模块综合检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题中是全称命题，并且又是真命题的是( )
A．所有菱形的四条边都相等
B．?x0∈N，使2x0为偶数
C．对?x∈R，x2＋2x＋1＞0
D．π是无理数
解析：根据全称命题的定义可以判断A、C两项为全称命题，对于C项，在x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故C项为假命题．
答案：A
2．若抛物线的准线方程为x＝1，焦点坐标为(－1,0)，则抛物线的方程是( )
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：∵抛物线的准线方程为x＝1，
焦点坐标为(－1,0)，
∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p＝2.
∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
答案：D
3．若a＝(1，－1，－1)，b＝(0,1,1)且(a＋λb)⊥b则实数λ的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：λb＝(0，λ，λ)，
a＋λb＝(1，λ－1，λ－1)．
∵(a＋λb)⊥b，∴(a＋λb)·b＝0，
∴λ－1＝0，λ＝1.
答案：B
4．已知命题p：?x∈R，x≥1，那么命题綈p为( )
A．?x∈R，x≤1
B．?x0∈R，x0＜1
C．?x∈R，x≤－1
D．?x0∈R，x0＜－1
解析：全称命题的否定是特称命题．
答案：B
5．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A. B．－
C．8 D．－8
解析：由y＝ax2得x2＝y，
∴＝－8，∴a＝－.
答案：B
6．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：因为椭圆＋＝1的离心率e1＝，
所以1－＝e＝，
即＝，而在双曲线－＝1中，设离心率为e2，
则e＝1＋＝1＋＝，所以e2＝.
答案：B
7．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0且a≠1)的图象不过第二象限
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
解析：由于a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d，而a＋c＞b＋d却不一定推出a＞b，且c＞d.故A中p是q的必要不充分条件．B中，当a＞1，b＞1时，函数f(x)＝ax－b不过第二象限，当f(x)＝ax－b不过第二象限时，有a＞1，b≥1.故B中p是q的充分不必要条件．C中，因为x＝1时有x2＝x，但x2＝x时不一定有x＝1，故C中p是q的充分不必要条件．D中p是q的充要条件．
答案：A
8．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)．
＝(2,0，－2)，＝(－2,1,0)，＝(0,3，－2)．
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1得n＝(1,2,3)．
cos〈，n〉＝＝＝－，
可得PB与平面PCD所成角的正弦值为.
答案：B
9．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：取BC中点O，连接AO，DO.
建立如图所示坐标系，设BC＝1，
则A，B，D.
∴＝，＝，＝.
由于＝为面BCD的法向量，
可进一步求出面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，
∴cos〈n，〉＝，
∴sin〈n，〉＝.
答案：C
10．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B．2
C. D.
解析：双曲线的一条渐近线为y＝x，
由消y得x2－x＋1＝0.
由题意，知Δ＝2－4＝0
∴b2＝4a2.
又c2＝a2＋b2，∴c2＝a2＋4a2＝5a2.
∴＝.
答案：D
11．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆
C．双曲线的一支 D．线段
解析：∵P为MF1中点，O为F1F2的中点，∴OP＝MF2，又MF1＋MF2＝2a，∴PF1＋PO＝MF1＋MF2＝a.∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．
答案：A
12．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为( )
A. B.
C. D.
解析：以A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，则＝(0,2,1)，Q(1,1,0)，P(1,0,2)，＝(0，－1,2)，所以·＝0，
所以QP与AM所成角为.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线－＝1的焦距是________．
解析：依题意a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c2＝a2＋b2＝16，c＝4,2c＝8.
答案：8
14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的有________．
解析：依题意可知p假，q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．
答案：p∨q，綈p
15．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线y2＝x上的点到直线AB的最短距离为________．
解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y2＝x上的点P(t，t2)，d＝＝＝≥＝.
答案：
16．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．
解析：建系如图，
则M，N，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
∴＝，＝.
∴cos〈，〉＝＝＝.
即直线AM与CN所成角的余弦值为.
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)命题p：x2－4mx＋1＝0有实数解，命题q：?x0∈R，使得mx－2x0－1＞0成立．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
(3)若命题綈p∨綈q为真命题，且命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
解析：(1)∵x2－4mx＋1＝0有实根；
∴Δ＝16m2－4≥0，∴m≤－或m≥.
∴m的取值范围是∪.
(2)设f(x)＝mx2－2x－1.
当m＝0时，f(x)＝－2x－1，q为真命题；
当m＞0时，q为真命题；
当m＜0时，需有Δ＝4＋4m＞0，
∴m＞－1，综上m＞－1.
(3)∵綈p∨綈q为真，p∨q为真，
∴p、q为一真一假．p、q为真时m的范围在数轴上表示为
p真，q假时，m≤－1；p假，q真时，－＜m＜.
∴满足条件的m的取值范围是m≤－1或－＜m＜.
18．(本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点．
(1)求证：EG∥AC；
(2)求证：平面EFG∥平面AB1C.
证明：把{，，}作为空间的一个基底．
(1)因为＝＋＝＋，＝＋，
所以＝2.所以EG∥AC.
(2)由(1)知EG∥AC，又AC?平面AB1C，EG?平面AB1C，
所以EG∥平面AB1C.
因为＝＋＝＋，＝＋，
所以＝2.所以FG∥AB1.
又AB1?平面AB1C，FG?平面AB1C，
所以FG∥平面AB1C.
又EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面AB1C.
19．(本小题满分12分)已知直线l：y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A、B两点，且线段AB的中点为.
(1)求此椭圆的离心率；
(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．
解析：(1)由得
(b2＋a2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0.
Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)＞0?a2＋b2＞1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝.
∵线段AB的中点为，
∴＝，于是得：a2＝2b2.
又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，∴e＝.
(2)设椭圆的右焦点为F(c,0)，则点F关于直线l：y＝－x＋1的对称点为P(1,1－c)，
由已知点P在圆x2＋y2＝5上，
∴1＋(1－c)2＝5，c2－2c－3＝0.
∵c＞0，∴c＝3，
又∵a2＝2c2，∴a2＝18，a＝3.∴b＝3，
∴椭圆方程为＋＝1.
20．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点，点O是坐标原点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解析：(1)证明：当k＝0时直线与抛物线仅一个交点，不合题意，
∴k≠0由y＝k(x＋1)得x＝－1代入y2＝－x整理得：
y2＋y－1＝0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则y1＋y2＝－，y1y2＝－1.
∵A，B在y2＝－x上，
∴A(－y，y1)，B(－y，y2)，
∴kOA·kOB＝·＝＝－1，
∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于E，则E(－1,0)，∴|OE|＝1，
S△OAB＝|OE|(|y1|＋|y2|)＝|y1－y2|
＝＝，
解得k＝±.
21．(本小题满分12分)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；
(3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°.
解析：设AD＝DE＝2AB＝2a，
建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A(0,0,0)，B(0,0，a)，C(2a,0,0)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)，
∵F为CD的中点，∴F.
(1)证明：＝，
＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)，
∵＝(＋)，
AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE.
(2)证明：∵＝，
＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)，
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥.
∴⊥平面CDE.又∵AF∥平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE.
(3)设平面BCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由n·＝0，n·＝0可得：
x＋y＋z＝0,2x－z＝0，
取n＝(1，－，2)，
不妨取a＝1，则B(0,0,1)，
设存在P(1，，t)满足题意，
则＝(1，，t－1)(0≤t≤2)，
设BP和平面BCE所成的角为θ，
则sinθ＝
＝＝，
解得t＝3±，取t＝3－∈[0,2]，
∴存在P(a，a，(3－)a)，使直线BP和平面BCE所成的角为30°.
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l：y＝x＋2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C与曲线|y|＝kx(k＞0)的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．
解析：(1)由题设可知，圆O的方程为x2＋y2＝b2，
因为直线l：x－y＋2＝0与圆O相切，故有
＝b.
所以b＝.
已知e＝＝，所以有a2＝3c2＝3(a2－b2)．
所以a2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，则y0＝kx0，
设AB交x轴于点D，
由对称性知：S△OAB＝2S△OAD＝2×x0y0＝kx.
由，解得x＝.
所以S△OAB＝k·＝≤＝.
当且仅当＝3k，即k＝时取等号．
所以△OAB面积的最大值.
课时作业(一) 命题
A组 基础巩固
1．下列语句中，命题的个数是( )
①空集是任何集合的真子集；
②请起立；
③单位向量的模为1；
④你是高二的学生吗？
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题．
答案：C
2．下列命题为假命题的是( )
A．log24＝2
B．直线x＝0的倾斜角是
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β，则α∥β
解析：由|a|＝|b|只是得到a与b的模相等，但方向不确定，∴a与b不一定相等．
答案：C
3．下列命题是真命题的是( )
A．若3∈B,3∈A，则A∩B＝{3}
B．若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数
C．若a＞b，则＜
D．若a·b＝b·c，则a＝c
解析：由f(x)＝log2x，得f(|x|)＝log2|x|，易判断该函数是偶函数，则B为真命题．
答案：B
4．下列命题中假命题是( )
A．若log2x＜2，则0＜x＜4
B．若a·b＝0，则a与b的夹角为90°
C．已知非零数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列
D．点(π，0)是函数y＝sinx图象上一点
解析：B中当a＝0，b≠0时，a与b的夹角是任意的，所以B是假命题．
答案：B
5．下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
解析：若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，选项A错；
如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，选项B不正确；
如图，平面α∩β＝b，a∥α，a∥β，过直线a作平面ε∩α＝c，过直线a作平面γ∩β＝d，
∵a∥α，∴a∥c，∵a∥β，∴a∥d，∴d∥c，∵c?α，d?α，∴d∥α，
又∵d?β，∴d∥b，∴a∥b，选项C正确；
若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，选项D不正确．
答案：C
6．给定下列命题：
①若a＞b，则2a＞2b；②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；③命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是“这个四边形的对角线垂直”；④直线x＝是函数y＝sinx的一条对称轴；⑤在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：①是真命题；②当a＝，b＝－时，a＋b＝0为有理数，故②为假命题；③中结论应为“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”，故③为假命题；④是真命题；⑤·＝||||cos(π－B)＞0，∴cosB＜0，∴B为钝角，故⑤为真命题．
答案：B
7．把命题“函数f(x)＝sinx是奇函数”改写成“若p，则q”的形式是________________________________．
答案：若一个函数是f(x)＝sinx，则该函数是奇函数
8．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于__________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)
答案：x轴 －3－log2x；
或y轴 3＋log2(－x)；
或(0,0) －3－log2(－x)．(任选一种均可)
9．下列命题：
①若数列{an}是等比数列，则a2·a4＞0；
②当x＝时，有sinx＞cosx；
③若＜1，则x＞1；
④若a＝(0,1)，b＝(0，－1)，则a与b的夹角为0°；
⑤函数y＝log2x2在(1，＋∞)上单调递增．
其中为真命题的是__________．(填序号)
解析：易知①②⑤为真命题；③中＜1，解得x＜0或x＞1，故③为假命题；④a与b反向，从而a与b的夹角为180°，故④为假命题．
答案：①②⑤
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当ac＞bc时，a＞b；
(2)当m＞时，mx2－x＋1＝0无实根；
(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.
解：(1)若ac＞bc，则a＞b.
∵ac＞bc，c＜0时，a＜b，∴是假命题．
(2)若m＞，则mx2－x＋1＝0无实根．
∵Δ＝1－4m＜0，∴是真命题．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.真命题．
B组 能力提升
11．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2，是真命题的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析：①错，数量积不满足结合律；②对，由向量减法的三角形法则可知有|a|－|b|＜|a－b|；③[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0.∴③错；④对．
答案：D
12．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使得a∈A是假命题的a的取值范围是( )
A．a≥－3 B．a＞－3
C．a≤－3 D．a＜－3
解析：∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}．
又∵a∈A是假命题，即a?A，∴a＜－3.
答案：D
13．已知A：5x－1＞a，B：x＞1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x＞，则x＞1”，由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x＞1，则x＞”，由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x＞1，则x＞”．
14．若命题p：sinx＋cosx>m，命题q：x2＋mx＋1>0，对任意的x∈R，p和q都是真命题，求实数m的取值范围．
解：由题意知sinx＋cosx>m，x∈R恒成立，
即sin>m，x∈R恒成立，∴m<－.
又由x2＋mx＋1>0，x∈R恒成立，
得Δ＝m2－4<0，即－2
15．(1)已知p：≤0，求p为真命题时x的取值范围；
(2)q：y＝ax2－2x＋1在[1，＋∞)上为减函数，求q为真命题时，a的取值范围．
解析：
(1)由≤0，得即－2＜x≤1.
