1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1
课后导练
基础达标
1.如果x,y∈N*,且1≤x≤3,x+y＜7,则满足条件的不同的有序正整数对(x,y)的个数是( )21·cn·jy·com
A.15 B.12 C.5 D.4
解析：由x的取值可分三类：x=1时，y有1，2，3，4，5五个可取的数；
x=2时,y有1，2，3，4四个可取的数；
x=3时，y有1，2，3三个可取的数.
由分类计数原理可知共有N=5+4+3=12(个)
答案：B
2.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为( )
A.25 B.26 C.36 D.37
解析：另两边边长由x、y表示，且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形，必须x+y≥12.
当y取值11时，x=1,2,3, …,11，可有11个三角形.
当y取值10时，x=2,3, …,10,可有9个三角形.
……
当y取值6时，x也只能取6,只有一个三角形.
∴所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.
答案：C
3.有不同颜色的上衣5件，裤子3条，从中选一样送给某人，共有___________种不同的选法.
解析：从5件上衣，3条裤子中任选一种，共有5+3=8种不同的选法.
4.大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1,2,3,4,5,6抛掷这两个玩具，则向上的面标着的两个数字之积不小于20，不同的积共有___________种.
解析：第1个正方体向上的面标有的数字必大于等于4.如果是3，则3与第二个正方体面上标有数字.最大者6的积3×6=18＜20,21世纪教育网版权所有
4× 5× 6×
以上积的结果共有20，24，25，30，36五种.
5.如右图所示为一电路图，从A到B共有_______________条不同的线路可通电.
解析：∵按上、中、下三条线路可分为三类：从上线路中有3种；中线路中有一种；下线路中有2×2=4种.根据分类计数原理，共有3+1+4=8（种）.2·1·c·n·j·y
答案：8
6.设某市拟成立一个由6名大学生组成的社会调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的3所大学，要求每所大学都有学生参加，则不同的名额分配方法共有_______________种（用数字作答）.21·世纪*教育网
解析：名额分配有3类：1,1,4;1,2,3;2,2,2.然后具体到学校，得3+6+1=10.
答案：10
综合运用
7.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分别沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )2-1-c-n-j-y
A.26 B.24 C.20 D.19【来源：21cnj*y.co*m】
解析：要完成的这件事是“从A向B传递信息”，完成这件事有4种办法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6.因此，可按这四种办法把传递信息量这件事分成四类，用分类计数原理可解，答案为D.21教育名师原创作品
答案：D
8.某仪表显示屏上有四个可显示数字的小窗.每个小窗可显示数字“0”或“1”.
（1）这个显示屏共能显示出几种由四个数字组成的信号.
（2）将题目中的“四”改为“n”，其结论又如何.
分析：由于“四”数字比较小，可采用枚举法，一一写出来.
显示信号是
0,0,0,0; 0,0,0,1; 0,0,1,0; 0,0,1,1;
0,1,0,0; 0,1,0,1; 0,1,1,0; 0,1,1,1;
1,0,0,0; 1,0,0,1; 1,0,1,0; 1,0,1,1;
1,1,0,0; 1,1,0,1; 1,1,1,0; 1,1,1,1;
共计16种.
如果从“第一个数显示”，“第二个数显示”，“第三个数显示”，“第四个数显示”的阶段来看，则可用乘法计数.容易看出：每阶段显出数字的方法数都是2.因此共有24=16种信号，按这种考虑，不难看出：把“四”换成“n”后，共能显示出2n种信号.
9.从0到99这100个数中，数字6出现多少次？
解析：按照数字6出现的次数可分两类：出现两次，只有66；出现一次.出现一次的情况按6出现的位置又分为两类：第一类出现在个位上，共有9个，即6，16，…，56，76，86，96；第二类是6出现在十位上，共有9个，即60，61，62，…，65，67，68，69.由分类加法计数原理，数字6出现的次数是N=1+（9+9）=19（次）.21教育网
拓展探究
10.在任意两个正整数m、n间定义某种运算（用表示运算符号）.当m、n都为正偶数或都为正奇数时，mn=m+n,如46=4+6=10;37=3+7=10.当m、n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，mn=mn,如34=3×4=12;43=4×3=12,则上述定义下，集合M={（a,b）|ab=36,a、b∈N*}中元素的个数为_____________.www-2-1-cnjy-com
解析：可分三类：第一类：a,b全为正偶数，则（a,b）可以是（34，2），（32，4），（30，6），…，（2，34），共计17个；【版权所有：21教育】
第二类：a,b全为正奇数，则（a,b）可以是（35，1），（33，3），…，（1，35）共计18个；
第三类：a,b中一个正奇数，一个正偶数，则（a,b）可以是（4，9），（9，4），（12，3），（3，12），（36，1），（1，36）共计6个；21*cnjy*com
由加法原理可知集合中共有元素：N=17+18+6=41（个）.
备选习题
11.从1，2，3，4四个数中任意取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有( )
A.8个 B.9个 C.10个 D.5个
提示：按加数的个数分类，除去和相同的结果即可.
