1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象
互动课堂
疏导引导
1.探索φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
图1-5-1
分别作y=sin(x+)和y=sinx的图象,如图1-5-1并观察这两个图象之间的关系.
观察发现,对于同一个y值,y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去,即y=sin(x+)的图象是由y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到.
2.探索ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
分别作y=sin(2x+)与y=sin(x+)的图象,如图1-5-2,并观察它们之间的关系.
图1-5-2
观察发现,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的横坐标的倍,即y=sin(2x+)的图象可以看作把y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
3.探索A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
分别画出y=3sin(2x+)和y=sin(2x+)的图象,如图1-5-3,并观察它们之间的关系.
图1-5-3
观察发现,对于同一个x值,y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍,这说明y=3sin(2x+)的图象,可以看作把y=sin(2x+)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到.
4.函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0),x∈R的图象可以看作是用下面的方法得到的:先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位,再把所得点的横
坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变).
5.当函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0),x∈［0,+∞)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T=,叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数f=,叫做振动的频率,ωx+φ叫做相位,φ叫做初相(即当x=0时的相位).
活学巧用
1.将函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位,再把所得图象上各点横坐标扩大到原来的2倍,则所得到的图象的解析式为( )
A.y=sin(-) B.y=sin(+)
C.y=sin(+) D.y=sin(2x+)
解析:y=sinxy=sin(x+)y=sin(+).
答案:C
2.若函数y=sin(2x+θ)的图象向左平移个单位后恰好与y=sin2x的图象重合,则θ的最小正值是( )
A. B. C. D.
解析:y=sin(2x+θ)y=sin［2(x+)+θ］=sin(2x++θ).
∵y=sin2x与y=sin(2x++θ)重合,
∴+θ=2kπ.
∴θ=2kπ-.
∴k=1,θ=2π-=.
答案:D
3.要得到y=sin(-2x+)的图象,只需将y=sin(-2x)的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
解析:y=sin(-2x)y=sin［-2(x-)］=sin(-2x+).
答案:D
4.要由y=sin2x的图象平移后得到y=cos(2x+)的图象,只要把y=sin2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
解析:y=cos(2x+)=sin(-2x-)=sin(-2x+)=sin［π-(-2x+)］=sin(2x+),
所以y=sin2xy=sin2(x+)=sin(2x+).
答案:C
5.指出下列函数的振幅、周期、初相.
(1)y=2sin(+),x∈R;
(2)y=-6sin(2x-),x∈R.
解析:(1)A=2,T==4π,φ=.
(2)将原解析式变形y=-6sin(2x-)
=6sin(-2x+)=6sin［π-(-2x+)］
=6sin(2x+),∴A=6,T==π,φ=.
1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象
疱工巧解牛
知识?巧学
一、φ对y=sin(x+φ)，x∈R的图象的影响
1.以函数y=sin(x+)，x∈R与y=sin(x-)，x∈R为例说明.
函数y=cosx=sin(x+)，x∈R的图象可以看作是把正弦曲线上所有的点向左平移个单位长度而得到的.显然，y=sin(x+)的图象可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有点向左平移个单位长度而得到的；y=sin(x-)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向右平移个单位长度而得到的.
这函数y=sin(x+),x∈R与函数y=sin(x-),x∈R的周期都是2π，用“五点法”画出它们在［0,2π］上的简图.
列表：
x
x+
0
π
2π
sin(x+)
0
1
0
-1
0
x
x-
0
π
2π
sin(x-)
0
1
0
-1
0
描点作图：
图1-5-2
从图1-5-2和表格中都可以看出：在y=sin(x+)与y=sin(x-)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，它的横坐标分别比y=sinx的横坐标小与多.
2.一般地，函数y=sin(x+φ)(φ≠0)，x∈R的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度而得到的，这种变换叫做相位变换.
学法一得 移图与移轴是相对的，把图象向右(左)平移φ(φ＞0)个单位，相当于把y轴向左(右)平移φ(φ＞0)个单位；把图象向上(下)平移k(k＞0)个单位，相当于把x轴向下(上)平移k(k＞0)个单位，移轴比移图更容易作出函数的图象.
二、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
1.以函数y=sin2x，x∈R与y=sinx，x∈R为例说明.
由于函数y=sin2x的周期是π，所以可先画出它在［0，π］上的简图，按五个关键点列表：
x
0
π
2x
0
π
2π
sin2x
0
1
0
-1
0
同理，函数y=sinx的周期是4π，所以可先画出它在［0，4π］上的简图，按五个关键点列表：
x
0
π
2π
3π
4π
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
描点作图：
图1-5-3
(1)函数y=sin2x与y=sinx的图象间的联系：
从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sin2x，x∈［0，π］的图象上，横坐标为，x0∈［0，π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx上横坐标为x0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sin2x，x∈R的图象，可以看作是把正弦曲线y=sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.
(2)函数y=sinx与y=sinx的图象间的联系
从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sinx，x∈［0，4π］的图象中，横坐标为2x0，x0∈［0，4π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx上横坐标为x0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sinx，x∈R的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.
2.一般地，函数y=sinωx(ω＞0且ω≠1)，x∈R的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，这种变换称为周期变换，它是由ω的变化而引起的，ω与周期T的关系是.
学法一得 函数y=sinωx的图象是由y=sinx的图象通过实施周期变换而得到的，其中ω决定函数的周期，它能改变曲线的形状，φ的值只改变曲线的位置，并不改变曲线的形状.
三、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
1.以函数y=2sinx，x∈R，y=sinx，x∈R为例说明.