∴p为真命题时，x的取值范围是(－2,1]．
(2)当a＝0时，y＝－2x＋1满足在[1，＋∞)上为减函数；
当a≠0时，由已知可得可得a＜0.
∴q为真命题时，a的取值范围是a≤0.
课时作业(二) 四种命题 四种命题间的相互关系
A组 基础巩固
1．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A∩B≠B
B．若A∩B＝B，则A∪B＝A
C．若A∩B≠B，则A∪B≠A
D．若A∪B≠A，则A∩B＝B
解析：命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，故A正确．
答案：A
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
解析：命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故B正确．
答案：B
3．命题：“a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是( )
A．若a，b都不是奇数，则a＋b是偶数
B．若a＋b是奇数，则a，b都是偶数
C．若a＋b不是偶数，则a，b都不是奇数
D．若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数
解析：∵a，b都是奇数的否定为：a，b不都是奇数，a＋b是偶数的否定为：a＋b不是偶数，
∴逆否命题为：若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数．
答案：D
4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：易知原命题为真命题，从而逆否命题为真命题．
∵逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”，∴逆命题为假命题，∴否命题为假命题．从而真命题的个数是2.
答案：B
5．已知命题p：垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α，q是p的否命题，下面结论正确的是( )
A．p真，q真 B．p假，q假
C．p真，q假 D．p假，q真
解析：当平面α内的直线相互平行时，l不一定垂直于平面α，故p为假命题．
易知p的否命题q：若直线l不垂直于α内无数条直线，则l不垂直于α，易知q为真命题．
答案：D
6．下列有关命题的说法正确的是( )
A．“若x＞1，则2x＞1”的否命题为真命题
B．“若cosβ＝1，则sinβ＝0”的逆命题是真命题
C．“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题
D．命题“若x＞1，则x＞a”的逆命题为真命题，则a＞0
解析：A中，2x≤1时，x≤0，从而否命题“若x≤1，则2x≤1”为假命题，故A不正确；B中，sinβ＝0时，cosβ＝±1，则逆命题为假命题，故B不正确；D中，由已知条件得a的取值范围为[1，＋∞)，故D不正确．
答案：C
7．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________________．
解析：“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”．
答案：若a≤b，则2a≤2b－1
8．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
解析：由已知，逆命题“若1＜x＜2，则m－1＜x＜m＋1”为真命题．
∴∴1≤m≤2.
答案：1≤m≤2
9．有下列四个命题，其中真命题有__________(只填序号)．
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“若a＞b，则ac2＞bc2”的逆否命题．
解析：①中逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题．
②的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题．
③的逆命题为“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，为真命题，由Δ＝4－4q≥0，得q≤1，
④中当c＝0时，原命题不正确，因此逆否命题是假命题．
综上可知①③是真命题．
答案：①③
10．设M是一个命题，它的结论是q：x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，M的逆否命题的结论是綈p：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.
(1)写出M；
(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题．
解：(1)设命题M表述为：若p，则q那么由题意知其中的结论q为：x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．而条件p的否定形式綈p为：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，故綈p的否定形式即p为：x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.所以命题M为：若x1＋x2＝－2且x1x2＝－3，则x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．
(2)M的逆命题为：若x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.
逆否命题为：若x1，x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.
否命题为：若x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，则x1，x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根．
B组 能力提升
11．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数，显然此命题为假命题．又∵逆命题与否命题同真假，∴否命题为假．故选C.
答案：C
12．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是__________．
解析：设命题p为“若m，则n”，∴命题q为“若綈m，则綈n”，命题r为“若綈n，则綈m”．∴q与r是互逆命题．
答案：互逆命题
13．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数图象与x轴有公共点；
(3)在△ABC中，若a＞b，则∠A＞∠B.
解：(1)该命题为真命题．
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真命题．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真命题．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真命题．
(2)该命题为假命题．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共点．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假命题．
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点，为假命题．
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假命题．
(3)该命题为真命题．
逆命题：在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b，为真命题．
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，为真命题．
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，为真命题．
14．将命题“正偶数不是素数”改写为“若p，则q”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解析：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题；
逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题；
否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题；
逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题．
15．设a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
解：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看．
由命题A可知，b不是最大时，则a是最小，∴c最大，即c＞b＞a；
而它的逆否命题也为真，“a不是最小，则b最大”为真，即b＞a＞c.
同理由命题B为真可得：a＞c＞b或b＞a＞c.
故由A与B均为真命题，可知b＞a＞c.
因此a，b，c三人的年龄的大小顺序是：b最大，a次之，c最小．
课时作业(三) 充分条件与必要条件
A组 基础巩固
1．设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由2x2＋x－1＞0，可得x＜－1或x＞，∴“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的充分不必要条件．
答案：A
2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：l1与l2平行的充要条件为a×2＝2×1且a×4≠－1×1，得a＝1，故选C.
答案：C
3．设命题甲：ax2＋2ax＋1＞0的解集是实数集R，命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的( )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若ax2＋2ax＋1＞0的解集为R，
则a＝0或即a＝0或
∴0≤a＜1.
因此乙?甲，但甲D?/乙，
命题甲是命题乙成立的必要不充分条件．
答案：C
4．已知α，β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β.命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：如图，正方体中的a，b无公共点，但α，β相交．反之，显然α∥β?a与b无公共点．
答案：B
5．函数f(x)＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上是单调减函数的必要不充分条件是( )
A．a≥2 B．a≥3
C．a≥0 D．a＝6
解析：f(x)＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上递减的充要条件是a≥2，则判断a≥0满足条件．
答案：C
6．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当0＜ab＜1，a＜0，b＜0时，有b＞；反过来，b＜，当a＜0时，有ab＞1.
∴“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件，故选D.
答案：D
7．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的__________条件．
解析：当A∩B＝{4}时，m2＝4，
∴m＝±2.
∴“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
8．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析：∵方程有实数根，∴Δ＝16－4n≥0，∴n≤4.
原方程的根x＝＝2±为整数，则为整数．
又∵n∈N*，∴n＝3或4.
反过来，当n＝3时，方程x2－4x＋3＝0的两根分别为1,3，是整数；
当n＝4时，方程x2－4x＋4＝0的两根相等且为2，是整数．
答案：3或4
9．已知a，b为两个非零向量，有以下命题：
①a2＝b2；②a·b＝b2；③|a|＝|b|且a∥b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的命题是__________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)
解析：显然a＝b时，①②③均成立，即必要性成立．
当a2＝b2时，(a＋b)·(a－b)＝0，不一定有a＝b；
当a·b＝b2时，b·(a－b)＝0，不一定有a＝b；
当|a|＝|b|且a∥b时，a＝b或a＝－b，即①②③都不能推出a＝b.
答案：①②③
10．在下列各题中，p是q的什么条件(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)?
(1)p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(3)p：在△ABC中，∠A≠60°，q：sinA≠；
(4)p：m>0，q：方程x2＋x－m＝0有实根．
解：
(1)四边形对角线互相平分D?/四边形是矩形；四边形是矩形?四边形对角线互相平分，所以p是q的必要不充分条件．
(2)x＝1或x＝2?x－1＝；x－1＝?x＝1或x＝2.所以p是q的充要条件．
(3)在△ABC中，∠A≠60°D?/sinA≠(如A＝120°时，sinA＝)；在△ABC中，sinA≠?A≠60°，所以p是q的必要不充分条件．
(4)m>0?方程x2＋x－m＝0的Δ＝1＋4m>0，即方程有实根；方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0Dm>0，所以p是q的充分不必要条件．
B组 能力提升
11．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由0＜x＜知0＜sinx＜1，若xsinx＜1，则xsin2x＜1；若xsin2x＜1，而xsinx不一定小于1.
答案：B
12．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解：
(1)a＝0时适合．
(2)a≠0时显然方程没有零根．若方程有两异号的实根，则a<0；若方程有两个负的实根，则必须有解得0综上知：若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
13．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
证明：
(1)充分性：若a2－b2＝1成立，
则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2
＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，
所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．
(2)必要性：若a4－b4－2b2＝1成立
则a4－(b2＋1)2＝0，
即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0，
因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，
所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.
综上可知：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
14．已知：p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，解得1－m≤x≤1＋m.
又由≤2，解得－2≤x≤10.
又p是q的充分不必要条件，
所以或解得m≥9.
课时作业(四) 简单的逻辑联结词
A组 基础巩固
1．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0
答案：A
2．下列命题：①矩形的对角线相等且互相平分；②10的倍数一定是5的倍数；③方程x2＝1的解为x＝±1；④3?{1,2}．其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①中有“且”；②中没有；③中有“或”；④中有“非”．故选C.
答案：C
3．若条件p：x∈A∩B，则綈p是( )
A．x∈A且x?B B．x?A或x?B
C．x?A且x?B D．x∈A∪B
解析：由p：x∈A∩B，得p：x∈A且x∈B，∴綈p是x?A或x?B.
答案：B
4．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
解析：因周期T＝＝π，故p为假命题．
因cosx的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，
故q也为假命题，所以p∧q为假．
答案：C
5．已知P：2＋2＝5，Q：3＞2，则下列判断正确的是( )
A．“P∨Q”为假，“綈Q”为假
B．“P∨Q”为真，“綈Q”为假
C．“P∧Q”为假，“綈P”为假
D．“P∧Q”为真，“P∨Q”为假
解析：由题意可知，P假、Q真，所以P或Q为真，P且Q为假，非Q为假，非P为真，故选B.
答案：B
6．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q C．(綈p)∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：命题p为真，q为假，故綈p为假，綈q为真，故选C.
答案：C
7．由命题p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0组成的“p∨q”形式的命题为__________．
答案：正数或负数的平方大于0
8．p：＜0，q：x2－4x－5＜0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________．
解析：p：x＜3，q：－1＜x＜5.
∵p∧q为假命题，∴p，q中至少有一个为假，∴x≥3或x≤－1.
答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)
9．下列命题中：
①命题“2是素数也是偶数”是“p∧q”命题；
②命题“(綈p)∧q”为真命题，则命题p是假命题；
③命题p：1,3,5都是奇数，则綈p：1,3,5不都是奇数；
④命题p：方程x2＝1的根为x＝1，q：方程x2＝1的根为x＝－1，则命题p，q组成的“p∨q”形式的命题为“方程x2＝1的根为x＝1或x＝－1”．
其中真命题序号为__________．
解析：①②③为真命题，④中p，q都为假，而命题“方程x2＝1的根为x＝1或x＝－1”为真，∴④为假命题．
答案：①②③
10．写出下列命题的否定及否命题．
(1)若m2＋n2＋x2＋y2＝0，则实数m、n、x、y全为零．
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
(3)若x2－x－2≠0，则x≠－1且x≠2.
(4)a，b∈N，若a·b可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除．
解：(1)命题的否定：若m2＋n2＋x2＋y2＝0，则实数m、n、x、y不全为零．
否命题：若m2＋n2＋x2＋y2≠0，则实数m、n、x、y不全为零．
(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0.
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.
(3)命题的否定：若x2－x－2≠0，则x＝－1或x＝2.
否命题：若x2－x－2＝0，则x＝－1或x＝2.
(4)命题的否定：a，b∈N，若a·b可被5整除，则a，b都不能被5整除．
否命题：a，b∈N，若a·b不能被5整除，则a，b都不能被5整除．
B组 能力提升
11．已知命题p：函数f(x)＝sin满足f(x＋π)＝f(x)，命题q：函数y＝23x＋1在R上为增函数，则命题“p∧q”“(綈p)∨q”“p∧(綈q)”为真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由已知p为真，q为真，∴“p∧q”为真，“(綈p)∨q”为真，“p∧(綈q)”为假，故选C.
答案：C
12．已知命题p：m＜0，命题q：x2＋mx＋1＞0对一切实数恒成立，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m＜－2 B．m＞2
C．m＜－2或m＞2 D．－2＜m＜0
解析：由已知，p和q都是真命题，
∴∴－2＜m＜0.
答案：D
13．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
解：y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，故0＜a＜1.曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
又a＞0，∴0＜a＜或a＞.
∵p或q为真，∴p，q中至少有一个为真．
又∵p且q为假，∴p，q中至少有一个为假，
∴p，q中必定是一个为真一个为假．
①若p真，q假．即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于两不同点，则∴≤a＜1.
