1.1.1 任意角
问题导学
一、角的概念的推广
活动与探究1
下列命题：
①第一象限角是锐角；
②锐角都是第一象限角；
③第一象限角一定不是负角；
④第二象限角大于第一象限角；
⑤第二象限角是钝角；
⑥三角形内角是第一、第二象限的角；
⑦向左转体1周形成的角为360°.
其中是真命题的为__________(把正确命题的序号都写上)．
迁移与应用
下列命题正确的是( )
A．－330°与330°都是第四象限角
B．45°角是按顺时针方向旋转形成的
C．钝角都是第二象限角
D．小于90°的角都是锐角
正确理解正角、负角和零角的概念，由定义可知，关键是看终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动，要正确理解象限角的概念．
二、终边相同的角的问题
活动与探究2
已知角α＝2 012°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.
迁移与应用
写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中适合不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.
在给定范围内确定角的问题，有两种处理思路：一种思路是不解不等式，根据条件k∈Z，采用观察和特殊值检验的方法求出k的值，求解时需注意不要漏解；另一种思路是解不等式，然后再根据k∈Z求出k的值．
三、区间角的表示
活动与探究3
若α是第三象限角，判断2α，和180°－α是第几象限角．
迁移与应用
如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．
1．写区间角的集合时应严格按照写区间角的三个步骤进行，注意集合表述的严谨性，应特别检查所写集合能否包含问题所要表达的全部角．
2．区间角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始、终止边界对应的0°到360°范围内的角α，β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；
(3)再加上起始、终止边界对应角α，β出现的k倍的周期，即得区间角的集合．
当堂检测
1．下列叙述正确的是( )
A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角
D．钝角比第三象限角小
2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )
A．在x轴的非负半轴上
B．在x轴的非正半轴上
C．在y轴的非正半轴上
D．在y轴的非负半轴上
3．与405°角终边相同的角是( )
A．k·360°－45°，k∈Z
B．k·360°±405°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z
D．k·180°＋45°，k∈Z
4．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则M__________N．(填“”或“”)
5．在0°～360°范围内：与－1 000°角终边相同的最小正角是__________，是第__________象限角．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．一条射线 端点 旋转
预习交流1 提示：角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°，它应包括任意大小的正角、负角和零角．
3．第几象限
4．α＋k·360°，k∈Z 整数个周角
预习交流2 提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
5．{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}
{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}
{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}
{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}
6．{x|x＝k·360°，k∈Z} {x|x＝k·360°＋180°，k∈Z} {x|x＝k·180°，k∈Z} {x|x＝k·360°＋90°，k∈Z} {x|x＝k·360°＋270°，k∈Z} {x|x＝k·360°－90°，k∈Z} {x|x＝k·180°＋90°，k∈Z}
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 ②⑦ 解析：①390°是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确；
②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确；
③－330°是第一象限角，但它是负角，所以③不正确；
④120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°＞120°，所以④不正确；
⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确；
⑥90°角可作三角形内角，但它既不是第一象限角，也不是第二象限角，所以⑥不正确；
⑦向左转体为逆时针旋转，所以转体1周形成的角为360°，所以⑦正确．
迁移与应用 C 解析：对于A，－330°是第一象限角，故A排除；
对于B,45°角是正角，按逆时针旋转形成的，故排除B；
对于D，－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，故排除D．
综上，此题应选C．
活动与探究2 思路分析：确定β的值，求出α所在的象限；列出关于k的不等式，求出k的取值，得到角θ的大小．
解：(1)用2 012°除以360°商为5，
余数为212°．∴k＝5．
∴α＝5×360°＋212°(β＝212°)．
∴α为第三象限角．
(2)与2 012°终边相同的角为k·360°＋2 012°(k∈Z)，
令－360°≤k·360°＋2 012°＜720°(k∈Z)，
解得－≤k＜－(k∈Z)，
∴k＝－6，－5，－4．
将k的值代入k·360°＋2 012°中，得角θ的值为－148°，212°，572°．
迁移与应用 解：与15°角终边相同的角的集合为
{β|β＝15°＋k·360°，k∈Z}．
由－1 080°≤15°＋k·360°＜720°，得到－1 095°≤k·360°＜705°．又k∈Z，∴k可取－3，－2，－1,0,1．
相应的β的值分别为－1 065°，－705°，－345°，15°，375°．
∴满足条件的角β的度数有
－1 065°，－705°，－345°，15°，375°．
活动与探究3 思路分析：将第三象限的角α表示为180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，从而可以分别得出2α，和180°－α的角的表示形式，再根据象限角的定义来作出判断．
解：∵α是第三象限角，
∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，
(1)360°＋2k·360°＜2α＜540°＋2k·360°(k∈Z)，即(2k＋1)·360°＜2α＜180°＋(2k＋1)·360°(k∈Z)，
则2α是第一、二象限角，或终边在y轴的非负半轴上的角．
(2)60°＋k·120°＜＜90°＋k·120°(k∈Z)，
当k＝3m(m∈Z)时，为第一象限角；
当k＝3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角；
当k＝3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角．
所以为第一或第三或第四象限角．
(3)－270°＋k·360°＜－α＜－180°＋k·360°(k∈Z)，
则－90°＋k·360°＜180°－α＜k·360°(k∈Z)．
所以180°－α是第四象限角．
迁移与应用 解：在图(1)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角α满足45°≤α≤210°，故满足条件的角的集合为{α|45°＋k·360°≤α≤210°＋k·360°，k∈Z}．
在图(2)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角α满足0°≤α≤45°或315°≤α≤360°，转化为－180°～180°范围内，
终边落在指定区域的角α满足－45°≤α≤45°，
故满足条件的角的集合为{α|－45°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
【当堂检测】
1．B 解析：－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A错；280°角是第四象限角，它是正角，故C错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D错．
2．A 解析：由已知可得α＝β＋k·360°(k∈Z)，
∴α－β＝k·360°(k∈Z)，∴α－β的终边在x轴的非负半轴上．
3．C 解析：∵405°＝360°＋45°，是与45°角终边相同的角，即与405°角终边相同的角是k·360°＋45°，故选C．
4． 解析：M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(2k＋1)，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(k＋2)，k∈Z}，
∵k∈Z，∴k＋2∈Z且2k＋1为奇数，∴MN．
5．80° 一 解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，
∴与－1 000°角终边相同的最小正角是80°，为第一象限角．
1.1.2 弧度制
问题导学
一、弧度制的概念
活动与探究1
下面各命题中，是假命题的为__________．
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；③根据弧度的定义，180°一定等于π弧度；④不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与所在圆的半径长短有关．
迁移与应用
圆弧长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A． B． C． D．2
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．
二、弧度制与角度制的换算
活动与探究2
设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在[－360°，360°)内找出与它们终边相同的所有的角．
迁移与应用
(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β．
1．在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键．由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应熟记．
三、扇形的弧长与面积公式的应用
活动与探究3
若扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求扇形圆心角的弧度数．
迁移与应用
1．在圆心角均为1弧度的若干个圆中，下列结论正确的是( )
A．所对的弧长相等
B．所对的弦长相等
C．所对的弧长等于各自圆的半径
D．所对的弦长等于各自圆的半径
2．如下图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
1．明确弧度制下扇形的面积公式是(其中l是扇形弧长，α是扇形圆心角)．
2．涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
当堂检测
1．若α＝5 rad，则角α的终边所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．终边在y轴的非负半轴上的角的集合是( )
A．{α|α＝kπ，k∈Z}
B．
C．{α|α＝2kπ，k∈Z}
D．
3．圆弧长度等于其圆内接正四边形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A． B．
C． D．2
4．化成角度为__________．
5．在直径为20 cm的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1) (2)半径长 圆心角 弧度制 弧度
(3)正数 负数 0
预习交流1 提示：根据1弧度角的定义，圆周长是2π个半径，所以圆周角是2π弧度，所以1弧度角就是圆周角，与圆的大小即半径无关．
2．2π rad 360° π rad 180° rad °
预习交流2 提示：不正确．在表示角时，角度与弧度不能混合使用．一般情况下，“弧度”二字或“rad”可省略不写．
5．αR l＋2R lR αR2
预习交流3 提示：扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：正确理解“角度”与“弧度”的概念，从而进行正确的判断．
④ 解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与所在圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以④是假命题．
迁移与应用 C 解析：设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，
所以圆心角的弧度数为＝．
活动与探究2 思路分析：首先利用1°＝ rad可将角度化成弧度，利用1 rad＝°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出α1，α2终边所在的象限，与β1，β2终边相同且在[－360°，360°)内的角．
解：(1)∵1°＝ rad，
∴α1＝510°＝510×＝π＝2π＋π；
α2＝－750°＝－750×＝－π＝－3×2π＋π．
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．
(2)β1＝π＝×°＝144°．
设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．
∵－360°≤θ1＜360°，
∴－360°≤k·360°＋144°＜360°．
∴k＝－1或k＝0．
∴在[－360°，360°)内与β1终边相同的角是－216°角．
β2＝－π＝－×°＝－330°．
设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．
∵－360°≤θ2＜360°，
∴－360°≤k·360°－330°＜360°．
∴k＝0或k＝1．
∴在[－360°，360°)内与β2终边相同的角是30°角．
迁移与应用 解：(1)∵－1 480°＝－π＝－8π－π＝－10π＋π，
又∵0≤π＜2π，
故－1 480°＝π－2×5π．
(2)∵β与α终边相同，
∴β＝α＋2kπ＝π＋2kπ，k∈Z．
又∵β∈[－4π，0]，
∴β1＝π－2π＝－，β2＝π－4π＝－π．
活动与探究3 思路分析：确定扇形的条件有两个，最直接的条件是给出扇形的半径、弧长和圆心角中的两个．
解：设扇形的半径为R，弧长为l，由已知得
解得
∴扇形圆心角的弧度数是＝2．
迁移与应用 1．C 解析：∵l＝θR，θ＝1，∴l＝R，故选C．
2．解：S扇形AOB＝×π×62＝12π，
S△AOB＝×62×sin 120°＝9，
∴S弓形ACB＝S扇形AOB－S△AOB＝12π－9．
【当堂检测】
1．D
2．D 解析：A选项表示的角的终边在x轴上；B选项表示的角的终边在y轴上；C选项表示的角的终边在x轴非负半轴上；D选项表示的角的终边在y轴非负半轴上，故选D．
3．C 4.72°
5． cm 解析：150°＝150×＝，
∴l＝×10＝(cm)．
1.2.1 任意角的三角函数
问题导学
一、利用定义求角的三角函数值
活动与探究1
已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为，求cos α和tan α的值．
迁移与应用
已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是( )
A．1或－1 B．或
C．1或 D．－1或
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，点的坐标含有参数时，应分类讨论．
二、三角函数值的符号问题
活动与探究2
判断下列各式的符号：
(1)sin α·tan α，其中α是第四象限角；
(2)sin 3·cos 4·tan.
迁移与应用
若sin α·cos α＜0，则α的终边在( )
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第一或第四象限 D．第二或第四象限
准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．
三、诱导公式一的应用
活动与探究3
求下列各式的值：
(1)sin 1 470°；(2)；(3).
迁移与应用
求下列各式的值：
(1)；
(2)sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°.
利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．
四、三角函数线的简单应用
活动与探究4
求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．
迁移与应用
利用三角函数线比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与.
用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下几点：
(1)熟悉角θ的正弦线、余弦线、正切线；
(2)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；
(3)注意区间是开区间还是闭区间．
当堂检测
1．有下列命题，其中正确的个数是( )
①终边相同的角的同名三角函数值相等；
②同名三角函数值相等的角也相等；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等；
④不相等的角，同名三角函数值也不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知sin α＝，cos α＝，则角α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在[0,2π]上满足sin α≥的α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．＝__________.
