期中综合检测(一)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．分析人的身高与体重的关系，可以用( )
A．残差分析 B．回归分析
C．等高条形图 D．独立性检验
解析：选B 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，显然，人的身高与体重具有相关关系．
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设( )
A．三角形的三个内角都不大于60°
B．三角形的三个内角都大于60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于60°
解析：选B 其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定，即“都大于60°”．
3．下列说法正确的是( )
A．预报变量的值受解释变量的影响，与随机误差无关
B．预报变量的值受随机误差的影响，与解释变量无关
C．预报变量的值与总偏差平方和有关，与残差无关
D．预报变量的值与解释变量和随机误差的总效应有关
解析：选D 依据预报变量的特点知与解释变量和随机误差的总效应有关．
4．类比a(b＋c)＝ab＋ac，则下列结论正确的是( )
A．loga(x＋y)＝logax＋logay
B．sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．ax＋y＝ax＋ay
D．a·(b＋c)＝a·b＋a·c
解析：选D 由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征时，才能用类比推理，而A、B、C中的两对象没有相似特征，故不适合应用类比推理．
5．设有一个回归直线方程＝2－1.5x，则变量x每增加1个单位时( )
A．y平均增加1.5个单位
B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位
D．y平均减少2个单位
解析：选C x每增加1个单位，y平均减少1.5个单位．
6．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③由f(x)＝sin x，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin x是奇函数；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
解析：选C 合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．
7．(新课标高考)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．0 C. D．1
解析：选D 因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.
8．分类变量X和Y的列联表如下：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则以下判断正确的是( )
A．ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强
答案：C
9．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图中的(1)(2)(3)(4)，则图中a，b对应的运算是( )
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
解析：选B 根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆．由此可知选B.
10．(江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76 C．123 D．199
解析：选C 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．在△ABC中，D为BC的中点，则AD―→＝(AB―→＋AC―→)，将命题类比到三棱锥中得到的命题为________．
答案：在三棱锥A－BCD中，G为△BCD的重心，则AG―→＝(AB―→＋AC―→＋AD―→)
12．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________．
解析： 由已知设回归直线方程为
＝＋6.5x，
则回归直线必过(，)．
由于＝＝5，
＝＝50，
所以50＝＋6.5×5.从而解得＝17.5，
所以＝6.5x＋17.5.
答案：＝6.5x＋17.5
13．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：
班级与成绩列联表
优秀
及格
总计
甲班
11
34
45
乙班
8
37
45
总计
19
71
90
则随机变量K2约为________．
解析：由列联表知K2的观测值
k＝≈0.600.
答案：0.600
14．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．
解析：设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.
答案：n2＋n
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本题满分12分)(安徽高考)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程．为此对数据预处理如下：
年份－2006
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2，
＝
＝＝6.5，
＝－＝3.2.
由上述计算结果，知所求线性回归方程为
－257＝(x－2006)＋＝6.5(x－2006)＋3.2.
即＝6.5(x－2006)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．(未写近似值不扣分)
16．(本题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，
ABCD为正方形，PD⊥平面AC，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
证明：(1)连接AC，设AC∩BD＝O，连接EO，
∵ABCD是正方形，∴O为AC的中点，
∴OE为△PAC的中位线，
∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)∵PD⊥平面AC，BC?平面AC，
∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PDC.
∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE.
又∵PD⊥平面AC，DC?平面AC，
∴PD⊥DC，而PD＝DC，
∴△PDC为等腰三角形，∴DE⊥PC
又BC∩PC＝C，
∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB，DE∩EF＝E，∴PB⊥平面DEF.
17．(本题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)根据以上数据，可得K2的观测值
k＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以能有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
18．(本小题满分14分)已知数列{an}中，Sn为其前n项和且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a1＝1，
(1)设bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝(n∈N*)，求证：数列{cn}是等差数列．
证明：(1) ∵Sn＋1＝4an＋2，
∴Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减，得
Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)．
即an＋2＝4an＋1－4an.
变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)．
∵bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，
∴bn＋1＝2bn.
∵a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，
∴S2＝4a1＋2＝6，即a2＝5.
∴b1＝a2－2a1＝5－2＝3.∴bn＝3·2n－1.
由此可知，数列{bn}是以3为首项，公比为2的等比数列．
(2)∵cn＝(n＝1,2，…)，
∴cn＋1－cn＝－＝＝，
将bn＝3·2n－1代入，得cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)．
由此可知，数列{cn}是公差为的等差数列．
期中综合检测(二)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列关于K2的说法中正确的是( )
A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关
B．K2的值越大，两个分类变量相关的可能性就越小
C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对两个分类变量适用
D．K2的计算公式为
K2＝
解析：选C K2只适用于2×2列联表问题，故A错；K2越大两个分类变量相关的可能性越大，故B错；选项D中公式错误，分子应为n(ad－bc)2.
2．设a、b、c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋ ( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
解析：选D 因为a、b、c都是正数，则有(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥6.故三个数中至少有一个不小于2.
3．若函数f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
解析：选B ∵f(x)＝x2－2x＋m有两个零点，
∴4－4m＞0，∴m＜1，
由f(1－x)≥－1得(1－x)2－2(1－x)＋m≥－1，
即x2＋m≥0，∴m≥－x2，
∵－x2的最大值为0，
∴0≤m＜1.
4．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是( )
A．由样本数据得到的回归直线＝x＋必过样本点的中心(，)
B．残差点较均匀落在水平的带状区域中的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．样本点散布在回归直线附近的原因是随机误差的存在
解析：选C R2越大，说明模型的拟合效果越好，故C不正确．
5．下表是性别与是否喜欢足球的统计列联表，依据表中的数据，得到( )
喜欢足球
不喜欢足球
总计
男
40
28
68
女
5
12
17
总计
45
40
85
A.K2＝9.564
B．K2＝3.564
C．K2＜2.706
D．K2＞3.841
解析：选D 由K2＝，
把表中数据代入上式得K2≈4.722.
6．“因为矩形的对角线相等，等腰梯形的对角线相等，所以等腰梯形是矩形”，显然结论是错误的，其原因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．大、小前提均错
解析：选C 三段论的推理形式是“M是P，S是M，则S是P”．而上述推理的形式是“M是P，S是P，则S是M”．故犯了推理形式错误．
7．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是( )
A．(0,6]
B．[6，＋∞)
C．[1＋，＋∞)
D．(0,1＋]
解析：选B x＋y＋3＝xy≤()2?(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，故x＋y≥6，当且仅当x＝y＝3时等号成立．
8．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点( )
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A.(2,2) B．(1.5,2)
C．(1,2) D．(1.5,4)
解析：选D ∵＝＝1.5，
＝＝4，
∴回归直线必过样本点的中心为(1.5,4)．
9．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分析求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D 丁同学所得相关系数r＝0.85最大，残差平方和m＝103最小，所以A，B两变量线性相关性更强．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵Sn＝n2·an(a≥2)，a1＝1，
∴S2＝4·a2＝a1＋a2?a2＝＝.
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝＝＝.
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4?a4＝＝.
∴猜想an＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析：a＝∈(0,1)，
所以函数f(x)＝()x为减函数．
故由f(m)>f(n)得m
答案：m12．若符号“*”表示求实数a与b的算术平均数的运算，即a*b＝，则a＋(b*c)用含有运算符号“*”和“＋”表示的另一种形式是________．
解析：a＋(b*c)＝a＋＝＝＝(a＋b)*(a＋c)．
答案：(a＋b)*(a＋c)
13．(广东高考)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.
解析：设父亲身高为x cm，儿子身高为y cm，则
x
173
170
176
y
170
176
182
＝173，＝176，
＝＝1，
＝－＝176－1×173＝3，
∴＝x＋3，
当x＝182时，＝185.
答案：185
14．在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R2≈________，可以叙述为“身高解释了56%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的44%”，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多．
解析：由相关指数的概念得R2＝0.56，可以叙述为“身高解释了56%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的44%”．
答案：0.56
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本题满分12分)设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.
证明：假设|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，
于是有－<1＋a＋b<，①
－<4＋2a＋b<，②
－<9＋3a＋b<，③
①＋③，得－1<10＋4a＋2b<1，
所以－3<8＋4a＋2b<－1，
所以－<4＋2a＋b<－.
这与②－<4＋2a＋b<矛盾，
所以假设不成立，
即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
16．(本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．
(2)由对照数据，计算得＝86，
＝＝4.5
＝＝3.5，
已知iyi＝66.5，
∴由最小二乘法确定的回归方程的系数为
＝
＝
＝0.7，
＝－ ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
∴所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)由(2)的回归方程及技术改造前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
17．(本题满分12分)(福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°·sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
18．(本小题满分14分)想象一下一个人从出生到死亡，在每个生日都测量身高，并作出这些数据散点图，这些点将不会落在一条直线附近，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
90.8
97.6
104.2
110.9
115.6
122.0
128.5
年龄/周岁
10
11
12
13
14
15
16
身高/cm
134.2
140.8
147.6
154.2
160.9
167.5
173.0
(1)年龄(解释变量)和身高(预报变量)之间具有怎样的相关关系？
(2)如果年龄相差5岁，则身高有多大差异？(3～16岁之间)
(3)如果身高相差20 cm，其年龄相差多少？
(4)计算残差，说明该函数模型能够较好地反映年龄与身高的关系吗？请说明理由．
解：年龄x与身高y之间有线性相关关系，设线
性回归方程为＝x＋，
(1)由公式＝≈6.314，
＝－＝72.000，
所以＝6.314x＋72.000.
