2.5
平面向量应用举例（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度问题．2．掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
1．由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．
2．用向量方法解决平面几何问题的三步曲：
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系．
思考平面几何中常涉及：①求线段的长度或证明线段相等；②证明直线或线段垂直；③线段平行或涉及共线问题；④求夹角问题．对于上述问题，利用向量的方法如何解决？
提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0，且b≠0)，a与b的夹角为θ.
①求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量的模|a|＝；
②证明垂直或涉及垂直问题，常用向量垂直的等价条件：非零向量a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0；
③线段平行或涉及共线问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0) a＝λb x1y2－x2y1＝0；
④求夹角问题，常利用向量的夹角公式：
cos
θ＝＝.
特别提醒向量法解决几何问题的两个方向
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算．1.5
函数y=Asin（ωx+ψ）的图象（第2课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.知道函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数A，ω，φ的物理意义．2．整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题．3．会用三角函数的部分图象求解析式.
1．简谐运动
简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))中，A叫振幅，T＝叫周期，f＝叫频率，ωx＋φ叫相位，φ叫初相．
思考1在简谐运动中，y＝－sin的初相、振幅、周期分别为多少？在确定这些量时，需注意什么问题？
提示：y＝－sin的周期T＝π，但振幅A≠－1，初相φ≠－.因为y＝Asin中A>0，所以该函数需变形为y＝－sin＝sin＝sin，所以初相φ＝，振幅A＝1.在确定这些量时，必须利用诱导公式先化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其中A>0，ω>0.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(其中A，ω，φ为常数)如下：
(1)定义域为R.
(2)值域为[－|A|，|A|]．
(3)周期为T＝.
(4)当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；
当φ＝＋kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
(5)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为函数的单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为函数的单调递减区间．
若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A>0，ω<0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间为原函数的单调递减区间，单调递减区间为原函数的单调递增区间．
(6)y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程由ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)求得，即x＝
(k∈Z)．
对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，即为
(k∈Z)．
思考2函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？
提示：对称中心为图象与x轴的交点，对称轴为过图象最高点或最低点与x轴垂直的直线．
思考3根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如何确定φ？
提示：确定φ的方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在递增区间上还是在递减区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
1
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解平面基底的含义，并能判断基底．2．理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内的任一向量．3．掌握两个向量夹角的定义以及两个向量垂直的定义.
平面向量基本定理
思考1设e1，e2是平面向量的一组基底，则e1，e2中可能有零向量吗？平面向量的基底唯一吗？
提示：平面向量基本定理的前提条件是e1，e2不共线，若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线即可，且基底不同时，实数λ1，λ2的值也不相同．
思考2向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？
提示：向量的夹角α的范围为0°≤α≤180°，两条直线的夹角β的范围是0°≤β≤90°.1.5
函数y=Asin（ωx+ψ）的图象（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.能够将y＝sin
x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的简图．2．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．3．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图.
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin
x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
即y＝sin
x的图象y＝sin(x＋φ)的图象．
思考1如何把函数y＝sin(x＋φ)的图象变换成y＝sin
x的图象？
提示：只需把y＝sin(x＋φ)的图象向左(φ<0)或向右(φ>0)平移|φ|个单位便可以得到y＝sin
x的图象．
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
即y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象．
思考2把y＝sin(x＋φ)的图象伸长或缩短为原来的倍，得函数y＝sin
ω(x＋φ)的图象，这句话正确吗？其中ω>0.
提示：不正确．ω影响函数y＝sin(ωx＋φ)的周期．函数y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标变化、纵坐标不变得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，ω只对x发生作用，不改变φ的值．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
即y＝sin(ωx＋φ)的图象
y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的常见画法
(1)五点法：①列表；②描点；③连线．
(2)变换法：
由y＝sin
x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的方法如下：
①先平移后伸缩
②先伸缩后平移
思考3由y＝sin
2x的图象如何平移得到y＝sin的图象？是向左平移个单位吗？
提示：不是．∵y＝sin＝sin
2，
∴应将y＝sin
2x的图象向左平移个单位．1.4
三角函数的图象与性质（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解利用正弦线作正弦函数图象的方法．2．掌握正弦函数、余弦函数的图象，知道它们之间的关系．3．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.
