模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·北京高考)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 设a＝1，b＝－2，则有a>b，但a2
bD?/a2>b2；设a＝－2，b＝1，显然a2>b2，但ab2D?/a>b.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．
【答案】 D
2．过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝y或x2＝－y
B．x2＝y
C．y2＝－9x或x2＝y
D．x2＝－y或y2＝9x
【解析】 P(1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－y.故选D.
【答案】 D
3．(2016·南阳高二检测)下列命题中，正确命题的个数是( )
①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；
②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；
③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
④对命题p：?x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则?p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ①正确；②由p∨q为真可知，p，q至少有一个是真命题即可，所以p∧q不一定是真命题；反之，p∧q是真命题，p，q均为真命题，所以p∨q一定是真命题，②不正确；③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，③不正确；④正确．
【答案】 B
4．函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为( )
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)C．f(－1)>f(1) D．无法确定
【解析】 f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，
f(1)＝－3，f(－1)＝5.
∴f(－1)>f(1)．
【答案】 C
5．(2014·福建高考)命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
【解析】 故原命题的否定为：?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.故选C.
【答案】 C
6．已知双曲线的离心率e＝2，且与椭圆＋＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
【解析】 双曲线的焦点为F(±4,0)，e＝＝2，∴a＝2，b＝＝2，∴渐近线方程为y＝±x＝±x.
【答案】 C
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( ) 【导学号：26160107】
A．1 B. C．2 D．3
【解析】 因为双曲线的离心率e＝＝2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，与抛物线的准线x＝－相交于A，B，所以△AOB的面积为××p＝，又p＞0，所以p＝2.
【答案】 C
8．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，过点P的切线的倾斜角的取值范围为( )
A．[0，π) B.∪
C.∪ D.∪
【解析】 f′(x)＝3x2－1≥－1，即切线的斜率k≥－1，所以切线的倾斜角的范围为∪.
【答案】 B
9．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a＞c＞0)，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是( )
A．2(a－c) B．2(a＋c)
C．4a D．以上答案均有可能
【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：
当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；
当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；
当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.
【答案】 D
10．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.
由题意知3kx2＋6(k－1)x≤0，
即kx＋2k－2≤0在(0,4)上恒成立，
得k≤，x∈(0,4)，又＜＜1，∴k≤.
【答案】 D
11．若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1, ) B．(，＋∞)
C．(1, ] D．[，＋∞)
【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝x.由条件知，应有>2，
故e＝＝＝>.
【答案】 B
12．(2014·湖南高考)若0A．ex2－ex1>ln x2－ln x1
B．ex2－ex1C．x2ex1>x1ex2
D．x2ex1【解析】 设f(x)＝ex－ln x(0则f′(x)＝ex－＝.
令f′(x)＝0，得xex－1＝0.
根据函数y＝ex与y＝的图象，可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A，B选项不正确．
设g(x)＝(0又0∴函数g(x)在(0,1)上是减函数．
又0g(x2)，
∴x2ex1>x1ex2.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
【解析】 a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，
a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
【答案】 若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
14．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________. 【导学号：26160108】
【解析】 y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，
所以切线方程为y－1＝3(x－0)，
即3x－y＋1＝0.
【答案】 3x－y＋1＝0
15.如图1为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)＜0的解集为________________．
图1
【解析】 当x＜0时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数，
由图象可知x∈(－∞，－)；
当x＞0时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数，由图象可知x∈(0, )．
∴xf′(x)＜0的解集为(－∞，－)∪(0, )．
【答案】 (－∞，－)∪(0, )
16．若O和F分别是椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
【解析】 由椭圆＋＝1可得点F(－1,0)，点O(0，0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
【答案】 6
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设命题p：方程＋＝1表示的曲线是双曲线；命题q：?x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
【解】 对于命题p，因为方程＋＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m)(m＋4)<0，解得m<－4或m>，则命题p：m<－4或m>.
对于命题q，因为?x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0，即不等式3x2＋2mx＋m＋6<0在实数集R上有解，
所以Δ＝(2m)2－4×3×(m＋6)>0，
解得m<－3或m>6.
则命题q：m<－3或m>6.
因为命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以命题p与命题q有且只有一个为真命题．
若命题p为真命题且命题q为假命题，
即得若命题p为假命题且命题q为真命题，
即得－4≤m<－3.
综上，实数m的取值范围为[－4，－3)∪.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．
(1)求b，c的值；
(2)求g(x)的单调区间与极值．
【解】 (1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，
∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
从而g(x)＝f(x)－f′(x)
＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)
＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c
∵g(x)是奇函数，
∴－x3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c
＝－[x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c]
得(b－3)x2－c＝0对x∈R都成立．
∴得b＝3，c＝0.
(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，从而g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，－)和(，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间；(－， )是函数g(x)的单调递减区间．g(x)在x＝－时，取得极大值，极大值为4，g(x)在x＝时，取得极小值，极小值为－4.
19．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋b所得的弦长为|AB|＝3.
(1)求b的值； 【导学号：26160109】
(2)在x轴上求一点P，使△APB的面积为39.
【解】 (1)联立方程组消去y，得方程：4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1＋x2＝1－b，x1x2＝，
|AB|＝
＝＝3，
解得b＝－4.
(2)将b＝－4代入直线y＝2x＋b，得AB所在的直线方程为2x－y－4＝0，
设P(a,0)，则P到直线AB的距离为d＝.
△APB的面积S＝××3＝39，则a＝－11或15，
所以P点的坐标为(－11,0)或(15,0)．
20．(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【解】 (1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，
则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)
＝(21－x)·(432＋kx2)，
又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,30]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
故x＝12时，f(x)取到极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，
所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
21．(本小题满分12分)(2016·大连高二检测)已知函数f(x)＝x2＋aln x(a<0)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值；
(2)若?x>0，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 由题意，x>0.
(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－ln x，
f′(x)＝x－，
令f′(x)＝x－>0，解得x>1，
所以f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；
f′(x)＝x－<0，得0所以f(x)的单调减区间为(0,1)，
所以函数f(x)在x＝1处有极小值f(1)＝.
(2)因为a<0，f′(x)＝x＋.
令f′(x)＝0，所以x＝，
列表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
这时f(x)min＝f()＝－＋aln，
因为?x>0，不等式f(x)≥0恒成立，
所以－＋aln≥0，所以a≥－e，
所以a的取值范围为[－e,0)．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点A，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G，求k的取值范围.
【导学号：26160110】
【解】 (1)由题意e＝，
即e＝＝，∴a＝2c.
∴b2＝a2－c2＝(2c)2－c2＝3c2.
∴椭圆C的方程可设为＋＝1.
代入A，得＋＝1.
解得c2＝1，
∴所求椭圆C的方程为＋＝1，
(2)由方程组
消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
由题意，Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
整理得：3＋4k2－m2＞0，①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
MN的中点为P(x0，y0)，
x0＝＝－，
y0＝kx0＋m＝.
由已知，MN⊥GP，即kMN·kGP＝－1，
即k·＝－1，
整理得：m＝－.
代入①式，并整理得：k2＞，
即|k|＞，∴k∈∪.
章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是( )
A．全称命题 B．特称命题
C．p∨q形式 D．p∧q形式
【解析】 此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．
【答案】 A
2．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.
【答案】 C
3．(2014·湖北高考)命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x
C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x
【解析】 全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．
【答案】 D
4．全称命题“?x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是( )
A．若2x＋1是整数，则x∈Z
B．若2x＋1是奇数，则x∈Z
C．若2x＋1是偶数，则x∈Z
D．若2x＋1能被3整除，则x∈Z
【解析】 易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈Z.
【答案】 A
5．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧?q B．?p∧q
C．?p∧?q D．p∧q
【解析】 命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题?q为真命题，所以p∧?q为真命题，故选A.
【答案】 A
6．(2015·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )
A．全等三角形的面积不一定都相等
B．不全等三角形的面积不一定都相等
C．存在两个不全等三角形的面积相等
D．存在两个全等三角形的面积不相等
【解析】 命题是省略量词的全称命题．易知选D.
【答案】 D
7．原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
【解析】 从原命题的真假入手，由于＜an?an＋1＜an?{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.
【答案】 A
8．给定两个命题p，q.若?p是q的必要而不充分条件，则p是?q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 q??p等价于p??q，?pDq等价于?qDp.故p是?q的充分而不必要条件．
【答案】 A
9．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a＜0 B．a＞0
C．a＜－1 D．a＞1
【解析】 一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根?＜0，解得a＜0，故a＜－1是它的一个充分不必要条件．
【答案】 C
10．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是( )
【导学号：26160027】
A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5
【解析】 ∵P(2,3)∈A∩(?UB)，
∴满足故
【答案】 A
11．下列命题中为真命题的是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
【解析】 对于?x∈R，都有ex>0，故选项A是假命题；当x＝2时，2x＝x2，故选项B是假命题；当＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，无意义，故选项C是假命题；当a>1，b>1时，必有ab>1，但当ab>1时，未必有a>1，b>1，如当a＝－1，b＝－2时，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分条件，选项D是真命题．
【答案】 D
12．下列命题中真命题的个数为( )
①命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题；
②设α，β∈，则“α<β ”是“tan α③命题“自然数是整数”是真命题；
④命题“?x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“?x0∈R，x＋x0＋1<0.”
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ①命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x∈ 时，正切函数y＝tan x是增函数，所以当α，β∈时，α<β?tan α【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．设p：x＞2或x＜；q：x＞2或x＜－1，则?p是?q的________条件．
【解析】 ?p：≤x≤2.
?q：－1≤x≤2.?p??q，但?qD?p.
∴?p是?q的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
14．若命题“对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 若对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－160，则Δ＝4a2－4<0，即－10且x2－2ax＋1>0”是真命题时，有a∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，故a∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞)
15．给出下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．
其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．
【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．
【答案】 ①③
16．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若?p是?q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】 p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，
∵?p是?q的充分条件(即?p??q)，∴q?p，
∴∴－1≤a≤6.
