第一节 追寻守恒量——能量
课堂探究
探究一 对“守恒量”的理解
问题导引
2013年6月20日，神舟十号航天员王亚平在天宫一号开展基础物理实验，为全国青少年进行太空授课，她将摆球拉开一定距离后放手，摆球并没有来回摆动(如图所示)，这是为什么？此时我们探究的守恒量——能量，还存在吗？
提示：在天宫一号中的物体处于完全失重状态，与重力有关的一切物理现象都消失了，所以小球不会来回摆动。此时小球随天宫一号一起绕地球高速旋转，其动能与势能之和保持不变，即能量守恒。
名师精讲
1．所谓“守恒”是指数值保持恒定。对于伽利略斜面实验，我们可以这样理解，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将回到它原来的高度，小球好像记得“自己的起始高度”，我们把小球“记得”的这个“东西”叫作守恒量。
2．守恒量是自然界在变化过程中隐藏于现象中的一个反映其本质的物理量，也就是说，自然界并不自动地展现其背后的本质、规律和内在联系，所以寻找守恒量必须讲究科学的方法。例如，观察此消彼长的物理量、研究其相互的关系、科学构思巧妙的实验、精确地论证、推理和计算等。
【例1】 伽利略的斜面实验反映了一个重要的事实：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于同它开始点相同高度的点，决不会更高一点，也不会更低一点。这说明，小球在运动过程中有一个“东西”是不变的，这个“东西”应是( )
A．弹力 B．势能 C．速度 D．能量
解析：在伽利略的斜面实验中，小球从一个斜面滚到另一个斜面，斜面弹力是不同的，势能先减小后增大，速度先增大后减小，所以A、B、C错。不变的“东西”应是能量，包括动能和势能，D对。
答案：D
题后反思 (1)运用理想模型结合实验事实推导物理规律，是研究物理问题常用的思路和方法。(2)伽利略的斜面实验使人们认识到了能量这一物理量。
探究二 对物体的动能和势能的理解
问题导引
如图所示，上海“明珠线”某车站的设计方案。由于站台建得稍高，电车进站时要上坡，出站时要下坡。忽略斜坡的摩擦力，你能分析这种设计的优点吗？
提示：电车进站前虽关闭了电动机，但仍具有动能，可使电车爬上斜坡，这是将动能转化为势能储存。出站时，电车可利用斜坡再将势能转化成动能。可见，这种设计方案可以节约电能。
名师精讲
1．动能
说到动能，一定要有运动着的物体。例如，当伽利略释放小球后，小球开始运动，获得速度，运动着的小球就具有了动能。流动的河水，吹来的风即流动的空气，运转的天体，绕原子核旋转的电子等都具有动能。
2．势能
它必须有相互作用的物体，而且一定与其位置有关。例如，小球受到地球施于它的重力作用，当伽利略把小球从桌面提高到斜面上起始点的高度时，他就赋予了小球一种形式的能量——势能。当我们将弹簧拉伸或者压缩时，弹簧各部分发生相互作用，各部分的相对位置与弹簧自然伸长时发生了变化，我们也就赋予了弹簧一定的势能。
3．势能和动能的相互转化
从伽利略的斜面实验我们可以看出，势能和动能可以相互转化。如果斜面是光滑的，且空气阻力忽略不计，小球总可以沿斜面B上升到原来的高度。这说明了动能和势能在相互转化过程中能量是守恒的。
【例2】 (多选)如果我们把相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫作势能，把物体由于运动而具有的能量称为动能，那么，伽利略的斜面实验可以给我们一个启示，下列关于这个启示正确的是( )
A．小球在斜面上运动时，小球离地面的高度减小，速度增加，小球的速度是由高度转变而来的
B．小球在斜面上运动时，小球离地面的高度增加，速度减小，小球的高度是由速度转变而来的
C．小球在斜面上运动时，小球离地面的高度减小，速度增加，小球的动能是由势能转变而来的
D．小球在斜面上运动时，小球离地面的高度增加，速度减小，小球的势能是由动能转变而来的
解析：在斜面上运动的小球，首先由动能转化为势能，达到最高点时，动能为零，势能达到最大，在下落时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，势能又转化为动能。在小球运动过程中，小球的机械能总量保持不变。
答案：CD
题后反思 不同形式的能可以相互转化，一种形式的能的减少，其他形式的能必然增加，但总的能量不变。在伽利略的理想斜面实验中，动能和势能总和不变。
第七节 动能和动能定理
课堂探究
探究一 对动能的理解
问题导引
如图是探究“动能的大小与哪些因素有关”的实验，图中A球的质量大于B球的质量，让小球从斜面上滚下，静止在地面上的纸盒被碰后，滑行一段距离停下来。由此实验你能得出物体的动能与哪些因素有关吗？
提示：在此实验中，小球的高度在这个题中代表了其速度的大小，让小球从同一高度滚下的目的是两球到达水平面时能够具有相同的速度。甲与乙两实验中两球的质量相同，到达底端的速度不同，根据被碰纸盒的滑行距离可知，小球的动能与其速度有关；甲与丙两实验中两球到达底端的速度相同，质量不同，根据被碰纸盒的滑行距离可知，小球的动能与其质量有关。
名师精讲
1．动能具有相对性，参考系不同，速度就不同，所以动能也不等。一般都以地面为参考系描述物体的动能。
2．动能是状态量，是表征物体运动状态的物理量。物体的运动状态一旦确定，物体的动能就唯一地被确定了。
3．物体的动能对应于某一时刻运动的能量，它仅与速度的大小有关，而与速度的方向无关。动能是标量，且恒为正值。
4．由动能的表达式可知，动能的单位与功的单位相同，因为1 kg·(m/s)2＝1(kg· m/s2)·m＝1 N·m＝1 J
5．动能的变化：动能只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量。动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了。
特别提醒 物体速度变化(如速度的大小不变，方向变化)，则物体的动能不一定变化。而动能变化，则速度一定变化。
【例1】 关于动能的概念，下列说法正确的是( )
A．速度时刻改变的物体，动能时刻在改变
B．运动物体的质量越大，其动能一定越大
C．速度较大的物体，具有动能一定较大
D．动能由物体质量和速度共同决定
解析：动能Ek＝mv2，可知动能由质量m和速度v共同决定，B、C选项错误，D选项正确；动能是标量，速度是矢量，故速度变化，动能不一定变化，故A选项错误。
答案：D
题后反思 动能是标量、速度是矢量，因此当物体的动能变化时速度一定变化，物体的速度变化时，物体的动能不一定变化。
探究二 对动能定理的正确理解
问题导引
足球运动员用力F踢出足球，足球的质量为m，足球被踢出时的速度为v，足球被踢出后在地面上运动了距离x停下。在这个过程中，足球运动员对足球做功了吗？做了多少功？
提示：做功。因x不是力F作用时间内的位移，做的功不等于Fx。由动能定理求得人对球做的功W＝mv2。
名师精讲
1．物理意义：
动能定理描述了一个质点的功能关系，揭示了外力对物体做的总功与物体动能变化量之间的关系，即功是能量转化的量度。
2．ΔEk＝mv－mv为物体动能的变化量，也称作物体动能的增量，表示物体动能变化的大小。
3．W为外力对物体做的总功，W的求法有两种思路：
(1)先求出各个力对物体所做的功W1、W2、W3……，它们的代数和W＝W1＋W2＋W3……即为总功。
(2)先求出物体所受各个力的合力F合，再利用W＝F合lcos α求合力的功。
4．合力对物体做正功，即W＞0，ΔEk＞0，表明物体的动能增大；合力对物体做负功，即W＜0，ΔEk＜0，表明物体的动能减小。
5．动能定理公式中等号的意义：
(1)数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功。
(2)单位相同：国际单位都是焦耳。
(3)因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。
6．动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功等各种情况均适用。
特别提醒 1.动能定理说明了外力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能，而是意味着“功引起物体动能的变化”，即物体动能的变化是通过外力做功的过程来实现的。
2．动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
【例2】 (多选)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则( )
A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量
B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍
C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功
D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
解析：由题意知，两个过程中速度增量均为v，A正确；由动能定理知：W1＝mv2，W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，故B正确，C、D错误。
答案：AB
题后反思 解答本题时应注意以下两点：(1)速度增量和动能增量的含义。(2)合外力的功与动能增量的关系。
探究三 动能定理的应用
问题导引
如图所示，质量为m的小车以初速度v0从山坡底部A处恰好冲上高为h的坡顶B，请思考：
(1)小球运动中哪些力做了功？
(2)如何求得小球克服阻力做的功？
提示：(1)小球受的重力和阻力都对小球做了负功，支持力不做功；(2)根据动能定理－mgh－Wf＝0－mv可求得小球克服阻力做的功。
名师精讲
1．应用动能定理解题的步骤：
(1)选取研究对象，明确它的运动过程；
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
(3)明确研究对象在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2；
(4)列出动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解。
2．应注意的问题：
(1)要注意动能与动能增量概念的不同。
①动能描述的是物体在某一时刻或某一位置所具有的能量状态，是个状态量；
②动能增量指的是物体的末动能减去初动能，即Ek2－Ek1，描述的是从一个状态到另一个状态的变化量。动能只能取正值，而动能增量有正负之分，ΔEk＞0表示物体的动能增加，ΔEk＜0表示物体的动能减少。
(2)动能定理的计算公式是标量式，速度和位移均是相对同一惯性参考系的。没有特殊说明均是指相对于地面。
(3)动能定理既适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功。力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。计算时只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可。
(4)若物体运动的过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以全过程为一整体来处理。
【例3】 质量为m=50 kg的滑雪运动员，以初速度v0=4 m/s从高度为h＝10 m的弯曲滑道顶端A滑下，到达滑道底端B时的速度vt＝10 m/s。求：滑雪运动员在这段滑行过程中克服阻力做的功(g取10 m/s2)。
点拨：从A运动到B，物体所受摩擦力是变力，所以克服摩擦力所做的功不能直接由功的公式求得，此时要根据动能定理求解。
解析：设摩擦力做的功为W，根据动能定理
mgh－W＝mv－mv
代入数值得W＝2 900 J。
答案：2 900 J
题后反思 如果是恒力做功问题往往直接用功的定义式求解，但遇到变力做功问题需借助动能定理等功能关系进行求解；分析清楚物理过程和各个力的做功情况后，根据动能定理列出方程求解。
触类旁通 试求运动员从开始到停止的过程中克服阻力做的功。
提示：根据动能定理有mgh－W′＝0－mv，解得W′＝5 400 J。
探究四动能定理在多过程中的应用
问题导引
如图所示，质量为m的小球从某一高度h处自由下落，运动中受的空气阻力大小Ff恒定，与地面碰撞前后速度大小不变，经过一段时间后，小球会停下来，你能求出整个过程中小球通过的路程吗？
提示：小球与地面碰撞很多次，不可能通过计算出小球每次反弹的高度，进而求出小球通过的总路程，根据动能定理，考虑整个过程，mgh-Fs=0，即可求得小球通过的路程s=。
名师精讲
1．对于多个物理过程要仔细分析，将复杂的过程分割成一个一个子过程，分别对每个过程分析，得出每个过程遵循的规律。当每个过程都可以运用动能定理时，可以选择分段或全程应用动能定理，题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、方便。
2．应用全程法解题求功时，有些力可能不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待，弄清楚物体所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功还是负功，正确写出总功。
3．运用动能定理只需要从力在整个位移内做的功和这段位移始末两状态动能变化去考虑，无须注意其中运动状态变化的细节，同时动能和功都是标量，无方向性，所以无论是直线运动或曲线运动，运用动能定理去分析，都会比较简单。
特别提醒 应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系。有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，在计算外力做功时更应引起注意。
【例4】 如图所示是跳水运动员在跳台上腾空而起的姿态。跳台距水面高度为h1＝10 m，此时他恰好到达最高位置，估计此时他的重心离跳台台面的高度为Δh＝1 m。当他下降到手触及水面时要伸直双臂做一个翻掌压水花的动作，这时他的重心离水面也是Δh＝1 m，运动员的质量m＝50 kg，g取10 m/s2，求：
(1)从最高点到手触及水面的过程中，其运动可以看作是自由落体运动，他在空中完成一系列动作可利用的时间为多长？
(2)忽略运动员进入水面过程中受力的变化，入水之后，他的重心能下沉到离水面h2＝2.5 m处，试估算水对他的平均阻力．
解析：(1)由题意知，这段时间运动员重心下降高度h＝10 m，设空中动作可利用的时间为t，则
h＝gt2
故t＝＝ s＝ s≈1.4 s
(2)整个过程运动员重心下降高度为h1＋Δh＋h2＝13.5 m，设水对他的平均阻力为Ff，根据动能定理有
mg(h1＋Δh＋h2)－Ffh2＝0，
整理并代入数据得Ff＝2 700 N。
答案：(1)1.4 s (2)2 700 N
题后反思 物体在运动过程中受力情况不同，这种情况下动能定理中的总功应表述为各个力做功的代数和。利用分段法解题，思路清晰，不容易出错，但过程较繁琐；利用整段法解题，特别是初末速度均为零的题目，显得简捷、方便。对全过程应用动能定理使动能定理在解题中的优势更为明显。
探究五 牛顿定律解题和动能定理解题的比较
问题导引
如图所示，狗拉雪橇在雪地上由静止开始先做匀加速运动，后做匀减速运动，最后停下来。请思考：
(1)根据牛顿第二定律分析此运动过程，可否将加速和减速过程合并为一个全过程来考虑？
(2)用动能定理分析时比用牛顿第二定律分析有何优点？
提示：(1)加速和减速过程的加速度不同，因此据牛顿第二定律分析不能将加速和减速过程合并为一个全过程来考虑；(2)动能定理只考虑合外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理。
名师精讲
1．动能定理与牛顿第二定律解题的比较
牛顿定律
动能定理
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程的分析
适用条件
只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节，结合运动学公式解题
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
两种思路对比可以看出应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错。
2．应用动能定理的优越性
(1)物体由初始状态到末状态的过程中，物体的运动性质、运动轨迹、做功的力是变力还是恒力等诸多因素都可以不予考虑，使分析简化。
(2)应用牛顿运动定律和运动学规律时，涉及的有关物理量比较多，对运动过程中的细节也要仔细研究，而应用动能定理只考虑合外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理。
(3)一般情况下，由牛顿运动定律和运动学规律能够求解的问题，用动能定理也可以求解，并且更为简捷。
(4)牛顿定律解决的是瞬时问题，处理一些状态量之间的关系比较方便；动能定理将状态量的变化与过程相联系，在不需要关注具体过程的情况下是比较方便的。
【例5】 冰壶运动是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，冰壶在水平冰面上的一次滑行可简化为如下过程：如图所示，运动员将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OD推到A点放手，此后冰壶沿AD滑行，最后停于C点。已知冰面与各冰壶间的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，AC＝L，CD＝r，重力加速度为g，
(1)求冰壶在A点的速率；
(2)若将BD段冰面与冰壶间的动摩擦因数减小为0.8μ，原只能滑到C点的冰壶能停于D点，求A点与B点之间的距离。
点拨：冰壶在A点放手后做减速运动到C点，根据运动学公式或动能定理即可求得。第(2)问冰壶在AB段和BD段做加速度不同的减速运动，用动能定理更为简单。
解析：(1)对冰壶，从A点放手到停止于C点，设在A点时的速度为v1，应用动能定理有
－μmgL＝0－mv
解得v1＝；
(2)设AB之间距离为s，对冰壶，从A到D′的过程
应用动能定理，－μmgs－0.8μmg(L＋r－s)＝0－mv
解得s＝L－4r
答案：(1) (2)L－4r
题后反思 动能定理是功能基本关系之一，凡是涉及力所引起的位移而不涉及加速度及时间的问题，应用动能定理分析讨论，通常比牛顿第二定律简捷。
第三节 功率
课堂探究
探究一 对功率的理解
问题导引
如图所示，两个质量相等的人爬相同的楼，他们的重力做的功相同吗？做功的功率相同吗？
提示：两个人重力做的功相等，但年轻人爬得快，用的时间少，重力做功的功率大。
名师精讲
1．功率——比值定义的方法
功率是描述力对物体做功快慢的物理量，定义为功与完成这些功所用时间的比值。所以功率的大小只与其比值有直接联系，与做功多少和时间长短无直接联系。比较功率的大小，就要比较这个比值：比值越大，功率就越大，做功就越快；比值越小，功率就越小，做功就越慢。
2．平均功率与瞬时功率的比较
物理意义
公式
平均功率
在一段时间内或某一过程中做功的快慢
P＝或P＝Fcos θ
瞬时功率
物体在某一时刻或某一位置时做功的快慢
P＝Fvcos α，v为某时刻的瞬时速度
3.对公式P＝Fv的理解
(1)F、v、P的对应关系：
①同时性：P、F、v三个量中任意一个物理量都是可以变化的，但应用P＝Fv时，三者一定对应于同一时刻。
②同体性：P、F、v是对应于同一物体的三个物理量，对不在同一物体上三者关系讨论，毫无意义。
③同向性：P＝Fv应用时F与v同向，若F的方向与v的方向成α角，则P＝Fvcos α。
(2)P＝Fv中三个量的制约关系：
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
P与v成正比
汽车在高速路上行驶，加大油门增大输出功率，可以提高速度
警示 (1)求解瞬时功率时，通常选用公式P＝Fvcos α。(2)求解平均功率时，公式P＝和P＝Fcos θ均可，要根据具体情况灵活选取。
【例1】 质量为m＝0.5 kg的物体从高处以水平初速度v0＝5 m/s抛出，求：
(1)2 s内重力对物体做的功是多少？
(2)2 s内重力对物体做功的平均功率是多少？
(3)2 s末，重力对物体做功的瞬时功率是多少？(g取10 m/s2)
点拨：平均功率用公式P＝求解，瞬时功率用P＝Fvcos α＝Fv分(沿力方向的分速度)求解。
解析：(1)抛出后2 s内，物体在竖直方向下落的高度
h＝gt2＝×10×22 m＝20 m
故重力做功WG＝mgh＝0.5×10×20 J＝100 J。
(2)平均功率P＝＝ W＝50 W。
(3)在t＝2 s末，物体在竖直方向的分速度
vy＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，
所以t＝2 s末重力的瞬时功率P＝mgvy＝100 W。
答案：(1)100 J (2)50 W (3)100 W
题后反思 对于功率问题，首先要弄清楚是平均功率还是瞬时功率。在利用P＝Fvcos α求解时可以变化为P＝Fv分＝F分v，即力乘以沿力方向的分速度，或沿速度方向的分力乘以速度。
触类旁通 假设抛出点的高度h＝45 m，求落地时重力的功率及下落过程中重力的功率。
提示：150 W 75 W
探究二 机车启动问题过程分析
问题导引
汽车以不同的方式启动，一次保持发动机的功率不变，一次保持加速度不变，请思考：
(1)发动机的功率不变时，汽车的加速度能否保持不变？
(2)汽车的加速度不变时，发动机的功率能否保持不变？
提示：(1)根据P＝Fv，功率不变，速度增大时，牵引力必定减小，由牛顿第二定律可知，汽车的加速度减小；(2)加速度不变，则牵引力不变，由P＝Fv可知，随着速度的增大，发动机的功率不断增大。
名师精讲
1．机车以恒定功率启动
(1)运动过程分析：
(2)运动过程的v-t关系图象如图所示：
(3)特点：①当机车的牵引力与所受阻力的大小相等时，即F＝Ff，a＝0，机车达到最大速度，此时vmax＝＝；②在加速过程中，加速度是逐渐减小的，如果知道某时刻的速度，就可求得此时刻的加速度。
2．机车以恒定加速度启动
(1)运动过程分析：
(2)运动过程的v-t关系图象如图所示：
(3)特点：①当实际功率小于额定功率时做匀加速直线运动；②当达到额定功率后做加速度减小的变加速运动，当加速度为零时达到最大速度。
特别提醒 (1)在P＝Fv中，P为机动车辆牵引力的功率，所以对应的力F是牵引力并非合力，这一点应引起注意。
(2)无论机动车辆怎样启动，只要有加速度，一定遵守牛顿第二定律。达到最大速度时，牵引力F＝Ff，应注意Ff为机动车辆所受的总阻力。
【例2】 在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车重的0.1倍，求：
