1.3
三角函数的诱导公式
知识梳理
一、三角函数的对称关系
1.终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为：2kπ-α；
2.终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为：2kπ+π-α；
3.终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为：2kπ+-α.
二、三角函数的诱导公式
x
sinx
cosx
tanx
-α
-sinα
cosα
-tanα
π-α
sinα
-cosα
-tanα
π+α
-sinα
-cosα
tanα
2kπ-α(k∈Z)
-sinα
cosα
-tanα
2kπ+α(k∈Z)
sinα
cosα
tanα
-α
cosα
sinα
cotα
+α
cosα
-sinα
-cotα
知识导学
要学好本节内容，可先复习终边相同的角的同名三角函数值相等的公式；单位圆与三角函数线等.在此基础上创设情境，引入发现结论的条件，促成发现终边与角α的终边关于原点、x轴、y轴和直线y=x对称的各类角的表示方法，借助单位圆，通过图形观察，由此发现公式二至四，然后概括四组公式，认识它们的作用.结合例题与练习，来熟悉公式，理解并知道任意角的三角函数一定可以等价于转化为0至内的角的三角函数.
对公式五、六的学习可同上安排.突出几何图形对发现结论的影响，即我们是如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现结论的.
形象的诱导公式的记忆口诀：
奇变偶不变，符号看象限.
疑难突破
1.如何借助单位圆理解角α与-α的三角函数间的关系？
图1-3-1
剖析：如图1-3-1，设单位圆与α、α终边的交点分别为P和P′，则点P和P′关于x轴对称，所以它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数，从而可以设P(x,y),P′(x,-y).由三角函数定义，有sinα=y,cosα=x,∴P(cosα,sinα).sin(-α)=-y，cos(-α)=x,∴P′［cos(-α),sin(-α)］.
由P和P′坐标关系，得
又tan(-α)==-tanα.
2.对负角的三角函数值应如何求解，其一般步骤为何？
剖析：一种是化为正角的三角函数值，再用公式化为锐角的三角函数值；另一种是先用公式化为nπ+α(|α|＜)的角的三角函数值，再转化为锐角的三角函数值.由此可以得到利用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤：
3.诱导公式的作用是什么？诱导公式的规律又是怎样的
？
剖析：诱导公式的作用是可以将任意角的三角函数转化为0°—90°角的三角函数值.
诱导公式的规律为：
（1）-α，π±α，2π-α，2kπ+α(k∈Z)的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”.例如：sin(180°-300°)=sin300°，把300°看成一个锐角α，则180°-300°=180°-α为锐角，所以sin(180°-300°)的符号为正，即sin300°前面所带符号也为正.
（2）-α，+α的三角函数值，等于α的余名三角函数值前面加上一个把α看成锐角的原函数值的符号，记忆口诀为：“函数名改变，符号看象限”.例如：cos(90°+100°)=-sin100°，把100°看成锐角α，则90°+100°=90°+α钝角，所以cos(90°+100°)的符号为负，即sin100°前面所带符号为负.
（3）这两套公式可以归纳为k·+α(k∈Z)的三角函数值.当k为偶数时，得α的同名函数值;当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指k的奇偶.2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
知识梳理
一、平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1和λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中的不共线的向量e1和e2叫做这个平面内所有向量的一组基底.
二、向量的夹角
两向量正向之间的夹角叫做两向量的夹角.
三、平面向量的正交分解、向量的坐标及坐标运算
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2.向量的坐标
平面内的任意向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x,y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标.
3.和与差的坐标运算
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
已知向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2).
4.实数与向量积的运算
实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
已知向量a=(x1,y1),则λa=(λx1,λy1).
5.向量的坐标与端点坐标的换算
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
已知A(x1,y1)、B(x2,y2)，则=(x2-x1,y2-y1).
四、平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)（b≠0），当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b共线.
知识导学
要学好本节内容，可通过探究活动分析向量e1、e2可能的位置，区分出共线、不共线两种情况。在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.平面向量基本定理是平面向量的核心内容之一.通过理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，根据向量的坐标，判断向量是否共线.
疑难突破
1.平面向量基本定理.
剖析：(1)设e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任意向量，则a能用e1和e2来线性表示(存在性).
