1.6 三角函数模型的简单应用
互动课堂
疏导引导
1.根据图象求函数解析式.
现实生产、生活和自然现象中,周期现象广泛存在.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种模型,可以用来研究很多问题,在说明周期变化规律、预测未来等方面都发挥着十分重要的作用.
案例1 如图1-6-1,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
图1-6-1
【解】 (1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.
(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,
∴A=(30-10)=10,b= (30+10)=20.
∵·=14-6,∴ω=.
将x=6,y=10代入上式,解得φ=.
综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈［6,14］.
【规律总结】 在y=Asin(ωx+φ)+b中,各未知量的求法.
(1)A是振幅,即离开平衡位置的最大距离可直接观察得出,A=.
(2)ω=,因此要先求T.从图上观察一段图象,然后求出这段图象的长度.若这段图象是周期的a倍,则a·T等于这段图象的长度,从而求出T.
(3)b=.
(4)确定φ:根据图象提供的特殊点,如最值点或平衡点(如果图象没有y轴方向上的移动,就是与x轴的交点),与y=sinx的五个特殊点对应求解.
2.利用函数图象解决问题.
案例2作出函数y=-sin|x|(-2π≤x≤2π)的简图.
【解】y=如图1-6-2所示.
图1-6-2
活学巧用
1.已知如图1-6-3,表示电流I与时间t的关系I=Asin(ωt+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)在一个周期内的图象.
图1-6-3
(1)试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωt+φ)中t在任意一段秒的时间内电流I能同时取得最大值A与最小值-A,那么ω的最小正值是多少?
解析:(1)由图象知A=300,T=-(-)=(秒).
∴ω==100π.∴I=300sin(100πt+φ).
则有100π·(-)+φ=0.解得φ=.
∴I=300sin(100πt+).
(2)欲使I在t的任意一段秒内能同时取到最大值A与最小值-A,必须且只需I的周期不大于,即T=≤,解得ω≥200π.
∴ω的最小正值为200π.
2.y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图1-6-4,则( )
图1-6-4
A.ω=,φ= B.ω=,φ= C.ω=,φ= D.ω=,φ=
解析:∵T=2,∴T=8.
又T=,∴ω==.
∴y=sin(x+φ).
当x=1时, x+φ=,∴φ=.
答案:C
3.函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是_______________.
解析:数形结合法:f(x)=由图象1-6-5知1＜k＜3.
图1-6-5
答案:1＜k＜3
1.6 三角函数模型的简单应用
1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律；
2．能根据实际问题的意义，利用三角函数模型解决有关问题，为决策提供依据．
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的图象与性质
(1)图象的画法：“五点法”和变换法．
(2)定义域：__.
(3)值域：__________.当x＝________(k∈Z)时，y取最大值A＋b；当x＝________(k∈Z)时，y取最小值－A＋b.
(4)周期：T＝__.
(5)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是__函数；当且仅当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是__函数．
(6)单调性：单调递增区间是
(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z)．
(7)对称性：函数图象与__轴的交点是对称中心，即对称中心是，对称轴与函数图象的交点的__坐标是函数的最值，即对称轴是直线x＝，其中k∈Z.
(8)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距__个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的________．
【做一做1－1】 y＝7sin的周期与最大值分别是( )
A．12π，7 B．12π，－7 C．12,7 D．12，－7
【做一做1－2】 函数f(x)＝sin的一条对称轴方程为( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【做一做1－3】 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f(x)的解析式是__________．
2．三角函数模型的应用
(1)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着重要作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算器或计算机．
(2)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
(3)建立三角函数模型的步骤如下：
【做一做2】 某地一天从6～14时的温度变化满足y＝10sin＋20，t∈[6,14]，则最高气温和最低气温分别是( )
A．10，－10 B．20，－20 C．30,20 D．30,10
答案：1．(2)R [－A＋b，A＋b] (4) (5)奇 偶 (6) (7)x 纵 (8)半 四分之一
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 B
【做一做1－3】 f(x)＝2sin 由图象得A＝2，周期T＝4＝2，则＝2，解得ω＝π.
则有f(x)＝2sin(πx＋φ)，函数图象经过点，
则f＝2，即2＝2sin，则sin＝1，
又|φ|＜，则φ＝.