【答案】 [－1,6]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：
(1)36是6与18的倍数；
(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；
(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．
【解】 (1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．
(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.
(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)全等三角形一定相似；
(2)末位数字是零的自然数能被5整除．
【解】 (1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；
否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；
逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．
(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；
否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；
逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．
19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)?x∈R，x2－3x＋3>0；
(4)有些质数不是奇数．
【解】 (1)所有自然数的平方是正数，假命题；
否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；
否定：?x0∈R,5x0－12≠0，真命题．
(3)?x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；
否定：?x0∈R，x－3x0＋3≤0，假命题．
(4)有些质数不是奇数，真命题；
否定：所有的质数都是奇数，假命题．
20．(本小题满分12分)(2016·汕头高二检测)设p：“?x0∈R，x－ax0＋1＝0”，q：“函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．
【解】 由x－ax0＋1＝0有实根，
得Δ＝a2－4≥0?a≥2或a≤－2.
因为命题p为真命题的范围是a≥2或a≤－2.
由函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a≥0.
因此命题q为真命题的范围是a≥0.
根据p∨q为假命题知：p，q均是假命题，p为假命题对应的范围是－2这样得到二者均为假命题的范围就是?－221．(本小题满分12分)(2016·惠州高二检测)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足x2－5x＋6≤0.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解】 (1)由x2－4ax＋3a2<0，
得(x－3a)·(x－a)<0，
又a>0，所以a当a＝1时，1实数x的取值范围是1由x2－5x＋6≤0得2≤x≤3，
所以q为真时，实数x的取值范围是2≤x≤3.
若p∧q为真，则2≤x<3，所以实数x的取值范围是[2,3)．
(2)设A＝{x|aB＝{x|2≤x≤3}，
由题意可知q是p的充分不必要条件，则B?A，
所以?122．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x，对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，试求实数a的取值范围. 【导学号：26160028】
【解】 由f(x)＝ax2＋x是二次函数，知a≠0.
|f(x)|≤1?－1≤f(x)≤1?－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]，①
当x＝0，a≠0时，①式显然成立；
当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－，
当x∈(0,1]时恒成立．
设t＝，则t∈[1，＋∞)，所以－t2－t≤a≤t2－t.
令f(t)＝－t2－t＝－2＋，t∈[1，＋∞)，
所以f(t)max＝－2.
令g(t)＝t2－t＝2－，t∈[1，＋∞)，
所以g(t)min＝0.所以只需－2≤a≤0.
综上所述，实数a的取值范围是[－2,0)．
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝－x2的准线方程是( )
A．x＝ B．y＝2
C．y＝ D．y＝－2
【解析】 将y＝－x2化为标准形式为x2＝－8y，故准线方程为y＝2.
【答案】 B
2．(2015·安徽高考)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
【解析】 法一 由渐近线方程为y＝±2x，可得＝±x，所以双曲线的标准方程可以为x2－＝1.
法二 A中的渐近线方程为y＝±2x；B中的渐近线方程为y＝±x；C中的渐近线方程为y＝±x；D中的渐近线方程为y＝±x.故选A.
【答案】 A
3．(2015·湖南高考)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，
∴＝.
又b2＝c2－a2，∴＝，
即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.
【答案】 D
4．抛物线y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是( ) 【导学号：26160065】
A．(1,0) B.
C．(0,1) D.
【解析】 ∵y2＝x的焦点坐标为，
∴关于直线y＝x对称后抛物线的焦点为.
【答案】 B
5．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】 设P(x0，y0)，又F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4.
S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝2，
∴|y0|＝1.又－y＝1，
∴x＝3(y＋1)＝6，∴·＝x＋y－4＝6＋1－4＝3.
【答案】 B
6．(2016·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )
A．2p B．4p
C．6p D．8p
【解析】 设A、B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则OA的方程为y＝x.由得y＝2p，∴△AOB的边长为4p.
【答案】 B
7．已知|A|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，O＝O＋O，则动点P的轨迹方程是( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
【解析】 设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y.因为|A|＝3，所以x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1.
【答案】 A
8．AB为过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的中心的弦F1为一个焦点，则△ABF1的最大面积是(c为半焦距)( )
A．ac B．ab
C．bc D．b2
【解析】 △ABF1的面积为c·|yA|，因此当|yA|最大，
即|yA|＝b时，面积最大．故选C.
【答案】 C
9．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B.
C. D.
【解析】 |F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6，
则|AF2|＝6－|AF1|，
|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°
＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
即(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
解得|AF1|＝，
所以S＝××2×＝.
【答案】 B
10．(2015·重庆高考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A．± B．±
C．±1 D．±
【解析】 由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.
∵A1B⊥A2C，
∴·＝－1，整理得a＝b.
∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，
∴渐近线的斜率为±1.
【答案】 C
11．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积是( )
A．3 B．2
C. D.
【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，
∴点A的横坐标为2.
将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝2，
∴A(2,2)，
∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．
联立直线与抛物线的方程
解之得或
由图知B，
∴S△AOB＝|OF|·|yA－yB|＝×1×|2＋|＝.
【答案】 D
12．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
【解析】 由题意，知a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝×2＝a，解得a2＝，b2＝，故选C.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
【解析】 由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2.根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b>0，所以b＝.
【答案】
14．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
【解析】 由题意知|F1F2|＝2＝4，设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝.
【答案】
15.如图1，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1的右焦点F，且两条曲线的交点连线也经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．
图1
【解析】 由条件知，c＝，
∴其中一个交点坐标为(c,2c)，
∴＋＝1，∴e4－6e2＋1＝0，
解得e2＝3±2，∴e＝±(±1)．
又0【答案】 －1
16．(2015·上海高考)已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为－y2＝1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为________．
【解析】 因为C1的方程为－y2＝1，所以C1的一条渐近线的斜率k1＝，所以C2的一条渐近线的斜率k2＝1，因为双曲线C1、C2的顶点重合，即焦点都在x轴上，
设C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
所以a＝b＝2，所以C2的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．
【解】 由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，可设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1(b>0)．
点P(3,4)在椭圆上，则＋＝1，得a2＝40，
双曲线过点P(3,4)的渐近线方程为y＝x，即4＝×3，得b2＝16.
所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
18．(本小题满分12分)(2016·厦门高二检测)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点，
(1)若|AB|＝10，求m的值；
(2)若OA⊥OB，求m的值．
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)?x2＋(2m－8)x＋m2＝0
?
|AB|＝|x1－x2|＝ ＝10，
得m＝，∵m＜2，∴m＝.
(2)∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.
x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0，
2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，
2m2＋m(8－2m)＋m2＝0，
m2＋8m＝0，m＝0或m＝－8.
经检验m＝－8.
19．(本小题满分12分)已知双曲线过点P，它的渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝41，求∠F1PF2的余弦值．
【解】 (1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－3的点P′的纵坐标的绝对值为4.
∵4>4，∴双曲线的焦点在x轴上，设方程为－＝1.
∵双曲线过点P(－3，4)，
∴－＝1.①
又＝，②
由①②，得a2＝9，b2＝16，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
(2)设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1·d2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d1－d2|＝2a＝6.
由余弦定理，得cos∠F1PF2＝
＝＝.
20．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB. 【导学号：26160066】
【解】 (1)由题设条件知，点M的坐标为，
又kOM＝，从而＝.
进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.
又＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.
21．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率e；
(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x2＋y2＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．
【解】 (1)由点F(－ae,0)，点A(0，b)，及b＝a，得直线FA的方程为＋＝1，即x－ey＋ae＝0.
因为原点O到直线FA的距离为
b＝ae，
所以·a＝ae，
解得e＝.
(2)设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x0，y0)，则有
解得x0＝a，y0＝a.
因为P在圆x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4.
所以a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4.
故椭圆C的方程为＋＝1，
点P的坐标为.
22．(本小题满分12分)(2016·郑州高二检测)已知经过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C，当直线l的斜率是时，A＝A.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
【解】 (1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知，当kl＝时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
所以又因为A＝A，
所以y2＝y1或y1＝4y2.
由p>0得：y1＝4，y2＝1，p＝2，即抛物线方程为x2＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，
由
得x2－4kx－16k＝0.①
所以x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
所以BC的中垂线方程为
y－2k2－4k＝－(x－2k)，
所以BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程①由Δ＝16k2＋64k>0得k>0或k<－4.所以b∈(2，＋∞)．
章末综合测评(三) 导数及其应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)＝α2－cos x，则f′(α)等于( )
A．sin α B．cos α
C．2α＋sin α D．2α－sin α
【解析】 f′(x)＝(α2－cos x)′＝sin x，当x＝α时，f′(α)＝sin α.
【答案】 A
2．若曲线y＝在点P处的切线斜率为－4，则点P的坐标是( )
A. B.或
C. D.
【解析】 y′＝－，由－＝－4，得x2＝，从而x＝±，分别代入y＝，得P点的坐标为或.
【答案】 B
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，归纳可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
【解析】 观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．
【答案】 D
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
【解析】 由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.故选B.
【答案】 B
5．已知函数f(x)＝xln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于( )
A．1 B．－1
C．±1 D．不存在
【解析】 因为f(x)＝xln x，所以f′(x)＝ln x＋1，于是有x0ln x0＋ln x0＋1＝1，解得x0＝1或x0＝－1(舍去)，故选A.
【答案】 A
6．过点(0,1)且与曲线y＝在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( ) 【导学号：26160104】
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋2＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x－y＋1＝0
【解析】 y′＝′＝＝，
∴y′|x＝3＝－，故与切线垂直的直线斜率为2，
所求直线方程为y－1＝2x，
即2x－y＋1＝0.故选D.
