第一节 追寻守恒量——能量
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．关于动能，下列说法中正确的是( )
A．物体由于运动所具有的能量叫作动能
B．动能的大小只与物体的速度有关
C．无论选什么样的参考系，同一物体的动能都相同
D．以上叙述都不对
2．关于势能，下列说法中错误的是( )
A．势能的大小与物体间的相互作用情况有关
B．势能的大小与物体间的相对位置有关
C．势能的大小与所选取的参考系有关
D．势能可以与其他形式的能相互转化
3．下列现象中，物体动能转化为势能的是( )
A．秋千从最高处荡向最低处 B．张开的弓箭水平射出去
C．骑自行车匀速驶上斜坡 D．正在腾空上升的礼花弹
4．在室内滑雪场，游客们足不出户即可享受滑雪的乐趣。游客先乘自动扶梯至雪坡顶端，然后顺坡滑下，滑到平地上后很快便停下来。从雪坡顶端到最后停下来的整个过程中，下列说法正确的是( )
A．人的动能先增加后减少，但动能与势能之和不变
B．人的动能先增加后减少，但动能与势能之和一直减小
C．人的动能先增加后减少，动能与势能之和先变大后不变
D．人的动能先增加后减少，动能与势能之和先变大后减小
5．假设一架战斗机正在空中某一高度做匀速飞行，另一架空中加油机给其加油，如图所示，加油后战斗机仍以原来的高度和速度做匀速飞行，则与加油前相比，战斗机的( )
A．动能增加，势能减少，机械能不变
B．动能增加，势能增加，机械能增加
C．动能减少，势能不变，机械能减少
D．动能不变，势能不变，机械能不变
6．伽利略斜面实验使人们认识到引入能量概念的重要性。在此实验中能说明能量在小球运动过程中不变的理由是( )
A．小球滚下斜面时，高度降低，速度增大
B．小球滚上斜面时，高度升高，速度减小
C．小球能准确地达到与起始点等高的高度
D．小球能在两斜面之间永不停止地来回滚动
7．如图所示表示撑竿跳高运动的几个阶段：助跑、撑竿起跳、越横竿、落地(未画出)。在这几个阶段中有关能量转化的情况，正确的是( )
A．助跑阶段，身体中的化学能转化为人和竿的动能
B．起跳时，人的动能和化学能转化为人和竿的势能
C．越过横竿后，人的重力势能转化为动能
D．落地后，人的能量消失了
二、非选择题
8．将一个带轴的轮子用两根细线悬吊起来，使轮轴处于水平状态，做成一个“滚摆”。旋转滚摆，让细线绕在轮轴上，然后由静止开始释放滚摆。滚摆就会边旋转边下落，绕在轮轴上的细线也随之不断退出；到达最低点后，滚摆又会边旋转边上升，细线又随之逐渐绕在轮轴上。试分析滚摆运动过程中的能量转化情况。在阻力小到可以忽略的情况下，你猜想滚摆每次都能回升到起始点的高度吗？请说明你猜想的依据。
9．如图所示，某人骑自行车沿斜面匀速下滑，在下滑过程中，动能不变，势能减小，因而能量不守恒，这种说法正确吗？为什么？
参考答案
1．答案：A
2．答案：A
3．答案：D
4．答案：B
5．解析：加油后战斗机的质量增加，又因战斗机飞行的速率和高度都未发生变化，它的动能和重力势能都要增加，所以机械能也要增加。
答案：B
6．解析：小球能在两斜面之间永不停止地来回滚动或小球能准确地达到与起始点等高的高度，都能说明小球没有能量损失，总能量一直保持不变，小球机械能守恒，所以C、D都正确。
答案：CD
7．解析：运动员在助跑、撑竿起跳、越横竿下落的几个过程中，能量的转化分别为化学能转化为动能，化学能和动能转化为势能，重力势能转化为动能，故A、B、C正确。人落地后，人的重力势能会使地面发生形变及温度升高，即人的能量并没有消失，故D错。
答案：ABC
8．解析：滚摆下落时，因为没有阻力，势能转化为动能，上升时，动能又全部转化为势能，还能到达到原来的高度。
答案：见解析
9．解析：物体下滑时，受到摩擦力，产生热量。机械能转化为内能，总能量守恒。因而这种说法不正确。
答案：见解析
第一节 追寻守恒量——能量
课堂探究
探究一 对“守恒量”的理解
问题导引
2013年6月20日，神舟十号航天员王亚平在天宫一号开展基础物理实验，为全国青少年进行太空授课，她将摆球拉开一定距离后放手，摆球并没有来回摆动(如图所示)，这是为什么？此时我们探究的守恒量——能量，还存在吗？
提示：在天宫一号中的物体处于完全失重状态，与重力有关的一切物理现象都消失了，所以小球不会来回摆动。此时小球随天宫一号一起绕地球高速旋转，其动能与势能之和保持不变，即能量守恒。
名师精讲
1．所谓“守恒”是指数值保持恒定。对于伽利略斜面实验，我们可以这样理解，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将回到它原来的高度，小球好像记得“自己的起始高度”，我们把小球“记得”的这个“东西”叫作守恒量。
2．守恒量是自然界在变化过程中隐藏于现象中的一个反映其本质的物理量，也就是说，自然界并不自动地展现其背后的本质、规律和内在联系，所以寻找守恒量必须讲究科学的方法。例如，观察此消彼长的物理量、研究其相互的关系、科学构思巧妙的实验、精确地论证、推理和计算等。
【例1】 伽利略的斜面实验反映了一个重要的事实：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于同它开始点相同高度的点，决不会更高一点，也不会更低一点。这说明，小球在运动过程中有一个“东西”是不变的，这个“东西”应是( )
A．弹力 B．势能 C．速度 D．能量
解析：在伽利略的斜面实验中，小球从一个斜面滚到另一个斜面，斜面弹力是不同的，势能先减小后增大，速度先增大后减小，所以A、B、C错。不变的“东西”应是能量，包括动能和势能，D对。
答案：D
题后反思 (1)运用理想模型结合实验事实推导物理规律，是研究物理问题常用的思路和方法。(2)伽利略的斜面实验使人们认识到了能量这一物理量。
探究二 对物体的动能和势能的理解
问题导引
如图所示，上海“明珠线”某车站的设计方案。由于站台建得稍高，电车进站时要上坡，出站时要下坡。忽略斜坡的摩擦力，你能分析这种设计的优点吗？
提示：电车进站前虽关闭了电动机，但仍具有动能，可使电车爬上斜坡，这是将动能转化为势能储存。出站时，电车可利用斜坡再将势能转化成动能。可见，这种设计方案可以节约电能。
名师精讲
1．动能
说到动能，一定要有运动着的物体。例如，当伽利略释放小球后，小球开始运动，获得速度，运动着的小球就具有了动能。流动的河水，吹来的风即流动的空气，运转的天体，绕原子核旋转的电子等都具有动能。
2．势能
它必须有相互作用的物体，而且一定与其位置有关。例如，小球受到地球施于它的重力作用，当伽利略把小球从桌面提高到斜面上起始点的高度时，他就赋予了小球一种形式的能量——势能。当我们将弹簧拉伸或者压缩时，弹簧各部分发生相互作用，各部分的相对位置与弹簧自然伸长时发生了变化，我们也就赋予了弹簧一定的势能。
3．势能和动能的相互转化
从伽利略的斜面实验我们可以看出，势能和动能可以相互转化。如果斜面是光滑的，且空气阻力忽略不计，小球总可以沿斜面B上升到原来的高度。这说明了动能和势能在相互转化过程中能量是守恒的。
【例2】 (多选)如果我们把相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫作势能，把物体由于运动而具有的能量称为动能，那么，伽利略的斜面实验可以给我们一个启示，下列关于这个启示正确的是( )
A．小球在斜面上运动时，小球离地面的高度减小，速度增加，小球的速度是由高度转变而来的
B．小球在斜面上运动时，小球离地面的高度增加，速度减小，小球的高度是由速度转变而来的
C．小球在斜面上运动时，小球离地面的高度减小，速度增加，小球的动能是由势能转变而来的
D．小球在斜面上运动时，小球离地面的高度增加，速度减小，小球的势能是由动能转变而来的
解析：在斜面上运动的小球，首先由动能转化为势能，达到最高点时，动能为零，势能达到最大，在下落时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，势能又转化为动能。在小球运动过程中，小球的机械能总量保持不变。
答案：CD
题后反思 不同形式的能可以相互转化，一种形式的能的减少，其他形式的能必然增加，但总的能量不变。在伽利略的理想斜面实验中，动能和势能总和不变。
第一节 追寻守恒量——能量
预习导航
情境导入
课程目标
1.领悟伽利略理想斜面实验中的转化和守恒的事实。
2．理解能量这个物理量及动能、势能的物理意义。
3．独立分析伽利略理想斜面实验的能量转换和守恒关系。
4．能够列举出不同形式的能量可以互相转化并可能守恒。
一、伽利略斜面实验探究
1．实验过程及现象：让静止的小球沿一个斜面滚下，小球将滚上另一个对接斜面，没有摩擦时，hA＝hB，如图所示。
2．实验结论：这一事实说明某个量是守恒的。在物理学中我们把这个量叫作能量或能。
二、能量概念
1．能量
(1)一个物体如果具备了对外做功的本领，我们就说这个物体具有能量。
(2)能量是个状态量，是标量，和物体的某一状态对应。
2．势能
(1)相互作用的物体凭借其位置而具有的能量，叫作势能。
(2)势能是能量的一种具体形式，是标量。
3．动能
(1)物体由于运动而具有的能量叫动能。
(2)和物体运动过程中某一状态相对应，是标量，并且总为正值。
4．在伽利略的理想斜面实验中，小球的动能和势能可以相互转化。
思考 古代战争中常用滚木和礌石作为武器来阻止敌人的进攻，你能利用所学的知识说明其中的科学道理吗？这种战术适用于哪种情况？怎样才能使杀伤力更大？
提示：滚木和礌石的重力势能转化为动能，利用其动能来杀伤敌人；这种战术适用于居高防守。提高其高度增大其质量才能有更大的杀伤力。
第七节 动能和动能定理
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．下列关于运动物体所受的合力、合力做功和动能变化的关系，正确的是( )
A．如果物体所受的合力为零，那么合力对物体做的功一定为零
B．如果合力对物体做的功为零，则合力一定为零
C．物体在合力作用下做匀变速直线运动，则动能在这段过程中变化量一定不为零
D．物体的动能不发生变化，物体所受合力一定是零
2．一物体在光滑水平面上向右运动，从某时刻起对物体作用一恒定阻力使物体逐渐减速，直到停止。则物体在这段时间内通过的位移由下列哪个物理量决定( )
A．物体的质量 B．物体的初速度
C．物体的平均速度 D．物体的初动能
3．一人用力踢质量为1 kg的皮球，使球由静止以10 m/s的速度飞出，假定人踢球的平均作用力是200 N，球在水平方向运动了20 m停止，那么人对球所做的功为( )
A．50 J B．500 J C．4 000 J D．无法确定
4. 有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
A．木块所受的合外力为零
B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力的功为零
C．重力和摩擦力的总功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
5．如图为10米跳台跳水示意图，运动员从10 m高的跳台跳下，设水的平均阻力约为其体重的3倍，在粗略估算中，把运动员当作质点处理，为了保证运动员的人身安全，池水深度至少为(不计空气阻力)( )
A．5 m B．3 m C．7 m D．1 m
6．一人用力把质量为1 kg的物体由静止向上提高1 m，使物体获得2 m/s的速度，则( )
A．人对物体做的功为2 J B．合外力对物体做的功为2 J
C．合外力对物体做的功为12 J D．物体克服重力做的功为10 J
7. 在某平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到某一值时，立即关闭发动机后滑行至停止，其v-t图象如图所示。汽车牵引力为F，运动过程中所受的摩擦阻力恒为Ff，全过程中牵引力所做的功为W1，克服摩擦阻力所做的功为W2，则下列关系中正确的是( )
A．F∶Ff=4∶1 B．F∶Ff＝1∶3 C．W1∶W2＝4∶3 D．W1∶W2＝1∶1
二、非选择题
8．一艘由三个推力相等的发动机驱动的气垫船，在湖面上由静止开始加速前进l距离后关掉一个发动机，气垫船匀速运动，将到码头时，又关掉两个发动机，最后恰好停在码头上，设水给船的阻力大小不变，若船由静止加速前进l距离后三个发动机全部关闭，船通过的距离为多少？
9. 如图所示，水平轨道AB与位于竖直面内半径为R=0.90 m的半圆形光滑轨道BCD相连，半圆形轨道的BD连线与AB垂直。质量为m=1.0 kg可看作质点的小滑块在恒定外力F作用下从水平轨道上的A点由静止开始向右运动，滑块与水平轨道AB间的动摩擦因数μ=0.5。到达水平轨道的末端B点时撤去外力，滑块继续沿半圆形轨道运动，且恰好能通过轨道最高点D，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到A点。g取10 m/s2，求：
(1)滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小。
(2)滑块在AB段运动过程中恒定外力F的大小。
参考答案
1．解析：做匀速圆周运动的物体，合力方向始终和运动方向垂直，合力做功为零，但合力并不为零，其动能也不发生变化，故B、D错误；物体在合力作用下先做匀减速直线运动，然后做反向匀加速运动时，动能变化量可能为零，C错误。
答案：A
2．解析：由动能定理得：－Fx＝0－mv，因阻力F恒定，可得：物体在这段时间内通过的位移由物体的初动能决定，选项D正确。
答案：D
3．解析：由动能定理得，人对球做的功W＝mv2－0＝50 J，故A选项正确。
答案：A
4．解析：物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，合外力不为零，A错。速率不变，动能不变，由动能定理知，合外力做功为零，支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与阻力做的功代数和为零，但重力和阻力的合力不为零，C对，B、D错。
答案：C
5．解析：设水的深度为h，由动能定理得
mg×(10 m＋h)－3mgh＝0，解得h＝5 m，选项A正确。
答案：A
6．解析：由动能定理得W人－mgh＝mv2－0，人对物体做的功为W人＝mgh＋mv2＝1×10×1 J＋×1×22 J＝12 J，故A项错；合外力做的功W合＝mv2＝2 J，故B项对，C项错；物体克服重力做功为mgh＝10 J，D项对。
答案：BD
7．解析：根据图象可知，汽车加速运动时的加速度a1＝，又F－Ff＝ma1①，减速时的加速度a2＝，又Ff＝ma2②，由①②可得F∶Ff＝4∶1；全过程根据动能定理有W1－W2＝0，所以W1∶W2＝1∶1。
答案：AD
8．解析：设每个发动机提供的推力为F。由题意可知水的阻力Ff＝2F；加速前进时有(3F－Ff)l＝mv2
三个发动机都关闭时Ffl′＝mv2
解得l′＝
答案：
9．解析：(1)滑块恰好通过最高点，则有：mg＝m
设滑块到达B点时的速度为vB，滑块由B到D过程由动能定理有：－2mgR＝mv－mv
对B点：FN－mg＝m
代入数据得：FN＝60 N
由牛顿第三定律知滑块对轨道的压力大小为60 N。
(2)滑块从D点离开轨道后做平抛运动，则2R＝gt2
sAB＝vDt
滑块从A运动到B有(F－μmg)sAB＝mv
代入数据得：F＝17.5 N。
答案：(1)60 N (2)17.5 N
第七节 动能和动能定理
课堂探究
探究一 对动能的理解
问题导引
如图是探究“动能的大小与哪些因素有关”的实验，图中A球的质量大于B球的质量，让小球从斜面上滚下，静止在地面上的纸盒被碰后，滑行一段距离停下来。由此实验你能得出物体的动能与哪些因素有关吗？
提示：在此实验中，小球的高度在这个题中代表了其速度的大小，让小球从同一高度滚下的目的是两球到达水平面时能够具有相同的速度。甲与乙两实验中两球的质量相同，到达底端的速度不同，根据被碰纸盒的滑行距离可知，小球的动能与其速度有关；甲与丙两实验中两球到达底端的速度相同，质量不同，根据被碰纸盒的滑行距离可知，小球的动能与其质量有关。
名师精讲
1．动能具有相对性，参考系不同，速度就不同，所以动能也不等。一般都以地面为参考系描述物体的动能。
2．动能是状态量，是表征物体运动状态的物理量。物体的运动状态一旦确定，物体的动能就唯一地被确定了。
3．物体的动能对应于某一时刻运动的能量，它仅与速度的大小有关，而与速度的方向无关。动能是标量，且恒为正值。
4．由动能的表达式可知，动能的单位与功的单位相同，因为1 kg·(m/s)2＝1(kg· m/s2)·m＝1 N·m＝1 J
5．动能的变化：动能只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量。动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了。
特别提醒 物体速度变化(如速度的大小不变，方向变化)，则物体的动能不一定变化。而动能变化，则速度一定变化。
【例1】 关于动能的概念，下列说法正确的是( )
A．速度时刻改变的物体，动能时刻在改变
B．运动物体的质量越大，其动能一定越大
C．速度较大的物体，具有动能一定较大
D．动能由物体质量和速度共同决定
解析：动能Ek＝mv2，可知动能由质量m和速度v共同决定，B、C选项错误，D选项正确；动能是标量，速度是矢量，故速度变化，动能不一定变化，故A选项错误。
答案：D
题后反思 动能是标量、速度是矢量，因此当物体的动能变化时速度一定变化，物体的速度变化时，物体的动能不一定变化。
探究二 对动能定理的正确理解
问题导引
足球运动员用力F踢出足球，足球的质量为m，足球被踢出时的速度为v，足球被踢出后在地面上运动了距离x停下。在这个过程中，足球运动员对足球做功了吗？做了多少功？
提示：做功。因x不是力F作用时间内的位移，做的功不等于Fx。由动能定理求得人对球做的功W＝mv2。
名师精讲
1．物理意义：
动能定理描述了一个质点的功能关系，揭示了外力对物体做的总功与物体动能变化量之间的关系，即功是能量转化的量度。
2．ΔEk＝mv－mv为物体动能的变化量，也称作物体动能的增量，表示物体动能变化的大小。
3．W为外力对物体做的总功，W的求法有两种思路：
(1)先求出各个力对物体所做的功W1、W2、W3……，它们的代数和W＝W1＋W2＋W3……即为总功。
(2)先求出物体所受各个力的合力F合，再利用W＝F合lcos α求合力的功。
4．合力对物体做正功，即W＞0，ΔEk＞0，表明物体的动能增大；合力对物体做负功，即W＜0，ΔEk＜0，表明物体的动能减小。
5．动能定理公式中等号的意义：
(1)数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功。
(2)单位相同：国际单位都是焦耳。
(3)因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。
6．动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功等各种情况均适用。
