1.1.1 任意角
课堂导学
三点剖析
1.任意角的概念和象限角的概念
【例1】 若α是第四象限角，那么是第几象限角？
思路分析：运用直角坐标系内角的表示及不等式性质，先用不等式把第四象限的角表示出来，然后再确定的范围.21cnjy.com
解：∵α是第四象限角.
∴270°+k·360°＜α＜360°+k·360°（k∈Z）,则有，
135°+k·180°＜＜180°+k·180°(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时，135°+n·360°＜＜180°+n·360°,
∴是第二象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时
315°+n·360°＜＜360°+n·360°，
∴是第四象限角.
综上所述，是第二或第四象限角.
温馨提示
准确表示第四象限角，再分k为奇数、偶数两种情况讨论.不要认为α为第四象限角,是第二象限角.类似地，、都应分k为奇数，偶数讨论.www.21-cn-jy.com
2.把终边相同的角用集合和符号语言正确表示
【例2】 用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.
思路分析：运用两角关系及终边相同角解决.
解：（1）从图①中看出，图中两个角的终边在一条直线上.
在0°—360°范围内，且另一个角为225°，故所求集合为：
S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.
={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+180°+2k·180°,k∈Z}.
={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+（2k+1）·180°,k∈Z}.
={β|β=45°+n·180°，n∈Z}
(2)从图②中看出，图中两个角的终边关于x轴对称，故所求集合为：
S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}.
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+360°+k·360°,k∈Z}.
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（k+1）·360°,k∈Z}.
={β|β=±30°+n·360°，n∈Z}.
(3)从图③中看出，图中两个角的终边关于y轴对称，故所求集合为：
S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=150°+k·360°,k∈Z}.
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+180°+2k·180°,k∈Z}.
={β|β=30°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（2k+1）·180°,k∈Z}.
={β|β=（-1）n·30°+n·180°，n∈Z}.
3.任意角的概念
【例3】设集合M={小于90°的角}，N={第一象限的角}，则M∩N等于( )
A.{锐角} B.{小于90°的角} C.{第一象限角} D.以上均不对
解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.
而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.
M∩N由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.
温馨提示
（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.
（2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意.
各个击破
类题演练1
如果α是第三象限角，那么的终边落在何处？
解：因为α是第三象限角，
所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z.
所以·360°+90°＜＜·360°+135°,k∈Z.
当k为奇数时，令k=2n+1，n∈Z,
则n·360°+270°＜＜n·360°+315°，n∈Z,故是第四象限角；
当k为偶数时，令k=2n,n∈Z,
则n·360°+90°＜＜n·360°+135°，n∈Z,所以是第二象限角.
综上可知，是第二或第四象限角.
其终边分别落在第Ⅱ、Ⅳ象限.
变式提升1
若α是第二象限角，是第几象限角？
解：因为α是第二象限角，则有：
k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z，所以k·120°+30°＜＜k·120°+60°，k∈Z.21·cn·jy·com
当k=3m(m∈Z)时，m·360°+30°＜＜m·360°+60°，m∈Z,所以是第一象限角.
当k=3m+1(m∈Z)时，m·360°+150°＜＜m·360°+180°，m∈Z,所以是第二象限角.
当k=3m+2(m∈Z)时，m·360°+270°＜＜m·360°+300°，m∈Z,所以是第四象限角.
因此是第一、二、四象限角.
类题演练2
已知α=1 690°，
（1）把α改写成β+k·360°（k∈Z,0°≤β＜360°）的形式；
（2）求θ,使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°,并判断θ属于第几象限.
解：（1）α=250°+4·360°（k=4,β=250°）.
(2)∵θ与α终边相同，
∴θ角可写成250°+k·360°.
又∵-360°＜θ＜360°,
∴-360°＜250°+k·360°＜360°，k∈Z.
解得k=-1或0.
∴θ=-110°或250°,
∴θ是第三象限角.
变式提升2
（1）与-457°角终边相同角的集合是（ ）
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z} B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z} D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
解法1：∵-457°=-2×360°+263°,∴应选C.
解法2：∵-457°角与-97°角终边相同，
又-97°角与263°角终边相同，
又263°角与k·360°+263°角终边相同，
∴应选C.
答案：C
（2）已知角α、β的终边相同，那么α-β的终边在（ ）
A.x轴的非负半轴上 B.y轴的非负半轴上
C.x轴的非正半轴上 D.y轴的非正半轴上
解析：∵角α、β终边相同，
∴α=k·360°+β,k∈Z,
作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k∈Z.
∴α-β的终边在x轴的非负半轴上.
答案：A
类题演练3
用集合表示下列各角：“0°到90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”“0°—90°的角”.21世纪教育网版权所有
解：0°到90°的角的集合为{α|0°≤α＜90°}
第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}
锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}
小于90°的角的集合为{α|α＜90°}
0°—90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°}
变式提升3
下列命题中，正确的是（ ）
A.终边相同的角一定相等 B.锐角都是第一象限角
C.第一象限的角都是锐角 D.小于90°的角都是锐角
解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90°的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B.21教育网
答案：B
1.1.2 弧度制
课堂导学
三点剖析
1.理解弧度的意义，角度与弧度的换算
【例1】设角α1=-570°，=750°，β1=35π弧度，β2=弧度.
（1）将α1，用弧度表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2）将β1、β2用角度制表示出来，并在-720°—0°之间找出与它们有相同终边的所有角.
思路分析：涉及到角度与弧度的互化关系和终边相同的角的概念，其基本公式360°=2π弧度在解题中起关键作用.21cnjy.com
解：(1)∵180°=π弧度,
∴-570°=-.
∴α1=-2×2π+π,
同理=2×2π+,
∴α1在第二象限，在第一象限.
（2）∵×180°=108°,
设θ=k·360°+β1(k∈Z),
由-720°≤θ＜0°,
∴-720°≤k·360°+108°＜0°,
∴k=-2或k=-1，
∴在-720°—0°之间与β1有相同终边的角是-612°和-252°.
同理 β2=-360°-60°=-420°，且在-720°—0°间与β2有相同的终边的角是-420°和-60°.21教育网
温馨提示
迅速进行角度与弧度的互化，准确判明角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功.若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常可象上例一样化为解不等式去求对应的k值.www.21-cn-jy.com
2.弧度制的概念及与角度的关系
【例2】一条弦的长度等于半径r,求：(1)这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.2·1·c·n·j·y
思路分析：由已知可知圆心角的大小为，然后用公式求解.
解：（1）如下图所示，半径为r的⊙O中弦AB=r,则△OAB为等边三角形，所以∠AOB=，则弦AB所对的劣弧长为r.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)∵S△AOB=×|AB|×|OD|=×r×
S扇形OAB=lr=××r=
∴S弓形=S扇形OAB-S△AOB=r2-=(-)r2.
3.弧度制表示角及终边相同的角
【例3】 集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则有（ ）
A.M=N B.MN C.MN D.M∩N=
思路分析：本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合M、N所表示的角的终边的位置.21·cn·jy·com
解：对集合M中的整数k依次取0,1,2,3,得角,,,.于是集合M中的角与上面4个角的终边相同，如图（1）所示.同理，集合N中的角与0,,,,π,,,,2π角的终边相同，如下图（2）所示.
故MN.∴选C.
答案：C
温馨提示
在今后表示角时，常常使用弧度制.但要注意，弧度制与角度制不能混用，例如α=2kπ+30°(k∈Z),β=k·360°+（k∈Z）都不正确.21世纪教育网版权所有
各个击破
类题演练1
（1）把112°30′化成弧度（精确到0.001）；
（2）把112°30′化成弧度（用π表示）；
（3）把-化成度.
解：(1)①n=112°30′,π=3.141 6;
②n==112.5
③α=≈0.017 5
④α=na=1.968 75
α≈1.969 rad
(2)112°30′=(2252)°=2252×=
(3)-=-(×)°=-75°
变式提升1
判断下列各角所在的象限:
（1）9；（2）-4；（3）.
解：（1）因为9=2π+(9-2π),而＜9-2π＜π，所以9为第二象限角.
(2)因为-4=-2π+（2π-4），而＜2π-4＜π,所以-4为第二象限角.
(3) =-200×2π+π5,所以为第一象限角.
温馨提示
(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求，保留π即可，不必将π化成小数.(3)判断α所在的象限时，一般是把α表示成α=2kπ+α′,k∈Z,α′∈［0,2π)的形式，根据α和α′角终边相同作出判断.
类题演练2
一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？
解：设扇形的圆心角是θ弧度，则扇形的弧长是rθ，扇形的周长是2r+rθ.
由题意可知2r+rθ=πr.
∴θ=π-2（弧度）.
扇形的面积为S=r2θ=r2(π-2).
变式提升2
一扇形周长为20 cm，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
解：设扇形中心角为θ，半径为r，则
2r+θr=20,θ=.
S扇形=θr2
=12··r2
=(10-r)r=10r-r2.
当r=
=5时，S扇形最大=25，此时θ=2.
答：扇形的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.
类题演练3
已知α角的终边与的终边相同，在［0，2π）内哪些角的终边与角的终边相同？
解：∵α角的终边与的终边相同，
∴α=2kπ+(k∈Z).
∴=2k+π9(k∈Z).
又0≤＜2π,
∴0≤+＜2π(k∈Z).
当k=0、1、2时，有=、、，它们满足条件.
∴、、为所求.
变式提升3
若α是第四象限角，则π-α是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解法1：∵α为第四象限角.
∴2kπ-＜α＜2kπ,k∈Z.
∴-2kπ＜-α＜-2kπ+,k∈Z.
∴-2kπ+π＜π-α＜-2kπ+,k∈Z.
∴π-α是第三象限角.
解法2：∵角α与角-α的终边关于x轴对称，又∵角α的终边在第四象限，
∴角-α终边在第一象限，又角-α与π-α的终边关于原点对称，
∴角π-α的终边在第三象限.
答案：C
1.2.1 任意角的三角函数
课堂导学
三点剖析
1.三角函数的定义
【例1】 已知角α的终边经过点P（-4a,3a）(a≠0)，求sinα、cosα和tanα.
思路分析：本题考查利用三角函数定义求三角函数值.选取角α终边上任意一点，求出r=,利用三角函数的定义便可求解.21cnjy.com
解：因为x=-4a,y=3a,
所以r==5|a|.
当a＞0时，r=5a,角α为第二象限角，所以
sinα=,cosα=,
tanα=;
当a＜0时，r=-5a,角α为第四象限角，所以
sinα=,cosα=,tanα=.
温馨提示
当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题需要对参数进行分类讨论.已知角α终边上任意一点，求α的三角函数值时，我们直接用比值定义计算，没有必要用相似三角形向教材定义转化.21·cn·jy·com
2.三角函数符号及用向有线段表示三角函数
【例2】 确定下列各式的符号：
（1）sin105°·cos230°;(2)sin·tan;
(3)cos6·tan6；（4）sin1-cos1.
思路分析：先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号.
解：（1）∵105°，230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°＞0,cos230°＜0.
∴于是sin105°·cos230°＜0.
(2)∵＜＜π,∴是第二象限角，则sin＞0,tan＜0.
∴sin·tan＜0.
(3)∵＜6＜2π,
∴6是第四象限角,∴cos6＞0,tan6＜0.则cos6·tan6＜0.
(4)∵＜1＜,如下图所示，由三角函数线可得：sin1＞＞cos1.∴sin1-cos1＞0.
温馨提示
(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.(2)sinθ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.(4)中解题的关键是将cosθ、sinθ视为角的弧度数.21世纪教育网版权所有
3.三角函数线的理解及应用
【例3】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：
（1）sinα≥;(2)cosα≤-.
思路分析：作出满足条件：sinα=,cosα=的角的终边，然后根据条件确定角α终边的范围.
解：（1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB.则OA与OB围成的区域（图甲中阴影部分）即为角α的终边范围.故满足条件sinα≥的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.www.21-cn-jy.com
(2)作直线x=-交单位圆于C、D两点，连结OC、OD.则OC与OD围成的区域（图乙中阴影部分）即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+ 3,k∈Z}.2·1·c·n·j·y
各个击破
类题演练1
求的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作∠AOB=（如右图），易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为（，）.所以，【来源：21·世纪·教育·网】
sin=,cos=,tan=.
变式提升1
已知角α的终边在直线y=-3x上，求sinα.
解：设角α终边上任一点为P（k,-3k）(k≠0),则
x=k,y=-3k,r=.
(1)当k＞0时，r=k,α是第四象限角，
sinα=,
(2)当k＜0时，r=-k,α为第二象限角,
sinα=.
温馨提示
一个任意角α的三角函数只依赖于α的大小，只与终边位置有关，而与P点在终边上的位置无关.
类题演练2
判断下列各式的符号：
（1）tan250°·cos(-350°);
(2)sin151°cos230°;
(3)sin3cos4tan5;
(4)sin(cosθ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角).
解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,
∴tan250°·cos(-350°)＞0.
(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,
∴sin151°·cos230°＜0.
(3)∵＜3＜π,π＜4＜,＜5＜2π,
∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,
∴sin3·cos4·tan5＞0.
(4)∵θ是第二象限角，
∴0＜sinθ＜1＜,
∴cos(sinθ)＞0.
同理，-＜-1＜cosθ＜0,
∴sin(cosθ)＜0,故sin(cosθ)·cos(sinθ)＜0.
变式提升2
若sin2α＞0且cosα＜0,试确定α所在的象限.
解：∵sin2α＞0,
∴2kπ＜2α＜2kπ+π(k∈Z),
∴kπ＜α＜kπ+ (k∈Z)
当k=2n(n∈Z)时，有2nπ＜α＜2nπ+(n∈Z)α为第一象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时，有2nπ+π＜α＜2nπ+(n∈Z)，α为第三象限角.
∴α为第一或第三象限角.
由cosα＜0，可知α在第二或第三象限，或α终边在x轴的负半轴上.
综上可知，α在第三象限.
类题演练3
利用单位圆中的三角函数线，确定满足sinα-cosα＞0的α的范围.
解：如右图，设角α终边与单位圆的交点为P（x,y）
sinα=y,cosα=x.若sinα=cosα
即y=x，角α的终边落在直线y=x上.
此时α=kπ+,若sinα-cosα＞0,
即y-x＞0.
此时角α的终边落在y=x上方,反之落在y=x下方，因此角α的范围为2kπ+＜α＜2kπ+π(k∈Z).21教育网
变式提升3
试比较x,tanx,sinx的大小，x∈(0,).
解析：如右图在单位圆中，设∠AOT=x,
则AT=tanx,MP=sinx,
∵S△OAT＞S扇OAP＞S△OAP，
即OA·AT＞OA·x＞OA·MP，
整理,即AT＞x＞MP.因此tanx＞x＞sinx.
答案:tanx＞x＞sinx
1.2.2 同角三角函数的基本关系
课堂导学
三点剖析
1.同角三角函数基本关系式
【例1】已知cosθ=-,求sinθ、tanθ.
思路分析：先确定θ的象限，再求与cosθ具有平方关系的sinθ的值，然后利用商数关系求出tanθ.
解：∵cosθ=-＜0,∴θ为第二、三象限角.
当θ为第二象限角时，
sinθ=,
tanθ=.
当θ为第三象限角时，sinθ=
=,tanθ=.
温馨提示
已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：
（1）角所在的象限；
（2）用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；
（3）用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tanα=代入sinα、cosα的值即可求得tanα.21教育网
2．同角三角函数基本关系的应用
【例2】 已知cosα=m(|m|≤1),求sinα、tanα的值.
思路分析：因α的范围未定，故应分类讨论.
解：（1）当m=0时，α的终边落在y轴上.若α的终边落在y轴的正半轴时，sinα=1,tanα不存在；若α角的终边落在y轴的负半轴时，sinα=-1,tanα不存在.
(2)当m=±1时，α的终边落在x轴上，此时，sinα=0,tanα=0.
(3)当|m|＜1且m≠0时.sin2α=1-cos2α=1-m2.
①当α在第一、二象限时，sinα=,从而tanα=.
②当α在第三、四象限时，sinα=-,从而tanα=.
温馨提示
(1)确定角α的范围是为了确定三角函数值的符号.若要对角的范围进行讨论，终边在坐标轴上的情况要单独讨论.21cnjy.com
(2)此类型题目可分为三种情况.
①已知一个角的某个三角函数值，又已知角所在的象限，有一解.
②已知一个角的某个三角函数值，没告知角所在的象限有两解.
③已知角的一个三角函数值用字母表示时，α分类讨论的根据主要是按所求的那些三角函数来区分象限.
3.同角三角函数基本关系式成立的条件
【例3】 已知：sinθ=,cosθ=,其中≤θ≤π,求m的值.
错解：∵sin2θ+cos2θ=1,
∴=1.
解得m1=0,m2=8,这就是所求的m的值.