【答案】 D
7.已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则y＝f(x)( )
图1
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取得极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
【解析】 在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．
【答案】 C
8．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．a＞ B．a≥
C．a＜ D．a≤
【解析】 f′(x)＝3ax2－2x＋1在(－∞，＋∞)上恒非负，故解得a≥.
【答案】 B
9．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
【解析】 设内接矩形的长为x，
则宽为，
∴S2＝x2·＝y，
∴y′＝50x－x3.
令y′＝0，得x2＝50或x＝0(舍去)，
∴S＝625，即Smax＝25.
【答案】 C
10．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D.
【解析】 y′＝＝，令y′＝0，得x＝e.
当x>e时，y′<0；当00.
故y极大值＝f(e)＝e－1.因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.
【答案】 A
11．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)>2f(1)
C．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
【解析】 ①若f′(x)不恒为0，则当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，
所以f(x)在(1，＋∞)内单调递增，在(－∞，1)内单调递减．
所以f(2)>f(1)，f(1)即f(0)＋f(2)>2f(1)．
②若f′(x)＝0恒成立，则f(2)＝f(0)＝f(1)，
综合①②，知f(0)＋f(2)≥2f(1)．
【答案】 D
12．若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足f(x)＞－xf′(x)，则一定有( )
A．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为增函数
B．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为减函数
C．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数
D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减函数
【解析】 设G(x)＝xf(x)，则G′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，故G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上递增，故选C.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间为________．
【解析】 令f′(x)＝－1＞0，解不等式即可解得x＜1，注意定义域为(0，＋∞)．所以0＜x＜1.
【答案】 (0,1)
14．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．
【解析】 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9.
【答案】 9
15．若函数f(x)＝ln|x|－f′(－1)x2＋3x＋2，则f′(1)＝________.
【解析】 当x>0时，f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x＋2，
∴f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
∴f′(1)＝1－2f′(－1)＋3.
当x<0时，f(x)＝ln(－x)－f′(－1)x2＋3x＋2，
∴f′(x)＝－－2f′(－1)x＋3＝－2f′(－1)x＋3，
∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
∴f′(－1)＝－2，
∴f′(1)＝8.
【答案】 8
16．当x∈[－1,2]时，x3－x2－x【解析】 记f(x)＝x3－x2－x，
所以f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
又因为f＝，f(2)＝2，f(－1)＝－1，f(1)＝－1，
所以当x∈[－1,2]时，[f(x)]max＝2，所以m>2.
【答案】 (2，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1与直线l：4x－y－1＝0平行，且点P0在第三象限．
(1)求点P0的坐标； 【导学号：26160105】
(2)若直线l2⊥l1，且l2也过点P0，求直线l2的方程．
【解】 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l2⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l2的斜率为－.
∵l2过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l2的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
18．(本小题满分12分)(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．
(1)确定a的值；
(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．
【解】 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，
因为f(x)在x＝－处取得极值，
所以f′＝0，
即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.
(2)由(1)得，g(x)＝ex，
故g′(x)＝ex＋ex
＝ex
＝x(x＋1)(x＋4)ex.
令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.
当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；
当－40，故g(x)为增函数；
当－1当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．
19．(本小题满分12分)设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)，求g(x)的单调区间和最小值．
【解】 由题意知f′(x)＝，g(x)＝ln x＋，
∴g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．
所以g(x)的最小值为g(1)＝1.
20．(本小题满分12分)(2014·重庆高考)已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
【解】 (1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知
f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)可知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5，无极大值．
21．(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【解】 (1)因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)·
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
42
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
22．(本小题满分12分)(2016·秦皇岛高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象经过原点，f′(1)＝0，曲线y＝f(x)在原点处的切线与直线y＝2x＋3的夹角为135°.
(1)求f(x)的解析式； 【导学号：26160106】
(2)若对于任意实数α和β，不等式|f(2sin α)－f(2sin β)|≤m恒成立，求m的最小值．
【解】 (1)由题意，有f(0)＝c＝0，
f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①
又曲线y＝f(x)在原点处的切线的斜率k＝f′(0)＝b，而直线y＝2x＋3与此切线所成的角为135°，所以＝－1.②
联立①②解得a＝0，b＝－3，所以f(x)＝x3－3x.
(2)|f(2sin α)－f(2sin β)|≤m恒成立等价于
|f(x)max－f(x)min|≤m，由于2sin α∈[－2,2]，2sin β∈[－2,2]，故只需求出f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的最值，而f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝±1，列表如下：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－2
?
2
?
－2
?
2
所以f(x)max＝2，f(x)min＝－2，所以|f(x)max－f(x)min|＝4≤m，所以m的最小值为4.
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一、选择题
1．下列语句不是命题的有( )
①2＜1；②x＜2 016；③若x＜2，则x＜1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 ②不是命题，故选B.
【答案】 B
2．下列命题是真命题的是( )
A．{?}是空集
B．{x∈N||x－1|＜3}是无限集
C．π是有理数
D．x2－5x＝0的根是自然数
【解析】 解方程x2－5x＝0得x＝0或x＝5.故D正确．
【答案】 D
3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
【解析】 把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．
【答案】 C
4．(2016·日照高二期末)下列命题正确的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞－b，则－a＞b
C．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a－c＞b－c
【解析】 当c＝0时选项A不正确；a＞－b时，－a＜b，选项B不正确；当c＜0时，选项C不正确；由不等式的性质知选项D正确，故选D.
【答案】 D
5．下列说法正确的是( )
A．命题“x＋y为有理数，则x，y也都是有理数”是真命题
B．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当x＜0时，方程x2－4x＝0有负根”是假命题
【解析】 选项A不正确，如x＝，y＝－，则x＋y＝0为有理数；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D是正确的．
【答案】 D
二、填空题
6．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________. 【导学号：26160003】
【答案】 若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
7．命题“3mx2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 “3mx2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1＞0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m＞0时，且Δ＝m2－12m＜0，即0＜m＜12时，3mx2＋mx＋1＞0恒成立，所以0＜m＜12满足题意；
当m＜0时，3mx2＋mx＋1＞0不恒成立．
综上知0≤m＜12.
【答案】 [0,12)
8．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①(a·b)c＝(c·a)b；
②|a|－|b|＜|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中是真命题的序号是________．
【解析】 由于c与b不一定共线，故①错；又[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，从而知③错．
【答案】 ②④
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)函数y＝ax是指数函数；
(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2有唯一解．
【解】 (1)当a＞0且a≠1时，函数y＝ax是指数函数，所以是假命题．
(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2，即(a－1)x＝1，当a＝1时，方程无解；当a≠1时，方程有唯一解，所以是假命题．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)内接于圆的四边形的对角互补；
(2)被5整除的整数的末位数字是5；
(3)三角形相似，对应边成比例．
【解】 (1)若四边形内接于圆，则它的对角互补．真命题．
(2)若一个整数被5整除，则它的末位数字是5.假命题．
(3)若两个三角形相似，则它们的对应边成比例．真命题．
[能力提升]
1．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2 C．0 D．－3
【解析】 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4＜0.故当a＝0时适合条件．
【答案】 C
2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中，真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
【解析】 a·b＝0，在a，b为非零向量时可得a⊥b；a2＝b2可改写为|a|2＝|b|2，只能得出|a|＝|b|；a·b＝a·c，可移项得a⊥(b－c)，不可两边同除以向量．
【答案】 B
3．把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．
若函数f(x)＝3＋log2x(x＞0)的图象与g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________.
【解析】 设g(x)图象上任一点(x，y)，则它关于x轴的对称点为(x，－y)，此点在f(x)的图象上，故有－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x(x＞0)．
【答案】 －3－log2x(x＞0)
4．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B＝?是真命题，求实数m的取值范围．
【导学号：26160004】
【解】 当Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)<0，即－1所以解得m≥.
综上，m的取值范围是(－1，＋∞)．
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一、选择题
1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
【解析】 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．
【答案】 C
2．有下列四个命题：
(1)“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；
(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】
(1)
假
原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，为假命题
(2)
假
原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题
(3)
假
该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题
(4)
假
该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，显然是假命题
【答案】 A
3．下列说法中错误的个数是( )
①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”；
②命题“若x＞1，则x－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”；
③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”；
④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．
【答案】 C
4．已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】 易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.
【答案】 B
5．在下列四个命题中，真命题是( )
A．“x＝3时，x2＋2x－3＝0”的否命题
B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题
C．若ac>bc，则a>b
D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
【解析】 A中命题的否命题为“x≠3时，x2＋2x－3≠0”，是假命题；B中命题的逆命题为“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；C中当c<0时，为假命题；D中原命题与逆否命题等价，都是真命题．故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________．
【答案】 若x，y不全为零，则xy≠0
7．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)
【答案】 ②和③ ①和③ ①和②
8．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“△ABC中，若AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中，真命题的序号为________. 【导学号：26160008】
【解析】 ①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；
②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；
③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题是真命题；
④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集是R，则m>1，假命题．
所以应填①②③.
【答案】 ①②③
三、解答题
9．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
【解】 逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；
否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.
原命题是假命题．
逆否命题也是假命题．
逆命题是假命题．
否命题也是假命题．
10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
【解】 (1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．
证明如下：
∵ac＜0，
∴－ac＞0?Δ＝b2－4ac＞0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
[能力提升]
1．(2014·陕西高考)原命题为“若A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
【解析】 原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.
【答案】 A
2．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若x＝1，则x2＝1”的逆命题；④若m＞2，则x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则x＋y≠0”，为假命题；
命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；
命题③的逆命题是“若x2＝1，则x＝1”，为假命题；
命题④为真命题，当m＞2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.
【答案】 B
3．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________. 【导学号：26160009】
【解析】 由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．
∴
∴1≤m≤2.
【答案】 [1,2]
4．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
【解】 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4＞0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
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一、选择题
1．(2015·天津高考)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 |x－2|<1?10?x>1或x<－2.