(2)如果年龄相差5岁，则预报变量变化
6．314×5＝31.570(cm)．
(3)如果身高相差20 cm，年龄相差
Δx＝＝3.168≈3(岁)．
(4)＝(yi－)2≈4.53，
(yi－)2＝－n2≈7 227.2，
y
90.8
97.6
104.2
110.9
115.6
122.0
128.5
90.9
97.3
103.6
109.9
116.2
122.5
128.8
y
134.2
140.8
147.6
154.2
160.9
167.5
173.0
135.1
141.5
147.8
154.1
160.4
166.7
173.0
R2≈0.999.
所以残差平方和为4.59，相关指数为0.999，
故该函数模型能够较好地反映年龄与身高的关系．
模块综合检测(一)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(新课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
解析：选A 由题意可知z2＝－2＋i，
所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.
2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
解析：选C 只有平行四边形与平行六面体较为接近．
3．实数的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容分别为( )
A．有理数、零、整数
B．有理数、整数、零
C．零、有理数、整数
D．整数、有理数、零
解析：选B 由实数的包含关系知B正确．
4．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k
B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k
D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
解析：选D 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.
5．下列推理正确的是( )
A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖
B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－c
C．若a，b均为正实数，则lg a＋lg b≥
D．若a为正实数，ab<0，则＋＝－＋≤－2＝－2
解析：选D A中推理形式错误，故A错；B中b，c关系不确定，故B错；C中lg a，lg b正负不确定，故C错．
6．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i.若为实数，则实数m的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D ＝＝
＝.
∵为实数，
∴6＋4m＝0，
∴m＝－.
7．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律，第n个等式为( )
A．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
B．(n＋1)(n＋2)…(n＋1＋n＋1)＝2n×1×3×…×(2n－1)
C．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n＋1)
D．(n＋1)(n＋2)…(n＋1＋n)＝2n＋1×1×3×…×(2n－1)
解析：选A 观察规律，等号左侧为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是1×3×…×(2n－1)．
8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，
58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4.
记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数为f(n)，
则f(2 015)＝f(502×4＋7)＝f(7)，
∴52 015与57的末四位数相同，均为8 125.
9．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 第一次运行得s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；
第二次运行得s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；
第三次运行得s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；
第四次运行得s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；
第五次运行得s＝15＋(5－1)2＝31，
满足条件，跳出循环，
所以输出的k的值是5，故选C.
10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9.现发现表中有一个数据模糊不清，经推断可知该数据为( )
零件数x/个
10
20
30
40
50
加工时间y/min
62
75
81
89
A.70 B．68 C．66 D．64
解析：选B 依题意得，＝×(10＋20＋30＋40＋50)＝30.由于直线＝0.67x＋54.9必过点(，)，
于是有＝0.67×30＋54.9＝75，因此表中的模糊数据是75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．复数z＝的共轭复数为________．
解析：z＝＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i.
答案：－1－i
12．“一群小兔一群鸡，两群合到一群里，数腿共40，数脑袋共15，多少小兔多少鸡？”其解答流程图如图所示，空白部分应为________．
→→→
答案：解方程组
13．图1有面积关系：＝，则图2有体积关系：＝________.
解析：把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得＝.
答案：
14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则用n表示的f(n)＝________.
解析：由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，
f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，
推测当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，
所以f(n)＝3n2－3n＋1.
答案：3n2－3n＋1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i为虚数单位)，z＝＋|ω－2|，求.
解：由ω－4＝(3－2ω)i，得8ω(1＋2i)＝4＋3i，
∴ω＝＝2－i.
∴z＝＋|－i|＝3＋i.
则z＝3＋i的共轭复数＝3－i.
于是＝＝＝＝＋i.
16．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解：(1)由题意知，
n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
＝＝＝＝0.3，
＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．
(1)求证：tan＝.
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)根据两角和的正切公式得
tan＝
＝＝，
即tan＝，命题得证．
(2)猜想：f(x)是以4a为周期的周期函数．
证明：因为f(x＋2a)＝f((x＋a)＋a)
＝
＝＝－，
所以f(x＋4a)＝f((x＋2a)＋2a)
＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
18．(本小题满分14分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表所示：
甲厂：
分组
[29.86，29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂：
分组
[29.86，29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？
甲厂
乙厂
总计
优质品
非优质品
总计
解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为＝72%.
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为＝64%.
(2)
甲厂
乙厂
总计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
总计
500
500
1 000
K2的观测值k＝
≈7.35>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
模块综合检测(二)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．设z＝，则z的共轭复数为( )
A．－1＋3i B．－1－3i
C．1＋3i D．1－3i
解析：选D ∵z＝＝＝1＋3i，∴＝1－3i.
2．以下说法，正确的个数为( )
①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．
②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．
③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用的类比推理．
④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此2 375是5的倍数，这是运用的演绎推理．
A．0 B．2 C．3 D．4
解析：选C ①人的身高与脚长的关系：身高＝脚印长×6.876(中国人)，是通过统计数据用线性回归的思想方法得到的，故不是类比推理，所以错误．②农谚“瑞雪兆丰年”是人们在长期的生产生活实践中提炼出来的，所以是用的归纳推理，故正确．③由球的定义可知，球与圆具有很多类似的性质，故由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质是运用的类比推理是正确的．④这是运用的演绎推理的三段论．大前提是“个位是5的整数是5的倍数”，小前提是“2 375的个位是5”，结论为“2 375是5的倍数”，所以正确．故选C.
3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
解析：选A 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．
4．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”，其中“大前提”和“小前提”分别是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②①
解析：选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②雅安人是中国人)，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③雅安人一定坚强不屈)．故选A.
5．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
解析：选C 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.
6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出：“a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出：“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出：“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”；
④“若x∈R，则|x|<1?－1其中类比结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B ①②正确，③④错误，因为③④中虚数不能比较大小．
7．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为( )
A．10 B．17
C．19 D．36
解析：选C 执行程序：k＝2，s＝0；s＝2，k＝3；s＝5，k＝5；s＝10，k＝9；s＝19，k＝17，此时不满足条件k<10，终止循环，输出结果为s＝19.选C.
8．p＝＋，q＝·(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．不确定
解析：选B q＝ ≥＝＋＝p.
9．下图所示的是“概率”知识的( )
A．流程图 B．结构图
C．程序框图 D．直方图
解析：选B 这是关于“概率”知识的结构图．
10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
总计
30
20
50
那么在犯错误的概率不超过________的前提下，认为“喜爱打篮球与性别有关”．( )
附参考公式：K2＝
P(K2＞k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.789
10.828
A.0.05 B．0.010
C．0.005 D．0.001
解析：选C 由2×2列联表可得，K2的估计值
k＝＝≈8.333>7.789，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜爱打篮球与性别有关”．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________________．
解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然，<.∴a答案：a12．复数z＝(其中i为虚数单位)的虚部是________．
解析：化简得z＝＝＝＋i，则虚部为.
答案：
13．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是________(填序号)．
①an＝2n ②an＝2(n－1) ③an＝2n ④an＝2n－1
解析：由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：an＝2n.
答案：③
14．(福建高考)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0 有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
解析：可分下列三种情形：
(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；
(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；
(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
答案：201
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
16．(本小题满分12分)某大学远程教育学院网上学习流程如下：
(1)学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到，交费注册，领取网上学习注册码．
(2)网上选课，课程学习，完成网上平时作业，获得平时作业成绩．
(3)预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得学分，否则重修．
试画出该远程教育学院网上学习流程图．
解：某大学远程教育学院网上学习流程如下：
17．(本小题满分12分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)
(1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
50岁以上
总计
(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？并写出简要分析．
解：(1)2×2列联表如下：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
(2)因为K2的观测值k＝＝10>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．
18．(本小题满分14分)为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？
解：根据题目所给的数据得到如下列联表：
理科
文科
总计
有兴趣
138
73
211
无兴趣
98
52
150
总计
236
125
361
根据列联表中数据由公式计算得K2的观测值为
k＝≈1.871×10－4.
因为1.871×10－4<2.706，所以据目前的数据不能认为学生选报文、理科与对外语的兴趣有关，即可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．
课时跟踪检测(一) 回归分析的基本思想及其初步应用
一、选择题
1．(重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A、B得A正确．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
建立的回归模型拟合效果最好的同学是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选A 相关指数R2越大，表示回归模型拟合效果越好．
3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71.则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：选D 回归方程中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；
由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，B正确；
依据回归方程中的含义可知，x每变化1个单位，相应变化约0.85个单位，C正确；
用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故D不正确．
4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2，如下表：
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D 从题中的散点图上来看，丁同学的散点图中的点更加近似在一条直线附近；从残差平方和来看，丁同学的最小，说明拟合精度最高．
5．(福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，C.a′ D.解析：选C 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.
而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，
可求得＝
＝＝，
＝－＝－×＝－，
所以a′.
二、填空题
6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为_________．
解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
答案：1
7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下表：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为________________．
解析：设y对x的线性回归方程为＝x＋，
由表中数据得＝176，＝176，＝，
＝176－×176＝88，
所以y对x的线性回归方程为＝x＋88.
