第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三课时
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯．教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解．这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．
思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答．
1．化简下列各式：
(1)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ；
(2)－－sinx－cosx；
(3)＋.
答案：(1)cosα；(2)0；(3)1.
2．证明下列各式：
(1)＝；
(2)tan(α＋β)tan(α－β)(1－tan2αtan2β)＝tan2α－tan2β；
(3)－2cos(α＋β)＝.
答案：证明略．
教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课．
推进新课
①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.
②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.
活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法．教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例．在应用公式时，还要注意角的相对性，如α＝(α＋β)－β，＝(α－)－(－β)等．让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养．
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ〔S(α±β)〕；
cos(α±β)＝cosαcosβ sinαsinβ〔C(α±β)〕；
tan(α±β)＝〔T(α±β)〕．
讨论结果：略．
思路1
例1利用和差角公式计算下列各式的值．
(1)sin72°cos42°－cos72°sin42°；
(2)cos20°cos70°－sin20°sin70°；
(3).
活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成．对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现(1)同公式S(α－β)的右边，(2)同公式C(α＋β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果．再看(3)式与T(α＋β)右边形式相近，但需要进行一定的变形．又因为tan45°＝1，原式化为，再逆用公式T(α＋β)即可解得．
解：(1)由公式S(α－β)，得
原式＝sin(72°－42°)＝sin30°＝.
(2)由公式C(α＋β)，得
原式＝cos(20°＋70°)＝cos90°＝0.
(3)由公式T(α＋β)，得
原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝.
点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式．与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.
变式训练1．化简求值：(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(3)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．解：(1)原式＝sin(14°－44°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－.(2)原式＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.(3)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.2．计算.解：原式＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－.
例2已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)的定义域为R，设θ∈[0,2π]，若f(x)为偶函数，求θ的值．
活动：本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题，其难度较小，只需利用偶函数的定义，加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可，但不容易得到满分．教师可先让学生自己探究，独立完成，然后教师进行点评．
解：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)，
即－sinxcosθ＋cosxsinθ＋cosxcosθ－sinxsinθ
＝sinxcosθ＋cosxsinθ＋cosxcosθ＋sinxsinθ.
∴sinxcosθ＋sinxsinθ＝0.
∴sinx(sinθ＋cosθ)＝0对任意x都成立．
∴sin(θ＋)＝0，即sin(θ＋)＝0.
∴θ＋＝kπ(k∈Z)．∴θ＝kπ－(k∈Z)．
又θ∈[0,2π)，∴θ＝或θ＝.
点评：本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解．教师应提醒学生注意，如果将本例变为选择或填空，可利用特殊值快速解题，作为解答题利用特殊值是不严密的，以此训练学生逻辑思维能力.
变式训练已知：<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2β的值．解：∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<.又∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，∴sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－.∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－×＋(－)×＝－.
例3求证：cosα＋sinα＝2sin(＋α)．
活动：本题虽小但其意义很大，从形式上就可看出来，左边是两个函数，而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视．对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S(α＋β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励．同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S(α＋β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数．
证明：方法一：右边＝2(sincosα＋cossinα)＝2(cosα＋sinα)
＝cosα＋sinα＝左边．
方法二：左边＝2(cosα＋sinα)＝2(sincosα＋cossinα)
＝2sin(＋α)＝右边．
点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质．本例的方法二将左边的系数1与分别变为了与，即辅助角的正、余弦．关于形如asinx＋bcosx(a，b不同时为零)的式子，引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x＋φ)的形式．一般情况下，如果a＝Acosφ，b＝Asinφ，那么asinx＋bcosx＝A(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝Asin(x＋φ)．由sin2φ＋cos2φ＝1，可得
A2＝a2＋b2，A＝±，不妨取A＝，于是得到cosφ＝，sinφ＝，从而得到tanφ＝，因此asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx＋bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式．化为这种形式可解决asinx＋bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等．教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质．因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点，再结合续内容的倍角公式，在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.
变式训练化简下列各式：(1)sinx＋cosx；(2)cosx－sinx.解：(1)原式＝2(sinx＋cosx)＝2(cossinx＋sincosx)＝2sin(x＋)．(2)原式＝2(cosx－sinx)＝2(sincosx－cossinx)＝2sin(－x).
例4(1)已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值；
(2)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求.
活动：对于(1)，教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α＋β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα，tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路．在(2)中，我们欲求，若利用已知条件直接求tanα，tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S(α＋β)、S(α－β)发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而化切为弦正是，由此找到解题思路．教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答．
解：(1)∵α＋β＝45°，∴tan(α＋β)＝tan45°＝1.
又∵tan(α＋β)＝，
∴tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
即tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴原式＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2.
(2)∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝，
①
sinαcosβ－cosαcosβ＝.
②
①＋②，得sinαcosβ＝，
①－②，得cosαsinβ＝，
∴＝＝＝5.
点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α＋β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.
变式训练1．求(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)的值．解：原式＝[(1＋tan1°)(1＋tan44°)][(1＋tan2°)(1＋tan43°)]…[(1＋tan22°)(1＋tan23°)](1＋tan45°)＝2×2×2×…×2＝223.2．计算：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.解：原式＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1.
课本本节练习5～7.
解答：
5．解：(1)原式＝sin90°＝1.
(2)原式＝cos60°＝.
(3)原式＝tan45°＝1.
(4)原式＝－sin60°＝－.
(5)原式＝－cos60°＝－.
(6)原式＝sin20°(－cos70°)＋(－cos20°)sin70°
＝－(sin20°cos70°＋cos20°sin70°)＝－sin90°＝－1.
6．解：(1)原式＝sincosx－cossinx＝sin(－x)．
(2)原式＝2(sinx＋cosx)＝2sin(x＋)．
(3)原式＝2(sinx－cosx)＝2sin(x－)．
(4)原式＝2(cosx－sinx)＝2sin(－x)．
点评：将asinx＋bcosx转化为Asin(x＋φ)或Acos(x＋φ)的形式，关键在于“凑”和(或差)角公式．
7．解：由sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，可得
sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(α－β－α)＝－sinβ＝，
∴sinβ＝－.又β是第三象限角，
∴cosβ＝－.
∴sin(β＋)＝sinβcos＋cosβsin＝.
