高中数学全一册课堂探究学案(打包31套)新人教A版必修4

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名称 高中数学全一册课堂探究学案(打包31套)新人教A版必修4
格式 zip
文件大小 6.3MB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2017-11-14 16:22:52

文档简介

1.1 任意角和弧度制(第1课时)
课堂探究
探究一任意角的表示
1.定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,否则为负角.21世纪教育网版权所有
2.定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小.
【典型例题1】 手表时针走过2小时,时针转过的角度为(  )
A.60° B.-60° C.30° D.-30°
解析:由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,×360°=60°,故时针转过的角度为-60°.21教育网
答案:B
【典型例题2】 分别求出图中从OA旋转到OB,OB1,OB2时所成的角α,β,γ.
解:图①中,正角α=720°+30°=750°.
图②中,负角β=-(360°-210°)=-150°,正角γ=210°-150°=60°.
探究二象限角
象限角的判定方法:
法一:第一步,将α写成α=k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式.
第二步,判断β的终边所在的象限.
第三步,根据β的终边所在的象限,即可确定α的终边所在的象限.
法二:利用图象实际表示相应的角,观察终边的位置,确定象限.
【典型例题3】 已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角.
(1)420°;(2)-75°;(3)855°;(4)-510°.
解:作出各角的终边如图所示:
由图可知:(1)420°是第一象限角;(2)-75°是第四象限角;
(3)855°是第二象限角;(4)-510°是第三象限角.
(1)420°=60°+360°,所以在0°~360°范围内,与420°角终边相同的角是60°.
(2)-75°=285°-360°,所以在0°~360°范围内,与-75°角终边相同的角是285°.www.21-cn-jy.com
(3)855°=135°+2×360°,所以在0°~360°范围内,与855°角终边相同的角是135°.【来源:21·世纪·教育·网】
(4)-510°=210°-2×360°,所以在0°~360°范围内,与-510°角终边相同的角是210°.21·世纪*教育网
【典型例题4】 已知α是第三象限角,判断是第几象限角.
解:∵α是第三象限角,∴k·360°+180°<αk·180°+90°<∴当k=2n,n∈Z时,n·360°+90°<∴是第二象限角.
当k=2n+1,k∈Z时,n·360°+270°<综上可得,是第二或第四象限角.
探究三 终边相同的角
1.把任意角化为α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k,可以用观察法(α的绝对值较小),也可用除法.21cnjy.com
2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.www-2-1-cnjy-com
3.已知角的终边范围,求角的集合时,先写出边界对应的角,再写出0°~360°内符合条件的范围,最后都加上k·360°,得到所求.2-1-c-n-j-y
【典型例题5】 (1)与-2 014°角终边相同的最小正角是__________.
(2)已知α=750°,且θ与α终边相同,-360°≤θ≤360°,则θ的值为__________.
(3)如图,已知α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界),则角α的范围为__________.21*cnjy*com
解析:(1)∵-2 014°=-6×360°+146°,
∴所求值为146°.
(2)由已知θ=k·360°+750°,k∈Z,
∴-360°≤k·360°+750°≤360°,k∈Z,
解得-≤k≤-,k∈Z,∴k=-2,-3.
∴θ值为30°,-330°.
(3)由图可知当α∈(0°,360°)时,45°≤α≤150°,
∴当角α的终边在此区域内时,α的范围为k·360°+45°≤α≤k·360°+150°,k∈Z.
答案:(1)146° (2)30°,-330° (3)k·360°+45°≤α≤k·360°+150°,k∈Z21·cn·jy·com
探究四易错辨析
易错点:对角的概念及其表示理解不到位
【典型例题6】 下列命题:
①第一象限角一定不是负角;②终边相同的角一定相等;③第一象限角是锐角;④小于90°的角是锐角.
其中正确的个数是(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
错解:②终边相同的角可以相差整数个360°,故②不正确,①③④正确.故选D.
错因分析:错误的原因是没有正确理解正角、负角和零角的概念,没有搞清第一象限角、锐角、小于90°的角之间的区别与联系.2·1·c·n·j·y
正解:对于①,-330°为第一象限角,且为负角,故①不正确;对于②,终边相同的角可以相差整数个360°,如30°角与390°角终边相同,但不相等,故②不正确;对于③,第一象限角为:k·360°<α答案:A
1.1 任意角和弧度制(第2课时)
课堂探究
探究一弧度制的概念
角度制和弧度制的比较:
(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制.
(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角,而1度的角是指圆周角的的角,大小显然不同.
(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角,角的大小都是一个与“半径”大小无关的值.
(4)用“度”作为单位度量角时,“度”(即“°”)不能省略,而用“弧度”作为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”通常省略不写.21·cn·jy·com
【典型例题1】 下列各种说法中,错误的是(  )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的
C.根据弧度的定义,180°的角一定等于π rad的角
D.利用弧度制度量角时,角的大小与圆的半径长短有关
解析:A,B,C正确,D中角的大小只与弧长与半径的比值有关,与圆半径无关.
答案:D
探究二角度制与弧度制的转化
角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π rad=180°是关键.
(2)方法:度数×=弧度数;弧度数×°=度数.
(3)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求不必化成小数.
【典型例题2】 (1)-405°化为弧度是__________;
(2) 化为角度数是__________;
(3)已知α=-1 480°,则在[0,2π)内与α终边相同的角为__________.
解析:(1)-405°=-405×=-;
(2) =×°=660°;
(3)∵α=-1 480°=-5×360°+320°,
∴在[0°,360°)内与α终边相同的角为320°,而320°=.
∴在[0,2π)内与α终边相同的角为.
答案:(1)- (2)660° (3)
探究三扇形的弧长与面积的计算
1.扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).21教育网
2.在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.
【典型例题3】 已知扇形的圆心角为,面积为,则该扇形的半径为__________.
解析:∵S=lr,l=|α|r,∴S=|α|r2,
∴由已知得=×r2,解得r=2.
答案:2
【典型例题4】 已知一扇形的周长为8 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,扇形的面积最大?并求出最大面积.21cnjy.com
思路分析:先用半径r表示弧长,再根据公式S=lr建立S与r之间的函数关系,利用二次函数求最大值.
解:设扇形的半径为r,弧长为l,
则2r+l=8,∴l=8-2r,
∴S=lr= (8-2r)r=-r2+4r=-(r-2)2+4.
∵0此时l=4 cm,α=2 rad,
∴当半径长为2 cm,圆心角为2 rad时,扇形的面积最大为4 cm2.
探究四易错辨析
易错点:对含有kπ形式的角理解不到位
【典型例题5】 已知+2kπ<α<+2kπ,2kπ<β<+2kπ,其中k∈Z,求α+β的取值范围.21世纪教育网版权所有
错解:由已知两式左右分别相加,可得+4kπ<α+β<π+4kπ,k∈Z.
错因分析:错解错误的原因是对终边相同的区间角理解不到位,误以为两式中的k表示相同的整数.由于两式所表示的角是k分别取整数值时所对应的无数个区间角的并集,故两式中的k不一定相等,可用k1,k2替换加以区别,然后利用不等式的性质进行求解.
正解:∵+2k1π<α<+2k1π,k1∈Z,
2k2π<β<+2k2π,k2∈Z,
∴+2(k1+k2)π<α+β<π+2(k1+k2)π.
又∵k1,k2∈Z,
∴存在整数k,使得k=k1+k2,
∴+2kπ<α+β<π+2kπ,k∈Z.
1.2 任意角的三角函数(第1课时)
课堂探究
探究一任意角的三角函数定义
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值.
方法二:第一步,取点,在角α的终边上任取一点P(x,y),(P与原点不重合);
第二步,计算r:r=|OP|=;
第三步,求值:由sin α=,cos α=,tan α= (x≠0)求值.
在运用上述方法解题时,要注意分类讨论思想的运用.
【典型例题1】 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为(y<0),则sin αtan α=__________.www.21-cn-jy.com
(2)已知角α的终边上一点坐标为(-3,a),且α为第二象限角,cos α=-,则sin α=__________.2·1·c·n·j·y
思路分析:(1)利用单位圆求y,再利用定义求值.
(2)先由cos α=-和位置条件求出a,再得sin α的值.
解析:(1)∵点P在单位圆上,
∴2+y2=1.∴y2=.
又∵y<0,∴y=-,
∴sin α=-,tan α==.∴sin αtan α=-.
(2)∵角α的终边上一点坐标为(-3,a),且α为第二象限角,
∴a>0.
又∵cos α=-,∴=-,解得a=4.
∴sin α=.
答案:(1)- (2)
探究二三角函数值在各象限的符号
判断给定角的三角函数值正负的步骤:
(1)先确定α的终边所在的象限;(2)利用三角函数值的符号规律,即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断.21世纪教育网版权所有
【典型例题2】 若sin θcos θ>0,则θ的终边在(  )
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限
解析:∵sin θcos θ>0,∴或
当sin θ>0,cos θ>0时,θ的终边在第一象限;
当sin θ<0,cos θ<0时,θ的终边在第三象限.
综上,θ的终边在第一或第三象限.
答案:B
【典型例题3】 判断下列各式的符号:
(1)tan 120°·sin 269°;(2)cos 4·tan.
解:(1)∵120°是第二象限角,∴tan 120°<0.
∵269°是第三象限角,∴sin 269°<0.
∴tan 120°·sin 269°>0.
(2)∵π<4<,∴4弧度角是第三象限角,
∴cos 4<0.∵-=-6π+,
∴-是第一象限角,∴tan>0.
∴cos 4·tan<0.
探究三 诱导公式一的应用
解答此类题目的方法是先把已知角借助于终边相同的角化归到[0,2π)之间,然后利用诱导公式一化简求值.若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值.在问题的解答过程中重在体现数学上的化归(转化)思想.21教育网
【典型例题4】 求下列各式的值:
(1)a2sin(-1 350°)+b2tan 405°-(a-b)2tan 765°-2abcos(-1 080°);
(2)sin+costan.
解:(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.21cnjy.com
(2)原式=sin+cos·
tan=sin +cos tan =+×1=1.
探究四易错辨析
易错点:当角的终边在一条直线上,求角的三角函数值时,考虑不全面而丢解
【典型例题5】 已知角α的终边在直线y=-x上,求sin α+cos α的值.
错解:在直线y=-x上任取一点P(1,-),即x=1,y=-,则r==2,
∴由三角函数的定义得sin α==-,cos α==.
∴sin α+cos α=-+=.
错因分析:角的终边在一条直线上,直线相当于从原点出发的两条射线,在解题时要注意讨论.
正解:∵角α的终边在直线y=-x上,∴角α为第二象限或第四象限的角.
当α为第二象限角时,在终边上任取一点P1(-1,),
则|OP1|=r=2,
由三角函数定义得sin α==,cos α==-,
∴sin α+cos α=.
当α为第四象限角时,在终边上任取一点P2(1,-),则|OP2|=r=2,
由三角函数定义得sin α==-,cos α==,
∴sin α+cos α=.
综上所述:sin α+cos α=±.
点评(1)已知角的终边位置求三角函数值时,要注意观察角的终边在射线上还是在直线上;(2)已知角终边上一点坐标含有参数时,利用三角函数定义求解时,要注意对参数进行分类讨论.21·cn·jy·com
1.2 任意角的三角函数(第2课时)
课堂探究
探究一 任意角的三角函数线
三角函数线的作法步骤
(1)作直角坐标系和角的终边.
(2)作单位圆,圆与角的终边的交点为P,与x轴正半轴的交点为A.
(3)过点P作x轴的垂线,垂足为M.
(4)过点A作x轴的垂线,与角的终边或其反向延长线交于点T.
(5)有向线段MP,OM,AT即分别为角的正弦线、余弦线和正切线.
【典型例题1】 角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相反,那么α的值为(  )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
思路分析:画出相应的三角函数线,再判断.
解析:由图可知,,的正弦线、余弦线长度相等、符号相同;,的正弦线、余弦线长度相等、符号相反.21教育网
答案:D
探究二利用三角函数线解简单不等式
解答这类题目,一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域,在找角的终边所在的区域时,注意对正弦要找单位圆上的纵坐标,对余弦应在单位圆上找横坐标,根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧,即可找到角的终边所在的区域,再根据角的终边所在的区域写出角的范围.21·cn·jy·com
【典型例题2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.
(1)sin α≥;   (2)cos α≤-.
思路分析:作出满足sin α=,cos α=-的角的终边,然后根据已知条件确定角α终边的范围.
解:(1)如图①所示,作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围.www.21-cn-jy.com
故满足条件的角α的集合为
.

