课件17张PPT。温故知新1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、函数定义是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
3、一次函数，正比例函数的一般形式是什么？
一次函数：y=kx+b（k,b是常数，k≠0）
正比例函数：y=kx（k是常数，k≠0）问题引入1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？
2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决
知识点详解请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
知识点详解(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120m ， 室内通道的尺寸如图，设一条边长为 x (m)， 种植面积为 y (m2)。
y = (60-x-4)(x-2)
1113xy知识点详解 y =πx2
y = 2(1+x)2=2x2+4x+2
y= (60-x-4)(x-2) =-x2+58x-112
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？
在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的，
经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式。
(a，b，c是常数，a≠0 )
知识点详解定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。
（2）a，b，c为常数，且a≠0。
（3 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围通常情况是任意实数。知识点详解二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a≠0)
a是二次项系数,b是一次项系数, C是常数项
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2练习题1.下列函数中,哪些是二次函数?
是
不是
是
不是练习题2.若函数 为二次函数，求m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则
解得：m=2
注意:二次函数的二次项系数不能为零。
例题详解1、已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式。
解：以x=1、y=4代入,得：
p＋q＋1=4,即：p＋q=3 (1)
以x=2、y=－5代入,得：
4＋2p＋q=－5,即：2p＋q=－9 (2)
解(1)、(2),得：
p=－12、q=15
则：y=x2－12x＋15例题详解2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分 ) ，设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH的面积为y(cm2)，求 :
(1)求y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围
(2)当x分别为0.25，0.5，1，1.5，
1.75 时 ，求对应的四边形EFGH的
面积y，并列表表示。
(3)随着x的取值的增大，y的值有怎样的变化？
例题详解解：（1）∵在正方形纸上剪去4个全等的直角三角形，
∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG，
∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，∠A=90°，
∴HE2=AE2+AH2=x2+（2-x）2=2x2-4x+4，
正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-4x+4，
∵AE，AH不能为负，∴0≤x≤2，
故y关于x的函数表达式：y=2x2-4x+4，自变量x的取值范围[0，2]。例题详解解：（2）
（3）由上表可以看出：
随着x的取值的增大，y的值先减小后增大。练习题1.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,求：
(1)写出y关与x的函数关系式。
(2)当x=3时,距形的面积为多少?
解:(1)y=x(20-2x)
=-2x2+20x(0 (2)y=-2×32+20×3=42m
课堂总结1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
2.定义的实质是：ax2+bx+c是整式，自变量x的最高次是二次，自变量x的取值范围是全体实数。
3.二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a≠0)
a是二次项系数,b是一次项系数, C是常数项
课堂总结二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
《二次函数》
函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具，二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位。本节内容的教学，在函数的教学中有着承上启下的作用。它既是对已学一次函数及反比例函数的复习，又是对二次函数知识的延续和深化，为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础，做好铺垫。
【知识与能力目标】
通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数。
【过程与方法目标】
学生能对具体情境中的数学信息做出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系。
【情感态度价值观目标】
通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。
【教学重点】
认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程。
【教学难点】
根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念。
课前准备
多媒体课件等。
教学过程
创设情境，导入新课
问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）
合作学习，探索新知
（一）请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：
（1）面积y（cm2）与圆的半径x（cm）
（2）王先生存人银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元；
（3）拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120m ， 室内通道的尺寸如图，设一条边长为 x （cm）， 种植面积为 y （m2）
教师组织合作学习活动：
先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。
上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。
（1）y=πx2 （2）y=2000（1+x）2=20000x2+40000x+20000
（3）y=（60-x-4）（x-2）=-x2+58x-112
（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
1、让学生充分发表意见，提出各自看法。
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c（a，b，c是常数， a≠0）的形式。
板书：我们把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadraticfuncion）。
称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项
做一做
下列函数中，哪些是二次函数？
2、若函数为二次函数，则m的值为 。
例题示范，了解规律
例1、已知二次函数 当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。
此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。
例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2），求：
y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围。
②当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。
③随着x的取值的增大，y的值有怎样的变化？
方法：
（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。
（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：
求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE的4倍。
直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2。
（3）对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。
（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。
练习：
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x，矩形的面积为y，求：
（1）写出y关于x的函数关系式。
（2）当x=3时，矩形的面积为多少？
归纳小结
本节课你有什么收获？