图2-3-1
如图2-3-1，在平面内任取一点O，作=e2，=e1，=a.过点C作平行于直线的直线，与直线交于点N；过点C作平行于直线的直线，与直线交于点M.由向量的线性运算性质可知存在实数λ1和λ2，使得=λ1=λ1e1，=λ2=λ2e2.
=+=+=λ1e1+λ2e2.也就是说，任一向量都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.
(2)上述线性组合的表示是唯一的，即实数λ1和λ2唯一确定(唯一性).
若存在λ1,λ2,μ1,μ2∈R，且a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e1+μ2e2，
则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，即(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0.
∵e1和e2不共线，
∴λ1-μ1=0,λ2-μ2=0.
∴λ1=μ1,λ2=μ2.
(3)任何一组不共线向量都可以作为基底，但为了解题方便，一组向量a、b作为基底时应满足条件：①a、b不共线；②a、b的夹角已知；③a、b的模已知.
(4)解决具体问题时，适当选择一组基底e1和e2，利用平面向量基本定理，把几何问题转化为关于e1和e2的代数问题.
2.平面向量的正交分解.
剖析：我们可以借助实例形象直观地来理解平面向量的正交分解，如一木块在一斜面上静止，斜面上的木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块平行于斜面的力F1的作用，这是摩擦力的来源；一是木块产生垂直于斜面的压力F2.也就是说，重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2.F1、F2就是重力G的一组分解.注意到F1和F2垂直，这种分解就是正交分解.
3.从多个角度来理解向量的坐标.
剖析：如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量a，则
(1)i=(1,0),j=(0，1),0=(0,0).
(2)在直角坐标系内，以原点为起点作向量=a，则点A的位置由向量a唯一确定.
(3)设=xi+yj，则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x,y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.
(4)两向量相等的充分必要条件是它们对应的坐标相等.
（5）要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同.1.4
三角函数的图象与性质
知识梳理
1.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出.
2.正弦曲线与余弦曲线的关系
我们知道y=cosx=sin(+x)(x∈R)，由此可知，余弦函数y=cosx的图象与正弦函数y=sin(+x)(x∈R)的图象相同，于是把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图象.
3.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.
4.正弦、余弦、正切函数的主要性质
函数性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
R
R
{x|x≠+kπ,k∈Z}
值域
［-1，1］
［-1，1］
R
周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间
［+2kπ,
+2kπ］(k∈Z)
［-π+2kπ,2kπ］(k∈Z)
(+2kπ,
+2kπ)(k∈Z)
减区间
［+2kπ,
+2kπ］(k∈Z)
［2kπ,2kπ+π］(k∈Z)
无
对称性
对称中心
(kπ,0)(k∈Z)
(kπ+,0)(k∈Z)
(k,0)(k∈Z)
对称轴
x=kπ+
(k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
无
知识导学
要学好本节内容，可借助一定的实例展现正弦函数的图象，对这类函数图象有一个直观的了解.利用单位圆中的正弦线画出y=sinx在一个周期内的图象，再经平移得出y=sinx（x∈R）的图象，然后利用诱导公式经过平移变换得出y=cosx的图象.从观察图象上的关键点，体会“五点法”画简图的方法.借助图象的支持来学习正、余弦函数性质.通过展示三角函数具有f(x+T)=f(x)的特征，由此引入函数周期性，体会周期性是三角函数的重要性质.对于正切函数，可以先认识其性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反过过来利用图象观察性质.
疑难突破
1.为什么y=sinx不在［0,2π］上考查单调性，而选用［，］？
剖析：因为在［0，2π］上y=sinx的增区间有两部分，表达起来不集中，而在一个周期［，］上，单调增减区间都分别只有一个，所以表达正弦函数所有单调区间时相对简单些.
2.除原点外正弦函数y=sinx图象还有没有其他的对称中心？
剖析：将ｙ轴左移或右移π个单位，2π个单位，3π个单位，…即ｋπ（k∈Z）个单位，正弦函数图象的对称中心也可以是点（π，０），点（2π，０），…，点（ｋπ，０）（k∈Z）.由此可知正弦函数图象有无数个对称中心（ｋπ，０）（k∈Z）.
它们是图象与x轴的交点，亦即图象和其平衡位置的交点，可以看出正弦函数图象也具有轴对称性.所有的对称轴为x=ｋπ＋（k∈Z），它们是过图象的最高或最低点而与x轴垂直的直线.