   

(2)如图②所示,作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围.21cnjy.com
故满足条件的角α的集合为
探究三 利用三角函数线比较三角函数值的大小
利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:
(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
【典型例题3】 下列关系正确的是(  )
A.sin 10°C.sin 10°思路分析:在单位圆中作相应的正弦线、余弦线,再比较大小.
解析:在单位圆中,20°,10°的角的终边分别与单位圆交于P1,P2点,过P1,P2作x轴的垂线交x轴于M1,M2,则20°角的正弦线、余弦线分别为M1P1,OM1,10°角的正弦线、余弦线分别为M2P2,OM2,而|OM2|>|OM1|>|M1P1|>|M2P2|,21世纪教育网版权所有
∴cos 10°>cos 20°>sin 20°>sin 10°,故选C.
答案:C
1.2 任意角的三角函数(第3课时)
课堂探究
探究一利用同角三角函数关系求值
1.根据已知角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值(可简称“知一求二”)时,是运用方程(组)对两个公式最基本的应用,要注意这个角所在的象限.一般涉及开方运算时,要分类讨论所求值的正负.
2.若已知tan α=m,求形如的值,其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos2α)转化为tan α的代数式,再求值.
3.形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α通常把分母看作1,然后用sin2α+cos2α代换,分子、分母同除以cos2α再求解.21cnjy.com
【典型例题1】 已知cos θ=,则当θ为第四象限角时,tan θ=__________.
解析:∵cos θ=,θ为第四象限角,
∴sin θ=-=-=-.
∴tan θ==-.
答案:-
【典型例题2】 已知tan θ=2,且cos θ<0.
求:(1)cos θ,sin θ;
(2) .
解:(1)∵tan θ=2,
∴=2.①
又∵sin2θ+cos2θ=1,②
∴由①②解得或
∵cos θ<0,∴sin θ=-,cos θ=-.
(2)法一:====.
法二:∵tan θ=2,∴=2.∴sin θ=2cos θ.
∴==.
探究二 化简三角函数式
三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.21·cn·jy·com
【典型例题3】 化简下列各式:
(1) ;
(2) +,其中sin αtan α<0.
思路分析:把二次根式中的被开方式化为完全平方式.
解:(1) =
===-1.
(2)由于sin αtan α<0,则sin α,tan α异号,
∴α是第二、三象限角,∴cos α<0.
∴+=+=+
==-.
探究三 证明三角恒等式
证明三角恒等式的常用方法
证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法有:
(1)从一边开始,证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则.
(2)证明左右两边等于同一个式子.
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.
(5)常用技巧:切化弦、整体代换、“1”的代换等.
【典型例题4】 求证:=.
证明:左边=
==,
右边==,
∴左边=右边,即原等式成立.
探究四 易错辨析
易错点:忽视角的取值范围
【典型例题5】 已知sin α+cos α=,0<α<π,求sin α-cos α.
错解:∵sin α+cos α=,
∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,
∴2sin αcos α=-,
∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
∴sin α-cos α=±.
错因分析:上述解法错在没有挖掘题设条件中隐含的限制条件,即没有根据条件判定sin α与cos α的符号,对α的取值范围进一步缩小.21世纪教育网版权所有
正解:∵sin α+cos α=,
∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=.
∴2sin αcos α=-<0.
又0<α<π,∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0.
又(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α
=1-=,
∴sin α-cos α=.
点评在利用sin θ±cos θ,sin θcos θ之间的关系解题时,往往易忽略角的取值范围造成增根或丢根,在已知sin θcos θ的值,求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值时,需开方,因此要由角的范围确定取“+”还是“-”.21教育网
1.3 三角函数的诱导公式(第1课时)
课堂探究
探究一 利用诱导公式求三角函数值
1.对于负角的三角函数求值,可先利用诱导公式三,化为正角的三角函数,若化了以后的正角大于360°,再利用诱导公式一,化为0°到360°间的角的三角函数.若这时角是90°到180°间的角,再利用180°-α的诱导公式化为0°~90°间的角的三角函数;若这时角是180°~270°间的角,则用180°+α的诱导公式化为0°~90°间的角的三角函数;若这时角是270°~360°间的角,则利用360°-α的诱导公式化为0°~90°间的角的三角函数.21教育网
2.如果不是具体角,要寻找已知角和所求角的关系.
【典型例题1】 (1)sin-cos-tan的值为(  )
A.-2 B.0 C. D.1
(2)若sin(π+α)=,则sin(π-α)=(  )
A.- B. C.- D.
解析:(1)原式=-sin-cos-tan
=-sin-cos-tan
=-+cos +tan=-++1=1.
(2)∵(π+α)+(π-α)=2π,
∴sin(π-α)=sin[2π-(π+α)]=sin[-(π+α)]
=-sin(π+α)=-.
答案:(1)D (2)A
探究二 利用诱导公式化简三角函数式
解决此类问题要熟记诱导公式的口诀:函数名不变,符号看象限,公式应用的口诀:负化正,大化小,化成锐角再求值.21cnjy.com
【典型例题2】 化简下列各式:
(1) ;
(2) .
解:(1)原式=



===.
(2)原式=
==cos3α.
探究三 利用诱导公式证明三角恒等式
关于三角恒等式的证明,常用方法:
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简.
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异.21世纪教育网版权所有
【典型例题3】 求证:
=-tan α.
证明:原式左边=
==
=-tan α=右边.
∴原式得证.
探究四易错辨析
易错点:对公式理解不全面,导致符号产生错误
【典型例题4】 化简:
(k∈Z).
错解:原式===-1.
错因分析:由于k的奇偶性不确定,不能直接运用诱导公式,所以要对k进行分类讨论.
正解:(1)当k取偶数时,设k=2n(n∈Z),则
原式=·
=·
==-1.
(2)当k取奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则
原式=·

==-1,
综上,原式=-1.
1.3 三角函数的诱导公式(第2课时)
课堂探究
探究一 利用诱导公式求值
已知一三角函数值求其他三角函数值的解题思路:
(1)观察:①观察已知的角和所求角的差异,寻求角之间的关系;
②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异.
(2)转化:运用诱导公式将不同的角转化为相同的角;将不同名的三角函数化为同名的三角函数.
【典型例题1】 (1)已知sin=,则sin=(  )
A. B.- C. D.-
(2)计算:sin21°+sin22°+sin288°+sin289°=__________.
解析:(1)∵sin=,
∴cos α=.
又∵sin=-cos α,
∴sin=-.故选B.
(2)∵1°+89°=90°,2°+88°=90°,
∴sin 89°=sin(90°-1°)=cos 1°,
sin 88°=sin(90°-2°)=cos 2°.
∴sin21°+sin22°+sin288°+sin289°
=sin21°+sin22°+cos21°+cos22°=2.
答案:(1)B (2)2
探究二 化简三角函数式
三角函数式化简的方法和技巧:
(1)方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.21世纪教育网版权所有
(2)技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.
【典型例题2】 化简:
=__________.
解析:原式=
==-cos α.
答案:-cos α
探究三利用诱导公式证明三角恒等式
1.证明无条件的恒等式的常用方法:
(1)由左边推至右边或由右边推至左边,遵循的是化繁为简的原则.
(2)证明左边=A,右边=A,则左边=右边,这里的A起着桥梁的作用.
(3)通过作差或作商证明,即左边-右边=0或=1.
2.证明条件等式,一般有两种方法:一是从被证等式一边推向另一边的适当时候,将条件代入,推出被证式的另一边,这种方法称作代入法;二是直接将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称作推出法.21教育网
【典型例题3】 求证:=tan α.
证明:左边=

=tan α=右边.
∴原等式成立.
探究四易错辨析
易错点:对诱导公式记忆不准确
【典型例题4】 已知sin=a,0<α<,求sin.
错解:∵0<α<,∴-<-α<,
∴cos>0,
∴cos=
=,
sin=sin
=cos=.
错因分析:对使用诱导公式求三角函数值时,符号的确定掌握不好,在sin中,要把“-α”看成锐角来确定三角函数值的符号.
正解:∵0<α<,∴-<-α<,
∴cos>0.
∴cos==.
∴sin=sin
=-cos=-.
1.4 三角函数的图象与性质(第1课时)
课堂探究
探究一 用“五点法”作三角函数的图象
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤:21·cn·jy·com
(1)列表:
x
0
π

sin x或cos x
0或1
1或0
0或-1
-1或0
0或1
y
y1
y2
y3
y4
y5
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,y1),,(π,y3),,(2π,y5).
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
【典型例题1】 用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=sin x-1,x∈[0,2π];
(2)y=2+cos x,x∈[0,2π].
思路分析:先在[0,2π]上找出五个关键点,再用光滑曲线连接即可.
解:(1)列表:
x
0
π