1．正、余弦函数解析式
函数
解析式
定义域
正弦函数
y＝sin
x
R
余弦函数
y＝cos
x
R
2．正弦线法画图象
(1)可以利用单位圆中的正弦线作y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象．
(2)y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin
x，x∈R的图象．
思考1为什么把y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象向左、向右平移2π的整数倍个单位长度图象形状不变？
提示：由公式sin(x＋2kπ)＝sin
x，k∈Z可得．
3．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sin
x，x∈R和余弦函数y＝cos
x，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
(2)图象：如图所示．
思考2如何由y＝cos
x(x∈R)的图象得到y＝sin
x，x∈R的图象？方法唯一吗？
提示：(1)sin
x＝cos，故只需把y＝cos
x，x∈R的图象向左平移个单位便可得到y＝sin
x，x∈R的图象．
(2)方法不唯一．如sin
x＝cos，即也可以把y＝cos
x，x∈R的图象向右平移个单位得到y＝sin
x，x∈R的图象．
4．“五点法”作正、余弦函数的图象
正弦函数图象的五点
(0,0)
(π，0)
(2π，0)
余弦函数图象的五点
(0,1)
(π，－1)
(2π，1)
思考3为什么用“五点法”可以得到y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象？
提示：“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取五个点)，分别找到函数图象的最高点、最低点及平衡点．因为这五个点大致确定了函数图象的位置与形状，所以由此可以作出函数的简图．1.6
三角函数模型的简单应用
预习导航
课程目标
学习脉络
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期规律、预测其未来方面发挥重要作用．
2．三角函数模型的建立程序
思考三角函数最明显的特点是周期性，用三角函数模型解决的实际问题也必然是具有周期性变化规律的，在现实生活中，你能举例说明哪些现象具有周期性吗？
提示：例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性；交变电流变化的周期性．1.1
任意角和弧度制（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解任意角的概念，能区分各类角的概念．2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．3．理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题.
1．任意角
任意角
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
思考1始边和终边重合的角一定是零角吗？
提示：零角的始边和终边重合，但是始边和终边重合的角不一定是零角，始边和终边重合的角是周角的整数倍，即k·360°(k∈Z)．
思考2将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？
提示：不相等，度量一个角的大小，既要考虑旋转量，又要考虑旋转方向，故题中两种旋转方法所形成的角不相等．
按逆时针方向旋转60°得到的角记为60°，按顺时针方向旋转60°得到的角记为－60°.
2．象限角
(1)前提：
①角的顶点：与原点重合；
②角的始边：与x轴的非负半轴重合．
(2)结论：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；
角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．
思考3请写出角的终边在各象限的集合表示．
提示：象限角的取值范围
第一象限角：
{α|k·360°<α第二象限角：
{α|k·360°＋90°<α第三象限角：
{α|k·360°＋180°<α第四象限角：
{α|k·360°＋270°<α思考4请写出终边在坐标轴上的角的集合表示．
提示：终边在坐标轴上的角：
角的终边的位置
集合表示
x轴的非负半轴
{α|α＝k·360°，k∈Z}
x轴的非正半轴
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
y轴的非负半轴
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
y轴的非正半轴
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
y轴
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
x轴
{α|α＝k·180°，k∈Z}
坐标轴
{α|α＝k·90°，k∈Z}
3．终边相同的角
终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考5若角α，β的终边相同，那么α与β相等吗？
提示：若角α，β的终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β，所以α，β的数量关系为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即α，β的大小相差360°的k倍，所以α与β不一定相等．例如，45°与－675°的终边相同，但它们不相等，相差720°即360°的2倍．1.4
三角函数的图象与性质（第2课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解周期函数的定义，知道周期函数的周期和最小正周期的含义．2．知道正弦函数和余弦函数都是周期函数．3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的周期.
