【人教A版】2017-2018学年高中数学选修4-1学业分层测评打包（Word版，含答案）

章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图1，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列式子：
图1
①＝；②＝；③＝；④＝.
其中正确式子的个数有(　　)
A．4个　　　 B．3个
C．2个 D．1个
【解析】　由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选B.
【答案】　B
2．如图2，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为(　　)
【导学号：07370024】
图2
A．1∶4 B．1∶3
C．1∶2 D．1∶5
【解析】　由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，得S△ADE∶S△ABC＝1∶9，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵2＝＝，
∴＝，
∴AD∶DB＝1∶2.
【答案】　C
3．如图3所示，将△ABC的高AD三等分，过每一分点作底面平行线，这样把三角形分成三部分，则这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3等于(　　)
图3
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4
C．1∶3∶5 D．3∶5∶7
【解析】　如图所示，E，F分别为△ABC高AD的三等分点，过点E作BC的平行线交AB，AC于点M，N，过点F作BC的平行线交AB，AC于点G，H.△AMN∽△ABC，＝，∴S1＝S△ABC.
又△AGH∽△ABC，＝，S△AGH＝S1＋S2，
∴S1＋S2＝S△ABC，
∴S2＝S△ABC，∴S3＝S△ABC，
∴S1∶S2∶S3＝1∶3∶5，故选C.
【答案】　C
4．如图4，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD＝3CE，DE交BC于F，则DF∶FE等于(　　)
图4
A．5∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
【解析】　过D作DG∥AC，交
BC于G，
则DG＝DB＝3CE，
即CE∶DG＝1∶3.
易知△DFG∽△EFC，
∴DF∶FE＝DG∶CE，
所以DF∶FE＝3∶1.
【答案】　C
5．如图5所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：
图5
①△AOB∽△COD；
②△AOD∽△ACB；
③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；
④S△AOD＝S△BOC.
其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3　　　 D．4
【解析】　∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确．由①知，＝.S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正确．
∵S△ADC＝S△BCD，
∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，
∴S△AOD＝S△BOC，④正确．
故①③④正确．
【答案】　C
6．如图6所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高(　　)
图6
A．11.25 m B．6.6 m
C．8 m D．10.5 m
【解析】　本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1 m，OB＝16 m，高CE＝0.5 m，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝ 8 m.
【答案】　C
7．如图7所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40 cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为(　　)
图7
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
【解析】　∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，
∴△ABE∽△DBA.
∴S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.
∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5，
∴AB2∶DB2＝1∶5，
∴AB∶DB＝1∶.
设AB＝k，DB＝k，则AD＝2k.
∵S矩形＝40 cm2，∴k·2k＝40，
∴k＝2，
∴BD＝k＝10，AD＝4，
S△ABD＝BD·AE＝20，即×10·AE＝20，
∴AE＝4 cm.
【答案】　A
8．如图8，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是 △ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是(　　) 【导学号：07370025】
图8
A.－1 B.
C．1 D.
【解析】　由题意可知，阴影部分与△ABC相似，且等于△ABC面积的，∴A′B∶AB＝＝1∶.
又∵AB＝，∴A′B＝1，
∴AA′＝－1.
【答案】　A
9．如图9所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BD∶AD＝(　　)
图9
A.　　　　　 B.
C. D.
【解析】　设CD＝，则AD＝3，BD＝1，∴＝.
【答案】　A
10．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD的长为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
【解析】　如图，连接AC，CB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
由射影定理得CD2＝AD·DB，
即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9.
∵AD>BD，∴AD＝9.
【答案】　B
11.某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图10所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，还需资金(　　)
图10
A．500元 B．1 500元
C．1 800元 D．2 000元
【解析】　在梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AMD∽△BMC，
AD＝10 m，BC＝20 m，
＝2＝，
∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)，∴S△BMC＝200 m2，
则还需要资金200×10＝2 000(元)．
【答案】　D
12．如图11所示，将一个矩形纸片BADC沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为(　　)
图11
A．1∶ B．1∶
C.∶1 D.∶1
【解析】　∵矩形AEFB∽矩形ABCD，∴BF∶AB＝AB∶AD.
∵BF＝AD，∴AB2＝AD2，∴AD∶AB＝∶1.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)
13．如图12，已知DE∥BC，且BF∶EF＝4∶3，则AC∶AE＝________.
图12
【解析】　∵DE∥BC，
∴＝，
同理＝，
∴＝＝＝.
【答案】　4∶3
14．如图13，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于________米. 【导学号：07370026】
图13
【解析】　如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB.
∴△GCD∽△ABD，∴＝.
设BC＝x，则＝，同理，得＝.
∴＝，∴x＝3，∴＝，
∴AB＝6(米)．
【答案】　6
15．如图14所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，且AD，BE交于点G，那么＝________.
图14
【解析】　∵AD，BE是△ABC的中线，且AD交BE于G，
∴G是△ABC的重心，∴＝，
∴＝，
又∵D为BC的中点，∴＝，∴＝.
【答案】　
16．如图15，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则DE＝________.
图15
【解析】　法一：因为AB＝，BC＝3，所以AC＝＝2，tan ∠BAC＝＝，所以∠BAC＝.在Rt△BAE中，AE＝ABcos ＝，则CE＝2－＝.在△ECD中，DE2＝CE2＋CD2－2CE·CDcos ∠ECD＝2＋()2－2×××＝，故DE＝.
法二：如图，作EM⊥AB交AB于点M，作EN⊥AD交AD于点N.因为AB＝，BC＝3，所以tan ∠BAC＝＝，则∠BAC＝，AE＝ABcos ＝，NE＝AM＝AEcos＝×＝，AN＝ME＝AEsin ＝×＝，ND＝3－＝.在Rt△DNE中，DE＝＝＝.
【答案】　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图16，点E是四边形ABCD的对角线上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
图16
(1)求证：BE·AD＝CD·AE；
(2)根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想．
【解】　(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAC.
∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD，∴＝，
即BE·AD＝CD·AE.
(2)猜想：＝.
证明：∵由(1)△ABE∽△ACD，∴＝，
又∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD，
∴＝.
18．(本小题满分12分)如图17，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的一点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，试求PQ的长．
图17
【解】　∵PQ⊥PC，
∴∠APQ＋∠BPC＝90°，
∴∠APQ＝∠BCP，
∴Rt△APQ∽Rt△BCP.
∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，
∴PB＝3，AP＝1，∴＝，
即AQ＝＝＝，
∴PQ＝＝ ＝.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度数．
【解】　(1)当AD在△ABC内部时，如图(1)，由AD2＝BD·DC，可得△ABD∽△CAD.
∴∠BCA＝∠BAD＝65°；
(2)当AD在△ABC外部时，如图(2)，
由AD2＝BD·DC，得△ABD∽△CAD，
∴∠B＝∠CAD＝25°，
∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°.
故∠BCA等于65°或115°.
20．(本小题满分12分)如图18所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：
图18
(1)△ABC∽△EDC；
(2)DF＝EF.
【证明】　(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝2.5，
∴＝＝＝，∴△ABC∽△EDC.
(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，
∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，
∴∠CDF＝∠DCF.
∴DF＝CF.①
由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.
∴∠ECF＝∠CEF，
∴CF＝EF.②
由①②，知DF＝EF.
21．(本小题满分12分)已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点，直线BP交直线DC于F，交CE于E，且CE∥AB.
(1)若点P在梯形内部，如图19(1)．
求证：BP2＝PE·PF.
(2)若点P在梯形的外部，如图19(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(1)　　　　　　(2)
图19
【解】　(1)证明：连接PC，因为MN是梯形ABCD的对称轴，所以PB＝PC，
∠PBC＝∠PCB.
因为梯形ABCD是等腰梯形，
所以∠ABC＝∠DCB，
即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，
所以∠ABP＝∠DCP.
又因为CE∥AB，所以∠E＝∠ABP＝∠DCP，
而∠CPE＝∠FPC，所以△CPE∽△FPC.
所以＝，即PC2＝PE·PF，
又因为PC＝BP，所以BP2＝PE·PF.
(2)结论成立．证明如下：
连接PC，
由对称性知PB＝PC，
所以∠PBC＝∠PCB.
因为梯形ABCD是等腰梯形，
所以∠ABC＝∠DCB，
所以∠ABC＋∠PBC＝∠DCB＋∠PCB，
即∠ABP＝∠DCP.
因为CE∥AB，所以∠ABP＋∠PEC＝180°，而∠DCP＋∠PCF＝180°，
所以∠PEC＝∠PCF.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△EPC∽△CPF.
所以＝，即PC2＝PE·PF，
所以BP2＝PE·PF.
22．(本小题满分12分)如图20，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上的一点，＝(m，n>0)．取CF的中点D，连接AD并延长交BC于E.
图20
(1)求的值；
(2)如果BE＝2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；
(3)E点能否为BC中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论．
【导学号：07370027】
【解】　(1)如图所示，作CG∥AB交AE的延长线于G.
在△GCD与△AFD中，
∠G＝∠FAD，∠CDG＝∠FDA，DC＝DF，
∴△GCD≌△AFD，∴GC＝AF.
在△ABE和△GCE中，
∠BAE＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE∽△GCE.∵＝(m，n>0)，
∴＝＝＝＋1＝＋1.
(2)∵BE＝2EC，∴＝2.
由(1)知＝＋1，∴＝1.
∴BF＝AF，F为AB的中点．
∵AC＝BC，∴CF⊥AB，∴CF所在的直线垂直平分边AB.
(3)不能．∵＝＋1，而>0，∴>1，
∴BE>EC.
∴E不能为BC的中点．
章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.如图1，已知AB∥A′B′，BC∥B′C′，那么下列比例式成立的是(　　)
图1
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【解析】　∵AB∥A′B′∴＝.同理＝，
∴＝，∴A不成立．
＝＝，∴＝，∴B成立．
由于＝，∴AC∥A′C′，
∴＝，∴C不成立．
＝＝，∴D不成立．
【答案】　B
2．PAB为过圆心O的割线，且PA＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC长为(　　) 【导学号：07370057】
A．4　　　　 B.　　　　
C．24　　　　 D．2
【解析】　由题意知PA·PB＝PC·PD，
设PC＝x，则PD＝2x，
∴2x·x＝4×12，∴x＝2，即PC＝2.
【答案】　D
3．如图2，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则的值为(　　)
图2
A.　　　　　　 B.
C. D.
【解析】　由题意得，CD2＝AD·BD，
∴BD＝.又AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
则＝＝，故＝.
【答案】　A
4．如图3，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)
图3
A．40° B．55°
C．65° D．70°
【解析】　∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°.
【答案】　B
5．如图4，四边形BDEF是平行四边形，如果CD∶DB＝2∶3，那么S?BDEF是S△ABC的(　　)
图4
A. B.
C. D.
【解析】　因为DE∥AB，所以△CDE∽△ABC，
所以＝2.
又CD∶DB＝2∶3，所以CD∶CB＝2∶5，
所以＝2＝2＝，
所以S△CDE＝S△ABC.
因为DE∥AB，所以＝＝，所以＝.
同理，S△AFE＝S△ABC.
所以S?BDEF＝S△ABC－S△AFE－S△EDC
＝S△ABC－S△ABC－S△ABC＝S△ABC.
【答案】　D
6．如图5，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10，tan∠BAC＝，则阴影部分的面积为(　　)
图5
A.π B.π－24
C．24 D.＋24
【解析】　∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∵tan∠BAC＝，∴sin∠BAC＝.
又∵sin∠BAC＝，AB＝10，
∴BC＝×10＝6，AC＝×BC＝×6＝8，
∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝×π×52－×8×6＝π－24.
【答案】　B
7．如图6，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为(　　)
图6
A.　　　　 B.
C. D．非上述结论
【解析】　用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30°角，则离心率e＝sin 30°＝.
【答案】　A
8．如图7，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD＝DC，∠ADB＝20°，则∠ACB，∠DBC分别为(　　)
图7
A．15°与30° B．20°与35°
C．20°与40° D．30°与35°
【解析】　∵∠ADB＝20°，
∴∠ACB＝∠ADB＝20°.
又∵BC为⊙O的直径，
∴的度数为180°－40°＝140°.
∵D为的中点，∴的度数为70°，
∴∠DBC＝＝35°.
【答案】　B
9．如图8，AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB＝6，CD＝2，则线段AC的长度为(　　)
图8
A．5 B.
C. D．3
【解析】　连接BC，∵AB垂直平分CD，
∴CP2＝AP·PB.设PB＝x，则AP＝6－x，
∴x(6－x)＝5，∴x1＝1，x2＝5(由题图可知，不合题意，舍去)，即AP＝5.
又CP＝＝，∴AC＝＝.
【答案】　C
10．如图9，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D，点B，若∠A＝45°，则△AEC与△ADB的面积比为(　　)
图9
A．2∶1　　　　　 B．1∶2
C.∶1 D.∶1
【解析】　连接BE，求△AEC与△ABD的面积比，即求AE2∶AB2的值．设AB＝a，∵∠A＝45°，
CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°，
∴BE＝AB＝a，∴AE＝a，
∴AE2∶AB2＝2a2∶a2，
即AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1.
【答案】　A
11.如图10所示，球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱和球，得到的截面图有可能是(　　)
图10
A．①②④ B．①②③
C．②③④ D．①②③④
【解析】　如图所示，连接AB，AB为圆柱的轴，当平面与AB垂直且过AB中点时，截得图形是图①.当平面与AB垂直不过AB中点时，截得图形是两个同心圆，是图②.当平面经过轴AB时，截得的图形是图③.当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图④.故有可能的图形是①②③④.
【答案】　D
12．如图11，已知△ABC中，＝，＝，AD，BE交于F，则·的值为(　　)
图11
A. B.
C. D.
【解析】　过D作DG∥BE交AC于G.
∵＝，∴＝，
∴＝＝，
∴DG＝BE.
又＝＝，∴EG＝EC.
又＝，∴EC＝AE，
∴＝＝
＝＝，
∴FE＝DG＝×BE＝BE，
∴＝，＝＝，
∴·＝×＝.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)
13．如图12，点E，F分别在AD，BC上，已知CD＝2，EF＝3，AB＝5，若EF∥CD∥AB, 则等于________．
【导学号：07370058】
图12
【解析】　如图，过C作CH∥DA交EF于G，交AB于H，则EG＝AH＝DC＝2，GF＝1，BH＝3.
∵GF∥HB，∴＝＝，∴＝.
【答案】　
14．(2016·重庆七校联盟联考)如图13，半径为4的圆O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交圆O于点E，则线段DE的长为________．
图13
【解析】　延长BO交圆O于点F，则DF＝6，BD＝2.由勾股定理得：AD＝＝2.
由相交弦定理得：AD·DE＝FD·DB，所以2·DE＝12?DE＝＝.
【答案】　
15．一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e＝________.
【解析】　依题意，Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长，
∴2a＝12，∴a＝6.又b＝r＝4，
∴c＝＝＝2，
∴椭圆的离心率e＝＝＝.
【答案】　
16．如图14，已知△ABC中，边AC上一点F分AC为＝，BF上一点G分BF为＝，AG的延长线与BC交于点E，则BE∶EC＝________.
图14
【解析】　过F作FD∥AE交BC于D，如图所示，
则＝＝，＝＝，故CD＝DE，BE＝DE，EC＝CD＋DE＝DE＋DE＝DE，
从而＝.
【答案】　3∶5
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2016·唐山二模)如图15所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．
图15
(1)求证：AB∥DE；
(2)求证：2AD·CD.＝AC·BC.
【证明】　(1)连接BD，因为D为的中点，所以BD＝DC.
因为E为BC的中点，所以DE⊥BC.
因为AC为圆的直径，所以∠ABC＝90°，
所以AB∥DE.
(2)因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，
又∠BAD＝∠DCB，则∠DAC＝∠DCB.
又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD，
所以＝，AD·CD＝AC·CE,2AD·CD＝AC·2CE，
因此2AD·CD＝AC·BC.
18．(本小题满分12分)如图16，AB为⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，DC切⊙O于E，并与AD，BC分别交于D，C两点，BD与AC交于点F，求证：FE∥AD.
图16
【证明】　∵AB为⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥BC，∴＝.
∵DC与⊙O切于E，并与AD，BC分别交于D，C两点，
∴AD＝DE，BC＝CE，
∴＝，∴FE∥AD.
19．(本小题满分12分)如图17，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．
图17
【证明】　连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD，CE.
因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上．故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．
从而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE，
于是＝＝＝，
所以AB∶AC为定值．
20．(本小题满分12分)如图18所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．
图18
【解】　(1)证明：连接AB，
∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D，
又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.
(2)设BP＝x，PE＝y，
∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.①
∵AD∥EC，∴＝?＝.②
由①②得，或(舍去)，
∴DE＝9＋x＋y＝16.
∵AD是⊙O2的切线，
∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.
21．(本小题满分12分)如图19，已知⊙O和⊙M相交于A，B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为中点，连接AG分别交⊙O，BD于点E，F，连接CE.
求证：(1)AG·EF＝CE·GD；
(2)＝.
图19
【证明】　(1)如图，连接AB，AC，
∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，
∴∠CEF＝∠AGD.
∵∠DFG＝∠CFE，∴∠ECF＝∠GDF.
∵G为弧BD的中点，∴∠DAG＝∠GDF，
∴∠DAG＝∠ECF，∴△CEF∽△AGD，
∴＝，∴AG·EF＝CE·GD.
(2)由(1)知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G，
∴△DFG∽△ADG，∴DG2＝AG·GF，
由(1)知＝，∴＝.
22．(本小题满分12分)如图20，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB＝10，AC＝12.
(1)求证：BA·DC＝GC·AD；
(2)求BM.
图20
【解】　(1)证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB＝90°.
又AD是圆O的直径，所以∠DCA＝90°，
又因为∠BAG＝∠ADC(弦切角等于同弧所对圆周角)，
所以△AGB∽△DCA，所以＝.
又因为OG⊥AC，所以GC＝AG，
所以＝，即BA·DC＝GC·AD.
(2)因为AC＝12，所以AG＝6.
因为AB＝10，所以BG＝＝8，
由(1)知，Rt△AGB∽Rt△DCA，所以＝，
所以AD＝15，即圆的直径2r＝15.
又因为AB2＝BM·(BM＋2r)，即BM2＋15BM－100＝0，
解得BM＝5.
学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1-1-13，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一点O，且AO＝OB，则下列结论中错误的是(　　)
图1-1-13
A．AC＝BD B．AE＝ED
C．OC＝OD D．OD＝OB
【解析】　由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD，
由△AOC≌△BOD知AC＝BD，
但OD与OB不能确定其大小关系．
故选D.
【答案】　D
2．如图1-1-14，已知AE⊥EC，CE平分∠ACB ，DE∥BC，则DE等于(　　)
【导学号：07370003】
图1-1-14
A．BC－AC
B．AC－BF
C.(AB－AC)
D.(BC－AC)
【解析】　由已知得CE是线段AF的垂直平分线．
∴AC＝FC，AE＝EF.
∵DE∥BC，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE＝BF＝(BC－AC)．
【答案】　D
3．如图1-1-15所示，过梯形ABCD的腰AD的中点E的直线EF平行于底边，交BC于F，若AE的长是BF的长的，则FC是ED的(　　)
图1-1-15
A.倍 B.倍
C．1倍 D.倍
【解析】　∵AB∥EF∥DC，且AE＝DE，
∴BF＝FC.又∵AE＝BF，
∴FC＝ED.
【答案】　B
4．如图1-1-16，在梯形ABCD中，E为AD的中点，EF∥AB，EF＝30 cm，AC交EF于G，若FG－EG＝10 cm，则AB＝(　　)
图1-1-16
A．30 cm B．40 cm
C．50 cm D．60 cm
【解析】　由平行线等分线段定理及推论知，点G，F分别是线段AC，BC的中点，则
EG＝DC，FG＝AB，
∴
解得
【答案】　B
5.如图1-1-17，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC中点，且AE∥DC，AE交BD于点F，过点F的直线交AD的延长线于点M，交CB的延长线于点N，则FM与FN的关系为(　　)
图1-1-17
A．FM>FN　　 B．FMC．FM＝FN D．不能确定
【解析】　∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形.
∴AD＝EC＝BC，
即BE＝EC＝AD.
∴△ADF≌△EBF，
∴AF＝FE，
∴△AFM≌△EFN，
∴FM＝FN.
【答案】　C
二、填空题
6．如图1-1-18所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E，F分别为对角线BD，AC的中点，则EF＝____.
图1-1-18
【解析】　如图所示，过E作GE∥BC交BA于G.
∵E是DB的中点，
∴G是AB的中点，又F是AC的中点，
∴GF∥BC，∴G，E，F三点共线，
∴GE＝AD＝1，GF＝BC＝3，
∴EF＝GF－GE＝3－1＝2.
【答案】　2
7．如图1-1-19，已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶1，E为BD的中点，AE延长线交BC于F，则BF与FC的比值为__________．
【导学号：07370004】
图1-1-19
【解析】　过D作DG平行于BC，交AF于点G，再根据平行线等分线段定理即可解决．
【答案】　
8．如图1-1-20，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC，CD＝AD，若EG＝5 cm，则AC＝________；若BD＝20 cm，则EF＝________.