3.如何理解三角函数图象的五点法作图？
剖析：y=sinx,x∈［0，2π］的图象上有五点起决定作用，它们是（0，0）（，1），（π，0），（，-1），（2π，0）描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了.（0，1）（，0），（π，-1），（，0），（2π，1）这五点描出后，余弦函数y=cosx，x∈［0,2π］的图象的形状也就基本上确定了，因此可以用五点法作余弦函数y=cosx图象，如图1-4-1：
图1-4-1
所以，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个点，然后再用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫五点法.
注意：（1）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中.
（2）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此，在x轴、y轴上可以统一单位，作出的图象正规，利于应用.
4.如何理解正弦、余弦、正切函数的性质？
剖析：（1）正弦、余弦、正切函数的性质都能从其图象上得到体现，所以熟练掌握函数图象是理解性质的关键，而性质反过来又可帮助我们正确地作出函数的图象，因此图象与性质相辅相承，图象是性质的载体，性质又决定了图象的特征.
（2）正切函数y=tanx,x∈(kπ,kπ+)(k∈Z)是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调函数.
（3）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值.
（4）正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线、正切曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.正切曲线的对称中心有两类：一类是曲线与x轴的交点，此时正切值为0；另一类是对称轴与x轴的交点，此时正切函数无意义.
5.如何理解周期函数
剖析：（1）周期函数的定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x+T)=f(x)或不满足都不能说T是y=f(x)的周期；
例如：sin(+)=sin,但是sin(+)≠sin.
就是说不能对x在定义域内的每一个值都有sin(x+)=sinx，因此不是y=sinx的周期.
（2）从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x+T)=f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x+T)=f［2(x+)］=f(2x)，则是y=f(x)的周期.
（3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期.
（4）并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)=C（C为常数）（x∈R），当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x+T)=C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期.
再如函数D(x)=
设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+r也是有理数，当x是无理数时，x+r也是无理数，D(x)与D(x+r)或者等于1或者等于0，因此在两种情况下，都有D(x+r)=D(x)，所以D(x)是周期函数，r是D(x)的周期，由于r可以是任一有理数而正有理数集合中没有最小者，所以D(x)没有最小正周期.
（5）“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值.
（6）周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(k∈N+)一定也是周期.
（7）在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.2.1
平面向量的实际背景及基本概念
知识梳理
1.向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.向量可用字母a,b,c,…等表示,也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如(其中A为起点,B为终点).
2.向量的大小(模):向量的大小,也就是向量的长度,记作|a|或||.
3.零向量、单位向量、平行向量及相等向量
零向量:长度为0的向量,记做0,零向量的方向是任意的.
单位向量:长度等于一个单位的向量,显然向量是与向量a平行且同向的单位向量.
平行向量:方向相同或相反的非零向量,平行向量也叫共线向量.规定零向量与任何向量都共线.
相等向量:方向相同且长度相等的向量.由相等向量的概念可得向量可根据需要进行平移.
知识导学
本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.要学好本节内容，可从原有的位移、力等物理概念来引入向量，加强向量与数量的识别能力训练，了解向量丰富的实际背景，并用有向线段来描述向量.把向量和生活实际、几何图形联系起来，掌握向量的模、零向量、单位向量等概念.结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
疑难突破
1.为什么向量不能比较大小
剖析：向量是既有大小又有方向的量，向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小.所以在研究向量时，既要研究向量的大小，又要研究向量的方向，方向没有大小之分，不能比较两个向量的大小.
2.为什么说数学中的向量是自由向量
剖析：(1)两个非零向量只有当它们的模相等，同时方向相同时，才能称它们相等.
(2)任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，所以向量只有大小和方向两个要素，是自由向量.物理中的位移有三个要素，在数学中不考虑起点(力的作用点).例如：五个人站成一排，同时向前走一步(每个人的步子都一样大)，则每个人都有一个位移，这五个位移都相等，是相等向量.
