1.1.1
任意角
课堂导学
三点剖析
1.任意角的概念和象限角的概念
【例1】
若α是第四象限角，那么是第几象限角？
思路分析：运用直角坐标系内角的表示及不等式性质，先用不等式把第四象限的角表示出来，然后再确定的范围.
解：∵α是第四象限角.
∴270°+k·360°＜α＜360°+k·360°（k∈Z）,则有，
135°+k·180°＜＜180°+k·180°(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时，135°+n·360°＜＜180°+n·360°,
∴是第二象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时
315°+n·360°＜＜360°+n·360°，
∴是第四象限角.
综上所述，是第二或第四象限角.
温馨提示
准确表示第四象限角，再分k为奇数、偶数两种情况讨论.不要认为α为第四象限角,是第二象限角.类似地，、都应分k为奇数，偶数讨论.
2.把终边相同的角用集合和符号语言正确表示
【例2】
用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.
思路分析：运用两角关系及终边相同角解决.
解：（1）从图①中看出，图中两个角的终边在一条直线上.
在0°—360°范围内，且另一个角为225°，故所求集合为：
S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.
={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+180°+2k·180°,k∈Z}.
={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+（2k+1）·180°,k∈Z}.
={β|β=45°+n·180°，n∈Z}
(2)从图②中看出，图中两个角的终边关于x轴对称，故所求集合为：
S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}.
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+360°+k·360°,k∈Z}.
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（k+1）·360°,k∈Z}.
={β|β=±30°+n·360°，n∈Z}.
(3)从图③中看出，图中两个角的终边关于y轴对称，故所求集合为：
S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=150°+k·360°,k∈Z}.
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+180°+2k·180°,k∈Z}.
={β|β=30°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（2k+1）·180°,k∈Z}.
={β|β=（-1）n·30°+n·180°，n∈Z}.
3.任意角的概念
【例3】设集合M={小于90°的角}，N={第一象限的角}，则M∩N等于(
)
A.{锐角}
B.{小于90°的角}
C.{第一象限角}
D.以上均不对
解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.
而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.
M∩N由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.
温馨提示
（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.
（2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意.
各个击破
类题演练1
如果α是第三象限角，那么的终边落在何处？
解：因为α是第三象限角，
所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z.
所以·360°+90°＜＜·360°+135°,k∈Z.
当k为奇数时，令k=2n+1，n∈Z,
则n·360°+270°＜＜n·360°+315°，n∈Z,故是第四象限角；
当k为偶数时，令k=2n,n∈Z,
则n·360°+90°＜＜n·360°+135°，n∈Z,所以是第二象限角.
综上可知，是第二或第四象限角.
其终边分别落在第Ⅱ、Ⅳ象限.
变式提升1
若α是第二象限角，是第几象限角？
解：因为α是第二象限角，则有：
k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z，所以k·120°+30°＜＜k·120°+60°，k∈Z.
当k=3m(m∈Z)时，m·360°+30°＜＜m·360°+60°，m∈Z,所以是第一象限角.
当k=3m+1(m∈Z)时，m·360°+150°＜＜m·360°+180°，m∈Z,所以是第二象限角.
当k=3m+2(m∈Z)时，m·360°+270°＜＜m·360°+300°，m∈Z,所以是第四象限角.
因此是第一、二、四象限角.
类题演练2
已知α=1
690°，
（1）把α改写成β+k·360°（k∈Z,0°≤β＜360°）的形式；
（2）求θ,使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°,并判断θ属于第几象限.
解：（1）α=250°+4·360°（k=4,β=250°）.
(2)∵θ与α终边相同，
∴θ角可写成250°+k·360°.
又∵-360°＜θ＜360°,
∴-360°＜250°+k·360°＜360°，k∈Z.
解得k=-1或0.
∴θ=-110°或250°,
∴θ是第三象限角.
变式提升2
（1）与-457°角终边相同角的集合是（
）
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
解法1：∵-457°=-2×360°+263°,∴应选C.
解法2：∵-457°角与-97°角终边相同，
又-97°角与263°角终边相同，
又263°角与k·360°+263°角终边相同，
∴应选C.
答案：C
（2）已知角α、β的终边相同，那么α-β的终边在（
）
A.x轴的非负半轴上
B.y轴的非负半轴上
C.x轴的非正半轴上
D.y轴的非正半轴上
解析：∵角α、β终边相同，
∴α=k·360°+β,k∈Z,
作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k∈Z.
∴α-β的终边在x轴的非负半轴上.
答案：A
类题演练3
用集合表示下列各角：“0°到90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”“0°—90°的角”.
解：0°到90°的角的集合为{α|0°≤α＜90°}
第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}
锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}
小于90°的角的集合为{α|α＜90°}
0°—90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°}
变式提升3
下列命题中，正确的是（
）
A.终边相同的角一定相等
B.锐角都是第一象限角
C.第一象限的角都是锐角
D.小于90°的角都是锐角
解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90°的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B.
答案：B1.1
任意角和弧度制（第2课时）
课堂探究
探究一弧度制的概念
角度制和弧度制的比较：
(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的的角，大小显然不同．
(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．
【典型例题1】
下列各种说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1
rad的角是周角的
C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π
rad的角
D．利用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径长短有关
解析：A，B，C正确，D中角的大小只与弧长与半径的比值有关，与圆半径无关．
答案：D
探究二角度制与弧度制的转化
角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π
rad＝180°是关键．
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数．
(3)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数．
【典型例题2】
(1)－405°化为弧度是__________；
(2)
化为角度数是__________；
(3)已知α＝－1
480°，则在[0,2π)内与α终边相同的角为__________．
解析：(1)－405°＝－405×＝－；
(2)
＝×°＝660°；
(3)∵α＝－1
480°＝－5×360°＋320°，
∴在[0°，360°)内与α终边相同的角为320°，而320°＝.
∴在[0,2π)内与α终边相同的角为.
答案：(1)－ (2)660° (3)
探究三扇形的弧长与面积的计算
1．扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积S，弧长l，圆心角α，半径r，已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得)，已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得)．
2．在研究有关扇形的相关量的最值时，往往转化为二次函数的最值问题．
【典型例题3】
已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为__________．
解析：∵S＝lr，l＝|α|r，∴S＝|α|r2，
∴由已知得＝×r2，解得r＝2.
答案：2
【典型例题4】
已知一扇形的周长为8
cm，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面积．
思路分析：先用半径r表示弧长，再根据公式S＝lr建立S与r之间的函数关系，利用二次函数求最大值．
解：设扇形的半径为r，弧长为l，
则2r＋l＝8，∴l＝8－2r，
∴S＝lr＝
(8－2r)r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4.
∵0cm时，Smax＝4
cm2.
此时l＝4
cm，α＝2
rad，
∴当半径长为2
cm，圆心角为2
rad时，扇形的面积最大为4
cm2.
探究四易错辨析
易错点：对含有kπ形式的角理解不到位
【典型例题5】
已知＋2kπ<α<＋2kπ，2kπ<β<＋2kπ，其中k∈Z，求α＋β的取值范围．
错解：由已知两式左右分别相加，可得＋4kπ<α＋β<π＋4kπ，k∈Z.
错因分析：错解错误的原因是对终边相同的区间角理解不到位，误以为两式中的k表示相同的整数．由于两式所表示的角是k分别取整数值时所对应的无数个区间角的并集，故两式中的k不一定相等，可用k1，k2替换加以区别，然后利用不等式的性质进行求解．
正解：∵＋2k1π<α<＋2k1π，k1∈Z，
2k2π<β<＋2k2π，k2∈Z，
∴＋2(k1＋k2)π<α＋β<π＋2(k1＋k2)π.