由于这两个函数的周期都是2π，所以可先画出它们在［0，2π］上的简图，按五个关键点列表：
x
0
π
2π
Sinx
0
1
0
-1
0
2sinx
0
2
0
-2
0
sinx
0
0
0
描点画图：
图15-4
利用这两个函数的周期性，把它们在［0，2π］上的简图向左、右扩展，从而得到它们在整个定义域上的简图.
(1)函数y=2sinx的图象与y=sinx的图象之间的联系
通过图1-5-4及所列表格可知，对同一个x的值，函数y=2sinx，x∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的2倍.根据函数的周期性，它在其他区间上也是如此.所以函数y=2sinx，x∈R的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=2sinx，x∈R的值域是［-2，2］.
(2)函数y=sinx的图象与y=sinx的图象之间的联系
通过图154及所列表格可知，对同一个x的值，函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的倍，根据函数的周期性，在其他区间上也是如此.所以函数y=sinx，x∈R的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=sinx，x∈R的值域是［-，］.
学法一得 一般地，函数y=Asinx，x∈R (A＞0且A≠1)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫做振幅变换，它是由A的变化而引起的，A叫做函数的振幅，函数y=Asinx，x∈R的值域是［-A，A］.
四、函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx图象间的关系
1.以函数y=3sin(2x+)，x∈R为例说明.
函数y=3sin(2x+)的周期是π，先画出它在长度为一个周期的闭区间上的简图，按五个关键点列表：
x
2x+
0
π
2π
3sin(2x+)
0
3
0
-3
0
描点画图：
图1-5-5
函数y=3sin(2x+)，x∈R的图象，可看作是先将y=sinx图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin(x+)，x∈R的图象；再把y=sin(x+)，x∈R的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+)，x∈R的图象；最后把y=sin(2x+)，x∈R的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)得到的.
2.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，ω＞0)，x∈R的图象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变).
联想发散 y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，ω＞0)，x∈R的图象也可通过下面的方法而得到：先把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变).
五、A、ω、φ的物理意义
当函数y=Asin(ωx+φ)，x∈［0,+∞)(其中A＞0，ω＞0)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需要的时间，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；ωx+φ称为相位；当x=0时，相位φ称为初相.
例如，函数y=2sin(3x-)，x∈［0，+∞)的振幅是2，周期T=，频率，相位是3x-，初相是.
六、函数y=Asin(ωx+φ)，x∈R的对称问题
1.对称轴
过函数y=Asin(ωx+φ)，x∈R的图象的最值点作x轴的垂线，可得该函数图象的对称轴.对称轴可由ωx+φ=kπ+，k∈Z解出，显然对称轴有无数条.例如，y=2sin(2x-)图象的对称轴方程是2x-=kπ+，k∈Z，即x=，k∈Z.
函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程可由ωx+φ=kπ，k∈Z解出.
2.对称中心
函数y=Asin(ωx+φ)与x轴的交点都叫做该函数的对称中心，它是函数值等于零的点，由ωx+φ=kπ得x=，即对称中心是(，0).显然，函数y=4sin(2x-)的对称中心是(，0).
同理，函数y=Acos(ωx+φ)的对称中心是(，0)，显然，函数y=2cos(2x+)的对称中心是(，0).
学法一得 (1)所谓轴对称，就是把图形沿此直线对折，对折后的图形与原图形完全重合.由于函数y=Asin(ωx+φ)中的变量x∈R，所以它有无数条对称轴.
(2)所谓中心对称，就是把图形绕该点旋转180°后，所得图形与原图形完全重合.由于y=Asin(ωx+φ)的变量x∈R，所以它有无数个对称中心.
典题?热题
知识点一 A、ω、φ的求值与图象的平移
例1 (1)用“五点法”作函数y=2sin(2x-)，x∈R的图象，并指出这个函数的振幅、周期和初相；
(2)怎样由y=sinx的图象，得到y=2sin(2x-)的图象？
解：(1)列表：
x
2x-
0
π
2π
2sin(2x-)
0
2
0
-2
0
描点连线：
图1-5-6
把函数y=2sin(2x-)在长度为一个周期的简图中向左右扩展，就得到y=2sin(2x-)，x∈R的简图.振幅A=2，周期T==π，初相φ=.
(2)解：先把函数y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位，得到函数y=sin(x-)的图象；再把y=sin(x-)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x-)的图象；最后把y=sin(2x-)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y=2sin(2x-)，x∈R的图象.
知识点二 图象的平移
例2 已知函数y=sin(2x+)+，x∈R.
(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？
思路分析：本题主要考查三角函数的图象和性质，求最值时，可把(ωx+φ)视为一个整体.
解：(1)要使y取得最大值必须且只需2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kx，k∈Z.
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ，k∈Z}.
(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：
①把函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=sin(x+)的图象；
②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+)的图象；
③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到函数y=sin(2x+)的图象；
④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图象.
综上可得函数y=sin(2x+)+的图象.
方法归纳 先相位，再周期变换，同先周期，后相位变换一样，函数y=sinx图象上的点(0，0)都被变换成了点(，0).但要注意平移的单位是不同的，先相位后周期，平移的单位为|φ|；先周期，后相位，平移的单位为.
例3 把函数y=f(x)的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，得到曲线y=sinx的图象，试求函数y=f(x)的解析式.
思路分析：一是设f(x)=Asin(ωx+φ)，按图象变换的法则，分两步，得y=Asin［(x+)+φ］，它就是y=sinx，构造A、ω、φ的方程求解；二是采用逆变换，即把上述变换倒过来，由y=sinx得到y=f(x).
解：设y=Asin(ωx+φ)，把它的横坐标伸长到原来的2倍得到y=Asin(x+φ)，再向左平移个单位，得到y=Asin［(x+)+φ］，即y=Asin.
