1.1.1 任意角
疱工巧解牛
知识?巧学
一、正角、负角、零角
1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角α，点O是角α的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边、终边.我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角.旋转一周角的大小记为360°，如图1-1-1.
图1-1-1
2.由于图1-1-1(1)中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以α=45°，β=-315°；图1-1-1(2)中的α=30°，β=390°，γ=-60°.显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.
图1-1-2
如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转-30°到OC的位置，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°)=60°.
学法一得 引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化α-β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
3.在画图表示角时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向，旋转的周数及角的绝对值的大小，旋转生成的角，又常称为转角.显然，如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.
二、象限角
1.若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外)在第几象限，我们说这个角是第几象限角.
图1-1-3
例如：由于图1-1-3甲中的角45°、405°、-315°都是始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理图1-1-3乙中的角480°是第二象限的角，-70°、290°都是第四象限的角.
2.表示各个象限角时，可以先在0°—360°范围内确定角的界限，然后再加上360°的整数倍，如第一象限角，在0°—360°范围内，第一象限角表示为0°＜α＜90°，然后在两端加上k·360°,k∈Z，即可得到第一象限角的集合：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}，其他各象限角同理可得.
3.特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.例如0°、90°、-180°、630°等，这些角都不属于任何一个象限，我们称之为非象限角，也叫象限界角.与象限角的确定方法相同,终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.同理可得其他非象限角的集合.
深化升华 角以终边的位置为分类标准，被分为象限角与非象限角，象限角及非象限角都是相对于坐标系而言的.只有在角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合这一前提下，才能讨论象限角与非象限角.在直角坐标系内讨论角，可以使角的讨论得到简化，还能有效地表示出角的终边位置“周而复始”的现象.
三、与角α终边相同的角
1.设S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}，显然，所有与45°角终边相同的角都是集合S的元素；反过来，集合S中的任何一个元素也都与45°角的终边相同.把角α推广到一般形式有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角和的形式.
辨析比较 对于这个概念的理解要把握以下三点：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
2.终边相同的角的用途：利用与角α终边相同的角的集合，可把任一角β转化成β=θ+k·360°,k∈Z,θ∈［0°,360°)的形式；也可利用与角α终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角α终边相同的角写出各象限角的集合.
典题?热题
知识点一 各角和的旋转量等于各角旋转量的和
例1 射线OA绕端点O逆时针方向旋转150°到OB位置，接着再按顺时针方向旋转60°到OC位置，然后再逆时针方向旋转90°到OD位置，求∠AOD的大小.
思路分析：我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，逆时针方向旋转150°即+150°，顺时针方向旋转60°即-60°，再逆时针方向旋转90°即再+90°，由此可得结论.
图1-1-4
解：如图1-1-4，由题意知∠AOB=150°,∠BOC=-60°,∠COD=90°,
所以∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=150°-60°+90°=180°.
方法归纳 在画图表示角时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向.显然，如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.
知识点二 终边相同的角
例2 如图1-1-5，写出终边落在直线y=上的角的集合.(用0°到360°的角表示)
图1-1-5
思路分析：先在0°到360°之间找到两个角，使得其终边分别与射线y=(x≥0)、y=(x≤0)重合，再写出与其终边相同的角的集合，最后求并集.
解：终边落在y=(x≥0)上的角的集合是S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z}；
终边落在y=(x≤0)上的角的集合是S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.
于是，终边落在y=上的角的集合是S=S1∪S2=
{α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}
={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={α|α=60°+180°的偶数倍}∪{α|α=60°+180°的奇数倍}
={α|α=60°+180°的整数倍}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.
图1-1-6
巧妙变式：如图1-1-6，若角α的终边落在y= (x≥0)与y=(x≤0)所夹的小区域内，求角α的集合.
思路点拨：应先写出终边落在y=(x≥0)与y=(x≤0)上的角的集合，再运用不等式写出所在小区域内的角的集合.所夹的小区域内角α的集合是{α|30°+k·360°＜α＜150°+k·360°,
k∈Z}.
方法归纳 若过原点的直线l的倾斜角为α，则终边落在直线l上的角的集合是{β|β=α+k·180°,k∈Z}.当k取偶数时，表示终边落在直线l所在的上半平面部分；当k取奇数时，表示终边落在直线l所在的下半平面部分.求两条射线所夹区间角的集合的关键是找出与区间的两条边界终边相同的角的集合.
知识点三 象限角的集合
例3 试写出第二象限角的集合.
思路分析：表示各个象限角时，可以先在0°—360°范围内确定角的界限，然后再加上360°的整数倍.
解：由于第二象限角位于y轴的非负半轴、x轴的非正半轴之间，而终边落在y轴的非负半轴、x轴的非正半轴上的角分别是{α|α=90°+k·360°,k∈Z}与{α|α=k·360°+180°,k∈Z}，所以第二象限角的集合为{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z}.
学法一得 象限角的表示形式并不唯一，还可以有其他的表示形式，如本题的第二象限角的集合，也可以表达为{α|k·360°-180°＜α＜k·360°-270°,k∈Z}.
知识点四 各种角的关系
例4 判断下列命题是否正确，并说明理由.
①小于90°的角是锐角；②第一象限的角小于第二象限的角；
③终边相同的角一定相等；④相等的角终边一定相同；
⑤若α∈［90°,180°］，则α是第二象限角.
思路分析：利用各种角的定义进行判断.
解：①锐角集合是{α|0°＜α＜90°}，即α∈(0°,90°)，它是小于90°的正角，而小于90°的角还可以是负角和零角，显然①是错误的；
②由于角的概念的推广，第一、二象限的角不再局限于0°—360°间的(0°,90°)与(90°,180°)，像390°是第一象限角，120°是第二象限角，显然390°＞120°，所以②也是错误的；
③终边相同的角可能彼此相差360°的整数倍，显然③是错误的；
④由于角的顶点是原点，始边与x轴的非负半轴重合，所以相等的角终边一定相同，显然④是正确的；
⑤由于90°、180°都不是象限角，显然⑤是错误的.
辨析比较 第一象限角、小于90°的角、0°—90°的角、锐角这四种角的范围有差别.锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90°的角应当包括锐角、零角及负角，在下一节学习了弧度制后，角变为实数，其大小关系更加明显.
知识点五 已知角α终边所在的象限，求 (n∈N,n＞1)所在的象限
例5 α是第一象限的角，是第几象限角？
解：α是第一象限角，则α可以表示为k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z，于是可得的范围是k·180°＜＜k·180°+45°,k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角.
当α是第一象限角时，位于第一或第三象限.
知识点六 终边不相同的角和区间角
例6 在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中,
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个属于区间(-360°，360°)内的角？
思路分析：本题主要考查对α=k·90°+45°(k∈Z)所表示的角的认识，从代数角度看，取k=…，-2，-1，0，1，2，…可以得α为…，-135°，-45°，45°，135°，225°，…，从图形角度看α=k·90°+45°(k∈Z)，即以角45°为基础，依次加上90°的整数倍，即依次按顺时针方向或逆时针方向旋转90°，所得各角如图1-1-7所示.
图1-1-7
解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.
(2)由-360°＜k·90°+45°＜360°得＜k＜，
又k∈Z，故k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.
所以在给定的角的集合中属于区间(-360°，360°)的角共有8个.
方法归纳 把代数计算与对图形的认识结合起来，会使这类问题处理起来更容易些.在数学学习中，数形结合的方法始终是解决问题的最重要的方法之一，做题时要注意这种思想的应用.
问题?探究
误区陷阱探究
问题 “第一象限角和小于90°的角都是锐角.”这句话是否正确？
探究过程：角的概念推广以后，小于90°的角由锐角、零角和负角组成，而第一象限的角包含了锐角和其他终边在第一象限的角.之所以出现这样的错误，是对任意角的概念理解不够透彻，认为角的范围是0°—360°.
探究结论：这句话不正确.由于第一象限的角包含了大于90°和小于0°的角，而小于90°的角可能是锐角、零角或负角，故它们不一定是锐角.
思想方法探究
问题 已知角α的终边位置，如何判断的终边位置？例如，α为第一象限角，探求所在的象限.
探究过程：因为α为第一象限角，即2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z，则
＜＜+,k∈Z.当k=3n(n∈Z)，为第一象限角；
当k=3n+1(n∈Z)，为第二象限角；
当k=3n+2(n∈Z)，为第三象限角.
所以为第一、第二、第三象限角.
此外，对于确定的终边位置，还有一种方法——八卦图法.
图1-1-8
第一步：画出直角坐标系.如图1-1-8，将每一象限三等分.
第二步：标号.从x轴非负半轴开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4；1、2、3、4；1、2、3、4.
第三步：选号.因为α为第一象限角，在图中将数字1的范围画出，可用阴影表示.
第四步：定象限.阴影部分在哪一象限，的终边就落在哪一象限.
由以上步骤可知，若α为第一象限角，则为第一、二、三象限角.
探究结论：已知角α的终边位置，判断的终边位置常用的方法有两种：一是先将已知角用不等式表示出来，再求的取值范围，然后分三类讨论，来确定的终边位置；二是利用八卦图法，将每个象限平均分成三份，并从x轴非负半轴区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4；1、2、3、4；1、2、3、4，已知角是第几象限角，就找标号几，此标号所在象限即为所在象限.
1.2 任意角的三角函数
疱工巧解牛
知识?巧学
一、任意角的三角函数
1.如图1-2-2，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；叫做α的正切，记作tanα= (x≠0).像这种以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
图1-2-2
2.利用角α的终边上任意一点P的坐标来定义三角函数.
设α是一个任意角，α的终边上一点P(除端点外)的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r()，如图1-2-3所示.
图1-2-3
那么，比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=；
比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=；
比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα=；
比值叫做角α的余切，记作cotα=；
比值叫做角α的正割，记作secα=；
比值叫做角α的余割，记作cscα=.
这些函数都是以角α为自变量，以比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.
3.明确各个三角函数的记法的意义
sinα、cosα、tanα等都表示一个整体，离开自变量α的sin、cos、tan等都是没有意义的.sinα并不表示“sin”与“α”的乘积，就像函数“f(x)”不表示“f”与“x”的乘积一样，sinα是一个比值，例如sin，它表示的正弦值，即.同理，cosα、tanα的意义也是一样的.
二、三角函数的定义域
由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它的定义域的每一个值应使相应的比值有意义，即使比值的分母不等于零.设点P(x,y)，当x=0时，角α的终边落在y轴上，终边落在y轴上的角的集合是{α|α=+kπ,k∈Z}；当y=0时，角α的终边落在x轴上，终边落在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}.由三个三角函数的定义可知它们的定义域是:
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
Tanα
{α|α≠+kπ,k∈Z}
同理，角α的余切、角α的正割、角α的余割的定义域分别是:
三角函数
定义域
cotα
{α|α≠kπ,k∈Z}
secα
{α|α≠+kπ,k∈Z}
cscα
{α|α≠kπ,k∈Z}
学法一得 函数是由定义域及定义域到值域上的对应关系构成的，它的定义域是使函数有意义的自变量x的集合.三角函数的自变量的取值应使比值有意义，可以此来确定它的定义域.
三、任意角α的三角函数值与角α终边上点P的位置无关
如图1-2-4，在角α的终边上再作一点P′(x′,y′)，它与原点的距离为，分别过点P、P′作PA⊥x轴于点A，P′B⊥x轴于点B，显然△OPA∽△OP′B，则由相似三角形的性质可得，无论角α的终边落在哪个象限，都有y与y′同号，x与x′同号，所以以上三式可化为，即对于确定的角α，这三个比值(如果有意义的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变.也就是说，三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
图1-2-4
学法一得 用α的终边同单位圆的交点来定义任意角的三角函数是用角α终边上任一点来定义三角函数的特例.
四、任意角的三角函数值的符号
因为sinα=，由于r＞0恒成立，当点P(x，y)位于第一、二象限时，y＞0;位于第三、四象限时，y＜0.所以当α位于第一、二象限时，sinα＞0;当α位于第三、四象限时，sinα＜0；同理,当α位于第一、四象限时，cosα＞0;当α位于第二、三象限时，cosα＜0.当α位于第一、三象限时，tanα＞0;当α位于第二、四象限时，tanα＜0.关于这三种三角函数值在各个象限的符号可用图1-2-5记忆.
图1-2-5
记忆要诀 三角函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”.其含义是在第一象限各三角函数皆为正，在第二象限正弦为正，在第三象限正余切为正，在第四象限余弦为正.还可简记为“全、s、t、c”四字.
五、终边相同的角的同一三角函数值相等
把角α推广到一般形式，由任意角的三角函数的定义可知
sin(α+k·360°)=sinα
cos(α+k·360°)=cosα
tan(α+k·360°)=tanα,
其中k∈Z
(公式一)
这一组结论我们称之为诱导公式一，其作用在于将绝对值较大的角化小.
六、三角函数线
1.由任意角的三角函数的定义可知sinα=，cosα=，tanα=，它们是三角函数的一种代数形式，由于角α的三角函数值与点P(x，y)的位置无关，只与角α的终边位置有关，因此，可设法使点P(x，y)满足，使点P的位置位于一个特殊点，此时sinα=y，cosα=x，使三角函数值变得更简单.
2.如图1-2-6，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与角α的终边(α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T(由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT平行于y轴).
图1-2-6
则有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.它们是三角函数的一种几何表示形式，当角α的终边位于四个象限内时，三条有向线段中有两条在圆内，一条在圆外，由于它们使代数表示形式中的分母都变为了1，所以形式更加简单、形象、直观.特别地，当角α的终边落在x轴上时，正弦线、正切线变成一个点；当角α的终边落在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.
3.用字母表示有向线段时，总是把起点的字母写在前面，终点的字母写在后面，有向线段的长度表示大小，符号表示方向.规定余弦线以原点为起点，正弦线和正切线均以此线段与坐标轴的公共点为起点.同坐标轴的正方向一致的有向线段为正值，反之为负值.这样，可保证有向线段的取值同点P坐标的一致性.
学法一得 三角函数线是当点P为终边上的特殊点时的三角函数的表示形式.三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小,从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值.由此可知，三角函数线的形成反映了由一般到特殊的定义应用过程.三角函数在各象限的符号也可以根据画出的三角函数线的方向记忆.三角函数线的主要作用是解三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是学习三角函数的图象与性质的基础.
典题?热题
知识点一 求特殊角的三角函数值
例1 求下列各角的三个三角函数值.
(1)0；(2)π；(3)；(4).
思路分析：求特殊角的三角函数值的关键是确定该角与单位圆的交点坐标.
解：(1)因为当α=0时，x=1,y=0,
所以sin0=y=0,cos0=x=1,tan0=.
(2)因为α=π时，x=-1,y=0，所以sinπ=y=0，cosπ=x=-1，tanπ=.
(3)因为α=时，x=0,y=-1,
所以sin=y=-1,cos=x=0,tan不存在.
(4)如图1-2-7，在直角坐标系中，作∠AOB=,
图1-2-7
过点B作BC⊥x轴于点C，则∠BOC=,易知∠AOB的终边与单位圆的交点B(,).
所以,,.
知识点二 确定角α终边上一点的坐标，求α的各个三角函数值
例2 已知角α的终边在直线y=-3x上，用三角函数的定义求α的三个三角函数值.
思路分析：可先利用方程在角α终边上找到任意一点的坐标，再求解.
解：设点P(a,-3a)(a≠0)是角α终边上一点，
则.
当a＞0时，r=，此时sinα，cosα=，tanα=；
当a＜0时，r=，此时sinα=，cosα=，tanα=-3.
方法归纳 由于任意角α的三角函数值仅与角α的大小有关，而与角α的终边上点的坐标无关,因此，若已知角α的终边上任一异于原点的点的坐标，都可直接利用定义求值.
知识点三 化简或证明三角恒等式
例3 求证:.
思路分析：可利用任意角的三角函数的意义，将角α的三角函数用x、y、r(x2+y2=r2)表示出来，转化为证明关于x、y或x、y、r的恒等式.
证明：设点P(x,y)是角α终边与单位圆的交点(x2+y2=1)，由三角函数的定义可知sinα=y，cosα=x.
因为左边-右边=
=0.
所以原式成立.
方法归纳 三角恒等式的证明，若未给出特别说明，则认为是在两边都有意义的情况下进行的.证明恒等式常见的方法有：①比较法；②从一边开始证明它等于另一边；③证明左右两边等于同一式子；④先证明某一等式成立，再证明需要的式子成立等.
知识点四 任意角的三角函数值的符号
例4 若sin2α＞0，且cosα＜0，试确定角α所在的象限.
思路分析：先由sin2α＞0，结合任意角的三角函数的定义确定2α所在的象限，再进一步确定α所在的象限.
解：∵sin2α＞0，∴2kπ＜2α＜2kπ+π,k∈Z.
∴kπ＜α＜kπ+,k∈Z.
∴角α位于一、三象限.
又∵cosα＜0，∴α位于二、三象限或x轴的负半轴上.
综上可知，角α是第三象限角.
例5 已知角α的终边经过点P(-x,-6)，且cosα=，求tanα的值.
思路分析：可先由任意角的三角函数的定义确定x的值，再由该定义确定tanα的值.
解：∵P(-x,-6),∴，
由cosα=,得x=±.
又∵cosα=＜0，∴α位于二、三象限.
又∵-6＜0,∴α位于第三象限.
∴x=.∴tanα=.
方法归纳 根据任意角α的不同三角函数值在各个象限的符号不同，可用来确定角α所在的象限，解决与角α所在的象限有关的三角函数的求值问题.
知识点五 终边相同的角的同一三角函数值相等
例6 求值:(1)sin(-1 740°)·cos1 470°+cos(-660°)·sin750°+tan405°；
(2)sin2+tan2(-)·tan.
思路分析：利用诱导公式一，将任意角的三角函数值转化成0°到360°或0到2π内的三角函数值，再求值.
解：(1)原式=sin(60°-5×360°)·cos(30°+4×360°)+cos(60°-2×360°)·sin(30°+2×360°)+tan(45°+360°)
=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°
=2.
(2)原式=sin2(+4π)+tan2(-2π)·tan(+2π)
=sin2+tan2·tan
=.
方法归纳 任意角的三角函数的定义是锐角的三角函数定义的推广，它的函数值是一个与实数相对应的比值.该实数值的大小与点P在终边上的位置无关，仅与角α的大小有关.利用该定义，可用来确定函数的定义域、各三角函数值在不同象限的符号、化简任意角的三角函数值等，熟练掌握该定义是学好其他问题的关键.
知识点六 三角函数线
例7 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.
(1)；(2)；(3)；(4).
思路分析：作角α的三角函数线的关键是画出单位圆和角α的终边.
解：
图1-2-8
各个圆中的有向线段MP、OM、AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.
例8 在单位圆中作出适合下列条件的角α的终边.
(1)sinα=；(2)cosα=；(3)tanα=1.
思路分析：由三角函数线的定义,可知对于正弦函数sinα=，余弦函数cosα=，只需分别作直线y=，x=，它们与单位圆的交点同原点O的连线即为角α的终边；对于正切函数tanα=1，只需在过点A(1，0)的圆的切线上截取AT=1，连结OT与单位圆相交于两点，该直线即为所求.
解：(1) (2) (3)
图1-2-9
图1-2-9中的OP、OQ即为所求角α的终边.
例9 求函数的定义域.
思路分析：由于题目只给出了解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，所以它的定义域应是使这个式子有意义的实数的集合.解三角不等式时，可借助于单位圆中的三角函数线求解.
解：要使有意义，必须满足sinx≥0；要使lg(9-x2)有意义，必须满足9-x2＞0；要使分母有意义，需满足cosx＞0.所以要使函数f(x)有意义，则
(k∈Z)
(k∈Z)0≤x＜，
即函数f(x)的定义域是x∈［0，］.
方法归纳 三角函数线是三角函数的一种几何表示形式.若已知角α的大小，则它的三角函数的大小可用它的三角函数线表示出来；反过来，若已知角α的三角函数值的大小，则可找到角α的终边.利用三角函数线可以解简单的三角不等式、求定义域、比较函数值的大小，同时它也是学习三角函数的图象与性质的基础.
问题?探究
交流讨论探究
问题 若角α是锐角，则α、sinα、tanα的大小关系是怎样的？
探究过程：学生甲：三角函数线是单位圆中的有向线段，利用它们可以比较三角函数值的大小，利用这种方法可以比较sinα和tanα的大小关系，如图1-2-10(1)，角α的正弦线MP和正切线AT的方向均与y轴的正向相同，则AT的长度大于MP的长度，则应有sinα＜tanα.
(1)
学生乙：只利用三角函数线不能比较α和sinα的大小关系，但我可以构造一个三角形和一个扇形，利用它们的面积来比较α、sinα的大小，如图1-2-10(2)，扇形OAP的面积大于△OAP的面积，且S△OAP=OA·MP=MP=sinα，S扇形OAP=OA·=α.所以应有sinα＜α，即sinα＜α.再结合同学甲的结论，则应有sinα＜α＜tanα.
(2)
学生丙：受同学乙的启发，我可以比较α和tanα的大小，如图1-2-10(3)，在图中，扇形OAP的面积小于Rt△OAT的面积，且S扇形OAP=OA·=α,S△OAT=OA·AT=AT=tanα,则有α＜tanα,即α＜tanα.
(3)图1-2-10
探究结论：若角α是锐角，则α、sinα、tanα的大小关系是sinα＜α＜tanα.
思想方法探究
问题1 单位圆与三角函数线是三角函数值的直观表示，它在证明三角函数问题中有什么作用？
探究过程：利用单位圆和三角函数线可以将问题中各量用它的几何形式直观表示出来，然后再通过图形分析即可解决问题.如三角中常见的不等式tanα＞α＞sinα(0＜α＜)，就可以利用单位圆与三角函数线非常方便地证明.
探究结论：利用三角函数线，数形结合，使问题得以简化.这个不等式既不是单纯的三角不等式，又不是单纯的代数不等式，而是“混合型”的不等式，证明的方法使用了面积关系，证题的基础是弧度制与三角函数线.由此，三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具.
问题2 三角函数的化简与证明是三角部分的重要问题，那么三角函数的化简与证明有哪些常用方法？应当注意些什么问题？
探究过程：三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求学生熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在学习时要注意进行及时的总结.
①化简三角函数时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名角等.其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等.
②化简一定要尽量化为最简形式.例如最后被化简为cos80°，如果只化到cos440°，则不能认为这是最后结果；另外由于80°不是特殊角，一般无需求出其余弦值.
探究结论：证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：
(1)从不等式的一边开始证得它的另一边，一般从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
(2)综合法，由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想，即“a=b等价于c=d，所以a=b成立的充要条件是c=d成立”；
(3)中间法，证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a=c,b=c，则a=b”，它可由关系的传递性及对称性推出；
(4)分析法
例如：求证.
证明：要使原等式成立，只需cosα·cosα=(1+sinα)(1-sinα)成立，
即cos2α=1-sin2α，由基本公式知上式显然成立，所以原等式成立.
以上推理过程可简写成为下列格式：
原式成立cosα·cosα=(1+sinα)(1-sinα)cos2α=1-sin2α，由于上式显然成立，所以原等式成立.
在运用分析法时，推理过程必须写正确，如“只需”的词语或者“”的符号是不能省略的，如果写成下面的形式，则是错误的：,cosα·cosα=(1+sinα)(1-sinα)，
cos2α=1-sin2α,sin2α+cos2α=1，所以成立.
1.3 三角函数的诱导公式
疱工巧解牛
知识?巧学
一、公式二(π+α与α的三角函数关系)
1.公式
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
2.公式二的推导
设β∈［0,2π),α∈［0,］，则以下四种情形中有且仅有一种成立.β=α,β∈［0,)或β=π-α,β∈［,π)或β=π+α,β∈［π,)或β=2π-α,β∈［,2π).
在以上四种情形中，π+α的终边可由角α的终边按逆时针方向旋转π rad而得到，即角π+α终边上的点关于原点的对称点一定在角α的终边上.
如图1-3-2，不妨设α为任意角，若角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则其反向延长线(即π+α角的终边)与单位圆交于点P′(-x，-y).
图1-3-2
由于单位圆的半径是1，即r=1，根据任意角的正弦、余弦函数的定义，可得sinα=y，cosα=x，tanα=;sin(π+α)=-y，cos(π+α)=-x,tan(π+α)=.
于是，我们得到公式二.
特别地，由于角π+α与角α的终边关于原点对称，故有公式成立.
二、公式三(-α与α的三角函数关系)
1.公式
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
2.公式三的推导
由于360°-α角是与-α角的终边相同的角，所以它的同名三角函数值相等，而α与-α是按不同的方向旋转形成的绝对值大小相同的角.显然，α角与-α角的终边关于x轴对称.
设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角-α的终边与单位圆的交点为P′(x，-y)，如图1-3-3.
图1-3-3
由于单位圆的半径r=1，根据任意角的正弦、余弦函数的定义，可得sinα=y，cosα=x，tanα=，sin(-α)=-y，cos(-α)=x，tan(-α)=.
于是，我们得到公式三.特别地,角-α与角α的终边关于x轴对称,故有公式成立.
学法一得 因为正、余弦函数的定义域是x∈R，正切函数的定义域是x≠+kπ,k∈Z，它们都关于原点对称.故由该公式可知正弦与正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
三、公式四(π-α与α的三角函数关系)
1.公式
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
2.公式四的推导
由于sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα，
sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα，
所以sin(π-α)=sin［π+(-α)］=-sin(-α)=sinα，
cos(π-α)=cos［π+(-α)］=-cos(-α)=-cosα，
tan(π-α)=tan［π+(-α)］=tan(-α)=-tanα.
于是，我们得到公式四.特别地，角π-α与角α的终边关于y轴对称，故有公式成立.
学法一得 两个互为补角的角的正弦值相等，余弦值、正切值互为相反数.例如,,.
