
所以MN∥PB.(2分)
因为MN平面MNC，PB 平面MNC，
所以PB∥平面MNC.(4分)
(2) 因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.(6分)
因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.(8分)
因为平面PAB⊥平面ABC，CM平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
所以CM⊥平面PAB.(12分)
因为PA平面PAB，所以CM⊥PA.
因为PA⊥MN，MN?平面MNC，CM平面MNC，MN∩CM＝M，
所以PA⊥平面MNC.(14分)
17. 解：(解法1)如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.
设A(a，0)，B(0，b)(0＜a＜1，0＜b＜1)，
则直线AB方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
因为AB与圆C相切，
所以＝1.(4分)
化简得ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2.(6分)
因此AB＝＝
＝＝.(8分)
因为0＜a＜1，0＜b＜1，
所以0＜a＋b＜2，于是AB＝2－(a＋b)．
又ab＝2(a＋b)－2≤，解得0＜a＋b≤4－2，或a＋b≥4＋2.
因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2，(12分)
所以AB＝2－(a＋b)≥2－(4－2)＝2－2，当且仅当a＝b＝2－时取等号，
所以AB最小值为2－2，此时a＝b＝2－.
答：当A，B两点离道路的交点都为2－(百米)时，小道AB最短．(14分)
(解法2)如图，连结CE，CA，CD，CB，CF.
设∠DCE＝θ，θ∈，则∠DCF＝－θ.
在直角三角形CDA中，AD＝tan.(4分)
在直角三角形CDB中，BD＝tan，(6分)
所以AB＝AD＋BD＝tan＋tan
＝tan＋.(8分)
令t＝tan，0＜t＜1，则AB＝f(t)＝t＋＝t＋1＋－2≥2－2，当且仅当t＝－1时取等号．(12分)
所以AB最小值为2－2，此时A，B两点离两条道路交点的距离是1－(－1)＝2－.
答：当A，B两点离道路的交点都为2－(百米)时，小道AB最短．(14分)
18. 解：(1) 设C(x0，y0)，则＝，＝.
因为＝，所以＝＝，得(2分)
代入椭圆方程得a2＝b2.
因为a2－b2＝c2，所以e＝＝.(4分)
(2) ① 因为c＝2，所以a2＝9，b2＝5，
所以椭圆的方程为＋＝1.
设Q(x0，y0)，则＋＝1.　①(6分)
因为点P(－3，0)，所以PQ中点为，
因为直线l过点，直线l不与y轴重合，
所以x0≠3，
所以·＝－1，(8分)
化简得x＝9－y－y0.　②
将②代入①代简得y－y0＝0，解得y0＝0(舍)，或y0＝.
将y0＝代入①得x0＝±，所以Q为，
所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为－1或－，
所以直线l的方程为y＝－x－或y＝－x－.(10分)
② 设PQ：y＝kx＋m，则直线l的方程为y＝－x－1，
所以xD＝－k.
将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(5＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－45＝0.　①
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，
xN＝＝－，
代入直线PQ的方程得yN＝，(12分)
代入直线l的方程得9k2＝4m－5.　②
因为Δ＝(18km)2－4(5＋9k2)(9m2－45)＞0，
化简得m2－9k2－5＜0.(14分)
将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，
所以－＜k＜，且k≠0，
所以xD＝－k∈∪.
综上所述，点D横坐标的取值范围为∪.(16分)
19. (1) 解：因为函数f(x)＝－2x＋1在区间[－1，1]上为减函数，
所以f(xi＋1)＜f(xi)，
所以|f(xi＋1)－f(xi)|＝f(xi)－f(xi＋1)．
S＝f(xi＋1)－f(xi)|＝[f(x0)－f(x1)]＋[f(x1)－f(x2)]＋…＋[f(xn－1)－f(xn)]＝f(x0)－f(xn)
＝f(－1)－f(1)＝4.(2分)
(2) 解：由f′(x)＝＝0，得x＝1.
当x＜1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)上为增函数；
当x＞1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，＋∞)上为减函数；
所以f(x)在x＝1时取极大值.(4分)
设xm≤1＜xm＋1，m∈N，m≤n－1，
则S＝f(xi＋1)－f(xi)|
＝|f(x1)－f(0)|＋…＋|f(xm)－f(xm－1)|＋|f(xm＋1)－f(xm)|＋|f(xm＋2)－f(xm＋1)|＋…＋|f(2)－f(xn－1)|
＝[f(x1)－f(0)]＋…＋[f(xm)－f(xm－1)]＋|f(xm＋1)－f(xm)|＋[f(xm＋1)－f(xm＋2)]＋…＋[f(xn－1)－f(2)]
＝[f(xm)－f(0)]＋|f(xm＋1)－f(xm)|＋[f(xm＋1)－f(2)]．(6分)
因为|f(xm＋1)－f(xm)|≤[f(1)－f(xm)]＋[f(1)－f(xm＋1)]，当xm＝1时取等号，
所以S≤f(xm)－f(0)＋f(1)－f(xm)＋f(1)－f(xm＋1)＋f(xm＋1)－f(2)＝2f(1)－f(0)－f(2)＝.
所以S的最大值为.(8分)
(3) 证明：f′(x)＝－x＝，x∈[1，e]．
① 当k≥e2时，k－x2≥0恒成立，即f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在[1，e]上为增函数，
所以S＝f(xi＋1)－f(xi)|＝[f(x1)－f(x0)]＋[f(x2)－f(x1)]＋…＋[f(xn)－f(xn－1)]＝f(xn)－f(x0)＝f(e)－f(1)＝k＋－e2.
因此，存在正数A＝k＋－e2，都有S≤A，因此f(x)在[1，e]上具有性质V.(10分)
② 当k≤1时，k－x2≤0恒成立，即f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在[1，e]上为减函数，
所以S＝f(xi＋1)－f(xi)|＝[f(x0)－f(x1)]＋[f(x1)－f(x2)]＋…＋[f(xn－1)－f(xn)]＝f(x0)－f(xn)＝f(1)－f(e)＝e2－k－.
因此，存在正数A＝e2－k－，都有S≤A，因此f(x)在[1，e]上具有性质V.(12分)
③ 当1＜k＜e2时，由f′(x)＝0，得x＝；当f′(x)＞0，得1≤x＜；
由f′(x)＜0，得＜x≤e，因此f(x)在[1，)上为增函数，在(，e]上为减函数．
设xm≤＜xm＋1，m∈N，m≤n－1，
则S＝f(xi＋1)－f(xi)|
＝|f(x1)－f(x0)|＋…＋|f(xm)－f(xm－1)|＋|f(xm＋1)－f(xm)|＋|f(xm＋2)－f(xm＋1)|＋…＋|f(xn)－f(xn－1)|
＝f(x1)－f(x0)＋…＋f(xm)－f(xm－1)＋|f(xm＋1)－f(xm)|＋f(xm＋1)－f(xm＋2)＋…＋f(xn－1)－f(xn)
＝f(xm)－f(x0)＋|f(xm＋1)－f(xm)|＋f(xm＋1)－f(xn)
≤f(xm)－f(x0)＋f(xm＋1)－f(xn)＋f()－f(xm＋1)＋f()－f(xm)
＝2f()－f(x0)－f(xn)
＝klnk－k－
＝klnk－2k＋＋e2.
因此，存在正数A＝klnk－2k＋＋e2，都有S≤A，因此f(x)在[1，e]上具有性质V.
综上，对于给定的实数k，函数f(x)＝klnx－x2在区间[1，e]上具有性质V.(16分)
20. (1) 解：由a1＝－S1＋p，得a1＝.(2分)
由a2＝S2＋p2，得a1＝－p2，所以＝－p2.
又p≠0，所以p＝－.(3分)
(2) 解：由an＝(－1)nSn＋，
得
①＋②得an＋an＋1＝(－1)n(－an＋1)＋×.(5分)
当n为奇数时，an＋an＋1＝an＋1－×，
所以an＝－.(7分)
当n为偶数时，an＋an＋1＝－an＋1＋×，
所以an＝－2an＋1＋×＝2×＋×＝.
所以an＝(9分)
(3) 证明：An＝，
由于b1≠c1，则b1与c1一正一负，
不妨设b1＞0，则b1＝，c1＝－.
则Pn＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn
≥－.(12分)
设S＝＋＋…＋，则S＝＋…＋＋，
两式相减，得
S＝＋＋…＋－
＝＋×－
＝－×－＜.
所以S＜×＝，
所以Pn≥－＞－＝＞0.(14分)
因为Qn＝c1＋2c2＋3c3＋…＋ncn≤－＋S＜－＋
＝－＜0，
所以Pn≠Qn.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
锥体的体积公式V＝Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|0＜x＜5}，则A∩B＝__________．
2. 已知复数z满足(3＋i)z＝10i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是__________．
8
9　6
9
2　x　1　4　2
(第3题)
3. 如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是__________．
(第5题)
4. 甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是__________．
5. 执行如图所示的算法流程图，则输出k的值为________．
6. 已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为__________．
7. 已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则的值为________．　
8. 已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60π cm2，则此圆锥的体积为________ cm3.
9. 若实数x，y满足约束条件则|3x－4y－10|的最大值为________．
10. 已知函数f(x)＝sinx(x∈[0，π])和函数g(x)＝tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为__________．
11. 若点P，Q分别是曲线y＝与直线4x＋y＝0上的动点，则线段PQ长的最小值为__________．
12. 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是互相垂直的单位向量，且(a－c)·(b－c)＝1，则|c|的最大值为__________．
13. 已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围为__________．
14. 已知经过点P的两个圆C1，C2都与直线l1：y＝x，l2：y＝2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于__________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2，∠CAD＝，tan∠ADC＝－2.求：
(1) CD的长；
(2) △BCD的面积．
16. (本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：
(1) 平面AMP⊥平面BB1C1C；
(2) A1N∥平面AMP.
17. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点P在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．
18. (本小题满分16分)
经市场调查，某商品每吨的价格为x(1＜x＜14)百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1＝ax＋a2－a(a＞0)；月需求量为y2万吨，y2＝－x2－x＋1.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．
(1) 若a＝，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？
(2) 记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝，g(x)＝ax－2lnx－a(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1) 求f(x)的极值；
(2) 在区间(0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求a的取值范围．
20. (本小题满分16分)
在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋2＝(k∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求满足2an＋1＝an＋an＋2的正整数n的值；
(3) 设数列{an}的前n项和为Sn，问是否存在正整数m，n，使得S2n＝mS2n－1？若存在，求出所有的正整数对(m，n)；若不存在，请说明理由.
(十九)
1. {1，3}　解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．
2. 1－3i　解析：z＝＝1＋3i，z的共轭复数是1－3i.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 1　解析：最低分为86，若最高分为9x，此时平均分不是91，说明最高分为94，去掉86和94，89＋92＋91＋92＋90＋x＝91×5，则x＝1.本题主要考查平均分的基础知识．本题属于容易题．
4. 　解析：基本事件数为8种，一次游戏中甲胜出的基本事件数为2种，则所求的概率为.本题考查用列举法解决古典概型问题．本题属于容易题．
5. 3　解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环n＝6，k＝1；第2次循环n＝3，k＝2；第3次循环n＝1，k＝3.本题关键是把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
6. 　解析：F(1，0)，准线方程x＝－1，由第一象限的点A到其准线的距离为5，则A(4，4)，则直线AF的斜率为.本题考查抛物线方程的特征，直线斜率公式．本题属于容易题．
7. 　解析：＝＝＝3，则d＝4a1，则＝＝＝.本题考查了等差数列的通项与前n项和的公式的应用．本题属于容易题．
8. 96π　解析：设圆锥的底面半径为r，侧面积＝×母线长×底面圆周长＝60π，得r＝6，此圆锥的高为8，则此圆锥的体积为×36π×8＝96π.本题考查了圆锥的侧面展开图以及体积求法．本题属于容易题．
9. 　解析：设z＝3x－4y－10，画出可行域，利用线性规划求出－≤z≤－7，则|z|的最大值为.本题考查了线性规划的内容和绝对值的意义．本题属于容易题．
10. π　解析：sinx＝tanx＝·得2cosxsinx＝sinx，(2cosx－1)sinx＝0，x∈[0，π]，x＝或0或π，则△ABC的面积为×π×sin＝π.本题考查了三角函数的图象和性质，以及同角三角函数的关系．本题属于容易题．
11. 　解析：设曲线上任意一点P，则d＝，当x0>0时，d＝≥，当x0<0时，d＝≥.综上所述，dmin＝.本题考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用．本题属于中等题．
12. 　解析：建立平面直角坐标系，a＝(1，0)，b＝(0，1)，令c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)．∵ (a－c)·(b－c)＝1，∴ x2＋y2－x－y＝1，x＋y＝x2＋y2－1，
(x＋y)2＝(x2＋y2－1)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)，
2－≤x2＋y2≤2＋，≤|c|≤，|c|max＝.本题考查了用解析法解决向量数量积的问题，并利用重要不等式求解或者利用距离模型求解．本题属于中等题．
[试题更正：原题中“(a－c)(b－c)＝1”更正为“(a－c)(b－c)＝1”．]
13. 　解析：x＋y＋4＝2xy≤2×，x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时取＝.