(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度；
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率不变从静止启动后，当汽车的加速度为2 m/s2时，速度多大？
点拨：不管汽车以哪种方式启动，最终汽车要达到一个稳定状态，即做匀速直线运动，此时有汽车的牵引力F等于受到的阻力Ff。当以恒定的加速度启动时，其输出功率随速度的增大而增大，当增至额定功率时，匀加速运动就结束了，由牛顿第二定律求出匀加速运动的牵引力F，再由P额＝Fv即可求出匀加速运动结束时的速度v，由v＝at可求出匀加速运动持续的时间。当汽车以额定功率启动时，随着速度的增大，牵引力逐渐减小，先由牛顿第二定律求出加速度为2 m/s2时的牵引力，再由P额＝Fv求出此时的速度。本题是关于汽车以恒定功率启动的问题。在此过程中，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直到加速度为零(即牵引力等于阻力)时，速度达到最大。
解析：(1)当汽车速度最大时，F＝Ff，P＝P额，故
vmax＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)汽车从静止开始匀加速启动过程中，a不变，v变大，P也变大，当P＝P额时，此过程结束，则
F＝Ff＋ma＝(0.1×104×10＋104×0.5) N＝1.5×104 N
v＝＝ m/s＝6.7 m/s
所以t＝＝ s＝13.4 s。
(3)F′＝Ff＋ma′＝(0.1×104×10＋104×2) N＝3×104 N
所以v′＝＝ m/s＝3.3 m/s。
答案：(1)10 m/s (2)13.4 s (3)3.3 m/s
题后反思 解决汽车的启动问题，首先要明确属于恒定功率启动还是恒定加速度启动，找出不变的物理量与变化的物理量之间的关系；其次要明确所求解的问题属于哪个阶段。例如，最大速度是匀加速过程的最大速度，还是汽车能达到的最大速度。
第九节 实验：验证机械能守恒定律
课堂探究
探究一 实验注意事项
1．先接通电源打点，后释放纸带。
2．选取纸带：(1)选择开始的一段时，要验证的是mv＝mghn，必须保证纸带上的第一点为重物静止释放时打的点，所以前两个点的间距为h＝gt2＝×10×(0.02)2 m＝2 mm。
(2)选择运动中的一段时，要验证的是mv－mv＝mghmn，这时选择纸带不需要满足前两点间距为2 mm。
3．计算速度时不能用v＝gt或v＝，否则就犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误。
4．测量下落高度时，为减小实验误差，后边的点应距起点O较远，在测量各点到O点的距离时，应当用刻度尺从O点量起，一次性读出各点到O点的距离。
探究二 数据处理
1．求瞬时速度
由公式vn＝可以计算出重物下落h1、h2、h3…的高度时对应的瞬时速度v1、v2、v3…
2．守恒验证
方法一：利用起始点。
利用起始点和第n点计算。代入ghn和v，如果在实验误差允许的范围内，ghn＝v，则机械能守恒定律得到验证。
方法二：任取两点。
(1)任取两点A、B，测出hAB，求出ghAB。
(2)求出A、B两点的瞬时速度，求出v－v的值。
(3)如果在实验误差允许的范围内，ghAB＝v－v，则机械能守恒定律得到验证。
方法三：图象法。
从纸带上选取多个点，测量从第一个点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出v2-h图线。
若在误差允许的范围内图象是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。
探究三 误差分析
1．测量长度会带来偶然误差。减小偶然误差的办法：
(1)测距离都应从O点测起；
(2)多次测量取平均值；
(3)选取的计数点应尽可能离O点远些，以减小相对误差。
2．重物在拖着纸带下落的过程中必然受到阻力作用，主要是打点计时器与纸带间的摩擦力以及空气的阻力。克服这些阻力做功要消耗能量，所以重物动能的增加量ΔEk必定小于重力势能的减少量ΔEp。这是实验设计上带来的系统误差。
3．打点计时器周期变化带来误差。
【例1】 (实验原理及过程的理解)在验证机械能守恒定律的实验中，有同学按以下步骤进行实验操作：
A．用天平称出重物和夹子的质量。
B．固定好打点计时器，将连着重物的纸带穿过限位孔，用手提住，且让手尽量靠近打点计时器。
C．松开纸带，接通电源，开始打点。并如此重复多次，以得到几条打点纸带。
D．取下纸带，挑选点迹清晰的纸带，记下起始点O，在距离O点较近处选择连续几个计数点(或计时点)，并计算出各点的速度值。
E．测出各点到O点的距离，即得到重物下落的高度。
F．计算出mghn和mv，看两者是否相等。
在以上步骤中，不必要的步骤是______；有错误或不妥的步骤是______(填写代表字母)；更正情况是①______，②______，③______，④______。
点拨：对于物理实验，掌握实验原理和操作方法是最基本的要求。只有掌握了实验原理，才能判断出实验步骤中哪些是错误的，哪些是必要的；只有亲自动手进行认真的操作，才能正确地对实验步骤按序排列。
解析：本实验的目的是要验证机械能守恒定律，即比较重物在下落过程中重力势能的减少量ΔEp与动能的增加量ΔEk是否相等，如果操作不当或错误，就会增大重物和纸带所受阻力，导致机械能损耗过大，无法达到实验目的。为了保证实验成功和减少机械能损耗，在实验操作时应遵照注意事项，因此本题可对照实验注意事项和围绕减小误差方面进行考虑。
因本实验是通过比较重力势能的减少量ΔEp是否等于动能的增加量ΔEk来验证机械能守恒的，不需要知道动能的具体数值，因而不需要测出重物和夹子的质量，故步骤A是多余的。
有错误或不妥的步骤是B、C、D、F。原因和更正办法分别是：
B中“让手尽量靠近”应改为“让重物尽量靠近打点计时器”，因打点计时器开始工作应从与重物靠近的纸带开始打点，不致留下过长的空白纸带，纸带也不宜过长，约40 cm即可。
C中应先接通电源，后松开纸带。因为只有当打点计时器工作正常后再让重物下落，才可保证打第一个点时重物的初速度为零，并且使纸带上的第一个点是清晰的小点。
D中应将“距离O点较近处”改为“距离O点较远处”，因为所取的各计时点应尽量是重物自由下落运动的真实记录，而打点计时器接通电源开始工作后不一定很快就能达到稳定状态，同时开始的几个点比较密集，会增加长度测量的误差。
F中应改为“ghn和v”，因本实验中是通过比较重物的重力势能减少量mghn和动能增加量mv的大小来达到验证的目的，对于同一个研究对象(重物)来说，质量是一定的，故只需比较ghn和v就能达到目的。
答案：见解析
题后反思 做实验，要了解其目的、原理、器材及其思路，才能很好地把握过程(步骤)。无须死记硬背。
【例2】 (实验数据的处理)在“验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所用电源频率为50 Hz，当地重力加速度的值为9.80 m/s2，测得所用重物的质量为1.0 kg。甲、乙、丙三个学生分别用同一装置打出三条纸带，量出各纸带上第1、2两点间的距离分别为0.18 cm、0.18 cm和0.25 cm，可看出其中肯定有一个学生在操作上出现了问题，出现的问题是________________________。若按实验要求正确地选出纸带如图所示(相邻计数点的时间间隔为0.02 s)，那么：
(1)纸带的________端与重物相连(填“左”或“右”)；
(2)打点计时器打下计数点B时，重物的速度vB＝________；
(3)从起点O到打下计数点B的过程中重物重力势能的减少量ΔEp＝________，此过程中重物动能的增加量ΔEk＝________；
(4)通过计算，数值上ΔEp________ΔEk(填“＞”“＝”或“＜”)，这是因为______
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(5)实验的结论是__________________________________________________________。
解析：如果重物做自由落体运动，第1、2两点间的距离应接近于0.2 cm，而丙同学的纸带上第1、2两点间的距离远大于这个值，说明重物在打第1点时已有速度，故丙同学在操作时出现的问题是先释放纸带后接通电源。
(1)纸带左端相邻两点之间的距离小，故纸带左端与重物相连。
(2)B点对应的速度vB＝＝0.98 m/s
(3)ΔEp＝mghOB＝0.49 J，ΔEk＝mv＝0.48 J
(4)ΔEp＞ΔEk，在实验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转化为动能。
(5)在实验误差允许的范围内，重物的机械能守恒。
答案：先释放纸带后接通电源 (1)左 (2)0.98 m/s (3)0.49 J 0.48 J (4)＞ 实验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转化为动能 (5)在误差允许的范围内，重物的机械能守恒
题后反思 解答该题时千万不可认为既然机械能是守恒的，就直接将动能的增加量等于重力势能的减少量。因为该题是要求通过实验验证机械能守恒定律的，是否守恒要通过实验数据的计算来说明。
【例3】 (创新实验设计)某实验小组利用如图所示的实验装置来验证钩码和滑块所组成的系统机械能守恒。实验前需要调整气垫导轨底座使之水平，用游标卡尺测得遮光条的宽度为d，实验时将滑块从图示位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门的时间Δt。
(1)实验前需要调整气垫导轨底座使之水平，利用现有器材如何判断导轨是否水平？
(2)在本次实验中还需要测量的物理量有：钩码的质量m、______和______(用文字说明并用相应的字母表示)。
(3)本实验通过比较______和______在实验误差允许的范围内相等(用测量的物理量符号表示)，从而验证了系统的机械能守恒。
(4)你估计减少的重力势能和增加的动能哪个可能偏小？____________。
你认为造成这种偏差的原因可能是______________________________。
解析：(1)接通气源，将滑块静置于气垫导轨上，若滑块基本保持静止，则说明导轨是水平的(或轻推滑块，滑块能做匀速直线运动)。
(2)本实验中钩码减少的机械能转化为钩码和滑块的动能，所以需要测出滑块的质量M以及钩码下降的高度即滑块上的遮光条初始位置到光电门的距离x。
(3)此过程中钩码减少的重力势能为mgx，滑块运动到光电门时的速度v＝，钩码和滑块增加的动能为(m＋M)2，在实验误差允许的范围内，只要计算出mgx与(m＋M)2相等，就验证了系统的机械能守恒。
(4)运动过程中存在摩擦力，定滑轮也有质量，所以钩码减少的重力势能一方面转化为系统(包括定滑轮)的动能，另一方面要克服摩擦力做功，所以系统增加的动能要小一些。
答案：见解析
题后反思 此题为一个验证性实验题，要求根据物理规律选择需要测定的物理量，运用实验方法判断如何减小实验误差。掌握各种实验方法是解题的关键。
第二节 功
课堂探究
探究一 对功的理解
问题导引
下面三种情景中，人是否对物体做功？
提示：甲图中，杠铃不动，没有位移，人没有做功；乙图中，花在力的方向上没有位移，人不做功；丙图中，拖把在人对其的力的方向上发生了位移，人对拖把做功。
名师精讲
1．做的功的两个必要因素
(1)物体受到力的作用；
(2)物体在力的方向上有位移。
如图甲所示，举重运动员举着杠铃不动时，杠铃没有发生位移，举杠铃的力对杠铃没有做功。
如图乙所示，足球在水平地面上滚动时，重力对球做的功为零。
功是力在空间上的积累效应，它总是与一个具体的过程相联系，因此，功是一个过程量。同时功与具体的某一个力或某几个力对应，学习时要注意是哪一个力或哪几个力的功，以及所对应的过程。
2．对公式W＝Flcos α的理解
(1)F表示力的大小，l表示力的作用点相对于地面的位移的大小，当力的作用点的位移与物体的位移相同时，也常常说是物体相对于地面的位移大小，α表示力和位移方向间的夹角。
(2)公式可以表达为W＝F·lcos α，表达的意义是功等于沿力F方向的分位移与力的乘积；公式也可以表达为W＝Fcos α·l，表达的物理意义是功等于位移与沿位移方向的分力的乘积。
特别提醒 (1)式中F一定是恒力。若是变力，中学阶段一般不用上式求功。
(2)式中的l是力的作用点的位移，也为物体对地的位移。α是F的方向与l的方向间的夹角。
(3)力对物体做的功只与F、l、α三者有关，与物体的运动状态等因素无关。
【例1】 (多选)如图所示，用恒力F拉着质量为m的物体沿水平面从A移到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功多
B．有摩擦力时与无摩擦力时F做功一样多
C．物体加速运动时F做的功比减速运动时F做的功多
D．物体无论是加速、减速还是匀速，力F做的功一样多
解析：由功的公式W＝Flcos α可得力F对物体m做的功W＝Fl，与有无摩擦力无关，与物体是加速、减速还是匀速运动也无关，因此选项B、D正确。
答案：BD
题后反思 求功时，必须要明确哪个力在哪个过程中做功。力F所做的功只与F的大小及在力F方向上发生的位移大小有关，与物体是否受其他力及物体的运动状态等因素均无关。
探究二 对正功和负功的理解
问题导引
(1)如图甲所示，前面的人向前拉车，后面的人向后拉车，两个人分别对车做了什么功呢；
(2)如图乙所示，推出的铅球在空中运动的过程中，重力对铅球的做功情况如何？
提示：(1)前面的人对车的拉力与小车位移方向的夹角小于90°，做正功；后面的人对车的拉力与小车位移的夹角大于90°，做负功；(2)推出的铅球在上升过程中，重力方向与速度方向夹角大于90°，重力做负功；铅球在下落中，重力方向与速度方向的夹角小于90°，重力做正功。
名师精讲
1．功是标量
(1)功是标量，只有量值，没有方向。功的正、负并不表示功的方向，而且也不是数量上的正与负。我们既不能说“正功与负功的方向相反”，也不能说“正功大于负功”，它们仅仅表示相反的做功效果。
(2)一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功，这两种说法是等效的。例如，滑动摩擦力对物体做的功为－10 J，也可以说成物体克服摩擦力做的功为10 J。
(3)比较做功多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如，－8 J的功要比5 J的功多。
2．判断力是否做功及做功正负的方法
(1)看力F的方向与位移l的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向与速度v的方向间的夹角α——常用于曲线运动的情形。
若α为锐角则做正功，若α为直角则不做功，若α为钝角则做负功。
3．功的正负的物理意义
动力学角度
能量角度
正功
若某力对物体做正功，则这个力对物体来说是动力
若力对物体做功，则外界向物体提供能量，即受力物体获得了能量
负功
若某力对物体做负功，则这个力对物体来说是阻力
若物体克服外力做功，则物体要消耗自身的能量，即物体失去了能量
【例2】 (多选)如图，人站在自动扶梯上不动，随扶梯向上匀速运动，下列说法中正确的是( )
A．重力对人做负功 B．摩擦力对人做正功
C．支持力对人做正功 D．合力对人做功为零
解析：人随电梯向上匀速运动时只受重力和竖直向上的支持力。重力与速度方向的夹角大于90°，所以重力做负功；支持力方向与速度方向间的夹角小于90°，支持力做正功；人受的合力为零，所以合力做功为零，A、C、D正确。
答案：ACD
题后反思 力做正功还是负功的关键是看力与位移(或速度)的夹角。若夹角是锐角则做正功；若夹角为钝角则做负功；若夹角为直角则不做功。
探究三 总功的计算
问题导引
羽毛球击出后，在落地的过程中，重力对它做了2 J的功，水平风力对它做了1 J的功，有的同学认为，根据平行四边形定则，重力和风力一共对羽毛球做的总功是 J，是这样吗？
提示：功是标量，不能根据平行四边形定则求总功，各力做功的代数和就等于总功，本例中重力和风力一共对羽毛球做的总功是3 J。
名师精讲
物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
1．先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcos α计算。
2．由W＝Flcos α计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个外力所做的功求代数和，即W合＝W1＋W2＋…＋Wn。
特别提醒 (1)先求各个力做的功，再求总功时，应用的是算术运算法则，而不是矢量运算法则。
(2)求某一个力做的功时，不受其他力存在的影响。
(3)求各个力做的总功时，每个力对应的位移必须是相对于同一惯性参考系的位移(一般选地面)。
【例3】 如图所示，在光滑水平面上，物体受两个相互垂直的大小分别为F1＝3 N和F2＝4 N的恒力，其合力在水平方向上，从静止开始运动10 m，求：
(1)F1和F2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？
(2)F1和F2合力为多大？合力做功是多少？
点拨：力F1和F2及其合力均为恒力，可以用功的公式W＝Flcos α求解它们的功。
解析：(1)力F1做的功W1=F1lcos θ1=3×10×cos 53° J=18 J
力F2做的功W2=F2lcos θ2=4×10×cos 37° J=32 J
W1与W2的代数和
W=W1+W2=18 J+32 J=50 J。
(2)F1与F2的合力
F== N=5 N
合力F做的功W′=Fl=5×10 J=50 J。
答案：(1)18 J 32 J 50 J (2)5 N 50 J
题后反思 (1)如果物体处于平衡状态或某一方向受力平衡时，或者物体在某一方向上做匀变速直线运动时(合力等于ma)，先求合力再求功的方法更简捷；(2)如果已知物体所受的力之中有的不做功，有的做功且方便求得该力的功(如重力功)时，选择W合＝W1＋W2＋…＋Wn简单方便。
探究四 关于摩擦力的功和相互作用力的功
问题导引
不少人认为：人从静止走动起来的动能的增加是地面摩擦力对人做功的结果，因为人是靠地面摩擦力作用而走动起来的，而且地面给人的摩擦力方向与人行走的方向一致，所以摩擦力对人做正功使人的动能增加。这种说法对不对呢？
提示：我们知道：人的走路过程是脚蹬地——抬脚——迈步，脚蹬地时地面摩擦力作用在脚上，但脚没有离地也就没有位移，脚一旦抬起迈步，摩擦力随之消失。
根据功的定义可以断定，无论脚蹬地时还是迈步时，摩擦力做功都等于零。可见人行走前进并非地面摩擦力做功，而是人体内肌肉的力做功的结果。
名师精讲
1．摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体不做功。
(2)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做负功。
(3)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功。
2．作用力、反作用力做功的特点
(1)作用力与反作用力特点：大小相等、方向相反，但作用在不同物体上。
(2)作用力、反作用力作用下的物体的运动特点：可能向相反方向运动，也可能向相同方向运动，也可能一个运动而另一个静止，还可能两物体都静止。
(3)由W＝Flcos α可以判断，作用力与反作用力的功的特点是：没有必然关系，即不一定是一正一负，绝对值也不一定相等。
【例4】 一辆正在路面上行驶的汽车，遇到前方有人横穿马路时，司机紧急制动后又经过x的距离停下来才避免了一场车祸的发生，若汽车与地面的摩擦力大小为F，则关于汽车与地面间摩擦力做的功，以下说法中正确的是( )
A．摩擦力对汽车、地面均不做功
B．摩擦力对汽车做－Fx的功，对地面做Fx的功
C．摩擦力对汽车、地面均做－Fx的功
D．摩擦力对汽车做－Fx的功，对地面不做功
解析：地面的位移为零，摩擦力对地面不做功，汽车位移为x，摩擦力对汽车做功W＝－Fx，D对，A、B、C错。
答案：D
题后反思 (1)摩擦力并非只做负功，可以做正功、负功或不做功；(2)作用力和反作用力虽然等大反向，但由于其分别作用在两个物体上，产生的位移效果无必然联系，故作用力和反作用力的功不一定一正一负，大小也不一定相等。
第五节 探究弹性势能的表达式
课堂探究
探究一 对弹性势能的理解
问题导引
如图所示，撑竿跳是运动会上常见的比赛项目，用于撑起运动员的竿要求具有很好的弹性，请思考：在什么时候撑竿的弹性势能最大？是撑竿刚刚触地时，还是运动员撑竿跳起到达最高点时呢？
提示：撑竿形变量最大时，弹性势能最大，故运动员撑竿触地后上升到最高点之前某时刻，竿弹性势能最大。
名师精讲
1．当弹簧的形变量为零时，它的弹性势能为零，弹簧被拉长或被压缩后，都具有弹性势能。
2．影响弹性势能的因素(从弹力做功的角度考虑)：①弹簧的形变量l(形变量是指拉伸或压缩的变化量)。因为形变量越大，用力越大，做功越多。②弹簧的劲度系数k。拉伸相同的长度，不同弹簧的“软硬”不一样，做功不一样。
【例1】 关于弹性势能，下列说法正确的是( )
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增加
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定减少
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧的形变量越大，它的劲度系数k值越大
解析：当弹簧被压缩时，弹簧再变长，弹性势能减少，弹簧再变短，弹性势能增加，A、B都不对；在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大，C正确；劲度系数k是由弹簧本身的因素决定的，和形变量没关系，D不对。
答案：C
题后反思 (1)提到弹性势能，不要仅仅想到弹簧的弹性势能，实际上所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能；(2)弹性势能的大小与劲度系数和形变量两个因素有关。
探究二 弹力做功与弹性势能变化的关系
问题导引
弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具，它是由两根橡皮条和一个木叉制成的(如图所示)，能将石子打出很远的距离。请思考：
(1)拉伸橡皮条时，橡皮条的弹力做什么功？橡皮条的弹性势能怎样变化？
(2)将拉紧的橡皮条释放，石子就以较大的速度飞出。则橡皮条释放时，弹力做什么功，弹性势能怎样变化？
提示：(1)拉紧橡皮条时，橡皮条的形变量变大，弹力做负功，弹性势能变大；(2)释放橡皮条，弹力做正功，弹性势能减少。
名师精讲
1．如图所示，O为弹簧的原长位置。
