1.3 三角函数的诱导公式
互动课堂
疏导引导
1.角α与π+α的三角函数关系
图1-3-3
如图1-3-1,设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1(x,y),由于角π+α的终边与角α的终边关于原点对称,角π+α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于原点O对称,因此P2的坐标是(-x,-y),由三角函数的定义得
sinα=y,cosα=x,tanα=,
sin(π+α)=-y,cos(π+α)=-x,tan(π+α)==.
从而得公式(二)
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
2.角α与-α的三角函数关系
如图1-3-2,设单位圆与角α,角(-α)的终边的交点分别为P1和P2,容易看出点P1和P2关于x轴对称,已知点P1的坐标为(x,y),则P2的坐标为(x,-y).由三角函数的定义得sinα=y,cosα=x,tanα=,sin(-α)=-y,sin(-α)=x,tan(-α)=-.
图1-3-2
∴公式(三)
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
3.角α与π-α的三角函数关系
如图1-3-3,设单位圆与角α,角π-α的终边的交点分别为P1和P2,则P1、P2关于y轴对称,已知P1(x,y),则P2的坐标为(-x,y),由三角函数的定义得sin(π-α)=y,cos(π-α)=-x,tan(π-x)=-.
图1-3-3
∴公式(四)
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
4.角α与-α的三角函数关系
如图1-3-4,设任意角α与单位圆的交点P1(x,y),由于角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角-α的终边与单位圆的交点P2与P1关于直线y=x对称,因此点P2的坐标为
(y,x),于是有cosα=x,sinα=y,cos(-α)=y,sin(-α)=x.
图1-3-4
∴公式(五)
sin(-α)=cosα
cos(-α)=sinα
由于+α=π-(-α),由公式(四)及公式(五)可得公式(六)
sin(+α)=cosα
cos(+α)=-sinα
5.这六组公式必须注意的几个问题
(1)公式中的角α可以是任意角;
(2)这六组诱导公式可以叙述为:
①α+k·2π,π+α,-α,π-α的三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角是原函数值的符号.为了便于记忆,也可简单地说成:“函数名不变，符号看象限.”
②α+,-α+的三角函数值,等于α的余名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角是原函数值的符号,记忆口诀为:“函数名改变，符号看象限.”
③这两套公式可以推广为:k·+α(k∈Z)的三角函数值,当k为偶函数时,得α的同名函数值;当k为奇数时,得α的异名函数值,然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.概括为:“奇变偶不变,符号看象限.”这里的奇偶是指k的奇偶.
活学巧用
1.求下列各三角函数值.
(1)sin();(2)cos();(3)tan(-405°).
解析:可先利用公式(二)把负角的三角函数转化成正角的三角函数,再利用公式(一)把绝对值大于2π(或360°)的角的三角函数转化成绝对值小于2π(或360°)的角的三角函数去求值.
(1)方法一:sin()=-sin=-sin(+6π)=-sin=-.
方法二:sin()=sin(--6π)
=sin(-)=-sin=-.
(2)cos()=cos=cos(+6π)=cos=;
cos()=cos(--6π)=cos(-)=cos=.
(3)tan(-405°)=-tan405°=-tan(45°+360°)=-tan45°=-1;
tan(-405°)=tan(-45°-360°)=tan(-45°)=-tan45°=-1.
2.求下列三角函数式的值.
(1)sin495°·cos(-675°);
(2)3sin(-1 200°)·tan(-)-cos585°·tan().
解析:(1)sin495°·cos(-675°)
=sin(135°+360°)·cos675°
=sin135°·cos315°
=sin(180°-45°)·cos(360°-45°)
=sin45°·cos45°
=×=.
(2)sin(-1 200°)·tan(-)-cos585°·tan()
=-sin1 200°·(-)-cos(720°-135°)·tan(-8π-)
=sin(1 080°+120°)-cos135°·tan(-)
=-(-)·(-1)
=.
答案:(1) ;(2) .
3.已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,求［sin(α+)·sin(-α)·tan2(2π-α)·tan(π-α)］÷［cos(-α)·cos(+α)］的值.
解析:5x2-7x-6=0的两根为x=2或x=,
∴sinα=,cosα=±=±.
∴tanα=±.
∴原式==tanα=±.
答案:±.
4.若f(sinx)=cos17x,求f()的值.
解析:此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算,在运算的过程中要理解函数表达式的意义,灵活运用诱导公式.
f()=f(sin)=cos=cos(2π+)=cos=cos(π-)=-cos=-.
答案:-.
5.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值是( )
A.- B.- C. D.
解析:sin(180°+α)+cos(90°+α)=-sinα-sinα=-a,
∴sinα=.
原式=cos(180°+90°-α)+2sin(360°-α)=-cos(90°-α)-2sinα
=-sinα-2sinα=-3sinα=-3×=-.
答案:B
1.3 三角函数的诱导公式
知识梳理
一、三角函数的对称关系
1.终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为：2kπ-α；
2.终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为：2kπ+π-α；
3.终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为：2kπ+-α.
二、三角函数的诱导公式
x
sinx
cosx
tanx
-α
-sinα
cosα
-tanα
π-α
sinα
-cosα
-tanα
π+α
-sinα
-cosα
tanα
2kπ-α(k∈Z)
-sinα
cosα
-tanα
2kπ+α(k∈Z)
sinα
cosα
tanα
-α
cosα
sinα
cotα
+α
cosα
-sinα
-cotα
知识导学
要学好本节内容，可先复习终边相同的角的同名三角函数值相等的公式；单位圆与三角函数线等.在此基础上创设情境，引入发现结论的条件，促成发现终边与角α的终边关于原点、x轴、y轴和直线y=x对称的各类角的表示方法，借助单位圆，通过图形观察，由此发现公式二至四，然后概括四组公式，认识它们的作用.结合例题与练习，来熟悉公式，理解并知道任意角的三角函数一定可以等价于转化为0至内的角的三角函数. 对公式五、六的学习可同上安排.突出几何图形对发现结论的影响，即我们是如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现结论的.
形象的诱导公式的记忆口诀：
奇变偶不变，符号看象限.