1．周期函数
(1)定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)规定：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的最小正周期．
思考1是否所有周期函数都有最小正周期？
提示：并不是所有周期函数都存在最小正周期．
如常数函数f(x)＝c(c为常数)，x∈R，即对定义域内的每一个值x都有f(x＋T)＝f(x)＝c，由于正数中无最小者，故无最小正周期．
2．两种特殊的周期函数
(1)正弦函数y＝sin
x是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
(2)余弦函数y＝cos
x是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
思考2函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期与什么量有关？周期公式是什么？
提示：三角函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的周期只与ω有关，而与A，φ无关，周期公式为T＝
(ω>0)．3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第3课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．灵活应用二倍角公式及其变形解决有关化简、求值和证明问题．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函数
公式
简记
正弦
sin
2α＝2sin_αcos_α
S2α
余弦
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
C2α
正切
tan
2α＝
T2α
思考1
公式S2α，C2α，T2α的适用范围是否相同？
提示：公式S2α，C2α中，角α可以为任意角，但公式T2α只有当α≠＋kπ及α≠＋
(k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝＋kπ，k∈Z时，tan
α的值不存在；当α＝＋，k∈Z时，tan
2α的值不存在)．当α＝＋kπ(k∈Z)时，虽然tan
α的值不存在，但tan
2α的值是存在的，这时求tan
2α的值可利用诱导公式，即tan
2α＝tan
2＝tan(π＋2kπ)＝tan
π＝0．
思考2
倍角公式中的“倍角”是如何理解的？
提示：倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用α作为的二倍，3α作为的二倍，4α作为2α的二倍，α＋β作为的二倍等．这里的“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．
特别提醒
在本节的公式中，有几个常用的变形公式要熟记．
常见的变形有：
(1)1±sin
2α＝(sin
α±cos
α)2；
(2)
升幂公式；
(3)
降幂公式．3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第2课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
本节内容是由两角差的余弦公式推导出来的，而这些公式是高考必考的基本公式．1．能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解其内在联系．2．能用上述公式进行求值、化简等.
和角、差角公式如下表：
名称
公式
简记
差的正弦
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
S(α－β)
差的余弦
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
C(α－β)
差的正切
tan(α－β)＝
T(α－β)
和的正弦
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
S(α＋β)
和的余弦
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
C(α＋β)
和的正切
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
逻辑联系
思考1
在公式T(α－β)，T(α＋β)中，α，β的使用范围是什么？
提示：在公式T(α－β)中，α，β∈R，且α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)；
在公式T(α＋β)中，α，β∈R，且α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
思考2
两角和与差的正弦公式与余弦公式从形式上看有什么区别？
提示：余弦公式右边函数名的排列顺序为：余·余±正·正，左右两边加减运算符号相反．
正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同．
思考3
两角和与差的公式满足分配律吗？
提示：一般情况下，不满足分配律．
即一般情况下，sin(α±β)≠sin
α±sin
β，cos(α±β)≠cos
α±cos
β，tan(α±β)≠tan
α±tan
β.
思考4
对于三角函数式sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)·sin
β的化简，你是如何进行的？
提示：使用公式时不仅要会正用，还要能够活用、逆用公式．因此对于sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β的化简，如果利用sin(α＋β)，cos(α＋β)展开，再化简也可得结果为sin
α，但比较麻烦．若采用整体思想，则可按如下变形：sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β＝sin[(α＋β)－β]＝sin
α.
思考5
如何化简asin
α±bcos
α(ab≠0)
提示：逆用两角和与差的公式进行化简．
asin
α±bcos
α
＝，
∵＝1，
∴可设cos
θ＝，sin
θ＝，
则tan
θ＝(θ为辅助角)．
∴asin
α±bcos
α＝(sin
αcos
θ±cos
αsin
θ)＝sin(α±θ)．
此化简可称为辅助角公式．如sin
α＋cos
α
＝
＝＝.
特别提醒
在应用两角和与差的公式时，要注意以下问题：(1)要观察清楚三角函数式中出现的函数名称及运算符号；(2)对于公式，不但要会正用，还要会逆用；(3)公式的变形应用，一般有两个方面，一个是公式本身的变形，如tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)；另一个是角的变形，即角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，15°＝60°－45°等，这也是整体思想的体现．总之，要在平时的解题中多总结，多研究，多留心，这样才能在解题中知道如何选择公式，选择哪一个公式会更好．2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
2
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解平面向量的坐标的概念；2．会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.
1．平面向量的正交分解
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
思考1由向量的坐标定义知，当且仅当两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)满足什么条件时相等？
提示：两向量相等当且仅当它们的坐标相等，即a＝b x1＝x2且y1＝y2.
3．向量与坐标的关系
设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
思考2点的坐标与向量坐标的区别与联系是什么？
提示：(1)区别：
①表示形式不同，向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
②意义不同，点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)．
(2)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．2.2
平面向量的线性运算（第3课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解向量数乘的定义及几何意义．2．掌握向量数乘的运算律，并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两个向量共线.