又∵k1，k2∈Z，
∴存在整数k，使得k＝k1＋k2，
∴＋2kπ<α＋β<π＋2kπ，k∈Z.1.1.2 弧度制
问题导学
一、弧度制的概念
活动与探究1
下面各命题中，是假命题的为__________．
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；③根据弧度的定义，180°一定等于π弧度；④不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与所在圆的半径长短有关．
迁移与应用
圆弧长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A． B． C． D．2
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．
二、弧度制与角度制的换算
活动与探究2
设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在[－360°，360°)内找出与它们终边相同的所有的角．
迁移与应用
(1)把－1
480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β．
1．在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π
rad＝180°是关键．由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应熟记．
三、扇形的弧长与面积公式的应用
活动与探究3
若扇形OAB的面积是1
cm2，它的周长是4
cm，求扇形圆心角的弧度数．
迁移与应用
1．在圆心角均为1弧度的若干个圆中，下列结论正确的是( )
A．所对的弧长相等
B．所对的弦长相等
C．所对的弧长等于各自圆的半径
D．所对的弦长等于各自圆的半径
2．如下图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
1．明确弧度制下扇形的面积公式是(其中l是扇形弧长，α是扇形圆心角)．
2．涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
当堂检测
1．若α＝5
rad，则角α的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．终边在y轴的非负半轴上的角的集合是( )
A．{α|α＝kπ，k∈Z}
B．
C．{α|α＝2kπ，k∈Z}
D．
3．圆弧长度等于其圆内接正四边形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A．
B．
C．
D．2
4．化成角度为__________．
5．在直径为20
cm的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1) (2)半径长 圆心角 弧度制 弧度
(3)正数 负数 0
预习交流1 提示：根据1弧度角的定义，圆周长是2π个半径，所以圆周角是2π弧度，所以1弧度角就是圆周角，与圆的大小即半径无关．
2．2π
rad 360° π
rad 180° rad °
预习交流2 提示：不正确．在表示角时，角度与弧度不能混合使用．一般情况下，“弧度”二字或“rad”可省略不写．
5．αR l＋2R lR αR2
预习交流3 提示：扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：正确理解“角度”与“弧度”的概念，从而进行正确的判断．
④ 解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与所在圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以④是假命题．
迁移与应用 C 解析：设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，
所以圆心角的弧度数为＝．
活动与探究2 思路分析：首先利用1°＝
rad可将角度化成弧度，利用1
rad＝°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出α1，α2终边所在的象限，与β1，β2终边相同且在[－360°，360°)内的角．
解：(1)∵1°＝
rad，
∴α1＝510°＝510×＝π＝2π＋π；
α2＝－750°＝－750×＝－π＝－3×2π＋π．
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．
(2)β1＝π＝×°＝144°．
设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．
∵－360°≤θ1＜360°，
∴－360°≤k·360°＋144°＜360°．
∴k＝－1或k＝0．
∴在[－360°，360°)内与β1终边相同的角是－216°角．
β2＝－π＝－×°＝－330°．
设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．
∵－360°≤θ2＜360°，
∴－360°≤k·360°－330°＜360°．
∴k＝0或k＝1．
∴在[－360°，360°)内与β2终边相同的角是30°角．
迁移与应用 解：(1)∵－1
480°＝－π＝－8π－π＝－10π＋π，
又∵0≤π＜2π，
故－1
480°＝π－2×5π．
(2)∵β与α终边相同，
∴β＝α＋2kπ＝π＋2kπ，k∈Z．
又∵β∈[－4π，0]，
∴β1＝π－2π＝－，β2＝π－4π＝－π．
活动与探究3 思路分析：确定扇形的条件有两个，最直接的条件是给出扇形的半径、弧长和圆心角中的两个．
解：设扇形的半径为R，弧长为l，由已知得
解得
∴扇形圆心角的弧度数是＝2．
迁移与应用 1．C 解析：∵l＝θR，θ＝1，∴l＝R，故选C．
2．解：S扇形AOB＝×π×62＝12π，
S△AOB＝×62×sin
120°＝9，
∴S弓形ACB＝S扇形AOB－S△AOB＝12π－9．
【当堂检测】
1．D
2．D 解析：A选项表示的角的终边在x轴上；B选项表示的角的终边在y轴上；C选项表示的角的终边在x轴非负半轴上；D选项表示的角的终边在y轴非负半轴上，故选D．
3．C 4.72°
5．
cm 解析：150°＝150×＝，
∴l＝×10＝(cm)．1.1.1 任意角
1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念.
2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.
3.理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题.
1.角
(1)定义：平面内一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角，所旋转射线的端点叫做角的 ，开始位置的射线叫做角的 ，终止位置的射线叫做角的 .如图所示.
(2)分类：如下表.
任意角
定义
正角
按 时针方向旋转形成的角
负角
按 时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何 形成的角
(3)记法：用一个希腊字母表示，如α，β，γ，…；也可用3个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”)，其中中间字母表示角的顶点，如∠AOB，∠DEF，….
(1)确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转量；(2)零角的始边和终边重合，但始边和终边重合的角不一定是零角，如周角等；(3)角的范围由0°～360°推广到任意角后，角的加减运算类似于实数的加减运算；(4)画图表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负.
【做一做1】
将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为( )
A.120°
B.－120°
C.60°
D.240°
2.象限角
使角的顶点与 重合，角的始边与 轴的非负半轴重合.那么，角的 (除原点外)在第几象限，就说这个角是第几 ，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与 重合.
如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.
【做一做2】
－30°是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
3.终边相同的角
(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)终边相同角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝ ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：
(1)式中角α为任意角；
(2)k∈Z这一条件必不可少；
(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；
(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z).反之亦然.
【做一做3－1】
与95°角终边相同的角是( )
A.－5°
B.85°
C.395°
D.－265°
【做一做3－2】
与210°角的终边相同的角连同210°角在内组成的角的集合是________.
答案：1．(1)端点 顶点 始边 终边 (2)逆 顺 旋转
【做一做1】
A
2．原点 x 终边 象限角 坐标轴
【做一做2】
D
3．(2)α＋k·360°
【做一做3－1】
D
【做一做3－2】
{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}
1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
剖析：(1)象限角：
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限角
{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限角
{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}
第四象限角
{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}
(2)轴线角：
角的终边的位置
集合表示
终边落在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
2.α，β的终边相同，但是α与β不一定相等
剖析：若α，β的终边相同，则它们的关系为：将角α终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得β，所以α，β的数量关系为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即α，β的大小相差360°的整数k倍，所以α与β不一定相等.
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
3.锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角的区别
剖析：(1)锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角的范围，如下表所示.
角
集合表示
锐角
{α|0°＜α＜90°}
0°～90°的角
{α|0°≤α＜90°}
小于90°的角
{α|α＜90°}
第一象限角
{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}
(2)锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角的关系用Venn图表示，如图所示.
由(1)(2)可知锐角是0°～90°的角，是小于90°的角，是第一象限角；0°～90°的角是小于90°的角，不一定是第一象限角；小于90°的角不一定是第一角限角，第一象限角不一定是小于90°的角、锐角、0°～90°的角.例如390°是第一象限角，但390°不是小于90°的角、锐角或0°～90°的角.
题型一
在坐标系中画出任意角
【例1】
在坐标系中画出下列各角：
(1)210°；(2)－230°.
分析：先确定旋转的方向，再确定旋转量.