答案：A
12.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有( )
A.4种 B.5种 C.6种 D.7种
解析：设这三堆苹果个数分别为x个，y个，z个则
于是分法有：x=1,y=4,z=5
x=2,y=4,z=4
x=3,y=3,z=4
x=3,y=5,z=2
(这里x=3,y=5,z=2和x=3,y=2,z=5视为相同的分法，其他同此）
∴共有4种分法，选A.
13.从1，2，3，…，100这100个自然数中，每次取出两个不同的数相乘，积是5的倍数的取法种数为____________.21cnjy.com
解析：从1到100的整数中，共有5的倍数20个.取两数积为5的倍数的取法有两类，第一类为两个数都是从这20个数中选取，有380种；另外一类为从这20个数中取一个，再从另外80个数中取一个相乘得到，共有80×20=1 600种取法，所以共有1 600+380=1 980种不同的方法.【来源：21·世纪·教育·网】
14.欲将一张10元人民币换成零钱，现有足够多的1元、2元、5元的人民币，问共有多少种不同的换法？
解析：换法数就是x+2y+5z=10(x,y,z∈N)的解的组数，对z进行分类即可，答案是10种.
15.用2005，2006，2007，2008四个数，可以构造出多少个各项均不相同且项数是4的数列？
解析：依据数列的定义，按一定顺序排列的一列数叫数列，故2005，2006，2007，2008与2006,2005,2007,2008是两个不同的数列，所以四个数2005,2006,2007,2008的顺序不同时，表示的便是符合条件的不同数列.按照数列的首项的值分别不同可分四类，构成的数列依次表示为：www.21-cn-jy.com
首项为2006,2007,2008时，同理可得均可构成6个符合条件的数列，故总共有：N=6+6+6+6=24个符合条件的数列.21*cnjy*com
16.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30个英语单词卡片，右边口袋装有20个英语单词卡片，这些英语单词卡片各不相同，问从两个口袋里任取一个英语单词卡片，有多少种不同的取法？【出处：21教育名师】
解析：由分类计数原理得，共有N=30+20=50(种)不同取法.
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 2
课后导练
基础达标
1.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有( )
A.510种 B.105种 C.50种 D.以上都不对
解析：要完成这件事可分10步，即10名乘客分别选一个车站下车，由于每个乘客都有5个车站进行选择，由分步计数原理知，乘客下车的可能方式有21*cnjy*com
N=
答案：A
2.有4封不同的信投入3个不同的邮筒，可有___________种不同的投入方法.
解析：由分步计数原理，共有N=3×3×3×3=34=81种方法.
3.(a1+a2+…+an)·(b1+b2+…+bm)·(c1+c2+…+ck)展开后共有_____________项.
解析：要得到展开式的一项需分三步，即分别从每个括号里拿出一个加数，然后相乘即可.由分步计数原理，共有n×m×k=nmk项.2·1·c·n·j·y
4.已知a∈｛-1,2,3｝，b∈｛0,3,4,5｝,r∈｛1,2｝,则(x-a)2+(y-b)2=r2所表示的不同的圆共有_____________个.21教育名师原创作品
解析：要得到一个圆，需分三步，即分别取得a,b,r三个待定系数的值，由分步计数原理
可得不同圆的个数N=3×4×2=24(个)
5.若x,y∈z,且｜x｜＜4,｜y｜＜5,则以(x,y)为坐标的不同的点共有_____________个.
解析：分两步：先确定x，有±3，±2，±1，0这七个可能的值；再确定y，有±4，±3，±2，±1，0这九个可能的值.从而以(x,y)为坐标的不同的点共有63个.
综合运用
6.某种彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11到20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花( )
A.3 360元 B.6 720元 C.4 320元 D.8 640元
解析：这种特殊要求的号共有：8×9×10×6=4 320(注).因此至少需花钱4 320×2=8 640(元)，∴选D.21cnjy.com
答案：D
7.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班，有多少种不同的选法?
解析：从3名工人中选1名上白班和1名上晚班，可以分成先选1名上白班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上白班，共有3种选法；上白班的人选定后，上晚班的工人有2种选法.根据分步计数原理，所求的不同的选法数是3×2=6(种).www.21-cn-jy.com
8.设集合M=｛k｜｜k｜＜3且k∈Z｝,P(x,y)是坐标平面上的点，且x,y∈M,则P可表示平面上的点多少个?【出处：21教育名师】
解析：M=｛-2,-1,0,1,2｝,分两步：第一步确定横坐标有5种，第二步确定纵坐标有5种，根据乘法原理，P可表示平面上的点5×5=25个.21*cnjy*com
9.有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数?