图1-1-20
【解析】　∵E为AB的中点，EF∥BD，
∴F为AD的中点．
∵E为AB的中点，EG∥AC，∴G为BD的中点，若EG＝5 cm，则AD＝10 cm，又CD＝AD＝5 cm，∴AC＝15 cm.若BD＝20 cm ，则EF＝BD＝10 cm.
【答案】　15 cm　10 cm
三、解答题
9．(2016·南京模拟)如图1-1-21，在梯形ABCD中，CD⊥BC，AD∥BC，E为腰CD的中点，且AD＝2 cm，BC＝8 cm，AB＝10 cm，求BE的长度．
图1-1-21
【解】　过E点作直线EF平行于BC，交AB于F，作BG⊥EF于G(如图)，
因为E为腰CD的中点，所以F为AB的中点，所以BF＝AB＝5 cm，
又EF＝＝＝5(cm)，
GF＝BC－FE＝8 cm－5 cm＝3 cm，
所以GB＝＝＝4 cm，
EC＝GB＝4 cm，
所以BE＝＝＝4(cm)．
10．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图1-1-22(1)，先把矩形纸ABCD对折，设折痕为MN；再把B点叠在折痕线上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF，如图(2)．想一想，为什么？
图1-1-22
【解】　利用平行线等分线段定理的推论2，
∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，
∴P为EA的中点．
∵在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴∠1＝∠3.
又∵PB∥AD，
∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.
又∵∠1与和它重合的角相等，
∴∠1＝∠2＝30°.
在Rt△AEB中，∠AEB＝60°，∠1＋∠2＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
[能力提升]
1．如图1-1-23，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的(　　)
图1-1-23
A.倍　　　　 B.倍
C.倍 D.倍
【解析】　∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.
又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，
即BF＝FD.
又∵DC＝BD，∴DC＝BF.
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.
【答案】　A
2．梯形的一腰长10 cm，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm，则此梯形的面积为(　　)
A．30 cm2 B．40 cm2
C．50 cm2 D．60 cm2
【解析】　如图，过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm，
∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．
∴梯形的面积S＝(AD＋BC)·AE
＝×5×24＝60(cm2)．
【答案】　D
3．如图1-1-24，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP，若AB＝9 cm，则AP＝__________；若PM＝1 cm，则PC＝__________.
【导学号：07370005】
图1-1-24
【解析】　由AB＝AC和AD⊥BC，结合等腰三角形的性质，得D是BC的中点．再由DN∥CP，可得N是BP的中点．同理可得P是AN的中点，由此可得答案．
【答案】　3 cm　4 cm
4．如图1-1-25所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于点M，求BM与CG的长．
图1-1-25
【解】　如图，取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于点Q，则PQ是梯形ADHE的中位线．
∵AE∥BF∥CG∥DH，
AB＝BC＝CD，
AE＝12，DH＝16，
∴＝，＝，
∴＝，
∴BM＝4.
∵PQ为梯形的中位线，
∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.
同理，CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15.
学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1-2-16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F.下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的个数是(　　)
图1-2-16
A．1　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
【解析】　∵BC∥AD，
∴＝，＝，故①④正确．
∵BF∥AD，
∴＝，故②正确．
【答案】　C
2．如图1-2-17，E是?ABCD的边AB延长线上的一点，且＝，则＝
(　　)
图1-2-17
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
【解析】　∵CD∥AB，∴＝＝，
又AD∥BC，∴＝.
由＝，得＝，
即＝，
∴＝＝.故选C.
【答案】　C
3．如图1-2-18，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则－为(　　)
【导学号：07370009】
图1-2-18
A. B．1
C. D.
【解析】　∵AD∥BM，∴＝.
又∵DC∥AN，∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴－＝－＝＝1.
【答案】　B
4．如图1-2-19，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为(　　)
图1-2-19
A．2∶1　　　 B．3∶1
C．4∶1 D．5∶1
【解析】　过D作DG∥AC交BE于G，
如图，因为D是BC的中点，
所以DG＝EC，
又AE＝2EC，
故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.
【答案】　C
5．如图1-2-20，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是(　　)
图1-2-20
A．5∶12　 B．5∶13
C．5∶19 D．5∶21
【解析】　如图，作MN∥AD交DC于点N，
∴＝.
又∵AM＝ME，
∴DN＝NE＝DE＝，
∴NC＝NE＋EC＝＋7＝.
∵PD∥MN∥QC，
∴＝＝＝.
【答案】　C
二、填空题
6．(2016·乌鲁木齐)如图1-2-21，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝CE，若AB∶AC＝3∶2，BC＝10，则DE的长为__________．
图1-2-21
【解析】　∵DE∥BC，
∴AD∶AE＝AB∶AC＝3∶2.
∵AD＝CE，
∴CE∶AE＝3∶2.
∵AE∶AC＝2∶5，
∴DE∶BC＝2∶5.
∵BC＝10，
∴DE∶10＝2∶5，
解得DE＝4.
【答案】　4
7．如图1-2-22，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，则AD∶DF＝________.
图1-2-22
【解析】　如图，过D作DG∥AC交FC于G.
则＝＝，∴DG＝BC.
又BC＝AC，∴DG＝AC.
∵DG∥AC，∴＝＝，
∴DF＝AF.
从而AD＝AF，∴AD∶DF＝7∶2.
【答案】　7∶2
8．如图1-2-23，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.
图1-2-23
【解析】　∵AD∥EF∥BC，∴＝＝＝，
∴EO＝FO，而＝＝，＝，BC＝20，AD＝12，
∴＝1－＝1－，∴EO＝7.5，∴EF＝15.
【答案】　15
三、解答题
9．线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P.如图1-2-24，当OA＝OB，且D为OA中点时，求的值．
图1-2-24
【解】　过D作DE∥CO交AC于E，
因为D为OA中点，
所以AE＝CE＝AC，＝，
因为点C为OB中点，所以BC＝CO，＝，
所以＝＝，所以PC＝CE＝AC，所以＝＝＝2.
10．如图1-2-25，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于F，求证：＋＝. 【导学号：07370010】
图1-2-25
【证明】　∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，
∴AB∥EF∥CD，
∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝＝1，
∴＋＝.
[能力提升]
1．如图1-2-26，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则＋的值为(　　)
图1-2-26
A. B．1
C. D．2
【解析】　过点D作DG∥AB交EC于点G，则＝＝＝.而＝，即＝，所以AE＝DG，从而有AF＝FD，EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝.
【答案】　C
2．如图1-2-27，已知P，Q分别在BC和AC上，＝，＝，则＝
(　　)
图1-2-27
A．3∶14 B．14∶3
C．17∶3 D．17∶14
【解析】　过点P作PM∥AC，
交BQ于M，则＝.
∵PM∥AC且＝，
∴＝＝.
又∵＝，∴＝·＝×＝，
即＝.
【答案】　B
3.如图1-2-28所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为__________．
图1-2-28
【解析】　如图，延长AD，BC交于点O，作OH⊥AB于点H.
∴＝，得x＝2h1，＝，得h1＝h2.
∴S梯形ABFE＝×(3＋4)×h2＝h1，
S梯形EFCD＝×(2＋3)×h1＝h1，
∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.
【答案】　7∶5
4．某同学的身高为1.6 m，由路灯下向前步行4 m，发现自己的影子长为2 m，求这个路灯的高．
【解】　如图所示，AB表示同学的身高，PB表示该同学的影长，CD表示路灯的高，则AB＝1.6 m，PB＝2 m，BD＝4 m.
∵AB∥CD，
∴＝，
∴CD＝＝＝4.8(m)，
即路灯的高为4.8 m.
学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1-3-12，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.其中，②～⑥中与三角形①相似的是
(　　)
图1-3-12
A．②③④　　 B．③④⑤
C．④⑤⑥ D．②③⑥
【解析】　由相似三角形判定定理知选B.
【答案】　B
2．如图1-3-13，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且＝，下列结论中正确的是(　　)
图1-3-13
A．△ABM∽△ACB
B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM
D．△CMN∽△BCA
【解析】　∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM.
∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN，
∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，∴∠AMB＝∠ANC.
又＝，
∴△ANC∽△AM B.
【答案】　B
3．如图1-3-14，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于(　　)
【导学号：07370013】
图1-3-14
A. B.
C. D.
【解析】　∵AF⊥DE，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，
∴＝＝.
【答案】　D
4．如图1-3-15，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得＝，则有(　　)
图1-3-15
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
【解析】　因为∠A＝∠C，＝＝2，所以△AED∽△CBD.
【答案】　B
5.如图1-3-16所示，已知点E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，BE，CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为(　　)
图1-3-16
A．4 B．4.5
C．5 D．6
【解析】　∵E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，∴＝＝.
又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.
【答案】　D
二、填空题
6．如图1-3-17，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，CE＝________.
图1-3-17
【解析】　在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A为公共角，∴△ACE∽△ADB，∴＝，
∴AE＝＝＝＝8，则DE＝AE－AD＝5，
在Rt△ACE中，CE＝＝＝2.
【答案】　5　2
7．如图1-3-18，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.
图1-3-18
【解析】　由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可以推得：
Rt△ABE∽Rt△ADC，故＝
∴AE＝＝2.
【答案】　2
8.如图1-3-19，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________. 【导学号：07370014】
图1-3-19
【解析】　∵DE∶EC＝1∶2，
∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.
∵AB∥EC，
∴△ABF∽△CEF，
∴＝＝，∴＝.
【答案】　3∶5
三、解答题
9．如图1-3-20，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.
求证：PB2＝PE·PF.
图1-3-20
【证明】　连接PC.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵AD是中线，∴AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBD＝∠PCD，
∴∠ABP＝∠ACP.
又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，
而∠CPE＝∠FPC.
∴△PCE∽△PFC，
∴＝，∴PC2＝PE·PF，
即PB2＝PE·PF.
10.如图1-3-21，某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1 700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B，C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．
图1-3-21
(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；
(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？
【解】　(1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线．
(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，
BE＝1 700－500＝1 200米，
∴AE＝＝1 500(米)，
由△ABE∽△CFE，得到＝，
即＝，
可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE，
得＝，
即＝，可得BH＝720(米)．
由△ABE∽△DGA，得＝，
即＝，
可得DG＝1020(米)．
所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576 000(元)，300×800＝240 000(元)，1 020×800＝816 000(元)．
[能力提升]
1.如图1-3-22所示，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是(　　)
图1-3-22
A.＝　　　 B.＝
C．AC2＝CD·CB D．CD2＝AC·AB
【解析】　∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.
【答案】　C
2．如图1-3-23所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确的是(　　)
图1-3-23
A．△DAB∽△OCA
B．△OAB∽△ODA
C．△BAC∽△BDA
D．△OAC∽△ABD
【解析】　设OA＝OB＝BC＝CD＝a，
则AB＝a，BD＝2a，
∴＝，＝＝，
∴＝，且∠ABC＝∠DBA，
∴△BAC∽△BDA.
【答案】　C
3．如图1-3-24所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC＝B.当BD＝__________时，△ABC∽△CDB.
图1-3-24
【解析】　由＝即可得到．
【答案】　
4．如图1-3-25所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE)．
图1-3-25
(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(2)设＝k，是否存在这样的k值 ，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论，并求出k的值；若不存在，说明理由．
【解】　(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.
∵EF⊥EC，A，E，D共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.
又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，
∴△AEF∽△DCE，∴＝，
∴AE＝DE，∴＝.
又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.
(2)存在．由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，
∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.
由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.
∴＝＝＝，即k＝.
反过来，在k＝时，＝，∠DCE＝30°，
∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，
∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.
∴△AEF∽△BCF.
学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1-3-32，D，E，F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是(　　)
图1-3-32
A.，1　　　　 B．9,4
C.，8 D.，16
【解析】　∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，
∴EF綊BC，DE綊AC，DF綊AB.
∴△DFE∽△ABC，且＝，∴＝＝.
又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝.
又∵＝＝，S△DEF＝，
∴S△ABC＝1，故选A.
【答案】　A
2．如图1-3-33，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是(　　)
图1-3-33
A．5 B．8.2
C．6.4 D．1.8
【解析】　由△CBF∽△CDE，得＝，
又点E是AD的中点，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，
∴DE＝3，即＝，∴BF＝1.8.
【答案】　D
3．如图1-3-34所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为(　　)
图1-3-34
A．1∶3　　　 B．1∶9
C．1∶15 D．1∶16
【解析】　因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
又因为AD∶DB＝1∶3.
所以AD∶AB＝1∶4，其面积比为1∶16，
则所求两部分面积比为1∶15.
【答案】　C
4．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1-3-35所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是(　　) 【导学号：07370017】
图1-3-35
A．50 cm B．500 cm
C．60 cm D．600 cm
【解析】　设屏幕上小树的高度为x cm，则＝，解得x＝60(cm)．
【答案】　C
5．如图1-3-36，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，则＝(　　)
图1-3-36
A. B.
C. D.
【解析】　∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
由S△ADE＝2S△DCE，得＝，∴＝.
【答案】　D
二、填空题
6．如图1-3-37，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．
图1-3-37
【解析】　∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴＝＝，
∵D为AC中点，∴＝＝1，∴AE＝CF，
∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.
【答案】　5
7．如图1-3-38，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.
图1-3-38
【解析】　因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因为∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，则＝，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝.
【答案】　
8．(2016·湛江高三调研)如图1-3-39，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面积是a2，梯形DBCE的面积是8a2，则＝________.
图1-3-39
【解析】　∵S△ADE＝a2，SDBCE＝8a2，∴S△ABC＝S△ADE＋SBDCE＝a2＋8a2＝9a2，
∴2＝＝＝，∴＝.
【答案】　
三、解答题
9．如图1-3-40，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与 AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
图1-3-40
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
【解】　(1)证明：∵DE⊥BC，D是BC的中点，
∴EB＝EC，∴∠B＝∠1，
又∵AD＝AC，
∴∠2＝∠ACB.
∴△ABC∽△FCD.
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴＝2＝4.
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.
∵S△ABC＝BC·AM，BC＝10，
∴20＝×10×AM，∴AM＝4.
又∵DE∥AM，∴＝.
∵DM＝DC＝BC＝，
BM＝BD＋DM，
BD＝BC＝5，∴＝，
∴DE＝.
10．如图1-3-41，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个矩形零件的边长．
图1-3-41
【解】　设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E，H分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm.
∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，
∴＝，∴＝，
解得x＝ (mm)，2x＝(mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为mm和mm.
[能力提升]
1．如图1-3-42所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于(　　)
图1-3-42
A．1∶3　　　　 B．1∶4
C．1∶2 D．2∶3
【解析】　设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，
可得AF∶AC＝FE∶CB，即＝，
所以x＝，于是＝.
【答案】　C
2．如图1-3-43，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是(　　)
图1-3-43
A．10 B．12
C．16 D．18
【解析】　∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴EF＝AB＝×20＝16.
【答案】　C
3．在△ABC中，如图1-3-44所示，BC＝m，DE∥BC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且S△ADE＝S四边形BCDE，则DE＝________. 【导学号：07370018】
图1-3-44
【解析】　∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB.
又∵S△ADE＋S四边形BCDE＝S△ABC；S△ADE＝S四边形BCDE，
∴S△ADE＝S△ABC，
∴2＝，∴2＝，
∴DE＝m.
【答案】　m
4．某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 cm、20 cm的梯形空地上种植花木．
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后(如图1-3-45阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
图1-3-45
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？
【解】　(1)∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，
∴△AMD∽△CMB，∴＝2＝.
∵种植△AMD地带花费160元，
∴S△AMD＝＝20 (m2)，∴S△CMB＝80 (m2)．
∴△BMC地带的花费为80×8＝640(元)．
(2)设△AMD，△BMC的高分别为h1，h2，梯形ABCD的高为h，
∵S△AMD＝×10h1＝20，∴h1＝4(m)．
又∵＝，∴h2＝8(m)．
∴h＝h1＋h2＝12(m)．
∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)h＝×30×12
＝180 (m2)，
∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80 (m2)．
∴160＋640＋80×12＝1 760(元)，
160＋640＋80×10＝1 600(元)．
∴应种植茉莉花刚好用完所筹资金．
学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是(　　)
A．3∶2　　　　 B．9∶4
C.∶ D.∶
【解析】　如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB，
又∵AD＝3，BD＝2，
∴AB＝AD＋BD＝5，
∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.
∴＝＝，即AC∶BC＝∶，
故选C.
【答案】　C
2.如图1-4-9所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是(　　)
图1-4-9
A．6 B．3
C．18 D．3
【解析】　由题意知
∴AD2＝18，
∴AD＝3.
【答案】　B
3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为(　　)
【导学号：07370021】
A．7.2 cm2 B．6 cm2
C．12 cm2 D．24 cm2
【解析】　长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为＝5(cm)，
∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．
【答案】　B
4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
【解析】　如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，
∴＝＝2，
即＝，
∴＝.
【答案】　C
5．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是(　　)
【导学号：07370022】
A. 　　　 B.　　　
C.　　　 D．2
【解析】　如图，由射影定理得CD2＝AD·BD.
又∵BD∶AD＝1∶4，
令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，
∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，
在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.
【答案】　C
二、填空题
6．如图1-4-10，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________．
图1-4-10
【解析】　∵OF＝a，
∴AD＝2a.
∵AE⊥BD，
∴AD2＝DE·BD.
∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD，
∴AD2＝BD·BD，
∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a.
【答案】　4a
7．如图1-4-11，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝______cm.
图1-4-11
【解析】　连接CD，则CD⊥A B.
由AC＝3 cm，BC＝4 cm，得AB＝5 cm.
由射影定理得BC2＝BD·BA，即42＝5BD.
所以BD＝ cm.
【答案】　
8．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，则此梯形的面积为________．
【解析】　如图，过C点作CE⊥AB于E.
在Rt△ACB中，
∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，
∴BC＝8 cm，
∴BE＝6.4 cm，AE＝3.6 cm，
∴CE＝＝4.8(cm)，
∴AD＝4.8 cm.
又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，
∴DC＝AE＝3.6 cm.
∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．
【答案】　32.64 cm2
三、解答题
9．已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
【解】　(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48.
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm.
(2)作CF⊥AB于F，
∴AC2＝AF·AB，
∴AF＝＝＝(cm)．
同理BF＝＝＝(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.
10．如图1-4-12所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，点F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.
图1-4-12
【证明】　∵CD垂直平分AB，
∴△ACD和△BDE均为直角三角形，并且AD＝BD.
又∵DF⊥AC，DG⊥BE，
∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.
∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.
[能力提升]
1．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为
(　　)
A．1∶2　　　　 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
【解析】　设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.
【答案】　C
2．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5 cm，BC＝2 cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2 cm，则DE＝(　　)
A．1.24 cm B．1.26 cm
C．1.28 cm D．1.3 cm
【解析】　如图，∵∠A＝∠A，
∴Rt△ADE∽Rt△ABC，
∴＝，
DE＝＝＝1.28.
【答案】　C
3．如图1-4-13所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝__________.
图1-4-13
【解析】　由射影定理得，
AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴＝，即BC2＝.
又∵CD2＝AD·BD，∴BD＝.
∴BC2＝＝＝64.
∴BC＝8.
【答案】　8
4．如图1-4-14，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCE，求证：GD2＝FG·GH.
图1-4-14
【证明】　∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，
∴△BCE∽△BHG，
∴∠BEC＝∠BGH＝90°，
∴HG⊥BC.
∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，
由射影定理得，GD2＝BG·CG.　①
∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，
∴△FCG∽△BHG，
∴＝，
∴BG·CG＝GH·FG.　②
由①②得，GD2＝GH·FG.
学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2-5-17，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE＝(　　)
图2-5-17
A．1　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
【解析】　由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.
【答案】　B
2．PT切⊙O于T，割线PAB经过点O交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
【解析】　如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得
PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，
∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，
∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，
∴cos∠BPT＝＝.
【答案】　A
3．如图2-5-18，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O的半径为(　　)
图2-5-18
A．5.5 B．5
C．6 D．6.5
【解析】　由相交弦定理知AP·BP＝CP·PD，
∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，
∴PD＝＝＝8，
∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.
【答案】　A
4．如图2-5-19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC，AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为(　　) 【导学号：07370047】
图2-5-19
A．1　　 B.　　
C.　　 D.
【解析】　观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝＝5.
如图，连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，
故BE＝AB－AE＝5－4＝1.
根据切割线定理得BD·BC＝BE2，
即3BD＝1，故BD＝.
【答案】　C
5.如图2-5-20，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：
图2-5-20
①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.
其中正确结论的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【解析】　①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正确；
②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正确；
③项，延长AD于M，连接FD，∵AD与圆O切于点D，则∠GDM＝∠GFD，
∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，则△AFB与△ADG不相似，故③错误，故选A.
【答案】　A
二、填空题
6．如图2-5-21，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线交于D，过点C作BD的平行线与圆交于点E，与AB交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则CD＝________.
图2-5-21
【解析】　因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得＝，所以＝，即BD＝.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝，所以x＝.