1．向量的数乘
定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
长度
|λa|＝|λ||a|
方向
λ>0
λa的方向与a的方向相同
λ＝0
λa＝0
λ<0
λa的方向与a的方向相反
思考1
向量数乘与原向量有什么样的关系？
提示：向量数乘与原向量是共线向量．
思考2
向量数乘λa的几何意义是什么？
提示：(1)当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长了|λ|倍．
(2)当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短了|λ|倍．
思考3向量的大小与方向如何？
提示：向量的大小为1，方向与a的方向相同，所以该向量是向量a方向上的单位向量．
2．向量数乘的运算律
向量的数乘运算满足下列运算律：
设λ，μ为实数，则
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
特别提醒向量的数乘运算、加减运算类似于多项式的运算，运算过程类似于多项式的“合并同类项”．
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
思考4共线向量定理中为何要限制a≠0
提示：共线向量定理中，若不限制a≠0，则当a＝b＝0时，λ的值不唯一，定理不成立．并且当b≠0，a＝0时，λ的值不存在．
特别提醒(1)如果非零向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0.
(2)共线向量定理可以分为两个定理：
判定定理：如果存在一个实数λ满足b＝λa(λ∈R)，那么a∥b.
性质定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
4．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.1.3
三角函数的诱导公式
2
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解并掌握诱导公式五、六的结构特征及记忆方法．2．会用诱导公式五、六求三角函数的值，并会对简单三角函数式化简和证明.
诱导公式五、六如下表：
公式五
sin＝cos_α
cos＝sin_α
公式六
sin＝cos_α
cos＝－sin_α
公式五和公式六可以概括为：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
思考1如何对所有诱导公式进行记忆？
提示：诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．理解如下：
(1)任意角一定可写成k·±α(k∈Z)的形式，则k为奇数时，函数名改变．
(2)“象限”是将α看作锐角时，k·±α(k∈Z)所在的象限决定原函数值的符号．
思考2若α≠，k∈Z，如何借助商数关系推导tan，tan的诱导公式？
提示：tan＝＝＝；
tan＝＝＝－.1.2
任意角的三角函数（第2课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解三角函数线的定义和意义．2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．3．会利用三角函数线比较三角函数值的大小，会解简单的三角不等式.
三角函数线
(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．
(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．
过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T，这样就有sin
α＝MP，cos
α＝OM，tan
α＝AT.单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．
思考1三角函数线的方向如何确定？
提示：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与α的终边(或反向延长线)的交点．
思考2三角函数线的意义是什么？
提示：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
思考3当角α的终边与x轴重合或与y轴重合时，三角函数线的情况如何？
提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．1.3
三角函数的诱导公式（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握π±α，－α，－α的终边与α的终边的对称性．2．理解并掌握诱导公式二、三、四的结构特征及记忆方法．3．会运用诱导公式二、三、四求三角函数的值及化简与证明简单的三角函数式.
1．特殊角的终边对称性
(1)π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图①；
(2)－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图②；
(3)π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图③；
(4)
－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，如图④.
2．诱导公式
公式一
sin(α＋2kπ)＝sin
α
cos(α＋2kπ)＝cos
α
tan(α＋2kπ)＝tan_α
公式二
sin(π＋α)＝－sin_α
cos(π＋α)＝－cos
α
tan(π＋α)＝tan
α
公式三
sin(－α)＝－sin
α
cos(－α)＝cos_α
tan(－α)＝－tan
α
公式四
sin(π－α)＝sin
α
cos(π－α)＝－cos_α
tan(π－α)＝－tan_α
说明：(1)公式一中k∈Z；(2)公式一～四可以概括为：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
思考1若α是第三象限角，则sin(π－α)＝sin
α成立吗？
提示：公式sin(π－α)＝sin
α中的α是任意角，不因角α所在的象限而改变三角函数值，所以无论α是第几象限角，都有sin(π－α)＝sin
α.