疑难突破
1.如何借助单位圆理解角α与-α的三角函数间的关系？
图1-3-1
剖析：如图1-3-1，设单位圆与α、α终边的交点分别为P和P′，则点P和P′关于x轴对称，所以它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数，从而可以设P(x,y),P′(x,-y).由三角函数定义，有sinα=y,cosα=x,∴P(cosα,sinα).sin(-α)=-y，cos(-α)=x,∴P′［cos(-α),sin(-α)］.
由P和P′坐标关系，得
又tan(-α)==-tanα.
2.对负角的三角函数值应如何求解，其一般步骤为何？
剖析：一种是化为正角的三角函数值，再用公式化为锐角的三角函数值；另一种是先用公式化为nπ+α(|α|＜)的角的三角函数值，再转化为锐角的三角函数值.由此可以得到利用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤：
3.诱导公式的作用是什么？诱导公式的规律又是怎样的 ？
剖析：诱导公式的作用是可以将任意角的三角函数转化为0°—90°角的三角函数值.
诱导公式的规律为：
（1）-α，π±α，2π-α，2kπ+α(k∈Z)的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”.例如：sin(180°-300°)=sin300°，把300°看成一个锐角α，则180°-300°=180°-α为锐角，所以sin(180°-300°)的符号为正，即sin300°前面所带符号也为正.
（2）-α，+α的三角函数值，等于α的余名三角函数值前面加上一个把α看成锐角的原函数值的符号，记忆口诀为：“函数名改变，符号看象限”.例如：cos(90°+100°)=-sin100°，把100°看成锐角α，则90°+100°=90°+α钝角，所以cos(90°+100°)的符号为负，即sin100°前面所带符号为负.
（3）这两套公式可以归纳为k·+α(k∈Z)的三角函数值.当k为偶数时，得α的同名函数值;当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指k的奇偶.
1.3 三角函数的诱导公式
疱工巧解牛
知识?巧学
一、公式二(π+α与α的三角函数关系)
1.公式
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
2.公式二的推导
设β∈［0,2π),α∈［0,］，则以下四种情形中有且仅有一种成立.β=α,β∈［0,)或β=π-α,β∈［,π)或β=π+α,β∈［π,)或β=2π-α,β∈［,2π).
在以上四种情形中，π+α的终边可由角α的终边按逆时针方向旋转π rad而得到，即角π+α终边上的点关于原点的对称点一定在角α的终边上.
如图1-3-2，不妨设α为任意角，若角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则其反向延长线(即π+α角的终边)与单位圆交于点P′(-x，-y).
图1-3-2
由于单位圆的半径是1，即r=1，根据任意角的正弦、余弦函数的定义，可得sinα=y，cosα=x，tanα=;sin(π+α)=-y，cos(π+α)=-x,tan(π+α)=.
于是，我们得到公式二.
特别地，由于角π+α与角α的终边关于原点对称，故有公式成立.
二、公式三(-α与α的三角函数关系)
1.公式
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
2.公式三的推导
由于360°-α角是与-α角的终边相同的角，所以它的同名三角函数值相等，而α与-α是按不同的方向旋转形成的绝对值大小相同的角.显然，α角与-α角的终边关于x轴对称.
设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角-α的终边与单位圆的交点为P′(x，-y)，如图1-3-3.
图1-3-3
由于单位圆的半径r=1，根据任意角的正弦、余弦函数的定义，可得sinα=y，cosα=x，tanα=，sin(-α)=-y，cos(-α)=x，tan(-α)=.
于是，我们得到公式三.特别地,角-α与角α的终边关于x轴对称,故有公式成立.
学法一得 因为正、余弦函数的定义域是x∈R，正切函数的定义域是x≠+kπ,k∈Z，它们都关于原点对称.故由该公式可知正弦与正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
三、公式四(π-α与α的三角函数关系)
1.公式
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
2.公式四的推导
由于sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα，
sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα，
所以sin(π-α)=sin［π+(-α)］=-sin(-α)=sinα，
cos(π-α)=cos［π+(-α)］=-cos(-α)=-cosα，
tan(π-α)=tan［π+(-α)］=tan(-α)=-tanα.
于是，我们得到公式四.特别地，角π-α与角α的终边关于y轴对称，故有公式成立.
学法一得 两个互为补角的角的正弦值相等，余弦值、正切值互为相反数.例如,,.
四、诱导公式
1.公式一、二、三、四都叫做诱导公式，抛去各自的特点，可把它们概括如下：
对于α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，由于把角α视为锐角，所以α+2kπ(k∈Z)，π-α,π+α,-α的函数值应分别按与一、二、三、四象限相对应的符号进行标注.以上四组诱导公式是用弧度制表示的，若采用角度制，写成α+k·360°(k∈Z)，-α，180°±α的形式，其规律是一样的.
2.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤:
3.诱导公式的作用：利用上述诱导公式，可对任意角的三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明.
记忆要诀 根据公式，可将四组诱导公式编成口诀“函数名不变，符号看象限”记忆.
五、公式五与公式六
1.公式
sin(-α)=cosα
cos(-α)=sinα
sin(+α)=cosα
cos(+α)=-sinα
2.公式五和公式六可以概括为±α，±α的三角函数值，等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.诱导公式五、六的出现，进一步丰富了三角函数的化简过程，拓宽了三角函数式的化简渠道.对同一三角函数式，使用不同的诱导公式，可以获得不同的解题途径.
记忆要诀 两套诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值，当k为奇数时，得α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，还可编成口诀“奇变偶不变，符号看象限”或“奇余偶同，象限定号”去记忆.
典题?热题
知识点一 公式二的应用
例1 求下列各式的三角函数值：
(1)cos；(2)cos1 290°；(3)sin(-480°).
思路分析：先用公式一能把任意角的三角函数值转化成0°到360°角的三角函数值，再借助公式二把180°到270°角的三角函数值转化为求锐角的函数值.
解：(1)cos=cos(π+)=-cos=.
(2)cos1 290°=cos(210°+3×360°)=cos210°=cos(180°+30°)
=-cos30°=.
(3)sin(-480°)=sin(240°-2×360°)=sin240°=sin(180°+60°)
=-sin60°=.