由于{x|11或x<－2}的真子集，
所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．
【答案】 A
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
【解析】 当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
【答案】 A
3．已知非零向量a，b，c，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等，∴a·b＝a·cb＝c；反之，b＝c?a·b＝a·c.
【答案】 B
4．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β ”是“α∥β ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m?α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．
【答案】 B
5．已知p：x2－x＜0，那么命题p的一个必要非充分条件是( )
A．0＜x＜1 B．－1＜x＜1
C.＜x＜ D.＜x＜2
【解析】 x2－x＜0?0＜x＜1，运用集合的知识易知．
A中0＜x＜1是p的充要条件；
B中－1＜x＜1是p的必要非充分条件；
C中＜x＜是p的充分非必要条件；
D中＜x＜2是p的既不充分也不必要条件．应选B.
【答案】 B
二、填空题
6．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．
【解析】 “b2＝ac” “a，b，c成等比数列”，例如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”?“b2＝ac”成立．故是必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
7．“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上是增函数”是“a＜2”的________条件. 【导学号：26160014】
【解析】 ∵函数f(x)＝x2－2ax＋3的图象开口向上，对称轴为x＝a，
∴当f(x)在[1，＋∞)上为增函数时，a≤1，而a≤1?a＜2，a＜2a≤1.
∴是充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
8．下列三个结论：
①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
②若a，b∈R，则“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的充要条件；
③x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充要条件．
其中正确的结论是________．
【解析】 对于①，x2>4?x>2或x<－2，x3<－8?x<－2，∴①正确；对于②，a2＋b2＝0?a＝b＝0，∴②正确；对于③，x2＋(y－2)2＝0?x＝0且y＝2，x(y－2)＝0?x＝0或y＝2，∴③错误，应为充分不必要条件．
【答案】 ①②
三、解答题
9．已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，求a的值．
【解】 由题意得p：x≥－2，q：x≥a－1，因为p是q的充要条件，所以a－1＝－2，即a＝－1.
10．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x>1，q：x2>1；
(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(3)p：a【解】 (1)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分不必要条件．
(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(3)由于a1；当b>0时，<1，故若a0，b>0，<1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件．
[能力提升]
1．(2016·潍坊联考)“a＝－1”是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 “直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件是a2＋a＝0，即a＝－1或a＝0，所以a＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．
【答案】 A
2．(2016·忻州联考)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A．a≥4 B．a>4
C．a≥1 D．a>1
【解析】 要使得“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a>4是命题为真的一个充分不必要条件．
【答案】 B
3．(2016·南京模拟)设函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“f(x)为奇函数”是“φ＝”的________条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．
【解析】 当φ＝时，可得到f(x)为奇函数，但f(x)为奇函数时不一定φ＝，所以“f(x)为奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
4．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【导学号：26160015】
【解】 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}
＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝，
N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，
由已知p?q且qp，得M?N.
∴或
?≤a<2或学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨q
C．?p D．?p∧?q
【解析】 命题p真，命题q假，所以“p∨q”为真．
【答案】 B
2．如果命题“?(p∨q)”为假命题，则( )
A．p、q均为真命题
B．p、q均为假命题
C．p、q中至少有一个为真命题
D．p、q中至多有一个为假命题
【解析】 ∵?(p∨q)为假命题，∴p∨q为真命题，故p、q中至少有一个为真命题．
【答案】 C
3．由下列各组命题构成“p∨q”“p∧q”“?p”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“?p”为真的是( )
A．p：3为偶数，q：4是奇数
B．p：3＋2＝6，q：5＞3
C．p：a∈{a，b}；q：{a}?{a，b}
D．p：Q?R；q：N＝N
【解析】 由已知得p为假命题，q为真命题，只有B符合．
【答案】 B
4．已知全集U＝R，A?U，B?U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“?p”是( )
A.?A B.∈(?UA)∩(?UB)
C.∈?UB D.?(A∩B)
【解析】 由p：∈(A∪B)，可知?p：?(A∪B)，即∈?U(A∪B)，而?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，故选B.
【答案】 B
5．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )
A．(?p)∨q B．p∧q
C．(?p)∧(?q) D．(?p)∨(?q)
【解析】 由于命题p：所有有理数都是实数，为真命题，命题q：正数的对数都是负数，为假命题，所以?p为假命题，?q为真命题，故只有(?p)∨(?q)为真命题．
【答案】 D
二、填空题
6．设命题p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.
【解析】 由题意有
解得
【答案】 3 －3
7．命题“若a【解析】 命题“若p，则q”的否命题是“若?p，则?q”，命题的否定是“若p，则?q”．
【答案】 若a≥b，则2a≥2b 若a8．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，命题q：?＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)
(1)p假，q真 (2)“p∨q”为真
(3)“p∧q”为真 (4)“?p”为真
【解析】 p真，q假，故p∨q为真．
【答案】 (2)
三、解答题
9．写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“?p”形式的命题，并判断其真假：
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解；
(3)p：集合中元素是确定的，q：集合中元素是无序的．
【解】 (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
∵q：梯形有一组对边相等是假命题，
∴命题p∧q是假命题．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
∵p：梯形有一组对边平行是真命题，
∴命题p∨q是真命题．
?p：梯形没有一组对边平行．
∵p是真命题，∴?p是假命题．
(2)p∧q：－3与－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．
p∨q：－3或－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．
?p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
∵p是真命题，
∴?p是假命题．
(3)p∧q：集合中的元素是确定的且是无序的，是真命题．p∨q：集合中的元素是确定的或是无序的，是真命题．
?p：集合中的元素是不确定的，是假命题．
10．已知命题p：1∈{x|x2(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
【解】 若p为真，则1∈{x|x2所以121；
若q为真，则2∈{x|x2所以224.
(1)若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．
[能力提升]
1．p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
【解析】 要使“p∧q”为真命题，须满足p为真命题，q为真命题，既点P(x，y)既在直线上，也在曲线上，只有C满足．
【答案】 C
2．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，lg x＝0 B．?x∈R，tan x＝1
C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0
【解析】 易知A，B，D项中均为真命题，对于C项，当x＝0时，x3＝0，C为假命题．
【答案】 C
3．已知条件p：(x＋1)2＞4，条件q：x＞a，且?p是?q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【解析】 由?p是?q的充分而不必要条件，可知?p??q，但?q?p，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q?p但pq，又p：x＞1或x＜－3，可知{x|x＞a}?{x|x＜－3或x＞1}，所以a≥1.
【答案】 [1，＋∞)
4．设有两个命题，命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围. 【导学号：26160019】
【解】 对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集为?，
所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解这个不等式，得－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，
所以p，q必是一真一假．
当p真q假时，有－3综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列命题是“?x∈R，x2＞3”的表述方法的是( )
A．有一个x∈R，使得x2＞3
B．对有些x∈R，使得x2＞3
C．任选一个x∈R，使得x2＞3
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3
【答案】 C
2．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2＞0
C．任意无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
【解析】 只有A，C两个选项中的命题是全称命题，且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题．
【答案】 A
3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称命题
C．②③是特称命题
D．四个命题中有两个是假命题
【答案】 C
4．(2014·湖南高考)设命题p：?x∈R，x2＋1>0，则?p为( )
A．?x0∈R，x＋1>0 B．?x0∈R，x＋1≤0
C．?x0∈R，x＋1<0 D．?x∈R，x2＋1≤0
【解析】 根据全称命题的否定为特称命题知B正确．
【答案】 B
5．下列四个命题：
p1：?x∈(0，＋∞)，x＜x；
p2：?x∈(0,1)，x＞x；
p3：?x∈(0，＋∞)，x＞x；
p4：?x∈，x＜x.
其中的真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
【解析】 取x＝，
则x＝1，x＝log32＜1，p2正确．
当x∈时，x＜1，而x＞1，p4正确．
【答案】 D
二、填空题
6．(2016·大同二诊)已知命题p：“?x0∈R，sin x0>1”，则?p为________．
【解析】 根据特称命题的否定为全称命题，并结合不等式符号的变化即可得出?p为?x∈R，sin x≤1.
【答案】 ?x∈R，sin x≤1
7．若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意知，0∴即解得
∴1【答案】 (－，－1)∪(1, )
8．若“?x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________. 【导学号：26160023】
【解析】 由于“?x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值集合就是二次函数f(x)＝x2＋2x＋2的值域，即{m|m≥1}．
【答案】 [1，＋∞)
三、解答题
9．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)对于任意的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；
(4)存在实数x0，使得x0≤0.
【解】 (1)是一个特称命题，用符号表示为：?α∈R，使sin2α＋cos2α≠1，假命题．
(2)是一个全称命题，用符号表示为：?直线l，l都存在斜率，假命题．
(3)是一个全称命题，用符号表示为：?a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，假命题．
(4)是一个特称命题，用符号表示为：?x0∈R，使得x0≤0，真命题．
10．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
【解】 (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．
[能力提升]
1．(2015·浙江高考)命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>n
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n
C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0
D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0
【解析】 写全称命题的否定时，要把量词?改为?，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
【答案】 D
2．(2015·合肥二模)已知命题p：?x∈R,2x<3x，命题q：?x0∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(?q)
C．(?p)∧q D．(?p)∧(?q)
【解析】 对于命题p，当x＝0时，20＝30＝1，所以命题p为假命题，?p为真命题；对于命题q，作出函数y＝x3与y＝1－x2的图象，可知它们在(0,1)上有一个交点，所以命题q为真命题，所以(?p)∧q为真命题，故选C.
【答案】 C
3．(2016·西城期末)已知命题p：?x0∈R，ax＋x0＋≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 因为命题p是假命题，所以?p为真命题，即?x∈R，ax2＋x＋>0恒成立．当a＝0时，x>－，不满足题意；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有
即解得所以a>，即实数a的取值范围是.
【答案】
4．(2016·日照高二检测)已知p：?x∈R,2x>m(x2＋1)，q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围.
【导学号：26160024】
【解】 2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0.
