第一节 行星的运动
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．下列关于行星绕太阳运动的说法中，正确的是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星运动周期越长
D．所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
2．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．F2 B．A C．F1 D．B
3．关于太阳系中行星的运动，以下说法错误的是( )
A．行星轨道的半长轴越长，自转周期就越大
B．行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大
C．水星的半长轴最短，公转周期最小
D．海王星离太阳“最远”，绕太阳运行的公转周期最大
4．已知两个行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为( )21·世纪*教育网
A. B．2 C. D.
5．太阳系的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象。图中坐标系的横轴是lg()，纵轴是lg()；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是( )21*cnjy*com
6．关于开普勒第二定律，正确的理解是( )
A．行星绕太阳运动时，一定是匀速曲线运动
B．行星绕太阳运动时，一定是变速曲线运动
C．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度2-1-c-n-j-y
7．两颗小行星都绕太阳做圆周运动，其周期分别是T、3T，则( )
A．它们轨道半径之比为1∶3 B．它们轨道半径之比为1∶
C．它们运动的速度之比为 ∶1 D．以上选项都不对
二、非选择题
8．两颗行星的质量分别为m1和m2，它们绕太阳运动的轨道半径为a1和a2，若m1＝2m2、a1＝4a2，则它们的周期之比T1∶T2是多少？21·cn·jy·com
9．如图所示，飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，地球半径为R0。若飞船要返回地面，可在轨道上某点A处将速率降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，飞船由A点到B点所需要的时间。
参考答案
1．解析：由开普勒行星运动定律可知所有行星轨道都是椭圆，太阳位于一个焦点上，行星在椭圆轨道上运动的周期T和半长轴a满足＝常数，对于同一中心天体常数不变，故A、B、C都错误，D正确。21教育网
答案：D
2．解析：根据开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因为行星在A点的速率比在B点大，所以A点离太阳近，即太阳位于F2。www.21-cn-jy.com
答案：A
3．解析：由开普勒第三定律可知，＝k，行星轨道的半长轴越长，公转周期越大，B、C正确；海王星离太阳“最远”，绕太阳运行的公转周期最大，D正确；公转轨道半长轴的大小与自转周期无关，A项错误。21cnjy.com
答案：A
4．解析：由开普勒第三定律知＝k和行星的质量无关，由＝，得＝＝＝，所以C正确。
答案：C
5．解析：由开普勒第三定律＝k(常数)可知，()3＝()2，两边取对数可得3lg()＝2lg()，即lg()＝lg()，选项B正确。www-2-1-cnjy-com
答案：B
6．解析：行星的运动轨迹是椭圆形的，故做变速曲线运动，A错，B对；又在相等时间内扫过的面积相等，所以在近日点时线速度大，C错，D对。2·1·c·n·j·y
答案：BD
7．解析：由题知周期比T1∶T2＝1∶3，根据＝有＝＝。又因为v＝，所以＝＝。解题时要注意公式的运用及各物理量之间的关系。
答案：BC
8．解析：由开普勒第三定律：
＝k知＝
即()2＝()3＝43，所以＝。
答案：8∶1
9．解析：飞船沿半径为R的圆周绕地球运动时，“半长轴”大小为R，沿椭圆轨道运动时的半长轴大小为R′＝，21世纪教育网版权所有
设飞船沿椭圆轨道运动时周期为T′，
由开普勒第三定律得＝，
联立解得T′＝·
飞船由A点到B点所需要的时间为
t＝＝·
答案：·
第一节 行星的运动
课堂探究
探究一 对开普勒定律的进一步认识
问题导引
如图所示为地球绕太阳运行的示意图，图中椭圆表示地球的公转轨道，A、B、C、D分别表示春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置，试分析说明一年之内秋冬两季比春夏两季要少几天的原因。www-2-1-cnjy-com
提示：地球绕太阳运行时，对于北半球的观察者而言，秋冬季节地球在近日点运动，经过CDA这段曲线；在春夏季节地球经过ABC这段曲线，根据开普勒第二定律，地球在秋冬季节比在春夏季节运动得快一些，时间相应就短一些。一年之内，春夏两季共184天，秋冬两季只有181天。【来源：21·世纪·教育·网】
名师精讲
1．从空间分布认识：行星的轨道都是椭圆的，所有椭圆有一个共同的焦点，太阳就在此焦点上。
因此第一定律又叫椭圆轨道定律，如图所示。
特别提醒 (1)各行星的椭圆轨道尽管大小不同，但是太阳总处在所有轨道的一个共同焦点上，又称焦点定律；(2)不同行星轨道的半长轴是不同的(例如冥王星轨道半长轴的长为水星轨道半长轴的100倍)；(3)行星的椭圆轨道都很接近圆(例如地球绕太阳椭圆轨道半长轴为1.495×102 km，半短轴为1.494 8×102 km)中学阶段在分析处理天体运动问题时，可以将行星轨道作为圆来处理。这是一种突出主要因素、忽略某些次要因素的理想化方法，是研究物理问题的常用方法。2-1-c-n-j-y
2．从速度大小认识：如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率就越大。21教育网
特别提醒 该定律反映出同一行星在远日点速率小于近日点速率，又称为速度定律。
3. 对＝k的认识：在图中，半长轴是AB间距的一半，不要认为a等于太阳到A点的距离；T是公转周期，不要误认为是自转周期，如地球的公转周期是一年，不是一天。
特别提醒 (1)高中阶段，如果将行星轨道看作圆，则R为圆的半径；(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，例如，对于任何一个行星的不同卫星来说，它的(＝k)k值是相同的，也是一个与卫星无关只与被卫星所环绕的行星有关的常量(例如地球的k值为1.008%)；(3)开普勒研究所依据的资料都是凭肉眼观察的，随着望远镜等精密仪器的出现，发现开普勒定律只是近似的，行星实际的运动情况与开普勒定律有少许的偏离；(4)开普勒定律只阐述了行星的运动规律，而没有说明行星运动的状态变化的“动力学”原因。
【例1】 (多选)关于公式＝k，下列理解正确的是( )
A．k是一个与行星无关的量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为a地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为a月，周期为T月，则＝21cnjy.com
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
解析：公式＝k中的k为一常数，与中心天体有关，与行星无关，所以选项A正确。地球是太阳的行星，月球是地球的卫星，比例常数不同，所以选项B错误。公式中的T应表示绕中心天体的周期，而不是自转周期，所以选项C错误，D正确。
答案：AD
题后反思 开普勒定律是通过对行星的观测得出的规律，它同样适用于卫星绕地球的运动。应注意的是k的数值不同。21·cn·jy·com
探究二 天体运动的规律及分析方法
问题导引
如图是火星冲日年份示意图，观察图中地球、火星的位置，请思考 地球和火星谁的公转周期更长？
提示：将地球和火星绕太阳的运动看作是匀速圆周运动，由题图可知，地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，根据开普勒第三定律可得：火星的公转周期更长一些。
名师精讲
1．天体虽做椭圆运动，但它们的轨道一般接近圆。中学阶段我们在处理天体运动问题时，一般把天体的运动当作圆周运动来研究，并且把它们视为匀速圆周运动。
2．在处理天体运动时，开普勒第三定律表述为：天体轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值为常数，即＝k，据此可知，绕同一天体运动的多个天体，运动半径r越大的天体，其周期越长。2·1·c·n·j·y
3．表达式＝k中的常数k，只与中心天体的质量有关。如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，如果研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关。
4．天体的运动遵循牛顿运动定律及匀速圆周运动的规律，与一般物体的运动在应用这两规律上没有区别。
【例2】 有一行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的8倍，则该行星绕太阳公转的周期约是多少年？www.21-cn-jy.com
点拨：解答本题时应注意以下两点：(1)将地球和行星绕太阳的公转轨道视为圆轨道；(2)地球的公转周期为1年。21·世纪*教育网
解析：由开普勒第三定律得行星的运行半径r1与其周期T1的关系为
＝k(常量)
同理，地球的运行半径r2与其周期T2(1年)的关系为
＝k(常量)
又由于行星和地球都绕太阳转动，则两式中的k值相同，则＝
解得T1＝16T2≈22.6年
答案：22.6年
题后反思 (1)计算太阳系中除地球以外的七大行星绕太阳运行的周期时，只要知道了所求行星和地球与太阳间的距离关系，就可由开普勒第三定律求之。反之，也可求出其到太阳的距离；(2)中学阶段处理天体运动时，均把天体的运动看成是匀速圆周运动。涉及天体运动的周期、半径关系时，应首先考虑应用开普勒第三定律。21世纪教育网版权所有
第一节 行星的运动
预习导航
情境导入
课程目标
1.知道地心说和日心说的基本内容。
2．知道所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
3．知道所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，且这个比值与行星的质量无关，但与太阳的质量有关。
4．理解人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，真理是来之不易的。
一、两种对立的学说
内容
局限性
地心说
地球是宇宙的中心，而且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动
都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，而和丹麦天文学家第谷的观测数据不相符
日心说
太阳是宇宙的中心，而且是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
二、开普勒行星运动定律
定律
内容
公式或图示
开普勒第一定律
所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于所有椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
对于任意一行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积
开普勒第三定律
所有行星轨道半长轴的三次方跟它公转周期的二次方的比值都相等
公式：＝k，式中k是与行星无关的常量
思考 火星是太阳系中离地球最近的行星，它到太阳的平均距离大于地球到太阳的平均距离，那火星上的“一年”和地球上的一年，哪一个时间长呢？21世纪教育网版权所有
提示：火星上的“一年”时间长
三、行星运动的一般处理方法
行星的轨道与圆十分接近，中学阶段按圆轨道来处理，运动规律可描述为：
1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
