1.3.2．球的表面积与体积
学习目标
1.了解球的表面积与体积公式,能运用球的表面积与体积公式灵活解决生活中的实际问题
2.通过利用球的表面积与体积公式解决生活中的实际问题，增强学生的应用意识培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，加强辩证唯物主义观点
重点难点
应用球的表面积与体积公式解决实际问题
学习过程
课前准备
（预习教材P27~ P28，找出疑惑之处）
复习：柱体包括_____和_____,它的体积公式为___________；锥体包括_______和_______,它的体积公式为_____________；台体包括_____和______,
它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为____________________________.
二、新课导学
1.球的表面积．
问题1. 圆的面积是多少？是怎样得来的，你知道吗？
问题2.让学生目测实心半球:是半球面积大，还是底面的大圆面积大？看看上面的面积是大圆面积的几倍（估算一下）.
2.球的体积
问题3. 为了计算半径为R的球的体积，可以先
计算半球的体积V半球．观察图1，你一定能在
V圆柱、V半球、V圆锥这三个量之间正确地写上不等符号
你能猜测V半球=______________
例1: 若一个球的体积为，则它的表面积为 ．
例2:球的两个平行截面的面积分别是5和8，两截面间距离为1，求球的体积
例3:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。求证：
（1）球的体积等于圆柱的体积的, （2）球的表面积等于圆柱的侧面积
例4: 长方体的一个顶点上三条棱长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是球的体积是
【基础达标】
1.球的大圆面积扩大到原来的4倍，那么球的表面积扩大到原来的( )
2.三个球半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的?( )
???
3.下列结论中，正确的是（ ）
A．过球面上两点可确定一个球大圆 B．过球面上三点可确定一个球大圆
C．过球面上两点只有一个球小圆
D．过球面上两点（这两点之间的距离小于球直径）只有一个半径最小的球小圆 4.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A． B．2π C．4π D．
5.将一个铜球放入底面半径为的圆柱玻璃容器中,水面升高9,则这个铜球的半径为
6.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为__________.
球的体积为_______________
8.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的表面积为_____________cm2.
【归纳小结】
【课堂检测】
1.三个球的表面积之比为，则它们的体积之比是（ ）
A、1：2：3 B、 C、 D、
2.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是
(A) (B) (C) (D)
3．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
4.一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．
5.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )
A、3π B、4π C、3π D、6π
6. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为
7.四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。
8.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 ．
9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，
那么这个三棱柱的体积是 .
1.3.2球的体积和表面积
一、 教学目标
知识目标：
1、掌握球的体积公式、表面积公式.
2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力．
3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．
能力目标：
通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力
情感目标：
通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育.
二、 教学重点、难点
重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.
难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题
三、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
1.球的概念：
球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面所为成的几何体叫做球体，简称球. 一个球用表示它的球心的字母表示，例如球．
2．球的截面：
用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆
3、圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？
（1）．多面体的面积和体积公式
名称
侧面积(S侧)
全面积(S全)
体 积(V)
棱
柱
棱柱
直截面周长×l
S侧+2S底
S底·h=S直截面·h
直棱柱
ch
S底·h
棱
锥
棱锥
各侧面积之和
S侧+S底
S底·h
正棱锥
ch′
棱
台
棱台
各侧面面积之和
S侧+S上底+S下底
h(S上底+S下底+)
正棱台
(c+c′)h′
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
（2）．旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
S侧
2πrl
πrl
π(r1+r2)l
S全
2πr(l+r)
πr(l+r)
π(r1+r2)l+π(r21+r22)
V
πr2h(即πr2l)
πr2h
πh(r21+r1r2+r22)
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。
3．正四面体：每个面都是正三角形的正三棱锥。
教师提出问题，学生思考作答.
方面唤起学生对球体的概念的认识，加深印象；另一方面，为本节做好必要的知识铺垫.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
知
识
的
形
成
问题提出：球也是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容.
