1.2.3
空间几何体的直观图
各位老师：
大家好！我今天说课的题目是《空间几何体的直观图》，所选用的内容为高一人教版数学必修2第一章《空间几何体》第二节《空间几何体的直观图》，在课本的16页至18页。下面我对本课题进行说课：
一、说教材（地位与作用）
空间几何体是高一人教版数学必修2的主要内容，在本堂课之前，学生们已经学习了空间几何体的三视图，这为过渡到本课题的学习起到了铺垫的作用。本课题的理论、知识又是学好以后课题的基础，因此，它在整个教材中起着承上启下的作用。
二、说教学目标
新课标指出教学目标应包括知识目标、能力目标和情感目标这三个方面，而这三维目标又应该是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习、形成正确价值观的过程。结合对教材地位和作用的分析，我制定了以下的教学目标：
1.知识目标
（1）了解空间图形的表现形式，掌握空间图形在平面的表示方法.
（2）会用斜二测画法画水平放置的平面图形以及空间几何体的直观图
（3）通过空间几何体的三视图会画空间几何体的直观图。
2.能力目标
会画简单空间几何体以及空间几何组合体的直观图
3.情感目标
通过引导学生认识空间几何体，使学生能够画出空间图形，培养学生的空间直观能力，并应用于生活实际。
三、说教学的重难点
在今后的空间几何体的学习中，我们会用到空间几何体的直观图，所以，我确定了以下教学重点和难点：
1.用斜二测画法画直观图.
2.空间几何体的直观图画法.
为了讲清教材的重难点，使学生能够达到本课题设定的教学目标，我再从教法上谈谈。
四、说教法。
高一年级学生年纪小，具有模仿力强，记忆力好，表现欲强等特点.根据学生第一章节已接触的空间几何体直观图和空间几何体三视图的知识，将学生引入到如何绘出这些空间的几何体.非常符合学生的好奇心，能激发他们的求知欲，使他们易学、乐学.
我主要采取诱导式教学方法、视听法、直观教学法，让学生积极主动地参与到教学活动中来，使他们在活动中得到认识和体验，产生践行的愿望。当然老师自身也是非常重要的教学资源。教师本人应该通过课堂教学感染和激励学生，调动起学生参与活动的积极性，激发学生对解决实际问题的渴望，并且要培养学生以理论联系实际的能力，从而达到最佳的教学效果。
五、说学法
我们常说：“现代的文盲不是不懂字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而，我在教学过程中特别重视学法的指导。让学生从机械的“学答”向“学问”转变，从“学会”向“会学”转变，成为学习的真正的主人。这节课在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法：分析归纳法、自主探究法、总结反思法等等。下面我具体来谈谈这一堂课的教学过程。
六、说教学过程
在这节课的教学过程中，我注重突出重点，条理清晰，紧凑合理，各项活动的安排也注重互动、交流，最大限度的调动学生参与课堂的积极性、主动性。
1.
导入新课：（2~3分钟）
由上节课演示过的知识和教材开头的情景设置导入新课。
(1)
引导观察已接触过的空间几何体（柱、锥、台、球）的直观图.
(2)
空间某一点看水平放置的课本.
我的设计思想是：利用观测得到的图形差异将学生引入到空间几何体直观图画法，从而有效的激发学习的兴趣，通过交流活跃课堂气氛
讲授新课：（35分钟）
在讲授新课的过程中，我突出教材的重点，明了地分析教材的难点。我采用了以下几个步骤：
(1)向学生示范用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，并教会学生用斜二测画水平图的方法。让学生自己动手用斜二测法画正五边形、圆的直观图。然后进行讲评练习，为学生的不足补充，同时可以让学生认识当坐标系选择不同时作图的差异。
(2)
让学生阅读课本例题2.用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体的直观图.并给学生提出问题：画空间几何体直观图和平面图形直观图的差异.
(3)
归纳画空间几何体的步骤并让学生画空间几何体直观图.（在练习1基础上给出长方体的高5cm）让学生画正方体直观图，并引导学生指出联系与区别.
(4)
根据例3中空间组合体的三视图让学生探讨如何画它的直观图。
3.
课堂小结：（2~3分钟）
本堂课主要培养学生自主学习，归纳重点的能力.教会学生画空间几何体的直观图。使学生对空间几何体有着更深刻的认识。
4.
