模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“a?A或b?B”的否定形式是( )
A．若a?A，则b?B B．a∈A或b∈B
C．a?A且b?B D．a∈A且b∈B
【解析】 “p或q”的否定为“綈p且綈q”，D正确．
【答案】 D
2．已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵a2＜2a?a(a－2)＜0?0＜a＜2.
∴“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．
【答案】 B
3．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意，1－＝＝，∴＝，而双曲线的离心率e2＝1＋＝1＋＝，∴e＝.
【答案】 B
4．已知空间向量a＝(t，1，t)，b＝(t－2，t，1)，则|a－b|的最小值为( )
A. B.
C．2 D．4
【解析】 |a－b|＝≥2，故选C.
【答案】 C
5．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有( )
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．以上都不对
【解析】 对于＋＝1，因a2>9或a2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A，B，C均不正确，故选D.
【答案】 D
6．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1-AB-C为( )
A. B.
C. D.
【解析】 以A为原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面ABC的一个法向量为＝(0，0，1)，平面ABC1的一个法向量为＝(0，1，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，∴〈，〉＝，又二面角C1-AB-C为锐角，即π－π＝，故选D.
【答案】 D
7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“?x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
【解析】 ∵?x∈[1，2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.
【答案】 C
8．已知p：<0，q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的( )
【导学号：18490126】
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 不等式<0的解集为{x|x<－2}，则綈p：x≥－2.q：x>－2.故綈pq，q?綈p，故选C.
【答案】 C
9.如图1，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线，分别交抛物线的准线l、y轴、抛物线于A，B，C三点，若＝3，那么直线AF的斜率是( )
图1
A．－ B．－
C．－ D．－1
【解析】 过点B，C分别作准线l的垂线，垂足分别为B1，C1，设|BC|＝a.因为O是EF的中点，BO∥AE，所以|AB|＝|BF|＝3a，|CF|＝|CC1|＝2a，在△ACC1中，|AC1|＝2a，tan∠AFO＝tan∠ACC1＝，故直线AF的斜率是－，故选A.
【答案】 A
10．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C 于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则k的值为( )
A．－ B.
C．± D．±
【解析】 由题意知点B的横坐标是c，故点B的坐标为，则斜率k＝＝±＝±＝±＝±(1－e)＝±，故选C.
【答案】 C
11．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，4，|BF|成等差数列，则k＝( )
A．2或－1 B．－1
C．2 D．1±
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)>0，解得k>－1，且x1＋x2＝.由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|，4，|BF|成等差数列，得x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4，所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2，故选C.
【答案】 C
12．(2016·上海杨浦模考)若F1，F2为双曲线C：－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，点P到x轴的距离为|yP|，则S△F1PF2＝r1r2sin 60°＝r1r2，又4c2＝r＋r－2r1r2cos 60°＝(r1－r2)2＋2r1r2－r1r2＝4a2＋r1r2，得r1r2＝4c2－4a2＝4b2＝4，所以S△F1PF2＝r1r2sin 60°＝＝·2c·|yP|＝|yP|，得|yP|＝，故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知空间三点的坐标为A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)，若A，B，C三点共线，则p＋q＝________．
【解析】 由已知，得＝k，所以(p－1，－2，q＋4)＝k(1，－1，3)，得到p＝3，q＝2，p＋q＝5.
【答案】 5
14．已知命题p：?x0∈R，ax＋x0＋≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 因为命题p为假命题，所以命题“?x∈R，ax2＋x＋>0”为真命题．当a＝0时，取x＝－1，则不等式不成立； 当a≠0时，要使不等式恒成立，令ax2＋x＋＝0，则有即所以即实数a的取值范围是.
【答案】
15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB＝，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为______. 【导学号：18490127】
【解析】 如图所示，设|AF|＝a，|BF|＝b，则|AB|＝，而根据抛物线的定义可得|MN|＝，又≤，所以＝≤，当且仅当a＝b时，等号成立，即的最大值为.
【答案】
16．四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的正弦值为________．
【解析】 如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由已知P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，则重心G，因此＝(0，0，1)，＝，所以sin θ＝|cos〈，〉|＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
【解】 ∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件．∴BA.
当B＝?时，得a＝0；
当B≠?时，由题意得B＝{1}或B＝{2}．
则当B＝{1}时，得a＝1；当B＝{2}时，得a＝.
综上所述，实数a组成的集合是.
18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量与的夹角为120°，·＝2.
图2
(1)求圆C的方程；
(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程．
【解】 (1)连结CQ，建立如图坐标系，由题意得△CQM为正三角形．
∴·＝r2·cos 60°＝2，
∴r＝2，
∴圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)易知M(2，0)，N(－2，0)，Q(1，)，
2a＝|QN|＋|QM|＝2＋2.
∴c＝2，a＝＋1，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆的方程为＋＝1.
19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.
图3
(1)求证：AM⊥PD；
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．
【解】 (1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.
∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD.
∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD.
(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，M(0，1，1)，
于是＝(1，2，0)，＝(0，1，1)，＝(－1，0，0)．
设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥可得
令z＝1，得x＝2，y＝－1，于是n＝(2，－1，1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，
则sin α＝＝，cos α＝.
故直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.
20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．
图4
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；
(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．
【解】 (1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图(1)．
图(1)
∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.
在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，
∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴AA1⊥CD.
又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1)，
图(2)
∴＝(－4k，6k，0)，＝(0，3k，1)，＝(0，0，1)．
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由得
取y＝2，得n＝(3，2，－6k)．
设AA1与平面AB1C所成的角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，故所求k的值为1.
21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．
图5
(1)用p表示|AB|；
(2)若·＝－3，求这个抛物线的方程．
【解】 (1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.
(2)由(1)知，x1x2＝，x1＋x2＝3p，
∴y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，∴·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，解得p2＝4，∴p＝2.
∴这个抛物线的方程为y2＝4x.
22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
图6
(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
【导学号：18490128】
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
【解】 (1)∵BF2＝，而BF＝OB2＋OF＝b2＋c2＝2＝a2，
∵点C在椭圆上，C，
∴＋＝1，
∴b2＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线BF2的方程为＋＝1，与椭圆方程＋＝1联立方程组，
解得A点坐标为，
则C点的坐标为，
又F1为(－c，0)，kF1C＝＝，
又kAB＝－，由F1C⊥AB，得·＝－1，
即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝＝.
章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．
【答案】 D
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 把全称量词改为存在量词并把结论否定．
【答案】 D
3．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．
【答案】 A
4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．
【答案】 A
5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A．?x0∈R，使得f(x0)＞0成立
B．?x0∈R，使得f(x0)≤0成立
C．?x∈R，使得f(x)＞0成立
D．?x∈R，f(x)≤0成立
【解析】 “关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.
【答案】 A
6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( ) 【导学号：18490031】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.
【答案】 A
7．命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝( )
A．? B．{c|c<－1}
C．{c|c≥－1} D．R
【解析】 命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}．于是A∩B＝?，故选A.
【答案】 A
8．对?x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是( )
A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0
C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0
【解析】 由题意知kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒成立；当k≠0时，有即－4＜k＜0，所以－4＜k≤0.
【答案】 C
9．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0＜0.下列选项中为真命题的是( )
A．綈p B．綈p∨q
C．綈q∧p D．q
【解析】 很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p∨q为假命题，綈q∧p为真命题，故选C.
【答案】 C
10．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．
【答案】 D
11．已知命题p：?x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( )
A．?x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．?x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．?x≤0，使得(x＋1)ex≤1
【解析】 因为全称命题?x∈M，p(x)的否定为?x0∈M，綈p(x)，故綈p：?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.
【答案】 B
12．已知p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使p∧q为真命题的点P的坐标是( )
A．(0，－3) B．(1，2)
C．(1，－1) D．(－1，1)
【解析】 因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题．所以点P为直线y＝2x－3与直线y＝－3x＋2的交点．解方程组得即点P的坐标为(1，－1)．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
【解析】 p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
【答案】 p∨q与綈p
14．(2016·临川高二检测)“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．
【解析】 命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．
【答案】 末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
15．已知f(x)＝x2＋2x－m，如果f(1)>0是假命题，f(2)>0是真命题，则实数m的取值范围是______．
【解析】 依题意，∴3≤m<8.
【答案】 [3，8)
16．给出以下判断：
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；
②命题“?x∈N，x3>x2”的否定是“?x0∈N，使x>x”；
③“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数”的充要条件；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．
其中正确命题的序号是________. 【导学号：18490032】
【解析】 ①②④是假命题，③是真命题．
【答案】 ③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
(1)q：所有的矩形都是正方形；
(2)r：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使x＋3＝0.
【解】 (1)綈q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．
(2)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．这是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．
(3)綈s：?x∈R，x3＋3≠0，假命题．这是由于当x＝－时，x3＋3＝0.
18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；
(3)p：0
【解】 (1)因为{x|x2－x－6<0}＝{x|－2所以{x|x>－2或x<3}{x|－2而{x|－2－2或x<3}．
所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为a，b都是奇数?a＋b为偶数，而a＋b为偶数a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．
(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根????.