若p：?x∈R,2x>m(x2＋1)为真，
则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立．
当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；
当m≠0时，有m<0，Δ＝4－4m2<0，所以m<－1.
若q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0为真，
则方程x＋2x0－m－1＝0有实根，
所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.
又p∧q为真，故p，q均为真命题．
所以m<－1且m≥－2，所以－2≤m<－1.
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．－2
【解析】 根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.故选C.
【答案】 C
2．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点及邻近一点，则＝( )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
【解析】 ∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，
∴＝＝－3－Δx.故选D.
【答案】 D
3．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
【解析】 因为＝＝＝18＋3Δt，所以 ＝18.
【答案】 B
4.如图3－1－1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
图3－1－1
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 ＝＝＝－1.
【答案】 B
5．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为( )
A．0 B．3
C．3 D．6
【解析】 f′(x0)＝ ＝
＝
＝ (－8＋2x0＋Δx)
＝－8＋2x0＝4，所以x0＝3.
【答案】 C
二、填空题
6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
【解析】 ＝＝7Δt＋14t0，
当 (7Δt＋14t0)＝1时，t0＝.
【答案】
7．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
【解析】 Δy＝－
＝－＝＝，
∴＝＝－，
即k＝＝－.
∴当Δx＝1时，k＝－＝－.
【答案】 －
8．已知函数f(x)＝，则f′(2)＝________.
【解析】 ＝
＝ ＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．求y＝x2＋＋5在x＝2处的导数．
【解】 ∵Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－
＝4Δx＋(Δx)2＋，
∴＝4＋Δx－，
∴y′|x＝2＝
＝
＝4＋0－＝.
10．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围. 【导学号：26160069】
【解】 因为函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx＞0，
即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
[能力提升]
1．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
【解析】 k1＝＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定．
【答案】 D
2．设函数在x＝1处存在导数，则 ＝( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
【解析】 ＝ ＝f′(1)．
【答案】 C
3．如图3－1－2是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
图3－1－2
【解析】 由函数f(x)的图象知，
f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为：＝＝.
【答案】
4．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2 s时的瞬时速度；
(3)求t＝0 s到t＝2 s时的平均速度. 【导学号：26160070】
【解】 (1)＝＝3－Δt.
当Δt→0时，→3，
所以v0＝3.
(2)
＝＝－Δt－1.
当Δt→0时，→－1，
所以t＝2时的瞬时速度为－1.
(3)＝＝＝1.
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知函数y＝f(x)的图象如图3－1－6，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
图3－1－6
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
【解析】 f′(A)与f′(B)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(A)【答案】 B
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
【解析】 f′(x0)＝0，说明曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合．
【答案】 B
3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
【解析】 ∵y＝x2，
∴k＝y′＝ ＝
＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴2x＝tan＝1，
∴x＝，则y＝.
【答案】 D
4．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过点P处的切线方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
【解析】 与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.
由y＝x2知，y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.
所以过P(1,1)且与直线y＝－x＋1垂直的直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
【答案】 A
5．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D.
【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝
＝
＝[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x.
∵k＝3，∴3x＝3.
∴x0＝1或x0＝－1，
∴y0＝1或y0＝－1.
∴点P的坐标为(－1，－1)或(1,1)．
【答案】 B
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．
【解析】 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
【答案】 3
7．若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝________. 【导学号：26160074】
【解析】 设切点P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0，即f′(x0)＝4x0.y′|x＝x0＝4x0，
由?
即P(1,3)．
又P(1,3)在直线4x－y＋m＝0上，
故4×1－3＋m＝0，∴m＝－1.
【答案】 －1
8．若函数y＝f(x)的图象在点P(4，f(4))处的切线方程是y＝－2x＋9，则f(4)＋f′(4)＝________.
【解析】 由导数的几何意义知，f′(4)＝－2，又点P在切线上，则f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
【解】 曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率
k＝y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
10．已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)过点P(3,9)与曲线相切的切线方程．
【解】 y′＝
＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.
[能力提升]
1．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【解析】 令x→0，则2x→0，所以 ＝ ＝f′(1)＝－1，故过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为－1.
【答案】 B
2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图3－1－7所示，则该函数的图象是( )
图3－1－7
【解析】 由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．
【答案】 B
3．如图3－1－8是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.
图3－1－8
【解析】 由题图可知切线方程为y＝－x＋，
所以f(2)＝，f′(2)＝－，
所以f(2)＋f′(2)＝.
【答案】
4．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 【导学号：26160075】
【解】 由＝＝2x＋Δx，
得y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，
由点斜式得所求切线方程为：
y－y0＝2x0(x－x0)．
又因为切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，
即x－2x0＋a－1＝0.
因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，且a的取值范围是(－∞，2)．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
【解析】 ∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x．故选D.
【答案】 D
2．函数y＝(＋1)(－1)的导数等于( )
A．1 B．－
C. D．－
【解析】 因为y＝(＋1)(－1)＝x－1，所以y′＝x′－1′＝1.
【答案】 A
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2
【解析】 ∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，
即y＝2x＋1.故选A.
【答案】 A
4．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
【解析】 因为y′＝－，所以由导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．
【答案】 A
5．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
【解析】 ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________. 【导学号：26160079】
【解析】 因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－，x2＝2.
【答案】 －或2
7．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
【解析】 ∵y＝x－，∴y′＝－x－，
∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．
令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64.
【答案】 64
8．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
【解析】 ∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)2(x－1)；
(2)y＝x2sin x；
(3)y＝.
【解】 (1)法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.
法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，
y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.
(2)y′＝(x2sin x)′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(3)y′＝
＝＝.
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
【解】 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，
所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
[能力提升]
1．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A. B．－
C．－e D．e
【解析】 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.故选D.
【答案】 D
2．若f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 016(x)＝( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
【解析】 因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，因此f2 016(x)＝f4(x)＝sin x.
【答案】 A
3．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________.
【解析】 因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，
所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)·(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)，
所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.
【答案】 120
4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求证：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 【导学号：26160080】
【解】 (1)7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得
故f(x)＝x－.
(2)证明：设点P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋可知曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为：y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为··|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝f(x)的图象如图3－3－4所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
图3－3－4
【解析】 由函数y＝f(x)的图象可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f(x)均为减函数，故在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，f′(x)均小于0，故选D.
【答案】 D
2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．有最大值 D．有最小值
【解析】 ∵cos x≤1，∴f′(x)＝2－cos x>0恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
【答案】 A
3．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
【解析】 y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－3【答案】 D
4．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)C．f(3)【解析】 因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)【答案】 A
5．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】 由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．
【答案】 D
二、填空题
6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________. 【导学号：26160084】
【解析】 f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1【答案】 － －6
7．函数y＝ax3－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为________．
【解析】 y′＝3ax2≤0恒成立，解得a≤0.
而a＝0时，y＝－1，不是减函数，∴a<0.
【答案】 a<0
8．在下列命题中，真命题是________．(填序号)
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)>0；
②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；
③若在(a，b)内对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；
④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0.
【解析】 对于①，可以存在x0，使f′(x0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f′(x)<0只能得到f(x)单调递减．
【答案】 ③
三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x＋sin x，x∈(0,2π)；
(2)f(x)＝2x－ln x.
【解】 (1)∵f′(x)＝＋cos x，
令f′(x)>0，得＋cos x>0，即cos x>－.
又∵x∈(0,2π)，∴0同理，令f′(x)<0，得π∴该函数的单调递增区间为，；
单调递减区间为.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
其导函数为f′(x)＝2－.
令2－>0，解得x>；
令2－<0，解得0∴该函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
10．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a的取值范围．
【解】 函数求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0，又因为函数在区间(6，＋∞)内为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7，即实数a的取值范围为[5,7]．
[能力提升]
1．已知函数y＝xf′(x)的图象如图3－3－5所示，下面四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是( )
图3－3－5
【解析】 由题图可知，当x<－1时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－10，所以f′(x)<0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当01时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应是上升的，由上述分析，可知选C.
【答案】 C
2．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有( ) 【导学号：26160085】
A．f(x)＞g(x)
B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
【解析】 ∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0，
∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，
∴当a＜x＜b时，f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．故选C.
【答案】 C
3．若函数f(x)＝ln x－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝－ax－2＝－.
因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解．
又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内有解．
①当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，
ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解；
②当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，
若ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解，
则
解得－1≤a<0；
③当a＝0时，显然符合题意．
综合上述，a的取值范围是[－1，＋∞)．
【答案】 [－1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－a，∵3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，又∵y＝3x2≥0，∴当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，又a＝0时，f′(x)＝3x2不恒为0，∴a≤0.
(2)∵3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在(－1，1)上恒成立．但当x∈(－1，1)时，0≤3x2<3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极值情况是( )
A．极大值为5，极小值为－27
B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值
D．极小值为－27，无极大值
【解析】 y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令y′＝0，得x＝－1或x＝3.
当－2＜x＜－1时，y′＞0；
当－1＜x＜2时，y′＜0.
所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．
【答案】 C
2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
【解析】 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
【答案】 B
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
【解析】 ∵f(x)＝xex，
∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
∴当f′(x)≥0时，
即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，
∴x≥－1时，函数f(x)为增函数．
同理可求，x<－1时，函数f(x)为减函数．
∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
【答案】 D
4．(2016·邢台期末)函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是( )
A．a＞1或a≤0 B．a＞1
C．0＜a＜1 D．a＞1或a＜0
【解析】 f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a＞0，解得a＜0或a＞1.故选D.
【答案】 D
5．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A．a<－1 B．a>－1
C．a<－ D．a>－
【解析】 因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·临沂高二检测)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________．
【解析】 y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
由y′＝0，得x＝0或4.
且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′<0；x∈(0,4)时，y′>0.