5．函数y＝sin x＋tan x的定义域为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)y x (2) sin α＝ R cos α＝ R tan α＝
预习交流1 提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
预习交流2 提示：记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
其含义是：第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负．
3．sin α cos α tan α 终边相同的角的同一三角函数的值相等
预习交流3 提示：不一定．如sin 30°＝sin 150°＝．
4．正弦线 余弦线 正切线
预习交流4 提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，余弦线不变；
当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，正弦线不变．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可先用正弦函数的定义，求出M点的纵坐标，再用点在圆上，求出点的横坐标，得cos α与tan α的值．
解：设点M的坐标为(x1，y1)．
由题意可知，sin α＝－，即y1＝－．
∵点M在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1，即x＋2＝1，
解得x1＝，或x1＝－．
∴cos α＝，tan α＝－1，或cos α＝－，tan α＝1．
迁移与应用 B 解析：r＝＝5|m|，∴sin α＝，
cos α＝，
∴2sin α＋cos α＝＝＝－或，故选B．
活动与探究2 思路分析：先判断角所在的象限，再根据三角函数值的象限符号判断每个式子的符号．
解：(1)∵α是第四象限角，
∴sin α＜0，tan α＜0，
∴sin α·tan α＞0．
(2)∵＜3＜π，π＜4＜，
∴sin 3＞0，cos 4＜0．
∵－＝－6π＋，
∴tan＝tan＞0，
∴sin 3·cos 4·tan＜0．
迁移与应用 D 解析：∵sin α·cos α＜0，
∴sin α与cos α异号，
∴α的终边在第二或第四象限．
活动与探究3 思路分析：利用诱导公式一转化成0～2π(或0°～360°)内的特殊角求解．
解：(1)sin 1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin 30°＝．
(2)cos＝cos＝cos＝．
(3)tan＝tan＝tan＝．
迁移与应用 解：(1)cos＋tan
＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝．
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)
＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0°
＝4．
活动与探究4 思路分析：先列出不等式约束条件，作出单位圆，然后根据各问题的约束条件用三角函数线画出角x满足条件的终边范围．
解：(1)如图．
∵2cos x－1≥0，
∴cos x≥．
∴x∈
(k∈Z)．
(2)如图．
∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜．
∴－＜sin x＜．
∴x∈∪
(k∈Z)，即x∈(k∈Z)．
迁移与应用 解：如图画出角与的正弦线、正切线，由图形观察所得：|M1P1|＞|M2P2|，|AT1|＞|AT2|，结合有向线段的方向，得M1P1＞M2P2，AT1＜AT2．
又∵=M1P1，=M2P2，=AT1，=AT2，
∴(1)＞，(2)＜．
【当堂检测】
1．B 解析：对于①，由诱导公式一可得正确；对于②，由sin 30°＝sin 150°＝，但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin 60°＝sin 120°＝，所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误．
2．B 解析：由sin α＝＞0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－＜0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．
3．B 解析：如图．
∵sin α≥，
∴在[0,2π]上，α的取值范围是．
4． 解析：原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋0＝．
5． 解析：要使函数有意义，必须使sin x与tan x有意义，
∴
∴函数的定义域为．
1.2.2 同角三角函数的基本关系
问题导学
一、利用三角函数基本关系式求值
活动与探究1
已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
迁移与应用
已知cos α＝，α∈(π，2π)，则tan α＝( )
A． B． C． D．
同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求是一解还是两解，同时应体会方程思想的运用．
活动与探究2
已知tan α＝－2，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋cos2α.
迁移与应用
已知α是第三象限角，4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝1，则tan α＝( )
A．－1或2 B． C．1 D．2
方法一利用已知条件将sin α全部化为cos α，从而得到各式的值，可以说是运用了“减少变量”的思想．而方法二是将关于sin α，cos α的齐次式(所谓关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次)分子分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，根据已知条件再解决所求问题就简单得多．同时，要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”“1＝”等．
二、三角函数式的化简
活动与探究3
化简下列各式：
(1)；
(2)sin2αtan α＋2sin αcos α＋.
迁移与应用
已知tan θ＋＝3，求tan2θ＋(sin θ－cos θ)2＋的值．
化简三角函数式常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
三、三角恒等式的证明
活动与探究4
求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
迁移与应用
求证：.
证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左右两边都等于同一个式子；
(3)变更论证．采用左右相减、化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．
当堂检测
1．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( )
A． B． C． D．
2．已知tan α＝，则的值是( )
A． B．3 C．－ D．－3
3．若角α的终边在第二象限，则的值等于( )
A．2 B．－2 C．0 D．－2或2
4．已知α∈，tan α＝2，则cos α＝__________.
5．若sin α＝，则sin4α－cos4α＝__________.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
sin2α＋cos2α＝1 ＝tan α(cos α≠0)
预习交流 提示：除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形式：
sin2α＋cos2α＝1sin2α＝1－cos2α，
cos2α＝1－sin2α；
tan α＝sin α＝tan α·cos α；
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可由商数关系和平方关系，构建sin α，cos α的方程组求解．
解：由tan α＝＝得sin α＝cos α．①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝．
∵α在第三象限，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－．
迁移与应用 1．B 解析：∵cos α＝－＜0，α∈(π，2π)，则α∈，
∴sin α＜0．
又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝1－cos2α＝．
∴sin α＝－．∴tan α＝＝．
活动与探究2 思路分析：解答本题可结合商数关系和平方关系，将正切化为弦函数求解或将弦函数化为正切函数求解．
解：方法一：由tan α＝－2，得sin α＝－2cos α．
(1)＝＝10．
(2)sin2α＋cos2α＝
＝＝．
方法二：∵tan α＝－2，∴cos α≠0．
(1)＝
＝＝10．
(2)sin2α＋cos2α＝
＝＝．
迁移与应用 D 解析：由4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝1
可得＝1．
分子，分母同时除以cos2α，得＝1，解得tan α＝－1或tan α＝2．
又∵α是第三象限角，
∴tan α＞0．∴tan α＝2．
活动与探究3 思路分析：(1)中含有根号，运用弦函数平方关系将被开方式化为平方形式去根号；(2)观察式子中有正切，从而利用切化弦的思路进行变形．
解：(1)原式
＝
＝＝＝1．
(2)原式＝sin2α·＋2sin αcos α＋cos2α·
＝
＝＝．
迁移与应用 解：由已知得＋＝3，
∴＝3．∴sin θcos θ＝．
∴原式＝2－2＋(1－2sin θcos θ)＝32－2＋1－＝．
活动与探究4 思路分析：将右边展开，利用平方关系，提出公因式整理证明．
证明：右边＝[(1－sin α)＋cos α]2
＝(1－sin α)2＋cos2α＋2cos α(1－sin α)
＝1－2sin α＋sin2α＋cos2α＋2cos α(1－sin α)
＝2－2sin α＋2cos α(1－sin α)
＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边，
所以原式成立．
迁移与应用 证明：
左边＝
＝
＝＝＝右边，
所以原式成立．
【当堂检测】
1．B 解析：∵α是第四象限角，
∴sin α＝－＝－＝－．
2．A 解析：原式＝＝＝．
3．C 解析：∵α是第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0．
∴＋＝＋
＝－tan α＋tan α＝0．
4．－ 解析：∵α∈，tan α＝2，
∴cos α＜0，＝2．
又sin2α＋cos2α＝1，
∴5cos2α＝1，
∴cos α＝－．
5．－ 解析：sin4α－cos4α
＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－cos2α
＝sin2α－(1－sin2α)
＝2sin2α－1＝2×2－1
＝－．
1.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式一～四
问题导学
一、利用诱导公式解决给角求值问题
活动与探究1
求下列各三角函数值：
(1)sin(－945°)；(2).
迁移与应用
求值：(1)tan 170°＋tan 190°＋sin 1 866°－sin(－606°)；
(2).
此类问题为给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．要记住一些特殊角的三角函数值．
二、用诱导公式解决给值求值问题
活动与探究2
1．若sin(3π＋θ)＝，求的值．
2．已知，求的值．
迁移与应用
1．已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α＜0，求的值．
2．已知cos(α－75°)＝，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
此类问题是给值求值．解决这类问题的方法是根据所给式和被求式的特点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．
三、利用诱导公式化简三角函数式
活动与探究3
化简：.
迁移与应用
1．化简：.
2．化简：(n∈Z)．
三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．
(2)利用切函数与弦函数之间的转化．
当堂检测
1．cos 300°＝( )
A． B． C． D．
2．设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A． B． C．－1 D．1
3．若cos(－100°)＝a，则tan 80°＝( )
A． B． C． D．
4．已知函数f(x)＝，则下列四个等式中成立的个数是__________．
①f(2π－x)＝f(x)；②f(2π＋x)＝f(x)；③f(－x)＝－f(x)；④f(－x)＝f(x)．
5．化简＝__________.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
一、1．相同 sin α(k∈Z) cos α(k∈Z) tan α(k∈Z)
2．原点 －sin α －cos α tan α
3．x轴 －sin α cos α －tan α
4．y轴 sin α －cos α －tan α
预习交流 提示：不是．α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化为正角的三角函数值；对于大于360°或2π的角再用公式一、二、四转化为锐角的三角函数值．
解：(1)方法一：
sin(－945°)＝－sin 945°＝－sin(225°＋2×360°)
＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)
＝sin 45°＝．
方法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝．
(2)方法一：cos＝cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－．
方法二：cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－．
迁移与应用 解：(1)原式＝tan(180°－10°)＋tan(180°＋10°)＋sin(360°×5＋66°)＋sin(360°＋246°)＝－tan 10°＋tan 10°＋sin 66°＋sin(180°＋66°)＝sin 66°－sin 66°＝0．
(2)原式＝sincostan
＝sincostan
＝sin·costan＝－××1
＝－．
活动与探究2 1．思路分析：利用诱导公式将已知化简，然后代入所求式的化简式中求值．
解：∵sin(3π＋θ)＝，∴sin(π＋θ)＝．
∴sin θ＝－．
－
＝－
＝－＝－
＝－＝－32．
2．思路分析：注意到＋α＝π－，再用π－α的诱导公式化简cos，转化成同角三角函数基本关系问题求解．
解：cos＝cos
＝－cos＝－，
而sin2＝1－cos2＝1－＝，
∴原式＝－＝－．
迁移与应用 1．解：∵sin(α＋π)＝，
∴sin α＝－．
又sin αcos α＜0，
∴cos α＞0，cos α＝＝，
∴tan α＝－．
原式＝
＝＝－．
2．解：∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角．
∴sin(α－75°)＝－
＝－＝－．
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝．
活动与探究3 思路分析：利用诱导公式直接化简即可．
解：原式＝
＝＝
＝－cos θ．
迁移与应用 1．解：原式＝
＝＝＝－cos2α．
2．解：(1)当n为奇数时，
原式＝sinπ·
＝sin·
＝sin·cos＝×＝．
(2)当n为偶数时，
原式＝sinπ·cosπ
＝sin·cos
＝sin·＝×＝－．
【当堂检测】
1．C 2．A 3．A
4．1 解析：f(2π－x)＝cos＝cos＝－cos＝－f(x)，①不成立；
f(2π＋x)＝cos＝cos＝－cos＝－f(x)，②不成立；
f(－x)＝cos＝cos＝f(x)，③不成立；④成立．
5．－1
第2课时 诱导公式五～六
问题导学
一、给值求值问题
活动与探究1
已知，求的值．
迁移与应用
已知，则的值等于( )
A． B． C． D．
利用互余关系是解决这类问题的关键．常见的互余关系有与，与，与等，记住这些结论，有时会给我们带来意想不到的方便．
二、化简求值问题
活动与探究2
化简.
迁移与应用
化简：·sin(180°－α)·cos(360°－α)＝______.
观察题中角的形式选择相应的诱导公式是化简的关键；另外，也可记住：
cos＝－sin α，sin＝－cos α，
cos＝sin α，sin＝－cos α.
三、恒等式的证明问题
活动与探究3
证明＝tan α.
迁移与应用
证明：－＝2sin α.
解决恒等式的证明问题关键是灵活应用诱导公式，将各三角函数值化成同角的三角函数值，从一边向另一边推导，或证明两边都等于同一个式子．
当堂检测
1．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x
C．f＝－cos x D．f(π－x)＝－f(x)
2．若cos＝－，那么sin的值为( )
A．－ B． C．－ D．
3．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝( )
A． B． C．－ D．－
4．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos＝__________.