由两个代数式恒等，得
∴f(x)=sin(2x-)=-cos2x.
巧解提示：将y=sinx的图象向右平移个单位，得到y=sin(x-)的图象，再把y=sin(x-)的图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=sin(2x-)，即y=cos2x的图象，所以所求函数f(x)=cos2x.
方法归纳 平移是相对的，平移的量也不是唯一的，若通过平移φ(φ＞0)个单位能实现图象间的转化，那么平移kT+φ(k∈Z，T是函数的最小正周期)个单位也能实现转化.三角函数的图象的变换是相对的、互逆的.
知识点三 已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象，求它的解析式.
例4 已知函数y=Asin(ωx+φ)，|φ|＜的图象，试确定A、ω、φ的值.
图1-5-7
解：显然，A=2.
∵T=-(-)=π，∴.
从图1-5-7中可以看出，函数y=2sin(2x+φ)是由y=2sin2x的图象向左平移个单位得到的,所以y=2sin2(x+)，即φ=.
也可利用代点法求φ：
由图可知当时，ymax=2.
故有2x+φ=2×+φ=2kπ+，即φ=2kπ+.∵|φ|＜，∴φ=.
方法归纳 若用代点法确定函数y=Asin(ωx+φ)中的φ值时，能代入最值点更好；若A＞0，ω＞0时，若代入递增区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ，k∈Z.若代入递减区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ+π，k∈Z，再依据φ的范围，确定φ的值.
例5 图1-5-8是一个按正弦规律变化的交流电的图象.根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式.
图1-5-8
思路分析：通过图象确定周期T，从而进一步求得ω的值是关键，振幅A也可通过识图求得，初相φ一般通过代点求得.
解：由图象看出，这个交流电的周期T=0.2 s，由频率f与周期T的关系式，得频率，电流的最大值为10 A.
由图1-5-8可知，这个曲线的函数解析式是正弦型函数I=Asin(ωt+φ)，其中A=10，ω==10π，再把点(0，10)代入函数解析式I=10sin(10πt+φ)，得sinφ=1，取φ=，于是得到曲线的函数解析式为I=10sin(10πt+)，t∈［0，+∞).
根据诱导公式，函数式可化为I=10cos10πt，t∈［0，+∞).
方法归纳 A表示振动量离开平衡位置的最大距离；ω可由周期T或T的一部分确定；φ可由图象离原点最近的递增区间中心点的横坐标确定，也可用代点法确定.
问题?探究
思想方法探究
问题 如何理解函数y=A1sin(ω1x+φ1)与函数y=A2sin(ω2x+φ2)图象间的关系?
探究过程：设函数y=2sin(x+)，x∈R的图象为C，要得到y=3sin(x+)，x∈R的图象，只需把C上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)；要得到y=2sin(x+)，x∈R的图象，只需把曲线C上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)；要得到y=2sin(x+)，x∈R的图象，只需把曲线C上所有的点向左平移个单位长度；要得到y=2sin(x+)+2的图象，只需把曲线C上所有点向上平移2个单位.对于余弦函数也是如此.
不同名称的弦函数间的关系，可先统一函数名称，如y=sin(2x-)与y=cos2x图象间的关系，由于y=sin(2x-)=cos［-(2x-)］=cos(-2x)=cos(2x-)，所以只需把y=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度，即可得到y=cos2x的图象.把y=cos2x的图象向右平移个单位，便可得到y=cos(2x-)，即y=sin(2x-)的图象，所以图象的变换是相对的.
探究结论：由y=sinx到y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，ω≠1)的思维过程是：①画出y=sinx，x∈［0，2π］的简图；②沿x轴平移，得到y=sin(x+φ)，x∈R在长度为一个周期的闭区间上的简图；③横坐标伸长或缩短，得到y=sin(ωx+φ)，x∈R在长度为一个周期上的简图；④纵坐标伸长或缩短，得到y=Asin(ωx+φ)，x∈R在长度为一个周期上的简图.
误区陷阱探究
问题 “要想得到函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象，只需将函数y=Asinωx(A＞0,ω＞0)的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位”这句话是否正确？
探究过程：三角函数图象的变换包括了周期变换、振幅变换、相位变换和上下平移变换.其中由函数y=Asinωx(A＞0,ω＞0)的图象得到函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象是相位变换，它的实质是左右平移，而左右平移只是变换自变量x，比如，将函数y=lg2x的图象向左平移1个单位，得到的是函数y=lg2(x+1)的图象，而不是y=lg(2x+1).由于y=Asin(ωx+φ)=Asinω (x+) (A＞0,ω＞0)，则要由y=Asinωx(A＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象，只要向左或向右平移个单位即可.
探究结论：这句话不正确，由y=Asinωx(A＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象，应向左或向右平移个单位.
1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象
第1课时 画函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象
1．能够将y＝sin x的图象通过平移、伸缩等变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的简图．
2．能正确理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．
3．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图．
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向__(当φ＞0时)或向__(当φ＜0时)平行移动__个单位长度得到的．
将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位长度后，得到函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象．当a＞0时，向左平移，当a＜0时，向右平移，简记为“左加右减”．
【做一做1】 将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sin x－ B．y＝sin x＋
C．y＝sin D．y＝sin
2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的__坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的__倍(纵坐标不变)而得到．
函数y＝f(ωx)(ω＞0)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
【做一做2】 把y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到的图象对应的函数解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝sinx C．y＝3sin x D．y＝sin 3x
3．A(A＞0)对y＝Asin (ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上的所有点的__坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的__倍(横坐标不变)而得到的．
函数y＝Af(x)(A＞0，且A≠1)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．
【做一做3】 把y＝sin x图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的图象对应的函数解析式为( )
A．y＝2sin x B．y＝sin 2x C．y＝sin x D．y＝sinx
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象常见画法
(1)五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，，π，，2π这五个值)；②描点；③____.