错因分析：本题对θ还有限制≤θ≤π,因此sinθ和cosθ的正负就有限制，对m的取值必然产生影响.21·cn·jy·com
正解：因≤θ≤π,
则sinθ≥0,cosθ≤0.
显然，当m=0时不符合条件，故m=8.
温馨提示
（1）运用商数关系时，注意公式的适用范围;
（2）运用平方关系时，注意符号的选择.
各个击破
类题演练1
已知sinα=,α∈(0,π),则tanα的值等于（ ）
A. B. C.± D.±
解析：由sinα=,α∈(0,π),
∴cosα=±,∴tanα=±.
答案：D
变式提升1
已知3sinα-2cosα=0,求下列各式的值.
(1)
(2)sin2α-2sinαcosα+4cos2α.
(1)解：∵3sinα-2cosα=0,∴tanα=.
=.
(2)sin2α-2sinαcosα+4cos2α
=
=
类题演练2
已知5sinθ+12cosθ=0,求的值.
解：由5sinθ+12cosθ=0,得tanθ=＜0，
故θ角在第二或第四象限.
当θ在第二象限时，cosθ=;
当θ在第四象限时，cosθ=.
则原式=或.
变式提升2
已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求值（1）tanθ;（2）sinθ-cosθ;（3）sin3θ+cos3θ.
解：∵sinθ+cosθ= θ∈(0,π),平方,得
sinθcosθ=＜0,∴sinθ＞0,cosθ＜0,
∴sinθ,cosθ是方程x2-15x=0的两根.
解方程得：x1=,x2=-,
∴sinθ=,cosθ=-,
∴（1）tanθ=,（2）sinθ-cosθ=,
（3）sin3θ+cos3θ=.
类题演练3
若α为第二象限角，则tanα＜0,∴tanα=以上命题是真命题吗？
解析：同角三角函数基本关系式对定义域内的任意角都成立.α在第二象限时，sinα＞0,cosα＜0 故tanα=.21世纪教育网版权所有
答案：不是
变式提升3
已知：tanθ=2.求证：=lg2-lgcos2θ.
证明：由于tanθ=2,∴=2.即sin2θ=4cos2θ,
∴1-cos2θ=4cos2θ,∴cos2θ=.
∴lg2-lgcos2θ=lg2-lg=lg2+lg5=1.
而
=log2()2
=log2(3++3--2)
=log22=1.∴原式成立.
1.3 三角函数的诱导公式
课堂导学
三点剖析
1.诱导公式
【例1】求下列三角函数值：
（1）sin（）;(2)cos();
(3)tan;(4)cos(-945°).
解：(1)sin（）=-sin
=-sin(4π+)=-sin
=-sin(π+)=sin=
(2)cos()=cos
=cos(4π+π)=cosπ=cos(π+)
=-cos=.
(3)tan=tan(6π+)=tan
=tan(π+)=tan=tan(π-)
=-tan=.
(4)cos(-945°)=cos945°=cos(2×360°+225°)
=cos225°=cos(180°+45°)
=-cos45°=.
温馨提示
对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数.若这时角是90°到180°间的角，再利用180°-α的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数；若这时角是180°—270°间的角，则用180°+α的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数；若这时角是270°—360°间的角，则利用360°+（-α）的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数.(1)(2)小题解法一都是按着这样的思路求解的.www.21-cn-jy.com
【例2】(1)设f(α)=,
求的值.
(2)已知sin(3π+θ)=,求的值.
思路分析：本题主要考查求值问题，由于所求式子比较烦琐，故应先用诱导公式化简，然后求值.
解：(1)f(α)=
=
则f（-）=
.
(2)∵sin(3π+θ)=,
又∵sin(3π+θ)=sin(π+θ)
=-sinθ,
∴sinθ=.
∵
=
=
2．诱导公式的应用
【例3】 化简(k∈Z).
解：当k为偶数时，不妨设k=2n,n∈Z,则
原式=
=
=
=
当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z,则
原式=
=
=
=.
综上当k∈Z时，
=-1.
温馨提示
对于kπ+α形式的角的三角函数，只须分k的奇、偶情况进行分类讨论，即可转化为α的三角函数，这在三角函数式的运算中经常出现，注意观察，展开联想，为使用公式创造条件，是学好三角函数的一个重要条件.21世纪教育网版权所有
3.诱导公式的符号规律
【例4】若sinθ=,则的值为__________________.
解：原式=
∵sinθ=,
∴被求式==6.
答案:6
各个击破
类题演练1
求sin（-1 200°）·cos1 290°+cos（-1 020°）·sin(-1 050°)+tan945°的值.
解：原式=-sin（3×360°+120°）·cos（3×360°+210°）-cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°) +tan(2×360°+225°)
=-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°)+tan(180°+45°)21教育网
=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°
=
变式提升1
(1)已知cos(+α)=,求cos(-α)的值.
(2)已知cos(75°+α)=,其中α为第三象限角，求cos(150°-α)+sin(α-105°)的值.
分析：(1)(+α)+(-α)=π.(2)(75°+α)+(105°-α)=180°,这样就可以用诱导公式求解.21cnjy.com
解：(1)cos(-α)=-cos［π-(-α)］
=-cos(+α)=.
(2)cos(105°-α)=cos［180°-(75°+α)］
=-cos(75°+α)=.
sin(α-105°)=-sin(105°-α)=-sin［180°-(75°+α)］=-sin(75°+α).
∵cos(75°+α)=＞0,又α为第三象限角,可知75°+α为第四象限角.
则有sin(75°+α)=;
则cos(105°-α)+sin(α-105°)
=
=.
类题演练2
已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三角限角，且cos（α-）=,求f(α)的值；
（3）若α=,求f(α)的值.
解：(1)f(α)=
(2)∵cos(α-)=-sinα,
∴sinα=,cosα=.
∴f(α)=.
(3)∵
∴f()=-cos()
=-cos(-6×2π+)
=-cos=-cos.
变式提升2
已知f(cosx)=cos17x,求证f(sinx)=sin17x;
证明：利用已知条件诱导公式，有
f(sinx)=f［cos(-x)］=cos［17(-x)］
=cos(8π+-17x)=cos(-17x)
=sin17x.
类题演练3
求sin(2nπ+)·cos(nπ+)的值（n∈Z）.
解：(1)当n为奇数时，
原式=sin·(-cos)
=sin(π-)·［-cos(π+)］
=sin·cos=.
(2)当n为偶数时，
原式=sin·cos=sin(π-)·cos(π+)
=sin·(-cos)
=×(-)=.
变式提升3
设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)其中a,b,α,β都是非零实数，且满足f(2 004)=-1,求f(2 005)的值.21·cn·jy·com
解：∵f(2 004)
=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)=-1,
∴f（2 005）=asin(2 005π+α)+bcos(2 005π+β)
=asin［π+(2 004π+α)］+bcos［π+(2 004π+β)］
=-［asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)］
=-(-1)=1.
类题演练4
若α+β=π,则下列各等式不成立的是（ ）
A.sinα=sinβ B.cosα+cosβ=0 C.tanα+tanβ=0 D.sin=cosβ2·1·c·n·j·y
答案：D
变式提升4
在△ABC中，下列不等式一定成立的是（ ）
A.sin=-cos B.sin(2A+2B)=-cos2C
C.sin(A+B)=-sinC D.sin(A+B)=sinC【来源：21·世纪·教育·网】
解析：ΔABC中，A+B+C=π
∴C=π-(A+B)
代入验证可得.
答案：D
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课堂导学
三点剖析
1.正弦函数、余弦函数的图象
【例1】 画下列函数的简图，（1）y=1+cosx,x∈［0,2π］;(2)y=-sinx,x∈［0,2π］.
思路分析：本题主要考查“五点法”作图象.利用“五点法”作图象可分为列表、描点、连线三步.
(1)画法：①列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
1+cosx
2
1
0
1
2
②描点：
③连线：用平滑曲线依次连结各点.
(2)画法：①列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
-sinx
0
-1
0
1
0
②描点：
③连线：用平滑曲线依次连结各点,即可得到所求图象.
温馨提示
一般地y=f(x)+b是由y=f(x)沿y轴方向向上（向下）平移|b|个单位得到的.
一般地y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.
2.正、余弦函数图象间的关系
【例2】在（0,2π）内，使sinx＞cosx成立的x值取值范围是（ ）
A.（，）∪（π，） B.（，π）
C.（，） D.（，π）∪（，）
解析：用“五点法”作出y=sinx,y=cosx(0≤x≤2π)的简图.
由图象可知(1)当x=或x=时，sinx=cosx.
(2)当＜x＜时sinx＞cosx.
(3)当0≤x＜或＜x≤2π时，sinx＜cosx.
答案：C
3.几何法作图和“五点法”作图
【例3】 作出函数y=2sin(2x+)的图象.
解：列出下表，并描点画出图象如下图.
2x+
0
π
2π
x
-
y=2sin(2x+)
0
2
0
-2
0
温馨提示
“五点法”作图如y=Asin(ωx+φ)的函数图象时，要从整体的观点找出五个关键点.使式子中ωx+φ取0，，π，，2π,然后求出相应的x、y值.21世纪教育网版权所有
各个击破
类题演练1
函数y=1-sinx,x∈［0,2π］的大致图象是（ ）
解析1：用特殊点代入验证：取（0，1）、（，0）两点检验知B正确.
解析2：对于本题可按如下程序进行思考：
首先作出（或想象出）y=sinx,x∈［0,2π］的图象，然后作出（或想象出）y=-sinx,x∈［0,2π］的图象（请同学自己画出）；最后作出（或想象出)y=-sinx+1的图象（请同学自己画出）.
易得图象就为B所示.
答案：B
变式提升1
作出y=|sinx|的图象.
解：y=(k∈Z)
其图象如下图.
温馨提示
（1）y=|sinx|的图象可以看作是将y=sinx的图象在x轴下方的部分翻折到x轴的上方得到的.
(2)y=|f(x)|的图象是将y=f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴的上方得到的.
类题演练2
要得到函数f(x)=sinx的图象，可以将g(x)=cosx的图象（ ）
A.向左平移π个单位 B.向右平移π个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
解析：∵y=sinx
=cos(+x)
=cos(x-).
答案：D
变式提升2
函数y=sin(x-)和y=cosx的图象有何关系？并在同一坐标系内画出它们的草图.
解：y=sin(x-)
=-sin(-x)=cosx
∴两函数图象相同.(图略).
类题演练3
用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A.0，，π，，2π B.0，，，，π
C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，，2
答案：B
变式提升3
函数y=3sinx,x∈［-,］的简图是（ ）
答案：A
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（周期性）
课堂导学
三点剖析
1.周期的概念及求函数的周期
【例1】求下列函数的周期：
（1）y=sin2x;(2)y=3cos;(3)y=2sin(2x-).
思路分析：本题主要考查y=Asin(ωx+φ).y=Acos(ωx+φ)的周期的求法.利用周期函数定义及诱导公式求函数的周期.21世纪教育网版权所有
解：（1）由于f（x+π）=sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x=f(x)，所以由周期函数的定义知，原函数的周期为π.21cnjy.com
(2)由于f(x+4π)=3cos［12(x+4π)］=3cos(+2π)=3cos=f(x),所以，由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.www.21-cn-jy.com
(3)由于f(x+π)=2sin［2(x+π)-］=2sin［2x+2π-］=2sin(2x-)=f(x)，由周期函数的定义知，原函数的周期为π.21·世纪*教育网
温馨提示
由上例可以看到函数的周期仅与x的系数有关.一般地,y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)（其中A、ω、φ为常数，A≠0,ω＞0）的周期T=2πω，若y=f(x)的周期为T，则y=f(ωx)的周期为.www-2-1-cnjy-com
2.周期函数概念的理解
【例2】判断下列函数是否是周期函数？如果是，求出它的一个周期.
(1)y=lgx;(2)y=sinx.
思路分析：判断一个函数是否是周期函数，须根据定义，看是否存在一个常数T，使得f(x+T)=f(x).【来源：21·世纪·教育·网】
解：（1）
取定义域内一个值x0=1.由于f(x0+T)=lg(x0+T)=lg(1+T)≠lg1(T≠0的常数)，于是f(x)=lgx不是周期函数.2-1-c-n-j-y
(2)∵对定义域内任一x，有sin(x+2kπ)=sinx,(k∈Z,k≠0),
∴y=sinx是周期函数，周期为2kπ(k∈Z,k≠0).
温馨提示
判断一个函数是周期函数，关键是能找到常数T（T≠0），使得对定义域内的任一x，有f(x+T)=f(x).判断一个函数不是周期函数，只要在定义域内找一个特殊值x0，验证f（x0+T）≠f(x0).就可以说明f(x)不是周期函数.21*cnjy*com
3.周期函数的定义
【例3】①存在T=使sin(+)=sin成立，所以是y=sinx的一个周期.
②f(2x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立，所以是f(x)的周期.(T≠0)
③周期函数不一定有最小正周期.
④周期函数的周期不止一个.
以上命题是真命题的是.
答案：②③④
温馨提示
理解周期函数的概念要注意以下三点：
(1)存在一个常数T≠0;
(2)对其定义域内的每一个x值，x+T属于定义域;
(3)当x取定义域内每个值时，f(x+T)=f(x)恒成立.
各个击破
类题演练1
求下列函数的最小正周期.
(1)y=3sin(2x+);
(2)y=2cos(x-).
解：(1)T==π.
(2)T==π2.
变式提升1
求y=|sinx|的周期.
解：将y=sinx的图象中y≥0的部分保持不变，将y＜0部分的图象翻折到x轴的上方，即得y=|sinx|的图象，(如下图所示).由y=|sinx|的图象知其周期为π.
温馨提示
由数形结合法可知y=|Asin(ωx+φ)|（A、ω、φ是常数，ω＞0）的周期为y=Asin(ωx+φ)（A、ω、φ为常数，ω＞0）的周期的一半.21·cn·jy·com
类题演练2
下列四个函数为周期函数的是（ ）
A.y=3 B.y=3x0 C.y=sin|x| x∈R D.y=sin1x x∈R且x≠02·1·c·n·j·y
答案：A
变式提升2
已知定义在实数集上的函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x).
判断y=f(x)是否是周期函数.若是周期函数，求出它的一个周期.
解：∵f(x+4)
=f［2+(x+2)］
=-f(x+2)
=-［-f(x)］=f(x).
∴f(x)是周期函数，且周期是4.
类题演练3
函数y=f(x)，x∈［-2,2］图象如下图所示,f(x)是周期函数吗？
解析：在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT(k∈Z且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.21教育网
答案：不是
变式提升3
函数y=asinx的图象是怎样的呢？是否是周期函数？若是，它的最小正周期又是什么呢？
解析：∵y=asin(x+2kπ)=asinx,
即存在常数T=2kπ(k∈Z),
使得f(x+T)=f(x),
∴y=asinx是周期函数，且最小正周期为2π.因此，它的图象应是每隔2π个单位长度是相同的.
1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质（单调性和奇偶性）
课堂导学
三点剖析
1.正余弦函数的单调性、奇偶性与最值
【例1】求下列函数的单调区间：
（1）y=sin(x-);
(2)y=cos2x.
思路分析：本题主要考查复合函数的单调区间的求法.可依据y=sinx(x∈R)和y=cosx(x∈R)的单调区间及复合函数单调性原则求单调区间.21教育网
解：（1）令u=x-,函数y=sinu的递增、递减区间分别为［2kπ-,2kπ+］，k∈Z，［2kπ+,2kπ+］，k∈Z.21cnjy.com
∴y=sin(x-)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.
2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,
得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
2kπ+≤x≤2kπ+116π,k∈Z.
∴函数y=sin(x-)的递增区间、递减区间分别是
［2kπ-，2kπ+］,k∈Z,
［2kπ+，2kπ+116π］,k∈Z.
(2)函数y=cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z),2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z.www.21-cn-jy.com
∴kπ-≤x≤kπ,k∈Z,kπ≤x≤kπ+,k∈Z.
∴函数y=cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别为
［kπ-,kπ］,k∈Z,［kπ,kπ+］,k∈Z.
【例2】求函数y=3-2sin(x+)的最大、最小值及相应的x值.
思路分析：使函数y=3-2sin(x+)取得最大、最小值的x就是使得函数y=sin(x+)取得最小、最大值的x.【来源：21·世纪·教育·网】
解：当sin(x+)=1
即x+=2kπ+,x=2kπ+时，y取最小值，y的最小值为3-2=1.
当sin(x+)=-1
即x+=2kπ-,x=2kπ-23π时,y取最大值，y的最大值为3+2=5.
温馨提示
求形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的单调区间或最值时，我们用整体换元思想.A、ω＞0时，则ωx+φ直接套正余弦函数的增减区间和取最大、最小值的x的集合，解得x的范围即可.www-2-1-cnjy-com
2.判断函数的奇偶性
【例3】判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=|sinx|+cosx;
(2)f(x)=;
(3)y=;
(4)y=.