∴x＝4时函数取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
【答案】 －19
7．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________. 【导学号：26160089】
【解析】 f′(x)＝＋2bx＋3＝，
∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，
∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．
∴由根与系数的关系知
解得
【答案】 －2 －
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图3－3－7所示，则函数的极小值是________．
图3－3－7
【解析】 由图象可知，
当x<0时，f′(x)<0，
当00，
故x＝0时，函数f(x)取到极小值f(0)＝c.
【答案】 c
三、解答题
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
【解】 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
2(1－ln 2＋a)
?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)．
所以f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
10.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图3－3－8所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，求a，b，c的值．
图3－3－8
【解】 ∵函数的图象经过(0,0)点，∴c＝0.
又图象与x轴相切于(0,0)点，且f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∴f′(0)＝0，即0＝3×02＋2a×0＋b，得b＝0.
∴f(x)＝x3＋ax2.
令f(x)＝x3＋ax2＝0，得x＝0或x＝－a，由图象知a<0.
令f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)＝0，
∴当0当x>－a时，f′(x)>0.
∴当x＝－a时，函数有极小值－4.
即3＋a2＝－4，解得a＝－3.
∴a＝－3，b＝0，c＝0.
[能力提升]
1．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
【解析】 不妨取函数为f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，易判断x0＝－1为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A；
因为f(－x)＝－x3＋3x，f′(－x)＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为f(－x)的极大值点，故排除B；
又－f(x)＝－x3＋3x，[－f(x)]′＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为－f(x)的极大值点，故排除C；
∵－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点．故D正确．
【答案】 D
2．如图3－3－9所示是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于( )
图3－3－9
A. B.
C. D.
【解析】 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
【答案】 C
3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则极大值与极小值之差为________. 【导学号：26160090】
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，
∴?
∴f′(x)＝3x2－6x，
令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
【答案】 4
4．若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．
【解】 f(x)＝2x3－6x＋k，
则f′(x)＝6x2－6，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，
可知f(x)在(－1,1)上是减函数，
f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.
要使函数f(x)只有一个零点，
只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)，
即k＜－4或k＞4.
∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列是函数f(x)在[a，b]上的图象，则f(x)在(a，b)上无最大值的是( )
【解析】 在开区间(a，b)上，只有D选项中的函数f(x)无最大值．
【答案】 D
2．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2 B．3
C. D．2＋
【解析】 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，
且x∈(0,1]时，f′(x)<0；x∈(1,5]时，f′(x)>0，
∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
【答案】 B
3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值为( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
因为f(0)＝2，f(－1)＝－2，f(1)＝0，
所以M＝2，m＝－2.
所以M－m＝4.
【答案】 C
4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a＜1 B．0＜a＜1
C．－1＜a＜1 D．0＜a＜
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0得x2＝a.
∴x＝±.
又∵f(x)在(0,1)内有最小值，
∴0＜＜1，∴0＜a＜1.故选B.
【答案】 B
5．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )
A．1 B．4
C．－1 D．0
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2，
∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2＞0，即f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，
∴c＝4.
【答案】 B
二、填空题
6．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________．
【解析】 f′(x)＝3xln 3＋cos x.
∵x∈[0，π]时，3xln 3＞1，－1≤cos x≤1，
∴f′(x)＞0.
∴f(x)递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.
【答案】 1
7．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a＞1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－1，则a＝________，b＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a.
∵a＞1，
∴当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－1－a
＋b
?
极大
值b
?
1－a
＋b
由题意得b＝1.
f(－1)＝－，f(1)＝2－，
f(－1)＜f(1)，
∴－＝－1，∴a＝.
【答案】 1
8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________. 【导学号：26160094】
【解析】 ∵x∈(0,1]，
∴f(x)≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.
当 00；
当∴g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，
它也是最大值，故a≥4.
【答案】 [4，＋∞)
三、解答题
9．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；
(2)y＝5－36x＋3x2＋4x3，x∈(－2,2)．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f′(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
(2)y′＝－36＋6x＋12x2，令y′＝0，即12x2＋6x－36＝0，解得x1＝，x2＝－2(舍去)．
当x∈时，f′(x)＜0，函数单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，函数单调递增．
∴函数f(x)在x＝时取得极小值f＝－28，无极大值，即在(－2,2)上函数f(x)的最小值为－28，无最大值．
10．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0【解】 由f′(x)＝－x2＋x＋2a
＝－2＋＋2a，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a；令＋2a>0，得a>－.所以，当a>－时，f(x)在上存在单调递增区间．
(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，
x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)所以f(x)在[1,4]上的最小值为
f(4)＝8a－＝－，
得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
[能力提升]
1．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
【解析】 令u(x)＝f(x)－g(x)，
则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴u(x)在[a，b]上为减函数，
∴u(x)在[a，b]上的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．
【答案】 A
2．设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为( )
A.(1＋ln 3) B.ln 3
C．1＋ln 3 D．ln 3－1
【解析】 由题意知，|MN|＝|x3－ln x|.设h(x)＝x3－ln x，h′(x)＝3x2－，令h′(x)＝0，得x＝，易知，当x＝时，h(x)取得最小值，h(x)min＝－ln＝>0，故|MN|min＝＝(1＋ln 3)．
【答案】 A
3．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________. 【导学号：26160095】
【解析】 由f(x)≥2，得a≥2x2－2x2ln x.
设g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝e或x＝0(舍去)，
因为当00；当x>e时，g′(x)<0.
所以当x＝e时，g(x)取得最大值g(e)＝e，故a≥e.
【答案】 a≥e
4．设＜a＜1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b的值．
【解】 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.
由题意可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
?
b
?
－＋b
?
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，
而f(0)＞f(a)，f(1)＞f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1＞0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1，
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)＜0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
综上，a＝，b＝1.
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一、选择题
1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m
C．4 m D．2 m
【解析】 设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，因此h＝＝4(m)．
【答案】 C
2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
【解析】 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390.
由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x＜300时，P′(x)＞0；当300≤x≤390时，P′(x)＜0，所以当x＝300时，P(x)最大．故选D.
【答案】 D
3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16 B．30,15
C．40,20 D．36,18
【解析】 要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短．
设场地宽为x米，则长为米，
因此新墙总长L＝2x＋(x＞0)，
则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．
此时长为＝32(米)，可使L最小．
【答案】 A
4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
【解析】 毛利润为(P－20)Q，
即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11 700
＝－3(P＋130)(P－30)．
令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．
又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，
故当P＝30时，毛利润最大，
∴f(P)max＝f(30)＝23 000(元)．
【答案】 D
5．三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为( )
A．4 B．8
C. D.
【解析】 V＝×·y＝＝＝(0＜x＜3)，
V′＝＝2x－x2＝x(2－x)．
令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．
∴x＝2时，V最大为.
【答案】 C
二、填空题
6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
【解析】 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，令S′表＝2πR－＝0，得R＝3，即当R＝3时，S表最小．
【答案】 3
7．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米. 【导学号：26160099】
【解析】 设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
【答案】 800
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【解析】 设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
∴两项费用之和为y＝＋(x＞0)，
y′＝－＋，令y′＝0，
得x＝5或x＝－5(舍去)．
当0＜x＜5时，y′＜0；
当x＞5时，y′＞0.
∴当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
∴当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
【答案】 5
三、解答题
9．(2016·武汉高二检测)某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？
【解】 设该厂生产x件这种产品利润为L(x)，
则L(x)＝500x－2 500－C(x)
＝500x－2 500－
＝300x－x3－2 500(x∈N)，
令L′(x)＝300－x2＝0，
得x＝60(件)，
又当0≤x≤60时，L′(x)>0，
x>60时，L′(x)<0，
所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝60时，L(x)max＝9 500元．
10．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
【解】 设容器底面较短的边长为x m，则容器底面较长的边长为(x＋0.5)m，高为＝3.2－2x(m)，
由3.2－2x>0和x>0，得0设容器容积为y m3，
则y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令y′＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去)，
当00；
当1所以在x＝1处y有最大值，此时容器的高为1.2 m，最大容积为1.8 m3.
[能力提升]
1．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)是每小时400元．如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为( )
A．30千米/时 B．25千米/时
C．20千米/时 D．10千米/时
【解析】 设航速为v(0≤v≤30)，燃料费为m，
则m＝kv3，
∵v＝10时，m＝25，代入上式得k＝，
则总费用y＝·m＋×400＝20v2＋，
∴y′＝40v－.
令y′＝0，得v＝20.
经判断知v＝20时，y最小，故选C.
【答案】 C
2．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.3π B.3π
C.3π D.3π
【解析】 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，
∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，
而r＞0，∴r＝是其唯一的极值点．
当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
【答案】 A
3．如图3－4－4，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
图3－4－4
【解析】 设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的；
x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
【答案】
4．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0【解】 由题意，得本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)万元，本年度每辆车出厂价为13(1＋0.7 x)万元，本年度的年利润为
f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]y
＝(3－0.9x)×3 240×
＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)．
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)．
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以，当x＝时，f(x)取得极大值，f＝20 000.
因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
故当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．
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一、选择题
1．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．4x±3y＝0 B．16x±9y＝0
C．3x±4y＝0 D．9x±16y＝0
【解析】 由题意知，双曲线焦点在x轴上，且a＝3，b＝4，∴渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.
【答案】 A
2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
【解析】 令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.
【答案】 A
3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 由已知，得b＝1，c＝，a＝＝.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以渐近线方程为y＝±x＝±x.
【答案】 C
4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
【解析】 由题意得e＝＝2，∴＝2a，
∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.
【答案】 D
5．与曲线＋＝1共焦点，且与曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为－＝λ(λ＜0)，即－＝1.
由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－.
故所求双曲线的方程为－＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．
【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得＝，∴＝3，即e＝3.
【答案】 3
7．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长是________．
【解析】 联立消去y，得x2＋3x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，x1x2＝2，
∴|AB|＝·＝2.
【答案】 2
8．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________.
【导学号：26160051】
【解析】 由双曲线为x2－＝1得渐近线为y＝±bx，则交点A(2,2b)，B(2，－2b)．
∵S△AOB＝×2×4b＝8，∴b＝2.