特别提醒 1.动能定理说明了外力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能，而是意味着“功引起物体动能的变化”，即物体动能的变化是通过外力做功的过程来实现的。
2．动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
【例2】 (多选)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则( )
A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量
B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍
C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功
D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
解析：由题意知，两个过程中速度增量均为v，A正确；由动能定理知：W1＝mv2，W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，故B正确，C、D错误。
答案：AB
题后反思 解答本题时应注意以下两点：(1)速度增量和动能增量的含义。(2)合外力的功与动能增量的关系。
探究三 动能定理的应用
问题导引
如图所示，质量为m的小车以初速度v0从山坡底部A处恰好冲上高为h的坡顶B，请思考：
(1)小球运动中哪些力做了功？
(2)如何求得小球克服阻力做的功？
提示：(1)小球受的重力和阻力都对小球做了负功，支持力不做功；(2)根据动能定理－mgh－Wf＝0－mv可求得小球克服阻力做的功。
名师精讲
1．应用动能定理解题的步骤：
(1)选取研究对象，明确它的运动过程；
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
(3)明确研究对象在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2；
(4)列出动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解。
2．应注意的问题：
(1)要注意动能与动能增量概念的不同。
①动能描述的是物体在某一时刻或某一位置所具有的能量状态，是个状态量；
②动能增量指的是物体的末动能减去初动能，即Ek2－Ek1，描述的是从一个状态到另一个状态的变化量。动能只能取正值，而动能增量有正负之分，ΔEk＞0表示物体的动能增加，ΔEk＜0表示物体的动能减少。
(2)动能定理的计算公式是标量式，速度和位移均是相对同一惯性参考系的。没有特殊说明均是指相对于地面。
(3)动能定理既适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功。力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。计算时只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可。
(4)若物体运动的过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以全过程为一整体来处理。
【例3】 质量为m=50 kg的滑雪运动员，以初速度v0=4 m/s从高度为h＝10 m的弯曲滑道顶端A滑下，到达滑道底端B时的速度vt＝10 m/s。求：滑雪运动员在这段滑行过程中克服阻力做的功(g取10 m/s2)。
点拨：从A运动到B，物体所受摩擦力是变力，所以克服摩擦力所做的功不能直接由功的公式求得，此时要根据动能定理求解。
解析：设摩擦力做的功为W，根据动能定理
mgh－W＝mv－mv
代入数值得W＝2 900 J。
答案：2 900 J
题后反思 如果是恒力做功问题往往直接用功的定义式求解，但遇到变力做功问题需借助动能定理等功能关系进行求解；分析清楚物理过程和各个力的做功情况后，根据动能定理列出方程求解。
触类旁通 试求运动员从开始到停止的过程中克服阻力做的功。
提示：根据动能定理有mgh－W′＝0－mv，解得W′＝5 400 J。
探究四动能定理在多过程中的应用
问题导引
如图所示，质量为m的小球从某一高度h处自由下落，运动中受的空气阻力大小Ff恒定，与地面碰撞前后速度大小不变，经过一段时间后，小球会停下来，你能求出整个过程中小球通过的路程吗？
提示：小球与地面碰撞很多次，不可能通过计算出小球每次反弹的高度，进而求出小球通过的总路程，根据动能定理，考虑整个过程，mgh-Fs=0，即可求得小球通过的路程s=。
名师精讲
1．对于多个物理过程要仔细分析，将复杂的过程分割成一个一个子过程，分别对每个过程分析，得出每个过程遵循的规律。当每个过程都可以运用动能定理时，可以选择分段或全程应用动能定理，题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、方便。
2．应用全程法解题求功时，有些力可能不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待，弄清楚物体所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功还是负功，正确写出总功。
3．运用动能定理只需要从力在整个位移内做的功和这段位移始末两状态动能变化去考虑，无须注意其中运动状态变化的细节，同时动能和功都是标量，无方向性，所以无论是直线运动或曲线运动，运用动能定理去分析，都会比较简单。
特别提醒 应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系。有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，在计算外力做功时更应引起注意。
【例4】 如图所示是跳水运动员在跳台上腾空而起的姿态。跳台距水面高度为h1＝10 m，此时他恰好到达最高位置，估计此时他的重心离跳台台面的高度为Δh＝1 m。当他下降到手触及水面时要伸直双臂做一个翻掌压水花的动作，这时他的重心离水面也是Δh＝1 m，运动员的质量m＝50 kg，g取10 m/s2，求：
(1)从最高点到手触及水面的过程中，其运动可以看作是自由落体运动，他在空中完成一系列动作可利用的时间为多长？
(2)忽略运动员进入水面过程中受力的变化，入水之后，他的重心能下沉到离水面h2＝2.5 m处，试估算水对他的平均阻力．
解析：(1)由题意知，这段时间运动员重心下降高度h＝10 m，设空中动作可利用的时间为t，则
h＝gt2
故t＝＝ s＝ s≈1.4 s
(2)整个过程运动员重心下降高度为h1＋Δh＋h2＝13.5 m，设水对他的平均阻力为Ff，根据动能定理有
mg(h1＋Δh＋h2)－Ffh2＝0，
整理并代入数据得Ff＝2 700 N。
答案：(1)1.4 s (2)2 700 N
题后反思 物体在运动过程中受力情况不同，这种情况下动能定理中的总功应表述为各个力做功的代数和。利用分段法解题，思路清晰，不容易出错，但过程较繁琐；利用整段法解题，特别是初末速度均为零的题目，显得简捷、方便。对全过程应用动能定理使动能定理在解题中的优势更为明显。
探究五 牛顿定律解题和动能定理解题的比较
问题导引
如图所示，狗拉雪橇在雪地上由静止开始先做匀加速运动，后做匀减速运动，最后停下来。请思考：
(1)根据牛顿第二定律分析此运动过程，可否将加速和减速过程合并为一个全过程来考虑？
(2)用动能定理分析时比用牛顿第二定律分析有何优点？
提示：(1)加速和减速过程的加速度不同，因此据牛顿第二定律分析不能将加速和减速过程合并为一个全过程来考虑；(2)动能定理只考虑合外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理。
名师精讲
1．动能定理与牛顿第二定律解题的比较
牛顿定律
动能定理
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程的分析
适用条件
只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节，结合运动学公式解题
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
两种思路对比可以看出应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错。
2．应用动能定理的优越性
(1)物体由初始状态到末状态的过程中，物体的运动性质、运动轨迹、做功的力是变力还是恒力等诸多因素都可以不予考虑，使分析简化。
(2)应用牛顿运动定律和运动学规律时，涉及的有关物理量比较多，对运动过程中的细节也要仔细研究，而应用动能定理只考虑合外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理。
(3)一般情况下，由牛顿运动定律和运动学规律能够求解的问题，用动能定理也可以求解，并且更为简捷。
(4)牛顿定律解决的是瞬时问题，处理一些状态量之间的关系比较方便；动能定理将状态量的变化与过程相联系，在不需要关注具体过程的情况下是比较方便的。
【例5】 冰壶运动是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，冰壶在水平冰面上的一次滑行可简化为如下过程：如图所示，运动员将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OD推到A点放手，此后冰壶沿AD滑行，最后停于C点。已知冰面与各冰壶间的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，AC＝L，CD＝r，重力加速度为g，
(1)求冰壶在A点的速率；
(2)若将BD段冰面与冰壶间的动摩擦因数减小为0.8μ，原只能滑到C点的冰壶能停于D点，求A点与B点之间的距离。
点拨：冰壶在A点放手后做减速运动到C点，根据运动学公式或动能定理即可求得。第(2)问冰壶在AB段和BD段做加速度不同的减速运动，用动能定理更为简单。
解析：(1)对冰壶，从A点放手到停止于C点，设在A点时的速度为v1，应用动能定理有
－μmgL＝0－mv
解得v1＝；
(2)设AB之间距离为s，对冰壶，从A到D′的过程
应用动能定理，－μmgs－0.8μmg(L＋r－s)＝0－mv
解得s＝L－4r
答案：(1) (2)L－4r
题后反思 动能定理是功能基本关系之一，凡是涉及力所引起的位移而不涉及加速度及时间的问题，应用动能定理分析讨论，通常比牛顿第二定律简捷。
第七节 动能和动能定理
预习导航
情境导入
课程目标
1.在上节基础上进一步定量地确定物体的动能的表达式。
2．进一步探究，力对物体做的功与物体动能有什么关系，即运用归纳推导方式推导动能定理的表达式。
3．通过动能定理的推导理解理论探究的方法及其科学思维的重要意义。
4．通过对实际问题的分析，对比牛顿运动定律，掌握运用动能定理分析解决问题的方法及其特点。
一、动能的表达式
1．定义：动能是由于物体运动而具有的能量。
2．表达式：Ek＝mv2，式中v是瞬时速度。
3．单位：在国际单位制中，动能的单位是焦耳，符号是J。
4．矢标性：动能是一个标量，还是一个状态量。
二、动能定理
1．动能定理的推导：
2．动能定理：
(1)内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
(2)表达式：W＝Ek2－Ek1＝mv－mv。
其中：①Ek2表示物体的末动能；
②Ek1表示物体的初动能；
③W表示合力做的功，或说是物体所受所有外力对物体做功的代数和。
(3)适用范围：动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，应用非常广泛。
第三节 功率
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．关于功率的概念，以下说法正确的是( )
A．功率是描述力对物体做功多少的物理量
B．由P＝可知，功率与时间成反比
C．由P＝Fv可知只要F不为零，v也不为零，那么功率P就一定不为零
D．某个力对物体做功越快，它的功率就一定大
2．在平直公路上以一定速率(约为5 m/s)行驶的自行车所受阻力为车和人总重力的0.02倍，则骑车人的功率最接近于(车和人的总质量约为100 kg)( )
A．0.1 kW B．1×103 kW C．1 kW D．10 kW
3．质量为1 kg的物体从某一高度自由下落，设1 s内物体未着地，则该物体下落1 s末重力做功的瞬时功率是(g取10 m/s2)( )
A．25 W B．50 W C．75 W D．100 W
4．铁路提速要解决许多具体的技术问题，其中提高机车牵引力功率是一个重要的问题。若匀速行驶时，列车所受阻力与速度的平方成正比，即Ff＝kv2，那么，当列车分别以120 km/h和40 km/h的速度在水平直轨道上匀速行驶时，机车的牵引力的功率之比为( )
A．3∶1 B．9∶1 C．27∶1 D．81∶1
5．一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其vt图象如图所示。已知汽车的质量为m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，则( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为4×103 N B．汽车在前5 s内的牵引力为5×103 N
C．汽车的额定功率为60 kW D．汽车的最大速度为40 m/s
6．一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时起，第1 s内受到2 N的水平外力作用，第2 s内受到同方向的1 N的外力作用。下列判断正确的是( )
A．0～2 s内外力的平均功率是 W
B．第2秒内外力所做的功是 J
C．第2秒末外力的瞬时功率最大
D．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是
7．某科技创新小组设计制作出一种全自动升降机模型，用电动机通过钢丝绳拉着升降机由静止开始匀加速上升，已知升降机的质量为m，当升降机的速度为v1时，电动机的电功率达到最大值P，此后电动机保持该功率不变，直到升降机以最大速度v2匀速上升为止，整个过程中忽略摩擦阻力及空气阻力，重力加速度为g。有关此过程，下列说法正确的是( )
A．钢丝绳的最大拉力为
B．升降机的最大速度v2＝
C．钢丝绳的拉力对升降机所做的功等于升降机克服重力所做的功
D．升降机的速度由v1增大到v2的过程中，钢丝绳的拉力不断减小
二、非选择题
8．滑板运动是一项非常刺激的水上运动。研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力FN垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率(水可视为静止)。某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时，如图所示，滑板做匀速直线运动，相应的k＝54 kg/m，人和滑板的总质量为108 kg，试求水平牵引力的功率。(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，忽略空气阻力)
9．如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vmax＝1.02 m/s的匀速运动。g取10 m/s2，不计额外功。求：
(1)起重机允许输出的最大功率；
(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2 s末的输出功率。
参考答案
1．解析：功率是描述物体做功快慢的物理量，所以A错，D对；功率与时间没有直接关系，B错；当F⊥v时，P＝0，所以C错，正确选项为D。
答案：D
2．解析：因为车速v＝5 m/s，骑车时的牵引力F＝Ff＝0.02×100×10 N＝20 N，所以功率P＝Fv＝20×5 W＝100 W，即0.1 kW，故A正确。
答案：A
3．解析：1 s末速度v＝gt＝10 m/s，方向竖直向下，与重力的方向相同，由P＝Fv，可知重力的瞬时功率为100 W，选项D正确。
答案：D
4．解析：根据公式P＝Ffv＝kv3，可得列车分别以120 km/h和40 km/h的速度匀速行驶时，机车的牵引力功率之比为27∶1。
答案：C
5．解析：Ff＝μmg＝2×103 N，由题图知匀加速运动的加速度为a＝2 m/s2，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，故F＝6×103 N，故A、B错；因5 s达到额定功率，P额＝F·v＝6×103×10 W＝60 kW，C正确；P额＝Ff·vm，得vm＝30 m/s，D错误。
答案：C
6．解析：由牛顿运动定律和运动学公式求出1 s末、2 s末速度分别为：v1＝2 m/s、v2＝3 m/s，故合力做功为W＝mv2＝4.5 J，功率为P＝＝ W＝1.5 W,1 s末、2 s末功率分别为：4 W、3 W，第1秒内与第2秒内动能增加量分别为：mv＝2 J、mv－mv＝2.5 J，比值为4∶5。
答案：CD
7．解析：升降机先做匀加速运动后做变加速运动再做匀速运动，在匀加速运动过程中钢丝绳的最大拉力大于重力，即F＞mg＝，选项A错误；匀速运动时升降机有最大速度v2＝，选项B正确；加速上升时，由于F＞mg，所以钢丝绳对升降机做的功大于升降机克服重力做的功，升降机速度由v1增大到v2的过程中，由P＝Fv知，钢丝绳的拉力不断减小，最终等于重力，选项C错误，D正确。
答案：BD
8．解析：以滑板和运动员为研究对象，其受力如图所示
由平衡条件可得
FNcos θ=mg①
FNsin θ＝F②
由①②联立，得
F＝810 N
FN＝，FN＝kv2
得v＝＝5 m/s
则水平牵引力的功率P＝Fv＝4 050 W
答案：4 050 W
9．解析：(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力。
P0＝F0vmax①
F0＝mg②
代入数据，有：P0＝5.1×104 W。③
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：
P0＝Fv1④
F－mg＝ma⑤
v1＝at1⑥
由③④⑤⑥，代入数据，得：t1＝5 s⑦
t＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则
v2＝at⑧
P＝Fv2⑨
由⑤⑧⑨，代入数据，得：P＝2.04×104 W。