思路分析：本题主要考查奇偶性的判定.判断奇偶性的方法.①判断定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)与f(x)的关系.
解：（1）函数的定义域为R,
f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)
=|-sinx|+cosx
=|sinx|+cosx=f(x).
∴函数为偶函数.
(2)由1+sinx+cosx≠0得
x≠π+2kπ,且x≠+2kπ,k∈Z.
∴函数的定义域不关于原点对称.
∴函数f(x)=为非奇非偶函数.
(3)∵sinx-1≥0,
∴sinx=1,x=2kπ+(k∈Z).
函数定义域不是关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数.
(4)∵1-cosx≥0且cosx≥1，
∴cosx=1,x=2kπ(k∈Z).此时，y=0，故该函数既是奇函数，又是偶函数.
温馨提示
判断函数的奇偶性，要特别注意函数的定义域.如果定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称.再通过化简判断f(-x)与f(x)的关系，如f(x)=f(-x)且f(x)≠-f(x),则该函数为只偶非奇函数；如：f(-x)=-f(x)且f(-x)≠f(x)，则该函数为只奇非偶函数；如f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，则该函数为既奇又偶函数； 如f(-x)≠f(x)，且f(-x)≠-f(x)，则该函数为非奇非偶函数.2·1·c·n·j·y
3.y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)型函数中，A、ω的正负对求单调区间及最值的影响
【例4】求函数的单调区间：y=2sin(-x).
思路分析：令-x=u,则u=-x在x∈R上是减函数，由复合函数同增异减原则，要求原函数的递增区间，-x必须套sinu的减区间.21世纪教育网版权所有
解：y=2sin(-x)化为y=-2sin(x-).
∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为
［2kπ-,2kπ+］,k∈Z.
［2kπ+,2kπ+］,k∈Z.
∴函数y=-2sin(x-)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.
2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z.
2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z.
得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
∴函数y=sin(-x)的单调递增区间、单调递减区间分别为
［2kπ+,2kπ+］,k∈Z.
［2kπ-,2kπ+］,k∈Z.
各个击破
类题演练1
求函数y=3sin(2x+)的单调递增区间.
解：令2x+=u,则
y=3sinu的单调增区间为［2kπ-,2kπ+］,k∈Z,
即2kπ-≤2x+≤2kπ+,
∴kπ-≤x≤kπ+.
∴y=3sin(2x+)的单调递增区间是［kπ-π,kπ+］,k∈Z.
变式提升1
比较下列各组数的大小.
（1）sin16°与sin154°；
（2）cos3,cos,sin4,cos.
解：(1)因为sin154°=sin(180°-26°)=sin26°.函数y=sinx在［0,］为增函数，而26°＞16°.21·世纪*教育网
所以sin26°＞sin16°,即sin154°＞sin16°.
(2)因为sin4=cos(-4)=cos(4-)，函数y=cosx在［0，π］为减函数，而
＜4-＜＜3＜π.
所以cos＞cos(4-)＞cos＞cos3.
即cos＞sin4＞cos＞cos3.
类题演练2
函数f(x)=3sin(π5x+)的最大值为____________,相应的x取值集合为____________.
解析：最大值为3，此时π5x+=2kπ+,k∈Z,
∴x=10k+,k∈Z.
答案：3 {x|x=10k+,k∈Z}
变式提升2
求下列函数的最大值与最小值及相应的x.
(1)y=acosx+b;
(2)y=cos2x+sinx-2.
解：(1)①若a＞0，当cosx=1,即x=2kπ时，y取最大值,y的最大值为a+b；
当cosx=-1，即x=2kπ+π时，y取最小值，y的最小值为b-a.
②若a＜0，当cosx=1即x=2kπ时，y取最小值，y的最小值为a+b；
当cosx=-1即x=2kπ+π时，y取最大值，y的最大值为b-a.
总上知y的最大值为|a|+b，最小值为-|a|+b.
(2)y=1-sin2x+sinx-2=-sin2x+sinx-1=-(sinx-)2-,
当sinx=12,即x=2kπ+或x=2kπ+(k∈Z)时，y取得最大值，y的最大值为-;
当sinx=-1即x=2kπ-时，y取得最小值,y的最小值为-3.
类题演练3
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);
(2)f(x)=cos(2π-x)-x3sinx;
(3)f(x)=.
解：(1)函数的定义域R关于原点对称.
f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,
f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域R关于原点对称,
又f(x)=cosx-x3sinx
∴f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)
=cosx-x3sinx=f(x).
∴f(x)为偶函数.
(3)函数应满足1+sinx≠0,
∴函数的定义域为{x∈R |x≠2kπ+,k∈Z},
∴函数的定义域关于原点不对称,
∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
变式提升3
(1)已知f(x)=ax+bsin3x+1(a、b为常数)，且f(5)=7，求f(-5).
(2)如果函数y1=a-bcosx(b＞0)的最大值是32，最小值是，那么函数y2=-4asin3bx的最大值是（ ）21·cn·jy·com
A.-2 B.2 C. D.-
解：（1）因为f(-x)-1=a(-x)+bsin3(-x)=-(ax+bsin3x)=-［f(x)-1］,
所以f(-5)=-6.
（2）由题意a+b=∴
∴y2=-2sin3x.
∴y2的最大值为2.
答案：（1）-6 （2）B
类题演练4
函数y=2sin(-2x)(x∈［0,π］)为增函数的区间是（ ）
A.［0，］ B.［，］
C.［，］ D.［，π］
解：2sin(-2x)=-2sin(2x-),
当2kπ+≤2x-≤2kπ+,即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
当k=0时得在［0，π］上的单调增区间为［，］.
答案：C
变式提升4
求函数y=cos(-)的单调递增区间.
解：∵y=cos(-2x)=cos(2x-),
令2x-=u,
则y=cosu的单调递增区间为
［2kπ-π,2kπ］,k∈Z,
即2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,
∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数y=cos(-)的单调递增区间为［kπ-,kπ+］,k∈Z.
1.4.4 正切函数的图象与性质
课堂导学
三点剖析
1.正切函数的图象和性质.
【例1】 已知函数y=tan,
（1）作此函数在一个周期开区间上的简图；
（2）求出此函数的定义域、周期和单调区间；
（3）写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.
思路分析：解决本题的关键是利用换元法（令-=z）将问题转化到正切函数y=tanZ的图象和性质上处理，在这里体现出了化归这一重要的数学思想方法.
解：（1）列表：
x
-
…
-
…
-
-
…
0
…
tan（-）
-∞
…
-1
0
1
…
+∞
描点作线画图：
（2）∵-≠+kπ,k∈Z.
∴x≠+2kπ,从而函数的定义域是{x∈R｜x≠π+2kπ,k∈Z}.
函数的周期是T==2π.
又∵-+kπ＜-＜+kπ,k∈Z,
∴-+2kπ＜x＜π+2kπ.
故函数的单调增区间是
（-+2kπ，π+2kπ），k∈Z；无减区间.
（3）由-=+kπ，k∈Z得
x=,
故函数图象的渐近线为
x=π+2kπ,k∈Z；
再由-=，k∈Z，
得x=+kπ,
故函数图象的对称中心为（+kπ，0），k∈Z.
2.正切函数图象与性质的应用
【例2】求满足下面条件的x的集合tan(2x-)+3＞0.
思路分析：本题可将2x-看作一个整体，利用y=tanx的图象及单调性求解.
解：原不等式可化为tan（2x-）＞，
设z=2x-.
如下图，在（-，）上满足tanz＞的角的范围是-＜z＜,所以在整个定义域上有-+kπ＜z＜+kπ,k∈Z,21世纪教育网版权所有
即-+kπ＜2x-＜+kπ,k∈Z.
解得＜x＜+,k∈Z.
所以原不等式的解集是
{x｜＜x＜+,k∈Z}.
温馨提示
本题是运用整体换元思想与数形结合思想解决的.首先将2x-看作一个变量Z，然后结合正切函数的图象得到Z的范围，最后用2x-替换Z，解得x即可.
3.对正切函数的定义域及其单调区间的理解.
【例3】若A={x｜tanx＞0}，
B={x｜≥0}，
试求A∩B.
解：由B得
∴tanx≥.
∴A∩B={x｜tanx≥}，
而正切函数在每一个区间（kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函数，
所以tanx≥的解为
kπ+≤x＜kπ+,k∈Z，
故A∩B={x｜kπ+≤x＜kπ+,k∈Z}.
温馨提示
由tanx≥易解得x≥kπ+，k∈Z.此种解法认为正切函数是增函数，是错误的.正切函数应在每一区间（kπ-,kπ+），k∈Z上是增函数.21教育网
各个击破
类题演练1
求下列函数的定义域
（1）y=tan（2x-）;
(2)y=.
解：（1）函数的自变量x应满足：2x-≠kπ+,k∈Z,
即x≠+(k∈Z).
所以,函数的定义域为{x｜x≠+,k∈Z}.
(2)要使函数y=有意义，
则有
即x≠kπ-，且x≠kπ+(k∈Z).
∴函数的定义域为，
{x｜x∈R且x≠kπ-,x≠kπ+,k∈Z}.
变式提升1
y=｜tanx｜的最小正周期为（ ）
A. ? B.π ?? C.2π ?? D.
解析：作出y=｜tanx｜的图象，如下图所示.
故y=｜tanx｜的周期为π.
答案：B
温馨提示
（1）y=｜sinx｜,y=｜cosx｜的周期都是y=sinx,y=cosx的周期缩短了一半，而y=｜tanx｜的周期与y=tanx的周期相同，同学们不要盲目地由y=｜sinx｜,y=｜cosx｜的周期是由原函数的周期缩短了一半推到y=｜tanx｜的周期是.21cnjy.com
（2）注意正切函数的定义域、单调性.尽管y=tanx在每一个开区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)内都是增函数，但在整个定义域内不是增函数.21·cn·jy·com
类题演练2
求函数y=的定义域.
解：
∴tanx≤3,如右图
∴kπ-＜x≤kπ+(k∈Z).
∴函数的定义域为{x｜kπ-＜x≤kπ+,k∈Z}.
变式提升2
在区间（-，）范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解：在同一坐标系中，首先作出y=sinx与y=tanx，在（-，）内的图象，须明确x∈（0，）时，有sinx＜x＜tanx（利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明），然后利用对称性作用x∈（-，）的两函数的图象如下图，由图象可知它们有三个交点.
∴应选C.
答案：C
类题演练3
以下三个描述不正确的是（ ）
①正切函数为定义域上增函数
②正切函数存在闭区间［a,b］,使y=tanx为其上增函数
③正切函数存在闭区间［a,b］,使y=tanx为其上减函数
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：只有②正确.
答案：C
变式提升3
比较tan1,tan2,tan3,tan4的大小.
解：tan2=tan（2-π),tan3=tan(3-π),
tan4=tan(4-π),
又∵-＜2-π＜3-π＜4-π＜1＜,且y=tanx在（-，）上是增函数.
∴tan(2-π)＜tan(3-π)＜tan(4-π)＜tan1.
即tan2＜tan3＜tan4＜tan1.
1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象
课堂导学
三点剖析
1.求y=Asin(ωx+φ)的振幅、周期、频率、相位及初相
【例1】 用五点法作出函数y=2sin(x-)+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.【出处：21教育名师】
思路分析：用“五点法”作函数图象，关键是作出决定图象形状的五个点：三个平衡点，一个最高点和一个最低点.21教育名师原创作品
解：（1）列表.
x
x-
0
π
2π
y
3
5
3
1
3
(2)描点.
(3)作图，如下图所示.
周期T=2π，频率f=,相位x-,初相-，最大值5，最小值1，函数的单调递减区间为［2kπ+,2kπ+］,单调递增区间为［2kπ-,2kπ+］，k∈Z.
将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y=2sin（x-）+3的图象.（图略）
温馨提示
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象用的是整体换元的思想，即令z=ωx+φ，z取五个关键值0、、π、、2π，相应地解得x的五个值，作为点的横坐标，求得对应的纵坐标，然后描出五个点，即决定形状的五个关键点——三个平衡点，一个最高点，一个最低点.21世纪教育网版权所有
2.由y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的变化过程
【例2】由y=sinx的图象经怎样变换得到y=sin（2x+）的图象.
解法1：（1）将y=sinx的图象向左平移得y=sin(x+)的图象.
(2)将y=sin(x+)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的得y=sin(2x+)的图象.21·cn·jy·com
（3）将y=sin(2x+)的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的,得到y=sin(2x+)的图象如下图所示.21教育网
解法2：（1）将y=sinx的图象上各点纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得y=sin2x的图象.2·1·c·n·j·y
（2）将y=sin2x的图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得y=sin2x的图象.2-1-c-n-j-y
（3）将y=sin2x的图象向左平移个单位，得y=sin［2（x+)］=sin(2x+)的图象.【版权所有：21教育】
温馨提示
(1)由y=sinx的图象可以通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象.其中A只影响纵坐标的伸缩变换，ω只影响横坐标的伸缩变换，φ只影响图象的左右平移变换.21·世纪*教育网
（2）本题可以有很多种变换方式，不同的变换次序，直接影响变换的具体过程，特别是周期变换和相位变换的次序改变，直接影响到平行移动的单位.如由y=sin2x得到y=sin（2x+），是向左平移了个单位，而不是个单位.21*cnjy*com
（3）平行移动的单位是相对于一个x而言的，由y=Asinωx得到y=Asin(ωx+φ)需向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平行移动｜｜个单位.
3.先周期变换，后相位变换时，平移量为｜φω｜个单位.
【例3】 要得到函数y=3cos(2x-)的图象c，需要将函数y=3cos2x的图象c0.经过怎样的路程最小的平移而得到？
思路分析：y=3cos(2x-)=3cos(2x+)，要将c0变为y=3cos(2x+)的图象，只需看x 变化了多少.www.21-cn-jy.com
解：因为y=3cos(2x-)=3cos(2x+)=3cos［2（x+）］，所以将c0向左平移得c,路程最小.21*cnjy*com
温馨提示
图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.由y=sinωx的图象得y=sin（ωx+φ）的图象需向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移｜｜个单位.
各个击破
类题演练1
指出下列函数的振幅、周期、初相.
（1）y=2sin（+),x∈R；
(2)y=-6sin(2x-),x∈R.
解：(1)A=2,T==4π;φ=.
(2)将原解析式变形，y=-6sin(2x-)=6sin(2x+)则有A=6，T=2=π；φ=.
变式提升1
下图表示电流I与时间t的函数关系式I=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
(1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式.
(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？【来源：21·世纪·教育·网】
解：（1）由图可知A=300，设t1=,t3=.
∵T=2(t3-t1)=2(+)=,
∴ω==100π.
由ωt1+φ=0
知φ=-ωt1=.
∴I=300sin(100πt+).
(2)问题等价于,
即,也即ω≥100π,故最小正整数为ω=315.
类题演练2
由y=sinx的图象怎样变换得到y=sinx（-）的图象？
解：y=sinx的图象向右平移个单位长度，得到y=sin（x-）的图象；然后使所得曲线各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（-）的图象；最后把所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍，得到y=sin（-）的图象.
另解：先将y=sinx图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得y=sinx的图象.
再将y=sin图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，得y=sin的图象.
最后将y=23sin的图象向右平移个单位，得y=23sin［（x-）］=23sin(-)的图象.www-2-1-cnjy-com
变式提升2
已知函数y=f(x),f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y=sinx图象相同，则y=f(x)的函数表达式为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A.y=sin（-） B.y=sin2（x+）
C.y=sin（+） D.y=sin（2x-）
思路分析：这是一个由复杂函数y=sin（ωx+φ）的图象经过变换得出较简单函数y=sinx图象的问题，可逆过来从简单函数图象出发实施逆变换即可得到复杂函数的解析式.
解：根据题意，y=sinx的图象沿x轴向右平移个单位后得到y=sin(x-),再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短原来的倍，得到y=sin(2x-)，此即y=f(x)的解析式.21cnjy.com
答案：D
类题演练3
要得到y=sin(2x-)的图象，只要将y=sin2x的图象（ ）
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
解析：y=sin(2x-)=sin2［（x-)］.
答案：C
变式提升3
要得到y=cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象____________________________________.
解：y=cos2x=sin(2x+)=sin2(x+)，
∴y=sin2x的图象向左平移个单位.
答案：向左平移个单位
1.6 三角函数模型的简单应用
课堂导学
三点剖析
1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题
【例1】 某港口的水深y（米）是时间t(0≤t≤24,单位：小时）的函数，下面是水深数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+b的图象.