答案：＝x＋88
8．关于x与y有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：＝6.5x＋17.5，乙：＝7x＋17，则____________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好．
解析：设甲模型的相关指数为R，
则R＝1－＝1－＝0.845；
设乙模型的相关指数为R，
则R＝1－＝0.82.
因为0.845＞0.82，即R＞R，
所以甲模型拟合效果更好．
答案：甲
三、解答题
9．(新课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
解：(1)由所给数据计算得
＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
10．在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据如下表：
价格x/元
14
16
18
20
22
需求量y/件
56
50
43
41
37
求出y关于x的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏．(参考数据：x＝1 660，xiyi＝3 992)
解：从作出的散点图(图略)可看出，这些点在一条直线附近，可用线性回归模型来拟合数据．
由数据可得＝18，＝45.4.
由计算公式得＝－2.35，＝－＝87.7.
故y关于x的线性回归方程为＝－2.35x＋87.7.
列表：
yi－i
1.2
－0.1
－2.4
0.3
1
yi－
10.6
4.6
－2.4
－4.4
－8.4
所以 (yi－i)2＝8.3， (yi－)2＝229.2.
相关指数R2＝1－≈0.964.
因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果好．
课时跟踪检测(七) 数系的扩充和复数的概念
一、选择题
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
2．方程1－z4＝0在复数范围内的根共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D 由已知条件可得z4＝1，
即z2＝±1，故z1＝1，z2＝－1，z3＝i，z4＝－i，
故方程有4个根．
3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为( )
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
解析：选D ∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
4．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C 若此复数是纯虚数，则得a＝－1，所以当a≠－1时，已知的复数不是纯虚数．
5．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A 对①，由于x，y∈C，
所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，
故①是假命题；
对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
二、填空题
6．设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝________.
解析：因为x，y∈R，所以利用两复数相等的条件有解得所以x＋y＝1.
答案：1
7．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，则实数m＝________.
解析：因为log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，
所以
所以m＝4.
答案：4
8．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．
解析：由z1>z2，
得
即
解得a＝0.
答案：0
三、解答题
9．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i满足下列条件？
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
解：(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，
复数z是虚数．
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：∵M∪P＝P，
∴M?P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
课时跟踪检测(三) 合情推理与演绎推理
一、选择题
1．下列类比推理恰当的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
答案：D
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋＝2×9.
3．观察式子：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，…，
则可归纳出第n－1个式子为( )
A．1＋＋＋…＋<
B．1＋＋＋…＋<
C．1＋＋＋…＋<
D．1＋＋＋…＋<
解析：选C 观察可得第n－1个式子为：
不等式的左边为的前n项的和，
右边为分式.
4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析：选C 记三角形数构成的数列为{an}，
则a1＝1，a2＝3＝1＋2，
a3＝6＝1＋2＋3，
a4＝10＝1＋2＋3＋4，
可得通项公式为
an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225.
5．将正整数排成下表：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
… …
则在表中数字2 013出现在( )
A．第44行第78列
B．第45行第78列
C．第44行第77列
D．第45行第77列
解析：选D 第n行有2n－1个数字，
前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
∵442＝1 936,452＝2 025，
且1 936＜2 013＜2 025，
∴2 013在第45行．
又2 025－2 013＝12，
且第45行有2×45－1＝89个数字，
∴2 013在第89－12＝77列．
二、填空题
6．设函数f(x)＝(x＞0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________________________.
解析：由已知可归纳如下：
f1(x)＝，
f2(x)＝，
f3(x)＝，
f4(x)＝，
…，
fn(x)＝.
答案：
7．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示_________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
8．观察下列等式：
23＝3＋5，
33＝7＋9＋11，
43＝13＋15＋17＋19，
53＝21＋23＋25＋27＋29，…，
若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．
解析：经观察，等式右边的数组成数列：3,5,7,9,11，…，所以由3＋(n－1)×2＝109得n＝54，再由等式右边的数的个数为2,3,4，…，且分别等于左边数的底数，
可得2＋3＋4＋…＋m＝54，
即＝54，解得m＝10.
答案：10
三、解答题
9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9 900，an是数列第几项？
解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，
所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.
(3)a10＝11×12＝132.
a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，
所以n＝98，
即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
10．已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：
已知M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，
点P是双曲线上任意一点，
若直线PM，PN的斜率都存在，
并记为kPM，kPN，
那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，
则N点的坐标为(－m，－n)．
∵点M(m，n)在已知双曲线－＝1上，
∴－＝1，得n2＝m2－b2.
同理y2＝x2－b2.
∴y2－n2＝(x2－m2)．
则kPM·kPN＝·＝
＝·＝(定值)．
∴kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
课时跟踪检测(九) 复数代数形式的加减运算及其几何意义
一、选择题
1．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝( )
A．1 B.
C．2 D．3
解析：选B 由图象可知z1＝－2－2i，z2＝i，
所以z1＋z2＝－2－i，|z1＋z2|＝.
2．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )
A．1－3i B．－2＋11i
C．－2＋i D．5＋5i
解析：选D ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i.
又∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.
3．在复平面内的平行四边形ABCD中，对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，则对应的复数是( )
A．2＋14i B．1＋7i
C．2－14i D．－1－7i
解析：选D 依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－1－7i.
4．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4
C．4 D．16
解析：选C 由|z－4i|＝|z＋2|得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2 ＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
5．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选A 设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．
二、填空题
6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
解析：∵z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
7．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________.
解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.
由题意知
∴或
∴z＝2±i.
答案：2±i
8．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．则在复平面内z1－z2对应的点在第________象限．
解析：因为z1－z2＝－2＋2i，所以对应点(－2,2)在第二象限．
答案：二
三、解答题
9.如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
解：(1)因为＝－，
所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，
所以向量对应的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，
所以向量对应的复数为
(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
10．已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，
B(－cos2θ，cos 2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)
＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)
＝(－1，－2sin2θ)．
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，
代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，
∴sin θ＝±.
又∵θ∈(0，π)，
∴sin θ＝，
∴θ＝或.
课时跟踪检测(二) 独立性检验的基本思想及其初步应用
一、选择题
1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是( )
A．2×2列联表 B．独立性检验
C．等高条形图 D．其他
解析：选B A、C只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．
2．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( )
A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
解析：选B k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大．即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．故选B.
3．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是( )
A．k≥6.635 B．k＜6.635
C．k≥7.879 D．k＜7.879
解析：选C 犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.
4．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
解析：选D 因为k1＝
＝，
k2＝
＝，
k3＝
＝，
k4＝
＝，
则有k4>k2>k3>k1，
所以阅读量与性别关联的可能性最大.
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，观测值k＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：选A 由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
二、填空题
6．下列关于K2的说法中，正确的有________(填序号)．
①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；
②K2的计算公式是
K2＝；
③若求出K2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
④独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．
解析：对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；对于②，(ad－bc)应为(ad－bc)2，故②错；③④对．
答案：③④
7．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．
解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
答案：是
8．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：
文化程度与月收入列联表 (单位：人)
月收入2 000元以下
月收入2 000元及以上
总计
高中文化以上
10
45
55
高中文化及以下
20
30
50
总计
30
75
105
由上表中数据计算得K2的观测值k＝≈6.109，请估计有________把握认为文化程度与月收入有关系．
解析：由于6.109＞5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，即有97.5%的把握认为文化程度与月收入有关系．
答案：97.5%
三、解答题
9．巴西医生马廷恩收集犯有各种贪污、受贿罪的官员与廉洁官员寿命的调查资料：500名贪官中有348人的寿命小于平均寿命，152人的寿命大于或等于平均寿命；590名廉洁官员中有93人的寿命小于平均寿命，497人的寿命大于或等于平均寿命．这里，平均寿命是指“当地人均寿命”．能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间有关系？
解：据题意列2×2列联表如下：
短寿(B)
长寿()
总计
贪官(A)
348
152
500
廉洁官()
93
497
590
总计
441
649
1 090
假设官员是否清廉与他们寿命的长短无关．
由公式得K2的观测值
k＝
≈325.635.
因为325.635＞6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间是有关系的．
10．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行1 700次观测，列联表如下：
有震
无震
总计
水位有变化
98
902
1 000
水位无变化
82
618
700
总计
180
1 520
1 700
利用图形判断地下水位的变化与地震的发生是否有关系，并用独立性检验分析是否有充分的证据显示二者有关系．
解：相应的等高条形图如图所示．
图中两个阴影条的高分别表示水位有变化和水位无变化的样本中有震的频率．由图可看出，水位有变化样本中有震的频率与水位无变化样本中有震的频率相差不大，因此不能判断地震与水位变化有关系．
根据列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈1.594<2.072，
所以题中数据没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生有关系，但也不能认为二者无关系．
课时跟踪检测(五) 综合法和分析法
一、选择题
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选C ①②③⑤正确．
2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝′＝－＜0，
∴f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．
3．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
解析：选B 是3a与3b的等比中项?3a·3b＝3?3a＋b＝3?a＋b＝1，
因为a＞0，b＞0，
所以≤＝?ab≤，
所以＋＝＝≥＝4.
4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若A>B，则a>b，
又＝，∴sin A>sin B；
若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，∴A>B.
5．已知f(x)＝ax＋1,0＜a＜1，若x1，x2∈R，且x1≠x2，则( )
A.≤f
B.＝f
C.≥f
D.＞f
解析：选D 因为x1≠x2，
所以
＝＞
＝a＋1＝f，
所以＞f.