所以p是q的充要条件．
19．(本小题满分12分)已知命题p：不等式2x－x2如果“綈p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围. 【导学号：18490033】
【解】 2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以p为真时，
m>1.由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3，
所以q为真时，m≤－1或m≥3.
因为“綈p”与“p∧q”同时为假命题，
所以p为真命题，q为假命题，所以得
即120．(本小题满分12分)已知两个命题p：sin x＋cos x＞m，q：x2＋mx＋1＞0，如果对任意x∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
【解】 当命题p是真命题时，
由于x∈R，则sin x＋cos x＝sin≥－，
所以有m＜－.
当命题q是真命题时，
由于x∈R，x2＋mx＋1＞0，
则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．
考虑到函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x∈R，x2＋mx＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p为假，q为真，
此时有
解得－≤m＜2，
所以实数m的取值范围是[－，2)．
21．(本小题满分12分)已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】 (1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为p是q的充分不必要条件，所以是不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0的解集的真子集．
法一 因为方程t2－(a＋3)t＋a＋2＝0的两根为1和a＋2，
所以只需a＋2>，解得a>.
即实数a的取值范围为.
法二 令f(t)＝t2－(a＋3)t＋a＋2，因为f(1)＝0，
所以只需f<0，解得a>.
即实数a的取值范围为.
22．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
【证明】 充分性：∵∠A＝90°，
∴a2＝b2＋c2.
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
∴x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.
∴该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，
即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
∴该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．
可以发现，x1＝x3，
∴方程有公共根．
必要性：设x是方程的公共根，
则
由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)．
代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.
∴∠A＝90°.
∴结论成立．
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A. B．2
C．2 D．4
【解析】 方程化为标准方程为－＝1，
∴a2＝3，b2＝9.
∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.
【答案】 D
2．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为
【解析】 抛物线可化为x2＝y，故开口向上，焦点为.
【答案】 B
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( ) 【导学号：18490079】
A. B.
C．1 D.
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.
【答案】 B
4．已知抛物线C1：y＝2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y＝－x对称，则抛物线C2的准线方程是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
【解析】 抛物线C1：y＝2x2关于直线y＝－x对称的C2的表达式为－x＝2(－y)2，即y2＝－x，其准线方程为x＝.
【答案】 C
5．已知点F，A分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵·＝0，∴FB⊥AB，∴b2＝ac，又b2＝c2－a2，∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－1－e＝0，∴e＝.
【答案】 D
6．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 由e＝，得＝，
∴c＝a，b＝＝a.
而－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，
∴所求渐近线方程为y＝±x.
【答案】 C
7.如图1，已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是( )
图1
A. B.
C. D.
【解析】 因为PF⊥x轴，所以P.
又OP∥AB，所以＝，即b＝c.
于是b2＝c2，
即a2＝2c2，所以e＝＝.
【答案】 A
8．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C. D.
【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为F(－2，0)，
所以c＝2.
所以c2＝a2＋b2＝a2＋1，
即4＝a2＋1，解得a＝.
设P(x，y)，则·＝x(x＋2)＋y2，
因为点P在双曲线－y2＝1上，
所以·＝x2＋2x－1＝－－1.
又因为点P在双曲线的右支上，所以x≥.
所以当x＝时，·最小，且为3＋2，
即·的取值范围是[3＋2，＋∞)．
【答案】 B
9．已知定点A，B满足|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( )
A. B.
C. D．5
【解析】 已知定点A，B满足|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则点P的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝2.所以|PA|的最小值是点A到右顶点的距离，即为a＋c＝2＋＝，选C.
【答案】 C
10．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则n＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 依题意知，a＝，b＝，
∴c2＝a2－b2＝2－n，
又e＝，
∴＝＝，∴n＝.
【答案】 B
11．已知直线y＝k(x＋2)与双曲线－＝1，有如下信息：联立方程组消去y后得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，分类讨论：(1)当A＝0时，该方程恒有一解；(2)当A≠0时，Δ＝B2－4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1, ] B．[，＋∞)
C．(1，2] D．[2，＋∞)
【解析】 依题意可知直线恒过定点(－2，0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2，0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－，即0【答案】 B
12．已知点P为抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q，则点Q( )
A．位于原点的左侧 B．与原点重合
C．位于原点的右侧 D．以上均有可能
【解析】 设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D，C，圆与直线l、直线PF分别切于点A，B.如图，由抛物线的定义知|PC|＝|PF|，由切线性质知|PA|＝|PB|，于是|AC|＝|BF|.又|AC|＝|DO|，|BF|＝|FQ|，所以|DO|＝|FQ|，而|DO|＝|FO|，所以O，Q重合，故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2013·江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
【解析】 由双曲线方程可知a＝4，b＝3，
所以两条渐近线方程为y＝±x.
【答案】 y＝±x
14．(2016·东城高二检测)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．
【解析】 由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.
【答案】 8
15.如图2所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________. 【导学号：18490080】
图2
【解析】 由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线l为x＝－2，∴K(－2，0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，
|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，
∴y0＝4，即A(2，4)，∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8.
【答案】 8
16．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|PQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
【解析】 设直线l的方程为
y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由联立得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝－，
∴＝－＝－1＋，
＝，
即Q.又|FQ|＝2，F(1，0)，
∴＋＝4，解得k＝±1.
【答案】 ±1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程．
【解】 设椭圆的半焦距为c，依题意，
得a＝且e＝＝，
∴a＝，c＝，
从而b2＝a2－c2＝1，
因此所求椭圆的方程为＋y2＝1.
18．(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．
【解】 (1)|PF1|·|PF2|≤＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，
∴|PF1|·|PF2|＝， ①
由题意知：
∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2. ②
由①②得c＝6，∴b＝8.
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若椭圆＋＝1的离心率为，且左、右焦点为F1，F2.试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．
【解】 (1)依题意，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝16(a>0)．
∵圆与y轴相切，∴a＝4，
∴圆的方程为(x－4)2＋y2＝16.
(2)∵椭圆＋＝1的离心率为，
∴e＝＝＝，解得b2＝9.
∴c＝＝4，
∴F1(－4，0)，F2(4，0)，
∴F2(4，0)恰为圆心C，
(ⅰ)过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2，则∠P1F2F1＝∠P2F2F1＝90°，符合题意；
(ⅱ)过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，
连接CP3，CP4，则∠F1P3F2＝∠F1P4F＝90°，符合题意．
综上，圆C上存在4个点P，使得△PF1F2为直角三角形．
20．(本小题满分12分)(2016·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
【解】 (1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点P(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)法一 由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
法二 ∵＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底边|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝6.
21．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
【解】 (1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2，0)．因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±.
所以菱形OABC的面积是
|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)四边形OABC不可能为菱形．理由如下：
假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由消去y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则＝－，
＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，
所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程； 【导学号：18490081】
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－.求证：△AOB的面积为定值．
【解】 (1)由题意得，b＝＝，＝，
又a2＋b2＝c2，
联立解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标满足
消去y化简得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
由Δ>0得4k2－m2＋3>0，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝k2＋km＋m2＝.
∵kOA·kOB＝－，＝－，即y1y2＝－x1x2，
∴＝－·，即2m2－4k2＝3，
∵|AB|＝
＝
＝＝.
又O到直线y＝kx＋m的距离d＝.
∴S△AOB＝d|AB|＝
＝
＝
＝，为定值．
章末综合测评(三) 空间向量与立体几何
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．与向量a＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是( )
A. B．(－1，－3，2)
C. D.
【解析】 a＝(1，－3，2)＝－2.
【答案】 C
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝，＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝1 D．x＝1，y＝
【解析】 ＝＋＝＋
＝＋＝＋(＋)，
∴x＝1，y＝.应选D.
【答案】 D
3．已知A(2，－4，－1)，B(－1，5，1)，C(3，－4，1)，D(0，0，0)，令a＝，b＝，则a＋b为( )
A．(5，－9，2) B．(－5，9，－2)
C．(5，9，－2) D．(5，－9，－2)
【解析】 a＝＝(－1，0，－2)，b＝＝(－4，9，0)，
∴a＋b＝(－5，9，－2)．
【答案】 B
4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝a＋2b＋3c，则abc的值等于( ) 【导学号：18490123】
A. B.
C. D．－
【解析】 ∵＝＋－＝a＋2b＋3c，∴a＝1，b＝，c＝－.∴abc＝－.
【答案】 D
5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是( )
A.＝－ B.·＝0
C.·＝0 D.·＝0
【解析】 如图，∥，⊥，⊥B1D1，故A，B，C选项均正确．
【答案】 D
6．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是l⊥α的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 若l⊥α，则l垂直于α内的所有直线，从而有c·a＝0，c·b＝0.反之，由于a，b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．
【答案】 B
7．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 设BC的中点为D，则D(2，1，4)，
∴＝(－1，－2，2)，
∴||＝＝3，即BC边上的中线长为3.
【答案】 B
8．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x＝( )
A．3 B．－3
C．－11 D．3或－11
【解析】 因为a·b＝(x，4，5)·(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为，所以＝，解得x＝3或－11(舍去)，故选A.
【答案】 A
9.如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( )
图1
A. B.
C. D.
【解析】 以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，
∴＝(－2，0，1)，＝(－2，2，0)，且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴sin〈1，〉＝|cos〈1，〉|＝，
∴BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为.