板书设计：
我比较注重直观地、系统的板书设计，并及时地体现教材中的知识点，以便于学生能够理解掌握。我的板书设计是：
5.
布置作业。
为了对本节课的教学效果进行检测，帮助学生掌握比较薄弱的环节，我布置的作业为：课本22页练习4、5，习题1.2
第4、5题。
七、结束语
各位领导、老师们，本节课我根据高一年级学生的学习特征，采用直观教学和动手操作的教学方法，以‘教师为主导，学生为主体’，教师的“导”立足于学生的“学”，以学法为重心，放手让学生自主探索的学习，主动地参与到知识形成的整个思维过程，力求使学生在积极、愉快的课堂气氛中提高自己的认识水平，从而达到预期的教学效果。我的说课完毕，谢谢！
1.2.3
空间几何体的直观图
1.斜二测画法的步骤：
2.例题（用斜二测画法画水平放置的正六边形，长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体，已知三视图的几何体的直观图）
3.练习：1.2.3
空间几何体的直观图
三维目标
通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养探究精神和意识，以及转化与化归的数学思想方法.
重点难点
教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
教学难点：直观图和三视图的互化.
教学过程
一、复习：
（1）什么叫中心投影、平行投影、斜投影、正投影？
（2）三视图采用何种投影？三视图指哪三种视图？画三视图要注意什么？
说明：三视图在工程制图中被广泛采用，但其直观性较差，因此，在绘制物体的直观图时，一般采用斜投影或中心投影。
合作探究
提出问题
①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？
②上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤.
③探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是4
cm、3
cm、2
cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？并总结画几何体的直观图的步骤.
活动：①和③教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自己的见解，教师及时给予点评.
②根据上述画法来归纳.
③让学生比较两种画法的步骤.
讨论结果：①画法：1°如图1（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°.
2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.
3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕.
图1
②步骤是：1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.
2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的?线段.
3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
③画法：1°画轴.如图2，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
图2
2°画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4
cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
3°画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
4°成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.
点评：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感.
④画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步骤是：
1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy=90°,∠yOz=90°.
2°画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所?确定的平面表示水平平面.
3°已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.
4°已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
斜二测画法的作图技巧:
1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等.
2°在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.
3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图.
例1
用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.
活动：学生回顾讨论斜二测画法的步骤，自己画出来后再互相交流.教师适当点评.
解：（1）如图3(1)，在⊙O上取互相垂直的直径AB、CD，分别以它们所在的直线为x轴与y轴，将线段AB
n等分.过各分点分别作y轴的平行线，交⊙O于E，F，G，H，…，画对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°.
图3
(2)如图3(2)，以O′为中点，在x′轴上取A′B′=AB，在y′轴上取C′D′=CD，将A′B′
n等分，分别以这些分点为中点，画与y′轴平行的线段E′F′，G′H′，…，使E′F′=,G′H′=，….
（3）用光滑曲线顺次连接A′，D′，F′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去辅助线，得到圆的水平放置的直观图〔图3(3)〕.
变式
关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（
）
A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
分析：在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，所以C不正确.
答案：C
例2
如图4，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.
图4
活动：让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征.教师分析：
由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.
解：画法：
（1）画轴.如图5（1），画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(1)
(2)
图5
（2）画圆柱的两底面，仿照例2画法，画出底面⊙O.在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′（与画⊙O一样）.
（3）画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度.
（4）成图.连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图5(2)〕.
点评：
空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.
变式
图6所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构，并画出它的直观图吗？
图6
答案：奖杯的几何结构是最上面是一个球，中间是一个四棱柱，最下面是一个棱台拼接成的简单组合体.其直观图略.
例1
如图7所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4
cm，CD=2
cm，∠DAB=30°，AD=3
cm，试画出它的直观图.
图7
活动：利用斜二测画法作该梯形的直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴的线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过Ｄ作出该点在x轴的垂足，则对应地可以作出线段ＤＥ的直观图，进而作出整个梯形的直观图.
解：步骤是：（1）如图8所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图9所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′=45°.
（2）如图8所示，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′=AB=4
cm，A′E′=AE=cm
≈2.598
cm；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′=，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′=CD=2
cm.
图8
图9
图10
（3）连接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图10所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.