(3)对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以自由平行移动的.因此，在用有向线段表示向量时，可以自由选择起点，所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上.3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识梳理
在三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α代替β等换元法可以推导出其他公式.你能根据下表回顾推导过程吗？
知识导学
要学好本节内容，可复习已学过的其他知识，充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系，为向量方法的运用做好准备.有意识地联想向量知识.向量的数量积是解决距离与夹角问题的工具，在两角差的余弦公式的推导中应如何能够体现它的作用？探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节，在补充完善细节的过程中，需要运用分类讨论思想，突破两角差的余弦公式的推导这一难点后，其他所有公式都可以通过自己的独立探索而得出.
疑难突破
1.两角和与差的正弦公式是怎样推导的？两角和与差正切公式是怎样推导的？
剖析：用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化：
sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ;
sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;
tan(α+β)=,
分式分子、分母同时除以cosαcosβ，得到tan(α+β)=.
注意：α+β≠+kπ,α≠+kπ,β≠+kπ(k∈Z).
tan(α-β)=tan［α+（-β）］=.
注意：α-β≠+kπ,α≠+kπ,β≠+kπ(k∈Z).
对于两角和与差的公式的异同要进行对比与分析，便于理解记忆和应用.
(1)明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号；
(2)要牢记公式，并能熟练地进行左右互相转化；
(3)和、差角公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成和、差角公式的特例.
2.三个基本的三角恒等变换.
剖析：（1）代换
这是一种常用的数学思想，特别是解三角题尤为突出，本部分主要代换是角的代换，常用的有:
α=(α+β)-β=β-(β-α)=［(α+β)+(α-β)］=［(α+β)-(β-α)］,
2α=(α+β)+(α-β)=(α+β)-(β-α),
4α=2·2α,α=2·等.
这几种代换形式要灵活掌握，解题中经常用到.
如α、β为锐角，cosα=,cos(α+β)=,则cosβ=_____________.
若展开cos(α+β)进行运算，则烦琐难解，但若利用β=(α+β)-α代换，则解法简便，大大降低了解题难度.
（2）公式的逆向、多向变换
使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，这是灵活使用公式所必需的，特别是三角函数公式.
如：计算sin20°cos50°-sin70°cos40°，能逆用两角差的正弦化为:
sin(20°-50°)=sin(-30°)=-.
计算.
以下几种变换要熟练掌握:
tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanαtanβ),
1tanαtanβ=,
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
cos2α=,sin2α=.
（3）引入辅助角的变换
对于形如asinα+bcosα(a,b不同时为0）的式子引入辅助角变为Asin(α+φ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期最值等.
要熟记以下常用变换:
sinα+cosα=sin(α+),sinα-cosα=sin(α-),
sinα+cosα=2sin(α+),sinα-cosα=2sin(α-).3.2
简单的三角恒等变换
知识梳理
一、半角公式的推导
半角公式的推导过程如下表：
二、关于asinx+bcosx形式的化简
教材上仅以一个例题的方式给出了这种变形，要求我们对此类变形要熟练地化成Asin(ωx+φ)或Acos(ωx+φ)的形式，理解此种变形的方法与依据。它的实质是逆用了两角和与差的正余弦公式将数值看成了特殊角的三角函数值得来的.在三角函数的化简、求周期、最值、单调区间等方面起着重要的作用.
三、关于和差化积、积化和差推导
1.积化和差公式推导
教材仅推了第一个，下面给出公式的全部推导过程：
由于sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;②
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;③
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.④
①+②,得sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］;
①-②,得cosαsinβ=［sin(α+β)-sin(α-β)］;
④+③,得cosαcosβ=［cos（α+β）+cos(α-β)］；
④-③,得sinαsinβ=-［cos(α+β)-cos(α-β)］.
2.和差化积公式推导
在积化和差公式中，如果“从右往左”看就是和差化积.
令α+β=θ,α-β=φ,则α=,β=.
代入第一个积化和差公式，可得sinθ+sinφ=2sin·cos.
同理可得sinθ-sinφ=2cossin;
cosθ+cosφ=2coscos;
cosθ-cosφ=-2sinsin.
知识导学
要学好本节内容，要以一般的数学（代数）变换思想为指导，加强对三角函数式特点的观察，注意体会三角恒等变换的特殊性.半角公式，虽然不要求记忆，但要熟悉公式的推导和使用，在解题过程中能熟练地进行变形，应用它们可以起到降幂或升幂的重要作用.关于和差化积、积化和差这两组公式要了解它们的推导过程，体会其中用到的换元与方程的思想.课本上虽然不要求记忆，但如果能记住会用，在解某些题目时会少绕弯路，起到事半功倍的效果.
