1.2.1 任意角的三角函数
互动课堂
疏导引导
1.任意角三角函数的定义
设P(a,b)是角α的终边与单位圆的交点,由P向x轴引垂线,垂足为M.
根据锐角三角函数的定义得
sinα==b,cosα==a,tanα=.
同样的道理 ,我们也可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图1-2-2,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么
图1-2-2
(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y.
(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x.
(3)叫做α的正切,记作tanα,即tanα=.
2.三角函数线
设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)、A′(-1,0),与y轴的交点分别为B(0,1)、B′(0,-1).设角α的顶点在圆心O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(如图1-2-3(a)),过点P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点P的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα).
其中cosα=OM,sinα=MP.这就是说角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.又设单位圆在点A的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)(图1-2-3(b)),则tanα=AT(AT′).
我们把轴上向量、、()叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
图1-2-3
3.三角函数在各象限的符号
由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数的符号.
sinα=y,于是sinα的符号与y的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,sinα＞0;当α是第三、四象限的角时,sinα＜0.
cosα=x,于是cosα的符号与x的符号相同,即当α是第一、四象限角时,cosα＞0;当α是第二、三象限的角时,cosα＜0.
tanα=,当x与y同号时,它们的比值为正,当x与y异号时,它们的比值为负,即当α是第一、三象限角时,tanα＞0;当α是第二、四象限角时,tanα＜0.
规律总结:记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多,下面介绍一种利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.上述口诀表示,第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.
4.公式一
由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等,由此得一组公式.(公式一)
Sin(α+k·2π)=sinα
cos(α+k·2π)=cosα
tan(α+k·2π)=tanα
k∈Z.
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值.
活学巧用
1.已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα.
解析：x=3a,y=-4a,∴r==5|a|(a≠0).
(1)当a＞0时,r=5a,α是第四象限角.
sinα==cosα==,tanα=.
(2)当a＜0时,r=-5a,α是第二象限角,sinα=,cosα=,tanα=.
答案：sinα=±,cosα=±,tanα=.
2.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合.
(1)sinα≥;(2)cosα≤-.
解析：作出满足sinα=,cosα=-的角的终边,然后根据已知条件确定出角α终边的范围.
(1)作直线y=交单位圆于A、B两点,连结OA、OB,则OA与OB围成的区域(如图1-2-4阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
(2)作直线x=-交单位圆于C、D两点,连结OC与OD,则OC与OD围成的区域(如图1-2-5阴影部分)即为角α终边的范围.
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
图1-2-4 图1-2-5
3.确定下列三角函数值的符号.
(1)cos250°;(2)sin(-);(3)tan(-672°);(4)tan.
解析：(1)∵250°是第三象限角,∴cos250°＜0.
(2)∵-是第四象限角,∴sin(-)＜0.
(3)∵-672°=-2×360°+48°,而48°是第一象限角,
∴-672°是第一象限角.∴tan(-672°)＞0.
(4)∵=2π+,而是第四象限角,
∴是第四象限角.∴tan＜0.
答案：(1)-;(2)-;(3)+;(4)-.
4.若sinθcosθ＞0,则θ在( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第一、四象限 D.第二、四象限
解析：由sinθcosθ＞0可知sinθ与cosθ同号,若sinθ＞0,cosθ＞0,
则θ在第一象限;若sinθ＜0,cosθ＜0,则θ在第三象限.
∴θ在第一、三象限.
答案：B
5.确定下列三角函数值的符号.
(1)cos;(2)sin(-760°);(3)tan.
解析：(1)∵cos=cos(+4π)=cos,而是第一象限角,
∴cos＞0.
(2)∵sin(-760°)=sin(-40°-2×360°)=sin(-40°),而-40°是第四象限角,
∴sin(-760°)＜0.
(3)∵tan=tan(+2π)=tan,而是第一象限角,
∴tan＞0.
第1课时 三角函数的定义
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用.
2.能判断任意角的三角函数值的符号.
3.掌握公式一及其应用.
1.任意角的三角函数
(1)单位圆：在直角坐标系中，称以________为圆心，以 为半径的圆为单位圆.
(2)锐角的三角函数：如图所示，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=a，AB=b，OB=r，设∠BOA=α，则有：
α的三角函数
定义
正弦
sin α＝＝
余弦
cos α＝＝
正切
tan α＝＝
(3)任意角的正弦、余弦、正切：如图所示，α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以α的始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系.
设P(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则有：
α的三角函数
定义
记法
形式
正弦
______
sin α
sin α＝y
余弦
______
cos α
cos α＝x
正切
______ (x≠0)
tan α
tan α＝(x≠0)
利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数如下：
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(除原点外)的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝)，那么：
①比值叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝.
②比值叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝.
③比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝.(x≠0)
(4)定义：当α＝ (k∈Z)时，tan α无意义.除此之外，对于每一个确定的α，都分别有 确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角α为 ，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数统称为 ，分别记作y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x.
由于角的集合与实数集之间建立了一一对应关系，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数，即实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)，其关系如下图所示：
(5)定义域：如表所示，
三角函数
解析式
定义域
正弦函数
y＝sin x
_______
余弦函数
y＝cos x
____
正切函数
y＝tan x
_______
【做一做1－1】 若角α终边上有一点P(0,3)，则下列式子无意义的是( )
A.tan α B.sin α C.cos α D.sin αcos α
【做一做1－2】 若角α的终边与单位圆相交于点，则sin α的值为( )
A. B.－ C. D.－1
2.三角函数值的符号
sin α，cos α，tan α在各个象限的符号如下：
正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正.
【做一做2】 已知α是第三象限角，设sin αcos α＝m，则有( )
A.m＞0 B.m＝0 C.m＜0 D.m的符号不确定
3.公式一(k∈Z)
sin(α＋2kπ)＝________，
cos(α＋2kπ)＝________，
tan(α＋2kπ)＝________.
该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应.
【做一做3－1】 已知sin 5.1°＝m，则sin 365.1°＝( )
A.1＋m B.－m C.m D.与m无关
【做一做3－2】 已知α与β的终边相同，则下列正确的是( )
A.sin α＝－sin β B.cos α＝cos β C.tan αtan β＝0 D.tan α＝－tan β
答案：1．(1)原点 单位长度 (2) (3)y x (4)＋kπ 唯一 自变量 三角函数 (5)R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}
【做一做1－1】 A 角α的终边在y轴的非负半轴上，则α＝2kπ＋(k∈Z)，所以tan α无意义．
【做一做1－2】 B x＝，y＝－，则sin α＝y＝－.
【做一做2】 A
3．sin α cos α tan α
【做一做3－1】 C
【做一做3－2】 B
对任意角的三角函数的理解
剖析：可以从以下几方面来理解任意角的三角函数：
(1)要明确sin α、cos α、tan α分别是一个整体，如sin α不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.
(2)三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了.就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.
(3)任意的三角函数的概念与锐角三角函数概念的实质是一样的，锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角的三角函数是锐角三角函数的推广.
题型一 三角函数值的计算
【例1】 求的正弦、余弦和正切值.
分析：根据定义，只需求出角的终边与单位圆的交点坐标即可.
【例2】 已知角α的终边经过点P(3,4)，求sin α，cos α， tan α.
分析：分别写出x，y，r的值，应用定义求得.
【例3】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值.
分析：根据任意角的三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r，由于含有参数a，要分类讨论.
反思：(1)对于α的终边上一点P(x，y)(非原点)，P到原点的距离为r，根据三角函数的定义可得sin α＝，cos α＝，tan α＝.
(2)求三角函数值往往用上述定义，而不必再转化为求出角的终边与单位圆的交点坐标，只要知道角的终边上任意一点(非原点)的坐标即可.
题型二 判断已知角的三角函数值的符号
【例4】 判断下列三角函数值的符号：
(1)sin(－670°)cos 1 230°；
(2)sin 8·cos 8.
分析：判断出相关角的终边所在的象限，确定各三角函数值的符号，则积的符号可判断.
反思：已知α的大小，判断sin α，cos α，tan α的符号的步骤：①确定α所在象限；②由α所在象限确定sin α，cos α，tan α的符号.
题型三 利用三角函数值的符号确定角所在象限
【例5】 若sin θtan θ＜0，则θ是( )
A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角
C.第一或第四象限角 D.第二或第三象限角
反思：已知sin α，cos α，tan α中任两个值符号，确定α所在象限时，首先分别确定出α终边所在的可能位置，二者的交集即为α的终边位置.