【答案】　
7．如图2-5-22，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.
图2-5-22
【解析】　由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.
根据切割线定理有PA2＝PD·P B.又PA＝3，PB＝25a，
∴9＝9a·25a，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.
在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.
【答案】　　4
8．如图2-5-23所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．
图2-5-23
【解析】　设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，
∴PB＝PA＋AB＝3.
延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.
设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.
由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，
∴1×3＝(3－r)(3＋r)，
∴9－r2＝3，∴r＝.
【答案】　
三、解答题
9．(2016·山西四校联考)如图2-5-24所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.
图2-5-24
(1)求证：＝；
(2)求AD·AE的值．
【解】　(1)证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P为公共角，
△PAB∽△PCA，∴＝.
(2)∵PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，
∴PA2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15.
又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.
又由(1)知＝＝，∴AC＝6，AB＝3，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD.
∴△ACE∽△ADB，∴＝.
∴AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90.
10．如图2-5-25，已知PA，PB切⊙O于A，B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°，求阴影部分的周长．
图2-5-25
【解】　如图所示，连接OA，O B.
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝，
∠APO＝∠APB＝，
在Rt△PAO中，
AP＝PO·cos＝4×＝2 (cm)，
OA＝PO＝2 (cm)，PB＝2 (cm)．
∵∠APO＝，∠PAO＝∠PBO＝，∴∠AOB＝，
∴l＝∠AOB·R＝×2＝π(cm)，
∴阴影部分的周长为
PA＋PB＋l＝2＋2＋π＝(cm)．
[能力提升]
1．如图2-5-26，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于(　　)
【导学号：07370048】
图2-5-26
A．20　　 B．10
C．5 D．8
【解析】　∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，
由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，
即DT＝＝＝6.
因为TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.
设PB＝x，
则在Rt△PDT中，
PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.
由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，
所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)，
解得x＝20，即PB＝20.
【答案】　A
2．如图2-5-27，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于(　　)
图2-5-27
A. B．2
C．2 D．1
【解析】　连接OD，
则OD⊥BD，
∴Rt△BOD∽Rt△BAC，
∴＝.
设⊙O的半径为a，
∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，
∴BE＝EC＝2a.
由题知AD，AC均为⊙O的切线，AD＝2，
∴AC＝2.
∴＝，∴BD＝2a2.
又BD2＝BE·BC，
∴BD2＝2a·4a＝8a2，
∴4a4＝8a2，∴a＝，
∴BE＝2a＝2.
【答案】　B
3．如图2-5-28，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为__________，∠EFD的度数为__________．
图2-5-28
【解析】　由切割线定理得，
PD2＝PE·PF，
∴PE＝＝＝4，EF＝8，OD＝4.
∵OD⊥PD，OD＝PO，
∴∠P＝30°，∠POD＝60°，
∴∠EFD＝30°.
【答案】　4　30°
4．如图2-5-29，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.
图2-5-29
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小．
【解】　(1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB.
又∠ACB＋∠ABC＝90°，
所以∠DEC＋∠OEB＝90°，
故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．
(2)设CE＝1，AE＝x.
由已知得AB＝2，BE＝.
由射影定理可得AE2＝CE·BE，
即x2＝，即x4＋x2－12＝0，
解得x＝，所以∠ACB＝60°.
学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2-1-12所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有(　　)
图2-1-12
A．1对　　　　　　 B．2对
C．3对 D．4对
【解析】　由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.
【答案】　B
2．如图2-1-13所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于(　　)
图2-1-13
A．6 B．8
C．4 D．5
【解析】　∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
又∵CD⊥AB，
由射影定理可知，CD2＝AD·BD，
∴42＝8AD，∴AD＝2，
∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10，
∴圆O的半径为5.
【答案】　D
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆半径为(　　) 【导学号：07370031】
A. B．2
C．2 D．4
【解析】　由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.
【答案】　B
4．如图2-1-14所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是的中点，E是的中点，分别连接BD，DE，BE，则△BDE的三内角的度数分别是(　　)
图2-1-14
A．50°，30°，100° B．55°，20°，105°
C．60°，10°，110° D．40°，20°，120°
【解析】　如图所示，连接AD.
∵AB＝AC，D是的中点，
∴AD过圆心O.
∵∠A＝40°，
∴∠BED＝∠BAD＝20°，
∠CBD＝∠CAD＝20°.
∵E是的中点，
∴∠CBE＝∠CBA＝35°，
∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°，
∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°，
故选B.
【答案】　B
5．如图2-1-15，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于(　　)
图2-1-15
A．4π B．8π
C．12π D．16π
【解析】　连接OA，OB.
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°.
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形．
又AB＝4，∴OA＝OB＝4，
∴S⊙O＝π·42＝16π.
【答案】　D
二、填空题
6．如图2-1-16，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.
图2-1-16
【解析】　连接CD，∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA＝90°.由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB，
∴＝，即＝.
【答案】　
7．(2016·天津高考)如图2-1-17，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为________．
图2-1-17
【解析】　如图，设圆心为O，连接OD，则OB＝OD.
因为AB是圆的直径，BE＝2AE＝2，所以AE＝1，OB＝.
又BD＝ED，∠B为△BOD与△BDE的公共底角，
所以△BOD∽△BDE，所以＝，
所以BD2＝BO·BE＝3，所以BD＝DE＝.
因为AE·BE＝CE·DE，所以CE＝＝.
【答案】　
8.如图2-1-18，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APD＝__________.
图2-1-18
【解析】　由于AB为⊙O的直径，则∠ADP＝90°，
所以△APD是直角三角形，
则sin∠APD＝，cos∠APD＝，
由题意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝∠BAP，
所以△PCD∽△PBA.
所以＝，又AB＝3，CD＝1，则＝.
∴cos∠APD＝.又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1，
∴sin∠APD＝.
【答案】　
三、解答题
9．如图2-1-19所示，⊙O中和的中点分别为点E和点F，直线EF交AC于点P，交AB于点Q.求证：△APQ为等腰三角形．
图2-1-19
【证明】　连接AF，AE.
∵E是的中点，即＝，
∴∠AFP＝∠EAQ，
同理∠FAP＝∠AEQ.
又∵∠AQP＝∠EAQ＋∠AEQ，∠APQ＝∠AFP＋∠FAP，
∴∠AQP＝∠APQ，即△APQ为等腰三角形．
10．如图2-1-20(1)所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．
图2-1-20
(1)求证：AB2＝AD·AE；
(2)如图2-1-20(2)所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【解】　(1)证明：如图(3)，
连接BE.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
又∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴AB∶AE＝AD∶AB，
即AB2＝AD·AE.
(2)如图(4)，连接BE，
结论仍然成立，证法同(1)．
[能力提升]
1．如图2-1-21，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么等于(　　) 【导学号：07370032】
图2-1-21
A．sin∠BPD
B．cos∠BPD
C．tan∠BPD
D．以上答案都不对
【解析】　连接BD，由BA是直径，
知△ADB是直角三角形．
由∠DCB＝∠DAB，
∠CDA＝∠CBA，∠CPD＝∠BPA，得△CPD∽△APB，
＝＝cos ∠BPD.
【答案】　B
2．如图2-1-22所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，则AE＝__________.
图2-1-22
【解析】　连接CE，则∠AEC＝∠ABC，
又△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACE，
∴＝，
∴AE＝＝9.
【答案】　9
3．如图2-1-23，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是__________．
图2-1-23
【解析】　由圆周角定理，
得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，
∴AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴周长等于9.
【答案】　9
4.如图2-1-24，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE，AD交于点P.求证：
图2-1-24
(1)D是BC的中点；
(2)△BEC∽△ADC；
(3)AB·CE＝2DP·AD.
【证明】　(1)因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
因为AB＝AC，所以D是BC的中点．
(2)因为AB是⊙O的直径，
所以∠AEB＝∠ADB＝90°，
即∠CEB＝∠CDA＝90°，
因为∠C是公共角，
所以△BEC∽△ADC.
(3)因为△BEC∽△ADC，
所以∠CBE＝∠CAD.
因为AB＝AC，BD＝CD，
所以∠BAD＝∠CAD，
所以∠BAD＝∠CBE，
因为∠ADB＝∠BEC＝90°，
所以△ABD∽△BCE，
所以＝，所以＝，
因为∠BDP＝∠BEC＝90°，∠PBD＝∠CBE，
所以△BPD∽△BCE，
所以＝.
因为BC＝2BD，所以＝，
所以AB·CE＝2DP·AD.
学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2-2-13，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于(　　)
图2-2-13
A．120°　　 B．136°
C．144° D．150°
【解析】　设∠BCD＝3x，∠ECD＝2x，
∴5x＝180°，∴x＝36°，
即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°，
∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°.
【答案】　C
2．如图2-2-14，在⊙O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数为(　　)
图2-2-14
A．30° B．45°　　　
C．50°　　　 D．60°
【解析】　连接OA，OB，
∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，
∴∠BCA＝∠AOB＝30°，
∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.
【答案】　C
3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　)
A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2
C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对
【解析】　由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．
【答案】　B
4．如图2-2-15，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD等于(　　)
图2-2-15
A.a B.a
C.a D.a
【解析】　∵AC为BD的垂直平分线，
∴AB＝AD＝a，AC⊥BD.
∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，
∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠CDB＝30°，
∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan 30°·AD＝a.
【答案】　A
5．如图2-2-16所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似三角形的对数为(　　)
【导学号：07370035】
图2-2-16
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】　利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4对．
【答案】　A
二、填空题
6．如图2-2-17，以AB＝4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB＝60°，则EF＝________.
图2-2-17
【解析】　如图，连接AE.
∵AB为圆的直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°.
∵∠ACB＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴CE＝AC.
∵∠C＝∠C，∠CFE＝∠B，
∴△CFE∽△CBA，
∴＝，
∵AB＝4，CE＝AC，∴EF＝2.
【答案】　2
7．四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，＝40°，则∠D＝__________.
【解析】　如图，连接AC.∵＝40°.BC是⊙O的直径，
∴∠ACB＝20°，∠BAC＝90°，
∴∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝70°，
∴∠D＝180°－∠B＝110°.
【答案】　110°
8．如图2-2-18，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为________．
图2-2-18
【解析】　由于∠PBC＝∠PDA，∠P＝∠P，
则△PAD∽△PCB ，∴＝＝.
又＝，＝，∴×＝×，
∴×＝，∴×＝，
∴＝.
【答案】　
三、解答题
9．如图2-2-19，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
图2-2-19
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
【证明】　(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC＝∠EBA，
故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥A B.
(2)由(1)知，AE＝BE，∠EDF＝∠ECG，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，
所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆．
10．如图2-2-20，已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点，通过P作正方形的边的垂线，垂足分别为E，F，G，H.你能判断出E，F，G，H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．
【导学号：07370036】
图2-2-20
【解】　猜想：E，F，G，H四个点在以O为圆心的圆上．证明如下：
如图，连接OE，OF，OG，OH.
在△OBE，△OBF，△OCG，△OAH中，
OB＝OC＝OA.
∵PEBF为正方形，
∴BE＝BF＝CG＝AH，
∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45°.
∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.
∴OE＝OF＝OG＝OH.
由圆的定义可知：E，F，G，H在以O为圆心的圆上．
[能力提升]
1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有(　　)
①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；
②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；
③∠A的外角与∠C的外角互补；
④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.
A．1个　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】　由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．
【答案】　B
2．如图2-2-21，以△ABC的一边AB为直径的圆交AC边于D，交BC边于E，连接DE，BD与AE交于点F.则sin∠CAE的值为(　　)
图2-2-21
A.　　　　 B.
C. D.
【解析】　根据圆周角定理，易得∠AEB＝90°，进而可得∠AEC＝90°.
在Rt△AEC中，由锐角三角函数的定义，可得sin∠CAE＝，由圆内接四边形的性质，可得∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，可得△CDE∽△CBA，则有＝，故有sin∠CAE＝.
【答案】　D
3．如图2-2-22，AB＝10 cm，BC＝8 cm，CD平分∠ACB，则AC＝__________，BD＝__________.
图2-2-22
【解析】　∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6.
又∵CD平分∠ACB，
即∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
∴BD＝＝5.
【答案】　6　5
4.如图2-2-23，锐角△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．
图2-2-23
(1)求证：四点A，I，H，E共圆；
(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．
【解】　(1)证明：由圆I与边AC相切于点E，
得IE⊥AE，
结合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90°.
所以四点A，I，H，E共圆．
(2)由(1)知四点A，I，H，E共圆，得∠IEH＝∠HAI.
在△HIA中，∠HIA＝∠ABI＋∠BAI＝∠B＋∠A＝(∠B＋∠A)
＝(180°－∠C)＝90°－∠C.
结合IH⊥AH，得∠HAI＝90°－∠HIA＝∠C，
所以∠IEH＝∠C.
由∠C＝50°，得∠IEH＝25°.
学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是(　　)
A．AB与⊙O相切于直线CD上的点C
B．CD经过圆心O
C．CD是直径
D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O
【解析】　圆的切线垂直于过切点的半径或直径．
【答案】　D
2．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．10 D．5
【解析】　如图，连接OC，
∠PAC＝30°，
由圆周角定理知，
∠POC＝2∠PAC＝60°，
由切线性质知∠OCP＝90°.
∴在Rt△OCP中，tan∠POC＝.
∴OC＝＝＝.
【答案】　A
3．如图2-3-13，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是(　　)
图2-3-13
A．72°　　　　 B．63°
C．54° D．36°
【解析】　连接O B.
∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.
∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.
又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°，
∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.
【答案】　B
4.如图2-3-14所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，点P是弧EG上的任意一点，则∠EPF＝(　　)
图2-3-14
A．120° B．90°
C．60° D．30°
【解析】　如图所示，连接OE，OF.
∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴∠EOF＋∠ABC＝180°，
∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝∠EOF＝60°.
【答案】　C
5．如图2-3-15所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝(　　)
图2-3-15
A．2∶1 B．1∶1
C．1∶2 D．1∶1.5
【解析】　如图所示，连接OD，OC，则OD⊥AC.
∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°.
∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△CDO≌△CBO，∴BC＝DC.
∵＝，∴AD＝DC，
∴BC＝AC.
又OB⊥BC，∴∠A＝30°，
∴OB＝OD＝AO，∴＝.
【答案】　A
二、填空题
6.如图2-3-16，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C.则⊙O的半径是________．
图2-3-16
【解析】　连接OE，设OE＝r，
∵OC＝OE＝r，BC＝12，
则BO＝12－r，AB＝＝13，
由△BEO∽△BCA，得＝，
即＝，解得r＝.
【答案】　
7．如图2-3-17，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为______cm.
图2-3-17
【解析】　连接OA，OC，
∵AB是小圆的切线，
∴OC⊥AB，∴AC＝A B.
∵在Rt△AOC中，
AC＝＝4(cm)，
∴AB＝8 cm.
【答案】　8
8．如图2-3-18所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
图2-3-18
【解析】　连接OA.∵AP为⊙O的切线，
∴OA⊥AP.
又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.
∴在Rt△AOP中，OA＝1，PA＝OA·tan 60°＝.
【答案】　
三、解答题
9.如图2-3-19，已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线. 【导学号：07370040】
图2-3-19
【证明】　如图，连接OB，OC，OD，设OD交BC于E.
因为∠DCB是所对的圆周角，
∠BOD是所对的圆心角，
∠BCD＝45°，
所以∠BOD＝90°.
因为∠ADB是△BCD的一个外角，
所以∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，
所以∠DOC＝2∠DBC＝30°，
从而∠BOC＝120°.
因为OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝30°.
在△OEC中，
因为∠EOC＝∠ECO＝30°，
所以OE＝EC.
在△BOE中，因为∠BOE＝90°，∠EBO＝30°，所以BE＝2OE＝2EC，
所以＝＝，
所以AB∥OD，所以∠ABO＝90°，
故AB是△BCD的外接圆的切线．
10．如图2-3-20，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.
图2-3-20
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径．
【解】　(1)证明：在△OCP与△CEP中，
∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，
∴∠OCP＝∠CEP.
∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，
∴∠OCP＝90°.
又∵C点在圆上，∴PC是⊙O的切线．
(2)法一：设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.
∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，
∴△OCE∽△OPC，
∴＝，
即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，
∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.
法二：由(1)知PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°.
又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OE·OP，以下同法一．
[能力提升]
1．如图2-3-21，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于(　　)
图2-3-21
A.　　　　 B.
C. D.
【解析】　连接BD，则BD⊥AC.
∵AD＝DC，∴BA＝BC，
∴∠BCA＝45°.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴∠OBC＝90°.
∴sin∠BCO＝＝＝，
cos ∠BCO＝＝＝.
∴sin∠ACO＝sin(45°－∠BCO)
＝sin45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO
＝×－×＝.
【答案】　A
2．如图2-3-22所示，已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R＝__________.
图2-3-22
【解析】　AB＝＝.
由AB2＝PB·BC，
∴BC＝3，Rt△ABC中，
AC＝＝2，
∴R＝.
【答案】　
3．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆交于点D，E，则∠DAC＝__________，DC＝__________.
【解析】　连接OC，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.
又∠DCA＋∠ACO＝90°，
∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠DCA＝∠OCB.
∵OC＝3，BC＝3，
∴△OCB是正三角形，
∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°，
∴∠DAC＝30°.
在Rt△ACB中，AC＝＝3，
DC＝ACsin 30°＝ .
【答案】　30°　
4．如图2-3-23，AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点D，AB，AC与圆分别相交于点E，F.
【导学号：07370041】
图2-3-23
(1)AE·AB与AF·AC有何关系？请给予证明；
(2)在图中，如果把直线BC向上或向下平移，得到图2-3-24(1)或图(2)，在此条件下，(1)题的结论是否仍成立？为什么？
图2-3-24
【解】　(1)AE·AB＝AF·AC.
证明：连接DE.
∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA＝90°.
又∵BC与⊙O相切于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠DEA.
又∵∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，
∴＝，即AD2＝AB·AE.
同理AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.
(2)(1)中的结论仍成立．
因为BC在平移时始终与AD垂直，设垂足为D′，
则∠AD′B＝90°.
∵AD为圆的直径，
∴∠AED＝∠AD′B＝90°.
又∵∠DAE＝∠BAD′，∴△ABD′∽△ADE，
∴＝，∴AB·AE＝AD·AD′.
同理AF·AC＝AD·AD′，故AE·AB＝AF·AC.
学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2-4-12所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝(　　)
图2-4-12
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
【解析】　由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC.
∵sin∠ABC＝＝＝＝，故选D.
【答案】　D
2．如图2-4-13，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是(　　)
图2-4-13
A．4　　 B．5
C．6 D．7
【解析】　∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，
∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.
【答案】　B
3.如图2-4-14所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　)
图2-4-14
A．2 B．3
C．2 D．4
【解析】　连接BC.∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，
∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，
∴AC＝2，故选C.
【答案】　C
4．如图2-4-15，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于(　　)
【导学号：07370043】
图2-4-15
A．20° B．25°
C．30° D．40°
【解析】　如图，连接OC，BC，
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°.
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠POC＝25°，
∴∠ACP＝∠B＝25°.
【答案】　B
5．如图2-4-16所示，已知AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是(　　)
图2-4-16
A．65°
B．115°
C．65°或115°
D．130°或50°
【解析】　当点P在优弧上时，
由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.
∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.
当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°.
故选C.
【答案】　C
二、填空题
6.如图2-4-17所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
　图2-4-17
【解析】　∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.
又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，
∴△ABD∽△ACB.
∴＝，∴AB2＝AD·AC＝mn，
∴AB＝.
【答案】　
7．如图2-4-18，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上．AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________．
图2-4-18
【解析】　连接OA，
则∠COA＝2∠CBA＝60°，
且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.
又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，
所以OD＝2OA＝4.
【答案】　4
8.如图2-4-19，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
图2-4-19
【解析】　连接OC，∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∵PB＝OB＝2，OC＝2，
∴PC＝2，∵OC·PC＝OP·CD，
∴CD＝＝.
【答案】　
三、解答题
9．如图2-4-20所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT，AT于C，D.
图2-4-20
求证：△CTD为等腰三角形．
【证明】　∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.
又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.
又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，
∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，
∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形．
10．如图2-4-21，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A，B为垂足的直线AD，BC交于D，C两点，过M点作NM⊥CD交AB于点N，求证：MN2＝AD·BC.
图2-4-21
【证明】　连接AM，MB，
因为DA⊥AB，MN⊥CD，
所以∠MDA＋∠MNA＝180°.
又因为∠MNA＋∠MNB＝180°，
所以∠MDA＝∠MNB，
又因为CD为⊙O的切线，所以∠1＝∠2，
所以△ADM∽△MNB，
所以＝，同理＝，
所以＝，即有MN2＝AD·BC.
[能力提升]
1．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝，则CP＝(　　) 【导学号：07370044】
A.　 B．2
C．2－1 D．2＋1
【解析】　如图，连接OP，则OP⊥PA，
又∠APB＝30°，
∴∠POB＝60°，
在Rt△OPA中，由AP＝，
易知，PB＝OP＝1，
在Rt△PCB中，
由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝.
