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第二十三章●第二节
关于原点对称的点的坐标
问题引入
问题1
（1）什么是中心对称？什么是中心对称图形？中心对称有什么性质？
（2）点P（x，y）关于Y轴对称的点的坐标 P/（
，
）；
（3）点P（x，y）关于X轴对称的点的坐标P/（
，
）。
归纳：
（1）如果把一个图形关于某一点旋转180°后能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形。
（2）点P（x，y）关于Y轴对称的点的坐标 P/（ -x
，
y
）；
（3）点P（x，y）关于X轴对称的点的坐标P/（ x
，
-y
）。
探究新知
问题2
如图，在直角坐标系中，已知A（－3，1）、B（－4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，－3）、F（－2，－2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标。这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
探究新知
画法：（1）连结AO并延长AO，
（2）在射线AO上截取OA′＝OA，
（3）过A
作AD′⊥x
轴于D′点，过A′
作A′D″⊥x
轴于点D″。
∵△AD′O与△A′D″O全等。
∴AD′＝A′D″，OA＝OA′。∴A′（3，－1）。
同理可得B、C、D、E、F
这些点关于原点的中心对称点的坐标。
追问1：关于原点作中心对称时，它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？
追问2：纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？
追问3：坐标与坐标之间符号又有什么特点？
探究新知
归纳：从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等。坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)。
结论：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)。
例1
如左图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的图形。
应用新知
解：点P(x，y)
关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因此△ABC
的三个顶点A(－4，1)，B(－1，－1)，C(－3，2)关于原点的对称点分别为A′(4，－1)，B′(1，1)，C′(3，－2)，依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC
关于原点对称的△A′B′C′（右图）。
例2
已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形。
应用新知
分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′。
练习1
如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）。从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（ ）
A.M
B.N
C.P
D.Q
巩固新知
解：根据平行四边形的判定，可知A、B、P都能够和已知的三个点组成平行四边形，则一定是中心对称图形。所以选择C。
练习2
（1）点A（2，－3）关于原点对称的点的坐标A′（
，
）；
（2）点B（5，7）关于原点对称的点的坐标B′（
，
）；
（3）点C（－8，－1）关于原点对称的点的坐标C′（
，
）。
巩固新知
解：A′（－2，3
）；B′（ －5 ，－
7）；C′（ 8，1）。
练习3
下列各点中哪两个点关于原点对称？
A（-5，0）、B（0，2）、C（2，-1）、D（2，0）、E（0，5）、 F（-2，1）、G(-2，-1）。
解：C（2，-1）与 F（-2，1）关于原点对称。
练习4
已知点A(a，1) 和点A′(5，b)是关于原点O的对称点，求a+b的值。
巩固新知
解：∵点A(a，1) 和点A′(5，b)是关于原点O的对称点，
∴a=－5，b=－1，∴a+b=－5+（－1）=－6。
练习5
若点P（-1-2a，2a-4）关于原点对称的点是第一象限的点，则a整数解有多少个？
解：∵点P（-1-2a，2a-4）关于原点对称点的坐标是（1+2a，4-2a），且这个点是第一象限内的点，∴1+2a>0，4-2a>0，解得-0。5
课堂小结
回顾本节内容，并请学生回答下列问题：
⒈本节课学习了哪些主要内容？
⒉本节课你有什么收获和体会？
⒊对本节课所学知识你还有哪些疑惑？
本节课应掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)。
利用关于原点对称的点的坐标变化规律解决一些实际问题。
课外作业
⒈教科书习题23.2第3题；（必做题）
⒉教科书习题23.2第4题。（选做题）《关于原点对称的点的坐标》
《关于原点对称的点的坐标》这节内容是在学
( http: / / www.21cnjy.com )习了《旋转》这一章的中心对称、中心对称图形等内容后展开的，学生在学习本节内容之前已经研究了平移、轴对称在平面直角坐标系中坐标的特征，这些知识为学生进一步研究中心对称在直角坐标系中的坐标的特点打下了坚实的基础。
教科书从观察关于原点对称的点的坐标的特例入
( http: / / www.21cnjy.com )手，归纳得出坐标平面上一个点关于原点对称的点的坐标的对应关系，并进一步探讨了如何利用这种关系在平面直角坐标系中作出一个图形关于原点对称的图形。本节课让学生感受图形关于原点对称变换之后的坐标的变化，把图形变换中的“形”与坐标中的“数”紧密的结合在一起，让学生充分体会数形结合的数学思想方法。
【知识与能力目标】
1.掌握在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系；
2.能运用关于原点成中心对称的点的坐标间的关系进行图形的变换。
【过程与方法目标】
通过观察、实际操作，理解关于原点对称的点的坐标的关系，掌握从特殊到一般的解决问题的方法。