已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个根为tanα、tanβ，求tan(α＋β)的值．
解：由韦达定理，得tanα＋tanβ＝－，tanαtanβ＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝.
1．先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题．
2．教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题，灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等．推导并理解公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题．
1．本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧．因此，本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．特别是给出了形如“asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法．
2．对于习题课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法，争取一题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法巩固．
一、和角与差角公式应用的规律
两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：①配角的方法：通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如α＝(α＋β)－β，α＝(α＋β)＋(α－β)等；②公式的逆用与变形公式的活用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形；③“1”的妙用：在三角函数式中，有许多关于“1”的“变形”，如1＝sin2α＋cos2α，也有1＝sin90°＝tan45°等．
二、备用习题
1．在△ABC中，sinAsinB
)
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
答案：B
2.cos－sin的值是(
)
A．0
B．－
C.
D．2
答案：C
3．在△ABC中，有关系式tanA＝成立，则△ABC为(
)
A．等腰三角形
B．A＝60°的三角形
C．等腰三角形或A＝60°的三角形
D．不能确定
答案：C
4．若cos(α－β)＝，cosβ＝，α－β∈(0，)，β∈(0，)，则有(
)
A．α∈(0，)
B．α∈(，π)
C．α∈(－，0)
D．α＝
答案：B
5．求值：＝__________.
答案：
6．若sinα·sinβ＝1，则cosα·cosβ＝__________.
答案：0
7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝__________.
答案：－
8．求函数y＝2sin(x＋10°)＋cos(x＋55°)的最大值和最小值．
答案：解：∵y＝2sin(x＋10°)＋cos[(x＋10°)＋45°]
＝2sin(x＋10°)＋cos(x＋10°)－sin(x＋10°)
＝sin(x＋10°)＋cos(x＋10°)
＝cos[(x＋10°)＋45°]
＝cos(x＋55°)，
又∵－1≤sin(x＋55°)≤1，
∴当x＋55°＝k·360°－90°，
即x＝k·360°－145°(k∈Z)时，ymin＝－；
当x＋55°＝k·360°＋90°，
即x＝k·360°＋35°(k∈Z)时，ymax＝.
9．求tan70°＋tan50°－tan50°tan70°的值．
答案：解：原式＝tan(70°＋50°)(1－tan70°tan50°)－tan50°tan70°
＝－(1－tan70°tan50°)－tan50°tan70°
＝－＋tan70°tan50°－tan50°tan70°
＝－.
∴原式的值为－.
10．已知sinβ＝m·sin(2α＋β)．
求证：tan(α＋β)＝tanα.
答案：证明：由sinβ＝msin(2α＋β)
sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]
sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]
(1－m)·sin(α＋β)cosα
＝(1＋m)·cos(α＋β)sinα
tan(α＋β)
＝tanα.
点评：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一个整体来处理．此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明．
11．化简－2cos(A＋B)．
答案：解：原式＝
＝
＝＝.
点评：本题中三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角．一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点．
12．已知5sinβ＝sin(2α＋β)．求证：2tan(α＋β)＝3tanα.
答案：证明：∵β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α，
∴5sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.
∴2sin(α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα.
∴2tan(α＋β)＝3tanα.
点评：注意到条件式的角是β和2α＋β，求证式中的角是α＋β和α，显然“不要”的角β和2α＋β应由要保留下来的角α＋β与α来替代．三角条件等式的证明，一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代，然后选择恰当的公式变形．三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此，看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析．常见的变角方式有：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α－β＝(α－β)＋α当然变换形式不唯一，应因题而异，要具体问题具体分析．第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第二课时
教学分析
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．
2．通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．
3．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等．另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．
三维目标
1．在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．
2．通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
3．通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质．
重点难点
教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导．
教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α－β)与cos(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)．本节课我们共同研究公式的推导及其应用．
思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备．若sinα＝，α∈(0，)，cosβ＝，β∈(0，)，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．学生利用公式C(α－β)很容易求得cos(α－β)，但是如果求cos(α＋β)的值就得想法转化为公式C(α－β)的形式来求，此时思路受阻，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式．
推进新课
①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来．
②在公式C(α－β)中，角β是任意角，请学生思考角α－β中β换成角－β是否可以？此时观察角α＋β与α－(－β)之间的联系，如何利用公式C(α－β)来推导cos(α＋β)＝？
③分析观察C(α＋β)的结构有何特征？
④在公式C(α－β)、C(α＋β)的基础上能否推导sin(α＋β)＝？sin(α－β)＝？
⑤公式S(α－β)、S(α＋β)的结构特征如何？
⑥对比分析公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)，能否推导出tan(α－β)＝？tan(α＋β)＝？
⑦分析观察公式T(α－β)、T(α＋β)的结构特征如何？
⑧思考如何灵活运用公式解题？
活动：对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α，β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α－β)与cos(α＋β)中角的内在联系，学生有的会发现α－β中的角β可以变为角－β，所以α－(－β)＝α＋β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α＋β化成差角α－(－β)的形式〕．这时教师适时引导学生转移到公式C(α－β)上来，这样就很自然地得到
cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]
＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)
＝cosαcosβ－sinαsinβ.
所以有如下公式：
我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α＋β)．
对问题②，教师引导学生细心观察公式C(α＋β)的结构特征，可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C(α－β)进行记忆，并填空：cos75°＝cos(__________)＝__________＝__________.
对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式(5)(6)来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2α＋cos2α＝1来互化，此法让学生课下进行)，因此有
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)－β]
＝cos(－α)cosβ＋sin(－α)sinβ
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
在上述公式中，β用－β代之，则
sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)
＝sinαcosβ－cosαsinβ.
因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α＋β)、S(α－β)．
sin α＋β ＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin α－β ＝sinαcosβ－cosαsinβ.
对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美．为强化记忆，教师可让学生填空，如sin(θ＋φ)＝____________________，sincos＋cossin＝__________.
对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后，自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α－β)＝？，tan(α＋β)＝？呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．
当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝＝.
如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子、分母同除以cosαcosβ得
tan(α＋β)＝，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有
tan(α－β)＝＝.
由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(α－β)、T(α＋β)．
tan α＋β ＝，tan α－β ＝.