题型四 公式一的简单运用
【例6】 求下列三角函数值：
(1)cos(－1 050°)；(2)tan；(3)sin.
分析：先利用公式一化简，再求值.
反思：对公式一的理解：
实质
终边相同的角的同名三角函数值相等
结构
特征
1.公式左、右为同名三角函数
2.公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α
作用
把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)之间的角的三角函数值
答案：
【例1】 解：因为角的终边与单位圆的交点为，
所以sin＝，cos＝－，tan＝－.
【例2】 解：由x＝3，y＝4，得r＝＝5.
∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
【例3】 解：r＝＝5|a|.
若a＞0，r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.若a＜0，r＝－5a，角α在第四象限．
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
【例4】 解：(1)∵－670°＝－2×360°＋50°，
∴－670°是第一象限角，∴sin(－670°)＞0.又1 230°＝3×360°＋150°，
∴1 230°是第二象限角，
∴cos 1 230°＜0，∴sin(－670°)cos 1 230°＜0.
(2)∵π＜8＜3π，即8 rad的角是第二象限角，
∴sin 8＞0，cos 8＜0.∴sin 8·cos 8＜0.
【例5】 D ∵sin θtan θ＜0，∴sin θ＞0，tan θ＜0或sin θ＜0，tan θ＞0.当sin θ＞0，tan θ＜0时，θ是第二象限角；当sin θ＜0，tan θ＞0时，θ是第三象限角．
综上所得，θ是第二或第三象限角．
【例6】 解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，
∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝.
(2)∵＝3×2π＋，
∴tan＝tan＝tan＝.
(3)∵－＝－4×2π＋，
∴sin＝sin＝sin＝.
1．sin 390°等于( )
A. B. C. D.1
2．若sin α＜0且tan α＞0，则α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．已知角α的终边过点P(4a，－3a)(a＜0)，则2sin α＋cos α的值是________.
4．判断下列各式的符号.
(1)tan 250°cos(－350°)；(2)sin 105°cos 230°.
5．利用定义求，，的值.
答案：1．A sin 390°＝sin(30°＋360°)＝sin 30°＝.
2．C 由于sin α＜0，则α的终边在第三或四象限，又tan α＞0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．
3. ∵x＝4a，y＝－3a，
∴r＝＝|5a|＝－5a.
∴sin α ＝＝.cos α＝＝.
∴2sin α＋cos α＝2×－＝.
4．解：(1)∵250°是第三象限角，－350°＝－360°＋10°是第一象限角，
∴tan 250°＞0，cos(－350°)＞0，
∴tan 250°cos(－350°)＞0.
(2)∵105°是第二象限角，230°是第三象限角，
∴sin 105°＞0，cos 230°＜0，
∴sin 105°cos 230°＜0.
5．解：如图所示，在坐标系中画出角的终边．
设角的终边与单位圆的交点为P，则有P.
∴＝＝1，＝，＝.
第2课时 三角函数线
1.了解三角函数线的定义和意义.
2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
3.掌握三角函数线的简单应用.
三角函数线
(1)有向线段：带有 的线段叫做有向线段.
(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合).
过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ .单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的 线、 线、 线，统称为三角函数线.
①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外.
②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与α的终边(或反向延长线)的交点.
③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值.
④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后.
⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.
【做一做1－1】 如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的( )
A.正弦线是PM，正切线是A′T′ B.正弦线是MP，正切线是A′T′
C.正弦线是MP，正切线是AT D.正弦线是PM，正切线是AT
【做一做1－2】 不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是( )
A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线
B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条
C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在
D.正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在
答案：(1)方向 (2)MP OM AT 正弦 余弦 正切
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 D
三角函数线的应用
剖析：三角函数线是三角函数值的直观表达形式，从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大小.三角函数线的主要作用是解三角方程和不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后画三角函数图象的基础.
题型一 解三角方程
【例1】 在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并写出α组成的集合.
分析：先作出直线y＝与单位圆的交点P，Q，再连接OP，OQ即得.
反思：形如sin α＝m，cos α＝n，tan α＝t的等式，可借助于三角函数线写出α组成的集合.其步骤是：①在单位圆中画出α的终边；②在［0,2π)内找出满足条件的角；③用终边相同的角的集合写出.
题型二 解简单的三角不等式
【例2】 解不等式sin α≥－.
分析：由于sin＝sinπ＝－，则在坐标系中画出－和π，确定α的终边位置.
反思：解简单的三角不等式时，常借助于三角函数线，转化为终边在某区域内的角的范围.如本题转化为求终边在优弧对应的扇形区域内角的范围.
题型三 易错辨析
易错点 错解函数的定义域
【例3】 求函数y＝＋lg(2sin x＋)的定义域.
错解：要使函数有意义，则需满足1＋2cos x≥0且2sin x＋＞0，即cos x≥－，且sin x＞－.所以2kπ＋≤x≤2kπ＋且2kπ－＜x＜2kπ＋，其中k∈Z.其交集为空集，故无定义域.
错因分析：因两个不等式中的k各自独立，因此上述两集合是有公共部分的，如图所示.
反思：解三角不等式组时，先解每个三角不等式，再取它们的交集.取交集时，要注意各自解集中k的独立性.
答案：
【例1】 解：如图，作直线y＝交单位圆于点P，Q，连接OP，OQ，则射线OP，OQ为角α的终边．
由于sin＝，sin＝，则OP是的终边，OQ是的终边．
所以α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z.
则α组成的集合为S＝
.
【例2】 解：如图所示，作直线y＝－交单位圆于A，B两点，则∠xOA＝，∠xOB＝－.过在直线AB上方的圆弧上任一点P作PM⊥x轴于M，则MP＝sin α.
则α的终边不能与直线AB下方的圆弧有交点，则有2kπ－≤α≤2kπ＋(k∈Z)．
即原不等式的解集是
.
【例3】 正解：要使函数有意义，则需同时满足1＋2cos x≥0且2sin x＋＞0，即cos x≥－，且sin x＞－.
由cos x≥－，知2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
由sin x＞－，知2nπ－＜x＜2nπ＋，n∈Z，
∴x的取值范围是{x|2kπ－＜x≤2kπ＋，k∈Z}．
1．下列各式正确的是( )
A.sin 1＞ B.sin 1＜
C.sin 1＝ D.sin 1≥
2．已知tan x＝1，则x＝________.
3．不等式cos x＞0的解集是________.
4．在单位圆中画出满足cos α＝的角α的终边，并写出α组成的集合.
5．求函数y＝的定义域.
答案：1．B 1和的终边均在第一象限，且的正弦线大于1的正弦线，则sin 1＜.
2．x＝＋kπ(k∈Z)
3．{x|2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z}． 如图所示，OM是角x的余弦线，则有cos x＝OM＞0，
∴OM的方向向右．∴角x的终边在y轴的右方．
∴2kπ－＜x＜2kx＋，k∈Z.
4. 解：如图所示，作直线x＝交单位圆于M，N，连接OM，ON，则OM，ON为α的终边．由于＝，＝，则M在的终边上，N在的终边上，则α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z.
所以α组成的集合为
S＝.
5．解：要使函数有意义，自变量x的取值需满足－1－2cos x≥0，
得cos x≤，如图所示，
则x的终边在阴影部分的区域内．
由于＝，＝，
则M在的终边上，N在的终边上，
则＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
所以函数的定义域是
.
1.2.1 任意角的三角函数
课堂导学
三点剖析
1.三角函数的定义
【例1】 已知角α的终边经过点P（-4a,3a）(a≠0)，求sinα、cosα和tanα.
思路分析：本题考查利用三角函数定义求三角函数值.选取角α终边上任意一点，求出r=,利用三角函数的定义便可求解.
解：因为x=-4a,y=3a,
所以r==5|a|.
当a＞0时，r=5a,角α为第二象限角，所以
sinα=,cosα=,
tanα=;
当a＜0时，r=-5a,角α为第四象限角，所以
sinα=,cosα=,tanα=.
温馨提示
当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题需要对参数进行分类讨论.已知角α终边上任意一点，求α的三角函数值时，我们直接用比值定义计算，没有必要用相似三角形向教材定义转化.
2.三角函数符号及用向有线段表示三角函数
【例2】 确定下列各式的符号：
（1）sin105°·cos230°;(2)sin·tan;
(3)cos6·tan6；（4）sin1-cos1.
思路分析：先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号.
