1.1.1 任意角
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1.角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1.
图1-1-1
2.角的概念的推广
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成一个零角.如图1-1-2中的角是一个正角,等于750°,图1-1-3中,正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°.21教育网
图1-1-2 图1-1-3
3.在直角坐标系内讨论角
象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,如果角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限角.21cnjy.com
4.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示为角α与整数个周角的和.21·cn·jy·com
5.几个重要的角的集合
(1)象限角的集合
第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,0°＜β＜90°,k∈Z}.2·1·c·n·j·y
第二象限角的集合为{α|k·360°+90°＜α＜180°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,90°＜β＜180°,k∈Z}.
第三象限角的集合为{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z}
={α|α=β+k·360°,180°＜β＜270°,k∈Z}.
第四象限角的集合为{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°,k∈Z}
={α|α=β+k·360°,270°＜β＜360°,k∈Z}.
(2)几种特殊角的集合
终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.
终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+180°,k∈Z}.
终边落在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}.
终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+90°,k∈Z}.
终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z}.
终边落在y轴上的角的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z}.
终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.
终边落在y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+45°,k∈Z}.
终边落在y=-x上的角的集合为{α|α=k·180°+135°,k∈Z}.
终边落在y=±x上的角的集合为{α|α=k·90°+45°,k∈Z}.
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1.下列各命题正确的是( )
A.终边相同的角一定相等 B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角 D.小于90°的角都是锐角
解析：可根据各种角的定义,利用排除法予以解答.对于A,-60°和300°是终边相同的角,它们并不相等,应排除A.www.21-cn-jy.com
对于B,390°是第一象限角,可它不是锐角,应排除B.
对于D,-60°是小于90°的角,但它不是锐角,
∴应排除D.
综上,应选C.
答案：C
2.(1)已知-990°＜α＜-630°,且α与120°角的终边相同,则α=___________.
(2)在-720°到720°之间与-1 050°角终边相同的角是__________.
解析：(1)∵α与120°角终边相同,故有α=k·360°+120°,k∈Z.
又∵-990°＜α＜-630°,
∴-990°＜k·360°+120°＜-630°,即-1 110°＜k·360°＜-750°.
当k=-3时,α=(-3)·360°+120°=-960°.
(2)与1 050°角终边相同的所有的角可表示为α=k·360°+(-1 050°),k∈Z,
依题意得-720°＜k·360°-1 050°＜720°,
解得＜k＜4,∴k=1,2,3,4.
所求的角为1×360°-1 050°=-690°,
2×360°-1 050°=-330°,3×360°-1 050°=30°,
4×360°-1 050°=390°.
答案：(1)-960° (2)-690°,-330°,30°,390°
3.已知α是第一象限角,试确定是第几象限角.
解析：∵α是第一象限角,
∴2kπ＜α＜2kπ+(k∈Z),则kπ＜＜kπ+(k∈Z).
当k=2n时,2nπ＜＜2nπ+,
∴为第一象限角.
当k=2n+1时,2nπ+π＜＜2nπ+,
∴为第三象限角.
∴为第一或第三象限角.
答案：第一象限或第三象限角.
点评：已知α是第m象限角(m=1,2,3,4),求角所在象限的问题,用“等分象限法”处理较好，先将各象限分成几等份，然后从x轴正方向上方第一个区域开始，按逆时针方向依次标上1,2，3,4，1,2，3,4，…，周而复始，直至填完所有区域，出现数字m的区域即为所求，例如：设α1、α2、α3、α4分别是第一、二、三、四象限角,则、、、分布如图1-1-4.21世纪教育网版权所有
图1-1-4
1.1.2 弧度制
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1.度量角的单位制:角度制、弧度制
(1)角度制
初中学过角度制,它是一种重要的度量角的制度.规定周角的为1度角,记作1°,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.2·1·c·n·j·y
(2)弧度制
规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.【来源：21·世纪·教育·网】
如图1-1-6,的长等于半径r,所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.
图1-1-6
(3)弧度数
一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=.
这里,α的正负由角α的终边的旋转方向决定.
2.弧长公式与扇形的面积公式
(1)设l是以角α作为圆心角时所对的弧的长,r是圆的半径,则有l=|α|·r.
其中α是角的弧度数.
(2)扇形面积公式
S=lr=α·r2.
3.角度与弧度之间的互化
(1)将角度化为弧度
360°=2π rad,180°=π rad.
1°=rad≈0.017 45 rad.
(2)将弧度化为角度
2π rad=360°,π rad=180°.
1 rad=()°≈57.30°=57°18′.
(3)弧度制与角度制的换算公式
设一个角的弧度数为α,角度数为n°,则α(rad)=()°,
n°=nrad.
(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表.
度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
弧度
0
度
150°
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
360°
弧度
π
2π
5.角度制与弧度制的比较
(1)弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度.
(2)1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或弧)的大小,而1°是圆的所对的圆心角(或弧)的大小.21教育网
(3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.
(4)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写.如sin2是指sin(2弧度),π=180°是指π弧度=180°;但如果以度(°)为单位表示角时,度(°)就不能省去.
(5)角的概念推广以后,无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系,每一个角都有唯一的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应.21世纪教育网版权所有
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1.下列诸命题中,假命题是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.一度的角是周角的,一弧度的角是周角的
C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角,它们与圆的半径长短有关
解析：A、B、C都正确.1弧度等于半径长的圆弧所对的圆心角(或弧)的大小,而1°是圆的所对的圆心角(或弧)的大小.21cnjy.com
因此不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.
答案：D
2.圆弧长度等于其内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.2
解析：设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,
∴θ==.
答案：C
3.一个扇形的面积为1,周长为4,则中心角的弧度数为______________.
解析：设扇形的半径为r,弧长为l,则2r+l=4.∴l=4-2r.
根据扇形面积公式S=lr得1=(4-2r)·r.
∴r=1.∴l=2.∴|α|===2.∴α=±2.
答案：±2
4.(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001).
(2)把112°30′化成弧度(用π表示).
(3)把-化成度.
解析：(1)①n=112°30′,π=3.141 6;②n=112=112.5;③a=≈0.017 5;④α=na=1.968 75.21·cn·jy·com
∴α≈1.969 rad.
(2)112°30′=()°=×=.
(3)- =-(×)°=-75°.
答案：(1)1.969 rad;(2) ;(3)-75°.
5.集合A={α|α=kπ+,k∈Z},B={α|α=2kπ±,k∈Z}的关系是( )
A.A=B B.AB C.AB D.以上都不对
解析：对于集合A,当k=2n(n∈Z)时,α=2nπ+,n∈Z.
当k=2n-1时,α=(2n-1)π+=2nπ-,n∈Z.
∴α=2nπ±,n∈Z.
∴A=B.
答案：A
7.下列弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限.
(1)-;(2);(3)-20;(4)-2.
解析：对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k∈Z,|α|∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在位置进行判断.对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z,|α|∈［0,6.28)的形式,通过α与、π、比较,估算出角所在象限.
答案：(1)-=-4π+,是第一象限角;(2)=10π+,是第二象限角;(3)-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角;www.21-cn-jy.com
(4)-23≈-3.464,是第二象限角.
8.若α是第四象限角,则π-α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
解析：∵α为第四象限角,∴2kπ-＜α＜2kπ(k∈Z).
∴-2kπ＜-α＜-2kπ+(k∈Z).
∴-2kπ+π＜π-α＜-2kπ+(k∈Z).
∴π-α是第三象限角.
答案：C
1.2.1 任意角的三角函数
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1.任意角三角函数的定义
设P(a,b)是角α的终边与单位圆的交点,由P向x轴引垂线,垂足为M.
根据锐角三角函数的定义得
sinα==b,cosα==a,tanα=.
同样的道理 ,我们也可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图1-2-2,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么21教育网
图1-2-2
(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y.
(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x.
(3)叫做α的正切,记作tanα,即tanα=.
2.三角函数线
设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)、A′(-1,0),与y轴的交点分别为B(0,1)、B′(0,-1).设角α的顶点在圆心O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(如图1-2-3(a)),过点P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点P的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα).21cnjy.com
其中cosα=OM,sinα=MP.这就是说角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.又设单位圆在点A的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)(图1-2-3(b)),则tanα=AT(AT′).21·cn·jy·com
我们把轴上向量、、()叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
图1-2-3
3.三角函数在各象限的符号
由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数的符号.
sinα=y,于是sinα的符号与y的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,sinα＞0;当α是第三、四象限的角时,sinα＜0.www.21-cn-jy.com
cosα=x,于是cosα的符号与x的符号相同,即当α是第一、四象限角时,cosα＞0;当α是第二、三象限的角时,cosα＜0.【来源：21·世纪·教育·网】
tanα=,当x与y同号时,它们的比值为正,当x与y异号时,它们的比值为负,即当α是第一、三象限角时,tanα＞0;当α是第二、四象限角时,tanα＜0.21·世纪*教育网
规律总结:记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多,下面介绍一种利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.上述口诀表示,第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.www-2-1-cnjy-com
4.公式一
由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等,由此得一组公式.(公式一)
Sin(α+k·2π)=sinα
cos(α+k·2π)=cosα
tan(α+k·2π)=tanα
k∈Z.
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值.
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1.已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα.
解析：x=3a,y=-4a,∴r==5|a|(a≠0).
(1)当a＞0时,r=5a,α是第四象限角.
sinα==cosα==,tanα=.
(2)当a＜0时,r=-5a,α是第二象限角,sinα=,cosα=,tanα=.
答案：sinα=±,cosα=±,tanα=.
2.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合.
(1)sinα≥;(2)cosα≤-.
解析：作出满足sinα=,cosα=-的角的终边,然后根据已知条件确定出角α终边的范围.