对问题⑥，让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于＋kπ(k∈Z)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．
对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C(α＋β)、S(α＋β)、T(α＋β)叫和角公式；S(α－β)、C(α－β)、T(α－β)叫差角公式．并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T(α±β
)处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(－β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(－β)＝＝来处理等．
思路1
例1已知sinα＝－，α是第四象限角，求sin(－α)，cos(＋α)，tan(－α)的值．
活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求．再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等．例如本题中，要先求出cosα，tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成．
解：由sinα＝－，α是第四象限角，得cosα＝＝＝.
∴tanα＝＝－.
于是有sin(－α)＝sincosα－cossinα＝×－×(－)＝，
cos(＋α)＝coscosα－sinsinα＝×－×(－)＝，
tan(α－)＝＝＝＝－7.
点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯．
变式训练1．不查表求cos75°，tan105°的值．解：cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝×－×＝，tan105°＝tan(60°＋45°)＝＝＝－(2＋)．2．设α∈(0，)，若sinα＝，则sin(α＋)等于(
)A.
B.
C.
D．4答案：A
例2已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β∈(π，)．
求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．
活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系．根据公式S(α－β)、C(α＋β)、T(α＋β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号．
解：由sinα＝，α∈(，π)，得
cosα＝－＝－＝－，∴tanα＝－.
又由cosβ＝－，β∈(π，)，得
sinβ＝－＝－＝－，
∴tanβ＝.
∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×(－)－(－)×(－)＝.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝(－)×(－)－×(－)＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝＝.
点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.
变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识．解：设电视发射塔高CD＝x米，∠CAB＝α，则sinα＝，在Rt△ABD中，tan(45°＋α)＝tanα.于是x＝－30，又∵sinα＝，α∈(0，)，∴cosα≈，tanα≈.tan(45°＋α)＝≈＝3，∴x＝－30＝150(米)．答：这座电视发射塔的高度约为150米.
例3在△ABC中，sinA＝(0°活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的．同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力．教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子．教师要提醒学生注意角的范围这一隐含条件．
解：∵在△ABC中，A＋B＋C＝180°，∴C＝180°－(A＋B)．
又∵sinA＝且0°又∵cosB＝且45°∴sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝×＋×＝，
cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB
＝×－×＝.
点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用，解决三角形问题时，要注意三角形内角和等于180°这一隐含条件.
变式训练在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是(
)A．锐角三角形
B．钝角三角形C．直角三角形
D．等腰非直角三角形答案：C
思路2
例1若sin(＋α)＝，cos(－β)＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．
活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值．尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答．对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键．学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它．对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等．如教师可变换α，β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值．
解：∵0<α<<β<，∴<＋α<π，－<－β<0.
又sin(＋α)＝，cos(－β)＝，
∴cos(＋α)＝－，sin(－β)＝－.
∴cos(α＋β)＝sin[＋(α＋β)]＝sin[(＋α)－(－β)]
＝sin(＋α)cos(－β)－cos(＋α)sin(－β)
＝×－(－)×(－)＝－.
本题是典型的变角问题，即把所求角利用已知角来表示，实际上就是化归思想．这需要巧妙地引导，充分让学生自己动手进行角的变换，培养学生灵活运用公式的能力.
变式训练已知α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝.求cos(α＋)的值．解：∵α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，∴<α＋β<2π，<β－<.∴cos(α＋β)＝，cos(β－)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)＝×(－)＋(－)×＝－.
例2化简
＋＋.
活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评．
解：原式＝＋＋
＝＋＋
＝
＝0.
点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.
变式训练化简.解：原式＝＝＝＝tan(β－α).
课本本节练习1～4.
1．(1)，(2)，(3)，(4)2－.
2..
3..
4．－2.
已知0<β<，<α<，cos(－α)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵<α<，∴－<－α<0.
∴sin(－α)＝－＝－.
又∵0<β<，∴<＋β<π，cos(＋β)＝－＝－.
∴sin(α＋β)＝－cos(＋α＋β)＝－cos[(＋β)－(－α)]
＝－cos(＋β)cos(－α)－sin(＋β)sin(－α)
＝－(－)×－×(－)＝.
1．先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．
2．教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想，并要正确熟练地运用公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．
1．本节课是典型的公式教学模式，是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”．它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生、发展的过程．同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而使学生领会了数学中重要的数学思想——转化思想，并培养他们主动利用转化思想指导探索解决数学问题的能力．
2．纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导、证明方法，熟练应用公式解决简单的问题．同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感．第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时
导入新课
思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(＋α)－(－α)，＋α＝－(－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开．
思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，本节主要研究函数y＝asinx＋bcosx的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．
推进新课
①三角函数y＝sinx，y＝cosx的周期，最大值和最小值是多少？
②函数y＝asinx＋bcosx的变形与应用是怎样的？
③三角变换在几何问题中有什么应用？
活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y＝sinx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，且最小正周期是2π，函数y＝sin2x的周期是kπ(k∈Z且k≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．
函数y＝asinx＋bcosx＝(sinx＋cosx)，
∵()2＋()2＝1，从而可令＝cosφ，＝sinφ，
则有asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)
＝sin(x＋φ)．
因此，我们有如下结论：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．
我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．
讨论结果：
①y＝sinx，y＝cosx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.
②～③(略)见活动．
思路1
例1如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，先找出S与α之间的函数关系，再求函数的最值．
找S与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：
S＝AB·BC＝(cosα－sinα)sinα＝sinαcosα－sin2α.
求这种y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx＋φ)型的三角函数求最值．
教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，可分两步进行：
(1)找出S与α之间的函数关系；
(2)由得出的函数关系，求S的最大值．
解：在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα，
图1
在Rt△OAD中，＝tan60°＝，
所以OA＝DA＝BC＝sinα.
所以AB＝OB－OA＝cosα－sinα.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝(cosα－sinα)sinα
＝sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α－
＝(sin2α＋cos2α)－
＝sin(2α＋)－.
由于0<α<，所以当2α＋＝，
即α＝时，S最大＝－＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP＝α”，结论改成“求矩形ABCD的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD＝x，S＝x(－x)，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.
变式训练已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．解：(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1)＝2(sinωx－cosωx)－1＝2sin(ωx－)－1.由－1≤sin(ωx－)≤1，得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，可知函数f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图象和性质，可知y＝f(x)的周期为π，又由ω>0，得＝π，即得ω＝2.于是有f(x)＝2sin(2x－)－1，再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．点评：本题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.