(1)物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹力做负功，弹性势能增大。
(2)物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹力做
正功，弹性势能减少。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系可表示为W＝－ΔEp。
2．弹性势能与重力势能的比较：
弹性势能
重力势能
定义
发生弹性形变的物体之间由于弹力的相互作用而具有的能量
物体由于被举高而具有的能量
表达式
Ep＝
Ep＝mgh
相对性
弹性势能与零势能位置的选取有关，一般取自然长度时，弹性势能为零
重力势能与零势能位置选取有关，但变化量与参考位置的选取无关
系统性
弹性势能为弹簧本身具有的能量
重力势能为物体与地球这一系统所共有的能量
功能关系
弹性势能的变化等于克服弹力做的功
重力势能的变化等于克服重力做的功
联系
两种势能分别以弹力、重力存在为前提，又由物体的相对位置来决定。两者同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化
警示 公式Ep＝高中阶段不作要求，但熟记公式可迅速判断弹性势能的大小及弹性势能的变化。
【例2】 如图所示，在光滑的水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．弹簧的弹性势能逐渐减少 B．弹簧的弹性势能逐渐增加
C．弹簧的弹性势能先增加后减少 D．弹簧的弹性势能先减少后增加
点拨：当弹簧的弹力做正功时，弹性势能减少；做负功时，弹性势能增加。
解析：撤去F后物体向右运动的过程中，弹簧的弹力先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减少后增加。
答案：D
题后反思 (1)弹性势能大小与弹力做功有关，弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增大；(2)弹性势能大小与弹簧形变量大小有关，形变越大，弹性势能越大。
第八节 机械能守恒定律
课堂探究
探究一 对机械能守恒定律的理解
问题导引
如图所示，小球抛出后在空中运动(不计空气阻力)的过程机械能守恒吗？降落伞在空中匀速下落时机械能守恒吗？
提示：判断物体机械能是否守恒，依据是只有重力做功。小球抛出后，只受重力作用，机械能守恒；降落伞除了重力做功外，还有阻力做功，机械能不守恒。
名师精讲
1．对机械能守恒条件的理解
机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功。可分如下三层理解：
(1)物体只受重力或弹力作用：如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动(自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等)。
(2)除重力和弹力外，虽受其他力，但其他力不做功。如图所示，如不计空气阻力，小球在摆动过程中细线的拉力不做功，只有重力做功，小球的机械能守恒。
(3)除重力和弹力外，其他力做功的代数和为零。如图所示，A、B构成的系统，忽略绳的质量和绳与滑轮间的摩擦，在A向下、B向上的运动过程中，FA和FB都做功，但对于A、B组成的系统WA+WB=0，不存在机械能与其他形式能量的转化，则A、B构成的系统机械能守恒。
2．机械能守恒的判断
(1)对单个物体而言：其机械能是否守恒一般通过做功来判定。分析除重力，弹簧弹力外，有无其他力做功，若无其他力做功，则其机械能守恒；若有其他力做功，且不为零，则其机械能必不守恒。
(2)对几个物体组成的系统而言：其机械能是否守恒一般通过能量转化来判定。分析除重力势能、弹性势能和动能外，有无其他形式的能参与转化。若无其他形式的能参与转化，则系统机械能守恒；若有其他形式的能参与转化，则系统机械能必不守恒。
特别提醒 (1)物体做匀速直线运动或物体所受合外力为零，不是机械能守恒的条件。
(2)如果除重力、弹力外，还有其他力做功，但其他力做功之和为零，该种情况下只能说机械能不变，不能说机械能守恒。
【例1】 (多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
解析：甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错。乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错。丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，C对。丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D对。
答案：CD
题后反思 判断机械能是否守恒，可以从各力的做功情况着手分析，也可以从能量转化情况着手分析；要根据实际情况灵活选择合适的分析方法。
探究二 机械能守恒定律的应用
问题导引
如图所示，在同一高度处，将同一小球分别以相等大小的速度抛出，忽略空气阻力，这几种情况小球落地时速度大小相等吗？
提示：尽管这几种情况小球的运动情况不同，只有重力做功，小球的机械能守恒，根据机械能守恒定律可知，小球落地时速度大小相等。
名师精讲
1．机械能守恒定律不同的表达形式
(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和。
(2)ΔEk＝－ΔEp或ΔEp＝－ΔEk，即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量。
(3)ΔEA＝－ΔEB，即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量。
2．应用机械能守恒定律解题的步骤
(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取零势能面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能。
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果。
3．机械能守恒定律和动能定理的比较
特别提醒 (1)除重力外还有其他力做功且做功不为零时，其他力做功数值等于机械能的变化量；(2)由于应用动能定理不需要满足什么条件，所以涉及功能关系问题时还是优先考虑动能定理。
【例2】 如图所示，在大型露天游乐场中翻滚过山车的质量为1 000 kg，从轨道一侧的顶点A处释放，到达底部B处后又冲上环形轨道，使乘客头朝下通过C点，再沿环形轨道到达底部B处，最后冲上轨道另一侧的顶端D处，已知D与A在同一水平面。如果不考虑车与轨道间的摩擦和空气阻力，A、B间的高度差为20 m，圆环半径为5 m，g取10 m/s2。试求：
(1)过山车通过B点时的速度；
(2)过山车通过C点时对圆环的压力；
(3)过山车通过D点时的机械能。(以过B点的水平面为零势能面)
点拨：过山车由A到B到C到D的整个过程中，只有重力做功，机械能守恒。根据机械能守恒定律求解。
解析：(1)取过B点的水平面为零势能面，由EA＝EB得
mgh＝mv
解得vB＝20 m/s
或由ΔEk增＝ΔEp减得
mv－0＝mghAB
解得vB＝20 m/s
(2)过山车从A到C的过程有
mv－0＝mg(hAB－2R)
解得vC＝10 m/s
根据牛顿第二定律有
F＋mg＝m
解得F＝3×104 N
根据牛顿第三定律，过山车对圆环的压力大小为3×104 N，方向向上。
(3)由机械能守恒定律可知，过山车在D点时的机械能等于在A点时的机械能，有
ED＝EA＝mgh＝1 000×10×20 J＝2×105 J
答案：(1)20 m/s (2)3×104 N (3)2×105 J
题后反思 运用机械能守恒定律解决问题时，先判断是否只有重力对物体做功，即物体的机械能是否守恒。列式求解时，可选择不同的机械能守恒定律的表达式列出方程。
探究三 系统机械能守恒问题分析
问题导引
如图甲所示，玩跷跷板是很多儿童喜欢的娱乐项目，示意图如图乙所示，跳板轴间光滑，质量不计。开始时小孩B所在一端触地，小孩A坐上另一端，如何求得小孩A所在一端触地瞬间两个小孩的速度大小呢？
提示：两个小孩组成的系统中只有重力做功，因此系统机械能守恒。转动中，两个小孩的速度大小相等，根据“小孩A减少的重力势能转化为小孩B的重力势能及系统增加的动能”列出方程可得小孩的速度大小。
名师精讲
对于除了地球以外，仍有两个或两个以上的物体组成的系统，在只有重力和系统内弹力做功，其他力做功的代数和为零时，系统机械能守恒。
一般情况下，相互关联的多个物体运动时，单个物体机械能不守恒，而整个系统的机械能守恒。可以采用“转移观点”列方程，有时也采用“转化观点”和“守恒观点”，尤其是采用“守恒观点”时，一定要采用同一个重力势能参考平面。
【例3】 如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放b后，求a球可能达到的最大高度为多少？
点拨：b球落地之前，a和b组成的系统机械能守恒。b球落地后，a球单独上升的过程中，a球的机械能守恒。
解析：在b球落地前，a、b两球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，设速度为v，则求解速度的方法如下：
解法一：根据“守恒观点”
ΔE初＝ΔE末，取地面处的重力势能为零，则初状态系统的机械能为3mgh，末状态的机械能为mgh＋mv2＋×3mv2，根据机械能守恒定律有
3mgh＝mgh＋mv2＋×3mv2
解得v＝。
解法二：根据“转化观点”
系统减少的重力势能转化为系统的动能，即
ΔEp＝－ΔEk，则有
3mgh－mgh＝mv2＋×3mv2
解得v＝。
解法三：根据“转移观点”
由题意可知，b球减少的机械能等于a球增加的机械能，即ΔEa＝－ΔEb，则有
3mgh－×3mv2＝mgh＋mv2
解得v＝。
b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，这个过程中机械能守恒，有mv2＝mgΔh，解得Δh＝＝，所以a球可能达到的最大高度为1.5h。
答案：1.5h
题后反思 从守恒的观点列方程，需要事先规定重力势能的参考平面；从转化或转移的角度来看，需要明确能量是从什么能转化为什么能、从哪一个物体转移到哪一个物体，这样，才能正确列出方程。从不同的角度分析，解题的难易程度也不同。
触类旁通 试从动能定理的角度和从动力学的角度求解本题。
提示：从动能定理的角度。对a有(F－mg)h＝mv2，对b有(3mg－F)h＝·3mv2，由两式解得v＝。a之后的上升过程有－mgh′＝0－mv2，解得h′＝
，故a上升的最大高度为1.5h。
从动力学的角度。对a有F－mg＝ma，对b有3mg－F＝3ma，由两式解得a＝0.5g。设b球落地时的速度为v，则v2＝2ah，解得v＝。a之后的上升过程有0－v2＝2(－g)h′，解得h′＝，故a上升的最大高度为1.5h。
第六节 实验：探究功与速度变化的关系
课堂探究
一、注意事项
1．适度平衡小车受到的摩擦力。
2．每次实验小车都要从同一位置由静止开始运动。
3．应选择粗细均匀，一致性好的橡皮筋。
4．橡皮筋的拉伸长度要适度。
5．使小车挂住橡皮筋的中点，放正小车，使小车沿木板的中间线运动。
二、误差分析
1．误差的主要来源是橡皮筋的长度、粗细不一，使橡皮筋的拉力与橡皮筋的条数不成正比。
2．平衡摩擦力不彻底或平衡过度也会造成误差。
3．利用打上点的纸带计算小车的速度时，测量不准带来误差。
三、数据处理
1．速度数值的获得：实验获得的是如图所示的纸带，为探究橡皮筋弹力做功与小车速度的关系，需要测量的是弹力做功结束时小车的速度，即小车做匀速运动的速度。所以，应该在纸带上测量的物理量是图中A1、A3间的距离x，小车此时速度的表达式为v＝，其中T是打点计时器的打点周期。即选择相邻距离基本相同的若干点A1、A2、A3…来计算小车匀速运动时的速度。
2．计算小车做的功分别为W、2W、3W…时对应的v、v2、v3、…的数值，填入表格。
3．逐一与W的一组数值对照，判断W与v、v2、v3、…的可能关系或尝试着分别画出W与v、W与v2、W与v3、W与间关系的图象，找出哪一组的图象是直线，从而确定功与速度的正确关系。
(1)用计算法处理实验数据：
在确定了橡皮筋对小车所做的功并测出了小车获得的速度后，如果作出的W-v曲线不是一条直线，可以采用计算的方法，即根据测得的速度分别按W∝v2、W∝v3、W∝…，算出相应的功的值，实际测得的速度与哪一种最接近，它们之间就具有哪一种关系。
(2)用图象法处理实验数据：
我们也可根据实验测得的数据，分别作出W-v曲线、W-v2曲线、W-v3曲线……。如果哪一种图象更接近于过原点的倾斜直线，功与速度之间就是哪一种正比关系。
用图象法处理数据，要比计算法更简捷而直观。
【例1】 (对实验的操作及原理的考查)关于“探究功与速度变化的关系”的实验中，下列叙述正确的是( )
A．每次实验必须设法算出橡皮筋对小车做功的具体数值
B．每次实验中，橡皮筋拉伸的长度没有必要保持一致
C．放小车的长木板应该尽量使其水平
D．先接通打点计时器的电源，再让小车在橡皮筋的作用下弹出
解析：本实验没有必要测出橡皮筋做的功到底是多少焦耳，只要测出以后各次实验时橡皮筋做的功是第一次实验时的多少倍就已经足够了，A错。每次实验橡皮筋拉伸的长度必须保持一致，只有这样才能保证以后各次实验时，橡皮筋做的功是第一次实验时的整数倍，B错。小车运动中会受到阻力，只有使木板倾斜到一定程度，才能减小误差，C错。实验时，应该先接通电源，让打点计时器开始工作，然后再让小车在橡皮筋的作用下弹出，D正确。
答案：D
题后反思 理解实验原理与探究步骤是解题的基础，回答该类问题，应该围绕实验探究原理与思路，数据处理与减少误差等因素加以分析判断。
【例2】 (实验数据的处理)如图所示为某学习小组做“探究功与速度变化的关系”的实验装置，图中小车是在一条橡皮筋的作用下弹出，沿木板滑行，这时，橡皮筋对小车做的功记为W。当用2条、3条…完全相同的橡皮筋并在一起进行第2次、第3次…实验时，使每次实验中橡皮筋伸长的长度都保持一致。每次实验中小车获得的速度由打点计时器所打的纸带测出。
(1)在正确操作情况下，打在纸带上的点，并不都是均匀的，为了测量小车获得的速度，应选用纸带的________部分进行测量(根据如图所示的纸带回答)；
(2)下面是本实验的数据记录表。
请运用表中测定的数据在如图所示的坐标系中作出相应的图象，得出的结论是________________________________________________________________________。
解析：(1)应取小车达到匀速运动的区域来计算，G、J之间某一段或GJ全部。
(2)作出Wn-v图象，如图所示。在误差允许的范围内，图线是过原点的直线，说明Wn与v与正比。
答案：(1)GJ(只要取匀速部分均为正确)
(2)见解析
【例2】 (创新设计实验)如图所示，汽车已成为人们外出的重要交通工具之一，评价汽车性能的主要指标有动力性、经济性、稳定性、制动性等，其中制动性主要是指在良好的路面上，汽车迅速降低车速直到停车的距离，表中记录的是汽车以不同速率行驶时，制动后所经过的距离。
汽车速率v/(km·h－1)
制动距离s/m
10
1
20
4
40
16
50
25
60
36
请根据表中的数据，用图象分析推断克服阻力做功与汽车速率变化之间的关系。
解析：制动过程中阻力不变，设每制动1 m，克服阻力做的功为W1、则制动4 m、16 m、25 m、36 m，克服阻力做的功分别为4W1、16W1、25W1、36W1，作出W-v图象如下图所示。
可见W与v不是正比关系，猜想W与v2成正比，作出W-v2图象如下图所示。
可见W与v2成正比。
答案：见解析
第十节 能量守恒定律与能源
课堂探究
探究一 对能量转化、转移的认识
问题导引
各种形式的能都可以相互转化，如图所示，手摇发电机使电铃发声；阳光照在物体上，物体温度升高，这两种现象，能量是如何转化的呢？
提示：手摇发电机使电铃发声，机械能转化为电能，电能又转化为机械能；阳光照在物体上，太阳能转化为物体的内能。
名师精讲
1．自然界存在着多种形式的能量，在一定条件下，各种形式的能量可以相互转化和转移。如在热传递过程中，高温物体的内能转移到低温物体，在这种转移的过程中能量形式没有变。在自然界中能量的转化也是普遍存在的。小朋友滑滑梯，由于摩擦而使机械能转化为内能。
2．在能量转化和转移的过程中，能的总量保持不变。大量事实证明，在普遍存在的能量的转化和转移过程中，消耗多少某种形式的能量，就得到多少其他形式的能量。如在热传递过程中，高温物体放出多少热量(减少多少内能)，低温物体就吸收多少热量(增加多少内能)；克服摩擦力做了多少功，就有多少机械能转化为能量，但能量的总量不变。
【例1】 试说明下列现象中能量是怎样转化的。
A．在水平公路上行驶的汽车，发动机熄火之后，速度越来越小，最后停止。
B．电风扇通电后开始转动，断电后转动着的风扇又慢慢停下来。
C．火药爆炸产生燃气，子弹在燃气的推动下从枪膛发射出去，射穿一块钢板，速度减小。
D．用柴油机带动发电机发电，供给电动水泵抽水，把水从低处抽到高处。
点拨：物体间发生能量转移时，能量的形式不变；而发生能量的转化时，能量的形式要发生变化。在确定能量的转化时，可以从消耗什么能，得到什么能进行比较来确定。
解析：A．在水平公路上行驶的汽车，发动机熄火之后，速度越来越小，最后停止。这一过程中，汽车所受的阻力做负功，机械能转化为内能。
B．电风扇通电后开始转动，电流做功，电能转化为机械能，有一部分转化为内能；断电后转动着的风扇又慢慢停下来，阻力做负功，机械能转化为内能。
C．火药爆炸产生燃气，化学能转化为内能；子弹在燃气的推动下从枪膛发射出去，推力做功，内能转化为机械能；子弹射穿一块钢板，速度减小，阻力做负功，机械能转化为内能。
D．用柴油机带动发电机发电，化学能转化为机械能，又转化为电能；发电机发电后供给电动水泵抽水，电流做功，电能转化为机械能；电动水泵把水从低处抽到高处，水泵对水做功，使水泵的机械能传递给水。
答案：见解析
题后反思 物体间发生能量转移时，能量的形式不变；而发生能量的转化时，能量的形式要发生变化。在确定能量的转化时，可以从消耗什么能，得到什么能进行比较来确定。
探究二 对功能关系的理解
问题导引
高山滑雪起源于阿尔卑斯山地域，又称“阿尔卑斯滑雪”或“山地滑雪”，是一项古老的滑雪运动。如图，运动员从高山上由静止滑下，不计空气阻力。请思考：
(1)下滑中，有哪些力对运动员做功？
(2)如何判断运动员重力势能、动能及机械能的变化情况？
提示：(1)运动员受到重力、支持力及摩擦力的作用，其中重力做正功，摩擦力做负功，支持力不做功；(2)运动员重力势能的变化仅取决于重力做功，动能的变化取决于外力做的总功，机械能的变化取决于除重力之外其他力做功。本题中，重力做正功，重力势能减少；合力做正功，动能增加；摩擦力做负功，机械能减少。
名师精讲
1．功是能量转化的量度
不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程。且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)，因此，功是能量转化的量度。
2．常见的几种功能关系
功
能量转化
重力做功
重力势能和其他形式的能相互转化
弹力做功
弹性势能和其他形式的能相互转化
合外力做功
动能和其他形式的能相互转化
除重力、系统内弹力外，其他力做功
机械能和其他形式的能相互转化
特别提醒 (1)能是物体运动状态决定的物理量，即状态量；而功则是和物体运动状态变化过程有关的物理量，是过程量。两者有着本质的区别。
(2)做功可以使物体具有的能量发生变化，而且物体能量变化大小是用做功的多少来量度的。但功和能不能相互转化。
【例2】 (多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一初速度由底端冲上倾角为30°的固定斜面，上升的最大高度为h，其沿斜面方向的加速度大小为g，在这个过程中有关该物体的说法中正确的是( )
A．重力势能增加了mgh B．动能损失了mgh
C．动能损失了mgh D．机械能损失了mgh
解析：物体重力势能的增加量等于克服重力做的功，选项A正确；物体所受的合力做的功等于动能的减少量ΔEk＝mas＝ma·＝mgh，选项B、C错误；物体机械能的损失量等于克服摩擦力做的功，因mgsin 30°＋Ff＝ma，所以Ff＝mg，故物体克服摩擦力做的功为Ffx＝mg·2h＝mgh，选项D正确。
答案：AD
题后反思 应正确把握几种功能关系：(1)合外力对物体所做的功等于物体动能的增量；(2)重力做功等于重力势能的减少量；(3)除重力或弹簧的弹力以外的其他力做多少功等于物体机械能的增加量。
探究三 能量守恒定律的理解及应用
问题导引
根据如图所示的情景，判断图中A、B两台机器，哪台是发电机，哪台是电动机？并描述这一情景中所涉及的能量转化。
提示：瀑布的水流下来将水的重力势能转化为动能，水流推动水轮机带动发电机B转动发电，是将机械能转化为电能，发电机产生电流流经电动机A时，又将电能转化为机械能。所以B是发电机，A是电动机。
名师精讲
1．对定律的理解：
(1)某种形式的能量减少，一定存在另外形式的能量增加，且减少量和增加量相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在别的物体的能量增加，且减少量和增加量相等。
2．表达式：E初＝E末；ΔE增＝ΔE减
3．解题步骤：
(1)分清共有多少种形式的能(如动能、势能、电能、内能等)在变化。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少。
(3)减少的总能量一定等于增加的总能量，据此列出方程：ΔE减＝ΔE增。
4．利用能量守恒定律解题应注意的问题：
(1)该定律是贯穿整个物理学的基本规律之一，是学习物理的一条主线。
(2)要分清系统中有多少种形式的能量，发生哪些转移和转化。
(3)滑动摩擦力与相对距离的乘积在数值上等于产生的内能，即Q＝Fl相。
警示 应用能量守恒定律解决有关问题，关键是准确分析有多少种形式的能在变化，求出减小的总能量和增加的总能量，然后再依据能量守恒列式求解。
【例3】 如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度v匀速运动，现将质量为m的某物块由静止释放在传送带上的左端，过一会儿物块能保持与传送带相对静止，设物块与传送带间的动摩擦因数为μ，则这一过程中：
(1)系统产生的热量为多少？
(2)电动机多做的功为多少？
解析：(1)物块加速时的加速度a＝μg，设经过时间t物块和传送带速度相等，则
v＝at＝μgt
此过程中物体的位移x1＝t＝
传送带的位移x2＝vt＝
则系统产生的热量Q＝μmg(x2－x1)＝mv2
(2)由能的转化和守恒定律可知，电动机多做的功应等于物块增加的动能与系统产生的热量值和，即