②若p假，q真．即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点，因此，∴a＞.
综上可知，实数a的取值范围为∪.
14．已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
解：设g(x)＝x2＋2ax＋4.由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，∴函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0.
∴－2＜a＜2，∴命题p：－2＜a＜2.
∵函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，
则有5－2a＞1，即a＜2，∴命题q：a＜2.
又由于p∨q为真，p∧q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则此不等式组无解．
(2)若p假q真，则∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围是{a|a≤－2}．
15．已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
解：命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，所以
即解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，所以a＝0或
由于即解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.
因为“p∨q”与“綈q”同时为真命题，
即p真且q假，所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
课时作业(五) 全称量词与存在量词
A组 基础巩固
1．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
解析：D选项是特称命题．
答案：D
2．下列命题中，真命题是( )
A．?m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数
B．?m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数
C．?m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．?m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：当m0＝0时，函数f(x)＝x2＋m0x是偶函数．
答案：A
3．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析：该命题为存在性命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．
答案：C
4．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意实数a，b，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．梯形的对角线不相等
C．?x∈R，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
解析：A是全称命题，且a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；
B中隐含量词“所有的”，是全称命题，但等腰梯形的对角线相等，是假命题；
C是特称命题；易知D是全称命题且是真命题．
答案：D
5．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：?x0∈A,2x0∈B
B．綈p：?x0?A,2x0∈B
C．綈p：?x0∈A,2x0?B
D．綈p：?x?A,2x?B
解析：原命题的否定是?x0∈A,2x0?B.
答案：C
6．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，
∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，
∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．
∴?x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．
由此可知只有綈p∧q为真命题，故选B.
答案：B
7．命题“?x∈R，cosx≤1”的否定是__________．
解析：全称命题的否定是特称命题．
答案：?x0∈R，cosx0＞1
8．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“?”或“?”符号表示为________．
答案：?x∈R，x2＋2x＋1≥0
9．若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
答案：(－∞，3]
10．判断下列命题是特称命题还是全称命题，用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性．
(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)存在实数x，使得＝2.
解：
(1)特称命题，否定：?α∈R，sin2α＋cos2α＝1，真命题．
(2)全称命题，否定：?直线l，l没有斜率，真命题．
(3)特称命题，否定：?x∈R，≠2，真命题．
B组 能力提升
11．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C．对任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．对任意x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：由题知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此对任意x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选C.
答案：C
12．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1
解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0.
当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，
得－1＜a＜1，故0＜a＜1，
综上所述，实数a的取值范围是a＜1.
答案：A
13．若x∈[－2,2]，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2,2]时，[f(x)]min≥0.
①当－＜－2，即a＞4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，[f(x)]min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，又a＞4，所以a不存在．
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
[f(x)]min＝f＝≥0，解得－6≤a≤2.
又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.
③当－＞2，即a＜－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，[f(x)]min＝f(2)＝7＋a≥0，
解得a≥－7，又a＜－4，所以－7≤a＜－4.
综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．
14．若关于x的方程 4x－(a＋1)2x＋9＝0有实数解，求实数a的取值范围．
解：令t＝2x，则t＞0，即将4x－(a＋1)2x＋9＝0有实数解转化为t2－(a＋1)t＋9＝0在(0，＋∞)上有实数解．
设f(t)＝t2－(a＋1)t＋9，
∵f(0)＝9＞0，∴有解得a≥5.
故所求的a的取值范围为a≥5.
15．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对?x1∈[－1,3]，?x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
解：因为x∈[－1,3]，所以f(x)∈[0,9]，
又因为对?x1∈[－1,3]，?x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，
即?x∈[0,2]，g(x)≤0，即x－m≤0，
所以m≥x，m≥2，即m≥.
第一章 质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列语句中，不能成为命题的是( )
A．指数函数是增函数吗？
B．2 012＞2 013
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．存在实数x0，使得x0＜0
解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．
答案：A
2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．
答案：B
3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．
答案：C
4．下列命题中的假命题是( )
A．存在x∈R，lgx＝0 B．存在x∈R，tanx＝1
C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0
答案：C
5．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一个菱形不是平行四边形
D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立
解析：A、B为全称命题，但A为假命题；B是真命题．
答案：B
6．下列命题是真命题的是( )
A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题
B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题
C．若x＞1，则x＞2
D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题
解析：A中逆命题为：若xy＝0，则x＝0错误；选项B中，否命题为：若x≠0，则xy≠0，错误；选项C中，若x＞1，则x＞2显然不正确；D选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．
答案：D
7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题是真命题的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，知B正确．
答案：B
8．已知命题p：任意x∈R，使x2－x＋＜0，命题q：存在x∈R，使sinx＋cosx＝，则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
解析：∵任意x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，
∴命题p假，綈p真；
又sinx＋cosx＝sin，当sin＝1时，sinx＋cosx＝.
∴q真，綈q假．
答案：D
9．给定下列命题：
①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；
②“若sinα≠，则α≠”；
③“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题；
④命题“?x0∈R，使x－x0＋1≤0”的否定．
其中假命题的序号是( )
A．①②③ B．②④
C．①③ D．②③④
解析：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为：若α＝则sinα＝正确，故②正确；若xy＝0，则x＝0或y＝0，③错误；④正确．
答案：C
10．若存在x∈R，使|x＋2|＋|x－1|＜a，则a的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，3] D．(－∞，3)
解析：令f(x)＝|x＋2|＋|x－1|，若?x∈R，使f(x)＜a成立．即a＞f(x)min即可，∵f(x)＝|x＋2|＋|x－1|≥3，∴a＞3.
答案：A
11．下列说法错误的是( )
A．如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题p：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0，则綈p：?x∈R，x2＋2x＋2＞0
C．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是“若a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数”
D．特称命题“?x∈R，使－2x2＋x－4＝0”是假命题
解析：A中綈p是真命题，则p是假命题，p或q是真命题，∴q是真命题，故A正确．B中，特称命题的否定是全称命题，B正确．C中，命题的否命题应为“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”，故C错误．D中，方程－2x2＋x－4＝0无实根，D正确．
答案：C
12．下列命题中为真命题的是( )
A．若x≠0，则x＋≥2
B．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
C．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交
D．若命题p：“?x∈R，x2－x－1＞0”，则命题p的否定为：“?x∈R，x2－x－1≤0”
解析：命题A为假命题；当x＜0时不成立；直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直的充要条件是a＝±1，故B为假命题；显然命题C也是假命题．
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“若a?A，则b∈B”的逆否命题是________．
答案：若b?B，则a∈A
14．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．
解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等
15．a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．
解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．
答案：充要
16．下列说法中正确的是________．(填序号)
①命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；
②“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件；
③命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；
④“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件．
解析：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，当m＝0时，是假命题，故①不正确；
若a＞0，则|a|＞0，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分条件；若|a|＞0，则a＞0或a＜0，所以“a＞0”不是“|a|＞0”的必要条件．故②正确．
命题“p或q”为真命题，则命题“p”和“q”中至少有一个为真命题．故③不正确．
b＝0时f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数．
函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数时b＝0，故④正确．
答案：②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解析：逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)p：存在一个实数x，使得3x＜0；
(3)p：若an＝－2n＋1，则?n∈N，使Sn＜0；
(4)p：有些偶数是质数．
解析：
(1)这一命题可表述为p：对任意的实数m，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．其否定为綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，故綈p为假命题．
(2)綈p：对于所有的实数x，都满足3x≥0.
显然綈p为真命题．
(3)綈p：若an＝－2n＋1，则?n∈N，Sn≥0.(假)
(4)綈p：所有偶数都不是质数．(假)
19．(本小题满分12分)设命题p：c2＜c和命题q：对?x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．
解析：解不等式c2＜c，得0＜c＜1，
即命题p：0＜c＜1，∴命题綈p：c≤0或c≥1.
又由(4c)2－4＜0，得－＜c＜，
即命题q：－＜c＜，∴命题綈q：c≤－或c≥，
由p∨q为真，知p与q中至少有一个为真，
由p∧q为假，知p与q中至少有一个为假，
所以p与q中一个为真命题，一个为假命题．
当p真q假时，实数c的取值范围是≤c＜1；
当p假q真时，实数c的取值范围是－＜c≤0；
综上所述，实数c的取值范围是－＜c≤0或≤c＜1.
20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
解析：由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴綈p：x＜1或x＞5.
q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：x＜m－1或x＞m＋1.
又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，
∴∴2≤m≤4.
21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明：
必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a.
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2
＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，
又ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝2＋≠0，只有a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，
a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
22．(本小题满分12分)给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解析：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞或a＜－1.
乙命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a的取值范围是.
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－，
∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为.
课时作业(十) 双曲线及其标准方程
A组 基础巩固
1．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是( )
A.－＝1(x≤－4)
B.－＝1(x≤－3)
C.－＝1(x≥4)
D.－＝1(x≥3)
解析：由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16，
∴所求轨迹方程为－＝1(x≥3)．
答案：D
2．已知双曲线－＝1上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为( )
A．7 B．23 C．5或25 D．7或23
解析：设F1(－5,0)，F2(5,0)，
则由双曲线的定义知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8，
而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23.
答案：D
3．双曲线－＝1的焦距为10，则实数m的值为( )
A．－16 B．4 C．16 D．81
解析：∵2c＝10，∴c2＝25.
∴9＋m＝25，∴m＝16.
答案：C
4．在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：方程mx2－my2＝n可化为－＝1.
∵mn＜0，∴＜0，－＞0.
方程又可化为－＝1，
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
答案：D
5．已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
解析：由双曲线定义得|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a，
∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a.
∴|AF1|＋|BF1|＝4a＋m.
∴△ABF1的周长是4a＋2m.
答案：B
6．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
答案：B
7．若双曲线－＝1的右焦点坐标为(3,0)，则m＝__________.
解析：由已知a2＝m，b2＝3，∴m＋3＝9.∴m＝6.
答案：6
8．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
解析：设动圆圆心为点P，则|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4＜|AB|＝8.
∴点P的轨迹是以A，B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．
又∵2c＝8，∴c＝4.
∴b2＝c2－a2＝12.
∴动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－2)．
答案：－＝1(x≤－2)
9．双曲线－＝1上有一点P，F1，F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为________．
解析：
∵
∴|PF1|·|PF2|＝12，
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin＝3.
答案：3
10．已知双曲线的一个焦点为F1(－，0)，点P位于双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，求双曲线的标准方程．
解：设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，a2＜5.
所以－＝1.
由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点坐标为(，4)，
代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1(a2＝25舍去)．
故双曲线的标准方程为x2－＝1.
B组 能力提升
11．已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：设右焦点为F′，依题意，
|PF|＝|PF′|＋4，
∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.
答案：9
12．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆；②当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
解析：①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则，∴t＞4.
答案：②③④
13．动圆C与定圆C1：(x＋3)2＋y2＝9，C2：(x－3)2＋y2＝1都外切，求动圆圆心C的轨迹方程．
解：
如图所示，由题意，得定圆圆心C1(－3,0)，C2(3,0)，半径r1＝3，r2＝1，设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，则|CC1|＝r＋3，|CC2|＝r＋1.
两式相减，得|CC1|－|CC2|＝2，
∴C点的轨迹为以C1，C2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．
∵a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8.∴方程为x2－＝1(x≥1)．
14．如图，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，半焦距c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12，求双曲线的标准方程．
解：由题意，由于||PF1|－|PF2||＝2a，在△F1PF2中，
由余弦定理，得
cos60°＝＝
∴|PF1||PF2|＝4(c2－a2)＝4b2.
∴＝|PF1||PF2|sin60°＝2b2·＝b2.
∴b2＝12，b2＝12.
由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
15．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点坐标分别为(－2，0)和(2，0)，且该双曲线经过点P(3,1)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且＋2＝0，求直线l的斜率．
解析：
(1)依题意，得，解得.
于是，所求双曲线的方程为－＝1.
(2)∵点F的坐标为(2，0)，∴可设直线l的方程为y＝k(x－2)，令x＝0，得y＝－2k，即M(0，－2k)．
设Q(x0，y0)，由＋2＝0，得(x0，y0＋2k)＋2(2－x0，－y0)＝(0,0)，
即(4－x0,2k－y0)＝(0,0)，故.
又Q是双曲线上的一点，∴－＝1，
即－＝1，解得k2＝，∴k＝±.
故直线l的斜率为±.
课时作业(十一) 双曲线的简单几何性质
A组 基础巩固
1．双曲线4y2－9x2＝36的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：方程可化为－＝1，焦点在y轴上，
∴渐近线方程为y＝±x.