例2求函数y＝sin4x＋2sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．
解：y＝sin4x＋2sinxcosx－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋sin2x
＝sin2x－cos2x
＝2sin(2x－)．
故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，]，[，π]．
点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.
变式训练已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x，(1)求f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0，]，求f(x)的最大、最小值．解：f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x＝cos2x－sin2x＝cos(2x＋)，所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]．当2x＋＝时，cos(2x＋)取得最大值，当2x＋＝π时，cos(2x＋)取得最小值－1.所以，在[0，]上的最大值为1，最小值为－.
思路2
例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求φ和ω的值．
活动：学生在解此题时，对f(x)是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f(x)的图象关于M(，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R上的函数y＝f(x)对定义域内任意x满足条件：f(x＋a)＝2b－f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．
解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)，所以－cosφsinωx＝cosφsinωx对任意x都成立．
又ω>0，所以，得cosφ＝0.
依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，得f(－x)＝－f(＋x)．
取x＝0，得f()＝－f()，所以f()＝0.
∵f()＝sin(＋)＝cos，∴cos＝0.
又ω>0，得＝＋kπ，k＝0,1,2，….
∴ω＝(2k＋1)，k＝0,1,2，….
当k＝0时，ω＝，f(x)＝sin(x＋)在[0，]上是减函数；
当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋)在[0，]上是减函数；
当k≥2时，ω≥，f(x)＝sin(ωx＋)在[0，]上不是单调函数．
所以，综合得ω＝或ω＝2.
点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.
变式训练已知如图2的Rt△ABC中，∠A＝90°，a为斜边，∠B、∠C的内角平分线BD、CE的长分别为m、n，且a2＝2mn.问：是否能在区间(π，2π]中找到角θ，恰使等式cosθ－sinθ＝4(cos－cos)成立？若能，找出这样的角θ；若不能，请说明理由．图2解：在Rt△BAD中，＝cos，在Rt△BAC中，＝sinC，∴mcos＝asinC.同理，ncos＝asinB.∴mncoscos＝a2sinBsinC.而a2＝2mn，∴coscos＝2sinBsinC＝8sin·coscossin.∴sinsin＝.积化和差，得4(cos－cos)＝－1，若存在θ使等式cosθ－sinθ＝4(cos－cos)成立，则cos(θ＋)＝－1，∴cos(θ＋)＝－.而π<θ≤2π，∴<θ＋≤.∴这样的θ不存在．点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.
例2已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝，
∴tan2(α－β)＝＝.
从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝＝＝＝1.
又∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝<1.
且0<α<π，∴0<α<.∴0<2α<.
又tanβ＝－<0，且β∈(0，π)，∴<β<π，－π<－β<－.
∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－.
点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cosα；若α∈(－，)，则求sinα等．
课本本节练习4.
解答：4.(1)y＝sin4x.最小正周期为，递增区间为[－＋，＋](k∈Z)，最大值为；
(2)y＝cosx＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)，最大值为3；
(3)y＝2sin(4x＋)．最小正周期为，递增区间为[－＋，＋](k∈Z)，最大值为2.
本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．
课本复习参考题A组11、12.
1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．
2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．
3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．
一、三角函数的综合问题
三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．
三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．
应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．
二、备用习题
1.的值是(
)
A．tan10°＋tan20°
B.
C．tan5°
D．2－
答案：D
2．若α－β＝，则sinαsinβ的最大值是(
)
A.
B.
C.
D．1
答案：B
3．若cosαsinx＝，则函数y＝sinαcosx的值域是(
)
A．[－，]
B．[－，]
C．[－，]
D．[－1,1]
答案：B
4．log2(1＋tan19°)＋log2(1＋tan26°)＝________.
答案：1
5．已知函数f(x)＝cos2xcos(－2x)，求f(x)的单调递减区间、最小正周期及最大值．
答案：解：f(x)＝[cos＋cos(4x－)]＝cos(4x－)＋，由2kπ≤4x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得原函数的单调递减区间是[＋，＋](k∈Z)，T＝，最大值是.
6．已知sinA＝－，cosB＝－，A∈(，2π)，B∈(π，)，求sin(2A－)的值，并判定2A－所在的象限．
答案：解：cosA＝，sin2A＝－，cos2A＝1－2sin2A＝，
∵B∈(π，)，
∴∈(，)．
∴sin＝，cos＝－.
∴sin(2A－)＝sin2Acos－cos2Asin＝.
又cos(2A－)＝cos2Acos＋sin2Asin<0，
∴2A－是第二象限角．
7．已知f(0)＝a，f()＝b，解函数方程：f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·cosy.
答案：解：分别取代入方程，得
①＋②－③，得2f(t)＝2f(0)cost＋2f()sint.
∵f(0)＝a，f()＝b，
∴f(x)＝acosx＋bsinx.第三章第二节简单的三角恒等变换第一课时
教学分析
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．本节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上，从而使三角函数性质的研究得到延伸．三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一．而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换．从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点．
三维目标
1．通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．
2．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用．
3．通过例题的解答，引导学生对变换对象进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
重点难点
教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练．
2．三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．
思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换．学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点．
推进新课
①α与有什么关系？
②如何建立cosα与sin2之间的关系？
③sin2＝，cos2＝，tan2＝这三个式子有什么共同特点？
④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗？
⑤证明 1 sinαcosβ＝[sin α＋β ＋sin α－β ]；
2 sinθ＋sinφ＝2sincos.
并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？
活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα＝1－2sin2，将公式中的α用代替，解出sin2即可．教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是的二倍角．在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以代替α，即得cosα＝1－2sin2，
所以sin2＝.
①
在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，即得
cosα＝2cos2－1，
所以cos2＝.
②
将①②两个等式的左右两边分别相除，即得
tan2＝.
③
教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)．
教师与学生一起总结出这样的特点，并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到．提醒学生在以后的学习中引起注意．同时还要强调，本例的结果还可表示为：sin＝±，cos＝±，tan＝±，并称之为半角公式(不要求记忆)，符号由所在象限决定．
教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异．因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．
对于问题⑤：(1)如果从右边出发，仅利用和(差)的正弦公式作展开合并，就会得出左式．但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．
(2)由(1)得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与(1)没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝，代入(1)中的式子即得(2)中的式子．
证明：(1)因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，
即sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
(2)由(1)，可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.