反思：在坐标系中画出任意角α：(1)当α＞0°时，将x轴的非负半轴绕原点按逆时针方向旋转α；(2)当α＜0°时，将x轴的非负半轴绕原点按顺时针方向旋转|α|；(3)当α＝0°时，将x轴的非负半轴绕原点不作任何旋转.
题型二
判断象限角
【例2】
在0°～360°之间，求出一个与下列各角终边相同的角，并判断下列各角是哪个象限的角.
(1)908°28′；(2)－734°.
反思：判断角α的终边所在位置的步骤是：(1)当0°≤α＜360°时，依据下表来判断.
α的范围
α终边的位置
0°
x轴非负半轴
0°＜α＜90°
第一象限
90°
y轴非负半轴
90°＜α＜180°
第二象限
180°
x轴非正半轴
180°＜α＜270°
第三象限
270°
y轴非正半轴
270°＜α＜360°
第四象限
(2)当α＜0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)，转化为判断β终边所在的位置.
题型三
终边相同的角的表示
【例3】
若角α的终边在函数y＝－x的图象上，试写出角α的集合.
分析：(思路一)函数y＝－x的图象是第二、四象限的平分线，可以先在0°～360°范围内找出满足条件的角，进一步写出满足条件的所有角，并注意化简.
(思路二)结合图形，α与135°相差180°的整数倍，由此写出集合.
反思：写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法：一是分别写出每条终边所代表的角的集合，再取并集；二是在其中一条终边上找出一个角，然后再加上180°的整数倍.
答案：
【例1】
解：在坐标系中画出各角如图所示．
【例2】
解：(1)908°28′＝188°28′＋2×360°，则188°28′即为所求角，因为188°28′是第三象限角，故908°28′也是第三象限角；
(2)－734°＝346°－3×360°，则346°即为所求角，因为346°是第四象限角，故－734°也是第四象限角．
【例3】
解法一：由于y＝－x的图象是第二、四象限的平分线，故在0°～360°范围内所对应的两个角分别为135°及315°，从而角α的集合为S＝{α|α＝k·360°＋135°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°或α＝(2k＋1)·180°＋135°，R∈Z}，
∴S＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
解法二：如图所示．
∵角α的终边在函数y＝－x的图象上，∴角α的集合为S＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
1．－215°是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2．在－360°～720°之间，与－367°角终边相同的角是 .
3．若角α的终边在函数y＝x的图象上，则角α组成的集合为S＝________.
4．在坐标系中画出下列各角：
(1)－180°；(2)1
070°.
5．已知α＝－1
910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
答案：1．B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
2．－7°，353°，713° 与－367°角终边相同的角可表示为α＝k·360°－367°，k∈Z.当k＝1,2,3时，α＝－7°，353°，713°，这三个角都是符合条件的角．
3．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
4．解：在坐标系中画出各角如图所示，
5．解：(1)∵－1
910°＝－6×360°＋250°，
∴β＝250°，即α＝250°－6×360°.
又250°是第三象限角，∴α是第三象限角．
(2)θ＝250°＋k·360°(k∈Z)．
∵－720°≤θ＜0°，∴－720°≤250°＋k·360°＜0°，
解得≤k＜，∴k＝－1或k＝－2.
∴θ＝250°－360°＝－110°，
或θ＝250°－2×360°＝－470°.1.1.2
弧度制
课堂导学
三点剖析
1.理解弧度的意义，角度与弧度的换算
【例1】设角α1=-570°，=750°，β1=35π弧度，β2=弧度.
（1）将α1，用弧度表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2）将β1、β2用角度制表示出来，并在-720°—0°之间找出与它们有相同终边的所有角.
思路分析：涉及到角度与弧度的互化关系和终边相同的角的概念，其基本公式360°=2π弧度在解题中起关键作用.
解：(1)∵180°=π弧度,
∴-570°=-.
∴α1=-2×2π+π,
同理=2×2π+,
∴α1在第二象限，在第一象限.
（2）∵×180°=108°,
设θ=k·360°+β1(k∈Z),
由-720°≤θ＜0°,
∴-720°≤k·360°+108°＜0°,
∴k=-2或k=-1，
∴在-720°—0°之间与β1有相同终边的角是-612°和-252°.
同理
β2=-360°-60°=-420°，且在-720°—0°间与β2有相同的终边的角是-420°和-60°.
温馨提示
迅速进行角度与弧度的互化，准确判明角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功.若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常可象上例一样化为解不等式去求对应的k值.
2.弧度制的概念及与角度的关系
【例2】一条弦的长度等于半径r,求：(1)这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.
思路分析：由已知可知圆心角的大小为，然后用公式求解.
解：（1）如下图所示，半径为r的⊙O中弦AB=r,则△OAB为等边三角形，所以∠AOB=，则弦AB所对的劣弧长为r.
(2)∵S△AOB=×|AB|×|OD|=×r×
S扇形OAB=lr=××r=
∴S弓形=S扇形OAB-S△AOB=r2-=(-)r2.
3.弧度制表示角及终边相同的角
【例3】
集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则有（
）
A.M=N
B.MN
C.MN
D.M∩N=
思路分析：本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合M、N所表示的角的终边的位置.
解：对集合M中的整数k依次取0,1,2,3,得角,,,.于是集合M中的角与上面4个角的终边相同，如图（1）所示.同理，集合N中的角与0,,,,π,,,,2π角的终边相同，如下图（2）所示.
故MN.∴选C.
答案：C
温馨提示
在今后表示角时，常常使用弧度制.但要注意，弧度制与角度制不能混用，例如α=2kπ+30°(k∈Z),β=k·360°+（k∈Z）都不正确.
各个击破
类题演练1
（1）把112°30′化成弧度（精确到0.001）；
（2）把112°30′化成弧度（用π表示）；
（3）把-化成度.
解：(1)①n=112°30′,π=3.141
6;
②n==112.5
③α=≈0.017
5
④α=na=1.968
75
α≈1.969
rad
(2)112°30′=(2252)°=2252×=
(3)-=-(×)°=-75°
变式提升1
判断下列各角所在的象限:
（1）9；（2）-4；（3）.
解：（1）因为9=2π+(9-2π),而＜9-2π＜π，所以9为第二象限角.
(2)因为-4=-2π+（2π-4），而＜2π-4＜π,所以-4为第二象限角.
(3)
=-200×2π+π5,所以为第一象限角.
温馨提示
(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求，保留π即可，不必将π化成小数.(3)判断α所在的象限时，一般是把α表示成α=2kπ+α′,k∈Z,α′∈［0,2π)的形式，根据α和α′角终边相同作出判断.
类题演练2
一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？
解：设扇形的圆心角是θ弧度，则扇形的弧长是rθ，扇形的周长是2r+rθ.
由题意可知2r+rθ=πr.
∴θ=π-2（弧度）.
扇形的面积为S=r2θ=r2(π-2).
变式提升2
一扇形周长为20
cm，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
解：设扇形中心角为θ，半径为r，则
2r+θr=20,θ=.
S扇形=θr2
=12··r2
=(10-r)r=10r-r2.
当r=
=5时，S扇形最大=25，此时θ=2.
答：扇形的半径为5
cm，圆心角为2
rad时，扇形面积最大，最大值为25
cm2.
类题演练3
已知α角的终边与的终边相同，在［0，2π）内哪些角的终边与角的终边相同？
解：∵α角的终边与的终边相同，
∴α=2kπ+(k∈Z).
∴=2k+π9(k∈Z).
又0≤＜2π,
∴0≤+＜2π(k∈Z).
当k=0、1、2时，有=、、，它们满足条件.
∴、、为所求.
变式提升3
若α是第四象限角，则π-α是（
）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解法1：∵α为第四象限角.