答案：(1)5.1×104 W (2)5 s 2.04×104 W
第三节 功率
课堂探究
探究一 对功率的理解
问题导引
如图所示，两个质量相等的人爬相同的楼，他们的重力做的功相同吗？做功的功率相同吗？
提示：两个人重力做的功相等，但年轻人爬得快，用的时间少，重力做功的功率大。
名师精讲
1．功率——比值定义的方法
功率是描述力对物体做功快慢的物理量，定义为功与完成这些功所用时间的比值。所以功率的大小只与其比值有直接联系，与做功多少和时间长短无直接联系。比较功率的大小，就要比较这个比值：比值越大，功率就越大，做功就越快；比值越小，功率就越小，做功就越慢。
2．平均功率与瞬时功率的比较
物理意义
公式
平均功率
在一段时间内或某一过程中做功的快慢
P＝或P＝Fcos θ
瞬时功率
物体在某一时刻或某一位置时做功的快慢
P＝Fvcos α，v为某时刻的瞬时速度
3.对公式P＝Fv的理解
(1)F、v、P的对应关系：
①同时性：P、F、v三个量中任意一个物理量都是可以变化的，但应用P＝Fv时，三者一定对应于同一时刻。
②同体性：P、F、v是对应于同一物体的三个物理量，对不在同一物体上三者关系讨论，毫无意义。
③同向性：P＝Fv应用时F与v同向，若F的方向与v的方向成α角，则P＝Fvcos α。
(2)P＝Fv中三个量的制约关系：
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
P与v成正比
汽车在高速路上行驶，加大油门增大输出功率，可以提高速度
警示 (1)求解瞬时功率时，通常选用公式P＝Fvcos α。(2)求解平均功率时，公式P＝和P＝Fcos θ均可，要根据具体情况灵活选取。
【例1】 质量为m＝0.5 kg的物体从高处以水平初速度v0＝5 m/s抛出，求：
(1)2 s内重力对物体做的功是多少？
(2)2 s内重力对物体做功的平均功率是多少？
(3)2 s末，重力对物体做功的瞬时功率是多少？(g取10 m/s2)
点拨：平均功率用公式P＝求解，瞬时功率用P＝Fvcos α＝Fv分(沿力方向的分速度)求解。
解析：(1)抛出后2 s内，物体在竖直方向下落的高度
h＝gt2＝×10×22 m＝20 m
故重力做功WG＝mgh＝0.5×10×20 J＝100 J。
(2)平均功率P＝＝ W＝50 W。
(3)在t＝2 s末，物体在竖直方向的分速度
vy＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，
所以t＝2 s末重力的瞬时功率P＝mgvy＝100 W。
答案：(1)100 J (2)50 W (3)100 W
题后反思 对于功率问题，首先要弄清楚是平均功率还是瞬时功率。在利用P＝Fvcos α求解时可以变化为P＝Fv分＝F分v，即力乘以沿力方向的分速度，或沿速度方向的分力乘以速度。
触类旁通 假设抛出点的高度h＝45 m，求落地时重力的功率及下落过程中重力的功率。
提示：150 W 75 W
探究二 机车启动问题过程分析
问题导引
汽车以不同的方式启动，一次保持发动机的功率不变，一次保持加速度不变，请思考：
(1)发动机的功率不变时，汽车的加速度能否保持不变？
(2)汽车的加速度不变时，发动机的功率能否保持不变？
提示：(1)根据P＝Fv，功率不变，速度增大时，牵引力必定减小，由牛顿第二定律可知，汽车的加速度减小；(2)加速度不变，则牵引力不变，由P＝Fv可知，随着速度的增大，发动机的功率不断增大。
名师精讲
1．机车以恒定功率启动
(1)运动过程分析：
(2)运动过程的v-t关系图象如图所示：
(3)特点：①当机车的牵引力与所受阻力的大小相等时，即F＝Ff，a＝0，机车达到最大速度，此时vmax＝＝；②在加速过程中，加速度是逐渐减小的，如果知道某时刻的速度，就可求得此时刻的加速度。
2．机车以恒定加速度启动
(1)运动过程分析：
(2)运动过程的v-t关系图象如图所示：
(3)特点：①当实际功率小于额定功率时做匀加速直线运动；②当达到额定功率后做加速度减小的变加速运动，当加速度为零时达到最大速度。
特别提醒 (1)在P＝Fv中，P为机动车辆牵引力的功率，所以对应的力F是牵引力并非合力，这一点应引起注意。
(2)无论机动车辆怎样启动，只要有加速度，一定遵守牛顿第二定律。达到最大速度时，牵引力F＝Ff，应注意Ff为机动车辆所受的总阻力。
【例2】 在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车重的0.1倍，求：
(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度；
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率不变从静止启动后，当汽车的加速度为2 m/s2时，速度多大？
点拨：不管汽车以哪种方式启动，最终汽车要达到一个稳定状态，即做匀速直线运动，此时有汽车的牵引力F等于受到的阻力Ff。当以恒定的加速度启动时，其输出功率随速度的增大而增大，当增至额定功率时，匀加速运动就结束了，由牛顿第二定律求出匀加速运动的牵引力F，再由P额＝Fv即可求出匀加速运动结束时的速度v，由v＝at可求出匀加速运动持续的时间。当汽车以额定功率启动时，随着速度的增大，牵引力逐渐减小，先由牛顿第二定律求出加速度为2 m/s2时的牵引力，再由P额＝Fv求出此时的速度。本题是关于汽车以恒定功率启动的问题。在此过程中，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直到加速度为零(即牵引力等于阻力)时，速度达到最大。
解析：(1)当汽车速度最大时，F＝Ff，P＝P额，故
vmax＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)汽车从静止开始匀加速启动过程中，a不变，v变大，P也变大，当P＝P额时，此过程结束，则
F＝Ff＋ma＝(0.1×104×10＋104×0.5) N＝1.5×104 N
v＝＝ m/s＝6.7 m/s
所以t＝＝ s＝13.4 s。
(3)F′＝Ff＋ma′＝(0.1×104×10＋104×2) N＝3×104 N
所以v′＝＝ m/s＝3.3 m/s。
答案：(1)10 m/s (2)13.4 s (3)3.3 m/s
题后反思 解决汽车的启动问题，首先要明确属于恒定功率启动还是恒定加速度启动，找出不变的物理量与变化的物理量之间的关系；其次要明确所求解的问题属于哪个阶段。例如，最大速度是匀加速过程的最大速度，还是汽车能达到的最大速度。
第三节 功率
预习导航
情境导入
课程目标
1.知道功率的物理意义、定义及单位。
2．理解功率的导出式P＝Fv的物理意义，并掌握其用法，会利用功率的两个公式来解释现象和进行计算。
3．理解平均功率和瞬时功率，了解平均功率、瞬时功率、额定功率、实际功率的区别与联系。
一、功率
1．定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫作功率。
2．定义式：P＝
3．单位：国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W。1 W＝1 J/s。技术上常用千瓦(kW)作功率的单位，1 kW＝1_000 W。
4．物理意义：功率是标量，它是表示力对物体做功快慢的物理量。
5．额定功率和实际功率：
定义
特点
联系
额定功率
发动机正常条件下长时间工作时的最大输出功率
不同机械额定功率可能相同，但同一机械额定功率不变
为了机械的安全，P额≥P实
实际功率
发动机实际工作时的输出功率
同一机械实际功率随工作情况而变
二、功率与速度
1．当一个力与物体运动方向在同一条直线上时，力对物体做功的功率，等于力与受力物体速度的乘积。
2．公式：P＝Fv。
(1)若v是平均速度，则P＝Fv计算的是一段时间内的平均功率；
(2)若v是瞬时速度，则P＝Fv计算的是某一时刻的瞬时功率。
3．从P＝Fv可以看出，当发动机的功率一定时，牵引力F与速度v成正比，要增大牵引力，就要减小速度。所以汽车上坡时，司机要换低挡减小速度，得到较大的牵引力；在平直公路上，汽车受到的阻力较小，这时可以使用高挡，在发动机功率相同的情况下使汽车获得较大的速度。
思考 在越野比赛中汽车爬坡时，常常换用低速挡，这是为什么？
提示：由P＝Fv可知，汽车在上坡时需要更大的牵引力，而发动机的额定功率是一定的，换用低速挡的目的是减小速度从而增大牵引力。
第九节 实验：验证机械能守恒定律
自我小测
1．某位同学做“验证机械能守恒定律”的实验，下列操作步骤中错误的是( )
A．把打点计时器固定在铁架台上，用导线连接到低压交流电源上
B．将连有重锤的纸带穿过限位孔，将纸带和重锤提升到一定高度
C．先释放纸带，再接通电源
D．更换纸带，重复实验，根据记录处理数据
2．在“验证机械能守恒定律”的实验中，某同学依据纸带求得相关各点的瞬时速度，以及与此相对应的下落距离h，以v2为纵轴，以h为横轴，建立坐标系，描点后画出变化图线，从而验证机械能守恒定律，若所有操作均正确，则得到的v2h图象应是下图中的( )
3．利用图示装置进行验证机械能守恒定律的实验时，需要测量物体由静止开始自由下落到某点时的瞬时速度v和下落高度h。某班同学利用实验得到的纸带，设计了以下四种测量方案，其中正确的是( )
A．用刻度尺测出物体下落的高度h，并测出下落时间t，通过v＝gt计算出瞬时速度v
B．用刻度尺测出物体下落的高度h，并通过v＝计算出瞬时速度v
C．根据做匀变速直线运动时纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v，并通过h＝计算出高度h
D．用刻度尺测出物体下落的高度h，根据做匀变速直线运动时纸带上某点的瞬时速度，等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v0
4．某同学利用竖直上抛小球的频闪照片验证机械能守恒定律。频闪仪每隔0.05 s闪光一次，图中所标数据为实际距离，该同学通过计算得到不同时刻的速度如下表(当地重力加速度取10 m/s2，小球质量m＝0.2 kg，结果保留三位有效数字)：
时刻
t2
t3
t4
t5
速度(m/s)
5.59
5.08
4.58
(1)由频闪照片上的数据计算t5时刻小球的速度v5＝________ m/s。
(2)从t2到t5时间内，重力势能增加量ΔEp＝________ J，动能减小量ΔEk＝________ J。
(3)在误差允许的范围内，若ΔEp与ΔEk近似相等，从而验证了机械能守恒定律。由上述计算得ΔEp________ΔEk(选填“＞”“＜”或“＝”)，造成这种结果的主要原因是________________________________________________________________________。
5．为了测定一根轻弹簧压缩最短时能储存的弹性势能的大小，可以将弹簧固定在一带有凹槽轨道的一端，并将轨道固定在水平桌面边缘上，如图所示，用钢球将弹簧压缩至最短，最后突然释放，钢球将沿轨道飞出桌面，实验时
(1)需要测定的物理量为____________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(2)计算弹簧最短时弹性势能的关系式是Ep＝________。
6．用如图甲实验装置验证m1、m2组成的系统机械能守恒。m2从高处由静止开始下落，m1上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。图乙给出的是实验中获取的一条纸带：0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点(图中未标出)，计数点间的距离如图所示。已知m1＝50 g，m2＝150 g，打点计时器工作频率为50 Hz，则(g取10 m/s2，结果保留两位有效数字)：
甲
(1)在纸带上打下计数点5时的速度v＝________ m/s；
(2)在打0～5的过程中系统动能的增量ΔEk＝______ J，系统势能的减少量ΔEp＝________ J，由此得出的结论是_____________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(3)若某同学作出v2h图象如图丙所示，则当地的重力加速度g′＝________ m/s2。
参考答案
1．解析：使用打点计时器的实验均需先接通电源且打点稳定时才能松开纸带。
答案：C
2．解析：mv2＝mgh得v2＝2gh，所以v2∝h，所画v2h图象是一通过原点的直线。
答案：C
3．答案：D
4．解析：(1)v5＝ cm/s＝408 cm/s＝4.08 m/s。
(2)由题给条件知：
h25＝(26.68＋24.16＋21.66) cm＝72.5 cm＝0.725 m。
ΔEp＝mgh25＝0.2×10×0.725 J＝1.45 J
ΔEk＝mv－mv＝×0.2×(5.592－4.082) J＝1.46 J
(3)由(2)中知ΔEp＜ΔEk，因为存在空气摩擦等原因，导致重力势能的增加量小于动能的减少量。
答案：(1)4.08 (2)1.45 1.46 (3)＜ 原因见解析
5．解析：(1)需要测定的物理量有：钢球质量m、桌面高度h、钢球落点与飞出点的水平距离s。
(2)弹簧最短时的弹性势能全部转化为钢球平抛时的初动能，Ep＝mv，而根据平抛运动规律有：
h＝gt2，s＝v0t得，v0＝，
故Ep＝mv＝。
答案：(1)钢球质量m、桌面高度h、钢球落点与飞出点的水平距离s (2)
6．解析：(1)在纸带上打下计数点5时的速度大小为
v＝＝×10－2 m/s＝2.4 m/s
(2)在打点0～5过程中系统动能的增量为
ΔEk＝m1v2＋m2v2－0＝×50×10－3×2.42 J＋×150×10－3×2.42 J－0≈0.58 J
系统重力势能的减少量为
ΔEp＝m2gh05－m1gh05＝150×10－3×10×(38.40＋21.60)×10－2 J－50×10－3×10×(38.40＋21.60)×10－2 J＝0.60 J
实验结果表明，在误差允许的范围内，m1、m2组成的系统重力势能的减少量等于动能的增加量，即系统的机械能守恒。
(3)m1、m2组成的系统机械能守恒，则
m2g′h－m1g′h＝m2v2＋m1v2－0，整理得v2＝g′h
可见，重力加速度g′大小等于h图象斜率的2倍，则
g′＝2× m/s2＝9.7 m/s2。
答案：(1)2.4 (2)0.58 0.60 在误差允许的范围内，m1、m2组成的系统机械能守恒 (3)9.7
第九节 实验：验证机械能守恒定律
课堂探究
探究一 实验注意事项
1．先接通电源打点，后释放纸带。
2．选取纸带：(1)选择开始的一段时，要验证的是mv＝mghn，必须保证纸带上的第一点为重物静止释放时打的点，所以前两个点的间距为h＝gt2＝×10×(0.02)2 m＝2 mm。
(2)选择运动中的一段时，要验证的是mv－mv＝mghmn，这时选择纸带不需要满足前两点间距为2 mm。
3．计算速度时不能用v＝gt或v＝，否则就犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误。
4．测量下落高度时，为减小实验误差，后边的点应距起点O较远，在测量各点到O点的距离时，应当用刻度尺从O点量起，一次性读出各点到O点的距离。
探究二 数据处理
1．求瞬时速度
由公式vn＝可以计算出重物下落h1、h2、h3…的高度时对应的瞬时速度v1、v2、v3…
2．守恒验证
方法一：利用起始点。
利用起始点和第n点计算。代入ghn和v，如果在实验误差允许的范围内，ghn＝v，则机械能守恒定律得到验证。
方法二：任取两点。
(1)任取两点A、B，测出hAB，求出ghAB。
(2)求出A、B两点的瞬时速度，求出v－v的值。
(3)如果在实验误差允许的范围内，ghAB＝v－v，则机械能守恒定律得到验证。
方法三：图象法。
从纸带上选取多个点，测量从第一个点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出v2-h图线。
若在误差允许的范围内图象是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。
探究三 误差分析
1．测量长度会带来偶然误差。减小偶然误差的办法：
(1)测距离都应从O点测起；
(2)多次测量取平均值；
(3)选取的计数点应尽可能离O点远些，以减小相对误差。
2．重物在拖着纸带下落的过程中必然受到阻力作用，主要是打点计时器与纸带间的摩擦力以及空气的阻力。克服这些阻力做功要消耗能量，所以重物动能的增加量ΔEk必定小于重力势能的减少量ΔEp。这是实验设计上带来的系统误差。
3．打点计时器周期变化带来误差。
【例1】 (实验原理及过程的理解)在验证机械能守恒定律的实验中，有同学按以下步骤进行实验操作：
A．用天平称出重物和夹子的质量。
B．固定好打点计时器，将连着重物的纸带穿过限位孔，用手提住，且让手尽量靠近打点计时器。
C．松开纸带，接通电源，开始打点。并如此重复多次，以得到几条打点纸带。
D．取下纸带，挑选点迹清晰的纸带，记下起始点O，在距离O点较近处选择连续几个计数点(或计时点)，并计算出各点的速度值。
E．测出各点到O点的距离，即得到重物下落的高度。
F．计算出mghn和mv，看两者是否相等。
在以上步骤中，不必要的步骤是______；有错误或不妥的步骤是______(填写代表字母)；更正情况是①______，②______，③______，④______。
点拨：对于物理实验，掌握实验原理和操作方法是最基本的要求。只有掌握了实验原理，才能判断出实验步骤中哪些是错误的，哪些是必要的；只有亲自动手进行认真的操作，才能正确地对实验步骤按序排列。
解析：本实验的目的是要验证机械能守恒定律，即比较重物在下落过程中重力势能的减少量ΔEp与动能的增加量ΔEk是否相等，如果操作不当或错误，就会增大重物和纸带所受阻力，导致机械能损耗过大，无法达到实验目的。为了保证实验成功和减少机械能损耗，在实验操作时应遵照注意事项，因此本题可对照实验注意事项和围绕减小误差方面进行考虑。
因本实验是通过比较重力势能的减少量ΔEp是否等于动能的增加量ΔEk来验证机械能守恒的，不需要知道动能的具体数值，因而不需要测出重物和夹子的质量，故步骤A是多余的。
有错误或不妥的步骤是B、C、D、F。原因和更正办法分别是：
B中“让手尽量靠近”应改为“让重物尽量靠近打点计时器”，因打点计时器开始工作应从与重物靠近的纸带开始打点，不致留下过长的空白纸带，纸带也不宜过长，约40 cm即可。
C中应先接通电源，后松开纸带。因为只有当打点计时器工作正常后再让重物下落，才可保证打第一个点时重物的初速度为零，并且使纸带上的第一个点是清晰的小点。
D中应将“距离O点较近处”改为“距离O点较远处”，因为所取的各计时点应尽量是重物自由下落运动的真实记录，而打点计时器接通电源开始工作后不一定很快就能达到稳定状态，同时开始的几个点比较密集，会增加长度测量的误差。