【答案】 D
10．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
【答案】 A
11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为( )
A.，－ B．－，－
C．－， D.，
【解析】 由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－，故选A.
【答案】 A
12．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A-BD-P的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，
则＝，
＝(－3，4，0)．
设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则
得
即令x＝1，则n＝.
又n1＝为平面ABCD的一个法向量，
∴cos〈n1，n〉＝＝.∴所求二面角为30°.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________. 【导学号：18490124】
【解析】 由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.
【答案】 －
14．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，0，)，B，C(－1，0, )，则角A的大小为________．
【解析】 ＝，＝(－1，0，0)，则cos A＝＝＝，故角A的大小为30°.
【答案】 30°
15．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2，3)，B(2，1，－1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为________．
【解析】 设点C的坐标为(x，0，z)，则＝(x－1，2，z－3)，＝(1，3，－4)，因为与共线，所以＝＝，解得所以点C的坐标为.
【答案】
16.如图2，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.
图2
给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0，其中正确结论的序号是________．
【解析】 容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2cos∠ASB，·＝2×2cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
【答案】 ③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．如图3，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
图3
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)证明：PC∥平面BAQ.
【证明】 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.
(1)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，所以·＝0，·＝0，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC且DQ∩DC＝D.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)根据题意，＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，＝(0，1，0)，故有·＝0，·＝0，所以为平面BAQ的一个法向量．
又因为＝(0，－2，1)，且·＝0，即DA⊥PC，且PC?平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.
18. (本题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
图4
【解】 因为＝＋
＝＋，＝－，
且·＝·
＝·＝0，
所以·＝(＋)·(－)
＝·－2＋·－·
＝－1.
又||＝，||＝＝，
所以cos〈，〉＝
＝＝－，
则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.
19. (本小题满分12分)如图5，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
图5
(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C-PB-A的余弦值．
【解】 (1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC?平面PBC.
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.
如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.
又因为PA＝1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，1，1)．
故＝(，0，0)，＝(0，1，1)．
设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则所以
不妨令y1＝1，则n1＝(0，1，－1)．
因为＝(0，0，1)，＝(，－1，0)，
设平面ABP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则所以
不妨令x2＝1，则n2＝(1, ，0)．
于是cos〈n1，n2〉＝＝.
由图知二面角C-PB-A为锐角，故二面角C-PB-A的余弦值为.
20. (本小题满分12分)如图6，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面ABCD.
图6
(1)求证：平面PED⊥平面PAC; 【导学号：18490125】
(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A-PC-D的余弦值．
【解】 (1)∵平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，AB⊥PA，
∴PA⊥平面ABCD，
又∵AB⊥AD，故可建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，
不妨设BC＝4，AP＝λ(λ>0)，
则有D(0，2，0)，E(2，1，0)，C(2，4，0)，P(0，0，λ)，
∴＝(2，4，0)，＝(0，0，λ)，＝(2，－1，0)，
∴·＝4－4＋0＝0，·＝0，
∴DE⊥AC，DE⊥AP且AC∩AP＝A，
∴DE⊥平面PAC.
又DE?平面PED，
∴平面PED⊥平面PAC.
(2)由(1)知，平面PAC的一个法向量是＝(2，－1，0)，＝(2，1，－λ)，
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
∴sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，解得λ＝±2.
∵λ>0，∴λ＝2，即P(0，0，2)，
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(2，2，0)，＝(0，－2，2)，
由n⊥，n⊥，
∴不妨令x＝1，则n＝(1，－1，－1)．
∴cos〈n，〉＝＝，
显然二面角A-PC-D的平面角是锐角，
∴二面角A-PC-D的余弦值为.
21. (本小题满分12分)如图7，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
图7
(1)求证：BE∥平面PAD；
(2)若BE⊥平面PCD，
①求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
②求二面角E-BD-C的余弦值．
【解】 设AB＝a，PA＝b，建立如图的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，P(0，0，b)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，E.
(1)＝，＝(0，2a，0)，＝(0，0，b)，所以＝＋，
因为BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD.
(2)因为BE⊥平面PCD，所以BE⊥PC，
即·＝0，＝(2a，2a，－b)，
所以·＝2a2－＝0，则b＝2a.
①＝(0，2a，－2a)，＝(a，2a，0)，cos〈，〉＝＝，所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为.
②在平面BDE和平面BDC中，＝(0，a，a)，＝(－a，2a，0)，＝(a，2a，0)，所以平面BDE的一个法向量为n1＝(2，1，－1)；平面BDC的一个法向量为n2＝(0，0，1)；cos〈n1，n2〉＝，所以二面角E-BD-C的余弦值为.
22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．
图8
(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【解】 以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，＝(－2，0，2)，＝(－1，0，λ)，＝(1，1，0)．
(1)当λ＝1时，＝(－1，0，1)，
因为＝(－2，0，2)．
所以＝2，可知BC1∥FP，
而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得
于是可取n＝(λ，－λ，1)，
同理可得平面PQMN的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)，
若存在λ，使得平面EFPQ与平面PQMN所在的二面角为直二面角，
则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，
即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，
解得λ＝1±，
故存在λ＝1±，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在空间中，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】 A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质知，D为真命题．
【答案】 D
2．下列命题中是假命题的是( )
A．a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若α＝60°，则cos α＝
【解析】 因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不一定成立，故选B.
【答案】 B
3．下列四个命题中，真命题是( )
A．a＞b，c＞d?ac＞bd
B．a＜b?a2＜b2
C．＜?a＞b
D．a＞b，c＜d?a－c＞b－d
【解析】 可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．
【答案】 D
4．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则下列四个命题为真命题的是( )
A．在a，b，c，d中有且仅有一个是负数
B．在a，b，c，d中有且仅有两个是负数
C．在a，b，c，d中至少有一个是负数
D．在a，b，c，d中都是负数
【解析】 举例取特殊值，验证可知C是真命题．
【答案】 C
5．下面的命题中是真命题的是( )
A．y＝sin2 x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则＞0
C．若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝3
D．在△ABC中，若·＞0，则B为钝角
【解析】 A中，y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；C中，∵a∥b，∴＝，得k＝－3，故C为假命题；D中，当·＞0时，向量与的夹角为锐角，而B为钝角，故D为假命题．
【答案】 B
二、填空题
6．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．
【解析】 ②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①、④正确．
【答案】 ①④
7．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝ax＋1是指数函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作△ABC≌△A1B1C1.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．
【解析】 ①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．
【答案】 ①③⑤ ⑤
8．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
④直线l与α垂直的等价条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). 【导学号：18490003】
【解析】 由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直线可以与交线垂直，故③不对；只有直线l与α内的两条相交直线垂直时，直线l与α垂直，故④不对．
【答案】 ①②
三、解答题
9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？
(1)2＋2是有理数；
(2)1＋1>2；
(3)2100是个大数；
(4)968能被11整除；
(5)非典型性肺炎是怎样传播的？
【解】 (1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．
10．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)等腰梯形的两条对角线相等；
(2)平行四边形的两条对角线互相垂直．
【解】 (1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．真命题．
(2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．假命题．
[能力提升]
1．若a，b∈R，且a2＋b2≠0，则下列命题：①a，b全为0；②a，b不全为0；③a，b全不为0；④a，b至少有一个不为0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ②④为真命题．
【答案】 C
2．给出下列命题：
①在△ABC中，若∠A>∠B，则sin A>sin B；
②函数y＝x3在R上既是奇函数又是增函数；
③函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点；
④若将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，则得到函数y＝sin的图象．
其中真命题的序号是( )
A．①② B．①②③
C．①③④ D．①②③④
【解析】 ①②③是真命题．
【答案】 B
3．设a，b为正实数．现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若－＝1，则a－b<1；③若|－|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
【解析】 将条件方程变形分析．
①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，
则必有a＋b>1，不合题意，故①正确．
②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可．如取a＝2，b＝满足上式，但a－b＝>1，故②错．
③中，a，b为正实数，所以＋>|－|＝1，且|a－b|＝|(＋)(－)|＝|＋|>1, 故③错．
④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1.
若|a－b|≥1，不妨取a>b>1，则必有a2＋ab＋b2>1，不合题意，故④正确．
【答案】 ①④
4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当m>时，方程mx2－x＋1＝0无实根；
(2)平行于同一平面的两条直线平行. 【导学号：18490004】
【解】 (1)命题可改写为：若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
因为当m>时，Δ＝1－4m<0，
所以是真命题．
(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．
因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”．
【答案】 A
2．(2016·济宁高二检测)命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.
【答案】 C
3．(2016·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
【解析】 逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
【答案】 B
4．(2016·潍坊高二期末)命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是( )
A．若x≠3，则x2－2x－3≠0
B．若x＝3，则x2－2x－3≠0
C．若x2－2x－3≠0，则x≠3
D．若x2－2x－3≠0，则x＝3
【解析】 其逆否命题为“若x2－2x－3≠0，则x≠3”．故选C.
【答案】 C
5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·三门峡高二期中)命题“若x>2，则x2>4”的逆命题是____________. 【导学号：18490009】
【解析】 原命题的逆命题为“若x2>4，则x>2”．
【答案】 若x2>4，则x>2
7．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．
【解析】 否定条件与结论，得否命题“若a≤b，则2a≤2b－1”．
【答案】 若a≤b，则2a≤2b－1
8．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．
【答案】 ②
三、解答题
9．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
【解】 逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；
否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.