∴2kπ-＜α＜2kπ,k∈Z.
∴-2kπ＜-α＜-2kπ+,k∈Z.
∴-2kπ+π＜π-α＜-2kπ+,k∈Z.
∴π-α是第三象限角.
解法2：∵角α与角-α的终边关于x轴对称，又∵角α的终边在第四象限，
∴角-α终边在第一象限，又角-α与π-α的终边关于原点对称，
∴角π-α的终边在第三象限.
答案：C1.1
任意角和弧度制
知识梳理
一、角的概念的推广
1.角：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.
2.角的分类：正角、零角、负角.
3.象限角：如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与
x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.
α是第一象限角可表示为{α|2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z}；
α是第二象限角可表示为{α|2kπ+＜α＜2kπ+π,k∈Z}；
α是第三象限角可表示为{α|2kπ+π＜α＜2kπ+,k∈Z}；
α是第四象限角可表示为{α|2kπ+＜α＜2kπ+2π,k∈Z}.
4.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角.
终边落在x轴非负半轴上的角的集合可记作：
α|α=2kπ,k∈Z；
终边落在x轴非正半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ+π,k∈Z;
终边落在y轴非负半轴上的角的集合可记作：
{α|α=2kπ+,k∈Z};
终边落在y轴非正半轴上的角的集合可记作：{α|α=2kπ+,k∈Z}；
终边落在坐标轴上的角可表示为：{α|α=,k∈Z}.
5.终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β=α+2kπ,k∈Z}.
二、弧度制
1.角度制:规定周角的1360为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制.
2.弧度的定义：规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即1360周角=1°，12π周角=1
rad.
3.弧度与角度的换算:
360°=2π
rad;180°=π
rad;
1°=rad≈0.017
45
rad；
1
rad=（180π）°≈57.30°=57°18′.
4.弧长公式：
l=|α|·r（其中r为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.
5.扇形的面积公式：S扇形=l·r=|α|r2（其中r为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.
知识导学
要理解任意角概念，可通过创设情境：“转体720°，逆（顺）时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.
疑难突破
1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？
剖析：（1）用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进制数，而度、分、秒之间的关系是六十进（退）位的.于是，为了找出与角对应的实数（我们学的实数都是十进制），需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.
（2）弧度制下的弧长公式l=|α|r,扇形面积公式S=|α|r2，与角度制下的弧长公式l=,扇形面积公式S=比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.
2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数，角的集合与实数集R是一一对应关系？
剖析：在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R建立了一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的角度数或弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（角的角度数或弧度数等于这个实数）与它对应.于是，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.有了角的集合与实数集R的一一对应关系，要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5°
，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题，因为弧度制是十进制的实数.1.1
任意角和弧度制（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解任意角的概念，能区分各类角的概念．2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．3．理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题.
1．任意角
任意角
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
思考1始边和终边重合的角一定是零角吗？
提示：零角的始边和终边重合，但是始边和终边重合的角不一定是零角，始边和终边重合的角是周角的整数倍，即k·360°(k∈Z)．
思考2将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？
提示：不相等，度量一个角的大小，既要考虑旋转量，又要考虑旋转方向，故题中两种旋转方法所形成的角不相等．
按逆时针方向旋转60°得到的角记为60°，按顺时针方向旋转60°得到的角记为－60°.
2．象限角
(1)前提：
①角的顶点：与原点重合；
②角的始边：与x轴的非负半轴重合．
(2)结论：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；
角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．
思考3请写出角的终边在各象限的集合表示．
提示：象限角的取值范围
第一象限角：
{α|k·360°<α第二象限角：
{α|k·360°＋90°<α第三象限角：
{α|k·360°＋180°<α第四象限角：
{α|k·360°＋270°<α思考4请写出终边在坐标轴上的角的集合表示．
提示：终边在坐标轴上的角：
角的终边的位置
集合表示
x轴的非负半轴
{α|α＝k·360°，k∈Z}
x轴的非正半轴
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
y轴的非负半轴
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
y轴的非正半轴
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
y轴
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
x轴
{α|α＝k·180°，k∈Z}
坐标轴
{α|α＝k·90°，k∈Z}
3．终边相同的角
终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考5若角α，β的终边相同，那么α与β相等吗？
提示：若角α，β的终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β，所以α，β的数量关系为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即α，β的大小相差360°的k倍，所以α与β不一定相等．例如，45°与－675°的终边相同，但它们不相等，相差720°即360°的2倍．1.1
任意角和弧度制（第1课时）
课堂探究
探究一任意角的表示
1．定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．
2．定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．
【典型例题1】
手表时针走过2小时，时针转过的角度为( )
A．60°
B．－60°
C．30°
D．－30°
解析：由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，×360°＝60°，故时针转过的角度为－60°.
答案：B
【典型例题2】
分别求出图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角α，β，γ.
解：图①中，正角α＝720°＋30°＝750°.
图②中，负角β＝－(360°－210°)＝－150°，正角γ＝210°－150°＝60°.
探究二象限角
象限角的判定方法：
法一：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．
第二步，判断β的终边所在的象限．
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
法二：利用图象实际表示相应的角，观察终边的位置，确定象限．
【典型例题3】
已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．
(1)420°；(2)－75°；(3)855°；(4)－510°.
解：作出各角的终边如图所示：
由图可知：(1)420°是第一象限角；(2)－75°是第四象限角；
(3)855°是第二象限角；(4)－510°是第三象限角．
(1)420°＝60°＋360°，所以在0°～360°范围内，与420°角终边相同的角是60°.
(2)－75°＝285°－360°，所以在0°～360°范围内，与－75°角终边相同的角是285°.
(3)855°＝135°＋2×360°，所以在0°～360°范围内，与855°角终边相同的角是135°.
(4)－510°＝210°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－510°角终边相同的角是210°.
【典型例题4】
已知α是第三象限角，判断是第几象限角．
解：∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°<αk·180°＋90°<∴当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋90°<∴是第二象限角．
当k＝2n＋1，k∈Z时，n·360°＋270°<综上可得，是第二或第四象限角．
探究三
终边相同的角
1．把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
3．已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的范围，最后都加上k·360°，得到所求．
【典型例题5】
(1)与－2
014°角终边相同的最小正角是__________．
(2)已知α＝750°，且θ与α终边相同，－360°≤θ≤360°，则θ的值为__________．
(3)如图，已知α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，则角α的范围为__________．
解析：(1)∵－2
014°＝－6×360°＋146°，
∴所求值为146°.
(2)由已知θ＝k·360°＋750°，k∈Z，
∴－360°≤k·360°＋750°≤360°，k∈Z，
解得－≤k≤－，k∈Z，∴k＝－2，－3.
∴θ值为30°，－330°.
(3)由图可知当α∈(0°，360°)时，45°≤α≤150°，
∴当角α的终边在此区域内时，α的范围为k·360°＋45°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z.
答案：(1)146° (2)30°，－330° (3)k·360°＋45°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z
探究四易错辨析
易错点：对角的概念及其表示理解不到位
【典型例题6】
下列命题：
①第一象限角一定不是负角；②终边相同的角一定相等；③第一象限角是锐角；④小于90°的角是锐角．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
错解：②终边相同的角可以相差整数个360°，故②不正确，①③④正确．故选D.
错因分析：错误的原因是没有正确理解正角、负角和零角的概念，没有搞清第一象限角、锐角、小于90°的角之间的区别与联系．
正解：对于①，－330°为第一象限角，且为负角，故①不正确；对于②，终边相同的角可以相差整数个360°，如30°角与390°角终边相同，但不相等，故②不正确；对于③，第一象限角为：k·360°<α答案：A1.1.1
任意角
互动课堂
疏导引导
1.角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1.