(1)作直线y=交单位圆于A、B两点,连结OA、OB,则OA与OB围成的区域(如图1-2-4阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.21世纪教育网版权所有
(2)作直线x=-交单位圆于C、D两点,连结OC与OD,则OC与OD围成的区域(如图1-2-5阴影部分)即为角α终边的范围.2·1·c·n·j·y
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
图1-2-4 图1-2-5
3.确定下列三角函数值的符号.
(1)cos250°;(2)sin(-);(3)tan(-672°);(4)tan.
解析：(1)∵250°是第三象限角,∴cos250°＜0.
(2)∵-是第四象限角,∴sin(-)＜0.
(3)∵-672°=-2×360°+48°,而48°是第一象限角,
∴-672°是第一象限角.∴tan(-672°)＞0.
(4)∵=2π+,而是第四象限角,
∴是第四象限角.∴tan＜0.
答案：(1)-;(2)-;(3)+;(4)-.
4.若sinθcosθ＞0,则θ在( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第一、四象限 D.第二、四象限
解析：由sinθcosθ＞0可知sinθ与cosθ同号,若sinθ＞0,cosθ＞0,
则θ在第一象限;若sinθ＜0,cosθ＜0,则θ在第三象限.
∴θ在第一、三象限.
答案：B
5.确定下列三角函数值的符号.
(1)cos;(2)sin(-760°);(3)tan.
解析：(1)∵cos=cos(+4π)=cos,而是第一象限角,
∴cos＞0.
(2)∵sin(-760°)=sin(-40°-2×360°)=sin(-40°),而-40°是第四象限角,
∴sin(-760°)＜0.
(3)∵tan=tan(+2π)=tan,而是第一象限角,
∴tan＞0.
1.2.2 同角三角函数的基本关系
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同角三角函数基本关系
如图1-2-6中,以正弦线MP,余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP=1,由勾股定理有OM2+MP2=1,即x2+y2=1,所以sin2α+cos2α=1.21世纪教育网版权所有
图1-2-6
根据三角函数的定义,当α≠kπ+(k∈Z)时,有=tanα.
疑难疏引 把sin2α+cos2α=1的两边同除以cos2α得tan2α+1=.
由=tanα变形得sinα=tanα·cosα.
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1.已知cosα=,求sinα、tanα的值.
解析：∵cosα＜0,且cosα≠-1,
∴α是第二或第三象限角.
如果α是第二象限角,那么sinα=
tanα==×()=-.
如果α是第三象限角,那么sinα=-,tanα=.
答案：sinα=±,tanα=±.
2.已知sinαcosα=,且＜α＜,则cosα-sinα的值是________________.
解析：∵＜α＜,∴cosα-sinα＞0.
又(cosα-sinα)2=sin2α+cos2α-2sinαcosα
=1-2×,∴cosα-sinα=.
答案:
1.3 三角函数的诱导公式
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1.角α与π+α的三角函数关系
图1-3-3
如图1-3-1,设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1(x,y),由于角π+α的终边与角α的终边关于原点对称,角π+α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于原点O对称,因此P2的坐标是(-x,-y),由三角函数的定义得【来源：21·世纪·教育·网】
sinα=y,cosα=x,tanα=,
sin(π+α)=-y,cos(π+α)=-x,tan(π+α)==.
从而得公式(二)
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
2.角α与-α的三角函数关系
如图1-3-2,设单位圆与角α,角(-α)的终边的交点分别为P1和P2,容易看出点P1和P2关于x轴对称,已知点P1的坐标为(x,y),则P2的坐标为(x,-y).由三角函数的定义得sinα=y,cosα=x,tanα=,sin(-α)=-y,sin(-α)=x,tan(-α)=-.
图1-3-2
∴公式(三)
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
3.角α与π-α的三角函数关系
如图1-3-3,设单位圆与角α,角π-α的终边的交点分别为P1和P2,则P1、P2关于y轴对称,已知P1(x,y),则P2的坐标为(-x,y),由三角函数的定义得sin(π-α)=y,cos(π-α)=-x,tan(π-x)=-.21世纪教育网版权所有
图1-3-3
∴公式(四)
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
4.角α与-α的三角函数关系
如图1-3-4,设任意角α与单位圆的交点P1(x,y),由于角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角-α的终边与单位圆的交点P2与P1关于直线y=x对称,因此点P2的坐标为
(y,x),于是有cosα=x,sinα=y,cos(-α)=y,sin(-α)=x.
图1-3-4
∴公式(五)
sin(-α)=cosα
cos(-α)=sinα
由于+α=π-(-α),由公式(四)及公式(五)可得公式(六)
sin(+α)=cosα
cos(+α)=-sinα
5.这六组公式必须注意的几个问题
(1)公式中的角α可以是任意角;
(2)这六组诱导公式可以叙述为:
①α+k·2π,π+α,-α,π-α的三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角是原函数值的符号.为了便于记忆,也可简单地说成:“函数名不变，符号看象限.”
②α+,-α+的三角函数值,等于α的余名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角是原函数值的符号,记忆口诀为:“函数名改变，符号看象限.”21cnjy.com
③这两套公式可以推广为:k·+α(k∈Z)的三角函数值,当k为偶函数时,得α的同名函数值;当k为奇数时,得α的异名函数值,然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.概括为:“奇变偶不变,符号看象限.”这里的奇偶是指k的奇偶.21·cn·jy·com
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1.求下列各三角函数值.
(1)sin();(2)cos();(3)tan(-405°).
解析:可先利用公式(二)把负角的三角函数转化成正角的三角函数,再利用公式(一)把绝对值大于2π(或360°)的角的三角函数转化成绝对值小于2π(或360°)的角的三角函数去求值.www.21-cn-jy.com
(1)方法一:sin()=-sin=-sin(+6π)=-sin=-.
方法二:sin()=sin(--6π)
=sin(-)=-sin=-.
(2)cos()=cos=cos(+6π)=cos=;
cos()=cos(--6π)=cos(-)=cos=.
(3)tan(-405°)=-tan405°=-tan(45°+360°)=-tan45°=-1;
tan(-405°)=tan(-45°-360°)=tan(-45°)=-tan45°=-1.
2.求下列三角函数式的值.
(1)sin495°·cos(-675°);
(2)3sin(-1 200°)·tan(-)-cos585°·tan().
解析:(1)sin495°·cos(-675°)
=sin(135°+360°)·cos675°
=sin135°·cos315°
=sin(180°-45°)·cos(360°-45°)
=sin45°·cos45°
=×=.
(2)sin(-1 200°)·tan(-)-cos585°·tan()
=-sin1 200°·(-)-cos(720°-135°)·tan(-8π-)
=sin(1 080°+120°)-cos135°·tan(-)
=-(-)·(-1)
=.
答案:(1) ;(2) .
3.已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,求［sin(α+)·sin(-α)·tan2(2π-α)·tan(π-α)］÷［cos(-α)·cos(+α)］的值.2·1·c·n·j·y
解析:5x2-7x-6=0的两根为x=2或x=,
∴sinα=,cosα=±=±.
∴tanα=±.
∴原式==tanα=±.
答案:±.
4.若f(sinx)=cos17x,求f()的值.
解析:此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算,在运算的过程中要理解函数表达式的意义,灵活运用诱导公式.21教育网
f()=f(sin)=cos=cos(2π+)=cos=cos(π-)=-cos=-.
答案:-.
5.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值是( )
A.- B.- C. D.
解析:sin(180°+α)+cos(90°+α)=-sinα-sinα=-a,
∴sinα=.
原式=cos(180°+90°-α)+2sin(360°-α)=-cos(90°-α)-2sinα
=-sinα-2sinα=-3sinα=-3×=-.
答案:B
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
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1.正弦函数的图象
(1)用单位圆中的正弦线,作出函数y=sinx在x∈［0,2π］上的图象,步骤如下:
①在x轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆;
②从这个圆与x轴交点A起把圆分成12等份;
③过圆上各点作x轴的垂线,可得对应于0, ,,…,2π的正弦线;
④相应地,再把x轴上从原点O开始,把0~2π这段分成12等份;
⑤把角的正弦线平移,使正弦线的起点与x轴上对应的点重合;
⑥用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来即得,如图1-4-1.
图1-4-1
(2)正弦函数y=sinx,x∈R的图象——正弦曲线.
因为sin(x+k·2π)=sinx,k∈Z,所以正弦函数y=sinx在x∈［-2π,0］,x∈［2π,4π］,x∈［4π,6π］,…时的图象与x∈［0,2π］的形状完全一样,只是位置不同,因此我们把y=sinx在x∈［0,2π］的图象沿x轴平移±2π,±4π,…,就可得到y=sinx,x∈R的图象,如图1-4-2.21世纪教育网版权所有
图1-4-2
2.作正弦函数简图的方法——五点法
观察正弦函数的图象,可以看出(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)这五点在确定图象形状时起着关键作用.这五点描出后,正弦函数y=sinx,x∈［0,2π］的图象的形状就基本上确定了.在精确度要求不高的情况下,我们常用“五点法”作y=sinx在［0,2π］上的近似曲线.21教育网
3.余弦函数的图象
把正弦曲线向左平移个单位就可以得到余弦函数的图象,余弦函数y=cosx的图象叫做余弦曲线.如图1-4-3.21cnjy.com
图1-4-3
从上图可以看出,余弦曲线上有五个点起关键作用,这五个点是:(0,1),( ,0),(π,-1),( ,0),(2π,1).21·cn·jy·com
活学巧用
1.作函数y=tanx·cosx的图象.
解析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作函数的图象.
当cosx≠0,即x≠+kπ(k∈Z)时,有y=tanx·cosx=sinx,即y=sinx(x≠+kπ,k∈Z).
其图象如图1-4-4.
图1-4-4
点评:函数y=tanx·cosx的图象是y=sinx(x≠+kπ,k∈Z)的图象,因此作出y=sinx的图象后,要把x=+kπ(k∈Z)的这些点去掉.www.21-cn-jy.com
2.作函数y=的图象.