解析：易知，在90 000个五位数中共有30 000个可被3整除.下面求其中不含数字6的有多少个：在最高位，不能为0和6，有8种可能，在千、百、十位上，不能为6各有9种可能，在个位上，不仅不能为6，还应使整个五位数能被3整除，因此所出现的数应与前四位数字之和被3除的余数有关.当该余数为2时，个位上可为1，4，7中的一个；当该余数为1时，个位上可为2，5，8中的一个；当该余数为0时，个位上可为0，3，9.总之，不论前四位数如何，个位数字都有3种可能情况.所以这类五位数的个数为8×9×9×9×3=17 496.故不含数字6而又可被3整除的五位数共有30 000-17 496=12 504(个).
拓展探究
10.如图，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色.如果只有5种不同的颜色可供选择，那么不同的染色方法共有多少种?21世纪教育网版权所有
解析：将四棱锥S-ABCD沿侧棱剪开展在同一平面上(如图)，
由题设知，点S，A，B所染色互不相同，它们共有5×4×3=60种不同的染色方法.为叙述方便，把5种不同的颜色分别记为1，2，3，4，5.当S，A，B染好色后，不妨设它们分别染色为1，2，3.若C染色2，则D可染3，4，5中的任一种色，有3种染法；若C染色4，则D可染3或5，有2种染法；若C染色5，则D可染3或4，也有2种染法.根据分步原理，总的染色方法有N=60×(3+2+2)=420(种).21教育网
备选习题
11.若x∈｛1,2,3｝,y∈｛5,7,9｝，则x·y的不同值有( )
A.2个 B.6个 C.9个 D.3个
解析：共有3×3=9个不同值，故选C.
12.某班有3名学生准备参加校运会的100米，200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.24种 B.48种 C.64种 D.81种
解析：由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步计数原理，共有4×3×2=24种.www-2-1-cnjy-com
答案：A
13.今有壹角币1张，贰角币1张，伍角币1张，壹圆币5张，伍圆币2张，则可以付出不同数目的款额(不包括不付款的情况)的种数是____________.2-1-c-n-j-y
解析：用壹角币可搭配成0角，1角，2种不同的金额，即(1+1)种；用贰角币可搭配成0角，2角，即(1+1)种；用伍角币可搭配成0角，5角，即(1+1)种；用壹圆币可搭配成0元，1元，2元，3元，4元，5元，即(5+1)种；用伍圆币可搭配成0元，5元，10元，即(2+1)种.注意到付出款数为5，5.1，5.2，5.3，5.5，5.6，5.7，5.8元，10，10.1，10.2，10.3，10.5，10.6，10.7，10.8元各有2种方法，所以不同付款的种数为(1+1)(1+1)(1+1)(5+1)(2+1)-16-1=127(种).【来源：21cnj*y.co*m】
14.已知y=f(x)是定义域为A=｛x｜1≤x≤7,x∈N｝，值域为B=｛0,1｝的函数.试问：这样的函数f(x)共有多少个.21·cn·jy·com
解析：首先应明确：函数是从定义域到值域上的一种映射，且值域中的每一个元素在定义域中都有原象(即函数是一种满射).【版权所有：21教育】
我们先求从定义域A=｛1,2, …,7｝到值域B=｛0,1｝可以建立多少个不同的映射.根据映射的定义，只要给集合A中的7个元素在集合B中都找到象即可.显然需分七步：1)1的象可以是0或1，有2种情形；2)2的象也可以是0或1，有2种情形；…；7)7的象也可以是0或1，有2种情形.根据分步原理，从A到B的映射共有2×2×…×2=27=128(个).
为了保证集合B中的每一个元素在A中都有原象，可考虑用排除法：0或1没有原象(意味着集合A中的7个元素都对应着集合B中的一个元素1或0)的映射各有1个.
综上所述，这样的函数f(x)共有N=128-2=126(个).
15.已知A∪B∪C=｛1,2,3,4,5｝,A∩B∩C=｛1,2｝,则A、B、C共有多少种组合形式.
解析：A、B、C三个集合我们可以用图来表示，此题可转化为集合｛3,4,5｝到集合｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ｝的映射(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ分别代表不同的区域)，共有63种组合形式.21·世纪*教育网
16.为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质、2种不同施肥量、4种不同种植密度、3种不同播种时间的因素下进行种植试验，则不同的试验方案共有多少种?
解析：由分步计数原理，得共有3×2×4×3=72种不同的试验方案.
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 3
课后导练
基础达标
1.将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有( )
A.8 B.15 C.125 D.243www.21-cn-jy.com
解析：每名大学生有3种不同的分配方式，所以共有35种不同的分配方式.故选D.
2.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )21*cnjy*com
A.6种 B.36种 C.63种 D.64种
答案：C
3.某班一天上午排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排一、四节，则不同排法的种数为( )
A.24 B.22 C.20 D.12
解析：先排体育课，只能排在二、三节，有两种排法；第二步排语文，有3种方法；第三步排数学，有2种方法；第四步排外语，只有1种方法，故共有N=2×3×2×1=12种排法，故
选D.