W＝Q＋mv2＝mv2
答案：(1)mv2 (2)mv2
题后反思 滑动摩擦力做功时，系统的机械能一定减少，减少的机械能转化为内能，所以滑动摩擦力做功过程中产生的内能为Q＝Ff·x相，其中Ff指滑动摩擦力大小，x相指发生相对滑动的物体间的相对位移。
第四节 重力势能
课堂探究
探究一 对重力势能的理解
问题导引
如图所示是研究物体的重力势能与哪些因素有关的实验示意图，从图中你能知道重力势能与哪些因素有关吗？
提示：实验中采用控制变量法来研究重力势能的影响因素。由甲和乙可知，重力势能与高度有关；由甲和丙可知，重力势能与物体的质量有关。
名师精讲
1．重力势能的“四性”
(1)系统性：重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上的物体单独具有的，平时我们所说的“物体的重力势能”是一种简化的说法。
(2)相对性：重力势能Ep＝mgh与参考平面的选择有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度。重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正负之分。当物体在参考平面上方时，Ep为正值；当物体在参考平面下方时，Ep为负值。注意物体重力势能的正负是表示比零势能大，还是比零势能小。
(3)参考平面选择的任意性：视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能面。
(4)重力势能变化的绝对性：物体从一个位置运动到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取无关，它的变化量是绝对的。
2．重力势能是标量
物体的重力势能为负值表示物体的重力势能比在参考平面上时具有的重力势能要少，这跟用正负表示温度高低是相似的。
特别提醒 (1)Ep＝mgh，h表示物体重心相对参考平面的高度，物体在参考平面上方，h＞0，在参考平面下方，h＜0；(2)某一过程重力势能的变化为ΔEp＝Ep2－Ep1，它与参考平面的选择无关。
【例1】 (多选)关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能变大了
D．在地面上的物体，它具有的重力势能不一定等于零
解析：重力势能具有相对性，参考平面的选取不同，其数值也不同，选项A错误，D正确；物体若在参考平面下方，物体与参考平面的距离越大，它的重力势能越小，所以选项B错误；重力势能为标量，其“＋”“－”表示重力势能的大小，－5 J应小于－3 J，选项C正确。
答案：CD
题后反思 由于重力势能具有相对性，因而在某处具有的重力势能的大小与参考平面的选取有关。只有确定了参考平面后，物体的重力势能才能确定。
探究二 重力做功和重力势能的关系
问题导引
如图所示，熟透的苹果从离水面2 m处的树枝上落下，后又在水中继续下降2 m，请思考 ：
(1)苹果在空中下落及在水中下落的过程重力做功一样多吗？
(2)这两个过程苹果重力势能的改变一样吗？
提示：由W＝mgh知，这两个过程重力做功相同，物体重力势能的变化仅与重力做功有关，与有无其他力做功无关，因此这两个过程苹果重力势能的改变也相同。
名师精讲
1．重力做功与重力势能的比较
2.重力做的功与重力势能变化的关系
(1)关系式：WG＝Ep1－Ep2，其中Ep1＝mgh1表示物体在初位置的重力势能，Ep2＝mgh2表示物体在末位置的重力势能。
(2)意义：重力做功是重力势能变化的原因。重力做的功与重力势能的变化量为等值关系，重力做正功时，物体的重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；重力做负功(物体克服重力做功)时，物体的重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功。
特别提醒 (1)重力做功是重力势能变化的原因，重力做的功与重力势能的变化量为等值关系，两者均与参考面的选择无关。
(2)重力势能的变化只取决于物体的重力所做功的情况，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素均无关。
【例2】 (多选)用拉力F将一个重为5 N的小球匀速提升3 m，如图所示，在这个过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的重力做了15 J的功 B．拉力F对物体做了15 J的功
C．小球的重力势能增加了15 J D．合力对小球做的功是15 J
解析：小球上升，重力做负功，WG＝－mgh＝－5×3 J＝－15 J，选项A错误；因为小球匀速上升，所以拉力F＝G＝5 N，则拉力做功WF＝Fh＝5×3 J＝15 J，选项B正确；因小球克服重力做功15 J，故小球重力势能增加15 J，选项C正确；因为小球匀速上升，合力为零，则合力不做功，选项D错误。
答案：BC
题后反思 求功时应明确是哪一个力做功。物体重力势能的改变仅仅取决于重力的做功情况，与其他力做功无关。
第一节 曲线运动
课堂探究
探究一 对曲线运动的理解
问题导引
以初速度v0水平抛出一个质量为m的物体，物体在空中做曲线运动，如图所示，请思考：
(1)物体经过A、B、C、D时的速度方向是怎样的？
(2)物体的运动是一种什么性质的运动？
提示：(1)物体经过A、B、C、D点时的速度方向沿该点的切线方向；(2)因速度方向时刻在变化，故物体的运动为变速运动。
名师精讲
1．曲线运动的速度
(1)曲线运动中质点在某一时刻(或某一位置)的速度方向，就是质点从该时刻(或该点)脱离曲线后自由运动的方向，也就是曲线上这一点的切线方向。
(2)速度是一个矢量，既有大小，又有方向。假如在运动过程中只有速度大小的变化，而物体的速度方向不变，则物体只能做直线运动。因此，若物体做曲线运动，表明物体的速度方向发生了变化。
2．曲线运动的性质
(1)由于做曲线运动物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否改变，因其矢量性，物体的速度在时刻变化，即曲线运动一定是变速运动。
(2)曲线运动是否为匀变速运动取决于物体所受合外力的情况。合外力为恒力，物体做匀变速曲线运动；合外力为变力，物体做非匀变速曲线运动。
警示 (1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。(2)只要物体所受的合外力为恒力(不为零)，它一定做匀变速运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动。
3．合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。在处理曲线运动的轨迹问题时，注意轨迹向合力的方向弯曲，力的方向总是指向轨迹的凹侧。
特别提醒 判断运动轨迹的曲直，只看力(或加速度)与速度方向的关系，与力的大小无关；判断是否为匀变速运动时，只看外力(加速度)是否是恒定的，特别注意其方向是否变化。
【例1】 关于曲线运动的性质，以下说法正确的是( )
A．曲线运动一定是变速运动
B．变速运动一定是曲线运动
C．曲线运动一定是变加速运动
D．运动物体的加速度数值、速度数值都不变的运动一定是直线运动
解析：曲线运动的速度方向不断改变，曲线运动是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动。做曲线运动的物体受到的外力可能是恒力，做的是匀变速曲线运动。运动物体的加速度数值、速度数值都不变，方向不断变化，则做匀速圆周运动(第4节学习)，属于曲线运动。
答案：A
题后反思 做曲线运动的物体速度方向时刻变化，一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。匀变速直线运动是变速运动，但不是曲线运动。而物体是否做匀变速运动要看物体是否受到大小、方向不变的恒定合外力的作用。
探究二 对物体做曲线运动条件的理解
问题导引
如图所示，让一个小铁球沿水平光滑桌面运动，在一侧突然放上一个条形磁铁，发现小铁球的运动方向发生了变化，轨迹是一条曲线。如果把磁铁放在小铁球运动方向的正前方，发现小球仍做直线运动，只不过速度增加了。请思考：
(1)小球的两次运动，受到的磁铁的吸引力与小球的速度方向在一条直线上吗？
(2)小球做曲线运动时，受到的吸引力与轨迹弯曲的方向有什么关系？
提示：(1)小球做曲线运动时，受的吸引力方向与速度方向不在同一直线上；做直线运动时，吸引力方向与速度方向在同一直线上。(2)小球做曲线运动时，受到的吸引力方向指向小球轨迹弯曲的内侧。
名师精讲
1．物体做曲线运动的条件
(1)物体受到的合外力方向与其运动方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
(2)根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与其合外力方向一致。因此物体做曲线运动的条件还可以表述为：物体的加速度方向与它的运动方向不在一条直线上。
(3)若物体的合外力(或加速度)方向与它的运动方向在一条直线上，物体做直线运动。
2．物体做直线运动与做曲线运动的比较
特别提醒 在曲线运动中，合力方向与速度方向的夹角小于90°，物体做加速运动；两方向的夹角大于90°，物体做减速运动，两方向夹角等于90°，则物体的速率不变。
3．判断物体做直线运动还是曲线运动的方法
(1)明确物体的初速度方向；
(2)分析合外力的方向；
(3)分析两个方向的关系，从而作出判断。
【例2】 如图甲所示，汽车在一段弯曲水平路面上匀速行驶，关于它受到的水平方向的作用力方向的示意图乙，可能正确的是(图中F为地面对其的静摩擦力，Ff为它行驶时所受阻力)
甲
乙
解析：汽车行驶时所受阻力Ff总与该时刻它的速度方向相反，故D图肯定不对。做曲线运动物体所受合力的方向不仅与其速度方向成一角度，而且总是指向曲线的“内侧”，A、B两图中F与Ff的合力方向都不满足这一条件，只有C图中F与Ff的合力方向指向曲线的“内侧”，所以正确的是C选项。
答案：C
题后反思 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧。
探究三 两个直线运动的合运动
问题导引
如图所示，在军事演习中，飞机常常一边匀加速收拢绳索提升战士，一边沿着水平方向匀速飞行，请思考：
(1)战士在水平方向和竖直方向分别做什么运动？(2)如何判断战士做的是直线运动还是曲线运动？做的是匀变速运动还是非匀变速运动？
提示：(1)战士在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动；(2)战士受的合力沿竖直方向，与其合速度不在一条直线上，所以做曲线运动。因其加速度恒定，故其运动为匀变速运动。
名师精讲
1．判断方法
(1)根据合加速度是否为恒量判定合运动是匀变速运动还是非匀变速运动。若合加速度不变且不为零，则合运动为匀变速运动；若合加速度变化，则为非匀变速运动。
(2)根据合加速度与合初速度是否共线判断合运动是直线运动还是曲线运动。若合加速度与合初速度在同一直线上，则合运动为直线运动，否则为曲线运动。
2．两个直线运动的合运动的几种可能情况
(1)两个同一直线上的分运动的合成
两个分运动在同一直线上，无论方向是同向的还是反向的，无论是匀速的还是变速的，其合运动一定是直线运动。
(2)两个互成角度的分运动的合成
①两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动，v合由平行四边形定则求解。
②两个初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动，并且合运动的初速度为零，a合由平行四边形定则求解。
③一个匀速直线运动和另一个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动，合运动的加速度即为分运动的加速度。
警示 合运动的性质和轨迹，由两分运动的性质及各自的初速度和各自的加速度关系决定。若合初速度与合加速度方向在同一条直线上时，物体做的是直线运动；若合初速度与合加速度方向不在同一条直线上时，物体做的是曲线运动。
【例3】 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )
A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变
解析：橡皮参与了两个分运动，一个是沿水平方向与铅笔速度相同的匀速直线运动，另一个是沿竖直方向与铅笔移动速度大小相等的匀速直线运动，这两个直线运动的合运动是斜向上的匀速直线运动，故选项A正确。
答案：A
题后反思 物体运动的性质(匀速还是变速)由加速度决定，物体运动的轨迹(直线还是曲线)则由物体的速度和加速度的方向关系决定。解答该类问题关键是找出各分运动的初速度和受力情况，判断出两个分运动的初速度的合速度和所受合力是否共线。
探究四 对合运动与分运动的关系的理解
问题导引
如图所示，划船过河，请思考：
(1)小船参与了哪两个分运动？
(2)这两个分运动之间有什么关系？与合运动之间有什么关系？
提示：(1)一个分运动是沿水流方向，速度大小等于水的速度，另一个分运动沿船头所指方向，速度等于船在静水中的速度；(2)两个分运动相互独立，互不影响，跟合运动是等效的。
名师精讲
1．合运动与分运动的关系
关系
理解
独立性
一个物体同时参与两个运动，其中的任一个分运动并不会因为有另外的分运动的存在而有所改变。即各分运动是互相独立的、互不影响的
等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历的时间相等。不是同时发生的运动不能进行运动的合成
等效性
各分运动合成起来和合运动相同，即分运动与合运动可以“等效替代”
同体性
合运动和它的分运动必须对应同一个物体的运动，一个物体的合运动不能分解为另一个物体的分运动
2.运动的分解三点拓展
(1)运动的合成和分解实际上是描述运动的位移、速度、加速度的合成和分解，合成或分解的参量必须是相对于同一参考系的。
(2)运动的分解与力的分解一样，如无约束条件，一个运动可以分解为无数组分运动。在具体分解运动时，可按运动的实际效果分解。
(3)分解原则：分解实际速度，使两个分速度方向垂直，且按实际效果分解。
3．运动的分解的步骤
(1)根据运动的效果(产生位移)确定运动的分解方向；
(2)应用平行四边形定则，画出运动分解图；
(3)将平行四边形转化为三角形，应用数学知识求解。
4．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们都是矢量，所以它们都遵循矢量的合成与分解法则。
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。
(2)不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成或分解。
特别提醒 (1)合运动一定是物体的实际运动(一般是相对于地面的)。(2)不是同一时间内发生的运动、不是同一物体参与的运动不能进行合成。(3)对速度进行分解时，不能随意分解，应该建立在对物体的运动效果进行分析的基础上。
5．小船过河问题分析
(1)渡河时间最短问题：
若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，此时t短＝，船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝。
(2)渡河位移最短问题(v水＜v船)：
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水，如图所示。
【例4】 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s。求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？
点拨：
解析：(1)如图甲所示，船头始终正对河对岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝ s＝50 s。
(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即应使v合的方向垂直于河对岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有
cos α＝＝＝，解得α＝60°。
答案：(1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s。
(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m。
题后反思 在渡河问题中，有两点值得注意，一是要区别船在静水中的航速v船及船的合运动速度v合，这两种速度极易混淆；二是当要求用最小位移过河时，必须注意，仅当v船＞v水时，才能使合速度方向垂直河岸，过河的最小位移才等于河宽。如果船速小于水速，将无法使合速度垂直河岸，此时为了方便地找出以最小位移过河的航向，可采用几何方法。
触类旁通 本题中，若水的速度为4 m/s，船在静水中的速度为2 m/s，求过河的最短时间和最小距离。
提示：要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间t＝＝ s＝100 s。
因v船小于v水，小船不可能与河岸垂直。以v水的末端为圆心，以v船的长度为半径作圆，从v水的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。
设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则
cos θ＝＝＝，即θ＝60°
则最短行程s＝＝ m＝200 m。
第七节 生活中的圆周运动
课堂探究
探究一 火车转弯问题分析
问题导引
火车在铁轨上转弯可以看成是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损。如何解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题呢？
提示：火车速度提高，容易挤压外轨，损坏外轨。火车转弯时的向心力由重力和支持力的合力提供，可适当增大转弯半径或者增加内、外轨的高度差。
名师精讲
1．弯道的特点
在实际的火车转弯处，外轨高于内轨。若火车转弯所需向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈)，v0为转弯处的规定速度。
2．明确圆周平面
虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨也是等高的。因而火车在行驶过程中，重心的高度不变，即火车重心的轨迹在同一平面内。故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面。即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
3．速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v＝时，所需向心力仅有重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车均无挤压作用。
(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：
①当火车行驶速度v＞时，外轨对轮缘有侧压力；
②当火车行驶速度v＜时，内轨对轮缘有侧压力。
特别提醒 汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力，以减小车轮受到地面施加的侧向挤压。
【例1】 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
点拨：第(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力；第(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。
解析：(1)外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有FN＝m＝N＝1×105 N。
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝m
由此可得tan θ＝＝0.1。
答案：(1)1×105 N (2)0.1
题后反思 (1)处理这类题目需要弄清两个方面的问题：一是向心力来源，二是火车转弯时轨道平面和圆心。(2)汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力。
探究二 汽车过桥问题分析
问题导引
如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，战车在哪一点对路面的压力最大？在哪一点对路面的压力最小呢？
提示：在最低点B点时对路面的压力最大；在最高点C点时对路面的压力最小。
名师精讲
1．关于汽车过拱形桥问题，用图表概括如下：
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
受力
分析
向心力
的来源
F＝mg－FN＝m
F＝FN－mg＝m
对桥的压力
FN′＝mg－m
FN′＝mg＋m
讨论
(1)当v＝时，FN＝0。
(2)当0≤v＜时，0＜FN≤mg
(3)当v＞时，汽车脱离桥面，发生危险
v增大，FN增大，由牛顿第三定律知，车对桥面的压力也增大
2.汽车在凸形桥的最高点处于失重状态，在凹形桥的最低点处于超重状态。
【例2】 如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m。如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
点拨：首先要确定汽车在何位置时对路面的压力最大，汽车经过凹形路面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形路面时，向心加速度向下，汽车处于失重状态，所以汽车经过凹形路面最低点时，汽车对路面的压力最大。
解析：(1)汽车在凹形桥底部时，由牛顿第二定律得：
FN－mg＝m
代入数据解得v＝10 m/s。
(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得：
mg－FN′＝m
代入数据得FN′＝1.0×105 N。
由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力是1.0×105 N。
答案：(1)10 m/s (2)1.0×105 N