思考2存在α∈R，使sin(π＋α)＝sin
α成立吗？
提示：存在α＝kπ，k∈Z，使sin(π＋α)＝sin
α＝0成立．
思考3诱导公式二、三、四的记忆口诀是什么？
提示：函数名不变，符号看象限．
3．公式一～四的应用
思考4上述步骤的记忆口诀是什么？
提示：负化正，大化小，化到锐角再求值，体现了化归思想．1.1
任意角和弧度制（第2课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解弧度制的概念．2．能进行弧度和角度的互化．3．会计算弧长和扇形面积.
1．弧度制的定义
(1)角度制
(2)弧度制
思考1在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等，这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．
2．弧度数的计算
角
弧度数
正角
正数
负角
负数
零角
0
计算公式
|α|＝
思考2弧度制公式|α|＝是否可以写成α＝，|α|的取值与所取圆的半径大小是否有关？
提示：使用公式|α|＝求角时，得出的是角α的弧度数的绝对值大小，其正负由角α终边的旋转方向决定，故不能写为α＝.|α|的取值与所在圆的半径大小无关，它由比值唯一确定．
3．角度制与弧度制的相互转化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π
rad
2π
rad＝360°
180°＝π
rad
π
rad＝180°
1°＝
rad≈0.017
45
rad
1
rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
4．特殊角的弧度数与角度数对应表：
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
角度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
π
2π
思考3
在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什么？
提示：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法，应写成α＝2kπ＋，k∈Z.
5．弧度制下的弧长与扇形面积公式
若扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则
(1)弧长公式：l＝|α|r.
(2)扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2.
思考4在上述公式中的角α是否可以用角度制表示？
提示：不可以，在不同的度量角的制度下，扇形的弧长和面积公式的形式是不同的，在应用时必须选用与角的度量制对应的公式．2.1
平面向量的实际背景及基本概念
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量．2．理解向量、相等向量、共线向量、零向量的概念及向量的表示.
1．向量的概念
(1)向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)数量：把那些只有大小，没有方向的量，称为数量．
(3)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点．以A为起点、B为终点的有向线段记作
(如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．
(4)有向线段的三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定了．
思考1两个向量可以比较大小吗？
提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．
2．向量的表示法
(1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的长度(或称模)，如向量的长度记作||.
(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量．书写时，可写成带箭头的小写字母，，，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为.
特别提醒(1)向量的书写要规范，如向量a不能写成a；
(2)向量的起点、终点要搞清，如与的起点与终点正好相反．
3．有关概念
思考2单位向量都相等吗？
提示：不一定，单位向量的模相等，都等于1，但方向不一定相同．
思考3表示相等向量的有向线段一定重合吗？
提示：不一定，也可以平行，或在一条直线上．
思考4共线向量与相等向量有什么关系？
提示：相等向量一定共线，而共线向量不一定相等．
特别提醒(1)零向量表示为0，而不是数字0；零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量是共线向量．
(2)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线．2.2
平面向量的线性运算（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．3．掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算.
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个向量．
2．向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
3．向量加法的平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
思考1向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别与联系是什么？
提示：(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示，＝＋
(平行四边形法则)．
又∵＝，∴＝＋
(三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同．
思考2向量加法的三角形法则能否推广用来求多个向量的和？
提示：能．向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n个向量的和等于从折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则的实质是三角形法则的连续应用．
4．向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
思考3
零向量与其他向量的加法运算是怎样规定的？
提示：对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝0＋a＝a.
思考4
||a|－|b||，|a＋b|，|a|＋|b|之间的大小关系是怎样的？
提示：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，|a＋b|＝|a|＋|b|；
当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，||a|－|b||＝|a＋b|.2.5
平面向量应用举例（第2课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.体会用向量法解决物理中的力学问题．2．体会用向量法解决物理中的速度问题.
1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．
2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法．
特别提醒向量在物理中的应用需注意的问题：
学习向量在物理中的应用要注意两个方面的问题：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．
在解决具体问题时要明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：
(1)力、速度、加速度和位移是向量；
(2)力、速度、加速度和位移的合成与分解就是向量的加减法；
(3)动量mv是数乘向量；
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．
应用举例
物理
力学
速度3.2
简单的三角恒等变换（第2课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1．能利用三角恒等变换讨论三角函数的性质．2．利用所学公式进行三角恒等变换，总结三角恒等变换的方法．3．掌握三角恒等变换在实际问题中的应用.
1．升降幂公式
(1)升幂公式：1＋cos
α＝2cos2；1－cos
α＝2sin2.