方法归纳 化简终边落在第三象限的角β的三角函数值的步骤：(1)先把β转化成β=α+2kπ,k∈Z,其中α∈(π,)的形式，根据公式一，把求β的三角函数值就转化成了求α的三角函数值；(2)再把α写成α=π+θ,θ∈(0,)的形式，根据公式二，把求α的三角函数值转化成了求锐角的三角函数值.特别地，若β∈(π,)，可直接按第(2)步进行化简.
知识点二 公式三的应用
例2 求下列各式的值.
(1)sin()；(2)cos(-60°)；(3)tan(-750°).
思路分析：可先利用公式三，把负角的三角函数转化成正角的三角函数，再利于诱导公式，把正角的三角函数转化成锐角的三角函数进行求值.
解：(1)sin()=-sin=;
(2)cos(-60°)=cos60°=;
(3)tan(-750°)=-tan750°=-tan(2×360°+30°)=-tan30°=.
例3已知tanα=3,求的值.
思路分析：先由诱导公式二、三进行化简，再把齐次弦函数式转化成切函数的形式求解，或直接利于同角的三角函数的基本关系式进行求解.
解：原式=.
∵tanα=3，∴α是第一、三象限的角.
当α是第一象限角时，cosα=，sinα=cosα·tanα=.
∴原式=.
当α是第三象限角时，同理,可得原式=.
综上可知，所求代数式的值为.
巧解提示：∵tanα=3,∴cosα≠0.
∴原式=.
方法归纳 已知α的切函数值，求与α有关的弦函数式的值
①可考虑用同角的三角函数的基本关系式进行求值，但要注意角α所在的象限；
②若弦函数式是一齐次式，可将齐次式的分子、分母同除以一个齐次项进行化简，但要保证所除因式不为零.
例4 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=1-cosx;(2)g(x)=x-sinx;(3)h(x)=x2-tanx.
思路分析：要判断函数的奇偶性，一看函数的定义域是否关于原点对称，二看f(-x)与f(x)的关系.
解：(1)函数的定义域为R，因为f(-x)=1-cos(-x)=1-cosx=f(x)，所以f(x)是偶函数.
(2)函数的定义域为R,因为g(-x)=(-x)-sin(-x)=-x-(-sinx)=-(x-sinx)=-g(x),所以g(x)是奇函数.
(3)函数的定义域为R且x≠+kπ,k∈Z,因为h(-x)=(-x)2-tan(-x)=x2+tanx，显然h(-x)≠h(x)并且h(-x)≠-h(x)，所以h(x)是非奇非偶函数.
方法归纳 ①诱导公式三是化负角为正角的依据；②诱导公式三是判断函数奇偶性的依据.
知识点三 公式四的应用
例5 已知cos(-α)=，求cos(+α)-sin2(α-)的值.
思路分析：由于三角函数的自变量是角，所以对三角函数的分析应从角入手，合理进行角的变换，使所求角的三角函数能用已知角的三角函数表示出来.因为(-α)+(+α)=π，所以+α可化成π-(-α).又因为α-=-(-α)，所以可用诱导公式进行求解.
解：∵cos(-α)=，
∴原式=cos［π-(-α)］-［1-cos2(α-)］
=-cos(-α)-1+cos2(-α)=
=.
例6 已知sin(-x)=，且0＜x＜，求cos(+x)的值.
思路分析：注意到(-x)+(+x)=π，因此，可将问题转化成求cos(-x)的值.
解：∵0＜x＜,∴-＜-x＜0.
∴＜-x＜.
又∵sin(-x)=,∴.
∴cos(+x)=-cos(-x)=.
方法归纳 化简条件代数式的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止.无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，据果变形.
知识点四 诱导公式的应用
例7 先把下列各任意角的三角函数转化成锐角的三角函数，再求值.
(1)cos；(2)；(3)cos()；
(4)cos(-1 650°)；(5)cos(-150°15′).
解：(1)cos=cos(2π-)=cos=.
(2).
(3)cos()=cos=cos(π)=-cos=.
(4)cos(-1 650°)=cos1 650°=cos(4×360°+210°)
=cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=.
(5)cos(-150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′.
例8 求sin120°+cos750°+sin(-690°)cos(-660°)+tan(-675°)+tan765°-tan1 020°+tan(-1 230°)的值.
思路分析：对于形如sin(-690°)的化简可先写成sin(-690°)=-sin690°
=-sin(330°+360°)=-sin330°=-sin(360°-30°)=sin30°=，
解：原式=sin(180°-60°)+cos(30°+2×360°)+sin(30°-2×360°)·cos(60°-2×360°)-tan(2×360°-45°) +tan(2×360°+45°)-tan(3×360°-60°)-tan(3×360°+150°)
=sin60°+cos30°+sin30°cos60°+tan45°+tan45°+tan60°-tan(180°-30°)
.
例9 化简下列各式：
(1);
(2)(n∈Z).
思路分析：先合理进行角的变换，把角转化成能使用诱导公式的形式，用诱导公式将分子、分母化简，再约分求值.
证明：(1)原式=
.
(2)原式=
.
例10 求证：(1)sin(nπ+α)=(-1)nsinα(n∈Z)；
(2)cos(nπ+α)=(-1)ncosα(n∈Z).
思路分析：因为n∈Z，所以应把n分成奇数、偶数两种情况，结合诱导公式求解.
证明：(1)当n为奇数时，设n=2k-1(k∈Z)，则
sin(nπ+α)=sin［(2k-1)π+α］=sin(-π+α)=-sin(π-α)=-sinα
=(-1)nsinα；
当n为偶数时，设n=2k(k∈Z)，则
sin(nπ+α)=sin(2kπ+α)=sinα=(-1)nsinα，
∴sin(nπ+α)=(-1)nsinα(n∈Z).
(2)当n为奇数时，设n=2k-1(k∈Z)，则
cos(nπ+α)=cos［(2k-1)π+α］=cos(-π+α)=cos(π-α)=-cosα=(-1)ncosα；
当n为偶数时，设n=2k(k∈Z)，则
cos(nπ+α)=cos(2kπ+α)=cosα=(-1)ncosα，
∴cos(nπ+α)=(-1)ncosα(n∈Z).
方法归纳 三角函数式的求值与证明的过程也是化简的过程，它是一个经历多次化归，由负角变正角，由大角变小角，一直变到0°—90°角的过程.对同一角的化归方式可以多种多样，但化简的基本要求都是：(1)能求值的要求出值；(2)使项数尽量少；(3)使次数尽可能低；(4)函数种类尽可能少；(5)分母中尽量不含被开方数等.