题后反思 在汽车经过拱形桥或类似的物体经过竖直曲线做圆周运动的问题中，一般在轨道的最低点和最高点分析受力列方程，无论该类题目的具体内容如何，通过分析受力，找出提供的向心力列方程求解是最基本的方法。
探究三 竖直平面内的圆周运动
问题导引
小球分别在轻绳(如图甲)和轻杆(如图乙)的一端绕另一端在竖直平面内运动，请思考：
(1)小球要在竖直平面内完成圆周运动，经过最高点时的最小速度能为零吗？
(2)小球经过最高点时，与绳(或杆)之间的作用力可以为零吗？
提示：因为绳不能产生支持力，而杆可以，所以甲图中小球经过最高点时的速度不可能为零，乙图中小球经过最高点的最小速度可以为零；若小球与绳(或杆)之间没有作用力，则只有重力提供向心力，所以在最高点时小球与绳(或杆)之间的作用力可以为零。
名师精讲
物体在竖直平面内做圆周运动时，通常受弹力和重力两个力的作用，物体做变速圆周运动，我们只研究在最高点和最低点两种情形，具体情况又可分为以下两种：
模型
临界条件
最高点受力分析
细绳牵
拉型的
圆周
运动
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图所示。
小球恰好过最高点时，应满足弹力FT＝0，即mg＝m，则小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度v＝。
①v＞时，绳或轨道对小球产生向下的拉力或压力；
小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图所示。
②v＝时，绳或轨道对小球刚好不产生作用力；
③v＜时，小球不能在竖直平面内做圆周运动，小球没有到达最高点就脱离了轨道
轻杆支
撑型的
圆周
运动
质点在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图所示。
由于杆和管能对小球产生向上的支持力，故小球能在竖直平面内做圆周运动的临界条件是最高点速度恰好为零
①v＞时，杆或管的外侧产生向下的拉力或压力；
②v＝时，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力；
质点被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，如图所示。
③v＜时，杆或管的内侧产生向上的支持力。
特别提醒 解答竖直平面内圆周运动问题时，首先要分清楚是绳模型还是杆模型，绳模型的临界条件是mg＝m，即v＝，杆模型的临界条件是v＝0，v＝对杆来说是F表现为支持力还是拉力的临界点。
【例3】 长L＝0.5 m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个物体A。A的质量为m＝2 kg，当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力：
(1)A在最高点的速度为1 m/s；
(2)A在最高点的速度为4 m/s。
点拨：
解析：设物体A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由重力提供，根据牛顿第二定律有
mg＝m
解得v0＝＝ m/s
(1)当A在最高点的速度为v1＝1 m/s时，因小于v0＝ m/s，此时物体A受到杆向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有
Mg－F1＝m
解得F1＝16 N
根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为16 N，方向向下。
(2)当A在最高点的速度为v2＝4 m/s时，因大于v0＝ m/s，此时物体A受到杆向下的拉力作用，根据牛顿第二定律有
mg＋F2＝m
解得F2＝44 N
根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为44 N，方向向上。
答案：(1)16 N 向下 (2)44 N 向上
题后反思 竖直面内的圆周运动多为非匀速圆周运动，关键是要分析清楚在最高点或最低点时物体的受力情况，由哪些力来提供向心力，再对此瞬时状态应用牛顿第二定律的瞬时性，有时还要应用牛顿第三定律求受力。很多时候在最高点往往还会出现临界条件，如弹力刚好为零，要注意充分挖掘这些隐含的或临界的条件。
触类旁通 若把本题中细杆换成细绳，则在(1)(2)两种情况下小球能通过最高点吗？若能，此时细绳对小球的拉力为多少？
提示：(1)v＝1 m/s时不能 (2)v＝4 m/s时能 44 N
探究四 对离心运动的理解
问题导引
同学们小的时候都吃过松软可口的“棉花”糖，制作“棉花”糖的器具主要由分布有小孔的内筒和外筒组成，内筒与洗衣机的脱水筒相似，可以在脚的踏动下旋转。在内筒里面加入白砂糖，加热使糖熔化成糖汁。如图所示，一个师傅正在给两位小朋友制作“棉花”糖。试分析制作“棉花”糖的原理。
提示：内筒高速旋转时，黏稠的糖汁就做离心运动，从内筒壁的小孔飞散出去成为丝状，到达温度较低的外筒时，迅速冷却凝固，变得纤细雪白，像一团团棉花。
名师精讲
1．离心运动的实质：物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力作用的缘故。一旦作为向心力的合外力突然消失或不足以提供向心力，物体就会发生离心运动。
2．离心运动的受力特点：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”也是由效果命名的，实际并不存在。
3．合外力与向心力的关系
(1)如图所示，若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合＞mrω2或F合＞，物体做半径变小的近心运动，即“提供”大于“需要”。
(3)若F合＜mrω2或F合＜，则外力不足以将物体拉回到原圆周轨道上，物体逐渐远离圆心而做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。
(4)若F合＝0，则物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。
特别提醒 (1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供其做圆周运动所需向心力而引起的，是惯性的一种表现形式。(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。(3)圆周运动所需要的向心力越大，即物体的质量越大，速度越大，角速度(转速)越大，半径越小时，物体就越容易发生离心现象。
4．常见几种离心运动的对比
项目
实物图
原理图
现象及结论
洗衣机
脱水桶
当水滴跟物体附着力F不足以提供向心力时，即F＜mω2r，水滴做离心运动
汽车在水平路
面上转弯
当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即Fmax＜m，汽车做离心运动
用离心机把体
温计水银甩回
玻璃泡中
当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力时，水银柱做离心运动进入玻璃泡内
【例4】 如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴飞速转动，下列说法中正确的是( )
A．物块处于平衡状态
B．物块受三个力作用
C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘
解析：对物块受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，选项A错误、B正确。根据向心力公式F＝mω2r可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，越容易脱离圆盘；根据向心力公式F＝m()2r可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，越容易脱离圆盘，选项CD错误。
答案：B
题后反思 当物体随圆盘转动时所需向心力超过物体与圆盘间的最大静摩擦力时，物体就会相对于圆盘发生相对运动。
第三节 实验：研究平抛运动
课堂探究
一、注意事项
1．保证斜槽末端切线水平，方木板竖直且与小球下落的平面平行，并使小球运动时靠近木板，但不接触。
2．小球每次都从斜槽上同一位置由静止滚下。
3．小球做平抛运动的起点不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球的重心在木板上的水平投影点。
4．小球在斜槽上开始滚下的位置要适当，以便使小球运动的轨迹由木板的左上角到右下角。
5．要选取距O点远些的点来计算小球的初速度，这样可减小误差。
二、实验的误差来源和分析
1．安装斜槽时，其末端切线不水平。
2．建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点，实际上应是末端端口上的小球球心位置为坐标原点。
3．小球每次自由滚下的位置不完全相同。
4．数据测量时，测量不准确而产生误差。
三、数据处理
1．平抛运动水平方向运动性质的判定
(1)根据平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动及自由落体下落高度与运动时间t的关系h＝gt2。在平抛运动轨迹的竖直坐标轴y上，从原点O开始向下取一个坐标为h的点，再找到坐标为4h,9h,16h…的点。
(2)过这些点作水平线与轨迹分别交于A、B、C点，则这些点就是每经过相等时间物体所到达的位置。如图所示。
(3)测量出OA、AB、BC的水平距离，对比实验测量结果，若各段距离相等，说明水平方向上的运动是匀速直线运动。
2．判断O点是不是抛出点
(1)如图所示，在轨迹上选取A、B、C三点，OA、AB、BC的水平距离相等，那么说明从O到A，A到B，B到C的时间相等，过A、B、C三点作水平线和y轴相交，得出A、B、C三
点的纵坐标值yA、yB、yC。
(2)如果yA∶yB∶yC＝1∶4∶9，那么说明O点为平抛的起点，若不满足上述比例关系，则说明O点不是平抛的起点。
3．计算平抛物体的初速度
(1)在确定坐标原点为抛出点的情况下，在轨迹曲线上任取几点(如A、B、C、D)。
(2)用刻度尺和三角板分别测出它们的坐标x和y。
(3)根据平抛运动水平方向是匀速直线运动(x＝v0t)及竖直方向是自由落体运动(y＝gt2)，分别计算小球的初速度v0，最后计算小球的初速度v0的平均值。
4．验证轨迹是抛物线
抛物线的数学表达式为y＝ax2，将某点(如B点)的坐标x、y代入上式求出常数a，再将其他点的坐标代入此关系式看看等式是否成立，若等式对各点的坐标近似都成立，则说明所描绘得出的曲线为抛物线。
四、获得平抛运动轨迹的其他方法
1．喷水法
如图所示，倒置的饮料瓶内装着水，瓶塞内插着两根两端开口的细管，其中一根弯成水平，加上一个很细的喷嘴。
水从喷嘴中射出，在空中形成弯曲的细水柱，它显示了平抛运动的轨迹。将它描在背后的纸上，进行分析处理。
2．频闪照相法
用数码照相机可记录下平抛运动的轨迹，如图所示。由于相邻两帧照片间的时间间隔是相等的，只要测量相邻两照片上小球的水平位移，就很容易判断平抛运动水平方向上的运动特点。
【例1】 (对实验步骤和原理的理解)在“研究平抛运动”的实验中，可以描绘平抛物体运动轨迹和求物体的平抛初速度。实验简要步骤如下：
A．让小钢球多次从________位置上滚下，记下小球运动途中经过的一系列位置；
B．安装好器材，注意斜槽末端水平和木板竖直，记下小球在斜槽末端时球心在木板上的投影点O和过O点的竖直线，检测斜槽末端水平的方法是___________________________
________________________________________________________________________。
C．测出曲线上某点的坐标x、y，用v0＝________算出该小球的平抛初速度，实验需要对多个点求v0的值，然后求它们的平均值。
D．取下白纸，以O为原点，以竖直线为y轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛轨迹。
上述实验步骤的合理顺序是________(只排列序号即可)。
解析：步骤A中要记下小球运动途中经过的一系列位置，不可能在一次平抛中完成，每一次平抛一般只能确定一个位置，要确定多个位置，要求小球每次的轨迹重合，小球开始平抛时的初速度必须相同，因此小球每次必须从同一位置上滚下。
步骤B中用平衡法，即将小球放到斜槽末端任一位置，如果斜槽末端是水平的，小球受到的支持力和重力是平衡的。不论将小球放到斜槽末端任何位置，小球均不会滚动。如果斜槽末端不是水平的，小球将发生滚动。
步骤C中运用x＝v0t及y＝gt2联立即可求得v0＝x
答案：同一 将小球放到斜槽末端任一位置，均不滚动x BADC
题后反思 (1)应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直，并使小球的运动靠近坐标纸但不接触。
(2)小球每次必须从斜槽上同一位置由静止滚下，在斜槽上释放小球的高度应适当，使小球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差。
【例2】 (实验数据的分析和处理)如图甲所示是某种“研究平抛运动”的实验装置
(1)(多选)当a小球从斜槽末端水平飞出时与b小球离地面的高度均为H，此瞬间电路断开使电磁铁释放b小球，最终两小球同时落地。该实验结果可表明( )
A．两小球落地速度的大小相同
B．两小球在空中运动的时间相等
C．a小球在竖直方向的分运动与b小球的运动相同
D．两小球在空中运动时的加速度相等
(2)利用该实验装置研究a小球平抛运动的速度，从斜槽同一位置释放小球，实验得到小球运动轨迹中的三个点A、B、C，如图乙所示。图中O为坐标原点，B点在两坐标线交点，坐标xB＝40 cm，yB＝20 cm，A、C点均在坐标线的中点。则a小球水平飞出时的初速度大小为v0＝______ m/s；平抛小球在B点处的瞬时速度的大小vB＝________ m/s。
解析：(1)两小球同时落地。表明两小球在竖直方向的运动是一样的，选项BCD正确；
(2)竖直方向Δy＝0.1 m＝gt2，得t＝0.1 s；水平方向有x＝v0t，得v0＝＝ m/s＝2 m/s。在B点处竖直方向的分速度vBy＝ m/s＝2 m/s，故B点处的瞬时速度的大小vB＝＝2 m/s。
答案：(1)BCD (2)2 2
题后反思 处理此类问题，先由水平方向的运动可判断出两点间的时间相等，再根据竖直方向匀变速直线运动的规律求得时间间隔，注意公式Δy＝gt2和平均速度vy＝的灵活应用。
【例3】 (实验创新设计)为了探究平抛运动的物体在竖直方向的运动规律，某同学设计了下面一个实验：如图所示，OD为一竖直木板，小球从斜槽上挡板处由静止开始运动，离开O点后做平抛运动，右侧用一束平行光照射小球的运动，小球在运动过程中，便在木板上留下影子。如图是用频闪照相机拍摄的小球在运动过程中的位置以及在木板上留下的影子的位置，如图中A、B、C、D等点。现测得各点到O点的距离分别为5.0 cm、19.8 cm、44.0 cm、78.6 cm。试根据影子的运动讨论物体在竖直方向上的运动情况。(已知照相机的闪光频率为10 Hz)。
点拨：小球运动过程中在木板上留下的影子反映了小球在竖直方向的运动情况。根据在竖直方向相等时间里影子的位移，结合运动学规律进行分析。
解析：照相机的闪光周期T＝0.1 s。
影子在连续闪光时间内的位移分别为s1＝5 cm、s2＝14.8 cm、s3＝24.2 cm、s4＝34.6 cm。根据逐差法可求得影子运动的加速度。
s3－s1＝2a1T2
s4－s2＝2a2T2
所以a＝＝≈9.8 m/s2。
加速度等于重力加速度，可见，小球在竖直方向的运动为自由落体运动。
答案：见解析
题后反思 本题的巧妙之处打破了常规的探究方法，利用影子的运动反映小球在某一方向上的运动情况，分析出了影子的运动规律，即可得知平抛运动物体在竖直方向的运动规律。
触类旁通 如果将平行光改为竖直方向，小球在运动过程中会在地面上留下影子。如图所示，用照相机测得的影子的位置如图中的a、b、c、d、e等点。现测得各点到a点之间的距离分别为19.6 cm、39.8 cm、60.2 cm、79.6 cm，试根据影子的运动讨论物体在水平方向上的运动情况。
提示：小球在地面上留下的影子的运动情况反映了物体在水平方向的运动情况。各点到a点之间的距离即为物体在水平方向上的位移，可以作出位移图象来判断物体在水平方向的运动情况。如图所示。
由图象可以看出，图线为经过原点的一条直线，说明位移随时间均匀变化，即影子的运动为匀速直线运动，也就说明物体在水平方向的运动为匀速直线运动。
第二节 平抛运动
课堂探究
探究一 对平抛运动的理解
问题导引
如图所示，一人正练习投掷飞镖，不计空气阻力。请思考：
(1)飞镖投出后做什么运动，加速度的大小和方向如何？
(2)飞镖的运动是一种怎样的运动？
提示：(1)飞镖将做平抛运动，只受到重力作用，加速度等于重力加速度，方向向下；(2)因飞镖的加速度为一恒量，故飞镖的运动是匀变速曲线运动。
名师精讲
1．物体做平抛运动的条件
物体的初速度v0不等于零，且只受重力作用。
2．平抛运动的性质
加速度为g的匀变速曲线运动。
3．抛体运动的特点
特点
理解
理想化特点
物理上提出的抛体运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力
匀变速特点
抛体运动的加速度恒定，始终等于重力加速度，这是抛体运动的共同特点，其中加速度与速度方向不共线的抛体运动是一种匀变速曲线运动
速度变化的特点
做抛体运动的物体在任意相等时间内速度的变化量相等，均为Δv＝gΔt，方向竖直向下
警示 平抛运动是抛体运动的特例，初速度方向与所受恒力方向垂直。如果物体的初速度和受力条件满足该特点，但其加速度不只是由重力产生的，这类运动叫作类平抛运动，处理问题的方法与处理平抛运动的方法相同，只是加速度不一样。
【例1】 (多选)关于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A．平抛运动是匀变速运动 B．平抛运动是变加速运动
C．任意两段时间内加速度相同 D．任意两段相等时间内速度变化相同
解析：平抛运动的物体只受重力作用，故a＝g，即做匀变速曲线运动，A选项正确，B选项不对，C选项正确。由匀加速直线运动的速度公式Δv＝gΔt，所以任意相等的时间内Δv相同，D正确。
答案：ACD
题后反思 从平抛运动的受力情况入手分析，由于做平抛运动的物体只受重力作用，故其为匀变速运动，加速度恒为重力加速度g，即相等时间内的速度改变量相同，据此可作出判断。
探究二 平抛运动规律的应用
问题导引
用枪水平地射击一个靶子(如图所示)，设子弹从枪口水平射出的瞬时，靶子从静止开始自由下落，子弹能射中靶子吗？为什么？
提示：能够击中。子弹做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，相同时间内与靶子下落的高度相同，故能够击中靶子。
名师精讲
1．平抛运动的研究方法
平抛运动是一种典型的曲线运动，通过平抛运动可以掌握分析曲线运动的基本思路和方法。研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法。
(1)由于做平抛运动的物体只受重力，在水平方向上不受外力，所以平抛运动在水平方向做匀速直线运动；(2)在竖直方向上受到重力，初速度在竖直方向上分量为零，所以在竖直方向上做自由落体运动。
2．处理方法
(1)分解速度：设平抛运动的初速度为v0，在空中运动的时间为t，则平抛运动在水平方向的速度vx＝v0，在竖直方向的速度vy＝gt，合速度v＝，合速度与水平方向的夹角θ＝arctan 。
(2)分解位移：平抛运动在水平方向的位移x＝v0t，在竖直方向的位移y＝at2，对抛出点的位移(合位移)s＝。
3．有关平抛运动的几个结论
(1)平抛运动的时间：由y＝gt2得t＝，可知做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关，与初速度的大小无关。
(2)平抛运动的水平位移：由x＝v0t＝v0知，做平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定。
(3)落地速度：v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定。
(4)平抛运动的速度偏向角为θ，如图所示，则
tan θ＝＝＝＝。
平抛运动的位移偏向角为α，则tan α＝＝tan θ。
可见位移偏向角与速度偏向角不等。
(5)如图所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点。
则OB＝v0t，
AB＝PBcot θ＝gt2·＝gt2·＝v0t。
可见AB＝OB，所以A为OB的中点。
从O点水平抛出的物体，做平抛运动到P点，物体好像是从OB中点A沿直线运动到P点一样，这是平抛运动很重要的一个特征。
特别提醒 (1)研究平抛运动时要先分析物体在水平和竖直两个方向上的运动情况，根据运动的等时性和矢量关系列方程。(2)研究竖直方向的运动时，可以利用匀变速直线运动规律。
【例2】 从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角。(取g＝10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)。求：
(1)抛出点的高度和水平射程；
(2)抛出后3 s末的速度；
(3)抛出后3 s内的位移。
点拨：根据运动的合成与分解，可将末速度分解为竖直方向的分速度和水平方向的分速度进行求解。求合速度和合位移时，先求出两个方向的分速度和分位移，然后再合成。
解析：(1)设落地时的竖直方向速度为vy，水平速度为v0，则有
vy＝vsin θ＝50×0.8 m/s＝40 m/s
v0＝vcos θ＝50×0.6 m/s＝30 m/s
抛出点的高度为h＝＝80 m
水平射程x＝v0t＝30× m＝120 m
(2)设抛出后3 s末的速度为v3，则
竖直方向的分速度vy3＝gt3＝10×3 m/s＝30 m/s
v3＝＝ m/s＝30 m/s
设速度与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝1，故α＝45°。
(3)3 s内物体的水平方向的位移x3＝v0t3＝30×3 m＝90 m，
竖直方向的位移y3＝gt＝×10×32 m＝45 m，
故物体在3 s内的位移s＝＝ m＝45 m
设位移与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，θ＝arctan
答案：(1)80 m 120 m (2)30 m/s 与水平方向的夹角为45° (3)45 m 与水平方向的夹角为arctan