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了______________的证明方法．
解析：该证明过程符合综合法的特点．
答案：综合法
7．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b＞a＋b
?a－a＞b－b
?a(－)＞b(－)
?(a－b)(－)＞0
?(＋)(－)2＞0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
8．已知sin θ＋cos θ＝且≤θ≤，则cos 2θ＝________.
解析：因为sin θ＋cos θ＝，
所以1＋sin 2θ＝，
所以sin 2θ＝－.
因为≤θ≤，
所以π≤2θ≤.
所以cos 2θ＝－＝－.
答案：－
三、解答题
9．求证：2cos(α－β)－＝.
证明：要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，
左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)·sin α
＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α
＝sin β＝右边．
所以原等式成立．
10．设f(x)＝ln x＋－1，证明：
(1)当x＞1时，f(x)＜(x－1)；
(2)当1＜x＜3时，f(x)＜.
证明：(1)记g(x)＝ln x＋－1－(x－1)，
则当x＞1时，
g′(x)＝＋－＜0.
又g(1)＝0，
故g(x)＜0，
即f(x)＜(x－1)．
(2)记h(x)＝f(x)－，
则h′(x)＝＋－
＝－＜－
＝.
令p(x)＝(x＋5)3－216x，
则当1＜x＜3时，
p′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，
因此p(x)在(1,3)内单调递减，
又p(1)＝0，
则p(x)＜0，
故h′(x)＜0.
因此h(x)在(1,3)内单调递减，
又h(1)＝0，
则h(x)＜0，
故当1＜x＜3时，
f(x)＜.
课时跟踪检测(八) 复数的几何意义
一、选择题
1．设z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R D．a＞0，b∈R
解析：选D 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．
2．已知复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，集合A＝，B＝.若a，b∈A∩B，则|z|等于( )
A．1 B.
C．2 D．4
解析：选B 因为A∩B＝，所以a，b∈，所以|z|＝＝.
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：选B 因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.
4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限．
5．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是( )
A．直线 B．圆心在原点的圆
C．圆心不在原点的圆 D．椭圆
解析：选C 因为a，x，y∈R，
所以a2＋2a＋2xy∈R，a＋x－y∈R.
又a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，
所以
消去a，得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即x2＋y2－2x＋2y＝0，亦即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
该方程表示圆心为(1，－1)，半径为的圆．
二、填空题
6．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________．
解析：由题意得z＝a＋i，根据复数的模的定义可知
|z|＝.
因为0＜a＜2，
所以1＜a2＋1＜5，
故1＜＜.
答案：(1，)
7．在复平面内，表示复数z＝(m－3)＋2i的点位于直线y＝x上，则实数m的值为________．
解析：由表示复数z＝(m－3)＋2i的点位于直线y＝x上，得m－3＝2，解得m＝9.
答案：9
8．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的条件，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1?|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
三、解答题
9．实数m取什么值时，复数z＝2m＋(4－m2)i在复平面内对应的点满足下列条件？
(1)位于虚轴上；
(2)位于第一、三象限；
(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上．
解：(1)若复数z在复平面内的对应点位于虚轴上，
则2m＝0，即m＝0.
(2)若复数z在复平面内的对应点位于第一、三象限，
则2m(4－m2)>0，
解得m<－2或0(3)若复数z的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则＝4，即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.
10．已知复数z＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．
解：设复数z与复平面内的点(x，y)相对应，则由复数的几何意义可知由sin2θ＋cos2θ＝1可得(x－2)2＋(y－1)2＝1.所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．
课时跟踪检测(六) 反证法
一、选择题
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．
2．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
3．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应是( )
A.＝成立
B.＜成立
C.＝或＜成立
D.＝且＜成立
解析：选C “大于”的否定为“小于或等于”．
4.“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
(2)所以∠B<90°；
(3)假设∠B≥90°；
(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( )
A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1)
C．(3)(4)(1)(2) D．(3)(4)(2)(1)
解析：选C 根据反证法证题的步骤可知选C.
5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无穷多个
解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.
二、填空题
6．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________________．
解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.
答案：③①②
8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．
解析：假设AC，BD共面，均在平面α内，
即AC?α，BD?α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，
∴AB?α，CD?α，这与AB，CD异面矛盾，
∴AC，BD异面．
答案：异面
三、解答题
9．已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.
证明：假设，都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x，
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y>2矛盾，
∴，中至少有一个小于2.
10．已知f(x)＝ax＋(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，
则x0＜0且x0≠－1且ax0＝－，
由0＜ax0＜1?0＜－＜1，
解得＜x0＜2，这与x0＜0矛盾，
所以假设不成立，
故方程f(x)＝0没有负数根．
课时跟踪检测(十一) 流程图
一、选择题
1．下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是( )
A．买票→候车→检票→上车
B．候车→买票→检票→上车
C．买票→候车→上车→检票
D．候车→买票→上车→检票
解析：选A 旅客搭乘火车的流程应为“买票→候车→检票→上车”．
2．淮南麻鸭资源的开发与利用的流程图如图所示，则羽绒加工的前一道工序是( )
A．孵化鸭雏
B．商品鸭饲养
C．商品鸭收购、育肥、加工
D．羽绒服加工生产体系
解析：选C 由工序流程图可知，羽绒加工的前一道工序是商品鸭收购、育肥、加工．
3．(广东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )
A．1 B．2
C．4 D．7
解析：选C 根据程序框图，s＝1＋0＋1＋2＝4.
4．某工厂加工某种零件的工序流程图如图所示：
按照这个工序流程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 由工序流程图可知加工零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工，返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品．由上可知一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、检验四道程序．
5．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )
A．26 B．24
C．20 D．19
解析：选D 路线A→D→C→B的最大信息量是3；
路线A→D→E→B的最大信息量为4；
路线A→G→F→B的最大信息量为6；
路线A→G→H→B的最大信息量为6.
故从A到B的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
二、填空题
6．如图，该程序框图的功能是判断正整数x是奇数还是偶数，则①处应填________．
解析：若r＝1，则x是奇数；若r≠1，则x是偶数，故填r＝1.
答案：r＝1
7．如图是一个程序框图，则输出的k的值是________．
解析：解一元二次不等式k2－5k＋4＞0，得k＜1或k＞4，依据k的初始值和增量，可知当k＝5时跳出循环．故输出的k值是5.
答案：5
8．(江苏高考改编)如图是一个算法流程图，则输出的n的值是________．
解析：该流程图共运行5次，各次2n的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n的值是5.
答案：5
三、解答题
9．下图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：
根据此流程图回答下列问题：
(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？
(2)哪些环节可能导致废品的产生？二次加工产品的来源是什么？
(3)该流程图的终点是什么？
解：(1)一件屏幕成品经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．
(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．
(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．
10．某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办．
(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．
据上画出该局信访工作流程图．
解：流程图如图所示．
课时跟踪检测(十二) 结构图
一、选择题
1．下列关于结构图的说法不正确的是( )
A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系
B．结构图都是“树”形结构
C．简洁的结构图能清晰地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系
解析：选B 由结构图的概念及应用可知A、C、D正确，结构图有两种结构：“树”形结构和“环”形结构．
2．下图所示的是“概率”知识的( )
A．流程图 B．结构图
C．程序框图 D．直方图
解析：选B 这是关于“概率”知识的结构图．
3．下图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在( )
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位
D．“基本运算”的下位
解析：选C 子集是集合与集合之间的基本关系，故应为“基本关系”的下位．
4．如图是人教A版教材选修1－2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么应该放在图中( )
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
解析：选B 三段论是演绎推理的内容，因此应放在②处．
5．某自动化仪表公司组织结构图如图，其中“采购部”的直接领导是( )
A．副总经理(甲) B．副总经理(乙)
C．总经理 D．董事会
解析：选B 由组织结构图可知：采购部由副总经理(乙)直接领导．
二、填空题
6．下图是一种信息管理系统的结构图，则其构成有________部分．
解析：由框图的结构知共4个部分．
答案：4
7．某市质量技术监督局质量认证审查流程图如图所示，从图中可得在审查过程中可能不被审查通过的环节有________处．
解析：这是一个实际问题，观察流程图可知有3处判断框，即3处环节可能不被审查通过．
答案：3
8．如图是一商场制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的直接要素有________个．
解析：影响“计划”的主要要素是3个上位要素：政府行为、策划部、社会需求．
答案：3
三、解答题
9．试画出我们认识的“数”的知识结构图．
解：从大范围到小范围，逐步细化．知识结构图如图所示．
10．某地行政服务中心办公分布结构如下：
(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督查投诉中心，三部门设在一楼，其余局、委办理窗口分布如下：
(2)二楼：公安局、民政局、财政局；
(3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局；
(4)四楼：城建局、人防办、计生局、规划局；
(5)五楼：其余部门办理窗口．
试绘制该服务中心的结构图．
解：该中心的结构图如图所示．
课时跟踪检测(十) 复数代数形式的乘除运算
一、选择题
1．(辽宁高考)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i B．2－3i
C．3＋2i D．3－2i
解析：选A z＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i
＝2＋3i.
2．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
解析：选B 法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，
而＝＝
＝＝－2i.
3．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F
C．G D．H
解析：选D 由题图可得z＝3＋i，
所以＝＝＝＝2－i，
则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
4．(安徽高考)设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选A 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
又z·i＋2＝2z，∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，
∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A ∵z＝
＝＝
＝＝
＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.