(1)试根据以上数据，求出y=Asinωt+b的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略进出港所用的时间）？
思路分析：（1）从拟合曲线可知，函数y=Asinωt+b中的b，由t=0时的函数值取的，t=3时取得最大值，进而可求得ω、A、b的值，即得函数的表达式.21世纪教育网版权所有
(2)根据（1）中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5+7=11.5（米）的时段，从而就可回答题中的两问.21*cnjy*com
解:（1）从拟合曲线可知：函数y=Asinωt+b在一个周期内由最大变到最小需9-3=6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此=12,ω=.
又∵当t=0时，y=10;当t=3时，ymax=13.
∴b=10,A=13-10=3.
于是所求的函数表达式为y=3sinx+10.
(2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5（米）.2·1·c·n·j·y
由拟合曲线可知，一天24小时，水深y变化两个周期，故要使船舶在一天内停留港口的时间最长，则应从凌晨3点前进港，而从第二个周期中的下午15点后离港.
令y=3sinx+10≥11.5，可得sinx≥.
∴2kπ+≤x≤2kπ+ (k∈Z).
∴12k+1≤x≤12k+5(k∈Z).
取k=0，则1≤x≤5；取k=1，则13≤x≤17.
而取k=2时，则25≤x≤29（不合题意）.
从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午的17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时.
2.从实际问题中抽象出三角函数模型
【例2】 如右图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).
(1)求函数h=f(t)的关系式；
（2）画出函数h=f(t)的图象.
解：(1)如下图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.
设点A的坐标为（x,y），则h=y+0.5.
设∠OO1A=θ,则cosθ=,y=-2cosθ+2.
又θ=×t,即θ=t，所以y=-2cost+2,
h=f(t)=-2cost+2.5.
(2)函数h=-2cost+2.5的图象如下
温馨提示
呈现周期性变化规律的实际问题的解决往往与三角函数有关.
实际问题的背景往往比较复杂，具有很强的现实生活色彩，语言表达形式不同于常规训练的简单问题，因此在解决实际问题时要注意：21教育网
（1）自变量的变化范围.
（2）数形结合，通过观察图形，获得本质认识.
（3）要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想，选用适当数学模型.21·世纪*教育网
3.绝对值对周期函数的影响
【例3】画出下列函数图象并观察其周期性.
（1）y=sin｜x｜;
（2）y=cos｜x｜.
思路分析：本题中含有｜x｜，故应先对x进行分类讨论去掉绝对值.根据绝对值的意义可知，x≥0的部分应是y=sinx,y=cosx右半平面的部分，由于这几个函数都是偶函数，其图象应关于y轴对称，于是可作出x＜0部分的图象.【来源：21cnj*y.co*m】
解：(1)y=sin｜x｜=
其图象如下图所示：
从图中可以看出y=sin｜x｜不再是周期函数.
(2)y=cos｜x｜=
其图象如下图所示：
从图中可以看出y=cos｜x｜仍是周期函数，其周期为2π,而且y=cos｜x｜的图象与y=cosx的图象相同.www.21-cn-jy.com
各个击破
类题演练1
已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位小时）的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：21cnjy.com
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.
(1)根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内的上午8:00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解：（1）由上表中数据，知周期T=12.
∴ω===.
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.①
由t=3,y=1.0,得b=1.0.②
∴A=0.5,b=1,
∴振幅为，∴y=cost+1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放,
∴cost+1＞1,∴cost＞0.
∴2kπ-＜t＜2kπ+,
即12k-3＜t＜12k+3.③
∵0≤t≤24,故可令③中k分别为0,1,2得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
∴在规定时间上午8:00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00.21·cn·jy·com
变式提升1
(2006广东模拟)如下图某地夏天从8—14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度.
(2)观察图象可知，从8—14时的图象是y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期的图象.
∴A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40.
∵=14-8,
∴ω=,
∴y=10sin(x+φ)+40.
将x=8,y=30代入上式，解得φ=,
∴所求解析式为
y=10sin(x+)+40，x∈［8，14］.
类题演练2
要在宽为6米的教室当中装一盏电灯，电灯装在距离正中桌面的高是多少米时，才能使两边靠墙的课桌得到的亮度最大？（已知：电灯对课桌的照度E=cosα,I为电灯的光度，b、α如右图所示）.www-2-1-cnjy-com
解：由题设E=及b=得E=sin2αcosα要使靠墙的课桌得到最大亮度，即E值最大.
∵是常数，且cosα的值使得（sin2αcosα）2与sin2αcosα同时达到最大值，
因（sin2αcosα）2=cos2α(1-cos2α)2
=·2cos2α·(1-cos2α)·(1-cos2α),
又由α为锐角，
且2cos2α+(1-cos2α)+(1-cos2α)=2为定值，
∴当2cos2α=1-cos2α，
即cosα=时（sin2αcosα）2最大.
亦即E最大，这时h=(米).
注：若x+y+z=k,k为定值，x＞0,y＞0,z＞0,则当且仅当
x=y=z时
xyz有最大值.
变式提升2
将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如右图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针到轴（O）的距离为r cm，求气针（P）的纵坐标y关于时间t的函数关系，2-1-c-n-j-y
并求出P的运动周期.当φ=，r＝ω=1时，作出其图象.
解：过P作x轴的垂线，设垂足为M，则PM就是正弦线.
y=γsin(ωt+φ)，
因此T=,
当φ=,γ=ω=1时，
y=sin(t+),
其图象是将y=sint图象向左平移得到.
类题演练3
画出y=tan｜x｜的图象并观察其周期性
解析：y=tan｜x｜=
其图象如下图：
从图中可以看出y=tan｜x｜不是周期函数.
变式提升3
画出y=｜tanx｜的图象，并与上图比较.
解：y=｜tanx｜=
从图中可以看出，
y｜tanx｜是周期函数，T=π.
3.1.1 两角差的余弦公式
课堂导学
三点剖析
1.两角差的余弦公式
【例1】 已知sinα=,cosβ=,求cos(α-β)的值.
思路分析：根据两角差的余弦公式知,还须求cosα、sinβ.由条件可知,只要对α、β所处的象限进行讨论即可.21教育网
解：∵sinα=＞0,
∴α为第一、二象限角.
当α为第一象限角时,cosα=;
当α为第二象限角时,cosα=-.
∵cosβ=＞0,
∴β为第一、四象限角.
当β为第一象限角时,sinβ=;
当β为第四象限角时,sinβ=-.
∵cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ,
∴当α、β均为第一角限角时,
cos(α-β)=×+×=;
当α为第一象限角,β为第四象限角时,
cos(α-β)＝×+×(-)=;
当α为第二象限角,β为第一象限角时,
cos(α-β)=(-)×+×=-;
当α为第二象限角,β为第四象限角时,
cos(α-β)＝(-)×+×(-)=-.
温馨提示
(1)解题时,由结论出发分析题目作了哪些条件准备,还需再求什么,明确理解题的目标.(2)已知条件中给出某个角的三角函数值,但并未指出角α所在的象限时,一般要进行分类讨论.
2．灵活应用两角差的余弦公式
【例2】已知cos(α-)=-,sin(-β)=,且α∈(,π),β∈(0,π2),求cos的值.21世纪教育网版权所有
思路分析：本题是给值求值的问题,若不考虑条件,盲目地看cos无法求.为此寻求已知条件中角α-、-β与欲求式中角的关系,不难发现=(α-)-(-β),这样将cos的值转化为cos［(α-)-(-β)］的值,可利用两角差的余弦公式求得.21cnjy.com
解：∵＜α＜π,0＜β＜,
∴ ＜＜,0＜＜,＜α+β＜.
∴＜α-＜π,-＜-β＜,＜α+＜.
又cos(α-)=- ,sin(-β)=，
∴sin(α-)=,cos(-β)=.
∴cosα+=cos［(α-)-(-β)］
=cos(α-)cos(-β)+sin(α-)sin(-β)
=(-)×+×=-.
温馨提示
像这类给值求值问题,关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角,这个过程我们称作“角的变换”，同学们应注意总结，积累经验.21·cn·jy·com
3.两角差的余弦公式的理解与变形是疑点
【例3】 以下命题：
①cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ；
②对任意角cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立；
③cos(α-β)=cosα-cosβ；
④cos70°cos10°+sin70°sin10°=.
其中正确命题为________________.
思路分析：①式错误;②式正确.③式错误,④式正确,逆用两角差的余弦公式即可.
答案:②④
各个击破
类题演练1
已知sinα=,cosβ=-,α、β均为第二象限角,求cos(α-β).
解：由sinα=,α为第二象限角,
∴cosα=.
又由cosβ=-,β为第二象限角,
∴sinβ=
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=(-)×(-)+×=.
变式提升1
(1)已知tanθ=,θ∈(0,),求cos(-θ).
解：∵tanθ==,
且sin2θ+cos2θ=1,
θ∈(0,),sinθ＞0,cosθ＞0,
解得：sinθ=,cosθ=,
∴cos(-θ)=cos·cosθ+sin·sinθ
=.
(2)若将条件θ∈(0,)去掉，结果如何.
解:由tanθ=,θ在第一或第三象限.
若θ在第一象限,同（1）,
若θ在第三象限,
则sinθ=-,cosθ=-.
∴cos(-θ)=-×(-)+×(-)
=
类题演练2
已知α、β为锐角,cosα=,sin(α+β)=，求cosβ.
解：∵α为锐角且cosα=,
∴sinα=.
又β为锐角,∴α+β∈(0,π).又
sin(α+β)=＜sinα,∴α+β∈（,π）.
∴cos(α+β)=
=
∴cosβ=cos［(α+β)-α］
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=()×+.
变式提升2
已知:cos(α+β)= ,cos(α-β)=-,＜α+β＜2π,＜α-β＜π,求cos2β.
解：∵＜α+β＜2π,cos(α+β)=,
∴sin(α+β)=-,
又∵＜α-β＜π,cos(α-β)=-,
∴sin(α-β)=.
cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=-1.
类题演练3
下列说法中错误的是（ ）
A.存在这样的α和β使cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β使得cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ
C.对于任意的α和β,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
D.不存在α和β,使得cos(α-β)≠cosαcosβ+sinαsinβ
解析：B不正确,当α=kπ或β=kπ时(k∈Z)B中等式成立.
答案：B
温馨提示
公式中等号两侧符号相反一定要牢记.不能把cos(α-β)按分配律展开.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）
课堂导学
三点剖析
1.两角和与差的正余弦公式的应用
【例1】 求值:(1)cos75°;(2)sin;(3)sin(-).
思路分析：想办法利用特殊角表示所求式中的角:(1)75°=45°+30°;(2) =-;(3)sin(-)=-sin,=+.21世纪教育网版权所有
解：（1）cos75°=cos(45°+30°)
=cos45°cos30°-sin45°sin30°
=·-·
=；
（2）sin=sin(-)
=sincos-cossin
=·-·
=;
(3)sin(-)=sin(+)
=-(sincos+cossin)
=-(·+·)
=-.
温馨提示
解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.
2．两角和与差的正余弦公式的灵活运用
【例2】 已知＜β＜α＜,cos(α-β)= ,sin(α+β)=-,求sin2α的值.
解：由＜β＜α＜,得
α-β∈(0, ),α+β∈(π, ).
∴sin(α-β)=.
cos(α+β)=.
故sin2α=sin［(α-β)+(α+β)］
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
=×(-)+×(-)=-.
温馨提示
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系,再决定如何利用已知条件,避免盲目地处理相关角的三角函数式,以免造成解决时不必要的麻烦.21教育网
(2)要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系,尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值.
(3)许多问题都给出了角的范围,解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系,从而恰当、准确求出三角函数值.21cnjy.com
3.给值求角问题
【例3】已知sinα=,sinβ=,且α、β为锐角.求α+β的值.
思路分析：首先选择它的某一函数值,然后求角.
解:∵sinα=,α是锐角,
∴cosα=.
又∵sinβ=,β又是锐角,
∴cosβ=.
则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=×+×=.
又∵sinα=＜,即sinα＜sin,
∵α是锐角,∴0＜α＜.
又∵sinβ=＜,
即sinβ＜sin,β是锐角.
∴0＜β＜.∴0＜α+β＜.∴α+β=.
温馨提示
三角函数中求角的问题,一般方法是:(1)求这个角的某一个三角函数值;(2)确定该角的范围.
解这类题目常犯的错误是对角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小,致使求出的角不适合题意.21·cn·jy·com
各个击破
类题演练1
不查表求cos105°和sin的三角函数值.
解：cos105°=cos(60°+45°)
=cos60°cos45°-sin60°sin45°
=·-·
=.
sin=sin(π+)
=-sin
=-sin(-)
=-(sincos-cossin)
=·-·=.
变式提升1
求下列各式的值：
（1）cos80°cos35°+cos10°cos55°;
(2)sin75°-sin15°.
解析：(1)原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°
=cos(80°-35°)=cos45°=.
(2)原式=sin(45°+30°)-sin(45°-30°)
=sin45°cos30°+cos45°sin30°-
sin45°cos30°+cos45°sin30°
=2cos45°sin30°
=2××=.
类题演练2
在例2中条件不变,求sin2β.
解：sin2β=sin［(α+β)-(α-β)］
=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)·sin(α-β)
=-×-(-)×
=.
变式提升2
已知cosα=,sin(α-β)=-,且α、β∈(0,),求sinβ的值.
解:∵cosα=,α∈(0,),∴sinα=.
又∵α、β∈(0,),
∴α-β∈(-,).
∵sin(α-β)=-,
∴cos(α-β)= .
∴sinβ=sin［α-(α-β)］=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)
=×-×(-)=.
类题演练3
已知π＜α＜α+β＜2π,且满足cosα=-,cos(α+β)=,求β.
解：∵cosα=-,cos(α+β)=,
且π＜α＜α+β＜2π,
∴sinα=-,sin(α+β)=-,
∴cosβ=cos［(α+β)-α］
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=×(-)+(-)×(-)=-.
又易知0＜β＜π,∴β=.
变式提升3
已知α、β为锐角,cosα=,sin(α+β)=,求β.
解：∵α为锐角且cosα＝,
∴sinα=.
又β为锐角,∴α+β∈(0,π).
又sin(α+β)=＜sinα,∴α+β∈(,π).
∴cos(α+β)=.
∴cosβ=cos［(α+β)-α］
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
＝()×+=.
又∵β为锐角,∴β=.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（2）
课堂导学
三点剖析
1.两角和与差的正切
【例1】 已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+).
思路分析：想办法利用已知条件中的角α+β与α-β表示所求式中的角,不难看出2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),tan(2α+)用tan2α表示出来.
解：tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］
=
tan2β=tan［(α+β)-(α-β)］
=
tan(2α+)=.
2．两角和与差的正切公式的运用
【例2】计算下列各式的值：
（1）tan15°+tan75°;
(2);
(3);
(4);
(5)
解：（1）tan15°+tan75°
=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)
=
==
=
=2-+2+=4;
(2)原式==tan(45°-15°)
=tan30°=;
(3)原式=tan(41°+19°)=tan60°=;
(4)原式=tan［(α+)-(α+)］
=tan=;
(5)原式==tan(-)
=tan=1.
3.给值求角问题
【例3】 已知α,β,γ都是锐角，且tanα=,tanβ=,tanγ=,求α+β+γ的值.
错解:因为tan(α+β)=
=
tan(α+β+γ)==1.
∵α、β、γ都是锐角，
∴0＜α+β+γ＜,
故：α+β+γ=或.
正解:因为tan(α+β)=.
tan［(α+β)+γ］=1.
由已知γ＜β＜α.又因0＜＜,
所以0＜γ＜β＜α＜,得0＜α+β+γ＜.
故α+β+γ=.
各个击破
题演练1
已知tanx=,tany=-3,求tan(x+y)的值.
解：tan(x+y)=
变式提升1
已知tanα=,tanβ=,求tan(α+2β).
解：tan(α+β)=,
tan(α+2β)=tan［(α+β)+β］
==1.
类题演练2
利用和(差)角公式化简:
(1)；
(2).
解：(1)原式=tan(2θ-θ)=tanθ.
(2)原式==tan(-θ).
变式提升2
(1)求tan50°-tan20°-tan50·tan20°的值.
解∵tan50°-tan20°=tan30°(1+tan50°·tan20°),
∴tan50°-tan20°-tan50°·tan20°
=tan30°(1+tan50°tan20°)-tan50°·tan20°
=tan30°+tan30°·tan50°tan20°-tan50°·tan20°
=tan30°=.
(2)化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+［tan(18°-x)+tan(12°+x)］
解：tan30°=tan［(18°-x)+(12°+x)］
=.
∴tan(18°-x)+tan(12°+x)
=［1-tan(18°-x)tan(12°+x)］.
∴原式=1.
温馨提示
tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanαtanβ)这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tanα+tanβ或tanα-tanβ,一般用正切公式的变形，整体代入都能凑效.
类题演练3
已知α、β都是锐角,且tanα=,tanβ=,求α+β.