(2)变换法：
①(相位变换)先把y＝sin x的图象上所有的点____(当φ＞0时)或____(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，得函数y＝________的图象；
②(周期变换)再把函数y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝________的图象；
③(振幅变换)再把函数y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得函数y＝________的图象．
【做一做4】 函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得函数y＝sin的图象？
答案：1．左 右 |φ|
【做一做1】 D
2．横
【做一做2】 D
3．纵 A
【做一做3】 A
4．(1)③连线 (2)①向左 向右 sin(x＋φ) ②sin(ωx＋φ) ③Asin(ωx＋φ)
【做一做4】 解：步骤：
①将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；
②再把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得函数y＝sin的图象．
③把函数y＝sin图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得函数y＝sin的图象．
由函数y＝sin x的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象
剖析：y＝sin x的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)的图象一般有两个途径：
途径一：先相位变换，再周期变换
先将y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
途径二：先周期变换，再相位变换
先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位长度，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
题型一 “五点法”画图
【例1】 用“五点法”画函数y＝3sin，x∈的图象．
分析：将2x＋看作一个整体取值0，，π，，2π，求出对应的x，y值，再描点、连线即得所求函数图象．
反思：用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象的步骤：
①列表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
y
0
A
0
－A
0
②描点：在坐标系中描出下列各点：
，，，，.
③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图．
题型二 “变换法”作图
【例2】 已知函数y＝sin＋，该函数的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
反思：方法一是先平移后伸缩，方法二是先伸缩后平移．两种变换中的平移的单位长度分别是和，因而是不同的．在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．
题型三 易错辨析
易错点 忽视自变量x的系数
【例3】 为了得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
错解：∵y＝cos＝sin＝sin，故选B.
错因分析：上述解法忽视了变量的系数．因为当变量系数不为1时，先周期变换后相位变换和先相位变换后周期变换所移动的长度单位不一样．题目中的x的系数是，而不是1，按照x的系数为1的情况进行变换，结果必然错误．
答案：
【例1】 解：①列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
3sin
0
3
0
－3
0
②描点：在坐标系中描出下列各点：
，，，，.
③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y＝3sin，x∈的简图，如图所示．
【例2】 解：方法一：步骤：(1)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；
(2)把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
(3)将函数y＝sin的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
(4)再把得到的y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到y＝sin＋的图象．
方法二：步骤：
(1)将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象；
(2)将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；
(3)将y＝sin的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
(4)再把得到的y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．
【例3】 正解：y＝cos＝sin
＝sin＝sin ，
故选A.
1．要得到函数y＝cos 2x的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．用“五点法”画函数y＝(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则ω＝__________.
3．把函数y＝的图象上的所有点向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象对应的一个解析式为__________．
4．说出y＝2sin 2x的图象怎样由y＝的图象得到？
5．用“五点法”画函数y＝的图象．
答案：1．A y＝cos 2x＝＝，则需把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos 2x的图象．
2．2 周期T＝＝π，
∴＝π.∴ω＝2.
3．y＝ 把函数y＝的图象上的所有点向右平移个单位长度，
得函数y＝
＝的图象，
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝的图象，即y＝.
4．解：y＝2sin 2x的图象可以看作先由y＝图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)得到y＝sin 2x的图象，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)而得到．
5．解：列表：
2x－
0
π
2π
x
y
0
0
0
描点画图：
将函数在上的图象向左、向右依次平移π个单位长度即得y＝的图象．
1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象
第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
1．知道函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数A，ω，φ的物理意义．
2．整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题．
1．简谐运动
简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))中，__叫振幅，T＝叫____，f＝叫____，____叫相位，__叫初相．
【做一做1－1】 函数y＝3sin的周期、振幅依次是( )
A．4π，3 B．4π，－3 C．π，3 D．π，－3
【做一做1－2】 简谐运动y＝sin的频率f＝__________.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
(1)定义域：____.
(2)值域：______.
当x＝__________(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝__________(k∈Z)时，y取最小值－A.
(3)周期性：周期函数，周期为______．
(4)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是____函数；当且仅当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是____函数．
(5)单调性：单调递增区间是
(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z)．
①对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即对称中心是，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x＝，其中k∈Z.
②对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．
③讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，要善于采用整体策略，即把ωx＋φ看成一个整体，将问题化归为正弦函数的性质来解决．
【做一做2－1】 函数y＝6sin的最大值是( )
A．6 B．7 C．8 D．18
【做一做2－2】 已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，取得最大值2；当x＝时，取得最小值－2，则函数f(x)＝__________.
答案：1．A 周期 频率 ωx＋φ φ
【做一做1－1】 A
【做一做1－2】 周期T＝＝6，则频率f＝＝.
2．(1)R (2)[－A，A] (3)
(4)奇 偶 (5)
【做一做2－1】 A
【做一做2－2】 2sin T＝2＝π，A＝2.
又π＝，∴ω＝2.∴函数f(x)＝2sin.
由图象求函数的解析式
剖析：若已知函数图象求它对应的解析式，一般是仔细观察图象，从它已表达出的特征，如一个或半个周期，最高点与最低点，与x轴或y轴的交点或其他特殊点等来求．
如果所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，此时最大值与最小值互为相反数．A由最高点与最低点确定，ω由周期T确定，φ由已知点的坐标确定，常用五点中的一个求得．
如果最大值与最小值不互为相反数，说明解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0)的形式，设最大值为m，最小值为n，则A＋k＝m，－A＋k＝n，从而A＝，k＝.