4.用1，5，9，13中任意一个数作为分子，4，8，12，16中任意一个数作为分母，可构造________个不同的真分数.21世纪教育网版权所有
解析：设构造的真分数为，其中m∈{1，5，9，13}，n∈{4，8，12，16}，且m＜n，若m=1，则n有4种选法；若m=5，则n有3种选法；若m=9，则n有2种选法；若m=13，则n有1种选法，故可构造的真分数个数为4+3+2+1=10种.2·1·c·n·j·y
综合运用
5.某演出队有8名歌舞演员，其中6人会表演舞蹈节目，有5人会表演歌唱节目，今从这8人中选出2人，一人表演舞蹈，一人表演歌唱，则选法共有( )21·cn·jy·com
A.24种 B.27种 C.28种 D.36种
解析：设会表演舞蹈节目的6人组成集合A，会表演歌唱节目的5人组成集合B，则A∩B中的元素个数为3个，把这三个称为“全能选手”.若按入选的选手中含有n个“全能选手”可分三大类：含0个，含1个，含2个.第1类的选法种类为3×2=6个；第2类的选法种数为3×2+3×3=15个；第3类的选法种数为3×2=6种.由加法原理可得选法共有N=6+15+6=27种，故选B.21·世纪*教育网
6.已知：m∈{2，5，8，9}，n∈{1，3，4，7}，则方程=1表示的焦点在x轴上的不同椭圆个数为( )【出处：21教育名师】
A.12 B.16 C.8 D.10
解析：由题意m＞n，可用分类计数原理求得共有N=1+3+4+4=12个，选A.
7.由n×n个边长为1的正方形拼成的正方形棋盘中，由若干个小方格能拼成的所有正方形的数目是( )【版权所有：21教育】
A.n B.n2
C.·(n+1)·(2n+1)·n D.n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1
解析：边长分别为1，2，…，n的正方形的数目分别是n2，(n-1)2，…，12个，故
由加法原理可得所有正方形的数目为n2+(n-1)2+…+12=n(n+1)(2n+1)，
故选C.
拓展探究
8.设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动.那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有多少种?【来源：21·世纪·教育·网】
解析：如图所示，
(1)青蛙经过3次从A点跳到D点，有且只有2种情况，即有2种跳法.
(2)青蛙跳完5次停止跳动，说明它在跳到第3次时没有到达D点.
又每次跳动不分方向，有2种方向可能.
所以前3次有2×2×2=8种跳法.
由(1)知应减去2种到达D点的跳法，故前3次的跳法是8-2=6种；
后两次(显然是分步)共有2×2=4种跳法.
故跳5次停跳的方法有6×4=24种.
综上，这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有26种.
备选习题
9.电子计算机的输入纸带每排8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生___________种不同信息.21教育网
解析：产生一种信息需分8步，每步有两种选择方法，由分步计数原理可得共可产生N=28=256(种)不同信息.www-2-1-cnjy-com
10.圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为___________.
解析：把和圆心三点共线的两个顶点视为一组，共可分为n组，每组顶点和剩余的任一个
顶点均可构成一个直角三角形，共可形成2(n-1)个直角三角形，由分类计数原理可得所求直
角三角形的个数共有：
N=n·2(n-1)=2n(n-1)(个)
11.若直线方程ax+by=0中的a、b可以从0，1，2，3，4这五个数中任取两个不同的数字，则该方程表示的不同的直线共有多少条?21cnjy.com
解析：可按a、b是否为0进行分类：
第一类，a或b中有一个取0时，方程表示不同直线为x=0或y=0，共2条.
第二类，a，b都不取0时，确定a的取值有4种方法，确定b的取值有3种方法，共有4×3=12(种).
但是，当a=1，b=2与a=2，b=4时，方程表示同一直线；类似地，还有a=2，b=1与a=4，b=2的情况.综上所述，方程表示的不同的直线共有2+12-2=12(条).2-1-c-n-j-y
12.我国使用的明码电报号码是用4个数字(从0到9)代表一个汉字的，问一共可以表示多少个不同的汉字?【来源：21cnj*y.co*m】
解析：4个数字均可从0到9这10个数字中任取一个.由分步计数原理，能够表示不同的汉
字有104=10 000(个).
13.用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡牛中写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张，要求字母不同且3色齐全的取法有多少种?
解析：取出5张卡片字母不同的取法有35=243(种)；取出5张卡片字母不同且至少缺一种颜色的取法共有3×25=96(种).至少缺一种颜色，不妨以至少缺红色为例：因为所选的5张卡片字母不同，颜色可从黄绿中任选，故选出的卡片有缺红、黄或缺红、绿两种可能.同样，在至少缺黄色时，存在缺黄、红或黄、绿两种可能；在至少缺绿色时，存在缺绿、红或绿、黄两种可能.这样，在排除至少缺一种颜色的取法时，将同时缺两种颜色的3种情况，排除了两次，应再加上.故取出5张卡片字母不同且颜色齐全的取法共有N=243-96+3=150(种).
1.2.1 排列（一）
课后导练
基础达标
1.判断下列问题是否是排列问题：
(1)从2、3、5、7、11中任取两数相乘可得多少不同的积?