二、填空题
6．若z＝－，则z2 012＋z102＝________.
解析：z2＝2＝－i.
z2 012＋z102＝(－i)1 006＋(－i)51
＝(－i)1 004·(－i)2＋(－i)48·(－i)3
＝－1＋i.
答案：－1＋i
7．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
解析：＋＝＋
＝＋i，
而＝＝＋i，
所以＋＝且＋＝，
解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
答案：4
8．设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i.
因为z2的实部是－1，即a－b＝－1，
所以z2的虚部为1.
答案：1
三、解答题
9．计算：(1)；
(2).
解：(1)＝
＝＝＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝－－i.
10．已知z1＝1－i，z2＝1－3i，z3＝1－2i，且－＝.
(1)求实数x，y的值；
(2)求·.
解：(1)由已知－＝，
得－＝，
即＋i＝＋i.
∵x，y∈R，
∴
解得
(2)由(1)知＝1＋i，＝1＋3i，
则·＝(1＋i)(1＋3i)＝1＋4i＋3i2＝－2＋4i.
课时跟踪检测(四) 演绎推理
一、选择题
1．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，……………………………大前提
整数是有理数，……………………………小前提
整数是真分数．……………………………结论
结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：选A 推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．
2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )
A．演绎推理 B．类比推理
C．合情推理 D．归纳推理
解析：选A 是由一般到特殊的推理，故是演绎推理．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
解析：选A B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
解析：选B 推理的大前提应该是矩形的对角线相等，表达此含义的选项为B.
5．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．
二、填空题
6．若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数．小前提：－3是整数．结论：－3是自然数．”这个推理显然错误，则推理错误的是________(填“大前提”“小前提”或“结论”)．
解析：整数不全是自然数，还有零与负整数，故大前提错误．
答案：大前提
7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形．”若将其恢复成完整的三段论，则大前提是____________________．
解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形．
小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52.结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
8．若不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：①a＝0时，有2＜0，显然此不等式解集为?.
②a≠0时需有??
所以0＜a≤2.
综上可知，实数a的取值范围是[0,2]．
答案：[0,2]
三、解答题
9．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：
(1)平面AD1E∥平面BGF；
(2)D1E⊥AC.
证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，
∴D1F綊BE，
∴四边形BED1F是平行四边形，
∴D1E∥BF.
又∵D1E?平面BGF，BF?平面BGF，
∴D1E∥平面BGF.
∵F，G分别是D1D和DA的中点，
∴FG是△DAD1的中位线，
∴FG∥AD1.
又∵AD1?平面BGF，FG?平面BGF，
∴AD1∥平面BGF.
又∵AD1∩D1E＝D1，
∴平面AD1E∥平面BGF.
(2)连接BD，B1D1，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵D1D⊥AC，BD∩D1D＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∵D1E?平面BDD1B1，
∴D1E⊥AC.
10．在数列中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列是等比数列．
(2)求数列的前n项和Sn.
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
解：(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，
所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，
于是数列的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N*，
Sn＋1－4Sn＝＋－4＋＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
阶段质量检测（一）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫做( )
A．函数关系 B．线性关系
C．相关关系 D．回归关系
解析：选C 由相关关系的概念可知，C正确．
2．在一线性回归模型中，计算其相关指数R2＝0.96，下面哪种说法不够妥当( )
A．该线性回归方程的拟合效果较好
B．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%
C．随机误差对预报变量的影响约占4%
D．有96%的样本点在回归直线上
解析：选D 由相关指数R2表示的意义可知A、B、C三种说法都很妥当，相关指数R2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有96%的样本点在回归直线上，故选D.
3．(湖北高考改编)根据如下样本数据得到的回归方程为＝x＋，则( )
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
A.>0，<0 B.>0，>0
C.<0，<0 D.<0，>0
解析：选A 作出散点图如下：
观察图象可知，回归直线＝x＋的斜率<0，当x＝0时，＝>0，故>0，<0.
4.下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋，则＝( )
A．10.5 B．5.15
C．5.2 D．5.25
解析：选D 样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得＝5.25.
5．下面的等高条形图可以说明的问题是( )
A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的
B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同
C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方
D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握
解析：选D 由等高条形图可知选项D正确．
6．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为＝7.19x＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )
A．身高一定为145.83 cm
B．身高大于145.83 cm
C．身高小于145.83 cm
D．身高在145.83 cm左右
解析：选D 用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．
7．在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：选A 当ad与bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时与相差越大．
8．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是( )
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
解析：选B 由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．
9．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为＝－3＋x，若i＝17，i＝4，则的值为( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
解析：选A 依题意知，＝＝1.7，＝＝0.4，而直线＝－3＋x一定经过点(，)，所以－3＋×1.7＝0.4，解得＝2.
10．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选A 列2×2列联表如下：
x1
x2
总计
y1
10
21
31
y2
c
d
35
总计
10＋c
21＋d
66
故K2的观测值
k＝≥5.024.
把选项A、B、C、D代入验证可知选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
⑤学生与他(她)的学号之间的关系．
其中有相关关系的是________(填序号)．
解析：利用相关关系的概念判断．①是不确定关系．②曲线上的点与该点坐标是一种对应关系，即每一个点对应一个坐标，是确定关系．⑤学生与其学号也是确定的对应关系．
答案：①③④
12．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．
解析：设回归直线的方程为＝x＋.
回归直线的斜率的估计值是1.23，即＝1.23.
又回归直线过样本点的中心(4,5)，
所以5＝1.23×4＋，解得＝0.08，
故回归直线的方程为＝1.23x＋0.08.
答案：＝1.23x＋0.08
13．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表．由表中数据得线性回归方程＝x＋，其中＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．
用电量y/度
24
34
38
64
气温x/℃
18
13
10
－1
解析：由题意可知
＝×(18＋13＋10－1)＝10，
＝×(24＋34＋38＋64)＝40，
＝－2.
又回归直线＝－2x＋过点(10,40)，
故＝60，
所以当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.
答案：68
14．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得k≈3.918，经查对临界值表P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学做出了以下的判断：p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r：这种血清预防感冒的有效率为95%；s：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列命题中，正确的是________(填序号)．
①p∧(綈q)； ②(綈p)∧q；
③(綈p∧綈q)∧(r∨s); ④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．
解析：查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；95%仅是指“血清能起到预防感冒的作用”的可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，故p真，其余都假．结合复合命题的真假可知，选①④.
答案：①④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)某地区在调查一种传染病与饮用水的关系时得到如下数据：饮用干净水得病5人，不得病50人；饮用不干净水得病9人，不得病22人．画出列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为这种疾病与饮用水有关．
解：依题意得2×2列联表：
得病
不得病
合计
干净水
5
50
55
不干净水
9
22
31
总计
14
72
86
此时，由题中数据可得K2的观测值
k＝≈5.785，
由于5.785>2.706，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为这种传染病与饮用不干净水有关系．
16．(本小题满分12分)某同学6次考试的数学、语文成绩在班中的排名x，y如下表：
x
7
6
5
3
2
1
y
13
11
9
6
4
2
对上述数据用线性回归方程＝x＋来拟合y与x之间的关系．
解：由于＝4，＝7.5，
(xi－)(yi－)＝50，
(xi－)2＝28，
那么＝＝≈1.786，
＝－＝7.5－1.786×4＝0.356.
此时可得＝1.786x＋0.356.
17．(本小题满分12分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15－a
30＋a
其中a,15－a均为大于5的整数，则a取何值时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系？
解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系，则k≥2.706，而
k＝
＝
＝.
由k≥2.706得a≥7.19或a≤2.04.
又a＞5且15－a＞5，a∈Z，即a＝8或9，
故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系．
18．(本小题满分14分)在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组数据如下表：
年龄x
23
27
39
41
45
49
50
脂肪
含量y
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
年龄x
53
54
56
57
58
60
61
脂肪
含量y
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
(1)作出散点图，并判断y与x是否线性相关，若线性相关，求线性回归方程；
(2)求相关指数R2，并说明其含义；
(3)给出37岁时人的脂肪含量的预测值．
解：(1)散点图如图所示．由散点图可知样本点呈条状分布，脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．
设线性回归方程为＝x＋，
则由计算器算得≈0.576，≈－0.448，
所以线性回归方程为＝0.576x－0.448.
(2)残差平方和： ＝ (yi－i)2≈37.20，
总偏差平方和： (yi－)2≈644.99，
R2＝1－≈0.942，
表明年龄解释了94.2%的脂肪含量变化．
(3)当x＝37时，＝0.576×37－0.448≈20.9，故37岁时人的脂肪含量约为20.9%.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( )
A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上
B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上
C．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上
D．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上
解析：选B 在散点图中，预报变量在y轴上，解释变量在x轴上．
2．在回归分析中，残差图中的纵坐标为( )
A．残差 B．样本编号 C. D.(n)
解析：选A 残差是真实值与预报值的差，残差分析就是对这些残差画出残差图进行分析，在残差图中，横坐标代表编号，纵坐标代表残差．
3．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
14
18
19
20
23
25
28
A.线性函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
解析：选A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．
4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为( )
P(K2>k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.25% B．95%
C．5% D．97.5%
解析：选D ∵k＞5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1－0.025＝97.5%的把握认为“X和Y有关系”，故选D.