5．化简sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝__________.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．cos α sin α cos α －sin α
预习交流1 提示：tan＝＝＝；
tan＝＝＝－．
2．余弦(正弦)
预习交流2 提示：诱导公式六的推导过程如下：
∵＋α＝－(－α)，由诱导公式三、五，得
sin＝sin＝cos(－α)＝cos α，
cos＝cos＝sin(－α)＝－sin α．
即sin＝cos α，cos＝－sin α．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：注意到＋＝，利用诱导公式五求解．
解：cos＝cos
＝sin＝．
迁移与应用 D 解析：∵＋α－＝，
∴cos＝cos
＝－sin＝－．故选D．
活动与探究2 思路分析：根据题中出现的角：－α，±α，6π－α，选择相应的诱导公式化简．对于cos可以化为cos然后再化简．
解：原式＝
＝＝－
＝－tan α．
迁移与应用 －sin2α 解析：原式＝·sin α·cos α＝－sin2α．
活动与探究3 思路分析：利用相应诱导公式，化简等式左边，转化成同角三角函数来解决．
证明：左边＝＝＝tan α＝右边．
∴原式成立．
迁移与应用 证明：左边＝－＝sin α－(－sin α)＝2sin α＝右边，
所以原式成立．
【当堂检测】
1．C
2．A 解析：sin＝sin＝cos＝－．
3．D 解析：f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－．
4． 解析：∵α为第四象限角，
∴sin α＝－＝－，
从而cos＝－sin α＝．
5．－1 解析：原式＝－sin α·sin α－cos α·cos α＝－1．
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
问题导学
一、用“五点法”作函数的图象
活动与探究1
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．
迁移与应用
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝cos(0≤x≤2π)；
(2)y＝(0≤x≤2π)．
用“五点法”作图，关键是先确定出在[0,2π]内x＝0，，π，，2π时的五个关键点，再用光滑曲线连接起来．
二、正、余弦函数图象的应用
活动与探究2
求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(－cos x)；(2)y＝.
迁移与应用
求函数y＝＋lg(2sin x－1)的定义域．
(1)用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法：
①作出直线y＝a，作出y＝sin x(或y＝cos x)的图象；
②确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值；
③确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．
(2)用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法：
①找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在位置；
②根据变化趋势，确定不等式的解集．
当堂检测
1．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
2．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．函数y＝的定义域是___________________________________________．
4．cos x＞0在x∈[0,2π]上的解集是____________________________________________．
5．用“五点法”作函数y＝2sin x，x∈[0,2π]的图象时，应取的五个关键点的坐标是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
(0,0) (π，0) (2π，0) (0,1) (π，－1) (2π，1)
预习交流 提示：由sin x＝cos＝cos可知，由y＝cos x的图象向右平移个单位可得y＝sin x的图象并且平移的方法不唯一，如也可向左平移个单位，得到y＝sin x的图象．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：先在[0,2π]上找出五个关键点，再用光滑曲线连接即可．
解：(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
sin x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点连线，如图．
(2)列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图．
迁移与应用 解：(1)y＝cos＝－sin x(0≤x≤2π)
列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－sin x
0
－1
0
1
0
cos
0
－1
0
1
0
描点作图，如图．
(2)y＝＝|cos x|(x∈[0,2π])
列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
|cos x|
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
描点作图，如图．
活动与探究2 思路分析：先写出满足条件的不等式，再结合正、余弦函数的图象，或三角函数线，写出x的范围．
解：(1)为使函数有意义，则需要满足－cos x＞0，即cos x＜0．
由余弦函数图象可知满足条件的x为2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z．
所以原函数定义域为
．
(2)为使函数有意义，则需要满足2sin x－≥0，
∴sin x≥．
由正弦函数图象可知满足条件的x为2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z．
所以原函数定义域为
．
迁移与应用 解：要使函数y＝＋lg(2sin x－1)有意义，只需
即
由函数的图象可知，cos x≤的解集为，sin x＞的解集为＋2kπ＜x＜，
它们的交集为，
这就是函数的定义域．
【当堂检测】
1．D 解析：可以用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A、C；
又x＝－时，y＝－sin＝1，故选D．
2．B
3．
4．
5．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时
一、与三角函数周期有关的问题
活动与探究1
求下列函数的周期：
(1)y＝sin(x∈R)；
(2)y＝|sin x|(x∈R)．
迁移与应用
下列函数中，周期为π的函数为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
三角函数周期的主要求法：
方法一：定义法；
方法二：公式法，对于y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，周期T＝；
方法三：观察法(图象法)．
二、正弦、余弦的奇偶性
活动与探究2
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin xcos x；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋．
迁移与应用
若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A． B． C． D．
判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．
另外，当知道函数奇偶性求参数时，要注意诱导公式五或六的运用．
当堂检测
1．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．非奇非偶函数
3．下列函数中周期为，且为偶函数的是( )
A．y＝sin 4x B．y＝cosx
C．y＝sin D．y＝cos
4．若函数y＝2sin(ω＞0)的周期为4π，则ω＝__________．
5．函数f(x)＝sin x·cos x的奇偶性是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)非零常数T 每一个 f(x＋T)＝f(x) 非零常数T (2)最小的正数
预习交流1 (1)提示：不是．如f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正数．
(2)提示：不唯一．若f(x＋T)＝f(x)，则f(x＋nT)＝f(x)(n∈N)．
2．2kπ(k∈Z) 2π
3．奇 偶
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)利用代换z＝2x＋，将求原来函数的周期转化为求y＝sin z的周期求解，或利用公式求解．
(2)作出函数图象观察求解．
解：(1)方法一：令z＝2x＋，
∵x∈R，∴z∈R，函数y＝sin z的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数y＝sin z(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，∴自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin(x∈R)的周期是π．
方法二：f(x)＝sin中，ω＝2，
∴T＝＝π．
(2)作出y＝|sin x|的图象如图：
由图象易知y＝|sin x|的周期为π．
迁移与应用 C 解析：利用周期公式T＝，可知C中函数周期T＝＝π．故选C．
活动与探究2 思路分析：首先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系．
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)
＝－sin xcos x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin xcos x为奇函数．
(2)函数应满足1－sin x≠0，
∴函数的定义域为，显然定义域不关于原点对称，
∴f(x)＝为非奇非偶函数．
(3)由得cos x＝1，∴函数的定义域为，定义域关于原点对称．
当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
迁移与应用 C 解析：∵f(x)＝sin是偶函数，∴f(0)＝±1．
∴sin＝±1．
∴＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．
又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝．故选C．
【当堂检测】
1．D 解析：易知T＝＝4π，故选D．
2．A 解析：∵f(x)＝sin(－x)＝－sin x，
∴f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
3．C 解析：显然周期为的有A和C，又因为y＝sin＝cos 4x是偶函数，故选C．
4． 解析：由T＝得＝4π，∴ω＝．
5．奇函数 解析：f(－x)＝sin(－x)·cos(－x)＝－sin x·cos x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时
问题导学
一、正弦、余弦函数的单调区间问题
活动与探究1
求函数y＝2sin的单调区间．
迁移与应用
1．已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上递减，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．[0,2]
2．求下列函数的单调递减区间．
(1)y＝2sin；(2)y＝cos．
用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数是负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求单调区间，求单调区间时需将最终结果写成区间的形式．
二、正弦、余弦函数的最值(值域)问题
活动与探究2
1．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值：
(1)y＝3－2sin x；
(2)y＝cos．
2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
迁移与应用
求下列函数的值域：
(1)y＝cos2x＋2sin x－2；
(2)y＝cos2x－sin x，x∈．
1．形如y＝asin x＋b的函数最值或值域问题，一般利用正弦函数的有界性求解．
2．形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值或值域问题，要注意ωx＋φ的范围，结合相应函数的单调性求解．
3．形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C(或可化为此形式)的函数转化为二次函数求解．
三、正弦、余弦函数的对称性
活动与探究3
函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
迁移与应用
函数y＝cos图象的一个对称中心是( )
A． B．
C． D．
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)图象的对称轴满足ωx＋φ＝2kπ±(k∈Z)，对称中心的横坐标满足ωx＋φ＝kπ(k∈Z)；余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)图象的对称轴满足ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，对称中心的横坐标满足ωx＋φ＝2kπ±(k∈Z)．
当堂检测
1．下列区间中是函数y＝sin的单调递增区间的是( )
A． B．
C．[－π，0] D．
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
3．函数y＝2sin 2x，x∈的值域为( )
A．[－2,2] B．[－1,0]
C．[0，] D．[0,1]
4．函数y＝3cos在x＝______时，y取最大值．
5．函数f(x)＝sin的周期为π时，f(x)在y轴右侧的第一条对称轴为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π] ＋2kπ －＋2kπ
2kπ 2kπ＋π (kπ，0)，k∈Z x＝＋kπ，k∈Z ，k∈Z x＝kπ，k∈Z
预习交流 提示：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数．正弦函数在第一象限不是单调增函数．即使终边相同的角，它们也能相差2π的整数倍．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：令z＝2x－，借助y＝2sin z的单调性求解．
解：令z＝2x－，函数y＝2sin z的递增区间是(k∈Z)，
递减区间是(k∈Z)．
∴当原函数递增时，－＋2kπ≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即原函数递增区间为(k∈Z)．
当原函数递减时，＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即原函数递减区间为(k∈Z)．
迁移与应用 1．A 解析：取ω＝2时，f(x)＝sin，可求得f(x)的递减区间是(k∈Z)，显然ω＝2不合题意．取ω＝1时，f(x)＝sin，可求得f(x)的递减区间是(k∈Z)，则ω＝1符合题意，从而排除B、C、D，故选A．
2．解：(1)y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，而函数y＝－2sin z的递减区间是(k∈Z)．
∴原函数递减时，得2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的递减区间是(k∈Z)．
(2)令z＝2x＋，而函数y＝cos z 的递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴原函数递减时，可得2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的递减区间是(k∈Z)．
活动与探究2 1．思路分析：借助正弦、余弦函数的值域及取得最值时相应的x值求解；(2)中令z＝，用换元法求解．
解：(1)∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最大值5，相应x的集合为．
当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最小值1，相应x的集合为．
(2)令z＝，∵－1≤cos z≤1，∴y＝cos的最大值为1，最小值为－1．
易知y＝cos z取得最大值时的z的集合为{z|z＝2kπ，k∈Z}，由＝2kπ，得x＝6kπ，∴使函数y＝cos取得最大值的x的集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．
同理可得使函数y＝cos取得最小值的x的集合为{x|x＝(6k＋3)π，k∈Z}．
2．思路分析：可利用0≤x≤9，求出－的范围，利用正弦函数的单调性求出最值．
A 解析：由0≤x≤9可得，－≤x－≤，
所以－≤2sin≤2，所以最大值为2，最小值为－，最大值与最小值之差为2－．
迁移与应用 解：(1)y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1
＝－(sin x－1)2．
∵－1≤sin x≤1，
∴函数y＝cos2x＋2sin x－2的值域为y∈[－4,0]．
(2)y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x
＝－2＋．
∵－≤x≤，
∴当x＝－，即sin x＝－时，ymax＝；
当x＝，即sin x＝时，ymin＝－．
故函数y＝cos2x－sin x，x∈的值域为y∈．
活动与探究3 思路分析：根据正弦(余弦)函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点与x轴垂直的直线均是对称轴．
C 解析：函数f(x)＝sin的图象的对称轴是x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z．
当k＝－1时x＝－π＋＝－．故选C．
迁移与应用 B 解析：∵y＝cos x的对称中心是(k∈Z)，令2x＋＝kx＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．
∴函数y＝cos的对称中心是
(k∈Z)．故B正确．
【当堂检测】
1．B 解析：∵函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
令k＝0，得－≤x≤，
∴只有，故选B．
2．C 解析：cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin 12°．
sin 80°＞sin 12°＞sin 11°，
即cos 10°＞sin 168°＞sin 11°．
3．C 解析：∵0≤x≤，∴0≤2x≤，
∴0≤sin 2x≤，∴y∈[0，]．
4．4kπ＋(k∈Z) 解析：当函数取最大值时x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．
5．x＝ 解析：由已知＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)．
令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得x＝＋(k∈Z)．
∴f(x)在y轴右侧的第一条对称轴为x＝．
1.4.3 正切函数的性质与图象
问题导学
一、与正切函数有关的定义域问题
活动与探究1
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan x)．
迁移与应用
求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
二、正切函数的单调性及其运用
活动与探究2
(1)函数y＝sin x＋tan x，x∈的值域是__________．
(2)比较大小：tan__________tan．
迁移与应用
求函数y＝tan的单调递减区间．
求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．
三、正切函数的图象及应用
活动与探究3
画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
迁移与应用
设函数f(x)＝tan，
(1)求函数f(x)的周期，对称中心．
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