【答案】　A
2．如图2-4-22，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为(　　)
图2-4-22
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　连接BC.
∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.
∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P，
∴BC＝BP＝1.
由△BCP∽△CAP，得
PC2＝PB·PA，
即AC2＝PB·PA.
而AC2＝AB2－BC2，
设⊙O半径为r，
则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.
【答案】　A
3．如图2-4-23，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝__________.
图2-4-23
【解析】　由PA为⊙O的切线，BA为弦，
得∠PAB＝∠BCA.
又∠BAC＝∠APB，
于是△APB∽△CAB，
所以＝.
而PB＝7，BC＝5，
故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝.
【答案】　
4．如图2-4-24，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.
图2-4-24
证明：
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.
【证明】　(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝.
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.
从而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，
所以EF2＝AD·BC.
模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．极坐标方程cos θ＝(ρ∈R)表示的曲线是(　　)
A．两条相交直线 B．两条射线
C．一条直线 D．一条射线
【解析】　由cos θ＝，解得θ＝或θ＝π，
又ρ∈R，故为两条过极点的直线．
【答案】　A
2．极坐标系中，过点P(1，π)且倾斜角为的直线方程为(　　)
A．ρ＝sin θ＋cos θ B．ρ＝sin θ－cos θ
C．ρ＝ D．ρ＝
【解析】　设M(ρ，θ) 为直线上任意一点，则
在△OPM中，由正弦定理得＝，
∴ρ＝.
【答案】　D
3．已知参数方程(a、b、λ均不为零，0≤θ≤2π)，分别取①t为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是(　　)
A．①、②、③均是直线
B．只有②是直线
C．①、②是直线，③是圆
D．②是直线，①③是圆
【解析】　①t为参数，原方程可化为：y－λsin θ＝(x－λcos θ)，②λ为参数，原方程可化为：
y－bt＝(x－at)·tan θ，③θ为参数，原方程可化为：
(x－at)2＋(y－bt)2＝λ2，即①、②是直线，③是圆．
【答案】　C
4．将曲线＋＝1按φ：变换后的曲线的参数方程为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　＋＝1→＋＝1→(x′)2＋(y′)2＝1→→
即故选D.
【答案】　D
5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为(　　)
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
【解析】　由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0，
又ρ＝，x＝ρcos θ，
∴x2＋y2＝0或x＝1.
【答案】　C
6．柱坐标对应的点的直角坐标是(　　)
A．(，－1,1) B．(，1,1)
C．(1，，1) D．(－1，，1)
【解析】　由直角坐标与柱坐标之间的变换公式，可得故应选C.
【答案】　C
7．直线l：3x＋4y－12＝0与圆C：(θ为参数)的公共点个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无法确定
【解析】　圆C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心C(－1,2)，半径r＝2.
圆心C到直线l的距离
d＝＝，
因此d【答案】　C
8．双曲线(θ为参数)上，当θ＝时对应的点为P，O为原点，则OP的斜率为(　　)
A. B.
C. D．2
【解析】　∵x＝4sec θ＝＝－8，
y＝2tan θ＝2tan＝－2，
∴kOP＝＝.
【答案】　A
9．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l与曲线C相交所得弦长为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，
直线的直角坐标方程为x－2y＋1＝0，
∵圆心C到直线l的距离
d＝＝，
∴直线l与圆C相交所得弦长为
2＝2＝4.
【答案】　D
10．直线(t为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
【解析】　直线(t为参数)的普通方程为3x＋4y＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心到直线3x＋4y＋2＝0的距离d＝1＝r，所以直线与圆的位置关系为相切．故选B.
【答案】　B
11．已知曲线的参数方程是(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为(　　)
A．ρ＝sin θ B．ρ＝2sin θ
C．ρ＝2cos θ D．ρ＝cos θ
【解析】　由(α为参数)得普通方程为＋y2＝，
故圆心为C，半径r＝，
所以极坐标方程为ρ＝cos θ.
【答案】　D
12．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为(　　)
A.　　
B.
C.＋4
D．2b
【解析】　设动点的坐标为(2cos θ，bsin θ)，
代入x2＋2y＝4cos2θ＋2bsin θ
＝－＋4＋，
当0当b>4时，(x2＋2y)max＝－＋4＋＝2b.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
【解析】　射线θ＝的普通方程为y＝x(x≥0)，代入得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3.
当t＝0时，x＝1，y＝1，即A(1,1)；
当t＝3时，x＝4，y＝4，即B(4,4)．
所以AB的中点坐标为.
【答案】　
14．极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ＝8的距离的最大值是________．
【解析】　曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x2＋y2＋4x＝0，化为：(x＋2)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2,0)，半径为r＝2，直线方程化为：x＋y－8＝0，圆心到直线的距离为：d＝＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.
【答案】　7
15．直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．
【解析】　直线与曲线的普通方程分别为
x＋y－1＝0，　　　　①
x2＋y2＝9, ②
②表示圆心为O(0,0)，半径为3的圆，
设O到直线的距离为d，则d＝＝，
∵<3，∴直线与圆有2个交点．
【答案】　2
16．已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
【解析】　由sin2t＋cos2t＝1得曲线C的普通方程为x2＋y2＝2，过原点O及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l的斜率为－1，所以切线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直线l的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，
即ρsin－2＝0，
化简得ρsin＝.
【答案】　ρsin＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程．
【解】　由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
【解】　(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝，
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1.
因为圆心C到直线l的距离d＝＝＜1，
所以直线l与圆C相交．
19．(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
【解】　(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
【解】　(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
解得ρ＝2，θ＝±.
故圆C1与圆C2交点的坐标为
或.
注：极坐标系下点的表示不惟一．
(2)法一　将x＝1代入得ρcos θ＝1，从而ρ＝.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.
法二　由得圆C1与圆C2交点的直角坐标分别为(1，－)或(1，)．
故圆C1与C2公共弦的参数方程为
(－≤t≤)．
21．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
【解】　(1)曲线C：y2＝2ax，直线l：x－y－2＝0.
(2)将直线的参数表达式代入抛物线得
t2－(4＋a)t＋16＋4a＝0，
所以t1＋t2＝8＋2a，t1t2＝32＋8a.
因为|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|，
由题意知，|t1－t2|2＝|t1t2|?(t1＋t2)2＝5t1t2，
代入得a＝1.
22．(本小题满分12分)如图1，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点．
图1
(1)求证：＋为定值；
(2)求AB的中点M的轨迹方程．
【解】　设直线AB的方程为(t为参数，α≠0)，代入y2＝2px整理，得t2sin2α－2ptcos α－p2＝0.
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
则由根与系数的关系，得
t1＋t2＝，t1t2＝－.
(1)＋＝＋＝
＝＝
＝＝(定值)．
(2)设AB的中点M(x，y)，
则M对应的参数为t＝＝，
∴(α为参数)，
消去α，得y2＝p为所求的轨迹方程．
章末综合测评(一)　坐标系
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为(　　)
A．y′＝3sin x′ B．y′＝3sin 2x′
C．y′＝3sinx′ D．y′＝sin 2x′
【解析】　由伸缩变换，得x＝，y＝.
代入y＝sin 2x，有＝sin x′，即y′＝3sin x′.
【答案】　A
2．(2016·重庆七校联盟)在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　如图所示，OA＝3，OB＝4，∠AOB＝，所以S△AOB＝×3×4×＝3.
【答案】　C
3．已知点P的极坐标为(1，π)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是(　　)
A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ
C．ρ＝－ D．ρ＝
【答案】　C
4．在极坐标系中，点A与B之间的距离为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】　由A与B，知∠AOB＝，
∴△AOB为等边三角形，因此|AB|＝2.
【答案】　B
5．极坐标方程4ρ·sin2＝5表示的曲线是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
【解析】　由4ρ·sin2＝4ρ·＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2－2x＝5，化简得y2＝5x＋，
∴该方程表示抛物线．
【答案】　D
6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】　由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x＋2y＝1，
∴直线x＋2y＝1不过第三象限．
【答案】　C
7．点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　设M的球坐标为(r，φ，θ)，
则解得
【答案】　A
8．在极坐标系中，直线θ＝(ρ∈R)截圆
ρ＝2cos所得弦长是(　　)
【导学号：91060014】
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　化圆的极坐标方程ρ＝2cos为直角坐标方程得＋＝1，圆心坐标为，半径长为1，化直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为x－y＝0，由于－×＝0，即直线x－y＝0过圆＋＝1的圆心，故直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长为2.
【答案】　B
9．若点P的柱坐标为，则P到直线Oy的距离为(　　)
A．1 B．2
C. D.
【解析】　由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos ＝，可得P到直线Oy的距离为.
【答案】　D
10．设正弦曲线C按伸缩变换后得到曲线方程为y′＝sin x′，则正弦曲线C的周期为(　　)
A. B．π
C．2π D．4π
【解析】　由伸缩变换知3y＝sin x，
∴y＝sin x，∴T＝＝4π.
【答案】　D
11．(2016·惠州调研)已知点A是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是(　　)
A．1 B. C. D.
【解析】　曲线ρ＝2cos θ即(x－1)2＋y2＝1，表示圆心为(1,0)，半径等于1的圆，直线ρsin＝4，即x＋y－8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于＝，所以点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是－1＝.
【答案】　C
12．极坐标方程ρ＝2sin的图形是(　　)
【解析】　法一　圆ρ＝2sin是把圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向旋转而得，圆心的极坐标为，故选C.
法二　圆ρ＝2sin的直角坐标方程为＋＝1，圆心为，半径为1，故选C.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．(2016·深圳调研)在极坐标系中，经过点作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．
【解析】　圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，化成标准方程得x2＋(y－2)2＝4，表示以点(0,2)为圆心，以2为半径长的圆，点的直角坐标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即点(2,2)在圆上，故过点且与圆相切的直线的方程为x＝2，其极坐标方程为ρcos θ＝2.
【答案】　ρcos θ＝2
14．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
【解析】　由ρ＝4cos θ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圆心C的直角坐标为(2,0)．又点P的直角坐标为(2,2)，因此|CP|＝2.
【答案】　2
15．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
【解析】　ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将代入x2＋y2＝a2得a＝.
【答案】　
16．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
【解析】　直线2ρcos θ＝1可化为2x＝1，即x＝，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1，
∴弦长为2× ＝.
【答案】　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知⊙C：ρ＝cos θ＋sin θ， 直线l：ρ＝.求⊙C上点到直线l距离的最小值．
【解】　⊙C的直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，
即＋＝.
又直线l的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，
所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
设M为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离
d＝
＝，
当θ＝时，dmin＝＝.
18．(本小题满分12分)已知直线的极坐标方程ρsin＝，求极点到直线的距离．
【解】　∵ρsin＝，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，
即直角坐标方程为x＋y＝1.
又极点的直角坐标为(0,0)，
∴极点到直线的距离d＝＝.
19．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C的方程；
(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程．
【解】　(1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，∠COM＝θ－1，
作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．
(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转得到圆D：ρ＝2cos，
即ρ＝－2sin(1－θ)．
20．(本小题满分12分)如图1，正方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′、P的柱坐标．
图1
【解】　设点C的柱坐标为(ρ1，θ1，z1)，
则ρ1＝|OC|＝3，θ1＝∠COA＝，z1＝0，
∴C的柱坐标为；
设点B′的柱坐标为(ρ2，θ2，z2)，则ρ2＝|OB|＝＝＝3，
θ2＝∠BOA＝，z2＝3，
∴B′的柱坐标为；
如图，取OB的中点E，连接PE，
设点P的柱坐标为(ρ3，θ3，z3)，则ρ3＝|OE|＝|OB|＝，θ3＝∠AOE＝，z3＝3，
点P的柱坐标为.
21．(本小题满分12分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．
【解】　将曲线C1，C2化为直角坐标方程得：
C1：x＋y＋2＝0，
C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，
圆心到直线的距离d＝＝＞，
∴曲线C1与C2相离．
22．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ＝2与曲线C2：ρsin＝交于不同的两点A，B.
(1)求|AB|的值；
(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．
【解】　(1)∵ρ＝2，∴x2＋y2＝4.
又∵ρsin＝，∴y＝x＋2，
∴|AB|＝2＝2＝2.
(2)∵曲线C2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y＝x－1，
∴直线l的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，
即ρcos＝.
章末综合测评(二)　参数方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列点不在直线(t为参数)上的是(　　)
A．(－1,2) B．(2，－1)
C．(3，－2) D．(－3,2)
【解析】　直线l的普通方程为x＋y－1＝0，
因此点(－3,2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
【答案】　D
2．圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2,2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是(　　)
A.　 　B.π　　 C.π　　　 D.π
【解析】　∵点Q(－2,2)在圆上，
∴且0≤θ<2π，∴θ＝π.
【答案】　B
3．直线(t为参数)的斜率为(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
【解析】　直线的普通方程为2x＋y－8＝0，
∴斜率k＝－2.
【答案】　B
4．已知O为原点，当θ＝－时，参数方程
(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　当θ＝－时，x＝，y＝－，
∴kOA＝tan α＝＝－，且0≤α<π，
因此α＝.
【答案】　C
5．已知A(4sin θ，6cos θ)，B(－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB的中点轨迹为(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
【解析】　设线段AB的中点为M(x，y)，
则(θ为参数)，
∴
∴(3x＋2y)2＋(3x－2y)2＝144，
整理得＋＝1，表示椭圆．
【答案】　C
6．椭圆(θ为参数)的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　椭圆的标准方程为＋＝1，∴e＝.故选A.
【答案】　A
7．(2016·汕头月考)已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线(t为参数)的距离为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　由题意易知圆的圆心M(1,2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x－4y－5＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝2.
【答案】　B
8．若直线(t为参数)与圆
(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为(　　)
A.或 B.或
C.或 D．－或－
【解析】　直线的普通方程为y＝tan α·x，圆的普通方程为(x－4)2＋y2＝4，由于直线与圆相切，则＝2.
∴tan α＝±，∴α＝或.故选A.
【答案】　A
9．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是(　　)
【导学号：91060032】
A．(2－，1)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
【解析】　由消去θ，得
(x－2)2＋y2＝1.(*)
将y＝x－b代入(*)，化简得
2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)>0，
解得2－【答案】　D
10．实数x，y满足3x2＋2y2＝6x，则x2＋y2的最大值是(　　)
A．2 B．4
C. D．5
【解析】　由3x2＋2y2＝6x，得3(x－1)2＋2y2＝3，
令x＝1＋cos θ，y＝sin θ，代入x2＋y2，得
x2＋y2＝(1＋cos θ)2＋sin2θ＝－(cos θ－2)2＋，∴当cos θ＝1时，(x2＋y2)max＝4.
【答案】　B
11．参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是(　　)
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点
D．抛物线的一部分，且过点
【解析】　由y＝cos2
＝＝，
可得sin θ＝2y－1，
由x＝ 得x2－1＝sin θ，
∴参数方程可化为普通方程x2＝2y.
又x＝∈[0，]，故选D.
【答案】　D
12．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A(0,2)到P1，P2两点距离之和是(　　)
A．4＋ B．2(2＋)
C．4(2＋) D．8＋
【解析】　将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′、t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0,2)的下方，则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．双曲线(φ是参数)的渐近线方程为________．
【解析】　化参数方程为普通方程，得y2－x2＝1.故其渐近线为y＝±x，即x±y＝0.
【答案】　x±y＝0
14．(2016·东莞模拟)在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝(ρ∈R)垂直，则直线极坐标方程为________．
【解析】　由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝的斜率是，所求直线是过点(1,0)，且斜率是－，所以直线方程为y＝－(x－1)，化为极坐标方程ρsin θ＝－(ρcos θ－1)，化简得2ρsin＝1.
【答案】　2ρsin＝1或2ρcos＝1或ρcos θ＋ρsin θ＝1
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
【解析】　曲线可化为y＝(x－2)2，射线θ＝可化为y＝x(x≥0)，联立这两个方程得：x2－5x＋4＝0，点A，B的横坐标就是此方程的根，线段AB的中点的直角坐标为.
【答案】　
16．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
【解析】　由已知可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由ρsin＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直线的普通方程为x＋y＝m.又圆的普通方程为x2＋y2＝b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得c＝m.又因为直线l与圆O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)．整理，得＝，故椭圆C的离心率为e＝.
【答案】　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆O的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数θ＝，求点M的坐标．
【解】　(1)由(0≤θ<2π)，
平方得x2＋y2＝4，
∴圆心O(0,0)，半径r＝2.
(2)当θ＝时，x＝2cos θ＝1，y＝2sin θ＝－，
∴点M的坐标为(1，－)．
18．(本小题满分12分)已知曲线C：(φ为参数)．
(1)将C的方程化为普通方程；
(2)若点P(x，y)是曲线C上的动点，求2x＋y的取值范围．
【解】　(1)由曲线C：得
＋＝1即＋＝1.
(2)2x＋y＝8cos φ＋3sin φ＝sin(φ＋θ)，
，
∴2x＋y∈[－，]，
∴2x＋y的取值范围是[－，]．
19．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
【解】　(1)由曲线C：得x2＋y2＝16，
∴曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.
20．(本小题满分12分)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
【解】　(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，
Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
21．(本小题满分12分)(2016·昆明调研)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
(2)若曲线C与直线相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．
【解】　(1)直线l的参数方程为(t为参数)．
∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C：x2＋y2＝4x.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入C：x2＋y2＝4x，得
t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，
则有
∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)，
所以α∈，t1<0，t2<0.
而|PM|＋|PN|
＝＋
＝|t1|＋|t2|
＝－t1－t2＝4(sin α＋cos α)＝4sin.
∵α∈，∴α＋∈，
∴所以|PM|＋|PN|的取值范围为(4,4]．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2 B1的面积．
【解】　(1)C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为
＝.
学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是(　　)
A．直线　 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【解析】　∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，
∴点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．
【答案】　A
2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
【解析】　由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．
【答案】　C
3．若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【解析】　|AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝|AC|≠|AB|，△ABC为等腰三角形．
【答案】　A
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　　)
A．π B．4π
C．8π D．9π
【解析】　设P点的坐标为(x，y)，
∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
【答案】　B
5．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为(　　)
A．y′＝cos x′ B．y′＝3cosx′
C．y′＝2cosx′ D．y′＝cos 3x′
【解析】　由得
代入y＝cos 2x，得＝cos x′，
∴y′＝cos x′.
【答案】　A
二、填空题
6．若点P(－2 016,2 017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.
【解析】　∵P(－2 016,2 017)经过伸缩变换得
代入x′y′＝k，
得k＝－1.
【答案】　－1
7．将点P(2,3)变换为点P′(1,1)的一个伸缩变换公式为________.
【导学号：91060002】
【解析】　设伸缩变换为
由解得∴
【答案】　
8．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：
作用下仍是其本身的点为________．
【解析】　设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy)．
依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1，
∴x＝y＝0，即P(0,0)为所求．
【答案】　(0,0)
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)x2－y2＝1；
(2)＋＝1.
【解】　由伸缩变换得①
(1)将①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1，
因此，经过伸缩变换后，双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如图甲所示．
(2)将①代入＋＝1得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x′2＋＝1，如图乙所示．
10．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处．求城市B处于危险区内的时间．
【解】　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，
以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，
台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，
点B到直线y＝x的距离d＝＝20.
求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，
所以城市B处于危险区的时间为1 h.
[能力提升]
1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝0，则曲线C的方程为(　　)
A．25x2＋36y2＝0 B．9x2＋100y2＝0
C．10x＋24y＝0 D.x2＋y2＝0
【解析】　将代入2x′2＋8y′2＝0，得：
2·(5x)2＋8·(3y)2＝0，即：25x2＋36y2＝0.
【答案】　A
2．如图1-1-1，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点P′(x′，y′)满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他点优于点Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧(　　)
图1-1-1
A. 　　　B. C. 　 　　D.
【解析】　如图，过任一点P作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，由题意，Ⅱ(包含边界)区域内的点优于P，在圆周上取点，易知只有P在上时，Ⅱ(含边界)内才不含Ω内的点，故点Q的集合为.
【答案】　D
3．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O为坐标原点，动点M满足＝m＋n，其中m，n∈R，且2m2－n2＝2，则M的轨迹方程为________．
【解析】　设M(x，y)，则(x，y)＝m(2，－1)＋n(－1,1)＝(2m－n，n－m)，∴
又2m2－n2＝2，消去m，n得－y2＝1.
【答案】　－y2＝1
4.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1-1-2，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)，观测点A(4,0)，B(6,0)同时跟踪航天器．
图1-1-2
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
【解】　(1)设曲线方程为y＝ax2＋.
因为D(8,0)在抛物线上，∴a＝－，
∴曲线方程为y＝－x2＋.
(2)设变轨点为C(x，y)．
根据题意可知
∴4y2－7y－36＝0，
解得y＝4或y＝－(不合题意，舍去)，
∴y＝4.
解得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)，
∴C点的坐标为(6,4)，|AC|＝2，|BC|＝4.