知识点五 公式五、六的应用
例11 已知cos(75°+α)=，且-180°＜α＜-90°，求cos(15°-α)的值.
思路分析：注意到(15°-α)+(75°+α)=90°，因此可将问题转化成求sin(75°+α)的值.
解：∵-180°＜α＜-90°,∴-105°＜75°+α＜-15°.
∴sin(75°+α)＜0.又cos(75°+α)=,
∴cos(15°-α)=cos［90°-(75°+α)］=sin(75°+α)=
.
方法归纳 利用公式五和六，可把±α中角去掉，从而实现正、余弦函数的相互转化，反过来，也可通过添加来实现正、余弦函数的互化.
问题?探究
思想方法探究
问题 三角函数的化简与证明是三角部分的重要问题，那么三角函数的化简与证明有哪些常用方法？应当注意些什么问题？
探究过程：三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求学生熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在学习时要注意进行及时的总结.
探究结论：(1)化简三角函数时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名角等.其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等.
(2)化简一定要尽量化为最简形式.例如最后被化简为cos80°，如果只化到cos440°，则不能认为这是最后结果；另外由于80°不是特殊角，一般无需求出其余弦值(实际上，写出的余弦值只是一个近似值，这不符合恒等变形的要求).
(3)证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：
①从不等式的一边开始证得它的另一边，一般从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
②综合法，由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想，即“a=b等价于c=d，所以a=b成立的充要条件是c=d成立”；
③中间法，证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a=c,b=c，则a=b”，它可由关系的传递性及对称性推出；
④分析法，即从结论出发，逐步向已知要条件，其形式通常是“要怎样，只需怎样”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立，而书写证明过程时，只要逆写回去即可.
交流讨论探究
问题1 教材同角基本关系式只给出：“sin2α+cos2α=1”和“tanα=”两种,结合你们所学过的三角知识，你们还能找出什么关系式？
探究过程：学生甲：由于sinα=，cosα=，secα=，cscα=，则可得出sinαcscα=1，cosαsecα=1.
学生乙：由于cotα=，tanα=，则可以得出tanαcotα=1,cotα==cosαcscα等一些结论.
学生丙：由于x2+y2=r，则1+tan2α==sec2α.
学生丁：除了上面的结论之外还有1+cot2α=csc2α，再根据上面的结论还可以得到许多不同的结论，如cos2α=、sin2α=等.
探究结论：根据三角函数的定义可以得到如下一些常见的结论，如：
sinαcscα=1，cosαsecα=1，tanαcotα=1，cotα==cosαcscα，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α，cos2α=,sin2α=等.
问题2 若△ABC的三个内角分别为A、B、C，则这三个内角的三角函数值之间有何关系？
探究过程：
学生甲：由于三角形三个内角和为π，即A+B+C=π，则可以利用诱导公式三寻求它们之间的关系，比如由A+B+C=π可得A=π-(B+C)，则由诱导公式三可得sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，即其中任意一个内角的正弦值等于另两角和的正弦值，任意一个内角的余弦值等于另两个内角和余弦值的相反数.
学生乙：由A+B+C=π可得，即，则由诱导公式五可得，,即其中任意一个内角一半的余弦值等于另外两角和一半的正弦值，而任意一个内角的正弦值等于另外两内角和一半的余弦值.
学生丙：由同角三角函数关系式可得tanA=-tan(B+C)，等一些结论.
探究：三角形三个内角三角函数之间的关系为：任意一个内角的正弦值等于另两角和的正弦值，任意一个内角的余弦值等于另两个内角和余弦值的相反数；任意一个内角的正切值等于另两个内角和正切值的相反数；任意一个内角一半的余弦值等于另外两角和一半的正弦值，而任意一个内角一半的正弦值等于另外两内角和一半的余弦值；而任意一个内角一半的正切值等于另外两内角和一半的余切值；任意一个内角一半的余切值等于另外两角和一半的正切值.
第1课时 诱导公式二、三、四
1.掌握π±α，－α，－α的终边与α的终边的对称性.
2.理解和掌握诱导公式二、三、四的内涵及结构特征，掌握这三个诱导公式的推导方法和记忆方法.
3.会初步运用诱导公式二、三、四求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.
1.特殊角的终边对称性
(1)π＋α的终边与角α的终边关于 对称，如图①；
(2)－α的终边与角α的终边关于 对称，如图②；
(3)π－α的终边与角α的终边关于 对称，如图③；
(4)－α的终边与角α的终边关于直线 对称，如图④.
【做一做1】 已知α的终边与单位圆的交点为P
A. P1 B.P2
C.P3 D.P4
2.诱导公式
公式一
sin(α＋2kπ)＝sin α
cos(α＋2kπ)＝cos α
tan(α＋2kπ)＝______
公式二
sin(π＋α)＝_____
cos(π＋α)＝－cos α
tan(π＋α)＝tan α
公式三
sin(－α)＝－sin α
cos(－α)＝______
tan(－α)＝－tan α
公式四
sin(π－α)＝sin α
cos(π－α)＝______
tan(π－α)＝______
说明：(1)公式一中k∈Z.
(2)公式一～四可以概括为：
α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的 ，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号.
【做一做2－1】 若cos α＝m，则cos(－α)等于( )
A.m B.－m C.|m| D.m2
【做一做2－2】 若sin(π＋α)＝，则sin α等于( )
A. B.－ C.3 D.－3
【做一做2－3】 已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( )
A.π－4 B.4 C.－4 D.4－π
3.公式一～四的应用
【做一做3】 若cos 61°＝m，则cos(－2 041°)＝( )
A.m B.－m C.0 D.与m无关
答案：1．(1)原点 (2)x轴 (3)y轴 (4)y＝x
【做一做1】 C 由于π＋α，－α，π－α，－α的终边与α的终边分别关于原点、x轴、y轴、直线y＝x对称，则
P1，P2，P3，P4.
2．tan α －sin α cos α －cos α －tan α 同名函数值
【做一做2－1】 A
【做一做2－2】 B
【做一做2－3】 C
【做一做3】 B cos(－2 041°)＝cos 2 041°＝cos(5×360°＋241°)＝cos 241°＝cos(180°＋61°)＝－cos 61°＝－m.