(2)降幂公式：sin2α＝；cos2α＝.
2．辅助角公式
asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)
其中=，=，=.
思考
三角函数求值、化简和三角恒等式的证明，基本思想是“变换”．在三角函数问题中，变换的基本方向有哪些？
提示：在三角函数问题中有两个基本方向：变换函数名称与变换角的形式．变换函数名称时，可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式及对角进行代数形式的变换等．2.4
平面向量的数量积
2
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．2．会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系.
平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：
坐标表示
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝或|a|2＝x＋y
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则||＝
垂直
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
夹角
cos
θ＝＝
思考1与非零向量a同向的单位向量的坐标如何表示？
提示：由于|a|＝≠0，且单位向量a0＝，所以a0＝＝
(x，y)＝，此为与非零向量a＝(x，y)同向的单位向量的坐标．
思考2对任意的向量a与b，向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立吗？
提示：不一定．当a＝(0,0)时，|a|＝0，此时，cos
θ＝
无意义，但夹角为0°；同时，a·b＝x1x2＋y1y2＝0，但向量a与b不垂直，而是a∥b.故向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立的前提条件是a≠0且b≠0.1.2
任意角的三角函数（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.借助于单位圆，理解三角函数的定义．2．会判断给定角的三角函数值的符号．3．会利用公式一把任意角的三角函数值转化为[0,2π)范围内的角的三角函数值.
1．任意角的三角函数
(1)单位圆：在直角坐标系中，称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
(2)三角函数的定义：如图所示，α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以α的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系．
设P(x，y)是α的终边与单位圆的交点．
①y叫做α的正弦，记作sin
α，即sin
α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos
α，即cos
α＝x；
③叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝
(x≠0)．
(3)三角函数定义域如下表所示，
三角函数
解析式
定义域
正弦函数
y＝sin
x
R
余弦函数
y＝cos
x
R
正切函数
y＝tan
x
思考1
若P(x，y)(除原点外)为角α终边上任意一点的坐标，则角α的三角函数如何确定？
提示：设点P(x，y)到原点(0,0)的距离为r，则r＝，则sin
α＝＝，cos
α＝＝，tan
α＝(x≠0)．
2．三角函数值的符号
sin
α，cos
α，tan
α在各个象限的符号如下：
思考2三角函数在各象限的符号是如何确定的？
提示：由三角函数的定义知，三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．
3．诱导公式一
(1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等．
(2)式子表示：
(k∈Z)．
思考3诱导公式一的实质是什么？有什么作用？
提示：诱导公式一实质上是终边相同的角的三角函数值相等，它的作用是把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．由公式，可知三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
4
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．能用向量的坐标表示判定向量是否共线．证明三点共线.
平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．
思考1如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？
提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．
思考2已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a和向量b共线条件的表示方法有哪些？
提示：在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，当b≠0时，a和b共线条件的表示方法有以下三种形式：
(1)当b≠0时，a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝，即两个向量的对应坐标成比例．这种形式是较容易记忆的向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．1.2
任意角的三角函数（第3课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解同角三角函数的基本关系式．2．能正确运用基本关系式进行化简、求值与证明.
同角三角函数的基本关系
思考1
如何理解“同角三角函数的基本关系”中的“同角”？
提示：“同角”包含两层含义：一是角相同，如sin2α＋cos2β＝1不一定成立；二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1，sin23α＋cos23α＝1等．
思考2同角三角函数的基本关系式有哪些变形形式？
提示：除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形式：
sin2α＋cos2α＝1 sin2α＝1－cos2α，
cos2α＝1－sin2α；
tan
α＝ sin
α＝tan
α·cos
α；
(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin_αcos_α，
(sin
α－cos
α)2＝1－2sin_αcos_α.