原命题是假命题．
逆否命题也是假命题．
逆命题是假命题．
否命题也是假命题．
10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
【解】 (1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．
证明如下：
∵ac＜0，
∴－ac＞0?Δ＝b2－4ac＞0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
[能力提升]
1．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( )
A．若a·b≠0，则a不垂直于b
B．若a⊥b，则a·b＝0
C．若a不垂直于b，则a·b≠0
D．若a·b≠0，则a⊥b
【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题．
【答案】 C
2．(2016·福州期末)命题“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是( )
A．若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数
B．若x，y不都是偶数，则x＋y是偶数
C．若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数
D．若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数
【解析】 “x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”．故选C.
【答案】 C
3．下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的序号)．
①若A∩B＝A，则AB；②“若x＝y＝0，则x2＋y2＝0”的逆命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
【解析】 ①错误，若A∩B＝A，则A?B；②正确，它的逆命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”为真命题；③错误，它的逆命题为“相似三角形是全等三角形”为假命题；④正确，因为原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．
【答案】 ②④
4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假. 【导学号：18490010】
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
【解】 (1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的( ) 【导学号：18490013】
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件．
【答案】 A
2．已知命题甲：“a，b，c成等差数列”，命题乙：“＋＝2”，则命题甲是命题乙的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若＋＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题甲是命题乙的必要而不充分条件．
【答案】 A
3．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.
【答案】 A
4．“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.
【答案】 B
5．(2016·甘肃临夏期中)已知函数f(x)＝x＋bcos x，其中b为常数，那么“b＝0”是“f(x)为奇函数”的( )
【导学号：18490014】
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当b＝0时，f(x)＝x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，
∴－x＋bcos x＝－x－bcos x，从而2bcos x＝0，b＝0.
【答案】 C
二、填空题
6．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．
【解析】 “b2＝ac” “a，b，c成等比数列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”?“b2＝ac”．
【答案】 必要不充分
7．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________条件．
【解析】 若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，则需满足1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化简整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，经验证得当a＝－1时，两直线平行，当a＝2时，两直线重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要条件．
【答案】 充要
8．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件；
②必要不充分条件；
③充要条件；
④既不充分也不必要条件．
(1)集合A＝{－1，p，2}，B＝{2，3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数”的________．
【解析】 (1)当p＝3时，A＝{－1，2，3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．
(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数”的充分不必要条件．
【答案】 (1)③ (2)①
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y; 【导学号：18490015】
(2)在△ABC，p：sinA>，q：A>.
【解】 (1)因为|x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝y?|x|＝|y|，
所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
(2)因为A∈(0，π)时，sin A∈(0，1]，且A∈时，y＝sin A单调递增，A∈时，y＝sin A单调递减，所以sin A>?A>，但A>sin A>.
所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
10．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
【证明】 充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccos A可得1＋2cos A＝＝.
即sin B＋2sin Bcos A＝sin(A＋B)．
化简，得sin B＝sin(A－B)．
由于sin B＞0且在三角形中，
故B＝A－B，
即A＝2B.
必要性：若A＝2B，
则A－B＝B，sin(A－B)＝sin B，
sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B.
∴sin(A＋B)＝sin B(1＋2cos A)．
∵A，B，C为△ABC的内角，
∴sin(A＋B)＝sin C，
即sin C＝sin B(1＋2cos A)．
∴＝1＋2cos A＝1＋＝，
即＝.
化简得a2＝b(b＋c)．
∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
[能力提升]
1．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由条件，知D?C?B?A，即D?A，但AD，故选A.
【答案】 A
2．设有如下命题：
甲：相交两直线l，m在平面α内， 且都不在平面β内；
乙：l，m中至少有一条与β相交；
丙：α与β相交．
那么当甲成立时( )
A．乙是丙的充分不必要条件
B．乙是丙的必要不充分条件
C．乙是丙的充分必要条件
D．乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件
【解析】 当l，m中至少有一条与β相交时，α与β有公共点，则α与β相交，即乙?丙，反之，当α与β相交时，l，m中也至少有一条与β相交，否则若l，m都不与β相交，又都不在β内，则l∥β，m∥β，从而α∥β，与已知α与β相交矛盾，即丙?乙，故选C.
【答案】 C
3．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是________．
【解析】 因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，
f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，
所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.
又因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
所以2－t<－1，即t>3.
【答案】 (3，＋∞)
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.【导学号：18490016】
【证明】 充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
显然，当n＝1时，也成立．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p，
即数列{an}为等比数列，
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p，即＝p.
所以－p＝pq，即q＝－1.
所以数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．给出下列命题：①2014年2月14日是中国传统节日元宵节，同时也是西方的情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 ①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”．命题①③④使用逻辑联结词，共有3个，故选C.
【答案】 C
2．命题“ab≠0”是指( )
A．a≠0且b≠0
B．a≠0或b≠0
C．a，b中至少有一个不为0
D．a，b不都为0
【解析】 只有a≠0且b≠0时，才有ab≠0.
【答案】 A
3．已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是( )
A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假
B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真
C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假
【解析】 ∵p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D.
【答案】 D
4．命题p：若a>0，b>0，则ab＝1是a＋b≥2的必要不充分条件，命题q：函数y＝log2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则( )
A．“p∨q”为假 B．“p∧q”为真
C．p真q假 D．p假q真
【解析】 由命题p：a>0，b>0，ab＝1得a＋b≥2＝2，倒推不成立，所以p为假命题；命题q：由>0，得x<－2或x>3，所以q为真命题．
【答案】 D
5．已知p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p∧q，綈q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( ) 【导学号：18490021】
A．{x|x≤－1或x≥3，x?Z}
B．{x|－1≤x≤3，x?Z}
C．{x|x＜－1或x∈Z}
D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}
【解析】 p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z，由p∧q，綈q同时为假命题知，p假q真，∴x满足－1＜x＜3且x∈Z，故满足条件的集合为{x|－1＜x＜3，x∈Z}．
【答案】 D
二、填空题
6．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【解析】 由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p?綈q，但綈q綈p，由一个命题与它的逆否命题等价，可知q?p但p q，又p：x>1或x<－3，可知{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.
【答案】 [1，＋∞)
7．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；
(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；
(3)命题“非空集?UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．
【解析】 (1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.
【答案】 p且q p或q 非p
8．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨(綈q)”表示________．
【解析】 綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环．
【答案】 甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环
三、解答题
9．用“且”“或”改写下列命题并判断真假．
(1)1不是质数也不是合数；
(2)2既是偶数又是质数；
(3)5和7都是质数；
(4)2≤3.
【解】 (1)p：1不是质数；q：1不是合数，p∧q：1不是质数且1不是合数．(真)
(2)p：2是偶数；q：2是质数；p∧q：2是偶数且2是质数．(真)
(3)p：5是质数；q：7是质数；p∧q：5是质数且7是质数．(真)
(4)2≤3?2＜3或2＝3.(真)
10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，綈)表示下列命题：
【导学号：18490022】
(1)命题s：两次都击中飞机；
(2)命题r：两次都没击中飞机；
(3)命题t：恰有一次击中了飞机；
(4)命题u：至少有一次击中了飞机．
【解】 (1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p∧q.
(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为綈p∧綈q.
(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：
①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p∧綈q；
②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p∧q.
所以命题t表示为(p∧綈q)∨(綈p∧q)．
(4)法一 命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p∨q.
法二 綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p∧綈q)．
法三 命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p∧綈q)∨(綈p∧q)∨(p∧q)．
[能力提升]
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
【解析】 依题意，綈p：“甲没有降落在指定范围”，綈q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．
【答案】 A
2．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
【解析】 ∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R上是增函数为真命题，y＝2x＋2－x在R上为减函数是假命题．
因此p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题．
∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4，故选C.
【答案】 C
3．命题p：若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m＜0.命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a【解析】 若mx2－mx－1＜0恒成立，
则m＝0或
解得－4＜m≤0.∴命题p是假命题．
又(x－a)(x－b)<0的解集与a，b的大小有关，
∴q假．
因此“綈p”为真，“p∨q”与“綈p∧q”为假．
【答案】 綈p
4．已知m>0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围. 【导学号：18490023】
【解】 p：－2≤x≤6，q：2－m≤x≤2＋m(m>0)．
(1)∵p是q的充分条件，
∴解之得m≥4.
故实数m的取值范围是[4，＋∞)．
(2)当m＝5时，q：－3≤x≤7.
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p，q一真一假，
当p真q假时，无解；
当p假q真时，
解得－3≤x<－2或6综上，实数x的取值范围是[－3，－2)∪(6，7].
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是( )
A．奇函数的图象关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
【解析】 A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.
