《实际问题与二次函数》
《实际问题与二次函数》是在学生学习了本章的二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程等知识之后对二次函数知识应用的深入推进，它是学生学习数学知识的归宿．新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题．而本节解决的最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一。
本节教材是利用二次函数的最大值解决几类实际问题，一开始通过抛球的最大高度问题让学生先求出函数的解析式，再求出使函数值晨大的自变量的值．在此问题的基础上引出直接根据函数解析式求二次函数的最大值或最小值的结论。紧接着通过探究场地最大面积、商品最大利润、水面宽度等三个实际应用问题，每个问题都是建立二次函数模型，利用二次函数的图象和性质来解决的，让学生深刻体会了二次函数的实际应用价值。
【知识与能力目标】
1、会求二次函数的最小（大）值；
2、能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值。
【过程与方法目标】
经历利用二次函数的最值解决实际问题的过程体会数学建模思想，感受数学来源于生活，又服务于生活。
【情感态度价值观目标】
通过将二次函数的最大值的知识灵活运用于实际，让学生体会到数学的价值，提高学生学习数学的兴趣。
【教学重点】
从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最大(小)值解决实际问题。
【教学难点】
从现实问题中建立二次函数模型。
课前准备
多媒体课件、教具等。
教学过程
一、创设情境，引入新课
问题1 填空：（1）二次函数?的图象和性质?
①当?a>0?时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____，顶点坐标是______?；
②当?a<0?时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____?，顶点坐标是______。
（2）二次函数?的图象和性质?
①当?a>0?时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____，顶点坐标是______；??
②当?a<0?时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____，顶点坐标是______。
问题2 某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．你知道销售单价定为多少元时，商店获利最大吗？
在现实生活中，我们常常会遇到类似于问题2中的最值问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。从这节课开始，我们就共同解决这几个问题。
设计意图：问题1复习二次函数的图象和性质，并由二次函数的解析式可以求出相应函数的最大（小）值，为本节课根据函数最值解决实际问题作准备；问题2通过商品销售最大利润问题引出本节课所要解决的问题，激发学生的学习热情。
二、探索新知，形成概念
问题3 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
追问1：上面的问题中有哪几个变量？
问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．
追问2：计算当t＝1、t＝2、t＝3、t＝4、t＝5、t＝6时，h的值分别是多少？
t
0
1
2
3
4
5
6
h
0
25
40
45
40
25
0
追问3：你能根据表格中的数据，画出函数 (0≤t≤6)的图象吗？
追问4：根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
归纳：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值。
追问5：能直接根据函数的解析式求出它的顶点坐标和最大值吗？
当t＝－＝－＝3时，h有最大值＝＝45。
答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m。
追问6：对于一般形式的二次函数的最小（大）值又是怎么的呢？
归纳：当a＞0（a＜0），抛物线的顶点是最低（高）点，也就是说，当时，二次函数有最小（大）值。
三、运用新知，深化理解
例1：用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
分析：先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值。
解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长（－l） m．场地的面积，即（0＜l＜30）。
因此，当l＝－＝－＝15时，S有最大值＝＝225．也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大。
例2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整的价格包括涨价和降价两种情况。
（1）我们先看涨价的情况．
设每件涨价x元，每星期则少卖l0x件，实际卖出(300－l0x)件，销售额为(60 + x) (300－l0x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60+x)(300－l0x)一40(300－l0x)，即。
列出函数解析式后，引导学生怎样确定x的取值范围呢？
由300－l0x≥0，得x≤30．再由x≥0，得0≤x≤30。
根据上面的函数，可知：
当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元。
（2）我们再看降价的情况。
设每件降价x元，每星期则多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x) (300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元．因此，所得利润
y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即。
怎样确定x的取值范围呢？
由降价后的定价(60－x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x≤20．
当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元。
由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？
结论：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大。
追问：现在可以解决课前提出的问题2中的最大利润问题了吗？
分析： 设每件商品降价x元，总利润为y元，则y＝(13.5－x－2.5)(500＋200x)，即，顶点坐标为（4.25，9112.5），即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5－4.25＝9.25时，可取得最大利润9112.5元。
例3：下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适应的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。
如上图，设这条抛物线表示的二次函数为．由抛物线经过点(2，－2)，可得
， ．这条抛物线表示的二次函数为。
当水面下降1m时，水面的纵坐标为－3，根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为，，据此可求出这时的水面宽度是。
答：水面下降1m，水面宽度增加（）m。
四、学生练习，巩固新知
练习1 已知：正方形ABCD的边长为4，E是BC上任意一点，且AE=AF，若EC=x，请写出△AEF的面积y与x之间的函数关系式，并求出x为何值时y最大。
提示：，当x＝4时，y有最大值8．
练习2 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示。
根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是。
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?