解：（1）∵105°，230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°＞0,cos230°＜0.
∴于是sin105°·cos230°＜0.
(2)∵＜＜π,∴是第二象限角，则sin＞0,tan＜0.
∴sin·tan＜0.
(3)∵＜6＜2π,
∴6是第四象限角,∴cos6＞0,tan6＜0.则cos6·tan6＜0.
(4)∵＜1＜,如下图所示，由三角函数线可得：sin1＞＞cos1.∴sin1-cos1＞0.
温馨提示
(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.(2)sinθ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.(4)中解题的关键是将cosθ、sinθ视为角的弧度数.
3.三角函数线的理解及应用
【例3】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：
（1）sinα≥;(2)cosα≤-.
思路分析：作出满足条件：sinα=,cosα=的角的终边，然后根据条件确定角α终边的范围.
解：（1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB.则OA与OB围成的区域（图甲中阴影部分）即为角α的终边范围.故满足条件sinα≥的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
(2)作直线x=-交单位圆于C、D两点，连结OC、OD.则OC与OD围成的区域（图乙中阴影部分）即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+ 3,k∈Z}.
各个击破
类题演练1
求的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作∠AOB=（如右图），易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为（，）.所以，
sin=,cos=,tan=.
变式提升1
已知角α的终边在直线y=-3x上，求sinα.
解：设角α终边上任一点为P（k,-3k）(k≠0),则
x=k,y=-3k,r=.
(1)当k＞0时，r=k,α是第四象限角，
sinα=,
(2)当k＜0时，r=-k,α为第二象限角,
sinα=.
温馨提示
一个任意角α的三角函数只依赖于α的大小，只与终边位置有关，而与P点在终边上的位置无关.
类题演练2
判断下列各式的符号：
（1）tan250°·cos(-350°);
(2)sin151°cos230°;
(3)sin3cos4tan5;
(4)sin(cosθ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角).
解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,
∴tan250°·cos(-350°)＞0.
(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,
∴sin151°·cos230°＜0.
(3)∵＜3＜π,π＜4＜,＜5＜2π,
∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,
∴sin3·cos4·tan5＞0.
(4)∵θ是第二象限角，
∴0＜sinθ＜1＜,
∴cos(sinθ)＞0.
同理，-＜-1＜cosθ＜0,
∴sin(cosθ)＜0,故sin(cosθ)·cos(sinθ)＜0.
变式提升2
若sin2α＞0且cosα＜0,试确定α所在的象限.
解：∵sin2α＞0,
∴2kπ＜2α＜2kπ+π(k∈Z),
∴kπ＜α＜kπ+ (k∈Z)
当k=2n(n∈Z)时，有2nπ＜α＜2nπ+(n∈Z)α为第一象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时，有2nπ+π＜α＜2nπ+(n∈Z)，α为第三象限角.
∴α为第一或第三象限角.
由cosα＜0，可知α在第二或第三象限，或α终边在x轴的负半轴上.
综上可知，α在第三象限.
类题演练3
利用单位圆中的三角函数线，确定满足sinα-cosα＞0的α的范围.
解：如右图，设角α终边与单位圆的交点为P（x,y）
sinα=y,cosα=x.若sinα=cosα
即y=x，角α的终边落在直线y=x上.
此时α=kπ+,若sinα-cosα＞0,
即y-x＞0.
此时角α的终边落在y=x上方,反之落在y=x下方，因此角α的范围为2kπ+＜α＜2kπ+π(k∈Z).
变式提升3
试比较x,tanx,sinx的大小，x∈(0,).
解析：如右图在单位圆中，设∠AOT=x,
则AT=tanx,MP=sinx,
∵S△OAT＞S扇OAP＞S△OAP，
即OA·AT＞OA·x＞OA·MP，
整理,即AT＞x＞MP.因此tanx＞x＞sinx.
答案:tanx＞x＞sinx
1.2.1 任意角的三角函数
问题导学
一、利用定义求角的三角函数值
活动与探究1
已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为，求cos α和tan α的值．
迁移与应用
已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是( )
A．1或－1 B．或
C．1或 D．－1或
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，点的坐标含有参数时，应分类讨论．
二、三角函数值的符号问题
活动与探究2
判断下列各式的符号：
(1)sin α·tan α，其中α是第四象限角；
(2)sin 3·cos 4·tan.
迁移与应用
若sin α·cos α＜0，则α的终边在( )
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第一或第四象限 D．第二或第四象限
准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．
三、诱导公式一的应用
活动与探究3
求下列各式的值：
(1)sin 1 470°；(2)；(3).
迁移与应用
求下列各式的值：
(1)；
(2)sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°.
利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．
四、三角函数线的简单应用
活动与探究4
求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．
迁移与应用
利用三角函数线比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与.
用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下几点：
(1)熟悉角θ的正弦线、余弦线、正切线；
(2)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；
(3)注意区间是开区间还是闭区间．
当堂检测
1．有下列命题，其中正确的个数是( )
①终边相同的角的同名三角函数值相等；
②同名三角函数值相等的角也相等；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等；
④不相等的角，同名三角函数值也不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知sin α＝，cos α＝，则角α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在[0,2π]上满足sin α≥的α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．＝__________.
5．函数y＝sin x＋tan x的定义域为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)y x (2) sin α＝ R cos α＝ R tan α＝
预习交流1 提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
预习交流2 提示：记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
其含义是：第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负．
3．sin α cos α tan α 终边相同的角的同一三角函数的值相等
预习交流3 提示：不一定．如sin 30°＝sin 150°＝．
4．正弦线 余弦线 正切线
预习交流4 提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，余弦线不变；
当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，正弦线不变．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可先用正弦函数的定义，求出M点的纵坐标，再用点在圆上，求出点的横坐标，得cos α与tan α的值．
解：设点M的坐标为(x1，y1)．
由题意可知，sin α＝－，即y1＝－．
∵点M在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1，即x＋2＝1，
解得x1＝，或x1＝－．
∴cos α＝，tan α＝－1，或cos α＝－，tan α＝1．
迁移与应用 B 解析：r＝＝5|m|，∴sin α＝，
cos α＝，
∴2sin α＋cos α＝＝＝－或，故选B．
活动与探究2 思路分析：先判断角所在的象限，再根据三角函数值的象限符号判断每个式子的符号．
解：(1)∵α是第四象限角，
∴sin α＜0，tan α＜0，
∴sin α·tan α＞0．
(2)∵＜3＜π，π＜4＜，
∴sin 3＞0，cos 4＜0．
∵－＝－6π＋，
∴tan＝tan＞0，
∴sin 3·cos 4·tan＜0．
迁移与应用 D 解析：∵sin α·cos α＜0，
∴sin α与cos α异号，
∴α的终边在第二或第四象限．
活动与探究3 思路分析：利用诱导公式一转化成0～2π(或0°～360°)内的特殊角求解．
解：(1)sin 1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin 30°＝．
(2)cos＝cos＝cos＝．
(3)tan＝tan＝tan＝．
迁移与应用 解：(1)cos＋tan
＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝．
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)
＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0°
＝4．
活动与探究4 思路分析：先列出不等式约束条件，作出单位圆，然后根据各问题的约束条件用三角函数线画出角x满足条件的终边范围．
解：(1)如图．
∵2cos x－1≥0，
∴cos x≥．
∴x∈
(k∈Z)．
(2)如图．
∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜．
∴－＜sin x＜．
∴x∈∪
(k∈Z)，即x∈(k∈Z)．
迁移与应用 解：如图画出角与的正弦线、正切线，由图形观察所得：|M1P1|＞|M2P2|，|AT1|＞|AT2|，结合有向线段的方向，得M1P1＞M2P2，AT1＜AT2．
又∵=M1P1，=M2P2，=AT1，=AT2，
∴(1)＞，(2)＜．
【当堂检测】
1．B 解析：对于①，由诱导公式一可得正确；对于②，由sin 30°＝sin 150°＝，但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin 60°＝sin 120°＝，所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误．
2．B 解析：由sin α＝＞0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－＜0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．
3．B 解析：如图．
∵sin α≥，
∴在[0,2π]上，α的取值范围是．
4． 解析：原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋0＝．
5． 解析：要使函数有意义，必须使sin x与tan x有意义，
∴
∴函数的定义域为．
1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动课堂
疏导引导
同角三角函数基本关系
如图1-2-6中,以正弦线MP,余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP=1,由勾股定理有OM2+MP2=1,即x2+y2=1,所以sin2α+cos2α=1.