【答案】 D
2．下列命题为真命题的是( )
A．?x∈R，cos x<2
B．?x∈Z，log2(3x－1)<0
C．?x>0，3x>3
D．?x∈Q，方程x－2＝0有解
【解析】 A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0?0<3x－1<1?【答案】 A
3．下列命题的否定是真命题的是( )
A．存在向量m，使得在△ABC中，m∥且m∥
B．所有正实数x，都有x＋≥2
C．所有第四象限的角α，都有sin α<0
D．有的幂函数的图象不经过点(1，1)
【解析】 A中，当m＝0时，满足m∥且m∥，所以A是真命题，其否定是假命题；B中，由于x>0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝即x＝1时等号成立，所以B是真命题，其否定是假命题；C中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以C是真命题，其否定是假命题；D中，对于幂函数f(x)＝xα，均有f(1)＝1，所以幂函数的图象均经过点(1，1)，所以D是假命题，其否定是真命题，故选D.
【答案】 D
4．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0)
D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
【解析】 f(x)＝ax2＋bx＋c＝a＋(a>0)，
∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－，
当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，
∴?x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题．
【答案】 C
5．对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?n∈N，2n≤100；綈p：?n∈N，2n＞100
【答案】 C
二、填空题
6．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是_____________．
【解析】 题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”．
【答案】 有些偶函数的图象关于y轴不对称
7．已知命题：“?x0∈[1，2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
【解析】 当x∈[1，2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.
【答案】 [－8，＋∞)
8．下列命题：
①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N*，都有an≠bn；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝?.
其中，所有正确命题的序号为________. 【导学号：18490027】
【解析】 命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于?n∈N*，都有an【答案】 ①②③
三、解答题
9．写出下列命题的否定：
(1)p：一切分数都是有理数；
(2)q：有些三角形是锐角三角形；
(3)r：?x0∈R，x＋x0＝x0＋2；
(4)s：?x∈R，2x＋4≥0.
【解】 (1)綈p：有些分数不是有理数．
(2)綈q：所有的三角形都不是锐角三角形．
(3)綈r：?x∈R，x2＋x≠x＋2.
(4)綈s：?x0∈R，2x0＋4＜0.
10．若x∈[－2，2]，关于x的不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．
【解】 设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则此问题转化为当x∈[－2，2]时，f(x)min≥0即可．
①当－<－2，即a>4时，f(x)在[－2，2]上单调递增，
f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤.
又因为a>4，所以a不存在．
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
f(x)min＝f＝≥0，解得－6≤a≤2.
又因为－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.
③当－>2，即a<－4时，
f(x)在[－2，2]上单调递减，
f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，
解得a≥－7.
又因为a<－4，所以－7≤a<－4.
综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．
[能力提升]
1．已知命题p：?x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0，命题q：?x∈，cos x＜1，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
【解析】 当x0＜0时，2x0＞3x0，
∴不存在x0∈(－∞，0)使得2x0＜3x0成立，即p为假命题，显然?x∈，恒有0【答案】 C
2．(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则( )
A．綈p：?x∈A，2x∈B B．綈p：?x?A，2x∈B
C．綈p：?x∈A，2x?B D．綈p：?x?A，2x?B
【解析】 命题p是全称命题： ?x∈M，p(x)，则綈p是特称命题：?x∈M，綈p(x)．故选C.
【答案】 C
3．已知函数f(x)＝x2＋m，g(x)＝，若对任意x1∈[－1，3]，存在x2∈[0，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
【解析】 因为对任意x1∈[－1，3]，f(x1)∈[m，9＋m]，即f(x)min＝m.存在x2∈[0，2]，使f(x1)≥g(x2)成立，只要满足g(x)min≤m即可，而g(x)是单调递减函数，故g(x)min＝g(2)＝＝，得m≥.
【答案】
4．已知a>且a≠1，条件p：函数f(x)＝log(2a－1)x在其定义域上是减函数；条件q：函数g(x)＝的定义域为R，如果p∨q为真，试求a的取值范围. 【导学号：18490028】
【解】 若p为真，则0<2a－1<1，得若q为真，则x＋|x－a|－2≥0对?x∈R恒成立．
记f(x)＝x＋|x－a|－2，
则f(x)＝
所以f(x)的最小值为a－2，即q为真时，a－2≥0，即a≥2.
于是p∨q为真时，得学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．对于空间中任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量
【解析】 由共面向量定理易得答案A.
【答案】 A
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【解析】 ＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b，∴＝－2，
∴与共线，
又它们经过同一点B，
∴A，B，D三点共线．
【答案】 A
3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
【解析】 ∵＋＋＝1，
∴点P，A，B，C四点共面．
【答案】 B
4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，用向量，，表示向量的结果为( )
图3-1-11
A.＝－＋
B.＝＋－
C.＝＋－
D.＝＋＋
【解析】 ＝＋＋＝－＋＋.故选B.
【答案】 B
5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
图3-1-12
A.＋＋＝0
B.－－＝0
C.＋－＝0
D.－＋＝0
【解析】 由题图观察，、、平移后可以首尾相接，故有＋＋＝0.
【答案】 A
二、填空题
6．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
7．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为________．
【解析】 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此2x＋3y＋4z＝－1.
【答案】 －1
8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
【导学号：18490085】
【解析】 由已知可得：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，
∴与共线，即存在λ∈R使得＝λ.
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，
∵e1，e2不共线，
∴解得k＝－8.
【答案】 －8
三、解答题
9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【解】 如图所示，
(1)∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，
∴＝2－.
又∵＋＝2，
∴＝2－.
从而有＝2－(2－)
＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
10.如图3-1-13，四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
图3-1-13
【解】 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－.
∴＝＋2＋＝2(＋＋)，
∴＝2，∴∥，即与共线．
[能力提升]
1．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必( )
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内
【解析】 由于＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.
【答案】 C
3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μ e2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________. 【导学号：18490086】
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μ e2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μ e2，知a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
4.如图3-1-14所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面．
图3-1-14
【解】 由题图可得：＝＋＋， ①
∵＝＋＋， ②
又＝－，＝－，
所以①＋②得：
2＝＋，
即＝＋，故向量与向量，共面.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．
【答案】 D
2．已知a＋b＋c＝，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.
【答案】 D
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】 用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.
【答案】 A
4.如图3-1-25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
图3-1-25
A．2· B．2·
C．2· D．2·
【解析】 2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错；2·＝2＝a2，故只有C正确．
【答案】 C
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是( ) 【导学号：18490091】
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，与的夹角为120°.
【答案】 B
二、填空题
6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________．
【解析】 |2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，
∴|2a－3b|＝.
【答案】
7．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【解析】 由题意知
即
得λ2＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.
【答案】 (－1－，－1＋)
8.如图3-1-26，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
图3-1-26
【解析】 不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，故填90°.
【答案】 90°
三、解答题
9．如图3-1-27，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.
图3-1-27
【证明】 设＝a，＝b，＝c.
则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋
＝＋(＋)
＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋
＝(＋)＋
＝(a＋b)＋c.
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥.
∴A1O⊥BD.
同理可证⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O?平面BDG，
∴A1O⊥平面BDG.
10．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·.
【解】 如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)
＝·
＝b·
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝·(＋)
＝·(a＋c)
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
[能力提升]
1．已知边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 ＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．45°
【解析】 由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.
cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.
【答案】 B
3．已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________. 【导学号：18490092】
【解析】 设＝m，由于＝＋，＝＋m，
又·＝0，
得×1×1×＋4m＝0，
解得m＝.
【答案】
4.如图3-1-28，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
图3-1-28
【解】 ∵＝＋＋，
∴||＝＝
.
∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，
∴||
＝
＝.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．点A(－1，2，1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为( )
A．(－1，0，1)，(－1，2，0)
B．(－1，0，0)，(－1，2，0)
C．(－1，0，0)，(－1，0，0)
D．(－1，2，0)，(－1，2，0)
【解析】 点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.
【答案】 B
2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
【解析】 因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于＝－，故D正确．
【答案】 D
3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为( )
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C．－a－b＋c D．－a＋b＋c
【解析】 由于＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c，故选D.
【答案】 D
4．正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y＋z3，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
【解析】 ＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.
【答案】 A
5．已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)共面，则x的值为( ) 【导学号：18490096】
A．4 B．1
C．10 D．11
【解析】 ＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，＝(x－4，－2，0)，
∵A，B，C，D共面，
∴，，共面，
∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，
即(x－4，－2，0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，
∴得
【答案】 D
二、填空题
6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________．
【解析】 ∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.
∴a⊥b.
【答案】 a⊥b
7.如图3-1-32, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________．
图3-1-32
【解析】 ＝－
＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.
【答案】 －a＋b－c
8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．
【解析】 由题意知点A对应的向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，
∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)．
【答案】 (8，3，12)
三、解答题
9．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以，，作为空间的一个基底？ 【导学号：18490097】
【解】 假设，，共面，
根据向量共面的充要条件有＝x＋y，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴此方程组无解．
∴，，不共面．
∴{，，}可作为空间的一个基底．
10．如图3-1-33，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
图3-1-33
【解】 连接AN，则＝＋.
由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得
＝＋＝a＋b，
＝－＝－(a＋b)，
又＝－＝b－c，
故＝＋＝－＝－
＝b－(b－c)，
＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)
＝(－a＋b＋c)．
[能力提升]
1．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB.M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于( )
A.＋＋
B.(＋＋)
C.(＋＋)
D.＋＋
【解析】 如图，
＝(＋)
＝＋×(＋)
＝＋＋
＝(＋＋)．
【答案】 B
2．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合无三点共线，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
【答案】 C
3．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝________．
【解析】 ＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c.