【做一做2】 D 由6≤t≤14，得≤t＋≤，
则sin∈[－1,1]，可得ymin＝－10＋20＝10，
ymax＝10＋20＝30.
解三角函数应用题的步骤
剖析：(1)审清题意，读懂题．
三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言并用，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
(2)搜集整理数据，建立数学模型．
根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．
(3)讨论变量关系．
根据上一步中建立起来的变量关系，结合题目的要求，与已知数学模型的性质对照，转化为讨论y＝Asin(ωx＋φ)＋b的性质，从而得到所求问题的理论参考值．
(4)作出结论．
根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论．
题型一 在生活中的应用
【例1】 如图，某动物种群数量12月1日低至700,6月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量作为月份t的函数表达式；
(2)估计当年3月1日动物的种群数量．
分析：(1)根据曲线求出函数表达式；(2)由表达式求出当年3月1日即t＝3时对应的函数值．
反思：在生活中，呈周期变化的现象，常用三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b来描述，通过讨论其图象和性质来解决实际问题．
题型二 在物理中的应用
【例2】 交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin来表示．
求：(1)开始时的电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
分析：(1)开始时的电压即t＝0时电压E的值；
(2)电压值每周期重复出现一次；
(3)电压的最大值可由关系式求出．
反思：由于物理学中的单摆、光波、机械波、电流等都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此借助于三角函数模型来研究物理学中的相关知识是解答此类问题的关键．
答案：
【例1】 解：(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则解得A＝100，b＝800，又周期T＝2(6－0)＝12，
∴ω＝＝＝.
则有y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－.
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝3时，y＝100sin＋800＝800，即当年3月1日种群数量约是800.
【例2】 解：(1)当t＝0时，E＝220sin＝110(伏)，即开始时的电压为110伏．
(2)T＝＝秒，即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒．
(3)电压的最大值为220伏，令100πt＋＝，解得t＝.即t＝秒时第一次取得这个最大值．
1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数解析式为s＝，那么单摆来回摆动一次所需的时间为__________s.
2．如图表示电流I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )
A．I＝ B．I＝
C．I＝ D．I＝
3．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要__________s往复一次．
4．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f(x)＝__________.
5．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m?
答案：1．1 单摆来回摆动一次所用的时间为一个周期，即T＝＝1(s)．
2．C 由图象得周期T＝＝，最大值为300，经过点，则ω＝＝100π，A＝300，
∴I＝300sin(100πt＋φ)．
∴0＝.
∴＝0，取φ＝.
∴I＝.
3．0.8 由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往复一次．
4． 由题意得
解得A＝2，B＝6.
周期T＝2(7－3)＝8，∴ω＝＝.
∴f(x)＝.
又当x＝3时，y＝8，∴8＝.
∴＝1，取φ＝.
∴f(x)＝.
5. 解：(1)以中心O为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min时P距地面高度为y，依题意得
y＝.
(2)令＞70，
∴＞，
∴2kπ＋＜＜2kπ＋，
∴2kπ＋＜＜2kπ＋，
∴3k＋1＜t＜3k＋2.令k＝0得1＜t＜2.
因此，共有1 min距地面超过70 m.
1.6 三角函数模型的简单应用
知识梳理
三角函数的模型可以应用到实际问题中，那么三角函数模型的建立程序如下图：
知识导学
要学好本节内容，可通过4个例题，展现三角函数的简单应用，突出三角函数作为描述现实世界中周期变化现象的一种数学模型，其在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.通过实例理解将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，从而领会根据所得的模型解决问题，应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题.
疑难突破
1.解答三角函数应用题的一般步骤.
剖析：（1）理解材料，审清题意
三角函数应用题的语言形式多为“文字语言和图形语言”并用，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.
（2）搜集整理数据，建立数学模型
根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型.其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式.
（3）讨论变量关系
根据上一步中建立起来的变量关系，结合题目的要求，与已知数学模型的性质对照，讨论考查的有关性质，从而得到所求问题的理论参考值.
（4）作出结论
根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论.
2.利用三角函数解决实际问题时需要注意哪些方面？
剖析：（1）自变量x的变化范围.