图1-2-6
根据三角函数的定义,当α≠kπ+(k∈Z)时,有=tanα.
疑难疏引 把sin2α+cos2α=1的两边同除以cos2α得tan2α+1=.
由=tanα变形得sinα=tanα·cosα.
活学巧用
1.已知cosα=,求sinα、tanα的值.
解析：∵cosα＜0,且cosα≠-1,
∴α是第二或第三象限角.
如果α是第二象限角,那么sinα=
tanα==×()=-.
如果α是第三象限角,那么sinα=-,tanα=.
答案：sinα=±,tanα=±.
2.已知sinαcosα=,且＜α＜,则cosα-sinα的值是________________.
解析：∵＜α＜,∴cosα-sinα＞0.
又(cosα-sinα)2=sin2α+cos2α-2sinαcosα
=1-2×,∴cosα-sinα=.
答案:
1.2.2 同角三角函数的基本关系
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x；掌握这两个基本关系的推导.
2.会用以上两个基本关系进行化简、求值和证明.
同角三角函数的基本关系
(1)关系式：
①平方关系：sin2α＋cos2α＝________.
②商关系：＝________.
(2)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的_______等于1，商等于角α的_______.
(1)对同角三角函数的基本关系的理解应注意两个方面：一是“角相同”，如与，4α与4α，5β＋与5β＋都是同一个角，要有一个整体思想；二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立.
(2)根据问题的需要，应注意用同角三角函数基本关系式的变形和逆用.比如基本关系式有如下的变形形式：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α；sin α＝tan α·cos α，cos α＝；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2.
【做一做1－1】 已知sin α＝，cos α＝，则tan α等于( )
A. B. C. D.
【做一做1－2】 sin22 011°＋cos22 011°＝________.
答案：(1)①1 ②tan α (2)平方和 正切
【做一做1－1】 D
【做一做1－2】 1
三角函数式的化简与证明方法
剖析：三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累.三角函数的证明是一种指定答案的恒等变形，与三角函数式的化简相比要简单一些.
化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式，常见的化简方法有：异次化同次、高次化低次、切化弦、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：
(1)直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
(2)综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想；
(3)中间量法：证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“若a＝c，b＝c，则a＝b”，它可由等量关系的传递性及对称性推出；
(4)分析法：即从结论出发，逐步向已知要条件，其证明过程的书写格式为“要证明……，只需……”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立.
题型一 已知cos α(或sinα)，求tan α和sin α(cos α)
【例1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
分析：先利用平方关系求出sin α的值，再利用商关系求出tan α的值.在求sin α的值时，先由余弦值为负确定角α的终边在第二或第三象限，然后分象限讨论.
反思：已知cos α(或sin α)求tan α时，先利用平方关系求出sin α(或cos α)，再利用商关系求出tan α.注意求sin α(或cos α)时，往往需分类讨论α所在的象限.
题型二 已知tan α，求sin α和cos α
【例2】 已知tan α＝3，求sin α和cos α.
分析：利用平方关系和商关系，列方程组解得sin α和cos α.
反思：已知tan α求sin α和cos α时，通常解方程组得sin α和cos α的值.
题型三 证明三角恒等式
【例3】 求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
反思：证明三角恒等式时，若左繁右简，选择从左向右推证；若左简右繁，选择从右向左推证；若两边都很繁琐，则选择两边同时化简，得到同一个式子.
题型四 已知tan α的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α＝7，求下列各式的值.
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋3cos2α.
分析：对于(1)，可以将分子和分母同时除以cos α，则分子和分母中都只含有tan α，再将tan α＝7代入；对于(2)，可将分母看成是sin2α＋cos2α，将分子和分母同时除以cos2α.
反思：1.已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值的问题时，需注意以下几点：
(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；
(2)解决此类问题的策略是先化简再求值(用tan α来表示)；
(3)因为cos α≠0，可用cosnα(n∈N*)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再将tan α的值代入，从而完成求值任务.
2.形如或的分式，分子、分母分别同时除以cos α、cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.
3.形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子.
题型五 易错辨析
易错点 忽视sin θ与cos θ的制约关系
【例5】 已知θ是第二象限的角，且sin θ＝，cos θ＝，则实数m的值是( )
A.3＜m＜9 B.－5＜m＜9
C.m＝0或m＝8 D.m＝8
错解：∵θ为第二象限角，∴
∴
∴解得3＜m＜9，故选A.
错因分析：上述解法看似合理，但其结果是错误的.如：我们在上述解法所得结果即3＜m＜9中取m＝4，则有sin θ＝＝＝，cos θ＝＝－.于是，sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝≠1，这显然是错误的，上述错误的原因是忽略了sin θ与cos θ的相互制约关系，即sin2θ＋cos2θ＝1.
反思：sin2θ＋cos2θ＝1是恒等式，往往是作为一个隐含条件，如果忽视该恒等式，那么就会出错.
答案：
【例1】 解：∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限的角．
若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－；
若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－，tan α＝＝.
【例2】 解：由题意，得
解得或
【例3】 证法一：左边＝1＋1－2sin α＋2cos α－2sin αcos α
＝1＋sin2α＋cos2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α)
＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2
＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．
证法二：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，
右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α.∴左边＝右边．
证法三：令1－sin α＝x，cos α＝y，
则(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x.
∴左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右边．
【例4】 解：(1)＝＝＝＝.
(2)sin2α＋sin αcos α＋3cos2α
＝
＝
＝＝＝.
【例5】 D 正解：∵θ是第二象限角，
∴
∴∴m＝8，故选D.
1．已知α为锐角，sin α＝，则tan α等于( )
A. B. C. D.
2．化简的结果为( )
A.cos 190° B.sin 190°
C.－sin 190° D.－cos 190°
3．化简sin2α＋sin2β－sin2αcos2β－sin2αsin2 β的结果为________.
4．(2011·上海春季高考)在 △ABC中，若tan A＝，则sin A＝________.
5．已知tan α＝2，则sin2α－sin αcos α＝________.
6．求证：.
答案：1．D ∵α为锐角，∴cos α＝＝.
∴tan α＝＝.
2．C 原式＝＝|sin 190°|＝－sin 190°.
3．sin2β 原式＝(sin2α－sin2αcos2β)＋(sin2β－sin2αsin2β)＝
sin2α(1－cos2β)＋sin2β(1－sin2α)＝sin2αsin2β＋sin2βcos2α
＝sin2β(sin2α＋cos2α)＝sin2β.
4. 因为tan A＝＞0，则∠A是锐角，则sin A＞0，解方程组得sin A＝.
5. 原式＝＝
＝＝.
6．证明：左边＝＝＝＝，右边＝＝＝.
∴左边＝右边．∴原式成立．
1.2.2 同角三角函数的基本关系
课堂导学
三点剖析
1.同角三角函数基本关系式
【例1】已知cosθ=-,求sinθ、tanθ.
思路分析：先确定θ的象限，再求与cosθ具有平方关系的sinθ的值，然后利用商数关系求出tanθ.
解：∵cosθ=-＜0,∴θ为第二、三象限角.
当θ为第二象限角时，
sinθ=,
tanθ=.
当θ为第三象限角时，sinθ=
=,tanθ=.
温馨提示
已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：
（1）角所在的象限；
（2）用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；
（3）用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tanα=代入sinα、cosα的值即可求得tanα.
2．同角三角函数基本关系的应用
【例2】 已知cosα=m(|m|≤1),求sinα、tanα的值.
思路分析：因α的范围未定，故应分类讨论.
解：（1）当m=0时，α的终边落在y轴上.若α的终边落在y轴的正半轴时，sinα=1,tanα不存在；若α角的终边落在y轴的负半轴时，sinα=-1,tanα不存在.
(2)当m=±1时，α的终边落在x轴上，此时，sinα=0,tanα=0.
(3)当|m|＜1且m≠0时.sin2α=1-cos2α=1-m2.
①当α在第一、二象限时，sinα=,从而tanα=.
②当α在第三、四象限时，sinα=-,从而tanα=.
温馨提示
(1)确定角α的范围是为了确定三角函数值的符号.若要对角的范围进行讨论，终边在坐标轴上的情况要单独讨论.
(2)此类型题目可分为三种情况.
①已知一个角的某个三角函数值，又已知角所在的象限，有一解.
②已知一个角的某个三角函数值，没告知角所在的象限有两解.