解：tan(α+β)=
=
∵α、β均为锐角，
∴0°＜α+β＜180°
∴α+β=45°.
变式提升3
已知tanα=(1+m),(tanα·tanβ+m)+tanβ=0,且α、β都是锐角，求α+β.
解：由已知可得
tanα=+m,①
tanβ=-tanαtanβ-m.②
由①+②可得
tanα+tanβ=(1-tanαtanβ),
∴=tan(α+β)=.
又∵0＜α＜,0＜β＜,
∴0＜α+β＜π,
∴α+β=.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（3）
课堂导学
三点剖析
1.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简，求值和证明
【例1】求值：（tan10°-）·
解法1：（tan10°-）
=(tan10°-tan60°)
=（）
=
=
解法2：（tan10°-)
=(tan10°-tan60°)
=tan(10°-60°)(1+tan10°tan60°)
=-tan50°(1+tan10°·tan60°）
=-tan50°（1+sin10°·）
=
温馨提示
（1）在给角问题中，既有弦函数又有切函数的往往将切函数化为弦函数；
（2）在给角求值问题中应首先观察角之间的关系，要根据减元的思想即尽量减少一般角的个数.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用
【例2】 化简：3sin（x+20°）-5sin（x+80°）+cos（x+20°）
思路分析：注意到式子中涉及的两角x+80°与x+20°之差为60°，是特殊角，进行变换化简.
解：原式=3sin（x+20°）-5sin［（x+20°）+60°］+cos（x+20°）
=3sin（x+20°）-5sin（x+20°）cos60°-5cos（x+20°）sin60°+23cos（x+20°）
=sin（x+20°）-cos（x+20°）
=sin（x+20°）cos60°-cos（x+20°）sin60°
=sin（x+20°-60°）
=sin（x-40°）
温馨提示
对公式的灵活运用，主要从整体结构入手.还要特别注意角的联系及三角函数的名称.
3.注意角与角之间的联系，从整体入手解决问题
【例3】 化简：sin（α+β）cosα-［sin（2α+β）-sinβ］.
思路分析：本题中出现α+β，α，2α+β，β四个角，为尽量减少角的个数，可以将2α+β，表示成（α+β）+α，将β表示成（α+β）-α，然后再利用两角差和的正余弦公式便可获解.21世纪教育网版权所有
解：sin（α+β）cosα-［sin（2α+β）-sinβ］
=sin（α+β）cosα-［sin（α+β+α）-sin（α+β-α）］
=sin（α+β）cosα-［sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα-sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα］21cnjy.com
=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=sin（α+β-α）=sinβ.
温馨提示
本题仍是抓住题目中角之间的联系，利用角的变换将2α+β表示成（α+β）+α，将β表示成（α+β）-α.不要盲目的展成单角α与β的三角函数，那将会使题目变得相当复杂.21教育网
各个击破
类题演练1
求值：.
解：
=
变式提升1
化简：sin50°(1+·tan10°).
解：原式=sin50°(1+)
=sin50°·
=sin50°·
=sin50°·
=sin50°·
=
=
类题演练2
tan3A-tan2A-tanA-tan3A·tan2A·tanA=___________.
解析：tan3A-tan2A-tanA-tan3A·tan2A·tanA
=tanA（1+tan3A·tan2A）-tanA-tan3A·tan2A·tanA
=tanA·tan2A·tan3A-tan3A·tan2A·tanA
=0.
答案：0
变式提升2
(2004重庆)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（ ）
A.- B. C.- D.
解析：原式=sin（180°-17°）·sin（180°+43°）+sin（180°+73°）·sin（360-47°）
=sin17°·（-sin43°）+（-sin73°）·（-sin47°）
=-sin17°·sin43°+cos17°·cos43°
=cos（43°+17°）=cos60°=.
答案：B
类题演练3
求证：-2cos（α+β）=.
证明：左边=
=
=
=
==右边.
∴原式得证.
变式提升3
已知3sinβ=sin（2α+β），求证：tan（α+β）=2tanα.
证明：∵3sinβ=sin（2α+β），
∴3sin［（α+β）-α］=sin［（α+β）+α］，
3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.
∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα.
∴tan（α+β）=2tanα.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）
课堂导学
三点剖析
1.二倍角公式的应用
【例1】（1）求coscos的值；
（2）求cos20°·cos40°·cos80°；
（3）求的值.
解：（1）coscos=cossin
=·2cossin=sin=.
（2）原式=
=
=
（3）
=
温馨提示
对于这类给角求值的问题，应首先观察题目中各角之间的关系.（1）根据、两角互余，将cos换成sin，再配以系数2即可逆用二倍角公式求值；（2）由于各角之间具有倍数关系，40°=2×20°，80°=2×40°，故分子分母同乘以sin20°，便可逆用二倍角公式求值；（3）由结构特点看应先通分，分子正好逆用两角差的正弦公式，分母逆用二倍角公式，约分后即可求值.21世纪教育网版权所有
2.公式的变形应用
【例2】（1）化简：；
（2）设α∈（，2π），化简：.
思路分析：（1）1+sin8=sin24+2sin4cos4+cos24=（sin4+cos4）2，2（1+cos8）=4cos24.
（2）连续运用公式：1+cos2α=2cos2α.
解：（1）原式==2|sin4+cos4|+2|cos4|.因为4∈（π，），所以sin4＜0，cos4＜0.21教育网
故原式=-2（sin4+cos4）-2cos4=-2sin4-4cos4=-2（sin4+2cos4）.21cnjy.com
（2）因为α∈（，2π），所以cosα＞0，cos＜0.
故，原式=.
温馨提示
（1）带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：1±sinα=（sin±cos）2，1+cosα=2cos2.21·cn·jy·com
（2）脱掉根号时要注意符号问题，如，利用α所在的象限，判断cos的正负，然后去掉绝对值符号.
3.正确理解二倍角公式中“二倍”的含义，灵活运用公式
【例3】 设sin（-x）=，0＜x＜，求的值.
思路分析：本题主要结合倍角公式考查给值求值问题.要抓住已知条件中角和被求式中角的关系，（+x）与（-x）互余，2x与-x的2倍角互余，即cos2x=sin（±2x）=sin［2（±x）］.www.21-cn-jy.com
解法1：∵0＜x＜，∴0＜-x＜.
∴cos（-x）=
又cos（+x）=sin（-x）=，
∴原式=
=
=2cos（-x）=.
解法2：∵cos2x=cos2x-sin2x
=（cosx+sinx）（cosx-sinx）
=sin（x+）·cos（x+）
=2sin（x+）cos（x+），
∴原式=
=2sin（x+）
=2cos（-x）
由解法1可知cos（-x）=，
∴原式=2×=.
温馨提示
（1）在给值求值问题中，应该首先找出已知中的角和所求式中角的联系，这是我们解决三角函数问题的常规思路，概括为“先角后函数”.2·1·c·n·j·y
（2）对于二倍角应该有广义上的理解，4α是2α的2倍，3α是α的2倍，±2x是±x的2倍.
各个击破
类题演练1
求下列各式的值：
（1）（cos-sin）（cos+sin）；
（2）-cos2；
（3）+cos215°；
（4）tan67°30′-tan22°30′.
解：（1）原式=cos2-sin2=cos=；
（2）原式=-（2cos2-1）
=-·cos
=；
（3）原式=（2cos215°-1）=·cos30°=；
（4）原式=tan67°30′-tan(90°-67°30′)
=tan67°30′-
=
变式提升1
化简：sin10°sin30°sin50°sin70°.
解：原式=cos80°·cos40°·cos20°=.
类题演练2
化简：（1）；（0＜α＜）
（2） θ∈（0，π）；
解：（1）原式==|sinα-cosα|.
∵0＜α＜，
∴sinα＜cosα，sinα-cosα＜0.
∴原式=-（sinα-cosα）=cosα-sinα.
（2）原式=
=
=|sin+cos|-|sin-cos|
∵0＜θ＜π，
∴0＜＜.
①当0＜≤时，cos≥sin＞0，此时
原式=（sin+cos）-（cos-sin）=2sin，
②当＜＜时，sin＞cos＞0，此时
原式=（sin+cos）-（sin-cos）=2cos.
变式提升2
化简：.
解法1：原式=
==cot2α.
解法2：原式=
=
==cot2α.
类题演练3
(2005江苏，10)若sin（-α）=，则cos（+2α）等于（ ）
A. B. C. D.
解析：cos（+2α）=2cos2（+α）-1.
∵（-α）+（+α）=，
∴cos（+α）=sin（-α）=.
∴cos（+2α）=2×（）2-1=.
答案：A
变式提升3
若cos（+x）=，＜x＜.求的值.
解法1：∵cos（+x）=，＜x＜，
∴＜+x＜2π，则sin（+x）=-.
从而cosx=cos［（+x）-］
=cos（+x）cos+sin（+x）sin
=×+（-）×=，
∴sinx=，
tanx=7.
故原式=
=
=.
解法2：原式=
=
=sin2x·tan（+x）.
∵＜x＜，∴＜+x＜2π.
又cos（+x）=，∴sin（+x）=-，
即tan（+x）=-.
则sin2x=sin［2（+x）-］
=-cos2（+x）
=-［2cos2（+x）-1］=.
故原式=×（-）=-.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）
课堂导学
三点剖析
1.二倍角公式在证明题中的应用
【例1】 求证:（1+tanx·tan）=tanx.
思路分析：本题的目标是把等式的左端统一成角x的正切函数.可能用的公式有sin2x=2sinxcosx，tan=.21世纪教育网版权所有
证法1：左端=（1+)
=sinx（1+）
==tanx=右端.
证法2：左端=
==tanx=右端.
温馨提示
证明恒等式就是要根据所证等式两端的特征（结构、名称、角度等）来选择最佳方法，本题就是抓住左右两端的次数差异作为突破口，使问题得以解决.21教育网
2.二倍角公式在化简题中的应用
【例2】 已知函数f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈［0，］，求f（x）的最大值，最小值.
解：（1）因为f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x
=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）-sin2x
=cos2x-sin2x=cos（2x+），
所以f（x）的最小正周期T=2=π.
（2）因为0≤x≤，所以≤2x+≤.
当2x+=时，cos（2x+）取得最大值；
当2x+=π时，cos（2x+）取得最小值-1.
所以f（x）在［0，］上的最大值为1，
最小值为.
温馨提示
（1）将cos2x-sin2x变形为sin（-2x），也会有同样的结果;
（2）像这类高次三角函数，首先利用倍角公式通过降幂化为y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ均为常数，A＞0）的形式，然后再求周期和最值.
3.公式的综合、灵活运用
【例3】 已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx
（1）求f（）的值；
（2）设α∈（0，π），f（）=-，求sinα的值?
解：（1）∵sin=，cos=，
∴f（）=-3sin2+sincos=0
（2）f（x）=cos2x-+sin2x
∴f（）=cosα+sinα-=-，
16sin2α-4sinα-11=0?解得sinα=.
∵α∈（0，π），∴sinα＞0?
故sinα=
温馨提示
要注意公式变形的重要性，不能死记公式，更不能只会正用，同时逆用、变形也要学会?只有灵活运用公式，才能灵活解决问题21cnjy.com
各个击破
类题演练1
求证：3+cos4α-4cos2α=8sin4α.
证法1：∵左边=2+1+cos4α-4cos2α
=2+2cos22α-4cos2α
=2（cos22α-2cos2α+1）=2（cos2α-1）2
=2（-2sin2α）2=8sin4α=右边.
∴等式成立.
证法2：右边=2×4sin4α
=2（1-cos2α）2
=2（1-2cos2α+cos22α）
=2-4cos2α+2cos22α
=2-4cos2α+1+cos4α
=3+cos4α-4cos2α=左边.
∴等式成立.
变式提升1
求证:
证明：左边=
=
=
=2cos2θ（sin2θ+cos2θ）
右边=
=
=
=2cos2θ（sin2θ+cos2θ）
∴左边=右边，故等式成立.
类题演练2
设函数f（x）=sin2x+sinxcosx+α，
（1）写出函数f（x）的单调递增区间;
（2）求f（x）的最小正周期.
解：（1）f（x）=sin2x+a
=sin2x-cos2x+a+
=sin（2x-）+a+,
2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，
kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴f（x）的单调递增区间是
［kπ-，kπ+］，k∈Z
（2）T==π，
∴f（x）的最小正周期为π.
变式提升2
已知函数y=sin2x-2（sinx+cosx）+a2?
设t=sinx+cosx，t为何值时，函数y取得最小值；
解：∵t=sinx+cosx=sin（x+），-≤t≤，
∴t2=1+2sinxcosx=1+sin2x，sin2x=t2-1，
∴y=t2-1-2t+a2=（t-1）2+a2-2?
∵-≤t≤，
∴当t=1时，函数y取得最小值a2-2
类题演练3
已知α为第二象限角，且sinα=，求的值.
解：∵sinα=，α为第二象限角，∴cosα=-.
∴sin2α=2sinαcosα=.
=
=
变式提升3
函数f（x）=sin2（x+）-sin2（x-）是（ ）
A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数
C.周期为2π的偶函数 D.周期为2π的奇函数
解析：f（x）=
==sin2x.
∴T==π,f（x）为奇函数.
答案：B
3.2 简单的三角恒等变换
课堂导学
三点剖析
1.熟练掌握三角函数的有关公式,进行简单的三角恒等变换
【例1】 化简:-sin2θ-cos2θ
思路分析:首先将切化弦,然后统一角,将2θ化为θ角的三角函数.
解:原式=-sin2θ-cos2θ
=-sin2θ-cos2θ
=-sin2θ-cos2θ
=-sin2θ-cos2θ
=cosθ（2sinθ+4cosθ）-sin2θ-cos2θ
=sin2θ+4cos2θ-sin2θ-cos2θ=3cos2θ.
温馨提示
代数式的化简，主要形式有消元、降次、约分等，在三角函数中要通过角变换，名变换，式变换为消元、降次、约分等创造条件，本题就是通过切化弦减少了函数种类，通过角度统一，减少角的个数，为化简铺平道路.21cnjy.com
2.正确地选择公式，从整体上把握变换过程
【例2】已知π＜α＜，化简
思路分析:根式化简应升幂去根号，分式化简应化积后约分.
解:∵π＜α＜,
∴＜＜.
利用半角公式得
|cos|=-2cos,
|sin|=2sin.
原式=
=.
温馨提示
解决本题的关键是利用1+cosα=2cos2与1-cosα=2sin2升幂,去掉根号,问题获解.21·cn·jy·com
3.熟悉三角公式的结构特征、化式成立的条件及挖掘题目中的隐含条件
【例3】 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)= ,tanβ=-,求sin(2α-β)的值.
思路分析:∵2α-β=(α-β)+α,可先求α的三角函数.
解:tanα=tan［(α-β)+β］=,
∴tan2α==,tan(2α-β)==1.
∵α,β∈(0,π),
∴-π＜2α-β＜2π,
由tan(2α-β)=,
得cos(2α-β)=sin(2α-β).
又∵sin2(2α-β)+cos2(2α-β)=1,
∴2sin2(2α-β)=1,解得sin(2α-β)=±.
∵tanα=,α∈(0,π),∴0＜α＜,∴0＜2α＜.
又∵tanβ=-,β∈(0,π),∴＜β＜π.
∴-π＜2α-β＜0,∴sin(2α-β)=-.
温馨提示
挖掘本题中的隐含条件,由正切值可以使用的范围缩小,本题易忽略缩小角的范围而出错.
各个击破
类题演练1
化简：
解
=
==1.
变式提升1
证明 2sin4x+sin22x+5cos4x-cos4x-cos2x=2（1+cos2x）.21世纪教育网版权所有
证明：左边=2（）2+（1-cos22x）+5（）2-（2cos22x-1）-cos2x
=3+cos2x.
右边=2（1+）=3+cos2x，∴左边=右边.
∴原式成立.
类题演练2
求证=(tan+1).
证明:左边=
=
=(tan+1).
∴等式成立.
变式提升2
求的值;
解:原式=
=
=
类题演练3
已知tanα=,tanβ=,并且α、β均为锐角，求α+2β.
解:∵tanβ=,
∴tan2β=.
∴tan(α+2β)==1.
∵0＜tanα=＜1,0＜tanβ=＜1,α、β均为锐角，
∴0＜α＜，0＜β＜，0＜2β＜.
∴0＜α+2β＜，
又tan（α+2β）=1.
∴α+2β=.
变式提升3
若α、β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=.
证明:根据已知条件有3sin2α=1-2sin2β=cos2β,又3sin2α=2sin2β,有sin2β=sin2α=3sinαcosα.21教育网
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β
=cosα·3sin2α-sina·3sinαcosα=0.①
又0＜α＜,0＜β＜,∴0＜α+2β＜,
由①得α+2β=.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
课堂导学
三点剖析
1.向量的有关概念
【例1】 判断下列命题是否正确.