解析:同第2题,首先将y=变形,然后作图.y=化为y=|sinx|,
即y=k∈Z.
其图象如图1-4-5.
图1-4-5
3.用“五点法”画函数y=-1+sinx，x∈［0,2π］的简图.
画法一:按五个关键点列表.
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
-1+sinx
-1
0
-1
-2
-1
利用正弦函数的性质描点画图,如图1-4-6.
图1-4-6
画法二:可先用“五点法”画y=sinx,x∈［0,2π］的图象（如图中的虚线图），再将其向下平移1个单位也得到y=-1+sinx,x∈［0,2π］的图象.2·1·c·n·j·y
4.用五点法画出函数y=-cosx,x∈［0,2π］的图象.
解析:画法一:按五个点列表.
X
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
-cosx
-1
0
1
0
-1
描点画图,如图1-4-6.
图1-4-7
画法二:先用五点法画y=cosx的图象,再作它关于x轴的对称图.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
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1.周期性
(1)周期函数:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)正弦函数的周期
从正弦线的变化规律可以看出,正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)是它的周期,最小正周期是2π.2·1·c·n·j·y
正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)得到.由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)可知当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍时,正弦函数值重复出现,即正弦函数具有周期性,且周期为2kπ(k∈Z),最小正周期为2π.21·世纪*教育网
类似地,可以探索余弦函数的周期为2kπ,最小正周期为2π.
2.奇偶性
(1)正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数,
①由诱导公式 sin(-x)=-sinx可知上述结论成立.
②反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称.
③正弦曲线是中心对称图形,其所有对称中心为(kπ,0);正弦曲线也是轴对称图形,其所有对称轴方程为x=kπ+,k∈Z.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)余弦函数的奇偶性与对称性
①奇偶性:由诱导公式知cos(-x)=cosx,可知余弦函数是偶函数,它的图象关于y轴对称.
②对称性:余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是(kπ+,0)(k∈Z);余弦曲线是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x=kπ(k∈Z).www-2-1-cnjy-com
3.单调性
(1)正弦函数的单调性
在正弦函数的一个周期中,由正弦曲线可以看出,当x由-增加到时,sinx由-1增加到1;当x由增大到时,sinx由1减小到-1,情况如下表:2-1-c-n-j-y
x
-
0
π
sinx
-1
0
1
0
-1
由正弦函数的周期性可知:
正弦函数y=sinx在每一个闭区间［-+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上,都从-1增大到1,是增函数;在每一个闭区间［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上,都从1减小到-1,是减函数.
(2)余弦函数的单调性
通过观察余弦函数的图象,可得余弦函数的单调性.余弦函数在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数,21世纪教育网版权所有
它的值由1减小到-1;在每一个闭区间［(2k+1)π,2(k+1)π］(k∈Z)上都是增函数,它的值由-1增大到1.21cnjy.com
4.最值
从正弦函数、余弦函数的图象可以看出,它们的值域都为［-1,1］.对正弦函数来说,当x=2kπ+ (k∈Z)时,取得最大值1;当x=2kπ- (k∈Z)时,取得最小值-1.
对余弦函数来说,当x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值1;当x=2kπ+π(k∈Z)时,取得最小值-1.
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1.求下列函数的周期:
(1)y=sinx;(2)y=2sin(-).
解析:(1)如果令m=x,则sinx=sinm是周期函数且周期为2π.
∴sin(x+2π)=sinx,
即sin［ (x+4π)］=sinx.
∴y=sinx的周期是4π.
(2)∵2sin(-+2π)=2sin(-),
即2sin［(x+6π)-］=2sin(-),
∴2sin(-)的周期是6π.
答案:(1)4π;(2)6π.
2.若函数f(x)是奇函数,当x＞0时,f(x)=x2-sinx,当x＜0时,求f(x)的解析式.
解析:设x＜0,则-x＞0.
∵x＞0时,f(x)=x2-sinx,
∴f(-x)=x2-sin(-x)=x2+sinx.
又∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴-f(x)=x2+sinx.
∴f(x)=-x2-sinx.
答案:f(x)=-x2-sinx(x＜0).
3.写出函数y=sin(2x+)图象的对称轴方程及对称中心坐标.
解析:令2x+=kπ+ (k∈Z)得x=+(k∈Z),
令2x+=kπ(k∈Z)得x=- (k∈Z).
∴函数y=sin(2x+)图象的对称轴方程为x=+ (k∈Z),对称中心坐标为(-,0)(k∈Z).21教育网
答案:对称轴方程x=+ (k∈Z),对称中心(-,0)(k∈Z).
4.求y=cos(-x)的单调递增区间.
解析:函数y=cos(-x)=cos(x-),∴y=cos(-x)的单调递增区间就是y=cos(x-)的单调递增区间,由下式确定:2kπ-π≤x-≤2kπ,k∈Z.21·cn·jy·com
∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,即函数y=cos(-x)的单调递增区间是［2kπ-,2kπ+］,k∈Z.www.21-cn-jy.com
5.若sinx=a-1有意义,则a的取值范围是____________________.
解析:∵|sinx|≤1,∴|a-1|≤1.∴-1≤a-1≤1.∴0≤a≤2.
答案:0≤a≤2
6.y=4cos2x,x∈R有最值吗?若有,请写出最大值、最小值的x的集合.
解析:函数y=4cos2x取最大值的集合为{x|2x=2kπ,k∈Z},即{x|x=kπ,k∈Z}.
同理,函数y=4cos2x取最小值的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质
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1.正切函数的性质
(1)周期性
由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z可知正切函数是周期函数,周期是π.
(2)奇偶性
由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R,且x≠+kπ,k∈Z,可知正切函数是奇函数.
(3)单调性
如图1-4-11(1)(2),由正切函数线的变化规律得,正切函数在(-,)内是增函数,又由周期性可知正切函数在开区间(-+kπ, +kπ),k∈Z内都是增函数.
图1-4-11
(4)值域
如图1-4-11(1),当x大于-且无限接近-时,正切线AT向Ov轴的负方向无限延伸;如图1-4-11(2),当x小于且无限接近时,正切线AT向Ov轴的正方向无限延伸.因此,tanx在(-,)内可取任意实数,但没有最大值、最小值.21世纪教育网版权所有
2.正切函数的图象
正切函数的图象的画法与正弦函数图象的画法类似,正切函数的图象是利用单位圆上的正切线来作的.如图1-4-12.21教育网
图1-4-12
图1-4-13
根据正切函数的周期性,我们可把图象向左、向右连续平移,得到y=tanx,x∈(-+kπ, +kπ),k∈Z的图象的正切曲线.21cnjy.com
如图1-4-13,可以看出,正切曲线是由通过点(+kπ,0)(k∈Z)且被与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成.21·cn·jy·com
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1.判断函数f(x)=lg的奇偶性.
分析:判断函数奇偶性分两步:
①考察定义域是否关于原点对称;②考察f(-x)=±f(x)是否成立.
解:要使y=lg有意义,函数应满足＞0,即tanx＞1或tanx＜-1.
∴函数的定义域为(kπ-,kπ-)∪(kπ+,kπ+)(k∈Z).
∴定义域关于原点对称的f(-x)=lg
==-f(x).
∴y=是奇函数.
2.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(,0),则y可以是( )
A.- B. C.- D.
解析:∵y=tan(2x+φ)过(,0),∴tan(+φ)=0.
∴+φ=kπ.∴φ=kπ-.∴k=0时,φ=-.
答案:A
3.根据正切函数的图象,写出下列不等式的解集.
(1)tanx≥-1;(2)tan2x≤-1.
解析:作出y=tanx的图象,如图1-4-14.
图1-4-14
(1)∵tanx≥-1,tan(-)=-1,在(-,)内,满足条件的x为-≤x＜,由正切函数的图象,可知满足此不等式的x的集合为{x|-+kπ≤x＜+kπ,k∈Z}.
(2)在(-,)内,tan(-)=-1,
∴不等式的解集由不等式kπ-＜2x≤kπ- (k∈Z)确定.
解得-＜x≤k- (k∈Z).
∴不等式tan2x≤-1的解集为{x|-＜x≤-,k∈Z}.
答案:(1){x|-+kπ≤x＜+kπ,k∈Z};
(2){x|-＜x≤-,k∈Z}.
1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象
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1.探索φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
图1-5-1
分别作y=sin(x+)和y=sinx的图象,如图1-5-1并观察这两个图象之间的关系.
观察发现,对于同一个y值,y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去,即y=sin(x+)的图象是由y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到.21教育网
2.探索ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
分别作y=sin(2x+)与y=sin(x+)的图象,如图1-5-2,并观察它们之间的关系.
图1-5-2
观察发现,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的横坐标的倍,即y=sin(2x+)的图象可以看作把y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到.21cnjy.com
3.探索A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
分别画出y=3sin(2x+)和y=sin(2x+)的图象,如图1-5-3,并观察它们之间的关系.
图1-5-3
观察发现,对于同一个x值,y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍,这说明y=3sin(2x+)的图象,可以看作把y=sin(2x+)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到.
4.函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0),x∈R的图象可以看作是用下面的方法得到的:先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位,再把所得点的横21世纪教育网版权所有
坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变).21·cn·jy·com
5.当函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0),x∈［0,+∞)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T=,叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数f=,叫做振动的频率,ωx+φ叫做相位,φ叫做初相(即当x=0时的相位).www.21-cn-jy.com
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1.将函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位,再把所得图象上各点横坐标扩大到原来的2倍,则所得到的图象的解析式为( )2·1·c·n·j·y
A.y=sin(-) B.y=sin(+)【来源：21·世纪·教育·网】
C.y=sin(+) D.y=sin(2x+)21·世纪*教育网
解析:y=sinxy=sin(x+)y=sin(+).