图1-1-1
2.角的概念的推广
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成一个零角.如图1-1-2中的角是一个正角,等于750°,图1-1-3中,正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°.
图1-1-2
图1-1-3
3.在直角坐标系内讨论角
象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,如果角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限角.
4.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示为角α与整数个周角的和.
5.几个重要的角的集合
(1)象限角的集合
第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,0°＜β＜90°,k∈Z}.
第二象限角的集合为{α|k·360°+90°＜α＜180°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,90°＜β＜180°,k∈Z}.
第三象限角的集合为{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z}
={α|α=β+k·360°,180°＜β＜270°,k∈Z}.
第四象限角的集合为{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°,k∈Z}
={α|α=β+k·360°,270°＜β＜360°,k∈Z}.
(2)几种特殊角的集合
终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.
终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+180°,k∈Z}.
终边落在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}.
终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+90°,k∈Z}.
终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z}.
终边落在y轴上的角的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z}.
终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.
终边落在y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+45°,k∈Z}.
终边落在y=-x上的角的集合为{α|α=k·180°+135°,k∈Z}.
终边落在y=±x上的角的集合为{α|α=k·90°+45°,k∈Z}.
活学巧用
1.下列各命题正确的是(
)
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
解析：可根据各种角的定义,利用排除法予以解答.对于A,-60°和300°是终边相同的角,它们并不相等,应排除A.
对于B,390°是第一象限角,可它不是锐角,应排除B.
对于D,-60°是小于90°的角,但它不是锐角,
∴应排除D.
综上,应选C.
答案：C
2.(1)已知-990°＜α＜-630°,且α与120°角的终边相同,则α=___________.
(2)在-720°到720°之间与-1
050°角终边相同的角是__________.
解析：(1)∵α与120°角终边相同,故有α=k·360°+120°,k∈Z.
又∵-990°＜α＜-630°,
∴-990°＜k·360°+120°＜-630°,即-1
110°＜k·360°＜-750°.
当k=-3时,α=(-3)·360°+120°=-960°.
(2)与1
050°角终边相同的所有的角可表示为α=k·360°+(-1
050°),k∈Z,
依题意得-720°＜k·360°-1
050°＜720°,
解得＜k＜4,∴k=1,2,3,4.
所求的角为1×360°-1
050°=-690°,
2×360°-1
050°=-330°,3×360°-1
050°=30°,
4×360°-1
050°=390°.
答案：(1)-960°
(2)-690°,-330°,30°,390°
3.已知α是第一象限角,试确定是第几象限角.
解析：∵α是第一象限角,
∴2kπ＜α＜2kπ+(k∈Z),则kπ＜＜kπ+(k∈Z).
当k=2n时,2nπ＜＜2nπ+,
∴为第一象限角.
当k=2n+1时,2nπ+π＜＜2nπ+,
∴为第三象限角.
∴为第一或第三象限角.
答案：第一象限或第三象限角.
点评：已知α是第m象限角(m=1,2,3,4),求角所在象限的问题,用“等分象限法”处理较好，先将各象限分成几等份，然后从x轴正方向上方第一个区域开始，按逆时针方向依次标上1,2，3,4，1,2，3,4，…，周而复始，直至填完所有区域，出现数字m的区域即为所求，例如：设α1、α2、α3、α4分别是第一、二、三、四象限角,则、、、分布如图1-1-4.
图1-1-41.1.1
任意角
疱工巧解牛
知识 巧学
一、正角、负角、零角
1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角α，点O是角α的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边、终边.我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角.旋转一周角的大小记为360°，如图1-1-1.
图1-1-1
2.由于图1-1-1(1)中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以α=45°，β=-315°；图1-1-1(2)中的α=30°，β=390°，γ=-60°.显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.
图1-1-2
如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转-30°到OC的位置，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°)=60°.
学法一得
引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化α-β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
3.在画图表示角时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向，旋转的周数及角的绝对值的大小，旋转生成的角，又常称为转角.显然，如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.
二、象限角
1.若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外)在第几象限，我们说这个角是第几象限角.
图1-1-3
例如：由于图1-1-3甲中的角45°、405°、-315°都是始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理图1-1-3乙中的角480°是第二象限的角，-70°、290°都是第四象限的角.
2.表示各个象限角时，可以先在0°—360°范围内确定角的界限，然后再加上360°的整数倍，如第一象限角，在0°—360°范围内，第一象限角表示为0°＜α＜90°，然后在两端加上k·360°,k∈Z，即可得到第一象限角的集合：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}，其他各象限角同理可得.
3.特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.例如0°、90°、-180°、630°等，这些角都不属于任何一个象限，我们称之为非象限角，也叫象限界角.与象限角的确定方法相同,终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.同理可得其他非象限角的集合.
深化升华
角以终边的位置为分类标准，被分为象限角与非象限角，象限角及非象限角都是相对于坐标系而言的.只有在角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合这一前提下，才能讨论象限角与非象限角.在直角坐标系内讨论角，可以使角的讨论得到简化，还能有效地表示出角的终边位置“周而复始”的现象.
三、与角α终边相同的角
1.设S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}，显然，所有与45°角终边相同的角都是集合S的元素；反过来，集合S中的任何一个元素也都与45°角的终边相同.把角α推广到一般形式有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角和的形式.
辨析比较
对于这个概念的理解要把握以下三点：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
2.终边相同的角的用途：利用与角α终边相同的角的集合，可把任一角β转化成β=θ+k·360°,k∈Z,θ∈［0°,360°)的形式；也可利用与角α终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角α终边相同的角写出各象限角的集合.
典题 热题
知识点一
各角和的旋转量等于各角旋转量的和
例1
射线OA绕端点O逆时针方向旋转150°到OB位置，接着再按顺时针方向旋转60°到OC位置，然后再逆时针方向旋转90°到OD位置，求∠AOD的大小.
思路分析：我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，逆时针方向旋转150°即+150°，顺时针方向旋转60°即-60°，再逆时针方向旋转90°即再+90°，由此可得结论.
图1-1-4
解：如图1-1-4，由题意知∠AOB=150°,∠BOC=-60°,∠COD=90°,
所以∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=150°-60°+90°=180°.
方法归纳
在画图表示角时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向.显然，如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.
知识点二
终边相同的角
例2
如图1-1-5，写出终边落在直线y=上的角的集合.(用0°到360°的角表示)
图1-1-5
思路分析：先在0°到360°之间找到两个角，使得其终边分别与射线y=(x≥0)、y=(x≤0)重合，再写出与其终边相同的角的集合，最后求并集.
解：终边落在y=(x≥0)上的角的集合是S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z}；
终边落在y=(x≤0)上的角的集合是S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.
于是，终边落在y=上的角的集合是S=S1∪S2=
{α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}
={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={α|α=60°+180°的偶数倍}∪{α|α=60°+180°的奇数倍}
={α|α=60°+180°的整数倍}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.
图1-1-6
巧妙变式：如图1-1-6，若角α的终边落在y=
(x≥0)与y=(x≤0)所夹的小区域内，求角α的集合.
思路点拨：应先写出终边落在y=(x≥0)与y=(x≤0)上的角的集合，再运用不等式写出所在小区域内的角的集合.所夹的小区域内角α的集合是{α|30°+k·360°＜α＜150°+k·360°,
k∈Z}.
方法归纳
若过原点的直线l的倾斜角为α，则终边落在直线l上的角的集合是{β|β=α+k·180°,k∈Z}.当k取偶数时，表示终边落在直线l所在的上半平面部分；当k取奇数时，表示终边落在直线l所在的下半平面部分.求两条射线所夹区间角的集合的关键是找出与区间的两条边界终边相同的角的集合.