(1)作函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
当堂检测
1．函数f(x)＝tan的最小正周期为2π，则f＝( )
A． B．1 C． D．0
2．函数y＝tan的定义域为( )
A．
B．
C．
D．
3．函数f(x)＝tan的单调区间为( )
A．，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
4．比较大小：tan 1__________tan 4．
5．已知函数f(x)＝tan x＋，若f(a)＝5，则f(－a)＝__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
R π 奇函数 (k∈Z)
预习交流 提示：y＝tan x在每个开区间，k∈Z内都是增函数，但在整个定义域上不具有单调性．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：写出使得函数有意义时所满足的条件，结合三角函数的定义域求若干三角不等式的交集即可．
解：(1)要使函数y＝有意义，必须且只需
所以函数的定义域为
．
(2)因为－tan x＞0，所以tan x＜．
又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，所以函数的定义域是
．
迁移与应用 解：由题意得即－1≤tan x＜1．
在内，满足上述不等式的x的取值范围是，又y＝tan x的周期为π，
所以函数的定义域是(k∈Z)．
活动与探究2 思路分析：(1)判断函数的单调性，再求值域．
(2)将角化成在同一单调区间内，利用单调性比较．
(1) (2)＞ 解析：(1)函数y＝sin x，y＝tan x在x∈内均是单调递增函数，∴y＝sin x＋tan x在上是单调递增函数，∴函数y＝sin x＋tan x的值域为．
(2)∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan，
又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，∴tan ＜tan ，
∴tan ＞tan ．
迁移与应用 解：y＝tan＝－tan．
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
∵y＝tan在(k∈Z)内递增，
∴y＝－tan在(k∈Z)内递减，此即为原函数的单调递减区间．
活动与探究3 思路分析：画出y＝tan x的图象，再画出y＝|tan x|的图象，利用图象研究函数的性质．
解：由y＝|tan x|得，
y＝
其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π．
迁移与应用 解：(1)∵ω＝，
∴周期T＝＝＝2π．
令－＝(k∈Z)得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝．
令－＝，则x＝．
令－＝－，则x＝－．
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
【当堂检测】
1．B 解析：由已知＝2π，∴ω＝，∴f(x)＝tan，
∴f＝tan＝tan＝1．
2．D 解析：由tan＝－tan，
∴x－≠kπ＋，k∈Z，
从而x≠kπ＋，x∈R，k∈Z．
3．C 解析：由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z．故选C．
4．＞ 解析：由正切函数的图象易知tan 1＞0，
tan 4＝tan(4－π)，而0＜4－π＜1＜，
函数y＝tan x在上为增函数，
∴tan 1＞tan(4－π)＝tan 4．
5．－5 解析：f(x)的定义域为∪(k∈Z)．可知f(x)的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝tan(－x)＋
＝－＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．∴f(－a)＝－f(a)＝－5．
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
一、作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
活动与探究1
把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
迁移与应用
1．给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍；③图象向右平移个单位长度；④图象向左平移个单位长度；⑤图象向右平移个单位长度；⑥图象向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin的图象，那么这两种变换正确的标号是__________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．
2．用“五点法”作函数y＝2sin在一个周期上的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相．
1．用“五点法”作图时，利用五个关键点，令ωx＋φ分别等于0，，π，，2π，求出x及相应的y值，作出图象即可．
2．图象变化中，当|ω|≠1时，应将ωx＋φ化为ω．
二、求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
活动与探究2
若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)在其一个周期内的图象上有一个最高点和一个最低点，求这个函数的解析式．
迁移与应用
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是__________．
对于这类给定一些条件求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的题目，有一定的解题规律可寻：一般是先确定振幅A，周期T，解得ω，这些都是比较容易的，最难的是求φ的值，它一般是用点来代入求得，如果代入的是最高点或最低点，其φ值很容易确定；否则，则还要结合函数的单调性来确定．
三、函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
活动与探究3
函数f(x)＝Asin＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
迁移与应用
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解决该类题目的关键是由y＝Asin(ωx＋φ)确定出函数的相应性质，如单调性、奇偶性、对称性、最值等，充分利用函数性质求解．
当堂检测
1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
2．函数y＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
3．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
4．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是__________．
5．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R的最小正周期为π，且f(0)＝，则ω＝__________，φ＝________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)0 π 2π (2)y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ) y＝sin(ωx) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)
预习交流1 提示：不是．∵y＝sin＝sin 2，∴向左平移个单位．此种情况需将x的系数化为“1”．
2．A ＝ ωx＋φ x＝0时的相位φ
预习交流2 提示：(1)定义域：R；
(2)值域：[－A，A]；
(3)最小正周期：T＝；
(4)对称性：对称中心是(k∈Z)，对称轴是x＝＋(k∈Z)．对称中心为图象与x轴的交点；对称轴为过图象最高点或最低点与x轴垂直的直线．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：先根据平移或伸缩变换写出所得到的函数解析式，再结合y＝cos x图象的“五点”进行变化得到图象．
A 解析：y＝cos 2x＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1＝cos x＋1，再向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)，故相应图象为A．
迁移与应用 1．④②或②⑥ 解析：y＝sin xy＝siny＝sin或y＝sin xy＝sin ⑥,y＝sin．
2．解：(1)列出五个关键点如下：
2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
(2)描点画图：
周期T＝π，频率f＝＝，相位为2x＋，初相为．
活动与探究2 思路分析：利用图象性质，结合“五点法”作图，分别求出A，B，ω，φ的值即可．
解：由已知，ymax＝3，ymin＝－5，则
①A＝＝＝4；
②B＝＝＝－1；
③由＝－＝，∴T＝π，得ω＝＝＝2；
④函数的解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B＝4sin(2x＋φ)－1．
将点代入，得4sin－1＝3，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，这里对φ没有限制，应该说φ＝2kπ＋，k∈Z的任意一个解都满足题意，一般取|φ|＜，故所求的函数解析式为y＝4sin－1．
迁移与应用 解析：由图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，又函数图象经过点，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为f(x)＝sin，所以f(0)＝sin＝．
活动与探究3 思路分析：(1)根据最大值求A，根据对称轴的条件，得函数周期，从而求ω；
(2)利用α范围，求出整体－的范围，结合图象利用特殊角的三角函数求值．
解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2．
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π．
∴ω＝2．
故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1．
(2)∵f＝2sin＋1＝2，
即sin＝，
∵0＜α＜，∴－＜α－＜．
∴α－＝．故α＝．
迁移与应用 解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)当x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1．依题设0≤φ≤π，解得φ＝．由f(x)的图象关于点M对称，可知sin＝0，解得ω＝－，k∈Z．又f(x)在上是单调函数，∴T≥π，即≥π，∴ω≤2．
又ω＞0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2．∴φ＝，ω＝2或．
【当堂检测】
1．C 解析：∵y＝cos(2x＋1)＝cos，
∴只须将y＝cos 2x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos(2x＋1)的图象．
2．C 解析：由x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－．
3．D 解析：“五点法”对应解方程．设y＝Asin(ωx＋φ)，显然A＝1，又图象过点，，
所以解得ω＝2，φ＝．所以函数解析式为y＝sin＝cos．故选D．
4．y＝sin 解析：
y＝sin x＝sin．
5．2 解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω＞0)．又由f(0)＝且|φ|＜得到φ＝．
1.6 三角函数模型的简单应用
问题导学
一、与函数图象有关的问题
活动与探究1
已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
迁移与应用
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
正确运用三角函数的图象与性质以及数形结合的数学思想，还要综合应用相关学科的知识来帮助理解具体问题．
二、函数解析式的应用
活动与探究2
一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的定点，点P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h(米)，设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是( )
A．A＝8 B．ω＝
C．φ＝ D．B＝10
迁移与应用
设y＝f(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(x)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据的对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sint，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sint，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
解决该类题目的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用．解决这类题目的通法如下：
当堂检测
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流I为( )
A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A
2．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时振动速度为零
3．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为__________．
4．振动量y＝sin(ωx＋φ)(φ＞0)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)根据图中提供的数据求T，进而得出ω，根据图象过得出φ，从而得出函数解析式．
(2)由题意得出周期T不超过是关键．
解：(1)由图知A＝300，设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝．
∴ω＝＝150π．
又当t＝时，I＝0，即sin＝0．
而|φ|＜，∴φ＝．
故所求的解析式为I＝300sin．
(2)依题意，周期T≤，即≤(ω＞0)，
∴ω≥300π＞942．
又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943．
迁移与应用 解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝－＝2π．
由T＝得ω＝1．
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|＜，解得φ＝－．
∴f(x)＝2sin＋1．
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的周期为，又k＞0，∴k＝3．
令t＝3x－，∵x∈，∴t∈．
如图，sin t＝s在上有两个不同的解的条件是s∈，∴方程f(kx)＝m在x∈时恰好有两个不同的解的条件是m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．
活动与探究2 思路分析：将题目中出现的量与三角函数解析式中A，ω，φ，B相联系，从而解决问题．
C 解析：由摩天轮最低点距地面2米，最高点距地面18米，得
解得因此A，D都正确；又由摩天轮每12分钟旋转一周，得T＝12，而T＝，所以ω＝，则B正确；又由P是摩天轮轮周上的定点，从P在摩天轮最低点开始计时，得8sin＋10＝2，所以sin φ＝－1，而φ∈[0,2π)，所以φ＝，所以C错误．
迁移与应用 A 解析：∵y＝f(x)的图象可以近似地看成y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象，∴y＝f(x)具有周期性．当t＝3,15时，y取得最大值，∴T＝15－3＝12，
则ω＝＝＝，∴排除C、D．
下面将点(3,15.1)的坐标分别代入A、B验证．
将t＝3代入A，得y＝12＋3sin＝15；代入B，得y＝12＋3sin＝9，与15.1相差太多．
∴应选A．
【当堂检测】
1．B 解析：将t＝代入I＝5sin得I＝2.5 A．
2．B 解析：由图知该质点振动的周期要大于0.7 s，振幅为5 cm，在0.1和0.5时振动速度为0，在0.3 s和0.7 s时振动速度为最大．故选B．
3．1 s 解析：由题易知，单摆来回摆动一次所需的时间恰好为一个周期，即T＝＝1 s．
4．3πx－π 解析：由题知φ＝－π，f＝＝＝，
∴ω＝3π．∴y＝sin(3πx－π)．相位是3πx－π．
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
问题导学
一、给角求值问题
活动与探究1
(1)＝( )
A．－ B．－ C． D．
(2)－sin 167°sin 223°＋sin 257°sin 313°＝________．
迁移与应用
求值：．
解决给角求值的问题有两种思路：一种是非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，一种是利用诱导公式把角化整化小，然后观察角的关系及式子特点，选择公式求值．在这两种思路中，公式的正用逆用都要熟练．
二、给值求值问题
活动与探究2
已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos(α＋β)，tan(α＋β)的值．
迁移与应用
1．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝( )
A． B．－ C． D．－
2．已知α，β是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求sin β的值．
1．在给值求值问题中，已知α，β的某一种弦的函数值，求α＋β，α－β的余弦值，其基本思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用同角三角函数的基本关系式求出，但在求未知量的过程中，要注意根据角所在的象限确定符号．
2．解决给值求值问题的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，角的变换是其中较为常见的．如α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝＋，β＝－，2α＝(α＋β)＋(α－β),2β＝(α＋β)－(α－β)，＋＝＋(α＋β)，＋＝＋(α－β)等．
三、给值求角问题
活动与探究3
已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
迁移与应用
已知tan α＝2，tan β＝3，且α，β都是锐角，求α＋β的值．
解答这类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的某一三角函数值时，应先缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内，进而选取三角函数求解．
四、三角函数式的化简与证明
活动与探究4
化简下列各式：
(1)sin x－cos x；
(2)sin＋2sin－cos；
(3)－2cos(α＋β)；
(4)(tan 10°－)·．
迁移与应用
1．化简下列各式：
(1)sin 70°sin 65°－sin 20°sin 25°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；
(3)；
(4)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°．
2．已知sin(2α＋β)＝5sin β，求证：2tan(α＋β)＝3tan α．
1．三角函数式的化简或证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数的特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．
2．同时，注意公式的变形应用：cos(α＋β)＋sin αsin β＝cos αcos β，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan αtan β＝1－等．
当堂检测
1．sin 59°cos 89°－cos 59°sin 89°的值为( )
A．－ B． C．－ D．－
2．设α∈，若sin α＝，则cos＝( )
A． B． C．－ D．－
3．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝( )
A．－ B． C．－ D．
4．已知tan α＝，tan(β－α)＝－2，且＜β＜π，则β＝________．
5．若α是锐角，且sin＝，则cos α的值是________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
预习交流1 提示：正弦、余弦的公式中，角是任意的；而在T(α±β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，同时1＋tan αtan β，或1－tan αtan β≠0．
预习交流2 提示：例如：α＋2β＝(α＋β)＋β；类似地，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)观察题目中出现的角的关系，把47°写成17°＋30°，然后运用公式求值．
(2)题目中给出的角各不相同，可充分利用诱导公式进行转化，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式进行求值．
(1)C (2) 解析：(1)原式＝
＝
＝sin 30°＝．
(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－13°)sin(270°＋43°)
＝sin 13°sin 43°＋(－cos 13°)·(－cos 43°)＝cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°＝cos(43°－13°)＝cos 30°＝．
迁移与应用 解：原式＝
＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝2－．
活动与探究2 思路分析：利用弦函数的平方关系，由sin α，cos β的值求出cos α，sin β的值，再利用两角和与差的公式展开代入求解．
解：由sin α＝，α∈得
cos α＝－＝－＝－．
又由cos β＝－，β为第三象限角得
sin β＝－＝－＝－，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝，
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝，
∴tan(α＋β)＝＝．
也可由cos α＝－，sin α＝，
得tan α＝－．
由sin β＝－，
cos β＝－，得tan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝．
迁移与应用 1．C 解析：∵cos＝，0＜α＜，∴sin＝，又∵cos＝，－＜β＜0，∴sin＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，故选C．
2．解：∵α是锐角，且sin α＝，
∴cos α＝＝＝．
又cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，
∴sin(α＋β)＝＝，
∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝．
活动与探究3 思路分析：已知角α－β，α＋β的余弦值，求角β需求β的余弦值，2β＝(α＋β)－(α－β)．
解答本题可由已知条件求α－β，α＋β的正弦值，从而求出cos 2β的值，得到2β的值，最后求出β．
解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝．由α＋β∈，
且cos(α＋β)＝，得sin(α＋β)＝－．
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－1．
又α＋β∈，α－β∈，
∴2β∈．∴2β＝π，∴β＝．
迁移与应用 解：tan(α＋β)＝＝＝－1．
又α，β均为锐角，∴0°＜α＋β＜180°，
∴α＋β＝135°．
活动与探究4 思路分析：(1)提出2后逆用两角和与差的正弦或余弦公式；(2)各因式中角的形式无法统一，且没有明显的凑角关系，所以只能利用和(差)角公式展开后寻求解决办法；(3)观察角的关系，知2α＋β＝α＋(α＋β)，再利用公式求值；可先把代换＝tan 60°，再切化弦，通分逆用公式化简．
解：(1)sin x－cos x＝2＝2＝2sin；
(2)原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x
＝sin x＋cos x
＝0．
(3)原式＝
＝
＝
＝．
(4)原式＝(tan 10°－tan 60°)·
＝·
＝·
＝－·
＝－＝－2．
迁移与应用 1．解：(1)原式＝sin 70°cos 25°－cos 70°sin 25°
＝sin(70°－25°)＝sin 45°＝．
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]
＝sin 90°＝1．
(3)原式＝＝tan 75°＝2＋．
(4)原式＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝．
2．证明：sin(2α＋β)＝5sin β
sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]
sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α
2sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α
2tan(α＋β)＝3tan α．
【当堂检测】
1．A 解析：sin 59°cos 89°－cos 59°sin 89°
＝sin(59°－89°)＝sin(－30°)＝－．
2．B 解析：cos α＝＝，原式＝cos α－sin α＝－＝．
3．D 解析：sin B＝，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝．
4． 解析：tan β＝tan[α＋(β－α)]＝＝＝－1．
又∵＜β＜π，∴β＝．
5． 解析：∵α是锐角，∴0＜α＜，－＜α－＜，
所以cos＝＝，
cos α＝cos＝coscos－sinsin
＝×－×＝．
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
问题导学
一、给角求值
活动与探究1
求下列各式的值：
(1)2cos2－1；(2)；
(3)－；(4)cos 20°cos 40°cos 80°．
迁移与应用
1．求下列各式的值：
(1)cos215°－sin215°；
(2)coscosπ．
2．求＋的值．
解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱导公式是常用方法．
二、给值化简求值问题
活动与探究2
已知sin＝，0＜x＜，求的值．
迁移与应用
(1)已知cos＝，则sin 2x＝( )
A． B． C．－ D．－
(2)已知tan α＝－，则＝________．
(1)从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)另外，注意几种诱导公式的应用，如：
①sin 2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos；
③cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos．
三、关于三角函数式的证明问题
活动与探究3
求证：＝sin 2α．
迁移与应用
求证：＝tan4A．
当堂检测
1．sin 15°cos 15°的值等于( )
A． B． C． D．
2．若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( )
A． B． C． D．
3．的值为( )
A．－ B．－ C． D．
4．已知α∈，sin α＝，则tan 2α＝________．
5．化简1＋cos 2α＋2sin2α＝__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α
预习交流1 提示：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α即可得到．常用的变形有：cos2α＝，sin2α＝等．
预习交流2 提示：公式S2α，C2α中，角α可以为任意角；但公式T2α只有当α≠＋kπ且α≠＋(k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝＋kπ，k∈Z时，tan α的值不存在；当α＝＋，k∈Z时，tan 2α的值不存在)．当α＝＋kπ，k∈Z时，虽然tan α的值不存在，但tan 2α的值是存在的，这时求tan 2α的值可利用诱导公式，即tan 2α＝tan 2＝tan(π＋2kπ)＝tan π＝0．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：可以利用二倍角公式及其相关变形求解．
解：(1)原式＝cos＝cos＝cos＝．
(2)原式＝＝2×
＝2×＝2．
(3)原式＝
＝
＝
＝＝4．
(4)原式＝
＝
＝＝＝．
迁移与应用 1．解：(1)原式＝cos(2×15°)＝cos 30°＝．
(2)原式＝cossin＝sin＝．
2．解：原式＝
＝
＝＝＝4．
活动与探究2 思路分析：解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联系，灵活求解．
解法一：∵x∈，∴－x∈．
∵sin＝，∴cos＝．
又cos 2x＝sin
＝2sincos
＝2××＝，
cos＝sin
＝sin＝，
∴原式＝＝．
解法二：原式＝
＝＝2sin．
∵sin＝cos＝，且0＜x＜，
∴＋x∈，
∴sin＝＝，
∴原式＝2×＝．
迁移与应用 (1)C 解析：法一：∵cos＝，∴(cos x＋sin x)＝，∴(1＋2sin xcos x)＝，∴sin 2x＝－．
法二：sin 2x＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－．
(2)－ 解析：＝＝＝tan α－＝－．
活动与探究3 思路分析：可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边．
证明：方法一：左边＝＝＝＝＝sincoscos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．
∴原式成立．
方法二：左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．
∴原式成立．
迁移与应用 证明：∵左边＝
＝2＝2＝(tan2A)2
＝tan4A＝右边，
∴＝tan4A．
【当堂检测】
1．B 解析：sin 15°cos 15°＝×2sin 15°cos 15°
＝×sin 30°＝．
2．D 解析：∵tan θ＋＝4，
∴＋＝4．
∴＝4，即＝4．
∴sin 2θ＝．
3．D 解析：原式＝cos2－sin2＝cos＝．
4．－ 解析：由已知可得cos α＝－，
∴tan α＝－，
∴tan 2α＝＝－．
5．2 解析：原式＝2cos2α＋2sin2α＝2(sin2α＋cos2α)＝2．
3.2 简单的三角恒等变换
问题导学
一、求值问题
活动与探究1
已知sin α＝－且π＜α＜π，求sin，cos，tan的值．
迁移与应用
若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A． B． C． D．
1．解给值求值问题，其关键是找岀已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式或变换所求式．
2．给值求值的重要思想是建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．
二、三角函数式的化简
活动与探究2
已知π＜α＜，化简：
＋．
迁移与应用
化简得( )
A．sin 2α B．cos 2α C．sin α D．cos α
(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求岀值的应求岀值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(2)化简的方法：
①弦切互化，异名化同名，异角化同角；
②降幂或升幂．
三、三角恒等变换的综合应用
活动与探究3
已知函数f(x)＝cos2－sincos－．
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
迁移与应用
已知函数f(x)＝4cos xsin－1．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解决关于三角函数的综合应用题，首先运用三角恒等变换将函数化成一个角的三角函数式，而后结合三角函数的图象与性质进一步求周期、最值、单调性、奇偶性、对称性或图象的平移、伸缩变换等．解决此类问题的关键在于灵活地选取公式进行三角变换，化成一个角的三角函数．
当堂检测
1．已知cos θ＝－，＜θ＜3π，那么sin ＝( )
A． B．－ C． D．－
2．设f(tan x)＝tan 2x，则f(2)＝( )
A． B．－ C．－ D．4
3．已知α∈，且cos α＝－，则tan等于( )
A．2 B．－2 C． D．－
4．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A等于________．
5．化简：sin22x＋2cos2xcos 2x＝________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1． ± ± ±
预习交流1 提示：符号由所在象限决定．
2． sin(α＋φ)
预习交流2 提示：可以由sin φ和cos φ的符号来确定φ所在象限，由sin φ或cos φ的值确定角φ的大小．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：已知条件中的角α与所求结论中的角成二倍关系，解答本题可根据半角公式求值．
解：∵sin α＝－，π＜α＜π，∴cos α＝－．
又＜＜π，
∴sin＝＝＝，
cos＝－＝－＝－，
tan＝＝－4．
迁移与应用 D 解析：由θ∈，得2θ∈，cos 2θ＝－＝－，∴sin θ＝＝．
活动与探究2 思路分析：先用二倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化简．
解：原式＝＋，
∵π＜α＜，∴＜＜，
∴cos＜0，sin＞0．
∴原式＝＋
＝－＋
＝－cos．
迁移与应用 A 解析：4sin2tan
＝4cos2tan
＝4cossin
＝2sin＝2cos 2α，
原式＝＝＝＝sin 2α．
活动与探究3 思路分析：(1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．再求解．
(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．
解：(1)由已知f(x)＝cos2－sincos－
＝(1＋cos x)－sin x－＝cos．
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为．
(2)由(1)知，f(x)＝cos＝，
∴cos＝．
∴cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝．
∴sin 2α＝．
迁移与应用 解：(1)因为f(x)＝4cos xsin－1
＝4cos x－1
＝sin 2x＋2cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为π．
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤．
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1．
【当堂检测】
1．D 解析：∵＜θ＜3π，∴＜＜．
∴sin ＜0．
由cos θ＝1－2sin2，得
sin ＝－
＝－＝－．
2．B 解析：由f(tan x)＝tan 2x＝，知f(x)＝，
∴f(2)＝＝－．
3．A 解析：∵α∈，∴∈，
∴sin＝＝，
cos＝＝．
∴tan＝＝2．
4．－ 解析：在△ABC中，＝－，sin2＋cos 2A＝sin2＋cos 2A＝cos2＋cos 2A＝＋2cos2A－1＝－．
5．2cos2x 解析：原式＝4sin2xcos2x＋2cos2xcos 2x＝2cos2x(2sin2x＋cos 2x)＝2cos2x(2sin2x＋1－2sin2x)＝2cos2x．
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
问题导学
一、向量的有关概念
活动与探究1
给出下列结论：
(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(2)向量的模一定是正数；
(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(4)向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确结论的序号是__________．
迁移与应用
1．下列说法中正确的是( )
A．所有单位向量相等
B．零向量是没有方向的向量
C．若a与b是平行向量，则a与b的方向相同或相反
D．向量与向量的大小相等
2．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
(3)数轴是向量；
(4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任一向量平行；
(5)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b．
对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．
(1)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的．因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中要注意．
(2)注意0与0的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量．
(3)平行向量不一定方向相同或相反，因为0与任一向量平行，0的方向是任意的．
二、向量的表示
活动与探究2
对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？
(1)把所有单位向量的起点平移到同一点P；
(2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的点P；
(3)把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P．
迁移与应用
某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围．
(1)作出向量，，；
(2)求||．
(1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
(2)要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验．
三、相等向量与向量共线
活动与探究3
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c．
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．
迁移与应用
给出下列命题：
①若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等；
②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
③若a∥b，b∥c，则a∥c；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤相等向量一定是平行向量．
其中不正确命题的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线不一定平行，也可能重合．若直线m，n，l满足m∥n，n∥l，则m∥l；若向量a，b，c满足a∥b，b∥c，而a，c不一定平行．
当堂检测
1．下列各量中，是向量的是( )
A．功 B．温度
C．距离 D．重力
2．如图，在O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
3．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
4．设O是正方形ABCD的中心，则，，，中，模相等的向量是__________．
5．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量为________；
(2)若||＝3，则向量的模等于__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)大小 方向 (2)大小 方向
2．(1)有向线段 起点 方向 长度 (2)有向线段 长度 || (3)0 0 1个单位 (4)相同或相反 a∥b
预习交流1 (1)提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．
(2)提示：不对．零向量的方向是任意的．
3．(1)长度相等 方向相同 (2)平行 共线向量
预习交流2 (1)提示：不一定，也可以平行，或在一条直线上．
(2)提示：相等的向量一定共线，而共线的向量不一定相等．