答案:C
2.若函数y=sin(2x+θ)的图象向左平移个单位后恰好与y=sin2x的图象重合,则θ的最小正值是( )www-2-1-cnjy-com
A. B. C. D.
解析:y=sin(2x+θ)y=sin［2(x+)+θ］=sin(2x++θ).
∵y=sin2x与y=sin(2x++θ)重合,
∴+θ=2kπ.
∴θ=2kπ-.
∴k=1,θ=2π-=.
答案:D
3.要得到y=sin(-2x+)的图象,只需将y=sin(-2x)的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
解析:y=sin(-2x)y=sin［-2(x-)］=sin(-2x+).
答案:D
4.要由y=sin2x的图象平移后得到y=cos(2x+)的图象,只要把y=sin2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
解析:y=cos(2x+)=sin(-2x-)=sin(-2x+)=sin［π-(-2x+)］=sin(2x+),
所以y=sin2xy=sin2(x+)=sin(2x+).
答案:C
5.指出下列函数的振幅、周期、初相.
(1)y=2sin(+),x∈R;
(2)y=-6sin(2x-),x∈R.
解析:(1)A=2,T==4π,φ=.
(2)将原解析式变形y=-6sin(2x-)
=6sin(-2x+)=6sin［π-(-2x+)］
=6sin(2x+),∴A=6,T==π,φ=.
1.6 三角函数模型的简单应用
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1.根据图象求函数解析式.
现实生产、生活和自然现象中,周期现象广泛存在.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种模型,可以用来研究很多问题,在说明周期变化规律、预测未来等方面都发挥着十分重要的作用.21·世纪*教育网
案例1 如图1-6-1,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
图1-6-1
【解】 (1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.
(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,
∴A=(30-10)=10,b= (30+10)=20.
∵·=14-6,∴ω=.
将x=6,y=10代入上式,解得φ=.
综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈［6,14］.
【规律总结】 在y=Asin(ωx+φ)+b中,各未知量的求法.
(1)A是振幅,即离开平衡位置的最大距离可直接观察得出,A=.
(2)ω=,因此要先求T.从图上观察一段图象,然后求出这段图象的长度.若这段图象是周期的a倍,则a·T等于这段图象的长度,从而求出T.21教育网
(3)b=.
(4)确定φ:根据图象提供的特殊点,如最值点或平衡点(如果图象没有y轴方向上的移动,就是与x轴的交点),与y=sinx的五个特殊点对应求解.21世纪教育网版权所有
2.利用函数图象解决问题.
案例2作出函数y=-sin|x|(-2π≤x≤2π)的简图.
【解】y=如图1-6-2所示.
图1-6-2
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1.已知如图1-6-3,表示电流I与时间t的关系I=Asin(ωt+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)在一个周期内的图象.21cnjy.com
图1-6-3
(1)试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωt+φ)中t在任意一段秒的时间内电流I能同时取得最大值A与最小值-A,那么ω的最小正值是多少?21·cn·jy·com
解析:(1)由图象知A=300,T=-(-)=(秒).
∴ω==100π.∴I=300sin(100πt+φ).
则有100π·(-)+φ=0.解得φ=.
∴I=300sin(100πt+).
(2)欲使I在t的任意一段秒内能同时取到最大值A与最小值-A,必须且只需I的周期不大于,即T=≤,解得ω≥200π.2·1·c·n·j·y
∴ω的最小正值为200π.
2.y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图1-6-4,则( )
图1-6-4
A.ω=,φ= B.ω=,φ= C.ω=,φ= D.ω=,φ=【来源：21·世纪·教育·网】
解析:∵T=2,∴T=8.
又T=,∴ω==.
∴y=sin(x+φ).
当x=1时, x+φ=,∴φ=.
答案:C
3.函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是_______________.www.21-cn-jy.com
解析:数形结合法:f(x)=由图象1-6-5知1＜k＜3.
图1-6-5
答案:1＜k＜3
3.1.1 两角差的余弦公式
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1.两角差的余弦公式
下面我们从两方面对两角差的余弦公式进行证明.
(1)利用单位圆上的三角函数线探究
如图3-1-1甲,设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β.过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是α-β的余弦线.这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B.过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么OA表示cosβ,AP表示sinβ,并且∠PAC=∠P1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβ·cosα+sinβ·sinα.21教育网
以上结果虽然是在α、β、α-β都是锐角的情况下推导出来的,但是可以推广到对任意角α、β都成立(如图3-1-1乙).21cnjy.com
甲 乙
图3-1-1
(2)运用向量的知识进行探究
图3-1-2
如图3-1-2,设α、β的终边分别与单位圆交于点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ),由于余弦函数是周期为2π的偶函数,所以我们只考虑0≤α-β＜π的情况.
设向量a==(cosα,sinα),
b==(cosβ,sinβ),
则a·b=|a||b|·cos(α-β)=cos(α-β).
另一方面,由向量数量积的坐标表示,
有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ,
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(Cα-β)
于是,对于任意的α、β,都有上述式子成立.
2.对两角差的余弦公式的理解与记忆
(1)上述公式中的α、β都是任意角.
(2)公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反.
(3)要注意差角的相对性,掌握角的变化技巧.如α=(α+β)-β,α=(α-β)+β.
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1.利用两角差的余弦公式证明:
(1)cos(π-α)=-cosα;
(2)cos(-α)=-sinα.
证明:(1)cos(π-α)=cosπcosα+sinπsinα=-cosα+0·sinα=-cosα.
(2)cos(-α)=coscosα+sinsinα=0·cosα-sinα=-sinα.
2.已知sinα=,cosβ=,α、β均为第二象限角,求cos(α-β).
解析:由sinα=,α为第二象限角,
∴cosα=.
又由cosβ=-,β为第二象限角,
∴sinβ=.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=(-)×()+×=.
3.已知tanα=-,π＜α＜2π,求cos(-α).
解析:由tanα=-＜0,π＜α＜2π,
∴＜α＜2π.
由1+tan2α=,得cos2α=.∵＜α＜2π,∴cosα=.
由sinα=,
∴cos(-α)=coscosα+sinsinα
=×+×()=.
4.已知＜β＜α＜,cos(α-β)= ,sin(α+β)= ,求cos2β.
解析:∵＜β＜α＜,
∴0＜α-β＜,π＜α+β＜.
∴sin(α-β)=,
cos(α+β)=,
cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=- ×+()×=-.21世纪教育网版权所有
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
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1.两角和的余弦公式
比较cos(α-β)与cos(α+β),并且注意到α+β与α-β之间的关系:α+β=α-(-β),则由两角差的公式得21cnjy.com
cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,
即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(C(α+β))
2.两角和与差的正弦公式
sin(α-β)=cos(-α+β)=cos［(-α)+β］
=cos(-α)cosβ-sin(-α)sinβ
=sinαcosβ-cosαsinβ,
即sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(S(α-β))
在上式中,以-β代β可得
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(S(α+β))
3.正确理解和差角的正弦公式
(1)公式对于任意的角α、β都成立.
(2)搞清sin(α±β)的意义.例如sin(α+β)是两角α与β的和的正弦,它表示角α+β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比.在一般情况下,sin(α+β)≠sinα+sinβ,如α=,β=时,sin(+)=sin=1,21·cn·jy·com
sin+sin=+=≠1.
∴sin(+)≠sin+sin.
只有在某些特殊情况下,sin(α+β)=sinα+sinβ,
例如,当α=0,β=时,
sin(0+)=sin=,sin0+sin=0+=,
∴sin(0+)=sin0+sin.
在学习时一定要注意:不能把sin(α+β)按分配律展开.
(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简sin20°cos50°-sin70°cos40°,要能观察出此式等于sin(20°-50°)=-sin30°=-.www.21-cn-jy.com
(4)灵活运用和(差)角公式.例如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ,不要将sin(α+β),cos(α+β)展开,而应就整个式子,直接运用公式sin［(α+β)-β］=sinα,这也是公式的逆用.【来源：21·世纪·教育·网】
4.两角和与差的正切公式的推导
当cos(α+β)≠0时,将公式S(α+β),C(α+β)的两边分别相除,有tan(α+β)=.
当cosα·cosβ≠0时,将上式的分子、分母分别除以cosα·cosβ,得
tan(α+β)=(T(α+β)).
由于tan(-β)==-tanβ.
在T(α+β)中以-β代β,可得
tan(α-β)=(T(α-β)).
5.关于两角和与差的正切公式要注意几个问题
(1)公式适用范围.
因为y=tanx的定义域为x≠+kπ,k∈Z.
所以T(α±β)只有在α≠+kπ,β≠+kπ,α±β≠+kπ时才成立,否则不成立,这是由任意角的正切函数的定义域所决定的.21教育网
当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T(α±β)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法.例如,化简tan(-β),因为tan的值不存在,不能利用公式T(α-β),所以改用诱导公式.2·1·c·n·j·y
(2)注意公式的逆向运用
=tan［(α+β)-β］=tanα,
=tan(45°+α).
(3)变形应用
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),
tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),
如tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β),
tan(α+β)-tanα-tanβ=tanαtanβtan(α+β).
活学巧用
1.在△ABC中,若sinAsinB＜cosAcosB,则此三角形的外心位于它的( )
A.内部 B.外部 C.一边上 D.不确定
解析:cosAcosB-sinAsinB＞0,
即cos(A+B)＞0,∴-cosC＞0.
∴cosC＜0.
∴C为钝角.
∴△ABC为钝角三角形.
∴三角形的外心位于它的外部.
答案:B
2.化简下列各式:
(1)cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°-3α);
(2)sin(x+)+2sin(x-)-cos(-x);
(3).
解析:(1)原式=cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)sin(35°+3α)
=cos［(80°+3α)-(35°+3α)］=cos45°=.
(2)原式=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin-coscosx-sinsinx
=sinx-cosx+cosx-sinx=0.
(3)原式=
==tan(α-β).
答案:(1);(2)0;(3)tan(α-β).
