1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
教学目标：
1、了解柱体、锥体、台体的表面积的计算方法（不要求记忆公式），掌握其推导过程，并会计算简单组合体的表面积；
2、在表面积公式的推导过程中充分调动学生的积极性，渗透转化思想、类比思想，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积的计算方法.
教学难点：柱体、锥体、台体的表面积的推导过程.
【学情调查 情境导入】
一、学情调查 情境导入】
复习：斜二测画法画的直观图中，轴与轴的夹角为____，在原图中平行于轴或轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于轴的线段长度保持_____，平行于轴的线段长度____________.
引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？
问题展示 合作探究
探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？
结论： 正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是________________________，也就是展开图的面积.
新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是______________________
试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？
探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？
新知2：（1）设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于________________________，即
________________________.
设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于________________________，即
________________________.
试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？
新知3：设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等________________________，即________________________.
反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？
例1 已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积.
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20,盆底直径为15,底部渗水圆孔直径为,盆壁长15.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14,结果精确到1毫升)?
达标训练 巩固提升
1. 正方体的表面积是64,则它对角线的长为（ ）.
A. B. C. D.
2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）.
A. B. C. D.
3. 一个正四棱台的两底面边长分别为,,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（ ）.
A. B. C. D.
4. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.
5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.
6.一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为，求它的表面积.
知识梳理 归纳总结
1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式；
将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法
1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。
3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。
教学重点：运用公式解决问题
教学难点：理解计算公式的由来.
教学过程
（一）情景导入
讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？
讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？
那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标
这也是我们今天要学习的主要内容:
1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习
1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。
2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是
求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、
、 、 。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于 。
（四）合作探究
面积探究:
讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）
讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
体积探究:
讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？
五）交流展示
略
（六）精讲精练
1. 教学表面积计算公式的推导：
① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）
② 练习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P24页例1)
2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.
③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。
圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其
中为圆锥底面半径，为母线长。
圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.
例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。
解：设圆锥的母线长为，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为，即，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为，由题意得圆锥的高为，又圆柱的底面半径为，根据勾股定理，圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式得
变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为
2. 教学柱锥台的体积计算公式：
① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）
② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？
→给出柱体体积计算公式： （S为底面面积，h为柱体的高）→
③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？
④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？
→给出锥体的体积计算公式： S为底面面积，h为高）
⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
⑥ 给出台体的体积公式： （S，分别上、下底面积，h为高）
→ （r、R分别为圆台上底、下底半径）
⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式
讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？
公式记忆：
例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为
答案：A
变式训练: 如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。
分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为
答案：D
三、巩固练习：
(1). 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求其表面积.
(2). 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，求这个圆锥的表面积.
四、小结：表面积公式及推导；实际应用问题
五、作业：习题1.3 A组1.3
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
时间:30分钟，总分：70分 班级： 姓名：
选择题 （共6小题，每题5分，共30分）
1、轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )
A．4倍 B．3倍
C.倍 D．2倍
2、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为
( )
A. B.π+ C.+ D.+
3.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )
A. B. C. D.1
4.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积 ( )
A.与点E，F的位置有关 B.与点Q的位置有关
C.与点E，F，Q的位置都有关 D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值
5、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
6、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A．1＋ B．2＋
C．1＋2 D．2
填空题 （共4小题，每题5分，共20分）
7、一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.
8．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
9、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 。
10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 。
解答题 （共2小题，每题10分，共20分）
11、一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图所示，AA1＝3.
(1)请画出它的直观图；
(2)求这个三棱柱的表面积和体积．
12．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
时间:30分钟，总分：70分 班级： 姓名：
选择题 （共6小题，每题5分，共30分）
1、轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )
A．4倍 B．3倍
C.倍 D．2倍
【答案】 D
【解析】 设轴截面正三角形的边长为2a，
∴S底＝πa2，S侧＝πa×2a＝2πa2，∴S侧＝2S底．故选D。
2、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为
( )
A. B.π+ C.+ D.+
【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，所以表面积S=×2×+×π×12+×π×1×2=+.故选C.
3.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.故选A.