四、诱导公式
1.公式一、二、三、四都叫做诱导公式，抛去各自的特点，可把它们概括如下：
对于α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，由于把角α视为锐角，所以α+2kπ(k∈Z)，π-α,π+α,-α的函数值应分别按与一、二、三、四象限相对应的符号进行标注.以上四组诱导公式是用弧度制表示的，若采用角度制，写成α+k·360°(k∈Z)，-α，180°±α的形式，其规律是一样的.
2.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤:
3.诱导公式的作用：利用上述诱导公式，可对任意角的三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明.
记忆要诀 根据公式，可将四组诱导公式编成口诀“函数名不变，符号看象限”记忆.
五、公式五与公式六
1.公式
sin(-α)=cosα
cos(-α)=sinα
sin(+α)=cosα
cos(+α)=-sinα
2.公式五和公式六可以概括为±α，±α的三角函数值，等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.诱导公式五、六的出现，进一步丰富了三角函数的化简过程，拓宽了三角函数式的化简渠道.对同一三角函数式，使用不同的诱导公式，可以获得不同的解题途径.
记忆要诀 两套诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值，当k为奇数时，得α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，还可编成口诀“奇变偶不变，符号看象限”或“奇余偶同，象限定号”去记忆.
典题?热题
知识点一 公式二的应用
例1 求下列各式的三角函数值：
(1)cos；(2)cos1 290°；(3)sin(-480°).
思路分析：先用公式一能把任意角的三角函数值转化成0°到360°角的三角函数值，再借助公式二把180°到270°角的三角函数值转化为求锐角的函数值.
解：(1)cos=cos(π+)=-cos=.
(2)cos1 290°=cos(210°+3×360°)=cos210°=cos(180°+30°)
=-cos30°=.
(3)sin(-480°)=sin(240°-2×360°)=sin240°=sin(180°+60°)
=-sin60°=.
方法归纳 化简终边落在第三象限的角β的三角函数值的步骤：(1)先把β转化成β=α+2kπ,k∈Z,其中α∈(π,)的形式，根据公式一，把求β的三角函数值就转化成了求α的三角函数值；(2)再把α写成α=π+θ,θ∈(0,)的形式，根据公式二，把求α的三角函数值转化成了求锐角的三角函数值.特别地，若β∈(π,)，可直接按第(2)步进行化简.
知识点二 公式三的应用
例2 求下列各式的值.
(1)sin()；(2)cos(-60°)；(3)tan(-750°).
思路分析：可先利用公式三，把负角的三角函数转化成正角的三角函数，再利于诱导公式，把正角的三角函数转化成锐角的三角函数进行求值.
解：(1)sin()=-sin=;
(2)cos(-60°)=cos60°=;
(3)tan(-750°)=-tan750°=-tan(2×360°+30°)=-tan30°=.
例3已知tanα=3,求的值.
思路分析：先由诱导公式二、三进行化简，再把齐次弦函数式转化成切函数的形式求解，或直接利于同角的三角函数的基本关系式进行求解.
解：原式=.
∵tanα=3，∴α是第一、三象限的角.
当α是第一象限角时，cosα=，sinα=cosα·tanα=.
∴原式=.
当α是第三象限角时，同理,可得原式=.
综上可知，所求代数式的值为.
巧解提示：∵tanα=3,∴cosα≠0.
∴原式=.
方法归纳 已知α的切函数值，求与α有关的弦函数式的值
①可考虑用同角的三角函数的基本关系式进行求值，但要注意角α所在的象限；
②若弦函数式是一齐次式，可将齐次式的分子、分母同除以一个齐次项进行化简，但要保证所除因式不为零.
例4 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=1-cosx;(2)g(x)=x-sinx;(3)h(x)=x2-tanx.
思路分析：要判断函数的奇偶性，一看函数的定义域是否关于原点对称，二看f(-x)与f(x)的关系.
解：(1)函数的定义域为R，因为f(-x)=1-cos(-x)=1-cosx=f(x)，所以f(x)是偶函数.
(2)函数的定义域为R,因为g(-x)=(-x)-sin(-x)=-x-(-sinx)=-(x-sinx)=-g(x),所以g(x)是奇函数.
(3)函数的定义域为R且x≠+kπ,k∈Z,因为h(-x)=(-x)2-tan(-x)=x2+tanx，显然h(-x)≠h(x)并且h(-x)≠-h(x)，所以h(x)是非奇非偶函数.
方法归纳 ①诱导公式三是化负角为正角的依据；②诱导公式三是判断函数奇偶性的依据.
知识点三 公式四的应用
例5 已知cos(-α)=，求cos(+α)-sin2(α-)的值.
思路分析：由于三角函数的自变量是角，所以对三角函数的分析应从角入手，合理进行角的变换，使所求角的三角函数能用已知角的三角函数表示出来.因为(-α)+(+α)=π，所以+α可化成π-(-α).又因为α-=-(-α)，所以可用诱导公式进行求解.
解：∵cos(-α)=，
∴原式=cos［π-(-α)］-［1-cos2(α-)］
=-cos(-α)-1+cos2(-α)=
=.
例6 已知sin(-x)=，且0＜x＜，求cos(+x)的值.
思路分析：注意到(-x)+(+x)=π，因此，可将问题转化成求cos(-x)的值.
解：∵0＜x＜,∴-＜-x＜0.
∴＜-x＜.
又∵sin(-x)=,∴.
∴cos(+x)=-cos(-x)=.
方法归纳 化简条件代数式的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止.无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，据果变形.
知识点四 诱导公式的应用
例7 先把下列各任意角的三角函数转化成锐角的三角函数，再求值.
(1)cos；(2)；(3)cos()；
(4)cos(-1 650°)；(5)cos(-150°15′).
解：(1)cos=cos(2π-)=cos=.
(2).
(3)cos()=cos=cos(π)=-cos=.
(4)cos(-1 650°)=cos1 650°=cos(4×360°+210°)
=cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=.
(5)cos(-150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′.
例8 求sin120°+cos750°+sin(-690°)cos(-660°)+tan(-675°)+tan765°-tan1 020°+tan(-1 230°)的值.
思路分析：对于形如sin(-690°)的化简可先写成sin(-690°)=-sin690°
=-sin(330°+360°)=-sin330°=-sin(360°-30°)=sin30°=，
解：原式=sin(180°-60°)+cos(30°+2×360°)+sin(30°-2×360°)·cos(60°-2×360°)-tan(2×360°-45°) +tan(2×360°+45°)-tan(3×360°-60°)-tan(3×360°+150°)
=sin60°+cos30°+sin30°cos60°+tan45°+tan45°+tan60°-tan(180°-30°)
.
例9 化简下列各式：
(1);
(2)(n∈Z).
思路分析：先合理进行角的变换，把角转化成能使用诱导公式的形式，用诱导公式将分子、分母化简，再约分求值.
证明：(1)原式=
.
(2)原式=
.
例10 求证：(1)sin(nπ+α)=(-1)nsinα(n∈Z)；
(2)cos(nπ+α)=(-1)ncosα(n∈Z).
思路分析：因为n∈Z，所以应把n分成奇数、偶数两种情况，结合诱导公式求解.
证明：(1)当n为奇数时，设n=2k-1(k∈Z)，则
sin(nπ+α)=sin［(2k-1)π+α］=sin(-π+α)=-sin(π-α)=-sinα
=(-1)nsinα；
当n为偶数时，设n=2k(k∈Z)，则
sin(nπ+α)=sin(2kπ+α)=sinα=(-1)nsinα，
∴sin(nπ+α)=(-1)nsinα(n∈Z).
(2)当n为奇数时，设n=2k-1(k∈Z)，则
cos(nπ+α)=cos［(2k-1)π+α］=cos(-π+α)=cos(π-α)=-cosα=(-1)ncosα；
当n为偶数时，设n=2k(k∈Z)，则
cos(nπ+α)=cos(2kπ+α)=cosα=(-1)ncosα，
∴cos(nπ+α)=(-1)ncosα(n∈Z).
方法归纳 三角函数式的求值与证明的过程也是化简的过程，它是一个经历多次化归，由负角变正角，由大角变小角，一直变到0°—90°角的过程.对同一角的化归方式可以多种多样，但化简的基本要求都是：(1)能求值的要求出值；(2)使项数尽量少；(3)使次数尽可能低；(4)函数种类尽可能少；(5)分母中尽量不含被开方数等.
知识点五 公式五、六的应用
例11 已知cos(75°+α)=，且-180°＜α＜-90°，求cos(15°-α)的值.
思路分析：注意到(15°-α)+(75°+α)=90°，因此可将问题转化成求sin(75°+α)的值.
解：∵-180°＜α＜-90°,∴-105°＜75°+α＜-15°.
∴sin(75°+α)＜0.又cos(75°+α)=,
∴cos(15°-α)=cos［90°-(75°+α)］=sin(75°+α)=
.
方法归纳 利用公式五和六，可把±α中角去掉，从而实现正、余弦函数的相互转化，反过来，也可通过添加来实现正、余弦函数的互化.
问题?探究
思想方法探究
问题 三角函数的化简与证明是三角部分的重要问题，那么三角函数的化简与证明有哪些常用方法？应当注意些什么问题？
探究过程：三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求学生熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在学习时要注意进行及时的总结.
探究结论：(1)化简三角函数时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名角等.其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等.
(2)化简一定要尽量化为最简形式.例如最后被化简为cos80°，如果只化到cos440°，则不能认为这是最后结果；另外由于80°不是特殊角，一般无需求出其余弦值(实际上，写出的余弦值只是一个近似值，这不符合恒等变形的要求).
(3)证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：
①从不等式的一边开始证得它的另一边，一般从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
②综合法，由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想，即“a=b等价于c=d，所以a=b成立的充要条件是c=d成立”；
③中间法，证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a=c,b=c，则a=b”，它可由关系的传递性及对称性推出；
④分析法，即从结论出发，逐步向已知要条件，其形式通常是“要怎样，只需怎样”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立，而书写证明过程时，只要逆写回去即可.
交流讨论探究
问题1 教材同角基本关系式只给出：“sin2α+cos2α=1”和“tanα=”两种,结合你们所学过的三角知识，你们还能找出什么关系式？
探究过程：学生甲：由于sinα=，cosα=，secα=，cscα=，则可得出sinαcscα=1，cosαsecα=1.
学生乙：由于cotα=，tanα=，则可以得出tanαcotα=1,cotα==cosαcscα等一些结论.
学生丙：由于x2+y2=r，则1+tan2α==sec2α.
学生丁：除了上面的结论之外还有1+cot2α=csc2α，再根据上面的结论还可以得到许多不同的结论，如cos2α=、sin2α=等.
探究结论：根据三角函数的定义可以得到如下一些常见的结论，如：
sinαcscα=1，cosαsecα=1，tanαcotα=1，cotα==cosαcscα，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α，cos2α=,sin2α=等.
问题2 若△ABC的三个内角分别为A、B、C，则这三个内角的三角函数值之间有何关系？
探究过程：
学生甲：由于三角形三个内角和为π，即A+B+C=π，则可以利用诱导公式三寻求它们之间的关系，比如由A+B+C=π可得A=π-(B+C)，则由诱导公式三可得sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，即其中任意一个内角的正弦值等于另两角和的正弦值，任意一个内角的余弦值等于另两个内角和余弦值的相反数.
学生乙：由A+B+C=π可得，即，则由诱导公式五可得，,即其中任意一个内角一半的余弦值等于另外两角和一半的正弦值，而任意一个内角的正弦值等于另外两内角和一半的余弦值.
学生丙：由同角三角函数关系式可得tanA=-tan(B+C)，等一些结论.
探究：三角形三个内角三角函数之间的关系为：任意一个内角的正弦值等于另两角和的正弦值，任意一个内角的余弦值等于另两个内角和余弦值的相反数；任意一个内角的正切值等于另两个内角和正切值的相反数；任意一个内角一半的余弦值等于另外两角和一半的正弦值，而任意一个内角一半的正弦值等于另外两内角和一半的余弦值；而任意一个内角一半的正切值等于另外两内角和一半的余切值；任意一个内角一半的余切值等于另外两角和一半的正切值.
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
疱工巧解牛
知识?巧学
一、正弦函数、余弦函数的图象
1.利用单位圆中正弦线表示正弦值的方法，作出点(α，sinα)，α∈［0，2π］.
由单位圆中的正弦线,可知只要能作出角α，就能利用几何法作出对应的正弦值sinα.如图1-4-1，当0≤α≤2π时，在单位圆中对任意的角α，它的弧度数恰好等于角α所对的弧长AP，我们可设想把单位圆的圆周拉直到x轴上，使A点与原点重合，这时点P就落到x轴上的(α，0)点，由于sinα=MP，所以平移MP至此，就可得到一点(α，sinα).也就是说，要画出点P(α，sinα)，只需把角α的正弦线MP向右平移，使M点与x轴上表示数α的点M1重合，得到线段M1P1，由于点P和P1的纵坐标相同，都等于sinα，所以点P1(α，sinα)是以弧AP的长为横坐标，正弦线MP的数量为纵坐标的点.
图1-4-1
2.正弦函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象
(1)利用单位圆中的正弦线作y=sinx，x∈［0，2π］的图象.如图1-4-2，在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从圆O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份，过圆O1上各分点分别作x轴的垂线，得到对应于角0，，，，…，2π等分点的正弦线.相应地，再把x轴上从0到2π这一段分成12等份,再把角x所对应的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到了函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象.
图1-4-2
(2)正弦曲线
根据诱导公式一，终边相同的角的三角函数值相等,可知对于长度为2π的函数y=sinx，x∈［2kπ，2(k+1)π］，k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象的形状完全一致，只是位置不同.我们只需把y=sinx，x∈［0，2π］的图象左、右平移(每次2π个单位)，就可得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象(如图1-4-3).
图1-4-3
正弦函数的图象叫做正弦曲线.
(3)余弦曲线
根据诱导公式y=cosx=sin(x+)，可知y=cosx与y=sin(x+)是同一函数，而y=sin(x+)的图象可由y=sinx的图象向左平移个单位得到，即余弦函数的图象是由正弦函数的图象向左平移个单位而得到的.如图1-4-4.
图1-4-4
余弦函数的图象叫做余弦曲线.
事实上，y=cosx=sin(x-)，可知余弦函数y=cosx，x∈R与函数y=sin(x-)也是同一函数，余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移个单位而得到.
学法一得 作图象时，函数的自变量要用弧度制，只有自变量与函数值均为实数(即x轴、y轴上的单位统一)，作出的图象才正规，且利于应用.
利用正弦线为端点连线作函数图象时，份数越多，图象越精确，取6的倍数最为适宜，它既保证了点的个数足够多，又取到了图象上关键的最值点和图象与坐标轴的交点.
由y=sinx的图象变换得到y=cosx的图象，平移的量是不唯一的，平移的方向也是可左可右的.
二、“五点法”作草图
通过正弦曲线、余弦曲线可以发现，这些曲线可以按照闭区间…，［-4π，-2π］，［-2π，0］，［0，2π］，［2π，4π］，…分段，这些闭区间的长度都等于2π个单位长度，并且在每一个闭区间上曲线的形状完全一致.因此，要研究曲线的形状，只需选一个闭区间，在这里，我们不妨选择［0，2π］，显然，有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作用.对于正弦曲线，它们是(0，0)，(，1)，(π，0)，(，-1)，(2π，0)；对于余弦曲线，它们是(0，1)，(，0)，(π，-1)，(，0)，(2π，1).因此，在精确度要求不太高时，可先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到相应函数的简图.这种方法称为“五点法”.
学法一得 “五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.
典题?热题
知识点一 “五点法”作图
例1 用“五点法”画出下列函数在区间［0，2π］上的简图.
(1)y=2sinx；(2)y=1-sinx；(3)y=cosx-1.
思路分析：在区间［0，2π］上按五个关键点列表、描点、连线，并用光滑的曲线将它们连接起来.
解：(1)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
2sinx
0
2
0
-2
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1-4-5).
图1-4-5
方法归纳 函数y=2sinx的图象是把y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的二倍而得到的.
(2)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
cosx-1
0
-1
-2
-1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1-4-6).
图1-4-6
方法归纳 y=f(x)y=f(x)+a(a＞0)，y=f(x)y=f(x)-a(a＞0)，记忆的口诀是“上加下减”.
知识点二 图象的应用
例2 方程sinx=lgx的实根的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个
思路分析：如图1-4-7，在同一直角坐标系中作函数y=sinx与y=lgx的图象.
图1-4-7
由图中看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i=1，2，3)是方程sinx=lgx的解，此方程再无别的解.
答案：C
方法归纳 像这种含有三角式、指数式、对数式的方程叫做超越方程，用初等解方程的方法不能求它的解,通常把这类方程分解成两个函数，把求方程的解转化为求两个函数的交点问题.
例3 写出使sinx≥(x∈R)成立的x的取值集合.
思路分析：可借助于单位圆或正弦曲线求解.
图1-4-8
解：如图1-4-8，在0≤x＜2π中满足sinx≥的角x的集合为{x|≤x≤}；当x∈R时集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}.
巧解提示：由y=sinx在［0,］,(,π)两区间中取值为正且分别是单调增与单调减函数.
又sinx≥，则有sinx≥sin或sinx≥sin，所有在［0,2π］中，满足sinx≥的角的集合为{x|≤x≤}∪{x|＜x≤}={x|≤x≤}.以下同解.
方法归纳 利于单位圆或正弦曲线解简单三角不等式时，可先在长度为［0,2π］的区间上找到适合不等式的解，再把它扩展到整个定义域上去.
问题?探究
思想方法探究
问题 三角函数最重要的特征之一就是它的周期性，推广到一般的情况，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.那么是否所有周期函数都有最小正周期？对于周期函数的学习还应该注意什么问题？
探究过程：首先，周期函数的定义是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)或只差个别的x值不满足f(x+T)=f(x)都不能说T是f(x)的周期.例如sin(+)=sin，但是sin(+)≠sin.就是说，不能对x在定义域内的每一个值都有sin(x+)=sinx，因此不是sinx的周期.
其次，从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是给自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x+T)=f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x+T)=f［2(x+)］=f(2x)，则是f(x)的周期.
第三，对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期.但并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如常数函数f(x)=x(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x+T)=C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期.
对于周期函数还应当注意，“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即它对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值；周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N*)一定也是周期；在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集.
探究结论：周期函数并不都有最小正周期；周期函数的定义域一定无上界或无下界.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
疱工巧解牛
知识?巧学
由任意角的三角函数的定义和三角函数的图象,可知正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，即y=sinx，x∈R,y=cosx，x∈R.通过正、余弦函数的图象，可知它有如下的主要性质.
一、周期性
1.对于函数y=sinx，x∈R，y=cosx，x∈R的周期可由诱导公式一或通过观察它们的图象得出：任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期，它们的最小正周期都是2π.
设T是y=sinx的最小正周期，且0＜T＜2π，根据周期函数的定义，当x取定义域内每一个值时，都有sin(x+T)=sinx.令x=，代入上式，得sin(+T)=sin=1.
但是sin(+T)=cosT，于是cosT=1，这表明T的值是0,2π,…，即T=2kπ,k∈Z，这与0＜T＜2π相矛盾.所以不存在小于2π的最小正周期,即y=sinx的最小正周期为2π.
2.y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)型的函数的周期仅与函数解析式中x的系数ω有关，而与其他量无关.事实上，设y=Asin(ωx+φ)，x∈R，其中A、ω、φ均为常数，且A≠0，ω＞0.令z=ωx+φ，因为x∈R，所以z∈R，且函数y=Asinz，z∈R的周期是2π.由于z+2π=ωx+φ+2π=ω(x+)+φ，所以自变量x只需增加到x+.函数值才能重复出现.所以函数y=Asin(ωx+φ)，A≠0，ω＞0的最小正周期是.同理可证y=Acos(ωx+φ)，A≠0，ω＞0的最小正周期也是.例如y=2sin(x-)的周期是等.
学法一得 反证法是一种典型的补集思想，它也是一种常见的证明方法，是高考中常常考查的一个重要内容.对一些正面推证有困难而结论的反面较结论更明确、更具体、更简单的题目，可考虑用反证法.具体地说，对于那些含有否定词的命题，如“至少”“唯一性”“至多”“都不是”“不存在”等命题，尤为适宜.反证法证题的核心是从求证结论的反面出发，把题设连同结论的反面一起作为本题的题设进行推证，如果导出的结论与公理相矛盾、与已知条件或临时假设相矛盾、与既成事实相矛盾、自相矛盾等，那么就否定了假设，从而肯定了原命题的正确.
记忆要诀 函数y=Asin(ωx+φ)，x∈R及函数y=Acos(ωx+φ)，x∈R (其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为T=.
二、奇偶性
对于函数f(x)=sinx，它的定义域为R，因为f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)，即对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，所以它是奇函数.
对于函数f(x)=cosx，它的定义域为R，因为f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)，即对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，所以它是偶函数.
三、单调性
1.由正弦函数的图象及其周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［-+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间［+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.
由余弦函数的图象及其周期性可知：余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从-1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.
2.正、余弦函数单调性的用途主要有：
(1)比较三角函数值的大小：解决这类问题的关键是把所比较的三角函数值转化成同一单调区间内的角的同名三角函数值，再比较大小，也可进一步转化成与锐角的三角函数值相关的形式，再比较大小.
(2)求三角函数的单调区间：对于形如y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k，ω＞0的函数，可把(ωx+φ)视为一个整体，按复合函数单调性的判定方法，结合正、余弦函数的单调性，直接写出ωx+φ的单调区间，再解关于x的不等式即可.
(3)借助于正、余弦函数的图象解三角不等式：对于可化为形如sin(ωx+φ)≥a〔cos(ωx+φ)≥a〕或sin(ωx+φ)＜a〔cos(ωx+φ)＜a〕，ω＞0的弦函数不等式，可把(ωx+φ)视为一个整体，借助于y=sinx，x∈R或y=cosx，x∈R的图象和单调性，先在长度为2π的一个周期上找出适合条件的区间，然后两边加上2kπ，把它扩展到整个定义域上，最后解关于x的不等式，便可求出x的解.
典题?热题
知识点一 函数的周期
例1 若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)的函数关系如图所示：
(1)求该函数的周期；(2)求t=10.5 s时弹簧振子对平衡位置的位移.
解：(1)由图1-4-10,可知该函数的周期为4 s.
图1-4-10
(2)设x=f(t)，由函数的周期为4 s，可知f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8.
方法归纳 周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个数(非零实数)，这个数仅仅是相对于x而言的.函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期是.
知识点二 函数的奇偶性
例2 函数f(x)=cos(2x+)的( )
A.最小正周期是2π B.图象关于y轴对称
C.图象关于原点对称 D.图象关于x轴对称
思路分析：先利用诱导公式化简函数解析式，再作出判断.
∵y=cos(2x+π+)=-cos(2x+)=sin2x，
∴它的周期T==π，排除A.
显然，它是奇函数.
答案：C
例3 函数f(x)=xsin(-x)是( )
A.奇函数 B.非奇非偶函数
C.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
思路分析：先利用诱导公式化简，再作出判断.对于函数f(x)=xcosx，
∵f(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-f(x)，∴f(x)是奇函数.
答案：A
例4 试判断函数在区间(，)上的奇偶性.
思路分析：可先将函数式化成最简形式，再判断.
解：(1)
.
因为x∈(，)关于原点对称，且，
所以函数f(x)在(，)上是奇函数.
巧妙变式：如果将题中的(，)改为［，］，情况会怎样呢？由于当x=时，f()=1，而f()无意义，因此f(x)在x∈［，］上不具有奇偶性，即函数f(x)在x∈［，］上既不是奇函数也不是偶函数.
方法归纳 函数的奇偶性是研究f(-x)与f(x)之间关系的，其中f(-x)是把f(x)解析式中的x换成-x而得到的.奇、偶函数的定义域必关于原点对称.函数包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类.奇函数在关于原点对称的单调区间上的单调性相同，偶函数则相反.
例5 已知函数f(x)=ax+bsin3x+2(a、b为常数)，且f(3)=5，试求f(-3)的值.
思路分析：要求函数值，需先确定函数解析式，因含a、b两个参数，需要列关于a、b的两个方程，而题目仅提供了f(3)=5这一个条件，它无法求a、b的值.由f(3)与f(-3)的自变量互为相反数这一条件，应联想到函数的奇偶性，由于f(x)-2是奇函数，所以问题可解决.
解：令g(x)=f(x)-2=ax+bsin3x，
因为g(-x)=a(-x)+bsin3(-x)=-(ax+bsin3x)=-g(x)，
所以g(x)=ax+bsin3x是奇函数.
所以g(-3)=-g(3)，
即f(-3)-2=-［f(3)-2］.
所以f(-3)=2-［f(3)-2］=4-f(3)=4-5=-1，即f(-3)=-1.
方法归纳 一般地，在两个函数的公共定义域内，两个奇(偶)函数的和仍是奇(偶)函数；两个奇(偶)函数的积却是偶函数.
知识点三 比较三角函数值的大小
例6 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
(1)sin110°18′与sin146°30′；
(2)sin()与sin().
解：∵sin110°18′=sin69°42′，sin146°30′=sin33°30′,33°30′,69°42′∈［0°,90°］，且33°30′＜69°42′，而y=sinx在［0°,90°］上是增函数，所以sin33°30′＜sin69°42′，即sin110°18′＞sin146°30′.
(2)sin()=sin(-8π+)=sin,sin()=sin(-8π+)=sin.
因为,∈［0,］，且，y=sinx在x∈［0,］上是增函数，
所以sin＞sin，即sin()＞sin().
方法归纳 要比较不同角的三角函数值的大小，需利用诱导公式把任意角的三角函数转化成锐角三角函数，化简的步骤是先把负角化成正角，再把正角化成0到2π的角，再化成锐角，最后利用函数在［0,］上的单调性去判断.
知识点四 求三角函数的单调区间
例7 求函数y=()cosx的单调递减区间.
解：令μ=cosx,则y=()μ，因为y=()μ是减函数，所以函数y=()cosx的单调减区间为函数μ=cosx的单调增区间：［2kπ-π,2kπ］,k∈Z.