又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5.
∴焦距2c＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为，求双曲线C的方程．
【解】 依题意，双曲线的焦点在y轴上，顶点坐标为(0，a)，渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，
所以＝＝.
又e＝＝，
所以b＝1，即c2－a2＝1，2－a2＝1，
解得a2＝4，故双曲线方程为－x2＝1.
10．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使|PF1|＝2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围．
【解】 由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示．
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点P，使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.
∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a.
又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜≤3，即1＜e≤3.
[能力提升]
1．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－10,0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
【解析】 双曲线方程化为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又∵e∈(1,2)，∴1<<2，解得－12【答案】 B
2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1.
【答案】 B
3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
【解析】 由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，
设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，
＝(2－x，－y)，
∴·＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2－x－2＋y2，
由双曲线方程得y2＝3x2－3，
代入上式得·＝4x2－x－5
＝42－，
又x≥1，所以当x＝1时，·取得最小值，且最小值为－2.
【答案】 －2
4．(2016·荆州高二检测)双曲线C的中点在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程； 【导学号：26160052】
(2)设直线L：y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
【解】 (1)设双曲线的方程为－＝1，由焦点坐标得c＝，渐近线方程为y＝±x＝±x，结合c2＝a2＋b2得a2＝，b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1，即3x2－y2＝1.
(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0，
由Δ>0，且3－k2≠0，得－设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.
又x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，所以＋1＝0，解得k＝±1.
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一、选择题
1．抛物线的焦点是，则其标准方程为( )
A．x2＝－y B．x2＝y
C．y2＝x D．y2＝－x
【解析】 易知－＝－，∴p＝，焦点在x轴上，开口向左，其方程应为y2＝－x.
【答案】 D
2．(2014·安徽高考)抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
【解析】 ∵y＝x2，∴x2＝4y.∴准线方程为y＝－1.
【答案】 A
3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定
【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，将点(2,4)代入可得p＝4或p＝，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y，故选C.
【答案】 C
4．若抛物线y2＝ax的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( )
A．(－2,0) B．(2,0)
C．(2,0)或(－2,0) D．(4,0)
【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为＝4，解得a＝±8.当a＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.
【答案】 C
5．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴＝2，即p＝4.
【答案】 D
二、填空题
6．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝________.
【解析】 由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－，由题意知3＋＝4，∴p＝2.
【答案】 2
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则P的轨迹方程是________．
【解析】 由题意知，P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，直线x＋2＝0为准线的抛物线，所以p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
【答案】 y2＝8x
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号 )
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k.若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④
三、解答题
9．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐标．
【解】 由抛物线定义，焦点为F，则准线为x＝.由题意，设M到准线的距离为|MN|，则|MN|＝|MF|＝10，
即－(－9)＝10.∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x，将M(－9，y)代入y2＝－4x，解得y＝±6，
∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
10．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【导学号：26160056】
【解】 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
∵两圆外切，∴|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切．
∴圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
∴|MC|＝d＋1，即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
[能力提升]
1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B.
C．1 D.
【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.
【答案】 B
2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和到y轴的距离之和的最小值是( )
A. B.
C．2 D.－1
【解析】 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
【答案】 D
3．如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图2－3－2
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.
∴x2＝－2y.
当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，
∴x0＝.
∴水面宽|CD|＝2 m.
【答案】 2
4．若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离． 【导学号：26160057】
【解】 设抛物线焦点为F，连结AF，BF，如图，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.
由抛物线定义，知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.
又M为AB中点，由梯形中位线定理，得
|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，
则x≥－＝1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，所以xmin＝1，即M点到y轴的最短距离为1.
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一、选择题
1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
【解析】 由定义，知|AB|＝5＋2＝7，因为|AB|min＝4，所以这样的直线有且仅有两条．
【答案】 B
2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
【解析】 设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝＝＝2.故选B.
【答案】 B
3．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】 由y2＝x得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选A.
【答案】 A
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在抛物线上，得y＝2px1，①
y＝2px2，②
由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1＋y2＝4，直线AB的斜率为1，故2p＝4，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－＝－1.
【答案】 B
5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若O·A＝－4，则点A的坐标为( ) 【导学号：26160061】
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
【解析】 设A(x，y)，则y2＝4x，①
O＝(x，y)，A＝(1－x，－y)，O·A＝x－x2－y2＝－4，②
由①②可解得x＝1，y＝±2.
【答案】 B
二、填空题
6．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．
【解析】 可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，
设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，
则由消去x得y2－4y＋4m＝0.
∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.
又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝，
则所求的最小距离为.
【答案】
7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
【解析】 设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，
当m＝0时，y＋y最小为32.
【答案】 32
8．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.
【解析】 设过抛物线焦点的直线为y＝k，
联立得
整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝.
|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24，
代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0
得12x2－13x＋3＝0，
解之得x1＝，x2＝，又|AF|＜|BF|，
故|AF|＝x1＋＝.
【答案】
三、解答题
9．求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
【解】 如图所示，若直线的斜率不存在，
则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，
由得
即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．
若直线的斜率存在，
则设直线为y＝kx＋1，代入y2＝2x得：
k2x2＋(2k－2)x＋1＝0，
当k＝0时，直线方程为y＝1，与抛物线只有一个交点．
当k≠0时，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0?k＝.此时，直线方程为y＝x＋1.
可知，y＝1或y＝x＋1为所求的直线方程．
故所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
10．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
【解】 由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，
焦点F，直线l：x＝，
∴A，B两点坐标为，，
∴|AB|＝2|p|.
∵△OAB的面积为4，
∴··2|p|＝4，∴p＝±2.
∴抛物线方程为y2＝±4x.
[能力提升]
1．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．6
C．12 D．7
【解析】 ∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，
∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，
即y＝x－.
联立得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12.
【答案】 C
2．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，O为原点，若||＝||，且抛物线的焦点恰好为△AOB的垂心，则直线AB的方程是( )
A．x＝p B．x＝p
C．x＝p D．x＝3p
【解析】 ∵||＝|O|，
∴A，B关于x轴对称．
设A(x0，)，B(x0，－)．
∵AF⊥OB，F，
∴·＝－1，
∴x0＝p.
【答案】 C
3．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．
【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.设过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1.∴k>1或k<－1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．已知直线l：y＝x＋，抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设A，B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若O·O＝0(O为原点，A，B异于原点)，试求点N的轨迹方程. 【导学号：26160062】
【解】 (1)直线l：y＝x＋.①
过原点且垂直于l的直线方程为y＝－2x.②
由①②，得x＝－.
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，
∴－＝－×2，∴p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)．
由O·O＝0，得x1x2＋y1y2＝0.
又y＝4x1，y＝4x2，
解得y1y2＝－16.③
直线ON：y＝x，即y＝x.④
由③④及y＝y1，得点N的轨迹方程为x＝－4(y≠0)．
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一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )
A．(±4,0) B．(0，±4)
C．(±3,0) D．(0，±3)
【解析】 根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在y轴上，所以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选D.
【答案】 D
2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<－2
C．a>3或a<－2 D．a>3或－6【解析】 由a2>a＋6>0，得
所以所以a>3或－6【答案】 D
3．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋y2＝1
D.＋y2＝1或x2＋＝1
【解析】 a＝，c＝2，
∴b2＝()2－(2)2＝1，
a2＝13，而由于焦点不确定，
∴D正确．
【答案】 D
4．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是( )
A．4x2＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
【解析】 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1.①
将x0＝2x，y0＝y代入方程①，
得4x2＋y2＝1.
故选A.
【答案】 A
5．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2 B．4
C．8 D.
【解析】 如图，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，则ON是△F1MF2的中位线，
∴|ON|＝|MF2|，
又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
∴|MF2|＝8，∴|ON|＝4.
【答案】 B
二、填空题
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
【解析】 当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，
∴c＝1.
∴m－4＝1，m＝5.
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.
【答案】 3或5
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________. 【导学号：26160032】
【解析】 法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
8．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
【解析】 由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2.
在△PF1F2中，
cos ∠F1PF2＝＝－.
∴∠F1PF2＝120°.
【答案】 2 120°
三、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和为8；
(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9或15.
【解】 (1)①若焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意知2a＝8，∴a＝4，
又点P(3,2)在椭圆上，
∴＋＝1，得b2＝.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②若焦点在y轴上，设椭圆标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
∵2a＝8，∴a＝4，
又点P(3,2)在椭圆上，
∴＋＝1，得b2＝12.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
由①②知椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由题意知，2c＝16,2a＝9＋15＝24，
∴a＝12，c＝8，b2＝80.
又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
∴所求方程为＋＝1或＋＝1.
10．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．
【解】 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系．
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．
由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，
得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8.
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a＝10，即a＝5，且点A不能在x轴上．
由a＝5，c＝4，得b2＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
[能力提升]
1．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
【解析】 由已知2c＝|F1F2|＝2，
∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
故选B.
【答案】 B
2．(2016·银川高二检测)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【解析】 设A为椭圆的左焦点，而BC边过右焦点F，如图．可知|BA|＋|BF|＝2a，|CA|＋|CF|＝2a，两式相加得|AB|＋|BF|＋|CA|＋|CF|＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝4a.而椭圆标准方程为＋y2＝1，因此a＝2，故4a＝8，故选C.
【答案】 C
3．(2016·苏州高二检测)P为椭圆＋＝1上一点，左、右焦点分别为F1，F2，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
【解析】 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由椭圆定义，得r1＋r2＝20.①
由余弦定理，得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos 60°，
即r＋r－r1r2＝144，②
由①2－②，得3r1r2＝256，
∴S△PF1F2＝r1r2sin 60°＝××＝.
【答案】
4．(2016·南京高二检测)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求||·||的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.
【导学号：26160033】
【解】 (1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
即|F1F2|＝2，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，即||·||的最大值为4.