∵ (x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0，∴ (x＋y)＋≥a.
∵ (x＋y)＋≥，则a≤.本题考查对数函数的性质和基本不等式的运用．本题属于中等题．
14. 　解析：假设圆心所在直线为y＝kx，则＝，k＝1.故假设圆C1：(a－1)2＋＝，圆C2：(b－1)2＋＝，圆C1：36a2－100a＋65＝0，圆C2：36b2－100b＋65＝0.∴ a＋b＝，a×b＝，
∴ C1C2＝＝.本题考查了正切的差角公式、圆的对称性、两点间的距离公式和韦达定理的运用．本题综合性强，属于难题．
15. 解：(1) 因为tan∠ADC＝－2，
所以sin∠ADC＝，cos∠ADC＝－.(2分)
所以sin∠ACD＝sin(π－∠ADC－)＝sin(∠ADC＋)＝sin∠ADC·cos＋cos∠ADC·sin＝.(6分)
在△ADC中，由正弦定理得CD＝＝.(8分)
(2) 因为AD∥BC, 所以cos∠BCD＝－cos∠ADC＝.(10分)
在△BDC中，由余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2·BC·CD·cos∠BCD，
得BC2－2BC－35＝0，解得BC＝7，(12分)
所以S△BCD＝×7××sin∠BCD＝×7××
＝7.(14分)
16. 证明：(1) 因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以BB1⊥底面ABC.
因为AM底面ABC，所以BB1⊥AM.(2分)
因为M为BC中点，且AB＝AC，所以AM⊥BC.
又BB1∩BC＝B，BB1平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，
所以AM⊥平面BB1C1C.(4分)
因为AM平面APM，所以平面APM⊥平面BB1C1C.(6分)
(2) 取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C.由于D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DM∥CC1且DM＝CC1，故DM∥AA1且DM＝AA1.
则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D∥AM.又A1D?平面APM，AM平面APM，所以A1D∥平面APM.(9分)
由于D，N分别为C1B1，CC1的中点，所以DN∥B1C.
又P，M分别为BB1，CB的中点，所以MP∥B1C.
则DN∥MP.
又DN 平面APM，MP平面APM，所以DN∥平面APM.(12分)
由于A1D∩DN＝D，所以平面A1DN∥平面APM.
由于A1N平面A1DN，所以A1N∥平面APM.(14分)
17. 解：(1) 由题意知，＋＝1，2a＝4.(2分)
解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.(4分)
(2) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则ON的中点坐标为，PM的中点坐标为(，)．
因为四边形POMN是平行四边形，
所以即(6分)
因为点M，N是椭圆C的两点，
所以(8分)
解得或(12分)
由得由得
所以，点M，N(2，0)；或M(－2，0)，N.(14分)
18. 解：(1) 若a＝，由y2＞y1，得－x2－x＋1>x＋－.解得－40因为1设该商品的月销售额为g(x)，则
g(x)＝(5分)
当1当6≤x<14时，g(x)＝x，
则g′(x)＝－(3x2＋4x－224)＝－(x－8)(3x＋28)，由g′(x)>0，得x<8，
所以g(x)在[6，8)上是增函数，在(8，14)上是减函数，
当x＝8时，g(x)有最大值g(8)＝.(10分)
(2) 设f(x)＝y1－y2＝x2＋x＋a2－1－a，
因为a>0，所以f(x)在区间(1，14)上是增函数．
若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6，14)上有零点，(12分)
所以即解得0＜a≤.(15分)
答：(1) 若a＝，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大；(2) 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a的取值范围是.(16分)
19. 解：(1) 因为f(x)＝，所以f′(x)＝.(2分)
令f′(x)＝0，得x＝1.(3分)
当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
所以f(x)在x＝1时取得极大值f(1)＝1，无极小值．(5分)
(2) 由(1)知，当x∈(0，1)时，f(x)单调递增；当x∈(1，e]时，f(x)单调递减．
因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(e)＝e·e1－e＞0，
所以当x∈(0，e]时，函数f(x)的值域为(0，1]．(7分)
当a＝0时，g(x)＝－2lnx在(0，e]上单调，不合题意；(8分)
当a≠0时，g′(x)＝a－＝＝，x∈(0，e]，
故必须满足0<.(10分)
此时，当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：
x
g′(x)
－
0
＋
g(x)
单调减
最小值
单调增
所以x→0，g(x)→＋∞，g＝2－a－2ln，g(e)＝a(e－1)－2.
所以对任意给定的x0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，当且仅当a满足下列条件即(13分)
令m(a)＝2－a－2ln，a∈，m′(a)＝－，由m′(a)＝0，得a＝2.
当a∈(2，＋∞)时，m′(a)<0，函数m(a)单调递减；
当a∈时，m′(a)>0，函数m(a)单调递增．
所以，对任意a∈有m(a)≤m(2)＝0，
即2－a－2ln≤0对任意a∈恒成立．
由a(e－1)－2≥1，解得a≥.
综上所述，当a∈时，对于任意给定的x0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)．(16分)
20. 解：(1) 由题意，数列{an}的奇数项是以a1＝1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以a2＝2为首项，公比为3的等比数列．　(1分)
所以对任意正整数k，a2k－1＝2k－1，a2k＝2×3k－1.
所以数列{an}的通项公式an＝(k∈N*)．(3分)
(2) ① 当n为奇数时，由2an＋1＝an＋an＋2，得2×2×3－1＝n＋n＋2，所以2×3＝n＋1.
令f(x)＝2×3－x－1(x≥1)，
由f′(x)＝×()x×ln－1≥××ln－1＝ln3－1>0，可知f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)≥f(1)＝0，所以当且仅当n＝1时，满足2×3＝n＋1，即2a2＝a1＋a3.(6分)
② 当n为偶数时，由2an＋1＝an＋an＋2，得2(n＋1)＝2×3－1＋2×3－1，即n＋1＝3－1＋3，上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立．
综上，满足2an＋1＝an＋an＋2的正整数n的值只有1.(8分)
(3) S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝＋＝3n＋n2－1，n∈N*.
S2n－1＝S2n－a2n＝3n－1＋n2－1.(10分)
假设存在正整数m，n，使得S2n＝mS2n－1，则3n＋n2－1＝m(3n－1＋n2－1)，　
所以3n－1(3－m)＝(m－1)(n2－1)，(*)
从而3－m≥0，所以m≤3.
又m∈N*，所以m＝1，2，3.(12分)
① 当m＝1时，(*)式左边大于0，右边等于0，不成立．
② 当m＝3时，(*)式左边等于0，所以2(n2－1)＝0，n＝1，所以S2＝3S1.(14分)
③ 当m＝2时，(*)式可化为3n－1＝n2－1＝(n＋1)(n－1)，
则存在k1，k2∈N*，k1＜k2，使得n－1＝3k1，n＋1＝3k2 且k1＋k2＝n－1，从而3k2－3k1＝3k1(3k2－k1－1)＝2，所以3k1＝1，3k2－k1－1＝2，所以k1＝0，k2－k1＝1，于是n＝2，S4＝2S3.
综上可知，符合条件的正整数对(m，n)只有两对：(2，2)，(3，1)．(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝__________．
2. 设a，b∈R，i为虚数单位，若(a＋bi)·i＝2－5i，则ab的值为__________．
(第5题)
3. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，则该双曲线的离心率为__________．
4. 已知一组数据9.8，10.1，10，10.2，9.9，那么这组数据的方差为__________．
5. 右图是一个算法流程图，运行后输出的结果是__________．
6. 若函数f(x)＝asin＋sin是偶函数，则实数a的值为__________．
7. 正四棱锥的底面边长为2 cm，侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该四棱锥的侧面积为__________cm2.
8. 将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数φ的值为____________．
9. 二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则关于x的不等式f(x)≤0的解集为__________．
10. 在正五边形ABCDE中，已知·＝9，则该正五边形的对角线的长为__________．
11. 用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是__________．
12. 若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是__________．
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(－1，0)，Q(2，1)，直线l：ax＋by＋c＝0，其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是__________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝－(x∈[0，2])的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ，若?θ∈[0，α]，旋转后所得曲线都是某个函数的图象，则α的最大值为__________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知θ∈，sin＝.
(1) 求sinθ的值；
(2) 求cos的值．
16.(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：
(1) DE∥平面AA1C1C；
(2) BC1⊥AB1.
17. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2.
(1) 若椭圆C经过点，求椭圆C的标准方程；
(2) 设A(－2，0)，F为椭圆C的左焦点．若椭圆C上存在点P，满足＝，求椭圆C的离心率的取值范围．
18. (本小题满分16分)
如图，扇形AOB是一个植物园的平面示意图，其中∠AOB＝，半径OA＝OB＝1 km.为了便于游客观赏，拟在园内铺设一条从入口A到出口B的观赏道路，道路由弧AC，线段CD，线段DE和弧EB组成，且满足：＝，CD∥AO，DE∥OB，OD∈(单位：km)．设∠AOC＝θ.
(1) 用θ表示CD的长度，并求出θ的取值范围；
(2) 当θ为何值时，观赏道路最长？
19. (本小题满分16分)
已知公差不为0的等差数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且数列是等差数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设lgbn＝(n∈N*)，问：b1，bk，bm(k，m均为正整数，且1＜k＜m)能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由．
20. (本小题满分16分)
设a为正常数，函数f(x)＝ax，g(x)＝lnx.