利用零点法确定φ的值，需要将已知函数的图象形状与函数y＝sin x在相应的一个周期内的图象相比较，认清该零点为三个零点中的第几个零点．第一个零点为图象上升时与x轴的交点，即ωx＋φ＝0；第二个零点为图象下降时与x轴的交点，即ωx＋φ＝π；第三个零点为ωx＋φ＝2π.但是最高点与最低点都只有一个，因此将最值点代入，一般不易出错．
题型一 图象对称问题
【例1】 已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
反思：对于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，若f(m)＝0，则(m,0)是f(x)的对称中心；若f(m)＝A或f(m)＝－A，则直线x＝m是f(x)的对称轴．
题型二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，试确定其一个函数解析式．
分析：解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ.
反思：确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的步骤如下：
①由最大值、最小值确定振幅A.
②由图象上五个关键点的横坐标及其差值确定周期，进而求ω的值．
③由特殊点的坐标求初相φ.特殊点可以是五个关键点，也可以是图象上的其他点．A，ω的值是唯一的，初相φ的值不唯一，但一般取绝对值较小的φ值．
题型三 实际应用题
【例3】 心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数P(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较．
分析：(1)利用周期公式可以求出函数P(t)的周期；(2)每分钟心跳的次数即频率；(3)用“五点法”作出函数的简图；(4)此人的收缩压、舒张压分别是函数P(t)的最大值和最小值，可求此人血压计上的读数．
反思：函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的实际应用问题，常涉及求函数的周期、频率及最值等，解题时将实际问题转化为三角函数的有关知识求解是关键，同时要注意应用函数的图象．
题型四 易错辨析
易错点 求y＝Asin(ωx＋φ)解析式时错求φ的值
【例4】 函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中|φ|＜，则( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
错解：由图象观察可得φ＝－，T＝－＝π，
∴ω＝2.故选B.
错因分析：本题错误地认为φ为图象与x轴交点的横坐标，φ的求法要根据平移或特殊点列方程求出．
答案：
【例1】 A 由T＝＝π，解得ω＝2，
则f(x)＝sin，
则该函数图象关于点对称．
【例2】 解：解法一：由图象知振幅A＝3.
又T＝－＝π，∴ω＝＝2.
又图象过点，令－×2＋φ＝0，得φ＝，
∴y＝3sin.
解法二：由图象知A＝3，且图象过点和，根据五点作图法原理，有
解得ω＝2，φ＝，∴y＝3sin.
解法三：由图象，知A＝3，T＝π，∴ω＝＝2.
又图象过，
∴所求图象由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位得到．
∴y＝3sin，即y＝3sin.
【例3】 解：(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝，
所以函数P(t)的周期为.
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
(3)列表：
t
0
P(t)
115
140
115
90
115
描点、连线并左右扩展得到函数的简图如图所示．
(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)．与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高．
【例4】 正解：由图可得T＝π，
∴ω＝2.∴y＝sin(2x＋φ)．
又由图可知y＝sin 2xy＝sin(2x＋φ)＝sin ，
∴＝.∴φ＝.故选A.
1．(2011·安徽合肥一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x＝对称，且＝0，则ω的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2．设点P是函数f(x)＝sin ωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是( )
A．2π B．π C. D.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜，x∈R)的部分图象如图所示，则此函数表达式为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，|φ|＜)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，则只要将f(x)的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
5．点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．
(1)求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求该物体在t＝5 s时的位置．
答案：1．A 函数f(x)的周期T≤＝π，
则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
2．B 函数y＝sin ωx的图象中，对称中心到对称轴的最小值是，其中T为函数y＝sin ωx的最小正周期，则＝，解得T＝π.
3．D 观察图象知函数的最大值是4，则A＝4，函数的周期T＝2[6－(－2)]＝16，则16＝，解得ω＝，
则有y＝.
又点(－2,0)在函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象上，
则0＝，所以＝0.
又|φ|＜，所以φ＝.所以y＝.
4．B 由函数f(x)的图象知：函数f(x)的最小值是－1，则A＝1；
函数f(x)的周期是＝，
则＝，解得ω＝3，则f(x)＝sin(3x＋φ)．
又函数f(x)的图象经过点，
则＝0，即＝0，
又|φ|＜，则φ＝，所以f(x)＝.
所以要得到g(x)＝sin 3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移个单位长度．
5．解：(1)设x和t之间的函数关系式为x＝3sin(ωt＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)．
则由T＝＝3，可得ω＝.
当t＝0时，有x＝3sin φ＝3，即sin φ＝1.
又0≤φ＜2π，故φ＝.
所以所求函数关系式为x＝，
即x＝.
(2)令t＝5，得x＝＝－1.5，
故该物体在t＝5 s时的位置是在点O的左侧且距点O 1.5 cm处．
1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象
课堂导学
三点剖析
1.求y=Asin(ωx+φ)的振幅、周期、频率、相位及初相
【例1】 用五点法作出函数y=2sin(x-)+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.
思路分析：用“五点法”作函数图象，关键是作出决定图象形状的五个点：三个平衡点，一个最高点和一个最低点.
解：（1）列表.
x
x-
0
π
2π
y
3
5
3
1
3
(2)描点.
(3)作图，如下图所示.
周期T=2π，频率f=,相位x-,初相-，最大值5，最小值1，函数的单调递减区间为［2kπ+,2kπ+］,单调递增区间为［2kπ-,2kπ+］，k∈Z.
将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y=2sin（x-）+3的图象.（图略）
温馨提示
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象用的是整体换元的思想，即令z=ωx+φ，z取五个关键值0、、π、、2π，相应地解得x的五个值，作为点的横坐标，求得对应的纵坐标，然后描出五个点，即决定形状的五个关键点——三个平衡点，一个最高点，一个最低点.