方法归纳 求复合函数单调性的关键是分清函数的复合过程，即把所求函数分解成若干层已知其单调性的函数，按照“同增异减”的法则，来判断复合函数单调性及其单调区间.
例8 求函数y=sin()，x∈［-2π，2π］的单调区间.
思路分析：应先把y=sin()化简成y=-sin()，
再把“”视为一个整体，利用复合函数的单调性求解.
解：因为y=sin()=-sin()，所以要使函数在给定的区间上单调递增，只需+2kπ≤≤+2kπ，解得+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z.
令k=-1，得；令k=0，得.
由于x∈［-2π，2π］，所以该函数y=sin()，x∈［-2π，2π］的单调增区间是［-2π，-］或［，2π］.
同理,可得函数y=sin()，x∈［-2π，2π］的单调减区间是［，］.
方法归纳 求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时，一般先将x的系数化成正值，再把“ωx+φ”视为一个整体，结合基本初等函数y=sinx的性质找到“ωx+φ”在x∈R上满足的条件，通过解不等式组求得单调区间.
知识点五 借助于正、余弦函数的图象解三角不等式
例9 解不等式2sin(-2x+)＞1.
思路分析：首先将原式化为sin(2x-)＜，再利用正弦函数的单调性.
解：原式可化为sin(2x-)＜，把2x-视为一个整体，如图1-4-11，在区间［0，2π］上，适合条件的x的范围是，在整个定义域上，满足+2kπ＜2x-＜+2kπ.
图1-4-11
解得+kπ＜x＜+kπ，k∈Z.
方法归纳 ①把ωx+φ，ω＞0视为一个整体，是化未知为已知，化生疏为熟悉的化归思想的具体应用.
②解三角不等式时，要注意结合正弦曲线、余弦曲线.由于弦函数的周期性，应先在一个长度为2π的周期上求范围，该范围的选择并非一定是［0，2π］或［-π，π］，而应该以是否得到一个完整的周期区间为标准.
知识点六 求最大值与最小值
例10 求函数y=1-cos(2x-)的最值及函数取最值时自变量x的集合.
思路分析：可把“2x-”视为一个整体，结合复合函数单调性的判定方法写出函数的最值及取得最值时2x-的集合，再通过解方程求得x的集合.
解：当cos(2x-)=-1时，ymax=1-×(-1)=，此时2x-=2kπ+π，k∈Z，解得x=kπ+，k∈Z，即函数y=1-cos(2x-)的最大值是，此时x的集合是{x|x=kπ+，k∈Z}.
同理,可得函数y=1-cos(2x-)的最小值是，此时x的集合是{x|x=kπ+，k∈Z}.
方法归纳 在求三角函数的最值(或值域)时，这种先把“ωx+φ,ω＞0”视为一个整体，再把sin(ωx+φ)视为一个整体，利用函数的性质去研究函数的值域(或最值)的方法是化未知为已知的化归思想的具体应用，它是我们研究函数问题的重要方法之一.
例11 求y=2sin2x-2cosx+3的最值.
思路分析：可先利用平方关系把sin2x转化成1-cos2x，即把函数转化成以cosx为未知数的二次函数的形式，再配方求值.
解：y=2(1-cos2x)-2cosx+3=-2cos2x-2cosx+5=-2(cosx+)2+，
∵-1≤cosx≤1，
∴当cosx=-时，ymax=；
当cosx=1时，ymin=-2×12-2×1+5=1.
方法归纳 对于可以转化成关于某一三角函数为未知数的二次函数形式问题，可利用配方法求解.
问题?探究
材料信息探究
由单位圆中的正弦线、余弦线的定义,可知正弦函数、余弦函数的值域都是［-1，1］，即-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1.特别地，当角α的终边落在y轴的正半轴上时，其正弦线等于1，函数值最大，即当且仅当{x|x=+2kπ，k∈Z}时，y=sinx取得最大值1；当角α的终边落在y轴的负半轴上时，其正弦线等于-1，函数值最小，即当且仅当{x|x=-+2kπ，k∈Z}时，y=sinx取得最小值-1.同理可知对余弦函数当且仅当{x|x=2kπ，k∈Z}时，取得最大值1；当且仅当{x|x=(2k+1)π，k∈Z}时，取得最小值-1.观察正、余弦函数的图象也极易看出它们的最大值都是1，最小值都是-1.
问题 函数的最值是函数值域的端点值，在三角函数的值域中，我们主要研究它的最值，那么如何求三角函数的最值呢？
探究过程：依托正、余弦函数的图象，使数形紧密结合，借助于函数单调性，寻求含有正、余弦函数的式子的最值.
探究结论：常见的方法有：
(1)可化为一个角的一个函数的形式，利用三角函数的有界性求最值;
(2)转化成关于某一三角函数为未知数的二次函数的形式，利用配方法求解;
(3)逆用三角函数的有界性求最值.
思维发散探究
问题 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(,0)对称.利用你所学的知识，加上一个你认为适当的条件，使φ、ω为确定的值，并求出它们的值.
探究思路：本题是一个条件开放型题，条件中已给了函数的奇偶性、对称性，则可以考虑给题目加上一个单调性的条件，然后再合理利用奇偶性、对称性和单调性解题.也可以考虑给ω加上一个范围，或给周期一个范围，利用奇偶性、对称性和周期性解题.
观点一：加条件“函数在［0,］上是减函数”.
由f(x)是偶函数和0≤φ≤π可得φ=.
由图象关于点M(,0)对称，得f()=0，即sin()=cos=0.
又ω＞0，则有,k=0,1,2,3,4, …，
∴ω=(2k+1),k=0,1,2,3,4….
当k=0时，ω=，f(x)=sin()，在［0,］上是减函数;
当k=1时，ω=2,f(x)=sin(2x+)，在［0,］上不具有单调性;
当k≥2时，f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)在［0,］上也不具有单调性.
由上可知φ=，ω=.
观点二：加条件“ω为不大于2的整数”.
由f(x)是偶函数和0≤φ≤π可得φ=.
由图象关于点M(,0)对称，得f()=0，即sin()=cos=0.
又ω＞0，则有,k=0,1,2,3,4,…,即ω=(2k+1),k=0,1,2,3,4, …，则k=1时满足条件，此时φ=,ω=2.
观点三：加条件“函数的周期T∈［,π］”.
由f(x)是偶函数和0≤φ≤π可得φ=.
由图象关于点M(,0)对称，得f()=0，
即sin()=cos=0.
又ω＞0，则有
=kπ+,k=0,1,2,3,4…,
即ω=(2k+1),k=0,1,2,3,4…，则.
又由T∈［,π］及k=0.1,2,3,4…,可得k=1或k=2，即ω=2或ω=.
1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质
疱工巧解牛
知识?巧学
一、正切函数的周期
π是正切函数的周期.在这里，我们用两角和的正切公式tan(α+β)=证明π是正切函数的最小正周期.
设T是正切函数的最小正周期且0＜T＜π，那么，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有tan(x+T)=tanx.令x=代入上式，得tan(+T)=tan=1，即 =1，解得tanT=0，此时T=kπ，k∈Z，这与0＜T＜π相矛盾.这说明上述tanT=0是不可能的，于是T必须等于π，即正切函数的最小正周期是π.
学法一得 (1)周期函数的定义中“当x取定义域内的每一个值时”的“每一个”的含义是指函数定义域内的所有x值，如果存在一个x0，使得f(x0+T)≠f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期.
(2)根据问题所给的全部信息，选包含在问题中的题设或结论中的某个特殊值，导出问题的答案，再进一步论证其正确性的方法，称之为特殊化法.
二、正切函数的奇偶性
由诱导公式三可知，tan(-x)=-tanx.又因为正切函数的定义域是x∈R，且x≠+kπ,k∈Z，它关于原点对称，所以正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称.
三、正切函数的单调性
过单位圆与x轴的正半轴的交点A(1,0)作单位圆的切线，它与角α的终边(当角α为第一、四象限时)或其反向延长线(当角α为第二、三象限时)相交于点T，我们就把有向线段AT叫做角α的正切线.
设角α∈(,)，当α由小变大时，可见它的正切线在负的方向上由长逐渐变短到零，再在正的方向上由零逐渐变长.结合正切函数的周期性可知，正切函数在开区间(-+kπ, +kπ),k∈Z内都是增函数.
四、正切函数的值域
由正切函数线的变化规律可知，正切函数在给定的定义域上没有最值，它的值域是y∈R.
五、正切函数的对称性
正切函数是中心对称图形，同一支曲线的对称中心是图象与坐标轴的交点(kπ，0)，k∈Z.相邻的两支曲线的对称中心是它们的公共渐近线同坐标轴的交点(+kπ，0)，k∈Z.由于终边落在坐标轴上的角是α=，k∈Z，可知切函数的对称中心是(，0).
六、用正切线作正切函数y=tanx，x∈(，)的图象
1.由任意角的三角函数的定义可知，正切函数y=tanx的定义域是{x|x∈R且x≠+kπ，k∈Z }，即角x的终边不能落在y轴上.结合单位圆中正切线的画法及其周期性，我们选择在(，)这一区间内作它的图象是最为适宜的.
2.作正切函数y=tanx，x∈(，)的图象的步骤
(1)建立直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆;
(2)把单位圆中的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出其相应的正切线;
(3)在x轴上，把到这一段分成8等份，依次确定单位圆上8个分点在x轴上的位置;
(4)把角x的正切线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合;
(5)用光滑的曲线把正切线的终点连结起来，就得到y=tanx，x∈(，)的图象.如图14-1-2所示.
图1-4-12
3.根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展(每次扩展π的整数倍)，得到正切函数y=tanx，x∈R且x≠+kπ，k∈Z的图象，并把它叫做正切曲线(如图1-4-13).从下图可以看到，正切曲线是由相互平行的直线x=+kπ(k∈Z)(称为正切曲线的渐近线)所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
图1-4-13
学法一得 (1)一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格的表述.但对正切函数，本书采用了先根据已有的知识研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象.在函数性质的指导下，更加有效地研究图象，使数形结合的思想体现的更加完美.
(2)画正切函数的简图时，可按照开区间(,),(,),(,),…分段，这些开区间的长度都等于π个单位.在每一个开区间上，都有一支曲线与x轴交于一点，且与渐近线无限接近但永不相交.与x轴的交点及渐近线在确定图象的形状时起关键作用，利用它可以画出正切函数的简图.类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三个点分别为(kπ,0),(kπ+,1),(kπ-,-1),其中k∈Z.两线为直线x=kπ+ (k∈Z)和直线x=kπ- (k∈Z).
(3)当把单位圆的右半圆等分时，分的份数越多，图象就越精确，所分份数以4的倍数为佳.正切曲线中，相互平行的直线x=+kπ，k∈Z都是它的渐近线.在同一单调区间内，图象向上、向下无限地接近这些线，但永远不能相交.
典题?热题
知识点一 周期性
例1 求下列正切函数的周期：
(1)y=2tan(2x+)；
(2)y=3tan()；
(3)y=Atan(ωx+φ)，x∈R,x≠+kπ(其中A、ω、φ为常数，且A≠0,ω＞0).
思路分析：利用周期函数的定义或最小正周期的公式求解.
解：(1)令z=2x+，那么函数y=2tanz的周期是π.
由于z+π=(2x+)+π=2(x+)+，所以自变量x只要并且至少要增加到x+时，函数值才能重复取得，即T=是能使等式2tan［2(x+T)+］=2tan(2x+)成立的最小正数，从而函数y=2tan(2x+)的周期是.
(2)令z=，那么函数y=3tanz的周期是π.
由于z+π=()+π=(x+2π)-，所以自变量x只要并且至少要增加到x+2π时，函数值才能重复取得，即T=2π是能使等式3tan［(x+T)-］=3tan()成立的最小正数，从而函数y=3tan()的周期是2π.
(3)令z=ωx+φ，那么y=Atanz的周期是π.
由于z+π=(ωx+φ)+π=ω(x+)+φ，所以自变量只要并且至少要增加到时，函数值才能重复出现，即是能使等式Atan［ω(x+T)+φ］=Atan(ωx+φ)成立的最小正数，从而函数y=Atan(ωx+φ)的周期是.
方法归纳 函数y=Atan(ωx+φ)(ω＞0)的周期是.对于上述结论，在以后的学习中可直接利用它求正切函数的周期.对于较复杂的三角函数式，可先化简成这种形式，再求周期.
例2 求f(x)=|tanx|的最小正周期.
思路分析：函数f(x)=|tanx|=的图象可看作把y=tanx的图象在x轴下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.
解：先作出y=tanx的图象，然后将它在x轴上方的图象保留，而将其在x轴下方的图象向上翻(即作出关于x轴的对称图象)，就可得到y=|tanx|的图象.如图1-4-14,显然它的最小正周期是π.
图1-4-14
方法归纳 最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个最小正数是相对x而言的.正切函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为.
知识点二 奇偶性
例3 试判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=1-2cosx+|tanx|；(2)f(x)=x2tanx-sin2x；(3)f(x)=tanx·cotx.
思路分析：利用函数奇偶性的定义去判断.
解：(1)因为该函数的定义域是{x|x≠+kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f(-x)=1-2cos(-x)+|tan(-x)|= 1-2cosx+|tanx|=f(x)，所以函数f(x)为偶函数.
(2)因为函数f(x)的定义域是{x|x≠+kπ，k∈Z}，关于原点对称，
又f(-x)=(-x)2tan(-x)-sin2(-x)=-x2tanx-sin2x，f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)因为该函数的定义域是{x|x≠，k∈Z }，关于原点对称，且f(x)=tanx·cotx=1，对定义域内的任意一个x，都有f(-x)=1=f(x)，所以该函数是偶函数.
方法归纳 ①函数的定义域关于原点(y轴)对称是该函数具有奇偶性的一个充要条件.奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称;反过来，图象关于原点(或y轴)对称的函数是奇(偶)函数.
②判断函数奇偶性的步骤是：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(-x)与f(x)的关系.若定义域关于原点对称且满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是偶函数或奇函数，否则就是非奇非偶函数.
知识点三 单调性
例4 比较不同角的三角函数值的大小.
(1)tan100°15′与tan138°30′；(2)tan()与tan()；(3)tan509°与tan140°.
思路分析：利用诱导公式把它们转化成锐角的正切函数或转化成同一单调区间内的正切函数.
解：(1)tan100°15′=tan(180°-79°45′)=-tan79°45′，
tan138°30′=tan(180°-41°30′)=-tan41°30′.
∵0°＜41°30′＜79°45′＜90°，且正切函数y=tanx，x∈(0°，90°)是增函数，
∴tan41°30′＜tan79°45′，即tan100°15′＜tan138°30′.
(2)tan()=-tan(5π-)=tan，
tan()=-tan(5π-)=tan，
∵且正切函数y=tanx，x∈(0，)是增函数，
∴，即.
(3)tan509°=tan(3×180°-31°)=tan(-31°)=-tan31°，tan140°=tan(180°-40°)=tan(-40°)=-tan40°.
∵0＜31°＜40°＜90°，且正切函数y=tanx，x∈(0°，90°)是增函数，
∴tan31°＜tan40°，即tan509°＞tan140°.
例5 求函数y=tan(3x-)的单调区间.
思路分析：利用复合函数单调性的判定方法求复合函数的单调区间.
解：令u=3x-，则y=tanu.
∵u=3x-为增函数且y=tanu在区间(-+kπ，+kπ)，k∈Z上是增函数，
∴y=tan(3x-)在-+kπ＜3x-＜+kπ，即在x∈()，k∈Z上是增函数.
方法归纳 由于切函数是奇函数，对于负角的切函数，可先转化成正角的切函数；由于切函数的周期是π，对于非锐角可直接转化成kπ±α或k·180°±α，α是锐角的形式，利用诱导公式对其化简；函数的单调性是相对于某一个区间而言的.正切函数在每一个开区间内都是增函数，但在整个定义域上不是单调函数.
例6 解下列不等式：
(1)tanx≥1；(2)tan(2x-)+3＞0.
思路分析：利用切函数的图象及其单调性求解.
解：(1)如图1-4-15，在区间(，)上，满足tanx≥1的角是≤x＜，所以不等式的解集是{x|+kπ≤x＜+kπ，k∈Z}.
图1-4-15 图1-4-16
(2)原不等式可化为tan(2x-)＞-3，设z=2x-.
如图1-4-16，在(，)上满足tanz＞-3的角的范围是，
所以在整个定义域上有，k∈Z，
即，k∈Z.
解得，k∈Z.
所以原不等式的解集是{x|，k∈Z}.
知识点四 对称性
例7 下列各点中是函数y=tan(x+)(x∈R且x≠+kπ，k∈Z)的一个对称中心的为( )
A.(0，0) B.(，0) C.(，0) D.(π，0)
思路分析：因为切函数的对称中心是使函数值为零或使函数值无意义的点，不妨采用直接代入法求解.
答案：C
知识点五 函数的定义域
例8 求函数的定义域.
思路分析：求该函数的定义域不仅要考虑到tanx≠1，还要考虑到自身的限制条件.
解：要使函数有意义，必须tanx≠1，且x≠+kπ,k∈Z，
即该函数的定义域是x≠+kπ,k∈Z且x≠+kπ,k∈Z.
方法归纳 函数y=Atan(ωx+φ)的定义域是它的渐近线集在实数中的补集，因此可从研究它的渐近线方程入手，来确定它的定义域.这也是一种非常重要的求补集思想.
知识点六 函数的值域
例9 求函数y=tan2x-2tanx-3，x∈［，+kπ］，k∈Z的值域.
思路分析：换元后，用配方法求二次函数的值域.
解：设t=tanx，x∈［，+kπ］，k∈Z，
由正切函数的性质可得t∈［，1］.
则y=t2-2t-3=(t-1)2-4.
因为y=t2-2t-3在区间［，1］上是减函数，
所以当t=时，ymax=；
当t=1时，ymin=(1-1)2-4=-4.
所以，所求函数的值域为［-4，］.
方法归纳 (1)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫函数的值域.它是由定义域和对应关系决定的.
(2)求二次函数的最值时，要注意对称轴与给定区间的关系，当对称轴不在给定区间时，函数是单调函数，其最值在区间的两个端点处取得；当对称轴在给定的区间内时，在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的区间端点处取另一最值.
问题?探究
误区陷阱探究
问题1 正弦与余弦函数图象形状相同，因此在若干性质上差别不大，但正切函数与正弦、余弦函数相比较，就有了较多的不同点，那么在把握正切函数性质时，与正弦、余弦函数对比，要注意些什么问题？
探究过程：正切函数y=tanx,x≠kπ+,k∈Z，其定义域不是R，又正切函数与正弦、余弦函数对应法则不同，因此一些性质与正弦、余弦函数的性质有了较大的差别.如正弦、余弦函数是有界函数，而正切函数则是无界函数；正弦、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断点，而正切函数在R上不连续，它有无数条渐近线x=kπ+，图象被这些渐近线分割开来；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上都是增函数.同作为三角函数，它们也存在许多相同点：如均为周期函数，且对y=Atan(ωx+φ)(ω＞0)而言，T=,y=tanx是奇函数，它的图象既可以类似用正切线的几何方法作图，又可以用“三两线法”作简图，这里三个点为(kπ,0),(kπ+,1),(kπ-,-1)，直线x=kπ+，直线x=kπ-(其中k∈Z)，作出这三个点和这两条渐近线，便可得到y=tanx在一个周期上的简图.正弦、余弦函数与正切函数同是中心对称图形(正、余弦函数同时也是轴对称图形).
函数y=tanx的对称中心的坐标是(,0)(k∈Z)，y=tanx的值域为R是显然的.
探究结论：对正切、余切函数相关的表示式的一些性质不能由正弦、余弦函数的结论作一般的推广，需论证后加以应用，例如：y=|sinx|的周期是y=sinx的周期的一半，而y=|tanx|与y=tanx的周期却相同，均为π，再如y=sinωx+cosax的周期可用最小公倍数法求，而y=tanωx+cotax的周期用最小公倍数计算时不一定是最小正周期.
问题2 判断函数的奇偶性.
∵
,
且f(-x)==-f(x)，
∴f(x)是奇函数.
你能看出上述的解法存在什么问题吗？
探究过程：上述解法是错误的，原因是没有考虑原函数的定义域，而且在化简函数式时没有考虑到的要求.
在判断函数的奇偶性时，首先应求定义域，即看是否具备函数具有奇偶性的必要条件——定义域区间关于原点对称.
探究结论：正确的解法如下：
∵1+sinx+cosx≠02sin(x+)≠-1sin(x+)≠
x≠2kπ-且x≠2kπ+π.
∴定义域关于原点不对称，故f(x)是非奇非偶函数.
1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）的图象
疱工巧解牛
知识?巧学
一、φ对y=sin(x+φ)，x∈R的图象的影响
1.以函数y=sin(x+)，x∈R与y=sin(x-)，x∈R为例说明.
函数y=cosx=sin(x+)，x∈R的图象可以看作是把正弦曲线上所有的点向左平移个单位长度而得到的.显然，y=sin(x+)的图象可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有点向左平移个单位长度而得到的；y=sin(x-)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向右平移个单位长度而得到的.
这函数y=sin(x+),x∈R与函数y=sin(x-),x∈R的周期都是2π，用“五点法”画出它们在［0,2π］上的简图.
列表：
x
x+
0
π
2π
sin(x+)
0
1
0
-1
0
x
x-
0
π
2π
sin(x-)
0
1
0
-1
0
描点作图：
图1-5-2
从图1-5-2和表格中都可以看出：在y=sin(x+)与y=sin(x-)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，它的横坐标分别比y=sinx的横坐标小与多.
2.一般地，函数y=sin(x+φ)(φ≠0)，x∈R的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度而得到的，这种变换叫做相位变换.
学法一得 移图与移轴是相对的，把图象向右(左)平移φ(φ＞0)个单位，相当于把y轴向左(右)平移φ(φ＞0)个单位；把图象向上(下)平移k(k＞0)个单位，相当于把x轴向下(上)平移k(k＞0)个单位，移轴比移图更容易作出函数的图象.
二、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
1.以函数y=sin2x，x∈R与y=sinx，x∈R为例说明.
由于函数y=sin2x的周期是π，所以可先画出它在［0，π］上的简图，按五个关键点列表：
x
0
π
2x
0
π
2π
sin2x
0
1
0
-1
0
同理，函数y=sinx的周期是4π，所以可先画出它在［0，4π］上的简图，按五个关键点列表：
x
0
π
2π
3π
4π
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
描点作图：
图1-5-3
(1)函数y=sin2x与y=sinx的图象间的联系：
从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sin2x，x∈［0，π］的图象上，横坐标为，x0∈［0，π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx上横坐标为x0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sin2x，x∈R的图象，可以看作是把正弦曲线y=sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.
(2)函数y=sinx与y=sinx的图象间的联系
从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sinx，x∈［0，4π］的图象中，横坐标为2x0，x0∈［0，4π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx上横坐标为x0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sinx，x∈R的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.
2.一般地，函数y=sinωx(ω＞0且ω≠1)，x∈R的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，这种变换称为周期变换，它是由ω的变化而引起的，ω与周期T的关系是.
学法一得 函数y=sinωx的图象是由y=sinx的图象通过实施周期变换而得到的，其中ω决定函数的周期，它能改变曲线的形状，φ的值只改变曲线的位置，并不改变曲线的形状.
三、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
1.以函数y=2sinx，x∈R，y=sinx，x∈R为例说明.
由于这两个函数的周期都是2π，所以可先画出它们在［0，2π］上的简图，按五个关键点列表：
x
0
π
2π
Sinx
0
1
0
-1
0
2sinx
0
2
0
-2
0
sinx
0
0
0
描点画图：
图15-4
利用这两个函数的周期性，把它们在［0，2π］上的简图向左、右扩展，从而得到它们在整个定义域上的简图.
(1)函数y=2sinx的图象与y=sinx的图象之间的联系
通过图1-5-4及所列表格可知，对同一个x的值，函数y=2sinx，x∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的2倍.根据函数的周期性，它在其他区间上也是如此.所以函数y=2sinx，x∈R的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=2sinx，x∈R的值域是［-2，2］.
(2)函数y=sinx的图象与y=sinx的图象之间的联系
通过图154及所列表格可知，对同一个x的值，函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的倍，根据函数的周期性，在其他区间上也是如此.所以函数y=sinx，x∈R的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=sinx，x∈R的值域是［-，］.
学法一得 一般地，函数y=Asinx，x∈R (A＞0且A≠1)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫做振幅变换，它是由A的变化而引起的，A叫做函数的振幅，函数y=Asinx，x∈R的值域是［-A，A］.
四、函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx图象间的关系
1.以函数y=3sin(2x+)，x∈R为例说明.
函数y=3sin(2x+)的周期是π，先画出它在长度为一个周期的闭区间上的简图，按五个关键点列表：
x
2x+
0
π
2π
3sin(2x+)
0
3
0
-3
0
描点画图：
图1-5-5
函数y=3sin(2x+)，x∈R的图象，可看作是先将y=sinx图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin(x+)，x∈R的图象；再把y=sin(x+)，x∈R的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+)，x∈R的图象；最后把y=sin(2x+)，x∈R的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)得到的.
2.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，ω＞0)，x∈R的图象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变).
联想发散 y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，ω＞0)，x∈R的图象也可通过下面的方法而得到：先把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变).
五、A、ω、φ的物理意义
当函数y=Asin(ωx+φ)，x∈［0,+∞)(其中A＞0，ω＞0)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需要的时间，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；ωx+φ称为相位；当x=0时，相位φ称为初相.
例如，函数y=2sin(3x-)，x∈［0，+∞)的振幅是2，周期T=，频率，相位是3x-，初相是.