(1) 求函数h(x)＝f(x)·g(x)的极值；
(2) 证明：?x0∈R，使得当x＞x0时，f(x)＞g(x)恒成立．

(十二)
1. (1，3)　解析：B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜3}．本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．
2. 10　解析：a＋bi＝ －i·(2－5i)＝－5－2i，则ab＝10.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 2　解析：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，则＝，b2＝3a2，则c2＝a2＋b2＝4a2，c＝2a，所以双曲线的离心率为2.本题考查双曲线方程及其渐近线的方程等基础知识．本题属于容易题．
4. 0.02　解析：平均数为10，由方差公式得s2＝[(9.8－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(9.9－10)2]＝0.02.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．
5. 25　解析：由流程图可知，循环体执行5次，从而有S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.本题考查了算法语句及流程图的基本概念．本题属于容易题．
6. －　解析：由f＝a，f＝－，函数f(x) 是偶函数，则f＝f，a＝－.本题考查了偶函数的概念，本题属于容易题．
7. 8　解析：由边长为2 cm，侧面与底面所成二面角的大小为60°，得四棱锥的斜高为2，一个侧面的面积为2 cm2，则侧面积为8 cm2.本题考查了棱锥的底面边长、侧面与底面所成二面角、斜高的关系，以及侧面积的求法．本题属于容易题．
8. 4－π　解析：由函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移2个单位得到y＝sin(2x＋φ－4) 的图象，此函数为奇函数，则φ－4＝kπ，而0＜φ＜π，φ＝4－π.本题考查了函数图象的平移以及奇函数的性质．本题属于容易题．
9. [－3，2]　解析：由表格数据作出二次函数的草图，结合数据即可发现不等式f(x)≤0的解集为[－3，2]．本题考查了三个二次之间的关系．本题属于容易题．
10. 3　解析：·＝AC2＝9，则AC＝3，即该正五边形的对角线的长为3.本题考查了三个二次之间的关系．本题属于容易题．
11. 　解析：由图案的规律可知：黑色积木共有1＋2＋3＋…＋8＝36个，白色积木共6＋(6＋4)＋(6＋4×2)＋…＋(6＋4×7)＝160个，黑、白两种颜色的正六边形积木共196个，则取出黑色积木的概率＝＝.本题考查了简单的等差数列的求和与古典概型的概率．本题属于容易题．
12. [0，3]　解析：由y＝(x－a)2，x≤0的最小值为f(0)，则a≥0.g(x)＝x－lnx＋5＋a(x＞0)必须满足g(1)≥f(0)，即－2≤a≤3，所以0≤a≤3.本题考查了函数的图象与性质，重点考查了数形结合思想的应用．本题属于中等题．
13. [，3]　解析：因为a，b，c成等差数列，有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，对比方程ax＋by＋c＝0可知，动直线恒过定点(1，－2)，记为A，点P(－1，0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为H，即∠AHP＝90°，所以点H在以PA为直径的圆上，该圆的圆心C为(0，－1)，半径为，点Q到圆心的距离QC为2，所以线段QH的取值范围是[，3]．本题考查了直线过定点与圆的性质．本题属于难题．
14. 　解析：由函数y＝－得y＋＝，两边平方，化简得(x－1)2＋(y＋)2＝4 (x∈[0，2])为两段圆弧(圆心角均为60°，其中一段过原点)，而原点与圆心连线的倾斜角为30°，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90°，也就是说，最大旋转角为90°－30°＝60°，则α的最大值为60°，即.本题考查了圆的方程与性质，突出了化归思想的运用．本题属于难题．
15. 解：(1) 设α＝θ－，因为θ∈，所以α∈，且θ＝α＋.(2分)
因为sinα＝sin＝，
所以cosα＝－＝－.(4分)
于是sinθ＝sin＝sinαcos＋cosαsin
＝×＋×＝－.(6分)
(2) 因为cosθ＝cos＝cosαcos－sinαsin
＝×－×＝－，(8分)
所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝，(10分)
cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.(12分)
所以cos＝cos2θcos－sin2θsin＝×－×＝－.(14分)
16. 证明：(1) 在直棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C是矩形，
故对角线的交点E是B1C的中点．(2分)
又D是AB1的中点，DE是中位线，所以DE∥AC.(4分)
因为DE 平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.(6分)
(2) 因为在直棱柱ABCA1B1C1中，BC＝CC1，
所以侧面BB1C1C是正方形，于是B1C⊥BC1.(8分)
因为AA1C1C是矩形，所以AC⊥CC1.
(注：或因为CC1⊥底面ABC，AC平面ABC，CC1⊥AC)
又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1平面BB1C1C，
所以AC⊥平面BB1C1C.(10分)
因为BC1平面BB1C1C，所以AC⊥BC1.
因为AC∩CB1＝C，AC，CB1平面AB1C，
所以BC1⊥平面AB1C.(12分)
由AB1平面AB1C，得BC1⊥AB1.(14分)
17. 解：(1) 由题设知，椭圆C的焦距2c＝2，即c＝1，
所以a2＝b2＋1.(2分)
因为椭圆C经过点，
所以＋＝1，即＋＝1，(4分)
化简、整理得2b4－3b2－2＝0，解得b2＝2(负值已舍去)．
故椭圆C的标准方程为＋＝1.(6分)
(2) 易知F(－1，0)，设P(x0，y0)，于是＋＝1.　①
因为＝，即PA2＝2PF2，所以(x0＋2)2＋y＝2(x0＋1)2＋2y，即x＋y＝2.　②(8分)
联立①②，并注意到a2＝b2＋1，解得x＝2a2－a2b2＝a2(3－a2)．(10分)
因为－a≤x0≤a，所以0≤x≤a2.
于是0≤a2(3－a2)≤a2，即2≤a2≤3，亦即≤a≤.(12分)
所以≤≤，即≤≤.
故椭圆C的离心率的取值范围是.(14分)
18. 解：(1) 因为＝，CD∥AO，DE∥OB，所以∠AOD＝.(2分)
于是在△OCD中，OC＝1，∠CDO＝，∠OCD＝θ，∠COD＝－θ，
从而由正弦定理得＝＝，
即＝＝＝.
所以OD＝sinθ，CD＝sin.(5分)
因为OD∈，即≤sinθ≤，
所以≤sinθ≤，而0＜θ≤，所以≤θ≤.
故CD＝sin.(8分)
(2) 由(1)知，观赏道路长L＝2(＋CD)＝2θ＋sin(－θ)，即L＝2θ＋2cosθ－sinθ.(10分)
所以L′＝2－2sinθ－cosθ＝2－cos.(12分)
令L′＝0，得cos＝，
因为≤θ≤，所以θ＝.(14分)
因为当＜θ≤时，－＜θ－≤－，
L′＝2－cos＜0，
所以当θ＝时，L取得最大值，即观赏道路最长．(16分)
19. 解：(1) 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a1＝1，
所以a2＝1＋d，a3＝1＋2d，从而S2＝2＋d，S3＝3＋3d.(3分)
因为数列是等差数列，
所以2×＝＋，即＝1＋，(5分)
化简得d2－d＝0，而d≠0，所以d＝1.
故an＝a1＋(n－1)d＝n.(7分)
(2) 假设存在正整数数组k和m，使b1，bk，bm成等比数列，则lgb1，lgbk，lgbm成等差数列，
于是＝＋.(9分)
所以m＝3m　(*)．
易知k＝2，m＝3满足(*)．(11分)
因为当k≥3，且k∈N*时，－＝＜0，
所以数列(k≥3，k∈N)为递减数列，(14分)
于是－≤－＜0，
所以，当k≥3时，不存在正整数k和m满足(*)．
综上，当且仅当k＝2，m＝3时，b1，bk，bm成等比数列．(16分)
20. (1) 解：易得h(x)＝ax·lnx(a＞0)，则h′(x)＝a(lnx＋1)，
令h′(x)＝0，得x＝，(2分)
且当0＜x＜时，h′(x)＜0；当x＞时，h′(x)＞0，
所以函数h(x)存在极小值h＝－，不存在极大值．(5分)
(2) 证明：取x0＝，满足?x＞x0，f(x)＞g(x)．(7分)
令φ(x)＝ax－lnx(a＞0)，由φ′(x)＝a－＝0，得x＝，
列表：
x
φ′(x)
－
0
＋
φ(x)
?
极小值1＋lna
?
若a＞时，[φ(x)]min＝1＋lna＞0，所以φ(x)＞0，取x0＝＞0，则满足题意；
若a＝时，[φ(x)]min＝1＋lna＝0，所以φ(x)≥0，取x0＝＞，则满足题意；(11分)
若0＜a＜时，[φ(x)]min＝1＋lna＜0，取x0＝＞，
则当x＞x0时，φ(x)＞φ＝－2ln，
令t＝，记r(t)＝t－2lnt，且t＞e，
则r′(t)＝1－＝＞0，故r(t)为(e，＋∞)上单调增函数，
所以r(t)＞r(e)＝e－2＞0，从而－2ln＞0，所以φ(x)＞0，满足题意．
综上，存在x0＝，使得?x＞x0，φ(x)＞0，即f(x)＞g(x)．(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
棱锥的体积公式：V棱锥＝Sh，其中S为棱锥的底面积，h为高．
(第3题)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 设复数z满足(1＋2i)·z＝3(i为虚数单位)，则复数z的实部为____________．
2. 设集合A＝{－1，0，1}，B＝，A∩B＝{0}，则实数a的值为____________．
3. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是__________．
4. 为了解一批灯泡(共5 000只)的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命(单位：h)如下表：
使用寿命
[500，700)
[700，900)
[900，1 100)
[1 100，1 300)
[1 300，1 500]
只数
5
23
44
25
3
根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1 100 h的灯泡只数是__________．
5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是__________．
(第6题)
6. 已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是________．
7. 设函数y＝sin(0＜x＜π)，当且仅当x＝时，y取得最大值，则正数ω的值为____________．
8. 在等比数列{an}中，a2＝1，公比q≠±1.若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是________．
9. 在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，则CD长度的所有值为____________．
10. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为____________．
(第12题)
11. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)．若当x∈[0，2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为____________．
12. 如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3.点B，C分别在m，n上，|＋|＝5，则·的最大值是____________．
13. 设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是__________．
14. 若存在α，β∈R，使得则实数t的取值范围是__________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在斜三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1.
(1) 求C的值；
(2) 若A＝15°，AB＝，求△ABC的周长．
16. (本小题满分14分)
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：
(1) AP∥平面C1MN；
(2) 平面B1BDD1⊥平面C1MN.
17.(本小题满分14分)
植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30 m的围墙．现有两种方案：
方案①　多边形为直角三角形AEB(∠AEB＝90°)，如图1所示，其中AE＋EB＝30 m；
方案②　多边形为等腰梯形AEFB(AB＞EF)，如图2所示，其中AE＝EF＝BF＝10 m.
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．
18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足＝2.
(1) 若点P的坐标为(2，)，求椭圆的方程；
(2) 设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且＝m，直线OA，OB的斜率之积为－，求实数m的值．
19. (本小题满分16分)
设函数f(x)＝(x＋k＋1)，g(x)＝，其中k是实数．
(1) 若k＝0，解不等式·f(x)≥·g(x)；
(2) 若k≥0，求关于x的方程f(x)＝x·g(x)实根的个数．
20. (本小题满分16分)
设数列{an}的各项均为正数，{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，n∈N*.
(1) 求证：数列{an}为等差数列；
(2) 等比数列{bn}的各项均为正数，bnbn＋1≥S，n∈N*，且存在整数k≥2，使得bkbk＋1＝S.
(ⅰ) 求数列{bn}公比q的最小值(用k表示)；
(ⅱ) 当n≥2时，bn∈N*，求数列{bn}的通项公式．
(十五)
1. 　解析：由z＝＝－i，则复数z的实部为.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
2. 1　解析：0∈，由 a＋≠0，则a－1＝0，则实数a的值1.本题主要考查集合的交集运算，属于容易题．
3. 17　解析：由题意知：k＝0，k＝1，k＝3, k＝17>9.则输出的k的值是17.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
4. 1 400　解析：使用寿命不低于1 100 h的灯泡只数＝×5 000＝1 400.本题主要考查频率分布表的基础知识．本题属于容易题．
5. 　解析：从5个版块的试题中任选2个主题作答共有10个基本事件，“立德树人”主题被该队选中的有4个基本事件，则其概率为.本题考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．
6. 　解析：函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1，b∈R)的图象过(－3，0)，(0，－2)，代入解析式得 得a＝，b＝4，则a＋b＝.本题考查了待定系数法求解析式中系数，以及指数与对数转化运算．本题属于容易题．
7. 2　解析：x＝时，ωx＋＝，则正数ω＝2.本题考查了三角函数的性质等内容．本题属于容易题．
8. 　解析：由a1，4a3，7a5成等差数列，则8a3＝a1＋7a5，得q2＝，则a6＝a2q4＝.本题考查等比数列通项公式及性质，等差数列的性质等内容．本题属于容易题．
9. ，　解析：四面体ABCD体积＝×1××2×3×sinθ＝，则sinθ＝，θ＝60°或120°，由余弦定理得CD2＝7或19，则CD＝或.本题考查了几何体的体积公式，三角形的面积公式，以及余弦定理等内容．本题属于中等题．
10. 4　解析：圆x2＋y2＝1半径为1，PO＝2，则直线PT的倾斜角为30°，则直线方程为x－y＋2＝0，PT＝，RS＝，圆(x－a)2＋(y－)2＝3的半径为，则圆(x－a)2＋(y－)2＝3的圆心(a，)到直线PT的距离为，由点到直线距离公式得|a－1|＝3，则正数a＝4.本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线距离公式等内容．本题属于中等题．
11. 7　解析：函数y＝f(x)－1的零点个数，即为f(x)＝1的根的个数．当x∈[0，2)时，f(x)＝|x2－x－1|＝1，则x2－x－1＝1或x2－x－1＝－1，解得 x＝0或x＝1.因为x∈[0，＋∞)，f(x＋2)＝f(x)，所以x∈[2，4)时，f(x)＝1的根为x＝2或x＝3，x＝4也是方程的根．因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以 x∈[－2，0)时，f(x)＝1的根为x＝－1或x＝－2.综上所述，函数f(x)＝1的根有－2，－1，0，1，2，3，4，共7个， 即函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为7个．本题考查了函数的图象、奇偶性，零点的分布等内容．本题属于难题．
12. 　解析：如图所示，建立坐标系，则A(0，3)，D(0，2)，
设B(x1，2)，C(x2，0)，则＝(x1，－1)，＝(x2，－3)，
∵ |＋|＝5，
∴ (x1＋x2)2＋(－4)2＝25，
∴ (x1＋x2)2＝9.