2．对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度大小)不变，即行星做匀速圆周运动。
3．所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式为＝k。
第三节 万有引力定律
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．关于引力常量G，以下说法正确的是( )
A．在国际单位制中，G的单位是N·m2/kg
B．在国际单位制中，G的数值等于两个质量各1 kg的物体，相距1 m时的相互吸引力
C．在不同星球上，G的数值不一样
D．在不同的单位制中，G的数值是一样的
2．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看成质点的两物体间的万有引力才能用F＝来计算
C．由F＝知，两物体间距离r减小时，它们间的引力增大
D．引力常量大小首先是牛顿测出来得，等于6.67×10－11 N·m2/kg2
3．地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力。关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法中，正确的是( )2·1·c·n·j·y
A．离地面高度R处为 B．离地面高度R处为
C．离地面高度R处为 D．以上说法都不对
4．嫦娥一号是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( )21·世纪*教育网
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
5．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－ B．1＋ C．()2 D．()2
6．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳的质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )www-2-1-cnjy-com
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
7．一些星球由于某种原因而发生收缩，假设该星球的直径缩小到原来的。若收缩时质量不变，不考虑星球自转的影响，则与收缩前相比( )21教育网
A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍
B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍
C．该星球的平均密度增大到原来的16倍
D．该星球的平均密度增大到原来的64倍
二、非选择题
8．一物体在地球表面时重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中用弹簧测力计测得的拉力为9 N，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的多少倍？(g取10 m/s2)
9．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t，小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。(地球表面重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计)2-1-c-n-j-y
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地。
参考答案
1．解析：同一物理量在不同的单位制中的值是不同的，B选项正确。
答案：B
2．解析：任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A选项错误；不能看成质点，但质量均匀的球体间的万有引力也可以用F＝来计算，故B选项错误；由万有引力定律可知，C选项正确；引力常量首先是由卡文迪许精确测出的，故D选项错误。
答案：C
3．解析：在地面以上：G＝mg，当物体离地面高度为R时，重力加速度变为，重力变成，本题应选C。21世纪教育网版权所有
答案：C
4．解析：探月卫星靠月球对它的万有引力提供向心力，所以有＝m(R＋h)，代入数据得，M＝7.4×1022 kg。21cnjy.com
答案：D
5．解析：在地球表面mg＝G，又M＝ρ·πR3，所以g＝πρGR，因为球壳对球内物体的引力为零，所以在深为d的矿井内mg′＝G，得g′＝πρG(R－d)，所以＝1－。21·cn·jy·com
答案：A
6．解析：取质量为m的海水研究。太阳对海水的引力F1＝G，月球对海水的引力F2＝G，≈170。由于地球上不同区域到月球的距离不等，所以月球对不同区域海水的吸引力大小有差异。www.21-cn-jy.com
答案：AD
7．解析：根据万有引力公式F＝可知，当星球的直径缩到原来的，在星球表面的物体受到的重力F′＝＝16，故选项B正确。星球的平均密度ρ＝＝，星球收缩后ρ′＝＝64ρ，故选项D正确。【来源：21·世纪·教育·网】
答案：BD
8．解析：根据题意知物体的质量为1.6 kg。在地球表面时有G＝16 N①
设测得重力为9 N时离地高度为h，此时的重力加速度为g′，
根据牛顿第二定律有
9 N－mg′＝ma
解得g′＝ m/s2。
此时有G＝1.6× N②
由①②解得h＝3R。
答案：3
9．解析：(1)设竖直上抛小球初速度为v0，则
v0＝gt＝×g′×5t，
所以g′＝g＝2 m/s2。
(2)设小球的质量为m，
则mg＝G mg′＝G
所以M星∶M地＝＝×＝。
答案：(1)2 m/s2 (2)1∶80
第三节 万有引力定律
课堂探究
探究一 对万有引力定律的理解
问题导引
如图甲所示，两个挨得距离很近的人之间的万有引力是不是很大呢？如图乙所示，设想将一个小球放到地球的中心，小球受到的万有引力又是多少呢？21·cn·jy·com
提示：两个挨得很近的人，不能看作质点，不能根据万有引力定律求他们间的万有引力；物体放到地球的中心，万有引力定律已不适用。地球的各部分对物体的吸引力是对称的，物体受的万有引力是零。2-1-c-n-j-y
名师精讲
1．对公式F＝G的说明
(1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的吸引力。21*cnjy*com
(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于均匀球体，就是两球心间的距离。
2．公式的适用条件
严格说F＝G只适用于计算两个质点的相互作用，但对于下述几种情况，也可用该公式计算。
(1)两质量分布均匀的球体间的相互作用，可用公式计算，其中r是两个球体球心的距离。
(2)一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心到质点间的距离。
(3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也适用，r为两物体中心间的距离。
3．万有引力的特性
特点
内容
普遍性
万有引力定律是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体小到微观粒子)间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一
相互性
两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性
通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力很不显著，万有引力可以忽略不计
特殊性
两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在的空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关
特别提醒 (1)任何物体间的万有引力都是同种性质的力；(2)任何有质量的物体间都存在万有引力，一般情况下，质量较小的物体之间万有引力忽略不计，只考虑天体间或天体对附近或表面的物体的万有引力。21·世纪*教育网
【例1】 对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )www-2-1-cnjy-com
A．m1和m2所受引力总是大小相等的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力无穷大
C．当有第三个物体m3放入m1、m2之间时，m1和m2间的万有引力将增大
D．m1和m2所受的引力性质可能相同，也可能不同
点拨：物体间的万有引力符合牛顿第三定律，公式F＝G适用于计算质点间的万有引力。
解析：物体间的万有引力是一对相互作用力，始终等大反向，故A对。当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万有引力定律不再适用，物体间的万有引力不会变得无穷大，B错。物体间万有引力的大小只与两物体的质量m1、m2和物体间的距离r有关，与是否存在其他物体无关，故C错。物体间的万有引力是一对同性质的力，D错。
答案：A
题后反思 万有引力存在于任何物体之间，但万有引力定律只适用于两个质点之间，当物体间距r→0时，物体不能视为质点，故不能得出r→0时，物体间万有引力F→∞的结果。
【例2】 要使两物体(两物体始终可以看作质点)间万有引力减小到原来的，可采用的方法是( )
A．使两物体的质量各减小一半，距离保持不变
B．使两物体质量各减小一半，距离增至原来的2倍
C．使其中一个物体质量减为原来的，距离增至原来的2倍
D．使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的
解析：根据万有引力定律公式F＝G可知，选项C正确。
答案：C
题后反思 正确理解和应用万有引力定律是解决此类问题的关键。
探究二 万有引力和重力的关系
问题导引
如图所示，人站在地球的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置，请思考 ：
(1)人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？
(2)人在地球的不同位置，受到的重力大小一样吗？
提示：(1)根据万有引力定律F＝G可知，人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样；(2)重力是万有引力的一个分力，由于人随地球转动，还需要向心力，在地球的不同位置，向心力不同，所以人在地球的不同位置，受的重力大小不一样。
名师精讲
1．重力为地球引力的分力
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G。21世纪教育网版权所有
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况mg＜G。
2．重力和万有引力的大小关系
(1)重力与纬度的关系。
①在赤道：mg＝G－mRω2(物体受到引力和地面对物体的支持力FN的作用，其合力充当向心力，FN的大小等于物体的重力大小，ω为地球自转角速度)。21教育网
②在两极：由于F向＝0，故mg＝G。
③在地面上其他位置：mg＜G，且随纬度的增大，重力逐渐增大，直到等于地球对它的万有引力。
(2)重力、重力加速度与高度的关系。
①在地球表面：mg＝G，g＝，g为常数。
②在距地面R处：mg′＝G，g′＝，高度h越大，重力加速度g′越小。
特别提醒 (1)物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg＝G。21cnjy.com
(2)在地球表面，重力加速度随地理纬度的升高而增大；在地球上空，重力加速度随距地面高度的增加而减小。www.21-cn-jy.com
【例3】 设地球表面的重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为( )2·1·c·n·j·y
A．1 B. C. D.