知识点三
象限角的集合
例3
试写出第二象限角的集合.
思路分析：表示各个象限角时，可以先在0°—360°范围内确定角的界限，然后再加上360°的整数倍.
解：由于第二象限角位于y轴的非负半轴、x轴的非正半轴之间，而终边落在y轴的非负半轴、x轴的非正半轴上的角分别是{α|α=90°+k·360°,k∈Z}与{α|α=k·360°+180°,k∈Z}，所以第二象限角的集合为{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z}.
学法一得
象限角的表示形式并不唯一，还可以有其他的表示形式，如本题的第二象限角的集合，也可以表达为{α|k·360°-180°＜α＜k·360°-270°,k∈Z}.
知识点四
各种角的关系
例4
判断下列命题是否正确，并说明理由.
①小于90°的角是锐角；②第一象限的角小于第二象限的角；
③终边相同的角一定相等；④相等的角终边一定相同；
⑤若α∈［90°,180°］，则α是第二象限角.
思路分析：利用各种角的定义进行判断.
解：①锐角集合是{α|0°＜α＜90°}，即α∈(0°,90°)，它是小于90°的正角，而小于90°的角还可以是负角和零角，显然①是错误的；
②由于角的概念的推广，第一、二象限的角不再局限于0°—360°间的(0°,90°)与(90°,180°)，像390°是第一象限角，120°是第二象限角，显然390°＞120°，所以②也是错误的；
③终边相同的角可能彼此相差360°的整数倍，显然③是错误的；
④由于角的顶点是原点，始边与x轴的非负半轴重合，所以相等的角终边一定相同，显然④是正确的；
⑤由于90°、180°都不是象限角，显然⑤是错误的.
辨析比较
第一象限角、小于90°的角、0°—90°的角、锐角这四种角的范围有差别.锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90°的角应当包括锐角、零角及负角，在下一节学习了弧度制后，角变为实数，其大小关系更加明显.
知识点五
已知角α终边所在的象限，求
(n∈N,n＞1)所在的象限
例5
α是第一象限的角，是第几象限角？
解：α是第一象限角，则α可以表示为k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z，于是可得的范围是k·180°＜＜k·180°+45°,k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角.
当α是第一象限角时，位于第一或第三象限.
知识点六
终边不相同的角和区间角
例6
在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中,
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个属于区间(-360°，360°)内的角？
思路分析：本题主要考查对α=k·90°+45°(k∈Z)所表示的角的认识，从代数角度看，取k=…，-2，-1，0，1，2，…可以得α为…，-135°，-45°，45°，135°，225°，…，从图形角度看α=k·90°+45°(k∈Z)，即以角45°为基础，依次加上90°的整数倍，即依次按顺时针方向或逆时针方向旋转90°，所得各角如图1-1-7所示.
图1-1-7
解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.
(2)由-360°＜k·90°+45°＜360°得＜k＜，
又k∈Z，故k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.
所以在给定的角的集合中属于区间(-360°，360°)的角共有8个.
方法归纳
把代数计算与对图形的认识结合起来，会使这类问题处理起来更容易些.在数学学习中，数形结合的方法始终是解决问题的最重要的方法之一，做题时要注意这种思想的应用.
问题 探究
误区陷阱探究
问题
“第一象限角和小于90°的角都是锐角.”这句话是否正确？
探究过程：角的概念推广以后，小于90°的角由锐角、零角和负角组成，而第一象限的角包含了锐角和其他终边在第一象限的角.之所以出现这样的错误，是对任意角的概念理解不够透彻，认为角的范围是0°—360°.
探究结论：这句话不正确.由于第一象限的角包含了大于90°和小于0°的角，而小于90°的角可能是锐角、零角或负角，故它们不一定是锐角.
思想方法探究
问题
已知角α的终边位置，如何判断的终边位置？例如，α为第一象限角，探求所在的象限.
探究过程：因为α为第一象限角，即2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z，则
＜＜+,k∈Z.当k=3n(n∈Z)，为第一象限角；
当k=3n+1(n∈Z)，为第二象限角；
当k=3n+2(n∈Z)，为第三象限角.
所以为第一、第二、第三象限角.
此外，对于确定的终边位置，还有一种方法——八卦图法.
图1-1-8
第一步：画出直角坐标系.如图1-1-8，将每一象限三等分.
第二步：标号.从x轴非负半轴开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4；1、2、3、4；1、2、3、4.
第三步：选号.因为α为第一象限角，在图中将数字1的范围画出，可用阴影表示.
第四步：定象限.阴影部分在哪一象限，的终边就落在哪一象限.
由以上步骤可知，若α为第一象限角，则为第一、二、三象限角.
探究结论：已知角α的终边位置，判断的终边位置常用的方法有两种：一是先将已知角用不等式表示出来，再求的取值范围，然后分三类讨论，来确定的终边位置；二是利用八卦图法，将每个象限平均分成三份，并从x轴非负半轴区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4；1、2、3、4；1、2、3、4，已知角是第几象限角，就找标号几，此标号所在象限即为所在象限.1.1.2 弧度制
1.了解弧度制，明确1弧度的含义.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.掌握弧度数的计算公式及其应用.
1.弧度制
(1)定义：以 为单位度量角的单位制叫做弧度制.
(2)度量方法：长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.如图所示，圆O的半径为r，的长等于r，∠AOB就是1弧度的角.
一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关.
(3)记法：弧度单位用符号 表示，或用“弧度”两个字表示.在用弧度制表示角时，单位通常省略不写.
【做一做1】
下列表述中正确的是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
2.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个 数，负角的弧度数是一个 数，零角的弧度数是 .
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝ .
(1)弧长公式：l＝|α|r.
(2)扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2.
【做一做2】
已知半径为10
cm的圆上，有一条弧的长是40
cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是 .
3.弧度制与角度制的换算
(1)角度转化为弧度：360°＝
rad,180°＝
rad，1°＝
rad≈0.017
45
rad.
(2)弧度转化为角度：2π
rad＝ ，π
rad＝ ，1
rad＝eq
\b\lc\(\rc\)()°≈57.30°＝57°18′.
(3)特殊角的弧度数与角度数对应表：
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
____
____
____
____
____
____
____
角度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
____
____
(4)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起 关系：每一个角都有唯一的一个 (即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个 (即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
【做一做3－1】
把50°化为弧度为( )
A.50
B.π
C.
D.
【做一做3－2】
把π
rad化为度为( )
A.52°
B.36°
C.72°
D.90°
答案：1．(1)弧度 (2)半径长 (3)rad
【做一做1】
D
2．正 负 0
【做一做2】
4
3．(1)2π π (2)360° 180° (3)
π 2π (4)一一对应 实数 角
【做一做3－1】
B
【做一做3－2】
C
1.用弧度制表示象限角与轴线角
剖析：(1)象限角的表示：
角α终边所在象限
集合
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
(2)轴线角的表示：
角α终边所在的坐标轴
集合
x轴非负半轴
x轴非正半轴
x轴
y轴非负半轴
y轴非正半轴
y轴
坐标轴
2.弧度制与角度制的区别和联系
剖析：主要从定义、意义、换算、写法等方面考虑.
(1)从定义上：弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制，角度制是以“度”为单位度量角的单位制.因此弧度制和角度制一样，都是度量角的方法.
(2)从意义上：1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小，而1°是圆的周长的所对的圆心角(或该弧)的大小；任意圆心角α的弧度数的绝对值|α|＝，其中l是以角α作为圆心角时所对的圆弧长，r为圆的半径.