答案：A
2．已知双曲线 C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
解析：2c＝10，c＝5.
∵点P(2,1)在直线y＝x上，∴1＝.
又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5.
故C的方程为－＝1.
答案：A
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．－ B．－4
C．4 D.
解析：由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m＜0，
则双曲线方程可化为y2－＝1，
则a2＝1，a＝1.
又虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2，∴－＝b2＝4，
∴m＝－，故选A.
答案：A
4．如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴双曲线离心率e＝.
答案：A
5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
解析：由已知＝2，c－a＝1，
∴c＝2，a＝1.∴b2＝c2－a2＝3.
∴所求双曲线方程为x2－＝1.
答案：B
6．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由已知可知双曲线的焦点在y轴上，
∴＝＝.∴m＝9.
∴双曲线的焦点为(0，±)，焦点F到渐近线的距离为d＝3.
答案：B
7．若双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是__________．
解析：由＋＝1表示双曲线，得b＜0，
∴离心率e＝∈(1,2)．∴－12＜b＜0.
答案：(－12,0)
8．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为________．
解析：椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，故c＝4，且满足＝2，故a＝2，b＝＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：(4,0)，(－4,0) y＝±x
9．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
解析：设F(c,0)，P(m，n)，(m＜0)，
设PF的中点为M(0，b)，即有m＝－c，n＝2b，
将点(－c,2b)代入双曲线方程可得，
－＝1，可得e2＝＝5，
解得e＝.故答案为.
答案：
B组 能力提升
10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
A. B.
C．2 D．3
解析：设双曲线的两焦点分别为F1，F2，
由题意可知|F1F2|＝2c，|AB|＝2|AF1|＝4a，
在Rt△AF1F2中，
∵|AF1|＝2a，|F1F2|＝2c，|AF2|＝，
∴|AF2|－|AF1|＝－2a＝2a，
即3a2＝c2，∴e＝＝.
答案：B
11．已知双曲线－＝1的左顶点为A，过右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于M，N两点，则△AMN的面积为__________．
解析：由已知得A点坐标为(－3,0)，右焦点F坐标为(5,0)，把x＝5代入－＝1，得y＝±.
∴S△AMN＝×8×＝.
答案：
12．已知双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)．
(1)求双曲线的实轴长和虚轴长；
(2)若已知M(4,0)，点N(x，y)是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值．
解：(1)由题意可知，m＋3m＝4，∴m＝1.
∴双曲线方程为x2－＝1.
∴双曲线实轴长为2，虚轴长为2.
(2)由x2－＝1，得y2＝3x2－3，
∴|MN|＝＝
＝＝.
又∵x≤－1或x≥1，
∴当x＝1时，|MN|取得最小值3.
13．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
解：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
∴|PF1|＝.
由双曲线对称性，|PF2|＝|QF2|且∠PF2Q＝90°.
知|F1F2|＝|PQ|＝|PF1|，
∴＝2c，则b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，
∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋.
14．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率的取值范围．
解析：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离d2＝，
s＝d1＋d2＝＝，由s≥c，得≥c，
即5a≥2c2，于是有5≥2e2，
即4e4－25e2＋25≤0，得≤e2≤5.
由于e＞1＞0，所以e的取值范围是≤e≤.
课时作业(十二) 直线与双曲线的位置关系
A组 基础巩固
1．双曲线－＝1(a≥1，b≥1)的离心率为2，则的最小值为( )
A. B. C．2 D.
解析：∵双曲线－＝1(a≥1，b≥1)的离心率为2，
∴＝2，∴＝4，
∴b2＝3a2，∴＝＝，
∵a≥1，∴在[1，＋∞)上单调增，
∴≥，故选A.
答案：A
2．双曲线－＝1的被点P(2,1)平分的弦所在的直线方程是( )
A．8x－9y＝7 B．8x＋9y＝25
C．4x＋9y＝6 D．不存在
解析：点P(2,1)为弦的中点，由双曲线的对称性知，
直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－2)，
将y＝k(x－2)＋1代入双曲线方程得
(4－9k2)x2－9(2k－4k2)x＋36k－45＝0
4－9k2≠0.
Δ＝[－9(2k－4k2)]2－4(4－9k2)·(36k－45)＞0
x1＋x2＝＝4
解得k＝代入Δ得Δ＜0，
故不存在直线满足条件．
答案：D
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan60°＝，即≥，则＝≥，故有e2≥4，e≥2，故选C.
答案：C
4．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：由已知点P(1,0)是双曲线的右顶点，故过点P(1,0)且与x轴垂直的直线与双曲线相切，它们只有一个公共点．另外过点P(1,0)且与其中一条渐近线平行的直线与双曲线相交，它们只有一个公共点．所以满足条件的直线l有三条．
答案：B
5．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：∵kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3.
由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.
设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则－＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2×(－12)，
∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.
又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.
∴双曲线E的方程为－＝1.
答案：B
6．双曲线－y2＝1，(n＞1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A. B．1 C．2 D．4
解析：不妨设F1，F2是双曲线的左右焦点，
P为右支上一点，
|PF1|－|PF2|＝2①
|PF1|＋|PF2|＝2②，
由①②解得：
|PF1|＝＋，|PF2|＝－.
得：|PF1|2＋|PF2|2＝4n＋4＝|F1F2|2，
∴PF1⊥PF2.
又由①②分别平方后作差得：
|PF1||PF2|＝2，故选B.
答案：B
7．直线l：y＝k(x－)与曲线x2－y2＝1(x＞0)相交于A、B两点，则直线l的倾斜角的范围是__________．
解析：由得x2－k2(x－)2＝1，即(1－k2)x2＋2k2x－2k2－1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知
解得k2－1＞0，即k＞1或k＜－1，
∴直线的倾斜角范围是∪.
答案：∪
8．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是________．
解析：①当直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线有一个交点，此时直线斜率为±；
②当直线与双曲线有两个交点，且在两支上时，
由－＝1，得b2＝4，a2＝12，∴c＝4.
设直线方程为y＝k(x－4)，由
得(1－3k2)x2＋24k2x－48k2－12＝0，
∴x1x2＝＜0，∴1－3k2＞0.
∴－＜k＜.
答案：
9．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于________．
解析：当直线l与双曲线的渐近线平行时，与双曲线的右支有唯一交点，直线l的斜率为±1.
答案：±1
10．已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A，B两点，且＝(＋)．
(1)求直线AB的方程；
(2)求|AB|.
解析：由题意知直线AB的斜率存在．
设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1，得
(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)
令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两根，
∴2－k2≠0，且x1＋x2＝.
∵＝(＋)，
∴N是AB的中点，∴＝1，
∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1，
代入(*)得Δ＝4－4×1×(－3)＝16＞0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)将k＝1代入方程(*)得
x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，
∴不妨设A(－1,0)，B(3,4)．
|AB|＝＝4.
B组 能力提升
11．设双曲线C：－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，求双曲线C的离心率e的取值范围．
解析：∵双曲线与直线相交于不同的两点，
∴有两组不同的解．
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0
∴
解得－＜a＜且a≠±1，
又∵a＞0，∴0＜a＜且a≠1，
又e＝＝，
∴e＞且e≠.
∴e的取值范围是∪(，＋∞)．
12．设A、B为双曲线x2－＝1上的两点，AB中点为M(1,2)．
求(1)直线AB的方程；
(2)△OAB的面积(O为坐标原点)．
解析：
(1)法一：(用根与系数的关系解决)
显然直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k，由
得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝，解得k＝1.
当k＝1，满足Δ＞0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
法二：(用点差法解决)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．
∵x1≠x2，∴＝，
∴kAB＝＝1，
∴直线AB的方程为y＝x＋1，
代入x2－＝1满足Δ＞0.
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)法一：由
消去y得x2－2x－3＝0
解得x＝－1或x＝3，
∴A(－1,0)，B(3,4)．
S△OAB＝·|OA|·4＝2.
法二：由
消去y得x2－2x－3＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
∴|AB|＝＝×＝4
O到AB的距离为d＝＝.
∴S△AOB＝|AB|·d＝×4×＝2.
13．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e＝2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
解析：
(1)由已知得c＝2，e＝2，
∴a＝1，b＝.
∴所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组
将①式代入②式，
整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)
设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，
y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为y－＝－
即x＋y－2m＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，
可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±
此时(*)的判别式Δ＞0，
故直线l的方程为y＝x±.
课时作业(十三) 抛物线及其标准方程
A组 基础巩固
1．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：由y2＝4x得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴焦点到准线的距离为2.
答案：B
2．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝12x
C．y2＝－20x D．y2＝20x
解析：由已知抛物线的焦点为(4,0)，
则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)．
∴＝4，p＝8.∴所求方程为y2＝16x.
答案：A
3．已知动点M(x，y)的坐标满足＝|x＋2|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上均不对
解析：设F(2,0)，l：x＝－2，则M到F的距离为，M到直线l：x＝－2的距离为|x＋2|，又＝|x＋2|，所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点，l：x＝－2为准线的抛物线．
答案：C
4．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
解析：x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，由抛物线定义知动圆一定过抛物线的焦点．
答案：B
5．抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是( )
A． B．－ C．8 D．－8
解析：抛物线方程化为标准形式为x2＝y，其准线方程为y＝－＝2，所以a＝－.
答案：B
6．抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝－16x
B．y2＝8x
C．y2＝16x或y2＝－8x
D．y2＝－16x或y2＝8x
解析：抛物线的准线方程为x＝－，则＝3，m＝8或－16.
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.故选D.
答案：D
7．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
解析：由条件可知P点的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2，
所以＝2，p＝4，轨迹方程为y2＝2px＝8x.
答案：y2＝8x
8．已知点A(0，－2)，直线l：y＝2，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为________．
解析：设圆心为C，则|CA|＝d，其中d为点C到直线l的距离，所以C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线．
所以所求轨迹方程为x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
9．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
解析：由已知得B点的纵坐标为1，横坐标为，即B，将其代入y2＝2px(p＞0)得1＝2p×，解得p＝，则B点到抛物线准线的距离为＋＝p＝.
答案：
10．动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．
解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA.
设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1.
∵圆P与圆A外切，
∴|PA|＝R＋r＝R＋1.
又∵圆P与直线l：x＝1相切，
∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1.
∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′距离相等，
∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．
设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，
可知p＝4，
∴所求的轨迹方程为y2＝－8x.
B组 能力提升
11．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C. D.
解析：如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为|PF|，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2.
答案：A
12．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是__________．
解析：由题意知P到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6，由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6.
答案：6
13．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．
解：
(1)当点A在抛物线内部时，42＜2p·，即p＞时，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.
当A，M，A′共线时(如图中，A，M′，A″共线时)，(|MF|＋|MA|)min＝5.
故＝5－＝?p＝3，满足3＞，所以抛物线方程为y2＝6x.
(2)当点A在抛物线外部或在抛物线上时，42≥2p·，
即0＜p≤时，连接AF交抛物线于点M，
此时(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|min＝5，2＋42＝25，
－＝±3?p＝1或p＝13(舍去)．
故抛物线方程为y2＝2x.
综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.
14．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：
(1)如图(1)，易知抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
∵点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F(1,0)的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小．
如图(2)，显然P是A、F的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|＝.
(1) (2)
(2)如图(2)，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±.因为＞2，所以点B在抛物线内部，过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F，此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|.根据两点之间线段最短可知，当点P移动到点P1位置时|PB|＋|PF|的值最小．
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
15．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)．
(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．
(2)求点P到点B的距离与点P到直线x＝－的距离之和的最小值．
解：如图，将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵＞2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为(2,2)．
(2)设抛物线上点P到准线l的距离为d，由于直线x＝－即为抛物线的准线，根据抛物线定义得|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|，
当且仅当B、P、F三点共线时取等号，而|BF|＝＝，
∴|PB|＋d的最小值为.
课时作业(十四) 抛物线的简单几何性质
A组 基础巩固
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A． B．1 C．2 D．4
解析：圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心(3,0)到抛物线准线x＝－的距离为4，
∴＝1，∴p＝2，故选C.
答案：C
2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°，△PAF是等边三角形，
∴|PF|＝|AF|＝＝8.
答案：B
3．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，
抛物线C的准线方程为y＝－2，
由圆与准线相切知4＜r.
因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，
所以x＝8y0，又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上，∴x＋(y0－2)2＝r2＞16，
所以8y0＋(y0－2)2＞16，即有y＋4y0－12＞0，
解得y0＞2或y0＜－6，又因为y0≥0，
所以y0＞2，故选C.