六、函数y=Asin(ωx+φ)，x∈R的对称问题
1.对称轴
过函数y=Asin(ωx+φ)，x∈R的图象的最值点作x轴的垂线，可得该函数图象的对称轴.对称轴可由ωx+φ=kπ+，k∈Z解出，显然对称轴有无数条.例如，y=2sin(2x-)图象的对称轴方程是2x-=kπ+，k∈Z，即x=，k∈Z.
函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程可由ωx+φ=kπ，k∈Z解出.
2.对称中心
函数y=Asin(ωx+φ)与x轴的交点都叫做该函数的对称中心，它是函数值等于零的点，由ωx+φ=kπ得x=，即对称中心是(，0).显然，函数y=4sin(2x-)的对称中心是(，0).
同理，函数y=Acos(ωx+φ)的对称中心是(，0)，显然，函数y=2cos(2x+)的对称中心是(，0).
学法一得 (1)所谓轴对称，就是把图形沿此直线对折，对折后的图形与原图形完全重合.由于函数y=Asin(ωx+φ)中的变量x∈R，所以它有无数条对称轴.
(2)所谓中心对称，就是把图形绕该点旋转180°后，所得图形与原图形完全重合.由于y=Asin(ωx+φ)的变量x∈R，所以它有无数个对称中心.
典题?热题
知识点一 A、ω、φ的求值与图象的平移
例1 (1)用“五点法”作函数y=2sin(2x-)，x∈R的图象，并指出这个函数的振幅、周期和初相；
(2)怎样由y=sinx的图象，得到y=2sin(2x-)的图象？
解：(1)列表：
x
2x-
0
π
2π
2sin(2x-)
0
2
0
-2
0
描点连线：
图1-5-6
把函数y=2sin(2x-)在长度为一个周期的简图中向左右扩展，就得到y=2sin(2x-)，x∈R的简图.振幅A=2，周期T==π，初相φ=.
(2)解：先把函数y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位，得到函数y=sin(x-)的图象；再把y=sin(x-)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x-)的图象；最后把y=sin(2x-)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y=2sin(2x-)，x∈R的图象.
知识点二 图象的平移
例2 已知函数y=sin(2x+)+，x∈R.
(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？
思路分析：本题主要考查三角函数的图象和性质，求最值时，可把(ωx+φ)视为一个整体.
解：(1)要使y取得最大值必须且只需2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kx，k∈Z.
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ，k∈Z}.
(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：
①把函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=sin(x+)的图象；
②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+)的图象；
③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到函数y=sin(2x+)的图象；
④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图象.
综上可得函数y=sin(2x+)+的图象.
方法归纳 先相位，再周期变换，同先周期，后相位变换一样，函数y=sinx图象上的点(0，0)都被变换成了点(，0).但要注意平移的单位是不同的，先相位后周期，平移的单位为|φ|；先周期，后相位，平移的单位为.
例3 把函数y=f(x)的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，得到曲线y=sinx的图象，试求函数y=f(x)的解析式.
思路分析：一是设f(x)=Asin(ωx+φ)，按图象变换的法则，分两步，得y=Asin［(x+)+φ］，它就是y=sinx，构造A、ω、φ的方程求解；二是采用逆变换，即把上述变换倒过来，由y=sinx得到y=f(x).
解：设y=Asin(ωx+φ)，把它的横坐标伸长到原来的2倍得到y=Asin(x+φ)，再向左平移个单位，得到y=Asin［(x+)+φ］，即y=Asin.
由两个代数式恒等，得
∴f(x)=sin(2x-)=-cos2x.
巧解提示：将y=sinx的图象向右平移个单位，得到y=sin(x-)的图象，再把y=sin(x-)的图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=sin(2x-)，即y=cos2x的图象，所以所求函数f(x)=cos2x.
方法归纳 平移是相对的，平移的量也不是唯一的，若通过平移φ(φ＞0)个单位能实现图象间的转化，那么平移kT+φ(k∈Z，T是函数的最小正周期)个单位也能实现转化.三角函数的图象的变换是相对的、互逆的.
知识点三 已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象，求它的解析式.
例4 已知函数y=Asin(ωx+φ)，|φ|＜的图象，试确定A、ω、φ的值.
图1-5-7
解：显然，A=2.
∵T=-(-)=π，∴.
从图1-5-7中可以看出，函数y=2sin(2x+φ)是由y=2sin2x的图象向左平移个单位得到的,所以y=2sin2(x+)，即φ=.
也可利用代点法求φ：
由图可知当时，ymax=2.
故有2x+φ=2×+φ=2kπ+，即φ=2kπ+.∵|φ|＜，∴φ=.
方法归纳 若用代点法确定函数y=Asin(ωx+φ)中的φ值时，能代入最值点更好；若A＞0，ω＞0时，若代入递增区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ，k∈Z.若代入递减区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ+π，k∈Z，再依据φ的范围，确定φ的值.
例5 图1-5-8是一个按正弦规律变化的交流电的图象.根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式.
图1-5-8
思路分析：通过图象确定周期T，从而进一步求得ω的值是关键，振幅A也可通过识图求得，初相φ一般通过代点求得.
解：由图象看出，这个交流电的周期T=0.2 s，由频率f与周期T的关系式，得频率，电流的最大值为10 A.
由图1-5-8可知，这个曲线的函数解析式是正弦型函数I=Asin(ωt+φ)，其中A=10，ω==10π，再把点(0，10)代入函数解析式I=10sin(10πt+φ)，得sinφ=1，取φ=，于是得到曲线的函数解析式为I=10sin(10πt+)，t∈［0，+∞).
根据诱导公式，函数式可化为I=10cos10πt，t∈［0，+∞).
方法归纳 A表示振动量离开平衡位置的最大距离；ω可由周期T或T的一部分确定；φ可由图象离原点最近的递增区间中心点的横坐标确定，也可用代点法确定.
问题?探究
思想方法探究
问题 如何理解函数y=A1sin(ω1x+φ1)与函数y=A2sin(ω2x+φ2)图象间的关系?
探究过程：设函数y=2sin(x+)，x∈R的图象为C，要得到y=3sin(x+)，x∈R的图象，只需把C上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)；要得到y=2sin(x+)，x∈R的图象，只需把曲线C上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)；要得到y=2sin(x+)，x∈R的图象，只需把曲线C上所有的点向左平移个单位长度；要得到y=2sin(x+)+2的图象，只需把曲线C上所有点向上平移2个单位.对于余弦函数也是如此.
不同名称的弦函数间的关系，可先统一函数名称，如y=sin(2x-)与y=cos2x图象间的关系，由于y=sin(2x-)=cos［-(2x-)］=cos(-2x)=cos(2x-)，所以只需把y=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度，即可得到y=cos2x的图象.把y=cos2x的图象向右平移个单位，便可得到y=cos(2x-)，即y=sin(2x-)的图象，所以图象的变换是相对的.
探究结论：由y=sinx到y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，ω≠1)的思维过程是：①画出y=sinx，x∈［0，2π］的简图；②沿x轴平移，得到y=sin(x+φ)，x∈R在长度为一个周期的闭区间上的简图；③横坐标伸长或缩短，得到y=sin(ωx+φ)，x∈R在长度为一个周期上的简图；④纵坐标伸长或缩短，得到y=Asin(ωx+φ)，x∈R在长度为一个周期上的简图.
误区陷阱探究
问题 “要想得到函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象，只需将函数y=Asinωx(A＞0,ω＞0)的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位”这句话是否正确？
探究过程：三角函数图象的变换包括了周期变换、振幅变换、相位变换和上下平移变换.其中由函数y=Asinωx(A＞0,ω＞0)的图象得到函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象是相位变换，它的实质是左右平移，而左右平移只是变换自变量x，比如，将函数y=lg2x的图象向左平移1个单位，得到的是函数y=lg2(x+1)的图象，而不是y=lg(2x+1).由于y=Asin(ωx+φ)=Asinω (x+) (A＞0,ω＞0)，则要由y=Asinωx(A＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象，只要向左或向右平移个单位即可.
探究结论：这句话不正确，由y=Asinωx(A＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象，应向左或向右平移个单位.
1.6 三角函数模型的简单应用
疱工巧解牛
知识?巧学
一、函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系
绝对值仅对函数值施加影响，根据绝对值的意义有要画出y=|f(x)|的图象，只需先画出y=f(x)的图象，再把x轴下半平面的部分沿x轴翻折上去(翻折后x轴下方的图象不再存在)，这样原有的x轴上半平面的部分及翻折上去的部分一起便构成了y=|f(x)|的图象.
二、数学建模
解决实际问题就是要把实际问题变成数学问题，通过解数学问题，获得答案，再反过来解释实际问题，这就是一个数学建模的过程.
一般来说，数学建模过程可用下面的框图表示：
图1-6-1
当问题与函数图象有关时，可先建立适当坐标系，把题目所给的每一对数据作为一个点的坐标，在坐标系中描出这些点，并用光滑曲线把这些点依次连结起来，观察所画曲线、选用适当函数解析式，设法求出解析式中各参数，并将已知数据代入求得的解析式进行检验.如果等式不成立，则需修改解析式；如果等式成立，则该函数解析式就是本题的数学模型.这时就可以利用这个数学模型解决题目的其他问题了.
函数模型的应用实例主要包括三个方面：直接利用给定的函数模型解决实际问题；建立确定性函数模型解决实际问题；建立拟合函数模型解决实际问题.
误区警示 建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析.
典题?热题
知识点一 确定函数解析式
例1 若函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜2π)的最小值为-2，周期为，且它的图象过点(0,)，求此函数的表达式.
思路分析：根据条件可先求出A，再由周期得出ω，用特殊点求出φ.
解：由题意得A=2,ω=3，故设y=2sin(3x+φ)，
∵图象过点(0,),∴sinφ=,0＜φ＜2π.
∴φ=或φ=.
∴函数的表达式为y=2sin(3x+)或y=2sin(3x+).
例2 图1-6-2为y=Asin(ωx+φ)的一段图象，求其解析式.
图1-6-2
思路分析：本题主要考查正弦函数的图象与性质.首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx的图象)，所以A＜0；若以M点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降(类似于y=sinx的图象)，所以A＞0.而φ可由相位来确定.
解：以N为第一个零点，则A=，T=2(-)=π.
∴ω=2，此时解析式为y=sin(2x+φ).
∵点N(，0)为y=sin(2x+φ)的第一个零点，
∴×2+φ=0φ=.∴所求解析式为y=sin(2x+).
巧解提示：以点M(，0)为第一个零点，则A=，ω==2，
解析式为y=sin(2x+φ).
∵点M(，0)为y=3sin(2x+φ)=0的第一个零点，
∴将点M的坐标代入得2×+φ=0φ=.
∴所求解析式为y=sin(2x-).
方法归纳 (1)参数A与ω是改变曲线形状的量，φ与b是改变曲线位置的量.它们一起决定了曲线的形状与位置.
(2)确定解析式y=Asin(ωx+φ)+b中的参数A、ω、φ、b的关键是明确该函数同y=sinx的关系；同时明确“五点法”作草图的过程及两个图象上相对应点间的关系.
知识点二 函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系
例3 画出下列函数的图象并观察其周期.
(1)y=|cosx|；(2)y=|tanx|.
思路分析：显然y=|cosx|，y=|tanx|的图象分别是把y=cosx，y=tanx的图象在x轴下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.
解：(1)y=|cosx|的图象如图1-6-3所示.
图1-6-3
从图中可以看出该函数是以π为周期的函数.
(2)y=|tanx|的图象如图1-6-4所示.
图1-6-4
从图中可以看出该函数是以π为周期的函数.
例4试画出下列函数的图象并观察其周期.
(1)y=sin|x|；(2)y=tan|x|.
思路分析：显然这两个函数都是偶函数，其图象应关于y轴对称.根据绝对值的意义可知x≥0的部分应是y=sinx，y=tanx右半平面的部分.
解：(1)y=sin|x|的图象如图1-6-5所示.
图1-6-5
从图中可以看出y=sin|x|不再是周期函数.
(2)y=tan|x|的图象如图1-6-6所示.
图1-6-6
从图中可以看出y=tan|x|的图象也不再是周期函数.
方法归纳 (1)一般地，对于函数y=f(|x|)而言，若它的定义域是关于原点对称的，则它是偶函数，它的图象必关于y轴对称，因为当x≥0时，|x|=x，所以函数y=f(|x|)的图象在y轴右半平面的部分(包括同y轴的交点)是函数y=f(x)在x≥0时的部分，左半平面的部分应是右半平面的部分沿y轴翻折而得到的.
(2)函数y=|Asin(ωx+φ)|的图象是保留y=Asin(ωx+φ)的上半平面部分，而把下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.对于y=|Acos(ωx+φ)|、y=|tan(ωx+φ)|的图象也是如此.函数y=|sin(ωx+φ)|的周期变为，而y=|tan(ωx+φ)|的周期仍是.
知识点三 建立数学模型解决实际问题
例5 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位：小时)的函数，下面是时间与水深的数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
图1-6-7
根据上述数据描出的曲线如图1-6-7所示，经拟合，该曲线可近似看成正弦函数y=Asinωt+b的图象.
(1)试根据以上数据，求出y=Asinωt+b的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天(24小时)安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？
思路分析：观察问题所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，可依据给出的数据与图象确定函数解析式中的参数A,ω,b的值.
解：(1)由表中数据可知b==10，A=3.
由T==12,得ω=.
所以y=3sint+10.
(2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5米.
令y=3sint+10≥11.5，可得sint≥.
∴2kπ+≤t≤2kπ+,k∈Z.∴12k+1≤t≤12k+5,k∈Z.
取k=0，则1≤t≤5，取k=1，则13≤t≤17；而取k=2，则25≤t≤29(不合题意).
∴在凌晨1点至5点和下午13点至17点，该船能够安全进港.船舶要在一天之内在港内停留时间最长，就应在凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长不能超过16小时.
例6 如图1-6-8，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).
图1-6-8
(1)求函数h=f(t)的关系式；
(2)画出函数h=f(t)的图象.
思路分析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力.
解：(1)如图1-6-9，以O为原点，过点O的切线为x轴，建立直角坐标系.
图1-6-9
设点A的坐标为(x,y)，则h=y+0.5.
设∠OO1A=θ，则cosθ=,y=-2cosθ+2.又θ=×t即,
所以y=-2cost+2,h=f(t)=-2cost+2.5.
(2)函数h=f(t)=-2cost+2.5的图象如图1-6-10.
图1-6-10
问题?探究
方案设计探究
问题 根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界期和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置).请根据自己的出生日期，绘制自己的情绪和智力曲线.
探究思路：从生日前一天起，连续一个月记录自己每天在情绪、体力、智力方面的表现，之后绘制自己的情绪和智力曲线.并比较生日相同的同学所绘制的情绪和智力曲线是否相同，通过实际操作，研究情绪和智力曲线对每个同学的指导是否有效.
探究结论：根据实际情况得出结论，总结在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力.
材料信息探究
在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落.一般地，海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”.由于潮汐与港口的水深有密切的关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用.一般地，船涨潮时驶入航道，靠近码头，卸货后，在落潮时回到海洋.某港口工作人员在2006年8月1日从0时至24时记录的时间t(小时)与水深d(米)的关系如下：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
d
5
7.5
5
2.5
5
7.5
5
2.5
5
问题 你能不能选用一个函数来近似地描述这个港口水深与时间的函数关系？
探究过程：观察上表中所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表中的数据作出图象，从图象可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用一个类似于正弦函数的函数来刻画，此函数可记为y=Asin(ωx+φ)+k(A＞0,ω＞0,φ∈［0,π］).
由上表可知，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，周期为12.则有则A=，k=5，12=,即ω=.
由上表还可得点(3，7.5)在函数的图象上，则有7.5=sin(×3+φ)+5，即sin(+φ)=1，再由φ∈［0,π］得φ=0.
由上可得函数的解析式为y=,x∈［0,24］.
探究结论：上表中时间与水深的函数解析式可以近似地用函数y=,x∈［0,24］来描述.
思想方法探究
问题 怎样求方程sinx=解的个数？
探究过程：根据我们所学的知识，还不能解出这个方程.这时不妨采用数形结合的方法，把求方程根的个数的问题转化为求函数y=sinx与y=的交点个数的问题.此外，解题时还应注意两个函数的奇偶性及图象的特性.具体方法是：作出当x≥0时，y=sinx与y=的图象，由图可知它们有4个交点(包括原点).又因为y=sinx与y=都是奇函数，它的图象关于原点对称，所以，当x＜0时，两图象有3个交点.所以，函数y=sinx与y=共有7个交点，即方程sinx=有7个根.
探究结论：sinx=是一个超越方程，用代数的方法是无法求解的.对超越方程,我们可以利用数形结合的方法求其近似解和其解的个数.具体方法是：首先将方程化为f(x)=g(x)的形式，其中f(x)、g(x)的图象可以画出.然后画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们交点的横坐标为方程的解，而交点的个数为方程解的个数.
3.1.1 两角差的余弦公式
疱工巧解牛
知识?巧学
一、两角差的余弦公式
1.推导方法1(向量法)：把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究.如图3-1-2，设α、β的终边分别与单位圆交于点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以我们只需考虑0≤α-β＜π的情况.
图3-1-2
设向量a==(cosα,sinα)，b==(cosβ,sinβ)，则ab=|a|·|b|·cos(α-β)=cos(α-β);另一方面，由向量数量积的坐标表示有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.于是对于任意的α、β都有上述式子成立.
图3-1-3
推导方法2(三角函数线法)：设α、β、α-β都是锐角，如图3-1-3，角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β；过点P作PM⊥x轴于M，则OM即为α-β的余弦线.在这里，我们想法用α、β的三角函数线来表示OM；过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于点B，过点P作PC⊥AB于点C，则OA表示cosβ，AP表示sinβ，并且∠PAC=∠P1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα,即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
2.公式的结构特征
记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.
3.两角差的余弦公式Cα-β的应用
(1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式，则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角函数值表示出来.
(2)已知角α、β的弦函数值，求cos(α-β)的值.
由cos(α-β)的展开式可知要求cos(α-β)的值，只需求得α、β的正弦值与余弦值即可.其中sinα、cosα，sinβ、cosβ都是同角的三角函数关系.
(3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式.
(4)利用两角差的余弦公式化简三角函数式.
学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos 30°=.
误区警示 和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(α±β)≠cosα±cosβ.
典题?热题
知识点一 已知角α、β的三角函数值，求cos(α-β)的值
例1 已知sinα=，α∈(,π),求cos(-α)的值.
思路分析：由于是特殊角，根据cos(-α)的展开式，只需求出cosα的值即可.
解：∵sinα=,α∈(,π)，∴cosα=.
∴cos(-α)=coscosα+sinsinα=.
例2 已知sinα=，cosβ=，α、β均为第二象限角，求cos(α-β).
思路分析：由cos(α-β)的展开式可知要求cos(α-β)的值，还需求出cosα、sinβ.
解：由sinα=，α为第二象限角，∴cosα=.
又由cosβ=，β为第二象限角，
∴sinβ=.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=.
方法归纳 若所求角能用已知角表示出来，则所求角的三角函数值可用已知角的三角函数值表示出来，因此合理进行角的变换是解题的关键.
例3 求函数y=cosx+sinx的周期、最值及取得最值时x的集合.
思路分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.
解：y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2(cosxcos+sinxsin)=2cos(x-).
所以所求周期为2π.
当x-=2kπ,k∈Z，即{x|x=+2kπ,k∈Z}时，ymax=2；
同理,可知当{x|x=-+2kπ,k∈Z}时，ymin=-2.
例4 已知cosα+cosβ=,sinα+sinβ=，求cos(α-β)的值.
思路分析：由于两角和、差的余弦公式与同名的两个三角函数的积有关，根据条件，将其平方后即可构造出同名的三角函数之积的形式.
解：将cosα+cosβ=,sinα+sinβ=的两边分别平方并整理，得
cos2α+cos2β+2cosαcosβ=,sin2α+sin2β+2sinαsinβ=.
把上述两式的两边分别相加，得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cos(α-β)=.
方法归纳 要牢记Cα-β的展开式的特点，着眼于式子结构形式的变换是解好本题的关键.
知识点二 利用两角差的余弦公式证明三角恒等式
例5 利用差角余弦公式证明下列等式：
(1)cos(π-α)=-cosα；
(2)cos(-α)=-sinα.
思路分析：
直接利用差角余弦公式展开，利用特殊角的三角函数值化简证明.
证明：
(1)cos(π-α)=cosπcosα+sinπsinα=-cosα+0·sinα=-cosα;
(2)cos(-α)=coscosα+sinsinα=0·cosα-1·sinα=-sinα.
例6 证明cosα+sinα=2cos(-α).
思路分析：由于右边是我们熟悉的两角差的余弦形式，所以可从展开右边入手，把复角的三角函数转化成两单角的三角函数的形式.
证明：∵右边=2(coscosα+sinsinα)=cosα+sinα=左边，
∴原式成立.
知识点三 逆用两角差的余弦公式化简三角函数式
例7 化简下列各式：
(1)cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα；(2)cos50°cos20°+cos40°sin20°.
思路分析：逆用两角差的余弦公式化简的关键是观察题目的特点，从整体出发，利用诱导公式，转化成两角差的形式.逆用公式求值是一种常见思路.
解：(1)原式=cos［(α+β)-α］=cosβ；
(2)原式=cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos30°=.
方法归纳 通过对变换对象和变换目标进行对比、分析，逐步学会如何根据题设与结论的特点选择公式、变形公式，从而找到两者间的联系是我们学习的关键，为此可从角的角度、函数名称的角度及式子结构形式的角度入手去分析解决问题.
问题?探究
思想方法探究
问题 在三角恒等变换中，角的变换是解决问题的有效手段，在本节当中，角有哪些变换方法？在解题中如何应用？
探究过程:角的代换的实质是根据解题的需要灵活处理角的形式，也就是将单角、倍角的形式变成几个角的和或差，而这些角的和或差在题目中已知，如：若α、β均为锐角，且cosα=,cos(α+β)=，求cosβ的值.如果展开cos(α+β)进行运算则烦琐难解，但若利用β=(α+β)-α代换，也就是cosβ=cos［(α+β)-α］，则解法十分简便，大大降低问题的难度.
探究结论:本节涉及角的以下几种变换，在以后解题中常常见到，请你多加注意.常见的角的代换关系有：α=(α+β)-β；α=β-(β-α)；β=(α+β)-α；2α=［(α+β)+(α-β)］；2β=［(α+β)-(α-β)］等.
方案设计探究
问题 在自然界中，存在着大量的周期函数，研究这些周期函数有利于我们在科学技术中加以应用.两个周期函数合成后，是否还是周期函数？如果是周期函数，那么函数的类型是否发生了改变?比如两个正弦电流i1=sin(100πt+)和i2=sin(100πt-)合成后是否仍是正弦电流呢？类似地，两个声波和光波合成后又是怎样的？
探究思路:利用现代信息技术作一研究，可以按下面的程序进行操作，也可以设计其他的研究方案.
1.上网搜寻并安装绘图软件；
2.分别选取不同的函数y=asinx+bcosx，猜想你所选取的y=asinx+bcosx的化简后的类型，再利用绘图工具绘制出其图象，并与y=asinx+bcosx的图象对比；
3.尝试确定猜测的该类型函数中的参变量与y=asinx+bcosx中a、b的关系，得出asinx+bcosx的化简公式；
4.尝试采用不同的方法证明得出的结论，并说明与其相关联的三角变换公式之间的联系；
5.利用结论求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅、周期、初相.
探究结论:由于两电流分别为i1=sin(100πt+)，i2=sin(100πt-)，
将它们相加后，可以写成i=i1+i2=sin(100πt+)+sin(100πt-)，
利用正弦的和角公式S(α+β)，可得到
i=(sin100πtcos+cos100πtsin)+(sin100πtcos-cos100πtsin).
整理得到i=sin100πt+cos100πt.
此式可以写成i=2(sin100πt+cos100πt)=2(cossin100πt+sincos100πt)=2sin(100πt+).
这样就得到了一个频率仍然为100π rad/s的正弦电流(单位：A).
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
疱工巧解牛
知识?巧学
一、两角和的余弦公式
1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
学法一得 这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.
2.用两点间的距离公式推导C(α+β).
图3-1-5
如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).
由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.
|P1P3|2=|P2P4|2，
即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.
根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，
即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
3.利用向量的数量积推导C(α+β).
图3-1-6
如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A、B.
显然，=(cosα,sinα),=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有·= (cosα,sinα)·(cos(-β),sin(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
于是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
学法一得 ①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想.
②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.
记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.
二、两角和与差的正弦
1.公式的推导
sin(α-β)=cos［-(α-β)］=cos［(-α)+β］=cos(-α)cosβ-sin(-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.
在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如
sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.
当α或β中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β均为任意角.
误区警示 公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ，学习时一定要注意这一点.
学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin［(α+β)-β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.
记忆要诀 记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同.
三、两角和与差的正切
1.公式的推导
利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式：
tan(α+β)=，当cosαcosβ≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cosαcosβ，
即得用tanα和tanβ表示的公式：
tan(α+β)=，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式：
tan(α-β)=.
2.公式成立的条件
要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tanα、tanβ存在.并且1+tanαtanβ的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠kπ+,β≠kπ+，α+β≠kπ+或α-β≠kπ+，以上k∈Z.当tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或其他方法解决.
学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.
典题?热题
知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差
例1 求sin75°,tan15°的值.
解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=；
tan15°=tan(60°-45°)=，
或tan15°=tan(45°-30°)=.
例2 求的值.
思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约分、化简、求值.若用7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下.
答案：原式=
.
巧解提示:原式=
=tan15°=tan(45°-30°)
.
方法归纳 三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.
知识点二 已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值
例3 已知sinα=，求cos(+α)的值.
思路分析：因为是个特殊角，所以根据C(α+β)的展开式，只需求出cosα的值即可.由于条件只告诉了sinα=，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cosα的值，再代入展开式确定cos(+α)的值.
解：∵sinα=>0，∴α位于第一、二象限.