①向量和向量长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④向量0=0；⑤向量大于向量.其中正确命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①真命题.因为向量和向量是方向相反，模长相等的两个向量.
②假命题.因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况.
③假命题.向量是用有向线段来表示的，但不能把两者等同起来.
④假命题.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|=0.
⑤假命题.因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小.
故应选B.
答案：B
温馨提示
只有真正理解向量的概念、向量模的意义，才能解决类似的概念辨析题.
【例2】 某人从A点出发向西走了10 m到达B点；然后改变方按西偏北60°走了15 m到达C点；最后又向东走了10 m到达D点.21cnjy.com
（1）作出向量、、（用1 m长的线段代表100 m长）；
（2）求||.
解：（1）向量、、如右上图所示.
（2）因为=-，故四边形ABCD为平行四边形，所以||=||=15 m.
温馨提示
（1）要画出向量，首先要确定向量的起点和终点，或先确定向量的起点，再确定向量的方向，再根据向量的模确定向量的终点.www.21-cn-jy.com
（2）要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型.“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日后的学习中不断积累经验.2·1·c·n·j·y
2.平行向量的概念
【例3】 判断下列命题是否正确：
（1）若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
（2）四边形ABCD是平行四边形，则=,反之也成立.
（3）|a|=|b|,a，b不一定平行；a∥b，|a|不一定等于|b|;
（4）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：（1）错.若a、b中有一零向量，其方向不定.
（2）正确.=∥且||=||四边形ABCD是平行四边形.
（3）正确.模相等不一定平行，平行不一定模相等.
（4）错.如下图，与共线，虽起点不同，但终点却相同.
温馨提示
（1）共线向量也叫平行向量，指向量的基线互相平行或重合.
（2）零向量与任何向量共线.
（3）共线向量不一定相等，但相等向量一定共线.
3.对向量有关概念再理解
【例4】给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|=|b|，则a=b;③若=,则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有=；⑤若m=n,n=k，则m=k;⑥若a∥b,b∥c，则a∥c.其中不正确的命题的个数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：①两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同.21世纪教育网版权所有
②|a|=|b|,只能说a与b模相等，方向不一定相同.∴a与b不一定相等，故②不正确.
③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一条直线上.
④显然：与方向相同，模也相等.
∴④正确.
⑤显然正确，说明向量相等具有传递性.
⑥零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b=0，则a与c就不一定平行了，因此⑥也不正确.故应选C21·世纪*教育网
答案：C
各个击破
类题演练1
指出下列概念是不是向量:
（1）作用在物体上的大小为5牛顿；方向为东北的力.
（2）物体B沿东南方向产生了10 m的位移.
（3）温度计上表示零上、零下的温度.
解：（1）是向量，因为力是既有大小又有方向的量，但不是自由向量，因为确定力的要素除大小、方向外，还有作用点.21·cn·jy·com
（2）是向量，因为位移由大小、方向决定.
（3）不是，因为温度可以用带正、负号的实数表示.
变式提升1
下列命题：①向量可以比较大小；②向量的模可以比较大小；③若a=b，则一定有|a|=|b|，且a与b方向相同；④对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，其中正确的有（ ）2-1-c-n-j-y
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：②③④正确
答案：C
类题演练2
一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米达到D点.www-2-1-cnjy-com
（1）作出向量，,;
（2）求||.
解：（1）如右图所示.
（2）由题意，易知=-，
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴||=||=200 （千米）.
变式提升2
如右图，已知==,求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：（1）∵=，
∴四边形AA′B′B是平行四边形，∴||=||.
同理由=，=，得
||=||,||=||,
即两个三角形的三边分别对应相等，
∴△ABC≌△A′B′C′.
类题演练3
给出下列命题：
①若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等；
②a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
③把平面内所有单位向量的起点移到同一个点，则各向量的终点的集合是单位圆.
其中正确命题的个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：只有命题③正确.因为把平面内所有单位向量的起点移到同一个点后，所有向量的终点到这个点的距离等于1，即这些向量的终点都在单位圆上，其次以这个单位圆上任一点为终点，这个单位圆圆心为起点的向量的长度都是1，这些向量都是单位向量.
答案：B
变式提升3
把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P，则各向量的终点组成的图形是________________.21教育网
答案：直线l
类题演练4
下列说法中错误的是（ ）
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
答案：A
变式提升4
下面有四个命题：
①向量的模是一个正实数；
②两个向量相等，则两个向量一定平行；
③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等；
④温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量.
其中真命题的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：只有②正确，①错在|0|=0，③错在两单位向量方向可相反，④错在温度的零上与零下只表示数量，而不表示方向.21*cnjy*com
答案：B
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课堂导学
三点剖析
1.向量加法运算的意义
【例1】如右图所示，已知三个向量a、b、c，试用三角形法则和平行四边形法则作a+b+c.
思路分析：本题主要利用三角形法则和平行四边形法则求几个向量的和向量，只要按三角形法则和平行四边形法则作出即可.21世纪教育网版权所有
解：用三角形法则作a+b+c:作=a,以A为始点作=b,再以B为始点，作=c，则=+=a+b+c（如下图（1）所示）21cnjy.com
用平行四边形法则作a+b+c:作=a，=b，=c，以，为邻边作平行四边形OADB，则=a+b.再以，为邻边作平行四边形ODEC，则=+=a+b+c（如下图（2）所示）21·cn·jy·com
温馨提示
要求作三个向量的和，首先作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则和平行四边形法则.
【例2】 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）.
思路分析：本题用向量知识解决物理问题.由于速度是矢量，可以用向量表示速度，然后用向量加法运算合成速度即可.但要注意解决实际问题中的向量问题不仅要求出大小，而且要求出方向.www.21-cn-jy.com
解：（1）如右图所示.表示船速，表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则表示船实际航行的速度.2·1·c·n·j·y
（2）在Rt△ABC中，||=2，||=5，
∴||=≈5.4.
∵tan∠CAB=2.5,
由计算器得∠CAB≈70°.
答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角约为70°.
2.对向量加法的理解
【例3】已知向量a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.
思路分析：因为向量包含长度和方向，所以在比较长度的大小时，要注意其方向.
解：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|.
（2）①当a、b为非零向量，且a、b不共线时有|a+b|＜|a|+|b|.
②当a、b为非零向量，且a、b同向共线时有|a+b|=|a|+|b|.
③当a、b为非零向量，且a、b异向共线时有|a+b|＜|a|+|b|.
温馨提示
（1）解决此类问题可利用三角形法则作出图形辅助解答.
（2）在向量的加法定义中要注意两个向量共线的情况.
3.对向量加法定义及运算法则再理解
【例4】 下列命题中：
①若非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必和a、b之一的方向相同.②△ABC中，必有++=0.③若++=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点.
④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|相等.其中真命题个数为______________.
思路分析：①假命题，a+b=0时命题不成立.
②假命题，向量之和仍为向量.
③假命题，A、B、C共线时也可以有++=0.
④假命题，只有a、b同向时才成立.
答案：0个
温馨提示
向量之和仍为向量，注意0与0区别；注意两个共线向量求和情况.
各个击破
类题演练1
如下图（1）（2）（3）所示，试作出向量a与b的和.
解：如下图（1）（2）（3）所示，
首先作=a，然后作=b，则=a+b.
变式提升1
如右图在正六边形ABCDEF中，=a,=b，求、、.
解：连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO都是平行四边形.根据向量的平行四边形法则知：21教育网
=+，=+，∴=++=a+b+a.由正六边形知识得=2=2（a+b）.
又根据三角形法则知：=+，且=-=-a,∴=2(a+b)-a.
类题演练2
某人在静水中游泳,速度为千米/时,他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少?
解：如右图所示,水速速度v1=4 km/h.
游泳速度v2=km/h.
设合速度v与v1所成角为θ,
tanθ=,∴θ=60°.
|v|==8 (km/h)
所以如果他垂直游向对岸，那么他的实际方向是与水流方向成60°角，实际前进的速度为8 km/h.
变式提升2
某人在静水中游泳,速度为千米/时,他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
解：如右图所示
cos∠v2Ov=;
∴∠v2Ov≈35.26°.
∠v2Ov=90°+35.26°=125.26°.
沿与水流方向成125.6°的方向前进.
实际前进的速度为|v|==(km/h).
类题演练3
在四边形ABCD中，=+,则( )
A.ABCD一定为矩形 B.ABCD一定为菱形
C.ABCD一定为正方形 D.ABCD一定为平行四边形
答案：D
变式提升3
已知=a，=b，=c，则a+b+c=0成立时A、B、C能否构成三角形？反之成立吗？
解：a+b+c=0时，A、B、C三点不一定能构成三角形.因为可能A、B、C三点共线.
而A、B、C是三角形的三个顶点，由向量加法的三角形法则必有a+b+c=0.
类题演练4
向量a、b皆为非零向量，下列说法不正确的是( )
A.向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a+b与a的方向相同
B.向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a+b与a的方向相同
C.向量a与b同向，则向量a+b与a的方向相同
D.向量a与b同向，则向量a+b与b的方向相同
答案：B
变式提升4
若向量a、b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值为；|a+b|的最大值为.
解析：利用三角形法则，当a与b反向时，|a+b|最小；当a与b同向时，|a+b|最大.
答案：4 20
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
课堂导学
三点剖析
1.向量的减法运算
【例1】 已知向量a、b、c,求作向量a-b+c.
思路分析：在平面内任选一点O，先把a与b的起点移至O点，求a-b，再求(a-b)+c.
解：在平面上任取一点O，作=a,=b,则=a-b.再作=c,并以BA、BC为邻边作BADC，则=+=a-b+c.21世纪教育网版权所有
如下图
温馨提示
（1）作两个向量的差向量，起点要重合、箭头指向的是被减向量的终点.
（2）比较两个向量的和运算，掌握运算法则.
【例2】 化简：（-）-(-)=____________.
思路分析：本题主要考查利用加法、减法运算法则进行运算.
解法1：（-）-（-）
=--+
=+++
=（+）+（+）
=-=0.
解法2：（-）-（-）
=--+
=（-）+（-）
=+=0.
解法3：设O为平面内任意一点，则有
（-）-（-）
=--+
=（-）-（-）-（-+（-）
=--+-++-
=0.
答案：0
温馨提示
在进行向量加减法运算时，应熟练掌握以下结论：+=;-=; =-,可不画出图形直接写出类似的一系列式子.21cnjy.com
2.向量减法运算法则再理解
【例3】 当a、b满足什么条件时，a+b与a-b互相垂直？
思路分析：结合a+b与a-b的几何意义考虑.
解：a+b与a-b恰对应ABCD的两条对角线，故：由a+b与a-b相互垂直，即ABCD的两条对角线互相垂直，所以ABCD为菱形，故相邻边相等，即|a|=|b|.
温馨提示
把向量的加、减法、向量的模与四边形的概念综合起来，拓广了思维范围.
3.向量减法几何意义的应用
【例4】 已知一个点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C、的向量分别为a、b、c，则向量=_______________.21·cn·jy·com
思路分析：可结合图形，利用向量相等的知识解决.
解：如右图，=a,=b,=c,则=+=+=+（-）
=a+(c-b)=a+c-b.
温馨提示
在用三角形法则做减法时，牢记连接两向量的终点，箭头指向被减数.
各个击破
类题演练1
已知向量a、b、c与d，求a-b，c-d（如下图）.
解：作=a,=b，作，则a-b=-=;
作=c，=d，作，则c-d=-=.
变式提升1
如下图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，=a，=b,=c，试作向量：a-b+c.（如图1）www.21-cn-jy.com
图1 图2
解：延长AB至F，使||=||，连结CF，由于==a,∴ =a-b.a-b+c=+ =+=.则即为所求.（如图2）2·1·c·n·j·y
类题演练2
给出下列3个向量等式：①++=0，②--=0，③--=0，其中正确的等式的个数为（ ）21教育网
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①③正确
答案：C
变式提升2
如下图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AB、CA的中点，=a,求-+.
解：-+=（+）+=+
∵D、E、F分别是△ABC各边的中点.
∴DF=BA=EA=BE.
∴原式=+==-=-a.
类题演练3
当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|?
解：由|a+b|=|a-b|，知ABCD的两对角线相等此时ABCD为矩形，所以a与b互相垂直.
变式提升3
对于非零向量a、b，a+b与a-b有可能是相等的向量吗？为什么？
答案：不可能.因为ABCD中两对角线不可能平行故对应两向量的方向不可能相同.
类题演练4
如右图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则-等于( )
A. B. C. D.
解析：∵=，转化到△ADF中求解.
答案：A
变式提升4
已知=a，=b，=c，=d，且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
解析：a-b+c-d=-+-=+=0
答案：B
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课堂导学
三点剖析
1.向量数乘的定义及其运算律
【例1】化简［（4a-3b）+b-(6a-7b)］=___________________.
思路分析：利用数乘运算的运算律将括号去掉，然后合并各向量即可.
原式=［4a-3b+b-a+b］
=［(4-)a+(-3++)b］
=［a-b］=.
答案：
温馨提示
（1）向量的加法、减法、数乘的混合运算，类似于代数运算中的合并同类顶，只不过现在的同类项是指共线向量.21cnjy.com
（2）熟练掌握数乘运算的结合律和分配律是解决这类问题的关键.
2.向量数乘的应用
【例2】 已知：如右图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点.求证：DEBC.
思路分析：只需证明=即可.
证明：因为D、E分别为AB、AC的中点，故=，=.
=-=(-)=.而D、B不重合，所以DEBC.
温馨提示
向量共线可以判断几何中三点共线和两直线平行的问题.但直线平行不包括重合的情况.
【例3】如下图，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b.
求证：（1）=-a-b;
（2）=a+b；
（3）=-a+b；
（4）++=0.
思路分析：想办法找到已知向量和所求的向量的联系.
证明：（1）=+=-b-a；
(2)=+=a+b;
（3）=+=+
=b+(+)=b+(-b-a)=-a+b;
(4)++=-a-b-a+b+a+b=0.
温馨提示
用已知向量表示未知向量的问题，一般是运用三角形法则或平行四边形法则建立已知向量和未知向量的联系.2·1·c·n·j·y
3.对向量数乘的概念的再理解
【例4】 已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假：
（1）2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
（2）-2a的方向与5a的方向相反，且-2a的模是5a的模的倍；
（3）-2a与2a是一对相反向量；
（4）a-b与-（b-a）是一对相反的向量.
解：（1）真命题.
∵2＞0,∴2a与a的方向相同,又|2a|=2|a|,
∴命题①是真命题.
（2）真命题.
∵5＞0,∴5a与a方向相同，且|5a|=5|a|，
而-2＜0,∴-2a与a的方向相反，|-2a|=2|a|.
∴-2a与5a的方向相反，且模是5a的.
故（2）是真命题.
（3）真命题.
依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断.
（4）假命题.
∵a-b与b-a是一对相反向量,
∴a-b与-（b-a）是一对相等向量.
故（4）是假命题.
各个击破
类题演练1
将［2(2a+8b)-4(4a-2b)］化简成最简式为（ ）
A.2a-b B.2b-a C.a-b D.b-a
解析：原式=［（4a-16a）+（16b+8b）］
=(-12a+24b)=2b-a.
答案：B
变式提升1
若2(x-a)-(b+c-3x)+b=0,其中a、b、c为已知向量，则未知向量x=_____________.
解析：原式变形为2x-a-b-c+x+b=0,x=a-b+c,∴x=a-b+c,
答案：a-b+c
类题演练2
ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证四边形EFGH为平行四边形.21·cn·jy·com
证明：如右图，∵F、G分别为AB、AC中点，∴=，同理=，
∴=，同理=.∴四边形EFGH为平行四边形.
变式提升2
设a、b是不共线的两个向量，已知=2a+kb,=a+b,=a-2b,若A、B、D三点共线，求k的值.www.21-cn-jy.com
解：由已知，必存在实数λ，使=λ而=+=（a+b）+(a-2b)=2a-b.
∴2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb,
于是,∴k=-1.
类题演练3
如右图所示，D、E是△ABC中AB、AC边中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、和.21世纪教育网版权所有
解：由三角形中位线定理知DEBC.
故=，即=a，=++
=-a+b+a=-a+b.
=++=++
=-a-b+a=a-b.
变式提升3
如右图所示，OADB是以向量=a，=b为边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a，b表示，.21教育网
解：===（-）=（a-b）.
∴=+
=b+a-b=a+b,
==.
∴=+=+=
= (+)=(a+b).
类题演练4
若|a|=3，b与a的方向相反，且|b|=5，则a=_________b.
解析：|a|=|b|
又∵b与a方向相反，∴a=-b.