对诱导公式一～四的理解
剖析：(1)在角度制和弧度制下，公式都成立.
(2)公式中的角α可以是任意角.但对于正切函数而言，公式成立是以正切函数有意义为前提条件的.
(3)公式一～公式四，等式两边的“函数名”不变，是对三角函数名称而言.
(4)利用公式求三角函数.“符号看象限”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α的三角函数值的符号，例如sin(2π－α)＝－sin α，当α∈时，易错误地认为sin(2π－α)＝sin α.
题型一 求任意角的三角函数值
【例1】 求值：(1)sin 1 320°；(2)cos.
反思：求任意角的三角函数值的步骤是：先用诱导公式三化为正角的三角函数值，再用诱导公式一化为0～2π的三角函数值，再用公式二或四化为锐角的三角函数值.这实质上也是将任意角的三角函数值化为锐角的三角函数值的过程，即负→正→［0，2π)→锐角.
题型二 化简三角函数式
【例2】 化简：.
分析：先用诱导公式化为α的三角函数，使角统一，再切化弦或弦化切，以保证三角函数名最少.
反思：利用诱导公式主要是进行角的转化，可以达到统一角的目的.
题型三 求三角函数式的值
【例3】 已知cos＝，求cos－sin2的值.
分析：注意到＋＝π，可以把＋α化成π－，又α－＝－，利用诱导公式即可.
反思：此类题目要灵活运用诱导公式，在做题时要注意观察角与角之间的关系，例如＋α＝π－，从而利用诱导公式把未知三角函数值用已知三角函数值表示出来.
题型四 易错辨析
易错点 在化简求值中，往往对nπ＋α(n∈Z)与2kπ＋α(k∈Z)混淆而忽略对n的讨论
【例4】 化简：cos＋cos(n∈Z).
错解：原式＝cos＋cos
＝cos＋
＝2cos.
错因分析：错在没有对n进行分类讨论，关键是对公式一没有理解透.
反思：化简sin(kπ＋α)，cos(kπ＋α)(k∈Z)时，需对k是奇数还是偶数分类讨论，可以证明tan(kπ＋α)＝tan α(k∈Z)是成立的.
答案：
【例1】 解：(1)sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－；
(2)cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
【例2】 解：原式＝＝＝＝tan α.
【例3】 解：∵cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－2＝，
∴cos－sin2＝－－＝－.
【例4】 正解：原式＝cos＋cos.
(1)当n为奇数时，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝cos ＋cos
＝－cos－cos＝－2cos；
(2)当n为偶数时，即n＝2k(k∈Z)时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos＝2cos.
故原式＝
1．等于( )
A. B. C. D.
2．sin 600°＋tan 240°的值是( )
A. B. C. D.
3．已知sin(45°＋α)＝，则sin(135°－α)＝________.
4．已知α∈，tan(π－α)＝，则sin α＝________.
5．化简.
答案：1．C ＝＝＝＝.
2．B sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin 240°＋tan 60°＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝＋＝.
3. sin(135°－α)＝sin [180°－(45°＋α)]＝sin(45°＋α)＝.
4. 由于tan(π－α)＝－tan α＝，则tan α＝.解方程组得sin α＝±，又α∈，所以sin α＞0.所以sin α＝.
5．解：原式＝
＝＝tan θ.
1.3 三角函数的诱导公式（第1课时）
课堂探究
探究一 利用诱导公式求三角函数值
1．对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数．若这时角是90°到180°间的角，再利用180°－α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数；若这时角是180°～270°间的角，则用180°＋α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数；若这时角是270°～360°间的角，则利用360°－α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数．
2．如果不是具体角，要寻找已知角和所求角的关系．
【典型例题1】 (1)sin－cos－tan的值为( )
A．－2 B．0 C. D．1
(2)若sin(π＋α)＝，则sin(π－α)＝( )
A．－ B. C．－ D.
解析：(1)原式＝－sin－cos－tan
＝－sin－cos－tan
＝－＋cos ＋tan＝－＋＋1＝1.
(2)∵(π＋α)＋(π－α)＝2π，
∴sin(π－α)＝sin[2π－(π＋α)]＝sin[－(π＋α)]
＝－sin(π＋α)＝－.
答案：(1)D (2)A
探究二 利用诱导公式化简三角函数式
解决此类问题要熟记诱导公式的口诀：函数名不变，符号看象限，公式应用的口诀：负化正，大化小，化成锐角再求值．
【典型例题2】 化简下列各式：
(1) ；
(2) .
解：(1)原式＝
＝
＝
＝
＝＝＝.
(2)原式＝
＝＝cos3α.
探究三 利用诱导公式证明三角恒等式
关于三角恒等式的证明，常用方法：
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异．
【典型例题3】 求证：
＝－tan α.
证明：原式左边＝
＝＝
＝－tan α＝右边．
∴原式得证．
探究四易错辨析
易错点：对公式理解不全面，导致符号产生错误
【典型例题4】 化简：
(k∈Z)．
错解：原式＝＝＝－1.
错因分析：由于k的奇偶性不确定，不能直接运用诱导公式，所以要对k进行分类讨论．
正解：(1)当k取偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则
原式＝·
＝·
＝＝－1.
(2)当k取奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则
原式＝·
＝
＝＝－1，
综上，原式＝－1.
1.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式一～四
问题导学
一、利用诱导公式解决给角求值问题
活动与探究1
求下列各三角函数值：
(1)sin(－945°)；(2).
迁移与应用
求值：(1)tan 170°＋tan 190°＋sin 1 866°－sin(－606°)；
(2).
此类问题为给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．要记住一些特殊角的三角函数值．
二、用诱导公式解决给值求值问题
活动与探究2
1．若sin(3π＋θ)＝，求的值．
2．已知，求的值．
迁移与应用
1．已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α＜0，求的值．
2．已知cos(α－75°)＝，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
此类问题是给值求值．解决这类问题的方法是根据所给式和被求式的特点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．
三、利用诱导公式化简三角函数式
活动与探究3
化简：.
迁移与应用
1．化简：.