①
设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝，β＝.
把α，β的值代入①，
即得sinθ＋sinφ＝2sincos.
教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，通过解方程求得x，这就是方程思想的体现．
讨论结果：①α是的二倍角．
②sin2＝.
③④⑤略(见活动)．
思路1
例1化简.
活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题．教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系．
解：原式＝＝
＝tan.
点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.
变式训练化简sin50°(1＋tan10°)．解：原式＝sin50°(1＋)＝sin50°·＝2sin50°·＝2cos40°·＝＝＝1.
例2已知sinx－cosx＝，求sin3x－cos3x的值．
活动：教师引导学生利用立方差公式对原式变换化简，然后再求解．由于(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab(a－b)，∴a3－b3＝(a－b)3＋3ab(a－b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由sinx·cosx与sinx±cosx之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx－cosx)＝.此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题之中．
解：由sinx－cosx＝，得(sinx－cosx)2＝，
即1－2sinxcosx＝，∴sinxcosx＝.
∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)
＝(1＋)＝.
点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.
变式训练已知sinθ＋cosθ＝，且≤θ≤，则cos2θ的值是__________．答案：－
例3已知＋＝1，求证：＋＝1.
活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A，B的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A，B角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a2＋b2＝1的形式，可利用三角代换．
证明一：∵＋＝1，
∴cos4A·sin2B＋sin4A·cos2B＝sin2B·cos2B.
∴cos4A(1－cos2B)＋sin4A·cos2B＝(1－cos2B)cos2B，
即cos4A－cos2B(cos4A－sin4A)＝cos2B－cos4B.
∴cos4A－2cos2Acos2B＋cos4B＝0.
∴(cos2A－cos2B)2＝0.
∴cos2A＝cos2B.
∴sin2A＝sin2B.
∴＋＝cos2B＋sin2B＝1.
证明二：令＝cosα，＝sinα，
则cos2A＝cosBcosα，sin2A＝sinBsinα.
两式相加，得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B－α)＝1.
∴B－α＝2kπ(k∈Z)，即B＝2kπ＋α(k∈Z)．
∴cosα＝cosB，sinα＝sinB.
∴cos2A＝cosBcosα＝cos2B，sin2A＝sinBsinα＝sin2B.
∴＋＝＋＝cos2B＋sin2B＝1.
点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元.
变式训练在锐角三角形ABC中，A、B、C是它的三个内角，记S＝＋，求证：S<1.证明：∵S＝＝又A＋B>90°，∴90°>A>90°－B>0°.∴tanA>tan(90°－B)＝cotB>0，∴tanA·tanB>1.∴S<1.
思路2
例1证明＝tan(＋)．
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切．
解：方法一：从右边入手，切化弦，得
tan(＋)＝＝＝，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos＋sin，得
＝.
方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
＝＝.
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos，得
＝＝tan(＋)．
点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.
变式训练已知α，β∈(0，)且满足：3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求α＋2β的值．解法一：3sin2α＋2sin2β＝1 3sin2α＝1－2sin2β，即3sin2α＝cos2β，①3sin2α－2sin2β＝0 3sinαcosα＝sin2β，②①2＋②2：9sin4α＋9sin2αcos2α＝1，即9sin2α(sin2α＋cos2α)＝1，∴sin2α＝.∵α∈(0，)，∴sinα＝.∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β＝sinα·3sin2α＋cosα·3sinαcosα＝3sinα(sin2α＋cos2α)＝3×＝1.∵α，β∈(0，)，∴α＋2β∈(0，)．∴α＋2β＝.解法二：3sin2α＋2sin2β＝1 cos2β＝1－2sin2β＝3sin2α，3sin2α－2sin2β＝0 sin2β＝sin2α＝3sinαcosα，∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα·3sin2α－sinα·3sinαcosα＝0.∵α，β∈(0，)，∴α＋2β∈(0，)．∴α＋2β＝.解法三：由已知3sin2α＝cos2β，sin2α＝sin2β，两式相除，得tanα＝cot2β，∴tanα＝tan(－2β)．∵α∈(0，)，∴tanα>0.∴tan(－2β)>0.又∵β∈(0，)，∴－<－2β<.结合tan(－2β)>0，得0<－2β<.∴由tanα＝tan(－2β)，得α＝－2β，即α＋2β＝.
例2求证：＝1－.
活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．
证明：证法一：左边＝
＝＝1－＝1－＝右边．
∴原式成立．
证法二：右边＝1－＝
＝
＝＝左边．
∴原式成立．
点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.
变式训练求证：＝.分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于＝，此式右边就是tan2θ.证明：原等式等价于＝tan2θ.而上式左边＝＝＝＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.
1．若sinα＝，α在第二象限，则tan的值为(
)
A．5
B．－5
C.
D．－
答案：A
2．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(
)
A.
B.
C．－
D．－
答案：D
3．已知sinθ＝－，3π<θ<，则tan＝__________.
答案：－3
1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．
2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．
课本习题3.2
B组2.