当α是第一象限角时，cosα=，
∴cos(+α)=coscosα-sinsinα=;
同理，当α是第二象限角时，cosα=，
∴cos(+α)=.
方法归纳 解这类给值求值问题的关键是先分清S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos(+α)这样的函数求值，由于它们的角与的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导公式可能更简单.
例4 已知cos(α-)=，sin(-β)=，并且＜α＜π，0＜β＜，求的值.
思路分析：观察给出的角，结合公式C(α-β)展开式的特点，只需利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-)、cos(-β)的值即可.
解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜＜，0＜＜.
∴＜α-＜π，-＜-β＜.
又∵cos(α-)=＜0，∴.
∴.
同理，∵sin(-β)=>0，∴.
∴.
故
=cos(α-)cos(-β)+sin(α-)sin(-β)
.
例5 在△ABC中，sinA=,cosB=，求cosC.
思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符合题意.
解：
∵cosB=,∴B∈(,)且sinB=.
∵sinA=,∴A∈(0,)∪(,π).
若A∈(,π),B∈(,)，则A+B∈(π,)与A+B+C=π矛盾，
∴A(,π).因此A∈(0,)且cosA=.
从而cosC=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=.
例6 如图3-1-7，已知向量=(3,4)绕原点旋转45°到OP′的位置，求点P′(x′,y′)的坐标.
图3-1-7
思路分析：本题相当于已知角α的三角函数值，求α+45°的三角函数值.
解：设∠xOP=α.
因为|OP|=，所以cosα=,sinα=.
因为x′=5cos(α+45°)=5(cosαcos45°-sinαsin45°)
，
同理,可求得y′=5sin(α+45°)=，所以P′(,).
方法归纳 ①已知角α的某一三角函数值和角α所在的象限，则角α的其他三角函数值唯一；已知角α的某一三角函数值，不知角α所在的象限，应先分类讨论，再求α的其他三角函数值.
②一般地，90°±α，270°±α的三角函数值，等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.
③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来.
知识点三 已知三角函数值求角
例7 已知sinα=，sinβ=,且α、β都是锐角，求α+β的值.
思路分析：(1)根据已知条件可先求出α+β的某个三角函数值，如cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出cosα、cosβ即可.(3)由于α、β都是锐角，所以0＜α+β＜π,y=cosx在(0,π)上是减函数，从而根据cos(α+β)的值即可求出α+β的值.
解：∵sinα=,sinβ=，且α、β都是锐角，∴cosα=，cosβ= .
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=.
又∵0＜α+β＜π,∴α+β=.
方法归纳 给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值.
知识点四 利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式
例8 已知3sinβ=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα.
思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.
证明：∵3sinβ=3sin［(α+β)-α］=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα，
sin(2α+β)=sin［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，
又3sinβ=sin(2α+β)，
∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.
∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.
∴tan(α+β)=2tanα.
方法归纳 对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系.
知识点五 变用两角和差的三角函数公式化简求值
例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+ tan12°·tan18°=.
解：∵=tan(12°+18°)=tan30°=，
∴tan12°+tan18°= (1-tan12°·tan18°)，
即左边=(1-tan12°tan18°)+tan12°tan18°==右边.
∴tan12°+tan18°+tan12°·tan18°=.
方法归纳 三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.
例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值.
解：因为α+β=45°时，tan(α+β)==1，所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1，即(1+tanα)(1+tanβ)=2.
于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.
又因为1+tan45°=2，所以原式=223.
方法归纳 当α+β=kπ+,k∈Z时，(1+tanα)(1+tanβ)=2；
当α+β=kπ-,k∈Z时，(1+tanα)(1+tanβ)=2tanαtanβ.
问题?探究
思想方法探究
问题1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题？
探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.
如：cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ化简为__________.将α-β看作一个角，β看作另一个角,则cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ=cos［(α-β)+β］=cosα.
解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换.
探究结论:两角和的正切公式tan(α+β)=.除了掌握其正向使用之外，还需掌握如下变换：1-tanαtanβ=；tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)；tanαtanβtan(α+β)=tan (α+β)-tanα-tanβ等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉，其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.
问题2 2004年重庆高考有一题为：求函数y=sin4x+sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值，并写出该函数在［0,π］上的单调递增区间.该函数变形后就需要用到形如asinx+bcosx(a、b不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角变换？
探究过程:形如asinx+bcosx(a、b不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式.asinx+bcosx=,
令cosφ=,sinφ=，则
原式=(sinxcosφ+cosxsinφ)=sin(x+φ).
(其中φ角所在象限由a、b的符号确定，φ角的值由tanφ=确定，常常取φ=arctan).
探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如2sinx-3cosx，就可以利用这一结论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为a=2,b=-3,A=，所以2sinx-3cosx=sin(x+φ)，(其中φ在第四象限，且tanφ=)，所以2sinx-3cosx的最大值是，最小值是.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
疱工巧解牛
知识?巧学
一、倍角公式
1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos2α=cos2α-sin2α.由于sin2α+cos2α=1，显然，把sin2α=1-cos2α代入cos2α=cos2α -sin2α，得cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1.
同理，消去cos2α，得cos2α=1-2sin2α.
tan(α+β)=.
综上，我们把公式
叫做二倍角公式.
2.二倍角公式中角α的范围
由任意角的三角函数的定义可知S2α、C2α中的角α是任意的，但公式T2α即tan2α=中的角是有条件限制的.
要使tan2α有意义，需满足1-tan2α≠0且tanα有意义.当tanα有意义时，α≠+kπ(k∈Z)；当1-tan2α≠0，即tanα≠±1时，α≠±+kπ(k∈Z).综上,可知要使T2α有意义，需α≠±+kπ且α≠+kπ(k∈Z).特别地，当α=+kπ(k∈Z)时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0.
学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义.
3.倍角公式中的倍角是相对的
二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等.
在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例，-1=1-2sin2；sin3α·cos3α= (2sin3αcos3α)=sin6α；cos22α-sin22α=cos4α；；=tan70°等.
4.倍角公式的几种变形形式
(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos2α；
1-cos2α=2sin2α；cos2α=；sin2α=.
学法一得 我们常把1+cosα=2cos2，1-cosα=2sin2称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos2α=，sin2α=称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.
5.倍角公式与和角公式的内在联系
只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答.
典题?热题
知识点一 直接应用倍角公式求值
例1 求下列各式的值：
(1)2sin15°sin105°；(2)；(3)；(4).
解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=.
(2)原式=(1-2sin215°)=cos30°=.
(3)原式=.
(4)原式=.
方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即 (n∈N*)，(n∈N*)， (n∈N*).
知识点二 利用倍角公式给值求值
例2 已知x∈(，0)，cosx=，则tan2x等于( )
A. B. C. D.
思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解.
解法一：∵x∈(，0)，cosx=，
∴sinx=.
由倍角公式sin2x=2sinxcosx=，cos2x=2cos2x-1=2×()2-1=.
得tan2x=.
解法二：∵x∈(，0)，cosx=，
∴sinx=.∴tanx=.
∴tan2x=.
答案：D
方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”.
②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法.
例3 已知sin(+α)sin(-α)=，α∈(，π)，求sin4α的值.
思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(+α)+(-α)=，可运用二倍角公式求出cos2α的值.
解：由题设条件得
sin(+α)sin(-α)=sin(+α)cos［-(-α)］
=sin(+α)cos(+α)=sin(+2α)=cos2α=，
∴cos2α=.
∵α∈(，π)，∴2α∈(π，2π).
又∵cos2α=>0，∴2α∈(，2π).
∴sin2α=.
∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×.
例4 已知cos(+x)=，，求的值.
思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x和tan(+x)的值即可，注意到2(+x)=+2x，这样通过诱导公式就容易找到sin2x同cos(+x)的关系了.
解：∵，∴.
又∵cos(+x)=>0，
∴＜+x＜2π.
∴sin(+x)=，
.
∵sin2x=-cos2(+x)=1-2cos2(+x)=，
∴原式=
.
例5 在△ABC中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A的正弦值.
图3-1-10
思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.
解：作AD⊥BC于点D，设∠BAD=θ，那么A=2θ.
∵BD=BC=AB，∴sinθ=.
∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜.
于是cosθ=.
故sinA=sin2θ=2sinθcosθ=.
巧解提示:作AD⊥BC于点D，∵BD=BC=AB,又∵AB=AC，
∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=.
∵0＜B＜，∴sinB=.
又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B.
∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=.
方法归纳 在△ABC中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；
.
任意变换A、B、C的位置，以上关系式仍然成立.
例6 已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，)，求sinα、tanα的值.
思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.
解：把倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos2α-1代入已知得
4sin2αcos2α+2sinαcos2α-2cos2α=0，
即2cos2α(2sin2α+sinα-1)=0，
即2cos2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.
∵α∈(0，)，∴sinα+1≠0，cos2α≠0.
∴2sinα-1=0，即sinα=.
又∵α∈(0,),∴α=.∴tanα=.
知识点三 利用倍角公式化简三角函数式
例7 利用三角公式化简sin50°(1+tan10°).
思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asinθ+bcosθ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值.
解：原式=sin(60°-10°)(1+tan10°)
=(cos10°-sin10°)(1+tan10°)
=cos10°+cos10°tan10°-sin10°-sin10°tan10°
=cos10°+sin10°-sin10°·tan10°
=(cos10°-)+sin10°
=
.
巧解提示:原式=
.
方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.
对于形如1±sinα、1±cosα的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式.
例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.
解：由于cos60°=，所以原式=cos20°cos40°cos80°
.
方法归纳 对于可化为cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.
巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解.
设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°，
N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°，
则MN= sin40°·sin80°·sin120°·sin160°
=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°
=N，∴M=,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=.
知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式
例9 求证：.
证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=(1+sin4θ+cos4θ)，
即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ①
而①式右边=tan2θ(1+cos4θ+sin4θ)= (2cos22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边.
所以①式成立，原式得证.
例10 求证：.
思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos240°-sin240°，按平方差公式展开得(cos40°+sin40°)(cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简.
证明：
左边=
=右边，
所以原式成立.
方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.
例11 已知3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.
思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cosα、cos2β、sinα、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.
证明：由3sin2α+2sin2β=1，得1-2sin2β=3sin2α，∴cos2β=3sin2α.
又∵sin2β=sin2α，
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin2α-sinα·sin2α=sinαsin2α-sinαsin2α=0.
方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等.
问题?探究
材料信息探究
问题 倍角和半角公式：sinα=，cosα=，tanα=，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？
探究过程:万能公式是一组用tan来表示sinα、cosα和tanα的关系式.
这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tanα=，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos2可得：
，
.
这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan或的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.
探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan的有理式，这样就可以把问题转化为以tan为变量的“一元有理函数”，即如果令tan=t，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如tan15°+cot15°=tan15°+ ，就较方便的解决了问题.再如求函数的值域.令，则t∈R，利用万能公式有sinx=,cosx=，所以 ，由此可以建立关于t的一次或二次函数(2y+1)t2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.
3.2 简单的三角恒等变换
疱工巧解牛
知识?巧学
一、半角的三角函数
1.在倍角公式cos2α=1-2sin2α=2cos2α-1中，以α代替2α，以代替α，将得出sin=± ，，，我们称之为半角公式，它们是用单角的余弦函数表示半角的弦函数与切函数的.其正负号的选取由所在的象限确定.
2.对于半角的切函数，还可写成，我们可从同角的三角函数的商数关系出发，逆用二倍角公式去证明，即.
同理，可把的分子、分母同乘以2sin，即可化成.也可从半角的切函数出发，把被开方数转化成一个完全平方的形式，通过开方求值.由于，
∴|tan|=.∵sinα=2sincos=2tan·cos2，∴sinα与同号.
又∵1+cosα>0，∴.
同理，若把的分子、分母同乘以1-cosα，可转化成.
我们也把，称之为半角公式，它是用单角的正、余弦函数表示半角的切函数的.
3.对于半角公式，也必须明确“半角”是相对而言，不能认为才是半角.如2α是4α的半角、是3α的半角；反之，、2α分别是、α的倍角.正是根据这个思想，才由二倍角公式得出了半角公式.
学法一得 关于半角正切的三个公式：公式不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：和的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π(k∈Z)，而第一个公式除α≠(2k+1)π(k∈Z)之外，还必须有α≠2kπ(k∈Z).当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.
误区警示 当所在的象限无法确定时，应保留根号前面的正、负两个符号；当α或的大小确定时，应根据所在的象限，确定根号前的正负号.
二、积化和差公式
1.公式：sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］；
cosαsinβ=［sin(α+β)-sin(α-β)］;
cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α-β)］;
sinαsinβ=［cos(α+β)-cos(α-β)］.
2.公式推导：积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.如第一个公式，可以由S(α+β)+S(α-β)产生，因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ- cosαsinβ，所以sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，两边同除以2即得，其他公式同理可以由两角和与差的正余弦公式获得.
3.公式特点；同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角.
记忆要诀 积化和差公式可按如下方法记忆：
(1)“+”两角的正弦、余弦的积都可化为［f(α-β)±f(α+β)］的形式.
(2)如果两角的函数同为正弦或余弦，则“f”表示余弦；如果一个为正弦一个为余弦，则“f”表示正弦.
(3)当左边含有余弦函数时，右边中间取“+”，否则取“-”.
三、和差化积公式
1.公式：sinx+siny=；
sinx-siny=;
cosx+cosy=;
cosx-cosy=.
2.公式推导：在积化和差公式中，令α+β=x,α-β=y，从而α=，β=，将上述值代入公式，即有 ,所以sinx+siny=，这就是和差化积公式中的第一个，其他公式同理可得.
3.三角函数的和差化积公式与积化和差公式实质上是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式.
辨析比较 ①积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想.
②只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式.如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积.
③另外对三角函数的和差化积可以理解为代数中的因式分解.因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用.
四、辅助角公式
一般地，通过三角变换，可把形如y=asinx+bcosx的函数转化为y= sin(x+θ)，其中sinθ=，cosθ=的形式.
证明：如图3-2-1，设点P(a，b)是角θ终边上一点，则cosθ=，sinθ=.
图3-2-1
于是
=(cosθsinx+sinθcosx)=sin(x+θ).
其中sinθ=，cosθ=.
特别地，当=±1，±，±时，θ是一特殊角，θ所在的象限由点P(a，b)所在的象限唯一确定，可先由tanφ=||找到一个符合条件的锐角，再由诱导公式导出一个符合条件的角.
学法一得 利用上述公式可把形如asinx+bcosx的三角函数式转化成一个角的一个函数的形式，对我们研究函数的最值、周期、单调区间、对称中心、对称轴等都是大有裨益的.
典题?热题
知识点一 半角公式的应用
例1 已知sin2 010°=-，求sin1 005°，cos1 005°，tan1 005°的值.
解：∵2 010°=5×360°+210°是第三象限的角，
∴cos2 010°=.
又∵1 005°=2×360°+285°是第四象限的角，
∴，
，
.
例2 求的值.
解：由于，
∴.
由于，
∴.
例3 已知sin2α=，π＜2α＜，求tanα.
解：∵π＜2α＜，∴＜α＜.
由，得或；
或.
方法归纳 ①已知角α所在的象限，则所在的象限是角α的平分线及其反向延长线所在的象限.当α位于一、二象限时，位于一、三象限；当α位于三、四象限时，位于二、四象限.
②已知单角的弦函数，求半角的切函数时，使用公式或可避开符号的讨论.
③若角α的倍角2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把2α与的角的函数值连在一起.
知识点二 积化和差公式的应用
例4 求下列各式的值：
(1)；(2)2cos50°cos70°-cos20°.
解：(1)
.
巧解提示:
.
(2)原式=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos20°
=cos120°+cos20°-cos20°=cos120°=-cos60°=.
例5 求证：(1)sin80°cos40°=；
(2)sin37.5°sin22.5°=+cos15°.
证明：(1)左边=［sin(80°+40°)+sin(80°-40°)］
= (sin120°+sin40°)=sin40°=右边，所以原式成立.
(2)左边=-［cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)］
=(cos60°-cos15°)=cos15°=右边，所以等式成立.
方法归纳 ①只有同名或异名弦函数积的形式，才能积化和差，它也实现了角的重组，出现了(α±β)这样的角.
②在积化和差的过程中，构成积的两个因式的顺序不同时，使用的公式也不同，但最终结果是相同的.
③三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式都是化归思想中的等价化归在实际问题中的应用.
知识点三 和差化积公式的应用
例6 求下列各式的值:
cos75°-cos15°；(2).
解：(1)cos75°-cos15°
=-2sin45°sin30°=.
巧解提示:cos75°-cos15°=cos(45°+30°)-cos(45°-30°)=-2sin45°sin30°=.
(2)原式=.
例7 求证:(1)cos40°-cos80°=sin20°；(2).
证明：(1)左边==-2sin60°sin(-20°)=sin20°=右边.
所以原式成立.
(2)右边
=左边.
所以原式成立.
方法归纳 ①只有系数绝对值相等的同名弦函数的和、差的形式才能化积，化积后实现了角的重组，
出现了这样的角.
②在运用积化和差或和差化积公式化简三角函数式时，若解析式中存在三个或三个以上因式，当进行积化和差时，应选择两角的和或差是特殊角的形式相结合；当进行和差化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他角一致的因式相组合.
③积化和差与和差化积公式与同角的三角函数的基本公式、诱导公式、两角和差与二倍角公式、半角公式一样，也是进行三角恒等变换的工具.
例8 求函数y=sin4x+sinxcosx-cos4x的最小正周期与最小值，并写出该函数在［0，π］上的单调增区间.
思路分析：本题考查三角函数的基础知识.根据题设结构特征，先用a2-b2=(a+b)(a-b)，再用asinθ+bcosθ=sin(θ+φ)求解.
解：y=sin4x-cos4x+sinxcosx=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+sin2x
=3sin2x-cos2x=2(sin2x-cos2x)=2sin(2x-).
该函数的最小正周期是π，最小值是-2.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.
取k=0，得-≤x≤；取k=1，得.由于0≤x≤π，所以该函数在［0，π］上的增区间是［0，］或［，π］.
例9 设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x∈R.
(1)若f(x)=1-且x∈［，］，求x；
(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|＜)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.
思路分析：本小题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.
解：(1)依题设，f(x)=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+2(cos2x+sin2x)=1+2sin(2x+).
由1+2sin(2x+)=1-，得sin(2x+)=.
∵-≤x≤，∴-.
∴2x+=，即x=-.
(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.
由(1)得f(x)=2sin2(x+)+1.
∵|m|＜，∴m=，n=1.
方法归纳 ①为使辅助角公式形式最简，可通过提取公因式或使辅助角θ是一锐角的形式.辅助角公式是化特殊为一般的化归思想的具体运用，它把y=asinωx+bcosωx的函数式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，以进一步研究函数的性质.
②一般地，函数y=asinωx+bcosωx，x∈R的最大值是，最小值是；周期是；可把化简后的解析式y=sin(ωx+φ)的“ωx+φ”，ω>0视为一个整体，结合初等三角函数的性质求单调区间.
问题?探究
思想方法探究
问题 积化和差与和差化积公式在形式上非常相似，其实质是一类公式的正用或逆用，那么在使用这些公式时，通常怎样变化？
探究过程:积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.
探究结论:在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
疱工巧解牛
知识?巧学
一、向量
1.数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量叫做标量.
2.具有大小和方向的量称为向量.更具体一些，我们先把向量理解为“一个位移”或“一点相对于另一点位置”的量.这是因为有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如，力就是这样的量.显然，若用同样大小的力作用于一弹簧上，作用点不同，效果是不同的.有些向量是只有大小和方向，而无特定的位置，例如，位移、速度等.通常把后一类向量叫做自由向量.本章，我们所接触的向量，若无特别说明，都认为是自由向量.也就是说，本章所学的向量只有大小和方向两个要素.
学法一得 数学中的向量是由大小和方向唯一确定的，是与起点无关的向量.也就是说，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的.
辨析比较 ①数量只有大小，是一个代数量，而向量不仅有大小，还有方向(两重性)；②数量能比较大小，而向量不能比较大小.例如，a>b没有意义，而|a|>|b|是有意义的；③数量可以进行代数运算，如数的加、减、乘、除运算，而向量只能按向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则或向量数乘的运算律去运算.
二、有向线段
在物理学中，表示位移的最简单方法是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小.速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段的长度分别表示速度和力的大小.
1.定义：一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.显然，它的方向由A指向B.
2.表示方法：以A为起点，以B为终点的有向线段记作.应注意始点一定要写在终点的前面.如图2-1-3.
图2-1-3
3.有向线段的三要素：已知，线段的长度也叫做有向线段AB的长度，记作||.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.显然有向线段的终点由它的起点、方向和长度唯一确定.
辨析比较 由向量与有向线段的组成要素可知，向量和有向线段是有区别的.但是当我们约定有向线段的起点也是任意的时候，它们就是相同的了.我们就可以说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”.
三、向量的表示法
1.用有向线段表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量的长度(或称模)，记作||.如图2-1-4所示.
图2-1-4
规定了合适的比例尺后，平面上的向量就可以用有向线段来表示了.
2.用字母表示向量.向量印刷时可用黑体小写字母如a、b、c来表示，书写用、、来表示，还可用表示向量的有向线段起点和终点的字母表示.
四、两个特殊的向量
1.零向量：长度(模)为0的向量，记作0.零向量的方向是不确定的.
误区警示 注意0与0的区别：0是一个向量，具有方向，而0是数量，没有方向.
2.单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量.显然，单位向量有无数个；单位向量的大小相等；单位向量不一定相等.
五、平行向量
1.定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.如图2-1-5,a，b，c是平行向量.
图2-1-5
通常记作a∥b∥c.
2.规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
六、相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如图2-1-6，用有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b.
图2-1-6
对于相等向量的理解要注意以下几个问题：
(1)零向量与零向量相等，即0=0.
(2)任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
(3)由相等向量的定义可知，对一个向量，只要不改变它的大小和方向，可任意平移(自由向量的起点可任意选定).如图2-1-7，容易看出：.
由以上分析，一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”.
图2-1-7
学法一得 判断两个向量相等的唯一依据就是它的定义，即只需比较两个向量的模(有向线段的长度)是否相等、方向是否相同，与它们所在的直线是否共线无关.
七、共线向量
由于任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量.
如图2-1-8，a、b、c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出=a，=b，=c.
图2-1-8
学法一得 任一向量都与它自身是平行向量，因为零向量的方向不确定，所以规定零向量与任一向量都是平行向量.由于平行向量的基线互相平行或重合，所以其方向相同或相反，向量平行与直线平行不同，向量平行包括基线重合的情况，而直线平行一般不包含重合的情形.
典题?热题
知识点一 向量
例1 指出下列概念是不是向量：
(1)作用于物体上的大小为10 N，方向是南偏西30°的力；
(2)温度表中表示零上、零下的温度；
(3)物体M沿东北方向移动了8 m的位移.
思路分析：根据向量定义可以判别.
解：(1)是向量.因为力是既有大小又有方向的量；
(2)不是.因为温度表可以用带正负号的实数来表示；
(3)是向量.因为位移是既有大小又有方向的量.
知识点二 向量的表示法
例2 如图2-1-9，在平行四边形ABCD中，用有向线段表示图中向量，正确的是( )
图2-1-9
A.,,, B.,,,
C.,,, D.,,,
思路分析：向量可用有向线段来表示，箭头的指向是从向量的起点指向终点的方向.
答案：C
知识点三 两个特殊的向量
例3 把平面上一切单位向量的起点归结到同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一条线段 B.一段弧
C.一个圆 D.圆上一群孤立的点
思路分析：因为单位向量的模是1，所以它的终点到公共点的距离都是1，符合圆的定义，故选C.
答案：C
知识点四 平行向量
例4 命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”( )
A.总成立 B.当a≠0时成立
C.当b≠0时成立 D.当c≠0时成立
思路分析：这里要作出正确选择，就要探求题中命题成立的条件.
∵零向量与其他任何非零向量都平行，
∴当两非零向量a、c不平行而b=0时，有a∥b，b∥c，但这时命题不成立，故不能选择A，也不能选择B与D，只能选择C.
答案：C
方法归纳 本例说明向量平行的传递性要成立，就需“过渡”b向量不为零向量.事实上，在b≠0的情况下：
①a≠0，c≠0时，∵a∥b，∴a与b同向或反向.
又∵b∥c，∴b与c同向或反向.
∴a与c同向或反向.
∴a∥c.
②若a与c中有一个为零向量，则另一个无论为零向量还是不为零向量，均有a∥c.
由以上①②可以确定C是正确的.
例5 如图2-1-10，D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，写出与平行的向量.
图2-1-10
思路分析：线段DF是△ABC的中位线，凡是与平行的有向线段都是与平行的向量.结合三角形中位线的性质可以得出结论.
解：与平行的向量有、EC.
知识点五 相等向量
例6 (1)如图2-1-11，D、E、F依次是等边△ABC的边AB、BC、AC的中点，在以A、B、C、D、E、F为起点或终点的向量中，找出与向量相等的向量.
图2-1-11 图2-1-12
(2)如图2-1-12，设点O为正八边形ABCDEFGH的中心，分别写出与、、、相等的向量.
思路分析：寻找相等向量，应写出给定向量的相等向量，应结合图形的几何性质，如三角形中位线平行于底边且等于底边的一半等.先确定方向，再确定长度.
解：(1)与相等的向量有，；
(2)与相等的向量是与相等的向量是；与相等的向量是；与相等的向量是.
方法归纳 在研究相等向量时，要充分利用平面图形的几何性质，如平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分；三角形的中位线平行且等于底边的一半；梯形的中位线平行于两底且它的长等于两底长的和的一半等.
知识点六 共线向量与相等向量
例7 判断下列命题的真假.
(1)直角坐标系中坐标轴的非负半轴是向量；
(2)若两个向量相等，则两个向量平行；
(3)向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一条直线上；
(4)向量的模是一个正实数；
(5)若|a|=|b|，则a=b.
思路分析：判断上述命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目.
解：(1)直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的.
(2)由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确.