sin x
0
1
0
-1
0
sin x-1
-1
0
-1
-2
-1
描点连线,如图.
(2)列表:
x
0
π

cos x
1
0
-1
0
1
2+cos x
3
2
1
2
3
描点连线,如图.
探究二 利用“图象变换”作三角函数的图象
函数的图象变换除了平移变换外,还有对称变换.一般地,函数f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称;-f(x)与f(x)的图象关于x轴对称;-f(-x)的图象与f(x)的图象关于原点对称;f(|x|)的图象关于y轴对称;|f(x)|的图象将f(x)在x轴上方及x轴上的图象保持不变,x轴下方的作关于x轴对称的图象.21世纪教育网版权所有
【典型例题2】 利用图象变换作出下列函数的简图.
(1)y=1-cos x;
(2)y=|sin x|,x∈[0,4π].
解:(1)作函数y=cos x关于x轴对称的图象得函数y=-cos x的图象.
再把y=-cos x的图象向上平移1个单位得y=1-cos x的图象.如图中实线所示,图中虚线为y=cos x的图象.21教育网
(2)作y=sin x,x∈[0,4π]的图象,把x轴下方的图象翻折到x轴上方,x轴上方的保持不变,如图中实线所示.21cnjy.com
探究三 正、余弦曲线的应用
利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤:
(1)作出直线y=a,y=sin x(或y=cos x)的图象.
(2)确定sin x=a(或cos x=a)的x值.
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集.
提醒解三角不等式sin x>a,一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同一三角函数值相等,写出原不等式的解集.www.21-cn-jy.com
【典型例题3】 写出不等式sin x≥的解集.
思路分析:解答本题可利用数形结合,分别画出y=sin x和y=的图象,通过图象写出不等式的解集.
解:画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象及y=,
由图知sin =sin =,
∴当x∈[0,2π],且≤x≤时,sin x≥.
又由终边相同的角的同一三角函数值相等得不等式sin x≥的解集为.
1.4 三角函数的图象与性质(第2课时)
课堂探究
探究一求三角函数的周期
求三角函数的周期,通常有三种方法:
(1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对任意实数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数.21教育网
(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0),可利用T=来求.21cnjy.com
(3)图象法:可画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法.
【典型例题1】 (1)函数f(x)=2sin的最小正周期为__________.
(2)函数f(x)=的最小正周期是__________.
思路分析:(1)可用周期函数的定义求解,也可用公式法求解;(2)可通过画图象求周期.
解析:(1)∵ω=,∴周期T===4π.
(2)f(x)===|cos x|,画出f(x)图象如图所示,
由图象知最小正周期为π.
答案:(1)4π (2)π
探究二 函数周期性的应用
1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上,代入求解即可.21·cn·jy·com
2.如果一个函数是周期函数,若要研究该函数的有关性质,结合周期函数的定义可知,完全可以只研究该函数在一个周期上的特征,加以推广便可以得到该函数在其定义域内的有关性质.www.21-cn-jy.com
【典型例题2】 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x,则f的值为(  )
A.- B. C.- D.
解析:∵f(x)的最小正周期是π,
∴f=f=f.
又∵f(x)是偶函数,
∴f=f=sin=.
答案:B
探究三易错辨析
易错点:不清楚周期函数的定义
【典型例题3】 利用定义求f(x)=sin的最小正周期.
错解:∵f(x+2π)=sin
=sin
=sin=f(x),
∴T=2π是f(x)的最小正周期.
错因分析:错解中求的不是最小正周期.对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),其最小正周期为.21世纪教育网版权所有
正解:令z=2x-,∵x∈R,∴z∈R.
又∵y=sin z的周期是2π,
z+2π=+2π=2(x+π)-,
∴f(x+π)=sin
=sin
=sin=f(x).
∴f(x)的最小正周期是T=π.
1.4 三角函数的图象与性质(第3课时)
课堂探究
探究一三角函数奇偶性的判断
1.判断函数奇偶性的常用方法:
(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.21cnjy.com
(2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性.
(3)验证法,即验证f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是否成立.此法通常用于函数是非奇非偶的情形.www.21-cn-jy.com
2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数是非奇非偶函数.2·1·c·n·j·y
【典型例题1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);
(2)f(x)=;
(3)f(x)=sin xsin.
思路分析:先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,进而可确定函数的奇偶性.21·cn·jy·com
解:(1)f(x)的定义域为R,
∵f(x)=xsin(π+x)=-xsin x,
∴f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x).
∴f(x)为偶函数.
(2)f(x)有意义时,sin x+1≠0,
∴sin x≠-1.
∴x≠2kπ-,k∈Z.
∴f(x)的定义域为.
∴f(x)的定义域不关于原点对称.
∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(3)f(x)的定义域为R,
由已知可得f(x)=sin xcos x,
∴f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
探究二 正、余弦函数的单调性
1.求函数y=Asin(ωx+φ)或函数y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A≠0,ω≠0)单调区间的方法:【来源:21·世纪·教育·网】
运用整体变量代换法,即将比较复杂的三角函数符号后的整体当作一个角u,利用基本三角函数的单调性求所要求的三角函数的单调区间,但要注意A,ω的符号对单调性的影响.A>0与A<0时,单调区间相反,当ω<0时,先用诱导公式将x的系数化为正.
例如:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调递增区间、递减区间分别由以下不等式确定:
-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z),+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z).
2.比较三角函数值的大小时:
(1)异名函数化为同名函数;
(2)利用诱导公式化为同一单调区间;
(3)利用函数的单调性比较大小.
【典型例题2】 (1)函数y=2sin的单调递增区间为__________.
(2)已知a=sin,b=sin,则a,b的大小关系是__________.
解析:(1)∵y=2sin x的单调递增区间是,k∈Z.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
∴所求的单调递增区间为,k∈Z.
(2)a=-sin=-sin=sin.
b=-sin=-sin=-sin
=sin=sin.
∵0<<<,y=sin x在上是增函数,
∴sin>sin.∴a>b.
答案:(1) ,k∈Z (2)a>b
探究三 三角函数的值域(最值)
三角函数最值问题的常见类型及求解方法
(1)y=asin2x+bsin x+c(a≠0),利用换元思想设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.21·世纪*教育网
(2)y=Asin(ωx+φ)+b,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)的范围,最后得最值.www-2-1-cnjy-com
【典型例题3】 (1)函数f(x)=2sin-1,x∈的值域为__________.当x=__________时,f(x)取最小值,当x=__________时,f(x)取最大值.
(2)函数f(x)=2cos2x-4cos x+1,x∈R的值域为__________;且当f(x)取最大值时,x的取值集合是__________.2-1-c-n-j-y
思路分析:(1)先利用x∈求出x+的范围,再将x+看成整体利用正弦函数图象性质求得.
(2)把cos x看成一个整体,利用换元法转化为求二次函数的值域.
解析:(1)∵-≤x≤,∴-≤x+≤.
∴由正弦函数图象性质得,
当x+=-,即x=-时,sin取最小值-,∴f(x)的最小值为-2.
当x+=,即x=时,sin取最大值1,
∴f(x)的最大值为1.
当x∈时,f(x)的值域为[-2,1].
(2)f(x)=2cos2x-4cos x+1=2(cos2x-2cos x)+1=2(cos x-1)2-1,
设t=cos x,∴y=2(t-1)2-1,且图象开口向上,对称轴为t=1.
∵-1≤cos x≤1,∴-1≤t≤1.
则当t∈[-1,1]时,函数y=2(t-1)2-1单调递减.
∴当t=-1时,ymax=7,当t=1时,ymin=-1.
∴f(x)的值域为[-1,7],且cos x=-1,即x=2kπ+π,k∈Z时,f(x)取最大值.
∴f(x)取最大值时,x的取值集合为{x|x=2kπ+π,k∈Z}.
答案:(1)[-2,1] -  (2)[-1,7] {x|x=2kπ+π,k∈Z}
探究四易错辨析
易错点:忽视x的系数是负数
【典型例题4】 求y=sin的单调递增区间.
错解:令-x=t,
∵y=sin t的递增区间为 (k∈Z),
令2kπ-≤-x≤2kπ+ (k∈Z),解得-2kπ-≤x≤-2kπ+(k∈Z),即2kπ-≤x≤2kπ+ (k∈Z),21世纪教育网版权所有
∴y=sin的单调递增区间为
(k∈Z).
错因分析:在-x中,x的系数-1是负数,应整体代入正弦函数的单调递减区间,这样才能求出原函数的单调递增区间.21教育网
正解:∵y=sin=-sin,
∴要求原函数的单调递增区间,只需求y=sin的单调递减区间.
令2kπ+≤x-≤2kπ+ (k∈Z),
∴2kπ+≤x≤2kπ+ (k∈Z).∴y=sin的单调递增区间是 (k∈Z).
1.4 三角函数的图象与性质(第4课时)
课堂探究
探究一与正切函数有关的定义域问题
1.求由三角函数参与构成的函数的定义域,对于自变量必须满足:(1)使三角函数有意义,例如,若函数含有tan x,则x≠kπ+,k∈Z;(2)分式形式的分母不等于零;(3)偶次根式的被开方数不小于零.21世纪教育网版权所有
2.求三角函数定义域时,常常归结为解三角不等式(组),这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集.21cnjy.com
【典型例题1】 函数y=+lg(1-tan x)的定义域是__________.
解析:由题意得即-1≤tan x<1.
在内,满足上述不等式的x的取值范围是.
又y=tan x的周期为π,
∴所求x的范围是,k∈Z.
即为此函数的定义域.
答案:,k∈Z
探究二正切函数的单调性及应用
1.求y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间时,由kπ-<ωx+φ2.运用正切函数的单调性比较tan α与tan β大小的步骤:
(1)利用诱导公式将角α,β转化到同一单调区间内,通常是转化到区间内;
(2)运用正切函数的单调性比较大小.
【典型例题2】 (1)求函数y=tan的单调区间;
(2)比较tan 1,tan 2的大小.
解:(1)y=tan=-tan,
由kπ-得2kπ-∴函数y=tan的单调递减区间是,k∈Z.
(2)∵tan 2=tan(2-π),
又∵<2<π,∴-<2-π<0.
∴-<2-π<1<.
又∵y=tan x在上是增函数,
∴tan(2-π)探究三 正切函数的奇偶性与周期性
1.函数奇偶性的判断:
在利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时,必须要坚持定义域优先的原则,即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称,然后再判断f(-x)与f(x)的关系.
2.函数y=Atan(ωx+φ)与函数y=|Atan(ωx+φ)|(A≠0,ω≠0)的最小正周期均为T=.21教育网
【典型例题3】 (1)函数f(x)=是(  )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
(2)函数y=tan的周期是(  )
A.2π B.π C. D.
解析:(1)函数有意义时,tan2x≠1,
∴tan x≠-1且tan x≠1.
∴f(x)的定义域为