反思 解决平抛运动的问题时，关键之一在于利用矢量分解的知识将末速度和位移正交分解，建立起各物理量之间的几何关系，如v0与v、x与h之间的关系；关键之二是根据平抛运动规律将水平位移与竖直位移、水平速度与竖直速度通过时间联系在一起，从而建立运动学关系，最后将两种关系结合起来求解。
触类旁通 3 s末物体的速度方向与3 s内物体的位移方向相同吗？二者之间有着怎样的关系呢？
提示：不相同。速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍。
探究三 平抛运动与斜面结合的问题
问题导引
跳台滑雪是勇敢者的运动。利用山势特别建造的跳台，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观，如图所示(乙图为示意图)。请思考：
甲
乙
(1)运动员从斜坡上的A点水平飞出，再次落到斜坡上的B点时，其位移方向与初速度的夹角为多少？
(2)落地之前，运动员的速度方向与斜坡平行时，其速度方向与初速度方向的夹角为多少？
提示：(1)位移方向与初速度方向间的夹角等于斜面的倾角α；(2)速度方向与初速度方向间的夹角θ满足关系式：tan θ＝2tan α。
名师精讲
1．常见的有两类情况
(1)做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角；
(2)物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移与水平方向的夹角等于斜面的倾角。
2．求解方法
解答这类问题往往需要：
(1)作出水平或竖直辅助线，列出水平方向或竖直方向的运动方程。
(2)充分利用几何关系找位移(或速度)与斜面倾角的关系。
【例3】 如图所示，以9.8 m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，则物体飞行的时间是( )
A. s B. s C. s D．2 s
解析：物体撞在斜面上时，水平方向速度vx＝v0＝9.8 m/s，合速度v与vx夹角为60°，所以竖直方向vy＝vxtan 60°＝9.8× m/s。由vy＝gt，则t＝＝ s＝ s，即物体飞行时间是 s。
答案：C
题后反思 在解决平抛运动的问题时，时间相同是两个分运动相联系的桥梁。分解和合成是解决平抛运动的基本方法，要根据题目的特点确定出是分解速度、位移还是加速度，在两个相互垂直的方向上列出运动学方程，最后作出解答。
探究四 类平抛运动问题
问题导引
如图所示，正在匀速上升的气球突然遇到水平方向恒定的风力作用，请思考：
(1)气球在竖直方向及水平方向的受力有何特点？
(2)气球在竖直方向及水平方向做什么运动？
提示：竖直方向受到重力及浮力作用，合力为零，始终做匀速直线运动；水平方向受力恒定，加速度恒定，做初速度为零的匀加速直线运动。
名师精讲
1．类平抛运动的受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
3．类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
4．类平抛运动问题的求解思路
(1)根据物体受力特点和运动特点判断该问题属于类平抛运动问题。
(2)求出物体运动的加速度。
(3)根据具体问题选择用常规分解法还是特殊分解法求解。
【例4】 在光滑水平面内建立xOy坐标系，质量为m＝0.25 kg的小球正沿y轴正方向匀速运动，其速度为v0＝2 m/s。如图所示，当质点运动到原点O处时开始受到＋x方向的恒力F作用。
(1)若要使小球能经过坐标为(4 m,4 m)的P点，则恒力F大小为多大？
(2)在(1)问中当小球运动1 s时，其速度方向与＋x方向的夹角为多少？
解析：(1)小球在xOy坐标系内做类平抛运动，若要小球经过P点，则必须满足：
在x方向at2＝4 m
在y方向2t＝4 m
代入数据，得：a＝2 m/s2
由牛顿第二定律：F＝ma
代入数据，得F＝0.5 N
(2)当t＝1 s时，由类平抛运动规律得：
vx＝at＝2 m/s
因为vy＝v0
故运动1 s时速度大小v＝＝2 m/s
速度方向与＋x正方向的夹角为45°
答案：(1)0.5 N (2)2 m/s 45°
题后反思 (1)类平抛运动规律与平抛运动规律相同，处理方法也相同。平抛运动的两个重要推论也适用于类平抛运动。(2)解答类平抛运动问题时，不一定按水平方向和竖直方向进行分解，可以按初速度方向和合外力方向来分解。
第五节 向心加速度
课堂探究
探究一 对速度变化量的理解
问题导引
如图所示，以速度v水平飞向球拍的网球被球拍以同样大小的速度反向弹回；电子以大小为v的速度绕原子核做匀速圆周运动，请思考：
(1)如何求网球速度的变化量？
(2)电子沿圆周运动周期的过程，如何求电子速度的变化量？
提示：(1)网球被球拍击中前后的速度在一条直线上，计算其速度变化量时，先确定好正方向，确定初、末速度的正负号，可求得其速度变化量Δv＝v末－v初；(2)电子在周期的过程中，初、末速度不在一条直线上，应根据平行四边形定则确定其速度变化量。
名师精讲
1．速度变化量
(1)速度变化量是指运动物体在一段时间内的末速度与初速度之差。
(2)速度是矢量，速度的变化量Δv也是矢量，Δv＝v2－v1是矢量式，其运算满足平行四边形定则或三角形定则。
2．用矢量图表示速度变化量
(1)同一直线上速度变化关系图如图所示。
(2)不在同一条直线上的速度变化如图所示。
(3)在匀速圆周运动中，物体由A运动到B，其速度变化量Δv如图所示。
【例1】 物体以初速度v0做平抛运动，经一段时间(未落地)速度大小变为v，如图所示。则此过程中物体速度变化量的大小和方向分别为( )
A．v－v0，水平向右 B．v0－v，水平向左
C.，竖直向下 D.，方向无法确定
解析：平抛物体运动一段时间后末速度方向与初速度方向不在同一直线上，作出如图所示，因平抛运动加速度为g，故Δv方向竖直向下，与v0方向垂直，且Δv＝，方向竖直向下。
答案：C
题后反思 速度变化量的运算为矢量运算，Δv＝v－v0的意义为以Δv、v0为邻边，v是对角线的平行四边形，也可以将三个矢量转化到三角形中运算。
探究二 对向心加速度及意义的理解
问题导引
如图所示，卫星绕地球做匀速圆周运动，小球绕细绳的另一端在竖直平面内做变速圆周运动，请思考：卫星以及小球的向心加速度分别指向什么方向？它们的向心加速度改变物体的速度大小吗？
提示：卫星及小球的向心加速度方向均指向圆心，与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度大小。
名师精讲
1．物理意义
描述线速度改变的快慢，只改变线速度方向，不改变其大小。
2．方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。
3．非匀速圆周运动的加速度
对于非匀速圆周运动，如图所示，物体加速度的方向不再指向圆心，但其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，仍满足公式an＝＝ω2r，其作用仍然是改变速度的方向。
特别提醒 无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心。
【例2】 (多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向。所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心。故A、B、D正确。
答案：ABD
题后反思 解该类问题的关键是分清两种圆周运动加速度的特点。匀速圆周运动的加速度就是向心加速度，方向时刻指向圆心，它只改变线速度的方向；变速圆周运动的加速度不是指向圆心的，向心加速度只是它的一个分量，而另一个分量沿圆周的切线方向，前者改变线速度的方向，后者改变线速度的大小。
探究三 对向心加速度表达式的理解及应用
问题导引
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，它们边缘的三个点A、B、C，其中哪两点的向心加速度与半径成正比，哪两点的向心加速度与半径成反比？
提示：B、C两点的角速度相等，由an＝ω2r可知，B、C两点的向心加速度与半径成正比；A、B两点的线速度大小相等，由an＝可知，A、B两点的向心加速度与半径成反比。
名师精讲
1．向心加速度公式
an＝＝ω2r＝r＝4π2f2r＝ωv。
2．向心加速度与半径的关系
(1)若ω为常数，根据an＝ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图甲所示；
(2)若v为常数，根据an＝可知，向心加速度与r成反比，如图乙所示；
(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比。
特别提醒 上述向心加速度的表达式中，an均与两个物理量有关，在讨论与其中某一个量的关系时，要注意另一个量是否发生变化。
【例3】 (多选)P、Q两物体做匀速圆周运动的向心加速度an的大小随半径r变化的图象，其中P为双曲线的一个分支，由图可知( )
A．P物体运动的线速度大小不变 B．P物体运动的角速度不变
C．Q物体运动的角速度不变 D．Q物体运动的线速度大小不变
解析：由an＝知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时，向心加速度与半径成反比，故A正确，B错误；由an＝ω2r知，角速度不变时，向心加速度与半径成正比，故C正确，D错误。
答案：AC
题后反思 表达式an＝＝ω2r中，an与两个量(ω和r或v和r)都有关，讨论时要注意控制变量法的应用。若角速度ω相同，则an与r成正比；若线速度v大小相同，则an与r成反比。
【例4】 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转轴的距离是半径的。当大轮边缘上P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多大？
解析：同一轮子上的S点和P点角速度相同：ωS＝ωP
由向心加速度公式a＝rω2可得：＝
所以aS＝aP·＝12× m/s2＝4 m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘各点线速度大小相等：vP＝vQ
由向心加速度公式a＝可得：＝
所以aQ＝aP·＝12× m/s2＝24 m/s2
答案：aS＝4 m/s2 aQ＝24 m/s2
题后反思 先根据皮带传动或同轴转动分析出研究点的线速度关系或角速度关系，然后再利用向心加速度公式分析。
第六节 向心力
课堂探究
探究一 对向心力的理解
问题导引
汽车在水平路面上保持速度大小不变，请思考汽车转弯时的向心力由什么力提供的？
提示：路面对车的静摩擦力提供向心力。
名师精讲
1．向心力的作用效果
改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。
2．向心力的特点
①方向时刻在变化，总是与线速度的方向垂直。②在匀速圆周运动中，向心力大小不变，向心力是变力，是一个按效果命名的力。
3．向心力的大小
根据牛顿第二定律Fn＝ma＝m＝mrω2＝mωv＝mr。
4．向心力的来源
来源
例证
图例
一个力充当向心力
绳的一端系一个物体，在光滑平面内绕另一端做匀速圆周运动，向心力由绳的拉力提供。如图
几个力的合力充当向心力
用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动到最低点时，其向心力由绳的拉力和物体的重力(F＝T－mg)两个力的合力充当。如图。
某个力的分力充当向心力
在圆锥摆运动中，小球做匀速圆周运动的向心力则是拉力的分力(F＝mgtan θ，其中θ为摆线与竖直轴的夹角充当)
特别提醒 (1)向心力是一种效果力，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，不是物体受到的一个力，只能由其他力来充当。分析物体受力时不能说物体受到向心力。
(2)只有匀速圆周运动物体的合外力才指向圆心，其合外力就充当向心力，而非匀速圆周运动的物体的合外力不一定指向圆心。
【例1】 如图所示，在一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，一个小孩站在距圆心为r处的P点不动，关于小孩的受力，以下说法正确的是( )
A．小孩在P点不动，因此不受摩擦力的作用
B．小孩随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力的合力充当向心力
C．小孩随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动，小孩在P点受到的摩擦力不变
解析：由于小孩随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此小孩会受到静摩擦力的作用，且充当向心力，选项AB错误、C正确；由于小孩随圆盘转动半径不变，当圆盘角速度变小，由F＝mω2r可知，所需向心力变小，选项D错误。
答案：C
题后反思 凡是做圆周运动的物体一定需要向心力。由于向心力是按效果命名的力，所以在受力分析时不要加上向心力，它只能由其他力提供。
探究二 对圆周运动的进一步理解
问题导引
如图所示，汽车在高低不平的路面上行驶的运动通常是一个比较复杂的曲线运动，那么汽车运动时需要向心力吗？如何研究一般的曲线运动？
提示：需要向心力。在复杂的曲线运动中取一小段研究，每一小段都可以看成是某个圆周的一部分。不同位置上所对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”是不同的。
名师精讲
1．匀速圆周运动的特点
线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率都恒定不变；向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变。
2．匀速圆周运动的性质
(1)线速度仅大小不变而方向时刻改变，是变速运动。
(2)向心加速度仅大小恒定而方向时刻改变，是非匀变速曲线运动。
(3)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期物体都要重新回到原来的位置，其运动状态(如v、a大小及方向)也要重复原来的情况。
(4)做匀速圆周运动的物体所受外力的合力大小恒定，方向总是沿半径指向圆心。
3．质点做匀速圆周运动的条件
合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动仅是速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。
4．匀速圆周运动和变速圆周运动的区别
(1)由做曲线运动的条件可知，变速圆周运动中物体所受的合力与速度方向一定不垂直，当速率增大时，物体受到的合力与瞬时速度之间的夹角是锐角；当速率减小时，物体受到的合力与速度之间的夹角是钝角。
例如：用一细线系一小球在竖直平面内做变速圆周运动，在向下加速运动过程的某一位置A和向上减速运动过程的某一位置B，小球的受力情况如图所示。
(2)比较可知，匀速圆周运动和变速圆周运动受力情况的不同是：匀速圆周运动中，合力全部用来提供向心力，合力指向圆心；变速圆周运动中，合力沿着半径方向的分量提供向心力，合力通常不指向圆心。
5．一般的曲线运动
运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般曲线运动，在复杂的曲线运动中取一小段研究，每一小段都可以看成是圆周的一部分，这些圆弧的弯曲程度不同，圆心不同，注意到这个区别以后，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的方法进行研究，如下图。
【例2】 (多选)如图所示，质量为m的木块，从位于竖直平面内的圆弧形曲面上下滑，由于摩擦力的作用，木块从a到b运动速率增大，b到c速率恰好保持不变，c到d速率减小，则( )
A．木块在ab段和cd段加速度不为零，但bc段加速度为零
B．木块在abcd段过程中加速度都不为零
C．木块在整个运动过程中所受合力大小一定，方向始终指向圆心
D．木块只在bc段所受合力大小不变，方向指向圆心
解析：木块在下滑的全过程中，时刻存在加速度，A错、B对；在下滑过程中只有bc段速率不变其所受合力为向心力，其大小不变，C错D对。
答案：BD
题后反思 物体做曲线运动一定有加速度，理解这一定是解决本题的关键。
探究三 解决匀速圆周运动问题的思路和方法
问题导引
飞机在空中水平面内做匀速圆周运动，如图所示。试分析：
(1)飞机受到哪些力的作用？向心力有谁提供？
(2)若知道飞机做圆周运动的半径，如何求得飞机运动的速度大小？
提示：(1)飞机受到重力及空气对飞机的作用力，这两个力的合力提供向心力；(2)确定出飞机圆周运动的平面和圆心，表示出飞机受的合力，根据牛顿第二定律列出方程，可得飞机的速度。
名师精讲
1．指导思路
凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力。而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础。
2．解题步骤
【例3】 如图所示，是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动。若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角约为θ，女运动员的质量为m，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r，求：
(1)男运动员对女运动员的拉力大小。
(2)男运动员转动的角速度。
点拨：以女运动员为研究对象，受到重力和男运动员对她的拉力作用，这两个力的合力提供向心力，其做圆周运动的平面在水平面内。根据牛顿第二定律求解。
解析：设男运动员对女运动员的拉力大小为F，女运动员受力如图所示，
则：Fcos θ=mg
Fsin θ=mω2r
解得F=
ω=
答案：(1) (2)
题后反思 应用向心力公式解题的基本步骤是：首先进行受力分析，明确向心力的来源，即哪些力提供向心力；其次要确定圆周运动的轨道平面、圆心位置和轨道半径，找准向心力的方向；最后应用向心力表达式求解。当然，要正确解决问题，我们须熟记向心力的各种表达式，并注意在不同的情况下灵活选用。
触类旁通 如果男、女运动员手拉手均做匀速圆周运动，已知两人质量比为2∶1，求他们做匀速圆周运动的半径比。
提示：1∶2
3．圆周运动中的连接体问题
(1)圆周运动中的连接体问题处理方法：此类问题的处理方法与单个物体的情况基本相同。因系统内的每个物体的速度、加速度不同，即运动状态不同，所以处理时应隔离每个物体进行分析。若物体存在加速度，应根据牛顿第二定律列方程求解；若物体处于平衡状态，应结合平衡条件进行处理。
(2)圆周运动中的连接体问题的几种典型情景
情景示例
情景图示
情景说明
情景1
A、B两小球固定在轻杆上随杆绕杆的端点O做圆周运动，注意计算OA杆拉力时应以小球A为研究对象，而不能以A、B整体为研究对象
情景2
当转盘转速逐渐增大时，物体A先达到其最大静摩擦力，转速再增加，则A、B间绳子开始有拉力，当B受到的静摩擦力达到其最大值后两物块开始滑动
情景3
当求转盘对B的摩擦力时，取A、B整体为研究对象比较简单；当研究A、B谁先发生离心滑动时，注意比较两接触面的动摩擦因数大小
情景4
A、B两小球用轻线相连穿在光滑轻杆上随杆绕转轴O在水平面内做圆周运动时，两球所受向心力大小相等、角速度相同、圆周半径与小球质量成反比
【例4】 如图所示，OM＝MN＝R。两个小球质量都是m，a、b为水平轻绳。两小球正随水平圆盘以角速度ω匀速同步转动。小球和圆盘间的摩擦力可以不计。求：
(1)绳b对小球N的拉力大小；
(2)绳a对小球M的拉力大小。
点拨：两球所受的重力和水平面的支持力在竖直面内，且是一对平衡力，不能提供向心力。M球所受到的向心力由绳a和绳b的拉力的合力提供，N球所受到的向心力由杆的绳b的拉力提供。
解析：(1)对球N，受力如图所示，其做圆周运动的半径为2R，根据牛顿第二定律有
Fb＝mω2·2R＝2mω2R
(2)对球M，受力如图所示，其做圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有
Fa－Fb′＝mω2R
Fb＝Fb′
解得Fa＝Fb＋mω2R＝3mω2R
答案：2mω2R 3mω2R
题后反思 分析圆周运动问题是应先弄清楚向心力的来源，然后再根据已知条件灵活运用向心力的计算公式求解。
第四节 圆周运动
课堂探究
探究一 对匀速圆周运动的理解
问题导引
如图所示，卫星绕地球做匀速圆周运动，请思考：
(1)卫星的圆周运动是一种匀速运动还是变速运动？
(2)卫星做匀速圆周运动中，有哪些物理量不发生变化？
提示：(1)因卫星做圆周运动的速度方向时刻在变，因此是变速运动；(2)卫星的角速度、周期，还有转速不发生变化。
名师精讲
1．圆周运动的性质
圆周运动一定是变速运动，因为速度是矢量，只要方向改变就说明速度发生了变化，而圆周运动的速度方向时刻改变，所以圆周运动一定是变速运动，做圆周运动的物体一定具有加速度，它受的合力一定不为零。
2．匀速圆周运动的特点和性质
(1)“变”与“不变”：描述匀速圆周运动的四个物理量中，角速度、周期和转速恒定不变，线速度是变化的；
(2)性质：匀速圆周运动中的“匀速”不同于匀速直线运动中的“匀速”，这里的“匀速”是“匀速率”的意思，匀速圆周运动是变速运动。
【例1】 (多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．相等的时间里通过的路程相等
B．相等的时间里通过的弧长相等
C．相等的时间里发生的位移相等
D．相等的时间里转过的角度相等
解析：质点做圆周运动时，因为线速度大小不变，所以在相等的时间内通过的圆弧长度相等，即路程相等，A、B项正确；因为角速度相等，此时半径转过的角度也相等，D选项正确；但由于位移是矢量，在相等的时间里，质点的位移大小相等，方向却不一定相同，故C选项错误。
答案：ABD
题后反思 线速度和角速度都是描述匀速圆周运动的质点运动快慢的物理量，线速度侧重于描述物体通过弧长快慢的程度，而角速度侧重于描述质点转过角度的快慢程度。
探究二 描述圆周运动的各物理量的意义及其之间的关系
问题导引
如图所示，在冰上芭蕾舞表演中，演员展开双臂单脚点地做着优美的旋转动作，在她将双臂逐渐放下的过程中，她的转动将逐渐变快，请思考：
(1)演员肩上某点转动的线速度及角速度如何变化？
(2)演员肩上某点转动的周期如何变化？
提示：转动的速度变快，是转速变大，其角速度变大，周期变小，肩上某点距转动的圆心的半径r不变，因此线速度也变大。
名师精讲
1．各物理量间的数量关系
关系式
理解
线速度与角速度的关系
v＝ωr