【答案】 3a－b＋3c
4.在直三棱柱ABO -A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图3-1-34所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
图3-1-34
【解】 ∵＝－＝－(＋)
＝－[＋(＋)]＝－－－.
又||＝||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝(－2，－1，－4)．
∵＝－＝－(＋)
＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝(－4，2，－4).
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
【解析】 b＝a－(－1，2，－1)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)．
【答案】 A
2．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵AB的中点M，∴＝，故|CM|＝||＝ ＝.
【答案】 C
3．已知向量a＝(2，3)，b＝(k，1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是( )
A．－6 B．－
C. D．14
【解析】 由题意得a＋2b＝(2＋2k，5)，且a－b＝(2－k，2)，又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝.
【答案】 C
4．如图3-1-36，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为( )
图3-1-36
A．1 B.
C. D.
【解析】 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，1，)，F，所以|EF|＝
＝，故选C.
【答案】 C
5．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 b－a＝(1＋t，2t－1，0)，
∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02
＝5t2－2t＋2＝5＋.
∴|b－a|＝.
∴|b－a|min＝.
【答案】 C
二、填空题
6．已知点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标为________．
【解析】 设＝λ＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，故＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则·＝6λ2－16λ＋10＝6－，当·取最小值时，λ＝，此时Q点的坐标为.
【答案】
7．若＝(－4，6，－1)，＝(4，3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________．
【解析】 设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得或
【答案】 或
8．若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n＝________．
【解析】 因为＝(m－1，1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，由题意得∥，则＝＝，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.
【答案】 0
三、解答题
9．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．
(1)求|2a＋b|; 【导学号：18490101】
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
【解】 (1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)
＝(0，－5，5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，
因此存在点E，使得⊥b，E点坐标为.
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是正方形ABCD的中心．
求证：⊥.
【证明】 建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为1个单位，则A(1，0，0)，A1(1，0，1)，M，O.
∴＝，＝.
∵·＝×(－1)＋×0＋1×＝0，
∴⊥.
[能力提升]
1．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
【解析】 ∵b－c＝(－2，3，1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
【答案】 A
2．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
【解析】 a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
【答案】 A
3．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是________．
【解析】 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，所以3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2.若a与b的夹角为π，则x＝，
所以x∈∪.
【答案】 ∪
4．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？
【导学号：18490102】
【解】 以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0，0，0)，C(0，2，0)，B(，1，0)，B1(，1，2)，M.
又点N在CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，
则＝(，1，2)，＝，
所以||＝2，||＝，·＝2m－1.
如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°.
又cos〈，〉＝＝.
所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．
所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的方向向量v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，则＝，∴λ＝2.
【答案】 B
2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
【解析】 ∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．
【答案】 D
3．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1，1) B.
C. D.
【解析】 对于B，＝，
则n·＝(3，1，2)·＝0，
∴n⊥，则点P在平面α内．
【答案】 B
4．已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
【解析】 因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l?α.
【答案】 D
5．若u＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．
【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x＝－10.
【答案】 －10
7．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________．
【解析】 由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.
【答案】 －
8．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________．
【解析】 ＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，
＝(x－4，－2，0)，由题意知A，B，C，P四点共面，
∴＝λ＋μ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．
∴∴
而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11.
【答案】 11
三、解答题
9.已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图3-2-6所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.求证： 【导学号：18490106】
图3-2-6
(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)∥；
(3)＝k.
【解】 (1)由＝＋m，＝＋m，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．
(2)∵＝＋m＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴∥.
(3)由(2)知＝－＝k－k
＝k(－)＝k.
∴＝k.
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．
【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E，D1(0，0，1)，F，A1(1，0，1)，＝，
＝，＝(－1，0，0)．
∵·＝·
＝－＝0，
又·＝0，
∴⊥，⊥.
又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F，
∴是平面A1D1F的法向量．
[能力提升]
1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A．(4，2，－2) B．(2，0，4)
C．(2，－1，－5) D．(4，－2，2)
【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，2)＝2(2，－1，1)，解得应选D.
【答案】 D
2．已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( )
A．(1，－4，2) B.
C. D．(0，－1，1)
【解析】 因为＝(0，2，4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
【答案】 D
3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
【解析】 因为＝，
＝，
又因为a·＝0，a·＝0，
所以
解得
所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
【答案】 2∶3∶(－4)
4.如图3-2-7，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
【导学号：18490107】
图3-2-7
【解】 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0), 设E(0，y，z)，则
＝(0，y，z－1)，
＝(0，2，－1)，
∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0， ①
∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，
＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB, 可得⊥，
∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，
∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )
A．4 B.－4
C．5 D．－5
【解析】 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.
∴k＝－5.
【答案】 D
2．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
【解析】 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．
【答案】 D
3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A.，－，4 B.，－，4
C.，－2，4 D．4，，－15
【解析】 ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，
则解得
【答案】 B
4．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为( )
A．(1，1，1)
B．(－1，－1，－1)或
C.
D．(1，1，1)或
【解析】 设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1)．
又DB⊥AC?－x＋z＝0 ①，
DC⊥AB?－x＋y＝0 ②，
AD＝BC?(x－1)2＋y2＋z2＝2 ③，
联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1，1，1)或.故选D.
【答案】 D
5．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是( )
A．圆 B．直线
C．平面 D．线段
【解析】 M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．
【答案】 C
二、填空题
6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________. 【导学号：18490112】
【解析】 由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
【答案】 －9
7．已知a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________．
【解析】 由题意，知
解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.
【答案】 (－64，－26，－17)
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
【解析】 ∵·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
又与不平行，
∴是平面ABCD的法向量，则③正确．
由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，
∴与不平行，故④错误．
【答案】 ①②③
三、解答题
9.如图3-2-15，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
图3-2-15
【证明】 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，F(，，1)，M.
所以＝，＝(0, ，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，
则n⊥，n⊥，
所以?
取y＝1，得x＝1，z＝－.
则n＝(1，1，－)．
因为＝.
所以n＝－ ，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF.
10．底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
【证明】 法一 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E.
连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为.
因为＝(0，0，1)，＝，
所以＝.所以OE∥AS.
又因为AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又因为OE?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
法二 设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(－1，1，0)，＝，
所以即
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)．
因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1)．
因为n1·n2＝0，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
[能力提升]
1.如图3-2-16，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
图3-2-16
A．(1，－2，4)
B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1)
D．(1，2，－2)
【解析】 设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
则A(1，0，0)，E，F.
故＝，＝.
所以
即所以
当z＝－2时，n＝(－4，1，－2)，故选B.
【答案】 B
2.如图3-2-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
图3-2-17
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
【解析】 以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝，＝(－1，2，0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝，因为也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2，1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.
【答案】 D
3.如图3-2-18，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．
图3-2-18
【解析】 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E，F，∴＝，平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，∵＝－n，
∴∥n，
∴EF⊥平面PBC.
【答案】 垂直
4．如图3-2-19，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.
图3-2-19
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由. 【导学号：18490113】
【解】 因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．
(1)＝(0，0，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，1，0)，
可得·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD.
又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
(2)设侧棱PA的中点是E，则E，＝.
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则因为＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)，所以取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，2)．
所以n·＝(1，1，2)·＝0，所以n⊥.
因为BE?平面PCD，所以BE∥平面PCD.
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．以上均不对
【解析】 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选A.
【答案】 A
2．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴直线AB，CD所成角的余弦值为.
【答案】 A
3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．于是＝(0，1，0)．
取PD中点为E，
则E，∴＝，
易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos?，?＝，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
【答案】 B
4．如图3-2-28，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则二面角B1-A1B-E的余弦值为( )
【导学号：18490121】
图3-2-28
A．－ B．－
C. D.
【解析】 设AD＝1，则A1(1，0，2)，B(1，2，0)，因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0，1，2)，F(1，1，1)，所以＝(－1，1，0)，＝(0，2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则所以所以取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1，1，1)，又DA⊥平面A1B1B，所以＝(1，0，0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，〉＝＝＝，又二面角B1-A1B-E为锐二面角，所以二面角B1-A1B-E的余弦值为，故选C.
【答案】 C
5.如图3-2-29，空间正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
图3-2-29
A. B.
C. D.
【解析】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，则＝，＝，
cos〈，〉＝＝0.
∴〈，〉＝.
【答案】 D
二、填空题
6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．
【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1，0，0)，M，C(0，1，0)，N，
∴＝，
＝，
∴cos〈，〉＝＝，
故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
【答案】
7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2，0)，B(2，1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．
【解析】 设平面xOz的法向量为n＝(0，t，0)(t≠0)，＝(1，3, )，所以cos〈n，〉＝＝，因为〈n，〉∈[0，π]，所以sin〈n，〉＝＝.
【答案】
8．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0，0，1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
所以A(1，0，0)，E，F，
所以＝，＝，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1，3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝，sin α＝，所以tan α＝.
【答案】
三、解答题
9.如图3-2-30所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝. 【导学号：18490119】
图3-2-30
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
【解】 (1)证明：连接OC，
由题意知BO＝DO，AB＝AD，
∴AO⊥BD.