答案：C
4．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
答案：D
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，
得线段AB中点到y轴的距离为：
(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
6．设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3,0)，则|PA|的最小值为________．
解析：设P的坐标为(x，y)，
则y2＝4x，x≥0，
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.
当x＝1时，|PA|最小为2.
答案：2
7．已知点(2，y)在抛物线y2＝4x上，则P点到抛物线焦点F的距离为________．
解析：∵点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，
∴点P到焦点F的距离等于P点到准线x＝－1的距离，
∵点P到准线距离为3，
∴P点到焦点的距离也为3.
答案：3
8．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．
解析：设点Q的坐标为.
由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，
即y＋2≥a2，
整理，得y(y＋16－8a)≥0.
∵y≥0，∴y＋16－8a≥0.
即a≤2＋恒成立．
而2＋的最小值为2.
∴a≤2.
答案：(－∞，2]
9．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，求点A的坐标．
解析：由y2＝4x，知F(1,0)．
∵点A在y2＝4x上，
∴不妨设A，
则＝，＝.
代入·＝－4中，
得＋y(－y)＝－4，
化简得y4＋12y2－64＝0.
∴y2＝4或－16(舍去)，y＝±2.
∴点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．
B组 能力提升
10．如图，已知点Q(2，0)及抛物线y＝上的动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．2
解析：如图所示，过P作PM垂直准线于点M，
则由抛物线的定义可知y＋|PQ|＝|PM|－1＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1，
当且仅当P、F、Q三点共线时，|PF|＋|PQ|最小，
最小值为|QF|＝＝3.
故y＋|PQ|的最小值为3－1＝2.
答案：A
11．已知顶点与原点O重合，准线为直线x＝－的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若y1·y2＝－1，则∠AOB的大小是________．
解析：由已知得抛物线方程为y2＝x，
因此·＝x1x2＋y1y2＝yy＋y1y2＝(－1)2＋(－1)＝0.∴⊥.∴∠AOB＝90°.
答案：90°
12．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．
解析：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点坐标为，准线方程为x＝－，
∴M在抛物线上，
∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即
＝＝3.
解得：p＝2，y0＝±2，∴抛物线方程为y2＝4x.
∴点M(2，±2)，根据两点距离公式有：
|OM|＝＝2.
13．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线的准线距离为d1，到直线l：x＋2y－16＝0的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
解析：如图，由抛物线定义知，
P到其准线的距离d1等于P到焦点F的距离|PF|，
则d1＋d2的最小值就是P，F，R(设PR⊥l)三点在同一直线上时的特殊情况，
即为点F(1,0)到直线l的距离FN的长，故d1＋d2＝＝3.
14．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
解析：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.
(1)由抛物线的定义可知，
|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋＞4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
课时作业(十五) 直线与抛物线的位置关系
A组 基础巩固
1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
解析：∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1,0)．
又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部．
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0，直线与抛物线有两个公共点．
答案：C
2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，
代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，
则x1＋x2＝4，x1x2＝1，
|AB|＝＝＝2.
答案：B
3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A． B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：准线x＝－2，Q(－2,0)，
设l：y＝k(x＋2)，由
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.
综上，k的取值范围是[－1,1]．
答案：C
4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析：设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，
即切线方程为2x－y－1＝0.
答案：D
5．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于( )
A．2 B.
C．2 D.
解析：设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.
∵直线与抛物线交于A、B两点，
∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1.
又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)．
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝.＝2.
答案：C
6．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A. B. C. D.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞0，
由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4.①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，
且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.
答案：D
7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
解析：设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，y＋y最小为32.
答案：32
8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．
解析：可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，
设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，
则由消去x得y2－4y＋4m＝0.
∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.
又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝，
则所求的最小距离为.
答案：
9．给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．
解析：显然直线l的斜率存在，故可设直线l：y＝k(x－1)，
联立，消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则x1x2＝1，故x1＝，①
又|FA|＝2|BF|，∴＝2，则x1－1＝2(1－x2)②
由①②得x2＝(x2＝1舍去)，
所以B，得直线l的斜率为k＝kBF＝±2，
∴直线l的方程为y＝±2(x－1)．
B组 能力提升
10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析：∵F，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0.∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.
答案：2
11．已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．
解析：设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝＝，此时x0＝，所以点P的坐标为.
答案：
12．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解析：
(1)直线AB的方程是y＝2，
与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0即x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1,4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
13．抛物线y2＝x上，存在P、Q两点，并且P、Q关于直线y－1＝k(x－1)对称，求k的取值范围．
解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴?(y1－y2)(y1＋y2)＝(x1－x2)，
∴
∴y1＋y2＝－k.
∴－1＝k＝[(y1＋y2)2－2y1y2－2]
∴－k－2＝k[k2－2y1(－k－y1)－2]，
∴2ky＋2k2y1＋k3－k＋2＝0，
∴Δ＝4k4－8k(k3－k＋2)＞0，∴k(－k3＋2k－4)＞0，
∴k(k3－2k＋4)＜0，∴k(k＋2)(k2－2k＋2)＜0，
∴k∈(－2,0)．
14．已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证：
(1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；
(2)＋为定值.
解析：
(1)当AB斜率存在时，设直线AB：y＝k，(k≠0)，
由消去y得：k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，
∴x1＋x2＝p.又k＝tanθ＝，
代入|AB|＝x1＋x2＋p，得：|AB|＝·p＋p＝.
当AB斜率不存在时也成立．
(2)由抛物线的定义，知：
|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋，
∴＋＝＋
当AB的斜率不存在时，x1＝x2＝，
＋＝＋＝＋＝.
当AB的斜率存在时
＋＝＝＝＝.
∴总有＋＝.
课时作业(六) 曲线与方程
A组 基础巩固
1．已知0≤α＜2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A. B. C.或 D.或
解析：由已知，得(cosα－2)2＋sin2α＝3，
故cosα＝.又0≤α＜2π，∴α＝或.
答案：C
2．已知A(－1,0)，B(1,0)，且·＝0，则动点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1(x≠±1)
D．x2＋y2＝2(x≠±)
解析：设动点M(x，y)，
则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)．由·＝0，
得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，
即x2＋y2＝1.故选A.
答案：A
3．与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋2xy＝1(x≠±1)
C．y＝
D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析：设P(x，y)，∵kPA＋kPB＝－1，
∴＋＝－1，
整理得x2＋2xy＝1(x≠±1)．
答案：B
4．“点M在曲线y2＝4x上”是点M的坐标满足方程y＝－2的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：点M在曲线y2＝4x上，其坐标不一定满足方程y＝－2，但当点M的坐标满足方程y＝－2时，则点M一定在曲线y2＝4x上，如点M(4,4)时．
答案：B
5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|得
＝2，
整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.
∴点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
S＝πr2＝4π.
答案：B
6．方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线是( )
解析：原方程等价于或x2＋y2＝4.
其中当x＋y－1＝0时，需有意义，即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分及圆x2＋y2＝4.
答案：D
7．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________．
解析：
设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1.
又M为AB的中点，所以即
将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2(2x)2＋1，
即y＝4x2.
答案：y＝4x2
8．已知点A(a,2)既是曲线y＝mx2上的点，也是直线x－y＝0上的一点，则m＝________，a＝________.
解析：由题意知，∴a＝2，m＝.
答案： 2
9．设P为曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
解析：设M(x，y)是轨迹上的任意一点，点P的坐标为(x0，y0)．由题意，知x0＝2x，y0＝2y，代入曲线方程，得x2－4y2＝1，故点M的轨迹方程为x2－4y2＝1.
答案：x2－4y2＝1
10．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．
解析：设动点坐标为(x，y)，则动点到直线x＝8的距离为|x－8|，到点A的距离为.
由已知，得|x－8|＝2，
化简得3x2＋4y2＝48.
∴动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
B组 能力提升
11．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是( )
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
解析：考查命题形式的等价转换．所给语句不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错误，B显然错误．
答案：D
12．设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作为等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是________．
解析：设点Q，P的坐标分别为(x，y)、(1，y0)，
由OQ⊥OP得kOQ·kOP＝－1，即·＝－1，y0＝－. ①
又由|OQ|＝|OP|得＝，即x2＋y2＝y＋1. ②
将①代入②中，整理得(y2－1)(x2＋y2)＝0，
∵x2＋y2≠0，∴y2－1＝0，∴y＝±1.
∴所求轨迹是两条直线y＝±1.
答案：两条直线y＝±1
13．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)
解析：方法一(直接法)：如图，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，
所以x2＋2＝(去掉原点)．
方法二(定义法)：
如图所示，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，
故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
方法三(代入法)：设P(x1，y1)，Q(x，y)，
由题意，得，即
又因为x＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋42＝9，即x2＋2＝(去掉原点)．
14．如图，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.求动点P的轨迹C的方程．
解析：设P(x，y)，则Q(－1，y)．
∴＝(x＋1,0)，＝(2，－y)．
＝(x－1，y)，＝(－2，y)．
由·＝·，得2(x＋1)＋0·(－y)＝－2(x－1)＋y2，整理得y2＝4x.
即动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.
15．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
解析：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，
则点N的坐标为(0，y0)．
因为＝＋，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，
则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4.
即x2＋＝4(y≠0)．
所以，动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
课时作业(七) 椭圆的定义及其标准方程
A组 基础巩固
1．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(－4,0)和(4,0) B．(0，－)和(0，)
C．(－3,0)和(3,0) D．(0，－9)和(0,9)
解析：由已知椭圆的焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝7，
∴c2＝9，c＝3.
∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．
答案：C
2．设F1、F2是椭圆＋＝1的焦点，P是椭圆上的点，则△PF1F2的周长是( )
A．16 B．18 C．20 D．不确定
解析：由方程＋＝1知a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，
∴△PF1F2的周长为18.故选B.
答案：B
3．“m＞n＞0”是方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：将方程mx2＋ny2＝1转化为＋＝1，要使焦点在y轴上必须满足＞＞0，即m＞n＞0，反之亦成立，故选C.
答案：C
4．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q，则此椭圆的方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1
C.＋y2＝1或x2＋＝1
D．以上都不对
解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则解得
∴椭圆方程为x2＋＝1.故选A.
答案：A
5．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．± B．± C．± D．±
解析：如图，当P在x轴上方时，OM为△PF1F2的中位线，所以P，所以M.同理，P在x轴下方时M，故选D.
答案：D
6．已知椭圆的方程为＋＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB过F1，则△ABF2的周长为( )
A．10 B．20 C．2 D．4
解析：由已知得a2＝25＋16＝41，∴△ABF2的周长是4a＝4.
答案：D
7．以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程为__________．
解析：9x2＋5y2＝45化为标准方程形式为＋＝1，焦点为(0，±2)，∴c＝2，设所求方程为＋＝1，
代入(2，)，解得a2＝12.∴方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析：由题意，得
解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3.
答案：3
9．已知椭圆＋＝1的上、下两个焦点分别为F1，F2，点P为该椭圆上一点，若|PF1|，|PF2|为方程x2＋2mx＋5＝0的两根，则m＝________.
解析：由已知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
又∵|PF1|，|PF2|为方程x2＋2mx＋5＝0的两根，
∴|PF1|＋|PF2|＝－2m，∴m＝－3.
经检验，m＝－3满足题意．
答案：－3
10．设F1、F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，当a＝2b时，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，求椭圆方程．
解：∵a＝2b，b2＋c2＝a2，∴c2＝3b2.
又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2.
由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，∴b2＝1，a2＝4.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
B组 能力提升
11．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．无法确定
解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|F1Q|＝2a.
∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．
答案：A
12．已知椭圆＋＝1上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝________.
解析：设右焦点为F2，连接F2M，
∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，
∴|ON|＝|MF2|.
又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，
∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2.
答案：2
13．在直线l：x－y＋9＝0上取一点P，过点P以椭圆＋＝1的焦点为焦点作椭圆．
(1)P点在何处时，所求椭圆长轴最短；
(2)求长轴最短时的椭圆方程．
解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F1(－3,0)、F2(3,0)．
设点F1(－3,0)关于直线l的对称点F′1的坐标为(x0，y0)，
则解之得
∴F′1(－9,6)．
则过F′1和F2的直线方程为＝，
整理得x＋2y－3＝0
联立解之得
即P点坐标为(－5,4)
(2)由(1)知2a＝|F′1F|＝，
∴a2＝45.
∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
14．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
解：(1)如图，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，且F1(－，0)，F2(，0)． ①
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°. ②
由①②得|PF1||PF2|＝.
所以＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得·＜0，即(x＋，y)·(x－，y)＜0，又y2＝1－，
所以x2＜2，解得－＜x＜，
所以点P横坐标的取值范围是.
15．如图，已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若·＝0.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△PF1F2的面积．
解析：
(1)∵·＝0，∴△PF1F2是直角三角形，∴|OP|＝|F1F2|＝c.
又|OP|＝＝5，∴c＝5.
∴椭圆方程为＋＝1.
又P(3,4)在椭圆上，∴＋＝1，
∴a2＝45或a2＝5.
又a＞c，∴a2＝5舍去．
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝6，①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，②
由①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，
∴＝|PF1|·|PF2|＝×40＝20.
课时作业(八) 椭圆的简单几何性质
A组 基础巩固
1．以椭圆＋＝1的短轴顶点为焦点，离心率为e＝的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析：＋＝1的短轴顶点为(0，－3)，(0,3)，
∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3.
又e＝＝，∴a＝6.
∴b2＝a2－c2＝36－9＝27.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
答案：A
2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，前者焦距为2c＝2＝8，后者焦距为2c＝2＝8，故选D.
答案：D
3．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C．2－ D.－1
解析：由已知|PF2|＝2c，∴|PF1|＝2c.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，即2c＋2c＝2a，∴e＝＝＝－1.
答案：D
4．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵△AF1B的周长为16，∴4a＝16，∴a＝4，∵e＝，∴c＝2，∴b2＝4.
答案：D
5．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
A. B. C. D.
解析：∵椭圆焦点在x轴上，
∴0＜m＜2，a＝，c＝，e＝＝＝.
故＝，∴m＝.
答案：B
6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：对于椭圆，因为＝2，则OA＝2OF，所以a＝2c.所以e＝.
答案：D
7．一个顶点为(0,2)，离心率e＝，坐标轴为对称轴的椭圆方程为__________．
解析：
(1)当椭圆焦点在x轴上时，由已知得b＝2，e＝＝，
∴a2＝，b2＝4，∴方程为＋＝1.
(2)当椭圆焦点在y轴上时，由已知得a＝2，e＝＝，
∴a2＝4，b2＝3，∴方程为＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
8．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析：由于0＜＋y＜1，
所以点P(x0，y0)在椭圆＋y2＝1内部，且不能与原点重合．
根据椭圆的定义和几何性质知，|PF1|＋|PF2|＜2a＝2，且|PF1|＋|PF2|的最小值为点P落在线段F1F2上，此时|PF1|＋|PF2|＝2.
故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)．
答案：[2,2)
9．椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析：如图所示，设椭圆右焦点为F1，AB与x轴交于点H，则|AF|＝2a－|AF1|，△ABF的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(2a－|AF1|＋|AH|)，
∵△AF1H为直角三角形，∴|AF1|＞|AH|，仅当|AF1|＝|AH|，即F1与H重合时，△AFB的周长最大，即最大周长为2(|AF|＋|AF1|)＝4a＝12，∴a＝3，而b＝，∴c＝2，离心率e＝＝.
答案：
10．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(2,0)，∴＝1，a＝2.
∵2a＝2·2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(2,0)，∴＋＝1，
∴b＝2,2a＝2·2b，∴a＝4，∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由已知∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
B组 能力提升
11．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.－2
解析：因为A，B为左，右顶点，F1，F2为左，右焦点，
所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.
又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，
所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.
所以离心率e＝＝，故选B.
答案：B
12．如图所示，将椭圆＋＝1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.
解析：由椭圆的对称性及定义易知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，
∴|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a，
∵a＝5，∴所求式子的值为35，故填35.
答案：35
13．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆的离心率的取值范围．
解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知：P点在以OA为直径的圆上．
圆的方程是2＋y2＝2，∴y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②得＋＝1，∴(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0.
故(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0.
又x≠a，x≠0，∴x＝.
又0＜x＜a，∴0＜＜a，
∴2b2＜a2，∴a2＜2c2.
∴e＞.又∵0＜e＜1，
故所求的椭圆离心率的取值范围是＜e＜1.
14．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围．
解：设P的坐标为(x0，y0)，
由椭圆＋＝1得F1(－，0)，F2(，0)，
则|PF1|2＝(x0＋)2＋y，|PF2|2＝(x0－)2＋y，
∵∠F1PF2为钝角，
∴|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2＜0.
∴(x0＋)2＋y＋(x0－)2＋y－20＜0.
∴x＋y＜5.
又＋＝1，∴x＋4＜5，∴x＜1，
∴－＜x0＜，
∴P的横坐标的取值范围是.
15．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解析：
(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝?b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①，②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
课时作业(九) 直线与椭圆的位置关系
A组 基础巩固
1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. (0,1) B. C. D.
解析：依题意得，c＜b，即c2＜b2，c2＜a2－c2,2c2＜a2，故离心率e＝＜，
又0＜e＜1，∴0＜＜.
答案：C
2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A. B．－ C．± D．±
解析：把y＝kx＋2代入＋＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.
答案：C
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：由题意知，
F(－c,0)，A(a,0)，B.
∵BF⊥x轴，∴＝.
又∵＝2，∴＝2即e＝＝.
答案：D
4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A. B. C. D.
解析：椭圆可化为＋＝1，∴F(－，0)，
又∵直线AB的斜率为，
∴直线AB为y＝x＋
由得7x2＋12x＋8＝0
∴|AB|＝＝.
答案：B
5．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：由已知得直线l：y＝(x＋1)．
联立，
可得A(0，)，B，
又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，
∴＋＝.
答案：A
6．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B. C. D.
解析：由消去y得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)
则x1＋x2＝，y1＋y2＝
∴MN的中点为P
由题意知，kOP＝∴＝.
答案：A
7．已知点M(，0)，直线y＝k(x＋)与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则△ABM的周长为________．
解析：由题意，椭圆＋y2＝1中a＝1，b＝1，c＝，
∴点M(，0)为椭圆＋y2＝1的右焦点，
直线y＝k(x＋)过椭圆的左焦点，
∴由椭圆的定义，可得△ABM的周长为4a＝4×2＝8.故答案为8.
答案：8
8．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
解析：由题意可设椭圆方程＋＝1，
联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a＝.
答案：2
9．若直线y＝2x＋b与椭圆＋y2＝1无公共点，则b的取值范围为________．
解析：由得＋(2x＋b)2＝1.
整理得17x2＋16bx＋4b2－4＝0.
Δ＝(16b)2－4×17(4b2－4)＜0，
解得b＞或b＜－.
答案：(－∞，－)∪(，＋∞)
10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
解：椭圆的右焦点为F(1,0)，
∴lAB：y＝2x－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得3x2－5x＝0，
∴x＝0或x＝，
∴A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝×1×＝.
B组 能力提升
11．中心在原点，焦点坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2＝0截得弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为________．
解析：椭圆焦点在y轴上，可设方程为＋＝1(a＞b＞0)
设直线3x－y－2＝0交椭圆于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝3(x1＋x2)－4＝－1，且
①－②得＋＝0，
＝－，
∴－＝－，
＝＝＝＝3.
∴a2＝75，b2＝25.
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．若直线y＝kx＋1与曲线x＝有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
解析：由x＝，得x2＋4y2＝1(x≥0)，
又∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点，
当直线与椭圆(右侧部分)相切时，
k＝－，则相交时k＜－.
答案：(－∞，－)
13．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解析：
(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞2)．
其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)法一：A、B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，
得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，
将y＝kx代入＋＝1中，
得(4＋k2)x2＝16，所以x＝，
又由＝2得x＝4x，
即＝，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
法二：A、B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，
得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，由＝2
得x＝，y＝，
将x，y代入＋＝1中，
得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1.
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
14．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程．
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解析：
(1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝＝＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.
15．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点P在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．
解析：
(1)因为点P在椭圆上，故＋＝1，可得＝.
于是e2＝＝1－＝，所以椭圆的离心率e＝.
(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.
设点Q的坐标为(x0，y0)．
由条件得消去y0并整理得x＝. ①
由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0得，(x0＋a)2＋k2x＝a2，
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，故x0＝.
代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.
由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，
即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.
∴k＝±，所以直线OQ的斜率为±.
第二章 质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为( )
A． B． C．(1,0) D．(0,1)
解析：∵抛物线过点(1,4)，∴4＝2a，∴a＝2，∴抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为.
答案：A
2．已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：先确定实半轴和虚半轴的长，再求出半焦距．
双曲线C1和C2的实半轴长分别是sinθ和cosθ，虚半轴长分别是cosθ和sinθ，则半焦距c都等于1，故选D.
答案：D
3．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，e＝.
答案：D
4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1
解析：2c＝6，∴c＝3，∴2a＋2b＝18，a2＝b2＋c2，∴
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案：C
5．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )
A．1 B．0 C．－2 D．－
解析：设点P(x0，y0)，则x－＝1，由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则·＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x－x0－2＋y，由双曲线方程得y＝3(x－1)，故·＝4x－x0－5(x0≥1)，可得当x0＝1时，·有最小值－2，故选C.
答案：C
6．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－
C．x2＝y－ D．x2＝2y－2
解析：设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，则y0＝x，
又F(0,1)，∴，∴，代入y0＝x得2y－1＝(2x)2，
化简得x2＝2y－1，故选A.
答案：A
7．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B. C．1 D.
解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．
由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.
答案：B
8．直线y＝x＋b与抛物线x2＝2y交于A、B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则b＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组消去y，
得x2－2x－2b＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2，
又OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，即b2－2b＝0，
解得b＝0(舍)或b＝2.
答案：A
9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，所以F(－6,0)是双曲线的左焦点，即a2＋b2＝36，又双曲线的一条渐近线方程是y＝x，所以＝，解得a2＝9，b2＝27，所以双曲线的方程为－＝1，故选B.
答案：B
10．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
解析：抛物线y2＝8x上的点到准线x＋2＝0的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)．
答案：B
11．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.或 B.或2 C.或2 D.或
解析：设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A.
答案：A
12．已知椭圆C；＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析：利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解．
∵椭圆的离心率为，∴＝＝，∴a＝2b.
∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.
∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，
∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，
∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________．
解析：由＋＝1知，a＝5，b＝4，∴c＝3，即F1(－3,0)，F2(3,0)，∴|PF2|＝|F1F2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝10－6＝4，于是S△PF1F2＝·|PF1|·h＝×4×＝8.
答案：8
14．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：根据抛物线与双曲线的图象特征求解．
由于x2＝2py(p＞0)的准线为y＝－，由解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为A，B，所以|AB|＝2.由△ABF为等边三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.
答案：6
15．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
F2的坐标为(c,0)，P点坐标为，
由题意知|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，a2－c2＝2ac，
2＋2－1＝0，解得＝±－1，负值舍去．
答案：－1
16．已知双曲线C：－＝1，给出以下4个命题，真命题的序号是________．
①直线y＝x＋1与双曲线有两个交点；
②双曲线C与－＝1有相同的渐近线；
③双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3.
解析：①错误，因为直线y＝x＋1与渐近线y＝x平行，与双曲线只有一个交点；②正确，渐近线方程为y＝±x；③正确，右焦点为(，0)到渐近线y＝x的距离为3.
答案：②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．
解析：由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半c1＝＝，
∴焦点是F1(－，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题设条件及双曲线的性质，得解得故所求双曲线的方程为－y2＝1.
18．(本小题满分12分)已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l：y＝－1相切，圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，则|PQ|的最大值为多少？
解析：
(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，
∴所求轨迹的方程为x2＝4y.
(2)由题意易知直线l2的斜率存在，
又抛物线方程为x2＝4y，当直线AB斜率为0时|PQ|＝4.
当直线AB斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有x＝4y1，x＝4y2，两式作差得x－x＝4(y1－y2)，
即得k＝＝，则直线方程为y－2＝(x－t)，与x2＝4y联立得
x2－2tx＋2t2－8＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8，
|PQ|＝
＝
＝
＝≤6，
即|PQ|的最大值为6.
19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，＝12，求双曲线的标准方程．
解析：如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵e＝＝2，∴c＝2a.
由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos60°)，
即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.