点拨：地球表面的重力加速度和在离地心距离为4R处的重力加速度均由地球对物体的万有引力产生，在不考虑天体自转的情况下，物体在某一位置所受万有引力跟其重力相等。
解析：在地面上有G＝mg0①
在离地心4R处有G＝mg②
由①②两式得＝()2＝。
答案：D
题后反思 由万有引力定律可知，星球表面物体的重力加速度g＝，应用该式解题时须注意r的含义。如果物体离地高度为h，则r＝R球＋h，此时有：g′＝，而M为该星球的质量。【来源：21·世纪·教育·网】
触类旁通 离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的，则高度h是地球半径的多少倍？
解析：地球表面上物体所受重力约等于地球对物体的引力，则有
mg＝G，式中G为引力常量，M为地球质量，m为物体质量，R为地球半径。
离地面高度为h处，mgh＝G
由题意知gh＝g，解得h＝(－1)R，
即h是地球半径的(－1)倍。
答案：(－1)倍
第三节 万有引力定律
预习导航
情境导入
课程目标
1.知道任何物体间都存在万有引力。
2．理解万有引力定律的含义。
3．知道万有引力定律表达式的适用条件，会用它进行计算。
4．知道万有引力常量是自然界重要的物理常量之一。
一、月—地检验
1．牛顿的猜想：太阳对地球的引力、地球对月球的引力以及地球对地面上物体的引力都是同一种性质的力，遵循相同的规律。21教育网
2．猜想的依据：
(1)行星与太阳之间的引力使行星不能飞离太阳，物体与地球之间的引力使物体不能离开地球；
(2)在离地面很高的距离内，都不会发现重力有明显的减弱，那么这个力必定延伸到很远的地方。
3．检验的方法：
月球轨道半径约为地球半径的60倍，月球轨道上物体受到的引力是地球上的。根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度(月球公转的向心加速度)应该是它在地球表面附近下落时的加速度(自由落体加速度)的。计算对比两个加速度就可以分析验证两个力是否为同一性质的力。21cnjy.com
4．检验的过程：
(1)理论分析：设地球半径为r地，地球和月球间距离为r地月
(2)天文观测：
5．检验的结果：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。21世纪教育网版权所有
2．公式：F＝G。
3．引力常量：
(1)大小G＝6.67×10－11 N·m2/kg2
(2)测定：英国物理学家卡文迪许比较准确地测出了G的数值。
思考 如图为卡文迪许1798年测定引力常量的实验装置。卡文迪许为什么被人们称为“能称出地球质量的人”？21·cn·jy·com
提示：因为卡文迪许测出引力常量G值之后，它使万有引力定律有了真正的实用价值。利用万有引力定律便可以计算出地球的质量，所以卡文迪许有了此称谓。
第二节 太阳与行星间的引力
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．地球的质量是月球质量的81倍，若地球吸引月球的力的大小为F，则月球吸引地球的力的大小为( )
A. B．F C．9F D．81F
2．太阳对行星的引力提供了行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，这个向心力大小( )
A．与行星距太阳间的距离成正比
B．与行星距太阳间的距离成反比
C．与行星运动的速率的二次方成正比
D．与行星距太阳的距离的二次方成反比
3．下面关于行星对太阳的引力的说法中正确的是( )
A．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C．太阳对行星的引力远大于行星对太阳的引力
D．行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星的距离成反比
4．太阳对地球有相当大的引力，地球对太阳也有引力作用，为什么它们不靠在一起？其原因是( )
A．太阳对地球的引力与地球对太阳的引力，这两个力大小相等、方向相反、互相平衡
B．太阳对地球的引力还不够大
C．不仅太阳对地球有引力作用，而且太阳系里其他星球对地球也有引力，这些力的合力为零
D．太阳对地球的引力不断改变地球的运动方向，使得地球绕太阳运行
5．把行星的运动近似看作匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T2＝，则推得( )
A．太阳对行星的引力为F＝k
B．太阳对行星的引力都相同
C．太阳对行星的引力为F＝
D．质量越大的行星，太阳对它的引力一定越大
6．在探究太阳与行星间的引力的思考中，属于牛顿的猜想的是( )
A．使行星沿圆轨道运动，需要一个指向圆心的力，这个力就是太阳对行星的吸引力
B．行星运动的半径越大，其做圆周运动的运动周期越大
C．行星运动的轨道是一个椭圆
D．任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力
7．下列说法正确的是( )
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式m，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的21世纪教育网版权所有
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义得来的21教育网
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的21cnjy.com
D．在探究太阳对行星的引力规律时使用的三个公式，都是可以在实验室中得到验证的
二、非选择题
8．火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，那么地球表面质量为50 kg的人受到地球的引力约为火星表面同质量物体受到火星引力的多少倍？
9．两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运动的轨道半径分别为r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的引力之比；
(2)它们的公转周期之比。
参考答案
1．解析：地球吸引月球的力与月球吸引地球的力是一对作用力与反作用力。根据牛顿第三定律，这两个力大小相等，所以月球吸引地球的力的大小也为F。
答案：B
2．解析：根据F＝G知F与r2成反比，A、B、C错误，D正确。
答案：D
3．解析：由牛顿第三定律可知，行星对太阳的引力和太阳对行星的引力是作用力与反作用力，所以A正确，C错误。由太阳对行星的引力表达式F＝4π2k·可知B、D错误。
答案：A
4．解析：根据牛顿第三定律：力的作用是相互的，作用力和反作用力分别作用在两个物体上，不能相互抵消。受力情况决定运动情况。太阳对地球的引力提供向心力，不断改变地球的运动方向。故正确答案为D。21·cn·jy·com
答案：D
5．解析：太阳对行星的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，则F＝m，又v＝，结合T2＝可得出F的表达式为F＝，则得知F与m、r都有关系，故选项A、B、D错误，选项C正确。www.21-cn-jy.com
答案：C
6．解析：牛顿认为以任何方式改变物体的速度都需要力(这种力存在于任何两物体之间)，行星沿圆或椭圆运动需要的力是太阳对它的引力。2·1·c·n·j·y
答案：AD
7．解析：开普勒第三定律＝k是无法在实验室中得到验证的，是开普勒研究天文学家第谷的行星观测记录发现的。【来源：21·世纪·教育·网】
答案：AB
8．解析：设火星质量为m1，地球质量为m2，火星半径为r1，地球半径为r2，则由F＝G得
＝＝＝9×()2＝2.25
答案：2.25
9．解析：(1)行星与太阳间的引力F＝G
则引力之比＝。
(2)行星绕太阳运动时的向心力由太阳对其引力提供，即G＝mr
解得T＝2π
则周期之比＝
答案：(1)m1r∶m2r (2)∶
第二节 太阳与行星间的引力
课堂探究
探究一 太阳与行星间引力规律的推导
问题导引
行星所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动是否符合同样的动力学规律？如果是，分析行星的受力情况。21教育网
提示：行星与平常我们见到的做匀速圆周运动的物体一样，符合同样的动力学规律，遵守牛顿第二定律F＝。行星受到太阳的吸引力，此力提供行星绕太阳运转的向心力。
名师精讲
1．太阳与行星引力规律的推导思想
把行星绕太阳的椭圆运动简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动，运用圆周运动的规律结合开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星间引力表达式。
这样建立理想的物理模型的目的是简化对问题的分析过程，降低对问题的分析难度。由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的椭圆轨迹的两个焦点靠得很近，椭圆非常接近于圆，因此在现阶段我们将天体的运动看成匀速圆周运动并不违背客观事实，而是抓住问题的实质而又使问题简单化。21·cn·jy·com
2．太阳与行星间引力规律的推导
【例1】 (多选)下列关于太阳对行星的引力的说法中，正确的是( )
A．太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星引力的大小与太阳的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成反比
C．太阳对行星的引力是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动规律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
解析：太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，其大小是牛顿结合开普勒行星运动定律和圆周运动规律推导出来的，它不是实验得出的，但可以通过天文观测来检验其正确性，故A、D正确，C错误。太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，故B错误。2·1·c·n·j·y
答案：AD
题后反思 (1)行星绕太阳做圆周运动时，所需向心力由太阳对行星的引力来提供。(2)太阳对行星的引力与行星的质量和行星到太阳间的距离有关。21cnjy.com
的理解
问题导引
发生日全食时，太阳、月亮、地球几乎在同一直线上，且月亮位于太阳与地球之间，如图所示。设月亮到太阳的距离为l，地球到月亮的距离为d，假设太阳质量M，地球质量m1，月球质量m2，则太阳对地球的引力F1和对月亮的吸引力F2的大小之比为多少？
提示：太阳对地球的吸引力F1＝，太阳对月球的吸引力F2＝，则＝。
名师精讲
1．公式表明，太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。
2．式中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。
3．太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
4．我们是在已有的观测结果(开普勒行星运动定律)和理论引导(牛顿运动定律)下进行推测和分析，观测结果仅对“行星绕太阳运动”成立(以后我们将把它推广到卫星绕行星的运动)，这还不是万有引力定律。21世纪教育网版权所有
警示由于天体间的距离很远，天体间的距离远大于天体本身的大小，所以在研究天体间的引力时可将天体看成质点，即天体的质量集中于球心上，那么F＝G中的r就是两天体球心间的距离。www.21-cn-jy.com
特别提醒 公式F＝G的推导过程中，我们用到了两个理想化模型。
(1)由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的椭圆轨迹的两个焦点靠得很近，椭圆非常接近于圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。21·世纪*教育网
(2)由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
【例2】 两个行星的质量分别为m1、m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1、r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为( )www-2-1-cnjy-com
A．1 B. C. D.