r一定时，v与ω成正比，ω一定时，v与r成正比
角速度与周期的关系
ω＝
角速度与周期一定是成反比，周期大的角速度一定小
线速度与周期的关系
v＝
只有当半径相同时，周期小的线速度大，当半径不同时，周期小的线速度不一定大，周期与线速度描述的快慢是不一样的
周期和转速的关系
T＝
周期和转速互为倒数关系
角速度与转速的关系
ω＝2πn
角速度与转速一定成正比，转速越大，角速度就越大
警示 (1)v、ω、r之间是瞬时对应关系；(2)v、ω、r三个量中，只有先确定其中一个量不变，才能进一步明确另外两个量是正比还是反比关系；(3)若比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，若比较物体绕圆心运动的快慢看周期、角速度。
2．线速度与角速度的意义区别
线速度v与角速度ω都是描述匀速圆周运动质点转动快慢的物理量，但两者都无法全面、准确地反映做质点的运动状态，它们都具有一定局限性。
(1)r一定时，v∝ω。例如：①齿轮边缘处的质点随着齿轮转速的增大，角速度和线速度都随之增大；②骑自行车时，车轮转得越快，角速度就越大，车轮边缘上各点的线速度就越大。
(2)ω一定时，v∝r。例如：①时钟上的分针转动时，各质点的角速度相同，但分针上离圆心越远的点，r越大，v也就越大；②地球上各点都在绕地轴做圆周运动，且角速度相同，但地球表面纬度越低的地方，到地轴的距离就越大，因此线速度就越大，赤道上各点的线速度最大。
(3)v一定时，ω∝。例如，如图所示的皮带传动装置中，两轮边缘上各点的线速度大小相等，但大轮的r较大，所以ω较小。
警示 线速度大的物体，其角速度不一定大，例如：地球绕太阳转动的线速度是3×104 m/s，但它的角速度却很小，只有2×10－7 rad/s。只有当r一定时，v与ω才成正比。
【例2】 如图所示，圆环以直径AB为轴匀速转动，已知其半径r＝0.5 m，转动周期T＝4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度。
点拨：整个圆环以AB为轴匀速转动，环上各点的角速度相同；求线速度，则需找出P点和Q点做圆周运动的半径，利用v＝rω求解。
解析：由题意知P点和Q点的角速度相同，ωP＝ωQ＝＝ rad/s＝1.57 rad/s；P点和Q点绕直径AB做匀速圆周运动，其轨迹的圆心不同，P点和Q点的轨迹半径分别为
rP＝Rsin 30°＝0.25 m
rQ＝Rsin 60°＝ m
故二者的线速度分别为
vP＝ωPrP≈0.39 m/s
vQ＝ωQrQ≈0.68 m/s。
答案：1.57 rad/s 1.57 rad/s 0.39 m/s 0.68 m/s
题后反思 解决此类题目首先要确定质点做圆周运动的轨迹所在的平面，以及圆周运动圆心的位置，从而确定半径，然后由v、ω的定义式及v、ω、R的关系式来计算。
探究三 常见传动装置模型
问题导引
如图所示，跷跷板的支点位于板的中点，A、B是板的两个端点，请比较：在翘动的某一时刻，A、B的线速度vA、vB的大小关系及角速度ωA、ωB的大小关系。
提示：根据题意，A、B绕同一支点转动，所以角速度相等，即ωA＝ωB；由图看出rA＞rB，根据v＝ωr得线速度vA＞vB。
名师精讲
传动的几种情况
传动
形式
图例
特点
同轴
传动
A点和B点在同轴的一个圆盘上，圆盘转动时，它们的角速度、周期相同：ωA＝ωB，线速度与圆周半径成正比，＝
皮带
传动
A点和B点分别是两个轮子边缘的点，两个轮子用皮带连起来，且皮带不打滑。轮子转动时，它们的线速度大小相等：vA＝vB，周期与半径成正比，角速度与半径成反比，＝，＝，并且转动方向相同。
齿轮
传动
A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合，齿轮转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：vA＝vB，＝，＝。A和B两点转动方向相反
警示 在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量(线速度或角速度)，再由描述圆周运动的各物理量间的关系，确定其他各量间的关系。
【例3】 如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为rA＝rC＝2rB，设皮带不打滑，则三轮边缘上的点线速度之比vA∶vB∶vC＝________，角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝________。
点拨：同一根皮带连接不打滑时，边缘各点的线速度相等；固定在一起绕同一个轴转动的几个圆盘各点的角速度相等。这个规律在以后解圆周运动题目中要经常用到。
解析：A、B两轮由皮带带动一起转动，皮带不打滑，故A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等。B、C两轮固定在同一轮轴上，同轴转动，角速度相等。但是由于两轮的半径不等，由v＝rω可知，B、C两轮边缘上各点的线速度大小不等，且C轮边缘上各点的线速度是B轮边缘上各点线速度的两倍，故有vA∶vB∶vC＝1∶1∶2.因A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等，同样由v＝rω可知，它们的角速度与半径成反比，即ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2.
答案：1∶1∶2 1∶2∶2
题后反思 在分析传动装置中各物理量间的关系时，要牢记下面的两个关系：(1)靠皮带、齿轮或摩擦传动的轮子，在不打滑的情况下，轮子边缘上各点的线速度大小相等，角速度则与半径成反比；(2)同一轮子或同轴传动的轮子上各点运动的角速度ω、转速n和周期T均相等，线速度则与半径成正比。
第一节 行星的运动
课堂探究
探究一 对开普勒定律的进一步认识
问题导引
如图所示为地球绕太阳运行的示意图，图中椭圆表示地球的公转轨道，A、B、C、D分别表示春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置，试分析说明一年之内秋冬两季比春夏两季要少几天的原因。
提示：地球绕太阳运行时，对于北半球的观察者而言，秋冬季节地球在近日点运动，经过CDA这段曲线；在春夏季节地球经过ABC这段曲线，根据开普勒第二定律，地球在秋冬季节比在春夏季节运动得快一些，时间相应就短一些。一年之内，春夏两季共184天，秋冬两季只有181天。
名师精讲
1．从空间分布认识：行星的轨道都是椭圆的，所有椭圆有一个共同的焦点，太阳就在此焦点上。
因此第一定律又叫椭圆轨道定律，如图所示。
特别提醒 (1)各行星的椭圆轨道尽管大小不同，但是太阳总处在所有轨道的一个共同焦点上，又称焦点定律；(2)不同行星轨道的半长轴是不同的(例如冥王星轨道半长轴的长为水星轨道半长轴的100倍)；(3)行星的椭圆轨道都很接近圆(例如地球绕太阳椭圆轨道半长轴为1.495×102 km，半短轴为1.494 8×102 km)中学阶段在分析处理天体运动问题时，可以将行星轨道作为圆来处理。这是一种突出主要因素、忽略某些次要因素的理想化方法，是研究物理问题的常用方法。
2．从速度大小认识：如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率就越大。
特别提醒 该定律反映出同一行星在远日点速率小于近日点速率，又称为速度定律。
3. 对＝k的认识：在图中，半长轴是AB间距的一半，不要认为a等于太阳到A点的距离；T是公转周期，不要误认为是自转周期，如地球的公转周期是一年，不是一天。
特别提醒 (1)高中阶段，如果将行星轨道看作圆，则R为圆的半径；(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，例如，对于任何一个行星的不同卫星来说，它的(＝k)k值是相同的，也是一个与卫星无关只与被卫星所环绕的行星有关的常量(例如地球的k值为1.008%)；(3)开普勒研究所依据的资料都是凭肉眼观察的，随着望远镜等精密仪器的出现，发现开普勒定律只是近似的，行星实际的运动情况与开普勒定律有少许的偏离；(4)开普勒定律只阐述了行星的运动规律，而没有说明行星运动的状态变化的“动力学”原因。
【例1】 (多选)关于公式＝k，下列理解正确的是( )
A．k是一个与行星无关的量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为a地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为a月，周期为T月，则＝
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
解析：公式＝k中的k为一常数，与中心天体有关，与行星无关，所以选项A正确。地球是太阳的行星，月球是地球的卫星，比例常数不同，所以选项B错误。公式中的T应表示绕中心天体的周期，而不是自转周期，所以选项C错误，D正确。
答案：AD
题后反思 开普勒定律是通过对行星的观测得出的规律，它同样适用于卫星绕地球的运动。应注意的是k的数值不同。
探究二 天体运动的规律及分析方法
问题导引
如图是火星冲日年份示意图，观察图中地球、火星的位置，请思考 地球和火星谁的公转周期更长？
提示：将地球和火星绕太阳的运动看作是匀速圆周运动，由题图可知，地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，根据开普勒第三定律可得：火星的公转周期更长一些。
名师精讲
1．天体虽做椭圆运动，但它们的轨道一般接近圆。中学阶段我们在处理天体运动问题时，一般把天体的运动当作圆周运动来研究，并且把它们视为匀速圆周运动。
2．在处理天体运动时，开普勒第三定律表述为：天体轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值为常数，即＝k，据此可知，绕同一天体运动的多个天体，运动半径r越大的天体，其周期越长。
3．表达式＝k中的常数k，只与中心天体的质量有关。如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，如果研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关。
4．天体的运动遵循牛顿运动定律及匀速圆周运动的规律，与一般物体的运动在应用这两规律上没有区别。
【例2】 有一行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的8倍，则该行星绕太阳公转的周期约是多少年？
点拨：解答本题时应注意以下两点：(1)将地球和行星绕太阳的公转轨道视为圆轨道；(2)地球的公转周期为1年。
解析：由开普勒第三定律得行星的运行半径r1与其周期T1的关系为
＝k(常量)
同理，地球的运行半径r2与其周期T2(1年)的关系为
＝k(常量)
又由于行星和地球都绕太阳转动，则两式中的k值相同，则＝
解得T1＝16T2≈22.6年
答案：22.6年
题后反思 (1)计算太阳系中除地球以外的七大行星绕太阳运行的周期时，只要知道了所求行星和地球与太阳间的距离关系，就可由开普勒第三定律求之。反之，也可求出其到太阳的距离；(2)中学阶段处理天体运动时，均把天体的运动看成是匀速圆周运动。涉及天体运动的周期、半径关系时，应首先考虑应用开普勒第三定律。
第三节 万有引力定律
课堂探究
探究一 对万有引力定律的理解
问题导引
如图甲所示，两个挨得距离很近的人之间的万有引力是不是很大呢？如图乙所示，设想将一个小球放到地球的中心，小球受到的万有引力又是多少呢？
提示：两个挨得很近的人，不能看作质点，不能根据万有引力定律求他们间的万有引力；物体放到地球的中心，万有引力定律已不适用。地球的各部分对物体的吸引力是对称的，物体受的万有引力是零。
名师精讲
1．对公式F＝G的说明
(1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的吸引力。
(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于均匀球体，就是两球心间的距离。
2．公式的适用条件
严格说F＝G只适用于计算两个质点的相互作用，但对于下述几种情况，也可用该公式计算。
(1)两质量分布均匀的球体间的相互作用，可用公式计算，其中r是两个球体球心的距离。
(2)一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心到质点间的距离。
(3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也适用，r为两物体中心间的距离。
3．万有引力的特性
特点
内容
普遍性
万有引力定律是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体小到微观粒子)间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一
相互性
两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性
通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力很不显著，万有引力可以忽略不计
特殊性
两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在的空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关
特别提醒 (1)任何物体间的万有引力都是同种性质的力；(2)任何有质量的物体间都存在万有引力，一般情况下，质量较小的物体之间万有引力忽略不计，只考虑天体间或天体对附近或表面的物体的万有引力。
【例1】 对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．m1和m2所受引力总是大小相等的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力无穷大
C．当有第三个物体m3放入m1、m2之间时，m1和m2间的万有引力将增大
D．m1和m2所受的引力性质可能相同，也可能不同
点拨：物体间的万有引力符合牛顿第三定律，公式F＝G适用于计算质点间的万有引力。
解析：物体间的万有引力是一对相互作用力，始终等大反向，故A对。当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万有引力定律不再适用，物体间的万有引力不会变得无穷大，B错。物体间万有引力的大小只与两物体的质量m1、m2和物体间的距离r有关，与是否存在其他物体无关，故C错。物体间的万有引力是一对同性质的力，D错。
答案：A
题后反思 万有引力存在于任何物体之间，但万有引力定律只适用于两个质点之间，当物体间距r→0时，物体不能视为质点，故不能得出r→0时，物体间万有引力F→∞的结果。
【例2】 要使两物体(两物体始终可以看作质点)间万有引力减小到原来的，可采用的方法是( )
A．使两物体的质量各减小一半，距离保持不变
B．使两物体质量各减小一半，距离增至原来的2倍
C．使其中一个物体质量减为原来的，距离增至原来的2倍
D．使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的
解析：根据万有引力定律公式F＝G可知，选项C正确。
答案：C
题后反思 正确理解和应用万有引力定律是解决此类问题的关键。
探究二 万有引力和重力的关系
问题导引
如图所示，人站在地球的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置，请思考 ：
(1)人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？
(2)人在地球的不同位置，受到的重力大小一样吗？
提示：(1)根据万有引力定律F＝G可知，人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样；(2)重力是万有引力的一个分力，由于人随地球转动，还需要向心力，在地球的不同位置，向心力不同，所以人在地球的不同位置，受的重力大小不一样。
名师精讲
1．重力为地球引力的分力
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G。
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况mg＜G。
2．重力和万有引力的大小关系
(1)重力与纬度的关系。
①在赤道：mg＝G－mRω2(物体受到引力和地面对物体的支持力FN的作用，其合力充当向心力，FN的大小等于物体的重力大小，ω为地球自转角速度)。
②在两极：由于F向＝0，故mg＝G。
③在地面上其他位置：mg＜G，且随纬度的增大，重力逐渐增大，直到等于地球对它的万有引力。
(2)重力、重力加速度与高度的关系。
①在地球表面：mg＝G，g＝，g为常数。
②在距地面R处：mg′＝G，g′＝，高度h越大，重力加速度g′越小。
特别提醒 (1)物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg＝G。
(2)在地球表面，重力加速度随地理纬度的升高而增大；在地球上空，重力加速度随距地面高度的增加而减小。
【例3】 设地球表面的重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为( )
A．1 B. C. D.
点拨：地球表面的重力加速度和在离地心距离为4R处的重力加速度均由地球对物体的万有引力产生，在不考虑天体自转的情况下，物体在某一位置所受万有引力跟其重力相等。
解析：在地面上有G＝mg0①
在离地心4R处有G＝mg②
由①②两式得＝()2＝。
答案：D
题后反思 由万有引力定律可知，星球表面物体的重力加速度g＝，应用该式解题时须注意r的含义。如果物体离地高度为h，则r＝R球＋h，此时有：g′＝，而M为该星球的质量。
触类旁通 离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的，则高度h是地球半径的多少倍？
解析：地球表面上物体所受重力约等于地球对物体的引力，则有
mg＝G，式中G为引力常量，M为地球质量，m为物体质量，R为地球半径。
离地面高度为h处，mgh＝G
由题意知gh＝g，解得h＝(－1)R，
即h是地球半径的(－1)倍。
答案：(－1)倍
第二节 太阳与行星间的引力
课堂探究
探究一 太阳与行星间引力规律的推导
问题导引
行星所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动是否符合同样的动力学规律？如果是，分析行星的受力情况。
提示：行星与平常我们见到的做匀速圆周运动的物体一样，符合同样的动力学规律，遵守牛顿第二定律F＝。行星受到太阳的吸引力，此力提供行星绕太阳运转的向心力。
名师精讲
1．太阳与行星引力规律的推导思想
把行星绕太阳的椭圆运动简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动，运用圆周运动的规律结合开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星间引力表达式。
这样建立理想的物理模型的目的是简化对问题的分析过程，降低对问题的分析难度。由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的椭圆轨迹的两个焦点靠得很近，椭圆非常接近于圆，因此在现阶段我们将天体的运动看成匀速圆周运动并不违背客观事实，而是抓住问题的实质而又使问题简单化。
2．太阳与行星间引力规律的推导
【例1】 (多选)下列关于太阳对行星的引力的说法中，正确的是( )
A．太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星引力的大小与太阳的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成反比
C．太阳对行星的引力是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动规律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
解析：太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，其大小是牛顿结合开普勒行星运动定律和圆周运动规律推导出来的，它不是实验得出的，但可以通过天文观测来检验其正确性，故A、D正确，C错误。太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，故B错误。
答案：AD
题后反思 (1)行星绕太阳做圆周运动时，所需向心力由太阳对行星的引力来提供。(2)太阳对行星的引力与行星的质量和行星到太阳间的距离有关。
的理解
问题导引
发生日全食时，太阳、月亮、地球几乎在同一直线上，且月亮位于太阳与地球之间，如图所示。设月亮到太阳的距离为l，地球到月亮的距离为d，假设太阳质量M，地球质量m1，月球质量m2，则太阳对地球的引力F1和对月亮的吸引力F2的大小之比为多少？
提示：太阳对地球的吸引力F1＝，太阳对月球的吸引力F2＝，则＝。
名师精讲
1．公式表明，太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。
2．式中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。
3．太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
4．我们是在已有的观测结果(开普勒行星运动定律)和理论引导(牛顿运动定律)下进行推测和分析，观测结果仅对“行星绕太阳运动”成立(以后我们将把它推广到卫星绕行星的运动)，这还不是万有引力定律。
警示由于天体间的距离很远，天体间的距离远大于天体本身的大小，所以在研究天体间的引力时可将天体看成质点，即天体的质量集中于球心上，那么F＝G中的r就是两天体球心间的距离。
特别提醒 公式F＝G的推导过程中，我们用到了两个理想化模型。
(1)由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的椭圆轨迹的两个焦点靠得很近，椭圆非常接近于圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
【例2】 两个行星的质量分别为m1、m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1、r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为( )
A．1 B. C. D.