（2）数形结合，通过观察图形，获得本质认识.
（3）要在实际背景中抽取基本的数学关系较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想、运用适当的数学模型.
（4）涉及复杂的数据，往往需要借助使用信息技术工具.
1.6 三角函数模型的简单应用
疱工巧解牛
知识?巧学
一、函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系
绝对值仅对函数值施加影响，根据绝对值的意义有要画出y=|f(x)|的图象，只需先画出y=f(x)的图象，再把x轴下半平面的部分沿x轴翻折上去(翻折后x轴下方的图象不再存在)，这样原有的x轴上半平面的部分及翻折上去的部分一起便构成了y=|f(x)|的图象.
二、数学建模
解决实际问题就是要把实际问题变成数学问题，通过解数学问题，获得答案，再反过来解释实际问题，这就是一个数学建模的过程.
一般来说，数学建模过程可用下面的框图表示：
图1-6-1
当问题与函数图象有关时，可先建立适当坐标系，把题目所给的每一对数据作为一个点的坐标，在坐标系中描出这些点，并用光滑曲线把这些点依次连结起来，观察所画曲线、选用适当函数解析式，设法求出解析式中各参数，并将已知数据代入求得的解析式进行检验.如果等式不成立，则需修改解析式；如果等式成立，则该函数解析式就是本题的数学模型.这时就可以利用这个数学模型解决题目的其他问题了.
函数模型的应用实例主要包括三个方面：直接利用给定的函数模型解决实际问题；建立确定性函数模型解决实际问题；建立拟合函数模型解决实际问题.
误区警示 建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析.
典题?热题
知识点一 确定函数解析式
例1 若函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜2π)的最小值为-2，周期为，且它的图象过点(0,)，求此函数的表达式.
思路分析：根据条件可先求出A，再由周期得出ω，用特殊点求出φ.
解：由题意得A=2,ω=3，故设y=2sin(3x+φ)，
∵图象过点(0,),∴sinφ=,0＜φ＜2π.
∴φ=或φ=.
∴函数的表达式为y=2sin(3x+)或y=2sin(3x+).
例2 图1-6-2为y=Asin(ωx+φ)的一段图象，求其解析式.
图1-6-2
思路分析：本题主要考查正弦函数的图象与性质.首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx的图象)，所以A＜0；若以M点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降(类似于y=sinx的图象)，所以A＞0.而φ可由相位来确定.
解：以N为第一个零点，则A=，T=2(-)=π.
∴ω=2，此时解析式为y=sin(2x+φ).
∵点N(，0)为y=sin(2x+φ)的第一个零点，
∴×2+φ=0φ=.∴所求解析式为y=sin(2x+).
巧解提示：以点M(，0)为第一个零点，则A=，ω==2，
解析式为y=sin(2x+φ).
∵点M(，0)为y=3sin(2x+φ)=0的第一个零点，
∴将点M的坐标代入得2×+φ=0φ=.
∴所求解析式为y=sin(2x-).
方法归纳 (1)参数A与ω是改变曲线形状的量，φ与b是改变曲线位置的量.它们一起决定了曲线的形状与位置.
(2)确定解析式y=Asin(ωx+φ)+b中的参数A、ω、φ、b的关键是明确该函数同y=sinx的关系；同时明确“五点法”作草图的过程及两个图象上相对应点间的关系.
知识点二 函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系
例3 画出下列函数的图象并观察其周期.
(1)y=|cosx|；(2)y=|tanx|.
思路分析：显然y=|cosx|，y=|tanx|的图象分别是把y=cosx，y=tanx的图象在x轴下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.
解：(1)y=|cosx|的图象如图1-6-3所示.
图1-6-3
从图中可以看出该函数是以π为周期的函数.
(2)y=|tanx|的图象如图1-6-4所示.
图1-6-4
从图中可以看出该函数是以π为周期的函数.
例4试画出下列函数的图象并观察其周期.
(1)y=sin|x|；(2)y=tan|x|.
思路分析：显然这两个函数都是偶函数，其图象应关于y轴对称.根据绝对值的意义可知x≥0的部分应是y=sinx，y=tanx右半平面的部分.