(2)从上面各数中任取两数相除，可得多少不同的商?
(3)某班共有50名同学，现要投票选举正副班长各一人，共有多少种可能的选举结果?
(4)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出来，不同的出入方
式共有多少种?
解析：(1)不是 (2)是 (3)是 (4)是
2.写出下面问题中所有可能的排列.
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数?
(2)A、B、C、D四名同学站成一排照相，写出A不站在两端的所有可能的站法，共有多少种?
解析：(1)所组成的两位数是：12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43共12
个.
(2)所有可能的站法为：BACD、BADC、BCAD、BDAC、CABD、CADB、CBAD、CDAB、DACB、DABC、DBAC、DCAB共12种.21cnjy.com
3.从0，3，4，5，7中任取三个数分别作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项，则可做出的不同方程的个数是( )21·cn·jy·com
A.10 B.24 C.48 D.60
解析：由于二次项系数不能为0，故只能从3，4，5，7中任选一个，其他两个系数没有限制，故共可做出·=48(个)不同的方程.2·1·c·n·j·y
答案：B
4.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )
A.720种 B.360种 C.240种 D.120种
解析：因甲、乙两个要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法，但甲、乙两人之间有种排法，由乘法原理可知，共有·=240种不同排法.选(C)2-1-c-n-j-y
5.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法(只要求写出式子，不必计算)?21*cnjy*com
解析：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为·种.【出处：21教育名师】
综合运用
6.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种( )
A. B. C. D.
解析：选把3种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有种放法，再考虑油画与国画本身又可以全排列，故排列的方法为，故选D.
7.从{1，2，3，4，…，20}中任选三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有( )【版权所有：21教育】
A.90 B.180 C.200 D.120
解析：从其中10个奇数中任选两个作为等差数列的首项和末项，则它们的等差中项为自然数(唯一确定)，这样的等差数列有个.同理，从其中10个偶数中任选两个作为等
差数列的首项和末项的等差数列，也有个，故共有个，选B.
8.把6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法共有( )
A.36种 B.120种 C.720种 D.1 440种
解析：本题相当于6个不同元素站成一排，共有=720种，故选C.
9.由1，2，3，4，5组成比40 000小的没有重复数字的五位数的个数是__________.
解析：要比40 000小首位数只能是1，2，3，所以应为·=72个.
答案：72.
拓展探究
10.如图，在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一植物，相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有多少种栽种方案.
解析：给六块区域依次标上字母A，B，C，D，E，F，按间隔三块A，C，E种植植物的种数分三类：1)若A，C，E种同一种植物，有4种种法.当A，C，E种植好后，B，D，E各有3种种法.此时共有4×3×3×3=108种；2)若A，C，E种2种不同植物，有种种法.在这种情况下，若A，C种同一植物，则B有3种种法，D，F各有2种种法；若C，E或E，A种同一植物，情况相同(只是次序不同)，此时共有×3(3×2×2)=432种；3)若A，C，E种3种不同植物，有种种法.这时，B，D，F各有2种种法.此时共有×2×2×2=192种.
综上所述，不同的种植方案共有N=108+432+192=732(种).
拓展探究
11.从6名志愿者中选出4人分别从事保健、翻译、导游、保洁四项不同工作，若其中两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有( )www.21-cn-jy.com
A.280种 B.240种 C.180种 D.96种
解析：可分三类：不能从事翻译工作的两名志愿者有0人当选、1人当选、两人当选.于是选派方案共有：=240(种),故选B.www-2-1-cnjy-com
12.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )21教育名师原创作品
A.42 B.30 C.20 D.12
解析：可分两类：一类是这两个节目相邻，另一类是这两个节目不相邻，于是不同插法的种数为=42,故选A.21*cnjy*com
13.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有( )
A.24种 B.18种 C.12种 D.6种
解析：由于黄瓜必须种植，故只需从剩下的3种蔬菜品种中再选出2种进行种植即可，不同的种植方法共有：·=18种，故选B.21教育网
14.有8本不同的书，其中科技书3本，文艺书2本，其他书3本.将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法种数之比为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.1∶14 B.1∶28 C.1∶140 D.1∶336
解析：,选B.
15.有三张卡片的正反两面分别写有数字1和2，4和5，7和8，将它们并排组成三位数，不同的三位数的个数是__________________.【来源：21·世纪·教育·网】
解析：分两步：第一步先从每张卡片中各选一数字，第二步把这三个数字全排列，故可组成的不同的三位数有23·=48(个)，故填48.21·世纪*教育网
16.晚会上有8个歌唱节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数( )21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.·
解析：这是一个不相邻问题，故可用插空法来求，不同节目单的种数为,故选C.
1.2.2 排列（二）
课后导练
基础达标
1.写出下面问题中所有可能的排列.