③已知角的一个三角函数值用字母表示时，α分类讨论的根据主要是按所求的那些三角函数来区分象限.
3.同角三角函数基本关系式成立的条件
【例3】 已知：sinθ=,cosθ=,其中≤θ≤π,求m的值.
错解：∵sin2θ+cos2θ=1,
∴=1.
解得m1=0,m2=8,这就是所求的m的值.
错因分析：本题对θ还有限制≤θ≤π,因此sinθ和cosθ的正负就有限制，对m的取值必然产生影响.
正解：因≤θ≤π,
则sinθ≥0,cosθ≤0.
显然，当m=0时不符合条件，故m=8.
温馨提示
（1）运用商数关系时，注意公式的适用范围;
（2）运用平方关系时，注意符号的选择.
各个击破
类题演练1
已知sinα=,α∈(0,π),则tanα的值等于（ ）
A. B. C.± D.±
解析：由sinα=,α∈(0,π),
∴cosα=±,∴tanα=±.
答案：D
变式提升1
已知3sinα-2cosα=0,求下列各式的值.
(1)
(2)sin2α-2sinαcosα+4cos2α.
(1)解：∵3sinα-2cosα=0,∴tanα=.
=.
(2)sin2α-2sinαcosα+4cos2α
=
=
类题演练2
已知5sinθ+12cosθ=0,求的值.
解：由5sinθ+12cosθ=0,得tanθ=＜0，
故θ角在第二或第四象限.
当θ在第二象限时，cosθ=;
当θ在第四象限时，cosθ=.
则原式=或.
变式提升2
已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求值（1）tanθ;（2）sinθ-cosθ;（3）sin3θ+cos3θ.
解：∵sinθ+cosθ= θ∈(0,π),平方,得
sinθcosθ=＜0,∴sinθ＞0,cosθ＜0,
∴sinθ,cosθ是方程x2-15x=0的两根.
解方程得：x1=,x2=-,
∴sinθ=,cosθ=-,
∴（1）tanθ=,（2）sinθ-cosθ=,
（3）sin3θ+cos3θ=.
类题演练3
若α为第二象限角，则tanα＜0,∴tanα=以上命题是真命题吗？
解析：同角三角函数基本关系式对定义域内的任意角都成立.α在第二象限时，sinα＞0,cosα＜0 故tanα=.
答案：不是
变式提升3
已知：tanθ=2.求证：=lg2-lgcos2θ.
证明：由于tanθ=2,∴=2.即sin2θ=4cos2θ,
∴1-cos2θ=4cos2θ,∴cos2θ=.
∴lg2-lgcos2θ=lg2-lg=lg2+lg5=1.
而
=log2()2
=log2(3++3--2)
=log22=1.∴原式成立.
1.2.2 同角三角函数的基本关系
问题导学
一、利用三角函数基本关系式求值
活动与探究1
已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
迁移与应用
已知cos α＝，α∈(π，2π)，则tan α＝( )
A． B． C． D．
同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求是一解还是两解，同时应体会方程思想的运用．
活动与探究2
已知tan α＝－2，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋cos2α.
迁移与应用
已知α是第三象限角，4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝1，则tan α＝( )
A．－1或2 B． C．1 D．2
方法一利用已知条件将sin α全部化为cos α，从而得到各式的值，可以说是运用了“减少变量”的思想．而方法二是将关于sin α，cos α的齐次式(所谓关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次)分子分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，根据已知条件再解决所求问题就简单得多．同时，要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”“1＝”等．
二、三角函数式的化简
活动与探究3
化简下列各式：
(1)；
(2)sin2αtan α＋2sin αcos α＋.
迁移与应用
已知tan θ＋＝3，求tan2θ＋(sin θ－cos θ)2＋的值．
化简三角函数式常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
三、三角恒等式的证明
活动与探究4
求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
迁移与应用
求证：.
证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左右两边都等于同一个式子；
(3)变更论证．采用左右相减、化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．
当堂检测
1．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( )
A． B． C． D．
2．已知tan α＝，则的值是( )
A． B．3 C．－ D．－3
3．若角α的终边在第二象限，则的值等于( )
A．2 B．－2 C．0 D．－2或2
4．已知α∈，tan α＝2，则cos α＝__________.
5．若sin α＝，则sin4α－cos4α＝__________.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
sin2α＋cos2α＝1 ＝tan α(cos α≠0)
预习交流 提示：除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形式：
sin2α＋cos2α＝1sin2α＝1－cos2α，
cos2α＝1－sin2α；
tan α＝sin α＝tan α·cos α；
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可由商数关系和平方关系，构建sin α，cos α的方程组求解．
解：由tan α＝＝得sin α＝cos α．①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝．
∵α在第三象限，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－．
迁移与应用 1．B 解析：∵cos α＝－＜0，α∈(π，2π)，则α∈，
∴sin α＜0．
又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝1－cos2α＝．
∴sin α＝－．∴tan α＝＝．
活动与探究2 思路分析：解答本题可结合商数关系和平方关系，将正切化为弦函数求解或将弦函数化为正切函数求解．
解：方法一：由tan α＝－2，得sin α＝－2cos α．
(1)＝＝10．
(2)sin2α＋cos2α＝
＝＝．
方法二：∵tan α＝－2，∴cos α≠0．
(1)＝
＝＝10．
(2)sin2α＋cos2α＝
＝＝．
迁移与应用 D 解析：由4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝1
可得＝1．
分子，分母同时除以cos2α，得＝1，解得tan α＝－1或tan α＝2．
又∵α是第三象限角，
∴tan α＞0．∴tan α＝2．
活动与探究3 思路分析：(1)中含有根号，运用弦函数平方关系将被开方式化为平方形式去根号；(2)观察式子中有正切，从而利用切化弦的思路进行变形．
解：(1)原式
＝
＝＝＝1．
(2)原式＝sin2α·＋2sin αcos α＋cos2α·
＝
＝＝．
迁移与应用 解：由已知得＋＝3，
∴＝3．∴sin θcos θ＝．
∴原式＝2－2＋(1－2sin θcos θ)＝32－2＋1－＝．
活动与探究4 思路分析：将右边展开，利用平方关系，提出公因式整理证明．
证明：右边＝[(1－sin α)＋cos α]2
＝(1－sin α)2＋cos2α＋2cos α(1－sin α)
＝1－2sin α＋sin2α＋cos2α＋2cos α(1－sin α)
＝2－2sin α＋2cos α(1－sin α)
＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边，
所以原式成立．
迁移与应用 证明：
左边＝
＝
＝＝＝右边，
所以原式成立．
【当堂检测】
1．B 解析：∵α是第四象限角，
∴sin α＝－＝－＝－．
2．A 解析：原式＝＝＝．
3．C 解析：∵α是第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0．
∴＋＝＋
＝－tan α＋tan α＝0．
4．－ 解析：∵α∈，tan α＝2，
∴cos α＜0，＝2．
又sin2α＋cos2α＝1，
∴5cos2α＝1，
∴cos α＝－．
5．－ 解析：sin4α－cos4α
＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－cos2α
＝sin2α－(1－sin2α)
＝2sin2α－1＝2×2－1
＝－．
1.2 任意角的三角函数
知识梳理
一、任意角的三角函数
1.定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r=＞0)，那么
sinα=,cosα=,tanα=.
2.在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.
如图1-2-1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么
图1-2-1
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y;
（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cos=x；
（3）叫做α的正切，记做 tanα，即tanα=(x≠0).
3.三角函数的定义：正弦、余弦、正切等以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称三角函数.
二、三角函数的定义域、值域
函 数
定义域
值域
y=sinα
R
［-1,1］
y=cosα
R
［-1,1］
y=tanα
{α|α≠+kπ,k∈Z}
R
三、三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知：
（1）正弦值对于第一、二象限为正（y＞0,r＞0），对于第三、四象限为负（y＜0,r＞0）；
（2）余弦值对于第一、四象限为正（x＞0,r＞0），对于第二、三象限为负（x＜0,r＞0）；
（3）正切值对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y异号）.
四、诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.
即有sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα，其中k∈Z.
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0—2π间角的三角函数值问题.
五、正弦线、余弦线、正切线
1.有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.规定：与坐标轴轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负.
2.三角函数线的定义：
在单位圆中，设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x,y）,过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点A（1，0）作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T.
图1-2-2
由图1-2-2看出：
当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y,于是有sinα=MP, cosα=OM,tanα=AT.我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线.