又S△PF1F2＝12，∴|PF1||PF2|sin60°＝12，
即|PF1||PF2|＝48.由①②，得c2＝16，c＝4，
则a＝2，b2＝c2－a2＝12，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
20．(本小题满分12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程；
(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
解析：
(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，p≠0其准线方程为x＝－，
∵A(4，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴4＋＝6，∴p＝4，
∴此抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同两点A、B，则有，
解得k＞－1且k≠0，由x1＋x2＝＝4解得k＝2或k＝－1(舍去)
∴所求k的值为2.
21．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
解析：
(1)由题意知b＝1，＝，且c2＝a2＋b2，解得a＝，c＝1.
易得椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
∴|CD|＝|x1－x2|＝·＝·＝，
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故＝|CD|·d＝.
22．(本小题满分12分)过点C(0,1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点A(a,0)，B(－a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
(2)当点P异于点B时，求证：·为定值．
解析：
(1)由已知得b＝1，＝，解得a＝2，c＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.
椭圆的右焦点为(，0)，
此时直线l的方程为y＝－x＋1，
代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－，
所以D点的坐标为.
故|CD|＝＝.
(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠)，
代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，
所以D点坐标为.
又直线AC的方程为＋y＝1，
直线BD的方程为y＝(x＋2)，
联立解得，因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)．
又P点坐标为，
所以·＝·(－4k,2k＋1)＝4.
故·为定值．
课时作业(十七) 空间向量的数乘运算
A组 基础巩固
1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )
A．m、n、p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m、n、p共面
解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．
答案：D
2．在平行六面体ABCD－EFGH中，若＝x－2y＋3z，则x＋y＋z等于( )
A. B. C. D．1
解析：＝＋＋，则x＝1，y＝－，z＝，故选C.
答案：C
3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c
解析：＝＋＝＋
＝＋(－)＝－a＋b＋c.
答案：A
4．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线．
答案：A
5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.＝3－2－
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＝0
D.＝－＋
解析：∵＋＋＝0，∴＝－－，∴M与A，B，C必共面．
答案：C
6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝.
答案：D
7．化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝__________.
答案：a＋b－c
8．已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝________.
解析：∵A，B，C，D四点共面，
∴＝m＋n＋p，且m＋n＋p＝1.
由条件知＝(－2x)＋(－3y)＋(－4z)，
∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1，
∴2x＋3y＋4z＝－1.
答案：－1
9．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以∴k＝±1.
答案：±1
10．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，＝－＝－
＝(－)＝＝(－)
＝＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又点F不在上，
∴四边形EFGH是梯形．
B组 能力提升
11．如图所示，已知三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为( )
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
解析：因为点N为BC的中点，所以＝(＋)．
又＝，所以＝－＝(＋)－，
则＝＝(＋)－，
所以＝＋＝＋(＋)－＝＋＋.
答案：D
12．有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
答案：②③④
13．在平行六面体ABCD－EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，AN＝ND，AR＝2RE，求平面MNR分对角线AG所得线段AP与PG的比．
解析：如图，设＝m，
∵＝＋＋＝2＋3＋，
∴＝2m＋3m＋m.
由于P，M，R，N共面，∴2m＋3m＋m＝1，
从而得m＝，即＝，∴＝.
14．如图，H为四棱锥P－ABCD的棱PC的三等分点，且PH＝HC，点G在AH上，AG＝mAH.四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值．
解析：连接BD，BG.
∵＝－且＝，
∴＝－.
∵＝＋，∴＝＋－＝－＋＋.
∵＝，∴＝＝(－＋＋)＝－＋＋.
又∵＝－，∴＝－＋＋.
∵＝m，∴＝m＝－＋＋.
∵＝－＋＝－＋，
∴＝＋＋.
又∵B，G，P，D四点共面，∴1－＝0，即m＝.
15．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解：(1)证明：∵ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，∴＝＝＝，
∴＝，＝，
∴＝＋＋＝＋＋＋
＝＋＝＋＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
课时作业(十八) 空间向量的数量积运算
A组 基础巩固
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
解析：①，②均正确；③不正确，因为与夹角为120°.
答案：B
2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
解析：·＝(＋)·＝(·＋·)
＝＝a2.
答案：C
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D.又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C，故选A.
答案：A
4．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2＞0，
同理，可证·＞0，·＞0.
所以△BCD的每个内角均为锐角，故△BCD是锐角三角形．
答案：B
5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有( )
A.·＝2a2
B.·＝a2
C.·＝a2
D.·＝a2
解析：∵·＝·＝·(＋＋)
＝(2＋·＋·)＝2＝||2＝a2.
答案：C
6．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )
A. B. C．－ D．0
解析：如图所示，
∵·＝·(－)＝·－·
＝||||·cos∠AOC－||·||·cos∠AOB＝0，
∴⊥，∴〈，〉＝，cos〈，〉＝0.
答案：D
7．设向量a与b互相垂直，向理c与它们构成的角是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，则(a＋3c)·(3b－2a)＝__________.
解析：(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2|a|2＋9b·c－6a·c＝－62.
答案：－62
8．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||＝________.
解析：由于＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝
||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋32＋2
＝25，故||＝5.
答案：5
9．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．
解析：＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线a，b所成角是60°.
答案：60°
B组 能力提升
10．已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，那么|p|的取值范围( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[0,3] D．[1,3]
解析：p2＝2＝3＋2≤3＋2×3＝9，∴0≤|p|≤3.
答案：C
11．在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________.
解析：由已知·＝·＝·＝0，
且＝，
故·(＋＋)＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝(1＋4＋9)＝.
答案：
12．如图，正四面体V－ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；
(2)求〈，〉．
解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，
则＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，
＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)，
所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)
＝(18×1×1×cos60°－9)＝0，
所以⊥，即AO⊥BO.
同理，AO⊥CO，BO⊥CO.
所以AO，BO，CO两两垂直．
(2)解：＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，
所以||＝＝.
又||＝＝，
·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos〈，〉＝＝.
又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.
13．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解：
(1)证明：＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
14．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
解析：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.
同理·＝0.
∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.
又＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；
当〈，〉＝120°时，||2＝2，
此时B，D间的距离为.
课时作业(十九) 空间向量的正交
分解及其坐标表示
A组 基础巩固
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b
B．2b，b－2a，b＋2a
C．a,2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B、D错误．
答案：C
2．如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则＝( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
解析：连结ON，＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
答案：B
3．已知O为坐标原点，在基底{a，b，c}下的坐标为{2,1,3}，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则向量在基底{i，j，k}下的坐标为( )
A．(7,3,12) B．(3,7,12)
C．(2,4,6) D．(8,3,12)
解析：＝2a＋b＋3c＝8i＋4j＋2j＋3k＋9k－3j＝8i＋3j＋12k.
∴点A的坐标为(8,3,12)．
答案：D
4．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则( )
A.＝－a＋b＋c
B.＝－b－a－c
C.＝a－b－c
D.＝a－b＋c
解析：＝＋＝－＋(＋)＝
－＋＝a－b＋c.
答案：D
5．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A. B.
C. D.
解析：如图，由已知＝
＝(＋)
＝
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
从而x＝y＝z＝.
答案：A
6．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
解析：依题意知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．
答案：A
7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝__________.
解析：因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，由题意，得∥，则＝＝，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.
答案：0
8．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝__________，y＝________.
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有
解得
答案：1 －1
9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.
解析：连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知EF綊A1D，
∴＝，即－＝0.
∴λ＝－.
答案：－
10．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标：
(1)，，；
(2)，，.
解：(1)＝＋＝＋
＝＋＝，
＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
(2)＝－＝－＝＋＝.
＝－＝－＝－－＝，
＝－＝＋－＝－＝.
B组 能力提升
11．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量、、成为空间一组基底的关系是( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
解析：对于选项A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于B，D选项，易知、、共面，故只有选项C中、、不共面．
答案：C
12．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3(e1、e2、e3为空间一个基底)且d＝xa＋yb＋zc，则x、y、z的值分别为( )
A.，－，－1
B.，，1
C．－，，1
D.，－，1
解析：d＝xa＋yb＋zc
＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3
又∵d＝e1＋2e2＋3e3
∴
解得：x＝，y＝－，z＝－1.
答案：A
13．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的三等分点，且|NC|＝2|PN|，|AM|＝2|MB|，|PA|＝|AB|＝1，求的坐标．
解析：以A为坐标原点．分别以DA，AB，AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(＋－)
＝－＋＋
又∵||＝||＝1，∴＝.
14．如图，设四面体OABC的三条棱＝a，＝b，＝c，G为△BCD的重心，以{a，b，c}为空间基底表示向量，.
解析：由G为△BCD的重心易知E为AC的中点，
∴＝(＋)＝[(－)＋(－)]
＝[(a－b)＋(c－b)]＝(a＋c－2b)，
＝＋＝b＋＝b＋(a＋c－2b)
＝(a＋b＋c)．
15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．
解析：由已知p＝2a＋3b－c，设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc.
由向量分解的唯一性，
有解得
∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1,4，－1)．
课时作业(二十) 空间向量运算的坐标表示
A组 基础巩固
1．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为( )
A. B.
C. D.
解析：AB的中点M，又C(0,1,0)，所以＝，故M到C的距离|CM|＝||＝＝.
答案：C
2．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点．若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )
A．(－6,21) B．(－2,7)
C．(6，－21) D．(2，－7)
解析：＝2＝2(－)＝(－6,4)，
＝＋＝(－2,7)，
＝3＝(－6,21)．
答案：A
3．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：∵b－c＝(2,1,2)－(4，－2,1)＝(－2,3,1)，
a·(b－c)＝(－2，x,2)·(－2,3,1)＝4＋3x＋2＝0，
∴x＝－2.
答案：A
4．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，＝，则C点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵＝(－3，－2，－4)，
∴＝＝(－3，－2，－4)＝，
即C.
答案：A
5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵a、b、c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，
即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，
所以解得
∴λ＝3x－2y＝.
答案：D
6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02
＝5t2－2t＋2＝52＋.
∴|b－a|＝.
∴|b－a|min＝.
答案：C
7．若a＝(x,3,1)，b＝(2，y,4)，且a＝zb，则c＝(x，y，z)＝__________.
解析：由a＝zb，得
所以
答案：
8．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，若a，b的夹角为120°，则k＝________.
解析：由于〈a，b〉＝120°，
∴cos〈a，b〉＝－，
而cos〈a，b〉＝＝.
∴＝－，
解得k＝－(k＝舍去)．
答案：－
9．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则||的取值范围是________．
解析：||
＝
＝
＝，
∴1≤||≤5.
答案：[1,5]
10．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b夹角的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解：(1)∵a＝＝(1,1,0)，
b＝＝(－1,0,2)，
∴a·b＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
(2)ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)
＝(k－1，k,2)．
ka－2b＝k(1,1,0)－2(－1,0,2)
＝(k＋2，k，－4)．
∵向量ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1)×(k＋2)＋k×k＋2×(－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
B组 能力提升
11．已知△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．4 B.
C．5 D．2
解析：设＝λ(λ∈R)，D(x，y，z)，
则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，
∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.
∴＝(－4,4λ＋5，－3λ)．又＝(0,4，－3)，
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.∴λ＝－.
∴＝.
∴||＝＝5.
答案：C
12．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)、O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为________．
解析：＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)．
＋λ＝(1，－λ，λ)，(＋λ)·＝1×0＋(－λ)×(－1)＋λ×1＝2λ，|＋λ|＝，||＝.
由题意知：cos120°＝＝－，
解得λ2＝.
因为＜0，所以λ＜0，所以λ＝－.
答案：－
13．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a分别与向量，垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
解析：(1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，
∴S＝||||sin60°＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，
则a⊥?－2x－y＋3z＝0，
a⊥?x－3y＋2z＝0，|a|＝?x2＋y2＋z2＝3，
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
14．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是AA1、CB1的中点．
(1)求BM、BN的长．
(2)求△BMN的面积．
解：以C为原点，以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N(0，，1)．
(1)＝(1，－1,1)，
＝，
∴||＝＝，||＝＝；
故BM的长为，BN的长为；
(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN，
而cos∠MBN＝cos〈，〉
＝＝＝，
∴sin∠MBN＝＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面积为.
15．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)．
(1)若∥，∥，求点D的坐标；
(2)问是否存在实数α，β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
解：(1)设D(x，y，z)，则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，
＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)．
因为∥，∥，
所以
解得
即D(－1,1,2)．
(2)依题意＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)，
假设存在实数α，β，使得＝α＋β成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，
所以故存在α＝β＝1，
使得＝α＋β成立．
课时作业(二十一) 用向量方法解决
平行与垂直问题
A组 基础巩固
1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
解析：问题即求与n共线的一个向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)．
答案：D
2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于( )
A．3 B．6
C．－9 D．9
解析：∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9.