解析：设行星m1和m2的向心力分别为F1和F2，由太阳与行星之间的引力规律可知，F1∝，F2∝，又由牛顿第二定律可得：a1＝，a2＝，所以＝，故D选项正确。
答案：D
题后反思 解该类问题要明确：(1)G是比例系数，与行星和太阳均没关系；(2)太阳与行星间的引力规律，也适合于地球与卫星间的引力；(3)该引力规律普遍适用于任何有质量的物体。【来源：21·世纪·教育·网】
第二节 太阳与行星间的引力
预习导航
情境导入
课程目标
1.知道行星绕太阳运动的原因，知道太阳与行星间存在着引力作用。
2．知道行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力的来源。
3．能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式。
4．领会将不易测量的物理量转化为易测量物理量的方法。
一、太阳对行星的引力
1．根据开普勒第一、第二定律，行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力，就等于行星做匀速圆周运动的向心力。21世纪教育网版权所有
2．太阳对不同行星的引力，与行星的质量m成正比，与行星和太阳间距离r的二次方成反比，即F∝。
二、行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，太阳吸引行星，行星也必然吸引太阳，行星对太阳的引力与太阳的质量M成正比，与行星、太阳之间的距离r的二次方成反比，即F′∝。
三、太阳与行星间的引力
太阳与行星之间的引力大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，即F＝G，引力的方向沿二者的连线。21教育网
第五节 宇宙航行
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．由于通信和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步卫星，这些卫星的( )
A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同
C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同
2．我国发射的天宫一号和神舟八号在对接前，天宫一号的运行轨道高度为350 km，神舟八号的运行轨道高度为343 km，它们的运行轨道均视为圆周，则( )
A．天宫一号比神舟八号速度大 B．天宫一号比神舟八号周期长
C．天宫一号比神舟八号角速度大 D．天宫一号比神舟八号加速度大
3．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( )
A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期
B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率
C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同
D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合
4．假设某行星的质量与地球质量相等，半径为地球的4倍，要从该行星上发射一颗绕它自身运动的卫星那么“第一宇宙速度”(环绕速度)大小应为地球上的第一宇宙速度的( )21·cn·jy·com
A.倍 B.倍 C.倍 D．2倍
5．如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是( )
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c
D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大
6．2011年8月，嫦娥二号成功进入了绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图所示，该拉格朗日点位于太阳与地球连线的延长线上，一飞行器位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( ) 2·1·c·n·j·y
A．线速度大于地球的线速度 B．向心加速度大于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供 D．向心力仅由地球的引力提供
7．设地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
二、非选择题
8．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，某人造地球卫星在距地球表面高度等于地球半径3倍处做匀速圆周运动，求：21cnjy.com
(1)卫星的线速度；
(2)卫星绕地球做匀速圆周运动的周期。
9．宇航员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h。已知该星球的半径为R，且物体只受该星球引力的作用。21·世纪*教育网
(1)求该星球表面的重力加速度。
(2)如果要在这个星球上发射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。
参考答案
1．解析：地球同步卫星轨道必须在赤道平面内，离地面高度相同的同一轨道上，角速度、线速度、周期一定，与卫星的质量无关。选项A正确，B、C、D错误。
答案：A
2．解析：由题知天宫一号运行的轨道半径r1大于神舟八号运行的轨道半径r2，天体运行时万有引力提供向心力。根据G＝m，得v＝。因为r1＞r2，故天宫一号的运行速度较小，选项A错误；根据G＝m()2r得T＝2π，故天宫一号的运行周期较长，选项B正确；根据G＝mω2r，得ω＝，故天宫一号的角速度较小，选项C错误；根据G＝ma，得a＝，故天宫一号的加速度较小，选项D错误。www-2-1-cnjy-com
答案：B
3．解析：所有的同步卫星都在同一个赤道轨道上运动，C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星它们的运行轨道面与赤道面的夹角可以不同，它们的轨道平面就不会重合，D错误；分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，A错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道的关于长轴对称的两个位置的速率相等，所以在轨道不同位置可能具有相同的速率是正确的。21教育网
答案：B
4．解析：由G＝m可得v＝，所以＝＝＝。
答案：C
5．解析：由G＝m得v＝，可知b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，选项A错误；由G＝ma的a＝，可知b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，选项B错误；当卫星c加速时，将做离心运动，轨道半径变大，不可能追上同一轨道上的b，同理卫星b减速时，将做向心运动，半径减小，不能等候同一轨道上的c，选项C错误；当卫星的半径减小时，重力做正功，当在较低的轨道上运动时，由v＝可知，其线速度将会变大，选项D正确。21世纪教育网版权所有
答案：D
6．解析：根据v＝ωr，A正确；根据a＝ω2r，B正确；向心力由太阳和地球的引力的合力提供，C、D错误。www.21-cn-jy.com
答案：AB
7．解析：地球同步卫星和随地球自转的物体周期或角速度相等，其加速度a＝ω2r，容易确定A正确；同时，第一宇宙速度v2就是近地卫星的运行速度，对于近地卫星和同步卫星来说，都是万有引力全部提供向心力，满足：＝m，＝m，不难确定D选项也正确。【来源：21·世纪·教育·网】
答案：AD
8．解析：设卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，根据万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝m
G＝m()2·4R
质量为m′的物体在地球表面所受的重力等于万有引力大小，即G＝m′g
联立以上三式解得v＝，T＝16π。
答案：(1) (2)16π
9．解析：(1)根据运动学规律，物体上抛过程中有v＝2gh，所以星球表面的重力加速度g＝。
(2)卫星贴近星球表面运转时其轨道半径近似等于星球的半径，万有引力提供向心力。根据牛顿第二定律得
G＝mg＝m，v＝＝v0。
对应的速度大小即是第一宇宙速度。
又在星球表面附近重力提供做圆周运动的向心力，即mg＝F向，则
mg＝mR