2．化简：(n∈Z)．
三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．
(2)利用切函数与弦函数之间的转化．
当堂检测
1．cos 300°＝( )
A． B． C． D．
2．设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A． B． C．－1 D．1
3．若cos(－100°)＝a，则tan 80°＝( )
A． B． C． D．
4．已知函数f(x)＝，则下列四个等式中成立的个数是__________．
①f(2π－x)＝f(x)；②f(2π＋x)＝f(x)；③f(－x)＝－f(x)；④f(－x)＝f(x)．
5．化简＝__________.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
一、1．相同 sin α(k∈Z) cos α(k∈Z) tan α(k∈Z)
2．原点 －sin α －cos α tan α
3．x轴 －sin α cos α －tan α
4．y轴 sin α －cos α －tan α
预习交流 提示：不是．α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化为正角的三角函数值；对于大于360°或2π的角再用公式一、二、四转化为锐角的三角函数值．
解：(1)方法一：
sin(－945°)＝－sin 945°＝－sin(225°＋2×360°)
＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)
＝sin 45°＝．
方法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝．
(2)方法一：cos＝cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－．
方法二：cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－．
迁移与应用 解：(1)原式＝tan(180°－10°)＋tan(180°＋10°)＋sin(360°×5＋66°)＋sin(360°＋246°)＝－tan 10°＋tan 10°＋sin 66°＋sin(180°＋66°)＝sin 66°－sin 66°＝0．
(2)原式＝sincostan
＝sincostan
＝sin·costan＝－××1
＝－．
活动与探究2 1．思路分析：利用诱导公式将已知化简，然后代入所求式的化简式中求值．
解：∵sin(3π＋θ)＝，∴sin(π＋θ)＝．
∴sin θ＝－．
－
＝－
＝－＝－
＝－＝－32．
2．思路分析：注意到＋α＝π－，再用π－α的诱导公式化简cos，转化成同角三角函数基本关系问题求解．
解：cos＝cos
＝－cos＝－，
而sin2＝1－cos2＝1－＝，
∴原式＝－＝－．
迁移与应用 1．解：∵sin(α＋π)＝，
∴sin α＝－．
又sin αcos α＜0，
∴cos α＞0，cos α＝＝，
∴tan α＝－．
原式＝
＝＝－．
2．解：∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角．
∴sin(α－75°)＝－
＝－＝－．
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝．
活动与探究3 思路分析：利用诱导公式直接化简即可．
解：原式＝
＝＝
＝－cos θ．
迁移与应用 1．解：原式＝
＝＝＝－cos2α．
2．解：(1)当n为奇数时，
原式＝sinπ·
＝sin·
＝sin·cos＝×＝．
(2)当n为偶数时，
原式＝sinπ·cosπ
＝sin·cos
＝sin·＝×＝－．
【当堂检测】
1．C 2．A 3．A
4．1 解析：f(2π－x)＝cos＝cos＝－cos＝－f(x)，①不成立；
f(2π＋x)＝cos＝cos＝－cos＝－f(x)，②不成立；
f(－x)＝cos＝cos＝f(x)，③不成立；④成立．
5．－1
1.3 三角函数的诱导公式（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握π±α，－α，－α的终边与α的终边的对称性．
2．理解并掌握诱导公式二、三、四的结构特征及记忆方法．
3．会运用诱导公式二、三、四求三角函数的值及化简与证明简单的三角函数式.
1．特殊角的终边对称性
(1)π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图①；
(2)－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图②；
(3)π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图③；
(4) －α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，如图④.
2．诱导公式
公式一
sin(α＋2kπ)＝sin α
cos(α＋2kπ)＝cos α
tan(α＋2kπ)＝tan_α
公式二
sin(π＋α)＝－sin_α
cos(π＋α)＝－cos α
tan(π＋α)＝tan α
公式三
sin(－α)＝－sin α
cos(－α)＝cos_α
tan(－α)＝－tan α
公式四
sin(π－α)＝sin α
cos(π－α)＝－cos_α
tan(π－α)＝－tan_α
说明：(1)公式一中k∈Z；
(2)公式一～四可以概括为：
α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
思考1若α是第三象限角，则sin(π－α)＝sin α成立吗？
提示：公式sin(π－α)＝sin α中的α是任意角，不因角α所在的象限而改变三角函数值，所以无论α是第几象限角，都有sin(π－α)＝sin α.
思考2存在α∈R，使sin(π＋α)＝sin α成立吗？
提示：存在α＝kπ，k∈Z，使sin(π＋α)＝sin α＝0成立．
思考3诱导公式二、三、四的记忆口诀是什么？
提示：函数名不变，符号看象限．
3．公式一～四的应用
思考4上述步骤的记忆口诀是什么？
提示：负化正，大化小，化到锐角再求值，体现了化归思想．
第2课时 诱导公式五、六
1.理解和掌握诱导公式五、六的内涵及结构特征，掌握这两个诱导公式的推导和记忆方法.
2.会初步运用诱导公式五、六求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.
诱导公式五、六如下表：
公式五
sin＝
cos＝
公式六
sin＝
cos＝
公式五和公式六可以概括为：
±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成 时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦.“符号看象限”是把α看成锐角时原三角函数值的符号.
【做一做1－1】 已知sin 25.7°＝m，则cos 64.3°等于( )
A.m B.－m C.m2 D.
【做一做1－2】 已知cos 10°＝a，则sin 100°＝________.
答案：cos α sin α cos α －sin α 锐角
【做一做1－1】 A
【做一做1－2】 a
1.对诱导公式五、六的认识
剖析：(1)公式五和公式六可概括如下：
±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名改变(正余互变)，符号看象限”.
(2)把α看成锐角，实际上α可以为任意角.
(3)公式五或公式六的作用：可以实现正弦函数与余弦函数的转化，在三角恒等变化中，起到改变函数名称的作用.
2.记忆六组诱导公式
剖析：因为任意一个角都可以表示为k·＋α(其中|α|＜，k∈Z)的形式，所以六组诱导公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0～之间角的三角函数求值问题.2kπ＋α＝4k·＋α，－α＝0·－α，π±α＝2·±α，±α＝1·±α，则这六组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k·±α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k的奇偶性.如sin中的k＝11是奇数，且把α看成锐角时，＋α是第四象限角，第四象限角的正弦值是负数，所以sin＝－cos α.
题型一 求值
【例1】 已知sin＝，求cos的值.