即当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令．
学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列各点中与不表示极坐标系中同一个点的是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　与极坐标相同的点可以表示为(k∈Z)，只有不适合．
【答案】　C
2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(　　)
A．(π，0) B．(π，2π)
C．(－π，0) D．(－2π，0)
【解析】　x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，
所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．
【答案】　A
3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是(　　)
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D．两点重合
【解析】　因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．
【答案】　A
4．在极坐标系中，已知点P1、P2，则|P1P2|等于(　　)
A．9　　　B．10 C．14　　　D．2
【解析】　∠P1OP2＝－＝，∴△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10.
【答案】　B
5．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是
(　　)
【导学号：91060005】
A. B.
C. D.
【解析】　极径ρ＝＝2，极角θ满足tan θ＝＝－，
∵点(1，－)在第四象限，∴θ＝－.
【答案】　A
二、填空题
6．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________．
【解析】　∵点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.
【答案】　3
7．已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P的极坐标为________．
【解析】　∵点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，
∴x＝－2，且y＝－2，
∴ρ＝＝2，
又tan θ＝＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝.
因此点P的极坐标为.
【答案】　
8．极坐标系中，点A的极坐标是，则
(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是________；
(2)点A关于极点的对称点的极坐标是________；
(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))
【解析】　点A关于极轴的对称点的极坐标为；点A关于极点的对称点的极坐标为；点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为.
【答案】　(1)　(2)　(3)
三、解答题
9．(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标．
(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，C(－2，－2)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
【解】　(1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得A，
B(－1，)，C，
D(0，－4)．
(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A，B，C.
10．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B(2，π)，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
【解】　(1)如图所示，由A，B(2，π)，C，
得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，故△ABC为等边三角形．
(2)由上述可知，
AC＝2OAsin＝2×2×＝2.
∴S△ABC＝×(2)2＝3.
[能力提升]
1．已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为 (　　)
A.，(1，)
B.，(1，－)
C.，(－1，)
D.，(－1，－)
【解析】　点P关于极点的对称点为
，
即，且x＝2cos＝－2cos
＝－1，y＝2sin＝－2sin＝－.
【答案】　D
2．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．
【解析】　如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.
【答案】　或
3．直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于________．
【解析】　如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝，
所以∠ACO＝π－－＝.
【答案】　
4．某大学校园的部分平面示意图如图1-2-3：用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．
图1-2-3
【解】　以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，
由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m，
又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m.
同理，得|OE|＝2|OG|＝300 m，
所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，
C，D，E，F(300，π)，G.
学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝1表示(　　)
A．直线　 B．射线
C．圆 D．椭圆
【解析】　由ρ＝1，得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故选C.
【答案】　C
2．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为(　　)
A．θ＝ B．θ＝，ρ≥0
C．θ＝，ρ≥0 D．θ＝和θ＝，ρ≥0
【解析】　以极点O为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线．
∵两条射线的极坐标方程为θ＝和θ＝π，
∴直线的极坐标方程为θ＝和θ＝π(ρ≥0)．
【答案】　D
3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　)
A. B.
C．(1,0) D．(1，π)
【解析】　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
【答案】　B
4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
【解析】　由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.
【答案】　B
5．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为(　　)
【导学号：91060008】
A．ρcos θ＝ B．ρcos θ＝2
C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin
【解析】　极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.
由所给的选项中ρcos θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．
【答案】　B
二、填空题
6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．
【解析】　∵直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，
∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.
【答案】　1∶1
7．(2016·惠州模拟)若直线l的极坐标方程为ρcosθ－＝3，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．
【解析】　直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax＝＋1＝3＋1.
【答案】　3＋1
8．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
【解析】　极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝转化为平面直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0，
∴圆心(0,2)到直线x－3y＝0的距离为＝.
【答案】　
三、解答题
9．(2016·银川月考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
【解】　(1)由ρcos＝1，
得ρ＝1.
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为＋y＝1，
即x＋y－2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，∴点N.
(2)由(1)知，M点的坐标(2,0)，点N的坐标.
又P为MN的中点，
∴点P，则点P的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
10．(2016·南通期中)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝，
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
【解】　(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
又代入得⊙O：x2＋y2－x－y＝0，
由l：ρsin＝，得：ρsin θ－ρcos θ＝，ρsin θ－ρcos θ＝1，
又代入得：x－y＋1＝0.
(2)由解得
又得
又因为θ∈(0，π)，则θ＝，故为.
[能力提升]
1．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于(　　)
A．直线θ＝对称 B．直线θ＝对称
C．点对称 D．极点对称
【解析】　由方程ρ＝4sin，
得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，
即x2＋y2＝2y－2x，
配方，得(x＋)2＋(y－1)2＝4.
它表示圆心在(－，1)、半径为2且过原点的圆，
所以在极坐标系中，它关于直线θ＝成轴对称．
【答案】　B
2．(2016·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点作曲线C的切线，则切线长为(　　)
A．4 B.
C．2 D．2
【解析】　ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为＝2.
【答案】　C
3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
【解析】　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
其直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，
联立
解得点(－1,1)的极坐标为.
【答案】　
4．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r＝1，P在圆C上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．
【解】　(1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos，
所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圆C上，所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，则Q的直角坐标方程为＋＝.
学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面yOz内．
【答案】　A
2．设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为(　　)
A．(2,0,2) B．(2，π，2)
C．(，0,2) D．(，π，2)
【解析】　设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，
∴ρ＝＝2，tan θ＝＝0，
∴θ＝0，z＝2，∴点M的柱坐标为(2,0,2)．
【答案】　A
3．在空间球坐标系中，方程r＝2表示(　　)
A.圆 B．半圆
C．球面 D．半球面
【解析】　设动点M的球坐标为(r，φ，θ)，由于r＝2，0≤φ≤，0≤θ＜2π.动点M的轨迹是球心在点O，半径为2的上半球面．
【答案】　D
4．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是(　　)
A．(1,0,0) B．(0,1,0)
C．(0,0,1) D．(1，π，0)
【解析】　设M的球坐标为(r，φ，θ)，
则r＝＝1，θ＝0，
又cos φ＝＝1，∴φ＝0.
故点M的球坐标为(1,0,0)．
【答案】　A
5．在直角坐标系中，点P的坐标为，则其球坐标为(　　)
【导学号：91060011】
A. B.
C. D.
【解析】　r＝＝＝，
cos φ＝＝＝，
∴φ＝.
tan θ＝＝，又y＞0，x＞0，∴θ＝.
∴球坐标为.
【答案】　B
二、填空题
6．已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为________．
【解析】　设M的直角坐标为(x，y，z)，
则由(r，φ，θ)＝，
知x＝4sincos＝－2，
y＝4sinsin＝2，
z＝4cos＝2，
∴点M的直角坐标为(－2,2,2)．
故点M到OZ轴的距离＝2.
【答案】　2
7．在柱坐标系中，点M的柱坐标为，则|OM|＝________.
【解析】　设点M的直角坐标为(x，y，z)．
由(ρ，θ，z)＝知
x＝ρcos θ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝，
因此|OM|＝
＝＝3.
【答案】　3
8．(2015·广东高考)已知直线l的极坐标方程为
2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．
【解析】　由2ρsin＝，
得2ρ＝，∴y－x＝1.
由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，∴d＝＝.
【答案】　
三、解答题
9．在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．
【解】　根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
∴V＝Sh＝πr2h＝2π.
10．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标．
【解】　在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为原点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝.
由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r＝2 384＋6 371＝8 755千米，所以点P的球坐标为.
[能力提升]
1．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称的点的坐标为(0＜θ≤π)(　　)
A．(－ρ，－θ，－z) B．(ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z) D．(р，π－θ，－z)
【解析】　点P(ρ，θ，z)关于点O(0,0,0)的对称点为P′(ρ，π＋θ，－z)．
【答案】　C
2．点P的柱坐标为，则点P到原点的距离为________．
【解析】　x＝ρcos θ＝4cos＝2，
y＝ρsin θ＝4sin＝2，
即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为＝5.
【答案】　5
3．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图1-4-4所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．
图1-4-4
【解析】　由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.
【答案】　
4．已知在球坐标系Oxyz中，M，
N，求|MN|.
【解】　法一　由题意知，
|OM|＝|ON|＝6，∠MON＝，
∴△MON为等边三角形，∴|MN|＝6.
法二　设M点的直角坐标为(x，y，z)，
则
故点M的直角坐标为，
同理得点N的直角坐标为，
∴|MN|
＝
＝＝6.
模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式|3x－2|>4的解集是(　　)
A．{x|x>2} B.
C. D.
【解析】　因为|3x－2|>4，所以3x－2>4或3x－2<－4，所以x>2或x<－.
【答案】　C
2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是(　　)
A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)
C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R)
D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)
【解析】　根据柯西不等式的结构特征可知只有B正确，故选B.
【答案】　B
3．若实数x，y满足|tan x|＋|tan y|>|tan x＋tan y|，且y∈，则|tan x－tan y|等于(　　)
A．tan x－tan y B．tan y－tan x
C．tan x＋tan y D.|tan y|－|tan x|
【解析】　由|tan x|＋|tan y|>|tan x＋tan y|，得tan x和tan y异号，且y∈，得tan y>0.
故|tan x－tan y|＝tan y－tan x.
【答案】　B
4．已知a，b为非零实数，且a【导学号：32750076】
A．a2C.< D.<
【解析】　对于C中，－＝<0，
∴<.
【答案】　C
5．用数学归纳法证明2n>n2(n∈N＋，n≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是(　　)
A．假设n＝k时命题成立
B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立
C．假设n＝k(k≥5)时命题成立
D．假设n＝k(k>5)时命题成立
【答案】　C
6．已知不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为(　　)
A．2 B．4
C. D.16
【解析】　由(x＋y)≥(1＋1)2＝4.
因此不等式(x＋y)·≥a对任意正实数x，y恒成立，即a≤4.
【答案】　B
7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n层楼，上下楼造成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为，则此人应选(　　)
A．1楼 B．2楼
C．3楼 D.4楼
【解析】　设第n层总的不满意程度为f(n)，则f(n)＝n＋≥2＝2×3＝6，当且仅当n＝，即n＝3时取等号，故选C.
【答案】　C
8．对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，对k的取值范围是(　　)
A．k<3 B．k<－3
C．k≤3 D.k≤－3
【解析】　∵|x＋1|－|x－2|≥－|(x＋1)－(x－2)|＝－3，∴|x＋1|－|x－2|的最小值为－3.
∴不等式恒成立，应有k<－3.
【答案】　B
9．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)”时，从n＝k到n＝k＋1时等号左边应增添的式子是(　　)
A．2k＋1 B.
C. D.
【解析】　当n＝k时，有f(k)＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)，
当n＝k＋1时，有f(k＋1)
＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)，
∴f(k＋1)＝f(k)·.
【答案】　B
10．对一切正数m，不等式n<＋2m2恒成立，则常数n的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，6)
C．(0，＋∞) D.[6，＋∞)
【解析】　要使不等式恒成立，只要n小于＋2m2的最小值．∵＋2m2＝＋＋2m2≥3＝6，∴n<6.
【答案】　B
11．若n棱柱有f(n)个对角面，则(n＋1)棱柱含有对角面的个数为(　　)
A．2f(n) B．f(n)＋(n－1)
C．f(n)＋n D.f(n)＋2
【解析】　由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k到n＝k＋1时增加的对角线一样，设n＝k时，底面为A1A2…Ak，n＝k＋1时底面为A1A2A3…AkAk＋1，增加的对角线为A2Ak＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有(k－1)条，因此对角面也增加了(k－1)个，故选B.
【答案】　B
12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤2，|x2|≤2时，|f(x1)－f(x2)|≤6|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，则g(x)与M的关系是(　　)
A．g(x)?M B．g(x)∈M
C．g(x)?M D.不能确定
【解析】　∵g(x1)－g(x2)＝x＋2x1－x－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，
∴|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤6|x1－x2|，
所以g(x)∈M.故选B.
【答案】　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)
13．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|【导学号：32750077】
【解析】　∵|x－5|＋|x＋3|
＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8，
∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，
要使|x－5|＋|x＋3|【答案】　(－∞，8]
14．若正数a，b满足ab＝a＋b＋8，则ab的最小值为________．
【解析】　∵ab＝a＋b＋8，且a＞0，b＞0，
∴ab－8＝a＋b≥2，
∴()2－2－8≥0，
∴≥4或≤－2(舍去)，
∴ab≥16，即ab的最小值为16.
【答案】　16
15．用数学归纳法证明≥ (a，b是非负实数，n∈N＋)，假设n＝k时不等式≥k(*)成立，再推证n＝k＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________．
【解析】　要想办法出现，两边同乘以，右边也出现了要求证的k＋1.
【答案】　
16．设a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝＋，Q＝·，则P，Q的大小关系为________．
【解析】　由柯西不等式　P＝ ＋ ≤·＝Q，
∴P≤Q.
【答案】　P≤Q
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：＋≥.
【证明】　因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，
所以(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)]＋＝＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时等号成立．
故＋≥成立．
18．(本小题满分12分)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．
图1
【解】　(1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，
f(x)＜－1的解集为.
所以|f(x)|＞1的解集为.
19．(本小题满分12分)设m，n∈R＋，m＋n＝p，求证：＋≥，并指出等号成立的条件．
【证明】　根据柯西不等式，得(m＋n)
≥＝4，
于是＋≥＝，
当m＝n＝时，等号成立．
20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.
请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．
【解】　设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a，b，c.
由题意，可得abc＝500，
长方体水箱的表面积为S＝2bc＋2ac＋ab.
由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥
3＝3＝3×102＝300.
当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，S＝2bc＋2ac＋ab＝300为最小，
这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．
如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．
(1)　　　　　(2)　　　　　　　(3)　　
可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．
21．(本小题满分12分)设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4.
(1)求f(1)，f(3)的值；
(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．
【解】　(1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，
取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.
∵f(n)>0(n∈N＋)，
∴f(1)＝2，
取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.
(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，初步归纳猜想f(n)＝2n.
证明：①当n＝1时，f(1)＝2成立；
②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．
f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②得，对一切n∈N＋，f(n)＝2n都成立．
22．(本小题满分12分)设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an＝，n＝2,3,4，….
【导学号：32750078】
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝an，求证：bn【解】　(1)由an＝，得2an＝3－an－1，
即＝－，
所以数列{1－an}是以1－a1(a1∈(0,1))为首项，以－为公比的等比数列，
所以1－an＝(1－a1)n－1，
因此an＝1－(1－a1).
(2)证明：由(1)可知00.
那么b－b＝a(3－2an＋1)－a(3－2an)
＝－a(3－2an)
＝(an－1)2.又由(1)知an>0且an≠1，
故b－b>0，因此bn章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知>，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a2>b2 B．lg a>lg b
C.> D.>
【解析】　由>，得a>b(c≠0)，
显然，当a，b异号或其中一个为0时，A，B，C不正确．
【答案】　D
2．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　)
A．a＞b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D.a3＞b3
【解析】　由a＞b＋1，得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1，因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，选A.
【答案】　A
3．若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是(　　)
A．a＋x＞b＋y B．y－a＜x－b
C．|a|x＞|a|y D.(a－b)x＞(a－b)y
【解析】　对于A，两式相加可得a＋x＞b＋y，A正确；
对于B，a＞b?－a＜－b，与y＜x相加得y－a＜x－b，B正确；
对于D，∵a－b＞0，∴(a－b)x＞(a－b)y，D正确；
对于C，当a＝0时，不等式不正确，故选C.
【答案】　C
4．如果关于x的不等式5x2－a≤0的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a的取值范围是(　　)
A．45≤a<80 B．50C．a<80 D.a>45
【解析】　由5x2－a≤0，得－≤x≤，而正整数解是1,2,3，则3≤<4，解得45≤a<80.
【答案】　A
5．若a，b为非零实数，那么不等式恒成立的是(　　)
A．|a＋b|>|a－b| B.≥
C.≥ab D.＋≥2
【解析】　a，b为非零实数时，A，B，D均不一定成立．
而－ab＝≥0恒成立．
【答案】　C
6．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是(　　)
【导学号：32750026】
A．y＝x＋
B．y＝lg x＋
C．y＝＋
D．y＝sin x＋(0【解析】　y＝x＋≥2＝4，A错；当0当＝时，x＝0，
∴y＝＋≥2此时等号取不到，C错；
y＝sin x＋≥2，此时sin x＝1，D正确．
【答案】　D
7．不等式|2x－log2x|＜|2x|＋|log2x|的解为(　　)
A．1＜x＜2 B．0＜x＜1
C．x＞1 D.x＞2
【解析】　由题意知
∴log2x＞0，
解得x＞1，故选C.
【答案】　C
8．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3
C．6 D.9
【解析】　f′(x)＝12x2－2ax－2b，
由f(x)在x＝1处有极值，
得f′(1)＝12－2a－2b＝0，
∴a＋b＝6.
又a＞0，b＞0，∴ab≤＝＝9，
当且仅当a＝b＝3时取到等号，故选D.
【答案】　D
9．设a>b>c，n∈N，且＋≥恒成立，则n的最大值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D.6
【解析】　∵＋＝＋＝2＋＋≥4，当且仅当＝时，取等号，
∴＋≥，而＋≥恒成立，得n≤4.
【答案】　C
10．若0A．最小值为 B．最大值为
C．最小值为 D.最大值为
【解析】　x2(1－2x)＝x·x(1－2x)
≤＝.
当且仅当x＝时，等号成立．
【答案】　B
11．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集是空集，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(1,2) D.(－∞，－1)
【解析】　|x－1|＋|x－2|的最小值为1，
故只需a2＋a＋1<1，
∴－1【答案】　B
12．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　由(1－aix)2<1，
得0又ai>0，
∴0则x小于的最小值．
又a1>a2>a3，
∴的最小值为，
则x<.
因此x的取值范围为，选B.
【答案】　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．不等式|2x－1|－|x－2|<0的解集为________.
【导学号：32750027】
【解析】　|2x－1|－|x－2|<0，即|2x－1|<|x－2|，两边平方并整理得，x2<1，解得－1【答案】　{x|－114．设x＞0，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则x＋y的取值范围为__________．
【解析】　因为xy－(x＋y)＝1，且xy≤，所以1＝xy－(x＋y)≤－(x＋y)．设x＋y＝a，则－a－1≥0(a＞0)，则a≥2＋2，即x＋y≥2＋2，故x＋y的取值范围为[2＋2，＋∞)．
【答案】　[2＋2，＋∞)
15．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__________．
【解析】　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，∴1＋a＋2≥9，即a＋2－8≥0，故a≥4.
【答案】　4
16．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为________．
【解析】　如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以umax＝2，umin＝－2.
【答案】　2　－2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)解不等式x＋|2x－1|＜3.
【解】　法一　原不等式可化为
或
解得≤x＜或－2＜x＜.
所以原不等式的解集是.
法二　由于|2x－1|＜3－x，
∴x－3＜2x－1＜3－x，
解得x＞－2且x＜.
∴原不等式的解集是
.
18．(本小题满分12分)(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
【解】　(1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
当－＜x＜时，f(x)＜2；
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
19．(本小题满分12分)已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.
【证明】　因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，
从而3|y|<＋＝，所以|y|<.
20．(本小题满分12分)已知a和b是任意非零实数．
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．
【解】　(1)∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|＝4|a|对于任意非零实数a和b恒成立，
当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时取等号，
∴的最小值等于4.
(2)∵|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，
故|2＋x|＋|2－x|不大于的最小值．
由(1)可知的最小值等于4.
实数x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解，
解不等式得－2≤x≤2，
∴x的取值范围是[－2,2]．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1时，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.
【导学号：32750028】
【解】　
(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0，所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，
所以x≥a－2对x∈都成立，故－≥a－2，即a≤.
从而a的取值范围是.
22．(本小题满分12分)某小区要建一座八边形的休闲小区，如图1所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4 200元，并在四周的四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元．
图1
(1)设总造价为S元，AD长为x米，试求S关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S取得最小值？并求出这个最小值．
【解】　(1)设DQ＝y米，又AD＝x米，
故x2＋4xy＝200，
即y＝.
依题意，得S＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2
＝4 200x2＋210(200－x2)＋160
＝38 000＋4 000x2＋.
依题意x>0，且y＝>0，
∴0故所求函数为
S＝38 000＋4 000x2＋，x∈(0,10)．
(2)因为x>0，
所以S≥38 000＋2＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，
即x＝时取等号．
∴当x＝∈(0,10)时，
Smin＝118 000元．
故AD＝米时，S有最小值118 000元．
章末综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b，c，d都是正数，且bc＞ad，则，，，中最大的是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】　因为a，b，c，d均是正数且bc＞ad，
所以有＞. ①
又－＝＝＞0，
∴＞， ②
－＝＝＞0，
∴＞. ③
由①②③知最大，故选D.
【答案】　D
2．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝1，则下列不等式中恒成立的是(　　)
【导学号：32750045】
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．x|y|＞z|y| D.xy＞xz
【解析】　法一　特殊值法：令x＝2，y＝0，z＝－1，可排除A，B，C，故选D.