1．球的体积
可先求半径为的半球的体积.为此，采用倒水做实验的方法，直观得出球的体积公式. 取三个形状不同的容器，其中一个是半球形的，一个是圆柱形的，一个是圆锥形的，它们的高和底面圆的半径长都是.先在半球和圆锥容器里灌满水，然后倒入圆柱形容器里，我们可以发现，这些水恰好把圆柱形容器灌满.这个实验告诉我们，半球的体积等于与它等底、等高的圆柱与圆锥的体积的差，就是：
所以，
师生共同完成倒水实验，教师引导学生探索发现球的体积公式.
从实验入手，激发学生的学习兴趣，让学生发现并体验数学中的美
2 球的表面积：（以后讲）
又∵，且
∴可得，
又∵，∴，
∴即为球的表面积公式
小结：球的体积公式、表面积公式都是以R为
自变量的函数。
教师讲解，学生感悟分割、近似、极限等思想
渗透微积分思想.
应
用
举
例
练习1：如果球的体积是36cm3,那么它的半径是 .3
练习2： 若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ C ）
（A）8：27 （B）2：3 （C）4：9 （D）2：9
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明：
（1）设球的半径为R，则圆柱的
底面半径为R，高为2R.
则有V球=，
V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=.
（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.
变式1：把上一题的圆柱改为正方体，且正方体的棱长为a, 球的半径为多少？
变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？
变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？
教师引导学生共同完成
让学生巩固加深所学内容并灵活运用.
应
用
举
例
例2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形.
(1)求该几何体的全面积.
(2)求该几何体的外接球的体积.
【审题指导】根据本题所给条件中的三视图，判断该几何体的形状与几何体中相关的数量关系，根据这些求该几何体的全面积及其外接球的体积.
【规范解答】(1)由题意可知，该几何体是长方体，
底面是正方形，边长是4，高是2，………………………3分
因此该几何体的全面积是：
2×4×4+4×4×2=64 (cm2),
即几何体的全面积是64 cm2. ……………………… 6分
(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d,球的半径是r,
所以球的半径为r=3.
…………………………………………………9分
因此球的体积
所以外接球的体积是36π cm3. ………………………12分
课堂练习
球的大圆面积增大为原来的倍，则体积增大为原来的 8 倍；
一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的
体积为＿＿＿＿＿＿＿cm3.
有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比
_____________.
学生思考、解答，老师巡视，个别指导，发现共性问题，及时让同学讨论.
巩固所学知识,培养学生的分析和解决问题的能力以及基本的运算能力.
思考题
思考：若把正方体A、B、 C1、D1 连接起来成一个什么图形？这个图形的外接球半径等价于什么图形外接球的半径？
为高三复习做准备
课堂小结
1．通过做实验的方法，获得了球的体积公式和表面积公式.
2．掌握球的体积公式、表面积公式
3．熟练掌握球的内切、外接问题
解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.
学生小结,教师完善.
学生小结,可以逐步提高学生自我获取知识的能力.教师完善，使知识更系统化.
作业
课本P29 B1
2、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为 ，求半球的表面积和体积。
解：作轴截面如图所示，
，
，
设球半径为，
则
∴，
∴，
．
思考题：
正三棱锥的高为 1，底面边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
课下学生独立完成.
1.3.2 球的体积和表面积
时间:30分钟，总分：70分 班级： 姓名：
选择题 （共6小题，每题5分，共30分）
1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( )
A.2倍 B.2倍 C.倍 D.倍
2.将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ( )
A.π B. C.π D.4π
3、一个几何体的三视图如图所示，其中府视图与侧视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
5、平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6、设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
填空题 （共4小题，每题5分，共20分）
7、圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________ cm2.
8．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．
9、已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为________.
10、如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为 .?
解答题 （共2小题，每题10分，共20分）
11、某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3)，每个钢球重145 kg，并且外径等于50 cm，试根据以上数据，判断钢球是空心的还是实心的．如果是空心的，请你计算出它的内径(π取3.14，结果精确到1 cm,2.243≈11.24098)．
12、如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?