又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，
又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.
∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.
(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(0, ，0)，A(0，0，1)，
E，
∴＝(－1，0，1)，＝(－1，－，0)，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
10．四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
【解】 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则
A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0，0，0)，P(0，0，h)，
(1)∵＝(－a，a，0)，＝(0，0，h)，＝(a，a，0)，
∴·＝0，·＝0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，
∴AC⊥平面PDB，
又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，P(0，0，a)，E，
设AC∩BD＝O，O，连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵＝，＝，
∴cos∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.
[能力提升]
1．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )
A．60° B．90°
C．45° D．以上都不对
【解析】 以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．
由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以＝(0，1，－1)，＝(1，1，－1)，＝(0，－1，－1)．
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
得
令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0，1，1)，
cos〈n，〉＝＝＝－1.
所以〈n，〉＝180°.
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
【答案】 B
2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
图3-2-31
A. B.
C. D.
【解析】 不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
则＝(－2，2，1)，＝(0，－2，1)，
所以cos〈，〉＝
＝＝－.
因为直线BC1与直线AB1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为.
【答案】 A
3．在空间中，已知平面α过(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________．
【解析】 平面xOy的法向量为n＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.
而cos〈n，u〉＝＝，
又∵a＞0，∴a＝.
【答案】
4.如图3-2-32，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
图3-2-32
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.
【导学号：18490120】
【解】 (1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4) ，C1(0，2，4)，
所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4).
因为cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2，1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝＝＝，
得sin θ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是( )
A．(4，0)和(－1，0) B．(4，0)和(－2，0)
C．(4，0)和(1，0) D．(4，0)和(2，0)
【解析】 在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.
∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)．
【答案】 A
2．方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是( )
A．两条直线 B．四条直线
C．两个点 D．四个点
【解析】 由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)·(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．
【答案】 B
3．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是( )
A．x＋y＝4 B．2x＋y＝4
C．x＋2y＝4 D．x＋2y＝1
【解析】 由＝(x，y)，＝(1，2)得·＝(x，y)·(1，2)＝x＋2y＝4，则x＋2y＝4即为所求的轨迹方程，故选C.
【答案】 C
4．方程(2x－y＋2)·＝0表示的曲线是( )
A．一个点与一条直线
B．两个点
C．两条射线或一个圆
D．两个点或一条直线或一个圆
【解析】 原方程等价于x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1，或故选C.
【答案】 C
5．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )
A．a＞1 B．0＜a＜1
C．0＜a＜1或a＞1 D．a∈?
【答案】 A
二、填空题
6．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的________条件．
【解析】 “方程f(x，y)＝0是曲线C的方程 ”?“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．
【答案】 必要不充分
7．方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________________．
【解析】 由方程得或x－3＝0，
即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.
【答案】 一条射线和一条直线
8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________. 【导学号：18490037】
【解析】 由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.
【答案】 y2＝4x
三、解答题
9．如图2-1-1，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
图2-1-1
【解】 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
得O1(－2，0)，O2(2，0)．
连结PO1，O1M，PO2，O2N.
由已知|PM|＝|PN|，得
|PM|2＝2|PN|2，
又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，
在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，
即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．
设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
化简得(x－6)2＋y2＝33.
因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．
【解】 因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.
以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．
设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，
由△ABC的面积＝×3×4＝r＋2r＋r，
得r＝1，
于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1?x2＋y2＝2x＋2y－1，
由(x－1)2≤1?0≤x≤2.
设P(x，y)，那么|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋25＝22－2x，
所以当x＝0时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取最大值为22，
当x＝2时取最小值为18.
[能力提升]
1．到点A(0，0)，B(－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( )
A．y＝－x(－3≤x≤0)
B．y＝－x(0≤x≤4)
C．y＝－x(－3≤x≤4)
D．y＝－x(0≤x≤5)
【解析】 注意到|AB|＝5，则满足到点A(0，0)，B(－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB上，因此，方程为y＝－x(－3≤x≤0)，故选A.
【答案】 A
2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )
A．y2＝4x
B．y2＝－12(x－4)
C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)
D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)
【解析】 设P(x，y)，由题意得＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.
【答案】 D
3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
【解析】 设动点P(x，y)，
依题意|PA|＝2|PB|，
∴＝2，
化简得(x－2)2＋y2＝4，
方程表示半径为2的圆，
因此图形的面积S＝π·22＝4π.
【答案】 4π
4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
【导学号：18490038】
【解】 法一 设点M的坐标为(x，y)，
∵M为线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x，0)，B点的坐标为(0，2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，
∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，
而kPA＝＝(x≠1)，
kPB＝＝，
∴·＝－1(x≠1)，
整理得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)，
∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二 设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连结PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·潍坊高二检测)如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D．(3，＋∞)∪(－6，－2)
【解析】 由于椭圆的焦点在x轴上，
所以即
解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.
【答案】 D
2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则
∴
∴椭圆的方程为x2＋＝1.
【答案】 A
3．(2016·合肥高二月考)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4
C．3 D．1
【解析】 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.
【答案】 B
4．椭圆mx2＋ny2＝－mn(m【导学号：18490042】
A．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
【解析】 将mx2＋ny2＝－mn(m－n>0，得焦点在y轴上，即a2＝－m，b2＝－n，得c2＝a2－b2＝n－m，故选C.
【答案】 C
5．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
即|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，
∴△PF1F2为直角三角形．
【答案】 B
二、填空题
6．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】 依题意，有
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.
【答案】 3
7．已知椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________．
【解析】 法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2，0)．
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意，可设椭圆C的方程为
＋＝1(a>b>0)，
则
解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，
从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
8．已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
【解析】 如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0)．
又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1，0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
【答案】 (x＋1)2＋y2＝16
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，
∵点是椭圆上的一点，
∴＋＝1，
∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)．
10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【导学号：18490043】
【解】 (1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
[能力提升]
1．“0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 曲线＋＝1表示椭圆等价于
得t∈∪.故选B.
【答案】 B
2．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍
C．4倍 D．3倍
【解析】 由已知F1(－3，0)，F2(3，0)，
由条件，知P，即|PF2|＝.
由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.
所以|PF1|＝.
所以|PF1|＝7|PF2|.
【答案】 A
3．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．
【解析】 由条件可取F1(－3，0)，∵PF1的中点在y轴上，
∴设P(3，y0)，由P在椭圆＋＝1上得y0＝±，
∴M的坐标为.
【答案】 ±
4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图2-2-3)，∠F1F2B＝，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍．若|AB|＝，求椭圆C的方程.
【导学号：18490044】
图2-2-3
【解】 由题意可得S△F1F2A＝2S△F1F2B，
∴|F2A|＝2|F2B|，
由椭圆的定义得
|F1B|＋|F2B|＝|F1A|＋|F2A|＝2a，
设|F2A|＝2|F2B|＝2m，
在△F1F2B中，由余弦定理得
(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos?
m＝.
在△F1F2A中，同理可得m＝，
所以＝，解得2a＝3c，
可得m＝，|AB|＝3m＝＝，c＝4.
由＝，得a＝6，b2＝20，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝＝，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
【答案】 C
2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.
【答案】 A
3．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【解析】 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
4．已知O是坐标原点，F是椭圆＋＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 由题意，a2＝4，b2＝3，
故c＝＝＝1.
不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以＋＝1，
解得y0＝±，
所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝＝.
由余弦定理知cos∠MON＝＝＝－.
【答案】 B
5．如图2-2-4，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
图2-2-4
A. B.
C. D.
【答案】 D
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________. 【导学号：18490048】
【解析】 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.
【答案】
7．设AB是椭圆＋＝1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点坐标M，得kAB＝，
kOM＝，kAB·kOM＝，
b2x＋a2y＝a2b2，b2x＋a2y＝a2b2，
得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，即＝－.
【答案】 －
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
【解析】 因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.
【答案】 [1，2]
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵e＝＝，c＝，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.
10．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．
【解】 不妨设A(a，0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝.
[能力提升]
1．(2016·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A. B.－1
C．2－ D.
【解析】 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得|PF2|＝＝2c，
即＝2c，
得离心率e＝－1，故选B.
【答案】 B
2．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 椭圆＋＝1的离心率为，
当0当m>4时，＝，得m＝，
即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．
【答案】 A
3．(2016·济南历城高二期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．
【解析】 由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，
则离心率e＝.
【答案】
4．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标； 【导学号：18490049】
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
【解】 (1)由已知可得A(－6，0)，B(6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝.
所以点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则M到直线AP的距离是，又B(6，0)，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取最小值为.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1上的焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝( )
A．2 B．4
C．4 D．8
【解析】 由题可得a＝2.如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，BF1，CF，FD.由椭圆的对称性可知， 四边形AFDF1为平行四边形，
∴|AF1|＝|FD|，同理可得|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.
【答案】 D
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3，0) D．(1，3)
【解析】 由
消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则
解得
由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.
【答案】 B
3．若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.
B.∪
C.
D.
【解析】 因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋＞1，解得a＞或a＜－，故选B.
【答案】 B
4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 联立方程组可得
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝1－x0＝1－＝.
∴kOP＝＝＝.故选A.