(3)从换算上：1
rad＝eq
\b\lc\(\rc\)()°，1°＝
rad.
(4)从写法上：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数；如果以度“°”为单位表示角时，度“°”就不能省去.
题型一
角度与弧度的互化
【例1】
把下列角度化成弧度或弧度化成角度.
(1)310°；(2)rad.
分析：利用下列公式换算：1°＝
rad；1
rad＝°.
反思：n°＝rad，x
rad＝°.
题型二
比较大小
【例2】
利用计算器比较sin
1和sin
1°的大小.
反思：比较sin
α与sin
β，cos
α与cos
β，tan
α与tan
β的大小时，通常使用计算器来完成，要注意α与β的单位.
题型三
扇形的弧长和面积公式
【例3】
已知一扇形的周长为40
cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积为多少？
分析：设出扇形的半径r，弧长l，面积S，列出S关于r的函数解析式，转化为求二次函数的最大值.
反思：(1)在弧度制下的弧长公式、扇形的面积公式简洁明了，灵活应用这些公式列方程组求解是解决这类问题的关键；
(2)在研究实际问题中的最值问题时，往往转化为二次函数的最值问题，这是经常用到的思想方法.
题型四
易错辨析
易错点 混淆了用弧度制和角度制表示的角
【例4】
α＝π，β＝π°，则有( )
A.α＝β
B.α＞β
C.α＜β
D.α与β的大小不确定
错解：由于π＝π，则α＝β，故选A.
错因分析：错解中混淆了π与π°的区别，π的单位是弧度，而π°的单位是度.
反思：角度制下的单位不能省略，而弧度制下的单位通常省略不写，因此要注意区分弧度制和角度制表示的角.
答案：
【例1】
解：(1)310°＝
rad×310＝
rad.
(2)rad＝°＝75°.
【例2】
解：由计算器
2
10.841
470
984.
1
10.017
452
406.
∴sin
1＞sin
1°.
【例3】
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r
cm，弧长为l
cm，面积为S
cm2，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.
∴当r＝10时，扇形的面积最大，最大值为100
cm2，这时θ＝＝2.
【例4】
B 正解：α＝π＝180°，因为180°＞π°，所以α＞β.
1．下列各式正确的是( )
A.＝90
B.＝10°
C.3°＝
D.38°＝
2．下列各式正确的是( )
A.cos
3.7°＜cos
3.8°
B.sin
5.1＞sin
2.7°
C.tan
46°＞tan
44
D.tan
1.23＜tan
1.22
3．把－900°化为弧度为________.
4．若扇形的周长是16
cm，圆心角是2
rad，则扇形的面积是________.
5．如图所示，扇形AOB的面积是4
cm2，它的周长是10
cm，求扇形的圆心角α的弧度数.
答案：1．B
2．C 借助于计算器有：cos
3.7°≈0.997
9＞cos
3.8°≈0.997
8，所以A项不正确；
sin
5.1≈－0.925
8＜sin
2.7°≈0.047
1，所以B项不正确；
tan
46°≈1.035
5＞tan
44≈0.017
7，所以C项正确；
tan
1.23≈2.819
8＞tan
1.22≈2.732
8，所以D项不正确．
3．－5π －900°＝－900×＝－5π.
4．16
cm2 设扇形的半径是r
cm，弧长为l
cm，则解得l＝8，r＝4.则扇形的面积是＝16
cm2.
5．分析：列方程组求出扇形的弧长l和半径R，再由|α|＝求解．
解：设长为l
cm，扇形半径为R
cm，
则由题意，得
解得或∴|α|＝＝或|α|＝＝8＞2π(舍去)．∴α＝.1.1.2
弧度制
互动课堂
疏导引导
1.度量角的单位制:角度制、弧度制
(1)角度制
初中学过角度制,它是一种重要的度量角的制度.规定周角的为1度角,记作1°,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
(2)弧度制
规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1
rad.
如图1-1-6,的长等于半径r,所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.
图1-1-6
(3)弧度数
一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=.
这里,α的正负由角α的终边的旋转方向决定.
2.弧长公式与扇形的面积公式
(1)设l是以角α作为圆心角时所对的弧的长,r是圆的半径,则有l=|α|·r.
其中α是角的弧度数.
(2)扇形面积公式
S=lr=α·r2.
3.角度与弧度之间的互化
(1)将角度化为弧度
360°=2π
rad,180°=π
rad.
1°=rad≈0.017
45
rad.
(2)将弧度化为角度
2π
rad=360°,π
rad=180°.
1
rad=()°≈57.30°=57°18′.
(3)弧度制与角度制的换算公式
设一个角的弧度数为α,角度数为n°,则α(rad)=()°,
n°=nrad.
(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表.
度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
弧度
0
度
150°
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
360°
弧度
π
2π
5.角度制与弧度制的比较
(1)弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度.
(2)1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或弧)的大小,而1°是圆的所对的圆心角(或弧)的大小.
(3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.
(4)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写.如sin2是指sin(2弧度),π=180°是指π弧度=180°;但如果以度(°)为单位表示角时,度(°)就不能省去.
(5)角的概念推广以后,无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系,每一个角都有唯一的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应.
活学巧用
1.下列诸命题中,假命题是(
)
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.一度的角是周角的,一弧度的角是周角的
C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角,它们与圆的半径长短有关
解析：A、B、C都正确.1弧度等于半径长的圆弧所对的圆心角(或弧)的大小,而1°是圆的所对的圆心角(或弧)的大小.
因此不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.
答案：D
2.圆弧长度等于其内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为(
)
A.
B.
C.
D.2
解析：设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,
∴θ==.
答案：C
3.一个扇形的面积为1,周长为4,则中心角的弧度数为______________.
解析：设扇形的半径为r,弧长为l,则2r+l=4.∴l=4-2r.
根据扇形面积公式S=lr得1=(4-2r)·r.
∴r=1.∴l=2.∴|α|===2.∴α=±2.
答案：±2
4.(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001).
(2)把112°30′化成弧度(用π表示).
(3)把-化成度.
解析：(1)①n=112°30′,π=3.141
6;②n=112=112.5;③a=≈0.017
5;④α=na=1.968
75.
∴α≈1.969
rad.
(2)112°30′=()°=×=.
(3)-
=-(×)°=-75°.
答案：(1)1.969
rad;(2)
;(3)-75°.
5.集合A={α|α=kπ+,k∈Z},B={α|α=2kπ±,k∈Z}的关系是(
)
A.A=B
B.AB
C.AB
D.以上都不对
解析：对于集合A,当k=2n(n∈Z)时,α=2nπ+,n∈Z.
当k=2n-1时,α=(2n-1)π+=2nπ-,n∈Z.
∴α=2nπ±,n∈Z.
∴A=B.
答案：A
7.下列弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限.
(1)-;(2);(3)-20;(4)-2.
解析：对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k∈Z,|α|∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在位置进行判断.对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z,|α|∈［0,6.28)的形式,通过α与、π、比较,估算出角所在象限.
答案：(1)-=-4π+,是第一象限角;(2)=10π+,是第二象限角;(3)-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角;
(4)-23≈-3.464,是第二象限角.
8.若α是第四象限角,则π-α是(
)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析：∵α为第四象限角,∴2kπ-＜α＜2kπ(k∈Z).
∴-2kπ＜-α＜-2kπ+(k∈Z).
∴-2kπ+π＜π-α＜-2kπ+(k∈Z).
∴π-α是第三象限角.
答案：C1.1
任意角和弧度制（第2课时）
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课程目标
学习脉络
1.了解弧度制的概念．2．能进行弧度和角度的互化．3．会计算弧长和扇形面积.