答案：-
变式提升4
给出以下命题：
①若两非零向量a,b,使得a=λb(λ∈R),那么a∥b；
②若两非零向量a∥b，则a=λb(λ∈R);
③若λ∈R,则λa∥a;
④若λ,μ∈R,λ≠μ,则（λ+μ）a与a共线.
其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
2.3.1 平面向量基本定理
课堂导学
三点剖析
1.平面向量基本定理
【例1】 如右图所示，在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，设=a,=b,以a,b为基底表示、、、.21·世纪*教育网
思路分析：本题考查用两已知向量表示未知向量.由于=b，这样可表示，又 =b，这样又可表示，进一步可表示MH，进一步表示.21*cnjy*com
解：由于BF=BC=AD.∴=b.在△ABF中,=+=a+b;又∵BF=MC=BC，∴FM=BC.∴=b.【来源：21cnj*y.co*m】
则=+=a+b+b=a+b.
又∵AH=HD，
∴=b.
∴=-=b-(a+b)
=-a-b.
又∵HD=b,
∴=-a-b+b
=-a+b.
温馨提示
根据平面向量基本定理表示向量时，如果所给向量无法直接用基底进行表示时，可先将目标向量分解成可以用基底表示的向量，再进一步用基底表示.www-2-1-cnjy-com
2.平面向量基本定理再理解
【例2】 设两非零向量e1和e2不共线.
（1）如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1,-e2),求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.
思路分析：本题主要考查向量基本定理和向量共线的条件.（1）可以将e1,e2看作一组基底表示我们需要的向量，如，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5e1+5e2然后利用向量共线条件进行证明.（2）由于向量ke1+e2,e1+ke2都是用基底e1,e2表示出来的两个向量，既然两向量共线，就可以用共线条件得到（ke1+e2）=λ(e1+ke2),解出k值即可.
（1）证明：∵=e1+e2,
+
=2e1+8e2+3e1-3e2
=5(e1+e2)=5,
∴、BD共线.又有公共点B，∴A、B、D三点共线.
（2）解：∵ke1+e2与e1+ke2共线，
∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2),
则（k-λ）e1=(λk-1)e2.由于e1与e2不共线，
∴只能有则k=±1.
温馨提示
题目中已给出一组基底e1,e2，则该平面中任一向量都可以与之建立联系，以该基底为纽带，可以沟通不同向量之间的联系.本题要证三点共线,由这三点中任意两点确定两个向量.然后用基底e1,e2表示，并依据向量共线的条件来证明这两个向量共线.又这两个向量有公共点，于是证三点共线.21世纪教育网版权所有
3.平面向量基本定理的应用
【例3】 如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是（ ）
A.若实数λ1 、λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
B.空间任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1、λ2∈R
C.λ1e1+λ2e2不一定在平面α内，λ1、λ2∈R
D.对于平面α内任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1、λ2有无数对
思路分析：要深刻理解平面向量基本定理.A正确；B错，这样的a只能与e1,e2在同一平面内，不能是空间任一向量.C错，λ1e1+λ2e2在α内.D错，这样的λ1,λ2是唯一的，而不是无数对，故选A.2-1-c-n-j-y
答案：A
温馨提示
应用平面向量基本定理要注意以下几点：（1）e1,e2是同一平面内的两个不共线向量；
（2）基底的选取不唯一；
（3）该平面内的任意向量a都可用e1,e2线性表示，而且这种表示是唯一的.
各个击破
类题演练1
如右图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC边上的中点，且BC=3AD，设=a,=b，以a、b为基底表示、、.21cnjy.com
解：∵AD∥BC且AD=BC，
∴=b,
==b.
∵=,
∴=b，
∴+=-+(+)=--+=-b-a+b=b-a，
=--=-b-(b-a)=-b+a.
变式提升1
如右图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.www.21-cn-jy.com
解：设=a,=b,则由M、N分别为DC、BC的中点可得：
=b，=a.
从△ABN和△ADM中可得：
①×2-②,得a=(2d-c).
②×2-①,得b=(2c-d).
即：=(2d-c),=(2c-d).
类题演练2
e1,e2是两个不共线向量，且=2e1+ke2, =e1+3e2, =2e1-e2,
若A、B、D三点共线，由k的值为.
解析：=++=2e1+ke2-e1-3e2+2e1-e2=3e1+(k-4)e2.
∵A、B、D三点共线，
∴存在实数λ使=λ,
即3e1+(k-4) e2=λ(2e1+ke2).
∴∴k=-8.
答案：-8
变式提升2
(2005山东理,7)已知向量a、b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是（ ）21教育网
A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D
解析：
=-5a+6b+7a-2b
=2a+4b=2.
∴A、B、D共线.
答案：A
类题演练3
下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（ ）21·cn·jy·com
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
解析：平面内向量的基底不唯一，只要在同一平面内，任一组不共线的向量都可以作为基底；而零向量与任何向量共线，故不可作为基底中的向量.故选②③.2·1·c·n·j·y
答案：B
变式提升3
已知向量a和b不共线，实线x,y满足向量等式（2x-y）a+4b=5a+(x-2y)b,则x+y的值等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.-1 B.1 C.0 D.3
解析：由平面向量基本定理得解得所以x+y=1.故选B.
答案：B
2.3.2 平面向量的坐标表示及运算
课堂导学
三点剖析
1.向量的坐标运算
【例1】平面内已知三个点A（1，-2），B（7，0），C（-5，6）.求，，+，+.
思路分析：本题主要考查向量的坐标运算.代入相应的公式运算即可得.
解：∵A（1，-2），B（7，0），C（-5，6），
∴=（7-1，0+2）=（6，2），
=（-5-1，6+2）=（-6，8），
+=（6-6，2+8）=（0，10），
+=（6，2）+（-6，8）
=（6，2）+（-3，4）
=（3，6）.
温馨提示
对于向量的起点、终点及向量所对应的三组坐标中，可知二求一.对于向量的坐标运算，均需正确掌握其运算法则.21教育网
2.向量的坐标表示
【例2】已知平面上A、B、C三点的坐标分别为A（-2，1），B（-1，3），C（3，4）.试求以A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.21cnjy.com
思路分析：本题主要考查向量的坐标表示，及向量相等的概念.由于条件中没有指明平行四边形顶点的顺序，故需分类讨论，经分析平行四边形有三种可能（1）ABCD,（2）ADBC,（3）ABDC. 设D（x,y）,根据向量相等的概念可建立关于x、y的二元一次方程组求解.
解：设D的坐标为（x,y）.
（1）若四边形为ABCD，则由,得［（-1-（-2），3-1）］=（3-x,4-y）.
∴解得
∴D点坐标为（2，2）.
（2）若四边形是ADBC，则由=，得［（x-(-2),y-1）］=(-1-3,3-4).
∴解得：
∴D点坐标为（-6，0）.
（3）若四边形是ABDC，则由=，得［（-1-(-2),3-1）］=(x-3,y-4).
∴解得
∴D点坐标为（4，6）.
3.点的坐标与向量的坐标的联系与区别
【例3】以下命题：
①点A的坐标即为向量的坐标.
②向量的坐标与向量所在位置无关.
③两向量起点与终点都不相同，所以两向量不相等.
④向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标.
其中正确命题的序号为______________.
解析：①②正确，③中向量坐标与位置无关，故有可能是相等向量.④中应为终点坐标减去始点坐标.
答案：①②
各个击破
类题演练1
已知M（3，-2），N（-5，-1），则等于（ ）
A.(8,1) B.(-8,1) C.(-8,-1) D.(-4,)
解析：=(-5-3,-1+2)=(-4,).
答案：D
变式提升1
已知A（1，-2）、B（2，1）、C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示.
解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），
∴=（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8）.
根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n,使得
=m·+n·，
∴（-12，8）=m（1，3）+n（2，4）.
也就是（-12，8）=（m+2n,3m+4n）.
可得解得
∴=32·-22·.
类题演练2
已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(2,1),B(-1,3),C(3,4),求D点坐标.
解：设D（x,y）,=(x,y)-(2,1)=(x-2,y-1),=(3,4)-(-1,3)=(4,1)，
∵=，
∴∴
∴D(6,2).
变式提升2
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||=,∠xOA=60°,求向量的坐标.
解：设点A(x,y),则
x=||·cos60°=cos60°=,
y=||·sin60°=·sin60°=6
即A（,6），所以=（,6）.
类题演练3
已知点P（x,y）,P′(x′,y′),=(a,b)，则P点坐标与P′（x′,y′）之间的关系是_____________.21世纪教育网版权所有
解析：=
即（a,b）=(x′,y′)-(x,y)
=(x′-x,y′-y)，
∴
答案：
2.3.3 平面向量共线的坐标表示
课堂导学
三点剖析
1.向量共线条件的坐标表示
【例1】 平面内给定三个向量a=（3，2），b=（-1，2），c=（4，1），若（a+kc）∥(2b-a).求实数k的值.a+kc与2b-a是同向还是反向？21世纪教育网版权所有
思路分析：将a、b、c的坐标代入a+kc和2b-a并分别求出其坐标，利用两向量共线的条件即可求得k值.a+kc与2b-a是同向还是反向可表示为a+kc=λ(2b-a),依据λ的正负判断.
解：∵（a+kc）∥(2b-a),又a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3,2)+(4k,k)=(3+4k,2+k),2b-a=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4) -(3,2)=(-5,2)，21教育网
∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0.
∴k=.
此时a+kc=(3,2)+()(4,1)=(,)，
2b-a=2(-1,2)-(3,2)=(5,2)，
∴a+kc=(2b-a).
∵＜0,∴a+kc与2b-a反向.
温馨提示
两向量共线的条件有两种形式，在解题时应根据情况适当选用.
2.向量共线条件的应用
【例2】 如果向量=i-2j,=i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.21cnjy.com
思路分析：根据向量共线的条件，解关于m的方程即可.
解法1：∵A、B、C三点共线，即、共线，
∴存在实数λ使得=λ,
即i-2j=λ(i+mj).
∴
∴m=-2,
即m=-2时，A、B、C三点共线.
解法2：依题意知i=(1,0),j=(0,1),则=（1，0）-2（0，1）=（1，-2），=（1，0）+m（0，1）=（1,m）而，共线，∴1×m+2=0.21·cn·jy·com
故当m=-2时，A、B、C三点共线.
温馨提示
证明三点共线，只需构造两向量，证明它们共线即可.
3.向量共线条件的综合运用
【例3】 已知两点A（3，-4），B（-9，2），在直线AB上求一点P，使||=||.
思路分析：由||=||是线段长度之间的比例关系，又由于P在AB上所以可得=或=-.www.21-cn-jy.com
解：∵P在AB上且||=||可得=或=-.设P（x,y），
若=，
则（x-3,y+4）=(-9-3,2+4)=(-4,2)，
∴
∴P（-1，-2）.
若=-，
则（x-3,y+4）
=- (-9-3,2+4)=(4,-2),
∴
∴P(7,-6).
各个击破
类题演练1
若a=（1，2），b=（-3，2）,当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时是同向还是反向？
解：ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=（10，-4），
∵a-3b与ka+b平行,
∴（k-3）×(-4)-10(2k+2)=0.
解得k=-.
此时ka+b=(--3,- +2)
=-(a-3b),
∴当k=-时，ka+b与a-3b平行，并且反向.
变式提升1
若向量a=（x,1）,b=（4,x）,则当x=_____________时， a与b共线且方向相同.
解析：∵a∥b,
∴x·x-4=0.
∴x=±2.
当x=2时，a，b方向相同，
当x=-2时，a、b方向相反.
答案：2
类题演练2
向量=（k，12），=（4，5），=（10，k）当k为何值时，A、B、C三点共线？
解法1：∵=-=（4，5）-（k,12）=(4-k,-7),
=-=(10,k)-(4,5)=(6,k-5).
∵A、B、C三点共线，
∴=λ，
即（4-k,-7）=λ(6,k-5)=(6λ,(k-5)λ).
∴解可得k=11,或k=-2.
解法2：接法1，
∵A、B、C三点共线，
∴（4-k）(k-5)=6×(-7),解得k=11,或k=-2.
变式提升2
已知A（-2，-3）、B（2，1）、C（1，4）、D（-7，-4），试问：与是否共线？
解：=（2，1）-（-2，-3）=（4，4），
=（-7，-4）-（1，4）=（-8，-8）.
所以=-2，所以与共线.
类题演练3
如右图，已知A（-1，2），B（3，4）连结A、B并延长至P，使||=3||，求P点坐标.
解：设P（x,y），由题意=3，代入坐标得
（x+1,y-2）=3(x-3,y-4)，
∴
∴P(5,5).
变式提升3
已知点A（4，0），B（5，5），C（2，6）.求AC与OB的交点P的坐标.
解：设=λ=λ(5,5)=(5λ,5λ),
则=（5λ-4,5λ-0）=(5λ-4,5λ),
=(2-4,6-0)=(-2,6).
因为∥，所以（5λ-4）·6-5λ(-2)=0.
解得λ=.
所以=（5，5）=（3，3），故点P的坐标是（3，3）.
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课堂导学
课堂导学
1.平面向量数量积的概念
【例1】 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）·（a+3b）.21世纪教育网版权所有
思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）·（a+b）=（a+b）·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b= a2+2a·b+b2.21cnjy.com
解：（1）a·b=|a||b|cos120°
=5×4×(-)=-10.
（2）（a+b）2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2=25-2×10+16=21.
(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9.
（4）（2a-b）·（a+3b）=2a2+5a·b-3b2
=2|a|2+5a·b-3|b|2
=2×25+5×(-10)-3×16
=-48.
温馨提示
（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2,（a+b）·（a-b）=a2-b2（a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.2·1·c·n·j·y
【例2】已知a与b的夹角为30°，且|a|=,|b|=1,求向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦.【来源：21·世纪·教育·网】
思路分析：利用cosθ=确定p,q的夹角，必先求pq及|p||q|，而求|p|及|q|利用模长公式|p|2=p2,|q|2=q2.21·世纪*教育网
解：∵|p|=|a+b|=,
|q|=|a-b|=
∴cosθ=.
温馨提示
（1）在求向量的模及两向量夹角时，主要利用公式|a|2=a2及cosθ=.
（2）向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算，计算时，不仅要防止计算错误的发生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证结果准确无误.
2.平面向量数量积的应用
【例3】 已知|a|=4，|b|=3，a与b的夹角为120°，且c=a+2b，d=2a+kb，问当k取何实数时，（1）c⊥d;(2)c∥d21教育网
思路分析：依据两个向量垂直的条件是这两个向量的夹角为90°，而两个向量的平行的条件是夹角为0°或180°；再由夹角公式求得所需条件.www-2-1-cnjy-com
解：设c与d的夹角为θ，则由已知,得
c·d=（a+2b）·（2a+kb）
=2a2+（4+k）a·b+2kb2
=2×42+(4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k.
|c|=|a+2b|=
=.
|d|=|2a+kb|=
=
=
∴cosθ=
(1)要使c⊥d，只要cosθ=0,即6k+4=0,∴k=-.
(2)要使c∥d,只需cosθ=±1,
即=±(6k+4),解得k=4.
综上，当k=-时，c⊥d;当k=4时，c∥d.
温馨提示
两向量平行，夹角为0°或180°,故有a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|.而两向量垂直，夹角为90°,所以a·b=0,反之也成立.21·cn·jy·com
3.正确理解两向量夹角的定义
【例4】 Rt△ABC中，已知|AB|=3，|BC|=3，|CA|=，求·+·+·的值.www.21-cn-jy.com
思路分析：只需求出向量与，与，与的夹角，利用数量积定义求解.
解：∵∠A=∠C=45°,
∴与夹角为135°,与夹角为135°,与夹角为90°.
∴·+·+·
=·+·
=3×3·cos135°+3×3·cos135°=-18.
温馨提示
正确理解两向量夹角的定义，是指同一点出发的两个向量所构成的较小非负角。
各个击破
类题演练1
已知|a|=4，|b|=3，若：（1）a∥b；（2）a⊥b;(3)a与b的夹角为60°，分别求a·b.
解：（1）当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°,
a·b=|a||b|cos0°=4×3×1=12;
若a与b反向，则a与b的夹角θ=180°，
a·b=|a||b|cos180°=4×3×(-1)=-12.
（2）当a⊥b时，a与b的夹角为90°，a·b=|a||b|cos90°=0,
（3）当a与b的夹角θ=60°时.
a·b=|a||b|cos60°=4×3×=6.
变式提升1
设e1,e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1-e2）·（-3e1+2e2）等于（ ）
A.- B. C.-8 D.8
解析：（2e1-e2） ·(-3e1+2e2)
=-6e12+7e1·e2-2e22
=-6|e1|2+7|e1||e2|cos60°-2|e2|2
=-6+-2
=-.
答案：A
类题演练2
已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为，求向量a+b与a-2b的夹角的余弦.
解：a·b=|a||b|cos=2×1×=1.
a2=4,b2=1.