解：(1)y=sin|x|的图象如图1-6-5所示.
图1-6-5
从图中可以看出y=sin|x|不再是周期函数.
(2)y=tan|x|的图象如图1-6-6所示.
图1-6-6
从图中可以看出y=tan|x|的图象也不再是周期函数.
方法归纳 (1)一般地，对于函数y=f(|x|)而言，若它的定义域是关于原点对称的，则它是偶函数，它的图象必关于y轴对称，因为当x≥0时，|x|=x，所以函数y=f(|x|)的图象在y轴右半平面的部分(包括同y轴的交点)是函数y=f(x)在x≥0时的部分，左半平面的部分应是右半平面的部分沿y轴翻折而得到的.
(2)函数y=|Asin(ωx+φ)|的图象是保留y=Asin(ωx+φ)的上半平面部分，而把下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.对于y=|Acos(ωx+φ)|、y=|tan(ωx+φ)|的图象也是如此.函数y=|sin(ωx+φ)|的周期变为，而y=|tan(ωx+φ)|的周期仍是.
知识点三 建立数学模型解决实际问题
例5 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位：小时)的函数，下面是时间与水深的数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
图1-6-7
根据上述数据描出的曲线如图1-6-7所示，经拟合，该曲线可近似看成正弦函数y=Asinωt+b的图象.
(1)试根据以上数据，求出y=Asinωt+b的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天(24小时)安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？
思路分析：观察问题所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，可依据给出的数据与图象确定函数解析式中的参数A,ω,b的值.
解：(1)由表中数据可知b==10，A=3.
由T==12,得ω=.
所以y=3sint+10.
(2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5米.
令y=3sint+10≥11.5，可得sint≥.
∴2kπ+≤t≤2kπ+,k∈Z.∴12k+1≤t≤12k+5,k∈Z.
取k=0，则1≤t≤5，取k=1，则13≤t≤17；而取k=2，则25≤t≤29(不合题意).
∴在凌晨1点至5点和下午13点至17点，该船能够安全进港.船舶要在一天之内在港内停留时间最长，就应在凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长不能超过16小时.
例6 如图1-6-8，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).
图1-6-8
(1)求函数h=f(t)的关系式；
(2)画出函数h=f(t)的图象.
思路分析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力.
解：(1)如图1-6-9，以O为原点，过点O的切线为x轴，建立直角坐标系.
图1-6-9
设点A的坐标为(x,y)，则h=y+0.5.
设∠OO1A=θ，则cosθ=,y=-2cosθ+2.又θ=×t即,
所以y=-2cost+2,h=f(t)=-2cost+2.5.
(2)函数h=f(t)=-2cost+2.5的图象如图1-6-10.
图1-6-10
问题?探究
方案设计探究
问题 根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界期和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置).请根据自己的出生日期，绘制自己的情绪和智力曲线.
探究思路：从生日前一天起，连续一个月记录自己每天在情绪、体力、智力方面的表现，之后绘制自己的情绪和智力曲线.并比较生日相同的同学所绘制的情绪和智力曲线是否相同，通过实际操作，研究情绪和智力曲线对每个同学的指导是否有效.
探究结论：根据实际情况得出结论，总结在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力.
材料信息探究
在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落.一般地，海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”.由于潮汐与港口的水深有密切的关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用.一般地，船涨潮时驶入航道，靠近码头，卸货后，在落潮时回到海洋.某港口工作人员在2006年8月1日从0时至24时记录的时间t(小时)与水深d(米)的关系如下：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
d
5
7.5
5
2.5
5
7.5
5
2.5
5
问题 你能不能选用一个函数来近似地描述这个港口水深与时间的函数关系？
探究过程：观察上表中所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表中的数据作出图象，从图象可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用一个类似于正弦函数的函数来刻画，此函数可记为y=Asin(ωx+φ)+k(A＞0,ω＞0,φ∈［0,π］).
由上表可知，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，周期为12.则有则A=，k=5，12=,即ω=.
由上表还可得点(3，7.5)在函数的图象上，则有7.5=sin(×3+φ)+5，即sin(+φ)=1，再由φ∈［0,π］得φ=0.