3.已知cos(α+β)=-,cos2α=-,α、β均为钝角,求sin(α-β).
解析:∵α、β∈(90°,180°),∴α+β,2α∈(180°,360°).∵cos(α+β)=- ＜0,cos2α=-＜0.21世纪教育网版权所有
∴α+β,2α∈(180°,270°).∴sin(α+β)=,sin2α=.
∴sin(α-β)=sin［2α-(α+β)］=sin2αcos(α+β)-cos2α·sin(α+β)
=(-)×(-)-(-)()=.
答案:.
4.求下列各式的值.
(1)
(2)
(3).
解:(1)原式=tan(75°-15°)=tan60°=.
(2)原式===tan(55°-25°)=tan30°=.
(3 ==tan(60°-15°)=tan45°=1.
答案:(1)3;(2) ;(3)1.
5.化简求值:(3+tan30°tan40°+tan40°tan50°+tan50°tan60°)·tan10°.
解:原式=(1+tan30°tan40°+1+tan40°tan50°+1+tan50°tan60°)·tan10°,
因为tan10°=tan(40°-30°)=
所以1+tan40°tan30°=.
同理,1+tan40°tan50°=,
1+tan50°tan60°=.
所以原式=(++)·tan10°
=tan40°-tan30°+tan50°-tan40°+tan60°-tan50°
=-tan30°+tan60°
=.
6.tan12°+tan33°+tan12°tan33°的值为_______________.
解析:因为tan45°=tan(12°+33°)==1,
所以原式=tan12°tan33°+1-tan12°tan33°=1.
答案:1
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
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1.二倍角公式
(1)二倍角公式的正弦、余弦、正切公式
sin2α=2sinαcosα,(S2α)
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,(C2α)
tan2α=,(T2α)
这组公式要记准、记熟、用活.
下面给出这组公式的推导:
∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
当α=β时,有sin2α=2sinαcosα.
∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,
当α=β时,有cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1(sin2α=1-cos2α)=1-2sin2α(cos2α=1-sin2α).
∵tan(α+β)=,
当α=β时,有tan2α=.
公式S2α、C2α中,α∈R,公式T2α中的α≠kπ+且α≠kπ+ (k∈Z).
从上面的公式推导中可以看到二倍角公式是和角公式的特殊情况.
(2)关于倍角公式应注意的几个问题:
①推导思路:在正弦、余弦、正切的和角公式中,令两角相等,就得相应倍角公式.由此,倍角公式是和角公式的特例.21教育网
②公式的适用范围:
公式S2α、C2α中,角α可以为任意角,
但公式T2α只有当α≠+kπ及α≠+ (k∈Z)时才成立,否则不成立.当α=+kπ,k∈Z,虽然tanα的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式.21世纪教育网版权所有
③对于“二倍角”要有广义理解,如4α是2α的2倍;α作为的2倍;作为的2倍;3α作为的2倍;作为的2倍等.21cnjy.com
2.二倍角公式的变形
(1)公式逆用
2sinαcosα=sin2α,
sinαcosα=sin2α,cosα=,
cos2α-sin2α=cos2α,=tan2α.
(2)公式的逆向变换及有关变形
1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,
1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,
cos2α=,sin2α=.
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1.已知sinα+cosα=,且0＜α＜π,求sin2α、cos2α、tan2α的值.
解析:方法一:∵sinα+cosα=,∴sin2α+cos2α+2sinαcosα=.∴sin2α=且sinαcosα=＜0.21·cn·jy·com
∵0＜α＜π,sinα＞0,∴cosα＜0.∴sinα-cosα＞0.
∴sinα-cosα=.
∴cos2α=cos2α-sin2α=(sinα+cosα)(cosα-sinα)=×(-)=.
tan2α=.
方法二:∵sinα+cosα=,平方得sinαcosα=,
∴sinα、cosα可看成方程x2-x=0的两根,
解方程x2-x=0,得x1=,x2=.∵α∈(0,π),∴sinα＞0.∴sinα=, cosα=.∴sin2α=2sinαcosα=,cos2α=cos2α-sin2α=,tan2α=.www.21-cn-jy.com
答案:sin2α=,cos2α=,tan2α=.
2.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈［0, ］,求f(x)的最大值、最小值.
解析:f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x
=cos2x-sin2x=2cos(2x+).
(1)T==π.
(2)0≤x≤,0≤2x≤π,≤2x+≤,-1≤cos(2x+)≤,∴-2≤2cos(2x+)≤1.2·1·c·n·j·y
∴f(x)max=1,f(x)min=-2.
答案:(1)π;(2)f(x)max=1,f(x)min=-2.
3.已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R.当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.
解析:y=cos2x+sinxcosx+1=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1
=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+.y取得最大值必须且只需2x+=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z.所以量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}.
3.2 简单的三角恒等变换
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1.二倍角公式的变形应用
由cosα=2cos2-1=1-2sin2,得
cos=±,sin=±,
把以上两式相除得tan=±,在公式中,特别要注意根号前的双重符号,它决定于所在的象限.
案例1 已知cosα=-,180°＜α＜270°,求sin,cos,tan.
解析:∵180°＜α＜270°,∴90°＜＜135°,
即是第二象限的角.
∴sin＞0,cos＜0,tan＜0.
∴sin==,
cos=-=,
tan=.
答案:sin=,cos=-,tan=-2.
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1.已知cosα=,求sin,cos,tan的值.
解析:sin=±=±=±,
cos=±=±=±,
tan=±.
答案:sin=±,cos=±,tan=±.
2.求证:sin2α.
证明:方法一:左边==
=cosαsinα=sin2α=右边,
∴原式成立.
方法二:左边=sinαcosα =sin2α=右边.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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1.向量的物理背景与概念
在物理学中我们知道位移与力都是既有大小，又有方向的量，我们把这种既有大小又有方向的量叫做向量.而把只有大小没有方向的量叫做数量.如年龄、身高、长度、面积、体积、质量.向量在物理学中常称为矢量，数量在物理学中常称为标量.21cnjy.com
图2-1-1
2.向量的几何表示
对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向.一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.如图2-1-1,以A为起点，B为终点的有向线段记作.向量也可用字母a,b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如、.21教育网
3.向量的大小
已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
案例1 关于零向量，有下列说法：
①零向量是没有方向的；
②零向量的长度为0；
③零向量与任一向量平行；
④零向量的方向是任意的.
其中正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【思路解析】 零向量的方向是任意的，并不是没有方向，故④正确，由零向量的概念及规定，②③也是正确的，故正确的个数为3个.21·cn·jy·com
【答案】 D
4.平行向量
图2-1-2
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行，通常记作a∥b.规定零向量与任一向量平行，平行向量也叫共线向量.如图2-1-4，a，b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出=a，=b，=c.即任一组平行向量都可以移动到同一直线上.所以平行向量也叫共线向量.
5.相等向量
图2-1-3
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，如图2-1-3所示，用有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.www.21-cn-jy.com
活学巧用
1.有下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：本题主要考查向量的概念确定一个量是不是向量，就是看它是否同时具备大小与方向两个要素.由物理知识可知，速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量，而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，不是向量.2·1·c·n·j·y
答案：D
2.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字，如图是中国象棋的半个棋盘（4×8个矩形，每个小方格都是单位正方形），若马在A处，可跳到A1，也可跳到A2，用向量，表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了“一步”的所有情况.
图2-1-4
答案：如图所示.
图2-1-5
3.一运输汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点，
（1）作出向量，，；
（2）求||.
图2-1-6
解析：(1)如图2-1-6.
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线.
又||=||，∴在四边形ABCD中，ABCD.
∴四边形ABCD为平行四边形.∴||=||=200 km.
4.给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|=|b|,则a=b;
③若，则四边形ABCD是平行四边形；
④平行四边形ABCD中，一定有；
⑤若m=n,n=k,则m=k;
⑥若a∥b,b∥c,则a∥c.
其中不正确的命题的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确.根据向量相等的意义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确.③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一条直线上.零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b=0,则a与c就不一定平行了.因此⑥也不正确.21世纪教育网版权所有
答案：C
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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1.向量求和的三角形法则
已知向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和向量，记作a+b，即a+b=+=.这种求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则.（如图2-2-1所示）21cnjy.com
图2-2-1
疑难疏引 ①由向量求和的三角形法则可知，两个向量的和仍为向量.
②向量求和的三角形法则的本质是两个加数向量的首尾相接，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.21·cn·jy·com
③当两个向量共线（平行）时，向量加法的三角形法则同样适用.
2.向量加法的运算性质
（1）对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.
(2)向量加法的交换律：a+b=b+a.
简证如下：
①若a、b不共线，作=a,=b,则A、B、C三点不共线，=a+b.
作=b，连结DC，（如图2-2-2），由于=，
∴四边形ABCD为平行四边形.∴DCAB.
∴||=||=|a|,又与同向，
∴=，此时有b+a=+=,
即有a+b=b+a.
②当a与b共线且同向时，a+b及b+a都与a同向，且|a+b|=|a|+|b|；|b+a|=|b|+|a|.a+b与b+a同向，故有a+b=b+a.www.21-cn-jy.com
③当a与b共线且反向时，不妨设|a|＞|b|,a+b与a同向，且|a+b|=|a|-|b|,b+a与a同向，且|b+a|=|a|-|b|.故a+b与b+a同向，因此a+b=b+a.【来源：21·世纪·教育·网】
综合①②③知a+b=b+a.
图2-2-2 图2-2-3
(3)向量加法的结合律：（a+b）+c=a+(b+c).
验证如下：如图2-2-3.（a+b）+c=+=,a+(b+c)= .
∴(a+b)+c=a+(b+c).
疑难疏引
向量加法的运算律同实数加法的运算律一致,都满足交换律与结合律.由于向量的加法具有这两个运算律,因此，对于多个向量加法的运算就可以按照任意的次序与组合来进行了.