5.如图所示，图中有5组数据，去掉________(填字母代号)组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大 ( )
A．E B．C
C．D D．A
解析：选A ∵A，B，C，D四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，E点离得远，∴去掉E点剩下的4组数据的线性相关性最大．故答案为A.
6．在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为( )
A.＝2x＋1 B.＝x＋2
C.＝x＋1 D.＝x－1
解析：选C ∵＝＝2.5，＝＝3.5，∴这组数据的样本中心点是(2.5,3.5)，把样本中心点代入四个选项中，只有＝x＋1成立，故选C.
7．为判定喜欢黑色的人是否易患抑郁症，对91名大学生进行调查，得到如下2×2列联表：
患抑郁症
未患抑郁症
合计
喜欢黑色
15
32
47
不喜欢黑色
14
30
44
合计
29
62
91
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
则下列说法正确的是( )
A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系
B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系
D．不能认为喜欢黑色与患抑郁症有关系
解析：选D 经计算K2≈9.8×10－5≤3.841，故没有理由认为喜欢黑色与患抑郁症有关．
8．为了评价某个电视栏目改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算得K2≈0.99.根据这一数据分析，下列说法正确的是 ( )
A．有99%的人认为该栏目优秀
B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革无关
C．有99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系
D．没有充分理由认为该栏目是否优秀与改革有关系
解析：选D 只有K2>6.635才能有99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系，而即使K2>6.635也只是对“该栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论．故选D.
9．若残差平方和是325，总偏差平方和是923，则随机误差对预报变量变化的贡献率为( )
A．64.8% B．60%
C．35.2% D．40%
解析：选C 相关指数R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量变化的贡献率为
×100%＝×100%≈35.2%.
10．下面是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出( )
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的百分比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的百分比为60%
解析：选C 由等高条形图可知，女生中喜欢理科的百分比约为1－0.8＝0.2＝20%，
男生中喜欢理科的百分比约为1－0.4＝0.6＝60%，
因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：以x＋1代x，得＝0.254(x＋1)＋0.321，
与＝0.254x＋0.321相减可得，
年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
12．在线性回归方程y＝a＋bx中，b为回归系数，下列关于b的说法中正确的是________(填序号)．
①b为回归直线的斜率；
②b>0，表示随x增加，y值增加，b<0，表示随x增加，y值减少；
③b是唯一确定的值；
④回归系数b的统计意义是当x每增加(或减少)一个单位，y平均改变b个单位．
解析：b是由总体的一个样本，利用一定的方法得到的，选择不同的样本或不同的计算方法得到的b是不同的，故③错．
答案：①②④
13．独立性检验显示：有90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关．下列说法中正确的是________(填序号)．
①在100个男性中约有90个人爱喝酒；
②如果某人爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%；
③认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性为10%；
④有90%的把握认为10个男性中有9个人爱喝酒．
解析：根据独立性检验的概念可知③正确，其他说法均错误．
答案：③
14．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归方程＝x＋必过(，)；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．
其中错误的个数是________．
本题可以参考独立性检验临界值表：
P(K2≥k0)
0.5
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解析：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，因为D(X＋b)＝D(X)，其稳定性不变，所以方差恒不变；②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位，而不是增加5个单位；③线性回归方程＝x＋必过(，)；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079,13.079>10.828，且P(K2>10.828)＝0.001，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．因此，①③④正确，②错误，故只有1个错误的说法．
答案：1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分12分)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与休闲方式有关系？
解：(1)2×2列联表为：
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
总计
64
60
124
(2)由列联表中的数据，计算K2的观测值
k＝≈6.201.
因为6.201>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与休闲方式有关系．
16．(本小题满分12分)某种产品的广告费用支出x万元与销售额y万元之间有如下的对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
20
30
50
50
70
(1)根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；
(2)据此估计广告费用为10万元时所得的销售收入．(x＝145，xiyi＝1 270)
解：(1)＝＝5，
＝＝44，
＝＝＝8.5，
＝－＝44－8.5×5＝1.5，
∴回归直线方程为＝8.5x＋1.5.
(2)当x＝10时，预报y的值为＝8.5×10＋1.5＝86.5(万元)．所以所得的销售收入约为86.5万元．
17．(本小题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附： K2＝
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
解：(1)300×＝90，
所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别的列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2的观测值
k＝＝≈4.762>3.841.
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
18．(本小题满分14分)以下资料是一位销售经理收集到的年销售额y(千元)和销售经验x(年)的关系：
销售经验x/年
1
3
4
4
6
8
10
10
11
13
年销售额y/千元
80
97
92
102
103
111
119
123
117
136
(1)根据这些数据画出散点图并作直线＝78＋4.2x，计算 (yi－i)2；
(2)依据这些数据求回归直线方程并据此计算
(yi－i)2；
(3)比较(1)(2)中的残差平方和 (yi－i)2的大小．
解：(1)散点图与直线＝78＋4.2x的图形如图，
对x＝1,3，…，13，有
i＝82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6，
(yi－i)2＝179.28.
(2)＝xi＝7，
xiyi＝8 128，
x＝632，
＝yi＝108，
∴＝4，＝－＝108－4×7＝80，
故＝80＋4x，对x＝1,3，…，13，有
i＝84,92,96,96,104,112,120,120,124,132，
(yi－i)2＝170.
(3)比较可知，(2)中求出的 (yi－i)2较小．
阶段质量检测（三）
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(江西高考)已知集合M{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )
A．－2i B．2i
C．－4i D．4i
解析：选C 由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，
故z＝＝＝－4i.
2．复数z＝(i为虚数单位)的虚部为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：选B 因为z＝＝－1－i，所以复数z的虚部为－1.
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选B ∵ab＝0，∴a＝0或b＝0.由复数a＋＝a－bi为纯虚数，得a＝0且b≠0.∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
4．复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D z＝＝＝＝－1＋i，
所以其共轭复数为＝－1－i.
5．在复平面内，复数，(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为( )
A. B．1
C.i D．i
解析：选A ＝－i，＝＋i，故在复平面内对应的点A，B，故点C，对应的复数为.
6．(安徽高考)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
解析：选C 因为z＝1＋i，所以＋i·＝－i＋1＋i＋1＝2.
7．(陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：选D 对于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?＝，是真命题；对于B、C，易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．
8．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(0,3) B．(－∞，－2)
C．(－2,0) D．(3,4)
解析：选D 整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应的点位于第二象限，则解得3＜m＜4.
9．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析：选A 由定义知＝zi＋z，
得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
10．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
解析：选B 因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是该方程的根，
则1＋i＋1－i＝2＝－b，
(1＋i)(1－i)＝3＝c，
解得b＝－2，c＝3.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是________．
解析：由题图知z＝2＋i，
则＝＝＝i，
其共轭复数是－i.
答案：－i
12．计算：[(1＋2i)·i100－i]2－30＝________.
解析：原式＝[(1＋2i)－i]2－
＝(1＋i)2＋i＝3i.
答案：3i
13．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.
解析：＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝ ＝2，
所以a2＝3.
又因为a为正实数，所以a＝.
答案：
14．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．
解析：∵a，b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
即解得
∴z＝7－10i.
∴z对应的点位于第四象限．
答案：四
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i满足下列条件？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数；
(4)0.
解：(1)当k2－5k－6＝0，
即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，
即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
16．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1z2；
(2).
解：因为z2＝＝
＝
＝＝1－3i，
所以(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＝＋i.
17．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|＜|z1|，求a的取值范围．
解：∵z1＝＝2＋3i，
z2＝a－2－i，＝a－2＋i，
∴|z1－|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝ .
又∵|z1|＝，|z1－|＜|z1|，
∴ ＜，
∴a2－8a＋7＜0，解得1＜a＜7.
∴a的取值范围是(1,7)．
18．(本小题满分14分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i，
由z＋2i为实数，得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由为实数，得x＝4.
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知
解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下面三个命题：
①0比－i大；
②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；
③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①中实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数．
2．若复数 z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选C 法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，
所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，
由复数相等的条件得
解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，
故|z|＝＝.
法二：由z(1＋i)＝2i，
得z＝＝＝i－i2＝1＋i，
所以|z|＝＝.
3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)·i为“等部复数”，则实数a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选A 由已知可得z＝(1＋ai)·i＝－a＋i，
所以－a＝1，即a＝－1.
4．已知a∈R，且0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵00且a－1<0，
故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．故选D.
5．已知复数z＝，则z的实部为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：选D 因为z＝＝＝＝－1＋2i，故z的实部为－1.
6．已知a，b是实数，设i是虚数单位，若a＋i＝，则复数a＋bi为( )
A．2－i B．2＋i
C．1＋2i D．1－2i
解析：选C 因为a＋i＝，整理得(a＋i)(1＋i)＝bi，
∴(a－1)＋(a＋1)i＝bi，
由复数相等的条件得
解得
∴a＋bi＝1＋2i，故选C.
7．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
解析：选D ＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i.
8．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析：选D |z|＝≤＝＝|x|＋|y|，D正确．
9．定义运算＝ad＋bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．－1－3i
解析：选D 由已知得zi－z＝4＋2i，
∴z＝＝＝－1－3i.
10．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 因为＝＝＋i，所以选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.
解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，
故||＝＝2.
答案：2
12．设复数z满足iz＝－3＋i(i为虚数单位)，则z的实部为________．
解析：由iz＝－3＋i，
得z＝＝＝1＋3i，
则z的实部为1.