三、迁移运用
1.利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是___________.
分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错.
答案：①②
2.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（
）
A.
B.
C.
D.都不对
分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的倍，而正三角形的高是，所以原三角形的高为，于是其面积为×2×=.
答案：A
3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（
）
A.
B.
C.
D.
分析：平面图形是上底长为1，下底长为，高为2的直角梯形.计算得面积为.
答案：D
4.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应点是M′,则点M′的找法是___________.
分析：在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1=4，在y′轴上取点M2，使O′M2=2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线的交点就是M′.
答案：在x′O′y′中，过点（4，0）和y′轴平行的直线与过（0，2）和x′轴平行的直线的交点即是.
5.根据图14所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状.
图14
分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔.从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔.
解：由此可以推测该物体大致形状如图15所示.
图15(共29张PPT)
这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？
三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，如何绘制空间图形的直观图呢？
学习目标
（1）掌握斜二测画法的作图规则；
（2）会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.
重点：用斜二测画法画空间几何体直观图。
难点：斜二测画法的作图规则，用斜二测画法画出简单几何体的直观图．
在中心投影中，水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直)，但斜的平行线则会相交，交点称为消点．
作图较复杂，又不易度量．
立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法．
1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变.
2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变.
3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变．
投影规律
（一）水平放置的平面图形的画法
思考1:把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
思考2:把一个直角梯形水平放置，得其直观图如图，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
我们通过下面的例题一起来分析.
例1
用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
注意：画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．
画法：(1)在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O．画相应的x′轴，y′轴，两轴相交于点O′，使∠
x′o
y′=45°.
建系时要尽量考虑图形的对称性
(2)以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取
以点N′为中点，画B′C′∥x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画E′F′∥x′轴，并且等于EF.
注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长变为原来的一半．
并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图
(3)连接
请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤.
斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′o′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
【提升总结】
思考3:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时用什么方法？
斜二测画法
(二)
空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？
x
o
y
例2
用斜二测画法画长、宽、高分别是4
cm、3
cm、
2
cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
画法：（1）画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy=45°，
∠xOz=90°.
（2）画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=____cm；在y轴上取线段PQ，使PQ=_____cm，分别过点M和N作y轴的平行线，过点
P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD
就是长方体的底面ABCD.
4
1.5
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA′,BB′，CC′,DD′.
思考2:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？
M
z
B
C
A
S
y
O
x
B
C
A
S
A
B
C
思考3:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？
画轴
→
画底面
成图
→
画侧棱
→
分析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体.它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.
例3
如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.
正视图
侧视图
俯视图
A
B
A′
B′
相应的
P
·
P
A
B
A′
B′
O′
O
A
C
D
空间几何体的直观图的特点:
1.
保持平行关系和竖直关系不变．
2.
保持水平长度和竖直长度不变；
3.
纵向长度取其一半．1.2.3空间几何体的直观图
时间:30分钟，总分：70分
班级：
姓名：
选择题
（共6小题，每题5分，共30分）
1.在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是(
)
A．角的水平放置的直观图不一定是角
B．相等的角在直观图中仍然相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等
D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等
2.AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则( )
A．A′B′＝2C′D′
B．A′B′＝C′D′C．A′B′＝4C′D′
D．A′B′＝C′D′
3.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（
）
A.16
B.64
C.16或64
D.都不对
4.三角形ABC的斜二侧直观图如图所示，则三角形ABC的面积为（
）
A、
B、
C、
D、
5.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（
）
A.
B.
C.
D.
6、如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是 ( )
A.AB
B.AD
C.BC
D.AC
填空题
（共4小题，每题5分，共20分）
7、利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是___________.
8、如图，是水平放置的的直观图，则的面积是
.
9、.如图所示，为水平方置的的直观图，其中，则的面积为
．
10、如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（
）
A．
B．
C．6
D．8
解答题
（共2小题，每题10分，共20分）
11、如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图.
12、如图，正方形OABC的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长．1.2.3
空间几何体的直观图
教学目标：
（1）
掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
（2）
通过作图感受图形直观感，体会用斜二测画法画空间几何体的过程。
（3）
会利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。感受几何作图在生产活动中的应用,提高空间想象力与直观感受。
教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
教学难点：斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。.
教学过程：
学情调查
情境导入
复习1：中心投影的投影线____；平行投影的投影线_____.