3.向量求和的平行四边形法则
已知两个不共线的向量a，b，作=a，=b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b.这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.21·世纪*教育网
疑难疏引 两个向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，当两向量为共线向量时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了.因此在选用两个法则进行向量求和时应熟练、灵活.www-2-1-cnjy-com
4.向量加法的实际应用
向量的加法在日常生产、生活中应用广泛，主要体现在求两个或多个向量的和向量，可选用灵活的法则解决.2-1-c-n-j-y
案例1一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.【来源：21cnj*y.co*m】
【探究】 本题是用向量解决物理问题，可先用向量表示速度，再用向量的加法合成速度即可.
图2-2-4
【解】 如图2-2-4.表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC=30°,||=5 km/h.【版权所有：21教育】
∵四边形OACB为矩形，
∴||==10.
∴水流速度大小为km/h,船实际速度为10 km/h，与水流速度的夹角为30°.
【规律总结】 用向量解决实际问题的步骤为：①用向量表示实际量；②进行向量运算；③回扣实际问题，作出回答.21教育名师原创作品
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1.已知a∥b，试用向量加法的三角形法则作出向量a+b.
图2-2-5
解析：a∥b时，也可用向量加法的三角形法则求出其和向量.（1）作=a，=b.则a+b=+=.如图2-2-6所示.21*cnjy*com
图2-2-6 图2-2-7
(2)作=a，=b，则a+b=+=，如图2-2-7所示.
2.已知非零向量a，b，试说明|a+b|与|a|+|b|的大小.
解析：解答本题可用向量加法的三角形法则作出图形辅助解决，并且要注意分类讨论.
（1）当a，b不共线时，根据向量求和的三角形法则显然有|a+b|＜|a|+|b|.
(2)当a，b方向相同时，有|a+b|=|a|+|b|.
（3）当a，b方向相反时，有|a+b|＜|a|+|b|.综上有|a+b|≤|a|+|b|.
3.在矩形ABCD中，等于（ ）
A.+ B.+ C.+ D.+
解析：画出图形，帮助分析.若对向量求和的本质理解深刻了，也可直接按照向量加法的交换律运算.显然D选项中，+=+=.而其他的选项运算的结果不是.
答案：D
4.化简下列各式.
（1）++；
（2）++；
（3）++++.
分析：根据向量加法的运算律，对于多个向量求加法时，可以按照需要将向量组合，使之构成首尾相接，进行运算.第（1）个可以使用结合律转化为求++的和；第（2）个则可以直接运算；第（3）个各向量首尾相接，恰好构成一个向量链，因此可直接计算.
解：（1）++=++=.
(2)++=0.
(3) ++++=.
5.如图2-2-8,在ABCD中，已知有以下4个等式：①+=;②++ =;③++=;④++=0,其中正确的式子有___________个.（ ）21世纪教育网版权所有
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：本题要结合图形及向量加法的运算律对选项中的等式一一验证.
图2-2-8
①+=+=，故①正确；②++=++=≠，故②不正确；③++=+=≠，故③不正确；④++=++= +=+=0，故④正确.
答案：B
6.在正六边形中，若=a，=b，试用向量a、b将、、表示出来.
分析：如图2-2-9所示，在正六边形中，有很多菱形、三角形，这就为使用向量求和的三角形法则或平行四边形法则创造了条件.2·1·c·n·j·y
图2-2-9
解：设正六边形的中心为P，则=+=（+）+=2a+b，=+ =+=2a+2b，=+=2b+a.21*cnjy*com
7.轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置.21教育网
图2-2-10
解：如图2-2-10所示，设、分别是轮船两次位移，则表示两次位移的和位移，即=+.在Rt△ABD中，||=20 km,||=km.在Rt△ACD中, ||=km,∠CAD=60°,即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港km处.【出处：21教育名师】
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
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1.相反向量的定义
与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作-a.关于相反向量的结论有：①0的相反向量仍为0；②a+（-a）=（-a）+a=0；③-（-a）=a；④一个向量与它的相反向量是共线向量；⑤|a|=|-a|.21世纪教育网版权所有
2.利用相反向量定义向量的减法
在向量减法的定义中，b+=a，在上式中两边同时加上（-b），则=a+（-b）.即说明一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.a+（-b）通常省略加号，就是a-b，其实向量的差也就是向量的和.21教育网
3.两个向量差的几何作法
如图2-2-11,设向量=b，=a，则=-b，由向量减法的定义知=a+（-b）=a-b，
又b+=a，
∴=a-b.
图2-2-11
图2-2-12
由此我们得到a-b的作图方法.
如图2-2-12,已知a，b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
活学巧用
1.平行四边形ABCD中，若=a，=b，则正确的是（ ）
A.=a，=a-b B.=-a，=a-b
C.=-a，=b-a D.=b，=b-a
解析：∵与是相反向量，∴=-a，根据向量的减法=-=-a-（-b）=b-a.
答案：C
2.化简下列各式：
（1）-+--
（2）（-）-（-）
（3）.
解析：（1）-+--
=--（+）=-0=.
（2）（-）-（-）=（-）+-
=++=+=0.
（3）
3.如图2-2-13，已知a、b，求作a-b.
图2-2-13
作法：在平面内任取一点O，作=a，=b，则=-=a-b.
图2-2-14
点评：本作法是按向量减法的定义，将两向量的始点重合，则差向量是连起终点，方向指向被减向量.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
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1.向量数乘的定义及几何意义
（1）实数λ与a的积是一个向量，记作λa，它的长|λa|=|λ|·|a|.它的方向是这样定义的：当a≠0时，λ＞0，λa与a同向；λ＜0，λa与a反向；当λ=0或a=0时，0a=0或λ0=0.21cnjy.com
(2)根据向量数乘的定义,a与λa为共线向量，两者方向相同或相反（a≠0，λ≠0），在此前提下，λa可以理解为把a的长度扩大（|λ|＞1）或缩小（|λ|＜1）.由此可得向量数乘的几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.
疑难疏引①λa中的实数λ，叫做向量a的系数，此系数决定着λa与a的模的关系及方向相同或相反.
②向量数乘的特殊情况：当λ=0时，λa=0;当a=0时，λa=0.
③实数与向量可以求积，并且结果为一向量，但不能进行加、减运算，如λ+a，λ-a根本无意义.
2.向量数乘的运算律
向量数乘满足下列运算律：
设λ、μ为实数，则
（1）（λ+μ）a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)=λa+λb.
疑难疏引 向量数乘的运算律与中学代数中实数乘法的运算律极为相似，只是向量的数乘分配律由于因子的不同，可分为（λ+μ）a=λa+μa和λ（a+b）=λa+λb.但两者也有区别：中学代数中的实数运算的结果是一个数，只满足一种分配律，而向量的数乘的结果是一个向量，满足两种分配律.21·cn·jy·com
3.向量的线性运算
向量的加法、减法和向量数乘运算，通常叫做向量的线性运算，也叫做向量的初等运算.
案例1 （1）计算下列各式:①2(a+b)-3(a-b);
②3(a-2b+c)-(2c+b-a);
③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).
(2)设x、y是未知向量.
①解方程5(x+a)+3(x-b)=0,
②解方程组
【探究】 要解决（1）中的问题，需要用到数乘向量的运算律.包括：数乘向量的分配律及向量加、减法的运算律，其运算过程，类似“合并同类项”.（2）是解关于未知向量的方程或方程组，它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.2·1·c·n·j·y
【解】（1）①2(a+b)-3(a-b)=2a+2b-3a+3b=-a+5b.
②3(a-2b+c)-(2c+b-a)=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.
③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=a-b-a-b+a+b=(-+)a +(--+)b=0a+0b=0.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)①原方程可变为5x+5a+3x-3b=0,8x=-5a+3b.
∴x=.
②把第1个方程的-2倍与第2个方程相加，得y=-2a+b,从而y=-a+b.代入原来第2个方程得x=-a+b.21·世纪*教育网
∴
【规律总结】 向量的线性运算的最终结果是向量.进行向量线性运算的理论依据是向量数乘的运算法则.
4.利用向量数乘的定义和运算律解决几何问题
利用向量数乘的定义或运算律可以解决一些几何问题，例如在探求线段相等、三角形相似等问题上.
案例2 如图2-2-19，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，求证：MN∥BC，且MN=BC.
图2-2-19
【探究】把平面问题转化为向量问题解决非常方便，本题只需证明.
【证明】 ∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴=-=-=（-）=.
∴∥，且=||，即MN∥BC，且MN=BC.
【规律总结】 利用平面向量的知识证明平面几何问题，这是向量的一个重要应用，但应注意向量与线段是不同的，它既有大小，又有方向.21世纪教育网版权所有
活学巧用
1.已知a、b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由.
（1）2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的两倍；
（2）-2a与5a的方向相反，且-2a的模是5a的模的倍；
（3）-2a与2a是一对相反向量；
（4）a-b与-（b-a）是一对相反向量.
解析：（1）正确.∵2＞0,∴2a与a的方向相同.又|2a|=2|a|，∴（1）的说法正确.
（2）正确.∵5＞0,∴5a与a方向相同，且|5a|=5|a|，而-2＜0,∴-2a与a的方向相反，且|-2a|=2|a|，www-2-1-cnjy-com
∴5a与-2a的方向相反，且-2a是5a模的.故（2）的说法正确.
（3）正确.按照相反向量的定义可以判断.
（4）错误.因为-（b-a）与b-a是一对相反向量，而a-b与b-a是一对相反向量，故a-b与-（b-a）为相等向量.www.21-cn-jy.com
2.已知m、n为非零实数，a、b为非零向量，则下列命题正确的个数为（ ）
①m(a-b)=ma-mb ②(m-n)a=ma-na ③若ma=mb,则a=b ④若ma=na,则m=n
A.4 B.3 C.2 D.1
解析：①、②分别是向量数乘运算律中的分配律，因此正确；由于m≠0，故ma=mb能推出a=b，③正确；由于a≠0，故ma=na可得m=n.④正确.2-1-c-n-j-y
答案：A
3.计算下列各式：
（1）3(2a-b)-2(4a-3b);
(2)(4a+3b)-(3a-b)-b;
(3)2(3a-4b+c)-3(2a+b-3c).