提示：问题（1）就是求函数的最大值，问题（2）就是求右图B点的横坐标。
五、课堂小结，梳理新知
师生共同回顾本节内容，并请学生回答下列问题：
⒈本节课学习了哪些主要内容？
⒉本节课你有什么收获和体会？
⒊对本节课所学知识你还有哪些疑惑？
运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量之间的关系，然后利用二次函数的图象与性质求解，从而获得实际问题的答案。
六、布置作业，优化新知
1、教科书习题22.3第2题，第3题，第5题；（必做题）
2、教科书习题22.3第6题，第8题，第9题．（选做题）
课件16张PPT。问题引入问题1 填空（1）二次函数?的图象和性质?
①当?a>0?时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____，顶点坐标是______?；
②当?a<0?时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____?，顶点坐标是______。??
（2）二次函数?的图象和性质?
①当?a>0?时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____，顶点坐标是______；??
②当?a<0?时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____，顶点坐标是______。问题2 某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。你知道销售单价定为多少元时，商店获利最大吗？问题引入探究新知问题3 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是 (0≤t≤6)。小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？追问1：上面的问题中有哪几个变量？
两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）。
追问2：计算当t＝1、t＝2、t＝3、t＝4、t＝5、t＝6时，h的值分别是多少？
追问3：你能根据表格中的数据，画出这个函数 (0≤t≤6)的图象吗？探究新知追问4：根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
归纳：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值。
追问5：能直接根据函数的解析式求出它的顶点坐标和最大值吗？
追问6：对于一般形式的二次函数 的最小（大）值又是怎么的呢？
归纳：当a＞0（a＜0），抛物线 的顶点是最低（高）点，也就是说，当 时，二次函数有最小（大）值 。 探究新知例1：用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化。当l是多少米时，场地的面积S最大？应用新知分析：先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值。例2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？应用新知分析：调整的价格包括涨价和降价两种情况。
（1）我们先看涨价的情况。
设每件涨价x元，每星期则少卖l0x件，实际卖出(300－l0x)件，销售额为(60 + x) (300－l0x)元，买进商品需付40(300－10x)元。因此，所得利润y＝(60+x)(300－l0x)一40(300－l0x)，
即 。
列出函数解析式后，引导学生怎样确定x的取值范围呢？
由300－l0x≥0，得x≤30。再由x≥0，得0≤x≤30。
根据上面的函数，可知：当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元。应用新知（2）我们再看降价的情况。
设每件降价x元，每星期则多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x) (300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元．因此，所得利润y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，
即 。
怎样确定x的取值范围呢？
由降价后的定价(60－x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x≤20。
当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元。应用新知由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？
结论：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大。
追问：现在可以解决课前提出的问题2中的最大利润问题了吗？
分析： 设每件商品降价x元，总利润为y元，则y＝(13.5－x－2.5)(500＋200x)，即 ，顶点坐标为（4.25，9112.5），即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5－4.25＝9.25时，可取得最大利润9112.5元。应用新知例3：下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适应的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数。为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。应用新知练习1 已知：正方形ABCD的边长为4，E是BC上任意一点，且AE=AF，若EC=x，请写出△AEF的面积y与x之间的函数关系式，并求出x为何值时y最大。巩固新知练习2 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示。
根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是 。
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?巩固新知课堂小结师生共同回顾本节内容，并请学生回答下列问题：
⒈本节课学习了哪些主要内容？
⒉本节课你有什么收获和体会？
⒊对本节课所学知识你还有哪些疑惑？
运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量之间的关系，然后利用二次函数的图象与性质求解，从而获得实际问题的答案。课外作业1、教科书习题22.3第2题，第3题，第5题；（必做题）
2、教科书习题22.3第6题，第8题，第9题。（选做题）