所以运动周期T＝
答案：(1) (2)v0
第五节 宇宙航行
课堂探究
探究一 人造卫星问题的分析思路
问题导引
在地球打的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动，请思考：
(1)这些卫星的运动的向心力都什么力提供？这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期跟什么因素有关呢？
提示：(1)卫星的向心力是由地球的万有引力提供，故所有卫星的轨道平面都经过地心；(2)由G＝m＝mω2r＝mr可知，卫星的线速度、角速度、周期等与其轨道半径有关。
名师精讲
1．人造卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时由地球对它的万有引力充当向心力。因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道。当然也应存在着与赤道平面成某一角度的圆轨道。如图所示。21世纪教育网版权所有
2．人造卫星的运行规律
项目
推导
关系
线速度v与轨道半径r的关系
由G＝m得v＝∝
半径越大，速度越小
角速度ω与轨道半径r的关系
由G＝mω2r得ω＝∝
半径越大，角速度越小
周期T与半径r的关系
由G＝mr得T＝∝r
半径越大，周期越大
向心加速度a与半径r的关系
由G＝ma得a＝∝
半径越大，向心加速度越小
警示 卫星发射后，如果不再补充能量，并忽略空气阻力，则在地面上的发射速度越大，其具有的机械能就越大，进入圆形轨道后，其轨道半径越大，根据运行速度的公式v＝可知，其运行速度越小。【来源：21·世纪·教育·网】
【例1】 (多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b的质量相等且小于c的质量，则( ) 21cnjy.com
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
解析：因卫星运动的向心力就是它们所受到的万有引力，由F＝G知b所受的引力最小，故A项对；由＝man，得an＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的二次方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，故C项错；由＝，得T＝2π，即人造地球卫星运行的周期与其轨道半径三次方的二次方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B项对；由＝，得v＝，即地球卫星的线速度与其轨道半径的二次方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D项对。
答案：ABD
题后反思 在进行本类题目的分析和计算时，应特别注意：卫星运转需要的向心力由万有引力提供，即＝m＝mω2r＝mr，在等式右边为向心力表达式，要讨论哪一个物理量，就要用哪个物理量表达向心力，从而进行讨论。2-1-c-n-j-y
探究二 对第一宇宙速度的理解
问题导引
发射卫星，要有足够大的速度才行，请思考：
(1)哪一颗卫星最容易发射呢？这颗卫星的环绕速度与发射速度有什么关系？
(2)如何求得第一宇宙速度？
提示：(1)轨道越低的卫星，更容易发射，故近地卫星最容易发射，发射后不需要升空，因此近地卫星的环绕速度预期发射速度相等；(2)第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，根据万有引力向心力，求出近地卫星的环绕速度即可。【来源：21cnj*y.co*m】
名师精讲
1．第一宇宙速度，又叫环绕速度，是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度。【出处：21教育名师】
2．推导地球的第一宇宙速度
方法1：
→→
方法2：
→→
说明：(1)从上面的两种推导，导出了第一宇宙速度的表达式，看出第一宇宙速度是定值。若要将其值计算出来，要么知道R和M，要么知道R和g，第一宇宙速度之值仅与中心星球有关，与卫星无关。21*cnjy*com
(2)从两个表达式均可看出第一宇宙速度是环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，但第一宇宙速度又称为发射人造卫星的最小速度，这又怎样理解呢？这里所说的“发射”是指不使卫星落回地面，三种宇宙速度都可以达到这个要求，但是只有第一宇宙速度才是不使卫星落回地面的最小速度。在环绕运动中虽然距地面越高环绕速度小，但是向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难，因为向高轨道发射卫星火箭要克服地球对它的引力而做更多的功。
(3)由第一宇宙速度的两种表达式看出，第一宇宙速度之值由中心星体决定，可以说任何一颗行星都有自己的第一宇宙速度，都应以v＝或v＝表示，式中G为引力常量，M为中心星球的质量，g为中心星球表面的重力加速度，R为中心星球的半径。
警示 (1)当11.2 km/s＞v＞7.9 km/s时：卫星绕地球旋转，其轨道或者是圆或者是椭圆。如果是椭圆，地球位于一个焦点上。21教育名师原创作品
(2)当16.7 km/s＞v≥11.2 km/s时：卫星脱离地球的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”。
(3)当v≥16.7 km/s时：卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以外的空间中去。
不同的星体上的宇宙速度是各不相同的。以上给出的速度值是地球上的宇宙速度值。天体的质量越大，半径越小，其宇宙速度值就越大。
(4)不同的星体的宇宙速度是各不相同的，以上给出的速度值是地球上的宇宙速度值，天体的质量越大，半径越小，其宇宙速度值就越大。
【例2】 若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为( )
A．16 km/s B．32 km/s C．4 km/s D．2 km/s
点拨：此类题要结合第一宇宙速度的计算公式进行对比分析来计算。
解析：由G＝m得v＝。
因为行星的质量M′是地球质量M的6倍，半径R′是地球半径R的1.5倍，即M′＝6M，R′＝1.5R，得：
＝＝＝2
即v′＝2v＝2×8 km/s＝16 km/s。
答案：A
题后反思 计算第一宇宙速度有两种方法：
(1)由G＝m得：v＝；
(2)由mg＝m得：v＝。
探究三 对地球同步卫星的理解
问题导引
地球上空分布着许多的同步卫星，在地面上的人看来，始终静止不动，请思考：
(1)这些同步卫星是否就真的静止不动呢？
(2)这些同步卫星有什么共同的特点呢？
提示：(1)这些同步卫星都在绕地心做匀速圆周运动，地球的万有引力提供向心力；(2)卫星相对于地球静止，因此卫星绕地球运动的周期一定等于地球自转的周期。
名师精讲
1．概念
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通信卫星。
2．特点
特点
理解
周期一定
同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，即T＝24 h
角速度一定
同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度
轨道一定
由于同步卫星绕地球的运动与地球的自转同步，决定了同步卫星的轨道平面应与赤道平面重合。由G＝mr得r＝，所有同步卫星的轨道半径相同
环绕速度
大小一定
由v＝知所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的(3.08 km/s)
向心加速度
大小一定
由G＝ma得a＝，所有同步卫星运动的向心加速度大小都相同
特别提醒 (1)所有同步卫星的周期T、轨道半径r、环绕速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同。
(2)所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，它们都在同一轨道上运动且都相对静止。
【例3】 (多选)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述正确的是( )21·cn·jy·com
A．卫星距地面的高度为
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为G
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