分析：在计算过程中，要利用数乘向量的分配律，且在计算过程中要注意“合并同类项”的应用.
解：（1）3(2a-b)-2(4a-3b)
=6a-3b-8a+6b=-2a+3b.
(2) (4a+3b)-(3a-b)-b
=a+b-a+b-b
=(-)a+(1+-)b=a.
(3)2(3a-4b+c)-3(2a+b-3c)
=6a-8b+2c-6a-3b+9c
=(6-6)a-(8+3)b+(2+9)c
=-11b+11c.
4.已知a、b不共线.
（1）实数x、y满足等式3xa+(10-y)b=(4y+7)a+2xb,求出x、y的值；
（2）把满足3x-2y=a,-4x+3y=b的向量x、y用a、b表示出来.
分析：由于a、b不共线，故（1）式成立时，需满足等式左右a、b的系数相等，即3x=4y+7,10-y=2x.解方程组即得x、y.第（2）题实际上是解两个向量方程构成的方程组，其中x、y为未知向量，a、b为已知向量.21教育网
解：（1）∵a、b为不共线向量，要使等式3xa+(10-y)b=(4y+7)a+2xb成立，则有
解得
(2)
①×4+②×3得y=4a+3b.③
再将③代入①中得x=3a+2b.
∴
5.用向量证明：梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.已知：如图2-2-20，梯形ABCD中，E、F是两腰AD、BC的中点，求证：EF∥CD∥AB且EF=（AB+CD）.
图2-2-20
分析：用向量证明，只需证明∥∥且||=（||+||）.
证明：∵E、F分别是、的中点，
∴=-，=-,即=++，=++.
∴=（+++++）
=（+）.
又∵∥，∴设=λ.
∴=(λ+)=.
∴∥.又∵E、F、D、C四点不共线,
∴EF∥DC.同理,EF∥AB.
∴||=（||+||）.
∴EF=（AB+DC）.
2.3.1 平面向量基本定理
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1.平面向量基本定理的引入
如图2-3-1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.如图2-3-2,在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a.过点C作平行于的直线，与直线交于点M；过点C作平行于的直线，与直线交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使=λ1e1,=λ2e2,由于=+，所以a=λ1e1+λ2e2,即任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大方便.
图2-3-1 图2-3-2
2.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λe1+λe2.21世纪教育网版权所有
我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
3.夹角
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠A=θ(0°≤θ≤180°) 叫做向量a与b的夹角.如图2-3-321教育网
图2-3-3
4.两向量垂直
如果a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b.
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1.如图2-3-5,四边形OADB是以向量=a，=b为邻边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a、b表示、、.21cnjy.com
图2-3-5
解析：=-=a-b，BM===a-b.
∴=+=b+a-b=a+b.
又∵=a+b，得==a+b,
∴=-=a-b.
答案：=a+b,=a+b, =a-b.
2.如图2-3-6,已知=，=，用、表示，则等于（ ）
图2-3-6
A.+ B.-+
C.-- D.-
解析：=+=+=+（-）=+- =-+.
答案：B
2.3.2 平面向量的坐标表示及运算
2.3.3 平面向量共线的坐标表示
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1.正交分解
在不共线的两个向量中,垂直是一种重要情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.2·1·c·n·j·y
图2-3-14
如图2-3-14,光滑斜面上一个木块受到重力G的作用,产生两个效果,一是木块受平行于斜面的力F1的作用,沿斜面下滑;一是木块产生垂直于斜面的压力F2.也就是说,重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果,即G=F1+F2.G=F1+F2叫做把重力G分解.
2.向量的坐标表示
图2-3-15
如图2-3-15,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,对平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj.21cnjy.com
这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.a=(x,y)叫做向量的坐标表示.【来源：21·世纪·教育·网】
3.向量的直角坐标的意义
图2-3-16
如图2-3-16,在直角坐标平面中,以原点O为起点作=a,则点A的位置由向量a唯一确定.
设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示.21教育网
4.平面向量的坐标运算
(1)若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=(a1+b1,a2+b2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.21·cn·jy·com
(2)若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a-b=(a1-b1,a2-b2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.21·世纪*教育网
(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.www-2-1-cnjy-com
(4)若a=(a1,a2),λ∈R,则λa=(λa1,λa2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.2-1-c-n-j-y
5.平面向量坐标运算的证明
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)
=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2,
即a+b=(a1+b1,a2+b2).
用同样的方法可以证明:
a-b=(a1-b1,a2-b2),
λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2).
疑难疏引 已知A(x1,y1),B(x2,y2),
则AB=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).
活学巧用
1.若{e1,e2}为正交基底,设a=(x2+x+1)e1-(x2-x+1)e2(其中x∈R),则向量a位于( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：a=(x2+x+1,-x2+x-1),
x2+x+1=x2+x++=(x+)2+≥＞0,-x2+x-1=-(x2-x)-1=-(x2-x+)- =-(x-)2-≤-＜0,21世纪教育网版权所有
∴a位于第四象限.
答案：D
2.在直角坐标系xOy中,向量a、b、c的方向和长度如图2-3-17所示,分别求它们的坐标.
图2-3-17
解析：设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则a1=|a|·cos45°=2×=,a2=|a|·sin45°=2×=, b1=|b|·cos120°=3×(-)=-,b2=|b|·sin120°=3×=,c1=|c|·cos(-30°)=4×=,c2=|c|·sin(-30°)=4×(-)=-2,www.21-cn-jy.com
∴a=(),b=(-,),c=(,-2).
答案：a=(),b=(-,),c=(,-2).
3.设向量a、b的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a+b、a-b、3a、2a+3b的坐标.
解析：a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),
a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),
3a=3(-1,2)=(-3,6),
2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).21*cnjy*com
答案：a+b=(2,-3),a-b=(-4,7),3a=(-3,6),2a+3b=(7,-11).
4.已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求点C、D和CD的坐标.
解析：设C、D的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
由题意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).
∵=,=-,
∴(x1+1,y1-2)= (3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),
也就是(x1+1,y1-2)=(1,2),
(-1-x2,2-y2)=(1,2).
∴
∴
∴C、D的坐标分别为(0,4)、(-2,0).
因此CD=(-2,-4).
答案：C(0,4),D(-2,0),CD=(-2,-4).
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
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1.两向量共线的条件
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a、b共线(b≠0) a1b2-a2b1=0.
2.两向量共线条件的推导
若a、b共线(b≠0),则存在唯一实数λ,使a=λb.反之,如果存在一个实数λ,使a=λb(b≠0),则a、b共线.选择基底{e1,e2},如果a=(a1,a2),b=(b1,b2),21世纪教育网版权所有
则条件a=λb可化为(a1,a2)=λ(b1,b2)=(λb1,λb2),
那么a1=λb1,①
a2=λb2.②
①②两式的两边分别乘以b2、b1,得
a1b2=λb1b2,③
a2b1=λb2b1.④
③-④得a1b2-a2b1=0.
活学巧用
1.判断下列向量a与b是否共线.
(1)a=(,),b=(-2,-3);
(2)a=(0.5,4),b=(-8,64).
解析：(1) ×(-3)- ×(-2)=-+=0,∴a、b共线.
(2)0.5×64-4×(-8)=32+32=64≠0,∴a、b不共线.
答案：(1)a、b共线;(2)a、b不共线.
2.已知A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,-4),判断与是否共线?
解析：=(2,1)-(-2,-3)=(4,4),
=(-7,-4)-(1,4)=(-8,-8),
∵4×(-8)-4×(-8)=0,即与共线,
或=-2,∴∥.∴与共线.
答案：与共线.
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
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1.力做功的计算
如图2-4-1,一个力f作用于一个物体使物体发生位移s.由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ,真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力,这个分力与物体位移距离的乘积才是力f做的功,即w=|s|·|f|cosθ.21世纪教育网版权所有
图2-4-1
疑难疏引 f在物体前进方向上的分量,就是f在物体前进方向上的正射影的数量.
2.向量积数量积(内积)定义
(1)数量积(内积)定义
|a|·|b|·cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉.21·cn·jy·com
数量积定义中指明了平面向量数量积的运算程序和运算结果,即平面向量的数量积等于两向量模与其夹角的余弦的积,运算结果是一个实数,此数的符号由两向量夹角的余弦决定.
疑难疏引 ①当a≠0时,由a·b=0,不能推出b一定是零向量.②以一个向量与单位向量的数量积为例,其几何意义就是向量在单位向量上的正射影的数量.www.21-cn-jy.com
(2)平面向量数量积的性质
根据向量内积定义,可得数量积有如下重要性质:
①如果e是单位向量,则a·e=e·a=|a|·cos〈a,e〉;
②a⊥ba·b=0且a·b=0a⊥b;
③a·a=|a|2或|a|=;
④cos〈a,b〉=;
⑤|a·b|≤|a|·|b|.
以上是两个向量内积的五条性质,性质②给出了两向量垂直的充要条件;性质③求向量长度,在向量的内积运算中经常用到;性质④求两向量夹角公式,体现了向量的内积与三角的联系.21教育网
3.b在a方向上的投影
如图2-4-2,=b, =a,过B作BB1⊥,垂足为B1,则就叫b在a方向上的投影,且=|b|·cosθ.21cnjy.com
图2-4-2
当θ∈(0,)时,＞0;
θ=时,=0;
θ∈(,π)时,＜0.
活学巧用
1.一个大小为10牛顿的力作用于物体A(如图2-4-3),使之前行了5米,则该力所做的功为______________.2·1·c·n·j·y
图2-4-3
解析：由题意有f在位移s方向上的正射影的数量为|f|cos60°,即5牛顿,从而力所做的功为.
w=|f|·|s|·cos60°=5×5=25(焦耳).