定义域关于原点对称.
∴f(-x)===-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)周期T==.
答案:(1)A (2)C
探究四易错辨析
易错点:忽视正切函数的定义域
【典型例题4】 求y=的定义域.
错解:∵1+tan x≠0,即tan x≠-1,
∴x≠kπ- (k∈Z),即y=的定义域为.
错因分析:错解忽略了tan x本身对x的限制.
正解:要使函数y=有意义,则应有
故函数的定义域为.
1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图象(第1课时)
课堂探究
探究一用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的简图
1.用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.21·cn·jy·com
2.用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤是:
第一步:列表.
ωx+φ
0
π

x





y
0
A
0
-A
0
第二步:在同一坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,即可得图象.
【典型例题1】 用“五点法”画函数y=3sin,x∈的图象.
思路分析:将2x+看作一个整体依次取值0,,π,,2π,求出对应的x,y值,再描点、连线即得所求函数的图象.21教育网
解:①列表:
2x+
0
π

x

y=3sin
0
3
0
-3
0
②描点:在坐标系中描出下列各点:
,,,,.
③连线:用光滑曲线将所描的五个点顺次连接起来,得函数y=3sin,x∈的简图,如图所示.
探究二用图象变换作函数图象
1.法一是先平移后伸缩;法二是先伸缩后平移.
2.两种变换中平移的单位长度是不同的,在应用中一定要区分清楚,以免混乱而失误.弄清平移对象是减少失误的好方法.21世纪教育网版权所有
【典型例题2】 如何由函数y=sin x的图象得到函数y=3sin+1的图象?
思路分析:本题主要考查正弦函数的图象变换,可根据两种变换方式中的一种进行,正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可.21cnjy.com
解法一:y=sin x
y=sin
y=sin
y=3sin
y=3sin+1.
解法二:y=sin x
y=sin 2xy=
sin 2
y=3sin 2=3sin
y=3sin+1.
探究三易错辨析
易错点:忽视自变量x的系数和平移的方向
【典型例题3】 为了得到y=sin x的图象,只需要将y=sin的图象(  )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
错解:由y=sinx的图象得y=sin的图象时,∵φ=-,∴向左平移个单位.故选A.
错因分析:错解中有3个错误点:①审题不清,没有弄清楚哪一个函数移动变换得另一个函数图象.②平移方向上应该是“左加右减”,在错解中,由y=sinx得y=sin的图象时应该向右平移.③平移的单位长度由于忽视了x的系数导致错误.
正解:由于y=sin=sin.
∴当由y=sin的图象得y=sinx的图象时,应该是向左平移个单位.
答案:C
1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图象(第2课时)
课堂探究
探究一函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称性
1.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴方程由ωx+φ=kπ+求得,即x=,k∈Z;对称中心由ωx+φ=kπ求得,即为,k∈Z.【来源:21·世纪·教育·网】
2.函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程由ωx+φ=kπ求得,即x=,k∈Z,对称中心由ωx+φ=kπ+求得,即为,k∈Z.2·1·c·n·j·y
【典型例题1】 已知函数f(x)=sin (ω>0)的最小正周期为π,则该函数图象(  )
A.关于点对称 B.关于直线x=对称
C.关于点对称 D.关于直线x=对称
解析:由T==π,解得ω=2,
则f(x)=sin,
令2x+=kπ+,得x=+,k∈Z,即对称轴为x=+,k∈Z.
令2x+=kπ,得x=-,k∈Z,即对称中心为,k∈Z.
从而可判断A正确.
答案:A
探究二 求函数y=Asin?ωx+φ??A>0,ω>0?的解析式
由函数图象确定解析式,可按以下规律来确定A,ω,φ.
(1)A:一般可由图象的最高点、最低点来确定A.
(2)ω:因为T=,所以ω=,可通过曲线与x轴的交点确定T,也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为来求,还可由相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T来求.www.21-cn-jy.com
(3)φ:①代入法:通常取最高点或最低点的坐标代入解析式,根据φ的范围确定其值.如果代入的是平衡点(零点),则必须区分0相位和π相位,代入0相位时,需令ωx+φ=2kπ(k∈Z),代入π相位时,需令ωx+φ=2kπ+π(k∈Z).②对点法:将所给图象中的五个关键点与“五点法”中的五个点进行对照.从寻找“五点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个点的位置.21·世纪*教育网
【典型例题2】 如图为y=Asin(ωx+φ) 图象的一段,试确定此函数解析式.
解:该函数的周期T=-=4π,
∴ω==.
又∵函数的最大值为3,故A=3.
∴y=3sin.
法一:所给图象是由函数y=3sin向右平移个单位长度得到的,于是所求解析式为y=3sin,即y=3sin.www-2-1-cnjy-com
法二:∵周期为4π,∴由图象知最大值点为.
∴3sin=3.
∴+φ=2kπ+,k∈Z.
∴φ=2kπ-,k∈Z.
∵|φ|≤,∴φ=-.
∴所求解析式为y=3sin.
法三:∵图象过点,
∴3sin φ=-.∴sin φ=-.
又∵-≤φ≤,∴φ=-.
∴所求解析式为y=3sin.
法四:由图象过点,且该点在递增区间上,
∴×+φ=2kπ,k∈Z,
∴φ=2kπ-,k∈Z.
∵|φ|≤,∴φ=-.
∴所求解析式为y=3sin.
探究三函数y=Asin(ωx+φ)的实际应用
1.正确理解并识记简谐运动、周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解答这类题的基础.
2.对于实际问题,要注意定义域.
【典型例题3】 已知弹簧上挂的小球做简谐运动时,小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化规律为:s=4sin,t∈[0,+∞).用五点法作出这个函数在一个周期内的简图,并回答下列问题:21世纪教育网版权所有
(1)小球在开始运动(t=0)时,离开平衡位置的位移是多少?
(2)小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少?
(3)经过多长时间,小球往复运动一次?
(4)小球运动的频率是多少?
解:列表如下:
t
0
π
2t+
π

s
2
4
0
-4
0
2
图象如图所示:
(1)将t=0代入s=4sin,
得s=4sin=2 (cm),
以竖直向上作为位移的正向,则小球开始运动时的位移是2 cm,方向为正向.
(2)小球上升到最高点时,离开平衡位置的位移是4 cm,下降到最低点时,离开平衡位置的位移是-4 cm,负号表示方向竖直向下.21教育网
(3)反映在图象上,正弦曲线在每一个长度为π的区间上,都完整地重复变化一次.由于这个函数的周期T==π,所以小球往复运动一次所需要的时间为π s.
(4)小球运动的频率为.
探究四易错辨析
易错点:求y=Asin(ωx+φ)的解析式时求错φ的值
【典型例题4】 函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中|φ|<,则(  )
A.ω=2,φ= B.ω=2,φ=-
C.ω=,φ= D.ω=,φ=-
错解:由图象观察可得φ=-,T=-=π,
则ω=2.故选B.
错因分析:错解中认为φ为函数图象与x轴交点的横坐标中绝对值最小的那个横坐标是错误的,实际上φ要根据平移或特殊点的坐标列方程来求.21cnjy.com
正解:由图可得T=π,
∴ω=2.∴y=sin(2x+φ).又由图可知y=sin 2x的图象y=sin(2x+φ)=sin的图象,21·cn·jy·com
∴=.∴φ=.故选A.
答案:A
1.6 三角函数模型的简单应用
课堂探究
探究一利用三角函数图象研究其他函数
1.要得到y=|f(x)|的图象,只需将y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方,即“下翻上”.2·1·c·n·j·y
2.要得到y=f(|x|)的图象,只需将y=f(x)的图象在y轴右边的部分沿y轴翻折到左边,即“右翻左”,同时保留右边的部分.【来源:21·世纪·教育·网】
【典型例题1】 作出函数y=|cos x|,x∈R的图象,判断它的奇偶性,并写出其周期和单调区间.
思路分析:先作出y=cos x的图象,然后再依据y=|cos x|与y=cos x间的关系得y=|cos x|的图象.www-2-1-cnjy-com
解:y=|cos x|

作出函数y=cos x的图象后,将x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,如图:
由图可知y=|cos x|是偶函数,T=π,
单调递增区间为 (k∈Z),
单调递减区间为 (k∈Z).
探究二三角函数模型在生活中的应用
1.在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过程.
2.在解题中,将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有:求出三角函数的解析式;画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题.www.21-cn-jy.com
【典型例题2】 如图为一个缆车示意图,缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h.2-1-c-n-j-y
(1)求h与θ间的函数关系式;
(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?21*cnjy*com
解:(1)以圆心O为原点,建立如图所示的坐标系,则以Ox为始边,OB为终边的角为θ-,故B点坐标为.【来源:21cnj*y.co*m】
∴h=5.6+4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是,故t s转过的弧度数为.
∴h=5.6+4.8sin,t∈[0,+∞).
到达最高点时,h=10.4 m.
由sin=1,得t-=,∴t=30(s).
∴缆车到达最高点时,用的时间最少为30秒.
探究三三角函数模型在物理中的应用
在物理学中,当物体做简谐运动时,可以用正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律,其中:(1)A称为简谐运动的振幅,它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移;(2)T=称为简谐运动的周期,它表示物体往复运动一次所需的时间;(3)f==称为简谐运动的频率,它表示单位时间内物体往复运动的次数.21教育网
【典型例题3】 如图,弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象.21·世纪*教育网
(1)经过多长时间,小球往复振动一次?
(2)求这条曲线的函数解析式;
(3)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少?
解:(1)由图象可知,周期T=2=π,
所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.
(2)可设该曲线的函数解析式为s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π),t∈[0,+∞),【出处:21教育名师】
从图象中可以看出A=4,T=2×=π.
则=π,即ω=2,将t=,s=4代入解析式,得sin=1,解得φ=.
所以这条曲线的函数解析式为s=4sin,t∈[0,+∞).
(3)当t=0时,s=4sin =2 (cm),故小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是2 cm.【版权所有:21教育】
探究四建立三角模型解决实际问题
在处理曲线拟合和预测的问题时,通常需以下几个步骤:
(1)根据原始数据,绘出散点图;
(2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线;
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式;
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测,以便为决策和管理提供依据.
【典型例题4】 已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作:y=f(t).下表是某日各时的浪高数据.21世纪教育网版权所有
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?
解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图),由图知,可设f(t)=Acos ωt+b,并且周期T=12,21·cn·jy·com
∴ω===.
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5;由t=3,y=1.0,得b=1.0.
∴A=0.5,b=1.∴y=cost+1.
(2)由题知,当y>1时才可对冲浪爱好者开放,
∴cost+1>1.∴cost>0.
∴2kπ-即12k-3∵0≤t≤24,故可令①中k分别为0,1,2,
得0≤t<3或9∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00.21cnjy.com
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第1课时)
课堂探究
探究一 利用两角差的余弦公式求值
解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路:
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,用公式直接求值.
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
【典型例题1】 求值:
(1);
(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°).
思路分析:解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦的形式求解.
解:(1)


=.
(2)原式=-sin 100°sin 160°+cos 200°cos 280°
=-sin 100°sin 20°-cos 20°cos 80°
=-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°)
=-cos 60°=.
点评 熟悉公式C(α-β)的特点,即从函数名称、角、符号三个方面熟悉公式的特点,便于求值.另外,公式不仅要会正用,还要会逆用.21cnjy.com
探究二 已知三角函数式(值)求值
解答已知sin α(或cos α),cos β(或sin β),求cos(α-β)的值的关键在于充分利用已知角的范围及三角函数值,求得需求的一些量的三角函数值;特别需要注意的是在已知某角的一个三角函数值,求角的另外一个三角函数值时有可能用到分类讨论的思想,在解答时,应避免漏解.21·cn·jy·com
【典型例题2】 已知sin α=,α是第二象限角,cos β=,β是第四象限角,求cos(α-β)的值.www.21-cn-jy.com
思路分析:分别求出cos α,sin β的值,利用C(α-β)求得.
解:∵sin α=,α是第二象限的角,
∴cos α==.
又∵cos β=,β是第四象限的角,
∴sin β==.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=.
探究三 应用角的变换求值
1.利用差角的余弦公式求值时,不能机械地从表面去套公式,而要变通地从本质上使用公式,即把所求的角分解成某两个角的差,并且这两个角的正弦函数值、余弦函数值是已知的或可求的,再代入公式即可求解.21教育网
2.在将所求角分解成某两个角的差时,应注意如下变换:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),α=[(α+β)+(α-β)],α=[(β+α)-(β-α)]等.21世纪教育网版权所有
【典型例题3】 已知,且,求cos α的值.
思路分析:先根据求出的值,再根据构造两角差的余弦,求出cos α的值.
解:∵,且,
∴.
∴.