1．弧度制的定义
(1)角度制
(2)弧度制
思考1在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等，这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．
2．弧度数的计算
角
弧度数
正角
正数
负角
负数
零角
0
计算公式
|α|＝
思考2弧度制公式|α|＝是否可以写成α＝，|α|的取值与所取圆的半径大小是否有关？
提示：使用公式|α|＝求角时，得出的是角α的弧度数的绝对值大小，其正负由角α终边的旋转方向决定，故不能写为α＝.|α|的取值与所在圆的半径大小无关，它由比值唯一确定．
3．角度制与弧度制的相互转化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π
rad
2π
rad＝360°
180°＝π
rad
π
rad＝180°
1°＝
rad≈0.017
45
rad
1
rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
4．特殊角的弧度数与角度数对应表：
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
角度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
π
2π
思考3
在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什么？
提示：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法，应写成α＝2kπ＋，k∈Z.
5．弧度制下的弧长与扇形面积公式
若扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则
(1)弧长公式：l＝|α|r.
(2)扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2.
思考4在上述公式中的角α是否可以用角度制表示？
提示：不可以，在不同的度量角的制度下，扇形的弧长和面积公式的形式是不同的，在应用时必须选用与角的度量制对应的公式．1.1.1 任意角
问题导学
一、角的概念的推广
活动与探究1
下列命题：
①第一象限角是锐角；
②锐角都是第一象限角；
③第一象限角一定不是负角；
④第二象限角大于第一象限角；
⑤第二象限角是钝角；
⑥三角形内角是第一、第二象限的角；
⑦向左转体1周形成的角为360°.
其中是真命题的为__________(把正确命题的序号都写上)．
迁移与应用
下列命题正确的是( )
A．－330°与330°都是第四象限角
B．45°角是按顺时针方向旋转形成的
C．钝角都是第二象限角
D．小于90°的角都是锐角
正确理解正角、负角和零角的概念，由定义可知，关键是看终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动，要正确理解象限角的概念．
二、终边相同的角的问题
活动与探究2
已知角α＝2
012°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.
迁移与应用
写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中适合不等式－1
080°≤β＜720°的元素β.
在给定范围内确定角的问题，有两种处理思路：一种思路是不解不等式，根据条件k∈Z，采用观察和特殊值检验的方法求出k的值，求解时需注意不要漏解；另一种思路是解不等式，然后再根据k∈Z求出k的值．
三、区间角的表示
活动与探究3
若α是第三象限角，判断2α，和180°－α是第几象限角．
迁移与应用
如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．
1．写区间角的集合时应严格按照写区间角的三个步骤进行，注意集合表述的严谨性，应特别检查所写集合能否包含问题所要表达的全部角．
2．区间角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始、终止边界对应的0°到360°范围内的角α，β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；
(3)再加上起始、终止边界对应角α，β出现的k倍的周期，即得区间角的集合．
当堂检测
1．下列叙述正确的是( )
A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角
D．钝角比第三象限角小
2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )
A．在x轴的非负半轴上
B．在x轴的非正半轴上
C．在y轴的非正半轴上
D．在y轴的非负半轴上
3．与405°角终边相同的角是( )
A．k·360°－45°，k∈Z
B．k·360°±405°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z
D．k·180°＋45°，k∈Z
4．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则M__________N．(填“”或“”)
5．在0°～360°范围内：与－1
000°角终边相同的最小正角是__________，是第__________象限角．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．一条射线 端点 旋转
预习交流1 提示：角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°，它应包括任意大小的正角、负角和零角．
3．第几象限
4．α＋k·360°，k∈Z 整数个周角
预习交流2 提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
5．{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}
{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}
{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}
{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}
6．{x|x＝k·360°，k∈·360°＋180°，k∈·180°，k∈·360°＋90°，k∈·360°＋270°，k∈·360°－90°，k∈·180°＋90°，k∈Z}
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 ②⑦ 解析：①390°是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确；
②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确；
③－330°是第一象限角，但它是负角，所以③不正确；
④120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°＞120°，所以④不正确；
⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确；
⑥90°角可作三角形内角，但它既不是第一象限角，也不是第二象限角，所以⑥不正确；
⑦向左转体为逆时针旋转，所以转体1周形成的角为360°，所以⑦正确．
迁移与应用 C 解析：对于A，－330°是第一象限角，故A排除；
对于B,45°角是正角，按逆时针旋转形成的，故排除B；
对于D，－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，故排除D．
综上，此题应选C．
活动与探究2 思路分析：确定β的值，求出α所在的象限；列出关于k的不等式，求出k的取值，得到角θ的大小．
解：(1)用2
012°除以360°商为5，
余数为212°．∴k＝5．
∴α＝5×360°＋212°(β＝212°)．
∴α为第三象限角．
(2)与2
012°终边相同的角为k·360°＋2
012°(k∈Z)，
令－360°≤k·360°＋2
012°＜720°(k∈Z)，
解得－≤k＜－(k∈Z)，
∴k＝－6，－5，－4．
将k的值代入k·360°＋2
012°中，得角θ的值为－148°，212°，572°．
迁移与应用 解：与15°角终边相同的角的集合为
{β|β＝15°＋k·360°，k∈Z}．
由－1
080°≤15°＋k·360°＜720°，得到－1
095°≤k·360°＜705°．又k∈Z，∴k可取－3，－2，－1,0,1．
相应的β的值分别为－1
065°，－705°，－345°，15°，375°．
∴满足条件的角β的度数有
－1
065°，－705°，－345°，15°，375°．
活动与探究3 思路分析：将第三象限的角α表示为180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，从而可以分别得出2α，和180°－α的角的表示形式，再根据象限角的定义来作出判断．
解：∵α是第三象限角，
∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，
(1)360°＋2k·360°＜2α＜540°＋2k·360°(k∈Z)，即(2k＋1)·360°＜2α＜180°＋(2k＋1)·360°(k∈Z)，
则2α是第一、二象限角，或终边在y轴的非负半轴上的角．
(2)60°＋k·120°＜＜90°＋k·120°(k∈Z)，
当k＝3m(m∈Z)时，为第一象限角；
当k＝3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角；
当k＝3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角．
所以为第一或第三或第四象限角．
(3)－270°＋k·360°＜－α＜－180°＋k·360°(k∈Z)，
则－90°＋k·360°＜180°－α＜k·360°(k∈Z)．
所以180°－α是第四象限角．
迁移与应用 解：在图(1)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角α满足45°≤α≤210°，故满足条件的角的集合为{α|45°＋k·360°≤α≤210°＋k·360°，k∈Z}．
在图(2)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角α满足0°≤α≤45°或315°≤α≤360°，转化为－180°～180°范围内，
终边落在指定区域的角α满足－45°≤α≤45°，
故满足条件的角的集合为{α|－45°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
【当堂检测】
1．B 解析：－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A错；280°角是第四象限角，它是正角，故C错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D错．
2．A 解析：由已知可得α＝β＋k·360°(k∈Z)，
∴α－β＝k·360°(k∈Z)，∴α－β的终边在x轴的非负半轴上．
3．C 解析：∵405°＝360°＋45°，是与45°角终边相同的角，即与405°角终边相同的角是k·360°＋45°，故选C．
4． 解析：M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(2k＋1)，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(k＋2)，k∈Z}，
∵k∈Z，∴k＋2∈Z且2k＋1为奇数，∴MN．
5．80° 一 解析：－1
000°＝－3×360°＋80°，
∴与－1
000°角终边相同的最小正角是80°，为第一象限角．