4.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积 ( )
A.与点E，F的位置有关 B.与点Q的位置有关
C.与点E，F，Q的位置都有关 D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值
【答案】D
【解析】VA′-EFQ=VQ-A′EF=××EF×AA′×A′D′，所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关.故选D.
5、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
【答案】 C
【解析】 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
6、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A．1＋ B．2＋
C．1＋2 D．2
【答案】 B
【解析】
根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2××2×1＋2××()2＝2＋.故选B.
填空题 （共4小题，每题5分，共20分）
7、一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.
【答案】 72
【解析】 棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．
8．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
【答案】 π
【解析】 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为
V＝π×12×1×2＋π×12×2＝π.
9、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 。
【答案】
【解析】 这个几何体是一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，这个圆锥的高为2，底面半径为1，故这个几何体体积为23-π×12×2=8-π.
10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 。
【答案】240
【解析】 由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱.底面积为2××(8+2)×4=40，由三视图知，梯形的腰为=5，梯形的周长为8+2+5+5=20，所以四棱柱的侧面积为20×10=200，表面积为240。
解答题 （共2小题，每题10分，共20分）
11、一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图所示，AA1＝3.
(1)请画出它的直观图；
(2)求这个三棱柱的表面积和体积．
【解析】 (1)直观图如图所示．
(2)由题意可知，
S△ABC＝×3×＝.
S侧＝3×AC×AA1＝3×3×3＝27.
故这个三棱柱的表面积为27＋2×＝27＋.
这个三棱柱的体积为×3＝.
12．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.
【解析】 如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R，l，高为h.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3.
又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝，即R－r＝3×，∴R－r＝.
又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°.∴BD＝A1D·tan 60°，即R＋r＝3×，
∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，而h＝3，
∴V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π.
所以圆台的体积为21π.
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
教材分析
本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第1课时柱体、锥体、台体的表面积与体积，这是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，它属于立体几何入门的内容，所以教学的目的是使学生了解空间几何体的表面积和体积的计算方法，但不要求记忆公式，并能进一步计算简单组合体的表面积和体积．
教学目标
重点: 了解柱体、锥体、台体的表面积与体积公式及其应用．
难点：台体的表面积与体积问题，以及适度理性分析的渗透．
知识点：柱体、锥体、台体的表面积与体积公式及其应用．
能力点：通过解决棱柱、棱锥、台体的表面积和体积问题培养学生通过化归解决问题的能力和合情推理的能力．
教育点：通过学生实际操作和观察学习，使学生感受到几何体表面积和体积的求解过程对自己空间思维能力影响，从而增强学习的积极性．
一、引入新课：
首先教师提出问题：在过去的学习中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积求法和它们的展开图，请大家回忆一下，它们的展开图是什么呢？怎样来求它们的表面积？
老师演示正方体和长方体的展开图如下，并引导学生回忆和回答．
图1 正方体及其展开图 图2 长方体及其展开图
然后设置疑问：正方体和长方体的表面积可以利用它们的展开图（平面图形）来求面积，那么，柱体、锥体、台体的表面积是否也可以利用它们的展开图来求呢？它们的侧面展开图又是什么呢？如何计算它们的表面积？引入课题．
【设计意图】复习表面积的概念，介绍求几何体表面积的方法(把空间问题转化为平面问题).在回顾已学知识的同时，也为介绍柱体、锥体、台体的表面积作铺垫，同时引导学生将几何体展开为平面图形时一定要注意在何处展开：多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.