法二　3z＜x＋y＋z＜3x，∴x＞＞z，
由x＞0，y＞z，得xy＞xz.故D正确．
【答案】　D
3．对于x∈[0,1]的任意值，不等式ax＋2b＞0恒成立，则代数式a＋3b的值(　　)
A．恒为正值 B．恒为非负值
C．恒为负值 D.不确定
【解析】　依题意2b＞0，∴b＞0，
且a＋2b＞0，∴a＋2b＋b＞0，即a＋3b恒为正值．
【答案】　A
4．已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是(　　)
A．an＞an＋1 B．an＜an＋1
C．an＝an＋1 D.与n的取值有关
【解析】　an＋1－an＝－
＝.
∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N＋，
∴an＋1－an＞0，因此an＋1＞an.
【答案】　B
5．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是(　　)
A．18 B．6
C．2 D.
【解析】　3a＋3b≥2＝2＝2×3＝6，选B.
【答案】　B
6．设a＝lg 2－lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系是(　　)
A．a＜b B．a＞b C．a＝b D.a≤b
【解析】　a＝lg 2－lg 5＝lg ＜0.
又x＜0，知0＜ex＜1，即0＜b＜1，∴a＜b.
【答案】　A
7．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝(　　)
A. B．2 C．6 D.2或6
【解析】　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，
∴2≤kx≤6，
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，
∴k＝2.
【答案】　B
8．设a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，c＝2x2y2(x，y∈R＋)，则下列结论中不正确的是(　　)
A．a最大 B．b最小
C．c最小 D.a，b，c可以相等
【解析】　因为b＝x3y＋xy3≥2＝2x2y2＝c，故B错，应选B.
【答案】　B
9．要使－＜成立，a，b应满足的条件是(　　)
A．ab＜0且a＞b
B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0且a＜b
D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
【解析】　－＜?(－)3＜a－b
?3＜3?ab(a－b)＞0.
当ab＞0时，a＞b；当ab＜0时，a＜b.
【答案】　D
10．已知x＝a＋(a＞2)，y＝(b＜0)，则x，y之间的大小关系是(　　)
A．x＞y B．x＜y
C．x＝y D.不能确定
【解析】　因为x＝a－2＋＋2≥2＋2＝4(a＞2)．
又b2－2＞－2(b＜0)，
即y＝＜－2＝4，所以x＞y.
【答案】　A
11．若a>0，b>0，则p＝(a·b)，q＝ab·ba的大小关系是(　　)
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D.p【解析】　＝＝a·b＝.
若a≥b>0，则≥1，a－b≥0，从而≥1，得p≥q；
若b≥a>0，则0<≤1，a－b≤0，从而≥1，得p≥q.
综上所述，p≥q.
【答案】　A
12．在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则角B适合的条件是(　　)
A．0＜B≤ B．0＜B≤
C．0＜B≤ D.＜B＜π
【解析】　由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c，
∴cos B＝＝，
＝＝－≥.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∴cos B的最小值为.
又y＝cos B在上是减函数，∴0＜B≤.
【答案】　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________．
【解析】　“三角形中最多只有一个内角是钝角”的对立事件是“三角形中内角有2个钝角或3个全是钝角”，故应填三角形中至少有两个内角是钝角．
【答案】　三角形中至少有两个内角是钝角
14．若实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b(a≠b)，则mx＋ny的最大值为________.
【导学号：32750046】
【解析】　设m＝cos α，n＝sin α，x＝cos β，y＝sin β，
则mx＋ny＝cos αcos β＋sin αsin β
＝cos(α－β)．
当cos(α－β)＝1时，mx＋ny取得最大值.
【答案】　
15．用分析法证明：若a，b，m都是正数，且a＜b，则＞.完成下列证明过程：
∵b＋m＞0，b＞0，
∴要证原不等式成立，只需证明
b(a＋m)＞a(b＋m)，
即只需证明________．
∵m＞0，∴只需证明b＞a，
由已知显然成立．∴原不等式成立．
【解析】　b(a＋m)＞a(b＋m)与bm＞am等价，
因此欲证b(a＋m)＞a(b＋m)成立，
只需证明bm＞am即可．
【答案】　bm＞am
16．已知a，b，c，d∈R＋，且S＝＋＋＋，则S的取值范围是________．
【解析】　由放缩法，得＜＜；
＜＜；
＜＜；
＜＜.
以上四个不等式相加，得1＜S＜2.
【答案】　(1,2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知m＞0，a，b∈R，求证：≤.
【证明】　∵m＞0，∴1＋m＞0.
所以要证原不等式成立，
只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，
即证(a－b)2≥0，
而(a－b)2≥0显然成立，
故原不等式得证．
18．(本小题满分12分)实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
【证明】　假设a，b，c，d都是非负数，
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，
这与已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
19．(本小题满分12分)设a，b，c是不全相等的正实数．求证：lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.
【证明】　法一　要证：lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c，
只需证lg＞lg(abc)，
只需证··＞abc.
∵≥＞0，≥＞0，≥＞0，
∴··≥abc＞0成立．
∵a，b，c为不全相等的正数，∴上式中等号不成立．
∴原不等式成立．
法二　∵a，b，c∈{正实数}，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又∵a，b，c为不全相等的实数，
∴··＞abc，
∴lg＞lg(abc)，
即lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.
20．(本小题满分12分)若0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.
【证明】　假设三数能同时大于1，
即(2－a)b＞1，(2－b)c＞1，(2－c)a＞1.
那么≥＞1，
同理＞1，＞1，
三式相加＞3，
即3＞3.
上式显然是错误的，∴该假设不成立．
∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时都大于1.
21．(本小题满分12分)求证：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋).
【导学号：32750047】
【证明】　∵＝＞
＝2(－)，k∈N＋，
∴1＋＋＋…＋
＞2[(－1)＋(－)＋…＋(－)]
＝2(－1)．
又＝＜＝2(－)，k∈N＋，
∴1＋＋＋…＋
＜1＋2[(－1)＋(－)＋…＋(－)]
＝1＋2(－1)＝2－1＜2.
∴2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)．
22．(本小题满分12分)等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn.等比数列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{b}是公比为64的等比数列．
(1)求an与bn；
(2)证明：＋＋…＋＜.
【解】　(1)设{an}的公差为d(d∈N)，{bn}的公比为q，则an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意
由①知，q＝64＝2， ③
由②知，q为正有理数，
所以d为6的因子1,2,3,6中之一，
因此由②③知，d＝2，q＝8.
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)证明：Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
则＝＝.
∴＋＋＋…＋
＝
＝＜×＝.
章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设xy>0，则的最小值为(　　)
A．－9　　　B．9　　　C．10　　　D．0
【解析】　
≥＝9.
【答案】　B
2．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　∵4(a2＋b2＋c2＋d2)
＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)
≥(a＋b＋c＋d)2，
即4(16－e2)≥(8－e)2，
64－4e2≥64－16e＋e2，即5e2－16e≤0，
∴e(5e－16)≤0，
故0≤e≤.
【答案】　C
3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花(　　)
A．300元 B．360元 C．320元 D.340元
【解析】　由排序原理，反序和最小，
∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元).
【答案】　C
4．已知a，b，c为非零实数，则(a2＋b2＋c2)＋＋的最小值为(　　)
A．7 B．9 C．12 D.18
【解析】　由(a2＋b2＋c2)
≥2＝9，
所以所求最小值为9.
【答案】　B
5．设a，b，c均小于0，且a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为(　　)
【导学号：32750061】
A．0 B．1 C．3 D.
【解析】　由排序不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
所以ab＋bc＋ca≤3.
【答案】　C
6．若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　)
A．21 B. C．16 D.
【解析】　∵1＝x＋2y＋4z≤ ·，
∴x2＋y2＋z2≥，
即x2＋y2＋z2的最小值为.
【答案】　B
7．函数f(x)＝＋cos x，则f(x)的最大值是(　　)
A. B. C．1 D.2
【解析】　f(x)＝·＋cos x.
又(·＋cos x)2≤(2＋1)(sin2x＋cos 2x)＝3，∴f(x)的最大值为.
【答案】　A
8．已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，若y1＝，y2＝，则y1y2与x1x2的关系为(　　)
A．y1y2C．y1y2>x1x2 D.不能确定
【解析】　∵a，b，x1，x2为互不相等的正数，
∴y1y2＝·
＝
＝
>
＝＝x1x2.
【答案】　C
9．已知半圆的直径AB＝2R，P是弧AB上一点，则2|PA|＋3|PB|的最大值是(　　)
A.R B.R
C．2R D.4R
【解析】　由2|PA|＋3|PB|
≤
＝＝·2R.
【答案】　C
10．设a1，a2，…，an为正实数，P＝，Q＝，则P，Q间的大小关系为(　　)
A．P>Q B．P≥Q
C．P【解析】　∵(a1＋a2＋…＋an)≥＝n2，
∴≥，
即P≥Q.
【答案】　B
11．设a1，a2，a3为正数，则＋＋与a1＋a2＋a3大小为(　　)
A．> B．≥ C．< D.≤
【解析】　不妨设a1≥a2≥a3>0，于是
≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，
由排序不等式得，
＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2
＝a3＋a1＋a2，即＋＋≥a1＋a2＋a3.
【答案】　B
12．设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均为正数)，则＋＋…＋的最小值是(　　)
A．n B. C. D.2n
【解析】　不妨设0≤a1≤a2≤…≤an，
则≥≥…≥，，，…，是，，…，的一个排列．
再利用排序不等式的反序和≤乱序和求解，
所以＋＋…＋≥＋＋…＋＝n，
当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立．故选A.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设x，y，z∈R，且满足x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.
【导学号：32750062】
【解析】　由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因为x＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝.
【答案】　
14．已知实数m，n＞0，则＋________.(填“≥”“＞”“≤”或“＜”)
【解析】　因为m，n＞0，利用柯西不等式，
得(m＋n)≥(a＋b)2，
所以＋≥.
【答案】　≥
15．函数y＝的最小值是________．
【解析】　由柯西不等式，得
y＝
≥
＝≥(1＋)2＝3＋2.
当且仅当＝，即α＝时等号成立．
【答案】　3＋2
16.如图1所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．
图1
【解析】　由题图可知，阴影面积＝a1b1＋a2b2，而空白面积＝a1b2＋a2b1，根据顺序和≥逆序和可知答案为≥.
【答案】　≥
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设x2＋2y2＝1，求u(x，y)＝x＋2y的最值．
【解】　由柯西不等式，有|u(x，y)|
＝|1·x＋·y|≤·＝，
得umax＝，umin＝－.
分别在，时取得最大值和最小值．
18．(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.求证：＋＋≥.
【证明】　因为x>0，y>0，z>0，所以由柯西不等式得：
[(y＋2z)＋(z＋2x)＋(x＋2y)]＋＋≥(x＋y＋z)2，又因为x＋y＋z＝1，
所以＋＋≥
＝.
19．(本小题满分12分)已知a，b，c∈R＋，求证：a＋b＋c≤＋＋≤＋＋.
【证明】　不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2，≥≥.
由排序不等式，可得a2·＋b2·＋c2·≥a2·＋b2·＋c2·，①
a2·＋b2·＋c2·≥a2·＋b2·＋c2·，②
由(①＋②)÷2，可得
＋＋≥a＋b＋c.
又因为a≥b≥c>0，
所以a3≥b3≥c3，≥≥.
由排序不等式，得
a3·＋b3·＋c3·≥a3·＋b3·＋c3·，③
a3·＋b3·＋c3·≥a3·＋b3·＋c3·，④
由(③＋④)÷2，可得＋＋≥＋＋.
综上可知原式成立．
20．(本小题满分12分)已知a，b，c大于0，且acos2θ＋bsin2θ<，求证：cos2θ＋sin2θ【导学号：32750063】
【证明】　由柯西不等式，得(cos2θ＋sin2θ)2
≤[(cos θ)2＋(sin θ)2](cos2θ＋sin2θ)
＝acos2θ＋bsin2θ.
又acos2θ＋bsin2θ<，
∴(cos2θ＋sin2θ)2<.
因此，cos2θ＋sin2θ21．(本小题满分12分)设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.
【证明】　构造两组数，，；，，.
于是由柯西不等式有
[()2＋()2＋()2]
≥，
即(a＋b＋c)≥32.
因为a＋b＋c＝1，所以＋＋≥9.
22．(本小题满分12分)设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明：
(1)aabb＞abba(a≠b)；
(2)a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b.
【证明】　(1)不妨设a＞b＞0，则lg a＞lg b.
从而alg a＋blg b＞alg b＋blg a，
∴lg aa＋lg bb＞lg ba＋lg ab，
即lg aabb＞lg baab，故aabb＞baab.
(2)不妨设a≥b≥c＞0，则lg a≥lg b≥lg c，
∴alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c，
alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c，
∴2alg a＋2blg b＋2clg c
≥(b＋c)lg a＋(a＋c)lg b＋(a＋b)lg c，
∴lg(a2a·b2b·c2c)≥lg (ab＋c·ba＋c·ca＋b)．
故a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b.
章末综合测评(四)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＋)能被31整除”，当n＝1时原式为(　　)
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3＋4 D.1＋2＋22＋23＋24
【解析】　左边＝1＋2＋22＋…＋25n－1，所以n＝1时，应为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24.故选D.
【答案】　D
2．下列说法中正确的是(　　)
A．若一个命题当n＝1,2时为真，则此命题为真命题
B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则此命题为真命题
C．若一个命题当n＝1,2时为真，则当n＝3时此命题也为真
D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题
【解析】　由数学归纳法定义可知，只有当n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B，C项均不全面．
【答案】　D
3．设S(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)
A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋
B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
【解析】　S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋.
【答案】　D
4．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)
【导学号：32750073】
A．3n－2 B．n2
C．3n－1 D.4n－3
【解析】　计算知a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，
所以可猜想an＝n2.
【答案】　B
5．平面内原有k条直线，他们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为(　　)
A．f(k)＋1 B．f(k)＋k
C．f(k)＋k＋1 D.k·f(k)
【解析】　第k＋1条直线与前k条直线都有不同的交点，此时应比原先增加k个交点．
【答案】　B
6．下列代数式，n∈N＋，能被13整除的是(　　)
A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1
C．62n－1＋1 D.42n＋1＋3n＋2
【解析】　当n＝1时，n3＋5n＝6,34n＋1＋52n＋1＝368,62n－1＋1＝7,42n＋1＋3n＋2＝91，
只有91能被13整除．
【答案】　D
7．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步正确的证明方法是(　　)
A．假设n＝k(k∈N＋)时成立，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时成立，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时成立，证明n＝2k＋3时命题也成立
D．假设n＝2k－1(k∈N＋)时成立，证明n＝2k＋1时命题也成立
【解析】　假设n的取值必须取到初始值1，且后面的n的值比前面的值大2.A，B，C错．故选D.
【答案】　D
8．设0<θ<，已知a1＝2cos θ，an＋1＝，则猜想an为(　　)
A．2cos B．2cos
C．2cos D.2sin
【解析】　a1＝2cos θ，a2＝＝2cos ，a3＝＝2cos ，
猜想an＝2cos .
【答案】　B
9．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．k2
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
【解析】　当n＝k时，左端＝1＋1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
【答案】　D
10．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是(　　)
A．16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1
B．4×42k＋9×3k
C．(42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1
D．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1
【解析】　42k＋1＋3k＋2＝16×42k－1＋3k＋2＝16(42k－1＋3k＋1)＋3k＋2－16×3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1.
【答案】　A
11．如果命题P(n)对于n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)
A．P(n)对所有自然数n成立
B．P(n)对所有偶自然数n成立
C．P(n)对所有正自然数n成立
D．P(n)对所有比1大的自然数n成立
【解析】　因为n＝2时，由n＝k＋2的“递推”关系，可得到n＝4成立，再得到n＝6成立，依次类推，因此，命题P(n)对所有偶自然数n成立．
【答案】　B
12．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　∵a1＝，
由Sn＝n(2n－1)an，得a1＋a2＝2(2×2－1)a2，
解得a2＝＝，
a1＋a2＋a3＝3×(2×3－1)a3，
解得a3＝＝，
a1＋a2＋a3＋a4＝4(2×4－1)a4，
解得a4＝＝，
所以猜想an＝.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．探索表达式A＝(n－1)(n－1)！＋(n－2)(n－2)！＋…＋2·！＋1·1！(n>1且n∈N＋)的结果时，第一步n＝________时，A＝________.
【导学号：32750074】
【解析】　 第一步n＝2时，
A＝(2－1)(2－1)！＝1.
【答案】　2　1
14．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a＝________，b＝________，c＝________.
【解析】　先分别取n＝1,2,3并联立方程组得
解得a＝，b＝，c＝.
然后可用数学归纳法证明．
【答案】　　　
15．证明1＋＋＋＋…＋>(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左边增加的项数是________.
【解析】　左边增加的项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k.
【答案】　2k
16．假设凸k边形的对角线有f(k)条，则凸k＋1边形的对角线的条数f(k＋1)为________．
【解析】　凸k＋1边形的对角线的条数等于凸k边形的对角线的条线，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(k－2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(k)＋k－1条对角线．
【答案】　f(k)＋k－1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋＝(n∈N＋)．
【证明】　(1)当n＝1时，
左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边．
所以当n＝1时，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，即有
＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，＋＋＋＋＝＋
＝＝
＝＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对于一切n∈N＋等式都成立．
18．(本小题满分12分)求证：对于整数n≥0时，11n＋2＋122n＋1能被133整除．
【证明】　(1)n＝0时，原式＝112＋12＝133能被133整除．
(2)假设n＝k(k≥0，k∈N)时，11k＋2＋122k＋1能被133整除，
n＝k＋1时，原式＝11k＋3＋122k＋3
＝11(11k＋2＋122k＋1)－11·122k＋1＋122k＋3
＝11(11k＋2＋122k＋1)＋122k＋1·133也能被133整除．
由(1)(2)可知，对于整数n≥0,11n＋2＋122n＋1能被133整除．
19．(本小题满分12分)平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
【证明】　(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立，即这几个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
20．(本小题满分12分)求证：＋＋＋…＋>(n≥2).
【导学号：32750075】
【证明】　(1)当n＝2时，>0，不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2)时，原不等式成立，
即＋＋＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋＋…＋
>＋＋＋…＋
>＋＋＋…＋
＝＋＝
＝.
所以当n＝k＋1时，原不等式成立．
由(1)(2)知，原不等式对n≥2的所有的自然数都成立．
21．(本小题满分12分)如果数列{an}满足条件：a1＝－4，an＋1＝(n＝1,2，…)，证明：对任何自然数n，都有an＋1>an且an<0.
【证明】　(1)由于a1＝－4，
a2＝＝＝>a1.
且a1<0，因此，当n＝1时不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，ak＋1>ak且ak<0.
那么ak＋1＝<0.
当n＝k＋1时，
有ak＋2＝，
∴ak＋2－ak＋1＝－
＝>0.
因此ak＋2>ak＋1且ak＋1<0，
这就是说，当n＝k＋1时不等式也成立，
根据(1)(2)，不等式对任何自然数n都成立．
因此，对任何自然数n，都有an＋1>an且an<0.
22．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.
(1)写出a1，a2，a3；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
【解】　(1)由题意Sn＋an＝2，可得a1＝1，a2＝，a3＝.
(2)猜想an＝.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝1，＝＝1，等式成立．
②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，由Sk＋1＋ak＋1＝2，Sk＋ak＝2，
得(Sk＋1－Sk)＋ak＋1－ak＝0，
即2ak＋1＝ak，
∴ak＋1＝ak＝·＝，
即当n＝k＋1时，等式成立．
由①②可知，对n∈N＋，an＝.
学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d
C．ac>bd D.>
【解析】　∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
【答案】　A
2．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．b＋a>0 D.a2－b2<0
【解析】　a－|b|>0?|b|0.故选C.
【答案】　C
3．若aA.> B．2a>2b
C．|a|>|b|>0 D.>
【解析】　考查不等式的基本性质及其应用．取a＝－2，b＝－1验证即可求解．
【答案】　B
4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么(　　)
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a
【解析】　ab2－ab＝ab(b－1)，
∵a＜0，－1＜b＜0，
∴b－1＜0，ab＞0，∴ab2－ab＜0，即ab2＜ab；
又ab2－a＝a(b2－1)，
∵－1＜b＜0，∴b2＜1，
即b2－1＜0.又a＜0，
∴ab2－a＞0，即ab2＞a.
故ab＞ab2＞a.
【答案】　D
5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的(　　)
【导学号：32750004】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　∵0＜ab＜1，
当a＜0且b＜0时可推得b＞，
所以“0＜ab＜1”不是“b＜”的充分条件， ①
反过来，若b＜，
当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”也不是“b＜”的必要条件， ②
由①②知，应选D.
【答案】　D
二、填空题
6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．
【解析】　f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，
∴f(x)＞g(x)．
【答案】　＞
7．给出四个条件：
①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.
能得出<成立的有________．(填序号)
【解析】　∴①②④可推出<成立．
【答案】　①②④
8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．
【解析】　设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，
可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．
又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.
【答案】　[1,7]
三、解答题
9．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜；
(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
求证：＞.
【证明】　(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∴0＜－＜－.又a＞b＞0，
∴－＞－＞0，
∴ ＞，即－＞－.