从1，2，3，4四个数字中任取三个数字组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解析：123、124、132、134、142、143、213、214、231、234、241、243、312、314、321、324、341、342、412、413、421、423、431、432共24个.21·世纪*教育网
2.A、B、C、D、E五个站成一排，如果B必须在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同排法有( )www-2-1-cnjy-com
A.24种 B.60种 C.90种 D.120种
解析：由于B在A的左边和右边排法数相同，故共有=60种排法，故选B.
3.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )
A.720种 B.360种 C.240种 D.120种
解析：先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人，因而有种不同排法，再把两人“松绑”，两人之间有种排法，因此所求不同排法总数为·=240种.
答案：C
4.用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，要求五位数比20 000大且不是5的倍数，这样的五位数共有( )2-1-c-n-j-y
A.108个 B.78个 C.72个 D.36个
解析：依题意五位数要比20 000大，则1不能做首位，又根据不是5的倍数，所以5不能在最后一位，为此我们分为两类，（1）当5做首位数时有个数都符合要求，（2）当5不做首位数时，则首位数的选法有，此时最后一位的选法有，而中间三个数的排法有，故此时共有··个数符合条件，这样一共有+··=78个数符合要求.
答案：B
5.由1，2，3，4和0组成无重复数字的自然数的个数为( )
A. B.++++
C.4 D.4(1++++)+1
解析：可分5类：组成1位数5个；组成两位数·=16个；组成三位数·个；组成四位数·个；组成五位数·个，共计4(1++++)+1个，故选D.21*cnjy*com
综合运用
6.将数字1、2、3、4填在标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填上一个字，且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
解析：此题的背景是中学生所不熟悉的错排问题，不好利用计数原理解之.由于数字个数比较少，我们可把符合题意的填法一一列举出来.它们是：【出处：21教育名师】
显然，答案应选B.
7.用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被6整除的有( )
A.72个 B.60个 C.52个 D.48个
解析：分5类（能被3整除要求各位上的数之和能被3整除）
①由0，1，2，3组成的四位偶数有+(-)=10个.
②由0，2，3，4组成的四位偶数有+2(-)=14个.
③由0，1，3，5组成的四位偶数有=6个.
④由0，3，4，5组成的四位偶数有+(-)=10个.
⑤由1，2，4，5组成的四位偶数有2=12个.
综上，由分类计数原理，
N=10+14+6+10+12=52个，∴选C.
答案：C
8.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_________种.
解析：设垄号依次为：1，2，…，10，则可找到所有满足条件的一对垄号：（1，8）、（1，9）、（1，10）、（2，9）、（2，10）、（3，10），故选择2垄种植的方法共有6×=12(种)
拓展探究
9.在一次射击比赛中，8个泥制的靶子挂成三列，其中两列各挂3个，一列挂两个，如图所示.一射手按照下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低的一个.若每次射击都遵循这一原则，击碎全部8个靶子可以有多少种不同的次序？
解析：自左至右，自下而上分别用字母A1，A2，A3；B1，B2；C1，C2，C3表示三列靶子.打完8个靶子的所有不同次序相当于把8个字母排个队，但A1，A2，A3；B1，B2；C1，C2，C3三组内部的先后次序排定.因为各种排列情形是等机率出现的.所以击碎8个靶子的不同次序有=560(种).21教育网
备选习题
10.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有( )21cnjy.com
A.56个 B.57个 C.58个 D.60个
解析：采用分类计数的原理，
第1类：23154，1个；第2类：形如234□□和235□□的数有×2=4个；第3类：形如24□□□和25□□□的数有×2=12个；第4类：万位为3的数有=24个；第5类：形如42□□□和41□□□的数有×2=12个；第6类：形如432□□和431□□的数有×2=4个；第7类：43512，1个.2·1·c·n·j·y
∴共有1+4+12+24+12+4+1=58个.故选C.
11.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有___________种.（以数字作答）
解析：结合分步计数原理给出树形图如下.
由此得出着色方法共有
N=4×18=72（种）.
12.在下图的1×6矩形长条中涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有______种.（以数字作答）【来源：21·世纪·教育·网】
解析：以第一格涂红色为例给出树形图如下.
由此得出不同的涂色方法共有N=×10=30(种).
13.将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四.试写出他们四人所有不同的排法.
解析：由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，据此可分为三类.
由此可写出所有的排法为：
BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
14.7个人站队排成一排，某人既不站在排头，也不站在排尾，有多少种排法？
解析：从元素考虑，因为某人既不能在排头，又不能在排尾，故先让他排在首尾之间的任一个位置上，有种排法，再让其他6人排在其它6个位置上，有种排法，根据分步计数原理，共有·=3 600种排法.21世纪教育网版权所有
15.把9个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法有多少种？21·cn·jy·com
解析：由题意可知在编号为1的箱子中放球的个数应该为1个，2个，3个，4个，四种情形.(不小于编号1，且余下球至少要5个）.依此类推得树形图.www.21-cn-jy.com
由此可知放法N=4+3+2+1=10（种）.