解析：设行星m1和m2的向心力分别为F1和F2，由太阳与行星之间的引力规律可知，F1∝，F2∝，又由牛顿第二定律可得：a1＝，a2＝，所以＝，故D选项正确。
答案：D
题后反思 解该类问题要明确：(1)G是比例系数，与行星和太阳均没关系；(2)太阳与行星间的引力规律，也适合于地球与卫星间的引力；(3)该引力规律普遍适用于任何有质量的物体。
第五节 宇宙航行
课堂探究
探究一 人造卫星问题的分析思路
问题导引
在地球打的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动，请思考：
(1)这些卫星的运动的向心力都什么力提供？这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期跟什么因素有关呢？
提示：(1)卫星的向心力是由地球的万有引力提供，故所有卫星的轨道平面都经过地心；(2)由G＝m＝mω2r＝mr可知，卫星的线速度、角速度、周期等与其轨道半径有关。
名师精讲
1．人造卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时由地球对它的万有引力充当向心力。因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道。当然也应存在着与赤道平面成某一角度的圆轨道。如图所示。
2．人造卫星的运行规律
项目
推导
关系
线速度v与轨道半径r的关系
由G＝m得v＝∝
半径越大，速度越小
角速度ω与轨道半径r的关系
由G＝mω2r得ω＝∝
半径越大，角速度越小
周期T与半径r的关系
由G＝mr得T＝∝r
半径越大，周期越大
向心加速度a与半径r的关系
由G＝ma得a＝∝
半径越大，向心加速度越小
警示 卫星发射后，如果不再补充能量，并忽略空气阻力，则在地面上的发射速度越大，其具有的机械能就越大，进入圆形轨道后，其轨道半径越大，根据运行速度的公式v＝可知，其运行速度越小。
【例1】 (多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b的质量相等且小于c的质量，则( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
解析：因卫星运动的向心力就是它们所受到的万有引力，由F＝G知b所受的引力最小，故A项对；由＝man，得an＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的二次方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，故C项错；由＝，得T＝2π，即人造地球卫星运行的周期与其轨道半径三次方的二次方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B项对；由＝，得v＝，即地球卫星的线速度与其轨道半径的二次方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D项对。
答案：ABD
题后反思 在进行本类题目的分析和计算时，应特别注意：卫星运转需要的向心力由万有引力提供，即＝m＝mω2r＝mr，在等式右边为向心力表达式，要讨论哪一个物理量，就要用哪个物理量表达向心力，从而进行讨论。
探究二 对第一宇宙速度的理解
问题导引
发射卫星，要有足够大的速度才行，请思考：
(1)哪一颗卫星最容易发射呢？这颗卫星的环绕速度与发射速度有什么关系？
(2)如何求得第一宇宙速度？
提示：(1)轨道越低的卫星，更容易发射，故近地卫星最容易发射，发射后不需要升空，因此近地卫星的环绕速度预期发射速度相等；(2)第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，根据万有引力向心力，求出近地卫星的环绕速度即可。
名师精讲
1．第一宇宙速度，又叫环绕速度，是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度。
2．推导地球的第一宇宙速度
方法1：
→→
方法2：
→→
说明：(1)从上面的两种推导，导出了第一宇宙速度的表达式，看出第一宇宙速度是定值。若要将其值计算出来，要么知道R和M，要么知道R和g，第一宇宙速度之值仅与中心星球有关，与卫星无关。
(2)从两个表达式均可看出第一宇宙速度是环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，但第一宇宙速度又称为发射人造卫星的最小速度，这又怎样理解呢？这里所说的“发射”是指不使卫星落回地面，三种宇宙速度都可以达到这个要求，但是只有第一宇宙速度才是不使卫星落回地面的最小速度。在环绕运动中虽然距地面越高环绕速度小，但是向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难，因为向高轨道发射卫星火箭要克服地球对它的引力而做更多的功。
(3)由第一宇宙速度的两种表达式看出，第一宇宙速度之值由中心星体决定，可以说任何一颗行星都有自己的第一宇宙速度，都应以v＝或v＝表示，式中G为引力常量，M为中心星球的质量，g为中心星球表面的重力加速度，R为中心星球的半径。
警示 (1)当11.2 km/s＞v＞7.9 km/s时：卫星绕地球旋转，其轨道或者是圆或者是椭圆。如果是椭圆，地球位于一个焦点上。
(2)当16.7 km/s＞v≥11.2 km/s时：卫星脱离地球的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”。
(3)当v≥16.7 km/s时：卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以外的空间中去。
不同的星体上的宇宙速度是各不相同的。以上给出的速度值是地球上的宇宙速度值。天体的质量越大，半径越小，其宇宙速度值就越大。
(4)不同的星体的宇宙速度是各不相同的，以上给出的速度值是地球上的宇宙速度值，天体的质量越大，半径越小，其宇宙速度值就越大。
【例2】 若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为( )
A．16 km/s B．32 km/s C．4 km/s D．2 km/s
点拨：此类题要结合第一宇宙速度的计算公式进行对比分析来计算。
解析：由G＝m得v＝。
因为行星的质量M′是地球质量M的6倍，半径R′是地球半径R的1.5倍，即M′＝6M，R′＝1.5R，得：
＝＝＝2
即v′＝2v＝2×8 km/s＝16 km/s。
答案：A
题后反思 计算第一宇宙速度有两种方法：
(1)由G＝m得：v＝；
(2)由mg＝m得：v＝。
探究三 对地球同步卫星的理解
问题导引
地球上空分布着许多的同步卫星，在地面上的人看来，始终静止不动，请思考：
(1)这些同步卫星是否就真的静止不动呢？
(2)这些同步卫星有什么共同的特点呢？
提示：(1)这些同步卫星都在绕地心做匀速圆周运动，地球的万有引力提供向心力；(2)卫星相对于地球静止，因此卫星绕地球运动的周期一定等于地球自转的周期。
名师精讲
1．概念
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通信卫星。
2．特点
特点
理解
周期一定
同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，即T＝24 h
角速度一定
同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度
轨道一定
由于同步卫星绕地球的运动与地球的自转同步，决定了同步卫星的轨道平面应与赤道平面重合。由G＝mr得r＝，所有同步卫星的轨道半径相同
环绕速度
大小一定
由v＝知所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的(3.08 km/s)
向心加速度
大小一定
由G＝ma得a＝，所有同步卫星运动的向心加速度大小都相同
特别提醒 (1)所有同步卫星的周期T、轨道半径r、环绕速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同。
(2)所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，它们都在同一轨道上运动且都相对静止。
【例3】 (多选)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述正确的是( )
A．卫星距地面的高度为
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为G
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
解析：由G＝m(R＋h)，得卫星距地面的高度为－R，选项A错误。第一宇宙速度是最小的发射卫星的速度，卫星最大的环绕速度，选项B正确。同步卫星距地面有一定的高度h，受到的向心力大小为G，选项C错误。由G＝ma卫星运行的向心加速度为a＝，由G＝mg得地球表面的重力加速度为g＝，选项D正确。
答案：BD
题后反思 同步卫星与一般的卫星遵循同样的规律，所以解决一般卫星问题的思路、公式均可运用在同步卫星问题的解答中。同步卫星同时又具备自身的特殊性，即有确定的周期、角速度、加速度、线速度、高度、轨道半径、轨道平面。
探究四 卫星的变轨问题分析
问题导引
如图是嫦娥飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图，请思考：从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？从奔月轨道进入月球轨道，又采取什么措施呢？
提示：从绕地球运动的轨道上加速，使飞船做离心运动，飞船转移到奔月轨道；要进入月球轨道，飞船应减速。
名师精讲
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力。由G＝m，得v＝，由此可知轨道半径r(卫星到地心的距离)越大，卫星的速度v越小。当卫星由于某种原因速度v突然改变时，F和m不再相等，因此就不能再根据v＝来确定r的大小。
1．当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝知其运行速度要减小。
2．当卫星的速度减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝知运行速度将增大。(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)
【例4】 (多选)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的速率等于在轨道Ⅰ上经过A的速率
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
解析：根据开普勒定律，近地点的速度大于远地点的速度，选项A正确；由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道，需要在A点减速，选项B错误；根据开普勒定律，＝k，R2＜R1，所以T2＜T1，选项C正确；在轨道Ⅱ上经过A点与在轨道Ⅰ上经过A点时航天飞机受力一定，即F＝G，由a＝知选项D错误。
答案：AC
题后反思 航天飞机沿椭圆轨道运动时，G≠m，所以不能根据万有引力等于向心力来比较航天飞机在圆周轨道和椭圆轨道上的速度大小。变轨时，航天飞机减速，可从高轨道转移到低轨道；加速时，可从低轨道转移到高轨道。
触类旁通 卫航天飞机在轨道Ⅱ上运动经过B点的线速度大于还是小于航天飞机在轨道Ⅰ上运动的线速度呢？
提示：航天飞机在轨道Ⅱ上运动经过B点的线速度要大于在与B点内切的圆周轨道上的线速度，而航天飞机在与B点内切的圆周轨道上的线速度要大于在轨道Ⅰ上运动的速度，所以卫航天飞机在轨道Ⅱ上运动经过B点的线速度大于在轨道Ⅰ上运动的线速度。
第六节 经典力学的局限性
课堂探究
探究一 经典力学与相对论、量子理论的比较
问题导引
如图为设在美国伊利诺伊州费米实验室的圆形粒子加速器(或称同步回旋加速器)，电子经加速器加速后，能量可达到100 GeV，电子速度达到0.999 999 999 987倍的光速。这时经典力学的规律还适用吗？
提示：经典力学在低速运动的广阔领域(包括天体力学的研究)中，经受了实践的检验，取得了巨大的成就，但在高速领域不再适用。
名师精讲
1．经典力学适用于低速运动的物体，不适用于高速(接近光速)运动的物体，狭义相对论阐述物体在以接近光的速度运动时所遵从的规律。
2．经典力学适用于宏观世界，一般不适用于微观粒子，而量子力学则能够正确描述微观粒子的运动规律。
3．在弱引力的情况下，牛顿万有引力定律与实验结果符合的很好，而在强引力的情况下，万有引力定律不再适用。而爱因斯坦的广义相对论则能够解释强引力情况下的作用规律。
4．相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的特殊情形。
警示 经典力学的适用范围是宏观，低速，弱引力等，但对于微观、高速、强引力问题却不适用。量子力学则能够正确描述微观粒子的运动规律，而高速、强引力问题则要用相对论去解释。
【例1】 (多选)关于经典力学和狭义相对论，以下说法中正确的是( )
A．经典力学只适用于低速运动，不适用于高速运动(速度接近真空中的光速)
B．狭义相对论只适用于高速运动(速度接近真空中的光速)，不适用于低速运动
C．经典力学既适用于低速运动，也适用于高速运动(速度接近真空中的光速)
D．狭义相对论既适用于高速运动(速度接近真空中的光速)，也适用于低速运动
解析：狭义相对论既适用于高速运动的物体，也适用于低速运动的物体，经典力学是狭义相对论在一定条件下的特殊情形，只适用于低速运动的物体。
答案：AD
题后反思 要比较经典力学和相对论的区别，关键不但要知道各自的适用范围，还要区分开两个速度：速度远小于真空中光速的，称为低速；速度接近于真空中光速的，称为高速。
探究二 从低速到高速引起的变化
问题导引
爱因斯坦的狭义相对论指出，物体的质量随速度的增大而增大，即m＝，其中m0为物体静止时的质量，m是物体速度为v时的质量，c是真空中的光速。但日常生活中，我们并没有发现物体的质量随物体运动速度的变化而变化，为什么呢？
提示：在宏观物体的运动中，v?c，所以质量变化不大，而不是因为物体的质量太大或无法测量，也不是因为质量不随速度的变化而变化。
名师精讲
1．低速与高速的概念
通常所见物体的运动皆为低速运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造地球卫星及宇宙飞船等。有些微观粒子在一定条件下其速度可以与光速相接近，这样的速度称为高速。
2．速度对质量的影响
在经典力学中，物体的质量是不变的，但爱因斯坦的狭义相对论指出，物体的质量随速度的增大而增大，即m＝，其中m0为物体静止时的质量，m是物体速度为v时的质量，c是真空中的光速。在高速运动时，质量的测量是与运动状态密切相关的。
3．速度对物理规律的影响
对低速运动问题，一般用经典力学规律来处理。对高速运动问题，经典力学已不再适用，需要用相对论知识来处理。
【例2】 (多选)关于公式m＝，下列说法中正确的是( )
A．公式中的m0是物体以速度v运动时的质量
B．当物体的运动速度v＞0时，物体的质量m＞m0，即物体的质量改变了，故经典力学不适用
C．当物体以较小速度运动时，质量变化十分微弱，经典力学理论仍然适用，只有当物体以接近光速运动时，质量变化才明显，故经典力学适用于低速运动，而不适用于高速运动
D．通常由于物体的运动速度太小，故质量的变化引不起我们的感觉。在分析地球上物体的运动时，不必考虑质量的变化
解析：公式中的m0是物体静止时的质量，m是物体以速度v运动时的质量，故A错误；由公式可知，只有当v接近光速时，物体的质量变化才明显，一般情况下物体的质量变化十分微小，故经典力学仍然适用，B错误，CD正确。
答案：CD
题后反思 低速运动的物体质量可以认为不发生变化，但当物体的速度接近光速时，物体的运动质量m与静止质量m0就会存在较大差别。
第四节 万有引力理论的成就
课堂探究
探究一 计算被环绕天体质量的几种方法
问题导引
观察下面两幅图片，请思考：(1)如果知道自己的重力，你能否求出地球的质量；(2)如何能测得太阳的质量呢？
提示：(1)人的重力近似认为等于受到的万有引力，根据mg＝G可求地球质量；(2)地球绕太阳转动时的向心力由万有引力提供，根据＝m()2r可求太阳质量。
名师精讲
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。下面以地球质量的计算为例，介绍几种关于天体质量的方法。
已知条件
求解方法
已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T，半径为r
由＝m()2r得M＝
已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v
由＝m得M＝
已知卫星运行的线速度v和运行周期T
由＝mv和＝m得M＝
已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g
由mg＝G得M＝
特别提醒 (1)利用万有引力提供向心力的方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量。
(2)若已知星球表面的重力加速度g′和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有＝mg，所以M＝。
其中GM＝gR2是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为“黄金替换”。
【例1】 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v0，，假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N0，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B. C. D.
解析：卫星在行星表面附近做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有G＝m′，宇航员在行星表面用弹簧测力计测得质量为m的物体的重为N0，则G＝N0，解得M＝，B项正确。
答案：B
题后反思 求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据重力等于万有引力，即mg＝G，求得M＝；另一种方法是根据万有引力等于向心力，即G＝m()2r，求得M＝。当然，无论哪种方法只能求中心天体的质量。
探究二 应用万有引力定律分析计算天体运动的问题
问题导引
2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观。这是6万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5 576万千米，为人类研究火星提供了最佳时机。如图所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，请思考：
(1)该时刻火星和地球谁的速度大呢？
(2)在经过一年时间，火星是否又回到了原位置？
提示：(1)火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动G＝m，可得v＝，故地球的速度大；(2)在经过一年，地球回到原来位置，火星的周期大于地球的周期，火星还没有回到原位置。
名师精讲
1．两条思路——两个重要的关系式
(1)质量为m的行星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得G＝man＝m＝mω2r＝m()2r。
(2)质量为m的物体在地球(星体)表面受到的万有引力等于其重力，即G＝mg。
2．几个重要的物理量
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由G＝m得v＝，r越大，天体的v越小。
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，天体的ω越小。
(3)由G＝m()2r得T＝2π，r越大，天体的T越大。
(4)由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小。
利用上述结论可以对行星运动的线速度v、角速度ω、周期T以及向心加速度an等进行定性分析，也可以进行定量计算。
【例2】 (多选) 如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
A．速度大 B．向心加速度大 C．运动周期长 D．角速度小
解析：飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即＝＝mω2R＝m()2R，可判断飞船在2轨道上速度小，向心加速度小，周期长，角速度小，正确选项为CD。
答案：CD
题后反思 解决该类问题要紧扣两个关键：一是紧扣一个物理模型：就是将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动；二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体(或卫星)的向心力由万有引力提供。还要记住一个结论：在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中，只有周期的值随着轨道半径的变大而增大，其余的三个都随轨道半径的变大而减小。
探究三 双星问题的分析思路
问题导引
宇宙中两颗靠得很近的天体构成一个“双星系统”，两颗天体以它们连线上的一点为圆心，做匀速圆周运动，两天体及圆心始终在同一条直线上。请思考：
(1)“双星系统”中的两颗天体做圆周运动的向心力由什么力提供？
(2)两颗天体做应注意的周期有什么关系？
提示：(1)两颗天体做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供；(2)因两天体及圆心始终在同一条直线上，所以两颗天体转动的周期必定相同。
名师精讲
1．双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源
双星中两颗子星相互绕着旋转可看作是匀速圆周运动，其向心力由两颗恒星间的万有引力提供。由于力的作用是相互的，所以两颗子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。
2．双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系
两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。
3．两子星做圆周运动的动力学关系
设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度为ω，由万有引力定律和牛顿第二定律得
对M1：G＝M1＝M1r1ω2
对M2：G＝M2＝M2r2ω2
警示在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。
【例3】 (多选)两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法正确的是( )
A．它们做圆周运动的角速度之比与其质量成正比
B．它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比
C．它们做圆周运动的半径之比与其质量成正比
D．它们做圆周运动的半径之比与其质量成反比
解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等，选项A错误；由v＝rω得线速度与两子星做圆周运动的半径成正比，因两子星圆周运动的向心力是由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由G＝M1r1ω2和G＝M2r2ω2可知：M1r1ω2＝M2r2ω2，所以它们的轨道半径与其质量成反比，选项D正确、C错误；而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与其质量也成反比，选项B正确。
答案：BD
题后反思 解决双星模型的习题时，应注意以下几点：其一，两星之间的万有引力提供各自所需要的向心力；其二，两星绕某一圆心做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同；其三，两星的轨道半径之和等于两星间的距离。