(3)不正确.由与共线，可以推知与平行或共线，故不一定能断定A、B、C、D在同一条直线上.
∴此命题不正确.
(4)不正确.因为零向量的模是零.
(5)不正确.当a与b的方向不同时，a与b一定不相等.
例8 试讨论以下几个问题：
(1)平面向量是否一定方向相同？
(2)共线向量是否一定相等？
(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是不是相等的向量？
(4)不相等的向量，一定不平行.
(5)相等的非零向量，若起点不同，终点一定不相同.
(6)非零向量的单位向量唯一.
解：(1)否，还可以方向相反.
(2)否，共线向量的方向相同或相反，大小不一定相等.
(3)是，因为向量与起点的位置无关.
(4)否，例如模不等的共线向量.
(5)对，可以用反证法证明.
(6)不对，因为任一非零向量a的单位向量为±.
问题?探究
交流讨论探究
问题 在初学本节时，由于受到实数学习中的负面影响，或相关概念理解不深，易发生一些错误的判断，请问你们能不能归纳出一些常见的错误判断？
探究过程：学生甲：由于向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，方向表示向量的方向，所以容易出现“向量就是有向线段”的错误判断.
学生乙：在实数中，若|a|=|b|，则有a=b或a=-b，受它的影响易出现“若|a|=|b|，则有a=b或a=-b”的错误论断.
学生丙：还有一条，由于实数中零书写的影响，容易出现“若|a|=0，则a=0”的错误判断.
学生丁：由于零向量与任意向量平行，当b=0时，不共线的两个非零向量a、c都与b平行，即a∥b，b∥c，但受平面几何知识的影响，就易出现“若a∥b，b∥c，则a∥c”的错误判断.
探究结论：在本节中易出的错误判断有：“向量就是有向线段”“若|a|=|b|，则有a=b或a=-b”“若|a|=0，则a=0”“向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上”“向量与向量平行，线段AB与线段CD平行”等错误判断.
误区陷阱探究
问题 “向量就是有向线段”这个观点是否正确？
探究过程：在画图时，向量常用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小(模)，有向线段的方向表示向量的方向，因此，有向线段是向量的一种表示方法.此外有向线段是一个图形,它包括了起点、方向和长度三个要素，而向量是一个量,它只包含了方向和大小两个要素.也就是说，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平移的.因此，用有向线段表示向量时可以任意选取起点.再有起点不同，长度相等和方向相同的两个有向线段是不同的有向线段，但它们可以表示同一个向量.因此不能说向量就是有向线段.
探究结论：“向量就是有向线段”这个观点是错误的.不能说向量就是有向线段，和向量相比，有向线段多了起点这个要素.
材料信息探究
问题 向量又称矢量，最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量，大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.那么向量又是如何进入数学的？
探究过程：“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向.但是在高等数学中还有更广泛的向量.例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量.在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的.这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象.这样，就可以将线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了.因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用.而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型.
探究结论：向量能够进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的.18世纪末，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
疱工巧解牛
知识?巧学
一、向量的加法
求任意两个向量和的运算，叫做向量的加法，两个向量的和仍是向量.由于向量是自由平移的对两个向量进行求和的过程，可按以下两个法则进行.
1.三角形法则
已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做向量a、b的和，记作a+b，即a+b=+=.
(1)利用向量加法的三角形法则求两个向量的和
如图2-2-1(1)、(2)、(3)中，=a，=b，则+=.
图2-2-1
图2-2-1的(1)、(2)、(3)中各有两个向量，只要把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量，就是两个向量的和向量.
(2)向量加法的三角形法则适用的范围及应用
①三角形法则对于两个向量共线时也适用.对于零向量，课本规定a+0=0+a=a(a≠0)，我们可利用三角形法则，通过几何作图法作出a+0,0+a,a，观察结果，去认识规定的合理性.
图2-2-2
②任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点即可，如：=+，如图2-2-2所示，这里的O点具有任意性.
学法一得 对于首尾相连的两个向量的和，等于以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量，这就是向量加法的三角形法则的几何意义.
记忆要诀 不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个向量的和向量，它的方向总是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点.
二、平行四边形法则
1.以同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
图2-2-3
2.用向量加法的平行四边形法则求两个向量的和时要注意以下几点：
(1)当两个向量共线时，不能用平行四边形法则求和，因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形，所以，平行四边形法则对于两个向量共线时是不适用的.
(2)用向量加法的平行四边形法则求两个向量的和时，可在空间任取一点O，使两个向量的起点同时移到点O上去，也可把其中一个向量的起点移到另一个向量的起点上去，再作和.
学法一得 以从同一点O出发的两个向量为邻边作平行四边形，则从公共点O出发的对角线表示的向量就是两个向量的和，这就是向量加法的平行四边形法则的几何意义.
三、向量加法的交换律和结合律
1.向量加法的交换律
先看看求两个向量和时,两个向量相加的次序能否交换.
图2-2-4
让我们回到加法的定义.已知向量a、b,如图2-2-4所示，作=a，=b，如果A、B、C不共线，则=a+b.
再看看b+a等于什么?
作=b，连结，如果我们能证明=a，那么也就证明了加法交换律成立.
由作图可知，==b，所以四边形ABCD是平行四边形(为什么?)，这就证明了=a，即加法交换律成立.
2.向量加法的结合律
图2-2-5
如图2-2-5，作=a，=b,=c，由向量加法的定义，知
=+=a+b,=+=b+c,
所以=+=(a+b)+c,=+=a+(b+c),
从而(a+b)+c=a+(b+c)，即向量的加法满足结合律.
学法一得 与实数的运算相类比，向量也满足交换律和结合律，利用向量的运算律，可有效地简化向量的运算.
四、向量加法的多边形法则
由两个向量加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个(有限)向量相加.现以四个向量为例说明，如图2-2-6.
图2-2-6
已知向量a、b、c、d，在平面上任选一点O，作=a，=b，=c，=d，则=+++=a+b+c+d.
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，其中各向量的和就是0.
记忆要诀 n个向量首尾顺次相连，首起为起，终终为终点的向量叫做n个向量的和向量.
典题?热题
知识点一 向量加法的三角形法则
例1 某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，求a+b.
解：如图2-2-7所示，适当选取比例尺，作
图2-2-7
=a=“向东3 km”， =b=“向北3 km”，=+=a+b.
因为△ABC为直角三角形，
所以||=(km).
又∠AOB=45°，所以a+b表示向东北走 km.
例2 用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
图2-2-8
如图2-2-8，已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，DO=OB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
思路分析：要证明四边形是平行四边形，只要证明某一组对边平行且相等即可.由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量.
解：由已知得=，=.
∵=+=+=，且A、D、B、C不在同一直线上.
故四边形ABCD是平行四边形.
例3 轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 n mile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
思路分析：如图2-2-9，设、分别表示轮船发生的位移，轮船到达C处可由确定，则=+.
图2-2-9
解：设、分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，=+.
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，||=40 n mile，所以||=20 n mile，||=203 n mile.
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，||=60 n mile，
所以||= n mile.
因为||=2||，所以∠CAD=60°.
答：轮船此时位于A港东偏北60°，且距A港 n mile的C处.
方法归纳 向量的模可通过勾股定理求解，方向可通过锐角的三角函数的定义求解.
知识点二 平行四边形法则
例4 已知正方形的边长为1，=a，=b,=c，试作向量a+b+c.
解：如图2-2-10,由已知得a+b=+=，又=c，所以延长AC至E，使||=||，则a+b+c=，||=.
图2-2-10
例5 两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1=40 N，方向向东，F2=30 N，方向向北，求它们的合力.
解：如图2-2-11所示，表示F1，表示F2.以、为邻边作OACB，则表示合力F.
图2-2-11
在Rt△OAC中，||=40 N，||=||=30 N.
由勾股定理，得F=||= (N).
设合力F与力F1的夹角为θ，则tanθ==0.75.
所以θ≈37°.
答：合力大小为50 N，方向向东偏北37°.
知识点三 和向量的模
例6 若||=8,||=5,则|的取值范围是( )
A.［3,8］ B.(3,8) C.［3.13］ D.(3,13)
思路分析：∵=-,
当、同向时，||=8-5=3;当、反向时，||=8+5=13；当、不共线时，3≤||≤13.
答案：C
例7 下列命题
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么，a+b的方向必与a、b之一的方向相同；
②△ABC中，必有++=0；
③若++=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
思路分析：①假命题.当a+b=0时，命题不成立.
②真命题.
③假命题.当A、B、C三点共线时也可以有++=0.
④假命题.只有当a与b同向时，相等，其他情况均为|a+b|>|a|+|b|.
答案：B
方法归纳 (1)当向量a、b共线且同向时，|a+b|=|a|+|b|；(2)当向量a、b共线且反向时，若|a|>|b|，则|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则|a+b|=|b|-|a|.
因为三角形中两边之和大于第三边，由向量加法的几何意义不难知道，当a与b不共线时，恒有|a+b|<|a|+|b|，即两个向量和的长度小于两个向量长度之和.在一般情况下，有|a+b|≤|a|+|b|.
问题?探究
方案设计探究
问题 课堂上老师布置作两个向量的和，同学们选择的始点通常都是不相同的，那么选择不同的始点作出的向量都相等吗？或许你会认为，这还需要理由吗，这是“显然”成立的.到底这种“显然”是否正确，你能否设计一个方案逻辑地说明这个问题？
探究思路：如图2-2-12，在平面内任取一点A，以A为始点依次作向量=a，=b，连结向量，则由三角形法则知=a+b.再任取一点A′,以A′为始点依次作向量=a，=b，连结向量.
图2-2-12
由于==a，故四边形AA′B′B为平行四边形，则AA′∥BB′且AA′=BB′.
由==b，则四边形BB′C′C为平行四边形，则BB′∥CC′且BB′=CC′.
所以AA′∥CC′且AA′=CC′,即四边形AA′C′C为平行四边形.则AC∥A′C′且AC=A′C′.
又与方向相同，所以=.
探究结论：选择不同的始点作出的向量和都相等.于是你所认为的“显然”是非常正确的，你的直觉没有欺骗你.
思想方法探究
问题 如果已知五个四边形ACPH，AMBE，AHBT，BMHK，CKXP都是平行四边形(所有四边形的顶点按同一方向排列)，那么四边形ABTE也是平行四边形，你能证明这个问题吗？从中你能体会什么样的数学思想方法？
探究过程：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，抓住平行四边形的特征——“对边平行且相等”进行转化，则此题迎刃而解.即由平行四边形AMBE得.由平行四边形BMXK得.由平行四边形ACPH得由平行四边形AHBT得.综上可得.即四边形ABTE是平行四边形.
探究结论：转化和化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法，以向量为工具，通过转化，可以为平面几何中的许多问题提供新颖、简捷的解法.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
疱工巧解牛
知识?巧学
一、相反向量
与a长度相等、方向相反的向量叫做相反向量，记作-a.
对相反向量的把握要注意以下几点：
(1)a与-a互为相反向量，即-(-a)=a.
(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.
(3)任意向量与它的相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0.
又如与互为相反向量，+=0.
(4)如果a、b互为相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.
学法一得 向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比.
二、向量减法
1.a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
像这种求两个向量的差的运算叫做向量的减法，向量的减法是向量加法的逆运算.若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作a-b.
2.已知a、b，求作a-b.
由(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=a，可知a-b就是这样一个向量，它与b的和等于a.
已知向量a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.这是向量减法的几何意义.
图2-2-17
(2)在定义相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，求作a-b.
图2-2-18
在平面内任取一点O，作=a，=-b，则由向量加法的平行四边形法则可得=a+(-b)=a-b.
即a-b也可看作：从同一点O出发作向量a与-b为邻边作平行四边形，则从公共顶点O出发的对角线所对应的向量与a-b相对应.
三、向量的位置与向量的减法
1.已知a、b是从同一点出发的两个向量，从a的终点到b的终点作向量，那么所得的向量是b-a.
2.当a∥b时,图2-2-19中(1)(2)给出了已知向量a、b，只需在平面上任取一点O，作=a，=b，则即为所求向量a-b.如图2-2-20所示.
图2-2-19 图2-2-20
记忆要诀 我们在求两向量a、b的和向量时，常按规律“两向量首尾(起点与终点)相接”求解，求向量a、b的差向量时，常按规律“起点重合，由减数向量的终点指向被减数向量的终点”来求解.
四、向量的加、减法与平行四边形
ABCD中，若设=a，=b，则两条对角线都可以用a与b表示，借助这一模型可进一步研究有关ABCD的一些性质.从同一点出发的两个不共线向量的和、差同两个向量一起恰好构成一个平行四边形的边与对角线.
在平行四边形中，改变一些条件，会得到不同的结论，可以帮助我们进一步加强对向量计算的理解.
图2-2-21
变式训练1：当a、b满足什么条件时，a+b与a-b垂直?
变式训练2：当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|?
变式训练3：a+b与a-b可能是相等向量吗?
变式训练4：当a与b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角?
1.|a|=|b|，即ABCD为菱形时，对角线互相垂直.
2.|a+b|=|a-b|，即ABCD的对角线长相等，ABCD应为矩形，所以应满足a与b垂直.
3.a+b与a-b不可能相等，因为ABCD的对角线方向不同.
4.当|a|=|b|时，对角线平分a与b所夹的角.
典题?热题
知识点一 向量的减法
例1 填空：
(1)=_________;(2)=_________；(3)=_________；(4)=__________;(5)=___________.
思路分析：从同一点出发的两个向量的差与连接两个向量的终点且指向被减数的向量对应.对于向量和的形式，若能利用相反向量转化成从同一点出发的两个向量的差，也可利用减法的几何意义去解.
答案：(1) (2) (3) (4) (5)
例2 化简下列各式：
(1);(2);
(3);(4).
解：(1)原式=()-()=-=0;
(2)原式=()+()==;
(3)原式=；
(4)原式=.
知识点二 用向量加法与减法的运算求解
例3 已知向量a、b、c，如图2-2-22所示，求作向量a-b+c.
图2-2-22
思路分析：在平面内任选一点O，先把a与b的起点移至O点，求a-b，再求(a-b)+c.
解：如图2-2-23，在平面上任取一点O，作=a，=b，则BA=a-b.再作=c，并以、为邻边作BADC，则=a-b+c.
图2-2-23
知识点三 向量减法与三角形法则、平行四边形法则
例4 已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量等于( )
A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c
思路分析：如图2-2-24，点O到平行四边形的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，结合图形有=a+b-c.
图2-2-24
答案：C
例5 如图2-2-25，已知点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点，求证：(1);(2)=0.
图2-2-25
思路分析：解题的关键，一是利用D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点的条件，二是合理地选取向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
解：(1)在△ABE中，;在△ACE中,.所以
.
(2)因为D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点，所以四边形ADEF为平行四边形.
在平行四边形ADEF中,; ①
在平行四边形BEFD中,; ②
在平行四边形CFDE中,. ③
将①②③式相加得=0.
例6 已知|a|=6，|b|=8，且|a+b|=|a-b|，求|a-b|.
图2-2-26
思路分析：两个向量不共线，则a、b、a+b、a-b组成一个平行四边形的边与对角线.求模的运算往往与模的平方有关.
解：设=a，=b，以AB、AD为邻边作ABCD，
则=a+b，=a-b.
因为|a+b|=|a-b|，所以||=||.
又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形.故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，||=6，||=8，由勾股定理，
得||=.
所以|a+b|=|a-b|=10.
巧解提示：由|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)，据题意，得2|a-b|2=2(62+82)，即|a-b|2=100.∴|a-b|=10.
问题?探究
误区陷阱探究
问题 求证：对于任意两个向量a、b，都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
图2-2-27
证明:由于不等式本身有明显的几何意义，故可选用向量的几何意义进行证明.如图2-2-27所示，则有
|||-|||<||<||+||，即||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，当a、b中有一个为零向量时，等号成立，所以||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
同理可证明||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
探究过程：证明问题时只想到了一般情况，即向量a、b不共线时的情况，共线时只说了一种特殊情况，即其中一个为零向量的情况.
探究结论：证明：由于不等式本身有明显的几何意义，故可选用向量的几何意义进行证明.根据向量a、b共线与不共线两种情况讨论.
若a、b中有一个为零向量，则不等式显然成立.
若a、b都不是零向量，记=a，=b，则=a+b.
(1)当a、b不共线时，如图2-2-33所示，则有
|||-|||<||<||+||，即||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
(2)当a、b共线时，若a、b同向，如图2-2-28(1)所示，||=||+||，即|a+b|=|a|+|b|.
(1) (2)
图2-2-28
若a、b反向，如图2-2-28(2)所示，|||-|||=||，即||a|-|b||=|a+b|.
综上可知，||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.同理可证明||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
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材料：采访零向量
W：你好！零向量.我是《数学天地》的一名记者，为了让在校的高中生更好地了解你，能不能对你进行一次采访呢？
零向量：当然可以，我们向量王国随时恭候大家的光临，很乐意接受你的采访，让高中生朋友更加了解我，更好地为他们服务.
W：好的，那就开始吧！你的名字有什么特殊的含义吗？
零向量：零向量就是长度为零的向量，它与数字0有着密切的联系，所以用0来表示我.
W：你与其他向量有什么共同之处呢？
零向量：既然我是向量王国的一个成员，就具有向量的基本性质，如既有大小又有方向，在进行加、减法运算时满足交换律和结合律，还定义了与实数的积.
W：你有哪些值得骄傲的特殊荣耀呢？
零向量：首先，我的方向是不定的，可以与任意的向量平行.其次，我还有其他一些向量所没有的特殊待遇：如我的相反向量仍是零向量；在向量的线性运算中，我与实数0很有相似之处.
W：你有如此多的荣耀，那么是否还有烦恼之事呢？
零向量：当然有了，在向量王国还有许多“权利和义务”却大有把我排斥在外之意，如平行向量的定义，向量共线定理，两向量夹角的定义都对我进行了限制.所有这些确实给一些高中生带来了很多苦恼，在此我向大家真诚地说一声：对不起，这不是我的错.但我还是很高兴有这次机会与大家见面.
W：OK！采访就到这里吧，非常感谢你的合作，再见！
零向量：Bye!
问题 应用零向量时应注意哪些问题？
探究过程：零向量是向量，它应具有向量应具有的性质，也具有它本身的特性.所以，在应用零向量时应从它与其他向量的相同之处和不同之处两方面进行考虑.例如，相同之处，它既然是向量就具有向量的两个要素——大小和方向；不同之处应从教材中的概念和定理中寻找.
探究结论：零向量有大小和方向，它的方向是任意的，在进行加、减法运算时满足交换律和结合律，也可以定义与实数的积，在进行线性运算时与实数0有着相似之处.由零向量是一个特殊的向量，因此在一些概念和定理中对它进行了限制，如平行向量、向量共线定理、向量垂直的条件、两个向量夹角的定义等概念和定理中就对它进行了限制.所以在应用这些概念和定理时一定要注意其中是否有零向量.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
疱工巧解牛
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一、向量的数乘
1.向量的数乘
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|=|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广，λa是一个向量，其长度|λa|=|λ||a|，其方向与λ的符号有关，应注意0a=0而不是实数0.
2.向量的数乘的几何意义
由实数与向量积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长了|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短了|λ|倍.
图2-2-34
3.向量数乘的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1)λ(μa)=(λμ)a；
(2)(λ+μ)a=λa+μa；
(3)λ(a+b)=λa+λb.
学法一得 实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律很相似.证明这些运算律成立的关键是证明等式两边的向量的模相等，且方向相同.
证明：(1)如果λ=0，μ=0，a=0中至少有一个成立，则(1)式显然成立.
如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，
有|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|，|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|.
∴|λ(μa)|=|(λμ)a|.
(2)如果λ=0，μ=0，a=0中至少有一个成立，则(2)式显然成立.
如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：
当λ、μ同号时，则λa和μa同向，
所以|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|，
|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|，即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|.
(3)当a=0，b=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1时，(3)式显然成立.
当a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1时，分如下两种情况：
当λ＞0且λ≠1时，在平面内任取一点O，作=a，=b，=λa，=λb，如图2-2-35所示，则=a+b，=λa+λb.
图2-2-35
由作法知∥，有∠OAB=∠OA1B1，||=λ||，
∴=λ.
∴△OAB∽△OA1B1.∴=λ，∠AOB=∠A1OB1.
因此，O、B、B1在同一条直线上，||=|λ|，与λ的方向也相同.
∴λ(a+b)=λa+λb.
当λ＜0时，由图2-2-36可类似证明λ(a+b)=λa+λb.
图2-2-36
∴(3)式成立.
误区警示 分类讨论的思想在数学中既是一个重要的策略思想，也是一个重要的思想方法.很多数学问题不仅在涉及的知识范围上带有综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上着手解决，这时，就从“分割”入手，把“整体”划分为若干个“局部”，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决.这是具有哲学意义的思想方法.分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过各个击破，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键.
二、两向量共线
如果向量b与非零向量a共线，那么有且只有一个实数λ，使得b=λa.
(1)向量的平行(共线)与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况.
(2)定理的实质是向量相等，即存在唯一实数λ使b=λa(a≠0)，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助于数量λ沟通了两个向量b与a的联系.
学法一得 定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量相等.把向量平行的问题转化为寻求实数λ使向量相等的问题.
典题?热题
知识点一 向量的加法、减法及数乘
例1设a、b为向量，计算下列各式.
(1)-×3a；
(2)2(a-b)-(a+b)；
(3)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m、n为实数).
思路分析：利用向量的加法、向量的减法及数乘向量运算的法则及运算律计算.
解：(1)原式=(-×3)a=-a；
(2)原式=2a-2b-a-b=(2a-a)-(2b+b)=a-b.
(3)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)
=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb
=ma-nb.
知识点二 用向量共线判断三点共线
例2 求实数λ，使得λa+b与2a+λb共线.
思路分析：求未知数的值，可考虑通过挖掘题目的条件，布列含有未知数的方程求解.
解：∵λa+b与2a+λb共线，
∴存在一个实数，不妨设为m，使得(λa+b)=m(2a+λb),
即(λ-2m)a+(1-mλ)b=0.
∴
解得λ=±.
例3 如图2-2-37所示，在平行四边形ABCD中，=a，=b，M是AB的中点，点N是BD上一点，|BN|=|BD|.求证：M、N、C三点共线.
图2-2-37
解：∵=a，=b，∴=-=a-b.
∴=b+=b+(a-b)=a+b= (2a+b).
又∵=b+a=(2a+b)，
∴.又与有共同起点，
∴M、N、C三点共线.
方法归纳 几何中证明三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量相等，把向量共线问题转化为寻求实数λ使向量相等的问题.向量共线即向量平行，它与直线(线段)共线不同.
知识点三 用向量法解决几何问题
例4 求证：三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半.
图2-2-38
如图2-2-38，已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点.
求证：DE∥BC,且DE=BC.
证明：因为D、E分别是边AB、AC的中点，故=,=.=-= (-)=,
而D、E不重合，所以DE∥BC,且DE=BC.
例5 如图2-2-39,在OACB中，BD=BC，OD与BA相交于点E，求证：BE=BA.
图2-2-39
证明：用向量法证明.设E′是线段BA上的一点，且BE′=BA，只要证点E、E′重合即可.
设=a，=b，则=a，=b+a.
∵-b，=a-，3=，
∴=(a+3b)=(b+a).
∴=.∴O、E′、D三点共线.∴BE=BA.
问题?探究
思想方法探究
问题 向量的运算(运算律)与几何图形的性质有紧密的联系，向量的运算(运算律)可以用图形简明地表示，而图形的一些性质又可以反映到向量的运算(运算律)上来.在课本中哪些地方能反映二者的紧密联系？向量作为研究几何问题的工具，有什么特殊的优越性？用向量解决问题有什么明确的步骤吗？
探究过程：在课本中有若干例子说明了向量与图形的密切联系，如平行四边形是表示向量加法、减法的几何模型，加法及其交换律a+b=b+a可以表示平行四边形中的对边平行以及三角形全等，这说明，以向量为工具，可以把几何图形、几何变换、向量运算及运算律统一起来.再如平面几何中的共线和平行关系，用向量与实数的乘法来描述.而向量数乘的分配律：k(a+b)=ka+kb可以表示三角形相似.向量数量积可以证明垂直问题.
向量作为研究几何问题的工具，开创了研究几何问题的新方法.由于欧氏几何只依据基本的逻辑原理，而不便用其他工具，只从基本公理出发，通过演绎推理建立几何关系，因此，它给出的几何论证严谨且幽雅，能够给人们极大的美感和享受，但没有一般规律可循，且存在较大的思考难度，往往对人的智力提出极大的挑战.寻求几何研究的工具，以更好地把握图形的性质和规律，推进几何研究的发展成为数学家们的一个理想.自从建立向量运算(运算律)与几何图形之间的关系后，将图形的研究推进到了有效运算的水平，从而实现了综合几何到向量几何的转折.向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.
探究结论：用向量方法解决几何问题的基本过程是：首先把一个几何量代数化，即把位移这个基本的几何量加以抽象而得到向量的概念；然后运用欧氏空间特有的平移、全等、相似与勾股定理等基本性质引进向量的加(减)法、向量数乘与数量积这三种运算，并把欧氏几何的直观性与向量的运算(运算律)有机地结合起来，使得直观的几何问题代数化，抽象的运算及运算律直观化，这样就使数与形有机地结合起来.运算和运算律是向量的灵魂，是联结数与形的纽带，它建立了运算(运算律)与几何图形之间的对应关系，使我们能够通过运算来研究几何.
误区陷阱探究
问题 “已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段一定构成三角形”这个命题是否正确？
探究思路：乍一看题目，好像能构成一个三角形，但应注意三角形三边不共线.而题目中所给的三个向量并不一定是不共线的向量，若不注意这一点,则极易得出“命题正确”的错误结论.因此要处理这个问题应从两方面来考虑：三个向量共线与不共线.