六、同角的三角函数的基本关系
1.平方关系：
sin2α+cos2α=1.
2.商数关系：=tanα.
知识导学
要学好本节内容，可从复习初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数入手.把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.总结方法,通过做练习,巩固所学知识.
疑难突破
1.求任意角的三角函数值时应注意的几点.
剖析：(1)以后在平面直角坐标系内研究角的问题的，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.
(2)α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值与α绕x轴转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积，其余五个符号也是这样.
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
(5)为了便于记忆，可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.
2.三角函数线的几点说明.
剖析：（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点.
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值.
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面.
1.2 任意角的三角函数
疱工巧解牛
知识?巧学
一、任意角的三角函数
1.如图1-2-2，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；叫做α的正切，记作tanα= (x≠0).像这种以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
图1-2-2
2.利用角α的终边上任意一点P的坐标来定义三角函数.
设α是一个任意角，α的终边上一点P(除端点外)的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r()，如图1-2-3所示.
图1-2-3
那么，比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=；
比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=；
比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα=；
比值叫做角α的余切，记作cotα=；
比值叫做角α的正割，记作secα=；
比值叫做角α的余割，记作cscα=.
这些函数都是以角α为自变量，以比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.
3.明确各个三角函数的记法的意义
sinα、cosα、tanα等都表示一个整体，离开自变量α的sin、cos、tan等都是没有意义的.sinα并不表示“sin”与“α”的乘积，就像函数“f(x)”不表示“f”与“x”的乘积一样，sinα是一个比值，例如sin，它表示的正弦值，即.同理，cosα、tanα的意义也是一样的.
二、三角函数的定义域
由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它的定义域的每一个值应使相应的比值有意义，即使比值的分母不等于零.设点P(x,y)，当x=0时，角α的终边落在y轴上，终边落在y轴上的角的集合是{α|α=+kπ,k∈Z}；当y=0时，角α的终边落在x轴上，终边落在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}.由三个三角函数的定义可知它们的定义域是:
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
Tanα
{α|α≠+kπ,k∈Z}
同理，角α的余切、角α的正割、角α的余割的定义域分别是:
三角函数
定义域
cotα
{α|α≠kπ,k∈Z}
secα
{α|α≠+kπ,k∈Z}
cscα
{α|α≠kπ,k∈Z}
学法一得 函数是由定义域及定义域到值域上的对应关系构成的，它的定义域是使函数有意义的自变量x的集合.三角函数的自变量的取值应使比值有意义，可以此来确定它的定义域.
三、任意角α的三角函数值与角α终边上点P的位置无关
如图1-2-4，在角α的终边上再作一点P′(x′,y′)，它与原点的距离为，分别过点P、P′作PA⊥x轴于点A，P′B⊥x轴于点B，显然△OPA∽△OP′B，则由相似三角形的性质可得，无论角α的终边落在哪个象限，都有y与y′同号，x与x′同号，所以以上三式可化为，即对于确定的角α，这三个比值(如果有意义的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变.也就是说，三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
图1-2-4
学法一得 用α的终边同单位圆的交点来定义任意角的三角函数是用角α终边上任一点来定义三角函数的特例.
四、任意角的三角函数值的符号
因为sinα=，由于r＞0恒成立，当点P(x，y)位于第一、二象限时，y＞0;位于第三、四象限时，y＜0.所以当α位于第一、二象限时，sinα＞0;当α位于第三、四象限时，sinα＜0；同理,当α位于第一、四象限时，cosα＞0;当α位于第二、三象限时，cosα＜0.当α位于第一、三象限时，tanα＞0;当α位于第二、四象限时，tanα＜0.关于这三种三角函数值在各个象限的符号可用图1-2-5记忆.
图1-2-5
记忆要诀 三角函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”.其含义是在第一象限各三角函数皆为正，在第二象限正弦为正，在第三象限正余切为正，在第四象限余弦为正.还可简记为“全、s、t、c”四字.
五、终边相同的角的同一三角函数值相等
把角α推广到一般形式，由任意角的三角函数的定义可知
sin(α+k·360°)=sinα
cos(α+k·360°)=cosα
tan(α+k·360°)=tanα,
其中k∈Z
(公式一)
这一组结论我们称之为诱导公式一，其作用在于将绝对值较大的角化小.
六、三角函数线
1.由任意角的三角函数的定义可知sinα=，cosα=，tanα=，它们是三角函数的一种代数形式，由于角α的三角函数值与点P(x，y)的位置无关，只与角α的终边位置有关，因此，可设法使点P(x，y)满足，使点P的位置位于一个特殊点，此时sinα=y，cosα=x，使三角函数值变得更简单.
2.如图1-2-6，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与角α的终边(α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T(由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT平行于y轴).
图1-2-6
则有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.它们是三角函数的一种几何表示形式，当角α的终边位于四个象限内时，三条有向线段中有两条在圆内，一条在圆外，由于它们使代数表示形式中的分母都变为了1，所以形式更加简单、形象、直观.特别地，当角α的终边落在x轴上时，正弦线、正切线变成一个点；当角α的终边落在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.
3.用字母表示有向线段时，总是把起点的字母写在前面，终点的字母写在后面，有向线段的长度表示大小，符号表示方向.规定余弦线以原点为起点，正弦线和正切线均以此线段与坐标轴的公共点为起点.同坐标轴的正方向一致的有向线段为正值，反之为负值.这样，可保证有向线段的取值同点P坐标的一致性.
学法一得 三角函数线是当点P为终边上的特殊点时的三角函数的表示形式.三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小,从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值.由此可知，三角函数线的形成反映了由一般到特殊的定义应用过程.三角函数在各象限的符号也可以根据画出的三角函数线的方向记忆.三角函数线的主要作用是解三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是学习三角函数的图象与性质的基础.
典题?热题
知识点一 求特殊角的三角函数值
例1 求下列各角的三个三角函数值.
(1)0；(2)π；(3)；(4).
思路分析：求特殊角的三角函数值的关键是确定该角与单位圆的交点坐标.
解：(1)因为当α=0时，x=1,y=0,
所以sin0=y=0,cos0=x=1,tan0=.
(2)因为α=π时，x=-1,y=0，所以sinπ=y=0，cosπ=x=-1，tanπ=.
(3)因为α=时，x=0,y=-1,
所以sin=y=-1,cos=x=0,tan不存在.
(4)如图1-2-7，在直角坐标系中，作∠AOB=,
图1-2-7
过点B作BC⊥x轴于点C，则∠BOC=,易知∠AOB的终边与单位圆的交点B(,).
所以,,.
知识点二 确定角α终边上一点的坐标，求α的各个三角函数值
例2 已知角α的终边在直线y=-3x上，用三角函数的定义求α的三个三角函数值.
思路分析：可先利用方程在角α终边上找到任意一点的坐标，再求解.
解：设点P(a,-3a)(a≠0)是角α终边上一点，
则.
当a＞0时，r=，此时sinα，cosα=，tanα=；
当a＜0时，r=，此时sinα=，cosα=，tanα=-3.
方法归纳 由于任意角α的三角函数值仅与角α的大小有关，而与角α的终边上点的坐标无关,因此，若已知角α的终边上任一异于原点的点的坐标，都可直接利用定义求值.
知识点三 化简或证明三角恒等式
例3 求证:.
思路分析：可利用任意角的三角函数的意义，将角α的三角函数用x、y、r(x2+y2=r2)表示出来，转化为证明关于x、y或x、y、r的恒等式.
证明：设点P(x,y)是角α终边与单位圆的交点(x2+y2=1)，由三角函数的定义可知sinα=y，cosα=x.
因为左边-右边=
=0.
所以原式成立.
方法归纳 三角恒等式的证明，若未给出特别说明，则认为是在两边都有意义的情况下进行的.证明恒等式常见的方法有：①比较法；②从一边开始证明它等于另一边；③证明左右两边等于同一式子；④先证明某一等式成立，再证明需要的式子成立等.
知识点四 任意角的三角函数值的符号
例4 若sin2α＞0，且cosα＜0，试确定角α所在的象限.
思路分析：先由sin2α＞0，结合任意角的三角函数的定义确定2α所在的象限，再进一步确定α所在的象限.
解：∵sin2α＞0，∴2kπ＜2α＜2kπ+π,k∈Z.
∴kπ＜α＜kπ+,k∈Z.
∴角α位于一、三象限.
又∵cosα＜0，∴α位于二、三象限或x轴的负半轴上.
综上可知，角α是第三象限角.