疑难突破
1.代数式变换与三角变换有何异同？
剖析：三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系，推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系，从中体现了丰富的数学思想.从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点.相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换.由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式上，而且还表现在角及其函数类型上，因此三角恒等变换常常需要先考虑式子中各个角之间的关系，然后以这种关系为依据来选择适当的三角公式进行变换，这是三角恒等变换的主要特点.
2.如何确定半角的正弦、余弦、正切的无理式前的符号
剖析：（1）若给出角是某一象限角时，可根据下表决定符号：
α
sin
cos
tan
第一象限
一、三象限
+、-
+、-
+
第二象限
一、三象限
+、-
+、-
+
第三象限
二、四象限
+、-
-、+
-
第四象限
二、四象限
+、-
-、+
-
（2）若给出α的范围时，可先求出的范围，再根据的范围确定符号.
（3）若没有给出决定符号的条件时，则要保留正负两个符号.
3.tan还可以用sinα、cosα的有理表达式给出吗？对半角要有何广义上的理解呢？
剖析：（1）上述半角公式，虽然不要求记忆，但要熟悉公式的推导和使用，在解题过程中能熟练地进行变形，特别是sin2=与cos2=.应用它们可以起到降幂或升幂的重要作用，在三角函数的化简、求值、证明过程中有着举足轻重的地位.
（2）教材中半角公式给出了无理表达式：
sin=±,cos=±,
tan=±.
其中tan还可以用sinα、cosα的有理表达式给出：
tan=，可推导如下：
tan=;
或tan=,
即tan=.
这两个公式将tan表示为了sinα、cosα的有理表达式.使用它们在一些计算或化简过程中可避免开方和对根号前符号的判断，非常方便，如计算tan可直接化为-1，但应注意到tan=的适用范围是α≠kπ(k∈Z)，而tan=与tan=±的适用范围是α≠(2k+1)π(k∈Z).
（3）对于半角要有广义上的理解
如：4α=×8α,3α=×6α,=×3α,=×，=×…
又如：=×α,=×,…，等.
则有sin2,cos2,tan2等.1.1
任意角和弧度制
知识梳理
一、角的概念的推广
1.角：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.
2.角的分类：正角、零角、负角.
3.象限角：如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与
x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.
α是第一象限角可表示为{α|2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z}；
α是第二象限角可表示为{α|2kπ+＜α＜2kπ+π,k∈Z}；
α是第三象限角可表示为{α|2kπ+π＜α＜2kπ+,k∈Z}；
α是第四象限角可表示为{α|2kπ+＜α＜2kπ+2π,k∈Z}.
4.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角.
终边落在x轴非负半轴上的角的集合可记作：
α|α=2kπ,k∈Z；
终边落在x轴非正半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ+π,k∈Z;
终边落在y轴非负半轴上的角的集合可记作：
{α|α=2kπ+,k∈Z};
终边落在y轴非正半轴上的角的集合可记作：{α|α=2kπ+,k∈Z}；
终边落在坐标轴上的角可表示为：{α|α=,k∈Z}.
5.终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β=α+2kπ,k∈Z}.
二、弧度制
1.角度制:规定周角的1360为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制.
2.弧度的定义：规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即1360周角=1°，12π周角=1
rad.
3.弧度与角度的换算:
360°=2π
rad;180°=π
rad;
1°=rad≈0.017
45
rad；
1
rad=（180π）°≈57.30°=57°18′.
4.弧长公式：
l=|α|·r（其中r为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.
5.扇形的面积公式：S扇形=l·r=|α|r2（其中r为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.
知识导学
要理解任意角概念，可通过创设情境：“转体720°，逆（顺）时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.
疑难突破
1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？
剖析：（1）用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进制数，而度、分、秒之间的关系是六十进（退）位的.于是，为了找出与角对应的实数（我们学的实数都是十进制），需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.
（2）弧度制下的弧长公式l=|α|r,扇形面积公式S=|α|r2，与角度制下的弧长公式l=,扇形面积公式S=比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.