而·＝x1x2＋3≤＋3＝＋3＝.
本题重点考查了数量积的坐标运算，基本不等式，重点突出数形结合的思想．本题属于中等题．
13. 4＋6　解析：由－y2＝1，得＝1，假设－y＝m，＋y＝n，即mn＝1，则x＝m＋n，y＝.所以3x2－2xy＝4m2＋2n2＋6mn≥2＋6mn＝4＋6(当且仅当4m2＝2n2时取等号)．本题主要考查基本不等式的运用，突出换元思想和代数式的变形．本题属于难题．
14. 　解析：令cosβ＝x(－1≤x≤0)，α＝y.
综上，实数t的取值范围是.本题主要考查换元的运用，导数的运用，突出函数的思想．本题属于难题．
15. 解：(1) 因为tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB，
因为在斜三角形ABC中，1－tanAtanB≠0，
所以tan(A＋B)＝＝1，(4分)
即tan(180°－C)＝1，亦即tanC＝－1.
因为0°＜C＜180°，所以C＝135°.(6分)
(2) 在△ABC中，A＝15°，C＝135°，则B＝180°－A－C＝30°.
由正弦定理＝＝，
得＝＝＝2，(9分)
故BC＝2sin15°＝2sin(45°－30°)＝2(sin45°cos30°－cos45°sin30°)＝，(12分)
CA＝2sin30°＝1.
所以△ABC的周长为AB＋BC＋CA＝＋1＋＝.(14分)
16. 证明：(1) 在正方体ABCDA1B1C1D1中，
因为M，P分别为棱AB，C1D1的中点，
所以AM＝PC1.
又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，
所以四边形AMC1P为平行四边形．
从而AP∥C1M.(4分)
又AP 平面C1MN，C1M平面C1MN，
所以AP∥平面C1MN.(6分)
(2) 连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD.
又M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC.
所以MN⊥BD.(8分)
在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，
又MN平面ABCD，
所以DD1⊥MN.(10分)
而DD1∩DB＝D，DD1，DB平面BDD1B1，
所以MN⊥平面BDD1B1.(12分)
又MN平面C1MN，
所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.(14分)
17. 解：设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为S1，S2.
方案①　设AE＝x，则S1＝x(30－x)(3分)
≤＝(当且仅当x＝15时，“＝”成立)．　(5分)
方案②　设∠BAE＝θ，则S2＝100sinθ(1＋cosθ)，θ∈.(8分)
由S′2＝100(2cos2θ＋cosθ－1)＝0，得cosθ＝(cosθ＝－1舍去)．　(10分)
因为θ∈，所以θ＝，列表：
θ
S′2
＋
0
－
S2
?
极大值
?
所以当θ＝时，(S2)max＝75.(12分)
因为＜75，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE＝.
答：方案①，②苗圃的最大面积分别为 m2，75 m2，建苗圃时用方案②，且∠BAE＝.(14分)
18. 解：(1) 因为＝2，而P(2，)，
所以A.
代入椭圆方程，得＋＝1.　①(2分)
又椭圆的离心率为，
所以＝.　②(4分)
由①②，得a2＝2，b2＝1，
故椭圆的方程为＋y2＝1.(6分)
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．
因为＝2，所以P(－2x1，－2y1)．
因为＝m，
所以(－2x1－x2，－2y1－y2)＝m(x3－x2，y3－y2)，
即
于是(9分)
代入椭圆方程，得
＋＝1，
即＋－(＋)＝1.　③(12分)
因为A，B在椭圆上，所以＋＝1，＋＝1.　④
因为直线OA，OB的斜率之积为－，即·＝－，结合②知＋＝0.　⑤
将④⑤代入③，得＋＝1，
解得m＝.(16分)
19. 解：(1) k＝0时，f(x)＝(x＋1)，g(x)＝.
由得x≥0.(2分)
此时，原不等式为(x＋1)x≥(x＋3)，即2x2＋x－3≥0，
解得x≤－或x≥1.
所以原不等式的解集为[1，＋∞)．(5分)
(2) 由方程f(x)＝x·g(x)，
得(x＋k＋1)＝x.　①
由得x≥k，所以x≥0，x－k＋1＞0.
方程①两边平方，整理得
(2k－1)x2－(k2－1)x－k(k＋1)2＝0(x≥k)．　②(7分)
当k＝时，由②得x＝，所以原方程有唯一解．
当k≠时，由②得判别式Δ＝(k＋1)2(3k－1)2，
ⅰ) k＝时，Δ＝0，方程②有两个相等的根x＝＞，
所以原方程有唯一的解．(10分)
ⅱ) 0≤k＜且k≠时，方程②整理为[(2k－1)x＋k(k＋1)](x－k－1)＝0，
解得x1＝，x2＝k＋1.
由于Δ＞0，所以x1≠x2，其中x2＝k＋1＞k，x1－k＝≥0，即x1≥k.
故原方程有两解．(14分)
ⅲ) k＞时，由ⅱ)知x1－k＝＜0，即x1＜k，故x1不是原方程的解．
而x2＝k＋1＞k，故原方程有唯一解．
综上所述：当k≥或k＝时，原方程有唯一解；
当0≤k＜且k≠时，原方程有两解．(16分)
注：ⅱ)中，法2：故方程②两实根均大于k，所以原方程有两解．
20. (1) 证明：因为Sn＝(an＋1)2，　①
所以Sn－1＝(an－1＋1)2，n≥2，　②
①－②，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，n≥2，(2分)
因为数列{an}的各项均为正数，所以an＋an－1＞0，n≥2.
从而an－an－1＝2，n≥2，
所以数列{an}为等差数列．(4分)
(2) 解：(ⅰ) ①中，令n＝1，得a1＝1，所以an＝2n－1，Sn＝n2.
由bkbk＋1＝S(k≥2)得，b1＝，
所以bn＝b1qn－1＝k2qn－k－.　③
由bnbn＋1≥S得，k4q2n－2k≥n4，即qn－k≥.　④(6分)
当n＝k时，④恒成立．
当n≥k＋1时，④两边取自然对数，整理得≥.　⑤
记f(x)＝(x＞1)，则f′(x)＝，
记g(t)＝1－t＋lnt，0＜t＜1，则g′(t)＝＞0，
故g(t)为(0，1)上的增函数，所以g(t)＜g(1)＝0，从而f′(x)＜0，
故f(x)为(1，＋∞)上的减函数，从而的最大值为kln.
⑤中，≥kln，解得q≥.(10分)
当n≤k－1时，同理有q≤.
所以公比q的最小值为(整数k≥2)．(12分)
(ⅱ) 依题意，q∈N*.
由(2)知，q∈(整数k≥2)，
所以q≥＞1，q≤≤4，
从而q∈{2，3，4}，
当q＝2时，≤2≤，只能k＝3，此时bn＝9·2n－，不符；
当q＝3时，≤3≤，只能k＝2，此时bn＝4·3n－，不符；
当q＝4时，≤4≤，只能k＝2，此时bn＝22n－3，符合．
综上，bn＝22n－3.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi.
柱体的体积V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
甲
乙
9　8
8
7　9
2　1　0
9
0　1　3
(第3题)
1. 已知集合U＝{－1，0，1，2}，A＝{－1，1，2}，则?UA＝________．
2. 已知复数z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则z的共轭复数为________．　
3. 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为__________．
(第4题)
4. 右图是一个算法流程图，则输出的S的值为__________．
5. 已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b.若它们的体积相等，则a3∶b3的值为________．
6. 将一枚骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线y＝x下方的概率为__________．
7. 函数f(x)＝的定义域为__________．
8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为__________．
9. 已知两曲线f(x)＝cosx，g(x)＝sinx，x∈相交于点A，若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B，C两点，则线段BC的长为__________．
(第10题)
10. 如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若||＝3，||＝5，则(＋)·(－)的值为__________．
11. 设数列{an}满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，则(akak＋1)的值为__________．
12. 已知函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，g(x)＝ (f′(x)为f(x)的导函数)．若方程g(f(x))＝0有四个不等的实根，则a的取值范围是__________．
(第13题)
13. 如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，顶点C，D在函数y＝x＋(x＞0)的图象上．记AB＝m，BC＝n，则的最大值为__________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－1)2＋y2＝2，圆C2：(x－m)2＋(y＋m)2＝m2.若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA，PB，切点为A，B，△ABP的面积为1，则正数m的取值范围是__________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知△ABC是锐角三角形，向量m＝，n＝(cosB，sinB)，且m⊥n.
(1) 求A－B的值；
(2) 若cosB＝，AC＝8，求BC的长．
16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD＝2AB＝2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点．求证：
(1) PC∥平面BMN；
(2) 平面BMN⊥平面PAC.
17. (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.
(1) 若直线l的斜率为，求的值；
(2) 若＝λ，求实数λ的取值范围．
18. (本小题满分16分)
某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1 m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形．现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．
(1) 若窗口ABCD为正方形，且面积大于m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；
(2) 若四根木条总长为6 m，求窗口ABCD面积的最大值．
19. (本小题满分16分)
已知数列{an}，{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，an＋1bn＝Sn＋1(n∈N*)．
(1) 若a1＝1，bn＝，求a4的值；
(2) 若{an}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{bn＋λ}为等比数列；
(3) 若{an}的各项都不为零，{bn}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，…，an，…成等差数列的充要条件是d＝.
20. (本小题满分16分)
设函数f(x)＝xex－asinxcosx(a∈R，其中e是自然对数的底数)．
(1) 当a＝0时，求f(x)的极值；
(2) 若对于任意的x∈，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；
(3) 是否存在实数a，使得函数f(x)在区间上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

(十八)
1. {0}　解析：?UA＝{0}．本题主要考查补集的概念．本题属于容易题．
2. 3＋4i　解析：z＝3－4i，则z的共轭复数为3＋4i.本题主要考查共轭复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 2　解析：通过数据发现乙同学的数据波动大，即方差大，则成绩较稳定(方差较小)的是甲，他的平均成绩为90，方差为2.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．
4. 3　解析：由流程图知循环体执行3次，第1次循环S＝11，n＝3；第2次循环S＝8，n＝5；第3次循环S＝3，n＝7.本题考查了算法语句及流程图的基本概念．本题属于容易题．
5. π∶　解析：由正三棱柱的体积为a3，圆柱的体积为，a3＝，则a3∶b3的值为π∶.本题考查了圆柱与棱柱的体积公式．本题属于容易题．
6. 　解析：一枚骰子连续抛掷2次的基本事件数为36种，点P(m，n)在直线y＝x下方，即y＜x，当y＝1时，x＝3，4，5，6；当y＝2时，x＝5，6；共有6种基本事件，所求的概率为.本题考查古典概型，属于容易题．
7. (1，]　解析：由≥2，即08. y＝±x　解析：抛物线y2＝－12x的焦点坐标为(－3，0)，双曲线－y2＝1中c＝3，a2＋1＝9，a2＝8，则双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x.本题考查了抛物线方程、双曲线方程的结构特征，以及双曲线的渐近线的方程．本题属于容易题．
9. 　解析：由cosx＝sinx，x∈，则x＝，A(，)，k1＝－sin＝－，k2＝cos＝.两条切线方程分别为y－＝－，y－＝.它们与x轴交点的横坐标分别为＋、－.则线段BC的长为＋－＝.本题考查了三角函数的图象与性质，导数的几何意义以及直线方程．本题属于中等题．
10. －16　解析：由＝－，·＝0，则(＋)·(－)＝(2－)·＝2·＝(＋)·(－)＝　2－　2＝9－25＝－16.本题考查了向量线性分解、向量数量积的运算．本题属于中等题．
11. 　解析：由(1－an＋1)(1＋an)＝1得－＝1，则an＝，原式＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.本题考查了等差数列的定义、通项公式，以及裂项法．本题属于中等题．
12. a＜0或a＞2　解析：g(x)＝
当a＝0时，显然不成立；
当a>0时，g(x)的图象如图①.