由上可得函数的解析式为y=,x∈［0,24］.
探究结论：上表中时间与水深的函数解析式可以近似地用函数y=,x∈［0,24］来描述.
思想方法探究
问题 怎样求方程sinx=解的个数？
探究过程：根据我们所学的知识，还不能解出这个方程.这时不妨采用数形结合的方法，把求方程根的个数的问题转化为求函数y=sinx与y=的交点个数的问题.此外，解题时还应注意两个函数的奇偶性及图象的特性.具体方法是：作出当x≥0时，y=sinx与y=的图象，由图可知它们有4个交点(包括原点).又因为y=sinx与y=都是奇函数，它的图象关于原点对称，所以，当x＜0时，两图象有3个交点.所以，函数y=sinx与y=共有7个交点，即方程sinx=有7个根.
探究结论：sinx=是一个超越方程，用代数的方法是无法求解的.对超越方程,我们可以利用数形结合的方法求其近似解和其解的个数.具体方法是：首先将方程化为f(x)=g(x)的形式，其中f(x)、g(x)的图象可以画出.然后画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们交点的横坐标为方程的解，而交点的个数为方程解的个数.
1.6 三角函数模型的简单应用
课堂导学
三点剖析
1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题
【例1】 某港口的水深y（米）是时间t(0≤t≤24,单位：小时）的函数，下面是水深数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+b的图象.
(1)试根据以上数据，求出y=Asinωt+b的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略进出港所用的时间）？
思路分析：（1）从拟合曲线可知，函数y=Asinωt+b中的b，由t=0时的函数值取的，t=3时取得最大值，进而可求得ω、A、b的值，即得函数的表达式.
(2)根据（1）中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5+7=11.5（米）的时段，从而就可回答题中的两问.
解:（1）从拟合曲线可知：函数y=Asinωt+b在一个周期内由最大变到最小需9-3=6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此=12,ω=.
又∵当t=0时，y=10;当t=3时，ymax=13.
∴b=10,A=13-10=3.
于是所求的函数表达式为y=3sinx+10.
(2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5（米）.
由拟合曲线可知，一天24小时，水深y变化两个周期，故要使船舶在一天内停留港口的时间最长，则应从凌晨3点前进港，而从第二个周期中的下午15点后离港.
令y=3sinx+10≥11.5，可得sinx≥.
∴2kπ+≤x≤2kπ+ (k∈Z).
∴12k+1≤x≤12k+5(k∈Z).
取k=0，则1≤x≤5；取k=1，则13≤x≤17.
而取k=2时，则25≤x≤29（不合题意）.
从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午的17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时.
2.从实际问题中抽象出三角函数模型
【例2】 如右图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).
(1)求函数h=f(t)的关系式；
（2）画出函数h=f(t)的图象.
解：(1)如下图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.
设点A的坐标为（x,y），则h=y+0.5.
设∠OO1A=θ,则cosθ=,y=-2cosθ+2.
又θ=×t,即θ=t，所以y=-2cost+2,
h=f(t)=-2cost+2.5.
(2)函数h=-2cost+2.5的图象如下
温馨提示
呈现周期性变化规律的实际问题的解决往往与三角函数有关.
实际问题的背景往往比较复杂，具有很强的现实生活色彩，语言表达形式不同于常规训练的简单问题，因此在解决实际问题时要注意：
（1）自变量的变化范围.
（2）数形结合，通过观察图形，获得本质认识.
（3）要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想，选用适当数学模型.
3.绝对值对周期函数的影响
【例3】画出下列函数图象并观察其周期性.
（1）y=sin｜x｜;
（2）y=cos｜x｜.
思路分析：本题中含有｜x｜，故应先对x进行分类讨论去掉绝对值.根据绝对值的意义可知，x≥0的部分应是y=sinx,y=cosx右半平面的部分，由于这几个函数都是偶函数，其图象应关于y轴对称，于是可作出x＜0部分的图象.
解：(1)y=sin｜x｜=
其图象如下图所示：
从图中可以看出y=sin｜x｜不再是周期函数.
(2)y=cos｜x｜=
其图象如下图所示：
从图中可以看出y=cos｜x｜仍是周期函数，其周期为2π,而且y=cos｜x｜的图象与y=cosx的图象相同.