2.由y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的变化过程
【例2】由y=sinx的图象经怎样变换得到y=sin（2x+）的图象.
解法1：（1）将y=sinx的图象向左平移得y=sin(x+)的图象.
(2)将y=sin(x+)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的得y=sin(2x+)的图象.
（3）将y=sin(2x+)的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的,得到y=sin(2x+)的图象如下图所示.
解法2：（1）将y=sinx的图象上各点纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得y=sin2x的图象.
（2）将y=sin2x的图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得y=sin2x的图象.
（3）将y=sin2x的图象向左平移个单位，得y=sin［2（x+)］=sin(2x+)的图象.
温馨提示
(1)由y=sinx的图象可以通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象.其中A只影响纵坐标的伸缩变换，ω只影响横坐标的伸缩变换，φ只影响图象的左右平移变换.
（2）本题可以有很多种变换方式，不同的变换次序，直接影响变换的具体过程，特别是周期变换和相位变换的次序改变，直接影响到平行移动的单位.如由y=sin2x得到y=sin（2x+），是向左平移了个单位，而不是个单位.
（3）平行移动的单位是相对于一个x而言的，由y=Asinωx得到y=Asin(ωx+φ)需向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平行移动｜｜个单位.
3.先周期变换，后相位变换时，平移量为｜φω｜个单位.
【例3】 要得到函数y=3cos(2x-)的图象c，需要将函数y=3cos2x的图象c0.经过怎样的路程最小的平移而得到？
思路分析：y=3cos(2x-)=3cos(2x+)，要将c0变为y=3cos(2x+)的图象，只需看x 变化了多少.
解：因为y=3cos(2x-)=3cos(2x+)=3cos［2（x+）］，所以将c0向左平移得c,路程最小.
温馨提示
图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.由y=sinωx的图象得y=sin（ωx+φ）的图象需向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移｜｜个单位.
各个击破
类题演练1
指出下列函数的振幅、周期、初相.
（1）y=2sin（+),x∈R；
(2)y=-6sin(2x-),x∈R.
解：(1)A=2,T==4π;φ=.
(2)将原解析式变形，y=-6sin(2x-)=6sin(2x+)则有A=6，T=2=π；φ=.
变式提升1
下图表示电流I与时间t的函数关系式I=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
(1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式.
(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
解：（1）由图可知A=300，设t1=,t3=.
∵T=2(t3-t1)=2(+)=,
∴ω==100π.
由ωt1+φ=0
知φ=-ωt1=.
∴I=300sin(100πt+).
(2)问题等价于,
即,也即ω≥100π,故最小正整数为ω=315.
类题演练2
由y=sinx的图象怎样变换得到y=sinx（-）的图象？
解：y=sinx的图象向右平移个单位长度，得到y=sin（x-）的图象；然后使所得曲线各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（-）的图象；最后把所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍，得到y=sin（-）的图象.
另解：先将y=sinx图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得y=sinx的图象.
再将y=sin图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，得y=sin的图象.
最后将y=23sin的图象向右平移个单位，得y=23sin［（x-）］=23sin(-)的图象.
变式提升2
已知函数y=f(x),f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y=sinx图象相同，则y=f(x)的函数表达式为（ ）
A.y=sin（-） B.y=sin2（x+）
C.y=sin（+） D.y=sin（2x-）
思路分析：这是一个由复杂函数y=sin（ωx+φ）的图象经过变换得出较简单函数y=sinx图象的问题，可逆过来从简单函数图象出发实施逆变换即可得到复杂函数的解析式.
解：根据题意，y=sinx的图象沿x轴向右平移个单位后得到y=sin(x-),再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短原来的倍，得到y=sin(2x-)，此即y=f(x)的解析式.
答案：D
类题演练3
要得到y=sin(2x-)的图象，只要将y=sin2x的图象（ ）
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
解析：y=sin(2x-)=sin2［（x-)］.
答案：C
变式提升3
要得到y=cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象____________________________________.
解：y=cos2x=sin(2x+)=sin2(x+)，
∴y=sin2x的图象向左平移个单位.