图2-2-40，
当a、b不共线时，如右图，在平面内取一点O，作=a，=b，由向量的加法可知=a+b，又由已知a+b+c=0，则有c=-(a+b)=-=，取=c则表示a、b、c的有向线段能构成三角形.
当a、b共线时，显然不能构成三角形.
故非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段不一定构成三角形.
故“已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段一定构成三角形”这个命题不正确.
探究结论：这个命题不正确.
2.3.1 平面向量基本定理
疱工巧解牛
知识?巧学
一、平面向量的基本定理
平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.
其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
误区警示
(1)定理中的e1、e2是两个不共线向量；
(2)a是平面内任一向量，且实数对λ1、λ2是唯一的；
(3)平面内的任意两个不共线向量都可以作为一组基底.
二、向量的夹角
1.已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作=a，=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)
叫做a与b的夹角.
学法一得 (1)当向量a与b不共线时，a与b的夹角θ是指从同一点出发的向量a与b所成的角，θ∈(0°,180°).
(2)当向量a与b共线时，若同向，则θ=0°；若反向，则θ=180°.
综合可知：向量a与b的夹角θ∈［0°,180°］.
2.a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
典题?热题
知识点一 平面向量的基本定理
例1 如图2-3-3，ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，用a、b表示、、和.
图2-3-3
思路分析：若在平面中选中一组基底，则该平面中的任一向量都可以与之建立联系.以该基底为纽带，可沟通不同向量之间的联系.
解：在ABCD中，∵=+=a+b，
=-=a-b，
∴==(a+b)=a-b，
==(a-b)=a-b，
==a+b，=-=a+b.
方法归纳 由平面向量基本定理可知，一个平面内所有向量都可表示为选定基底的线性组合，在用向量法证明几何问题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时就能够很容易地证明几何命题.
例2 如图2-3-4，OADB是以向量=a，=b为边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a、b表示、、.
图2-3-4
解：∵=-=a-b，===a-b,
∴=+=b+a-b=a+b.
又∵=a+b，得==a+b.
∴=-=a-b.
例3 已知梯形ABCD，AB∥CD，M、N是DA、BC的中点，设=e1、=e2，以e1、e2为基底表示、、.
思路分析：本题考查平面向量的基本定理，关键是找到、、与、之间的关系.
解：(1)∵∥，∴存在唯一的实数k，使=k·，即=ke2(0＜k＜1).
图23-5
(2)由图2-3-5,可知=-=e1-e2，
而=+=e1-e2+ke2
=e1+(k-1)e2(0＜k＜1).
(3)=(+)
=(e2+ke2)=(k+1)e2(0＜k＜1).
知识点二 判定动点P在定直线AB上
例4 设、、OP是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且=+.
证明：(1)由三点共线?m、n满足的条件.
若A、B、P三点共线，则与共线，由向量共线的条件知存在实数λ使=λ，
即-=λ(-)，
∴=(1-λ)+λ.
令m=1-λ，n=λ，
则=m+n且m+n=1.
(2)由m、n满足m+n=1A、B、P三点共线.
若=m+n且m+n=1，则=m+(1-m) ，
则-=m(-)，
即=m.∴与共线.∴A、B、P三点共线.
由(1)(2)可知，原命题是成立的.
思考一下，若m=n=时，如何表示?P点在什么位置?
方法归纳 由上题证明可知：对直线AB上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式=(1-t)+t (*)，反之，对每一个数值t，在直线AB上都有唯一的一个点P与之对应；向量式(*)叫做直线AB的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数.此结论为我们提供了判定动点P在定直线AB上的一种方法.当t=时，=(+)，此时P为线段AB的中点，这个公式就是线段AB的中点的向量表达式.
知识点三 向量的夹角
例5 试指出图2-3-6中向量的夹角.
图2-3-6
答案：(1)∠AOB=θ为两向量的夹角；
(2)与的夹角为0°，两向量同向共线；
(3)与的夹角为180°，两向量异向共线；
(4)两向量的夹角为θ.
知识点四 利用向量证明三点共线
例6 设两非零向量e1和e2不共线.
(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1，-e2)，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ke1+e2和e1+ke2共线.
思路分析：要证明A、B、D三点共线，需证存在λ，使=λ(e1+e2)即可.而若ke1+e2与e1+ke2共线，则一定存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2).
解：(1)∵=e1+e2，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5，
∴、共线.又因两向量有公共点B，
∴A、B、D三点共线.
(2)∵ke1+e2与e1+ke2共线，∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)，
则(k-λ)e1=(λk-1)e2.由于e1与e2不共线，
只能有则k=±1.
方法归纳 证明三点共线，可结合题目条件，把e1与e2看作一组基底，从三点中任选两点组成的向量，用e1与e2表示出来，依据向量共线的条件判定向量共线，又因为这两个向量有共同点，所以可证三点共线.
问题?探究
方案设计探究
问题 平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具.
探究过程:
如图2-3-7，设直线l的倾斜角为α(α≠90°).在l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，不妨设向量的方向是向上的，那么向量的坐标是(x2-x1,y2-y1).过原点作向量=，则点P的坐标是(x2-x1,y2-y1)，而且直线的倾斜角也是α，根据正切函数的定义,得tanα=.
图2-3-7
探究结论:k=tanα=就是《数学2》中已经得到的斜率公式，上述推导过程比《数学2》中的推导过程简捷的多，由此可见向量作为工具是非常有用的.
交流讨论探究
问题 我们本节学习了基底的定义，你认为人民币中的元、角、分可以作为基底吗？
探究思路:学生甲：基，是事物发展的根本或起点，被看作一个单位的对象一般叫做基；底，即事情的起源.基底是可以表达全部事物中任一事物的数量最少的单位对象的集合.在我们的生活中，人民币的计数单位有元、角、分，表示任意币值的基底是“元”，如10万元，2亿元等.
学生乙：这些不能用“角”作为基底来表示吗？
学生甲：当然也可以是“角”，更可以是“分”,但由于元、角、分之间存在着换算关系“1元=10角=100分”，因此不能将“元、角、分”作为基底.
学生乙：那么现实中不是有7元6角5分的说法吗？这个是不是以“元、角、分”作为基底的？
学生甲：事实上，我们同样可以用元来表示这一说法，如7.65元.
探究结论:由此我们可以看出作为基底的一个重要原则便是数量最少，但又能表示全部!
2.3.2 平面向量的坐标表示及运算
2.3.3 平面向量共线的坐标表示
疱工巧解牛
知识?巧学
一、平面向量的正交分解
1.由平面向量基本定理可知，我们选定平面中的一组不共线向量作为基底，则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时，往往根据需要，人为地选定一组基底来表示相关的量.
如图2-3-11，△ABC中，D、E分别是边、的中点.
图2-3-11
求证：DEBC.
证明：先选定一组基底，设=a，=b，则=b-a.
又∵==a，==b，
∴=-=ba= (b-a).
∴=2，即△ABC中，DEBC.
学法一得 利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是：先选好一组基底，用该基底把相关的向量表示出来，再根据两向量共线的条件，确定唯一的实数，证得两向量共线，其实质是判定出两向量的方向与模的关系.
2.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此时，这两个互相垂直的基底为正交基底.
二、正交分解下向量的坐标
1.向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a.由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x，y)，使得a=xi+yj.由于向量a与有序实数对(x，y)是一一对应的，因此，我们就把(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a=(x，y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量的坐标表示.
显然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
图2-3-12
设向量a=(x，y)，a方向相对于x轴正方向的旋转角为θ.由三角函数的定义可知：x=|a|cosθ，y=|a|sinθ，即向量a的坐标由它的模和方向唯一确定，与它的位置无关.
2.向量坐标的唯一性
在直角坐标平面内，以原点O为起点作=a，则点A的位置由a唯一确定.
设=xi+yj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标.
图2-3-13
如图2-3-13所示，==a，向量的坐标怎样表示?由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，这就是我们常说的自由向量.向量在移动的过程中，其坐标是不变的，此时向量的坐标等于的坐标，即相等向量的坐标相同.
3.一一对应原理
任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标表示的向量却不一定是唯一的，也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为坐标原点的向量是一一对应的关系.
由此可见，在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中，点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.
学法一得 ①平面向量的坐标表示是平面向量基本定理的具体运用，其关键是在直角坐标系的两坐标轴上取与正方向一致的两个单位向量作为基底，用该基底把平面直角坐标系中的某一向量表示出来.
②由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，所以平面内任一向量所对应的坐标，与把该向量的起点移至原点，终点所对应的坐标相等.
三、向量的坐标运算
1.加法运算
对于向量的加法除了用向量线性运算的结合律和分配律去证明外，还可用几何作图的方法予以证明.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求a+b.
图2-3-14
如图2-3-14所示，=a，=b，以a、b为邻边作平行四边形，则=a+b.
作BB′⊥x轴，垂足为B′，AA′⊥x轴，垂足为A′，CD⊥x轴，垂足为D，AC′⊥CD，垂足为C′.
从作图过程可知Rt△BB′O≌Rt△CC′A.所以OB′=AC′=A′D，BB′=CC′.
所以C点的坐标为xC=OA′+A′D=x1+x2，yC=C′D+C′C=y1+y2，
即=(x1+x2，y1+y2)，也就是a+b=(x1+x2，y1+y2).
也就是说：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.
上述结论对于三个或三个以上向量加法仍然成立.
2.减法运算
由向量线性运算的结合律和分配律，可得a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=(x1-x2)i+(y1-y2)j，即a-b=(x1-x2，y1-y2)，也就是说：两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.
类似于向量的加法运算，也可以通过作图验证减法的坐标运算规则.
3.实数与向量积的坐标
如图2-3-15，已知=a，=λa，不妨设λ＞0，作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足分别为A′、B′.
图2-3-15
由△AOA′∽△BOB′，∴.
由，OA′=x，A′A=y，
∴，，得OB′=λx，B′B=λy，
即=(λx，λy)，即λa=(λx，λy).
同理可证当λ＜0时，结论也成立；当λ=0时，λa=0，结论显然也成立.
综上所述，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
学法一得 当λ＞0时，λa所对应的坐标可看作把a的坐标伸长(λ＞1)或缩短(0＜λ＜1)到原来的λ倍而得到；当λ＜0时，可看作把a的相反向量的坐标伸长(λ＜-1)或缩短(-1＜λ＜0)到原来的-λ倍而得到.
典题?热题
知识点一 利用图形间的关系求坐标
例1 在平面内以点O的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴的正向建立直角坐标系.质点在平面内作直线运动，分别求下列位移向量的坐标.
(1)向量a表示沿东北方向移动了2个长度单位；
(2)向量b表示沿北偏西30°方向移动了3个长度单位；
(3)向量c表示沿南偏东60°方向移动了4个长度单位.
解：设=a，=b，=c，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x3，y3).
图2-3-16
(1)如图2-3-16,可知∠POP′=45°，||=2，所以a===i+j,所以a=(，).
(2)因为∠QOQ′=60°，||=3，所以b==+=i+j，所以b=(，).
(3)因为∠ROR′=30°，||=4，所以c==+=i-2j.所以c=(，-2).
方法归纳 求解向量坐标时，常用到解直角三角形的知识或任意角的三角函数的定义.构造直角三角形是学习过程中常用到的一种解题手段.
知识点二 向量的坐标运算
例2 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+.求：
(1)t为何值时，点P在x轴上?P在y轴上?P在第二象限?
(2)四边形OABP能成为平行四边形吗?若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
解：
(1)=+=(1+3t，2+3t).
若P在x轴上，只需2+3t=0，即t=；
若P在y轴上，只需1+3t=0，即t=；
若P在第二象限，则需解得-＜t＜-.
(2)=(1，2)，=(3-3t，3-3t).
若四边形OABP为平行四边形，需=.
于是无解，故四边形OABP不能成为平行四边形.
巧解提示:向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法.
知识点三 求向量坐标
例3 已知A(0，0)，B(，)，C(，)，则下列计算正确的是( )
A.向量的坐标为(，) B.向量的坐标为(0，)
C.向量的坐标为(，) D.向量+的坐标为(0，)
思路分析：利用“向量的坐标=终点坐标-起点坐标”直接得到结果.
=(，)-(0，0)=(，)，
=(，)-(，-)=(-1，1)，
=(0，0)-(，)=(，)，
+=(，)+(，)=(0，).
答案：D
例4 在直角坐标系xOy中，已知点A(3，2)、B(-2，4)，求向量+的方向和长度.
解：如图2-3-17,可知=(3，2)，=(-2，4).
图2-3-17
设=+，则=+=(3，2)+(-2，4)=(1，6).
由两点间距离公式，得||=.
设相对x轴正向的转角为α，则tanα=6，使用计算器计算得α=80°32′.
所以向量+的方向偏离x轴正方向约为80°32′，长度等于.
知识点四 利用向量坐标解综合题
例5 已知a=(6，-4)，b=(0，2)，c=a+λb，若c的终点在直线y=x上，求实数λ的值.
思路分析：此题是向量与直线结合的问题，关键是建立关于λ的等式关系.
图2-3-18
解：如图2-3-18所示，过A作平行于y轴的直线交直线y=x于C点，则可求得C(6，3)，过C点作直线OA的平行线，交y轴于D点，则四边形AODC为平行四边形，易求得|OD|=7，所以，即λ=.
巧解提示:设c=(x，y)，由题设，可得(x，y)=(6，-4)+λ(0，2)，
即(x，y)=(6，-4+2λ).
∴
∵c的终点在直线y=x上，
∴-4+2λ=×6.解得λ=.
例6 已知向量u=(x，y)与向量v=(y，2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.
(1)设a=(1，1)，b=(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)证明对于任意向量a、b及常数m、n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；
(3)求使f(c)=(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标.
思路分析：为应用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而使问题解决.
解：(1)f(a)=(1，2×1-1)=(1，1)；
f(b)=(0，2×0-1)=(0，-1).
(2)设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，则ma+nb=(ma1+nb1，ma2+nb2)，
∴f(ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)，
mf(a)+nf(b)=m(a2，2a2-a1)+n(b2，2b2-b1)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1).
∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.
(3)设c=(x，y)，则f(c)=(y，2y-x)=(p，q)，
∴
∴x=2p-q，
即向量c=(2p-q，p).
例7 已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，如图2-3-19所示.
图2-3-19
求证：=(+).
思路分析：根据向量加法的三角形法则或坐标运算法则可以用不同方法证明.
证明：建立直角坐标系，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).
则=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x4，y3-y4)，
∴(+)=().
又E()，F()，
则=()，
∴=(+).
巧解提示:∵E、F分别是AD、BC的中点，
图2-3-20
∴+=+=0.
又=++，=++，
两式相加得2=+，即=(+).
问题?探究
材料信息探究
材料：一个力可以分解为平面内任意两个方向上的力.如图2-3-21：
图2-3-21
拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的，我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深.这两个效果相当于两个力分别产生的：一个水平的力F1使耙前进，一个竖直向上的力F2把耙上提，即力F可以用两个力F1和F2来代替，即力F被分解成两个力F1和F2.
问题 能不能将上面的物理知识抽象为数学知识？这一数学知识有何作用？
探究过程:由物理学知识可知力是矢量，它可以抽象为数学中的向量.因此物理学中力的分解可以抽象为数学中一个平面内的向量都可以分解为两个不共线的向量，即平面内任意一向量
都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的，其实质就是平面向量基本定理.这一定理是向量坐标表示的理论基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决.
探究结论:上面的物理知识可以抽象为数学中的平面向量基本定理，该定理是向量坐标化的理论基础，也是联系向量问题与几何问题的桥梁与纽带.
方案设计探究
问题 试探究用向量求的值的方法.
探究过程:要求可先求cos0+cos+cos+cos+cos +cos+cos的值，由于0、、、、、、这七个角每相邻两个角都相差，则可考虑在直角坐标系中构造一个边长为1的正七边形OABCDEF，且使A点的坐标为(1，0)，则由此可得出、、、、、和的坐标，再利用它们的和是零向量及零向量的横坐标、纵坐标都为零即可求解.
探究结论:如图2-3-22所示，将边长为1的正七边形OABCDEF放入直角坐标系中，则
图2-3-22
=(1，0)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin).
由于++++++=0，则有
cos0+cos+cos+cos+cos+cos+cos=0.
又cos=cos，cos=cos，cos=cos，cos0=1，
所以有1+2(cos+cos+cos)=0，即cos+cos+cos=.
思想方法探究
问题 在数学中，我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分，如果已经知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题.向量是解决几何问题的有效工具，能否用向量分析这一问题？
探究过程:在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，假设点P分有向线段的比为λ，即=λ，O为平面上一定点，那么会有+λ=0，=.事实上，因为=λ，所以+λ=0，于是有(-)+λ(-)=0,(1+λ) =+λ,所以=.
如果在直角坐标系中，设O为坐标原点，P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，
则有(x,y)=,即
探究结论:P点的坐标为()，此公式就叫做线段的定比分点公式.它可以直接利用线段端点的坐标来表示分点的坐标，显得方便、快捷.
如下面的问题，已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，利用公式就可以直接得到点B的坐标.假设P(x,y)，由定比分点公式有,，即P(2,1).又因为P是线段OB的中点，所以点B的坐标(4,2).
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
疱工巧解牛
知识?巧学
一、用坐标表示两个共线向量
向量a与非零向量b共线，当且仅当存在一个实数λ，使得a=λb.这样可由向量相等，构造出向量坐标相等的关系式.
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(x2，y2不同时为零).
根据实数与向量的积的坐标可得λb=(λx2，λy2).
因为a=λb，即(x1，y1)=(λx2，λy2)，
则必有消去λ后，得x1y2-x2y1=0.
这就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量b与a(a≠0)共线.
若x2、y2都不为零时，则可化为.即若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行，也可依此判断a与b共线.
由此可知，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若a∥b，则x1y2-x2y1=0；反之，若x1y2-x2y1=0，则a∥b.该条件成立，是在假设b≠0的情况下推出的，事实上，由于我们规定零向量与任何向量平行，所以可去掉b≠0这一限制条件.
学法一得 向量共线有两种刻画形式：(1)b∥a(a≠0)b=λa，λ是唯一确定的实数；(2)b∥a(a≠0)x1y2-x2y1=0.
典题?热题
知识点一 利用坐标解决向量共线
例1 判断下列向量是否平行：
(1)a=(1，3)，b=(2,4)；(2)a=(1,2)，b=(,1).
解：(1)∵1×4-3×2=-2≠0,∴a与b不平行.
(2)∵1×1-2×=0,∴a∥b.
巧解提示:(1)∵≠,a与b不平行；(2)∵,∴a∥b.
本方法适合于作分母的向量坐标不是零的情况.
知识点二 利用两个向量共线求未知数
例2 已知向量a=(1，1)，b=(4，x)，μ=a+2b，v=2a+b且μ∥v，求x.
思路分析：由于平面向量可用坐标表示，所以有关向量的加、减及实数与向量的积都可先用坐标表示出来，再转化为坐标运算去求值.
解：μ=(1，1)+2(4，x)=(1，1)+(8，2x)=(9，1+2x)，
v=2(1，1)+(4，x)=(2，2)+(4，x)=(6，2+x).
∵μ∥v，∴9(2+x)-6(1+2x)=0.
解得x=4.
例3 求与向量a=(3，4)共线的单位向量.
解：设与a共线的单位向量为e=(x，y)，
则x2+y2=1. ①
又e∥a，所以3y-4x=0. ②
解由①②组成的方程组
得或
即e=()或().
巧解提示:∵a=(3，4)，∴|a|=.
∴与a共线的单位向量e=a，或e=a，
即e=()或().
方法归纳 利用两个向量共线的条件去布列方程，求未知数的值.由x1y2-x2y1=0可解决一个未知数的值；若由可解决两个未知数的值.
例4 平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).
(1)求3a+b-2c；
(2)求满足a=mb+nc的实数m、n；
(3)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；
(4)设d=(x，y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1，求d.
思路分析：在引入向量的坐标表示后，向量的加、减、数乘运算完全代数化，这样更简洁，但必须对平面向量基本定理、向量的有关概念有深刻的理解.
解：(1)3a+b-2c=3(3，2)+(-1，2)-2(4，1)=(9，6)+(-1，2)-(8，2)=(9-1-8，6+2-2)=(0，6).
(2)∵a=mb+nc，
∴(3，2)=m(-1，2)+n(4，1)=(-m+4n，2m+n).
∴解之,得
(3)∵(a+kc)∥(2b-a)，
又a+kc=(3+4k，2+k)，2b-a=(-5，2)，
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.∴k=.
(4)∵d-c=(x-4，y-1)，a+b=(2，4)，
又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1，
∴
解之,得或
∴d=()或d=().
方法归纳 求未知数的值，需列含有未知数的方程或方程组，这就是方程思想.由于平面向量的坐标表示，所以有关向量的加、减及实数与向量的积、共线向量、向量的模等，都可用于列方程求未知数的值.
知识点三 向量平行与三点共线
例5 向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线?
解：=-=(k，12)-(4，5)=(k-4，7)，
=-=(k，12)-(10，k)=(k-10，12-k).
∵A、B、C三点共线，
∴∥，即(k-4)(12-k)-(k-10)×7=0.
整理，得k2-9k-22=0.
解得k1=-2或k2=11.
所以当k=-2或11时，A、B、C三点共线.
例6 如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.
思路分析：只需根据向量共线的条件，解关于m的方程即可.
解：∵A、B、C三点共线，即、共线，
∴存在实数λ使得=λ，即i-2j=λ(i+mj).
∴
∴m=-2，
即m=-2时，A、B、C三点共线.
方法归纳 利用向量证明三点共线的思路是：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两向量共线.由于两向量必过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线.
知识点四 定比分点坐标公式
例7 已知两点P(-1，6)和Q(3，0)，延长线段QP到A，使|AP|=|PQ|，求A点坐标.
思路分析：由于A、P、Q三点共线，且|AP|=|PQ|，所以可先从三点中任取两点，确定出两个共线向量间的共线，再借助于向量运算法则进行求解.
解：如图2-3-25，∵|AP|=|PQ|,
图2-3-25
∴=.
∴=+=+=+(-)
=-=(,8)-(1,0)=(,8).
∴A(,8).
例8 若直线y=-ax-2与连结P(-2，1)、Q(3，2)两点的线段有交点，求实数a的取值范围.
思路分析：当直线与线段PQ有交点时，这个交点分有向线段PQ所成的比λ不小于0，从而得到关于a的不等式，但应注意考虑端点的情况.
解：当直线过P点时，有2a-2=1，∴a=.
当直线过Q点时，有-3a-2=2，∴a=.
当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点M分PQ的比为λ，它的坐标为M(x0，y0)，则x0=，y0=，
而直线过M点，则，
整理，得.
由λ＞0，得，解得a＜或a＞.
故所求实数a的取值范围为a≤或a≥.
例9 连结直角三角形的顶点与斜边的两个三等分点，所得两条线段的长分别是sinα和cosα(0＜α＜)，求直角三角形的斜边长.
思路分析：建立适当的坐标系，设定点的坐标，然后根据已知条件列关系式求解.
图2-3-26
解：以直角三角形的两直角边为坐标轴，如图2-3-26所示，建立直角坐标系，设A(a，0)，B(0，b)，D、E分别为AB的三等分点，把D点看成分成定比为λ=的定比分点，由定比分点坐标公式可求得,,即D(a，b).
同理可求得E(a，b)，
又∵|OD|=sinα，|OE|=cosα，即
∴(a2+b2)=1.
又∵|AB|=，∴|AB|=.
问题?探究
材料信息探究
问题 假如有两个质点M1、M2，它们的质量分别为m1、m2，由物理学知识，这两个质点的重心M在线段M1M2上，并且分此线段为与质量成反比例的两部分，即或.设点M1、M2、M对应的向量分别是r1、r2、r，则上式可以写成m1(r-r1)=m2(r2-r)，所以r=，即点M处的质量为m1+m2.那么如何利用向量得到三个质点的重心呢？
探究思路:仿照用向量解决的两个质点的重心情况，对于三个质点的重心问题，可设三个质点M1、M2、M3的质量分别是m1、m2、m3，所对应的向量分别是r1、r2、r3，设M1、M2的重心在点D处，该处对应的向量为rD=，该点的质量为m1+m2，然后求点D与点M3的重心M所对应的向量r.
探究结论:r=.
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
疱工巧解牛
知识?巧学
一、平面向量的数量积与投影
1.平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.
根据定义，若a=0，则0·b=0.
所以规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b=0.
误区警示 两个向量的数量积是两向量之间的一种新的乘法，与实数的乘法是有区别的，注意区分以下几点：
①两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定.
②两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、b的乘积ab(或a·b)是不同的.
③在实数中，若a≠0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b=0不能推出b一定是零向量.因为其中cosθ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b=0.
④已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b=b·ca=c.
⑤对于实数a、b、c有(ab)c=a(bc)，但对于向量a、b、c，(a·b)c=a(b·c)未必成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立.
2.向量a在b方向(或b在a方向)上的投影
图2-4-2
如图2-4-2，已知=a，=b，过B作BB1垂直于直线，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ.
|b|cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，同理，|a|cosθ叫做a在b方向上的投影.a·b的几何意义是：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积.
二、两个向量的数量积的性质
设a、b都是非零向量，
1.a⊥ba·b=0.
证明：若a⊥b，则a与b的夹角θ=90°，所以a·b=|a||b|cos90°=0；
反过来，a·b=|a||b|cosθ=0，因|a|≠0，|b|≠0，所以cosθ=0，
所以θ=90°，则a⊥b.
学法一得 数量积的这条性质是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.
2.当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|.特别地，a·a=a2=|a|2，或|a|=.
学法一得 该条性质实现了实数与向量的联系，我们在求向量模时，往往先求模的平方，借助向量的数量积运算进行.
3.|a·b|≤|a||b|.
由数量积的定义a·b=|a||b|cosθ可知
|a·b|=|a||b||cosθ|.
∵0≤θ≤180°，
∴|cosθ|≤1.
∴|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|.
学法一得 由1、2、3这三条性质可知，向量的数量积可以用来处理有关长度、角度、垂直的问题.