两边同乘以－1，得＜.
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴＜.
又∵e＜0，
∴＞.
10．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤≤9，求的取值范围．
【解】　由4≤≤9，得16≤≤81. ①
又3≤xy2≤8，∴≤≤. ②
由①×②得×16≤·≤81×，
即2≤≤27，因此的取值范围是[2,27]．
[能力提升]
1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜成立，如果a＜0，则b＜0，b＞成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜或b＞”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜或b＞”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分而不必要条件．
【答案】　A
2．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是(　　)
A．① B．①②
C．②③ D.①②③
【解析】　由a＞b＞1，c＜0，得＜，＞；幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，所以ac＜bc；因为a－c＞b－c，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，①②③均正确．
【答案】　D
3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出logb＜loga＜logab成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)
【解析】　∵logb＝－1，
若1＜a＜b，则＜＜1＜b，
∴loga＜loga＝－1，故条件①不可以；
若0＜a＜b＜1，则b＜1＜＜，
∴logab＞loga＞loga＝－1＝logb，
故条件②可以；
若0＜a＜1＜b，则0＜＜1，
∴loga＞0，
logab＜0，条件③不可以．故应填②.
【答案】　②
4．已知f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
【导学号：32750005】
【解】　由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，得
设u＝a＋c，v＝4a＋c，则有a＝，c＝，
∴f(3)＝9a＋c＝－u＋v.
又∴
∴－1≤－u＋v≤20，
即－1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[－1,20].
学业分层测评（二）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝的最大值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1
【解析】　显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；
当x>0时，x＋1≥2，∴f(x)≤，
当且仅当x＝1时，等号成立，
∴f(x)max＝.
【答案】　B
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)
A．a＜b＜＜
B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜
D.＜a＜＜b
【解析】　取特殊值法．取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B.
【答案】　B
3．已知x≥，则f(x)＝有(　　)
A．最大值为 B．最小值为
C．最大值为1 D.最小值为1
【解析】　∵x≥，∴x－2≥，
∴f(x)＝＝(x－2)＋≥
2＝1，当且仅当＝，
即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.
【答案】　D
4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D.4
【解析】　由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，
∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，
∴≥4，当且仅当x＝y时，取等号．
【答案】　D
5．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的关系是(　　)
A．x>y B．y>x
C．x>y D.y>x
【解析】　因为a，b是不相等的正数，所以x2＝＋<＋＝a＋b＝y2，即x2【答案】　B
二、填空题
6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.
【导学号：32750010】
【解析】　x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－＝(x＋y)2，∴(x＋y)2≤，∴|x＋y|≤，即x＋y的最大值为.
【答案】　
7．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
【解析】　因为x＞0，y＞0，
所以＋≥2＝，即≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.
【答案】　3
8．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
【解析】　∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，
∴(am＋bn)(bm＋an)
＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2
＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)
≥2ab·mn＋2(a2＋b2)
＝4ab＋2(a2＋b2)
＝2(a2＋b2＋2ab)
＝2(a＋b)2＝2，
当且仅当m＝n＝时，取“＝”，
∴所求最小值为2.
【答案】　2
三、解答题
9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
【解】　∵x＋y＝(x＋y)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
又(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18. ①
又a＋b＝10， ②
由①②可得或
10．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.
【证明】　∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2，
∴＋＋≥1.
[能力提升]
1．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是(　　)
A．40 B．10
C．4 D.2
【解析】　因为x，y∈R＋，∴≤，
∴≤＝10，∴xy≤100.
∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2.
【答案】　D
2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D.2千米处
【解析】　由已知：y1＝，
y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋
≥2＝8.
当且仅当0.8x＝，
即x＝5时等号成立．
【答案】　A
3．y＝(x＞0)的最小值是________．
【解析】　∵x＞0，∴y＝＝＋x＋1－1≥2－1.
当且仅当x＋1＝时取等号．
【答案】　2－1
4．若对任意x>0，≤a恒成立，求实数a的取值范围.
【导学号：32750011】
【解】　由x>0，知原不等式等价于
0<≤＝x＋＋3恒成立．
又x>0时，x＋≥2＝2，
∴x＋＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．
因此min＝5，
从而0<≤5，解得a≥.
故实数a的取值范围为.
学业分层测评（三）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是(　　)
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)
【解析】　∵6＝x＋y＋z≥3，
∴xyz≤8.
∴lg x＋lg y＋lg z
＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2.
【答案】　B
2．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为(　　)
A．nn　 　　B．2n　 　　C．n2　 　　D．2n＋1
【解析】　x＋＝＋，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.
【答案】　A
3．设0A. B．1 C. D.
【解析】　∵0∴0<1－x<1，
∴x(1－x)2＝·2x·(1－x)·(1－x)
≤3＝.
当且仅当x＝时，等号成立．
【答案】　D
4．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则(　　)
【导学号：32750016】
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D.z≤y≤x
【解析】　由a，b，c大于0，易知≥，即x≥y.又z2＝，x2＝，
且x2＝≤＝，
∴x2≤z2，则x≤z，
因此z≥x≥y.
【答案】　B
5．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为(　　)
A．2 B．7
C．8 D.1
【解析】　∵6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，
∴x2y3z≤1，当＝y＝4z时，取“＝”，
即x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1.
【答案】　D
二、填空题
6．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是________．
【解析】　由题意知a＋(b*c)＝a＋＝，
(a＋b)*(a＋c)＝＝，
所以a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．
【答案】　a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)
7．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为________．
【解析】　∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，
则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立．
【答案】　8
8．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥.
其中正确的不等式序号是________．
【解析】　∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴1＝a＋b＋c≥3，
0从而①正确，②也正确．又a＋b＋c＝1，
∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，
因此1≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥，③正确．
【答案】　①②③
三、解答题
9．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋（＋＋）≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
【证明】　因为a，b，c均为正数，由算术-几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)， ①
＋＋≥3(abc).
所以≥9(abc). ②
故a2＋b2＋c2＋
≥3(abc)＋9(abc).
又3(abc)＋9(abc)≥2＝6， ③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．
10．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.
(1)求＋＋的最小值；
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9.
【解】　(1)因为x＋y＋z≥3>0，＋＋≥>0，
所以(x＋y＋z)≥9，即＋＋≥3，
当且仅当x＝y＝z＝1时，＝＝取最小值3.
(2)证明：x2＋y2＋z2＝
≥
＝＝3.
又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0，
所以3≤x2＋y2＋z2<9.
[能力提升]
1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是(　　)
A．V≥π　　B．V≤π　　C．V≥π　　D．V≤π
【解析】　设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π＝π.
当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
【答案】　B
2．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(　　)
【导学号：32750017】
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【解析】　xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥
3＝3＝3＝3.
【答案】　C
3．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
【解析】　∵2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a.又∵x－a＞0，
∴2x＋≥3＋2a
＝3＋2a，
当且仅当x－a＝，即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋的最小值为3＋2a.
由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
【答案】　2
4．如图1-1-3(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图1-1-3(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．
图1-1-3
【解】　设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，
由图可有2h＋x＝，
∴h＝(1－x)，
V＝S底·h＝6×x2·h＝x2··(1－x)
＝9×××(1－x)≤9×3＝.
当且仅当＝1－x，即x＝时，等号成立．
所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.
学业分层测评（四）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有(　　)
A．|a|＞|b|＞|c| B．|ab|＞|bc|
C．|a＋b|＞|b＋c| D.|a－c|＞|a－b|
【解析】　当a，b，c均为负数时，则A，B，C均不成立，
如a＝－1，b＝－2，c＝－3时，有|a|＜|b|＜|c|，故A错；
|ab|＝2，而|bc|＝6，此时|ab|＜|bc|，故B错；
|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，与C中|a＋b|＞|b＋c|矛盾，故C错；只有D正确．故选D.
【答案】　D
2．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系为(　　)
A．m>n B．mC．m＝n D.m≤n
【解析】　由|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，得≤1，≥1.
【答案】　D
3．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是(　　)
A．|a＋b|＞a－b B．2≤|a＋b|
C．|a＋b|<|a|＋|b| D.≥2
【解析】　当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．
【答案】　C
4．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是(　　)
A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b|
C．b＞||c|－|a|| D.b＜||a|－|c||
【解析】　b＞|a－c|＞|a|－|c|，
b＞|a－c|＞|c|－|a|，故A，B成立，
∴b＞||a|－|c||，故C成立．
应选D(此题代入数字也可判出)．
【答案】　D
5．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的(　　)
【导学号：32750020】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，
∴|x－a|＋|y－a|＜2m.
又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，
∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，
如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，
但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，
∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m(x，y，a，m∈R)”的充分不必要条件．
【答案】　A
二、填空题
6．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．
【解析】　因为a，b∈R，则|a－b|>2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|x－a|＋|x－b|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|x－a|＋|x－b|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.
【答案】　R
7．下列四个不等式：
①logx10＋lg x≥2(x＞1)；
②|a－b|＜|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；
④|x－1|＋|x－2|≥1.
其中恒成立的是________(填序号)．
【解析】　logx10＋lg x＝＋lg x≥2，①正确．
ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
∵ab≠0，与同号，
∴＝＋≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确．
综上，①③④正确．
【答案】　①③④
8．已知α，β是实数，给出三个论断：
①|α＋β|＝|α|＋|β|；
②|α＋β|>5；
③|α|>2，|β|>2.
以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．
【解析】　①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5.
【答案】　①③?②
三、解答题
9．设ε>0，|x－a|<，|y－b|<.求证：|2x＋3y－2a－3b|<ε.
【证明】　∵|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤2|x－a|＋3|y－b|<2×＋3×＝ε.
10．(2014·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
【解】　(1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.
(2)f(3)＝＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3当0综上，a的取值范围是.
[能力提升]
1．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1| 的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D.4
【解析】　∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
【答案】　C
2．以下三个命题：
(1)若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；
(2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
(3)若|x|＜2，|y|＞3，则＜.
其中正确的有________个．
【解析】　(1)1＞|a－b|≥|a|－|b|，
∴1＋|b|＞|a|成立，(1)正确；
(2)|a＋b|－2|a|＝|a＋b|－|2a|≤|a＋b－2a|＝|a－b|正确；
(3)＝＜＜，正确．
【答案】　3
3．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________.
【导学号：32750021】
【解析】　|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
【答案】　－2≤a≤4
4．若1＜a＜8，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是____________．
【解析】　∵－4＜b＜2，则0≤|b|＜4，∴－4＜－|b|≤0.
又∵1＜a＜8，∴－3＜a－|b|＜8.
【答案】　(－3,8)
5．(2016·江苏高考)设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.
【证明】　因为|x－1|＜，|y－2|＜，
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.
学业分层测评（五）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．不等式1<|x＋1|<3的解集为(　　)
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D.(－4，－2)∪(0,2)
【解析】　由1<|x＋1|<3，得
1∴0∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．
【答案】　D
2．不等式>的解集是(　　)
A．(0,2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D.(－∞，0)∪(2，＋∞)
【解析】　由绝对值的意义知，>等价于<0，即x(x－2)<0，解得0【答案】　A
3．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a的取值为(　　)
A．8 B．2
C．－4 D.－8
【解析】　原不等式化为－6＜ax＋2＜6，
即－8＜ax＜4.
又∵－1＜x＜2，∴验证选项易知a＝－4适合．
【答案】　C
4．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a的解集为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥3 B．a≤3
C．a＞3 D.a＜3
【解析】　令t＝|x＋1|＋|x－2|，由题意知
只要tmin≥a即可，
因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以tmin＝3，∴a≤3.
即实数a的取值范围是(－∞，3]，故选B.
【答案】　B
5．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}，若A?B，则实数a，b必满足(　　)
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D.|a－b|≥3
【解析】　由|x－a|<1，得a－1由|x－b|>2，得xb＋2.
∵A?B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，
即a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3.
【答案】　D
二、填空题
6．不等式|x－5|－|x＋3|≥4的解集为________.
【导学号：32750023】
【解析】　当x<－3时，原不等式为8≥4恒成立；当－3≤x≤5时，原不等式为(5－x)－(x＋3)≥4，解得x≤－1，所以－3≤x≤－1；当x>5时，原不等式为(x－5)－(x＋3)≥4，无解．综上可知，不等式|x－5|－|x＋3|≥4的解集为{x|x≤－1}．
【答案】　{x|x≤－1}
7．若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.
【解析】　∵|ax－2|<3，∴－1当a>0时，－当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
当a<0时，【答案】　－3
8．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为?，则a的取值范围为________．
【解析】　法一：由|x＋2|＋|x－1|＝|x＋2|＋|1－x|≥|x＋2＋1－x|＝3，知a≤3时，原不等式无解．
法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.
所以当a≤3时，原不等式的解集为?.
【答案】　(－∞，3]
三、解答题
9．已知关于x的不等式|x|＞ax＋1的解集为{x|x≤0}的子集，求a的取值范围．
【解】　设y1＝|x|，y2＝ax＋1.
则y1＝
在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示．
|x|＞ax＋1，只需考虑函数y1＝|x|的图象位于y2＝ax＋1的图象上方的部分，可知a≥1，即a的取值范围是[1，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－2|＋k.
(1)若f(x)≥3恒成立，求k的取值范围；
(2)当k＝1时，求不等式f(x)<3x的解集．
【解】　(1)|x－3|＋|x－2|＋k≥3，对任意x∈R恒成立，即(|x－3|＋|x－2|)min≥3－k.
又|x－3|＋|x－2|≥|x－3－x＋2|＝1，(|x－3|＋|x－2|)min＝1≥3－k，解得k≥2.
(2)当x≤2时，5x>6，解得x>，∴当22，解得x>，∴2当x≥3时，x>－4，∴x≥3.
综上，解集为.
[能力提升]
1．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3]∪[5，＋∞)
B．[－5，－3]
C．[3,5]
D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
【解析】　在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.
【答案】　D
2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1,0]
C．[0,1] D.[0，＋∞)
【解析】　作出y＝|x＋1|与y＝kx的图象，如图，当k＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k＞0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.
综上可知k∈[0,1]．
【答案】　C
3．若关于x的不等式|x－1|＋|x－a|≥a的解集为R(其中R是实数集)，则实数a的取值范围是________．
【解析】　不等式|x－1|＋|x－a|≥a恒成立，
a不大于|x－1|＋|x－a|的最小值，
∵|x－1|＋|x－a|≥|1－a|，
∴|1－a|≥a,1－a≥a或1－a≤－a，
解得a≤.
【答案】　
4．已知a∈R，设关于x的不等式|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4的解集为A.
(1)若a＝1，求A；
(2)若A＝R，求a的取值范围.
【导学号：32750024】
【解】　(1)当x≤－3时，原不等式化为－3x－2≥2x＋4，得x≤－3.
当－3＜x≤时，原不等式化为4－x≥2x＋4，得－3＜x≤0.
当x＞时，原不等式化为3x＋2≥2x＋4，得x≥2.
综上，A＝{x|x≤0或x≥2}．
(2)当x≤－2时，|2x－a|＋|x＋3|≥0≥2x＋4成立．
当x＞－2时，|2x－a|＋|x＋3|＝|2x－a|＋x＋3≥2x＋4，
得x≥a＋1或x≤，
所以a＋1≤－2或a＋1≤，得a≤－2.
综上，a的取值范围为(－∞，－2]．
学业分层测评（十）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(　　)
A．1 B.
C．3 D.9
【解析】　由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤3×1＝3，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
∴＋＋的最大值为.故选B.
【答案】　B
2．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为(　　)
【导学号：32750054】
A．4 B．3
C．6 D.2
【解析】　∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]·
≥
2＝18.
∴＋＋≥2.
【答案】　D
3．设a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则P与Q的大小关系为(　　)
A．P＞Q B．P≥Q
C．P＜Q D.不确定
【解析】　由柯西不等式知
≥a1＋a2＋…＋an，
∴·≥a1＋a2＋…＋an，
即得≥，∴P≥Q.
【答案】　B
4．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为(　　)
A．1　　　　B．6 C．11　　　　D.
【解析】　∵(2x2＋y2＋3z2)≥x·＋y·1＋z·＝(x＋y＋z)2＝1，
∴2x2＋y2＋3z2≥＝，即F≥，当且仅当2x＝y＝3z时，取等号．
【答案】　D
5．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为(　　)
A．24　　　　B．30　　　　C．36　　　　D．48
【解析】　(x＋y＋z)
≥2＝36，
∴＋＋≥36.
【答案】　C
二、填空题
6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是__________．
【解析】　由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，
∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.
∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.
【答案】　
7．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
【解析】　∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.
∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．
【答案】　12
8．设x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，则3x－y－2z的取值范围是__________．又3x－y－2z取最小值时，x的值为__________．
【解析】　[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2][32＋(－1)2＋
(－2)2]≥(3x－3－y－2－2z)2,4×14≥(3x－y－2z－5)2，
∴－2≤3x－y－2z－5≤2，
即5－2≤3x－y－2z≤5＋2.
若3x－y－2z＝5－2，又＝＝＝t，
∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－2，
∴t＝－，∴x＝－＋1.
【答案】　[5－2，5＋2]　－＋1
三、解答题
9．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.
(1)求证：＋＋≥；
(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．
【解】　(1)证明：·(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥·＋·＋·＝1，
即3≥1，
∴＋＋≥.
(2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥3，
因为x＋y＋z＝1，
所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝2＋≥，
故4x＋4y＋4z2≥3＝3，
当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立，
所以4x＋4y＋4z2的最小值为3.
10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1.
【证明】　由于f(x)＝ax2＋bx＋c，
且a，b，c大于0，
∴f(x1)·f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c)
≥(x1·x2＋·＋c)2
＝(ax1x2＋b＋c)2
＝[f()]2＝[f(1)]2.
又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1，
∴f(x1)·f(x2)≥1.
[能力提升]
1．若2a＞b＞0，则a＋的最小值为(　　)
A．1 B．3
C．8 D.12
【解析】　∵2a＞b＞0，∴2a－b＞0，
∴a＋＝
≥·3＝3.
当且仅当2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立，
∴当a＝b＝2时，a＋有最小值3.
【答案】　B
2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.
【答案】　C
3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________.
【导学号：32750055】
【解析】　由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.
当且仅当＝＝，
即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．
又a＋b＋c＝6，∴a＝，b＝，c＝时，
＋＋取得最大值4.
【答案】　4
4．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.
求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.
【证明】　由三角形中的正弦定理，得
sin A＝，所以＝，
同理＝，＝，
于是由柯西不等式可得
左边＝(a2＋b2＋c2)
≥2＝36R2，
∴原不等式得证．
学业分层测评（十一）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a≥b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是(　　)
A．P>Q　　B．P≥Q　　C．P【解析】　∵a≥b>0，∴a2≥b2>0.
因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，
则P≥Q.
【答案】　B
2．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为(　　)
A．反序和≥乱序和≥顺序和
B．反序和＝乱序和＝顺序和
C．反序和≤乱序和≤顺序和
D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定
【答案】　C
3．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则＋＋的最小值为(　　)
A．3 B．6
C．9 D.12
【解析】　设a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，由乱序和不小于反序和知，
＋＋≥＋＋＝3，
∴＋＋的最小值为3，故选A.
【答案】　A
4．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为(　　)
A．A＞B B．A＜B
C．A≥B D.A≤B
【解析】　依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故选C.
【答案】　C
5．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(　　)
A．大于零 B．大于等于零
C．小于零 D.小于等于零
【解析】　设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
【答案】　B
二、填空题
6．若a，b，c∈R＋，则＋＋________a＋b＋c.
【解析】　不妨设a≥b≥c＞0，则bc≤ca≤ab，≤≤，
∴＋＋≥＋＋＝a＋b＋c.
【答案】　≥
7．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.
【解析】　等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．
【答案】　41
8．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，则＋＋的最小值为________.
【导学号：32750058】
【解析】　不妨设a3>a1>a2>0，则<<，
所以a1a2设乱序和S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1，
顺序和S′＝＋＋.
由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1，
所以＋＋的最小值为1.
【答案】　1
三、解答题
9．设a，b，c大于0，求证：
(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；
(2)＋＋≤.
【证明】　(1)不妨设a≥b≥c>0，
则a2≥b2≥c2>0，
∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，
∴a3＋b3≥ab(a＋b)．
(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，
所以＋＋
≤＋
＋
＝
＝·＝.
故原不等式得证．
10．已知a，b，c都是正数，求＋＋的最小值．
【解】　由对称性，不妨设0＜c≤b≤a，则有a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以0＜≤≤.
由排序不等式得
＋＋
≥＋＋，①
＋＋≥＋＋.②
由①②知2≥3，
∴＋＋≥.
当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值.
[能力提升]
1．锐角三角形中，设P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P，Q的关系为(　　)
A．P≥Q B．P＝Q
C．P≤Q D.不能确定
【解析】　不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，
cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A
＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A)
≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]
＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝＝P.
【答案】　C
2．已知a＋b＋c＝1，a，b，c为正数，则＋＋的最小值是________．
【解析】　不妨设a≥b≥c，∴≥≥，
∴＋＋≥＋＋，①
＋＋≥＋＋，②
①＋②得＋＋≥，
∴＋＋≥.