解析：由G＝m(R＋h)，得卫星距地面的高度为－R，选项A错误。第一宇宙速度是最小的发射卫星的速度，卫星最大的环绕速度，选项B正确。同步卫星距地面有一定的高度h，受到的向心力大小为G，选项C错误。由G＝ma卫星运行的向心加速度为a＝，由G＝mg得地球表面的重力加速度为g＝，选项D正确。
答案：BD
题后反思 同步卫星与一般的卫星遵循同样的规律，所以解决一般卫星问题的思路、公式均可运用在同步卫星问题的解答中。同步卫星同时又具备自身的特殊性，即有确定的周期、角速度、加速度、线速度、高度、轨道半径、轨道平面。www.21-cn-jy.com
探究四 卫星的变轨问题分析
问题导引
如图是嫦娥飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图，请思考：从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？从奔月轨道进入月球轨道，又采取什么措施呢？
提示：从绕地球运动的轨道上加速，使飞船做离心运动，飞船转移到奔月轨道；要进入月球轨道，飞船应减速。
名师精讲
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力。由G＝m，得v＝，由此可知轨道半径r(卫星到地心的距离)越大，卫星的速度v越小。当卫星由于某种原因速度v突然改变时，F和m不再相等，因此就不能再根据v＝来确定r的大小。2·1·c·n·j·y
1．当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝知其运行速度要减小。21·世纪*教育网
2．当卫星的速度减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝知运行速度将增大。(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)21教育网
【例4】 (多选)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( ) www-2-1-cnjy-com
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的速率等于在轨道Ⅰ上经过A的速率
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
解析：根据开普勒定律，近地点的速度大于远地点的速度，选项A正确；由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道，需要在A点减速，选项B错误；根据开普勒定律，＝k，R2＜R1，所以T2＜T1，选项C正确；在轨道Ⅱ上经过A点与在轨道Ⅰ上经过A点时航天飞机受力一定，即F＝G，由a＝知选项D错误。21*cnjy*com
答案：AC
题后反思 航天飞机沿椭圆轨道运动时，G≠m，所以不能根据万有引力等于向心力来比较航天飞机在圆周轨道和椭圆轨道上的速度大小。变轨时，航天飞机减速，可从高轨道转移到低轨道；加速时，可从低轨道转移到高轨道。【版权所有：21教育】
触类旁通 卫航天飞机在轨道Ⅱ上运动经过B点的线速度大于还是小于航天飞机在轨道Ⅰ上运动的线速度呢？
提示：航天飞机在轨道Ⅱ上运动经过B点的线速度要大于在与B点内切的圆周轨道上的线速度，而航天飞机在与B点内切的圆周轨道上的线速度要大于在轨道Ⅰ上运动的速度，所以卫航天飞机在轨道Ⅱ上运动经过B点的线速度大于在轨道Ⅰ上运动的线速度。
第五节 宇宙航行
预习导航
情境导入
课程目标
1.了解人造卫星的有关知识。
2．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度。
3．理解卫星的运行速度与轨道半径的关系。
4．了解地球同步卫星的规律。
一、宇宙速度
1．牛顿的设想
如图，当物体的初速度足够大时，它将会围绕地球旋转而不再落回地球表面，称为一颗绕地球转动的人造地球卫星。21教育网
2．原理
一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由地球对它的万有引力提供，即G＝m，则卫星在轨道上运行的线速度v＝。21世纪教育网版权所有
3．宇宙速度
宇宙速度
含义
大小
第一宇宙速度
要想发射人造卫星，必须具有足够大的速度，发射人造卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度
v1＝7.9 km/s
第二宇宙速度
当卫星的发射速度等于或大于11.2_km/s时，卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运行，成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去，我们把11.2 km/s称为第二宇宙速度
v2＝11.2 km/s
第三宇宙速度
当物体的发射速度等于或大于16.7 km/s时，物体便将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把16.7_km/s称为第三宇宙速度
v3＝16.7 km/s
思考 卫星的运行速度和发射速度有何区别？
提示：由G＝m得出的v＝，指的是卫星在轨道上运行时的速度，其大小随半径的增大而减小，所以卫星的运行速度v＜7.9 km/s。但由于卫星在发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面上所需要的发射速度越大，因而卫星的最小发射速度为7.9 km/s。21cnjy.com
二、梦想成真
1．1957年10月4日，世界上第一颗人造地球卫星在苏联发射成功。
2．1969年7月，阿波罗11号飞船登上月球。
3．2003年10月15日，我国航天员杨利伟被送入太空。
第六节 经典力学的局限性
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．关于经典力学和量子力学，下列说法中正确的是( )
A．不论是对宏观物体，还是微观粒子，量子力学都是适用的
B．量子力学适用于宏观物体的运动；经典力学适用于微观粒子的运动
C．经典力学只适用于宏观物体的运动；量子力学只适用于微观粒子的运动
D．上述说法都是错误的
2．经典力学不能适用下列哪些运动( )
A．火箭的发射 B．宇宙飞船绕地球的运动
C．勇气号宇宙探测器 D．微观粒子的波动性
3．下列说法中正确的是( )
A．在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变，在狭义相对论中，物体的质量也不随运动状态而改变
B．在经典力学中，物体的质量随运动速度的增加而减小，在狭义相对论中，物体的质量随物体速度的增大而增大21教育网
C．在经典力学中，物体的质量是不变的，在狭义相对论中，物体的质量随物体速度的增大而增大
D．上述说法都是错误的
4．20世纪以来，人们发现了一些新的事实，而经典力学却无法解释。经典力学只适用于解决物体的低速运动问题，不能用来处理高速运动问题；只适用于宏观物体，一般不适用于微观粒子。下列说法错误的是( )www-2-1-cnjy-com
A．随着认识的发展，经典力学已成了过时的理论
B．人们对客观事物的具体认识在广度上是有局限性的
C．不同领域的事物各有其本质与规律
D．人们应当不断扩展认识，在更广阔的领域内掌握不同事物的本质与规律
5．继哥白尼提出“太阳中心说”、开普勒提出行星运动三定律后，牛顿站在巨人的肩膀上，创立了经典力学，揭示了包括行星在内的宏观物体的运动规律；爱因斯坦既批判了牛顿力学的不足，又进一步发展了经典力学，创立了相对论，这说明( )
①世界无限扩大，人不可能认识世界，只能认识世界的一部分 ②人的意识具有能动性，能够正确地反映客观世界 ③人对世界的认识具有局限性，需要发展和深化 ④每一个认识都可能被后人推翻，人不可能获得正确的认识21·世纪*教育网
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③
6．关于经典力学、狭义相对论和量子力学，下面说法中正确的是( )
A．狭义相对论和经典力学是相对立、互不相容的两种理论
B．在物体高速运动时，物体的运动规律服从狭义相对论理论，在低速运动时，物体的运动服从牛顿定律
C．经典力学适用于宏观物体的运动，量子力学适用于微观粒子的运动
D．不论是宏观物体，还是微观粒子，经典力学和量子力学都是适用的
7．下列说法中正确的是( )
A．当物体运动速度远小于光速时，相对论物理学和经典物理学的结论没有区别
B．当物体运动速度接近光速时，相对论物理学和经典物理学的结论没有区别
C．当普朗克常量h(6.63×10－34 J·s)可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别