F中应改为“ghn和v”，因本实验中是通过比较重物的重力势能减少量mghn和动能增加量mv的大小来达到验证的目的，对于同一个研究对象(重物)来说，质量是一定的，故只需比较ghn和v就能达到目的。
答案：见解析
题后反思 做实验，要了解其目的、原理、器材及其思路，才能很好地把握过程(步骤)。无须死记硬背。
【例2】 (实验数据的处理)在“验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所用电源频率为50 Hz，当地重力加速度的值为9.80 m/s2，测得所用重物的质量为1.0 kg。甲、乙、丙三个学生分别用同一装置打出三条纸带，量出各纸带上第1、2两点间的距离分别为0.18 cm、0.18 cm和0.25 cm，可看出其中肯定有一个学生在操作上出现了问题，出现的问题是________________________。若按实验要求正确地选出纸带如图所示(相邻计数点的时间间隔为0.02 s)，那么：
(1)纸带的________端与重物相连(填“左”或“右”)；
(2)打点计时器打下计数点B时，重物的速度vB＝________；
(3)从起点O到打下计数点B的过程中重物重力势能的减少量ΔEp＝________，此过程中重物动能的增加量ΔEk＝________；
(4)通过计算，数值上ΔEp________ΔEk(填“＞”“＝”或“＜”)，这是因为______
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(5)实验的结论是__________________________________________________________。
解析：如果重物做自由落体运动，第1、2两点间的距离应接近于0.2 cm，而丙同学的纸带上第1、2两点间的距离远大于这个值，说明重物在打第1点时已有速度，故丙同学在操作时出现的问题是先释放纸带后接通电源。
(1)纸带左端相邻两点之间的距离小，故纸带左端与重物相连。
(2)B点对应的速度vB＝＝0.98 m/s
(3)ΔEp＝mghOB＝0.49 J，ΔEk＝mv＝0.48 J
(4)ΔEp＞ΔEk，在实验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转化为动能。
(5)在实验误差允许的范围内，重物的机械能守恒。
答案：先释放纸带后接通电源 (1)左 (2)0.98 m/s (3)0.49 J 0.48 J (4)＞ 实验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转化为动能 (5)在误差允许的范围内，重物的机械能守恒
题后反思 解答该题时千万不可认为既然机械能是守恒的，就直接将动能的增加量等于重力势能的减少量。因为该题是要求通过实验验证机械能守恒定律的，是否守恒要通过实验数据的计算来说明。
【例3】 (创新实验设计)某实验小组利用如图所示的实验装置来验证钩码和滑块所组成的系统机械能守恒。实验前需要调整气垫导轨底座使之水平，用游标卡尺测得遮光条的宽度为d，实验时将滑块从图示位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门的时间Δt。
(1)实验前需要调整气垫导轨底座使之水平，利用现有器材如何判断导轨是否水平？
(2)在本次实验中还需要测量的物理量有：钩码的质量m、______和______(用文字说明并用相应的字母表示)。
(3)本实验通过比较______和______在实验误差允许的范围内相等(用测量的物理量符号表示)，从而验证了系统的机械能守恒。
(4)你估计减少的重力势能和增加的动能哪个可能偏小？____________。
你认为造成这种偏差的原因可能是______________________________。
解析：(1)接通气源，将滑块静置于气垫导轨上，若滑块基本保持静止，则说明导轨是水平的(或轻推滑块，滑块能做匀速直线运动)。
(2)本实验中钩码减少的机械能转化为钩码和滑块的动能，所以需要测出滑块的质量M以及钩码下降的高度即滑块上的遮光条初始位置到光电门的距离x。
(3)此过程中钩码减少的重力势能为mgx，滑块运动到光电门时的速度v＝，钩码和滑块增加的动能为(m＋M)2，在实验误差允许的范围内，只要计算出mgx与(m＋M)2相等，就验证了系统的机械能守恒。
(4)运动过程中存在摩擦力，定滑轮也有质量，所以钩码减少的重力势能一方面转化为系统(包括定滑轮)的动能，另一方面要克服摩擦力做功，所以系统增加的动能要小一些。
答案：见解析
题后反思 此题为一个验证性实验题，要求根据物理规律选择需要测定的物理量，运用实验方法判断如何减小实验误差。掌握各种实验方法是解题的关键。
第九节 实验：验证机械能守恒定律
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情境导入
课程目标
1.理解实验的设计思路，明确实验中需要直接测量的物理量。
2．知道实验中选取测量点的有关要求，会根据实验中打出的纸带测定物体下落的距离，掌握测量物体运动的瞬时速度的方法。
3．能正确进行实验操作，能够根据实验数据的分析得出实验结论。
4．能定性地分析产生实验误差的原因，并会采取相应的措施减小实验误差。
一、实验目的
利用重物自由下落的现象验证机械能守恒定律。
二、实验器材
1．铁架台(带铁夹)；
2．打点计时器；
3．重锤(带纸带夹子)；
4．纸带几条；
5．复写纸片；
6．导线；
7．直尺；
8．学生电源。
三、实验原理
在自由落体运动中，物体的重力势能和动能可以相互转化，但总机械能守恒。
方法1：若以重物下落的起始点O为基准，设重物的质量为m，某一时刻物体下落的瞬时速度为v，下落高度为h，则应有mgh＝mv2，借助打点计时器，测出重物某时刻的下落高度h和该时刻的瞬时速度v，即可验证机械能是否守恒。
方法2：任意找两点A、B，分别测出两点的速度大小vA、vB以及两点之间的距离Δh。若物体的机械能守恒，应有ΔEp＝ΔEk。
测定第n点的瞬时速度的方法是：测出第n点的前、后相邻的两段相等时间T内下落的距离xn和xn＋1，由公式vn＝，或由vn＝算出。
四、实验步骤
1．仪器安装：
按图将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，接好电路(电源频率为50 Hz)。
2．打纸带和选纸带：
打纸带：将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落。更换纸带重复做3～5次实验。
选纸带，分两种情况说明：
(1)应选点迹清晰的纸带，且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带。若1、2两点间的距离大于2 mm，这是由于先释放纸带，后接通电源造成的。这样，第1个点就不是运动的起始点了，这样的纸带不能选。
(2)用mv－mv＝mgΔh验证机械能守恒定律时，由于重力势能的相对性，处理纸带时，选择适当的点为基准点，这样纸带上打出的第1、2两点间的距离是否为2 mm就无关紧要了，所以只要后面的点迹清晰就可选用。
3．在起始点标上0，在以后各点依次标上1、2、3、…，用刻度尺测出对应的下落高度h1、h2、h3、…
4．由公式vn＝计算出各计数点的瞬时速度v1、v2、v3、…、vn，再计算出相应的动能及动能的增加量。
5．利用公式ΔEp＝mgΔh计算出各计数点与第一个点的重力势能的减少量。
6．比较动能增加量及重力势能的减少量的大小，验证机械能是否守恒。
第二节 功
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．下列关于力做功的说法中正确的是( )
A．人用力F＝300 N将足球踢出，球在空中飞行40 m，人对足球做功1 200 J
B．人用力推物体，但物体未被推动，人对物体做功为零
C．物体竖直上升时，重力不做功
D．只有恒力才能做功，变力不能做功
2．如图所示，一小孩和一大人都以水平的力匀速推动相同的木箱在相同的路面走同样的位移(推箱的速度大小如图中所注)，比较此过程中两人分别对木箱做功的多少( )
A．大人做的功多 B．小孩做的功多
C．大人和小孩做的功一样多 D．条件不足，无法判断
3．一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速、后匀速、再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功情况是( )
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D．始终做正功
4．关于摩擦力做功，下列说法正确的是( )
A．静摩擦力总是做正功，滑动摩擦力总是做负功
B．静摩擦力对物体不一定做功，滑动摩擦力对物体一定做功
C．静摩擦力对物体一定做功，滑动摩擦力对物体可能不做功
D．静摩擦力和滑动摩擦力都可能对物体不做功
5．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出至回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )
A．0 B．－Fh C．－2Fh D．－4Fh
6．质量为2 kg的物体放在动摩擦因数μ＝0.1的水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，水平拉力做的功W和物体发生的位移x之间的关系如图所示，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．此物体在AB段做匀加速直线运动
B．此物体在AB段做匀速直线运动
C．此物体在OA段做匀加速直线运动
D．此物体在OA段做匀速直线运动
7．质量为2 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受到水平拉力F的作用，沿水平方向做匀变速直线运动，2 s后撤去F，其运动的速度图象如图所示，g取10 m/s2，则下列说法中正确的是( )
A．拉力F对物体做功150 J B．拉力F对物体做功500 J
C．物体克服摩擦力做功100 J D．物体克服摩擦力做功175 J
二、非选择题
8．如图所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F开始提升原来静止的质量为m＝10 kg的物体，以大小为a＝2 m/s2的加速度匀加速上升。求前3 s内力F做的功。(g取10 m/s2)
9．如图所示，一个质量m＝2 kg的物体，受到与水二次方向成37°角斜向上的拉力F1＝10 N，在水平地面上移动的位移l＝2 m，物体与地面间的滑动摩擦力F2＝4.2 N，求外力对物体所做的总功。
参考答案
1．解析：人用力踢足球时，力F不是始终作用于足球上，A错误；人用力推物体，物体位移为零，则人对物体做功为零，B正确；物体竖直上升时，重力做负功，C错误；只要物体在力的方向上有位移，力就对物体做功，无论此力是恒力还是变力，D错误。
答案：B
2．解析：因为木箱匀速运动，小孩和大小所用的推力相等，又因为所走的位移相同所以做功一样多，C选项正确。
答案：C
3．解析：力与运动方向始终相同，故D选项正确。
答案：D
4．解析：不论是静摩擦力还是滑动摩擦力，都可以做正功、负功或不做功，例如，推一木块在桌面上滑动，滑动摩擦力对木块做负功，滑动摩擦力对桌面不做功。
答案：D
5．解析：物体在上升和下降过程，空气阻力大小不变方向改变但都是阻碍物体运动，亦即上升过程和下降过程都是做负功，所以全过程空气阻力对物体做功：WF＝WF上＋WF下＝－Fh＋(－Fh)＝－2Fh。
答案：C
6．解析：由题中图象得：此物体在OA段所受的水平拉力为F1＝＝5 N，在AB段所受的水平拉力为F2＝＝2 N；物体所受滑动摩擦力为Ff＝μmg＝2 N，所以此物体在AB段做匀速直线运动，选项B正确；此物体在OA段做匀加速直线运动，选项C正确。
答案：BC
7．解析：前2秒的加速度a1＝ m/s2＝2.5 m/s2，
2秒～6秒的加速度a2＝ m/s2＝－2.5 m/s2，
由牛顿第二定律得：
F－Ff＝ma1
Ff＝ma2
解得：F＝10 N，Ff＝5 N，
前2秒位移：
x1＝(5＋10)×2 m＝15 m，
2秒～6秒位移：
x2＝×(10＋0)×4 m＝20 m，
所以WF＝Fx1＝150 J，Wf＝Ff(x1＋x2)＝175 J，选项A、D正确。
答案：AD
8．解析：3 s内物体的位移
x＝at2＝×2×32 m＝9 m。
设绳对物体的拉力为F1，由牛顿第二定律有
F1－mg＝ma得F1＝120 N。
3 s内力F所做的功W＝F1x＝120×9 J＝1 080 J。
答案：1 080 J
9．解析：解法1：拉力F1对物体所做的功为
W1＝F1lcos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J
摩擦力F2对物体所做的功为：
W2＝F2lcos 180°＝4.2×2×(－1) J＝－8.4 J
外力对物体所做的总功W等于W1和W2的代数和。
所以W＝W1＋W2＝7.6 J。
解法2：物体受到的合力为
F合＝F1cos 37°－F2＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N
所以W＝F合l＝3.8×2 J＝7.6 J。
答案：7.6 J
第二节 功
课堂探究
探究一 对功的理解
问题导引
下面三种情景中，人是否对物体做功？
提示：甲图中，杠铃不动，没有位移，人没有做功；乙图中，花在力的方向上没有位移，人不做功；丙图中，拖把在人对其的力的方向上发生了位移，人对拖把做功。
名师精讲
1．做的功的两个必要因素
(1)物体受到力的作用；
(2)物体在力的方向上有位移。
如图甲所示，举重运动员举着杠铃不动时，杠铃没有发生位移，举杠铃的力对杠铃没有做功。
如图乙所示，足球在水平地面上滚动时，重力对球做的功为零。
功是力在空间上的积累效应，它总是与一个具体的过程相联系，因此，功是一个过程量。同时功与具体的某一个力或某几个力对应，学习时要注意是哪一个力或哪几个力的功，以及所对应的过程。
2．对公式W＝Flcos α的理解
(1)F表示力的大小，l表示力的作用点相对于地面的位移的大小，当力的作用点的位移与物体的位移相同时，也常常说是物体相对于地面的位移大小，α表示力和位移方向间的夹角。
(2)公式可以表达为W＝F·lcos α，表达的意义是功等于沿力F方向的分位移与力的乘积；公式也可以表达为W＝Fcos α·l，表达的物理意义是功等于位移与沿位移方向的分力的乘积。
特别提醒 (1)式中F一定是恒力。若是变力，中学阶段一般不用上式求功。
(2)式中的l是力的作用点的位移，也为物体对地的位移。α是F的方向与l的方向间的夹角。
(3)力对物体做的功只与F、l、α三者有关，与物体的运动状态等因素无关。
【例1】 (多选)如图所示，用恒力F拉着质量为m的物体沿水平面从A移到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功多
B．有摩擦力时与无摩擦力时F做功一样多
C．物体加速运动时F做的功比减速运动时F做的功多
D．物体无论是加速、减速还是匀速，力F做的功一样多
解析：由功的公式W＝Flcos α可得力F对物体m做的功W＝Fl，与有无摩擦力无关，与物体是加速、减速还是匀速运动也无关，因此选项B、D正确。
答案：BD
题后反思 求功时，必须要明确哪个力在哪个过程中做功。力F所做的功只与F的大小及在力F方向上发生的位移大小有关，与物体是否受其他力及物体的运动状态等因素均无关。
探究二 对正功和负功的理解
问题导引
(1)如图甲所示，前面的人向前拉车，后面的人向后拉车，两个人分别对车做了什么功呢；
(2)如图乙所示，推出的铅球在空中运动的过程中，重力对铅球的做功情况如何？
提示：(1)前面的人对车的拉力与小车位移方向的夹角小于90°，做正功；后面的人对车的拉力与小车位移的夹角大于90°，做负功；(2)推出的铅球在上升过程中，重力方向与速度方向夹角大于90°，重力做负功；铅球在下落中，重力方向与速度方向的夹角小于90°，重力做正功。
名师精讲
1．功是标量
(1)功是标量，只有量值，没有方向。功的正、负并不表示功的方向，而且也不是数量上的正与负。我们既不能说“正功与负功的方向相反”，也不能说“正功大于负功”，它们仅仅表示相反的做功效果。
(2)一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功，这两种说法是等效的。例如，滑动摩擦力对物体做的功为－10 J，也可以说成物体克服摩擦力做的功为10 J。
(3)比较做功多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如，－8 J的功要比5 J的功多。
2．判断力是否做功及做功正负的方法
(1)看力F的方向与位移l的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向与速度v的方向间的夹角α——常用于曲线运动的情形。
若α为锐角则做正功，若α为直角则不做功，若α为钝角则做负功。
3．功的正负的物理意义
动力学角度
能量角度
正功
若某力对物体做正功，则这个力对物体来说是动力
若力对物体做功，则外界向物体提供能量，即受力物体获得了能量
负功
若某力对物体做负功，则这个力对物体来说是阻力
若物体克服外力做功，则物体要消耗自身的能量，即物体失去了能量
【例2】 (多选)如图，人站在自动扶梯上不动，随扶梯向上匀速运动，下列说法中正确的是( )
A．重力对人做负功 B．摩擦力对人做正功
C．支持力对人做正功 D．合力对人做功为零
解析：人随电梯向上匀速运动时只受重力和竖直向上的支持力。重力与速度方向的夹角大于90°，所以重力做负功；支持力方向与速度方向间的夹角小于90°，支持力做正功；人受的合力为零，所以合力做功为零，A、C、D正确。
答案：ACD
题后反思 力做正功还是负功的关键是看力与位移(或速度)的夹角。若夹角是锐角则做正功；若夹角为钝角则做负功；若夹角为直角则不做功。
探究三 总功的计算
问题导引
羽毛球击出后，在落地的过程中，重力对它做了2 J的功，水平风力对它做了1 J的功，有的同学认为，根据平行四边形定则，重力和风力一共对羽毛球做的总功是 J，是这样吗？
提示：功是标量，不能根据平行四边形定则求总功，各力做功的代数和就等于总功，本例中重力和风力一共对羽毛球做的总功是3 J。
名师精讲
物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
1．先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcos α计算。
2．由W＝Flcos α计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个外力所做的功求代数和，即W合＝W1＋W2＋…＋Wn。
特别提醒 (1)先求各个力做的功，再求总功时，应用的是算术运算法则，而不是矢量运算法则。