1.2.3 组合（一）
课后导练
基础达标
1.20个不加区别的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子内，要求每个盒内的球数不小于盒子的编号数，则不同的投放方法有_____________种.21·世纪*教育网
解析：先取出3个球，再将剩下的17个球排成一列，这17个球中间有16个空隙，从中任取两个空隙添置隔板“｜”（如图所示），这17个球被www-2-1-cnjy-com
○○｜○○○｜○○○…○
分成三块，第一块给1号盒，第二块给2号盒，第三块给3号盒；然后将先取出3个球中的1个球放入2号盒内，再将其余的2个球放入3号盒内，确保每盒内球的个数不小于盒子的编号数.即所求投放方法的种数等价于在17个元素中插入互不相邻的两个元素（两端的空隙除外）的组合数，故=120种不同投法为所求.2-1-c-n-j-y
2.8本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中有两人各得3本，一人得2本，不同分法的总数为( )
A.1 680 B.3 360 C.280 D.560
解析：从三人中先选出1人，再让他从8本中选2本书；第二步，让剩下的2人中某人在剩下的6本书中选出3本；第三步，把剩余的三本书给第3个人，故共有····=3 360种分法.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：B
3.从3名成人4名小孩中选四人游园，至少要有一名成人，不同的选法种数为( )
A.12 B.34 C.35 D.186
解析：=34 选B.
4.从5名学生中，选出2名或3名去农村做社会调查，不同的选法有( )
A.10种 B.30种 C.20种 D.40种
解析：分类去求，共有+=20（种）选法，故选C.
综合运用
5.设A={a,b}，B={a,b,c,d,e,f}，集合M满足AMB，这样的集合有( )
A.12个 B.14个 C.13个 D.以上都错
解析：经分析，集合M至少含3个元素，最多含5个元素，则共有++=14(个).
故选B.
6.马路上有编号为1，2，3，4…，9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法有( )【出处：21教育名师】
A.7种 B.8种 C.9种 D.10种
解析：在6只亮着的灯形成的5个空中插入3只熄灭的灯，即=10.
答案：D
7.满足xi∈N*（i=1,2,3,4)，且x1＜x2＜x3＜x4＜10的有序数组(x1,x2,x3,x4)共有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
解析：本题看似与顺序有关，其实只有一种顺序，这样的一个数组(x1,x2,x3,x4)对应从1，2，…，9中选出4个数的一个组合，故共有个不同的数组，选A.
8.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为( )
A.56 B.52 C.48 D.40
解析：从正方体的8个顶点中任取3个顶点可构成个三角形，其中非直角三角形的有两类.
①上底面的每个顶点所在的两侧面对角线与下底面相应的对角线构成1个正三角形，上底面的4个顶点共构成4个非直角三角形；21*cnjy*com
②下底面的4个顶点所在的两侧面对角线与上底面相应的对角线共构成4个非直角三角形.
故所求直角三角形共有-4-4=48个.选C.
拓展探究
9.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )
A.150种 B.147种 C.144种 D.141种
解析：从10个点中任取4个点有=210种取法，应剔除下面三类共面点：
①从四面体的每个面上的6个点中任取4个点必共面有4=60种取法；
②四面体的每条棱上3个点与对棱中点共面有6种取法；
③6个中点连线有3对平行线段共面，故从这6个点中取4个共面点有3种取法.
故符合条件取法共210-60-6-3=141种.选D.
备选习题
10.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数有( )21cnjy.com
A.1 260种 B.2 025种 C.2 520种 D.5 040种
解析：先从10人中选出两人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有=2 520（种），故选C.
11.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )21·cn·jy·com
A.10人 B.8人 C.6人 D.12人
解析：设男队员x+2人，由题意可列式=64，解得x=8，故男队员是10人.选A.
12.平面凸n边形的对角线的条数为_____________.
解析：从n个顶点中任选2个可形成条线段，其中有n条线段是凸n边形的边，故对角线条数为-n=条.21世纪教育网版权所有
13.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名，
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解析：(1)=45种不同的选法；
(2)共有·=90种不同的选法.
14.如图所示，按棋盘格子形排列着16个点子，若从中每次选取不在一直线上的3个点，作为一个三角形的顶点，试问一共可作出多少个三角形？21教育网
解析：正面不好考虑，可考虑反面，
即选取3个点不能构成一个三角形顶点的情形，即三点共线的情形，反面情形可分为两类：（1)最多有4个点在同一直线上，有4行和4列和两对角线上的4点在同一直线上，如图（1），从这样的4点中选取三点的不同情形有2·1·c·n·j·y
(4+4+2)×=40.
(2)最多有3个点在同一直线上，如图（2），只有4种不同情形.而从16个点中任取3个点有=560，减去不能构成三角形的上述二种情形，【来源：21·世纪·教育·网】
∴不在同一直线的三点共有560-（40+4）=516（组），故共可作出516个三角形.