答案：向左平移个单位
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
一、作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
活动与探究1
把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
迁移与应用
1．给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍；③图象向右平移个单位长度；④图象向左平移个单位长度；⑤图象向右平移个单位长度；⑥图象向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin的图象，那么这两种变换正确的标号是__________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．
2．用“五点法”作函数y＝2sin在一个周期上的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相．
1．用“五点法”作图时，利用五个关键点，令ωx＋φ分别等于0，，π，，2π，求出x及相应的y值，作出图象即可．
2．图象变化中，当|ω|≠1时，应将ωx＋φ化为ω．
二、求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
活动与探究2
若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)在其一个周期内的图象上有一个最高点和一个最低点，求这个函数的解析式．
迁移与应用
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是__________．
对于这类给定一些条件求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的题目，有一定的解题规律可寻：一般是先确定振幅A，周期T，解得ω，这些都是比较容易的，最难的是求φ的值，它一般是用点来代入求得，如果代入的是最高点或最低点，其φ值很容易确定；否则，则还要结合函数的单调性来确定．
三、函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
活动与探究3
函数f(x)＝Asin＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
迁移与应用
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解决该类题目的关键是由y＝Asin(ωx＋φ)确定出函数的相应性质，如单调性、奇偶性、对称性、最值等，充分利用函数性质求解．
当堂检测
1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
2．函数y＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
3．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
4．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是__________．
5．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R的最小正周期为π，且f(0)＝，则ω＝__________，φ＝________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)0 π 2π (2)y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ) y＝sin(ωx) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)
预习交流1 提示：不是．∵y＝sin＝sin 2，∴向左平移个单位．此种情况需将x的系数化为“1”．
2．A ＝ ωx＋φ x＝0时的相位φ
预习交流2 提示：(1)定义域：R；
(2)值域：[－A，A]；
(3)最小正周期：T＝；
(4)对称性：对称中心是(k∈Z)，对称轴是x＝＋(k∈Z)．对称中心为图象与x轴的交点；对称轴为过图象最高点或最低点与x轴垂直的直线．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：先根据平移或伸缩变换写出所得到的函数解析式，再结合y＝cos x图象的“五点”进行变化得到图象．
A 解析：y＝cos 2x＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1＝cos x＋1，再向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)，故相应图象为A．
迁移与应用 1．④②或②⑥ 解析：y＝sin xy＝siny＝sin或y＝sin xy＝sin ⑥,y＝sin．
2．解：(1)列出五个关键点如下：
2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
(2)描点画图：
周期T＝π，频率f＝＝，相位为2x＋，初相为．
活动与探究2 思路分析：利用图象性质，结合“五点法”作图，分别求出A，B，ω，φ的值即可．
解：由已知，ymax＝3，ymin＝－5，则
①A＝＝＝4；
②B＝＝＝－1；
③由＝－＝，∴T＝π，得ω＝＝＝2；
④函数的解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B＝4sin(2x＋φ)－1．
将点代入，得4sin－1＝3，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，这里对φ没有限制，应该说φ＝2kπ＋，k∈Z的任意一个解都满足题意，一般取|φ|＜，故所求的函数解析式为y＝4sin－1．
迁移与应用 解析：由图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，又函数图象经过点，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为f(x)＝sin，所以f(0)＝sin＝．
活动与探究3 思路分析：(1)根据最大值求A，根据对称轴的条件，得函数周期，从而求ω；
(2)利用α范围，求出整体－的范围，结合图象利用特殊角的三角函数求值．
解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2．
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π．
∴ω＝2．
故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1．
(2)∵f＝2sin＋1＝2，
即sin＝，
∵0＜α＜，∴－＜α－＜．
∴α－＝．故α＝．
迁移与应用 解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)当x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1．依题设0≤φ≤π，解得φ＝．由f(x)的图象关于点M对称，可知sin＝0，解得ω＝－，k∈Z．又f(x)在上是单调函数，∴T≥π，即≥π，∴ω≤2．
又ω＞0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2．∴φ＝，ω＝2或．
【当堂检测】
1．C 解析：∵y＝cos(2x＋1)＝cos，
∴只须将y＝cos 2x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos(2x＋1)的图象．
2．C 解析：由x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－．
3．D 解析：“五点法”对应解方程．设y＝Asin(ωx＋φ)，显然A＝1，又图象过点，，
所以解得ω＝2，φ＝．所以函数解析式为y＝sin＝cos．故选D．
4．y＝sin 解析：
y＝sin x＝sin．
5．2 解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω＞0)．又由f(0)＝且|φ|＜得到φ＝．
1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象（第1课时）
课堂探究
探究一用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的简图
1．用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点．
2．用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤是：
第一步：列表.
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，即可得图象．
【典型例题1】 用“五点法”画函数y＝3sin，x∈的图象．
思路分析：将2x＋看作一个整体依次取值0，，π，，2π，求出对应的x，y值，再描点、连线即得所求函数的图象．
解：①列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y＝3sin
0
3
0
－3
0
②描点：在坐标系中描出下列各点：
，，，，.
③连线：用光滑曲线将所描的五个点顺次连接起来，得函数y＝3sin，x∈的简图，如图所示．
探究二用图象变换作函数图象
1．法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．
2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．
【典型例题2】 如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sin＋1的图象？
思路分析：本题主要考查正弦函数的图象变换，可根据两种变换方式中的一种进行，正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可．
解法一：y＝sin x
y＝sin
y＝sin
y＝3sin
y＝3sin＋1.
解法二：y＝sin x
y＝sin 2xy＝
sin 2
y＝3sin 2＝3sin
y＝3sin＋1.
探究三易错辨析
易错点：忽视自变量x的系数和平移的方向
【典型例题3】 为了得到y＝sin x的图象，只需要将y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
错解：由y＝sinx的图象得y＝sin的图象时，∵φ＝－，∴向左平移个单位．故选A.
错因分析：错解中有3个错误点：①审题不清，没有弄清楚哪一个函数移动变换得另一个函数图象．②平移方向上应该是“左加右减”，在错解中，由y＝sinx得y＝sin的图象时应该向右平移．③平移的单位长度由于忽视了x的系数导致错误．
正解：由于y＝sin＝sin.
∴当由y＝sin的图象得y＝sinx的图象时，应该是向左平移个单位．
答案：C
1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的简图．
2．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．
3．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图.
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
即y＝sin x的图象y＝sin(x＋φ)的图象．
思考1如何把函数y＝sin(x＋φ)的图象变换成y＝sin x的图象？
提示：只需把y＝sin(x＋φ)的图象向左(φ<0)或向右(φ>0)平移|φ|个单位便可以得到y＝sin x的图象．
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
即y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象．
思考2把y＝sin(x＋φ)的图象伸长或缩短为原来的倍，得函数y＝sin ω(x＋φ)的图象，这句话正确吗？其中ω>0.