(2)求某一个力做的功时，不受其他力存在的影响。
(3)求各个力做的总功时，每个力对应的位移必须是相对于同一惯性参考系的位移(一般选地面)。
【例3】 如图所示，在光滑水平面上，物体受两个相互垂直的大小分别为F1＝3 N和F2＝4 N的恒力，其合力在水平方向上，从静止开始运动10 m，求：
(1)F1和F2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？
(2)F1和F2合力为多大？合力做功是多少？
点拨：力F1和F2及其合力均为恒力，可以用功的公式W＝Flcos α求解它们的功。
解析：(1)力F1做的功W1=F1lcos θ1=3×10×cos 53° J=18 J
力F2做的功W2=F2lcos θ2=4×10×cos 37° J=32 J
W1与W2的代数和
W=W1+W2=18 J+32 J=50 J。
(2)F1与F2的合力
F== N=5 N
合力F做的功W′=Fl=5×10 J=50 J。
答案：(1)18 J 32 J 50 J (2)5 N 50 J
题后反思 (1)如果物体处于平衡状态或某一方向受力平衡时，或者物体在某一方向上做匀变速直线运动时(合力等于ma)，先求合力再求功的方法更简捷；(2)如果已知物体所受的力之中有的不做功，有的做功且方便求得该力的功(如重力功)时，选择W合＝W1＋W2＋…＋Wn简单方便。
探究四 关于摩擦力的功和相互作用力的功
问题导引
不少人认为：人从静止走动起来的动能的增加是地面摩擦力对人做功的结果，因为人是靠地面摩擦力作用而走动起来的，而且地面给人的摩擦力方向与人行走的方向一致，所以摩擦力对人做正功使人的动能增加。这种说法对不对呢？
提示：我们知道：人的走路过程是脚蹬地——抬脚——迈步，脚蹬地时地面摩擦力作用在脚上，但脚没有离地也就没有位移，脚一旦抬起迈步，摩擦力随之消失。
根据功的定义可以断定，无论脚蹬地时还是迈步时，摩擦力做功都等于零。可见人行走前进并非地面摩擦力做功，而是人体内肌肉的力做功的结果。
名师精讲
1．摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体不做功。
(2)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做负功。
(3)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功。
2．作用力、反作用力做功的特点
(1)作用力与反作用力特点：大小相等、方向相反，但作用在不同物体上。
(2)作用力、反作用力作用下的物体的运动特点：可能向相反方向运动，也可能向相同方向运动，也可能一个运动而另一个静止，还可能两物体都静止。
(3)由W＝Flcos α可以判断，作用力与反作用力的功的特点是：没有必然关系，即不一定是一正一负，绝对值也不一定相等。
【例4】 一辆正在路面上行驶的汽车，遇到前方有人横穿马路时，司机紧急制动后又经过x的距离停下来才避免了一场车祸的发生，若汽车与地面的摩擦力大小为F，则关于汽车与地面间摩擦力做的功，以下说法中正确的是( )
A．摩擦力对汽车、地面均不做功
B．摩擦力对汽车做－Fx的功，对地面做Fx的功
C．摩擦力对汽车、地面均做－Fx的功
D．摩擦力对汽车做－Fx的功，对地面不做功
解析：地面的位移为零，摩擦力对地面不做功，汽车位移为x，摩擦力对汽车做功W＝－Fx，D对，A、B、C错。
答案：D
题后反思 (1)摩擦力并非只做负功，可以做正功、负功或不做功；(2)作用力和反作用力虽然等大反向，但由于其分别作用在两个物体上，产生的位移效果无必然联系，故作用力和反作用力的功不一定一正一负，大小也不一定相等。
第二节 功
预习导航
情境导入
课程目标
1.理解功的概念，知道力和物体在力的方向发生位移是做功的两个不可缺少的因素。
2．理解正功和负功的概念，知道在什么情况下力做正功或负功。
3．知道在国际单位制中，功的单位是焦耳(J)，知道功是标量。
4．掌握合力做功的意义和总功的含义。
5．掌握公式W＝Flcos α的应用条件，并能进行有关计算。
一、功
1．定义：物体在力的作用下能量发生了变化，那么这个力一定对物体做了功。
2．做功的两个不可缺少的因素：①力；②在力的方向上发生的位移。
3．功的公式：
(1)力F与位移l同向时：W＝Fl。
(2)力F与位移l有夹角α时：W＝Flcos__α。
4．单位：国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。
思考 如图，运动员费了很大的劲也没有把重物举起来，他对重物做功了吗？
提示：没有
二、正功、负功
1．恒力做功的情形
由公式W＝Flcos α可知，力对物体做正功还是做负功，由F的方向与位移l的方向间的夹角α决定，具体情况见下表：
夹角α的范围
做功情况
物理意义
功的含义
α＝
cos α＝0，W＝0，即力F对物体不做功
力不是阻力也不是动力，物体动能不变
功是能量转化的量度
0≤α＜
cos α＞0，W＞0，即力F对物体做正功
力是阻力，物体的动能减少
＜α≤π
cos α＜0，W＜0，即力F对物体做负功或说物体克服力F做功
力是动力，物体的动能增加
2.物体做曲线运动的情形
看力F的方向与速度v的方向间的夹角α，若α为锐角则做正功，若α为直角则不做功，若α为钝角则做负功。
三、求合力做的功
当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，等于各个力分别对物体所做功的代数和，可以证明，它也就是这几个力的合力对物体所做的功。
第五节 探究弹性势能的表达式
自我小测
一、选择题(其中第1～4题为单选题，第5～7题为多选题)
1．关于弹簧的弹性势能，下列说法错误的是( )
A．弹簧的弹性势能跟拉伸(或压缩)的长度有关
B．弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关
C．同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
D．弹性势能的大小跟使弹簧发生形变的物体有关
2．如图所示中的几个运动过程中，物体弹性势能增加的是( )
A．如图甲，跳高运动员从压竿到竿伸直的过程中，竿的弹性势能
B．如图乙，人拉长弹簧过程中弹簧的弹性势能
C．如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能
D．如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能
3．在探究弹力与弹簧伸长的关系实验中，通过实验作出弹簧弹力F(N)与弹簧的伸长量x(m)的关系曲线，如下图中正确的是( )
4．在一次实验中，一个压紧的弹簧沿一粗糙水平面射出一个小物体，测得弹簧压缩的距离d和小球在粗糙水平面滑动的距离x的数据如下表所示。由此表可以归纳出小物体滑动的距离x跟弹簧压缩的距离d之间的关系，并猜测弹簧的弹性势能Ep跟弹簧压缩的距离d之间的关系分别是(选项中k1、k2是常量)( )
实验次数
1
2
3
4
d/cm
0.50
1.00
2.00
4.00
x/m
4.98
20.02
80.10
319.5
A．x＝k1d，Ep＝k2d B．x＝k1d，Ep＝k2d2
C．x＝k2d2，Ep＝k1d D．x＝k1d2，Ep＝k2d2
5. 如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中，以下说法正确的是( )
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能减小
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
6．在一次“蹦极”运动中，人由高空落下，到最低点的过程中，下列说法正确的是( )
A．重力对人做正功 B．人的重力势能减小了
C．橡皮绳对人做正功 D．橡皮绳的弹性势能增加了
7. 如图所示，轻弹簧拴着小球放在光滑水平面上，O为弹簧的原长处。现将小球拉至A处后释放，则小球在A、B间往复运动，下列说法正确的是( )
A．从B→O，速度不断减小 B．在O处弹性势能最小
C．从B→O，速度不断增大 D．在B处弹性势能最小
二、非选择题
8. 小玲同学平时使用带弹簧的圆珠笔写字，她想估测里面小弹簧在圆珠笔尾端压紧情况下的弹性势能的增加量。请你帮助她完成这一想法。
(1)写出实验所用的器材：________。
(2)写出实验的步骤和所要测量的物理量(用字母量表示，要求能符合实际并尽量减少误差)。
(3)弹性势能的增加量的表达式ΔEp＝________。(用测得量表示)
9．弹簧原长15 cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到20 cm时，作用在弹簧上的力为400 N，问：
(1)弹簧的劲度系数k为多少？
(2)在该过程中弹力做了多少功？
(3)弹簧的弹性势能变化了多少？
参考答案
1．解析：弹性势能的大小跟形变的大小有关，形变量越大，弹性势能也越大。对于弹簧来说，弹性势能还与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大，故说法正确的选项为A、B、C，本题应选D。
答案：D
2．解析：甲图：从压竿到竿伸直的过程，弹力做正功，弹性势能减小；乙图：弹簧伸长时，弹力做负功，弹性势能增加；丙图：发射模型的过程中，橡皮筋的弹力做正功，弹性势能减小；丁图：小球向上弹起的过程中，弹力做正功，弹性势能减小。
答案：B
3．解析：由胡克定律F＝kx可知B选项正确。
答案：B
4．解析：研究表中的d、x各组数值不难看出x＝k1d2，又弹性势能的减少等于物体克服摩擦力所做的功，即Ep＝μmg·x＝μmg·k1d2＝k2d2，所以正确选项为D。
答案：D
5．解析：由功的公式W＝Fl知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力F＝kl，所以A不正确。弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故B正确。物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，故C错误，D正确。
答案：BD
6．解析：人从高空落到最低点的过程中，重力做正功，人的重力势能减小，橡皮绳对人做负功，橡皮绳的弹性势能增加，故A、B、D正确。
答案：ABD
7．解析：弹簧的弹性势能与形变量有关，在O点处为弹簧的原长，弹性势能最小，故B对，D错；从B→O过程中，弹力对小球做正功，速度不断增大，故A错，C对，正确选项为B、C。
答案：BC
8．解析：(1)刻度尺、天平。
(2)①将圆珠笔紧靠刻度尺竖直放在桌面上；
②在桌面上将圆珠笔尾端压紧，记下笔尖处的读数x1；
③突然放开圆珠笔，观察并记下笔尖到达最高处的读数x2；
④用天平测出圆珠笔的质量m。
(3)mg(x2－x1)。
答案：(1)刻度尺、天平 (2)见解析 (3)mg(x2－x1)
9．解析：(1)由F＝kx得，
k＝＝ N/m＝8 000 N/m。
(2)由于F=kx，作出F-x图象，如图所示，求出图中阴影的面积，即为弹力做功的绝对值，由于伸长过程中弹力F与x方向相反，故弹力做负功，
W=-×400×0.05 J=-10 J。
(3)弹性势能的变化ΔEp=-W，即ΔEp=10 J＞0，表示弹性势能增加10 J。
答案：(1)8 000 N/m (2)-10 J (3)增加10 J
第五节 探究弹性势能的表达式
课堂探究
探究一 对弹性势能的理解
问题导引
如图所示，撑竿跳是运动会上常见的比赛项目，用于撑起运动员的竿要求具有很好的弹性，请思考：在什么时候撑竿的弹性势能最大？是撑竿刚刚触地时，还是运动员撑竿跳起到达最高点时呢？
提示：撑竿形变量最大时，弹性势能最大，故运动员撑竿触地后上升到最高点之前某时刻，竿弹性势能最大。
名师精讲
1．当弹簧的形变量为零时，它的弹性势能为零，弹簧被拉长或被压缩后，都具有弹性势能。
2．影响弹性势能的因素(从弹力做功的角度考虑)：①弹簧的形变量l(形变量是指拉伸或压缩的变化量)。因为形变量越大，用力越大，做功越多。②弹簧的劲度系数k。拉伸相同的长度，不同弹簧的“软硬”不一样，做功不一样。
【例1】 关于弹性势能，下列说法正确的是( )
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增加
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定减少
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧的形变量越大，它的劲度系数k值越大
解析：当弹簧被压缩时，弹簧再变长，弹性势能减少，弹簧再变短，弹性势能增加，A、B都不对；在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大，C正确；劲度系数k是由弹簧本身的因素决定的，和形变量没关系，D不对。
答案：C
题后反思 (1)提到弹性势能，不要仅仅想到弹簧的弹性势能，实际上所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能；(2)弹性势能的大小与劲度系数和形变量两个因素有关。
探究二 弹力做功与弹性势能变化的关系
问题导引
弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具，它是由两根橡皮条和一个木叉制成的(如图所示)，能将石子打出很远的距离。请思考：
(1)拉伸橡皮条时，橡皮条的弹力做什么功？橡皮条的弹性势能怎样变化？
(2)将拉紧的橡皮条释放，石子就以较大的速度飞出。则橡皮条释放时，弹力做什么功，弹性势能怎样变化？
提示：(1)拉紧橡皮条时，橡皮条的形变量变大，弹力做负功，弹性势能变大；(2)释放橡皮条，弹力做正功，弹性势能减少。
名师精讲
1．如图所示，O为弹簧的原长位置。
(1)物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹力做负功，弹性势能增大。
(2)物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹力做
正功，弹性势能减少。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系可表示为W＝－ΔEp。
2．弹性势能与重力势能的比较：
弹性势能
重力势能
定义
发生弹性形变的物体之间由于弹力的相互作用而具有的能量
物体由于被举高而具有的能量
表达式
Ep＝
Ep＝mgh
相对性
弹性势能与零势能位置的选取有关，一般取自然长度时，弹性势能为零
重力势能与零势能位置选取有关，但变化量与参考位置的选取无关
系统性
弹性势能为弹簧本身具有的能量
重力势能为物体与地球这一系统所共有的能量
功能关系
弹性势能的变化等于克服弹力做的功
重力势能的变化等于克服重力做的功
联系
两种势能分别以弹力、重力存在为前提，又由物体的相对位置来决定。两者同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化
警示 公式Ep＝高中阶段不作要求，但熟记公式可迅速判断弹性势能的大小及弹性势能的变化。
【例2】 如图所示，在光滑的水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．弹簧的弹性势能逐渐减少 B．弹簧的弹性势能逐渐增加
C．弹簧的弹性势能先增加后减少 D．弹簧的弹性势能先减少后增加
点拨：当弹簧的弹力做正功时，弹性势能减少；做负功时，弹性势能增加。
解析：撤去F后物体向右运动的过程中，弹簧的弹力先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减少后增加。
答案：D
题后反思 (1)弹性势能大小与弹力做功有关，弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增大；(2)弹性势能大小与弹簧形变量大小有关，形变越大，弹性势能越大。
第五节 探究弹性势能的表达式
预习导航
情境导入
课程目标
1.理解弹性势能的概念。
2．知道探究弹性势能表达式的方法，了解计算变力做功的思想与方法。
3．进一步了解功和能的关系。
一、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体，各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。
2．相关因素：弹性势能与弹簧的形变量和劲度系数有关，在弹簧的形变量l相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能越大。在弹簧劲度系数k相同时，弹簧形变量越大，弹簧弹性势能越大。
二、探究弹性势能的表达式
1．猜想依据
弹性势能与重力势能同属势能。重力势能与物体被举起的高度有关，故弹性势能可能与弹簧的被拉伸的长度l有关；不同质量的物体高度相同时，重力势能不同，形变量相同但劲度系数k不同的弹簧，弹性势能也不同，因此弹性势能的表达式中应含有l和k。
2．弹性势能与弹力做功的关系
重力势能的变化等于重力做的功，故弹性势能的变化等
于弹力做的功。当用外力拉弹簧时，弹力做的功等于拉力做的功。
3．怎样计算拉力做的功
(1)平均力法：因F＝kl，则拉伸弹簧时， ＝，则W＝l＝。
(2)微元法：用微分的办法，把每一小段位移上的力看成恒力，则W＝F1Δl1＋ F2Δl2＋ F3Δl3＋…
(3)图象法：每段弹力的功可用图中细窄的矩形面积表示，整个三角形面积就表示弹力在整个过程中做的功。
4．猜想结论
弹性势能与弹簧的劲度系数k和形变量l有关。当形变量l相同时，劲度系数k越大，弹性势能越大；在劲度系数k相同时，形变量l越大，弹性势能越大。综上，弹性势能Ep＝。
第八节 机械能守恒定律
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．如图所示的四个图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动，在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )
2. 如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的应是( )
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和总保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
3．如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面，若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是(不计空气阻力)( )