=.
方法技巧 本题主要考查角的代换、平方关系及两角差的余弦公式.若将展开,再利用平方关系结合范围可求cos α.也可以将展开求出sin α+cos α的值,再平方求出2sin αcos α,进一步求出sin α-cos α的值,解方程组得cos α的值.2·1·c·n·j·y
探究四 易错辨析
易错点:对公式C(α-β)记忆不够准确
【典型例题4】 求值:cos 15°=__________.
错解:cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°·sin 30°=.【来源:21·世纪·教育·网】
错因分析:错解的原因是记错了公式,错记为cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.21·世纪*教育网
正解:cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°·sin 30°=.www-2-1-cnjy-com
答案:
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时)
课堂探究
探究一 给角求值问题
解答这类题目时,多数是两角和与差公式的逆用,公式的逆用是三角式变形的重要手段,它可以将含多个三角函数式的式子变形为只含一个三角函数式的式子.另外,在逆用公式时,要通过诱导公式的变形,使之符合公式的特征,有时还需把三角函数式的系数作为特殊值化为特殊角,有时还需把和(差)角公式变形应用.21cnjy.com
【典型例题1】 化简求值:
(1)sin 13°cos 17°+sin 77°cos 73°;
(2);
(3);
(4)tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°.
思路分析:(1)逆用公式;(2)利用辅助角公式;(3)利用“1”的代换;(4)利用两角差公式的变形公式.2·1·c·n·j·y
解:(1)原式=sin 13°cos 17°+sin(90°-13°)cos(90°-17°)=sin 13°cos 17°+cos 13°sin 17°=sin(13°+17°)=sin 30°=.www-2-1-cnjy-com
(2)原式=

=2sin==.
(3)原式=
=tan(45°-15°)=tan 30°=.
(4)∵tan 30°=tan(72°-42°)=,
∴tan 72°-tan 42°=tan 30°(1+tan 72°tan 42°).
∴原式=tan 30°(1+tan 72°tan 42°)-tan 72°tan 42°=.
探究二 给值求值
已知α,β的某一三角函数值,求sin(α±β),cos(α±β),tan(α±β)时,其步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求出α,β其余的三角函数值;(2)代入公式S(α±β),C(α±β),T(α±β)计算即可.www.21-cn-jy.com
【典型例题2】 (1)已知α∈,且sin α=,tan β=,则tan(α+β)=__________.2-1-c-n-j-y
(2)已知α为锐角,sin α=,β是第四象限角,cos β=,则sin(α+β)=__________.21·世纪*教育网
思路分析:(1)先利用同角三角函数基本关系,求出tan α,再代入公式T(α+β)求值.
(2)先求出cos α,sin β的值,再代入公式S(α+β)求值.
解析:(1)∵α∈,sin α=,
∴cos α=.∴tan α=.
∵tan β=,
∴tan(α+β)===1.
(2)∵α为锐角,sin α=,∴cos α=.
∵β是第四象限角,cos β=,∴sin β=.
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
==0.
答案:(1)1 (2)0
探究三 利用角的变换求值
解决求值问题时,常常需要用到将非特殊角转化为特殊角以及角的拆拼、变换等技巧,使已知角与所求角之间具有某种关系.21世纪教育网版权所有
常见的角的变换有:
α=(α+β)-β=(α-β)+β=β-(β-α);α=;α=[(α+β)+(α-β)];α+β=(2α+β)-α;2α=(α+β)+(α-β)等.
【典型例题3】 已知sin(α-β)=,sin(α+β)=,且α-β∈,α+β∈,求cos 2β的值.21教育网
思路分析:利用2β=(α+β)-(α-β)求解.
解:∵sin(α-β)=,α-β∈,
∴cos(α-β)=.
∵sin(α+β)=,α+β∈,
∴cos(α+β)=.
∴cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
==-1.
探究四 易错辨析
易错点:三角函数选择不当致误
【典型例题4】 已知x,y∈,且cos x=,cos y=,求x+y.
错解:由x,y∈,得sin x=,sin y=.
则sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y=.
又由x,y∈,得x+y∈(0,π),
故x+y=或.
错因分析:这里选用了两角和的正弦公式求x+y的值,但是在(0,π)上与一个正弦值对应的角不唯一,从而造成多解的错误.21·cn·jy·com
正解:由已知可得,sin x=,sin y=.
故cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y=.
又因为x,y∈,所以x+y∈(0,π).
所以x+y=.
点评 此类题目是给值求角问题,解题的一般步骤是:(1)先确定角α的范围,且使这个范围尽量小;(2)根据(1)所得范围来确定求tan α,sin α,cos α中哪一个的值,尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数;(3)求α的一个三角函数值;(4)写出α的大小.【来源:21·世纪·教育·网】
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第3课时)
课堂探究
探究一 给角求值
给角求值问题中,一般所给出的角都是非特殊角,从表面上看十分困难,所以在解题过程中,要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活运用公式及其变形,从而使问题迎刃而解.21教育网
【典型例题1】 求下列各式的值:
(1)sincos;
(2)1-2sin2;
(3) ;
(4)coscos.
思路分析:(1)(2)(3)直接利用公式或逆用公式求值.(4)由,是二倍角关系,从而可构造用二倍角的正弦公式求解.21·cn·jy·com
解:(1)原式=sin=×=.
(2)原式=cos=cos=-cos=-.
(3)原式=×=tan=×=.
(4)原式=====.
探究二 给值求值
1.从角的关系寻找突破口.这类三角函数求值问题常有两种解题途径:一是对题设条件变形,将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;另一种是对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
2.另外,注意几种诱导公式的应用,如:
(1)sin 2x=cos=cos=2cos2-1=1-2sin2;
(2)cos 2x=sin=sin=2sincos;
(3)cos 2x=sin=sin=2sincos.
【典型例题2】 (1)已知tan α=2,则tan 2α=__________;
(2)已知0<α<,cos=,则sin=__________.
思路分析:(1)直接用二倍角正切公式求值;(2)观察角+α与+2α的关系,再选择公式求解.
解析:(1)∵tan α=2,∴tan 2α===-.
(2)∵0<α<,∴<α+<.
∵cos=,∴sin=.
∴sin=sin
=2sincos=2××=.
答案:(1) - (2)
【典型例题3】 已知sin=,0<α<,求sin 2α,cos 2α的值.
解:∵sin=,
∴sin 2α=cos=1-2sin2=1-2×2=.
∵0<α<,∴-<-α<.
∵sin=,∴cos=.
∴cos 2α=sin=2sincos=2××=.
探究三 给值求角
解答给值求角的题目时,第一步,求角的范围;第二步,求角的一个三角函数值;第三步,根据角的范围写出所求的角.特别注意选取角的某一三角函数值时,应先缩小所求角的范围,最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内,进而选取三角函数求解.
【典型例题4】 已知α,β是锐角,且sin α=,sin β=,求α+2β的值.
思路分析:可先求cos 2β的值,然后再选用适当的三角函数求α+2β的值,其中要注意缩小角2β的范围.21世纪教育网版权所有
解:∵sin β=,∴cos 2β=1-2sin2β=1-2×2=.
由β∈,且cos 2β=>0,可推得2β∈.
∴α+2β∈(0,π).
∵α∈,且sin α=,∴cos α==.
又∵2β∈,且cos 2β=,∴sin 2β==.
∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=×-×=.
∴α+2β=.
探究四 易错辨析
易错点:忽略角的范围而导致错误
【典型例题5】 化简: (2π<α<3π).
错解:==2cos.
错因分析:错解中利用倍角公式从里到外去根号时,只是机械地套用公式,而没有考虑角的范围对函数值的影响,从而导致错误.21cnjy.com
正解:∵2π<α<3π,∴π<<,<<.
∴====2sin.
点评 利用二倍角公式化简时,由于1+cos α=2cos2,1-cos α=2sin2,则=,=,因此要根据的终边所在象限确定sin,cos的符号,从而去掉绝对值符号,保持恒等变形.
3.2 简单的三角恒等变换(第1课时)
课堂探究
探究一 应用半角公式求值
已知θ的某个三角函数值,求的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算即可.2·1·c·n·j·y
【典型例题1】 已知sin θ=,且<θ<3π,求sin,cos,tan.
思路分析:已知条件中的角θ与所求角中的成二倍关系,从而选择半角公式求值.
解:∵sin θ=,<θ<3π,
∴cos θ=-=-.
∵<<,∴sin=-=-,
cos=-=-,
tan==2.
探究二 三角函数式的化简
1.对于三角函数式的化简有下面的要求:
(1)能求出值的应求出值;
(2)使三角函数种数尽量少;
(3)使三角函数式中的项数尽量少;
(4)尽量使分母不含有三角函数;
(5)尽量使被开方数不含三角函数.
2.化简的方法:
(1)弦切互化,异名化同名,异角化同角;
(2)降幂或升幂.
【典型例题2】 化简: (180°<α<360°).
思路分析:化α为,消去数值1,再升幂判断的范围,然后化简得结论.
解:原式=
==.
又∵180°<α<360°,∴90°<<180°.
∴cos<0.
∴原式==cos α.
探究三 辅助角公式的应用
将三角函数y=f(x)化为f(x)=Asin(ωx+φ)+m的步骤:
(1)将sin xcos x运用二倍角公式化为sin 2x,对sin2x,cos2x运用降幂公式,sin(x±α),cos(x±α)运用两角和与差的公式展开.21世纪教育网版权所有
(2)将(1)中得到的式子利用asin α+bcos α=·sin(α+φ)化为f(x)=Asin(ωx+φ)+m的形式.21·cn·jy·com
【典型例题3】 将下列三角函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)+m的形式.
(1)f(x)=2cos-1;
(2)f(x)=2coscos+2sin xcos x.
解:(1)f(x)=2sincos+2cos2-1
=sin x+cos x=2=2sin.
(2)f(x)=2
+sin 2x= (cos x-sin x)(cos x+sin x)+sin 2x
=cos 2x+sin 2x=2sin.
探究四 三角恒等式的证明
1.恒等式的证明,包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种.
(1)无条件的恒等式证明,常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因),证明的形式有化繁为简,左右归一,变更论证等.21教育网
(2)有条件的恒等式证明,常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系,灵活使用条件,变形得证.21cnjy.com
2.进行恒等变形时,既要注意分析角之间的差异,寻求角的变换方法,还要观察三角函数的结构特征,寻求化同名(化弦或化切)的方法,明确变形的目的.
【典型例题4】 求证:tan-tan=.
思路分析:可以从左向右证明,从函数名称入手考虑,将函数名称统一为弦;也可以从右向左证明,从角入手考虑,注意到x=-,2x=+,从而消除等式两边角的差异.www.21-cn-jy.com
证法一:tan-tan=-=
====.
证法二:=
==-=tan-tan.
3.2 简单的三角恒等变换(第2课时)
课堂探究
探究一 三角函数问题中的三角恒等变换
解答此类问题时,先将原函数通过两角和、差的正、余弦公式及二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等把原函数式转化为“一次一角一函数”的形式,即化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B或f(x)=Acos(ωx+φ)+B的形式,再求相关性质.www.21-cn-jy.com
【典型例题1】 函数f(x)=2sin xsin 的值域是__________.
解析:f(x)=2sin xsin =2sin x
=sin xcos x-sin2x=sin 2x+cos 2x-=sin-.
又-1≤sin≤1,∴-≤f(x)≤.
∴f(x)的值域为.
答案:
【典型例题2】 已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx- (ω>0),其最小正周期为.21cnjy.com
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求f(x)的单调递增区间.
思路分析:运用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式将原函数式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再求解.21世纪教育网版权所有
解:(1)f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-=sin 2ωx+-
=sin 2ωx+cos 2ωx=sin.
由题意知f(x)的最小正周期T=,
∴T===,∴ω=2.∴f(x)=sin.
(2)令2kπ-≤4x+≤2kπ+,k∈Z,解得-≤x≤+,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
探究二 三角恒等变换在实际中的应用
利用三角变换解决生活中的实际问题时,首先要认真分析,善于设参,找出关系,建立数学模型,将难以入手的实际问题化为较容易的数学问题,并且要注意参数的取值范围.
【典型例题3】 已知点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大?21教育网
思路分析:解答本题应先画图,再用变量α表示四边形ABTP的面积,最后利用三角公式求最值,得出α的值.【来源:21·世纪·教育·网】
解:如图所示,∵AB为直径,∴∠APB=90°.
又∵AB=1,∴PA=cos α,PB=sin α.
又∵PT切圆于P点,∴∠TPB=∠PAB=α.
∴S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PB·sin α=sin αcos α+sin2α
=sin 2α+ (1-cos 2α)= (sin 2α-cos 2α)+=sin+.21·cn·jy·com
∵0<α<,∴- <2α-<.∴当2α-=,即α=时,S四边形ABTP最大.
探究三 易错辨析
易错点:错用两角差的正弦公式
【典型例题4】 已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x,求f(x)图象的对称轴方程.
错解:f(x)=cos 2x-sin 2x=2 =2sin .
令2x-=kπ+,k∈Z,解得x=+,k∈Z,
∴f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.
错因分析:错用两角差的正弦公式,忽视了公式中名称的问题,变形错误,导致函数式错误.
正解:f(x)=cos 2x-sin 2x=2 =2cos .
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
∴f(x)图象的对称轴方程为x=-,k∈Z.
点评 将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)时,每一步要保持恒等变形,否则变形的结果是错误的.如本题中还可能出现的错误变形为y=2cos 或错误变形为y=sin ,这是对特殊角的三角函数应用错误导致的.2·1·c·n·j·y
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
课堂探究
探究一 向量的表示
1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
2.注意事项:书写有向线段时,要注意起点和终点的不同;在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头.
【典型例题1】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1) ,使||=4,点A在点O北偏东45°方向;
(2) ,使||=4,点B在点A正东方向;
(3) ,使||=6,点C在点B北偏东30°方向.
解:如图中的,和.
探究二 相等向量与共线向量
1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
2.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再找同向与反向的向量.注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
【典型例题2】 给出下列说法:
①||=||;②若a与b方向相反,则a∥b;③若,是共线向量,则A,B,C,D四点共线;④有向线段是向量,向量就是有向线段.其中所有正确的序号是________.
思路分析:利用共线(平行)向量的概念判断.
解析:①中与的起点终点相反,但长度相等,故①正确;②正确;③与共线时,有AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故③错误;④向量是一个量,有向线段是一种几何图形,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段.21世纪教育网版权所有
答案:①②
【典型例题3】 如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中分别写出:21教育网
(1)与,相等的向量.
(2)与共线的向量.
解:(1) =,=.
(2)与共线的向量为:,,.
规律小结 对于共线向量所在直线的位置关系的判断,要注意直线平行或重合两种情况.
探究三 易错辨析
易错点:混淆向量的有关概念而致错
【典型例题4】 已知下列命题:
①若|a|=0,则a为零向量;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④所有单位向量都是相等向量;⑤两个有共同起点,而且相等的向量,其终点必相同.其中正确的有(  )21·cn·jy·com
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
错解:C
错因分析:①正确;②正确;③错误;没有正确理解单位向量和相等向量而判断④正确;⑤正确.
正解:①正确;②由|a|=|b|得a与b的模相等,但不确定方向,故②错误;③错误;④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不正确;⑤正确.
答案:A
方法技巧 明确向量及其相关概念的联系与区别:(1)区分向量与数量:向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.(2)明确向量与有向线段的区别:有向线段有三要素:起点、方向、长度,只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段,但决定向量的要素只有两个:大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的.零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量,当两共线向量的方向相同且模相等时,两向量为相等向量.21cnjy.com
2.2 平面向量的线性运算(第1课时)
课堂探究
探究一 向量加法法则的应用
求向量和的方法及步骤
【典型例题1】 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):
(1) +=________;
(2) +=________;
(3) ++=________.
思路分析:平移向量,运用平行四边形法则和三角形法则求解.
解析:由已知可得四边形DFCB为平行四边形.
(1)易知=.
由三角形法则得+=+=;
(2)易知=,所以+=+=;
(3) ++=++=.
答案:(1)  (2)  (3)
探究二 向量加法运算律的应用
向量运算中化简的两种方法
1.代数法:借助向量加法的交换律和结合律,将向量转化为“首尾相接”,向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.21世纪教育网版权所有
2.几何法:通过作图,根据三角形法则或平行四边形法则化简.
【典型例题2】 化简下列各式:
(1) ++++;
(2)( +)++.
思路分析:首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连,然后利用向量加法的结合律求和.
解:(1) ++++=++++=+++=+=0.
(2)( +)++=(+)+(+)=+=.
提醒利用平行四边形法则时,要注意向量必须在同一起点,否则要通过平移将它们变为有相同起点的向量,然后作平行四边形.21cnjy.com
探究三 向量加法的实际应用
向量加法应用的关键及技巧
1.三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.
2.应用技巧:(1)准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;(2)将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.21教育网
【典型例题3】 在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.21·cn·jy·com
思路分析:解答本题首先正确画出方位图,再根据图形借助于向量求解.
解:如图所示,设,分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.www.21-cn-jy.com
则飞机飞行的路程指的是||+||;两次飞行的位移的和指的是+=.
依题意,有||+||=800+800=1 600(km).
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°.
所以||=
==800 (km).
其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为北偏东80°.
探究四 易错辨析
易错点:用平行四边形法则作平行向量的和
【典型例题4】 如图,已知平行向量a,b,求作a+b.
错解:
作=a,=b,则=a+b就是求作的向量.
错因分析:由于a∥b,所以不适合用平行四边形法则,应该用三角形法则.
正解:
作=a,=b,则=a+b就是求作的向量.
方法技巧(1)当a与b同向共线时,a+b与a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|.
(2)当a与b反向共线时,若|a|>|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|;若|a|=|b|,则a+b=0.
2.2 平面向量的线性运算(第2课时)
课堂探究
探究一向量的减法运算
1.
2.向量加减法化简的两种形式:(1)首尾相接且相加;(2)起点相同且相减.做题时,注意观察是否有这两种形式的向量出现.同时注意向量加法、减法法则的逆向运用.
【典型例题1】 化简下列各式:
(1) -+-;
(2)( +)+(+)-(-).
解:(1) -+-=+-
=-=0.
(2)( +)+(+)-(-)=(+)+(+)-(-)=+-=-=.21教育网
探究二 用已知向量表示未知向量
1.解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系,确定已知向量与被表示向量的转化渠道.21世纪教育网版权所有
2.通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时,运算过程中,将“-”改为“+”,只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可,如“-”改为“+”.
3.在减法的逆运算中,一定要注意“共起点”“指向被减向量终点”这两个方面.
【典型例题2】 如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,.21cnjy.com
思路分析:寻找图形中已知向量与所表示向量的关系,再灵活运用三角形法则或平行四边形法则表示即可.
解:∵四边形ACDE为平行四边形,
∴==c,=-=b-a.
∴=+=b-a+c,
=-=c-a,
=-=c-b.
探究三向量减法的综合运用
向量a+b,a-b的几何意义在证明、运算中具有重要的应用.对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用.基本思路是:先对向量条件化简.转化,再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状,利用图形的几何性质求解.
【典型例题3】 已知O为四边形ABCD所在平面外的一点,且向量,,,满足+=+,则四边形ABCD的形状为________.21·cn·jy·com
解析:∵+=+,
∴-=-,
∴=.
∴||=||,且DA∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
答案:平行四边形
2.2 平面向量的线性运算(第3课时)
课堂探究
探究一向量数乘的运算
向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算,其解题方法为“合并同类项”“提取公因式”,“同类项”“公因式”指的是向量,实数与向量数乘,实数可看成是向量的系数.
【典型例题1】 计算:
(1)4(a+b)-3(a-b)-8a;
(2)(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);
(3) .
思路分析:运用向量数乘的运算律求解.
解:(1)原式=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b.
(2)原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
(3)原式=