2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数，角的集合与实数集R是一一对应关系？
剖析：在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R建立了一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的角度数或弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（角的角度数或弧度数等于这个实数）与它对应.于是，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.有了角的集合与实数集R的一一对应关系，要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5°
，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题，因为弧度制是十进制的实数.1.6
三角函数模型的简单应用
知识梳理
三角函数的模型可以应用到实际问题中，那么三角函数模型的建立程序如下图：
知识导学
要学好本节内容，可通过4个例题，展现三角函数的简单应用，突出三角函数作为描述现实世界中周期变化现象的一种数学模型，其在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.通过实例理解将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，从而领会根据所得的模型解决问题，应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题.
疑难突破
1.解答三角函数应用题的一般步骤.
剖析：（1）理解材料，审清题意
三角函数应用题的语言形式多为“文字语言和图形语言”并用，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.
（2）搜集整理数据，建立数学模型
根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型.其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式.
（3）讨论变量关系
根据上一步中建立起来的变量关系，结合题目的要求，与已知数学模型的性质对照，讨论考查的有关性质，从而得到所求问题的理论参考值.
（4）作出结论
根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论.
2.利用三角函数解决实际问题时需要注意哪些方面？
剖析：（1）自变量x的变化范围.
（2）数形结合，通过观察图形，获得本质认识.
（3）要在实际背景中抽取基本的数学关系较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想、运用适当的数学模型.
（4）涉及复杂的数据，往往需要借助使用信息技术工具.2.2
平面向量的线性运算
知识梳理
一、向量加法
1.向量加法的定义
如图2-2-1，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b=+=.
图2-2-1
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a.
2.向量加法的运算律
(1)交换律：a+b=b+a.
(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
二、向量减法的定义
与a长度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.
求两个向量差的运算叫做向量的减法：a-b=a+(-b)，即向量a减去向量b相当于加上向量b的相反向量-b.
三、向量数乘
1.向量数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|=|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；
(3)当λ=0时，λa=0.
2.向量数乘的运算律
设λ、μ是实数，则有：
(1)λ(μa)=(λμ)a；
(结合律)
(2)(λ+μ)a=λa+μa；
(第一分配律)
(3)λ(a+b)=λa+λb.
(第二分配律)
知识导学
要学好本节内容，可从数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，从而顺理成章地接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.减法运算是加法运算的逆运算，应在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形作出减向量.通过探究类比数的运算性质，理解向量的加法交换律和结合律，通过画图验证的实验方法理解向量加法的交换律和结合律.
疑难突破
1.向量加法的运算法则.
剖析：（1）向量加法的平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就表示这两个向量的和.
图2-2-2
如图2-2-2，以A为起点作向量=a，=b，以、为邻边作ABCD，则以A为起点的对角线就是向量a与b的和，记作向量a+b=.
（2）向量加法的三角形法则：根据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则.
使用三角形法则特别要注意“首尾相接”.
具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和.简记“首尾相连，首是首，尾是尾”.如设a=,b=,c=,则a+b+c=++=.
用三角形法则求两个向量和的步骤是：
第一步：将b（或a）平移，使两个向量的一个起点与另一个终点相连；
第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和，也就是“作平移，首相连”.
注意：三角形法则和平行四边形法则是向量和的基本方法.但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则.
2.对向量加法的理解应该掌握哪几点？
剖析：(1)两个向量的和仍是一个向量.
(2)当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|＜|a|+|b|,这是三角形两边之和大于第三边的向量表示.
(3)特殊位置关系的两向量的和：
①向量a与b共线且方向相同时，a+b的方向与a（或b）的方向相同，且|a+b|=|a|+|b|.如图2-2-3(1).
②向量a与b反向且|a|＜|b|时,a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|；如图2-2-3(2).
图2-2-3
3.如何从“相反向量”这个角度求作a-b
？三角形法则可行吗？平行四边形法则呢？
剖析：a-b
的作法从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则.
减法的三角形法则作法：
∵(a-b)
+
b=
a+
(-b)
+
b=
a+
0=
a，
∴在平面内取一点O，作OA=a,
=
b,则=a-b，即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量(注意：差向量“箭头”指向被减向量).具体作法如图2-2-4(1)(a、b不共线)和图2-2-4(2)(a、b共线).