图①
g(t)＝0有2个不等实根t1＝0，t2＝－，则t1＝f(x)＝0需有2个不等实根，t2＝f(x)＝－需有2个不等实根，f(x)的图象如图②.
图②
只要－>－，即a>2；
当a<0时，g(x)的图象如图③.
图③
g(t)＝0有2个不等实根t1＝0，t2＝－a，则t1＝f(x)＝0需有2个不等实根，t2＝f(x)＝－a需有2个不等实根，f(x)的图象如图④.
图④
只要－a>－即a<0即可．
综上a<0或a>2.
本题考查了二次函数的性质、分段函数，函数的导数以及数形结合思想和分类讨论思想．本题属于难题．
13. 　解析：设D(x1，n)，C(x2，n)(014. [1，3＋2]　解析：如图，设∠APC1＝θ，则AP＝.
∴ S△ABP＝AP2sin2θ＝··sin2θ＝＝1，即＝tanθ－1.
∵ θ∈，∴ tanθ＝1，即θ＝，此时PC1＝2.则点P在圆C1′：(x－1)2＋y2＝4上，又点P在圆C2：(x－m)2＋(y＋m)2＝m2上，∴ 圆C1′与圆C2有交点，即|2－m|≤C1′C2≤2＋m，解之得1≤m≤3＋2，∴ 正数m的取值范围时[1，3＋2]．本题考查了圆的切线的性质、三角函数的运用、圆与圆相交的条件．本题属于难题．
15. 解：(1) 因为m⊥n，
所以m·n＝coscosB＋sinsinB
＝cos＝0.(3分)
又A，B∈，所以A＋－B∈，(5分)
所以A＋－B＝，即A－B＝.(7分)
(2) 因为cosB＝，B∈，所以sinB＝.(9分)
所以sinA＝sin＝sinBcos＋cosBsin
＝·＋·＝.(12分)
由正弦定理，得BC＝·AC＝×8＝4＋3.(14分)
16. 证明：(1) 设AC∩BN＝O，连结MO，AN.
因为AB＝CD，AB∥CD，N为CD的中点，
所以AB＝CN，AB∥CN，
所以四边形ABCN为平行四边形，(2分)
所以O为AC的中点．
又M为PA的中点，所以MO∥PC.(4分)
因为MO平面BMN，PC 平面BMN，
所以PC∥平面BMN.(6分)
(2) (方法1)因为PC⊥平面PDA，AD平面PDA，
所以PC⊥AD.
由(1)同理可得，四边形ABND为平行四边形，
所以AD∥BN，所以BN⊥PC.(8分)
因为BC＝AB，
所以平行四边形ABCN为菱形，所以BN⊥AC.(10分)
因为PC∩AC＝C，AC平面PAC，PC平面PAC，
所以BN⊥平面PAC.(12分)
因为BN平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC.(14分)
(方法2)连结PN.
因为PC⊥平面PDA，PA平面PDA，所以PC⊥PA.
因为PC∥MO，所以PA⊥MO.(8分)
因为PC⊥平面PDA，PD平面PDA，所以PC⊥PD.
因为N为CD的中点，所以PN＝CD.
由(1)AN＝BC＝CD，所以AN＝PN.
因为M为PA的中点，所以PA⊥MN.(10分)
因为MN∩MO＝M，MN?平面BMN，MO平面BMN，
所以PA⊥平面BMN.(12分)
因为PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN.(14分)
17. 解：(1) 由条件，解得
所以椭圆的方程为＋＝1，圆的方程为x2＋y2＝4.(3分)
(方法1)直线l的方程为y＝(x＋2)，
由得3x2＋4x－4＝0，
解得xA＝－2，xP＝，所以P.
所以AP＝＝.(5分)
因为原点O到直线l的距离d＝，
所以AQ＝2＝，
所以＝＝.(7分)
(方法2)由得3y2－4y＝0，所以yP＝.(5分)
由消x得5y2－8y＝0，所以yQ＝，
所以＝×＝.(7分)
(2) (方法1)若＝λ，则λ＝－1，
设直线l：y＝k(x＋2)，
由得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
即(x＋2)[(2k2＋1)x＋(4k2－2)]＝0，
所以xA＝－2，xP＝，得P.
所以AP2＝＋＝，即AP＝.(10分)
同理AQ＝.(12分)
所以λ＝－1＝1－.
由题意，k2＞0，所以0＜λ＜1.(14分)
(方法2)由方法1知，λ＝－1＝－1＝－1＝1－，
由题意，k2＞0，所以0＜λ＜1.(14分)
18. 解：(1) 设一根木条长为x m，则正方形的边长为2＝ m．(2分)
因为S四边形ABCD＞，
所以4－x2＞，即x＜.(4分)
因为四根木条将圆分成9个区域，
所以x＞，所以4＜4x＜2.
答：木条总长的取值范围为(4，2)．(6分)
(2) (方法1)设AB所在木条长为a m，则BC所在木条长为(3－a) m.
因为a∈(0，2)，3－a∈(0，2)，
所以a∈(1，2)，(8分)
S矩形ABCD＝4·
＝·
＝.(11分)
设f(a)＝a4－6a3＋a2＋24a－20，f′(a)＝4a3－18a2＋2a＋24＝2(a＋1)(2a－3)(a－4)，
令f′(a)＝0，得a＝，或a＝－1(舍去)，或a＝4(舍去)．(14分)
列表如下：
a
f′(a)
＋
0
－
f(a)
?
极大值
?
所以当a＝时，f(x)max＝f＝，即Smax＝.
答：窗口ABCD面积的最大值为 m2.(16分)
(方法2)设AB所在木条长为a m，BD所在木条长为b m．由条件，2a＋2b＝6，即a＋b＝3.
因为a，b∈(0，2)，所以b＝3－a∈(0，2)，从而a，b∈(1，2)．(8分)
由于AB＝2，BD＝2，
S矩形ABCD＝4·＝·，(10分)
因为·≤≤＝，(14分)
当且仅当a＝b＝∈(1，2)时，S矩形ABCD＝.
答：窗口ABCD面积的最大值为 m2.(16分)
19. (1) 解：由a1＝1，bn＝，知a2＝4，a3＝6，a4＝8.(2分)
(2) 证明：(方法1)因为an＋1bn＝Sn＋1，
所以a1qnbn＝＋1，
所以qnbn＝＋－，
即bn＝－，(4分)
所以存在实数λ＝，使得bn＋λ＝(＋)()n.(6分)
因为bn＋λ≠0(否则{bn}为常数数列与题意不符)，
所以当n≥2时，＝，此时{bn＋λ}为等比数列，
所以存在实数λ＝，使{bn＋λ}为等比数列．(8分)
(方法2)因为an＋1bn＝Sn＋1　①，
所以当n≥2时，anbn－1＝Sn－1＋1　②，
①－②得，当n≥2时，an＋1bn－anbn－1＝an　③，(4分)
由③得，当n≥2时，bn＝bn－1＋＝bn－1＋，(6分)
所以bn＋＝.
因为bn＋≠0(否则{bn}为常数数列与题意不符)，
所以存在实数λ＝，使{bn＋λ}为等比数列．(8分)
(3) 证明：因为{bn}为公差为d的等差数列，
所以由③得，当n≥2时，an＋1bn－an(bn－d)＝an，即(an＋1－an)bn＝(1－d)an.
因为{an}，{bn}各项均不相等，所以an＋1－an≠0，1－d≠0，
所以当n≥2时，＝　④，(10分)
当n≥3时，＝　⑤，由④－⑤，得
当n≥3时，－＝＝　⑥.(12分)
先证充分性：即由d＝证明a2，a3，…，an，…成等差数列．
因为d＝，由⑥得－＝1，
所以当n≥3时，＝1＋＝.
又an≠0，所以an＋1－an＝an－an－1，即a2，a3，…，an，…成等差数列．(14分)
再证必要性：即由a2，a3，…，an，…成等差数列证明d＝.
因为a2，a3，…，an，…成等差数列，所以当n≥3时，an＋1－an＝an－an－1，
所以由⑥得－＝－＝1＝，
所以d＝，
所以a2，a3，…，an，…成等差数列的充要条件是d＝.(16分)
20. 解：(1) 当a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝ex(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1.(2分)
列表如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝－，无极大值．(4分)
(2) ① 当a≤0时，由于对于任意x∈，有sinxcosx≥0，　
所以f(x)≥0恒成立，当a≤0时，符合题意；(6分)
② 当0＜a≤1时，因为f′(x)＝ex(x＋1)－acos2x≥e0(0＋1)－acos0＝1－a≥0，
所以函数f(x)在上为增函数，
所以f(x)≥f(0)＝0，即当0＜a≤1时，符合题意；(8分)
③ 当a＞1时，f′(0)＝1－a＜0，
f′＝e＞0，　
所以，存在α∈，使得f′(α)＝0，且在(0，α)内，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，α)上为减函数，
所以f(x)＜f(0)＝0，即当a＞1时，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．(10分)
(3) 不存在实数a，使得函数f(x)在区间上有两个零点．　
由(2)知，当a≤1时，f(x)在上是增函数，且f(0)＝0，故函数f(x)在区间上无零点．(12分)
当a＞1时，f′(x)＝ex(x＋1)－acos2x.令g(x)＝ex(x＋1)－acos2x，
则g′(x)＝ex(x＋2)＋2asin2x，当x∈时，恒有g′(x)＞0，
所以g(x)在上是增函数．
由g(0)＝1－a＜0，g＝e＋a＞0，
故g(x)在上存在唯一的零点x0，(14分)
即方程f′(x)＝0在上存在唯一解x0.
且当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在上单调递增．
当x∈(0，x0)时，f(x)＜f(0)＝0，即f(x)在(0，x0)上无零点；
当x∈时，由于f(x0)＜f(0)＝0，f＝e＞0，
所以f(x)在上有唯一零点．
所以，当a＞1时，f(x)在上有一个零点．
综上所述，不存在实数a，使得函数f(x)在区间上有两个零点．(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知全集U＝{－1，2，3，a}，集合M＝{－1，3}．若?UM＝{2，5}，则实数a的值为________．
2. 设复数z满足z(1＋i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为__________．
3. 甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩(单位：环)如下表：
选手
第1轮
第2轮
第3轮
第4轮
第5轮
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是__________．
4. 从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是__________．
5. 执行如图所示的伪代码，输出的结果是________．
　S←1
　I←2
While S≤100
　I←I＋2
　S←S×I
End While
Print I
(第5题)
6. 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，mβ，给出下列命题：
① α∥β?l⊥m；② α⊥β??l∥m；③ m∥α?l⊥β；④ l⊥β?m∥α.
其中正确的命题是__________．(填序号)
7. 设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2，则＝__________．
(第9题)
8. 设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为__________．
9. 如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的周期是__________．　
10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是__________．
(第11题)
11. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝__________．
12. 在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为__________．
13. 设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－b.若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为__________．
14. 若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为__________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量m＝(a，cosA)，向量n＝(cosC，c)，且m·n＝3bcosB.
(1) 求cosB的值；
(2) 若a，b，c成等比数列，求＋的值．
16. (本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱BC上一点．
(1) 若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
(2) 若A1B∥平面ADC1，求的值．
17. (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，1)在椭圆C上．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
① 若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
② 求证：OP⊥OQ.
18. (本小题满分16分)
如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．
(1) 若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；
(2) 已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．
19. (本小题满分16分)
设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)．
(1) 当m＝1时，求函数f(x)的单调减区间；
(2) 设g(x)＝|f(x)|，求函数g(x)在区间[0，m]上的最大值；
(3) 若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，记bn＝.
(1) 若{an}是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．
① 当3b1，2b2，b3成等差数列时，求的值；
② 求证：存在唯一的正整数n，使得an＋1≤bn＜an＋2.