平行投影又分___投影和____投影.
复习2：物体在正投影下的三视图是_____、______、_____；
引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图.要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法.我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗
问题展示
合作探究
探究1：水平放置的平面图形的直观图画法
问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的 每条边还相等吗 该怎样把这种效果表示出来呢
新知1：上面的直观图就是用斜二测画法画出来的，斜二测画法的规则及步骤如下：
(1)在已知水平放置的平面图形中取
，两轴相交于,建立直角坐标系.画直观图时,把它们画成对应的
，两轴相交于点，且使
.它们确定的平面表示水平面；
(2)
已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于
的线段；
(3)已知图形中平行于轴的线段，在直观图中
，平行于轴的线段，
；
(4)
图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）.
※
典型例题
例1
用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.
讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形 它的直观图如何画？
结论：水平放置的圆的直观图是个
，通常用
来画.
探究2：空间几何体的直观图画法
问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该怎么处理吗？
例2
用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体的直观图.
新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：轴，轴，轴；它们相交于点，且°，°；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于轴的线段保持长度不变，平行于轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的“高”，即平行于轴的线段，保持长度不变.
练练：
如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.
小结：由简单组合体的三视图画直观图时，先要想象出几何体的形状，它是由哪几个简单几何体怎样构成的；然后由三视图确定这些简单几何体的长度、宽度、高度，再用斜二测画法依次画出来.
达标训练
巩固提升
1.
一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为（
）.
A.
4、8、4
B.
4、4、4
C.
2、4、4
D.2、4、2
2.
利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图是三角形
②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形
④菱形的直观图是菱形，其中正确的是（
）.
A.①②
B.①
C.③④
D.①②③④
3.
一个三角形的直观图是腰长为的等腰直角三角形，则它的原面积是（
）.
A.
8
B.
16
C.
D.32
4、水平放置的有一边在水平线上，它的直观图是正，则
（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
5．利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形。
以上结论中，正确的是
．
6.
画右图的直观图1.2.3空间几何体的直观图
时间:30分钟，总分：70分
班级：
姓名：
选择题
（共6小题，每题5分，共30分）
1.在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是(
)
A．角的水平放置的直观图不一定是角
B．相等的角在直观图中仍然相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等
D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等
【答案】D
【解析】由斜二测画法，得若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等，故选D.
2.AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则( )
A．A′B′＝2C′D′
B．A′B′＝C′D′
C．A′B′＝4C′D′
D．A′B′＝C′D′
【答案】C
【解析】因为AB∥x轴，CD∥y轴，所以AB＝A′B′，CD＝2C′D′，
所以A′B′＝AB＝2CD＝2(2C′D′)＝4C′D′.
3.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（
）
A.16
B.64
C.16或64
D.都不对
【答案】C
【解析】根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.
4.三角形ABC的斜二侧直观图如图所示，则三角形ABC的面积为（
）
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】用斜二测画法的法则，可知原图形是一个两边分别在轴的直角三角形，轴上的边长与原图形相等，轴上的边长是原图形边长的一半，由此得到平面图形的面积.因为,所以原图形中两直角边长分别为2,2，因此的面积为.故选B.
5.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】平面图形是上底长为1，下底长为，高为2的直角梯形.计算得面积为.故选D。
6、如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是 ( )
A.AB
B.AD
C.BC
D.AC
【答案】D
【解析】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB
填空题
（共4小题，每题5分，共20分）
7、利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是___________.
【答案】①②
【解析】斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错.
8、如图，是水平放置的的直观图，则的面积是
.
【答案】12
【解析】根据斜二测画法知为直角三角形，底面边长，高，故的面积是.
9、.如图所示，为水平方置的的直观图，其中，则的面积为
．
【答案】
【解析】，的面积为.所以答案应填：．
10、如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（
）
A．
B．
C．6
D．8
【答案】D
【解析】还原实际图形如图所示，,,，所以周长就是,故选D.
解答题
（共2小题，每题10分，共20分）
11、如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图.
【解析】该几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的简单组合体，其直观图如图12所示，三视图如图13所示.
12、如图，正方形OABC的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长．
【答案】8
cm
【解析】将直观图还原为平面图形，如图．
可知还原后的图形中，
OB＝2，AB＝＝3，
于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．