提示：不正确．ω影响函数y＝sin(ωx＋φ)的周期．函数y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标变化、纵坐标不变得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，ω只对x发生作用，不改变φ的值．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
即y＝sin(ωx＋φ)的图象
y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的常见画法
(1)五点法：①列表；②描点；③连线．
(2)变换法：
由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的方法如下：
①先平移后伸缩
②先伸缩后平移
思考3由y＝sin 2x的图象如何平移得到y＝sin的图象？是向左平移个单位吗？
提示：不是．∵y＝sin＝sin 2，
∴应将y＝sin 2x的图象向左平移个单位．
1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象（第2课时）
课堂探究
探究一函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋求得，即x＝，k∈Z；对称中心由ωx＋φ＝kπ求得，即为，k∈Z.
2．函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ求得，即x＝，k∈Z，对称中心由ωx＋φ＝kπ＋求得，即为，k∈Z.
【典型例题1】 已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
解析：由T＝＝π，解得ω＝2，
则f(x)＝sin，
令2x＋＝kπ＋，得x＝＋，k∈Z，即对称轴为x＝＋，k∈Z.
令2x＋＝kπ，得x＝－，k∈Z，即对称中心为，k∈Z.
从而可判断A正确．
答案：A
探究二 求函数y＝Asin?ωx＋φ??A>0，ω>0?的解析式
由函数图象确定解析式，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)A：一般可由图象的最高点、最低点来确定A.
(2)ω：因为T＝，所以ω＝，可通过曲线与x轴的交点确定T，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为来求，还可由相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T来求．
(3)φ：①代入法：通常取最高点或最低点的坐标代入解析式，根据φ的范围确定其值．如果代入的是平衡点(零点)，则必须区分0相位和π相位，代入0相位时，需令ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)，代入π相位时，需令ωx＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)．②对点法：将所给图象中的五个关键点与“五点法”中的五个点进行对照．从寻找“五点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．
【典型例题2】 如图为y＝Asin(ωx＋φ) 图象的一段，试确定此函数解析式．
解：该函数的周期T＝－＝4π，
∴ω＝＝.
又∵函数的最大值为3，故A＝3.
∴y＝3sin.
法一：所给图象是由函数y＝3sin向右平移个单位长度得到的，于是所求解析式为y＝3sin，即y＝3sin.
法二：∵周期为4π，∴由图象知最大值点为.
∴3sin＝3.
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
∴φ＝2kπ－，k∈Z.
∵|φ|≤，∴φ＝－.
∴所求解析式为y＝3sin.
法三：∵图象过点，
∴3sin φ＝－.∴sin φ＝－.
又∵－≤φ≤，∴φ＝－.
∴所求解析式为y＝3sin.
法四：由图象过点，且该点在递增区间上，
∴×＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，k∈Z.
∵|φ|≤，∴φ＝－.
∴所求解析式为y＝3sin.
探究三函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际应用
1．正确理解并识记简谐运动、周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解答这类题的基础．
2．对于实际问题，要注意定义域．
【典型例题3】 已知弹簧上挂的小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化规律为：s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始运动(t＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？
(2)小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？
(3)经过多长时间，小球往复运动一次？
(4)小球运动的频率是多少？
解：列表如下：
t
0
π
2t＋
π
2π
s
2
4
0
－4
0
2
图象如图所示：
(1)将t＝0代入s＝4sin，
得s＝4sin＝2 (cm)，
以竖直向上作为位移的正向，则小球开始运动时的位移是2 cm，方向为正向．
(2)小球上升到最高点时，离开平衡位置的位移是4 cm，下降到最低点时，离开平衡位置的位移是－4 cm，负号表示方向竖直向下．
(3)反映在图象上，正弦曲线在每一个长度为π的区间上，都完整地重复变化一次．由于这个函数的周期T＝＝π，所以小球往复运动一次所需要的时间为π s.
(4)小球运动的频率为.
探究四易错辨析
易错点：求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式时求错φ的值
【典型例题4】 函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中|φ|<，则( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
错解：由图象观察可得φ＝－，T＝－＝π，
则ω＝2.故选B.
错因分析：错解中认为φ为函数图象与x轴交点的横坐标中绝对值最小的那个横坐标是错误的，实际上φ要根据平移或特殊点的坐标列方程来求．
正解：由图可得T＝π，
∴ω＝2.∴y＝sin(2x＋φ)．又由图可知y＝sin 2x的图象y＝sin(2x＋φ)＝sin的图象，
∴＝.∴φ＝.故选A.
答案：A
1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象（第2课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.知道函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数A，ω，φ的物理意义．
2．整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题．
3．会用三角函数的部分图象求解析式.
1．简谐运动
简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))中，A叫振幅，T＝叫周期，f＝叫频率，ωx＋φ叫相位，φ叫初相．
思考1在简谐运动中，y＝－sin的初相、振幅、周期分别为多少？在确定这些量时，需注意什么问题？
提示：y＝－sin的周期T＝π，但振幅A≠－1，初相φ≠－.因为y＝Asin中A>0，所以该函数需变形为y＝－sin＝sin＝sin，所以初相φ＝，振幅A＝1.在确定这些量时，必须利用诱导公式先化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其中A>0，ω>0.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(其中A，ω，φ为常数)如下：
(1)定义域为R.
(2)值域为[－|A|，|A|]．
(3)周期为T＝.
(4)当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；
当φ＝＋kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
(5)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为函数的单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为函数的单调递减区间．
若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A>0，ω<0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间为原函数的单调递减区间，单调递减区间为原函数的单调递增区间．
(6)y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程由ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)求得，即x＝ (k∈Z)．
对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，即为
(k∈Z)．
思考2函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？
提示：对称中心为图象与x轴的交点，对称轴为过图象最高点或最低点与x轴垂直的直线．
思考3根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如何确定φ？
提示：确定φ的方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在递增区间上还是在递减区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