减法的平行四边形法则作法：当a、b不共线时，如图2-2-4（1）中，在平面内任取一点O，作=a，=-b，则由向量加法的平行四边形法则可得=a+（-b）=a-b，这是向量减法的平行四边形法则.若a、b同向共线，如图2-2-4(2)；若a、b异向共线，如图2-2-4(3).
图2-2-4
4.向量数乘的几何意义
剖析：(1)对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由向量共线的定义知向量a与b共线；已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μ
a，当a与b反方向时，有b=-μ
a.
(2)判断向量a(a≠0)与b是否共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得b=μ
a.
(3)判断A、B、C三点共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得=μ.
(4)如果向量a与b不共线，且λ
a=μ
b，那么λ=μ=0.
(5)向量λ(μ1a+μ2b)=λμ1a+λμ2b可以用平行四边形法则作出，如图2-2-5.
图2-2-52.5
平面向量应用举例
知识梳理
一、向量在平面几何中的应用
平面几何中的共线、共点、平行、线段间的关系、直线的夹角等问题，都可以考虑重新用向量的知识来试着解决它们.
对于平面几何中的共线（平行）问题，往往可以转化为考虑与其相关的一对向量的平行问题.
对于平面几何中的直线共点问题，常常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再通过借助于向量的知识来说明其他直线也过这点.
对于平面几何中的线段间的关系问题，又往往可以考虑相关向量的模长问题等来帮助解决.
对于求直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的夹角，则只要求与这两条直线平行的两个向量的夹角，再取这两个向量的夹角或其补角，即与直线l1、l2分别平行的向量m=(-B1,A1)，n=(-B2,A2)，设向量m、n的夹角为θ，则cosθ=,当cosθ＜0时，直线l1、l2的夹角等于π-θ；当cosθ≥0时，直线l1、l2的夹角等于θ.
二、向量在物理中的应用
力向量：力向量不同于自由向量，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点.大小相同方向相同的两个自由向量互为相等向量，但大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的.但是力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.
速度向量：向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量都是这种量，除了上面所研究的力外，速度也是既有大小又有方向的量.一质点在运动中每一个时刻都有一个速度向量.
知识导学
要学好本节内容，可结合实例掌握处理几何问题的代数方法，结合不用向量方法如何证明“思考”,对不同解题方法进行比较,从中体会向量方法的优越性所在.用向量方法解答物理问题的模式策略：
(1)建模,把物理问题转化为数学问题；
(2)解模,解答得到的数学问题；
(3)回答,利用解得的数学答案解释物理现象.
疑难突破
1.如何用向量方法“三步曲”解决“证明平行四边形的对角线互相平分”这个平面几何问题.
剖析：第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.作平行四边形ABCD,M是对角线AC、BD的交点.设=a,=b.
第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系.
由向量加法法则+=a++=b.故2++=a+b.另外,
+=a+b.两式相减得-++=0.
因为-与共线,
+与共线.由向量共线的等价条件,存在实数λ、μ,使-=λ,+=μ.
∴λ+μ=0.而与不共线,∴λ=μ=0,
即-=+=0.∴=,=.
第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.
∴M既是AC的中点,又是BD的中点,即AC和BD互相平分.
2.向量问题和物理问题有哪些相关知识？
剖析：（1）力、速度、加速度、位移都是向量；
（2）力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；
（3）动量mv是数乘向量；
（4）功的定义即是力F与位移s的数量积.
3.用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题.其基本思路和方法为何？
剖析：(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；
(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；
(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；
(4)利用这个结果，对原物理现象作出解释.1.2
任意角的三角函数
知识梳理
一、任意角的三角函数
1.定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r=＞0)，那么
sinα=,cosα=,tanα=.
2.在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.
如图1-2-1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么
图1-2-1
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y;
（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cos=x；
（3）叫做α的正切，记做
tanα，即tanα=(x≠0).
3.三角函数的定义：正弦、余弦、正切等以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称三角函数.
二、三角函数的定义域、值域
函
数
定义域
值域
y=sinα
R
［-1,1］
y=cosα
R
［-1,1］
y=tanα
{α|α≠+kπ,k∈Z}
R
三、三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知：
（1）正弦值对于第一、二象限为正（y＞0,r＞0），对于第三、四象限为负（y＜0,r＞0）；
（2）余弦值对于第一、四象限为正（x＞0,r＞0），对于第二、三象限为负（x＜0,r＞0）；
（3）正切值对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y异号）.