三角函数的定义
同角三角函数的基本关系
化简、求值、证明
描述方
基本关系式
语言描述
基本关系
同一个角a的正弦、
平方关系imu+cos=1|余弦的平方和等
于1
In
a
tan
a
同一个角a的正弦、
COs
c
商数关系
余弦的商等于角a
a≠kx+,k∈Z)的正切3.2
简单的三角恒等变换（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1．体会倍角公式的变形及得出的半角公式．2．熟练掌握asin
x＋bcos
x的变形及性质，并能应
用于三角函数式的化简、求值等问题中．
1．半角公式(不要求记忆)
sin＝±，cos＝±，tan＝±＝＝．符号由所在的象限决定．
思考
半角公式根号前的符号如何确定？
提示：确定半角的正弦、余弦、正切表示式前符号的原则：(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；(2)若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据所在范围选用符号；(3)如给出的α是某一象限的角时，则根据下表决定符号：
α
sin
cos
tan
第一象限
第一、三象限
＋、－
＋、－
＋
第二象限
第一、三象限
＋、－
＋、－、
＋
第三象限
第二、四象限
＋、－
－、＋
－
第四象限
第二、四象限
＋、－
－、＋
－
2．常见的三角恒等变换
(1)asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tan
φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．这个公式也叫做辅助角公式．
(2)sin2x＝，cos2x＝，sin
xcos
x＝sin_2x．
名师点拨
几种常见的三角变换技巧：
(1)常值代换
用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．如前面所讲到的“1”的代换就是一种特殊的常值代换．
(2)切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切时，利用同角的基本三角函数关系式tan
α＝将正切化为正弦
和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称，转化为正弦、余弦的恒等变换．
(3)降幂与升幂
由C2α变形后得到公式：sin2α＝
(1－cos
2α)，cos2α＝
(1＋cos
2α)，运用它就是降幂．
反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos
2α＝2cos2α，1－cos
2α＝2sin2α，就是升幂．
(4)角的变换
角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝
[(α＋β)＋(α－β)]，α＝
[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等．
(5)配方法
如1±sin
α＝2，
4sin2α－4sin
α＋1＝(2sin
α－1)2．
(6)换元法
利用公式中角的任意性，根据需要变换角的形式．例如由Cα－β推出Cα＋β，再推出C2α等．
(7)公式的逆用和变用
灵活逆用和变用公式可以丰富三角恒等变换的方法．例如：T(α＋β)，可变形为tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)；asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ)或asin
α＋bcos
α＝cos(α－φ)实为S(α＋β)(或C(α－β))的逆用．1.4
三角函数的图象与性质（第4课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.能借助单位圆中的正切线画出y＝tan
x的图象．2．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．3．能利用正切函数的图象与性质解决问题.
正切函数的图象与性质
(1)图象：如图所示．
正切函数y＝tan
x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象叫做正切曲线．
(2)性质：如下表所示.
思考1如何作正切函数的图象？
提示：用“三点两线法”可作正切函数的图象．
“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x＝－和x＝.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向左、右扩展即可得正切曲线．
思考2能否认为正切函数在其定义域内是单调增函数？
提示：函数的单调性是相对于某一区间而言的，虽然y＝tan
x，x≠＋kπ，k∈Z在每一个区间，k∈Z上是单调增函数，但并不能说在整个定义域上是单调增函数，如：虽然>，但tan＝－1思考3正切函数图象与x轴有无数个交点，交点的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，因此有人说正切函数图象的对称中心为(kπ，0)，这种说法对吗？
提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(kπ，0)对称，还关于点
(k∈Z)对称，因此正切函数y＝tan
x的对称中心为
(k∈Z)．2.2
平面向量的线性运算（第2课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解相反向量的意义；知道向量减法的定义．2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量.
1．相反向量
定义
如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量
性质
①对于相反向量，有a＋(－a)＝0
②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0
③零向量的相反向量仍是零向量
特别提醒(1)相反向量要从向量的“长度”与“方向”两个方面去理解；
(2)相反向量必为平行向量；平行向量不一定是相反向量．
2．向量的减法
定义
a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝.如图所示
几何意义
如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
思考1若＝a，＝b，则，如何用a，b表示？
提示：＝－＝b－a，＝－＝a－b.
思考2若a与b是两个不共线的向量，则|a＋b|和|a－b|的几何意义是什么？
提示：如图所示，设＝a，＝b，根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝a＋b，＝a－b.
∵四边形OACB是平行四边形，∴|a＋b|＝||，|a－b|＝||分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
思考3向量加法与减法的几何表示的区别？
提示：向量的减法是加法的逆运算，求a＋b时，是将b的起点放在向量a的终点，然后连接向量a的起点与向量b的终点所得的向量；求a－b时，是把这两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．1.4
三角函数的图象与性质（第3课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解正弦函数、余弦函数的奇偶性及对称性．2．理解正弦函数、余弦函数的单调性，会根据单调性比较三角函数值的大小．3．会求三角函数的最值.