分析：由于＋＝，所以考虑用公式五化简求值.
反思：已知关于α的三角函数值，求其他三角函数时，通常利用角的整体代入.由于＋＝,则借助于诱导公式,且表示,从而顺利解决.若,则已知α与β中任意一个角的三角函数值,就可利用整体代入求出另一个角的三角函数值.
题型二 化简三角函数式
【例2】 化简＝__________.
题型三 证明三角恒等式
【例3】 求证：＝－tan α.
分析：解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简推出右边．
题型四 易错辨析
易错点 诱导公式的使用
【例4】 已知sin＝a,0＜α＜，求sin.
错解：∵0＜α＜，∴－＜－α＜，
∴cos＞0，
∴cos＝＝，sin＝sin＝cos＝.
错因分析：对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好，在sin中，要把“－α”看成锐角来确定三角函数值符号．
反思：诱导公式共有六组16个公式，公式较多，易错记错用(如本题错解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．
答案：
【例1】 解：∵＋α＋－α＝，
∴－α＝－.
∴cos＝cos
＝sin＝.
【例2】 －1
原式＝
＝＝＝－1.
【例3】 证明：左边＝
＝＝－tan α＝右边，
∴原等式成立．
【例4】 正解：∵0＜α＜，∴－＜－α＜，
∴cos＞0，
∴cos＝＝，
sin＝sin
＝－sin＝－cos
＝－cos＝－.
1．已知＝，则＝__________.
2．化简＝__________.
3．已知＝， 那么的值是__________．
4．求证：＝.
5．已知角α的终边经过点P(－4,3)，求的值．
答案：1. ∵＝cos α＝，
∴＝cos α＝.
2．－1 原式＝
＝
＝＝－1.
3． ∵＝，
∴α＋＝，
∴＝
＝＝.
4．证明：左边＝＝＝＝右边，∴原等式成立．
5．解：∵角α的终边经过点P(－4,3)，
∴tan α＝＝.
∴原式＝＝tan α＝.
1.3 三角函数的诱导公式（第2课时）
课堂探究
探究一 利用诱导公式求值
已知一三角函数值求其他三角函数值的解题思路：
(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系；
②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．
(2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数化为同名的三角函数．
【典型例题1】 (1)已知sin＝，则sin＝( )
A. B．－ C. D．－
(2)计算：sin21°＋sin22°＋sin288°＋sin289°＝__________.
解析：(1)∵sin＝，
∴cos α＝.
又∵sin＝－cos α，
∴sin＝－.故选B.
(2)∵1°＋89°＝90°，2°＋88°＝90°，
∴sin 89°＝sin(90°－1°)＝cos 1°，
sin 88°＝sin(90°－2°)＝cos 2°.
∴sin21°＋sin22°＋sin288°＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋cos21°＋cos22°＝2.
答案：(1)B (2)2
探究二 化简三角函数式
三角函数式化简的方法和技巧：
(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．
(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．
【典型例题2】 化简：
＝__________.
解析：原式＝
＝＝－cos α.
答案：－cos α
探究三利用诱导公式证明三角恒等式
1．证明无条件的恒等式的常用方法：
(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．
(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．
(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1.
2．证明条件等式，一般有两种方法：一是从被证等式一边推向另一边的适当时候，将条件代入，推出被证式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法．
【典型例题3】 求证：＝tan α.
证明：左边＝
＝
＝tan α＝右边．
∴原等式成立．
探究四易错辨析
易错点：对诱导公式记忆不准确
【典型例题4】 已知sin＝a,0<α<，求sin.
错解：∵0<α<，∴－<－α<，
∴cos>0，
∴cos＝
＝，
sin＝sin
＝cos＝.
错因分析：对使用诱导公式求三角函数值时，符号的确定掌握不好，在sin中，要把“－α”看成锐角来确定三角函数值的符号．
正解：∵0<α<，∴－<－α<，
∴cos>0.
∴cos＝＝.
∴sin＝sin
＝－cos＝－.
第2课时 诱导公式五～六
问题导学
一、给值求值问题
活动与探究1
已知，求的值．
迁移与应用
已知，则的值等于( )
A． B． C． D．
利用互余关系是解决这类问题的关键．常见的互余关系有与，与，与等，记住这些结论，有时会给我们带来意想不到的方便．
二、化简求值问题
活动与探究2
化简.
迁移与应用
化简：·sin(180°－α)·cos(360°－α)＝______.
观察题中角的形式选择相应的诱导公式是化简的关键；另外，也可记住：
cos＝－sin α，sin＝－cos α，
cos＝sin α，sin＝－cos α.
三、恒等式的证明问题
活动与探究3
证明＝tan α.
迁移与应用
证明：－＝2sin α.
解决恒等式的证明问题关键是灵活应用诱导公式，将各三角函数值化成同角的三角函数值，从一边向另一边推导，或证明两边都等于同一个式子．
当堂检测
1．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x
C．f＝－cos x D．f(π－x)＝－f(x)
2．若cos＝－，那么sin的值为( )
A．－ B． C．－ D．
3．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝( )
A． B． C．－ D．－
4．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos＝__________.
5．化简sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝__________.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．cos α sin α cos α －sin α
预习交流1 提示：tan＝＝＝；
tan＝＝＝－．
2．余弦(正弦)
预习交流2 提示：诱导公式六的推导过程如下：
∵＋α＝－(－α)，由诱导公式三、五，得
sin＝sin＝cos(－α)＝cos α，
cos＝cos＝sin(－α)＝－sin α．
即sin＝cos α，cos＝－sin α．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：注意到＋＝，利用诱导公式五求解．
解：cos＝cos
＝sin＝．
迁移与应用 D 解析：∵＋α－＝，
∴cos＝cos
＝－sin＝－．故选D．
活动与探究2 思路分析：根据题中出现的角：－α，±α，6π－α，选择相应的诱导公式化简．对于cos可以化为cos然后再化简．
解：原式＝
＝＝－
＝－tan α．
迁移与应用 －sin2α 解析：原式＝·sin α·cos α＝－sin2α．
活动与探究3 思路分析：利用相应诱导公式，化简等式左边，转化成同角三角函数来解决．
证明：左边＝＝＝tan α＝右边．
∴原式成立．
迁移与应用 证明：左边＝－＝sin α－(－sin α)＝2sin α＝右边，
所以原式成立．
【当堂检测】
1．C
2．A 解析：sin＝sin＝cos＝－．
3．D 解析：f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－．
4． 解析：∵α为第四象限角，
∴sin α＝－＝－，
从而cos＝－sin α＝．
5．－1 解析：原式＝－sin α·sin α－cos α·cos α＝－1．
1.3 三角函数的诱导公式 2
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解并掌握诱导公式五、六的结构特征及记忆方法．
2．会用诱导公式五、六求三角函数的值，并会对简单三角函数式化简和证明.