(2) 设数列{an}是公比为q(q＞2)的等比数列，若存在r，t(r，t∈N*，r＜t)使得＝，求q的值
(十六)
1. 5　解析：M∪(?UM)＝U，则a＝5.本题主要考查集合的运算．本题属于容易题．
2. 3－i　解析：z＝＝＝3＋i，z的共轭复数是3－i. 本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 0.02　解析：由数据可知：甲选手成绩最稳定．甲选手的平均成绩为10，则它的方差为0.02.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．
4. 　解析：从5个球中随机取出两个球的基本事件数为10，取出的两球中恰有一个红球的基本事件数为6，则取出的两球中恰有一个红球的概率是.本题考查古典概型，属于容易题．
5. 8　解析：由流程图知执行第一次循环体时I＝4，S＝4，执行第二次循环体I＝6，S＝24，执行第三次循环体I＝8，S＝192，此时退出循环．本题考查流程图基本知识．本题属于容易题．
6. ①④　解析：① 是面面平行的性质(课本上例题)的应用．α∥β，l⊥α? l⊥β? l⊥m，命题正确；② α⊥β，l⊥α? l、m可平行，可相交，可异面，命题错误；③ m∥α，l⊥α? l⊥m? l与β可平行，l可在β内，l可与β相交，命题错误；④ l⊥β、l⊥α?β∥α?m∥α，命题正确．本题考查面面平行，线面平行，面面垂直，线面垂直的性质．本题属于容易题．
7. 4　解析：由Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，相减，化简得an＝2an－1，则数列{an}为公比是2的等比数列．则＝4.本题考查Sn与an的关系，等比数列的定义以及项之间的关系．本题属于容易题．
8. 　解析：由题意知F(－c，0)，线段PF的中点坐标为(0，b)，则P(c，2b)，代入双曲线方程并整理得－＝1，即e＝.本题考查双曲线的焦点，中点公式、虚轴等概念．本题属于容易题．
9. 4　解析：由题意知T＝，则A，B，而OA⊥OB，则×－3＝0，即π＝2ω，得T＝＝＝4.本题考查三角函数的图象与性质，向量数量积的坐标运算等内容．本题属于容易题．
10. [－1，3]　解析：当x≥0时，f(x)＝2x－2，当x＜0时，f(x)＝2－x－2，不等式f(x)≤2得－2≤x≤2，则不等式f(x－1)≤2得－2≤x－1≤2，得－1≤x≤3.本题考查了函数的图象与性质，以及整体思想的运用．本题属于容易题．
11. 　解析：因为·＝·(－＋)＝－2－·＝－3，所以·＝.本题考查向量的线性表示，以及向量数量积的运算法则．本题属于容易题．
12. 3　解析：根据题意，圆M与以N为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则dMN≤dON－1，即1≤dON－1.所以dON≥2恒成立．因为N在圆M上运动，所以dON的最小值为dOM－1，即dOM－1≥2，所以≥3，解得a≥3，所以a的最小值为3.本题考查了圆与圆的位置关系，一元二次不等式解法，以及数形结合思想的运用．本题属于中等题．
13. 　解析：该题利用数形结合的方法去解决，y＝的图象利用导数画出草图，该函数在x＝2处取到最大值，结合f(x)的草图分析，对于y＝－x－1的函数值为时，得到x＝－，所以－14. 　解析：把2x2＋xy－y2＝1变为(x＋y)(2x－y)＝1，令2x－y＝t，x＋y＝，由此解得x＝，y＝，把x，y代入得：原式＝＝＝，＋≥2或＋≤－2，所以原式的最大值为.本题考查了代数式的变形，利用基本不等式求最值．本题属于难题．
15. 解：(1) 因为m·n＝3bcosB，所以acosC＋ccosA＝3bcosB.
由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sinBcosB，(3分)
所以sin(A＋C)＝3sinBcosB，所以sinB＝3sinBcosB.
因为B是△ABC的内角，所以sinB≠0，所以cosB＝.(7分)
(2) 因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.
由正弦定理，得sin2B＝sinA·sinC.(9分)
因为cosB＝，B是△ABC的内角，所以sinB＝.(11分)
又＋＝＋＝＝＝＝＝＝.(14分)
16. (1) 证明：因为AB＝AC，点D为BC中点，所以AD⊥BC.(2分)
因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC.
因为AD平面ABC，所以BB1⊥AD.(4分)
因为BC∩BB1＝B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1.
因为AD平面ADC1，
所以平面ADC1⊥平面BCC1B1.(6分)
(2) 解：连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点．(8分)
因为A1B∥平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，
所以A1B∥OD.(12分)
因为O为AC1中点，所以D为BC中点，所以＝1.(14分)
17. (1) 解：由题意，得＝，＋＝1，
解得a2＝6，b2＝3.
所以椭圆的方程为＋＝1.(2分)
(2) ① 解：(解法1)椭圆C的右焦点F(，0)．
设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
所以＝，解得k＝±，
所以切线方程为y＝±(x－)．(4分)
由方程组
解得或
所以点P，Q的坐标分别为，，
所以PQ＝.(6分)
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为.
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积也为.
综上所述，△OPQ的面积为.(8分)
(解法2)椭圆C的右焦点F(，0)．
设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
所以＝，解得k＝±，
所以切线方程为y＝±(x－)．(4分)
把切线方程y＝(x－)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－8x＋6＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝.
由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e(x1＋x2)＝2×－×＝.(6分)
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为.
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积也为.
综上所述，△OPQ的面积为.(8分)
② 证明：(证法1)(ⅰ) 若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－.
当x＝时，P(，)，Q(，－)．
因为·＝0，所以OP⊥OQ.
当x＝－时，同理可得OP⊥OQ.(10分)
(ⅱ) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0.
因为直线与圆相切，所以＝，即m2＝2k2＋2.
将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.(12分)
因为·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)×＋km×＋m2.
将m2＝2k2＋2代入上式可得·＝0，所以OP⊥OQ.
综上所述，OP⊥OQ.(14分)
(证法2)设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0x＋y0y－2＝0，且x＋y＝2.
(ⅰ) 当y0＝0时，则直线PQ的方程为x＝或x＝－.
当x＝时，P(，)，Q(，－)．
因为·＝0，所以OP⊥OQ.
当x＝－时，同理可得OP⊥OQ.(10分)
(ⅱ) 当y0≠0时，由方程组
消去y得(2x＋y)x2－8x0x＋8－6y＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有
x1＋x2＝，x1x2＝.(12分)
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝.
因为x＋y＝2，代入上式可得·＝0，所以OP⊥OQ.
综上所述，OP⊥OQ.(14分)
18. 解：(1) 由题意，可得AD＝12千米．
由题可知|－|≤，(2分)
解得≤v≤.(4分)
(2) (解法1)经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．
由于先乙到达D地，故＜2，即v＞8.(6分)
① 当0＜vt≤5，即0＜t≤时，
f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB
＝t2.
因为v2－v＋36＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，
所以×≤25，解得v≥.(9分)
② 当5＜vt≤13，即＜t≤时，
f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6) 2＋9.
因为v＞8，所以＜，(v－6)2＞0，
所以当t＝时，f(t)取最大值，
所以(v－6) 2＋9≤25，解得≤v≤.(13分)
③ 当13≤vt≤16, ≤t≤时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，
因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在上递减，所以当t＝时，f(t)取最大值，
＋≤25，解得≤v≤.
因为v＞8，所以 8＜v≤.(16分)
(解法2)设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．
由于先乙到达D地，故＜2，即v＞8.(6分)
以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系，
① 当0＜vt≤5时，f(t)＝＋.
由于＋≤25，所以＋≤对任意0＜t≤都成立，
所以＋≤v2，解得v≥.(9分)
② 当5＜vt＜13时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋32.
由于(vt－1－6t)2＋32≤25，所以－4≤vt－1－6t≤4对任意＜t＜都成立，
即对任意≤t≤都成立，
所以解得≤v≤.(13分)
③ 当13≤vt≤16即≤t≤，此时f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2.
由①及②知8＜v≤，
于是0＜12－6t≤12－≤12－＝4，
又0≤16－vt≤3，
所以f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2≤42＋32＝25恒成立．
综上①②③可知8＜v≤.(16分)
19. 解：(1) 当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2－1，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)．
由f′(x)＜0，解得x＜0或x＞.
所以函数f(x)的减区间是(－∞，0)和.(2分)
(2) 依题意m＞0.
因为f(x)＝－x3＋mx2－m，
所以f′(x)＝－3x2＋2mx＝－x(3x－2m)．
由f′(x)＝0，得x＝或x＝0.
当0＜x＜时，f′(x)＞0，所以f(x)在上为增函数；　
当＜x＜m时，f ′(x)＜0，所以f(x)在上为减函数；
所以f(x)极大值＝f＝m3－m.(4分)
① 当m3－m≥m，即m≥，ymax＝m3－m；(6分)
② 当m3－m＜m，即0＜m＜时，ymax＝m.
综上，ymax＝(8分)
(3) 设两切点的横坐标分别是x1，x2.则函数f(x)在这两点的切线的方程分别为
y－(－x＋mx－m)＝(－3x＋2mx1)(x－x1)，
y－(－x＋mx－m)＝(－3x＋2mx2)(x－x2)．(10分)
将(2，t)代入两条切线方程，得
t－(－x＋mx－m)＝(－3x＋2mx1)(2－x1)，
t－(－x＋mx－m)＝(－3x＋2mx2)(2－x2)．
因为函数f(x)图象上有且仅有两个不同的切点，
所以方程t－(－x3＋mx2－m)＝(－3x2＋2mx)(2－x)有且仅有不相等的两个实根．(12分)
整理得t＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m.
设h(x)＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m，
则h′(x)＝6x2－2(6＋m)x＋4m＝2(3x－m)(x－2)．
① 当m＝6时，h′(x)＝6(x－2)2≥0，所以h(x)单调递增，显然不成立；
② 当m≠6时，h′(x)＝0，解得x＝2或x＝.
列表可判断单调性，可得当x＝2或x＝时，
h(x)取得极值分别为h(2)＝3m－8，或h＝－m3＋m2－m.
要使得关于x的方程t＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m有且仅有两个不相等的实根，
则t＝3m－8，或t＝－m3＋m2－m.(14分)
因为t≤0，所以3m－8≤0 (*)，或－m3＋m2－m≤0 (**)．
解(*)得m≤，解(**)得m≤9－3或m≥9＋3.
因为m＞0，所以m的范围为∪[9＋3，＋∞)．(16分)
20. (1) ① 解：因为3b1，2b2，b3成等差数列，
所以4b2＝3b1＋b3，即4×＝3(2a＋d)＋，解得＝.(4分)
② 证明：由an＋1≤bn＜an＋2，得
a＋nd≤＜a＋(n＋1)d，
整理得(6分)
解得＜n≤.(8分)
由于－＝1且＞0.
因此存在唯一的正整数n，使得an＋1≤bn＜an＋2.(10分)
(2) 解：因为＝＝，
所以＝.
设f(n)＝，n≥2，n∈N*.
则f(n＋1)－f(n)＝－
＝.
因为q＞2，n≥2，
所以(q－1)n2＋2(q－2)n－3＞n2－3≥1＞0，
所以f(n＋1)－f(n)＞0，即f(n＋1)＞f(n)，即f(n)单调递增．　(12分)
所以当r≥2时，t＞r≥2，
则f(t)＞f(r)，即＞，这与＝互相矛盾．
所以r＝1，即＝.(14分)
若t≥3，则f(t)≥f(3)＝＝·＞，即＞，与＝相矛盾．
于是t＝2，所以＝，即3q2－5q－5＝0.
又q＞2，所以q＝.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x|x＜3，x∈R}，B＝{x|x＞1，x∈R}，则A∩B＝____________．
2. 已知i为虚数单位，复数z满足＋4＝3i，则复数z的模为____________．
3. 一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为________．
4. 在平面直角坐标系xOy中，已知方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为__________．
5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是__________．
6. 执行如图所示的程序框图，输出的x值为______________．
(第6题)
　　　　　　(第7题)
7. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥PAA1C1C的体积为____________．
8. 设数列{an}是首项为1，公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则数列{an}的公差为__________．
9. 在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)＝(x＞0)的图象上任意一点，过M点向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则·＝____________．
10. 若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是____________．
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为____________．
12. 已知函数f(x)＝若存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f(x1)＝f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是____________．
13. 已知函数f(x)＝2x－1＋a，g(x)＝bf(1－x)，其中a，b∈R.若关于x的不等式f(x)≥g(x)的解的最小值为2，则a的取值范围是____________．
14. 若实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，则当x＋2y取得最大值时，的值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝sin－sin.
(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2) 当x∈时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值．
16.(本小题满分14分)
如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点．
(1) 求证：MN∥平面PAB；
(2) 若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD.
17. (本小题满分14分)
如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k.设OA＝x，OB＝y.
(1) 求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(2) 求N－M的最大值及相应的x的值．
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P，离心率为.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设直线l与椭圆C交于A，B两点．
① 若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；
② 若直线l的斜率为，试探究OA2＋OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．
19. (本小题满分16分)
设函数f(x)＝x－2ex－k(x－2lnx)(k为实常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1) 当k＝1时，求函数f(x)的最小值；
(2) 若函数f(x)在区间(0，4)内存在三个极值点，求k的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知首项为1的正项数列{an}满足a＋a＜an＋1an，n∈N*.
(1) 若a2＝，a3＝x，a4＝4，求x的取值范围；
(2) 设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}前n项的和．若Sn＜Sn＋1＜2Sn，n∈N*，求q的取值范围；
(3) 若a1，a2，…，ak(k≥3)成等差数列，且a1＋a2＋…＋ak＝120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak的公差．
(十四)
1. (1，3)　解析：A∩B＝{x|1＜x＜3，x∈R}．本题考查了集合的交集的概念．本题属于容易题．
2. 5　解析：z＝－3－4i，则复数z的模为5. 本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 320　解析：由题意知＝，则n＝320.本题考查了频数和频率的概念及计算公式．本题属于容易题．
4. (－2，4)　解析：本题考查双曲线的标准方程的基础知识与一元二次不等式的解法．本题属于容易题．
5. 　解析：在周一至周五的五天中随机选择2天共有10种情况，选择的2天恰好为连续2天的情况共有4种，则所求的概率为.本题考查用列举法求古典概型的概率．本题属于容易题．
6. 6　解析：由题设可知，循环体执行3次，第一次x值为4，第二次x值为5，第三次x值为6，符合题意．本题考查了算法语句的基本概念．本题属于容易题．
7. 　解析：四棱锥PAA1C1C的体积为××＝.本题考查四棱锥的体积求法，棱长与体积的关系．本题属于容易题．
8. 2　解析：S1＝1，S2＝2＋d，S4＝4＋6d成等比数列，得(2＋d)2＝4＋6d，d不为零，得d＝2.本题考查了等比数列前n项和公式，考查了方程的思想．本题属于容易题．
9. －2　解析：设M(x0，y0)，可求得A，B(0，y0)，＝，＝(－x0，0)，·＝，而M(x0，y0)在f(x)＝上，则x0y0＝x＋4，x－x0y0＝－4，则·＝－2. 本题考查了向量数量积的坐标运算、直线垂直和交点求法．本题属于中等题．
10. (2，＋∞)　解析：设钝角三角形三内角C，B，A成等差数列，则2B＝A＋C.因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.设钝角三角形的三内角为60°－α，60°，60°＋α，则90°＜60°＋α＜120°，即30°＜α＜60°，设60°＋α对应a边，60°－α对应b边，由正弦定理，得＝＝＝m(分子分母同时除以cosα≠0)，∴ tanα＝.∵ 30°＜α＜60°，∴ ＜tanα＜，∴ m＞2，故m的取值范围为(2，＋∞)．本题考查了等差中项的概念，正弦定理以及和差角公式，弦切互化．本题属于中等题．
11. 　解析：∵ 圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴ 圆C1的圆心坐标为(3，0)；设直线l的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立(x－3)2＋y2＝4，y＝kx，消去y可得(1＋k2)x2－6x＋5＝0，由题知x1＝x2, y1＝y2，由韦达定理化简可得k2＝，即k＝±，直线l的方程为y＝±x，由点到直线的距离公式知，所求的距离为.本题考查了圆的标准方程，直线与圆，点到直线的距离公式．本题属于中等题．
12. 　解析：函数f(x)的图象如图所示，因为存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤6，f(x1)＝f(x2)，所以1≤x1≤3，
故x1f(x2)＝x1f(x1)＝－x＋4x.
令g(x1)＝－x＋4x，x1∈[1，3]，则g′(x1)＝－3x＋8x1.
由g′(x1)>0得x1∈，由g′(x1)<0得x1∈，所以g(x1)min＝g(1)＝3，g(x1)max＝g＝.所以x1f(x2)的取值范围是.本题考查函数图象，以及导数在求最值中的运用．本题属于难题．
13. (－∞，－2]∪　解析：因为f(x)＝2x－1＋a，所以g(x)＝bf(1－x)＝b(2－x＋a)，由f(x)≥g(x)得，2x－1＋a≥b(2－x＋a)，所以22x＋2a(1－b)2x－2b≥0.令2x＝t，则t2＋2a(1－b)t－2b≥0.令h(t)＝t2＋2a(1－b)t－2b，因为f(x)≥g(x)的解的最小值为2，所以h(t)≥0的解的最小值为4，故即即
① 当b＝1时，显然不成立；② 当b≠1时，4a＝＝－1－，因为b≥0且b≠1，所以4a≤－8或4a＞－1，即a∈(－∞，－2]∪.本题主要考查指数函数、二次函数的最值与不等式等内容综合运用．本题属于难题．
14. 2　解析：(解法1)因为实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，所以(x＋2y)2＋4x2y2－8xy＝4，即(x＋2y)2＋4(xy－1)2＝8，所以(x＋2y)2＝8－4(xy－1)2，所以当(xy－1)2＝0时，即xy＝1时，x＋2y取得最大值，此时x＝，y＝，所以＝2.(解法2)因为实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，所以(x－2y)2＋4x2y2＝4，令x－2y＝2cosθ，xy＝sinθ，则(x＋2y)2＝(x－2y)2＋8xy＝4cos2θ＋8sinθ，所以(x＋2y)2＝－4sin2θ＋8sinθ＋4，所以当sinθ＝1时，(x＋2y)2取得最大值，此时xy＝1，x－2y＝0，所以＝2.本题考查了代数式的变形，方程的综合运用．本题属于难题．
15. 解：(1) 由题意知f(x)＝sin＋cos(2x＋)＝2sin，(4分)
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(6分)
当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)时，f(x)单调递增，
解得x∈(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(8分)
(2) 因为x∈，所以≤2x＋≤.(10分)
当2x＋＝，即x＝－时，f(x)取得最大值2；(12分)
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－.(14分)
16. 证明：(1) 取PB中点E，连结EA，EN，在△PBC中，EN∥BC且EN＝BC，
又AM＝AD，AD∥BC，AD＝BC，(3分)
∴ EN∥AM且EN＝AM，四边形ENMA是平行四边形，(5分)
∴ MN∥AE.
∵ MN 平面PAB，AE平面PAB，
∴ MN∥平面PAB.(7分)
(2) 过点A作PM的垂线，垂足为H，
∵ 平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，AH平面PAD，
∴ AH⊥平面PMC.
∵ CM平面PMC，∴ AH⊥CM.(10分)
∵ PA⊥平面ABCD，CM平面ABCD，
∴ PA⊥CM.(12分)
∵ PA∩AH＝A，PA，AH平面PAD，
∴ CM⊥平面PAD.
∵ AD平面PAD，∴ CM⊥AD.(14分)
17. 解：(1) 因为OA＝x，OB＝y，AB＝y＋1，
由余弦定理，x2＋y2－2xycos120°＝(y＋1)2，解得y＝，(3分)
由x＞0，y＞0得1＜x＜2.
又x＞y，得x＞，解得1＜x＜，(6分)
所以OA的取值范围是.(7分)
(2) M＝kOB＝ky，N＝4k·S△AOC＝3kx，
则N－M＝k(3x－y)＝k，(8分)
设2－x＝t∈，
则N－M＝k
＝k
≤k＝(10－4)k.(11分)
当且仅当4t＝即t＝∈取等号，此时x＝2－，(13分)
所以当x＝2－时，N－M的最大值是(10－4)k.(14分)
18. 解：(1) 由题意知＋＝1，＝，
解得a2＝4，b2＝3.(2分)
所以椭圆C：＋＝1.(3分)
(2) ① 设直线l的方程为x＝my＋1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由化简得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
易知Δ＞0，(5分)
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以kAP·kBP＝·＝·
＝·
＝－－，(7分)
所以t＝kAB·kAP·kBP＝－－＝－＋，(9分)
所以当m＝－时，t有最大值.(10分)
② 设直线l的方程为y＝x＋n，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得3x2＋2nx＋2n2－6＝0，
Δ＝(2n)2－4×3(2n2－6)＞0，即－＜n＜.
x1＋x2＝－，x1x2＝，(12分)
OA2＋OB2＝x＋y＋x＋y＝(x＋x)＋(y＋y)
＝x＋x＋＋
＝(x＋x)＋n(x1＋x2)＋2n2
＝(x1＋x2)2－x1x2＋n(x1＋x2)＋2n2(14分)
＝－·＋n＋2n2
＝7.(16分)
19. 解：(1) 由函数f(x)＝－(x－2lnx)(x＞0)，
可得f′(x)＝.(2分)
因为当x＞0时，ex＞x2.理由如下：
要使x＞0时，ex＞x2，只要x＞2lnx，设φ(x)＝x－2lnx，
φ′(x)＝1－＝，
于是当0＜x＜2时，φ′(x)＜0；当x＞2时，φ′(x)＞0.
即φ(x)＝x－2lnx在x＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln2＞0，即x＞0时，x＞2lnx，
所以ex－x2＞0.(5分)
于是当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.
所以函数f(x)在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．(6分)
所以f(x)在x＝2处取得最小值f(2)＝－2＋2ln2.(7分)
(2) 因为f′(x)＝＝，
当k≤0时，－k＞0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k＞0.(8分)
又f′(x)＝＝，
令g(x)＝，得g′(x)＝，
易知g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，则g(x)在x＝2处取得极小值，
得g(2)＝，且g(4)＝.(10分)
于是可得y＝k与g(x)＝在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k∈.(12分)
设y＝k与g(x)＝在(0，4)内有两个不同交点的横坐标分别为x1，x2，则有0＜x1＜2＜x2＜4，下面列表分析导函数f′(x)及原函数f(x)：
x
(0，x1)
x1
(x1，2)
2
(2，x2)
x2
(x2，4)
4
x－2
－
－
－
0
＋
＋
＋
2
－k
＋
0
－
－k
－
0
＋
－k
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
＋
f(x)
递减
极小
值
递增
极大值
递减
极小
值
递增
可知f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，2)上单调递增，
在(2，x2)上单调递减，在(x2，4)上单调递增，
所以f(x)在区间(0，4)上存在三个极值点．(15分)
即函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点的k的取值范围是.(16分)
20. 解：(1) 由题意得an＜an＋1＜2an，(2分)
∴ ＜x＜3，＜4＜2x，解得x∈(2，3)．(4分)
(2) 由题意，∵ an＜an＋1＜2an，且数列{an}是等比数列，a1＝1，
∴ qn－1＜qn＜2qn－1，∴ ∴ q∈.(6分)
∵ Sn＜Sn＋1＜2Sn，而当q＝1时，S2＝2S1不满足题意．(7分)
当q≠1时，·＜＜2·，
∴ ① 当q∈时，解得q∈；(9分)
② 当q∈(1，2)时，无解．∴ q∈.(11分)
(3) ∵ an＜an＋1＜2an，且数列a1，a2，…，ak成等差数列，a1＝1，
∴ [1＋(n－1)d]＜1＋nd＜2[1＋(n－1)d]，n＝1，2，…，k－1.