1．本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换．在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．
2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方．考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用．从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换．第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时
本章知识框图
本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换．变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一．在本册第一章，学生接触了同角三角函数公式．在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发导出其他的三角变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换．三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上．通过本章学习，使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，并体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用．
本章内容安排按两条线进行，一条明线是建立公式，学习变换；一条暗线就是发展推理能力和运算能力，并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中，也体现在建立公式的过程之中．因此在本章教学中，教师要特别注意恰时恰点地提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，使学生能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角函数恒等变换不仅包括式子的结构形式变换，还包括式子中角的变换，以及不同三角函数之间的变换，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识．
突出数学思想方法的教学，在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导，本章不仅关注使学生得到和(差)角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法．例如，在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，在这个过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法，特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导，这对学生养成科学的数学思考习惯能起到积极的促进作用．另外，还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结．例如，在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的，2α是α的二倍，4α是2α的二倍，这里蕴含着换元的思想”等，都是为了加强思想方法而设置的．
两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考查的“重点”和“热点”，在高考中占有重要的地位，主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用，考查对公式的熟练掌握程度和灵活运用能力，其考查难度属低档，这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些特殊的变化技巧，应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上．教师在教学中，要注意控制好难度．因为近几年的高考中对三角部分的考查难度降低，但教材中部分习题却有一定难度，因此教师要把握好难度．
本章教学时间约需8课时，具体分配如下(仅供参考)：
节
次
标
题
课
时
3.1.1
两角差的余弦公式
1课时
3.1.2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2课时
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1课时
3.2
简单的三角恒等变换
2课时
本章复习
2课时
作者：仇玉法
教学分析
本节是以一个实际问题做引子，目的在于从中提出问题，引入本章的研究课题．在用方程的思想分析题意，用解直角三角形的知识布列方程的过程中，提出了两个问题：①实际问题中存在研究像tan(45°＋α)这样的包含两个角的三角函数的需要；②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°＋α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要．以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程．
本节首先引导学生对cos(α－β)的结果进行探究，让学生充分发挥想象力，进行猜想，给出所有可能的结果，然后再去验证其真假．这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程，最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案．方案一，利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导，让学生动手画图，构造出α－β角，利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度，教师要作恰当的引导；方案二，利用向量知识探索两角差的余弦公式时，要注意推导的层次性：①在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用；②结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备；③探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其线索进行探索，然后再反思，予以完善；④补充完善的过程，既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式．
本节是数学公式的教学，教师要遵循公式教学的规律，应注意以下几方面：①要使学生了解公式的由来；②使学生认识公式的结构特征，加以记忆；③使学生掌握公式的推导和证明；④通过例子使学生熟悉公式的应用，灵活运用公式进行解答有关问题．
三维目标
1．通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质．
2．通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学当中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
3．通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辩证与联系的观点看问题．创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法．
重点难点
教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式．
教学难点：探索过程的组织和适当引导．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(问题导入)播放多媒体，出示问题，让学生认真阅读课本引例．在用方程的思想分析题意，用解直角三角形的知识布列方程的过程中，提出了两个问题：①实际问题中存在研究像tan(45°＋α)这样的包含两个角的三角函数的需要；②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°＋α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要．在此基础上，再一般化而提出本节的研究课题进入新课．
思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°＝，cos30°＝，由此我们能否得到cos15°＝cos(45°－30°)＝？这里是不是等于cos45°－cos30°呢？教师可让学生验证，经过验证可知，我们的猜想是错误的．那么究竟是个什么关系呢？cos(α－β)等于什么呢？这时学生急于知道答案，由此展开新课：我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”．这是全章公式的基础．
推进新课
①请学生猜想cos(α－β)＝？
②利用前面学过的单位圆上的三角函数线，如何用α、β的三角函数来表示cos(α－β)呢？
③利用向量的知识，又能如何推导发现cos(α－β)＝？
④细心观察C(α－β)公式的结构，它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？
⑤如何正用、逆用、灵活运用C(α－β)公式进行求值计算？
活动：问题①，出示问题后，教师让学生充分发挥想象能力尝试一下，大胆猜想，有的同学可能就首先想到cos(α－β)＝cosα－cosβ的结论，此时教师适当的点拨，然后让学生由特殊角来验证它的正确性．如α＝60°，β＝30°，则cos(α－β)＝cos30°＝，而cosα－cosβ＝cos60°－cos30°＝，这一反例足以说明cos(α－β)≠cosα－cosβ.
让学生明白，要想说明猜想正确，需进行严格证明，而要想说明猜想错误，只需一个反例即可．
问题②，既然cos(α－β)≠cosα－cosβ，那么cos(α－β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题，是α－β这个角的余弦问题，我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？如图1，设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β.过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，那么OM就是角α－β的余弦线，即OM＝cos(α－β)，这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1，垂足为A，过点A作AB垂直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为C.那么，OA表示cosβ，AP表示sinβ，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α.于是，OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα.所以，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
图1
教师引导学生进一步思考，以上的推理过程中，角α、β、α－β是有条件限制的，即α、β、α－β均为锐角，且α>β，如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程比较繁琐，由同学们课后动手试一试．
问题③，教师引导学生，可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢？如图2，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ)，∠AOB＝α－β.
图2
由向量数量积的定义有·＝||||·cos(α－β)＝cos(α－β)，
由向量数量积的坐标表示有
·＝(cosα，sinα)(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，
于是，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
我们发现，运用向量工具进行探究推导，过程相当简洁，但在向量数量积的概念中，角α－β必须符合条件0≤α－β≤π，以上结论才正确，由于α、β都是任意角，α－β也是任意角，因此就是研究当α－β是任意角时，以上公式是否正确的问题．当α－β是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角θ∈[0,2π)，使cosθ＝cos(α－β)，若θ∈[0，π]，则·＝cosθ＝cos(α－β)．若θ∈[π，2π]，则2π－θ∈[0，π]，且·＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．
由此可知，对于任意角α、β都有
此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α－β的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为C(α－β)．有了公式C(α－β)以后，我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值，就可以求得cos(α－β)的值了．
问题④，教师引导学生细心观察公式C(α－β)的结构特征，让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”，右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”，可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆，特别是运算符号，左“－”右“＋”．或让学生进行简单填空，如：cos(A－B)＝________，cos(θ－φ)＝________等．因此，只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α－β)的值了．
问题⑤，对于公式的正用是比较容易的，关键在于“拆角”的技巧，而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性，特别是变形应用，这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧．如cos75°cos45°＋sin75°sin45°＝cos(75°－45°)＝cos30°＝，
cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.
讨论结果：①～⑤略．
思路1
例1利用差角余弦公式求cos15°的值．
活动：先让学生自己探究，对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°，它可以拆分为哪些特殊角的差，如15°＝45°－30°或者15°＝60°－45°，从而就可以直接套用公式C(α－β)计算求值．教师不要包办，充分让学生自己独立完成，在学生的具体操作下，体会公式的结构，公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法．对于很快就完成的同学，教师鼓励其换个角度继续探究．
解：方法一：cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝×＋×＝.
方法二：cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°
＝×＋×＝.
点评：本题是指定方法求cos15°的值，属于套用公式型的，这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上．但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式，灵活运用公式求值．本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形．至于如何拆分，让学生在应用中仔细体会.