答案：C
3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
解析：＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．
答案：D
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1.
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，
∴＝，
＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD.
答案：B
5．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：∵v＝－3u，∴α∥β.
答案：A
6．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于( )
A. B.
C. D.
解析：由·＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.
又⊥平面ABC，
∴即
解得
答案：C
7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是__________．
解析：由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，
·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，
所以①②③正确．
答案：①②③
8．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0.
即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.
∴cosx＝0或cosx＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
9．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________.
解析：建立如图所示的坐标系，
则B1(0,0,3a)，
D，C(0，a,0)．
设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，
则＝(a，－a，z)，
＝(a,0，z－3a)．
由题意得2a2＋z2－3az＝0，
解得z＝a或2a.
故AE＝a或2a.
答案：a或2a
10．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系．
设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是，(0,0,1)，
∴＝.
又点A，M的坐标分别是(，，0)，，
∴＝.
∴＝，且NE与AM不共线．
∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝，
∵D(，0,0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)．
∴·＝0.∴⊥.
同理⊥.
又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.
B组 能力提升
11．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是( )
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
解析：A、B、C均能表示l∥α或l?α.
答案：D
12．如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，
则D(0，a,0)．
设Q(1，x,0)(0≤x≤a)．
P(0,0，z)．
则＝(1，x，－z)，
＝(－1，a－x,0)．
由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，
即x2－ax＋1＝0.
由题意知方程x2－ax＋1＝0只一解．
∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]．
答案：2
13．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
解析：存在．证明如下：当F是棱PC的中点时，
BF∥平面AEC.
∵＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)＋(－)＝－
∴，，共面．
又BF?平面AEC，∴BF∥平面AEC.
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.
∴＝(1,1，－1)，
＝，
＝，设F(x，y，z)，
则＝(x，y，z－1)，
＝.
∵⊥，
∴x＋－＝0，即x＋y－z＝0.①
又∵∥，可设＝λ，
∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
∴＝.
(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有
∴
取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)．
∵＝(1,0，－1)，∴·n1＝0.
又∵PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB.
(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有
∴
取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．
∵∥n2，∴PB⊥平面EFD.
15．如图所示，直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；
(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论．
解：(1)证明：以A为坐标原点，AD，AB，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD＝CD＝1，AB＝2，∴D(1,0,0)，B(0,2,0)．
设AA1＝a，则A1(0,0，a)，B1(0,2，a)，C1(1,1，a)，C(1,1,0)．
＝(1,1,0)，＝(1，－1,0)，＝(0,0，a)，
∵·＝1－1＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
∴AC⊥BC，AC⊥BB1，
又BC∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1C1C.
(2)点P存在，证明如下，假设存在一点P(0，y，a)，则＝(－1，y，a)．
由(1)知，平面BCB1的法向量为.
∵·＝(－1，y，a)·(1,1,0)＝－1＋y.
又∵DP∥平面BCB1，∴·＝0，∴y＝1.
设n＝(x，y，z)为平面ACB1的一个法向量，
∴n·＝0，n·＝0，
又∵＝(－1,1，a)，∴
∴n为.
∵DP∥平面ACB1，∴⊥n，
∴·n＝(－1)×(－y)＋y·y＋a·＝y2－y＝0，
∴y＝0(舍去)或y＝1，这与·＝0时相一致，故假设成立．
∴存在一点P，且P为A1B1中点，使DP与平面BCB1和平面ACB1都平行．
课时作业(二十二) 用向量方法求空间中的角
A组 基础巩固
1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．
cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)．
∴＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，＝(－2,0,1)．
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．
∵n⊥，n⊥，
∴∴
令y＝1，则n＝(－1,1,0)．
∴cos〈n，〉＝＝，
设直线BE与平面B1BD所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝.
答案：B
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A．0 B.
C．－ D.
解析：建立如图坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
∴＝(－2，－2,3)，＝(－2,2,0)．
∴cos〈，〉＝＝0.
∴〈，〉＝90°，其余弦值为0.
答案：A
4．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：建系如图，设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)．
平面PAB的法向量为n1＝(1,0,0)．设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，
则得
令x＝1，则z＝1.
∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝.
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.∴此角的大小为45°.
答案：B
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：建立如图的空间直角坐标系，
可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，
设B1C1＝1，CC1＝＝DD1.
∴C1D1＝，则有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)．
∴＝(0,1，)，＝(－，0，)．
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
6．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则二面角A－CD－B的大小为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
解析：取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F.
据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝，EF＝2，AB＝.
且〈，〉为二面角的平面角，
由＝(＋＋)2得
13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝－.
∴〈，〉＝120°.
即所求的二面角为120°.
答案：C
7．直线l的方向向量a＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为__________．
解析：设直线l与平面α所成的角是θ，a，n所成的角为β，
sinθ＝|cosβ|＝＝.
答案：
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉＝________.
解析：建立如图坐标系，设正方体棱长为2.
可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)．
cos〈，〉＝－.
∴sin〈，〉＝.
答案：
9．如图正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．
解析：建立坐标系如图，
则B(1,1,0)，O，
＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量．
又＝，
∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为＝＝.
答案：
10．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.
(1)求向量的坐标；
(2)设向量和的夹角为θ，求cosθ的值．
解：(1)过D作DE⊥BC，垂足为E，
在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝，
∴DE＝CD·sin30°＝.
OE＝OB－BE＝OB－BD·cos60°＝1－＝.
∴D点的坐标为，
即向量＝.
(2)依题意，＝，＝(0，－1,0)，＝(0,1,0)，
所以＝－＝，＝(0,2,0)．
则cosθ＝＝－.
B组 能力提升
11．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：设AC∩BD＝O，连接OF，
以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B，F，C，D.
∴＝，且为平面BDF的一个法向量．
由＝，＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
答案：D
12．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
解析：不妨设棱长为2，
则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0.
故AB1与BM的夹角为90°.
答案：90°
13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．
解析：(1)证明：根据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC＝BC＝CC1＝a，
则B(0，a,0)，B1(0，a，a)，C(0,0,0)，
C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，M，N.
所以＝(a，－a，a)，＝(a,0，a)，
＝.
于是·＝0，·＝0，
即MN⊥BA1，MN⊥CA1.
又BA1∩CA1＝A1，故MN⊥平面A1BC.
(2)因为MN⊥平面A1BC，
则为平面A1BC的法向量，
又＝(0，－a，a)，
则cos〈，〉＝＝＝，
所以〈，〉＝60°.
故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.
14．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明平面AMD⊥平面CDE；
(3)求二面角A－CD－E的余弦值．
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．
设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.
(1)＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，
于是cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
(2)证明：由＝，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
15．如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
解：(1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD.
因为BO＝DO，BC＝CD，所以CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，
所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.
因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD.
(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)，
所以cos〈，〉＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
第三章 质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
①＋2＋2＋；
②2＋2＋3＋3＋；
③＋＋；
④－＋－.
A．①② B．②③
C．②④ D．①④
解析：①中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；②中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；③中，原式＝，不符合题意；④中，原式＝(－)＋(－)＝0.故选C.
答案：C
2．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
解析：∵l1∥l2，∴a∥b，则＝＝，∴x＝6，y＝.
答案：D
3．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )
A．(－2,2,0) B．(2，－2,0)
C. D.
解析：由＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．
又BH⊥OA，∴·＝0，
即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，
解得λ＝，∴H，故选C.
答案：C
4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则与的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，||＝3，
||＝，·＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°.
答案：C
5．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：①|a|－|b|＝|a＋b|?a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确，故选B.
答案：B
6．已知向量＝，＝，则平面AMN的一个法向量是( )
A．(－3，－2,4) B．(3,2，－4)
C．(－3，－2，－4) D．(－3,2，－4)
解析：设平面AMN的法向量n＝(x，y，z)，
则即
令z＝4，则n＝(3，－2,4)，由于(－3,2，－4)＝－(3，－2,4)，
可知选项D符合．
答案：D
7．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1)或(1,1,1)
C．(－1，－1，－1) D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
解析：设a＝(x，y，z)，＝(－2，－1,3)，＝(1，－3，2)
则解得a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
答案：B
8．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：建系如图，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)．
∴＝(，1,0)，＝(，1，－3)，＝(0,2，－3)．
设面SBC的法向量为n＝(x，y，z)．
则
令y＝3，则z＝2，x＝，∴n＝(，3,2)．
设AB与面SBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.
答案：D
9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：建系如图，设AB＝1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，A(0,0,0)．
∴＝(－1,0,1)，＝(0,1,1)．
∴cos〈，〉＝
＝＝.
∴〈，〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.
答案：B
10．已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是( )
A. B.
C. D.
解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)，
所以＝(－1,0,1)，＝.
设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则?
∴x＝2y＝z，取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，
∵cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.
答案：C
11．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A－PB－C的平面角的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)．
∴＝(0，－2,2)，＝(，－1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量．
则即
令y＝1，则x＝，z＝1.
即n＝.
易知m＝(1,0,0)是平面PAB的一个法向量．
则cos〈m，n〉＝＝＝.
∴正切值tan〈m，n〉＝.
答案：A
12．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：∵Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，
则＝(1－x,2－x,3－2x)，
＝(2－x,1－x,2－2x)．
∴·＝6x2－16x＋10，
∴x＝时，·最小，
这时Q.
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则当||取最小值时，x的值等于________．
解析：＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，则
||＝
＝＝，
故当x＝时，||取最小值．
答案：
14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________．
解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，
易证是平面A1BD的一个法向量．
＝(－1,1,1)，＝(－1,0,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.
答案：
15．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c共面，则λ＝________.
解析：由已知可发现a与b不共线，由共面向量定理可知，
要使a，b，c共面，则必存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，
即，解得.
答案：
16．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
解析：＝－＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋－－－
＝－－＋.
答案：－－＋
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
解析：(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．
因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0.
解得t＝或t＝－(舍去)．
于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．
因为·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，
即AC⊥B1D.
(2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，
则即
令x＝1，则n＝(1，－，)．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
18．(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF，若不存在，说明理由．
解析：假设存在F点，使CF⊥平面B1DF，
不妨设AF＝b，则F(a,0，b)，
＝(a，－a，b)，＝(a,0，b－3a)，
＝.
∵·＝a2－a2＋0＝0，
∴⊥恒成立．由·＝2a2＋b(b－3a)＝b2－3ab＋2a2＝0，得b＝a或b＝2a.
∴当AF＝a或AF＝2a时，CF⊥平面B1DF.
19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
解析：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，
A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，
所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
因为cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，
所以n1·＝0，n1·＝0，
即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，
所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．
取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，
设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cosθ|＝＝＝，
得sinθ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
20．(本小题满分12分)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．
图1 图2
解析：(1)证明：因为AC⊥BC，DE∥BC，
所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.所以DE⊥A1C.
又因为A1C⊥CD，所以A1C⊥平面BCDE.
(2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz.
则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.
又＝(3,0，－2)，
＝(－1,2,0)，
所以
令y＝1，则x＝2，z＝.所以n＝(2,1，)．
设CM与平面A1BE所成的角为θ.
因为＝(0,1，)，
所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝||＝＝，
所以CM与平面A1BE所成角的大小为.
21．(本小题满分12分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.
解析：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系．
设AC∩BD＝N，连结NE，
则N，E(0,0,1)，
∴＝.
又A(，，0)，M，
∴＝.
∴＝，且NE与AM不共线．
∴NE∥AM.
又NE?平面BED，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)设P(t，t,0)(0≤t≤)，
则＝(－t，－t,1)，＝(，0,0)．
又∵与所成的角为60°，
＝，
解之得t＝，或t＝(舍去)．
故点P为AC的中点．
22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B－PA－C的余弦值．
解析：(1)证明：如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，
则由n1·＝0，n1·＝0，
得
所以z1＝0，x1＝y1.
取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，
则由n2·＝0，n2·＝0，
得
所以x2＝－z2，y2＝z2，
取z2＝1，得n2＝(－，，1)．
因为n1·n2＝(1,1,0)·(－，，1)＝0，
所以n1⊥n2，从而平面POD⊥平面PAC.
(2)因为y轴⊥平面PAB.所以平面PAB的一个法向量为n3＝(0,1,0)．
由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－，，1)．
设向量n2和n3的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝.
由图可知，二面角B－PA－C的平面角与θ相等，
所以二面角B－PA－C的余弦值为.