例5 已知角α的终边经过点P(-x,-6)，且cosα=，求tanα的值.
思路分析：可先由任意角的三角函数的定义确定x的值，再由该定义确定tanα的值.
解：∵P(-x,-6),∴，
由cosα=,得x=±.
又∵cosα=＜0，∴α位于二、三象限.
又∵-6＜0,∴α位于第三象限.
∴x=.∴tanα=.
方法归纳 根据任意角α的不同三角函数值在各个象限的符号不同，可用来确定角α所在的象限，解决与角α所在的象限有关的三角函数的求值问题.
知识点五 终边相同的角的同一三角函数值相等
例6 求值:(1)sin(-1 740°)·cos1 470°+cos(-660°)·sin750°+tan405°；
(2)sin2+tan2(-)·tan.
思路分析：利用诱导公式一，将任意角的三角函数值转化成0°到360°或0到2π内的三角函数值，再求值.
解：(1)原式=sin(60°-5×360°)·cos(30°+4×360°)+cos(60°-2×360°)·sin(30°+2×360°)+tan(45°+360°)
=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°
=2.
(2)原式=sin2(+4π)+tan2(-2π)·tan(+2π)
=sin2+tan2·tan
=.
方法归纳 任意角的三角函数的定义是锐角的三角函数定义的推广，它的函数值是一个与实数相对应的比值.该实数值的大小与点P在终边上的位置无关，仅与角α的大小有关.利用该定义，可用来确定函数的定义域、各三角函数值在不同象限的符号、化简任意角的三角函数值等，熟练掌握该定义是学好其他问题的关键.
知识点六 三角函数线
例7 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.
(1)；(2)；(3)；(4).
思路分析：作角α的三角函数线的关键是画出单位圆和角α的终边.
解：
图1-2-8
各个圆中的有向线段MP、OM、AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.
例8 在单位圆中作出适合下列条件的角α的终边.
(1)sinα=；(2)cosα=；(3)tanα=1.
思路分析：由三角函数线的定义,可知对于正弦函数sinα=，余弦函数cosα=，只需分别作直线y=，x=，它们与单位圆的交点同原点O的连线即为角α的终边；对于正切函数tanα=1，只需在过点A(1，0)的圆的切线上截取AT=1，连结OT与单位圆相交于两点，该直线即为所求.
解：(1) (2) (3)
图1-2-9
图1-2-9中的OP、OQ即为所求角α的终边.
例9 求函数的定义域.
思路分析：由于题目只给出了解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，所以它的定义域应是使这个式子有意义的实数的集合.解三角不等式时，可借助于单位圆中的三角函数线求解.
解：要使有意义，必须满足sinx≥0；要使lg(9-x2)有意义，必须满足9-x2＞0；要使分母有意义，需满足cosx＞0.所以要使函数f(x)有意义，则
(k∈Z)
(k∈Z)0≤x＜，
即函数f(x)的定义域是x∈［0，］.
方法归纳 三角函数线是三角函数的一种几何表示形式.若已知角α的大小，则它的三角函数的大小可用它的三角函数线表示出来；反过来，若已知角α的三角函数值的大小，则可找到角α的终边.利用三角函数线可以解简单的三角不等式、求定义域、比较函数值的大小，同时它也是学习三角函数的图象与性质的基础.
问题?探究
交流讨论探究
问题 若角α是锐角，则α、sinα、tanα的大小关系是怎样的？
探究过程：学生甲：三角函数线是单位圆中的有向线段，利用它们可以比较三角函数值的大小，利用这种方法可以比较sinα和tanα的大小关系，如图1-2-10(1)，角α的正弦线MP和正切线AT的方向均与y轴的正向相同，则AT的长度大于MP的长度，则应有sinα＜tanα.
(1)
学生乙：只利用三角函数线不能比较α和sinα的大小关系，但我可以构造一个三角形和一个扇形，利用它们的面积来比较α、sinα的大小，如图1-2-10(2)，扇形OAP的面积大于△OAP的面积，且S△OAP=OA·MP=MP=sinα，S扇形OAP=OA·=α.所以应有sinα＜α，即sinα＜α.再结合同学甲的结论，则应有sinα＜α＜tanα.
(2)
学生丙：受同学乙的启发，我可以比较α和tanα的大小，如图1-2-10(3)，在图中，扇形OAP的面积小于Rt△OAT的面积，且S扇形OAP=OA·=α,S△OAT=OA·AT=AT=tanα,则有α＜tanα,即α＜tanα.
(3)图1-2-10
探究结论：若角α是锐角，则α、sinα、tanα的大小关系是sinα＜α＜tanα.
思想方法探究
问题1 单位圆与三角函数线是三角函数值的直观表示，它在证明三角函数问题中有什么作用？
探究过程：利用单位圆和三角函数线可以将问题中各量用它的几何形式直观表示出来，然后再通过图形分析即可解决问题.如三角中常见的不等式tanα＞α＞sinα(0＜α＜)，就可以利用单位圆与三角函数线非常方便地证明.
探究结论：利用三角函数线，数形结合，使问题得以简化.这个不等式既不是单纯的三角不等式，又不是单纯的代数不等式，而是“混合型”的不等式，证明的方法使用了面积关系，证题的基础是弧度制与三角函数线.由此，三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具.
问题2 三角函数的化简与证明是三角部分的重要问题，那么三角函数的化简与证明有哪些常用方法？应当注意些什么问题？
探究过程：三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求学生熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在学习时要注意进行及时的总结.
①化简三角函数时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名角等.其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等.
②化简一定要尽量化为最简形式.例如最后被化简为cos80°，如果只化到cos440°，则不能认为这是最后结果；另外由于80°不是特殊角，一般无需求出其余弦值.
探究结论：证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：
(1)从不等式的一边开始证得它的另一边，一般从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
(2)综合法，由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想，即“a=b等价于c=d，所以a=b成立的充要条件是c=d成立”；
(3)中间法，证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a=c,b=c，则a=b”，它可由关系的传递性及对称性推出；
(4)分析法
例如：求证.
证明：要使原等式成立，只需cosα·cosα=(1+sinα)(1-sinα)成立，
即cos2α=1-sin2α，由基本公式知上式显然成立，所以原等式成立.
以上推理过程可简写成为下列格式：
原式成立cosα·cosα=(1+sinα)(1-sinα)cos2α=1-sin2α，由于上式显然成立，所以原等式成立.
在运用分析法时，推理过程必须写正确，如“只需”的词语或者“”的符号是不能省略的，如果写成下面的形式，则是错误的：,cosα·cosα=(1+sinα)(1-sinα)，
cos2α=1-sin2α,sin2α+cos2α=1，所以成立.
1.2 任意角的三角函数（第1课时）
课堂探究
探究一任意角的三角函数定义
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．
方法二：第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)；
第二步，计算r：r＝|OP|＝；
第三步，求值：由sin α＝，cos α＝，tan α＝ (x≠0)求值．
在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．
【典型例题1】 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为(y<0)，则sin αtan α＝__________.
(2)已知角α的终边上一点坐标为(－3，a)，且α为第二象限角，cos α＝－，则sin α＝__________.
思路分析：(1)利用单位圆求y，再利用定义求值．
(2)先由cos α＝－和位置条件求出a，再得sin α的值．
解析：(1)∵点P在单位圆上，
∴2＋y2＝1.∴y2＝.
又∵y<0，∴y＝－，
∴sin α＝－，tan α＝＝.∴sin αtan α＝－.
(2)∵角α的终边上一点坐标为(－3，a)，且α为第二象限角，
∴a>0.
又∵cos α＝－，∴＝－，解得a＝4.
∴sin α＝.
答案：(1)－ (2)
探究二三角函数值在各象限的符号
判断给定角的三角函数值正负的步骤：
(1)先确定α的终边所在的象限；(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断．
【典型例题2】 若sin θcos θ>0，则θ的终边在( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限
解析：∵sin θcos θ>0，∴或
当sin θ>0，cos θ>0时，θ的终边在第一象限；
当sin θ<0，cos θ<0时，θ的终边在第三象限．
综上，θ的终边在第一或第三象限．
答案：B
【典型例题3】 判断下列各式的符号：
(1)tan 120°·sin 269°；(2)cos 4·tan.
解：(1)∵120°是第二象限角，∴tan 120°<0.
∵269°是第三象限角，∴sin 269°<0.
∴tan 120°·sin 269°>0.