【情感态度价值观目标】
通过关于原点成中心对称的点的坐标间的关系的探究，感受数学知识的对称美。
【教学重点】
在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系。
【教学难点】
能运用原点对称的知识作出一个图形关于原点对称的图形。
课前准备
多媒体课件、教具等。
教学过程
一、创设情境，引入新课
问题1
（1）什么是中心对称？什么是中心对称图形？中心对称有什么性质？
（2）点P（x，y）关于Y轴对称的点的坐标 P/（
，
）；
（3）点P（x，y）关于X轴对称的点的坐标P/（
，
）。
归纳：（1）如果把一个图形关于某一点旋转1
( http: / / www.21cnjy.com )80°后能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形。
（2）点P（x，y）关于Y轴对称的点的坐标 P/（ -x
，
y
）；
（3）点P（x，y）关于X轴对称的点的坐标P/（ x
，
-y
）。
设计意图：复习中心对称和中心对称图形的概念和性质以及点关于坐标轴对称其坐标变化规律，为下一步学习关于原点对称的点的坐标变化规律打下基础。
二、探索新知，得出规律
问题2
如图，在直角坐标
( http: / / www.21cnjy.com )系中，已知A（－3，1）、B（－4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，－3）、F（－2，－2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标。这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
( http: / / www.21cnjy.com )
画法：（1）连结AO并延长AO，
（2）在射线AO上截取OA′＝OA，
（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″。
∵△AD′O与△A′D″O全等。∴AD′＝A′D″，OA＝OA′。∴A′（3，－1）。
同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标。
追问1：关于原点作中心对称时，它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？
追问2：纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？
追问3：坐标与坐标之间符号又有什么特点？
归纳：从上可知，横坐标与横坐标的绝对值
( http: / / www.21cnjy.com )相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等。坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)。
结论：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)。
三、运用新知，深化理解
例1
如左图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的图形。
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解：点P(x，y)关于原点的对称点
( http: / / www.21cnjy.com )为P′(－x，－y)，因此△ABC的三个顶点A(－4，1)，B(－1，－1)，C(－3，2)关于原点的对称点分别为A′(4，－1)，B′(1，1)，C′(3，－2)，依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′（右图）。
例2
已知△ABC，A（1，2），B（―1，3），C（―2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形。
分析：先在直角坐标系中画出A、B、
( http: / / www.21cnjy.com )C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′。
四、学生练习，巩固新知
练习1
如图，点A，B，C的坐标分别为（
( http: / / www.21cnjy.com )0，﹣1），（0，2），（3，0）。从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（ ）
A.M
B.N
C.P
D.Q
解：根据平行四边形的判定，可知A、B、P都能够和已知的三个点组成平行四边形，则一定是中心对称图形。所以选择C。
练习2
（1）点A（2，－3）关于原点对称的点的坐标A′（
，
）；
（2）点B（5，7）关于原点对称的点的坐标B′（
，
）；
（3）点C（－8，－1）关于原点对称的点的坐标C′（
，
）。
解：A′（－2，3
）；B′（ －5 ，－
7）；C′（ 8，1）。
练习3
下列各点中哪两个点关于原点对称？
A（-5，0）、B（0，2）、C（2，-1）、D（2，0）、E（0，5）、 F（-2，1）、G(-2，-1）。
解：C（2，-1）与 F（-2，1）关于原点对称。
练习4
已知点A(a，1) 和点A′(5，b)是关于原点O的对称点，求a+b的值。
解：∵点A(a，1) 和点A′(5，b)是关于原点O的对称点，
∴a=－5，b=－1，∴a+b=－5+（－1）=－6。
练习5
若点P（-1-2a，2a-4）关于原点对称的点是第一象限的点，则a整数解有多少个？
解：∵点P（-1-2a，2
( http: / / www.21cnjy.com )a-4）关于原点对称点的坐标是（1+2a，4-2a），且这个点是第一象限内的点，∴1+2a>0，4-2a>0，解得-0。5五、课堂小结，梳理新知
师生共同回顾本节内容，并请学生回答下列问题：
⒈本节课学习了哪些主要内容？
本节课应掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)。
⒉本节课你有什么收获和体会？
利用关于原点对称的点的坐标变化规律解决一些实际问题。
⒊对本节课所学知识你还有哪些疑惑？
六、布置作业，优化新知
⒈教科书习题23.2第3题；（必做题）
⒉教科书习题23.2第4题。（选做题）