(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－.
又＋y＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，又与方向相反，故λ＝1舍去，即λ＝－7.
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
【解析】 椭圆方程可化为＋＝1.
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，
离心率e＝＝.故选B.
【答案】 B
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵椭圆焦点在x轴上，
∴0＜m＜2，a＝，c＝，
e＝＝＝.
故＝，∴m＝.
【答案】 B
3．中心在原点，焦点在x轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.故所求方程为＋＝1.
【答案】 A
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，又e>0，故所求的椭圆的离心率为.故选B.
【答案】 B
5．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( )
A．(0,3) B.
C．(0,3)∪ D．(0,2)
【解析】 当焦点在x轴上时，e2＝＝∈，
解得0＜k＜3.
当焦点在y轴上时，
e2＝＝∈，
解得k＞.综上可知选C.
【答案】 C
二、填空题
6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为________. 【导学号：26160036】
【解析】 由题意得
解得
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
【答案】 ＋＝1或＋＝1
7．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
【解析】 若焦点在x轴上，则＝1－2＝，k＝；若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3.
【答案】 或－3
8．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．
【解析】 设P点到x轴的距离为h，则
S△PF1F2＝|F1F2|h，
当P点在y轴上时，h最大，此时S△PF1F2最大，
∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．
【解】 因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a－c＝2－.又e＝＝，
∴a＝2，c＝，b2＝1，
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
10.如图2－1－3所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．
图2－1－3
【解】 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．
又∠MF1F2＝30°，
所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝|MF1|.
而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a，
因此|MF1|＝，|MF2|＝，
所以2c＝×，即＝，
即椭圆的离心率是.
[能力提升]
1．(2016·长沙一模)已知P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2＝60°，|PF2|＝|PF1|，则椭圆的离心率为( )
A. B.－1
C．2－ D．1－
【解析】 由题意可得△PF1F2是直角三角形，|F1F2|＝2c，|PF1|＝c，|PF2|＝c.点P在椭圆上，由椭圆的定义可得e＝＝＝＝＝－1.
【答案】 B
2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
【解析】 由题意得F(－1,0)，
设点P(x0，y0)，
则y＝3(－2≤x0≤2)，
·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，
当x0＝2时，·取得最大值为6.
故选C.
【答案】 C
3．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________.
【导学号：26160037】
【解析】 由题意得＝，解得c＝a.又短轴长为2b，则2b＝8，即b＝4，故b2＝a2－c2＝a2－2＝16，则a2＝25.故椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
4．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
【解】 (1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|BF1|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得
|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k>0，故a＝3k，
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
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一、选择题
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
【解析】 ∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，
∴＋＜1.∴＜.
则a2＜2，∴－＜a＜.
【答案】 A
2．已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是( )
A．k＜－或k＞ B．－＜k＜
C．k≤－或k≥ D．－≤k≤
【解析】 由
得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0.
∵直线与椭圆有公共点．
∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，
则k≥或k≤－.
【答案】 C
3．(2016·重庆高二检测)过椭圆＋＝1的一个焦点F作垂直于长轴的弦，则此弦长为( )
A. B．3
C．2 D.
【解析】 因为F(±1,0)，所以过椭圆的焦点F且垂直于长轴的弦与椭圆的交点坐标为，所以弦长为3.
【答案】 B
4．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得线段的中点的坐标是( )
A. B.
C. D.
【解析】 联立方程消去y，得3x2＋4x－2＝0.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)．
∴x1＋x2＝－，x0＝＝－，y0＝x0＋1＝，
∴中点坐标为.
【答案】 C
5．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则·＝( ) 【导学号：26160041】
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
【解析】 椭圆右焦点为(1,0)，
设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把y＝x－1代入＋y2＝1，
得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B，
∴·＝－.
【答案】 B
二、填空题
6．直线l过定点A(－3,0)，则过点A的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
【解析】 ∵A(－3,0)为椭圆长轴一个顶点，
∴当过点A作椭圆切线时，直线与椭圆有一个公共点(即切点)；当过点A作与椭圆相交的直线时，二者有两个交点，故填1或2.
【答案】 1或2
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且P·A＝0，则|P|的最小值是________．
【解析】 易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵P·A＝0，
∴A⊥P.
∴|P|2＝|A|2－|A|2＝|A|2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|A|min＝2，
∴|P|min＝.
【答案】
8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 由题意知，右焦点坐标为(1,0)，直线的方程为y＝2(x－1)，将其与＋＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，
所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.
设原点到直线的距离为d，则d＝＝.
所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝.
【答案】
三、解答题
9．已知椭圆＋＝1，直线l：y＝4x＋，若椭圆上存在两点P、Q关于直线l对称，求直线PQ的方程．
【解】 法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则kPQ＝－.
设PQ所在直线方程为y＝－＋b.
由消去y，得
13x2－8bx＋16b2－48＝0.
∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0.
解得b2＜，x1＋x2＝，
设PQ中点为M(x0，y0)，则有
x0＝＝，y0＝－·＋b＝.
∵点M在直线y＝4x＋上，
∴＝4·＋，∴b＝－.
直线PQ的方程为y＝－x－，
即2x＋8y＋13＝0.
法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
M(x0，y0)是PQ的中点．
则有两式相减，得
3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
∴＝－＝－kPQ.
∵kPQ＝－，∴y0＝3x0.
代入直线y＝4x＋，
得x0＝－，y0＝－，
则直线PQ的方程为y＋＝－，
即2x＋8y＋13＝0.
10．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
【解】 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝.
(2)直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x1－x2|，
即＝|x1－x2|.
所以(x1＋x2)2－4x1x2＝，
即－＝＝，
解得b2＝或b2＝－(舍去)，
又b＞0，∴b＝.
[能力提升]
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，A(－a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点F到AB的距离为，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 直线AB的方程是＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.因为点F的坐标为(－c,0)，所以＝，化简，得8c2－14ac＋5a2＝0，两端同除以a2，得8e2－14e＋5＝0，解得e＝.
【答案】 C
2．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若F＝3F，则|A|＝( )
A. B．2
C. D．3
【解析】 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1,0)．
由F＝3F，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×2＋2＝1.解得n2＝1，
∴|A|＝＝＝.
【答案】 A
3．若直线y＝kx＋1与曲线x＝有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
【解析】 由x＝，得x2＋4y2＝1(x≥0)，
又∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时，
k＝－，则相交时k＜－.
【答案】
4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，A＝2F.
(1)求椭圆C的离心率； 【导学号：26160042】
(2)如果|AB|＝，求椭圆C的标准方程．
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1<0，y2>0.
(1)直线l的方程为y＝(x－c)，
其中c＝.
联立，得
消去x，得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝
因为A＝2F，所以－y1＝2y2，
即＝2·，
得离心率e＝＝.
(2)因为|AB|＝|y2－y1|，
所以·＝.
由＝，得b＝a，所以a＝，所以a＝3，b＝.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
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一、选择题
1．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是( )
A．17 B．7
C．7或17 D．2或22
【解析】 由双曲线方程－＝1得a＝5，
∴||PF1|－|PF2||＝2×5＝10.
又∵|PF1|＝12，∴|PF2|＝2或22.
故选D.
【答案】 D
2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
【解析】 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1.
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
【答案】 A
3．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x＜0) D.－＝1(x＞0)
【解析】 由双曲线的定义得，P点的轨迹是双曲线的一支．由已知得∴a＝3，c＝5，b＝4.故P点的轨迹方程为－＝1(x＞0)，因此选D.
【答案】 D
4．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为( )
A. B.
C. D.
【解析】 不妨设点F1(－3,0)，
容易计算得出
|MF1|＝＝，
|MF2|－|MF1|＝2.
解得|MF2|＝.
而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，
由|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，
求得F1到直线F2M的距离d为.故选C.
【答案】 C
5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2
C．1或 D．1
【解析】 由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，所以可解得a＝1，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________. 【导学号：26160046】
【解析】 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则解得故双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
7．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆；②当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
【解析】 ①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则，∴t＞4.
【答案】 ②③④
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【解析】 设右焦点为F′，依题意，
|PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.
【答案】 9
三、解答题
9．求以椭圆＋＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．
【解】 由＋＝1，得a＝4，b＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得
2a＝|－|
＝2，∴a＝，又c＝3，
从而b2＝c2－a2＝4，
又焦点在y轴上，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C.
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
【解】 (1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.
(2)∵sin B－sin A＝sin C，
∴由正弦定理得|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
[能力提升]
1．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 由题意，得||PF1|－|PF2||＝2，|F1F2|＝2.因为∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，所以(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|×＝8，所以|PF1|·|PF2|＝8－22＝4.
【答案】 B
2．(2016·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 由双曲线定义||MF1|－|MF2||＝2a，两边平方得：|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|＝4a2，因为·＝0，故△MF1F2为直角三角形，有|MF1|2＋|MF2|2＝(2c)2＝40，而||·||＝2，∴40－2×2＝4a2，∴a2＝9，∴b2＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
【答案】 A
3．若F1，F2是双曲线8x2－y2＝8的两焦点，点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，则△PF1F2的周长为________．
【解析】 双曲线8x2－y2＝8可化为标准方程x2－＝1，所以a＝1，c＝3，|F1F2|＝2c＝6.因为点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝6，或|PF2|＝|F1F2|＝6，当|PF1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF2|＝|PF1|－2a＝6－2＝4，所以△PF1F2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF2|＝6时，△PF1F2的周长为6＋6＋8＝20.
【答案】 16或20
4.如图2－2－2，已知双曲线中c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12.求双曲线的标准方程．
【导学号：26160047】
图2－2－2
【解】 由题意可知双曲线的标准方程为－＝1.
由于||PF1|－|PF2||＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝＝
，
所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2b2·＝b2，
从而有b2＝12，所以b2＝12，c＝2a，结合c2＝a2＋b2，得a2＝4.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