(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
1.3.2 球的体积和表面积
时间:30分钟，总分：70分 班级： 姓名：
选择题 （共6小题，每题5分，共30分）
1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( )
A.2倍 B.2倍 C.倍 D.倍
【答案】B
【解析】设原球的半径为R，表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2倍.故选B.
2.将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ( )
A.π B. C.π D.4π
【答案】B
【解析】根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r=1，所以V=πr3=π.故选B.
3、一个几何体的三视图如图所示，其中府视图与侧视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的．∵球的半径，∴，故选：C．
考点：由三视图求面积，体积．
4．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，
即，所以，所以求得表面积为．
故选B.
5、平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】由题球心到平面的距离为，可得，则球的表面积为
．故选B。
6、设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
【答案】 B
【解析】 由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线为＝a，又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线，所以2R＝a，则S球＝4πR2＝4π2＝6πa2.故选B。
填空题 （共4小题，每题5分，共20分）
7、圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________ cm2.
【答案】100π
【解析】设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．
8．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．
【答案】πa2
9、已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为________.
【答案】
【解析】考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．
设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，
∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得
10、如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为 .?
解析:
作经过球心的截面(如图),
O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,
则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,
V=(32++42)×7=.
答案:
解答题 （共2小题，每题10分，共20分）
11、某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3)，每个钢球重145 kg，并且外径等于50 cm，试根据以上数据，判断钢球是空心的还是实心的．如果是空心的，请你计算出它的内径(π取3.14，结果精确到1 cm,2.243≈11.24098)．
【解析】 由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9×π×()3≈516792(g)，
街心花园中钢球的质量为145 000 g，而145 000<516 792，
所以钢球是空心的．
设球的内径为2x cm，那么球的质量为
79×[π×()3－πx3]＝145 000.
解得x3≈11 240.98，
∴x≈22.4,2x≈45(cm)．
即钢球是空心的，其内径约为45 cm.
12、如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?
(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
【解析】 (1)因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm，
所以两个半球的体积之和为
V球＝πR3＝π·27＝36π(cm3)．
又圆柱筒的体积为
V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π(cm3)．
所以这种“浮球”的体积是：
V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm3)．
(2)根据题意，上下两个半球的表面积是
S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)，
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为：
S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)，
所以1个“浮球”的表面积为
S＝＝π(m2)．
因此，2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S＝2500×π＝12π(m2)．
因为每平方米需要涂胶100克，
所以共需要胶的质量为：100×12π＝1200π(克)．
课件31张PPT。1.3.2 球的体积和表面积1.了解球的体积、表面积的推导过程.（难点）
2.能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.
（重点）
3.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”
与“外切”的几何体问题．（难点）怎样求球的体积?知识探究1 1.实验：排液法测小球的体积放入小球前H小球的体积 等于它排开液体的体积1.实验：排液法测小球的体积放入小球后怎样求球的体积和表面积？2.割圆术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限”思想.球体由N个这样形状的几何体组成，近似的看做圆台。球体的分割这样可以求出球体的体积为球面被分割成n个网格，表面积分别为则球的表面积为球的表面积思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗？RS1半径是 的球的表面积： 球的表面积是大圆面积的4倍球的体积与表面积1.球的体积公式：2.球的表面积公式：C【即时训练】【解题关键】熔化前后体积相等。例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
高为2R.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它
的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
（ ）
A．25π B． 50π C． 125π D．都不对
【变式练习】【解题关键】正方体的体对角线与球的直径相等。【变式练习】1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的几倍?
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,求这个球的体积. 8倍A2.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此
球的半径是( )
A. B.3 C.4 D.5B3.(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与
半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中
的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积
为16+20π,则r=( )
A.1 B.2
C.4 D.8BCC6.表面积为4π的球的半径是 .
【解析】设球的半径为R,则S=4πR2=4π,得R=1.
答案:1球体积表面积1.球知识结构图空间几何体三视图和直观图结 构球表面积和体积锥柱体积表面积台三视图直观图2.空间几何体结构图