(2)∵π<4<，∴4弧度角是第三象限角，
∴cos 4<0.∵－＝－6π＋，
∴－是第一象限角，∴tan>0.
∴cos 4·tan<0.
探究三 诱导公式一的应用
解答此类题目的方法是先把已知角借助于终边相同的角化归到[0,2π)之间，然后利用诱导公式一化简求值．若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．在问题的解答过程中重在体现数学上的化归(转化)思想．
【典型例题4】 求下列各式的值：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－(a－b)2tan 765°－2abcos(－1 080°)；
(2)sin＋costan.
解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－(a－b)2tan(2×360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin 90°＋b2tan 45°－(a－b)2tan 45°－2abcos 0°＝a2＋b2－(a－b)2－2ab＝0.
(2)原式＝sin＋cos·
tan＝sin ＋cos tan ＝＋×1＝1.
探究四易错辨析
易错点：当角的终边在一条直线上，求角的三角函数值时，考虑不全面而丢解
【典型例题5】 已知角α的终边在直线y＝－x上，求sin α＋cos α的值．
错解：在直线y＝－x上任取一点P(1，－)，即x＝1，y＝－，则r＝＝2，
∴由三角函数的定义得sin α＝＝－，cos α＝＝.
∴sin α＋cos α＝－＋＝.
错因分析：角的终边在一条直线上，直线相当于从原点出发的两条射线，在解题时要注意讨论．
正解：∵角α的终边在直线y＝－x上，∴角α为第二象限或第四象限的角．
当α为第二象限角时，在终边上任取一点P1(－1，)，
则|OP1|＝r＝2，
由三角函数定义得sin α＝＝，cos α＝＝－，
∴sin α＋cos α＝.
当α为第四象限角时，在终边上任取一点P2(1，－)，则|OP2|＝r＝2，
由三角函数定义得sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴sin α＋cos α＝.
综上所述：sin α＋cos α＝±.
点评(1)已知角的终边位置求三角函数值时，要注意观察角的终边在射线上还是在直线上；(2)已知角终边上一点坐标含有参数时，利用三角函数定义求解时，要注意对参数进行分类讨论．
1.2 任意角的三角函数（第1课时）
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课程目标
学习脉络
1.借助于单位圆，理解三角函数的定义．
2．会判断给定角的三角函数值的符号．
3．会利用公式一把任意角的三角函数值转化为[0,2π)范围内的角的三角函数值.
1．任意角的三角函数
(1)单位圆：在直角坐标系中，称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
(2)三角函数的定义：如图所示，α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以α的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系．
设P(x，y)是α的终边与单位圆的交点．
①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0)．
(3)三角函数定义域如下表所示，
三角函数
解析式
定义域
正弦函数
y＝sin x
R
余弦函数
y＝cos x
R
正切函数
y＝tan x
思考1 若P(x，y)(除原点外)为角α终边上任意一点的坐标，则角α的三角函数如何确定？
提示：设点P(x，y)到原点(0,0)的距离为r，则r＝，则sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝(x≠0)．
2．三角函数值的符号
sin α，cos α，tan α在各个象限的符号如下：
思考2三角函数在各象限的符号是如何确定的？
提示：由三角函数的定义知，三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．
3．诱导公式一
(1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等．
(2)式子表示： (k∈Z)．
思考3诱导公式一的实质是什么？有什么作用？
提示：诱导公式一实质上是终边相同的角的三角函数值相等，它的作用是把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．由公式，可知三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．
1.2 任意角的三角函数（第2课时）
课堂探究
探究一 任意角的三角函数线
三角函数线的作法步骤
(1)作直角坐标系和角的终边．
(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.
(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.
(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.
(5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线、余弦线和正切线．
【典型例题1】 角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相反，那么α的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
思路分析：画出相应的三角函数线，再判断．
解析：由图可知，，的正弦线、余弦线长度相等、符号相同；，的正弦线、余弦线长度相等、符号相反．
答案：D
探究二利用三角函数线解简单不等式
解答这类题目，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．
【典型例题2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥； (2)cos α≤－.
思路分析：作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．
解：(1)如图①所示，作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
.
①
②
(2)如图②所示，作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
探究三 利用三角函数线比较三角函数值的大小
利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．
(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．
【典型例题3】 下列关系正确的是( )
A．sin 10°C．sin 10°思路分析：在单位圆中作相应的正弦线、余弦线，再比较大小．
解析：在单位圆中，20°，10°的角的终边分别与单位圆交于P1，P2点，过P1，P2作x轴的垂线交x轴于M1，M2，则20°角的正弦线、余弦线分别为M1P1，OM1,10°角的正弦线、余弦线分别为M2P2，OM2，而|OM2|>|OM1|>|M1P1|>|M2P2|，
∴cos 10°>cos 20°>sin 20°>sin 10°，故选C.
答案：C
1.2 任意角的三角函数（第2课时）
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课程目标
学习脉络
1.了解三角函数线的定义和意义．
2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
3．会利用三角函数线比较三角函数值的大小，会解简单的三角不等式.
三角函数线
(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．
(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．
过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T，这样就有sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．
思考1三角函数线的方向如何确定？
提示：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与α的终边(或反向延长线)的交点．
思考2三角函数线的意义是什么？
提示：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
思考3当角α的终边与x轴重合或与y轴重合时，三角函数线的情况如何？
提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．
1.2 任意角的三角函数（第3课时）
课堂探究
探究一利用同角三角函数关系求值
1．根据已知角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值(可简称“知一求二”)时，是运用方程(组)对两个公式最基本的应用，要注意这个角所在的象限．一般涉及开方运算时，要分类讨论所求值的正负．
2．若已知tan α＝m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos2α)转化为tan α的代数式，再求值．
3．形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以cos2α再求解．
【典型例题1】 已知cos θ＝，则当θ为第四象限角时，tan θ＝__________.
解析：∵cos θ＝，θ为第四象限角，
∴sin θ＝－＝－＝－.
∴tan θ＝＝－.
答案：－
【典型例题2】 已知tan θ＝2，且cos θ<0.
求：(1)cos θ，sin θ；
(2) .
解：(1)∵tan θ＝2，
∴＝2.①
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，②
∴由①②解得或
∵cos θ<0，∴sin θ＝－，cos θ＝－.
(2)法一：＝＝＝＝.
法二：∵tan θ＝2，∴＝2.∴sin θ＝2cos θ.
∴＝＝.
探究二 化简三角函数式
三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
【典型例题3】 化简下列各式：
(1) ；
(2) ＋，其中sin αtan α<0.
思路分析：把二次根式中的被开方式化为完全平方式．
解：(1) ＝
＝＝＝－1.
(2)由于sin αtan α<0，则sin α，tan α异号，
∴α是第二、三象限角，∴cos α<0.
∴＋＝＋＝＋
＝＝－.
探究三 证明三角恒等式
证明三角恒等式的常用方法
证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
(2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
(5)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等．
【典型例题4】 求证：＝.
证明：左边＝
＝＝，
右边＝＝，
∴左边＝右边，即原等式成立．
探究四 易错辨析
易错点：忽视角的取值范围
【典型例题5】 已知sin α＋cos α＝，0<α<π，求sin α－cos α.
错解：∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝±.
错因分析：上述解法错在没有挖掘题设条件中隐含的限制条件，即没有根据条件判定sin α与cos α的符号，对α的取值范围进一步缩小．
正解：∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝.
∴2sin αcos α＝－<0.
又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.
又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α
＝1－＝，
∴sin α－cos α＝.
点评在利用sin θ±cos θ，sin θcos θ之间的关系解题时，往往易忽略角的取值范围造成增根或丢根，在已知sin θcos θ的值，求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时，需开方，因此要由角的范围确定取“＋”还是“－”．
1.2 任意角的三角函数（第3课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解同角三角函数的基本关系式．
2．能正确运用基本关系式进行化简、求值与证明.
同角三角函数的基本关系
思考1 如何理解“同角三角函数的基本关系”中的“同角”？
提示：“同角”包含两层含义：一是角相同，如sin2α＋cos2β＝1不一定成立；二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1，sin23α＋cos23α＝1等．
思考2同角三角函数的基本关系式有哪些变形形式？
提示：除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形式：
sin2α＋cos2α＝1?sin2α＝1－cos2α，
cos2α＝1－sin2α；
tan α＝?sin α＝tan α·cos α；
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin_αcos_α，
(sin α－cos α)2＝1－2sin_αcos_α.