A．mv＋mgh B.mv－mgh C.mv D.mv＋mg(H－h)
4. 如图，把一根内壁光滑的细圆管弯成圆周形状，且竖直放置，管口A竖直向上，管口B水平向左，一小球从管口A的正上方h1高处自由落下，经细管恰能到达细管最高点B处。若小球从A管口正上方h2高处自由落下，进入A管口运动到B点后又从空中飞落进A口，则h1∶h2为( )
A．1∶2 B．2∶3 C．4∶5 D．5∶6
5．如图所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各连有一杂技演员(可视为质点)，甲站于地面，乙从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员乙摆至最低点时，甲刚好对地面无压力，则演员甲的质量与演员乙的质量之比为( )
A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1
6．蹦床运动员与床垫接触的过程可简化为下述模型：运动员从高处落到处于自然状态的床垫(A位置)上，随床垫一同向下做变速运动到达最低点(B位置)，如图所示，有关运动员从A运动至B的过程，下列说法正确的是( )
A．运动员的机械能守恒 B．运动员的速度一直减小
C．合力对运动员做负功 D．运动员先失重后超重
7．如图所示，一物体从光滑斜面AB底端A点以初速度v0上滑，沿斜面上升的最大高度为h。下列说法中正确的是(设下列情境中物体从A点上滑的初速度仍为v0)( )
A．若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后上升的最大高度仍为h
B．若把斜面AB变成曲面AEB，物体沿此曲面上升仍能到达B点
C．若把斜面弯成圆弧形D，物体仍沿圆弧升高h
D．若把斜面从C点以上部分弯成与C点相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为h
二、非选择题
8．在跳水比赛中，有一个单项是“3 m跳板”。如图所示，其比赛过程可简化为：运动员走上跳板，跳板被压弯到最低点C，跳板又将运动员竖直向上弹到最高点，运动员做自由落体运动，竖直落入水中。将运动员视为质点，运动员质量m＝60 kg，g取10 m/s2。求：
(1)跳板被压弯到最低点C时具有的弹性势能；
(2)运动员入水前的速度大小。(可以用根号表示结果)
9．在游乐园坐过山车是一项惊险、刺激的游戏。游乐园“翻滚过山车”的物理原理可以用如图所示的装置演示。斜槽轨道AB、EF与半径R＝0.4 m的竖直圆轨道(圆心为O)相连，AB、EF分别与圆O相切于B、E点，C为轨道的最低点，斜轨AB倾角为37°。质量为m＝0.1 kg的小球从A点静止释放，先后经B、C、D、E到F点落入小筐。(整个装置的轨道均光滑，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)小球在光滑斜轨AB上运动的过程中加速度的大小；
(2)要使小球在运动的全过程中不脱离轨道，则A点距离最低点C的竖直高度h至少多高？
参考答案
1．解析：该题考查机械能守恒的判断，对于A、B选项，外力F对物体做功，机械能不守恒。C选项中木块只有重力做功，机械能守恒。D选项中有摩擦力做功，机械能也不守恒。
答案：C
2．解析：球下落过程中受到的重力做正功，弹力做负功，重力势能、弹性势能及动能都要发生变化，任意两种能量之和都不会保持不变，但三种能量有相互转化，总和不变，D对。
答案：D
3．解析：小球下落过程机械能守恒，所以EA＝E0－Ek＝mv，故C正确。
答案：C
4．解析：当小球从管口A的正上方h1高处自由落下，到达细管最高点B处时的速度为零，则根据机械能守恒定律有(取管口A的位置重力势能为零)，mgh1＝mgR，解得h1＝R；当从A管口正上方h2高处自由落下时，根据平抛运动规律有R＝vBt，R＝gt2，解得vB＝，根据机械能守恒定律有mgh2＝mgR＋mv，解得h2＝，故h1∶h2＝4∶5。
答案：C
5．解析：设定滑轮到演员乙的距离为L，那么当乙摆至最低点时下降的高度为，根据机械能守恒定律可知m乙g＝m乙v2；又因当演员乙摆至最低点时，甲刚好对地面无压力，说明绳子上的张力和甲演员的重力相等，所以m甲g－m乙g＝m乙，联立上面两式可得演员甲的质量与演员乙的质量之比为2∶1。
答案：B
6．解析：由能量守恒定律可知，运动员减小的机械能转化为床垫的弹性势能，故选项A错误；当F弹＝mg时，a＝0，在此之前，F弹＜mg，加速度方向向下(失重)，物体做加速运动；在此之后，F弹＞mg，加速度方向向上(超重)，物体做减速运动，选项B错误而选项D正确；从A位置到B位置，由动能定理得，W合＝－Ek0，选项C正确。
答案：CD
7．解析：根据题意，由机械能守恒可知，物体滑到高为h处时速度为零。要使物体上滑的高度仍为h，则物体到达最高点时速度必为零，A、C情况，物体上升到最高点时速度不为零，所以所能达到的高度应小于h，A、C错；B情况上升到最高点时速度必为零，故B正确；D情况上升到最高点时速度可能为零，所以高度也可能仍为h，故D正确。
答案：BD
8．解析：(1)运动员由C点运动到A点时，跳板的弹性势能转化为运动员增加的重力势能，则
Ep＝mghAC＝60×10×(1.5＋0.5) J＝1 200 J
(2)运动员由A点开始做自由落体运动，机械能守恒，则
mghA＝mv2
解得v＝＝ m/s＝3 m/s
答案：(1)1 200 J (2)3 m/s
9．解析：(1)小球在斜槽轨道AB上受到重力和支持力作用，合力为重力沿斜面向下的分力。
由牛顿第二定律得：mgsin 37°＝ma
得：a＝gsin 37°＝6.0 m/s2。
(2)要使小球从A点到F点的全过程不脱离轨道，只要在D点不脱离轨道即可。
小球在D点做圆周运动的临界条件是mg＝m
由机械能守恒定律得：mg(h－2R)＝mv
解得A点距离最低点的竖直高度h至少为：
h＝＋2R＝R＋2R＝2.5×0.4 m＝1.0 m。
答案：(1)6.0 m/s2 (2)1.0 m
第八节 机械能守恒定律
课堂探究
探究一 对机械能守恒定律的理解
问题导引
如图所示，小球抛出后在空中运动(不计空气阻力)的过程机械能守恒吗？降落伞在空中匀速下落时机械能守恒吗？
提示：判断物体机械能是否守恒，依据是只有重力做功。小球抛出后，只受重力作用，机械能守恒；降落伞除了重力做功外，还有阻力做功，机械能不守恒。
名师精讲
1．对机械能守恒条件的理解
机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功。可分如下三层理解：
(1)物体只受重力或弹力作用：如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动(自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等)。
(2)除重力和弹力外，虽受其他力，但其他力不做功。如图所示，如不计空气阻力，小球在摆动过程中细线的拉力不做功，只有重力做功，小球的机械能守恒。
(3)除重力和弹力外，其他力做功的代数和为零。如图所示，A、B构成的系统，忽略绳的质量和绳与滑轮间的摩擦，在A向下、B向上的运动过程中，FA和FB都做功，但对于A、B组成的系统WA+WB=0，不存在机械能与其他形式能量的转化，则A、B构成的系统机械能守恒。
2．机械能守恒的判断
(1)对单个物体而言：其机械能是否守恒一般通过做功来判定。分析除重力，弹簧弹力外，有无其他力做功，若无其他力做功，则其机械能守恒；若有其他力做功，且不为零，则其机械能必不守恒。
(2)对几个物体组成的系统而言：其机械能是否守恒一般通过能量转化来判定。分析除重力势能、弹性势能和动能外，有无其他形式的能参与转化。若无其他形式的能参与转化，则系统机械能守恒；若有其他形式的能参与转化，则系统机械能必不守恒。
特别提醒 (1)物体做匀速直线运动或物体所受合外力为零，不是机械能守恒的条件。
(2)如果除重力、弹力外，还有其他力做功，但其他力做功之和为零，该种情况下只能说机械能不变，不能说机械能守恒。
【例1】 (多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
解析：甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错。乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错。丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，C对。丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D对。
答案：CD
题后反思 判断机械能是否守恒，可以从各力的做功情况着手分析，也可以从能量转化情况着手分析；要根据实际情况灵活选择合适的分析方法。
探究二 机械能守恒定律的应用
问题导引
如图所示，在同一高度处，将同一小球分别以相等大小的速度抛出，忽略空气阻力，这几种情况小球落地时速度大小相等吗？
提示：尽管这几种情况小球的运动情况不同，只有重力做功，小球的机械能守恒，根据机械能守恒定律可知，小球落地时速度大小相等。
名师精讲
1．机械能守恒定律不同的表达形式
(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和。
(2)ΔEk＝－ΔEp或ΔEp＝－ΔEk，即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量。
(3)ΔEA＝－ΔEB，即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量。
2．应用机械能守恒定律解题的步骤
(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取零势能面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能。
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果。
3．机械能守恒定律和动能定理的比较
特别提醒 (1)除重力外还有其他力做功且做功不为零时，其他力做功数值等于机械能的变化量；(2)由于应用动能定理不需要满足什么条件，所以涉及功能关系问题时还是优先考虑动能定理。
【例2】 如图所示，在大型露天游乐场中翻滚过山车的质量为1 000 kg，从轨道一侧的顶点A处释放，到达底部B处后又冲上环形轨道，使乘客头朝下通过C点，再沿环形轨道到达底部B处，最后冲上轨道另一侧的顶端D处，已知D与A在同一水平面。如果不考虑车与轨道间的摩擦和空气阻力，A、B间的高度差为20 m，圆环半径为5 m，g取10 m/s2。试求：
(1)过山车通过B点时的速度；
(2)过山车通过C点时对圆环的压力；
(3)过山车通过D点时的机械能。(以过B点的水平面为零势能面)
点拨：过山车由A到B到C到D的整个过程中，只有重力做功，机械能守恒。根据机械能守恒定律求解。
解析：(1)取过B点的水平面为零势能面，由EA＝EB得
mgh＝mv
解得vB＝20 m/s
或由ΔEk增＝ΔEp减得
mv－0＝mghAB
解得vB＝20 m/s
(2)过山车从A到C的过程有
mv－0＝mg(hAB－2R)
解得vC＝10 m/s
根据牛顿第二定律有
F＋mg＝m
解得F＝3×104 N
根据牛顿第三定律，过山车对圆环的压力大小为3×104 N，方向向上。
(3)由机械能守恒定律可知，过山车在D点时的机械能等于在A点时的机械能，有
ED＝EA＝mgh＝1 000×10×20 J＝2×105 J
答案：(1)20 m/s (2)3×104 N (3)2×105 J
题后反思 运用机械能守恒定律解决问题时，先判断是否只有重力对物体做功，即物体的机械能是否守恒。列式求解时，可选择不同的机械能守恒定律的表达式列出方程。
探究三 系统机械能守恒问题分析
问题导引
如图甲所示，玩跷跷板是很多儿童喜欢的娱乐项目，示意图如图乙所示，跳板轴间光滑，质量不计。开始时小孩B所在一端触地，小孩A坐上另一端，如何求得小孩A所在一端触地瞬间两个小孩的速度大小呢？
提示：两个小孩组成的系统中只有重力做功，因此系统机械能守恒。转动中，两个小孩的速度大小相等，根据“小孩A减少的重力势能转化为小孩B的重力势能及系统增加的动能”列出方程可得小孩的速度大小。
名师精讲
对于除了地球以外，仍有两个或两个以上的物体组成的系统，在只有重力和系统内弹力做功，其他力做功的代数和为零时，系统机械能守恒。
一般情况下，相互关联的多个物体运动时，单个物体机械能不守恒，而整个系统的机械能守恒。可以采用“转移观点”列方程，有时也采用“转化观点”和“守恒观点”，尤其是采用“守恒观点”时，一定要采用同一个重力势能参考平面。
【例3】 如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放b后，求a球可能达到的最大高度为多少？
点拨：b球落地之前，a和b组成的系统机械能守恒。b球落地后，a球单独上升的过程中，a球的机械能守恒。
解析：在b球落地前，a、b两球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，设速度为v，则求解速度的方法如下：
解法一：根据“守恒观点”
ΔE初＝ΔE末，取地面处的重力势能为零，则初状态系统的机械能为3mgh，末状态的机械能为mgh＋mv2＋×3mv2，根据机械能守恒定律有
3mgh＝mgh＋mv2＋×3mv2
解得v＝。
解法二：根据“转化观点”
系统减少的重力势能转化为系统的动能，即
ΔEp＝－ΔEk，则有
3mgh－mgh＝mv2＋×3mv2
解得v＝。
解法三：根据“转移观点”
由题意可知，b球减少的机械能等于a球增加的机械能，即ΔEa＝－ΔEb，则有
3mgh－×3mv2＝mgh＋mv2
解得v＝。
b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，这个过程中机械能守恒，有mv2＝mgΔh，解得Δh＝＝，所以a球可能达到的最大高度为1.5h。
答案：1.5h
题后反思 从守恒的观点列方程，需要事先规定重力势能的参考平面；从转化或转移的角度来看，需要明确能量是从什么能转化为什么能、从哪一个物体转移到哪一个物体，这样，才能正确列出方程。从不同的角度分析，解题的难易程度也不同。
触类旁通 试从动能定理的角度和从动力学的角度求解本题。
提示：从动能定理的角度。对a有(F－mg)h＝mv2，对b有(3mg－F)h＝·3mv2，由两式解得v＝。a之后的上升过程有－mgh′＝0－mv2，解得h′＝
，故a上升的最大高度为1.5h。
从动力学的角度。对a有F－mg＝ma，对b有3mg－F＝3ma，由两式解得a＝0.5g。设b球落地时的速度为v，则v2＝2ah，解得v＝。a之后的上升过程有0－v2＝2(－g)h′，解得h′＝，故a上升的最大高度为1.5h。
第八节 机械能守恒定律
预习导航
情境导入
课程目标
1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化。
2．正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件。
3．在具体问题中，能判定机械能是否守恒并能列出机械能守恒的方程式。
一、动能和势能的相互转化
1．动能与势能的相互转化
(1)动能与重力势能间的转化：只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。
(2)动能与弹性势能间的转化：弹力做正功，弹性势能转化为动能；弹力做负功，动能转化为弹性势能。
2．机械能
(1)物体由于机械运动而具有的能叫机械能。它是动能和势能(包括重力势能和弹性势能)的统称。
(2)机械能是状态量，是标量，没有方向，但有正负之分。
二、机械能守恒定律
1．推导
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这叫作机械能守恒定律。
(2)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2。
3．守恒条件
只有重力(或弹力)做功。
思考礼花弹在上升到最高点的过程中，能量是怎样转化的呢？(不计空气阻力)
提示：动能转化为重力势能。
第六节 实验：探究功与速度变化的关系
自我小测
1．在“探究功与速度变化的关系”的实验中作出W-v图象如图所示，哪一个是符合实际的( )
2．(多选)在用如图所示装置做“探究做功与速度变化的关系”的实验时，下列说法正确的是( )
A．通过改变橡皮筋的条数改变拉力做功的数值
B．通过改变橡皮筋的长度改变拉力做功的数值
C．通过打点计时器打下的纸带来测定小车加速过程中获得的最大速度
D．通过打点计时器打下的纸带来测定小车加速过程中获得的平均速度
3．(多选)在“探究做功与速度变化的关系”的实验中，小车在运动中会受到阻力作用。在小车沿木板滑行的过程中，除橡皮筋对其做功以外，还有阻力做功，这样便会给实验带来误差，我们在实验中想到的办法是，使木板略微倾斜，对于木板的倾斜程度，下面的说法中正确的是( )
A．木板只要稍微倾斜一下即可，没有什么严格的要求
B．木板的倾斜角度在理论上应满足下面条件，即重力使物体沿斜面下滑的分力应等于小车受到的阻力
C．如果小车在木板上滑行能做匀速直线运动，则木板的倾斜程度是符合要求的
D．其实木板不倾斜，问题也不大，因为实验总是存在误差的
4．探究力对原来静止的物体做的功与物体获得的速度的关系，实验装置如图所示，实验主要过程如下：
(1)设法让橡皮筋对小车做的功分别为W、2W、3W、…；
(2)分析打点计时器打出的纸带，求出小车的速度v1、v2、v3、…；
(3)作出W-v草图；
(4)分析W-v图象。如果W-v图象是一条直线，表明W∝v；如果不是直线，可考虑是否存在W∝v2、W∝v3、W∝等关系。
以下关于该实验的说法中有一项不正确，它是( )
A．本实验设法让橡皮筋对小车做的功分别为W、2W、3W、…。所采用的方法是选用同样的橡皮筋，并在每次实验中使橡皮筋拉伸的长度保持一致。当用1条橡皮筋进行实验时，橡皮筋对小车做的功为W，用2条、3条、…橡皮筋并在一起进行第2次、第3次、…实验时，橡皮筋对小车做的功分别是2W、3W、…
B．小车运动中会受到阻力，补偿的方法，可以使木板适当倾斜
C．某同学在一次实验中，得到一条记录纸带。纸带上打出的点两端密、中间疏。出现这种情况的原因，可能是没有使木板倾斜或倾角太小
D．根据记录纸带上打出的点求小车获得的速度的方法，是以纸带上第一点到最后一点的距离来进行计算
5．某同学在研究“对不同物体做相同功情况下，物体质量与速度的关系”时，提出了以下四种猜想：
A．m∝v B．m∝ C．m∝v2 D．m∝