二、探究新知:
1．探究多面体表面积的求法：
教师：利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图：
学生：分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？
教师：对学生讨论归纳的结果进行点评，并梳理总结出：
一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积．
例1． 已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积．
学生：自主探究，分析题目，计算出结果．
教师：提供出规范的解题过程如下：
解：先求△的面积,过点作,交于点．
因为,SD=
所以
因此,四面体的表面积
【设计意图】具体问题是学生思维的开始，具体问题可以缩短学生进入解题状态的时间，同时通过具体问题的解决使学生有切实的感受，提供了推广的基础．
2．探究旋转体的表面积的求法：
思考：如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？
教师：引导学生分析得出：对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积．
①探究圆柱的表面积的求法：
图柱的侧面展开图是矩形，其长是圆柱底面圆周长，其宽是圆柱的高（母线），
设圆柱的底面半径为,母线长为,则有圆柱的底面积为，侧面面积为，因此圆柱的表面积为 ：
②探究圆锥的表面积的求法：
圆锥的侧面展开图为一个扇形，其半径是圆锥的母线，其弧长等于圆锥底面周长，
设圆锥的底面半径为,母线长为,
则有侧面展开图扇形中心角为，那么扇形面积(圆锥侧面展开图面积)为，即为， 所以圆柱的表面积为．
③探究圆台的表面积的求法：
探究：(1)联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台的展开图的形状，并画出它吗？
(2) 如果圆台的上、下底面半径分别为,母线长为,你能计算出它的表面积吗？
课堂实录：对于圆台表面积的求解，学生的思路没有问题，但是具体的计算有问题．表现在两个方面：第一是不能选择引入简单的变量，比如有学生设使得计算复杂；第二是根据三角形相似列式时出错，比如有学生列出的比例式是等等．
针对上述情况实际教学时，将学生写的解答过程在展台上展示，通过提问“对应边是谁”，纠正错误．
教师通过分析给出：
根据相似三角形得出，那么，
那么扇环面积为大扇形面积减去小扇形面积，即，
所以圆台表面积为．
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1．5 cm，盆壁长15 cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆． 已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升，可用计算器）？
分析：油漆位置在什么地方？→ 如何求花盆外壁表面积？ 只要求出每个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量．而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积．
教师：提供出规范的解题过程如下：
由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积
所以涂100个花盆需油漆： (毫升）．
答：涂100个这样的花盆约需1000毫升油漆．
【设计意图】正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，同时要注意重合部分的处理让学生.通过日常生活中的实例解决具体的探究几何体的表面积问题，具体体验应用公式的能力以及熟悉半径、母线等含义；主要考察学生的实际应用公式能力和日常生活观察能力及空间想象能力.
巩固练习：1、教科书第27页练习1 （让学生上黑板板书演算过程）
2、追加变式：半径为4的半圆卷成一个圆锥形容器，则该容器的体积为多少？
【设计意图】趁热打铁，让学生进一步巩固熟悉立体图形平面展开图与平面图形还原成立体图形思想，主要是空间问题平面化思想.及其公式的再次应用能力.真正让学生成为课堂的主人.
3.柱体、锥体、台体的体积公式
我们已经学习了计算特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式.
它们的体积公式可以统一为(为底面面积，为高)，
一般柱体的体积为，其中为底面面积，为柱体的高(棱柱或圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点向另外一个底面作垂线，这点与垂足之间的距离)
圆锥的体积公式为(为底面面积，为高),它是同底等高的圆柱的体积的.
棱锥的体积也是同底等高的棱柱的体积的，即棱锥的体积(为底面面积，为高).
一般锥体的体积公式为，其中为底面面积，为锥体的高(棱锥或圆锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离)
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式：
，其中分别为上、下底面面积，为圆台(棱台)的高.
思考1：台体的体积公式你能够证明吗？
分析：（以圆台为例）：如图，设，上下底面的半径分别为和，圆台的上下底面积分别为和．
实际情况：学生只给出思路，具体的计算课后完成.
思考2；柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
三、理解新知：
对于圆柱、圆锥、圆台的表面积公式可以用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可以看作上下两底面全等的圆台；圆锥可以可以看作上底面为零的圆台，因此圆柱圆锥可以看作圆台的特例.这样圆柱圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.同理柱锥台的体积公式也是有它们之间的关系决定的，这样，在台体的公式中，令上下面积相等，得到柱体的体积公式；令上底面的面积为零得到椎体的体积公式.
四、运用新知：
例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
教师分析：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 如何求正六边形的面积→ 利用哪些数量关系求个数？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:
所以螺帽的个数为
答：这堆螺帽大约有252个.
【设计意图】让学生了解六角螺帽的机构特征，熟悉正六边形的特点及其求正六边形面积的方法（分割法）、如何求组合体的体积，以及让学生熟悉掌握对于体积公式的具体应用能力.让学生掌握求体积的关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题的思想.