(3)提示：规定零向量与任一向量是共线向量．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．
(3) 解析：(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
(2)错误．0的模|0|＝0．
(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．
迁移与应用 1．D 解析：在D中向量与向量是相反向量，故||＝||，故D正确．
2．解：(1)不正确．两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量必相等，反之，两个向量相等，却不一定有相同的起止点．
(2)不正确．两向量虽然有公共终点，但方向不一定相同或相反，故不一定是共线向量．
(3)不正确．数轴是一条具有方向的直线，而没有大小．
(4)不正确．规定零向量与任一向量平行．
(5)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故(5)不正确．
活动与探究2 思路分析：本题可借助于图形帮助解决问题．
解：(1)是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆．
(2)是直线l上与点P的距离为1个单位长的两个点．
(3)是直线l．
迁移与应用 解：(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，
故与共线．
又||＝||，∴在四边形ABCD中，ABCD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴＝，||＝||＝200 km．
活动与探究3 思路分析：抓住向量的两个要素：长度和方向，对图中向量进行一一判断．
解：(1)与a的模相等的向量有23个．
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，，，．
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，．
(4)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，．
迁移与应用 B 解析：①若两个单位向量平行但方向不一定相同，故①不正确；②中A、B、C、D可能落在同一条直线上，故②不正确；③当b＝0时，a与c的方向不确定，故③不正确；④⑤显然正确，故选B．
【当堂检测】
1．D 解析：由向量的定义知，重力既有大小又有方向是向量，其他均为数量．
2．C 解析：由题知，，对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．
3．C 解析：向量不能比较大小，
所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a，b同向与|a|＝|b|，所以B不正确，C正确；a与b是共线向量只需方向相同或相反，所以D不正确．
4．与，与 解析：∵四边形ABCD为正方形，O为正方形的中心，
∴OA＝BO，即||＝||，||＝||．
5．(1)、 (2)6 解析：(1)在平行四边形ABCD和ABDE中，
∵＝，＝，
∴＝．
(2)由(1)知＝，∴E、D、C三点共线，||＝||＋||＝2||＝6．
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
问题导学
一、向量加法运算
活动与探究1
(1)化简：①＋；
②＋＋；
③＋＋＋＋．
(2)已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①＋；
②＋；
③＋．
迁移与应用
化简：
(1)＋＋；
(2)四边形ABCD是边长为1的正方形，＝a，＝b，＝c，求作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|．
解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．
二、利用向量知识证明几何问题
活动与探究2
用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
迁移与应用
在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BE=DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．
1．用向量法证明几何问题的一般步骤：
(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量．
(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．
(3)还原成几何问题．
2．注意以下两个问题：
(1)法则的灵活应用．
(2)要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且线段的长度相等．
三、向量加法的实际应用
活动与探究3
在四川汶川“5·12”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
迁移与应用
在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．
向量应用题要首先画出图形．解决的步骤是：(1)将应用问题中的量抽象成向量；(2)化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向量问题还原为实际问题．
当堂检测
1．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．ABCD一定是矩形
B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形
D．ABCD一定是平行四边形
2．＋＋＋＋＋＝( )
A．0 B．0
C．2 D．－2
3．下列等式不成立的是( )
A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a
C．＋＝2 D．＋＝
4．化简(＋)＋(＋)＋＝__________．
5．若a＝“向北走8 km”，b＝“向东走8 km”，则|a＋b|＝__________；a＋b的方向是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．两个向量和
2．和 a＋b a＋b 三角形法则
3．平行四边形法则
4．b＋a (a＋b)＋c a＋(b＋c)
预习交流1 提示：a＋0＝a．
预习交流2 提示：不一定，当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．
解：(1)①＋＝＋＝；
②＋＋＝＋＋＝＋＝0；
③＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋
＝＋＝0．
(2)①由题图知，OAFE为平行四边形，
∴＋＝；
②由题图知，OABC为平行四边形，∴＋＝；
③由题图知，AEDB为平行四边形，
∴＋＝．
迁移与应用 解：(1)＋＋＝(＋)＋
＝＋＝．
(2)如下图，延长AC到E，使AC=CE，则=，
∴a+b+c=++=，
即为所求作的向量．
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴||=，∴||=2||=．
故|a+b+c|=．
活动与探究2 思路分析：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等．根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可．此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述．
证明：根据向量加法的三角形法则有=+，=+．
又=，=，
∴+=+．∴=．
∴AB∥DC且AB=DC，
即AB与DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
迁移与应用 证明：=+，=+，
又=，=，
∴=，即AE，FC平行且相等．
故四边形AECF是平行四边形．
活动与探究3 思路分析：利用向量加法的三角形法则，知＝＋，||是线段AC的长度．
解：如图所示，设，分别是直升飞机的两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋．
在Rt△ABD中，
||＝20 km，||＝20 km．
在Rt△ACD中，||＝＝40 km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km处．
迁移与应用 解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2．
依题意作出平行四边形，如图．
在Rt△ABC中，||＝|v1|＝2，
||＝|v2|＝2，
∴||＝|v|＝
＝＝4，
tan θ＝＝＝．
∴θ＝60°．
∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60°．
【当堂检测】
1．D 解析：由＝＋知由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．
2．B 解析：由向量加法的运算法则可知＋＋＋＋＋＝0．
3．C 解析：对于C，∵与是相反向量，∴＋＝0．
4． 解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝．
5．8 km 东北方向 解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a＋b|＝8，方向为东北方向．
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
问题导学
一、向量的加减法运算
活动与探究1
化简：(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－；
(3)(－)－(－)．
迁移与应用
化简：(1)－＋；
(2)(＋)＋(＋)－(－)．
满足下列两种形式时可以化简：
(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式．同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用．
二、向量减法的几何作图
活动与探究2
如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b=，c－d=，并画出b－c和a＋d．
迁移与应用
如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：
a＋b＝__________，b＋c＝__________，c－d＝__________，a＋b＋c－d＝__________．
(1)向量加法可以用三角形法则或平行四边形法则，而向量减法只能应用三角形法则作图．
(2)在用三角形法则作向量减法时，牢记：“起点同，箭头指向被减向量．”
三、向量加减法的综合应用
活动与探究3
已知非零向量a，b同时满足：|a|＝|b|和|a＋b|＝|a－b|，若作＝a，＝b，＝a＋b，试断定四边形OACB的形状，并证明．
迁移与应用
如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC边上任意一点，O为AE，BD的交点，已知=a，=b，=c，=e，求向量．
明确向量加、减法的几何意义，用已知向量表示未知向量，可以解决一些平面几何问题．
当堂检测
1．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是( )
A．a∥b B．a≠b
C．|a|≠|b| D．b＝－a
2．下列等式：
①0－a＝－a ②－(－a)＝a
③a＋(－a)＝0 ④a＋0＝a
⑤a－b＝a＋(－b) ⑥a＋(－a)＝0
正确的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
4．梯形ABCD中，AB∥DC，AC与BD交于点O，则－＋－＋＝__________．
5．如图，在ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝__________，＝__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)长度相等 方向相反 －a (2)a a 0 (3)零向量 －0
2．(1)(－b) 相反向量 (2)a＋b a－b
3．a－b 终点 终点
预习交流1 提示：(1)若a，b反向，则a－b与a同向，且|a－b|＝|a|＋|b|；
(2)若a，b同向，①若|a|＞|b|，则a－b与a同向，且|a－b|＝|a|－|b|；
②若|a|＜|b|，则a－b与a反向，且|a－b|＝|b|－|a|；
③若|a|＝|b|，则a－b＝0．
预习交流2 提示：(1)含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式．移项法则对向量等式也是适用的．
(2)求两个向量的减法运算可以转化为其加法运算，如－＝＋(－)＝＋＝＋＝．可见，求两个非零向量的差向量的过程可以简记为：共起点，连终点，指向被减．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．
解：(1)解法一：原式＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝．
解法二：原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋＝＋＋
＝＋0＝．
(2)解法一：原式＝－＝．
解法二：原式＝－(＋)＝－＝．
(3)解法一：原式＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0．
解法二：(－)－(－)
＝－－＋＝(－)－＋
＝－＋＝＋＝0．
迁移与应用 解：(1)－＋＝＋＝0．
(2)(＋)＋(＋)－(－)
＝(＋)＋(＋)－
＝＋－＝－＝．
活动与探究2 思路分析：可以由向量加、减法的几何意义作图．
解：因为a＋b＝，c－d＝，
所以a＝，b＝，c＝，d＝．
如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA．根据平行四边形法则可得：b－c＝，a＋d＝．
迁移与应用 答案：－f －e f 0 解析：a＋b＝＝－f，b＋c＝＝－e，
c－d＝c＋(－d)＝＋＝＝f，
a＋b＋c－d＝＋＋－
＝＋＋＋＝0．
活动与探究3 思路分析：首先根据向量加法的平行四边形法则可知四边形OACB是平行四边形，其次根据条件|a|＝|b|可知四边形是菱形，再由条件|a＋b|＝|a－b|进一步可知它是正方形．
解：四边形OACB是正方形．证明如下：作＝a，＝b，并且以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则根据向量加法的平行四边形法则可知：＝a＋b，＝a－b．由条件|a|＝|b|可知，四边形OACB是菱形，再由|a＋b|＝|a－b|可知，四边形OACB是矩形，所以四边形OACB是正方形．
迁移与应用 解：在△OBE中，有＝＋＝e－c；
在△ABO中，＝＋＝e－c－a；
在△ABD中，＝＋＝a＋b．
因此在△OAD中，＝＋＝e－c－a＋a＋b＝e－c＋b．
【当堂检测】
1．C 解析：根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a|＝|b|．
2．C 解析：根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确．
3．B 解析：由向量加法、减法的几何意义易求＝－．
4.0 解析：－＋－＋＝＋＋＋－＝＋＝0．
5．a＋b b－a 解析：由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a．
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
问题导学
一、向量数乘的基本运算
活动与探究1
计算：(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．
迁移与应用
化简：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．
向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
二、向量的共线问题
活动与探究2
已知向量e1和e2不共线．
(1)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
迁移与应用
1．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2．若a与b是共线向量，求实数k的值．
2．如图，已知＝3，＝3，试判断与是否共线．
共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据，即对于非零向量a，b，a∥b是否成立，关键是能否确定唯一的实数λ，使b＝λa．而对于三点共线问题可转化为两个向量共线问题，再依据定理进行解决：
要证A，B，C三点共线，只需证＝λ(λ∈R)或＝λ(λ∈R)；要证AB∥CD，只需证＝λ(λ∈R)．
三、向量的线性运算
活动与探究3
如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=OB，DC与OA交点为E，设=a，=b，用a，b表示向量，．
迁移与应用
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解．
当堂检测
1．下列计算正确的有( )
①(－7)×6a＝－42a；
②a－2b＋(2a＋2b)＝3a；
③a＋b－(a＋b)＝0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知λ，μ∈R，则下面关系正确的是( )
A．λa与a同向 B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μ a D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
4．已知e是任一向量，a＝－2e，b＝5e，用a表示b，其结果是__________．
5．点C在直线AB上，且＝3，则＝__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．向量 向量的数乘 λa (1)|λ||a| (2)相同 相反 0
预习交流1 提示：1．从代数角度来看，(1)λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；(2)λa＝0的条件是a＝0或λ＝0．
2．从几何的角度来看，对于向量的长度而言，(1)当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|λ|倍；(2)当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|λ|倍．
2．(1)(λμ)a (2)λa＋μa (3)λa＋λb
3．唯一一个 b＝λa
预习交流2 提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa．
4．(1)加、减、数乘运算 (2)λμ1a±λμ2b
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：可综合运用向量数乘的运算律求解．
解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a；
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0；
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．
迁移与应用 解：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b；
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b．
活动与探究2 思路分析：对于(1)，欲证明A，B，D三点共线，只需证明存在λ，使＝λ即可．对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
解：(1)∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
∴，共线，且有公共点B，
∴A，B，D共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2．由于e1与e2不共线，
只能有则k＝±1．
迁移与应用 1．解：∵a与b是共线向量，
∴a＝λb，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴∴k＝－2．
2．解：∵＝＋＝3＋3
＝3(＋)＝3，
∴与共线．
活动与探究3 思路分析：解题的关键是建立，与a，b的联系，为此需要利用向量加、减、数乘运算．
解：∵AC＝BA，∴A是BC的中点，
∴＝(＋)，∴＝2－＝2a－b．
∴＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b．
迁移与应用 B
解析：易知△DFE∽△BAE，
又∵E是OD中点，
∴DF＝DC，＝＋
＝＋＝(＋)＋(－)
＝＋＋
＝＋＝a＋b．
【当堂检测】
1．C 解析：a＋b－(a＋b)＝0，故③错误，①②正确．
2．C 解析：当a≠0，λ＜0时，λa与a反向，且λ|a|＜0，则A，D错误．