答案：25焦耳
2.已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)〈a,b〉=时,分别求a与b的数量积.
解析：已知|a|与|b|,求a·b只需确定其夹角θ,需注意到a∥b时,有〈a,b〉=0和〈a,b〉=π两种可能.【来源：21·世纪·教育·网】
解：(1)∵a∥b,
∴a、b的夹角有两种情况,
即〈a,b〉=0或〈a,b〉=π.
于是〈a,b〉=0时,a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉=4×5×cosθ=20,
〈a,b〉=π时,a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉=4×5×cosπ=-20.
(2)a⊥b时,〈a,b〉=,∴a·b=|a|·|b|cos=0.
(3)〈a,b〉=时,a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉=5×4×cos=.
3.已知|a|=,|b|=1,a·b=-9,则〈a,b〉等于 ( )
A.120° B.150° C.60° D.30°
解析：本题是已知向量的模及它们的数量积,求夹角,利用夹角公式及夹角范围求之.
解:由题意有cos〈a,b〉=.
又0°≤〈a,b〉≤180°,
∴〈a,b〉=150°.
答案:B
4.如图2-4-4所示,已知轴l,
(1)||=5,〈,l〉=60°,求在l上的投影;
(2)向量||=5,〈,l〉=120°,求在l上的投影.
图2-4-4
解析：向量a在轴l上的正射影为al=|a|·cosθ.
解:(1)=5cos60°=5×=.
(2)=5cos120°=5(-cos60°)=5×(-)=-.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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1.向量内积的坐标运算
建立正交基底{e1,e2},已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=(a1e1+a2e2)(b1e1+b2e2)=a1b1e12+ (a1b2+a2b1)·e1·e2+a2b2e22.21世纪教育网版权所有
因为e1·e1=e2·e2=1,e1·e2=e2·e1=0,故a·b=a1b1+a2b2.
疑难疏引
(1)两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和,并且此式是在正交基底{e1,e2}下实现的.(2)引入坐标后,实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.
2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件,设a=(a1,a2),b=(b1,b2),如果a⊥b,则a1b1+a2b2=0,反之,若a1b1+a2b2=0,则a⊥b.当a⊥b时,若b1b2≠0,则向量(a1,a2)与(-b2,b1)平行,这是因为a⊥b,a1b1+a2b2=0,即a1b1=-a2b2,.两向量平行的条件是相应坐标成比例,所以(a1,a2)与(-b2,b1)平行,特别地,向量k(-b2,b1)与向量(b1,b2)垂直,k为任意实数.例如向量(3,4)与向量(-4,3)、(-8,6)、(12,-9)、…都垂直.21教育网
疑难疏引设a=(a1,a2),b=(b1,b2),
a1b1+a2b2=0a⊥b且a⊥ba1b1+a2b2=0.
3.向量的长度、距离和夹角公式
(1)已知a=(a1,a2),则|a|2=a2=a12+a22,即|a|=.
语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.
若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.
此式可视为A、B两点的距离公式.
(2)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),故cos〈a,b〉=.
特别提示:该处夹角公式是非零向量的夹角公式.
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1.设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,求实数t的值.
解析：利用a·b=|a|·|b|·cosθ建立方程,解方程即可.
a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),
(a+tb)·b=(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5,
|a+tb|=,
由(a+tb)·b=|a+tb|·|b|·cos45°得5t+5=,
即t2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.
经检验t=-3不合题意,舍去,只取t=1.
2.已知点A(2,3),若把向量绕原点O按逆时针旋转90°得向量,求点B的坐标.
解析：要求点B的坐标,可设为B(x,y),利用⊥,| |=||列方程解决之.
设点B坐标为(x,y),因为⊥,| |=||,
所以解得或(舍去).
所以B点坐标为(-3,2).
3.已知a=(2,-4),b=(1,1),求a与b的夹角θ.
解析：向量坐标已知,可利用夹角坐标公式解决.
a·b=(2,-4)·(1,1)=2+-4=-2,
|a|·|b|=
∴cosθ=.
又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.
4.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,求〈a,b〉的值.
解析：∵a+b+c=0,∴a+b=-c.
∴|a+b|=|c|.∴(a+b)2=c2,
即a2+2a·b+b2=c2.
∴a·b=.
∴cos〈a,b〉=÷(3×5)= .
∴〈a,b〉=.
2.5.1 平面几何中的向量方法
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1.向量在平面几何中的应用
向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.根据平面向量的基本定理,任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合,这样在证明几何命题时,可先把已知和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题.利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.
图2-5-1
例如求证平行四边形对角线互相平分,如图2-5-1所示,已知ABCD的两条对角线相交于点M,设=x,=y,则=x=x+x.21世纪教育网版权所有
=+=+y
=+y(-)=(1-y)+y.
于是我们得到关于基底{,}的的两个分解式.因为分解式是唯一的,所以
解得x=,y=.故M是、的中点,即对角线、在交点处互相平分.
通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为:
(1)建立平面几何与向量之间的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算,解决几何元素之间的关系.
(3)把运算结果翻译成几何关系.
疑难疏引 (1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时用到向量减法的定义.21教育网
(2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线是否平行,常运用向量共线的条件.
(3)证明线段的垂直问题,常用向量垂直的条件a⊥ba·b=0.
(4)求与夹角相关的问题,常用向量的夹角公式cosθ=.
2.向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中,有序实数对(x,y)既可表示一个固定的点,又可以表示一个向量.使向量与解析几何有了密切的联系.特别是有关直线的平行、垂直问题,可以用向量方法解决.21cnjy.com
例如:求通过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,2)的直线方程.
解:过点A且平行于向量a的直线是唯一确定的,把这条直线记为l,在l上任取一点P(x,y),则∥a.21·cn·jy·com
如果P不与A重合,由向量平行,它们的坐标满足条件,
整理得方程2x-3y+8=0.
反过来,所有以此方程的解(x,y)为坐标的点也一定在直线l上.所以这个方程就是所求的直线方程.
活学巧用
1.如图2-5-2,若D是△ABC内一点,且有AB2-AC2=DB2-DC2.
求证: AD⊥BC.
证明：欲证AD⊥BC,只需证明⊥即可.
图2-5-2
设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d.
∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2
=c2+2e·c-2e·d-d2.
由已知a2-b2=c2-d2,
∴c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2.
故有e·(d-c)=0.
∴⊥,即⊥.
2.平面内三点A、B、C在一条直线上,=(-2,m) =(n,1),=(5,-1),且⊥,求实数m、n的值.www.21-cn-jy.com
解析：因为A、B、C三点共线,所以=λ.
因为=-=(7,-1-m),=-=(n+2,1-m),
所以(7,-1-m)=λ(n+2,1-m).
①
所以m·n=5m+n+9=0.
由·=0,得m-2n=0.②
由①②得或
3.下图2-5-3所示是并列的三个大小相同的正方形,求证:∠1+∠2+∠3=90°.
图2-5-3
证明：以O为坐标原点,OC、OG所在的直线为x、y轴建系如上图,设正方形边长为1,则=(3,1),=(2,1),作向量=(3,-1),则与的夹角等于∠2+∠3.
∵||=5,| |=10, ·=2×3+1×(-1)=5,
∴cos〈,〉=.
∵〈,〉∈［0°,180°］,
∴〈,〉=45°,即∠2+∠3=45°.
∵∠1=45°,∴∠1+∠2+∠3=90°.
2.5.2 向量在物理中的应用举例
互动课堂
疏导引导
1.力向量
力向量与前面学过的向量不同,它不是自由向量,它不仅包括大小和方向,而且还有作用点.大小相同、方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不同的两个力,但力是具有大小和方向的量,在不计作用点的情况下,可利用向量运算法则进行计算.
案例 在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅直线的两侧,与铅直线的夹角分别为30°、60°(如图2-5-5),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.21cnjy.com
【探究】注意到两根绳子的夹角为90°,因此可将问题转化到直角三角形中,作OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°,∠OAC=90°,21·cn·jy·com
||=||·cos30°=N,
||=||·sin30°=150 N,
||=||=150 N.
图2-5-5
2.速度向量
速度向量是具有大小和方向的量,质点在运动中时刻都有对应的速度向量,如东北风50 m/s,可用图2-5-6中有向线段表示.www.21-cn-jy.com
图2-5-6
【规律总结】 (1)力速度、加速度、位移都是向量,向量的加减法即以上向量的合成与分解.
(2)动量mv是数乘向量.
(3)功即力F与所产生位移s的数量积.
(4)学习本节课要注意两个方面的问题:一方面是如何把物理问题转化为数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型,另一方面就是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相应的物理现象.2·1·c·n·j·y
活学巧用
1.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,求河水的流速.【来源：21·世纪·教育·网】
图2-5-7
解析：如图2-5-7所示,设河水流速为v1,实际航向与水流方向的夹角为α,则sinα==,所以α=30°.21世纪教育网版权所有
|v1|=(km/h),即水的流速大小为km/h.
2.今有一小船位于d=60 m宽的河边P处,从这里起,在下游l=80 m的L处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布,若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行),水速大小为5 m/s.如图2-5-8所示,为使小船能安全渡河,船速不能小于多少?划速最小时划速方向如何?
图2-5-8
解析：设该船的划速为v划,方向与上游河岸夹角为α,如图2-5-9所示,将v划正交分解为v1,v2,则v1=v划cosα,v2=v划sinα.21教育网
图2-5-9
船同时参与两个分运动,设船到达对岸时极其靠近河流与瀑布交界处.
由即,
∴v划=.
令y=3cosα+4sinα=5sin(α+β)(tanβ=).
∴β=37°.当sin(α+β)=1时,v划有最小值3.
此时α=90°-37°=53°.