课堂小结：
1.柱体、锥体、台体的表面积：
（1）多面体：各面面积之和（空间问题化为平面问题）
（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式：
2．柱体、锥体、台体的体积：
六、布置作业：
必做题：课本P28 A组1.3.
选做题：课本P30 B组2.
课外延伸：自主学习丛书 P108.
七、教后反思:
教学设计亮点：本节主要用联系的观点看待柱、锥、台体的表面积和体积公式、并且推导出柱、锥、台体的表面积和体积公式，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。在教学过程中让学生体会类比思想，划归思想及转化思想，把主动权交给学生：通过学生动手操作，直观感知，自主探究，合作交流等方式归纳、总结探索出常见几何体的表面积和体积，根据课表要求，适当控制例题、习题的难度，以基础为主，提高学生基本能力及学习兴趣.
课堂教学不足之处：本节内容多公式多习题少容易让学生走马观花般没有在脑子里打上烙印.同时体积公式直接给出，没有做实验也没有推导过程，学生有点被动接受的感觉.
八、板书设计:
柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、课题引入
二、柱体、锥体、台体的表面积
1多面体的表面积求解
2旋转体的表面积公式
三、柱体、锥体、台体的体积
四、典例讲评
变式练习
五、归纳小结
课件45张PPT。1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推导过程. （重点）
2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积与体积.（难点）
3.熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系，培养转化与化归的思想与空间想象能力. 几何体表面积展开图平面图形面积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积． 一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积． 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？知识探究棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解立体几何问题最基本、最常用的方法.特别提醒 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开正棱锥的侧面展开图棱锥的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图侧面展开正棱台的侧面展开图棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它们的各个侧面面积与底面面积之和． B【即时训练】【例1】已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．【分析】：四面体的展开图是由四个全等的等边三角形组成．因此，四面体S-ABC 的表面积为交BC于点D．【解析】先求△SBC的面积，过点S作在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，且AB=BC=1，AA1=2．求三棱柱的全面积S．【解析】因为AB⊥BC，AB=BC=1， 所以S△ABC= AB·BC= ，AC= 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以四边形AA1B1B、AA1C1C和BB1C1C都是矩形， 因为AA1=2，所以矩形AA1B1B的面积为 =AA1×AB=2， 同理可得 所以直三棱柱ABC-A1B1C1的全面积为【变式练习】圆柱的表面积圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，S圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么?圆台的侧面展开图是一个扇环，圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？【提升总结】【即时训练】【例2】如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100 毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（π取3.14，结果精确到1 毫升，可用计算器）？分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.涂100个花盆需油漆：
0.1×100×100=1000（毫升）.
答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.【解析】如图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积【变式练习】 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式.它们的体积公式可以统一为柱体体积一般柱体的体积也是其中S为底面面积，h为柱体的高．圆锥的体积公式是（其中S为底面面积，h为高），它的体积是同底等高的圆柱的体积的 ．圆锥体积探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．棱锥体积三棱锥与同底等高的三棱柱的关系等底等高的三棱锥体积相等.（其中S为底面面积，h为高）. 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的 ． 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的 ，即棱锥的体积台体体积由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)根据台体的特征，如何求台体的体积？棱台（圆台）的体积公式 其中 , 分别为上、下底面面积，h为棱台（圆台）的高． 分别为上、下底面面积，h 为台体高S为底面面积，
h为锥体高S为底面面积，
h为柱体高柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？公式有它的统一性.【提升总结】C【即时训练】【例3】有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8 g/cm3)
六角螺帽共重5.8 kg，已知底面是正六边形，边长为
12 mm，内孔直径为10 mm，高为10 mm，问这堆螺帽
大约有多少个（π取3.14，可用计算器）？【解析】六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即所以螺帽的个数为5.8×1000÷（7.8×2.956）≈
252（个）.答：这堆螺帽大约有252个．【变式练习】A1.正方体的表面积为96,则正方体的体积为( )
A.48 B.64 C.16 D.96B2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）BC4.圆锥的底面半径为1,高为2,则圆锥的体积为
________.
【解析】
答案:A柱体、锥体、台体的表面积转化的思想柱体、锥体、台体的体积联系的观点空间几何体三视图和直观图结 构球表面积和体积锥柱体积表面积台三视图直观图空间几何体结构图