正弦函数、余弦函数的性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
定义域
R
值域
[－1,1]
图象
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期：T＝2π
单调性
在，k∈Z上递增；在，k∈Z上递增
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增；在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1；当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1
当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，ymin＝－1；当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1
对称轴
x＝＋kπ，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
思考1正弦函数在第一象限是增函数吗？
提示：不是．虽然第一象限角包含无数个正弦函数的单调增区间，但是不能说y＝sin
x在第一象限是增函数，比如，都是第一象限角且<，却有sin＝sin.
思考2正弦曲线、余弦曲线的对称轴、对称中心分别有什么特点？
提示：正弦曲线、余弦曲线的对称轴分别过曲线的最高点或最低点，正弦曲线的对称轴为x＝kπ＋
(k∈Z)，余弦曲线的对称轴为x＝kπ(k∈Z)；而它们的对称中心分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，因此，正弦曲线的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)，余弦曲线的对称中心是
(k∈Z)．2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
3
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算．2．能借助向量的坐标，用已知向量表示其他向量.
平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
λa＝(λx1，λy1)
向量坐标公式
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
思考如何区别a－b的坐标运算与的坐标运算？
提示：a－b的坐标是对应的坐标相减，的坐标为终点坐标减去始点坐标．
平面向量的坐标
加法运算减法运算数乘运算
用已知向量表示其他向量2.4
平面向量的数量积
1
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义．3．掌握平面向量数量积的性质及运算律．4．会求向量的数量积、长度、夹角，会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题.
1．平面向量的数量积
定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角
记法
记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
投影
|a|cos
θ(|b|cos
θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积
思考1向量的数量积的运算结果是向量还是实数？如果是向量，如何确定大小和方向？如果是实数，如何确定它的符号？
提示：向量的数量积是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦之积．当a，b为非零向量时，由a·b＝|a||b|cos
θ，a·b的符号由a与b的夹角θ的余弦值来确定．当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0，当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.
思考2根据投影的定义，如何利用两向量的数量积求向量a在向量b上的投影？
提示：根据向量数量积的定义可知，向量a在向量b上的投影为|a|cos
θ，又a·b＝|a||b|cos
θ，所以cos
θ＝，所以向量a在向量b上的投影为|a|cos
θ＝|a|×＝.
2．运算律
交换律
a·b＝b·a
结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
思考3平面向量数量积运算适合乘法结合律吗？
提示：数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，不适合乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
3．向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，a与b的夹角为θ.
垂直
a⊥b a·b＝0
共线
同向
a·b＝|a||b|
a·a＝a2＝|a|2，|a|＝
反向
a·b＝－|a||b|
绝对值
|a·b|≤|a||b|
符号
a·b>0
θ∈
a·b＝0
θ＝
a·b<0
θ∈
夹角公式
cos
θ＝
思考4当两向量的数量积为零时，这两个向量垂直吗？
提示：不一定垂直．当两向量都不为零时，若数量积为零，则两向量垂直．3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解用向量法导出公式的主要步骤，进一步体会向量方法的作用．2．掌握两角差的余弦公式及其应用．3．体会公式运用中的一般与特殊的关系与转化.
两角差的余弦公式
(1)
cos(α-β)＝cosαcosβ+sinβ.
(2)此公式简记作C (α+β)．
名师点拨
公式的记忆：左端为两角差的余弦，右端为α，β的同名三角函数积的和，即差角余弦等于同名积之和．
思考1
cos(α-β)与cosα-cosβ相等吗？
提示：一般情况下不相等，在特殊情况下可能相等．如：当α=0°，β=60°时，cos(0°-60°)=
cos0°-cos60°=.
思考2
当α=，β=时，cos(α-β)＝cosα+cosβ成立，那么当时，cos(α-β)＝cosα+cosβ恒成立吗？
提示：不恒成立，如当α=，β=时，cos(α-β)=，cosα+cosβ=.
思考3
能用两角差的余弦公式证明下列诱导公式吗？
①；②.
提示：能证明．
①＝0×cos
α＋1×sin
α＝sin
α；
②cos(π－α)＝cos
πcos
α＋sin
πsin
α＝－1×cos
α＋0×sin
α＝－cos
α.