答案：1
13．已知i为虚数单位，复数z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为________．
解析：＝＝＝－i，
因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以?－6答案：
14．对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2.设非零复数ω1，ω2在复平面内对应的点分别为P1，P2，点O为坐标原点．如果ω1⊙ω2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为________．
解析：设1＝x1＋y1i，2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，∵ω1⊙ω2＝0，由定义知x1x2＋y1y2＝0，
∴1⊥2，∴∠P1OP2＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限内，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝(a＋bi)＝2i·i·(a＋bi)
＝－2a－2bi，
由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①
∵复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，
∴|z|＝|z－|，
把z＝－2a－2bi代入化简，得|b|＝1.②
又∵z对应的点在第一象限内，
∴a<0，b<0.
由①②，得故所求a＝－，b＝－1.
16．(本小题满分12分)已知z＝(a>0)，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω.
解：由已知，ω＝×
＝＝
＝＋i，
∴－＝，
∴a＝2(a>0)，∴ω＝＋3i.
17．(本小题满分12分)已知z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根．
(1)求实数a，b的值．
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
解：(1)把z＝i－1代入z2＋az＋b＝0得
(－a＋b)＋(a－2)i＝0，∴a＝2，b＝2.
(2)猜测：－1－i是方程的另一个根．
证明：设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得i－1＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程左边得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根．
18．(本小题满分14分)已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值．
(2)若复数z满足|z－a＋bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
解：(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实数根，
∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－3＋3i|＝2|z|，
得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆．
如图，当Z点在直线OO1上时，|z|有最大值或最小值．
∵|OO1|＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝.
阶段质量检测（二）
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是( )
①y＝cos x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos x(x∈R)是周期函数．
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
解析：选B 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.
2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①a·b＝b·a；
②(a·b)·c＝a·(b·c)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；
④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.
则正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．
3．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程 x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根
解析：选A “至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．
5．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为( )
A．2n B．n2
C．22(n－1) D．nn
解析：选D 将四个答案分别用n＝1,2,3检验即可，故选D.
6．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是( )
A．指数函数 B．对数函数
C．一次函数 D．余弦函数
解析：选A 当函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)时，对任意的x>0，y>0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B、C、D选项均不满足要求．
7．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：选C 记an＋bn＝f(n)，
则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；
f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；
f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.
通过观察不难发现
f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，
则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；
f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；
f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；
f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；
f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 015等于( )
A. B.－1
C．2 D．3
解析：选B ∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，
a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)，
∴a2 015＝a2＋3×671＝a2＝－1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知 ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，…，若 ＝6 (a，b均为实数)，则a＝________，b＝________.
解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.
答案：6 35
12．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
13．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(结论)，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝.
因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
答案：
14．观察下图：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
则第________行的各数之和等于2 0152.
解析：观察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n－1项的等差数列，其各项和为
Sn＝(2n－1)n＋
＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2，
令(2n－1)2＝2 0152，得2n－1＝2 015，解得n＝1 008.
答案：1 008
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，{an}有如下性质：(m，n，p，q∈N*)
①通项an＝am＋(n－m)d；
②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．
解：在等比数列{bn}中，公比为λ(λ≠0)，前n项和为Sn′，{bn}有如下性质：(m，n，p，q∈N*)
①通项bn＝bm·λn－m；
②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq；
③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b；
④Sn′，S2n′－Sn′，S3n′－S2n′(Sn′≠0)构成等比数列．
16．(本小题满分12分)观察：
①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.
由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：猜想：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)
＝＋＋[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]
＝1＋＋sin(2α＋30°)－
＝＋[cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋sin(2α＋30°)
＝－＋sin(2α＋30°)
＝－sin(2α＋30°)＋sin(2α＋30°)＝，
即sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝.
17．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较 与 的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
解：(1) ＜ .证明如下：
要证 ＜ ，只需证＜.
∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.
∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2 ，
∴b2≤ac.
又∵a，b，c均不相等，
∴b2＜ac.
故所得大小关系正确．
(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cos B＜0.
由余弦定理得，
cos B＝≥＞＞0，
这与cos B＜0矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b＞a，b＞c，所以＞＞0，＞＞0，则＋＞＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
18．(本小题满分14分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？
(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．
(2)若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．
解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．
(2)由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为
an＝
其前n项和公式
Sn＝
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了三段论，但大前提使用错误
D．使用了三段论，但小前提使用错误
解析：选D 应用了三段论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
2．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是( )
A．增函数的定义
B．函数y＝x3满足增函数的定义
C．若x1D．若x1>x2，则f(x1)>f(x2)
解析：选B 三段论中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.
3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A．由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{an}的前n项和Sn＝n2
B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对?x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数
C．由半径为r的圆的面积S＝πr2，推断单位圆的面积S＝π
D．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n
解析：选A 选项A：为归纳推理，且∵an＝2n－1，∴{an}是等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，则Sn＝n＋×2＝n2，故A正确；选项B：为演绎推理；选项C：为类比推理；选项D：为归纳推理，当n＝7时，(n＋1)2＝82＝64<2n＝27＝128，故结论错误．故选A.
4．命题“关于x的方程f(x)＝0有唯一解”的结论的否定是( )
A．无解 B．两解
C．至少有两解 D．无解或至少有两解
答案：D
5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－1
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
解析：选B 先观察已知等式的左边，可得第n(n∈N*)个等式的左边应为9(n－1)＋n；再观察已知等式的右边结果1,11,21,31，…，知它们构成以1为首项，10为公差的等差数列，所以第n(n∈N*)个等式的右边应为1＋10(n－1)＝10n－9，故选B.
6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆＋＝1(a>b>0)的面积最有可能是( )
A．πa2 B．πb2
C．πab D．π(ab)2
解析：选C 圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即a＝b时的情形，因为S圆＝πr2，可以类比出椭圆的面积最有可能是S＝πab.
7．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P解析：选C P2＝(＋)2＝2a＋7＋2，
Q2＝(＋)2＝2a＋7＋2，
∴P20，Q>0，∴P8．已知a，b∈R，若a≠b，且a＋b＝2，则( )
A．1C．ab<<1 D.解析：选B ∵b＝2－a，
∴ab＝a(2－a)＝－(a2－2a)＝－(a－1)2＋1<1，
＝＝＝a2－2a＋2
＝(a－1)2＋1>1，故选B.
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，可归纳猜想出Sn的表达式为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，
∴a2＝，S2＝；
又1＋＋a3＝32a3，
∴a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，
得a4＝，S4＝.
由S1＝，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想Sn＝.
10．记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：
S1＝n2＋n，S2＝n3＋n2＋n，S3＝n4＋n3＋n2，S4＝n5＋n4＋n3－n，
S5＝n6＋n5＋n4＋An2，…
由此可以推测A＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以＋＋＋A＝1，解得A＝－.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________________________________________________________________________．
解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
12．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
解析：因为函数y＝a1－x的图象所过的定点为A(1，1)，
且点A在直线mx＋ny－1＝0上，所以m＋n＝1.
又因为mn>0，所以必有m>0，n>0，
于是＋＝(m＋n)·
＝2＋＋≥2＋2 ＝4.
答案：4
13．给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则
(1)a54＝________；(2)anm＝________.
解析：由前4行的特点，归纳可得：
若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，
∴a54＝(4,5－4＋1)＝(4,2)，
anm＝(m，n－m＋1)．
答案：(1)(4,2) (2)(m，n－m＋1)
14．请阅读下面材料：
若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，求证：a1＋a2≤.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.
根据上述证明方法，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1时，你能得到的结论是________．
解析：类比给出的材料，构造函数
f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，
由对一切实数x，恒有f(x)≥0，
所以Δ≤0，即可得到结论．
故答案为a1＋a2＋…＋an≤.
答案：a1＋a2＋…＋an≤
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)·(x2＋y2－1)－18≤0.
(1)求x2＋y2的取值范围；
(2)求证：xy≤2.
解：(1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0得
(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0.
因为x2＋y2＋5>0，所以有0≤x2＋y2≤4，
即x2＋y2的取值范围为[0,4]．
(2)证明：由(1)知x2＋y2≤4，
由基本不等式得xy≤≤＝2，
所以xy≤2.
16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．
结论是正确的．证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，
则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.
又∵α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．结论是错误的，这两个平面也可能相交．
17．(本小题满分12分)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝，sin2 5°＋sin2 65°＋sin2 125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．
解：一般形式为：
sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明：左边＝＋＋
＝－[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝－(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)
＝－cos 2α－cos 2α－sin 2α－cos 2α＋sin 2α＝＝右边．
将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝也正确
18．(本小题满分14分)如右图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．
求证：直线AC经过原点O.
证明：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，
代入抛物线方程，可得y2－2pmy－p2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，
所以y1y2＝－p2.
因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，
所以点C的坐标是，
故直线CO的斜率为k＝＝＝，
即k也是直线OA的斜率，
所以直线AC经过原点O.
阶段质量检测（四）
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．要描述一个工厂某种产品的生产步骤，应用( )
A．程序框图 B．工序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
解析：选B 工序流程图用来描述工业生产的流程．
2．下图是一个结构图，在框①中应填入( )
A．空集 B．补集
C．子集 D．全集
解析：选B 集合的运算包括交集、并集、补集．
3．把平面内两条直线的位置关系填入下面结构图中的M，N，E，F处，顺序较为恰当的是( )
①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交
A．①②③④ B．①④②③
C．①③②④ D．②①③④
解析：选C 平面内两直线位置关系有平行、相交，其中相交包含垂直与斜交，故选C.