D．当普朗克常量h(6.63×10－34 J·s)不能忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别
二、非选择题
8．在粒子对撞机中，有一个电子经过高压加速，速度达到光速的0.5倍。试求此时电子的质量变为静止时的多少倍。21cnjy.com
9．根据爱因斯坦的狭义相对论，质量要随着物体运动速度的增大而增大，即m＝。请讨论：
(1)如果你使一个物体加速、加速、再加速，它的速度会增加到等于光速甚至大于光速吗？为什么？
(2)光有静止质量吗？如果有，情况将会怎样？
参考答案
1．解析：量子理论既适用于宏观物体，也适用于微观粒子，经典力学是量子理论在一定条件下的特殊情形，只适用于宏观物体的运动。21·cn·jy·com
答案：A
2．解析：经典力学只适用于宏观物体的运动，不能适用微观粒子的波动性。
答案：D
3．解析：在经典力学中，物体的质量是不变的，在狭义相对论中，物体的质量随物体速度的增大而增大，二者在速度远小于光速时是统一的，故只有C正确。
答案：C
4．解析：人们对客观世界的认识要受到所处的时代的客观条件和科学水平的制约，所以形成的看法也都具有一定的局限性，人们只有不断扩展自己的认识，才能掌握更广阔领域内的不同事物的本质与规律；新的科学的诞生并不意味着对原来科学的全盘否定，只能认为过去的科学是新的科学在一定条件下的特殊情形。2·1·c·n·j·y
答案：A
5．解析：任何一个人对客观世界的认识都要受当时的客观条件和科学水平的制约，所以所形成的“正确理解”都有一定的局限性。爱因斯坦的相对论理论是对牛顿力学的理论的发展和深化，但也有人正在向爱因斯坦理论挑战。所以正确选项为D。
答案：D
6．解析：相对论并没有否定经典力学，而是认为经典力学是相对论理论在一定条件下的特殊情况，A错；经典力学适用于宏观物体的低速运动，对于微观粒子的高速运动问题经典力学不再适用，但相对论、量子力学适用，故B、C对，D错。21世纪教育网版权所有
答案：BC
7．答案：AC
8．解析：由于电子的速度可与光速相比，所以质量变化明显，根据爱因斯坦狭义相对论中运动质量与静止质量的关系得m＝＝＝＝＝1.155m0。
答案：1.155
9．解析：(1)由m＝知：当v＝c时，m应是无穷大。随着质量的不断增大，产生加速度的力会随着不断增大，使加速越来越困难。因此一个物体不管怎样加速，它的速度不会等于甚至超过光速。www.21-cn-jy.com
(2)光没有静止质量。若光有静止质量，当光传播时速度为c，由m＝，它传播时的质量会无穷大，光照射到物体上，如同一质量无穷大的物体以光速砸到被照物体上，后果不堪设想。【来源：21·世纪·教育·网】
答案：见解析
第六节 经典力学的局限性
课堂探究
探究一 经典力学与相对论、量子理论的比较
问题导引
如图为设在美国伊利诺伊州费米实验室的圆形粒子加速器(或称同步回旋加速器)，电子经加速器加速后，能量可达到100 GeV，电子速度达到0.999 999 999 987倍的光速。这时经典力学的规律还适用吗？21世纪教育网版权所有
提示：经典力学在低速运动的广阔领域(包括天体力学的研究)中，经受了实践的检验，取得了巨大的成就，但在高速领域不再适用。21教育网
名师精讲
1．经典力学适用于低速运动的物体，不适用于高速(接近光速)运动的物体，狭义相对论阐述物体在以接近光的速度运动时所遵从的规律。www-2-1-cnjy-com
2．经典力学适用于宏观世界，一般不适用于微观粒子，而量子力学则能够正确描述微观粒子的运动规律。
3．在弱引力的情况下，牛顿万有引力定律与实验结果符合的很好，而在强引力的情况下，万有引力定律不再适用。而爱因斯坦的广义相对论则能够解释强引力情况下的作用规律。
4．相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的特殊情形。
警示 经典力学的适用范围是宏观，低速，弱引力等，但对于微观、高速、强引力问题却不适用。量子力学则能够正确描述微观粒子的运动规律，而高速、强引力问题则要用相对论去解释。2-1-c-n-j-y
【例1】 (多选)关于经典力学和狭义相对论，以下说法中正确的是( )
A．经典力学只适用于低速运动，不适用于高速运动(速度接近真空中的光速)
B．狭义相对论只适用于高速运动(速度接近真空中的光速)，不适用于低速运动
C．经典力学既适用于低速运动，也适用于高速运动(速度接近真空中的光速)
D．狭义相对论既适用于高速运动(速度接近真空中的光速)，也适用于低速运动
解析：狭义相对论既适用于高速运动的物体，也适用于低速运动的物体，经典力学是狭义相对论在一定条件下的特殊情形，只适用于低速运动的物体。2·1·c·n·j·y
答案：AD
题后反思 要比较经典力学和相对论的区别，关键不但要知道各自的适用范围，还要区分开两个速度：速度远小于真空中光速的，称为低速；速度接近于真空中光速的，称为高速。
探究二 从低速到高速引起的变化
问题导引
爱因斯坦的狭义相对论指出，物体的质量随速度的增大而增大，即m＝，其中m0为物体静止时的质量，m是物体速度为v时的质量，c是真空中的光速。但日常生活中，我们并没有发现物体的质量随物体运动速度的变化而变化，为什么呢？
提示：在宏观物体的运动中，v?c，所以质量变化不大，而不是因为物体的质量太大或无法测量，也不是因为质量不随速度的变化而变化。21·cn·jy·com
名师精讲
1．低速与高速的概念
通常所见物体的运动皆为低速运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造地球卫星及宇宙飞船等。有些微观粒子在一定条件下其速度可以与光速相接近，这样的速度称为高速。
2．速度对质量的影响
在经典力学中，物体的质量是不变的，但爱因斯坦的狭义相对论指出，物体的质量随速度的增大而增大，即m＝，其中m0为物体静止时的质量，m是物体速度为v时的质量，c是真空中的光速。在高速运动时，质量的测量是与运动状态密切相关的。
3．速度对物理规律的影响
对低速运动问题，一般用经典力学规律来处理。对高速运动问题，经典力学已不再适用，需要用相对论知识来处理。www.21-cn-jy.com
【例2】 (多选)关于公式m＝，下列说法中正确的是( )
A．公式中的m0是物体以速度v运动时的质量
B．当物体的运动速度v＞0时，物体的质量m＞m0，即物体的质量改变了，故经典力学不适用
C．当物体以较小速度运动时，质量变化十分微弱，经典力学理论仍然适用，只有当物体以接近光速运动时，质量变化才明显，故经典力学适用于低速运动，而不适用于高速运动
D．通常由于物体的运动速度太小，故质量的变化引不起我们的感觉。在分析地球上物体的运动时，不必考虑质量的变化21cnjy.com
解析：公式中的m0是物体静止时的质量，m是物体以速度v运动时的质量，故A错误；由公式可知，只有当v接近光速时，物体的质量变化才明显，一般情况下物体的质量变化十分微小，故经典力学仍然适用，B错误，CD正确。【来源：21·世纪·教育·网】
答案：CD
题后反思 低速运动的物体质量可以认为不发生变化，但当物体的速度接近光速时，物体的运动质量m与静止质量m0就会存在较大差别。21·世纪*教育网
第六节 经典力学的局限性
预习导航
情境导入
课程目标
1.知道牛顿运动定律的适用范围。
2．了解经典力学在科学研究和生产技术中的广泛应用。
3．知道质量与速度的关系，知道高速运动中必须考虑质量变化。
一、从低速到高速
1．经典力学的基础是牛顿运动定律，牛顿运动定律和万有引力定律在宏观、低速、弱引力的广阔区域，包括天体力学的研究中，经受了实践的检验，取得了巨大的成就。
2．狭义相对论阐述物体以接近光的速度运动时所遵从的规律。
3．在经典力学中，物体的质量是不变的，而狭义相对论指出，质量要随物体运动速度的增大而增大。
即m＝，两者在速度远小于光速的条件下是统一的。
4．经典力学认为位移和时间的测量与参考系无关，相对论认为，同一过程的位移和时间的测量与参考系有关。
特别提醒 物体的质量是它的固有属性，是相对不变的，这一结论成立的前提是物体做低速运动，在高速运动中物体的质量要随运动速度的增大而增大。21世纪教育网版权所有
二、从宏观到微观
1．经典力学能够很精确地描述宏观物体的运动规律，但对微观粒子的波粒二象性无能为力，量子力学能够正确地描述微观粒子运动的规律性。21教育网
2．经典力学的适用范围：只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。
三、从弱引力到强引力
爱因斯坦的广义相对论说明：在强引力的作用下，牛顿引力理论将不再适用。
第四节 万有引力理论的成就
自我小测
一、选择题(其中第1～4题为单选题，第5～7题为多选题)
1．神舟八号飞船与天宫一号目标飞行器成功实施了交会对接，任务完成后天宫一号经变轨升到更高的轨道，等待与神舟九号交会对接。变轨前和变轨完成后天宫一号的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则等于( )