=a-b.
【典型例题2】 设向量a=3i+2j,b=2i-j,求-+(2b-a).
解:原式=a-b-a+b+2b-a
=a+b
=-a+b=- (3i+2j)+ (2i-j)
=i+j
=-i-5j.
探究二 共线向量定理及其应用
共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据,即对于非零向量a,b,a∥b是否成立,关键是能否确定唯一的实数λ,使b=λa.而对于三点共线问题可转化为两个向量共线问题,再依据定理进行解决:21cnjy.com
要证A,B,C三点共线,只需证=λ (λ∈R)或=λ (λ∈R).
【典型例题3】 已知向量e1和e2不共线.
(1)若=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线;
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.
思路分析:对于(1),欲证明A,B,D三点共线,只需证明存在实数λ,使=λ即可.对于(2),若ke1+e2与e1+ke2共线,则一定存在实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2).
解:(1)∵=e1+e2,=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5,
∴,共线,且有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)∵ke1+e2与e1+ke2共线,
∴存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2),
则(k-λ)e1=(λk-1)e2.由于e1与e2不共线,
只能有
则k=±1.
探究三数乘向量运算的综合应用
1.用已知向量表示未知向量是用向量解题的基本功,解题时,应注意解题的方向,尽量把未知向量往已知向量的方向进行转化.要善于利用三角形法则、平行四边形法则,以及向量线性运算的运算律.如果题目中含有平面几何的相关问题时,我们可以利用平面几何的性质进行化简.另外,直接表示较困难时,应考虑方程思想的应用.
2.注意以下结论的运用:
(1)以AB,AD为邻边作?ABCD,且=a,=b,则对角线所对应的向量=a+b,=a-b.21教育网
(2)在△ABC中,若D为BC的中点,则= (+).
(3)在△ABC中,若G为△ABC的重心,则++=0.
【典型例题4】 已知P是△ABC所在平面内的一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在(  )
A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上
C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上
思路分析:∵=λ+,∴-=λ,
∴+=λ,
∴=λ,∴与共线.
∴C,P,A三点共线,故选B.
答案:B
【典型例题5】 已知在?ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点.若=e1,=e2,试用e1,e2表示,.21世纪教育网版权所有
解:∵M,N分别是DC,BC的中点,
∴MNBD.
∵=-=e2-e1,
∴=2=2e2-2e1.
又∵AO是△AMN的中线,
∴= (+)=e2+e1.
探究四易错辨析
易错点:向量的起点、终点弄不清楚,导致向量表示错误
【典型例题6】 已知E,F分别为四边形ABCD的边CD,BC的中点,设=a,=b,则=(  )21·cn·jy·com
A. (a+b) B.-(a+b)
C.-(a-b) D. (a-b)
错解:如图,连接BD,则== (-)=(a+b).
故选A.
错因分析:向量用向量的差表示时,的终点应该为被减向量的终点.
正解:==(-)=(--)=(-b-a)=-(a+b),故选B.
答案:B
点评在向量的线性运算中,向量的差、向量的方向都是易错点,在运算中要高度重视.另外,几何图形的性质还要会准确应用.www.21-cn-jy.com
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 1
课堂探究
探究一对基底概念的理解
根据平面向量基底的定义知,此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题.若不共线,则它们可以作为一组基底;若共线,则它们不能作为一组基底.
【典型例题1】 设e1,e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1与e1+e2;②e1-2e2与e2-2e1;③e1-2e2与4e2-2e1;④e1+e2与e1-e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是________.(写出所有满足条件的序号)2·1·c·n·j·y
解析:①中,设e1+e2=λe1,则无解.
所以e1+e2与e1不共线,故e1与e1+e2可作为一组基底;
同理,可得②④中的两个向量不共线,可作为一组基底;
③中的两个向量共线,不可作为一组基底.
答案:③
探究二 用基底表示平面向量
1.用基底表示平面内任意向量的关键是,在进行运算时,一定要把所要表示的向量放在某一个三角形或平行四边形中,通过向量的加减或数乘运算将所求向量用基底表示出来.
2.通过列关于向量的方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
【典型例题2】 已知在梯形ABCD中,AB∥DC,且AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,设=a,=b,试以a,b为基底表示,,.
思路分析:把要表示的向量放在三角形或平行四边形中,运用向量的加、减法及数乘向量求解.
解:如图,连接FD,
∵DC∥AB,AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,
∴DCFB,
∴四边形DCBF为平行四边形.
∴===b,
==-=-=a-b,
=-=--=--
=--×b
=b-a.
【典型例题3】 已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用向量a,b表示c.21世纪教育网版权所有
思路分析:运用平面向量基本定理,考虑用待定系数法求解.
解:由已知可得a,b不共线,
所以可设c=λ1a+λ2b,
则7e1-4e2=λ1(3e1-2e2)+λ2(-2e1+e2),
∴7e1-4e2=(3λ1-2λ2)e1+(λ2-2λ1)e2,
∴解得
∴c=a-2b.
探究三 向量的夹角
两个向量夹角的实质及求解的关键
1.实质:两个向量的夹角,实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角.
2.关键:求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,然后按照“一作二证三算”的步骤,并结合平面几何知识求出两个向量的夹角.
【典型例题4】 (1)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,则与的夹角θ=__________.21教育网
(2)已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是________,a-b与a的夹角是________.21cnjy.com
思路分析:作出几何图形,再根据向量夹角的定义求值.
解析:(1)如图所示,延长AC到D,使AC=CD,则=,∠BCD是与的夹角.由于∠BCD+∠ACB=180°,∠ACB=60°,www.21-cn-jy.com
则∠BCD=180°-60°=120°,
即θ=120°.
(2)如图所示,作O=a,O=b,
且∠AOB=60°.
以OA,OB为邻边作?OACB,
则=+=a+b,=-=a-b.
∵|a|=|b|=2,
∴△OAB是等边三角形.
∴四边形OACB是菱形.
∴与的夹角为30°,与的夹角为60°,
即a+b与a的夹角为30°,a-b与a的夹角为60°.
答案:(1)120° (2)30° 60°
点评 在用几何法求向量夹角时,一定要使两个向量共起点.
探究四 易错辨析
易错点:忽略作为基底的两个向量是不共线的
【典型例题5】 已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为(  )
A.λ=0 B.e2=0 C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0
错解:A
错因分析:在应用平面向量基本定理时,忽视了等式a=λ1e1+λ2e2中e1,e2不共线这个条件.若没有指明,则对e1,e2共线的情况需加以考虑.21·cn·jy·com
正解:D
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2
课堂探究
探究一平面向量的坐标表示
向量的坐标表示是向量的另一种表示方法,解答时从以下两个方面考虑:一是相等向量的坐标相同;二是当向量的始点在原点时,终点坐标即为向量的坐标.
【典型例题1】 如图,在正方形ABCD中,O为中心,且=(-1,-1),试求,,的坐标.
解:由正方形的对称性可知=(1,-1),=(1,1),=(-1,1).
探究二 利用正交分解求向量的坐标
求向量坐标的三个步骤:
【典型例题2】 已知O是坐标原点,点A在第一象限,|OA|=4,线段OA与x轴正方向的夹角为60°,求向量的坐标.21世纪教育网版权所有
解:设点A(x,y),
则x=|OA|cos 60°=2,y=|OA|sin 60°=6,
即A(2,6),
故=(2,6).
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 3
课堂探究
探究一平面向量的坐标运算
向量坐标运算的注意事项:
1.向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.
2.若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【典型例题1】 (1)已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1,8),求,,+,-,2+ ;www.21-cn-jy.com
(2)已知a=(1,2),b=(-3,4),求向量a+b,a-b,3a-4b的坐标.
思路分析:(1)先计算出,的坐标,再进行向量的线性运算;
(2)直接利用向量的坐标运算.
解:(1)∵A(4,6),B(7,5),C(1,8),
∴=(7,5)-(4,6)=(3,-1);
=(1,8)-(4,6)=(-3,2);
∴+=(3,-1)+(-3,2)=(0,1);
-=(3,-1)-(-3,2)=(6,-3);
2+ =2(3,-1)+ (-3,2)=.
(2)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6);
a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2);
3a-4b=3(1,2)-4(-3,4)=(15,-10).
【典型例题2】 在△ABC中,=(2,-1),=(3,1),=(x,x2+x),求x的值.
解:∵=(2,-1),=(3,1),
∴=-=(1,2).
∵=(x,x2+x),∴解得x=1.
∴所求x值为1.
探究二 用坐标形式下的基底表示向量
利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求基底向量和被表示向量的坐标,再利用待定系数法.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x,y的值.21世纪教育网版权所有
【典型例题3】 已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(6,9),试用,表示.
解:由已知可得=(1,3),=(2,4),=(5,11).
设=x+y ,
则(5,11)=x(1,3)+y(2,4),即(5,11)=(x+2y,3x+4y),
∴解得
∴=+2 .
探究三 易错辨析
易错点:(1)向量的坐标与点的坐标的混淆,必须把向量的起点平移到原点时,终点坐标才是向量的坐标;(2)用向量的起点和终点表示向量坐标时,要和a-b的坐标计算方法区分开21教育网
【典型例题4】 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3 ,=2 ,求点M,N及向量的坐标.21cnjy.com
错解:∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
∴=(-1,-8),=(-6,-3).
∴=3 =(-3,-24),=2 =(-12,-6).
∴点M的坐标为(-3,-24).
点N的坐标为(-12,-6),∴=(9,-18).
错因分析:(1) ,的坐标应该是由终点坐标减起点坐标求得;(2) ,的坐标分别与点M,N的坐标不同,因为点C不是坐标原点.21·cn·jy·com
正解:∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
∴=(1,8),=(6,3),
∴=3 =(3,24),=2 =(12,6).
设M(x,y),则=(x+3,y+4).
∴∴∴点M的坐标为(0,20).
同理可求点N的坐标为(9,2).∴=(9,-18).
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 4
课堂探究
探究一已知向量共线求参数的值
已知两个向量共线,求参数的问题,参数一般设置在两个位置,一是向量坐标中,二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示.这类题目需根据题目特点恰当地选择向量共线的坐标表示形式,建立方程(组)求解.21教育网
【典型例题1】 (1)已知向量a=(1,3),b=(3,m),若2a-b与b共线,则实数m的值是(  )2·1·c·n·j·y
A.6 B.9 C.3+2 D.3-2
(2)已知向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=________.【来源:21·世纪·教育·网】
思路分析:先求出对应向量的坐标,再运用共线条件求值.
解析:(1)由已知可得2a-b=(2,6)-(3,m)=(-1,6-m),
∵向量2a-b与b共线,
∴-m-3(6-m)=0.解得m=9.
(2)∵a=(1,2),b=(2,3),
∴λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3).
∵向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,
∴-7(λ+2)+4(2λ+3)=0.∴λ=2.
答案:(1)B (2)2
探究二 三点共线问题
判断向量或三点共线的步骤:
第一步:先求出有关向量的坐标,若是判断三点共线,需构造两个共点的向量.
第二步:根据向量的表现形式,选择用共线向量定理a=λb(b≠0)或向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0来判断是否共线.21·世纪*教育网
第三步:写出判断结论.
【典型例题2】 向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?www-2-1-cnjy-com
思路分析:若A,B,C三点共线,只要=λ (或=λ),就可以列方程求出k或利用向量共线的坐标表示求k的值.2-1-c-n-j-y
解法一:∵=-=(4,5)-(k,12)
=(4-k,-7),
=-=(10,k)-(4,5)=(6,k-5),
又A,B,C三点共线,∴=λ,
即(4-k,-7)=λ(6,k-5)=(6λ,(k-5)λ).