变式训练1．不查表求sin75°，sin15°的值．解：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.sin15°＝＝＝＝.点评：本题是例题的变式，比例题有一定的难度，但学生只要细心分析，利用相关的诱导公式，不难得到上面的解答方法．2．不查表求值：cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解：原式＝cos(110°－20°)＝cos90°＝0.点评：此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉，需要教师加以引导，让学生细心观察，再结合公式C(α－β)的右边的特征，逆用公式便可得到cos(110°－20°)．这就是公式逆用的典例，从而培养了学生思维的灵活性.
例2已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．
活动：教师引导学生观察题目的结构特征，联想到刚刚推导的余弦公式，学生不难发现，欲求cos(α－β)的值，必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，然后利用公式C(α－β)即可求解．从已知条件看，还少cosα与sinβ的值，根据诱导公式不难求出，但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时，角α、β所在的象限，准确判断它们的三角函数值的符号．本例可由学生自己独立完成．
解：由sinα＝，α∈(，π)，得
cosα＝－＝－＝－.
又由cosβ＝－，β是第三象限角，得
sinβ＝－＝－＝－.
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝(－)×(－)＋×(－)＝－.
点评：本题是直接运用公式C(α－β)求值的基础练习，但必须思考使用公式前应作出的必要准备．特别是运用同角三角函数平方关系式求值时，一定要弄清角的范围，准确判断三角函数值的符号．教师可提醒学生注意这点，养成良好的学习习惯.
变式训练已知sinα＝，α∈(0，π)，cosβ＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．解：①当α∈[，π)时，由sinα＝，得cosα＝－＝－＝－，又由cosβ＝－，β是第三象限角，得sinβ＝－＝－＝－.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－)×(－)＋×(－)＝－.②当α∈(0，)时，由sinα＝，得cosα＝＝＝，又由cosβ＝－，β是第三象限角，得sinβ＝－＝－＝－.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×(－)＋×(－)＝－.点评：本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同．由于α∈(0，π)，这样cosα的符号可正、可负，需讨论，教师引导学生运用分类讨论的思想，对角α进行分类讨论，从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性．教师强调分类时要不重不漏.
思路2
例1计算：(1)cos(－15°)；
(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；
(3)sinxsin(x＋y)＋cosxcos(x＋y)．
活动：教师可以大胆放给学生自己探究，点拨学生分析题目中的角－15°，思考它可以拆分为哪些特殊角的差，如－15°＝15°－30°或－15°＝45°－60°，然后套用公式求值即可．也可化cos(－15°)＝cos15°再求值．让学生细心观察(2)(3)可知，其形式与公式C(α－β)的右边一致，从而化为特殊角的余弦函数．
解：(1)原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝×＋×＝.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.
(3)原式＝cos[x－(x＋y)]＝cos(－y)＝cosy.
点评：本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值，从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力，为后面公式的学习打下牢固的基础．
例2已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈(0，)，求cosβ的值．
活动：教师引导学生观察题目中的条件与所求，让学生探究α、α＋β、β之间的关系，也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系．学生通过探究、讨论不难得到β＝(α＋β)－α的关系式，然后利用公式C(α－β)求值即可．但还应提醒学生注意由α、β的取值范围求出α＋β的取值范围，这是很关键的一点，从而判断sin(α＋β)的符号进而求出cosβ.
解：∵α、β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)．
又∵cosα＝，cos(α＋β)＝－，
∴sinα＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝(－)×＋×＝.
点评：本题相对于例1难度大有提高，但是只要引导适当，学生不难得到β＝(α＋β)－α的关系式，继而运用公式解决．但值得注意的是α＋β的取值范围确定，也是很关键的，这是我们以后解题当中常见的问题.
变式训练1．求值：cos15°＋sin15°.解：原式＝(cos15°＋sin15°)＝(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.2．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos(α－β)的值．解：∵(sinα＋sinβ)2＝()2，(cosα＋cosβ)2＝()2，以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－.点评：本题又是公式C(α－β)的典型应用，解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方，从而得到公式C(α－β)中cosαcosβ和sinαsinβ的值，即可求得cos(α－β)的值，本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力．
3．已知锐角α、β满足cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ.解：∵α为锐角，且cosα＝，得sinα＝.又∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<.又∵tan(α－β)＝－<0，∴cos(α－β)＝.从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×(－)＝.
课本本节练习．
解答：
1．(1)cos(－α)＝coscosα＋sinsinα＝sinα.
(2)cos(2π－α)＝cos2πcosα＋sin2πsinα＝cosα.
2..
3..
4..
1．先由学生自己思考、回顾公式的推导过程，观察公式的特征，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变形用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题．然后教师引导学生围绕以下知识点小结：(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面：对公式结构和功能的认识；三角变换的特点．
2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导，要正确熟练地运用公式进行解题，在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，准确判断三角函数值的符号．多对题目进行一题多解，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．
课本习题3.1
A组2、3、4、5.
1．本节课是典型的公式教学模式，因此本节课的设计流程为“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”．它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生、发展的过程．同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导、证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而培养学生独立探索数学知识的能力，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性．
2．纵观本教案的设计，学生发现推导出公式C(α－β)后就是应用，同时如何训练公式的正用、逆用、变形用也是本节的重点难点．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．
3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导，获取新知的途径，让学生真正尝到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．
一、当α、β为锐角时，cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ的向量证明方法．
证明：如图3所示，在直角坐标系中作单位圆O，并作角α与－β，设角α的终边与单位圆交于点P1，－β角的终边与单位圆交于点P2，则
图3
＝(cosα，sinα)，＝(cos(－β)，sin(－β))，
与的夹角为α＋β，
∵·＝||||cos(α＋β)，
cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝1·1·cos(α＋β)，
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
二、备用习题
1．若－<α<β<，则α－β一定不属于的区间是(
)
A．(－π，π)
B．(－，)
C．(－π，0)
D．(0，π)
答案：D
2．不查表求值：
(1)sin80°cos55°＋cos80°cos35°；
(2)cos80°cos20°＋sin100°sin380°.
答案：解：(1)原式＝sin80°sin35°＋cos80°cos35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝.
(2)原式＝cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝.
3．已知sinθ＝，θ∈(，π)，求cos(θ－)的值．
答案：解：∵sinθ＝，θ∈(，π)，
∴cosθ＝－＝－＝－.