(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2
=4-1-2=1.
|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=4+2+1=7.
|a-2b|2=(a-2b)2
=a2-4a·b+4b2
=4-4×1+4×1=4.
设a+b与a-2b的夹角为θ，则
cosθ=.
变式提升2
设向量a，b满足|a|=|b|=1，|3a-2b|=3，求|3a+b|的值.
解：∵|3a-2b|=3，∴9a2-12a·b+4b2=9.
∵|a|=|b|=1，∴a·b=.
∵|3a+b|2=9|a|2+6a·b+|b|2=9+6×+1=12,
故|3a+b|=.
类题演练3
已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为60°,试问当k为何值时，向量ka-b与a+2b垂直？
解：若(ka-b)⊥(a+2b),
则(ka-b)·(a+2b)=0.
即ka2+(2k-1)a·b-2b2=0.
k×52+(2k-1)×5×4×cos60°-2×42=0.∴k=.
∴所以当k=时，向量ka-b与向量a+2b垂直.
变式提升3
已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.
解：设a、b的夹角为θ，则cosθ=.
又∵a+3b垂直于7a-5b，a-4b垂直于7a-2b，
∴
即
∴2a·b=b2.
代入①式，得a2=b2.∴|a|=|b|.
∴cosθ=.∴θ=60°.
类题演练4
如右图，已知△ABC中，a=5,b=8,∠C=60°,求·.
解：因为||=a=5，||=b=8，
设与的夹角为θ，
则θ=180°-∠C=180°-60°=120°,
所以·=||||cosθ=5×8cos120°=-20.
变式提升4
在△ABC中，=a，=b，且a·b>0，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
解析：由两向量夹角的概念，a与b的夹角应为180°-∠B.
因为a·b=|a||b|cos(180°-B)=-|a||b|cosB>0,所以cosB<0.
又因为角B∈(0°,180°),所以角B为钝角.所以△ABC为钝角三角形.
答案：C
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课堂导学
三点剖析
1.两个向量数量积的坐标表示
【例1】 已知向量a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a与b的夹角θ的余弦值；
（2）若向量a-λb与2a+b垂直，求λ的值.
解：(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,
又∵|a|==5,|b|=,
∴cosθ=.
(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).
∵(a-λb)⊥(2a+b),
∴(a-λb)·(2a+b)=0.
∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0.
∴λ=.
温馨提示
运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式.
2.数量积坐标表示的应用
【例2】已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决.21cnjy.com
解法1：
根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2.
又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,
∴a·b=|a|2.
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,
∴|a+b|=|a|.
设a与a+b的夹角为θ，则
cosθ=.
∴θ=30°
解法2：
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
∵|a|=|b|,∴x12+y12=x22+y22.
由|b|=|a-b|,得x1x2+y1y2=(x12+y12).
即a·b=(x12+y12).
由|a+b|2=2(x12+y12)+2×(x12+y12)=3(x12+y12),得|a+b|=.
设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=.
∴θ=30°.
解法3：根据向量加法的几何意义，作图如右图
在平面内任取一点O，作=a，=b，以、为邻边作平行四边形OACB.
∵|a|=|b|,即||=||，
∴平行四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB.
这时=a+b，=a-b.
而|a|=|b|=|a-b|,
即||=||=||.
∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°.
于是∠AOC=30°,即a与a+b的夹角为30°.
温馨提示
基于平面向量的表示上的差异,也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同解法.对于本题的三种解法都要认真理解.21·cn·jy·com
3.平面向量数量积坐标表示的综合应用
【例3】已知A（2，1），B（3，2），D（-1，4）.
（1）求证：⊥；
（2）若四边形ABCD是矩形，试确定点C的坐标并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值.
思路分析：本题主要考查向量垂直的等价条件及夹角公式.要证明⊥，只需证·=0.在⊥的前提下，只要找点C使=.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)证明：∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴=(1,1),=(-3,3),
又·=1×(-3)+1×3=0,
∴⊥.
(2)解：∵四边形ABCD为矩形且AB⊥AD，
∴=.
设点C的坐标为（x,y）,
则（-3，3）=（x-3,y-2）,
∴∴
∴点C坐标为（0,5）.
又∵=（-2，4），=（-4，2），
∴·=（-2）×(-4)+4×2=16,
而||=，
||=.
设与的夹角为θ，则
cosθ=.
∴该矩形两对角线所成锐角的余弦值为.
温馨提示
(1)注意区分两向量平行与垂直的条件.
(2)向量的运算可以用坐标表示，向量中的位置关系（平行和垂直）也可用坐标表示，向量中的度量（模长和夹角）也可用坐标表示，而且使用起来非常方便，所以同学们要熟练掌握利用坐标法解决有关问题.www.21-cn-jy.com
各个击破
类题演练1
已知a=(k,-2),b=(2k,k+1),求实数k的值,使a⊥b.
解：(1)∵a⊥b,∴a·b=0.
∴k·2k+(-2)(k+1)=0,
k2-k-1=0.
∴k=.
变式提升1
（2005重庆文，4）设向量a=(-1,2),b=(2,-1),则（a·b)(a+b）等于（ ）
A.（1，1） B.（-4，-4） C.-4 D.（-2，-2）
解析：（a·b)(a+b）
=［-1×2+2×（-1）］（-1+2，2-1）
=-4（1，1）=（-4，-4）.
答案：B
类题演练2
已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π),求证：a+b与a-b互相垂直.
证法1：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),
∴(a+b)=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),
(a-b)=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).
又（a+b)·(a-b）
=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+
(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0,
∴(a+b)⊥(a-b).
证法2：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),
∴|a|2=cos2α+sin2α=1,
|b|2=cos2β+sin2β=1.
∴|a|2=|b|2.
∴(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,
∴(a+b)⊥(a-b).
变式提升2
（1）已知向量a=(4,-3),b=(2,1)，若a+tb与b的夹角为45°，求实数t的值.
解：a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),
(a+tb)·b=(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5.
|a+tb|=
由（a+tb）·b=|a+tb||b|cos45°,得
5t+5=,
即t2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.
经检验知t=-3不合题意，舍去,∴t=1.
（2）如右图所示以原点和A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠OBA=90°,求点B和向量的坐标.21世纪教育网版权所有
解：设B点坐标为(x,y),则=（x,y）,=(x-5,y-2).
∵⊥,
∴x(x-5)+y(y-2)=0.
x2+y2-5x-2y=0①
又∵||=||,
∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,②
即10x+4y=29.
由①②，得
或
∴B点坐标为（，）或（，）.
∴=(,-)或=（-，）.
类题演练3
已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量方法求两直角边中线所成钝角的余弦值.
解：建立如右图所示的坐标系，则A（4，0），B（0，6），E（2，0），F（0，3）.
=(-4,3),=(2,-6),||=5,| |=,
cos∠AO′B=
∴两中线所成钝角的余弦值为.
变式提升3
（1）直角坐标平面xOy中,若定点A（1，2）与动点P（x,y）满足·=4，则P点的轨迹方程是______________________.21教育网
解析：·=（x,y）·(1,2)
=x+2y=4.
答案：x+2y=4
(2)已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则△ABC的形状为（ ）2·1·c·n·j·y
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.A、B、C均不正确
解析：=（3，-1），=（-1，-3）,
∵·=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,∴⊥,
又∵||=||=,
∴△ABC为等腰直角三角形.
答案：C
2.5.1 平面几何中的向量方法
课堂导学
三点剖析
1.用向量方法解决简单的平面几何问题
【例1】如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC的长.
思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.
解：设=a，=b，则=a-b, =a+b.
而||=|a-b|=,
∴||2=5-2a·b=4.①
又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.
由①得2a·b=1,
∴||2=6,∴||=,即AC=.
温馨提示
(1)合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽说任意两个不共线的向量都可以做基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂.21·cn·jy·com
(2)几何问题用向量法解决体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可考虑向量法.
(3)在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.2·1·c·n·j·y
2.向量坐标运算的应用
【例2】如右图已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F.
求证：=.
思路分析：可以建立直角坐标系，要证明||=||，只要求出A与E、F点的坐标即可.
证明：如题图，以正方形ABCD的CD所在直线为x轴,以C点为原点建立直角坐标系.设正方形的边长为1,则A、B的坐标分别为（-1，1），（0，1）若E点的坐标为（x,y），则=（x,y-1）,=(1,-1).www.21-cn-jy.com
∵∥,
即x+y=1①
又∵||=||.
∴x2+y2=2.②
由①②得E点的坐标为（，）.
如果设F点的坐标为（x′,1），由=（x′,1）与=（，）共线，得x′-=0，解得
x′=-(2+)，即点F的坐标为（-2-，1）.
∵=(-1-,0),=(,).
∴||=1+=||.即AF=AE.
温馨提示
由于向量同时具备数、形的特点，能够顺利实现形、数的相互转化，因此在解决几何问题时常常能够化严格的逻辑推理为简单的计算.特别是在触及线段的平行或垂直问题时，向量便更有用武之地了.【来源：21·世纪·教育·网】
3.将平面几何问题转化为向量问题
【例3】如下图三角形ABC是等腰直角三角形，∠B=90°,D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB=∠FDC.21·世纪*教育网
思路分析：建立适当的坐标系，利用向量平行和垂直的条件及向量的数量积，转化为证明两向量的夹角相等.
解析：如题图，建立直角坐标系，设A（2，0），C（0，2），则D（0，1），于是=（-2，1），=（-2，2），设F（x,y）,由⊥，得·=0，即（x,y）·(-2,1)=0,
∴-2x+y=0.①
又F点在AC上，则∥.
而=（-x,2-y）,因此2（-x）-(-2)(2-y)=0,
即x+y=2.②
由①②式解得x=,y=,
∴F(,),=(,),=(0,1)·=,
又·=||||cosθ=cosθ,
∴cosθ=,即cos∠FDC=,
又cos∠ADB=,∴cos∠ADB=cos∠FDC,
故∠ADB=∠FDC.
温馨提示
在解题中要注意题目的隐含条件.如本题中点F满足的关系除了BF⊥AD,还有F点在AC上.点在直线上问题往往转化成两向量共线，利用两向量共线的条件求解.
各个击破
类题演练1
用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证明：如右图，设四边形ABCD的对角线AC、BD交于O点且互相平分（即=，=）
则=+=+=+=
因此∥，且||=||
因此四边形ABCD为平行四边形.
变式提升1
如右图，平行四边形OACB中，BD=DC，OD与BA相交于点E，求证：BE=BA.
解析：设E′是线段BA上的一点，且使BE′=BA,∴只要证E，E′重合即可.
设=a，=b，则=a，
=+=b+a，
∵=-b, =a-
又∵3=
∴3(-b)=a-
∴=(a+3b)=(b+a)
∴=
∴O、E′、D三点共线.
∴E、E′重合，∴BE=BA.
类题演练2
如果正方形OABC的边长为1，点D、E分别是AB、BC的中点，试求cos∠DOE的值.
解：
分别以OA、OC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则D（1，），E（，1），
∴=（1，），=（，1）.
∴cos∠DOE=
变式提升2
如右图P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，用向量法证明：
（1）PA=EF；（2）PA⊥EF.
证明：建立如上图所示的坐标系，设正方形的边长为1，||=λ，则A（0，1），P（λ，λ），E（1，λ），F（λ，0），21世纪教育网版权所有
∴=（-λ，1-λ），=（λ-1，-λ）.
（1）∵||2=（-λ）2+（1-λ）2=λ2-+1，
||2=（λ-1）2+（-λ）2=λ2-+1，
∴||2=||2，故PA=EF.
(2)∵·=（-λ）（λ-1）+（1-λ）·(-λ)=0,∴⊥,即PA⊥EF.
类题演练3
已知直角△ABC,∠C=90°，设AC=m，BC=n，
（1）若D为斜边AB的中点，求证：CD=AB；
（2）若E为CD的中点，连结AE并延长交BC于F.
求AF的长度（用m,n表示）.
解：以C为坐标原点，以边CB、CA所在的直线为x轴,y轴建立坐标系，如右图所示，A（0,m）,B(n,0).21教育网
(1)∵D为AB的中点，D（n2，m2），
∴||=.
∴||=||，即CD=AB.
(2)∵E为CD的中点，所以E（,）,设F（x,0），则
=（，-m），=（x,-m）.
∵A、E、F共线，
∴=λ，
即（x,-m)=λ(,-m)
∴即x=,即F（，0）.
∴||=.
变式提升3
如右图在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.21cnjy.com
解：设=e1，=e2，则
=+=-3e2-e1，=2e1+e2.
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ,μ,使
=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2.
故=-=（λ+2μ）e1+(3λ+μ)e2.
而=+=2e1+3e2，
由基本定理，得
解得
故=，即AP∶PM=4∶1.
2.5.2 平面向量在物理中的应用举例
课堂导学
三点剖析
1.用平面向量解决物理问题
【例1】如右图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1，求：21cnjy.com
（1）|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；
（2）当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围.
思路分析：本题主要考查利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.
解：(1)如右图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G=F1+F2.
解直角三角形得，
|F1|=,|F2|=|G|·tanθ
当θ从0°趋向于90°时，
|F1|、|F2|皆逐渐增大.
(2)令|F1|=≤2|G|，
得cosθ≥,又0°≤θ＜90°,∴0°≤θ≤60°.
温馨提示
用向量知识解决相关的物理问题步骤是：
（1）将物理问题抽象出数学模型，
（2）用数学知识解决模型.
(3)将解决的问题还原到物理问题中去.
(4)在解决力的合成与分解问题时，一般用向量的平行四边形法则解决.
2.物理量关系抽象成数学模型
【例2】一自行车以6 m/s的速度向北行驶，这时骑车人感觉风自正西方吹来，但站在地面上测得风自西偏南方向吹来，试求：21·cn·jy·com
（1）风相对于车的速度；
（2）风相对于地的速度.
思路分析：本题主要考查利用向量知识解决速度的合成问题.
解：设v风车、v车地、v风地分别是风对车，车对地，风对地的相对速度.如右图|v车地|=6 m/s,方向正北，v风车、v风地的夹角为.www.21-cn-jy.com
∴(1)风相对车的速度大小为
|v风车|=|v车地|·cot=m/s.
(2)风相对于地面的速度大小为
|v风地|=m/s.
温馨提示
(1)解答本题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型，这也是今后能力培养的主要方面.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)在解决速度的合成与分解问题时，一般利用向量的三角形法则.
【例3】已知两恒力F1(3,4)、F2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求:(1)F1,F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.
思路分析：
本题主要考查利用向量数量积知识解决物理中的做功问题,由于给出各分力的坐标,采用坐标法计算,首先求出位移的坐标,代入F·s公式即可.21·世纪*教育网
解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).
(1)W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦)；www-2-1-cnjy-com
W2=F2·=（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).
（2）W=F·=（F1+F2）·=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).21*cnjy*com
温馨提示
力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F·s，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.【来源：21cnj*y.co*m】
各个击破
类题演练1
用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如右图，已知灯具的重量为10 N，则每根绳子的拉力大小是 ___________.【出处：21教育名师】
解析：因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10 N.2·1·c·n·j·y
答案：10 N
变式提升1
如左下图，在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅锤线的两侧，与铅锤线的夹角为30°和60°，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.【版权所有：21教育】
解：如右上图，作OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°.
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，||=||·cos30°=150(N),| |=||·sin30°=150(N),| |=||=150 N.21教育名师原创作品
答：与铅锤线成30°角的绳子拉力是150N，与铅锤线成60°角的绳子的拉力是150 N.
类题演练2
一条河宽为400 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为____________min.21世纪教育网版权所有
解析：如右图所示，用v1表示船速,v2表示水速，v表示船的实际航行速度.
则|v|==16 km/h，
∴t==0.025(h)
=1.5(min).
答案：1.5
变式提升2
一艘船以5 km/h速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.2-1-c-n-j-y
解：如右图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示船实际速度，∠AOC=30°，||=5 km/h.21*cnjy*com
∵OACB为矩形，
∴tan∠AOC=，
∴||=km/h，
∴||==10 km/h，
∴水流速度为km/h,
船实际速度为10 km/h.
类题演练3
已知F=（2，3）作用于一物体，使物体从A（2，0）移动到B（-2，3），则力F对物体做的功为__________________.21教育网
解析：∵=(-4,3)，
∴W=F·s=F·=(2,3)·(-4,3)=1.
答案：1
变式提升3
已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在摩擦系数μ=0.02的水平平面上运动了20 m,问F和摩擦力f所做的功分别是多少？
解：设木块的位移为s,
则F·s=|F||s|cos30°=50×20×=(J),
F在铅垂方向上分力大小为
|F|sin30°=50×=25(N),
∴摩擦力F的大小为|f|=(80-25)×0.02=1.1(N).
∴f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×(-1)
=-22(J),
∴F、f所做的功分别是500J、-22 J.