解得k=11,或k=-2.
解法二:同解法一,∵A,B,C三点共线,
∴(4-k)(k-5)=6×(-7),
解得k=11,或k=-2.
探究三向量共线的综合应用
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤:
首先分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化,再利用题目条件,寻找向量关系,列出方程(组)求出有关变量,最后回归到几何问题中.21·cn·jy·com
【典型例题3】 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.www.21-cn-jy.com
解法一:由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),
则=-=(4λ-4,4λ),
=-=(-2,6).
由与共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得λ=,
所以==(3,3),
所以P点的坐标为(3,3).
解法二:设P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),
且与共线,
所以=,即x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,
则得(x-4)×6-y×(-2)=0,
解得x=y=3,
所以P点的坐标为(3,3).
探究四易错辨析
易错点:处理向量共线时,忽视零向量的特殊情况
【典型例题4】 已知a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行,求m的值.
错解:由题意,得=,解得m=5.
错因分析:本题中,当m=0时,b=0,显然a∥b成立.错解中利用坐标比例形式判断向量共线的前提是m·(-m)≠0,漏掉了m=0这种情况.21cnjy.com
正解:∵a∥b,∴3(-m)-(2-m)m=0,解得m=0或m=5.
点评设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a与b共线的条件为x1y2-x2y1=0.要注意此条件与条件=的区别,应用=时,分母应不为零.21世纪教育网版权所有
2.4 平面向量的数量积 1
课堂探究
探究一 向量数量积的运算
求向量数量积的方法:
1.分别求出向量a与向量b的模及向量a与向量b夹角的余弦值,然后根据数量积的定义求解.如待求式是较复杂的数量积的运算,需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简.在运算时要注意确定两个向量的夹角,特别是平行向量要注意向量是同向还是反向.
2.如果涉及图形的数量积的运算,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量进行向量线性运算后求数量积.这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
【典型例题1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,试求:
(1)a·b;
(2)(a+b)·(a-b);
(3)(2a-b)·(a+3b).
解:(1)a·b=|a|·|b|cos 120°
=2×3×=-3.
(2)(a+b)·(a-b)=a2-a·b+a·b-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.
(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×4-5×3-3×9=-34.21世纪教育网版权所有
【典型例题2】 如图,已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为BC,CD的中点,求·的值.
解:由已知得||=2,||=2,
∵⊥.∴·=0.
又由图可知,=+=+=+.
=+=+=+.
∴·=·=·+2+2+·=||2+||2=4.
探究二求向量的模
利用数量积求解模的问题是数量积的重要应用,注意以下两点:
1.此类求模的问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,要灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方;
2.向量数量积与模的关系及其作用:a·a=a2=|a|2或|a|=,此关系用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.21教育网
【典型例题3】 (1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|=________.21cnjy.com
(2)已知向量a,b满足|a|=,a与b的夹角为135°,|a+b|=,则|b|=________.21·cn·jy·com
解析:(1)|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4|a|2+4|a||b|cos 60°+|b|2=4×25+4×5×5×+25=175.2·1·c·n·j·y
∴|2a+b|=5.
(2)∵|a+b|=,∴a2+2a·b+b2=5,
∴|a|2+2|a|·|b|cos θ+|b|2=5.
∴|b|2-2|b|-3=0.
∴|b|=3或|b|=-1(舍去).
答案:(1)5 (2)3
探究三 有关向量的夹角与垂直问题
1.求两向量的夹角主要借助公式cos θ=,求解方法有两种:一是根据已知条件求出a·b,|a|与|b|,代入公式求解;二是找出|a|,|b|与a·b的关系通过约分求解,注意夹角的范围.【来源:21·世纪·教育·网】
2.非零向量a·b=0?a⊥b是非常重要的性质,应熟练掌握.
【典型例题4】 (1)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则a与b的夹角为________;21·世纪*教育网
(2)已知向量a,b满足a-b与a+b垂直,2a+b与b垂直,则a与b的夹角为________.
解析:(1)∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=0,
∴a2=a·b=2.
设a,b的夹角为θ,
则cos θ===.
∵0≤θ≤π,∴θ=.
(2)∵a-b与a+b垂直,
∴(a-b)·(a+b)=0.∴a2=b2.
∴|a|=|b|.
∵2a+b与b垂直,∴(2a+b)·b=0.
∴2a·b+b2=0.
∴a·b=-b2=-|b|2.
设a,b夹角为θ,则cos θ===-.
∵0≤θ≤π,∴θ=.
答案:(1)  (2)
探究四 判断平面图形的形状
1.依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状,关键是由已知建立数量积、向量的长度、向量夹角等之间的关系,移项、平方是常用方法,从中得到边角的关系.
2.解决这类题型还要注意对向量加(减)法的几何意义、数量积为0的性质及平行四边形的性质等知识的应用,采用数形结合的方法解决问题.www.21-cn-jy.com
【典型例题5】 在△ABC中,(-)·(+)=0,2=·,则△ABC的形状是(  )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析:∵(-)·(+)=0,∴2-2=0,
∴||=| |.
∵2=·,∴2-·=0.
∴·(+)=0.∴·=0.
∴⊥.
∴△ABC是等腰直角三角形.
答案:D
2.4 平面向量的数量积 2
课堂探究
探究一数量积的坐标运算
1.进行向量的数量积运算,前提是牢记有关数量积的运算法则和运算性质;
2.对于运用数量积求向量坐标的问题,通常是运用待定系数法,建立方程(组)求解.
【典型例题1】 已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
解:(1)解法一:∵a=(-1,2),b=(3,2),
∴a-b=(-4,0).
∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
解法二:a·(a-b)=a2-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)
=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]
=(-1,2)(3×2+2×1)
=8(-1,2)=(-8,16).
【典型例题2】 已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10,求向量a的坐标.
解:∵a与b同向,且b=(1,2),
∴设a=λb=(λ,2λ)(λ>0).
又∵a·b=10,∴λ+4λ=10,
∴λ=2,∴a=(2,4).
探究二向量垂直的问题
有关向量垂直的问题,通常利用它们的数量为0来解决,如果是几何中用向量研究垂直,可先建立直角坐标系,将相关的向量用坐标表示,利用向量垂直时数量积为0,建立关系求解,再回到要解决的几何问题中.21cnjy.com
【典型例题3】 (1)已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于(  )【来源:21·世纪·教育·网】
A.9 B.4 C.0 D.-4
(2)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分别在AB,AD上,且AE=1,则当DE⊥CF时,AF=________.21教育网
解析:(1)由已知得a-b=(1-x,4).
∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=0.
∵a=(1,2),∴1-x+8=0,∴x=9.
(2)建立如图所示的直角坐标系,
则点C的坐标为(3,2),D(0,2),E(1,0).
设F(0,y),则=(1,-2),=(-3,y-2).
∵DE⊥CF,∴⊥,
∴-3-2y+4=0,得y=,
∴F,∴AF=.
答案:(1)A (2)
探究三 运用向量坐标求模、夹角
1.运用坐标求向量的模一般有两种解决方法:一是先求出向量的坐标再求模,二是先平方转化为数量积再求模.21世纪教育网版权所有
2.用坐标求两个向量夹角的四个步骤:
(1)求a·b的值;
(2)求|a||b|的值;
(3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦;
(4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角.
【典型例题4】 已知a=(1,2),b=(1,-1),求2a+b与a-b的夹角.
解:∵a=(1,2),b=(1,-1),
∴2a+b=(3,3),a-b=(0,3).
∴(2a+b)·(a-b)=3×0+3×3=9,
|2a+b|==3,|a-b|=3.
设所求角为θ,
则cos θ===,
又∵0≤θ≤π,∴θ=.
∴2a+b与a-b的夹角为.
探究四易错辨析
易错点:a与b的夹角θ为钝角不仅需要a·b<0,还应保证两向量不反向共线,易忽略夹角的范围,事实上,-1【典型例题5】 已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1),且a与b的夹角为钝角,试求实数λ的取值范围.www.21-cn-jy.com
错解:∵a与b的夹角为钝角,
∴a·b<0,
∴(-2,-1)·(λ,1)=-2λ-1<0,
∴λ>-.
错因分析:忽略了a,b反向共线的情况.
正解:∵a与b的夹角为钝角,
∴a·b<0,且a,b不可反向共线.
由a·b<0得(-2,-1)·(λ,1)=-2λ-1<0,
∴λ>-.
当a与b反向共线,即夹角为180°时,
a·b=-|a||b|,∴2λ+1=·,
解得λ=2,
∴实数λ的取值范围为∪(2,+∞).
点评对于非零向量a与b,设其夹角为θ,则θ为锐角?cos θ>0,且cos θ≠1?a·b>0,且a≠mb(m>0);θ为钝角?cos θ<0,且cos θ≠-1?a·b<0,且a≠mb(m<0);θ为直角?cos θ=0?a·b=0.2·1·c·n·j·y
2.5 平面向量应用举例(第1课时)
课堂探究
探究一点共线或平行问题
用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法:
方法一:①选择一组向量作基底;②用基底表示和;③寻找实数λ,使=λ,即∥;④给出几何结论AB∥CD.21世纪教育网版权所有
方法二:先求,的坐标,=(x1,y1),=(x2,y2).利用向量共线的坐标关系x1y2-x2y1=0得到∥,再给出几何结论AB∥CD.21·cn·jy·com
以上两种方法,都是建立在A,B,C,D中任意三点都不共线的基础上,才有∥得到AB∥CD.
【典型例题1】 已知在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=AC,试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.www.21-cn-jy.com
证明:设=a,=b,
则=-=-a=b-a,
=-=b-=b-a,
所以=,且D,E,F,B四点不共线,
所以四边形DEBF是平行四边形.
探究二垂直问题
向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法:
方法一:①选择一组向量作基底;②用基底表示和;③证明·的值为0;④给出几何结论AB⊥CD.
方法二:先求,的坐标,=(x1,y1),=(x2,y2),再计算·的值为0,从而得到几何结论AB⊥CD.2·1·c·n·j·y
【典型例题2】 已知正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,求证AF⊥DE.
证明:设正方形边长为2,建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),则中点E(1,0),F(2,1).
∴=(2,1),=(1,-2),
∴·=2×1+1×(-2)=0,
∴⊥,∴AF⊥DE.
探究三 长度问题
在解决求长度的问题时,不用解三角形,而是用向量的数量积及模的知识,解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决.【来源:21·世纪·教育·网】
【典型例题3】 如图所示,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2.求对角线AC的长.21·世纪*教育网
思路分析:本题是求线段长度的问题,它可以转化为求向量的模来解决.
解:设=a,=b,则=a-b,=a+b,
而||=|a-b|=
==
==2,①
∴||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.
∵由①得2a·b=1,
∴||2=6,∴||=,即AC=.
探究四夹角问题
把平面几何中求角的问题转化为向量的夹角问题是平面向量的工具性体现之一,转化时一定要注意向量的方向.在向量求夹角时,一种是选取一组向量作基底运用公式求解;另一种是建立平面直角坐标系进行求解.21教育网
【典型例题4】 已知矩形ABCD中,AB=,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求∠EAC的大小.21cnjy.com
解:如图,建立平面直角坐标系,
则A(0,0),C(,1),E,=(,1),=,·=2.
cos∠EAC===.
又∵0<∠EAC<,
∴∠EAC=.
2.5 平面向量应用举例(第2课时)
课堂探究
探究一用向量法解决速度问题
运用向量解决物理中的速度问题时,一般涉及速度的合成与分解,充分借助向量三角形法则把物理问题抽象转化为数学问题,同时正确作图是前提.21cnjy.com
【典型例题1】 在风速为75(-) km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.www.21-cn-jy.com
思路分析:解本题首先根据题意作图,再把物理问题转化为向量的有关运算求解.
解:设ω=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航行速度,vb=va-ω.如图所示.
设||=|va|,||=|ω|,||=|vb|,
作AD∥BC,CD⊥AD于D,BE⊥AD于E,
则∠BAD=45°.
设||=150,则||=75(-).
∴||=||=||=75,||=75.
从而||=150,∠CAD=30°.
∴|vb|=150 km/h,方向为北偏西60°.
探究二 用向量解决力学问题
1.在解决物理问题时,把物理中的矢量抽象成向量,然后在三角形或平行四边形中求解.
2.用向量方法解决物理问题的步骤:一是把物理问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量问题的模型,通过向量运算解决问题;三是将结果还原.21世纪教育网版权所有
【典型例题2】 (1)两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为(  )21教育网
A.40 N B.10 N C.20 N D. N
(2)一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m,若纤绳与行进的方向夹角为,此人的拉力为50 N,则纤夫对船所做的功为__________焦耳.21·cn·jy·com
解析:(1)对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.
(2)W=F·s=|F|·|s|cos=50×60×=1 500 (焦耳).
答案:(1)B (2)1 500