∴cos(θ－)＝cosθcos＋sinθsin
＝－×＋×
＝.
4．已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β∈(π，)，求cos(α－β)的值．
答案：解：∵sinα＝，α∈(，π)，
∴cosα＝－＝－＝－.
∵cosβ＝－，β∈(π，)，
∴sinβ＝－＝－＝－.
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝－×(－)＋×(－)
＝.
5．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，求证：cos(α－γ)＝－.
答案：证明：∵sinα＋sinβ＋sinγ＝0，
∴sinα＋sinγ＝－sinβ.
①
∵cosα＋cosβ＋cosγ＝0，
∴cosα＋cosγ＝－cosβ.
②
①2＋②2，得
sin2α＋cos2α＋sin2γ＋cos2γ＋2cosαcosγ＋2sinαsinγ＝sin2β＋cos2β.
∴2(cosαcosγ＋sinαsinγ)＝－1，
即cos(α－γ)＝－.第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第四课时
教学分析
“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具．通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”．
在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神．
三维目标
1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．
2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．
重点难点
教学重点：二倍角公式的推导及其应用．
教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．
思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．
推进新课
①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)
②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？
③在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？
④细心观察二倍角公式的结构，有什么特征呢？
⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？
⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin(
)＝2sin(
)cos(
)，cos(
)＝cos2(
)－sin2(
)．
⑦思考过公式的逆用吗？想一想C2α还有哪些变形？
⑧请思考以下问题：sin2α＝2sinα吗？cos2α＝2cosα吗？tan2α＝2tanα吗？
活动：问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板上的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin2α＝2sinαcosα(S2α)；
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)；
tan(α＋β)＝ tan2α＝(T2α)．
这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin2α＋cos2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．
sin2α＝2sinαcosα S2α cos2α＝cos2α－sin2α C2α tan2α＝ T2α
cos2α＝2cos2α－1cos2α＝1－2sin2α
这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．
问题④，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征并记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角．二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．
问题⑤，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S2α)，(C2α)中的角α没有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠kπ＋和α≠kπ＋(k∈Z)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝kπ＋，k∈Z时，虽然tanα不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．
问题⑥，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，是的二倍，3α是的二倍，是的二倍，－α是－的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．
例如：sin＝2sincos，cos＝cos2－sin2等等．
问题⑦，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝sin6α，4sincos＝2(2sincos)＝2sin，
＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α，2tanα＝tan2α(1－tan2α)等等．
问题⑧，一般情况下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.
若sin2α＝2sinα，则2sinαcosα＝2sinα，即sinα＝0或cosα＝1，此时α＝kπ(k∈Z)．
若cos2α＝2cosα，则2cos2α－2cosα－1＝0，即cosα＝(cosα＝舍去)．
若tan2α＝2tanα，则＝2tanα，∴tanα＝0，即α＝kπ(k∈Z)．
解答：①～⑧(略)
思路1
例1已知sin2α＝，<α<，求sin4α，cos4α，tan4α的值．
活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了2α的正弦值．由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成．
解：由<α<，得<2α<π.
又∵sin2α＝，
∴cos2α＝－＝－＝－.
于是sin4α＝sin[2×(2α)]＝2sin2αcos2α＝2××(－)＝－；
cos4α＝cos[2×(2α)]＝1－2sin22α＝1－2×()2＝；
tan4α＝＝(－)×＝－.
点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点.
变式训练1．不查表，求值：sin15°＋cos15°.解：原式＝＝＝.点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力．2．若＝－，则cosα＋sinα的值为(
)A．－
B．－
C.
D.答案：C3．下列各式中，值为的是(
)A．2sin15°－cos15°
B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1
D．sin215°＋cos215°答案：B
例2证明＝tanθ.
活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解．教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？
待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予表扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．
证明：方法一：
左＝＝
＝＝
＝＝tanθ＝右．
所以，原式成立．
方法二：
左＝＝
＝＝tanθ＝右．
方法三：
左＝＝
＝
＝
＝＝tanθ＝右．
点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是．
思路2
例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．
解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°
＝
＝＝＝.
点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律．
例2在△ABC中，cosA＝，tanB＝2，求tan(2A＋2B)的值．
活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A＋B＋C＝π，0解：方法一：在△ABC中，由cosA＝，0sinA＝＝＝.
所以tanA＝＝×＝，
tan2A＝＝＝.
又tanB＝2，所以tan2B＝＝＝－.
于是tan(2A＋2B)＝＝＝.
方法二：在△ABC中，由cosA＝，0sinA＝＝＝.
所以tanA＝＝×＝.又tanB＝2，
所以tan(A＋B)＝＝＝－.
于是tan(2A＋2B)＝tan[2(A＋B)]＝＝＝.
点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别，其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野.
变式训练化简.解：原式＝＝＝cot2α.
已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，
(1)求tan2α的值；
(2)求β.
解：(1)由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝.
∴tanα＝＝×＝4.于是tan2α＝＝＝－.
(2)由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.
∴β＝.
点评：本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力．
课本习题3.1
A组15、16、17.
1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值与恒等式证明．
2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．
1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深地留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．
2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．
3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．
一、三角变换中的“一致代换”法
在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．
二、备用习题
1．求值：－.
答案：原式＝＝
＝＝＝4.
2．化简：cos36°cos72°.
答案：原式＝＝＝＝.
3．化简：cosαcoscoscos·…·cos.
答案：先将原式同乘除因式sin，然后逐次使用倍角公式，则原式＝.
4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.
答案：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°
＝＝＝＝.
5．若cos(＋x)＝，答案：原式＝＝＝sin2xtan(＋x)．
∵∴<＋x<2π.
又cos(＋x)＝，
∴sin(＋x)＝－，tan(＋x)＝－.
∴sin2x＝sin[2(＋x)－]＝－cos2(＋x)＝－[2cos2(＋x)－1]＝，
故原式＝·(－)＝－.
6．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos(α＋β)的值．
答案：∵cos(α－)＝－，<α<π，0<β<，
∴<α－<π.
∴sin(α－)＝.
∵sin(－β)＝，<α<π，0<β<，
∴0<－β<.
∴cos(－β)＝.
∵cos＝cos[(α－)－(－β)]
＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)
＝(－)×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.