三、平面向量数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ.
1.a·b=b·a.
证明：设a与b的夹角为θ，则a·b=|a||b|cosθ，b·a=|b||a|cosθ，
∴a·b=b·a.
2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
证明：若λ>0，(λa)·b=λ|a||b|cosθ，
λ(a·b)=λ|a||b|cosθ，
a·(λb)=|a||λb|cosθ=|a||λ||b|cosθ=λ|a||b|cosθ，
∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
若λ<0，(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ，
λ(a·b)=λ|a||b|cosθ，
a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ.
∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
3.(a+b)·c=a·c+b·c.
学法一得 要推证向量数量积的运算律，要利用数量积的定义表示出左边与右边，因为实数的运算律是已知的，从而借助已有的实数的运算律来论证向量数量积的运算律.把未知的问题转化为已知的问题来解决，体现了化归思想的运用.
典题?热题
知识点一 平面向量数量积的定义
例1 判断下列各题正确与否：
①若a=0，则对任一向量b，有a·b=0;
②若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0;
③若a≠0，a·b=0，则b=0;
④若a·b=0，则a、b至少有一个为零向量;
⑤若a≠0，a·b=a·c，则b=c;
⑥若a·b=a·c，则b=c当且仅当a≠0时成立.
答案：①√；②×；③×；④×；⑤×；⑥×.
例2 已知|a|=4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e方向上的投影是__________;e在a方向上的投影是__________.
思路分析：a在e方向上的投影是|a|cos=4×()=-2;e在a方向上的投影是|e|cos= 1×()=.
答案：-2
知识点二 两个向量的数量积的性质
例3 已知|a|=|b|=5，a与b的夹角为，求|a+b|，|a-b|的值.
解：∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=25+25+2|a||b|cos=75，∴|a+b|=.
同理|a-b|2=a2-2a·b+b2=25+25-2|a||b|cos=25.
∴|a-b|=5.
方法归纳 由数量积定义式a·b=|a||b|cosθ得cosθ=，它是一种等价形式，侧重于两向量的夹角问题.求向量的夹角或平面几何图形中求角的问题可考虑用这个性质来解.
例4 已知a、b，a·b=40，|a|=10，|b|=8.求a与b的夹角.
解：∵a·b=|a||b|cosθ，θ为a、b的夹角，
而a·b=40，|a|=10，|b|=8，
∴cosθ=.∴θ=60°，
即a、b夹角为60°.
例5 已知|a|=2，|b|=，a与b的夹角为45°，λb-a与a垂直，则λ=_________.
思路分析：∵λb-a与a垂直，∴(λb-a)·a=0，
即λa·b-a2=0.∴λ·cos45°-4=0.得λ=2.
答案：2
例6 证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
思路分析：前提是平行四边形对角线互相垂直，结论是要证其为菱形，即需证邻边相等.如何把对角线的关系转化为边的关系呢？可结合向量的加减法.
解：设在平行四边形OACB中，对角线OC和AB互相垂直，即⊥.
图2-4-3
∴·=0.
又=+，=-，
于是，(+)·(-OA)=0，
即-=0.∴|OB|=||.
∴平行四边形OACB是菱形.
知识点三 运用数量积的运算律来解题
例7 若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )
A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.m(a+b)=ma+mb D.(a·b)c=a(b·c)
思路分析：对于实数a、b、c，它们之间的运算满足(ab)c=a(bc)，但对于向量没有这样的运算律.
答案：D
知识点四 公式(a+b)2=a2+2a·b+b2和(a+b)·(a-b)=a2-b2
例8 已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a+3b|等于( )
A. B. C. D.4
思路分析：|a+3b|2=|a|2+6a·b+9|b|2=|a|2+6|a||b|cos60°+9|b|2=13,
∴|a+3b|=.
答案：C
例9 已知|a|=13，|b|=19，且|a+b|=24，求|a-b|的值.
思路分析：解题时要将数量积作为联系已知条件和未知值之间的一座桥梁，利用模与数量积的性质求解.
解：(a+b)2=|a+b|2a2+2a·b+b2=|a+b|2,
即169+2a·b+361=576，2a·b=46,
故|a-b|2=a2-2a·b+b2=169-46+361=484,所以|a-b|=22.
例10 已知a与b的夹角为30°，且|a|=，|b|=1，求向量p=a+b，q=a-b的夹角的余弦值.
思路分析：由两向量的数量积和模求夹角的余弦.
解：∵|p|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=3+cos30°+1=7，∴|p|=；
同理可求得|q|=1.
∴cosθ=.
知识点五 向量数量积与垂直
例11 已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=3a+5b，d=ma-3b.
(1)当m为何值时，c与d垂直?
(2)当m为何值时，c与d共线?
思路分析：利用向量垂直、共线的充要条件构造关于m的方程求解.
解：(1)由向量c与d垂直c·d=0，
而c·d=(3a+5b)·(ma-3b)
=3ma2+(5m-9)a·b-15b2
=27m+3(5m-9)-60，
∴42m-87=0.∴m=，
即m=时，c与d垂直.
(2)由c与d共线存在实数λ，使得c=λd.
∴3a+5b=λ(ma-3b)，
即3a+5b=λma-3λb.
又∵a与b不共线，∴解得λ=
即当m=-时，c与d共线.
问题?探究
材料信息探究
问题 关于平面向量的数量积的运算，我们学习了三个运算律：
a·b=b·a(交换律)；(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律)；
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
它为我们实施向量的有关运算提供了理论上的保证.
对于这一点我们该如何理解？
探究过程:它一方面提示了平面向量的数量积的运算规律，另一方面又融入了平面向量的加法、实数与向量的积的相关内容.因而，平面向量的运算，由原有的加减法、实数与向量积的基础上，又注入了新的生机和活力.随着平面向量内容的不断丰富，我们对平面向量的了解也就越来越多，从而，用平面向量理论解决问题的观念思想就会逐步得到形成，策略、方法也就更加灵活了.所有这些，都集中体现在长度问题、角度问题、平行问题、垂直问题的交汇上，由平面向量的数量积的运算律解决有关问题.
探究结论:上面的三条运算律是基础内容，除了它们以外，还要掌握下面的这些常见的结论：a2=|a|2；(a+b)(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d；(a+b)2=a2+2a·b+b2，这些结论将有助于解决向量的求值、化简等问题.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
疱工巧解牛
知识?巧学
一、两个向量数量积的坐标表示
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，取与x轴、y轴分别同向的两个单位向量i、j，则a=(x1，y1)=x1i+y1j，b=(x2，y2)=x2i+y2j.由数量积的定义可知：i·i=1，j·j=1，i·j=0，j·i=0.
所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2.
学法一得 通过坐标形式用i、j表示以后，数量积的运算就类似于多项式的乘法，展开后再合并同类项.也就是“两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和”，即a·b=x1x2+y1y2.引入坐标后，把向量的数量积的运算与两向量的坐标运算联系起来，即可用a·b=|a||b|cosθ=x1x2+ y1y2来求值.
二、向量的模的坐标表示和平面内两点间的距离公式
1.a·a=(xi+yj)·(xi+yj)=x2+y2.
又a·a=a2=|a|2，∴|a|2=x2+y2.∴|a|=.
2.平面直角坐标系下的两点间的距离等于以这两点中的一个点为起点，另一个点为终点的向量的模.
图2-4-4
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1)，
所以||=.
这就是平面内两点间的距离公式.
学法一得 向量a的模|a|=也具有一定的几何意义，即|a|= ，通过简单的构造，它表示点(x，y)到原点(0，0)的距离.
3.向量垂直的坐标表示
我们已经知道平面上两个向量b=(x2，y2)，a=(x1，y1)共线的充要条件：x1y2-x2y1=0.
由数量积的定义看，a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2，已知两向量垂直的充要条件是a·b=0，可得a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.
学法一得 公式x1x2+y1y2=0是判定两个向量垂直的条件，在实际中可通过它来证明两个向量垂直或三角形为直角三角形或四边形为矩形等.
4.用平面向量数量积的坐标公式计算两个向量的夹角
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，由数量积的定义
a·b=|a||b|cosθ，得cosθ=，即cosθ=.
学法一得 利用此公式，可直接求出两向量的夹角.
典题?热题
知识点一 平面内两点间的距离公式
例1 已知A(-3，4)，B(5，2)，则||=___________.
解：直接利用公式.
||=.
也可先求，再求||.
∵=(5，2)-(-3，4)=(8，-2)，∴||.
知识点二 两个非零向量的数量积与垂直
例2 已知四边形ABCD的顶点分别为A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(-1，4)，
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：
∵A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(-1，4)，
∴AB=(5-2，4-1)=(3，3)，=(2+1，7-4)=(3，3).
∴=，从而四边形ABCD为平行四边形.
又∵=(-1-2，4-1)=(-3，3)，=(3，3)，
∴·=(-3，3)·(3，3)=-9+9=0.
∴⊥.∴平行四边形ABCD为矩形.
又∵=(3，3)，=(-3，3)，∴||=||=.
∴矩形ABCD为正方形.
例3 在△ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值.
思路分析：由于没指出哪个内角是直角，故需分别讨论，借助向量减法的运算法则求出△ABC中一边BC对应的向量，再用两个向量垂直的条件，构造出k的方程，从而求出k的值.
解：(1)当∠A=90°时，∵·=0，
∴2×1+3k=0.∴k=.
(2)当∠B=90°时，=-=(1-2，k-3)=(-1，k-3)，
∵·=0，∴2×(-1)+3(k-3)=0.∴k=.
(3)当∠C=90°时，
∵·=0，∴-1+k(k-3)=0，即k2-3k-1=0.
∴k1=或k2=.
综合(1)(2)(3)可知k的值为k=或k=或k=.
例4 如图2-4-5，以原点和A(5，2)为两个顶点作等腰Rt△OAB，使∠B=90°，求点B和向量的坐标.
图2-4-5
思路分析：关键是求出B点的坐标，设B(x，y)，由⊥和||=||，则可列出x、y的方程组，解方程组，则可求得x、y，再求的坐标.
解：设B点坐标为(x，y)，则=(x，y)，=(x-5，y-2).
∵⊥，
∴x(x-5)+y(y-2)=0，
即x2+y2-5x-2y=0. ①
又||=||，
∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2，
即10x+4y=29. ②
解①②得或
∴B点坐标为(，-)或(，).
∴=(-，)或=(，).
方法归纳 本题是构造方程的题目，主要是用两个向量垂直的条件、向量的减法、向量的模的定义，紧紧抓住“等腰”“直角”两个条件，把方程组列出来.在解方程组时，应注意代入消元思想的运用.
知识点三 用平面向量数量积求实数
例5 设I为△ABC的内心，AB=AC=5,BC=6,=m+n,求m和n的值.
图2-4-6
解：如图2-4-6，建立坐标系.由题意知A(0,4),B(-3,0),C(3,0),
因为I为△ABC的内心，AB=AC，所以点I在y轴上，设其坐标为I(0,k).
又=(-3,-4),=(6,0)，
因为点I在∠ABC的平分线上，所以与及的单位向量的和向量共线.设这个和向量为u，
则u=()+(1,0)=().u的单位向量u0=()，它与的单位向量相等，=(3,k)，由此得方程.
解方程得k=(另一负根不合题意，舍去).
所以，=(0,-4)=(0,).
又=m+n，故(0,)=m(-3,-4)+n(6,0)，
即解得m=,n=.
方法归纳 利用平面向量的数量积的坐标表示及其运算律可用来证明几何问题，它一般分为三步：一是建立适当的坐标系，用点的坐标表示几何关系；二是进行向量的坐标运算；三是还原为几何结论.
例6 平面内三点A、B、C在一条直线上，=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),且⊥，求实数m、n的值.
思路分析：因为A、B、C三点共线，所以=λ；由⊥,知·=0，由上述两个关系列出方程，可求得m、n的值.
解：因为A、B、C三点共线，所以=λ.
因为=-=(7,-1-m),=-=(n+2,1-m),
所以(7,-1-m)=λ(n+2,1-m),即
所以mn-5m+n+9=0. ①
由·=0，得m-2n=0, ②
由①②得m=6,n=3或m=3,n=.
方法归纳 解决此类问题，主要是利用平行、垂直的条件列出方程，通过解方程使问题解决，体现了方程思想的运用.
知识点四 用平面向量数量积的坐标公式计算两个向量的夹角
例7 已知向量a=e1-e2，b=4e1+3e2，其中e1=(1，0)，e2=(0，1).
(1)试计算a·b及|a+b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦.
思路分析：根据条件，先求出a与b的坐标，然后根据数量积的定义、模以及夹角的运算公式求解.
解：(1)a=e1-e2=(1，0)-(0，1)=(1，-1)，
b=4e1+3e2=4(1，0)+3(0，1)=(4，3).
∴a·b=4×1+3×(-1)=1，
|a+b|=.
(2)由a·b=|a||b|cosθ，∴cosθ=.
例8 平面内有向量=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，点M为直线上的一动点.
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点M满足(1)的条件和结论时，求cos∠AMB的值.
思路分析：因为点M在直线OP上，向量与共线，可以得到关于OM坐标的一个关系式，再根据·的最小值，求得，而cos∠AMB是向量与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决.
图2-4-7
解：(1)=(x，y)，
∵点M在直线OP上，
∴向量与共线.
又=(2，1)，∴x·1-y·2=0，即x=2y.∴=(2y，y).
又=-，OA=(1，7)，∴=(1-2y，7-y).
同理,=-=(5-2y，1-y).
于是，·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=4y2-12y+5+y2-8y+7
=5y2-20y+12.
由二次函数的知识，可知当时，·有最小值-8，此时=(4，2).
(2)当=(4，2)，即y=2时，有=(-3，5)，=(1，-1)，
||=，||=，
·=(-3)×1+5×(-1)=-8，
∴cos∠AMB=.
方法归纳 与最值有关的问题，往往是先选取适当的变量，建立关于取定变量的目标关系式(或函数关系式)，通过求函数最值的基本方法求解.如转化成二次函数或三角函数问题等.
问题?探究
误区陷阱探究
问题 我们前面学习了两个向量的数量积、向量同实数的积、实数之间的运算，一个是向量乘向量，一个是数乘向量，一个是实数乘实数，三者有很大区别.具体说它们有哪些差别？
探究过程:根据定义，两个向量的数量积等于这两个向量的模与两个向量夹角余弦的积，向量的模与两个向量夹角的余弦值均为实数，所以两个向量的数量积是一个实数，不是向量，不再具有方向，其符号由cosθ的符号所决定.向量同实数的积相当于将向量伸长或缩短了若干倍，其方向与原向量的方向相同或相反.两个向量的数量积称为内积，写成a·b；今后还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.在实数中，若a≠0，且a·b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.现有实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是a·b=b·ca=c，如图2-4-8，a·b=|a||b|cosβ=|b|||，b·c=|b||c|cosα=|b|||，∴a·b=b·c，但a≠c.这些都是与实数运算不一样的地方，应该特别注意，防止出错.
图2-4-8
探究结论:两个向量的数量积是向量乘向量，其结果为向量同实数的积、实数之间的运算，一个是数乘向量，一个是实数乘实数.
思维发散探究
问题 设a、b是不相等的实数，试探求证明不等式(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2的方法.
探究思路:对于不等式的证明比较常见的方法是作差法，即求出不等式两边式子的差，再根据差与零的关系来达到证明不等式的目的.现在我们又学习了向量数量积的坐标表示，因此可以根据不等式结构构造向量,利用向量知识来达到证明不等式的目的.
(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+b6+a4b2+a2b4-a6-b6-2a3b3=a4b2+a2b4-2a3b3
=a2b2(a2-ab)+a2b2(b2-ab)=a2b2(a-b)2.
由于a、b是不相等的实数，则(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a2b2(a-b)2>0，即(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2.
思想方法探究
问题 如右图，将向量a=(2，1)围原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标是多少？
图2-4-9
探究过程:可设向量b的坐标为(x，y)，然后根据两向量的长度相等和两向量的夹角公式列出关于x、y的方程组解之即可.
具体步骤如下：
设b=(x，y)，由已知条件，有
代入坐标得解之,得或(舍去).
故b=(,).
探究结论:函数与方程思想的核心是构造函数，利用函数的性质和图象，或构造方程(组)解方程(组)，利用方程与函数的有关知识解题.由于向量的某些运算性质与实数的运算性质类似，因此可以将向量的一些等式看作以这个向量为未知数的方程，运用解方程的一些方法求这个向量.此外，本章中向量的代数运算和坐标运算的桥梁也是方程，利用向量相等或向量的运算性质构造方程(组)、解方程(组)使问题得以解决.在求字母的范围时，也可以利用函数与方程的思想，构造函数，求函数的值域，以达到求字母范围的目的.
2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例
疱工巧解牛
知识?巧学
一、平面几何中的向量方法
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了.
用向量法(即以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论)证明几何问题需把点、线、面等几何要素直接归为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些结果翻译成点、线、面的相应结果，可简单地表述为：〔形到向量〕——〔向量的运算〕——〔向量和数到形〕.
学法一得 用向量法证明几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.
二、向量在物理中的应用
向量还具有强烈的物理学实际背景.物理学中有两种基本量：标量和矢量.矢量遍布在物理学的很多分支，它包括力、位移、速度、加速度、动量等.虽然，物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同，例如力，它除了有方向和大小，还有作用点；数学中的向量则只有方向和大小，没有作用点.但是，这并不影响向量在物理学中的作用.
学法一得 向量在物理中的应用，实际上就是先把物理问题转化成数学问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象.在学习过程中，一要体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型，二要体会如何利用数学模型的解来解释物理现象.
典题?热题
知识点一 用向量方法证明几何问题
例1 已知AD、BE、CF分别是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于同一点.
思路分析：本题主要考查向量在几何中的应用.通常情况下，用向量作工具证明几何问题时，往往要先设一些向量作为基本向量，我们假设两条高BE、CF交于点H，再证明AD与BC垂直即可说明结论成立.
图2-5-2
证明：如图2-5-2，AD、BE、CF是△ABC的三条高，设BE、CF交于点H,=a，=b，=h，
则=h-a，=h-b，=b-a.
∵⊥，⊥，
∴(h-a)·b=0，(h-b)·a=0.
∴(h-a)·b=(h-b)·a.
化简得h·(b-a)=0.
∴⊥.
∴AH与AD重合，即AD、BE、CF交于一点.
例2 在△ABC中，点D和E分别在边BC与AC上，且BD=BC，CE=CA，AD与BE交于点R，证明RD=AD，RE=BE.
图2-5-3
解：设=e1，=e2.取{e1，e2}为基底，下面我们将用基底表示出来.
设=λ，=μ.
由于=+=e1+(e2-e1)=e1+e2，
=+=-e1+e2，
∴=λ=λe1+λe2， ①
=μ=-μe1+μe2.
==(1-μ)e1+μe2， ②
根据唯一性，由①和②可得λ=1-μ，.
解得λ=，μ=.于是AR=AD，RD=AD；BR=BE，RE=BE.
巧解提示：由A、D、R三点共线，可设
=λ+(1-λ)=λ+(1-λ). ③
由B、E、R三点共线，又设=μ+(1-μ)=μ+(1-μ). ④
根据唯一性，由③④可得λ=，μ=.
将之代入③④得=+，=+，
即，.
∴RD=AD，RE=.
例3 如图2-5-4所示，在△ABC中，设=a，AC=b，=c，=λa(0<λ<1)，=μb(0<μ<1)，试用向量a、b表示c.
图2-5-4
思路分析：本题实质是平面向量基本定理的应用，因a、b不共线，故c可用a、b表示.鉴于图形中三角形较多，所以需要从中找出相关的三角形，利用向量的加法、减法和向量相等的条件求解.事实上，若令λ=μ=的话，则点P就成为△ABC的重心.
解：∵与共线，∴==m(-)=m(μb-a).
∴=+=a+m(μb-a)=(1-m)a+mμb. ①
又∥，∴=n=n(-)=n(λa-b).
∴=+=b+n(λa-b)=nλa+(1-n)b. ②
由①②，得(1-m)a+mμb=nλa+(1-n)b.
∵a、b不共线，∴即
解之,得m=，n=1-.
将m、n代入①式，得c=(1-m)a+mμb=.
知识点二 选择适当的直角坐标系，用坐标法解决有关几何问题
例4 已知△ABC中，∠C是直角，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE.
图2-5-5
证明：建立如图2-5-5所示的直角坐标系，
设A(a，0)，则B(0，a)，E(x，y).
∵D是BC的中点，∴D(0，).
又∵AE=2EB，即=，即(x-a，y)=2(-x，a-y)，
∴
解之,得x=，y=.
要证AD⊥CE，只需证与垂直，即·=0.
∵=(0，)-(a，0)=(-a，)，==()，
∴·=.
∴⊥，即AD⊥CE.
方法归纳 在未给出点的坐标的题目中，选用坐标法往往要考虑几何图形的特点，如直角三角形、正方形等用坐标法有时比较方便.
例5 如图2-5-6，四边形AOBE是菱形，其对角线OE在x轴上.在OB的延长线上取一点C，AC交BE于点D.若∠AOE=60°，BC=m，菱形的边长为l，求点D的坐标.
图2-5-6
思路分析：欲求点A、C的坐标，必须要用∠EOA=60°，∠EOC=300°.这是解此题的出发点.
解：∵=(||cos60°，||sin60°)=()，
=(||cos300°，||sin300°)=()，
∴=-=().
设=(x，y)，∵=-=(x-，y-)且与共线，∴，即. ①
又与共线，=(l-x，-y)，故，即.
将y=(x-l)代入①，得，.
∴D点的坐标是(，).
例6 如图2-5-7，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角θ取何值时，的值最大?并求出这个最大值.
图2-5-7
思路分析：本小题主要考查向量的概念、平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.注意图形与坐标系的转化及向量的联系.
解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图2-5-8所示的平面直角坐标系.
图2-5-8
设|AB|=c，|AC|=b，
则A(0，0)、B(c，0)、C(0，b)，且|PQ|=2a，|BC|=a.
设点P的坐标为(x，y)，则Q(-x，-y)，
∴=(x-c，y)，=(-x，-y-b)，=(-c，b)，=(-2x，-2y).
∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.
∵cosθ=，
∴cx-by=a2cosθ.
∴·=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1，即θ=0°(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
方法归纳 对于平面几何问题，除了用综合法和解析法对其证明外，还可引入向量，通过向量的线性运算或建立坐标系通过坐标运算去求解.
知识点三 向量在物理中的应用
例7 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°，并且A、C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移.
图2-5-9
解：如图2-5-9所示，设A在东西基线和南北基线的交点处.
依题意，的方向是北偏西60°，||=1 000 km；的方向是南偏西60°，||=2 000 km，所以∠BAC=60°.
过点B作东西基线的垂线，交AC于点D，则△ABD为正三角形.
所以BD=CD=1 000 km，∠CBD=∠BCD=∠BDA=30°.
所以∠ABC=90°.
BC=ACsin60°=2 000× (km)，||= (km).
所以，飞机从B地到C地的位移大小是 km，方向是南偏西30°.
例8 已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)
图2-5-10
解：如图2-5-10所示，设木块的位移为s，
则F·s=|F||s|cos30°=50×20× (J).
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为
|F1|=|F|sin30°=50×=25(N)，
所以，摩擦力f的大小为|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N).
因此f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).
即F和f所做的功分别是 J和-22 J.
问题?探究
方案设计探究
问题 向量的运算是用向量解决问题的重要途径，特别是数量积，它涉及平行、垂直等重要的位置关系.我们通过学习平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，提出怎样用向量坐标表示向量数量积的问题，那么这些问题具体如何解决，该怎样应用？
探究思路:将数量积的坐标形式用于表示距离、角、垂直、平行等关系.
探究结论:对于平面向量的数量积，我们有结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，将其进一步推广就有：
①设a=(x，y)，a2=|a|2=x2+y2或|a|=；
②设A、B两点的坐标分别为(xA，yA)、(xB，yB)，|AB|=,这就是平面内两点间的距离公式；
③设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，向量a、b的夹角为θ，cosθ=；
④设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b的充要条件是a⊥bx1x2+y1y2=0.
在学习时，一方面要注意与前面的知识进行联系，要熟悉向量的数量积的定义以及它的有关性质；另一方面，坐标运算是向量运算的一种重要的形式，因此要熟练掌握向量的数量积的坐标表示，注意有关的结论，并能熟练地应用它们解决有关的问题.在学习过程中，注重养成独立思考钻研的习惯和能力，初步了解对立统一的辩证思想，灵活处理向量与三角函数、不等式、解析几何、立体几何相结合的题目.
思维发散探究
问题 已知a、b是两个非零向量，且满足|a|=|b|=|a-b|，试探究求a与a+b夹角的方法.
探究过程:基于向量表示上的差异，也就是表示方法上的不同，解本题常见的有三种方法.一是利用向量加减法的几何意义，用数形结合的方法求夹角；二是利用已知条件，找出a的长度与a·b及a的长度与a+b长度间的关系.再利用夹角公式求解；三是设出向量a、b后再利用夹角公式求解.
探究结论:方法一：根据向量加法的几何意义作图，如右图所示.
图2-5-11
在平面内任取一点O，作=a，=b，以，为邻边作平行四边形OACB.
由于|a|=|b|=|a-b|，所以OACB为菱形，CO平分∠AOB，且∠AOB=60°.
所以∠AOC=30°，即a与a+b的夹角为30°.
方法二：由|a|=|b|，得|a|2=|b|2，又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2.
所以2a·b=|a|2.
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2，所以|a+b|=|a|.
设a与a+b的夹角为θ，则有，所以θ=30°.
方法三：设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2).
由于|a|=|b|，则有x12+y12=x22+y22.
由|b|=|a-b|,得x1x2+y1y2=(x12+y12).
则|a+b|2=2(x12+y12)+(x12+y12)=3(x12+y12).
设a与a+b的夹角为θ，则有
，所以θ=30°.