又∵0·a的结果为0，则B错误．由运算律知C正确．
3．A 解析：∵＝＋＝2a＋4b＝2，且有一个公共点B，∴A，B，D三点共线．
4．b＝－a 解析：由a＝－2e，得e＝－a，代入b＝5e，可得b＝－a．
5．2 解析：＝－＝3－＝2．
2.3.1 平面向量基本定理
问题导学
一、应用基底表示向量
活动与探究1
已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设＝a，＝b，试以a、b为基底表示、、．
迁移与应用
在ABCD中，设＝a，＝b，试用a，b表示，．
在利用基底表示向量时，充分利用向量的线性运算，灵活应用向量加法的三角形法则与平行四边形法则求解．
二、平面向量基本定理的应用
活动与探究2
平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA、OB、OC的中点分别为E、F、G，BC、CA、AB的中点分别为L、M、N，设=a，=b，=c．
(1)试用a、b、c表示向量、、；
(2)求证：线段EL、FM、GN交于一点且互相平分．
迁移与应用
在ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值．
利用向量证明几何问题是向量工具性的体现，操作时，为明确方向常常选取问题中的不共线的线段对应的向量为基底，以增加解决问题时的方向性．
三、向量的夹角问题
活动与探究3
已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
迁移与应用
在等边三角形ABC中，向量与向量的夹角为__________；E为BC的中点，则向量与的夹角为__________．
求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
当堂检测
1．已知向量e1，e2不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是( )
A．e1－e2与e2－e1
B．2e1－3e2与e1－e2
C．－e1－2e2与2e1＋4e2
D．e1－2e2与2e1－e2
2．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则( )
A．a＝0，b＝0 B．λ＝μ＝0
C．λ＝0，b＝0 D．a＝0，μ＝0
3．设点O是ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，可作为该平面其他向量基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
4．已知向量a与b的夹角是45°，则向量2a与－b的夹角是__________．
5．设e1，e2是平面的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝______a＋______b．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)不共线 λ1e1＋λ2e2 (2)基底
预习交流1 提示：平面向量基本定理的前提条件是e1，e2不共线，若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线．
2．(1)非零 夹角 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90°
预习交流2 提示：120°，而不是60°．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：和是两个不共线向量，于是可以看做一组基底，那么平面中的任一向量可以用和来表示，关键是利用向量线性运算确定λ1和λ2两个系数．
解：连接FD，
∵DC∥AB，AB=2CD，E、F分别是DC、AB的中点，
∴DCFB．
∴四边形DCBF为平行四边形．
∴===b，
==－=－=a－b，
=－=－－=－－
=．
迁移与应用 解：方法一(转化法)：如图，设AC，BD交于点O，则有===，===．
∴=+=－=，
=+=．
方法二(方程思想)：设=x，=y，
则有＋＝，－＝且＝＝y，
即∴x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b．
活动与探究2 思路分析：本题主要考查平面向量基本定理及应用．(1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量、、；(2)要证三条线段交于一点，且互相平分，可考虑证明O点到三条线段中点的向量相等．
解：(1)如图，∵＝a，＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c－a)．
同理：＝(a＋c－b)，＝(a＋b－c)．
(2)证明：设线段EL的中点为P1，则
＝(＋)＝(a＋b＋c)．
设FM、GN的中点分别为P2、P3，同理可求得
＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．
∴＝＝，
即EL、FM、GN交于一点，且互相平分．
迁移与应用 解：如图所示，设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，＝a＋b．
∵＝λ＋μ，
∴a＋b＝λ＋μ
＝a＋b．
∴解得
∴λ＋μ＝．
活动与探究3 思路分析：解答本题可先作图，再利用平面几何知识求解．
解：如图所示，作=a，=b，且∠AOB=60°．
以OA，OB为邻边作OACB，
则=+=a+b，
=－=a－b．
∵|a|=|b|=2，
∴△OAB是等边三角形．
∴四边形OACB是菱形．
∴与的夹角为30°，与的夹角为60°，
即a+b与a的夹角为30°，a－b与a的夹角为60°．
迁移与应用 120° 90° 解析：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
如图，延长边AB至点D，使BD=AB，
∴=．
∴∠DBC为向量与的夹角，且∠DBC＝120°．
又∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．
∴与的夹角为90°．
【当堂检测】
1．D 解析：根据基底的定义，只要两向量不共线便可作为基底，易知选D．
2．B 解析：由平面向量基本定理可知λ＝μ＝0，选B．
3．B 解析：易知与不共线，与不共线，故选B．
4．135°
5． － 解析：由方程组
解得
所以e1＋e2＝＋＝a－b．
2.3.3 平面向量的坐标运算
问题导学
一、平面向量及点的坐标表示
活动与探究1
已知A(－2,1)，B(1,3)，求线段AB的中点M和三等分点P，Q的坐标．
迁移与应用
1．已知两点A(1,0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设＝－2＋λ(λ∈R)，则λ等于( )
A．－1 B．2 C．1 D．－2
2．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
对于向量坐标的线性运算，关键是掌握向量的线性运算法则及坐标运算的特点，要充分理解向量坐标运算中点的坐标与向量的坐标之间的关系．事实上，当点O为坐标原点时，向量与终点P的坐标是相同的．
二、平面向量的坐标运算
活动与探究2
已知点A，B，C的坐标分别为A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求向量＋2－的坐标．
迁移与应用
1．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于( )
A．(－5,14) B．(5,14)
C．(7,4) D．(5,9)
2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(2,4) B．(3,5)
C．(－1，－1) D．(－2，－4)
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．
三、用基底表示的坐标运算
活动与探究3
已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以，为一组基底来表示＋＋．
迁移与应用
已知a＝(10，－4)，b＝(3,1)，c＝(－2,3)，试用b，c表示a．
用基底a，b表示指定向量p时，可由平面向量基本定理设p＝λa＋μb，然后借助于坐标运算列方程(组)求解待定的系数．
当堂检测
1．已知A(1,3)，B(2,1)，则的坐标是( )
A．(－1,2) B．(2，－1)
C．(1，－2) D．(－2,1)
2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝( )
A．－a＋b B．a－b
C．a－b D．－a＋b
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝__________．
5．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．两个互相垂直
2．(x，y) (x，y)
预习交流1 提示：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
3．(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) 相应坐标的和(差) (λx，λy) 相应坐标 (x2－x1，y2－y1)
终点 起点
预习交流2 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：可先求出，利用向量加法的法则，求出向量，，进而得到P，Q，M点的坐标．
解：∵＝－＝(1,3)－(－2,1)＝(3,2)，
∴＝(＋＝[(－2,1)＋(1,3)]＝，
＝＋＝＋＝(－2,1)＋(3,2)＝，
＝＋＝＋＝(－2,1)＋(3,2)＝．
∴M，P，Q．
迁移与应用 1．C 解析：设||＝r(r＞0)且点C的坐标为(x，y)，则由∠AOC＝120°，
得x＝rcos 120°＝－r，y＝rsin 120°＝r．
即点C的坐标为．
又∵－2＋λ，
∴＝－2(1,0)＋λ(1，)＝(－2＋λ，λ)．
∴解得
2．A 解析：＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，
设N(x，y)，＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)．
∴即故选A．
活动与探究2 思路分析：由点A，B，C的坐标，求出，，的坐标，再利用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算求解．
解：由A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，
得＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
∴＋2－＝(－2,10)＋2(－8,4)－(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)＝(－13,11)．
迁移与应用 1．A 解析：3a＋b＝(－6,9)＋(1,5)＝(－5,14)．
2．C 解析：∵＝＋，∴＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
活动与探究3 思路分析：设＋＋＝m＋n，由坐标运算求待定的m，n．
解：∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．
根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得＋＋＝m＋n，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)．
可得解得
∴＋＋＝32－22．
迁移与应用 解：设a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，则(10，－4)＝λ(3,1)＋μ(－2,3)＝(3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ)．
依题意，得解得
所以a＝2b－2c．
【当堂检测】
1．A 解析：∵一个向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，
∴＝(1,3)－(2,1)＝(－1,2)，故选A．
2．D 解析：a－b＝(1,1)－(1，－1)
＝－＝(－1,2)．
故选D．
3．B 解析：由题意，设c＝xa＋yb，
∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．
∴∴∴c＝a－b．
4．1 解析：由c＝λ1a＋λ2b，得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)．
∴解得λ1＝－1，λ2＝2，
∴λ1＋λ2＝1．
5．(－1,2) 解析：设C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，
∴(x，y)＝(－1,2)．
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
问题导学
一、向量共线的坐标运算
活动与探究1
已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
迁移与应用
1．已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b＝( )
A．(－1,7) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(1，－2)
2．已知A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)，判断与是否共线．
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．对条件的理解有两方面的含义：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0．
二、三点共线问题
活动与探究2
向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
迁移与应用
1．若点A(1，－3)，B，C(x,1)共线，则x＝__________．
2．已知＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：
(1)证明向量平行；
(2)证明两个向量有公共点．
三、向量共线坐标表示的应用
活动与探究3
在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标．
迁移与应用
1．已知a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)，若a∥b，则tan θ＝__________．
2．已知向量a，b，满足a＋b平行于x轴，a＝(2，y)，b＝(2，－2)，则a与b的夹角为__________．
关于解决点共线或向量共线问题，主要是求出相关向量的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程(方程组)来解决．
当堂检测
1．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)，两向量方向相反，则x＝( )
A．－5 B．5
C．－1 D．1
2．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列命题成立的是( )
A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb与a－2b共线，则＝( )
A． B．2
C．－ D．－2
4．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝______．
5．已知向量a＝(2x,7)，b＝(6，x＋4)，当x＝__________时，a＝b；当x＝__________时，a∥b且a≠b．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
x1y2－x2y1＝0 ＝
预习交流：提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：先计算出ka＋b与a－3b的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k，再根据符号确定方向．
解：因为a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
又∵(ka＋b)∥(a－3b)，
∴－4(k－3)＝10(2k＋2)，∴k＝－．
这时ka＋b＝，且a－3b与－a＋b的对应坐标异号，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且是反向的．
迁移与应用 1．D 解析：a∥by＝－4，
∴3a＋2b＝(－3,6)＋(4，－8)＝(1，－2)．
2．解：＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)，
＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)．
∵4×(－8)－4×(－8)＝0，
∴∥，即与共线．(或＝－2，∥，∴与共线)
活动与探究2 思路分析：根据向量共线的充要条件，若A，B，C三点共线，只要满足＝λ(或＝λ)，就可以列方程求出k的值或利用向量平行的充要条件求出k的值．
解：方法一：∵＝－＝(4,5)－(k,12)
＝(4－k，－7)，
＝－＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)，
∵A，B，C三点共线，∴＝λ，
即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，(k－5)λ)．
∴
解得k＝11，或k＝－2．
方法二：同方法一，∵A，B，C三点共线，
∴(4－k)(k－5)＝6×(－7)，
解得k＝11，或k＝－2．
迁移与应用 1.9 解析：∵＝，＝(x－1，4)，∥，∴7×4－×(x－1)＝0，∴x＝9．
2．解：(1)由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1)，若A，B，C三点共线，则∥，即2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，故a＋b＝2．
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴即C(5，－3)．
活动与探究3 思路分析：充分利用向量共线的坐标表示，列出方程组求解．
解：∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，
∴＝(0,5)，＝(4,3)．
∵＝(xC，yC)＝＝，
∴点C的坐标为．
同理可得点D的坐标为，从而＝．
设点M的坐标为(x，y)，则＝(x，y－5)．
∵A，M，D三点共线，∴与共线．
∴－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20．①
易知＝，＝＝．
∵C，M，B三点共线，∴与共线．
∴x－4＝0，即7x－16y＝－20．②
由①②得x＝，y＝2．
∴点M的坐标为．
迁移与应用 1． 解析：∵a∥b，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ，
∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝．
2．90° 解析：由已知得a＋b＝(4，y－2)，
∵a＋b与x轴平行，∴y－2＝0，y＝2．
在坐标系中以原点为起点，画出向量a，b，则由图知，a与b夹角为90°．
【当堂检测】
1．A 解析：当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反．易知选A．
2．C 解析：由已知得b－c＝(3,3)，
∵a＝(6,6)，∴6×3－3×6＝0．
∴a与(b－c)共线．
3．C 解析：λa＋μb＝(λ－μ，λ)，a－2b＝(3,1)，由共线条件可得，λ－μ＝3λ即＝－，故选C．
4．1 解析：a－2b＝(，1)－(0，－2)＝(，3)，
∵a－2b与c共线，
∴存在实数λ使λ(，3)＝(k，)，
即(λ，3λ)＝(k，)，
∴∴
5．3 －7 解析：若a＝b，则x＝3．
若a∥b，则2x(x＋4)－42＝0，
解得x＝－7或x＝3．
当x＝3时，a＝b，∴x＝－7时，a∥b且a≠b．
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
问题导学
一、向量数量积的概念
活动与探究1
已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是( )
①|a·b|＝|a||b|?a∥b；②a，b反向?a·b＝－|a||b|；③a⊥b?|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|?|a·c|＝|b·c|．
A．1 B．2 C．3 D．4
迁移与应用
1．已知下列命题：
①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③|a|·|b|＜a·b；④a·a·a＝|a|3；⑤若向量a，b满足a·b＞0，则a与b的夹角为锐角，其中判断为正确的是________．
2．已知a，b，c是三个向量，试判断下列说法的正误：