诱导公式五、六如下表：
公式五
sin＝cos_α
cos＝sin_α
公式六
sin＝cos_α
cos＝－sin_α
公式五和公式六可以概括为：
±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
思考1如何对所有诱导公式进行记忆？
提示：诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．理解如下：
(1)任意角一定可写成k·±α(k∈Z)的形式，则k为奇数时，函数名改变．
(2)“象限”是将α看作锐角时，k·±α(k∈Z)所在的象限决定原函数值的符号．
思考2若α≠，k∈Z，如何借助商数关系推导tan，tan的诱导公式？
提示：tan＝＝＝；
tan＝＝＝－.
1.3 三角函数的诱导公式
课堂导学
三点剖析
1.诱导公式
【例1】求下列三角函数值：
（1）sin（）;(2)cos();
(3)tan;(4)cos(-945°).
解：(1)sin（）=-sin
=-sin(4π+)=-sin
=-sin(π+)=sin=
(2)cos()=cos
=cos(4π+π)=cosπ=cos(π+)
=-cos=.
(3)tan=tan(6π+)=tan
=tan(π+)=tan=tan(π-)
=-tan=.
(4)cos(-945°)=cos945°=cos(2×360°+225°)
=cos225°=cos(180°+45°)
=-cos45°=.
温馨提示
对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数.若这时角是90°到180°间的角，再利用180°-α的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数；若这时角是180°—270°间的角，则用180°+α的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数；若这时角是270°—360°间的角，则利用360°+（-α）的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数.(1)(2)小题解法一都是按着这样的思路求解的.
【例2】(1)设f(α)=,
求的值.
(2)已知sin(3π+θ)=,求的值.
思路分析：本题主要考查求值问题，由于所求式子比较烦琐，故应先用诱导公式化简，然后求值.
解：(1)f(α)=
=
则f（-）=
.
(2)∵sin(3π+θ)=,
又∵sin(3π+θ)=sin(π+θ)
=-sinθ,
∴sinθ=.
∵
=
=
2．诱导公式的应用
【例3】 化简(k∈Z).
解：当k为偶数时，不妨设k=2n,n∈Z,则
原式=
=
=
=
当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z,则
原式=
=
=
=.
综上当k∈Z时，
=-1.
温馨提示
对于kπ+α形式的角的三角函数，只须分k的奇、偶情况进行分类讨论，即可转化为α的三角函数，这在三角函数式的运算中经常出现，注意观察，展开联想，为使用公式创造条件，是学好三角函数的一个重要条件.
3.诱导公式的符号规律
【例4】若sinθ=,则的值为__________________.
解：原式=
∵sinθ=,
∴被求式==6.
答案:6
各个击破
类题演练1
求sin（-1 200°）·cos1 290°+cos（-1 020°）·sin(-1 050°)+tan945°的值.
解：原式=-sin（3×360°+120°）·cos（3×360°+210°）-cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°) +tan(2×360°+225°)
=-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°)+tan(180°+45°)
=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°
=
变式提升1
(1)已知cos(+α)=,求cos(-α)的值.
(2)已知cos(75°+α)=,其中α为第三象限角，求cos(150°-α)+sin(α-105°)的值.
分析：(1)(+α)+(-α)=π.(2)(75°+α)+(105°-α)=180°,这样就可以用诱导公式求解.
解：(1)cos(-α)=-cos［π-(-α)］
=-cos(+α)=.
(2)cos(105°-α)=cos［180°-(75°+α)］
=-cos(75°+α)=.
sin(α-105°)=-sin(105°-α)=-sin［180°-(75°+α)］=-sin(75°+α).
∵cos(75°+α)=＞0,又α为第三象限角,可知75°+α为第四象限角.
则有sin(75°+α)=;
则cos(105°-α)+sin(α-105°)
=
=.
类题演练2
已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三角限角，且cos（α-）=,求f(α)的值；
（3）若α=,求f(α)的值.
解：(1)f(α)=
(2)∵cos(α-)=-sinα,
∴sinα=,cosα=.
∴f(α)=.
(3)∵
∴f()=-cos()
=-cos(-6×2π+)
=-cos=-cos.
变式提升2
已知f(cosx)=cos17x,求证f(sinx)=sin17x;
证明：利用已知条件诱导公式，有
f(sinx)=f［cos(-x)］=cos［17(-x)］
=cos(8π+-17x)=cos(-17x)
=sin17x.
类题演练3
求sin(2nπ+)·cos(nπ+)的值（n∈Z）.
解：(1)当n为奇数时，
原式=sin·(-cos)
=sin(π-)·［-cos(π+)］
=sin·cos=.
(2)当n为偶数时，
原式=sin·cos=sin(π-)·cos(π+)
=sin·(-cos)
=×(-)=.
变式提升3
设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)其中a,b,α,β都是非零实数，且满足f(2 004)=-1,求f(2 005)的值.
解：∵f(2 004)
=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)=-1,
∴f（2 005）=asin(2 005π+α)+bcos(2 005π+β)
=asin［π+(2 004π+α)］+bcos［π+(2 004π+β)］
=-［asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)］
=-(-1)=1.
类题演练4
若α+β=π,则下列各等式不成立的是（ ）
A.sinα=sinβ B.cosα+cosβ=0 C.tanα+tanβ=0 D.sin=cosβ
答案：D
变式提升4
在△ABC中，下列不等式一定成立的是（ ）
A.sin=-cos B.sin(2A+2B)=-cos2C
C.sin(A+B)=-sinC D.sin(A+B)=sinC
解析：ΔABC中，A+B+C=π
∴C=π-(A+B)
代入验证可得.
答案：D