【答案】 A
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2
C. D．3
【解析】 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×＋＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
【答案】 A
二、填空题
6．若直线x－y－m＝0与椭圆＋y2＝1有且仅有一个公共点，则m＝________. 【导学号：18490053】
【解析】 将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到10y2＋2my＋m2－9＝0，
令Δ＝0，解得m＝±.
【答案】 ±
7．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由消去y，得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B.
∴|AB|＝，
∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝4－＝.
【答案】
8．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组
解得A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
【答案】
三、解答题
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
【解】 (1)由题意得消去y，整理得：
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
∴－≤m≤.
(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)得
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝.
∵－≤m≤，
∴0≤m2≤，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
【解】 (1)由题意得
解得b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝，
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，
由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
[能力提升]
1．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则·的值等于( )
A．0 B．2
C．4 D．－2
【解析】 由题意得c＝＝，
又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，
此时∠F1PF2＝120°.
所以·＝||·||·cos 120°＝2×2×＝－2.
故选D.
【答案】 D
2．过椭圆＋＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．5x－3y＋13＝0 B．5x＋3y＋13＝0
C．5x－3y－13＝0 D．5x＋3y－13＝0
【解析】 设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
两式作差可得：
5(x1＋x2)(x1－x2)＝－6(y1＋y2)(y1－y2)， ①
又弦的中点为(2，－1)，
可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2， ②
将②代入①式可得k＝＝，
故直线的方程为y＋1＝(x－2)，
化为一般式为5x－3y－13＝0，故选C.
【答案】 C
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________. 【导学号：18490054】
【解析】 法一 设直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得
＋(x＋t)2＝1，
整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，
∴－设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∴|AB|＝
＝
＝.
当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝.
法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x代入＋y2＝1得交点坐标为A和B，
故|AB|＝.
【答案】
4．(2013·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
【解】 (1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程有＋＝1，
解得y＝±，于是＝，
解得b＝，
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，
整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
可得x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，
解得k＝±.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围为( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.
【答案】 A
2．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
【解析】 由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
【答案】 D
3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
【解析】 由
?(|PF1|－|PF2|)2＝16，
即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.
【答案】 C
4．已知椭圆方程＋＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D．3
【解析】 椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a＝1，c＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝2.
【答案】 C
5．若k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
【解析】 原方程化为标准方程为＋＝1，
∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，
∴此曲线表示焦点在y轴上的双曲线．
【答案】 C
二、填空题
6．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________．
【解析】 由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4.
于是c＝＝5.
(1)若点P在双曲线的左支上，
则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；
(2)若点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
综上，|PF2|＝16或4.
【答案】 16或4
7．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________．(填序号)
①2；②－1；③4；④－3.
【解析】 设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴－【答案】 ①②
8．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于________. 【导学号：18490058】
【解析】 由方程－＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝＝5.
在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，＝＝＝＝.
【答案】
三、解答题
9．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2，1)的双曲线的方程．
【解】 ∵双曲线－＝1的焦点在x轴上．
依题意，设所求双曲线为－＝1(a>0，b>0)．
又两曲线有相同的焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6. ①
又点P(2，1)在双曲线－＝1上，
∴－＝1. ②
由①②联立得a2＝b2＝3，
故所求双曲线方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[能力提升]
1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A．1 B.
C．2 D．3
【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且
a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，
∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A.
【答案】 A
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 不妨设P是双曲线右支上一点，
在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，
∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，
∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴8＝4＋|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝4.故选B.
【答案】 B
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．
【解析】 设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
【答案】 －1
4．已知双曲线－＝1的两焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离； 【导学号：18490059】
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
【解】 (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8， ①
又m2＋n2＝(2c)2＝80， ②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)，
∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，故双曲线方程为－＝1.
【答案】 B
2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
【解析】 因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.
【答案】 B
3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于( ) 【导学号：18490063】
A．2 B．2
C．4 D．4
【解析】 由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.
【答案】 C
4．若实数k满足0A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
【解析】 若00，16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选D.
【答案】 D
5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
【解析】 双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y＝±x，即＝1，e＝＝.
【答案】 C
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
【解析】 ∵c2＝m＋m2＋4，
∴e2＝＝＝5，
∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.
【答案】 2
7．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
【解析】 由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5，0)，且A(5，0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.
【答案】 44
8．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
【解析】 由得点A的坐标为：
，
由得点B的坐标为，
则AB的中点C的坐标为，
∵kAB＝，
∴kCP＝＝－3，
即＝－3，化简得a2＝4b2，
即a2＝4(c2－a2)，∴4c2＝5a2，
∴e2＝，∴e＝.
【答案】
三、解答题
9．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．
【解】 由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，
∴设双曲线方程为－＝1.
又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
由a2＝24，c2＝48，
得e2＝＝2，
又e>0，∴e＝.
10．已知双曲线－＝1的右焦点为(2，0)．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．
【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为－＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，
∴双曲线的方程为－y2＝1.
(2)∵a＝，b＝1，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
令x＝－2，则y＝±，
设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B，
则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，
则S＝××2＝.
[能力提升]
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 曲线C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3，0)，半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝，选A.
【答案】 A
2．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x＋5y＝0
C．5x±4y＝0 D．4x±3y＝0
【解析】 由题意可知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以△PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，两边平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以4a＝3b，从而＝，所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，故选D.
【答案】 D
3．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
【解析】 双曲线的左焦点为F1(－2，0)，
将直线AB的方程y＝(x＋2)代入双曲线方程，
得8x2－4x－13＝0.显然Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝× ＝3.
【答案】 3
4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程； 【导学号：18490064】
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围．
【解】 (1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2.
又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得：
即k2≠且k2<1. ①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝，
由·>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋＋2＝，
于是>2，
解此不等式得由①②得故k的取值范围是∪.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.
【答案】 B
2．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
【解析】 因为双曲线－＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.
【答案】 A
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C．2 D．2
【解析】 抛物线的焦点为(，0)，即c＝.双曲线的渐近线方程为y＝x，由＝，即b＝a，所以b2＝2a2＝c2－a2，所以c2＝3a2，即e2＝3，e＝，即离心率为.
【答案】 B
4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )
A．3 B．2
C．2 D.
【解析】 抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±x，它们所围成的三角形为边长等于2的正三角形，所以面积为3，故选A.
【答案】 A
5．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】 由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
【解析】 抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
【答案】 2
7．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④
8．抛物线y＝2x2的准线方程为________．
【解析】 化方程为标准方程为x2＝y，故＝，开口向上，
∴准线方程为y＝－.
【答案】 y＝－
三、解答题
9．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．
【解】 由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
则焦点为.
∵焦点在双曲线－＝1上，
∴＝1，求得m＝±4，
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
10．已知平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程. 【导学号：18490069】
【解】 法一 设点P的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1.
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
法二 由题意知，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
[能力提升]
1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )
A．2 B．4
C. D.＋1
【解析】 将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1，0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A.
【答案】 A
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A. B.
C. D．2
【解析】 根据题意画出简图(图略)，设∠AFO＝θ(0<θ<π)，|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cos θ＝，又m＝2＋mcos(π－θ)，得m＝＝，△AOB的面积为S＝·|OF|·|AB|·sin θ＝×1××＝，故选C.
【答案】 C
3．如图2-4-1是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图2-4-1
【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
则A(2，－2)，代入方程得p＝1，
∴抛物线的方程为x2＝－2y，
设B(x0，－3)(x0<0)代入方程得x0＝－.
∴此时的水面宽度为2 m.
【答案】 2
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，点M是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】
(1)求抛物线的方程；
(2)求双曲线的方程．
【解】 (1)把M代入方程y2＝2px，
得p＝2，
因此抛物线的方程为y2＝4x.
(2)抛物线的准线方程为x＝－1，所以F1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F，则F(1，0)，
于是2a＝||MF1|－|MF||＝＝，
因此a＝.
又因为c＝1，所以b2＝c2－a2＝，
于是，双曲线的方程为－＝1.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A．2 B．1
C．4 D．8
【解析】 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C.
【答案】 C
2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．4
【解析】 据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1，0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.
【答案】 D
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得
①－②得，
(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2.
∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.
【答案】 B
4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．6
C．12 D．7
【解析】 焦点F的坐标为，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝，
即y＝x－，代入y2＝3x，
得x2－x＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋＝＋＝12，故选C.
【答案】 C
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10 B．8
C．6 D．4
【解析】 由题意知p＝2，|AB|＝x1＋x2＋p＝8.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为.
【答案】
7．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
【解析】 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
【答案】 0或1
8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________. 【导学号：18490074】
【解析】 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1，0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由
得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，
化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
设A(x0，y0)，由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0，
得8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.
[能力提升]
1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0，1)，则＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.
【答案】 C
2．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A. B.
C. D．2
【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k的直线的方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为·＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.
【答案】 D
3．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
【解析】 由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由
解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为
A，B，所以AB＝2.
由△ABF为等边三角形，得AB＝p，解得p＝6.
【答案】 6
4．已知抛物线x＝－y2与过点(－1，0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于时，求k的值. 【导学号：18490075】
【解】 过点(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，
由方程组
消去x，整理得ky2＋y－k＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－1.
设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1，0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，
∴S△OAB＝＝＝，
解得k＝－或.