4．在下面的图示中，是结构图的为( )
A.
C.
D.
解析：选B 选项A表示流程图；选项C表示频率分布直方图；选项D表示从B到A的路径图；选项B表示结构图．
5．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )
A．0 B．2 C．4 D．14
解析：选B a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.
6.右图所示的流程图中，输出d的含义是( )
A．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离
B．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的平方
C．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倒数
D．两条平行线间的距离
解析：选A 由流程图，得d＝表示点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离．
7．商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地进行市场调研，待调研结束后决定生产的产品数量，下列四种方案中可取的是( )
解析：选D 到三个地方去调研没有严格顺序，但可同时进行，这样可以缩短调研周期，从而尽快决定产品数量．
8．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(时)，不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是( )
A．11时 B．13时
C．15时 D．17时
解析：选A 组装工序可以通过三个方案分别完成：A→B→E→F→G，需要2＋4＋4＋2＝12(时)；A→E→F→G，需要5＋4＋2＝11(时)；A→C→D→F→G，需要3＋4＋4＋2＝13(时)．因此组装该产品所需要的最短时间是11时．
9．某程序框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数f(x)＝sinx，f(x)＝cosx，f(x)＝tanx，则可以输出的函数是( )
A．f(x)＝sinx
B．f(x)＝cosx
C．f(x)＝tanx
D．三个函数都无法输出
解析：选B 若输入函数f(x)＝cosx，
则f(x)＋f
＝cosx＋cos
＝cosx＋cos
＝cosx－cosx＝0，
f(x)＋f
＝cosx＋cos
＝cosx＋cos＝0.
故函数f(x)＝cosx可由题中程序框图输出．
易验证函数f(x)＝sinx和f(x)＝tanx均无法输出，故选B.
10．在如图所示的程序框图中，输入A＝192，B＝22，则输出的结果是( )
A．0 B．2 C．4 D．6
解析：选B 输入后依次得到：C＝16，A＝22，B＝16；C＝6，A＝16，B＝6；C＝4，A＝6，B＝4；C＝2，A＝4，B＝2；C＝0，A＝2，B＝0.故输出的结果为2，选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．如图所示的是某公司的组织结构图，则后勤部的直接领导是________．
解析：由组织结构图可知，后勤部的直接领导是专家办公室．
答案：专家办公室
12．下图是向量运算的知识结构图，如果要加入“向量共线的充要条件”，则应该是在________的下位．
解析：向量共线的充要条件是其中一个向量能用另一个非零向量的数乘形式表示．
答案：数乘
13．在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述：
则在①中应填入____________，在②中应填入_____________．
解析：一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形．
答案：菱形 直角梯形
14．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的时间最多为________天．
解析：由题意可画出工序流程图如下图所示．
∵总工期为9天，
∴2＋x≤5，∴x≤3.
∴完成工序C的最长时间为3天．
答案：3
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)
15．(本小题满分12分)汽车保养流程是：顶起车辆、更换机油、润滑部件、调换轮胎、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．
解：流程图如图所示．
16．(本小题满分12分)某公司做人事调整：设总经理一名，配有经理助理一名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副经理A管理生产部、安全部和质量部，副经理B管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司的人事结构图．
解：人事结构图如图所示．
17．(本小题满分12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图．
解：
18.(本小题满分14分)某车队有4辆汽车，担负A，B，C，D，E，F六个分厂的运输任务(图中标出的数是各分厂所需装卸工人数目)，若各分厂自派装卸工，则共需4＋6×2＋5×2＋7＝33(人)，若让一部分人跟车装卸，在需要装卸工人数较多的分厂再配备一个或几个装卸工，那么如何安排才能保证各分厂所需工人数，又使装卸工人数最少？最少安排多少人？
解：由逐步调整法可得：
(1)将各点上的人数由大到小排列得7,6,6,5,5,4；
(2)车数为4，上列数中第四个数是5；
(3)跟车人数应为5，此时所需的搬运工总数为5×4＋2＋1＋1＝24(人)．
所以每辆车上安排5人跟车，各分厂安排的装卸工人数如图所示，这样所需人数最少，最少要安排24名装卸工人．
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下面是图书印刷成书的流程图，表示正确的是( )
A.→→→
B.→→→
C.→→→
D.→→→
解析：选B 出版一本图书，应首先编审，然后制版，制版后方能印刷，印刷后才能装订，故选B.
2．下列说法正确的是( )
A．流程图只有1个起点和1个终点
B．程序框图只有1个起点和1个终点
C．工序图只有1个起点和1个终点
D．以上都不对
解析：选B 程序框图只有1个起点“开始”和1个终点“结束”．
3．复数集是由实数集和虚数集构成的，而实数集又可分为有理数集和无理数集两部分；虚数集也可分为纯虚数集和非纯虚数集两部分，此段叙述可选用________来描述之．( )
A．流程图
B．结构图
C．流程图或结构图中的任意一个
D．流程图和结构图同时使用
解析：选B 结构图描述的是静态的系统结构，故选B.
4．如图所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图象与性质”与“幂函数”的关系是( )
A．并列关系 B．从属关系
C．包含关系 D．交叉关系
解析：选B 从知识结构图中可判断为从属关系．
5．程序框图如下图所示，当A＝0.96时，输出的k的值为( )
A．20 B．22
C．24 D．25
解析：选C 由程序框图可知当k＝n时，
s＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋－
＝1－＝≥0.96，
解得n≥24，所以选C.
6．下图所示的是“导数”一章的知识结构图，其中最合理的是( )
解析：选C A选项中没有涉及导数的运算和应用，B选项中把导数的几何意义忽略了，D选项中导数前面的三个要素有先后顺序，不是并列的．
7．给出下列框图：
①→→；
②→→；
③→→；
④→→→→
其中是流程图的有________个．( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A ④是洗衣机洗衣服的工序流程图，而①②③不是流程图．
8．如图所示的框图是结构图的是( )
解析：选C 选项C为组织结构图，选项A、B、D均为流程图．故选C.
9．(新课标全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D k＝1≤2，执行第一次循环，M＝×2＝2，S＝2＋3＝5，k＝1＋1＝2；k＝2≤2，执行第二次循环，M＝×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝2＋1＝3；k＝3>2，终止循环，输出S＝7.故选D.
10．执行如图所示的程序框图，若输入的N的值为6，则输出的p的值为( )
A．120 B．720
C．1 440 D．5 040
解析：选B 由程序框图，可得k＝1，p＝1,1<6；k＝2，p＝2，2<6；k＝3，p＝6,3<6；k＝4，p＝24,4<6；k＝5，p＝120,5<6；k＝6，p＝720,6＝6，不满足条件．故输出的p的值为720.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．如下图，某人拨通了电话，准备手机充值，须按怎样的顺序操作________(填序号)．
①1—5—1—1 ②1—5—1—5
③1—5—2—1 ④1—5—2—3
解析：根据流程图的特点可以判断．
答案：③
12．如图，程序输出的结果s＝132，则判断框中应填________．
解析：由题意，s表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11＝132，故此循环体需要执行两次，所以每次执行后i的值依次为11,10，由于i的值为10时，就应该退出循环，所以判断框中应填“i≥11？”或“i＞10？”．
答案：i≥11？(或i＞10？)
13．已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象必有一个对称中心．判断其图象的对称中心的流程图如下图所示：
对于函数f(x)＝x3－x2＋3x－，
(1)其对称中心为________；
(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f＝________.
解析：(1)f′(x)＝x2－x＋3，
即g(x)＝x2－x＋3，
g′(x)＝2x－1，
即h(x)＝2x－1，
令h(x)＝0，
解得x＝，
又f＝1，
故函数f(x)的对称中心为.
(2)由(1)可知f＋f
＝f＋f
＝…＝f＋f＝2，
故f＋f＋f＋f＋…＋f＝2 016.
答案：(1) (2)2 016
14．某学校组织结构图如下图所示，其中“团委”的直接领导是________．
解析：由结构图的特征可知，“书记”与“团委”是直接从属关系．
答案：书记
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)下图是某单位冷空调的工作流程图．某一时刻，空调没有工作．试分析其可能的原因．(空调无故障)
解：空调不工作的原因可能有①电源没有开启；
②室温偏低．
16．(本小题满分12分)一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：(1)用户管理：能够修改密码，显示用户信息，修改用户信息；(2)用户登录；(3)名片管理：能够对名片进行添加、删除、修改、查询；(4)出错信息处理．根据这些要求，试画出该系统的结构图．
解：设计的结构图如图：
17．(本小题满分12分)某药厂生产某产品工艺过程：
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装．
(2)提取环节经检验合格，进入下一工序，否则返回前处理．
(3)包衣、颗粒分装两环节检验，合格进入下一工序，否则为废品．
画出生产该产品的工序流程图．
解：该产品工序流程图如图：
18．(本小题满分14分)某市公交车票价按下列规则规定：
①5公里以内(包括5公里)票价2元；
②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)．
已知两个相邻的公共汽车站间距约1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)共有16个汽车站，请设计一个算法求出某人坐车x公里所用的票价，画出程序框图．
解：据题意，可得某人坐车x公里所用票价
y＝
程序框图：