∴ ∴ d∈.(13分)
∵ a1＋a2＋…＋ak＝120，∴ Sk＝k2＋k＝k2＋k＝120，
∴ d＝，∴ ∈，解得k∈(15，239)，k∈N*，
∴ k的最小值为16，此时公差为d＝.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，a，2}，若A∩B＝{－1，0}，则a＝____________．
2. 若复数z＝(i为虚数单位)，则z的模为____________．
3. 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是_________．
(第3题)
　　　　　　(第4题)
4. 随机抽取100名年龄在[10，20)，[20，30)，…，[50，60)年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60)年龄段抽取的人数为____________．
5. 将函数f(x)＝2sin2x的图象上每一点向右平移个单位，得函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝____________．
6. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为____________．
(第8题)
7. 已知sin(α－45°)＝－，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为____________．
8. 在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为__________．
9. 设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为____________．
10. 对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝__________．
11. 已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为__________．
12. 过曲线y＝x－(x＞0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0＝____________．
13. 已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得·≤0，则线段EF长度的最大值是____________．
14. 已知函数f(x)＝若对于?t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数k的取值范围是____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sinB－sinC，sinC－sinA)，n＝(sinB＋sinC，sinA)，且m⊥n.
(1) 求角B的大小；
(2) 若b＝c·cosA，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．
16(本小题满分14分)
如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点．
(1) 若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC；
(2) 若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．
17. (本小题满分14分)
在一个直角边长为10 m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三点分别在△ABC的三条边上，且要使△PQR的面积最小．现有两种设计方案：
方案一：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；
方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上．
请问应选用哪一种方案？并说明理由．
18. (本小题满分16分)
已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距)，直线l：y＝kx＋m(k＞0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B.
(1) 求椭圆方程和直线方程；
(2) 试在圆N上求一点P，使＝2.
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝lnx＋(a＞0)．
(1) 当a＝2时，求出函数f(x)的单调区间；
(2) 若不等式f(x)≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}与{bn}满足an＋1－an＝q(bn＋1－bn)，n∈N*.
(1) 若bn＝2n－3，a1＝1，q＝2，求数列{an}的通项公式；
(2) 若a1＝1，b1＝2，且数列{bn}为公比不为1的等比数列，求q的值，使数列{an}也是等比数列；
(3) 若a1＝q，bn＝qn(n∈N*)，且q∈(－1，0)，数列{an}有最大值M与最小值m，求的取值范围．
(四)
1. －1　解析：－1∈B＝{0，a，2}，a＝－1.本题考查集合概念及基本运算，属于容易题．
2. 　解析：z＝＝，z的模为.本题考查复数的基本运算，属于容易题．
3. 5　解析：当A＝1时，S＝3；当A＝2时，S＝7；当A＝3时，S＝15；当A＝4时，S＝31；当A＝5时，S＝63；则判断框中的整数M的值是5.本题考查伪代码的知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
4. 2　解析：不小于40岁的人数为100×(0.015＋0.005)×10＝20，在[50，60)年龄段的人数为100×0.005×10＝5，设在[50，60)年龄段抽取的人数为则＝，则x＝2.本题主要考查了分层抽样的概念，频率分布直方图基础知识．本题属于容易题．
5. 2sin　解析：将函数f(x)＝2sin2x的图象上每一点向右平移个单位，得函数g(x)＝2sin2＝2sin(2x－)．本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换)．本题属于容易题．
6. 　解析：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，共有6种取法；取出的数中一个是奇数一个是偶数共4种取法；则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为.本题考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．
7. 　解析：由sin(α－45°)＝－，展开得sinα－cosα＝－，又sin2α＋cos2α＝1，sinα＝，cosα＝，则cos2α＝cos2α－sin2α＝.本题考查了三角函数的和差角公式，同角三角函数关系，二倍角公式．本题属于容易题．
8. 　解析：设O到平面VAB的距离为h，由VVOAB＝VOVAB得××1＝××h ，则h＝.本题考查了等积法求点到平面的距离，属于容易题．
9. 　解析：设AB＝BC＝2，由题意知2c＝2，2－2＝2a，则c＝1，a＝－1，则双曲线的离心率为.本题考查了双曲线的定义及离心率求法．本题属于容易题．
10. 8　解析：b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，由b3－b2＝1，则b2＝－3，而b2＝a3－a2＝－3，得a2＝4.又b2－b1＝1，则b1＝－4，而b1＝a2－a1＝4－a1＝－4，则a1＝8.本题考查了利用列举法借助递推公式求数列中的项，属于容易题．
11. 　解析：设△ABC中，a＝|β|＝1，A＝60°，|α|＝c，由正弦定理得＝，则＝c，即c＝sinC.又012. 　解析：P(x0，y0)处的切线斜率为1＋，则切线方程为y－＝(x－x0) ，当x＝0时，y＝；当y＝0时，x＝.S△OAB＝× ×＝，则x0＝.本题考查了导数的几何意义、直线方程，属于中等题．
13. 　解析：因为圆心C到直线l的距离d＝>2，所以直线l与圆C相离．因为点P在直线l上，两点A，B在圆C上，所以||>0，||>0.因为·＝||·||·cosθ≤0，所以cosθ≤0，所以与的夹角∠APB为钝角或直角．因为圆C上存在两点A，B，使得·≤0，所以只要PA，PB分别与圆C都相切时使得∠APB为钝角或直角，此时点P所在的线段长即为线段EF长度的最大值．当PA，PB分别与圆C都相切时，在Rt△CAP中，当∠APB为直角时，∠CPA＝45°，CA＝2，则PC＝2.所以，线段EF长度的最大值为2＝2＝.本题考查了直线与圆的位置关系、向量数量积等内容．本题属于难题．
14. 　解析：① 当t≥1时，f(t)＝lnt，即lnt≤kt对于t∈[1，＋∞)恒成立，所以k≥，t∈[1，＋∞)．令g(t)＝，则g′(t)＝，当t∈(1，e)时，g′(t)>0，则g(t)＝在t∈(1，e)时为增函数；当t∈(e，＋∞)时，g′(t)<0，则g(t)＝在t∈(e，＋∞)时为减函数．所以g(t)max＝g(e)＝，所以k≥.② 当015. 解：(1) 因为m⊥n，所以sin2B－sin2C＋sinA(sinC－sinA)＝0，即sinAsinC＝sin2A＋sin2C－sin2B.(2分)
由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，所以cosB＝＝.(4分)
因为B∈(0，π)，所以B＝.(6分)
(2) 因为c·cosA＝b，所以＝，即b2＝c2－a2.(8分)
又ac＝a2＋c2－b2，b＝2RsinB＝，(10分)
解得a＝1，c＝2.(12分)
所以S△ABC＝acsinB＝.(14分)
16. 证明：(1) 因为平面PAC⊥平面ABC，AC为两平面的交线，AC⊥BC，BC平面ABC，所以BC⊥平面PAC.(2分)
又PE∥CB，M、N分别为AE、AP的中点，所以MN∥PE，(3分)
所以MN∥BC，即MN⊥平面PAC.(5分)
又MN平面CMN，所以平面CMN⊥平面PAC.(7分)
(2) 因为PE∥CB，BC平面ABC，PE 平面ABC，
所以PE∥平面ABC.(9分)
设平面PAE与平面ABC的交线为l，则PE∥l.(10分)
又MN∥平面ABC，MN平面PAE，所以MN∥l.(11分)
所以MN∥PE.(12分)
因为M是AE的中点，所以N为PA的中点．(14分)
17. 解：方案一：过Q作QM⊥AC于M，作QN⊥BC于N，
因为△PQR为等腰直角三角形，且QP＝QR，
所以△RMQ≌△PNQ，
所以QM＝QN，
从而Q为AB的中点，(2分)
则QM＝QN＝5 m．(3分)
设∠RQM＝α，则RQ＝，α∈[0°，45°)，
所以S△PQR＝×RQ2＝，(4分)
所以S△PQR的最小值为 m2.(6分)
方案二：设CQ＝x，∠RQC＝β，β∈(0°，90°)，
在△RCQ中，RQ＝，(8分)
在△BPQ中，∠PQB＝90°－β，
所以＝，
即＝，
化简得＝，(10分)
所以S△PQR＝×RQ2
＝.
因为(sinβ＋2cosβ)2≤5，所以S△PQR的最小值为10 m2.(13分)
综上，应选用方案二．(14分)
18. 解：(1) 由题意知解得a＝2，c＝1，所以b＝，(2分)
所以椭圆M的方程为＋＝1，(4分)
圆N的方程为(x－1)2＋y2＝5.(5分)
由直线l：y＝kx＋m与椭圆M只有一个公共点，所以由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，　①(6分)
所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0得m2＝3＋4k2.　②(7分)
由直线l：y＝kx＋m与N只有一个公共点，得＝，
即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，　③(8分)
将②代入③得km＝1，　④
由②，④且k＞0，得k＝，m＝2.(9分)
所以直线l：y＝x＋2.(10分)
(2) 将k＝，m＝2代入①可得A，(11分)
又过切点B的半径所在的直线l′为y＝－2x＋2，所以得交点B(0，2)．(12分)
设P(x0，y0)，因为＝2，则＝8，
化简得7x＋7y＋16x0－20y0＋22＝0.　⑤(13分)
又P(x0，y0)满足x＋y－2x0＝4，　⑥
将⑤－7×⑥得3x0－2y0＋5＝0，解得y0＝，　⑦(14分)
将⑦代入⑥得13x＋22x0＋9＝0，解得x0＝－1或x0＝－，(15分)
所以P(－1，1)或P.(16分)
19. 解：(1) 当a＝2时，函数f(x)＝lnx＋，
所以f′(x)＝－＝，(2分)
所以当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，则函数f(x)在(0，e)上单调减；(3分)
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，则函数f(x)在(e，＋∞)上单调增．(4分)
(2) 由题意知lnx＋≥a恒成立，
等价于xlnx＋a＋e－2－ax≥0在(0，＋∞)上恒成立，(6分)
令g(x)＝xlnx＋a＋e－2－ax，则g′(x)＝lnx＋1－a.
令g′(x)＝0，得x＝ea－1，(7分)
x
(0，ea－1)
ea－1
(ea－1，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
↓
极小
↑
所以g(x)的最小值为g(ea－1)＝(a－1)ea－1＋a＋e－2－aea－1＝a＋e－2－ea－1.(9分)
令t(x)＝x＋e－2－ex－1，则t′(x)＝1－ex－1，(10分)
令t′(x)＝0，得x＝1，且
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
t′(x)
＋
0
－
t(x)
↑
极大
↓
(11分)
所以当a∈(0，1)时，g(x)的最小值t(a)＞t(0)＝e－2－＝＞0，(12分)
当a∈[1，＋∞)时，g(x)的最小值为t(a)＝a＋e－2－ea－1≥0＝t(2)，(14分)
所以a∈[1，2]．(15分)
综上，a∈(0，2]．(16分)
20. 解：(1) 由bn＝2n－3且q＝2得an＋1－an＝4，所以数列{an}为等差数列．(2分)
又a1＝1，所以an＝4n－3.(4分)
(2) 由条件可知an－an－1＝q(bn－bn－1)，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝q(bn－bn－1)＋q(bn－1－bn－2)＋…＋q(b2－b1)＋a1
＝qbn－qb1＋a1＝qbn－2q＋1.(6分)
不妨设{bn}的公比为λ(λ≠1)，则an＝2qλn－1－2q＋1，
由{an}是等比数列知a＝a1a3，可求出q＝，(7分)
经检验，an＝2qλn－1，此时{an}是等比数列，所以q＝满足条件．(8分)
(3) 由条件可知an－an－1＝q(bn－bn－1)，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝q(bn－bn－1)＋q(bn－1－bn－2)＋…＋q(b2－b1)＋a1＝qbn－qb1＋a1，
即an＝qn＋1－q2＋q，a2n＝q2n＋1－q2＋q.(10分)
因为q∈(－1，0)，所以a2n＋2－a2n＝q2n＋3－q2n＋1＝q2n＋1(q2－1)＞0，则{a2n}单调递增；(11分)
a2n＋1－a2n－1＝q2n＋2－q2n＝q2n(q2－1)＜0，则{a2n－1}单调递减．(12分)
又a2n－a1＝q2n＋1－q2＜0，
所以数列{an}的最大项为a1＝q＝M，(13分)
a2n＋1－a2＝q2n＋2－q3＝q3(q2n－1－1)＞0，
所以数列{an}的最小项为a2＝q3－q2＋q＝m，(14分)
则＝＝.
因为q∈(－1，0)，所以q2－q＋1∈(1，3)，
所以∈.(16分)