A. B. C. D.
2．已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G为已知)( )
A．月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C．地球绕太阳运行的速度v3及地球到太阳中心的距离R3
D．地球表面的重力加速度g及地球到太阳中心的距离R4
3．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为( )21世纪教育网版权所有
A．1∶6 400 B．1∶80 C．80∶1 D．6 400∶1
4．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行。要测定该行星的密度，只需测定( )
A．飞船的运行周期 B．飞船的环绕半径 C．行星的体积 D．飞船的运动速度
5．某宇宙飞船在向宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是( )
A．天体A、B的质量一定不相等
B．两颗卫星的线速度一定相等
C．天体A、B表面的重力加速度之比等于它们的半径之比
D．天体A、B的密度一定相等
6．有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v接近行星赤道表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得( )2·1·c·n·j·y
A．该行星的半径为 B．该行星的平均密度为
C．该行星的质量为 D．该行星表面的重力加速度为
7．为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球球心为圆心，半径为r1的圆轨道上做圆周运动，周期为T1，总质量为m1，随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上做圆周运动，此时登陆舱的质量为m2，则( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．此星球的质量为M＝
B．此星球表面的重力加速度为gx＝
C．登陆舱在r1与r2轨道上运行时的速度大小之比为＝
D．登陆舱在半径为r2的轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1
二、非选择题
8．宇航员在某星球表面，将一小球从离地面为h高处以初速度v0水平抛出，测出小球落地点与抛出点间的水平位移为s，若该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量多大？21·cn·jy·com
9. 太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统。它们运行的原理可以理解为：质量为M的恒星和质量为m的行星(M＞m)，在它们之间的万有引力作用下都有规则地运动着。如图所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计。
(1)求恒星与点C间的距离。
(2)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置。
(3)计算恒星的运行速率v。
参考答案
1．解析：由＝m可知v＝，＝，正确选项为B。
答案：B
2．解析：根据星球绕中心天体做圆周运动，可以计算中心天体质量，故B错误。由＝mR得M＝，A正确。已知地球表面的重力加速度和地球半径，由＝mg得M＝。但D中R4不是地球半径，D错误。21教育网
答案：A
3．解析：月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有mω2r＝Mω2R，所以＝＝，线速度和质量成反比，正确答案为C。
答案：C
4．解析：设星球半径为R，飞船在其表面飞行，轨道半径也为R，设该星球密度为ρ，则该星球的质量M＝πR3ρ。由万有引力提供向心力得＝mR，＝R，得ρ＝，故A选项正确。21cnjy.com
答案：A
5．解析：假设某行星有卫星绕其表面旋转，万有引力提供向心力，可得G＝mR，那么该行星的平均密度为ρ＝＝＝。卫星的环绕速度v＝，表面的重力加速度g＝G＝G·，所以正确选项是C、D。www.21-cn-jy.com
答案：CD
6．解析：由T＝可得R＝，选项A错误；由G＝m可得M＝，选项C错误；由M＝πR3·ρ，得ρ＝，选项B正确；由G＝mg，得g＝，选项D正确。
答案：BD
7．解析：选飞船为研究对象，则＝m1，解得此星球的质量M＝，选项A正确；飞船的向心加速度为a＝，不等于星球表面的加速度，选项B错误；登陆舱在r1的轨道上运动时满足：＝m2，＝m2，登陆舱在r2的轨道上运动时满足：＝m2，＝m2，由上述公式联立可解得：＝，＝，所以选项C错误，选项D正确。21·世纪*教育网
答案：AD
8．解析：设该星球表面重力加速度为g，物体水平抛出后经时间t落地，则h＝gt2①
s＝v0t②
该星球质量M：g＝③
由①②③式得M＝。
答案：
9．解析：(1)恒星和行星做圆周运动的角速度、向心力的大小相同，则mω2a＝Mω2RM，可得RM＝a。www-2-1-cnjy-com
(2)恒星运动的轨道和位置大致如图。
(3)对恒星M有G＝M
解得v＝。
答案：(1)a (2)见解析 (3)
第四节 万有引力理论的成就
课堂探究
探究一 计算被环绕天体质量的几种方法
问题导引
观察下面两幅图片，请思考：(1)如果知道自己的重力，你能否求出地球的质量；(2)如何能测得太阳的质量呢？21教育名师原创作品
提示：(1)人的重力近似认为等于受到的万有引力，根据mg＝G可求地球质量；(2)地球绕太阳转动时的向心力由万有引力提供，根据＝m()2r可求太阳质量。
名师精讲
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。下面以地球质量的计算为例，介绍几种关于天体质量的方法。21·世纪*教育网
已知条件
求解方法
已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T，半径为r
由＝m()2r得M＝
已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v
由＝m得M＝
已知卫星运行的线速度v和运行周期T
由＝mv和＝m得M＝
已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g
由mg＝G得M＝
特别提醒 (1)利用万有引力提供向心力的方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量。【来源：21·世纪·教育·网】
(2)若已知星球表面的重力加速度g′和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有＝mg，所以M＝。21*cnjy*com
其中GM＝gR2是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为“黄金替换”。
【例1】 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v0，，假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N0，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B. C. D.
解析：卫星在行星表面附近做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有G＝m′，宇航员在行星表面用弹簧测力计测得质量为m的物体的重为N0，则G＝N0，解得M＝，B项正确。
答案：B
题后反思 求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据重力等于万有引力，即mg＝G，求得M＝；另一种方法是根据万有引力等于向心力，即G＝m()2r，求得M＝。当然，无论哪种方法只能求中心天体的质量。21*cnjy*com
探究二 应用万有引力定律分析计算天体运动的问题
问题导引
2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观。这是6万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5 576万千米，为人类研究火星提供了最佳时机。如图所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，请思考：
(1)该时刻火星和地球谁的速度大呢？
(2)在经过一年时间，火星是否又回到了原位置？
提示：(1)火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动G＝m，可得v＝，故地球的速度大；(2)在经过一年，地球回到原来位置，火星的周期大于地球的周期，火星还没有回到原位置。21cnjy.com
名师精讲
1．两条思路——两个重要的关系式
(1)质量为m的行星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得G＝man＝m＝mω2r＝m()2r。
(2)质量为m的物体在地球(星体)表面受到的万有引力等于其重力，即G＝mg。
2．几个重要的物理量
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由G＝m得v＝，r越大，天体的v越小。
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，天体的ω越小。
(3)由G＝m()2r得T＝2π，r越大，天体的T越大。
(4)由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小。
利用上述结论可以对行星运动的线速度v、角速度ω、周期T以及向心加速度an等进行定性分析，也可以进行定量计算。21·cn·jy·com
【例2】 (多选) 如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
A．速度大 B．向心加速度大 C．运动周期长 D．角速度小
解析：飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即＝＝mω2R＝m()2R，可判断飞船在2轨道上速度小，向心加速度小，周期长，角速度小，正确选项为CD。21世纪教育网版权所有
答案：CD
题后反思 解决该类问题要紧扣两个关键：一是紧扣一个物理模型：就是将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动；二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体(或卫星)的向心力由万有引力提供。还要记住一个结论：在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中，只有周期的值随着轨道半径的变大而增大，其余的三个都随轨道半径的变大而减小。www-2-1-cnjy-com
探究三 双星问题的分析思路
问题导引
宇宙中两颗靠得很近的天体构成一个“双星系统”，两颗天体以它们连线上的一点为圆心，做匀速圆周运动，两天体及圆心始终在同一条直线上。请思考：
(1)“双星系统”中的两颗天体做圆周运动的向心力由什么力提供？
(2)两颗天体做应注意的周期有什么关系？
提示：(1)两颗天体做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供；(2)因两天体及圆心始终在同一条直线上，所以两颗天体转动的周期必定相同。2·1·c·n·j·y
名师精讲
1．双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源
双星中两颗子星相互绕着旋转可看作是匀速圆周运动，其向心力由两颗恒星间的万有引力提供。由于力的作用是相互的，所以两颗子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。2-1-c-n-j-y
2．双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系
两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。【来源：21cnj*y.co*m】
3．两子星做圆周运动的动力学关系
设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度为ω，由万有引力定律和牛顿第二定律得【出处：21教育名师】
对M1：G＝M1＝M1r1ω2
对M2：G＝M2＝M2r2ω2
警示在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。21教育网
【例3】 (多选)两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法正确的是( )
A．它们做圆周运动的角速度之比与其质量成正比
B．它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比
C．它们做圆周运动的半径之比与其质量成正比
D．它们做圆周运动的半径之比与其质量成反比
解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等，选项A错误；由v＝rω得线速度与两子星做圆周运动的半径成正比，因两子星圆周运动的向心力是由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由G＝M1r1ω2和G＝M2r2ω2可知：M1r1ω2＝M2r2ω2，所以它们的轨道半径与其质量成反比，选项D正确、C错误；而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与其质量也成反比，选项B正确。www.21-cn-jy.com
答案：BD
题后反思 解决双星模型的习题时，应注意以下几点：其一，两星之间的万有引力提供各自所需要的向心力；其二，两星绕某一圆心做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同；其三，两星的轨道半径之和等于两星间的距离。【版权所有：21教育】
第四节 万有引力理论的成就
预习导航
情境导入
课程目标
1.了解地球表面物体的万有引力两个分力的大小关系，计算地球质量。
2．知道行星绕恒星运动、卫星的运动的共同点：万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力，会用万有引力定律计算天体的质量。
3．了解万有引力定律在天文学上有重要应用。
一、计算中心天体的质量和密度
计 算
地 球
的质量
(1)若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力
(2)公式：mg＝G
(3)地球质量：M＝
计算其
他天体
的质量
(1)将行星(或卫星)的运动近似看作匀速圆周运动，行星(或卫星)的向心力由万有引力提供
(2)公式：G＝mω2r＝m＝mr
(3)被环绕的太阳或行星的质量：M＝
计算中
心天体
的密度
如果中心天体为球体，则密度ρ＝＝＝，R为中心天体的半径；当匀速圆周运动的天体绕中心天体表面运行时，r＝R，则ρ＝
二、发现未知天体
1．已发现天体的轨道计算：
18世纪，人们观测到太阳系第七颗行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差。
2．根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出还没有发现的未知天体的轨道，如海王星、冥王星就是这样发现的。21世纪教育网版权所有
3．继续推算其他的未知天体：
海王星和冥王星的轨道与计算结果有偏差，因此人们猜测在冥王星外还有未发现的行星。