各个击破
类题演练1
已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位小时）的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.
(1)根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内的上午8:00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解：（1）由上表中数据，知周期T=12.
∴ω===.
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.①
由t=3,y=1.0,得b=1.0.②
∴A=0.5,b=1,
∴振幅为，∴y=cost+1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放,
∴cost+1＞1,∴cost＞0.
∴2kπ-＜t＜2kπ+,
即12k-3＜t＜12k+3.③
∵0≤t≤24,故可令③中k分别为0,1,2得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
∴在规定时间上午8:00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00.
变式提升1
(2006广东模拟)如下图某地夏天从8—14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b.
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度.
(2)观察图象可知，从8—14时的图象是y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期的图象.
∴A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40.
∵=14-8,
∴ω=,
∴y=10sin(x+φ)+40.
将x=8,y=30代入上式，解得φ=,
∴所求解析式为
y=10sin(x+)+40，x∈［8，14］.
类题演练2
要在宽为6米的教室当中装一盏电灯，电灯装在距离正中桌面的高是多少米时，才能使两边靠墙的课桌得到的亮度最大？（已知：电灯对课桌的照度E=cosα,I为电灯的光度，b、α如右图所示）.
解：由题设E=及b=得E=sin2αcosα要使靠墙的课桌得到最大亮度，即E值最大.
∵是常数，且cosα的值使得（sin2αcosα）2与sin2αcosα同时达到最大值，
因（sin2αcosα）2=cos2α(1-cos2α)2
=·2cos2α·(1-cos2α)·(1-cos2α),
又由α为锐角，
且2cos2α+(1-cos2α)+(1-cos2α)=2为定值，
∴当2cos2α=1-cos2α，
即cosα=时（sin2αcosα）2最大.
亦即E最大，这时h=(米).
注：若x+y+z=k,k为定值，x＞0,y＞0,z＞0,则当且仅当
x=y=z时
xyz有最大值.
变式提升2
将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如右图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针到轴（O）的距离为r cm，求气针（P）的纵坐标y关于时间t的函数关系，
并求出P的运动周期.当φ=，r＝ω=1时，作出其图象.
解：过P作x轴的垂线，设垂足为M，则PM就是正弦线.
y=γsin(ωt+φ)，
因此T=,
当φ=,γ=ω=1时，
y=sin(t+),
其图象是将y=sint图象向左平移得到.
类题演练3
画出y=tan｜x｜的图象并观察其周期性
解析：y=tan｜x｜=
其图象如下图：
从图中可以看出y=tan｜x｜不是周期函数.
变式提升3
画出y=｜tanx｜的图象，并与上图比较.
解：y=｜tanx｜=
从图中可以看出，
y｜tanx｜是周期函数，T=π.
1.6 三角函数模型的简单应用
课堂探究
探究一利用三角函数图象研究其他函数
1．要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，即“下翻上”．
2．要得到y＝f(|x|)的图象，只需将y＝f(x)的图象在y轴右边的部分沿y轴翻折到左边，即“右翻左”，同时保留右边的部分．
【典型例题1】 作出函数y＝|cos x|，x∈R的图象，判断它的奇偶性，并写出其周期和单调区间．
思路分析：先作出y＝cos x的图象，然后再依据y＝|cos x|与y＝cos x间的关系得y＝|cos x|的图象．
解：y＝|cos x|
＝
作出函数y＝cos x的图象后，将x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，如图：
由图可知y＝|cos x|是偶函数，T＝π，
单调递增区间为 (k∈Z)，
单调递减区间为 (k∈Z)．
探究二三角函数模型在生活中的应用
1．在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．
2．在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．
【典型例题2】 如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，故B点坐标为.
∴h＝5.6＋4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为.
∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin＝1，得t－＝，∴t＝30(s)．
∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
探究三三角函数模型在物理中的应用
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
【典型例题3】 如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多长时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
解：(1)由图象可知，周期T＝2＝π，
所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.
(2)可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ<2π)，t∈[0，＋∞)，
从图象中可以看出A＝4，T＝2×＝π.