为验证猜想的正确性，该同学用如图所示的装置进行实验：将长木板平放在水平桌面上，木块固定在长木板一端，打点计时器固定在木块上，木块右侧固定一轻弹簧，用连接纸带的小车压缩弹簧至长木板的虚线处由静止释放，打点计时器在纸带上打下一系列点，选取点迹均匀的一部分纸带，计算出小车匀速运动的速度v1，测出小车的质量m1；然后在小车上加砝码，再次压缩弹簧至木板虚线处由静止释放小车，计算出小车和砝码匀速运动的速度v2，测出小车和砝码的总质量m2；再在小车上加砝码，重复以上操作，分别测出v3、m3……。
(1)每次实验中，都将小车压缩弹簧至长木板的虚线处由静止释放，目的是________________________；
若要消除每次实验中小车和纸带受到的阻力对小车运动的影响，应进行的实验操作是____________________________。
(2)某次实验采集的五组数据如下表：
m/kg
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
v/(m·s－1)
1.000
0.707
0.577
0.500
0.447
由表格数据直观判断，明显不正确的两个猜想是A、B、C、D中的________；若对某个猜想进行数据处理并作图，画出了如图所示的图象，则图中的横坐标应是________。
6．为了“探究功与速度变化的关系”，某同学做了如下实验，他让滑块在某一水平面上滑行，利用速度采集器获取其初速度v，并测量出不同初速度的最大滑行距离x，得到下表所示几组数据：
数据组
1
2
3
4
5
6
v/(m·s－1)
0
0.16
0.19
0.24
0.30
0.49
x/m
0
0.045
0.075
0.111
0.163
0.442
(1)一同学根据表中数据，作出x-v图象如图甲所示，观察该图象，该同学作出如下推理：根据x-v图象大致是一条抛物线，可以猜想，x可能与v2成正比。请在图乙所示坐标纸上选择适当的坐标轴作出图线验证该同学的猜想。
(2)根据你所作的图象，你认为滑块滑行的最大距离x与滑块初速度的二次方v2的关系是______________。
参考答案
1．答案：C
2．解析：实验通过增加橡皮筋的条数，使橡皮筋对小车做的功成倍增加，故A正确，B错误；小车的速度对应的是橡皮筋对小车做功完毕的速度，故C正确，D错误。
答案：AC
3．解析：为保证小车做匀速直线运动，重力的分力恰好抵消摩擦力时，则使小车做匀速直线运动。
答案：BC
4．解析：探究物体做功与物体获得的速度实验选用相同的橡皮筋，并且使橡皮筋的形变相同，每根橡皮筋对小车做的功相同，A正确；在进行本实验之前，由于小车和木板之间存在阻力，所以需要先平衡摩擦力，方法就是使木板的一端略微抬高一点，B正确；打出的纸带中间稀疏、两边密集，说明刚开始在橡皮筋的作用下加速，当速度达到最大后，又要减速，所以是平衡摩擦力不足造成的，C正确；在平衡摩擦力之后，当橡皮筋对小车做功完毕，小车将做匀速直线运动，本实验需要计算的是这个速度，而不是全过程的平均速度，故D错误。
答案：D
5．解析：(1)每次将小车压缩弹簧至长木板的虚线处，弹簧具有相同的弹性势能，这样每次对小车做的功相同；要消除阻力对小车运动的影响，应先平衡摩擦力，可垫高木板固定打点计时器的一端，使小车连同纸带一起在木板上匀速运动。
(2)由标准数据可知，明显不正确的两个猜想是A和C；由表中数据及图象可知小车的质量m跟成正比，故横坐标为。
答案：(1)小车获得相同的动能(弹簧对小车做功相同) 垫高木板固定打点计时器的一端，使小车连同纸带一起在木板上匀速运动(平衡摩擦力)
(2)AC
6．解析：(1)作出x-v2图线如图所示
(2)由图可以看出，滑块滑行的最大距离x与滑块初速度的二次方v2成正比。即x∝v2。
答案：(1)见解析 (2)x∝v2
第六节 实验：探究功与速度变化的关系
课堂探究
一、注意事项
1．适度平衡小车受到的摩擦力。
2．每次实验小车都要从同一位置由静止开始运动。
3．应选择粗细均匀，一致性好的橡皮筋。
4．橡皮筋的拉伸长度要适度。
5．使小车挂住橡皮筋的中点，放正小车，使小车沿木板的中间线运动。
二、误差分析
1．误差的主要来源是橡皮筋的长度、粗细不一，使橡皮筋的拉力与橡皮筋的条数不成正比。
2．平衡摩擦力不彻底或平衡过度也会造成误差。
3．利用打上点的纸带计算小车的速度时，测量不准带来误差。
三、数据处理
1．速度数值的获得：实验获得的是如图所示的纸带，为探究橡皮筋弹力做功与小车速度的关系，需要测量的是弹力做功结束时小车的速度，即小车做匀速运动的速度。所以，应该在纸带上测量的物理量是图中A1、A3间的距离x，小车此时速度的表达式为v＝，其中T是打点计时器的打点周期。即选择相邻距离基本相同的若干点A1、A2、A3…来计算小车匀速运动时的速度。
2．计算小车做的功分别为W、2W、3W…时对应的v、v2、v3、…的数值，填入表格。
3．逐一与W的一组数值对照，判断W与v、v2、v3、…的可能关系或尝试着分别画出W与v、W与v2、W与v3、W与间关系的图象，找出哪一组的图象是直线，从而确定功与速度的正确关系。
(1)用计算法处理实验数据：
在确定了橡皮筋对小车所做的功并测出了小车获得的速度后，如果作出的W-v曲线不是一条直线，可以采用计算的方法，即根据测得的速度分别按W∝v2、W∝v3、W∝…，算出相应的功的值，实际测得的速度与哪一种最接近，它们之间就具有哪一种关系。
(2)用图象法处理实验数据：
我们也可根据实验测得的数据，分别作出W-v曲线、W-v2曲线、W-v3曲线……。如果哪一种图象更接近于过原点的倾斜直线，功与速度之间就是哪一种正比关系。
用图象法处理数据，要比计算法更简捷而直观。
【例1】 (对实验的操作及原理的考查)关于“探究功与速度变化的关系”的实验中，下列叙述正确的是( )
A．每次实验必须设法算出橡皮筋对小车做功的具体数值
B．每次实验中，橡皮筋拉伸的长度没有必要保持一致
C．放小车的长木板应该尽量使其水平
D．先接通打点计时器的电源，再让小车在橡皮筋的作用下弹出
解析：本实验没有必要测出橡皮筋做的功到底是多少焦耳，只要测出以后各次实验时橡皮筋做的功是第一次实验时的多少倍就已经足够了，A错。每次实验橡皮筋拉伸的长度必须保持一致，只有这样才能保证以后各次实验时，橡皮筋做的功是第一次实验时的整数倍，B错。小车运动中会受到阻力，只有使木板倾斜到一定程度，才能减小误差，C错。实验时，应该先接通电源，让打点计时器开始工作，然后再让小车在橡皮筋的作用下弹出，D正确。
答案：D
题后反思 理解实验原理与探究步骤是解题的基础，回答该类问题，应该围绕实验探究原理与思路，数据处理与减少误差等因素加以分析判断。
【例2】 (实验数据的处理)如图所示为某学习小组做“探究功与速度变化的关系”的实验装置，图中小车是在一条橡皮筋的作用下弹出，沿木板滑行，这时，橡皮筋对小车做的功记为W。当用2条、3条…完全相同的橡皮筋并在一起进行第2次、第3次…实验时，使每次实验中橡皮筋伸长的长度都保持一致。每次实验中小车获得的速度由打点计时器所打的纸带测出。
(1)在正确操作情况下，打在纸带上的点，并不都是均匀的，为了测量小车获得的速度，应选用纸带的________部分进行测量(根据如图所示的纸带回答)；
(2)下面是本实验的数据记录表。
请运用表中测定的数据在如图所示的坐标系中作出相应的图象，得出的结论是________________________________________________________________________。
解析：(1)应取小车达到匀速运动的区域来计算，G、J之间某一段或GJ全部。
(2)作出Wn-v图象，如图所示。在误差允许的范围内，图线是过原点的直线，说明Wn与v与正比。
答案：(1)GJ(只要取匀速部分均为正确)
(2)见解析
【例2】 (创新设计实验)如图所示，汽车已成为人们外出的重要交通工具之一，评价汽车性能的主要指标有动力性、经济性、稳定性、制动性等，其中制动性主要是指在良好的路面上，汽车迅速降低车速直到停车的距离，表中记录的是汽车以不同速率行驶时，制动后所经过的距离。
汽车速率v/(km·h－1)
制动距离s/m
10
1
20
4
40
16
50
25
60
36
请根据表中的数据，用图象分析推断克服阻力做功与汽车速率变化之间的关系。
解析：制动过程中阻力不变，设每制动1 m，克服阻力做的功为W1、则制动4 m、16 m、25 m、36 m，克服阻力做的功分别为4W1、16W1、25W1、36W1，作出W-v图象如下图所示。
可见W与v不是正比关系，猜想W与v2成正比，作出W-v2图象如下图所示。
可见W与v2成正比。
答案：见解析
第六节 实验：探究功与速度变化的关系
预习导航
情境导入
课程目标
1.会用打点计时器打下的纸带计算物体运动的速度。
2．学习利用物理图象探究功与物体速度变化的关系。
一、实验目的
探究恒力对物体做功与物体速度变化的关系。
二、实验器材
小车(前面带小钩)、100 ～200 g的砝码、长木板(两侧适当的对称位置钉两个铁钉)、打点计时器及纸带、学生电源及导线(使用电火花计时器不用学生电源)、5～6条等长的橡皮筋、刻度尺。
三、实验原理：倍增法
探究恒力做功与速度变化的关系，可通过改变力对物体做的功，测出力对物体做不同的功时物体的速度。为简化实验，可将物体初速度设置为零，可用如图所示的装置进行实验，通过增加橡皮筋的条数使橡皮筋对小车做的功成倍增加，再通过打点计时器和纸带来测量每次实验后小车的速度。最后探究力做的功与速度变化之间的关系。
四、实验步骤
1．按实验要求安装好实验仪器。
2．平衡摩擦力：将安装有打点计时器的长木板的一端垫起，纸带穿过打点计时器，不挂橡皮筋，闭合电源，轻推小车，打点计时器在纸带上打出间隔均匀的点。
3．第一次先用一条橡皮筋做实验，用打点计时器和纸带测出小车获得的速度v1，设此时橡皮筋弹力对小车做功为W，并将得到的数据记入表格。
4．换用2条、3条、4条…同样的橡皮筋做实验，并将橡皮筋拉伸的长度都和第一次相同，测出v2、v3、v4…，橡皮筋对小车做功分别为2W、3W、4W…，将数据记入表格。
5．分析数据，尝试作W-v，W-v2等图象，探究W、v的关系。
第十节 能量守恒定律与能源
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．关于能量和能源，下列说法正确的是( )
A．由于自然界的能量守恒，所以不需要节约能源
B．在利用能源的过程中，能量在数量上并未减少
C．能量耗散说明能量在转化过程中没有方向性
D．人类在不断地开发和利用新能源，所以能量可以被创造
2．不同的物理现象往往反映出相同的物理规律。下图所示的现象中在能量转化方面的共同点是( )
A．物体的机械能转化为其他形式的能量
B．物体的动能全部转化为重力势能
C．其他形式的能量转化为物体的机械能
D．物体的重力势能转化为其他形式的能量
3．在体育比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)( )
A．他的动能减少了Fh B．他的重力势能增加了mgh
C．他的机械能减少了(F－mg)h D．他的机械能减少了Fh
4．运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程。将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是( )
A．阻力对系统始终做负功 B．系统受到的合外力始终向下
C．重力做功使系统的重力势能增加 D．任意相等的时间内重力做的功相等
5．如图所示，一小孩从公园中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其能量的变化情况是( )
A．重力势能减小，动能不变，机械能减小
B．重力势能减小，动能增加，机械能减小
C．重力势能减小，动能增加，机械能增加
D．重力势能减小，动能增加，机械能守恒
6．某人将原来放在地面上质量为1 kg的物体匀加速向上提升1 m，这时物体获得2 m/s的速度，在这个过程中(g取10 m/s2)，以下说法正确的是( )
A．手对物体做功为10 J B．合外力对物体做功为12 J
C．合外力对物体做功为2 J D．物体重力势能增加了10 J
7．如图所示，在抗洪救灾中，一架直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法正确的有( )
A．力F所做功减去克服空气阻力所做的功等于重力势能的增量
B．木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量
C．力F、重力、空气阻力三者合力所做的功等于木箱动能的增量
D．力F和空气阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量
二、非选择题
8．如图所示，传送带保持v＝4 m/s的速度水平匀速运动，将质量为1 kg的物块无初速地放在A端，若物块与皮带间动摩擦因数为0.2，A、B两端相距6 m，则物块从A到B的过程中，皮带摩擦力对物块所做的功为多少？产生的摩擦热又是多少？(g取10 m/s2)
9．当今流行一种“蹦极”运动，如图所示，距河面45 m高的桥上A点系弹性绳，另一端系住重50 kg男孩的脚，弹性绳原长AB为15 m，设男孩从桥面自由下坠直至紧靠水面的C点，末速度为0。假定整个过程中，弹性绳遵循胡克定律，绳的质量、空气阻力忽略不计，男孩视为质点。弹性势能可用公式：Ep＝(k为弹性绳的劲度系数，x为弹性绳的形变长度)计算。(g取10 m/s2)则：
(1)男孩在最低点时，绳具有的弹性势能为多大？绳的劲度系数又为多大？
(2)在整个运动过程中，男孩的最大速度为多少？
参考答案
1．解析：自然界的总能量是守恒的，能量只能从一种形式转化为另一种形式或从一个物体转移到另一个物体，能量不可能被创造；在利用能源的过程中，能量在数量上并未减少，能量转化具有方向性。
答案：B
2．解析：图中几种现象的共同特点是物体的机械能转化为其他形式的能量，选项A正确。
答案：A
3．解析：由动能定理，ΔEk＝mgh－Fh，动能减少了Fh－mgh，A选项错误；他的重力势能减少了mgh，B选项错误；他的机械能减少了ΔE＝Fh，C选项错误，D选项正确。
答案：D
4．解析：运动员跳伞下降的过程中，空气阻力与运动方向相反，所以阻力对系统始终做负功，故选项A正确；加速下降时，合外力向下，减速下降时，合外力向上，B项错；因是向下运动，故重力势能减小，C项错；因系统做变速运动，任意相等的时间内位移不同，所以选项D错。
答案：A
5．解析：由于摩擦力要做负功，机械能不守恒，故D错误；下滑过程中重力势能转化为动能和内能，所以机械能减小，B正确，A、C错误。
答案：B
6．解析：重力做功WG＝－mgh＝－1×10×1 J＝－10 J，故重力势能增加10 J，选项D正确；设手对物体做功为Ws，由动能定理得Ws＋WG＝mv2＝×1×22 J＝2 J，解得Ws＝2 J－WG＝2 J－(－10 J)＝12 J，因此，选项A、B均错误，C正确。
答案：CD
7．解析：对木箱受力分析如图所示，则由动能定理：WF－mgh－Wf＝ΔEk，故C对。由上式得：WF－Wf＝ΔEk＋mgh，故A错，D对。由重力做功与重力势能变化关系知B对。
答案：BCD
8．解析：木块与皮带间的摩擦力Ff＝μmg＝2 N，木块滑动的加速度为a，则由牛顿第二定律得Ff＝ma，所以a＝2 m/s2。
设木块位移为L1时速度达到4 m/s，则由v2＝2aL1，得L1＝4 m。
皮带对物体的摩擦力对物体做的功W，W＝Ff·L1＝8 J。
相对位移s相＝v·－L1＝4 m。
产生的焦耳热Q热＝mgμs相＝8 J。
答案：8 J 8 J
9．解析：男孩从桥面自由下落到紧靠水面的C点的过程中，重力势能的减少量对应弹性势能的增加量，男孩速度最大时，应位于加速度为零的位置。
(1)由功能转化关系可知，mgh＝Ep
Ep＝50×10×45 J＝2.25×104 J
又Ep＝kx2，x＝45 m－15 m＝30 m
所以k＝＝ N/m＝50 N/m。
(2)男孩加速度为零时，mg＝kx′，
得x′＝10 m
由能量的转化和守恒定律得：
mg(hAB＋x′)＝kx′2＋mv
所以vm＝20 m/s。
答案：(1)2.25×104 J 50 N/m (2)20 m/s
第十节 能量守恒定律与能源
课堂探究
探究一 对能量转化、转移的认识
问题导引
各种形式的能都可以相互转化，如图所示，手摇发电机使电铃发声；阳光照在物体上，物体温度升高，这两种现象，能量是如何转化的呢？
提示：手摇发电机使电铃发声，机械能转化为电能，电能又转化为机械能；阳光照在物体上，太阳能转化为物体的内能。
名师精讲
1．自然界存在着多种形式的能量，在一定条件下，各种形式的能量可以相互转化和转移。如在热传递过程中，高温物体的内能转移到低温物体，在这种转移的过程中能量形式没有变。在自然界中能量的转化也是普遍存在的。小朋友滑滑梯，由于摩擦而使机械能转化为内能。
2．在能量转化和转移的过程中，能的总量保持不变。大量事实证明，在普遍存在的能量的转化和转移过程中，消耗多少某种形式的能量，就得到多少其他形式的能量。如在热传递过程中，高温物体放出多少热量(减少多少内能)，低温物体就吸收多少热量(增加多少内能)；克服摩擦力做了多少功，就有多少机械能转化为能量，但能量的总量不变。
【例1】 试说明下列现象中能量是怎样转化的。
A．在水平公路上行驶的汽车，发动机熄火之后，速度越来越小，最后停止。
B．电风扇通电后开始转动，断电后转动着的风扇又慢慢停下来。
C．火药爆炸产生燃气，子弹在燃气的推动下从枪膛发射出去，射穿一块钢板，速度减小。
D．用柴油机带动发电机发电，供给电动水泵抽水，把水从低处抽到高处。
点拨：物体间发生能量转移时，能量的形式不变；而发生能量的转化时，能量的形式要发生变化。在确定能量的转化时，可以从消耗什么能，得到什么能进行比较来确定。
解析：A．在水平公路上行驶的汽车，发动机熄火之后，速度越来越小，最后停止。这一过程中，汽车所受的阻力做负功，机械能转化为内能。
B．电风扇通电后开始转动，电流做功，电能转化为机械能，有一部分转化为内能；断电后转动着的风扇又慢慢停下来，阻力做负功，机械能转化为内能。
C．火药爆炸产生燃气，化学能转化为内能；子弹在燃气的推动下从枪膛发射出去，推力做功，内能转化为机械能；子弹射穿一块钢板，速度减小，阻力做负功，机械能转化为内能。
D．用柴油机带动发电机发电，化学能转化为机械能，又转化为电能；发电机发电后供给电动水泵抽水，电流做功，电能转化为机械能；电动水泵把水从低处抽到高处，水泵对水做功，使水泵的机械能传递给水。
答案：见解析
题后反思 物体间发生能量转移时，能量的形式不变；而发生能量的转化时，能量的形式要发生变化。在确定能量的转化时，可以从消耗什么能，得到什么能进行比较来确定。
探究二 对功能关系的理解
问题导引
高山滑雪起源于阿尔卑斯山地域，又称“阿尔卑斯滑雪”或“山地滑雪”，是一项古老的滑雪运动。如图，运动员从高山上由静止滑下，不计空气阻力。请思考：
(1)下滑中，有哪些力对运动员做功？
(2)如何判断运动员重力势能、动能及机械能的变化情况？