【答案】　
3．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与(a＋b)的大小关系为________.
【导学号：32750059】
【解析】　不妨设a≥b＞0，
则A≥B＞0，由排序不等式
?2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B)
＝(a＋b)，
∴aA＋bB≥(a＋b)．
【答案】　aA＋bB≥(a＋b)
4．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
【证明】　∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在上为增函数，y＝cos x在上为减函数，
∴0cos β>cos γ>0.
根据排序不等式得：乱序和>反序和．
∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α
>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ
＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
故原不等式得证．
学业分层测评（九）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为(　　)
A．1 B．2
C. D.4
【解析】　∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，
∴ax＋by≤.
【答案】　C
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3
【解析】　∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，
∴a2＋b2≥2.
【答案】　C
3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)
【导学号：32750050】
A．P≤Q B．PC．P≥Q D.P>Q
【解析】　设m＝(x，y)，n＝(，)，
则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|
＝·
＝·＝，
∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.
【答案】　A
4．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)
A．[－2，2] B．[－2，2]
C．[－，] D.(－，)
【解析】　(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2.
∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.
∴－2≤a－b≤2.
【答案】　A
5．若a＋b＝1且a，b同号，则2＋2的最小值为(　　)
A．1 B．2
C. D.
【解析】　＋
＝a2＋2＋＋b2＋2＋＝(a2＋b2)＋4.
∵a＋b＝1，ab≤＝，
∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)
≥·(a＋b)2＝，1＋≥1＋42＝17，
∴＋≥＋4＝.
【答案】　C
二、填空题
6．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．
【解析】　由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11，
于是2x＋y≤.
【答案】　
7．设xy＞0，则·的最小值为________．
【解析】　原式＝≥＝9(当且仅当xy＝时取等号)．
【答案】　9
8．设x，y∈R＋，且x＋2y＝8，则＋的最小值为________．
【解析】　(x＋2y)
＝[()2＋()2][＋]≥＝25，当且仅当·＝·，即x＝，y＝时，“＝”成立．又x＋2y＝8，
∴＋≥.
【答案】　
三、解答题
9．已知θ为锐角，a，b均为正实数．求证：(a＋b)2≤＋.
【证明】　设m＝，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝
＝|m·n|≤|m||n|＝ ·
＝ ，
∴(a＋b)2≤＋.
10．已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.
【证明】　因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，
所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.
由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，
当且仅当b＝2a时，等号成立，即5(1－c2)≥(1－c)2，
整理得3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.
[能力提升]
1．函数y＝＋2的最大值是(　　)
A.　　　　B. C．3　　　　D．5
【解析】　根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.
【答案】　B
2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是(　　)
A.　　　　B．1 C．3　　　　D．9
【解析】　∵2x＋y＝2x·1＋y·1
≤·＝·＝.
∴2x＋y的最大值为.
【答案】　A
3．函数f(x)＝＋的最大值为______．
【导学号：32750051】
【解析】　设函数有意义时x满足≤x2≤2，由柯西不等式得[f(x)]2＝
≤(1＋2)＝，
∴f(x)≤，
当且仅当2－x2＝，即x2＝时取等号．
【答案】　
4．在半径为R的圆内，求内接长方形的最大周长．
【解】　如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1×)．
由柯西不等式
l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R
＝4R，
当且仅当＝，即x＝R时，等号成立．
此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，
故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为4R.
学业分层测评（六）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a＞2，b＞2，则(　　)
A．ab≥a＋b B．ab≤a＋b
C．ab＞a＋b D.ab＜a＋b
【解析】　∵a＞2，b＞2，∴－1＞0，－1＞0，
则ab－(a＋b)＝a＋b＞0，
∴ab＞a＋b.
【答案】　C
2．已知a＞b＞－1，则与的大小关系为(　　)
A.＞ B.＜
C.≥ D.≤
【解析】　∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，则－＝＜0，∴＜.
【答案】　 B
3．a，b都是正数，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是(　　)
【导学号：32750031】
A．P＞Q B．P＜Q
C．P≥Q D.P≤Q
【解析】　∵a，b都是正数，
∴P＞0，Q＞0，
∴P2－Q2＝－()2
＝≤0(当且仅当a＝b时取等号)，
∴P2－Q2≤0.
∴P≤Q.
【答案】　D
4．下列四个数中最大的是(　　)
A．lg 2 B．lg
C．(lg 2)2 D.lg(lg 2)
【解析】　∵0＜lg 2＜1＜＜2，
∴lg(lg 2)＜0＜lg ＜lg 2，
且(lg 2)2＜lg 2，故选A.
【答案】　A
5．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是(　　)
A．a5b5
C．a5＝b5 D.不确定
【解析】　设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，
则a5－b5＝a1q4－(b1＋4d)＝a1q4－(a1＋4d)．
∵a3＝b3，∴a1q2＝b1＋2d，即a1q2＝a1＋2d，
∴aq4＝(a1＋2d)2＝a＋4a1d＋4d2，
∴a5－b5＝
＝＝.
∵a1>0，d≠0，∴a5－b5>0，
∴a5>b5.
【答案】　B
二、填空题
6．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________.
【导学号：32750032】
【解析】　P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a
＝(ab－1)2＋(a＋2)2.
∵P>Q，∴P－Q>0，
即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，
∴ab≠1或a≠－2.
【答案】　ab≠1或a≠－2
7．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．
【解析】　M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，即M＞N.
【答案】　M＞N
8．已知a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，则与的大小关系是________．
【解析】　∵a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，
∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1.
从而＝＞1，
∴＞.
【答案】　＞
三、解答题
9．已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
【证明】　∵a＞2，
则a－1＞1，
∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，
由于＝loga(a－1)·loga(a＋1)
＜
＝.
∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，
∴＜＝1，
因此＜1.
∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.
10．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
(1)求q的值；
(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
【解】　(1)由题设知2a3＝a1＋a2，
即2a1q2＝a1＋a1q.
又a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－.
(2)若q＝1，则Sn＝2n＋＝＝.
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，
故Sn＞bn.
若q＝－，则Sn＝2n＋·＝＝.
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－，
故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；
当n＝10时，Sn＝bn；
当n≥11时，Sn＜bn.
[能力提升]
1．已知a＞0，b＞0，m＝＋，＝＋，p＝，则m，n，p的大小顺序是(　　)
A．m≥n＞p B．m＞n≥p
C．n＞m＞p D.n≥m＞p
【解析】　由已知m＝＋，n＝＋，得a＝b＞0时m＝n，可否定B，C.比较A，D项，不必论证与p的关系．取特值a＝4，b＝1，则m＝4＋＝，n＝2＋1＝3，∴m＞n，可排除D.
【答案】　A
2．设m＞n，n∈N*，a＝(lg x)m＋(lg x)－m，b＝(lg x)n＋(lg x)－n，x＞1，则a与b的大小关系为(　　)
A．a≥b B．a≤b
C．与x值有关，大小不定 D.以上都不正确
【解析】　要比较a与b的大小，通常采用比较法，根据a与b均为对数表达式，只有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小．
a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)
＝(lgmx－lgnx).
∵x＞1，∴lg x＞0.
当0＜lg x＜1时，a＞b；
当lg x＝1时，a＝b；
当lg x＞1时，a＞b.
∴应选A.
【答案】　A
3．一个个体户有一种商品，其成本低于元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．
【解析】　设这种商品的成本费为a元．
月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，
月末售出的利润为L2＝120－2%a，
则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a
＝0.045，
∵a＜，∴L1＜L2，月末出售好．
【答案】　月末
4．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
【证明】　∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴a2b＋ab2＞2ab，a3＋b3＞2ab.
∴a2b＋ab2－2ab＞0，
a3＋b3－2ab＞0.
∴|a2b＋ab2－2ab|－|a3＋b3－2ab|
＝a2b＋ab2－2ab－a3－b3＋2ab
＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b)
＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0，
∴|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，
∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
学业分层测评（七）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　)
A.＜ B．a2＞b2
C.＞ D.a|c|＞b|c|
【解析】　∵a＞b，c2＋1＞0，
∴＞，故选C.
【答案】　C
2．设＜＜＜1，则(　　)
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa
【解析】　∵＜＜＜1，
∴0＜a＜b＜1，∴＝aa－b＞1，∴ab＜aa，
＝.∵0＜＜1，a＞0，
∴＜1，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故选C.
【答案】　C
3．已知条件p：ab>0，q：＋≥2，则p与q的关系是(　　)
【导学号：32750037】
A．p是q的充分而不必要条件
B．p是q的必要而不充分条件
C．p是q的充要条件
D．以上答案都不对
【解析】　当ab>0时，>0，>0，
∴＋≥2 ＝2.
当＋≥2时，
∴≥0，≥0，
(a－b)2≥0，∴ab>0，
综上，ab>0是＋≥2的充要条件．
【答案】　C
4．已知a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是(　　)
A.＋≥2 B.＋≥a＋b
C.＋≤ D.＋≥
【解析】　A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；C选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．
【答案】　C
5．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则(　　)
A．S≥2P B．P＜S＜2P
C．S＞P D.P≤S＜2P
【解析】　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
即S≥P.
又三角形中|a－b|＜c，∴a2＋b2－2ab＜c2，
同理b2－2bc＋c2＜a2，c2－2ac＋a2＜b2，
∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)，即S＜2P.
【答案】　D
二、填空题
6．有以下四个不等式：
①(x＋1)(x＋3)＞(x＋2)2；②ab－b2＜a2；③＞0；④a2＋b2≥2|ab|.
其中恒成立的为________(写出序号即可)．
【解析】　对于①，x2＋4x＋3＞x2＋4x＋4,3＞4不成立；对于②，当a＝b＝0时， 0＜0不成立；③④显然成立．
【答案】　③④
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，则的取值范围是________．
【解析】　∵a2＋b2＝c2，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，∴≤，当且仅当a＝b时，取等号．又∵a＋b>c，∴>1.
【答案】　(1，]
8．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．
【解析】　∵P＝，Q＝，＝＋，
∴R＝≤Q＝≤P＝，
当且仅当a＝b时取等号．
【答案】　P≥Q≥R
三、解答题
9．设a＞0，b＞0，c＞0.证明：
(1)＋≥；
(2)＋＋≥＋＋.
【证明】　(1)∵a＞0，b＞0，
∴(a＋b)
≥2·2＝4，
∴＋≥.
(2)由(1)知＋≥，
同时＋≥，＋≥，三式相加得：
2≥＋＋，
∴＋＋≥＋＋.
10．已知a≥1，求证：－＜－.
【证明】　要证原不等式成立，
只要证明＋＜2.
因为a≥1，＋＞0,2＞0，
所以只要证明2a＋2＜4a，
即证 ＜a.
所以只要证明a2－1＜a2，
即证－1＜0即可．
而－1＜0显然成立，
所以－＜－.
[能力提升]
1．若xy＋yz＋zx＝1，则x2＋y2＋z2与1的关系是(　　)
【导学号：32750038】
A．x2＋y2＋z2≥1 B．x2＋y2＋z2≤1
C．x2＋y2＋z2＝1 D.不确定
【解析】　x2＋y2＋z2＝(x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x2)≥(2xy＋2yz＋2zx)＝1，当且仅当x＝y＝z＝时，取等号．
【答案】　A
2．设a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，若M＝··，则M的取值范围是________．
【解析】　∵a＋b＋c＝1，
∴M＝··
＝··
＝··
≥2·2·2＝8，
即M的取值范围是[8，＋∞)．
【答案】　[8，＋∞)
3．已知|a|＜1，|b|＜1，求证：＜1.
【证明】　要证＜1，只需证|a＋b|＜|1＋ab|，
只需证a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2b2，
即证(1－a2)－b2(1－a2)＞0，
也就是(1－a2)(1－b2)＞0，
∵|a|＜1，|b|＜1，∴最后一个不等式显然成立．
因此原不等式成立．
4．若不等式＋＋＞0在条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．
【解】　不等式可化为＋＞.
∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，
b－c＞0，a－c＞0，
∴λ＜＋恒成立．
∵＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴λ≤4.
故实数λ的取值范围是(－∞，4]．
学业分层测评（八）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(　　)
①结论相反的判断，即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义等；
④原结论．
A．①②　　B．①②④　　C．①②③　　D．②③
【解析】　由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．
【答案】　C
2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是(　　)
A.＝
B.＜
C.＝且＜
D.＝或＜
【解析】　应假设≤，
即＝或＜.
【答案】　D
3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为(　　)
A．0个　　　B．1个 C．2个　　　D．3个
【解析】　对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；
对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．
【答案】　C
4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则(　　)
A．M≥N B．M≤N
C．M>N D.M【解析】　依题意易知1－a,1－b,1－c∈R＋，由均值不等式知≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝，∴(1－a)(1－b)(1－c)≤，
从而有≥(1－b)(1－c)，即M≥N，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．故选A.
【答案】　A
5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
【解析】　∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，
∴a，b，c三者中至少有一个不小于2.
【答案】　C
二、填空题
6．若要证明“a，b至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________.
【导学号：32750042】
【答案】　a，b中没有任何一个为正数(或a≤0且b≤0)
7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．
【解析】　∵lg 9＞0，lg 11＞0，
∴＜＝＜＝1，
∴lg 9·lg 11＜1.
【答案】　lg 9·lg 11＜1
8．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．
【解析】　∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，
∴M＝＋＋＋…＋
＜＝1.
【答案】　M＜1
三、解答题
9．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，求c的最大值．
【解】　2a＋b＝2a＋2b≥2，当且仅当a＝b时，即2a＋b≥4时取“＝”，
由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，
得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，
∴2c＝＝1＋≤1＋＝，
故c≤log2＝2－log23.
10．已知n∈N＋，求证：<＋＋…＋<.
【证明】　k<<＝(2k＋1)(k＝1,2，…，n)．
若记Sn＝＋＋…＋，则
Sn>1＋2＋…＋n＝，
Sn<(3＋5＋…＋2n＋1)＝(n2＋2n)<.
[能力提升]
1．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为(　　)
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
【解析】　三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．
【答案】　D
2．设x，y都是正实数，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)
A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1
C．x＋y≤(＋1)2 D.xy≥2(＋1)
【解析】　由已知
(x＋y)＋1＝xy≤，
∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.
∵x，y都是正实数，
∴x＞0，y＞0，
∴x＋y≥2＋2＝2(＋1)．
【答案】　A
3．已知a＞2，则loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)．
【解析】　∵a＞2，
∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)＞0.
又loga(a－1)≠loga(a＋1)，
∴
＜，
而＝loga(a2－1)
＜logaa2＝1，
∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1.
【答案】　＜
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋),
【导学号：32750043】
(1)求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜.
【解】　(1)∵a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋)，
∴a2＝22·a1＝16，a3＝2·a2＝72.
又∵＝2·，n∈N＋，
∴为等比数列．
∴＝·2n－1＝2n，
∴an＝n2·2n.
(2)证明：cn＝＝，
∴c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝＋＋＋…＋
＜＋＋＋·
＝＋·
＜＋·＝＋
＝＝＜＝，所以结论成立．
学业分层测评（十二）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
【解析】　因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.故选D.
【答案】　D
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D.0
【解析】　边数最少的凸n边形是三角形．
【答案】　C
3．已知a1＝，an＋1＝，猜想an等于(　　)
【导学号：32750066】
A. B.
C. D.
【解析】　a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝＝，
猜想an＝.
【答案】　D
4．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是(　　)
A．2k＋1 B.
C．2(2k＋1) D.
【解析】　当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)．
【答案】　C
5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上(　　)
A. B．π
C．2π D.π
【解析】　从n＝k到n＝k＋1时，
内角和增加π.
【答案】　B
二、填空题
6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子应为________．
【答案】　1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2
＝(－1)n＋1·
7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
【解析】　∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，
∴n＝k＋1时为使用归纳假设，
应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.
【答案】　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
8．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________．
【解析】　34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.
【答案】　81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
…＝(n≥2，n∈N＋)．
【证明】　(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.
∴等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，
即…＝(k≥2，k∈N＋)．
当n＝k＋1时，
…
＝·＝
＝＝，
∴当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．
10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式an－bn都能被a－b整除．
【证明】　(1)当n＝1时，an－bn＝a－b能被a－b整除．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak－bk能被a－b整除，那么当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因为(a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．这也就是说当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1能被a－b整除．
根据(1)(2)可知对一切正整数n，an－bn都能被a－b整除．
[能力提升]
1．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
【导学号：32750067】
A. B.
C.＋ D.－
【解析】　因为f(n)＝＋＋…＋，
所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.
【答案】　D
2．某同学回答“用数学归纳法证明＜n＋1(n∈N＋)的过程如下：
证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的：
(2)假设n＝k时有＜k＋1，那么当n＝k＋1时，＝＜＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n∈N＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于(　　)
A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设
B．归纳假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．当n＝1时，验证过程不具体
【解析】　证明＜(k＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设＜k＋1.
【答案】　A
3．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，且n＞1)时，第一步应验证n＝________，当n＝k＋1时，左边的式子为________．
【解析】　∵所证明的等式为
22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，n＞1)．
又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)，
∴n应为2.
又∵当n＝k＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n换成k＋1，
即22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.
【答案】　2　22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
4．是否存在常数a，b，c使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．
【解】　存在．分别用n＝1,2,3代入，解方程组得
故原等式右边＝－.
下面用数学归纳法证明．
(1)当n＝1时，由上式可知等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2.
则当n＝k＋1时，
左边＝[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)·[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4－k2＋(2k＋1)·＝(k＋1)4－(k＋1)2，故n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)得等式对一切n∈N＋均成立．
学业分层测评（十三）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命题总成立的是(　　)
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
【解析】　根据题中条件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因为D中f(4)＝25＞42，故可推得k≥4时，f(k)≥k2，故只有D正确．
【答案】　D
2．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为(　　)
A．n0＝1 B．n0＝2
C．n0＝1,2 D.以上答案均不正确
【解析】　需验证：n0＝1时，x＋≥1＋1成立．
【答案】　A
3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋【导学号：32750070】
A．1项　　　B．k项　　　C．2k－1项　　D．2k项
【解析】　1＋＋＋…＋－1＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
∴共增加2k项．
【答案】　D
4．若不等式＋＋…＋>对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为(　　)
A．12 B．13
C．14 D.不存在
【解析】　令f(n)＝＋＋…＋，
易知f(n)是单调递增的，
∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.
依题意>，∴m<14.因此取m＝13.
【答案】　B
5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边(　　)
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了B中两项但减少了一项
D．以上各种情况均不对
【解析】　∵n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，
∴增加了两项，，少了一项.
【答案】　C
二、填空题
6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．
【解析】　当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．
【答案】　21＋1≥12＋1＋2
7．证明＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________．
【解析】　当n＝2时，要证明的式子为
2＜1＋＋＋＜3.
【答案】　2＜1＋＋＋＜3
8．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．
【解析】　由题中已知不等式可猜想：
＋＋＋…＋
≥(n≥3且n∈N＋)．
【答案】　＋＋＋…＋≥(n≥3且n∈N＋)
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；
(2)证明：S＋S＋…＋S≤－.
【解】　(1)S1＝a1＝，∴＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，
∴－＝2.
故是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，
则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－
＝－·<－·＝－.
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知对任意n∈N＋不等式成立．
10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N*)．
【证明】　由f(x)＝x3－x，
得f′(x)＝x2－1.
因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)，
(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥2k－1，
当n＝k＋1时，
ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.
又k≥1，∴22k≥2k＋1，∴n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立．
根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．
[能力提升]
1．对于正整数n，下列不等式不正确的是(　　)
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n≤1－0.1n D.0.1n≤1－0.9n
【解析】　排除法，取n＝2，只有C不成立．
【答案】　C
2．利用数学归纳法证明“＜”时，n的最小取值n0应为________.
【导学号：32750071】
【解析】　n0＝1时不成立，n0＝2时，＜，再用数学归纳法证明，故n0＝2.
【答案】　2
3．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为____________________.
【解析】　当n＝1时，M＝a＋b＝N，
当n＝2时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab＜M，
当n＝3时，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b＜M，
归纳得M≥N.
【答案】　M≥N
4．已知f(x)＝，对于n∈N＋，试比较f()与的大小并说明理由．
【解】　据题意f(x)＝＝＝1－，
∴f()＝1－.
又＝1－，∴要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，
当n＝1时，21＝2＞12＝1，
当n＝2时，22＝4＝22，
当n＝3时，23＝8＜32＝9，
当n＝4时，24＝16＝42，
当n＝5时，25＝32＞52＝25，
当n＝6时，26＝64＞62＝36.
故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2n＞n2，
下面用数学归纳法加以证明．
(1)当n＝5时，不等式显然成立．
(2)假设n＝k(k≥5且k∈N＋)时，不等式成立，
即2k＞k2.
则当n＝k＋1时，
2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1
＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2，
即n＝k＋1时，
不等式也成立．
由(1)(2)可知，
对一切n≥5，n∈N＋，2n＞n2成立．
综上所述，当n＝1或n≥5时，f()＞，
当n＝2或n＝4时，f()＝，
当n＝3时，f()＜.