则＝π，即ω＝2，将t＝，s＝4代入解析式，得sin＝1，解得φ＝.
所以这条曲线的函数解析式为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(3)当t＝0时，s＝4sin ＝2 (cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 cm.
探究四建立三角模型解决实际问题
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤：
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管理提供依据．
【典型例题4】 已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
(1)根据以上数据，求函数y＝f(t)的函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？
解：(1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f(t)＝Acos ωt＋b，并且周期T＝12，
∴ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1.∴y＝cost＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪爱好者开放，
∴cost＋1>1.∴cost>0.
∴2kπ－即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，
得0≤t<3或9∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.
1.6 三角函数模型的简单应用
问题导学
一、与函数图象有关的问题
活动与探究1
已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
迁移与应用
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
正确运用三角函数的图象与性质以及数形结合的数学思想，还要综合应用相关学科的知识来帮助理解具体问题．
二、函数解析式的应用
活动与探究2
一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的定点，点P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h(米)，设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是( )
A．A＝8 B．ω＝
C．φ＝ D．B＝10
迁移与应用
设y＝f(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(x)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据的对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sint，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sint，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
解决该类题目的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用．解决这类题目的通法如下：
当堂检测
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流I为( )
A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A
2．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时振动速度为零
3．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为__________．
4．振动量y＝sin(ωx＋φ)(φ＞0)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)根据图中提供的数据求T，进而得出ω，根据图象过得出φ，从而得出函数解析式．
(2)由题意得出周期T不超过是关键．
解：(1)由图知A＝300，设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝．
∴ω＝＝150π．
又当t＝时，I＝0，即sin＝0．
而|φ|＜，∴φ＝．
故所求的解析式为I＝300sin．
(2)依题意，周期T≤，即≤(ω＞0)，
∴ω≥300π＞942．
又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943．
迁移与应用 解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝－＝2π．
由T＝得ω＝1．
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|＜，解得φ＝－．
∴f(x)＝2sin＋1．
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的周期为，又k＞0，∴k＝3．
令t＝3x－，∵x∈，∴t∈．
如图，sin t＝s在上有两个不同的解的条件是s∈，∴方程f(kx)＝m在x∈时恰好有两个不同的解的条件是m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．
活动与探究2 思路分析：将题目中出现的量与三角函数解析式中A，ω，φ，B相联系，从而解决问题．
C 解析：由摩天轮最低点距地面2米，最高点距地面18米，得
解得因此A，D都正确；又由摩天轮每12分钟旋转一周，得T＝12，而T＝，所以ω＝，则B正确；又由P是摩天轮轮周上的定点，从P在摩天轮最低点开始计时，得8sin＋10＝2，所以sin φ＝－1，而φ∈[0,2π)，所以φ＝，所以C错误．
迁移与应用 A 解析：∵y＝f(x)的图象可以近似地看成y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象，∴y＝f(x)具有周期性．当t＝3,15时，y取得最大值，∴T＝15－3＝12，
则ω＝＝＝，∴排除C、D．
下面将点(3,15.1)的坐标分别代入A、B验证．
将t＝3代入A，得y＝12＋3sin＝15；代入B，得y＝12＋3sin＝9，与15.1相差太多．
∴应选A．
【当堂检测】
1．B 解析：将t＝代入I＝5sin得I＝2.5 A．
2．B 解析：由图知该质点振动的周期要大于0.7 s，振幅为5 cm，在0.1和0.5时振动速度为0，在0.3 s和0.7 s时振动速度为最大．故选B．
3．1 s 解析：由题易知，单摆来回摆动一次所需的时间恰好为一个周期，即T＝＝1 s．
4．3πx－π 解析：由题知φ＝－π，f＝＝＝，
∴ω＝3π．∴y＝sin(3πx－π)．相位是3πx－π．
1.6 三角函数模型的简单应用
预习导航
课程目标
学习脉络
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．
2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期规律、预测其未来方面发挥重要作用．
2．三角函数模型的建立程序
思考三角函数最明显的特点是周期性，用三角函数模型解决的实际问题也必然是具有周期性变化规律的，在现实生活中，你能举例说明哪些现象具有周期性吗？
提示：例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性；交变电流变化的周期性．