(1)若a·b＝a·c且a≠0，则b＝c；
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
(3)若a⊥b，则a·b＝0；
(4)向量a在b的方向上的投影是模等于|a||cos θ|(θ是a与b的夹角)、方向与b相同或相反的一个向量．
对于这类概念、性质、运算律问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．
二、平面向量数量积的运算
活动与探究2
(1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量a与b的夹角为60°，求(2a＋3b)·(3a－2b)；
(2)在△ABC中，M是线段BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________．
迁移与应用
1．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为，则|a＋2b|＝________．
2．设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a．
(1)求a，b的数量积需已知三个量，即|a|，|b|，θ，其中确定角θ是关键，注意θ∈[0，π]．还要注意结合向量的线性运算．
(2)求向量模时可用如下方法：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝．由关系式a2＝|a|2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化．因此欲求|a＋b|，可求．
三、用平面向量数量积解决垂直问题
活动与探究3
已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
迁移与应用
已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b?a·b＝0．这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．
当堂检测
1．已知a与b是相反向量，且|a|＝2，则a·b＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a－b|的值为( )
A．1 B． C．2 D．3
3．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，a与b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
4．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝
ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
5．已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在b方向上的投影为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)非零 |a||b| cos θ 数量积 内积 a·b
(2)a b 投影 (3)0 (4)|a| |b|cos θ
2．(1)b·a (2)a·b λb (3)a·c＋b·c
预习交流1 提示：不一定成立．∵若(a·b)c≠0，其方向与c相同或相反，而(b·c)a≠0时其方向与a相同或相反，而a与c的方向不一定相同，故该等式不一定成立．
3．(1)a·b＝0 (2)|a||b| －|a||b| (3)|a| (4)≤
预习交流2 提示：不一定．当a⊥b时，也有a·b＝0．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：要对以上四个命题一一进行判断，依据有两个：一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．
C 解析：①∵a·b＝|a||b| cos θ，∴由|a·b|＝|a||b|及a，b均为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或θ＝π，∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题；②若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|．反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，∴a⊥b，因此命题③也是真命题；④当|a|＝|b|但是a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|．反过来，由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故命题④是假命题．故选C．
迁移与应用 1．①② 解析：对于①a2＋b2＝0，∴|a|2＋|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝0，∴a＝b＝0．故①正确；对于②a＋b＝0，∴a与b互为相反向量，设a与c夹角为θ，则b与c夹角为π－θ，则a·c＝|a|·|c|cos θ，b·c＝|b|·|c|cos(π－θ)＝－|b|·|c|cos θ，∴|a·c|＝|b·c|，所以②正确；对于③|a·b|＝|a|·|b||cos θ|≤|a|·|b|，故③错误；对于④a·a·a＝|a|2·a，其结果为向量，故④错误；对于⑤当a与b为同向的非零向量时，a·b＝|a||b|cos 0＝|a|·|b|＞0，但夹角不是锐角．故⑤错误．
2．解：(1)∵a·b＝|a||b|cos θ，a·c＝|a||c|cos θ′(其中θ与θ′分别是a，b的夹角及a，c的夹角)，因此由a·b＝a·c可得到：|b|cos θ＝|c|cos θ′，并不能得到|b|＝|c|及b＝c，∴(1)是错误的．
(2)由a·b＝|a||b|cos θ＝0可得a＝0或b＝0或 cos θ＝0，因此a·b＝0a＝0或b＝0或a⊥b，不一定是a＝0或b＝0．故(2)也是错误的．
(3)当a⊥b时，a，b的夹角θ＝90°，
∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0，故(3)是正确的．
(4)向量a在b方向上的投影|a|cos θ(θ是a与b的夹角)只是一个数量，它虽然有正负，但没有方向，故不是向量，∴(4)也是错误的．
活动与探究2 思路分析：利用向量数量积的运算律和性质求解．
(1)解：(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9a·b－6b2＝6×42＋5×4×5×cos 60°－6×52＝－4．
(2)－16 解析：＝＋，＝＋＝－，
∴·＝2－2＝－16．
迁移与应用 1． 解析：由已知a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×1×cos＝－，∴|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×4×＝3，∴|a＋2b|＝．
2．解：a·b＋b·c＋c·a＝× cos 120°＋××cos 120°＋× cos 120°＝－3．
活动与探究3 思路分析：利用向量垂直的性质，由(ka－b)·(a＋2b)＝0可求出．
解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，
∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
k×52＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，
∴k＝，
即k为时，向量ka－b与向量a＋2b垂直．
迁移与应用 解：由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝．
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．
【当堂检测】
1．D 解析：由已知a＝－b，∴a·b＝a·(－a)＝－a2＝－|a|2＝－4．
2．C 解析：|a－b|2＝a2－2a·b＋b2
＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12．
∴|a－b|＝＝2．
3．A 解析：∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝．
设夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°．
4． 解析：由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝．
5． 解析：a在b方向上的投影为|a|cos θ＝＝．
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
问题导学
一、向量数量积的坐标运算
活动与探究1
已知a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
(2)若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．a·b＝1 B．|a|＝|b|
C．(a－b)⊥b D．a∥b
迁移与应用
若a＝(－3,4)，b＝(2，－1)，且(a－xb)⊥(a－b)，求x的值．
(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．
(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．
二、向量的模与夹角问题
活动与探究2
(1)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于( )
A． B． C．2 D．10
(2)已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k＝________．
迁移与应用
1．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－ B． C． D．
2．已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
利用数量积求两向量夹角的步骤：
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值．
(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ．
三、向量数量积的综合应用
活动与探究3
已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
迁移与应用
已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取到最小值时的；
(2)根据(1)中求出的点C，求cos∠ACB．
(1)利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何的问题转化为向量问题，进而通过向量的运算来研究几何元素间的关系．
(2)已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、两向量的长度和它们的夹角．此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．
当堂检测
1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等于( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
2．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝，则b等于( )
A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3)
3．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
A． B． C． D．
4．若a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________．
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角大小为________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．x1x2＋y1y2 它们对应坐标的乘积的和
2．(1) (2)
3．x1x2＋y1y2＝0
4．(0≤θ≤π)
预习交流 提示：由于向量a0＝，且|a|＝，所以a0＝＝(x，y)＝，此为向量a＝(x，y)的单位向量．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：运用向量数量积坐标运算的法则及性质求解．
(1)D (2)C 解析：(1)由已知2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，从而a·(2a－b)＝(2,1)·(5，2－k)＝10＋2－k＝0，∴k＝12．
(2)由已知得a－b＝(2,0)－(1,1)＝(1，－1)，∴(a－b)·b＝1×1＋1×(－1)＝0，∴(a－b)⊥b．
迁移与应用 解：∵a－xb＝(－3－2x,4＋x)，a－b＝(－5,5)，(a－xb)⊥(a－b)，
∴(－3－2x)×(－5)＋(4＋x)×5＝0，
∴3x＋7＝0，
∴x＝－．
活动与探究2 思路分析：(1)运用垂直求出x值，得到a＋b的坐标，求模．
(2)求出|ka－b|，|a＋b|及(ka－b)·(a＋b)，再运用夹角公式求k．
(1)B (2)－1± 解析：(1)∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2．
∴a＝(2,1)，∴a＋b＝(3，－1)．∴|a＋b|＝．
(2)∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝．
又(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos 120°＝，
即－＝，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±．
迁移与应用 1．C 解析：由于2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，
所以cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故2a＋b与a－b的夹角为．
2．解：由题意知cos α＝＝．
∵90°＜α＜180°，∴－1＜cos α＜0，
∴－1＜＜0．
∴
即即
∴λ的取值范围是∪(2，＋∞)．
活动与探究3 思路分析：建立坐标系，利用坐标运算解决．
1 1 解析：由题意，可建立如图所示的坐标系，
则D(0,0)，C(0,1)，B(1,1)，A(1,0)，E(1，y)，且0≤y≤1．
∴·=(1，y)·(1,0)=1+0·y=1，
·=(1，y)·(0,1)=y，
∴当y=1时，·最大值为1．
迁移与应用 解：(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量与共线，设＝t，则＝(2t，t)．
＝－＝(1－2t,7－t)，＝－＝(5－2t,1－t)．
·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8．
当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1，－1)，
所以||＝，||＝，·＝－8．
cos∠ACB＝＝－．
【当堂检测】
1．B 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即3x＋1×(－3)＝0．解得x＝1．故选B．
2．A 解析：设b＝λ(1，－2)(λ＜0)，由|b|＝3可解出λ＝－3．故选A．
3．C 解析：＝＝，故选C．
4．44 解析：2a2－3a·b＝2×(16＋9)－3×(－4＋6)＝50－6＝44．
5．120° 解析：a＋b＝(－1，－2)，|a|＝，设c＝(x，y)，而(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝－．又∵a·c＝x＋2y，设a与c的夹角为θ，cos θ＝＝＝－，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．
2.5 平面向量应用举例
问题导学
一、向量在平面几何中的应用
活动与探究1
如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2=DB2－DC2．
求证：AD⊥BC．
迁移与应用
如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．
二、向量在物理中的应用
活动与探究2
在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
迁移与应用
如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．
求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，角θ的取值范围．
向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题．同时该类题目往往涉及三角形问题，能够正确作图是解决问题的关键．
当堂检测
1．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5) B．(4，－1) C．2 D．5
2．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
3．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为( )
A．2 B．3 C．4 D．8
4．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则·＝__________．
5．已知力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体所做的功为________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．向量
2．加
3．向量 向量问题 数量积
预习交流 提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．
证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d．
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2．
由已知a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0．
∵＝＋＝d－c，
∴·＝e·(d－c)＝0．
∴⊥，即AD⊥BC．
迁移与应用 证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．令||=1，则||=1，||=2．
∵CE⊥AB，而AD=DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵=(－1,1)－(0,0)=(－1,1)，
=(0,1)－(1,0)=(－1,1)，
∴=，
∴∥，即DE∥BC．
(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，
∴M，
∴=(－1,1)－=，
=(1,0)－=．
∴=－，∴∥．
又MD与MB有公共点M，
∴D，M，B三点共线．
活动与探究2 思路分析：解本题首先根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．
解：设ω=风速，va=有风时飞机的航行速度，νb=无风时飞机的航行速度，νb=νa－ω．如图所示．
设||=|νa|，||=|ω|，||=|νb|，
作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，
则∠BAD=45°．
设||=150，则||=．
∴||=||=||=，||=．
从而||=，∠CAD=30°．
∴|νb|=km/h，方向为北偏西60°．
迁移与应用 解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得G=F1+F2，|F1|=，|F2|=|G|tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)令|F1|=，由|F1|≤2|G|得 cos θ≥．
又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°．
【当堂检测】
1．D 解析：|F1＋F2|＝|＋|
＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5．
2．D 解析：∵∥，||＝||，且⊥，
故四边形为菱形．
3．B 解析：|ν|＝＝，
又||＝＝，
∴时间t＝＝3．
4．16 解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，
∴BA＝4，∠ABC＝45°，
∴·＝4×4×cos 45°＝16．
5．1 解析：W＝F·s＝F·＝(2,3)·(－4,3)＝