四、诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.
即有sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα，其中k∈Z.
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0—2π间角的三角函数值问题.
五、正弦线、余弦线、正切线
1.有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.规定：与坐标轴轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负.
2.三角函数线的定义：
在单位圆中，设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x,y）,过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点A（1，0）作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T.
图1-2-2
由图1-2-2看出：
当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y,于是有sinα=MP,
cosα=OM,tanα=AT.我们就分别称有向线段MP\,OM\,AT为正弦线、余弦线、正切线.
六、同角的三角函数的基本关系
1.平方关系：
sin2α+cos2α=1.
2.商数关系：=tanα.
知识导学
要学好本节内容，可从复习初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数入手.把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.总结方法,通过做练习,巩固所学知识.
疑难突破
1.求任意角的三角函数值时应注意的几点.
剖析：(1)以后在平面直角坐标系内研究角的问题的，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.
(2)α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值与α绕x轴转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积，其余五个符号也是这样.
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
(5)为了便于记忆，可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.
2.三角函数线的几点说明.
剖析：（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点.
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值.
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面.2.4
平面向量的数量积
知识梳理
1.平面向量数量积的含义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（linner
product）（或内积），记作a·b，即规定a·b=|a||b|cosθ,其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影（projection）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.
2.平面向量数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则有：
(1)a·b=b·a；
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
3.平面向量数量积的坐标表示
（1）设a=(x1，y1)，b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2.
（2）平面向量数量积公式的几个推论：
①若a=(x，y),则有|a|=;
②设A、B两点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)，则|AB|=.
③若a=(x1,y1),b=(x2，y2),a、b的夹角为θ，则有
cosθ=.
若θ=90°，则cosθ=0，公式变形为x1x2+y1y2=0，这是两向量垂直的等价说法，即a⊥bx1x2+y1y2=0.
知识导学
要学好本节内容，可通过探究活动利用向量的数量积定义推导有关结论，通过概念辨析题加深对平面向量数量积的认识，在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，以熟练地应用数量积的性质.处理向量的问题我们可以有两种思路:一是纯向量式,二是向量的坐标式,我们要灵活运用,二者互相补充,根据不同题目选择不同的方法.
疑难突破
1.向量的夹角.
剖析：（1）如图2-4-1，已知两个向量a、b，作=a，=b,则∠AOB叫做向量a、b的夹角.
图2-4-1
（2）两个向量a、b的夹角θ∈［0,π］.当θ=0时，a、b同向，当θ=π时，a、b反向.当θ=90°时，两向量a与b垂直，并记作a⊥b.
2.向量的数量积与实数的乘法有何区别
剖析：
(1)如果两个数a·b=0，则a与b中至少有一个为0.而a·b=0可推导出以下四种可能：
①a=0，b=0；②a=0，b≠0；③a≠0，b=0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)对于数量有：实数a、b、c且ab=ac,a≠0b=c.但对于向量，这种推理就不正确，即a·b=a·c，且a≠0推不出b=c.
例如：|a|=1，|b|=,|c|=,a与b的夹角为,a与c的夹角为0°，
显然a·b=a·c=，但b≠c.
3.怎样确定两个向量的数量积的符号
剖析：两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量夹角余弦值的乘积，由于|a|、|b|均为正数，故其符号由夹角来决定.
当0°≤θ＜90°时，cosθ＞0，a·b＞0；
当θ=90°时，a·b=0；
当90°＜θ≤180°时，
cosθ＜0，a·b＜0.
4.向量的运算律
剖析：(1)a·b=|a||b|cosθ=|b||a|cosθ=b·a;
(2)(λa)·b=λ|a||b|cosθ=λ(|a||b|cosθ)=λ(a·b),
又λ|a||b|cosθ=|a|λ|b|cosθ=a·(λb),
∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)如图2-4-2，任取一点O，作=a，=b，=c.因为a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2，
图2-4-2
∴|c||a+b|cosθ=|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2.
∴c·(a+b)=c·a+c·b.
∴(a+b)·c=a·c+b·c.
值得注意的是：（1）两个向量的数量积是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定.
（2）两个向量a、b的数量积a·b与代数中a、b的乘积a·b不同，书写时要严格区分开.