提示：(1)运动员受到重力、支持力及摩擦力的作用，其中重力做正功，摩擦力做负功，支持力不做功；(2)运动员重力势能的变化仅取决于重力做功，动能的变化取决于外力做的总功，机械能的变化取决于除重力之外其他力做功。本题中，重力做正功，重力势能减少；合力做正功，动能增加；摩擦力做负功，机械能减少。
名师精讲
1．功是能量转化的量度
不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程。且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)，因此，功是能量转化的量度。
2．常见的几种功能关系
功
能量转化
重力做功
重力势能和其他形式的能相互转化
弹力做功
弹性势能和其他形式的能相互转化
合外力做功
动能和其他形式的能相互转化
除重力、系统内弹力外，其他力做功
机械能和其他形式的能相互转化
特别提醒 (1)能是物体运动状态决定的物理量，即状态量；而功则是和物体运动状态变化过程有关的物理量，是过程量。两者有着本质的区别。
(2)做功可以使物体具有的能量发生变化，而且物体能量变化大小是用做功的多少来量度的。但功和能不能相互转化。
【例2】 (多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一初速度由底端冲上倾角为30°的固定斜面，上升的最大高度为h，其沿斜面方向的加速度大小为g，在这个过程中有关该物体的说法中正确的是( )
A．重力势能增加了mgh B．动能损失了mgh
C．动能损失了mgh D．机械能损失了mgh
解析：物体重力势能的增加量等于克服重力做的功，选项A正确；物体所受的合力做的功等于动能的减少量ΔEk＝mas＝ma·＝mgh，选项B、C错误；物体机械能的损失量等于克服摩擦力做的功，因mgsin 30°＋Ff＝ma，所以Ff＝mg，故物体克服摩擦力做的功为Ffx＝mg·2h＝mgh，选项D正确。
答案：AD
题后反思 应正确把握几种功能关系：(1)合外力对物体所做的功等于物体动能的增量；(2)重力做功等于重力势能的减少量；(3)除重力或弹簧的弹力以外的其他力做多少功等于物体机械能的增加量。
探究三 能量守恒定律的理解及应用
问题导引
根据如图所示的情景，判断图中A、B两台机器，哪台是发电机，哪台是电动机？并描述这一情景中所涉及的能量转化。
提示：瀑布的水流下来将水的重力势能转化为动能，水流推动水轮机带动发电机B转动发电，是将机械能转化为电能，发电机产生电流流经电动机A时，又将电能转化为机械能。所以B是发电机，A是电动机。
名师精讲
1．对定律的理解：
(1)某种形式的能量减少，一定存在另外形式的能量增加，且减少量和增加量相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在别的物体的能量增加，且减少量和增加量相等。
2．表达式：E初＝E末；ΔE增＝ΔE减
3．解题步骤：
(1)分清共有多少种形式的能(如动能、势能、电能、内能等)在变化。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少。
(3)减少的总能量一定等于增加的总能量，据此列出方程：ΔE减＝ΔE增。
4．利用能量守恒定律解题应注意的问题：
(1)该定律是贯穿整个物理学的基本规律之一，是学习物理的一条主线。
(2)要分清系统中有多少种形式的能量，发生哪些转移和转化。
(3)滑动摩擦力与相对距离的乘积在数值上等于产生的内能，即Q＝Fl相。
警示 应用能量守恒定律解决有关问题，关键是准确分析有多少种形式的能在变化，求出减小的总能量和增加的总能量，然后再依据能量守恒列式求解。
【例3】 如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度v匀速运动，现将质量为m的某物块由静止释放在传送带上的左端，过一会儿物块能保持与传送带相对静止，设物块与传送带间的动摩擦因数为μ，则这一过程中：
(1)系统产生的热量为多少？
(2)电动机多做的功为多少？
解析：(1)物块加速时的加速度a＝μg，设经过时间t物块和传送带速度相等，则
v＝at＝μgt
此过程中物体的位移x1＝t＝
传送带的位移x2＝vt＝
则系统产生的热量Q＝μmg(x2－x1)＝mv2
(2)由能的转化和守恒定律可知，电动机多做的功应等于物块增加的动能与系统产生的热量值和，即
W＝Q＋mv2＝mv2
答案：(1)mv2 (2)mv2
题后反思 滑动摩擦力做功时，系统的机械能一定减少，减少的机械能转化为内能，所以滑动摩擦力做功过程中产生的内能为Q＝Ff·x相，其中Ff指滑动摩擦力大小，x相指发生相对滑动的物体间的相对位移。
第十节 能量守恒定律与能源
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情境导入
课程目标
1.理解能量守恒定律，知道能源和能量耗散。
2．通过对生活中能量转化的实例分析，理解能量守恒定律的确切含义。
3．感知我们周围能源的耗散，树立节能意识。
一、能量守恒定律
1．定律内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．建立定律的两个事实：
(1)确认了永动机的不可能性；
(2)各种自然现象之间能量的相互联系和转化。
3．机械能守恒定律与能量守恒定律的关系：
机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的特种背景下一种特殊表现形式。
4．能量守恒定律的意义：
(1)它是最普遍、最重要、最可靠的自然规律之一；
(2)它是大自然普遍和谐性的一种表现形式。
二、能源和能量耗散
1．常规能源：煤、石油、天然气；新能源：太阳能、风能、地热能。
2．能量耗散：燃料燃烧时一旦把自己的热量释放出去，它就不会再次自动聚集起来供人类重新利用；电池中的化学能转化为电能，它又通过灯泡转化为内能和光能，热和光被其他物质吸收之后变成周围环境的内能。我们也无法把这些内能收集起来重新利用。
3．能源危机的含义：在能源利用过程中，即在能量的转化过程中，能量在数量上并未减少，但在利用的品质上降低了，从便于利用的变成不便于利用的了。
4．能量转化的方向性与节约能源的必要性：能量的耗散从能量转化的角度反映出了自然界中宏观过程的方向性。能源的利用受这种方向性的制约，所以能源的利用是有条件的，也是有代价的。所以自然界的能量虽然守恒，但还是很有必要节约能源。
第四节 重力势能
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．如图所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、2是光滑的，轨道3是粗糙的，则( )
A．沿轨道1滑下重力做功多 B．沿轨道2滑下重力做功多
C．沿轨道3滑下重力做功多 D．沿三条轨道滑下重力做的功一样多
2．下面说法中正确的是( )
A．地面上的物体重力势能一定为零
B．质量大的物体重力势能一定大
C．不同的物体中离地面最高的物体其重力势能最大
D．离地面有一定高度的物体其重力势能可能为零
3．下列关于重力势能的说法中，正确的是( )
A．有A、B两个物体，A的高度是B的高度的2倍，那么物体A的重力势能的数值一定是物体B重力势能数值的2倍
B．从同一高度将某一物体以相同的速度竖直上抛或平抛，从抛出到落地过程中，物体重力势能的变化是相同的
C．有一物体从顶楼落到地面，如果受到空气阻力，物体重力势能的减少量小于自由下落时重力势能的减少量
D．重力做功时，不仅与物体运动的高度有关，还与物体运动的路径有关
4．一个质量为0.5 kg的小球从5 m高处自由下落，着地后反弹起1 m，取地面为参考平面，并且g取10 m/s2，则( )
A．初、末位置物体的重力势能分别为25 J和－5 J
B．在下落和反弹过程中重力做功分别为25 J和5 J
C．由初位置到末位置重力做功20 J
D．重力做的功等于末位置重力势能减初位置的重力势能
5．如图，质量为0.5 kg的小球，从桌面以上h1＝0.4 m的A点落到地面的B点，桌面高h2＝0.8 m。以桌面为参考平面，g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．小球在A点的重力势能为6 J
B．小球在B点的重力势能为4 J
C．小球从A点下落到B点的过程中重力势能减少了6 J
D．小球从A点下落到B点的过程中重力做的功为－6 J
6．大型拱桥的拱高为h，弧长为L，如图所示，质量为m的汽车在以不变的速率v由A点运动到B点的过程中，以下说法中正确的是( )
A．由A到B的过程中，汽车的重力势能不变，重力始终不做功
B．由A到B的过程中，汽车的重力势能的变化量为零，重力做的总功等于零
C．汽车的重力势能先增大后减小，总的变化量为零，重力先做正功，后做负功，总功为零
D．汽车的重力势能先增大后减小，上坡时重力做负功，下坡时重力做正功，总功为零
7．在高处的某一点将两个重力相同的小球以相同速率v0分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是(不计空气阻力)( )
A．从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等
B．从抛出到刚着地，重力分别对两球做的总功都是正功
C．从抛出到刚着地，重力对两球的平均功率相等
D．两球刚着地时，重力的瞬时功率相等
二、非选择题
8．一根质量分布不均匀的金属链条重30 N、长1 m，盘曲在水平地面上。当从链条的A端慢慢提起链条到使它的另一端B恰好离开地面时，重力做功－12 J。若改从B端慢慢提起链条使链条A端恰好离开地面，要克服重力做多少功？
9．起重机以的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h，则起重机钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做功为多少？物体的重力势能变化了多少？
参考答案
1．解析：重力做的功等于重力乘以物块沿竖直方向的位移，因此物块沿各个轨道滑下时重力做的功相同，故正确选项为D。
答案：D
2．解析：物体的重力势能值与重力势能的零势能面的选取有关，故此题D选项正确。
答案：D
3．解析：在A选项中，由Ep＝mgh可知，只有mA＝mB时，A的重力势能才是B的重力势能的2倍，故A选项错误；重力做功与路径无关，仅由初末位置的高度差决定，而且重力做的功等于重力势能的减少量，与物体是否受其他外力无关，故C、D选项错误，B选项正确。
答案：B
4．解析：初位置重力势能：Ep1＝mgh1＝25 J，末位置重力势能：Ep2＝mgh2＝5 J。下落和反弹过程重力做功：W下＝mgh1＝25 J，W上＝－mgh2＝－5 J，整个过程重力做功WG＝mg(h1－h2)＝20 J，所以选项C正确。
答案：C
5．解析：小球在A点时的重力势能EpA＝mghA＝0.5×10×0.4 J＝2 J；小球在B点时的重力势能EpB＝mghB＝0.5×10×(－0.8) J＝－4 J；小球从A点下落到B点的过程中减少的重力势能等于这一过程重力做的功，即ΔEp＝mghAB＝0.5×10×1.2 J＝6 J。
答案：C
6．解析：因为A、B在同一高度上，汽车在运动过程中，位置先升高后降低，所以重力先做负功，后做正功，总功为零；重力势能先增大后减小，总的变化量等于零。
答案：BD
7．解析：两球的始末位置相同，所以重力对两球所做的功相同，选项A正确；着地时两球的重力势能都是减少的，所以重力对两球所做的功都是正功，选项B正确；虽然重力对两球所做的功相同，但做功所用的时间不同，竖直上抛的小球用的时间要长一些，所以重力对两球的平均功率不相等，选项C错误；两球着地时的速度相同，所以重力的瞬时功率相等，选项D正确。
答案：ABD
8．解析：“慢慢提起链条”即提起过程中链条可看成始终处于平衡状态。研究从A段提起链条过程，重力做功
WG1＝－mgh1
解得h1＝0.4 m
即从A端提起链条时，链条重心升高了0.4 m，
则从B端提起链条时链条重心升高的高度
h2＝1 m－0.4 m＝0.6 m
从B端提起链条时克服重力做功
WG2＝mgh2＝30×0.6 J＝18 J
答案：18 J
9．解析：由题意可知起重机的加速度ɑ＝，物体上升高度为h，
据牛顿第二定律得mg－F＝mɑ
所以F＝mg－mɑ＝mg－m×g＝mg
方向竖直向上。
所以拉力做功WF＝Fh＝mgh
重力做功WG＝－mgh
即物体克服重力做功为mgh
又因为WG＝Ep1－Ep2＝－mgh，
WG＜0，Ep1＜Ep2
即物体的重力势能增加了mgh。
答案：mgh mgh 增加了mgh
第四节 重力势能
课堂探究
探究一 对重力势能的理解
问题导引
如图所示是研究物体的重力势能与哪些因素有关的实验示意图，从图中你能知道重力势能与哪些因素有关吗？
提示：实验中采用控制变量法来研究重力势能的影响因素。由甲和乙可知，重力势能与高度有关；由甲和丙可知，重力势能与物体的质量有关。
名师精讲
1．重力势能的“四性”
(1)系统性：重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上的物体单独具有的，平时我们所说的“物体的重力势能”是一种简化的说法。
(2)相对性：重力势能Ep＝mgh与参考平面的选择有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度。重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正负之分。当物体在参考平面上方时，Ep为正值；当物体在参考平面下方时，Ep为负值。注意物体重力势能的正负是表示比零势能大，还是比零势能小。
(3)参考平面选择的任意性：视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能面。
(4)重力势能变化的绝对性：物体从一个位置运动到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取无关，它的变化量是绝对的。
2．重力势能是标量
物体的重力势能为负值表示物体的重力势能比在参考平面上时具有的重力势能要少，这跟用正负表示温度高低是相似的。
特别提醒 (1)Ep＝mgh，h表示物体重心相对参考平面的高度，物体在参考平面上方，h＞0，在参考平面下方，h＜0；(2)某一过程重力势能的变化为ΔEp＝Ep2－Ep1，它与参考平面的选择无关。
【例1】 (多选)关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能变大了
D．在地面上的物体，它具有的重力势能不一定等于零
解析：重力势能具有相对性，参考平面的选取不同，其数值也不同，选项A错误，D正确；物体若在参考平面下方，物体与参考平面的距离越大，它的重力势能越小，所以选项B错误；重力势能为标量，其“＋”“－”表示重力势能的大小，－5 J应小于－3 J，选项C正确。
答案：CD
题后反思 由于重力势能具有相对性，因而在某处具有的重力势能的大小与参考平面的选取有关。只有确定了参考平面后，物体的重力势能才能确定。
探究二 重力做功和重力势能的关系
问题导引
如图所示，熟透的苹果从离水面2 m处的树枝上落下，后又在水中继续下降2 m，请思考 ：
(1)苹果在空中下落及在水中下落的过程重力做功一样多吗？
(2)这两个过程苹果重力势能的改变一样吗？
提示：由W＝mgh知，这两个过程重力做功相同，物体重力势能的变化仅与重力做功有关，与有无其他力做功无关，因此这两个过程苹果重力势能的改变也相同。
名师精讲
1．重力做功与重力势能的比较
2.重力做的功与重力势能变化的关系
(1)关系式：WG＝Ep1－Ep2，其中Ep1＝mgh1表示物体在初位置的重力势能，Ep2＝mgh2表示物体在末位置的重力势能。
(2)意义：重力做功是重力势能变化的原因。重力做的功与重力势能的变化量为等值关系，重力做正功时，物体的重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；重力做负功(物体克服重力做功)时，物体的重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功。
特别提醒 (1)重力做功是重力势能变化的原因，重力做的功与重力势能的变化量为等值关系，两者均与参考面的选择无关。
(2)重力势能的变化只取决于物体的重力所做功的情况，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素均无关。
【例2】 (多选)用拉力F将一个重为5 N的小球匀速提升3 m，如图所示，在这个过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的重力做了15 J的功 B．拉力F对物体做了15 J的功
C．小球的重力势能增加了15 J D．合力对小球做的功是15 J
解析：小球上升，重力做负功，WG＝－mgh＝－5×3 J＝－15 J，选项A错误；因为小球匀速上升，所以拉力F＝G＝5 N，则拉力做功WF＝Fh＝5×3 J＝15 J，选项B正确；因小球克服重力做功15 J，故小球重力势能增加15 J，选项C正确；因为小球匀速上升，合力为零，则合力不做功，选项D错误。
答案：BC
题后反思 求功时应明确是哪一个力做功。物体重力势能的改变仅仅取决于重力的做功情况，与其他力做功无关。
第四节 重力势能
预习导航
情境导入
课程目标
1.理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算。
2．理解重力势能的变化和重力做功的关系，知道重力做功与路径无关。
3．知道重力势能的相对性和系统性。
一、重力做的功
1．物体的高度发生变化时，重力要对物体做功：物体被举高时，重力做负功，物体下降时，重力做正功。
2．特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
3．表达式：W＝mgh＝mgh1－mgh2，其中h1、h2分别表示起点和终点的高度。
二、重力势能
1．重力势能
(1)定义：物体由于被举高而具有的能量。
(2)大小：等于物体所受重力与所处高度的乘积，即Ep＝mgh。
(3)单位：国际单位是焦耳，符号为J。
2．重力做功与重力势能变化的关系
(1)表达式：WG＝Ep1－Ep2＝mgh1－mgh2。
(2)两种情况
①当物体由高处运动到低处时，重力做正功，WG＞0，即Ep1＞Ep2，重力势能减少；
②当物体由低处运动到高处时，重力做负功，WG＜0，即Ep1＜Ep2，重力势能增加。
思考 将某一物体从同一高度以平抛、上抛、下抛三种不同的方式抛出，从抛出到落地的过程中重力做功、重力势能的变化是否相同？
提示：重力做功相同，重力势能的变化也相同。
三、重力势能的相对性和系统性
1．相对性
重力势能总是相对选定的参考平面而言的。(该平面常被称为零势能面)
2．标矢性
重力势能为标量，其正负表示重力势能的大小。物体在参考平面上方时，重力势能为正值，在参考平面下方时，重力势能为负值。
3．系统性
重力势能是地球与物体所组成的系统共有的。