15.从7个不同的红球，3个不同的白球中取出4个球，问：
（1）一共有多少种不同的取法？
（2）其中恰有一个白球的取法有多少种？
（3）其中至少有两个白球的取法有多少种？
解析：（1）共有==210(种)；
(2)共有·=3×=105(种)；
(3)直接法：有两个白球的取法为·=3×21=63(种)；有3个白球的取法为·=7(种)，故共有63+7=70种取法.www.21-cn-jy.com
间接法：-·-=210-105-35=70(种)
1.2.4 组合（二）
课后导练
基础达标
1.班级英语兴趣小组有5名男生5名女生，现在要从中选4名学生参加学校的英语演讲比赛，要求男、女生都有，则不同选法有( )21世纪教育网版权所有
A.210种 B.200种 C.120种 D.100种
解析：选法可分为三类：1男3女有·种方法，2男2女有·种，3男1女有·种，共有·+·+·=200种.故选B.21cnjy.com
2.某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜，两种蔬菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法总数是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.22 B.56 C.210 D.420
解析：·+·=210故选C.
3.有15个队参加篮球赛，首轮平均分成三组进行单循环赛，然后由各组前2名共6个队进行单循环决赛，且规定同组的两个队不再赛第二场，则所进行的比赛共有 ( )
A.42场 B.45场 C.22场 D.25场
解析：首轮比赛共有×3=30场
第二轮有-3=12场
故共有30+12=42场比赛，选A.
4.从全班40名学生中选一名市级三好学生，2名区级三好学生，三名校级三好学生(共选出6人)，共有多少种不同的选法?对这道题：甲列式为··；乙列式为··；丙列式为··，对他们的评价应是( )
A.甲、乙、丙都正确 B.仅甲、乙正确
C.仅乙、丙正确 D.仅甲正确
答案：A
5.如图，某市为改善生态环境，计划对城市外围A，B，C，D，E，F六个区域进行治理，第一期工程拟从这六个区域中选取三个区域实施退耕还林，根据要求至多有两个区域相邻，则不同的选取方案有__________种.21教育网
解析：
综合运用
6.如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有( )
A.12对 B.24对 C.36对 D.48对
解析：由于六棱锥的6条侧棱交于一点，底面六边形的6条边共面，因而只能将侧棱与底边相搭配.第一步，从6条侧棱中任取一条，有种；第二步，从底面6条边中与这条侧棱
不相交的4条边中任取一条，有种，由乘法原理知有=24对，故选B.
7.四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3点，使它们和点A在同一平面上，不同取法有( )www.21-cn-jy.com
A.30种 B.33种 C.36种 D.39种
解析：符合条件的取法可分为两类：①4个点(含A)在棱锥的同一侧面上，有3=30种；②4个点(含A)在侧棱与对棱中点的截面上，有3种.由加法原理知不同取法共有33种，故选B.www-2-1-cnjy-com
8.某池塘内有A、B、C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有3个成人和2个儿童分别乘这些船只，若每船必须坐人，且为安全起见，儿童必须由大人陪同方可乘坐，则他们分乘这些船只的方法有__________种.2-1-c-n-j-y
解析：可分两类情形：(1)2个儿童分乘A、B两船，有种方法，因为儿童必须由大人陪同，故从3个成人中选2人分别乘A，B两船，有种方法，余下1个成人必须乘C船；
(2)2个儿童乘A船，从3个成人中选1人乘A船有种方法，两个成人分乘B、C两船，
有种方法，所以共有·+·=18种乘这些船的方法.
拓展探究
9.某商场为促销设计两套方案：(1)全场九折；(2)购物100元摸彩球打折，8个红色和8个绿色的玻璃球放在一个盒子里，顾客任意摸出8个球，仅有抽出的红球、绿球个数相等时不打折，两者相差一个时打9折，两者相差2个或2个以上时打8折，问商场应选择哪种方案更有利可图?2·1·c·n·j·y
解析：应选第二种方案.此题实质上是计算满足一定条件的组合.其中摸出的红球、绿球相
等，可分两步完成，即第一步：在8个红球中取出4个红球；第二步在8个绿球中取4个绿球.所以有=4 900种.21*cnjy*com
类似地同求得取5个红球和3个绿球的组合数为·=3 136；
取3个红球，5个绿球的组合数为=3 136；
取6个红球2个绿球或2个红球6个绿球的组合数都为·=784；
取7红球1个绿球或1个红球7个绿球的组合数都为=64；
取8个红球或8个绿球的组合数均为1.
从而不打折的有4 900种选法，打9折的有2×3 136=6 272种选法，打8折的有2×(1+64+78
4)=1 698种，不打折的比例超过打8折的比例，并且还必须购满100元才能打折，因此商场选择第二种方案，更有利可图.【来源：21cnj*y.co*m】
备选习题
10.以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )
A.200个 B.190个 C.185个 D.180个
解析：可分三类：从上底面取3个，下底面取1个，共有·=50个；从上底面
取1个，下底面取3个同样有50个；从上底面取2个下底面取2个共有·-5-5-10=80个(其中5个对角面，5个侧面，10个是由底面五边形对角线与相对底面与之平行的边确
定的平面)，故四面体共有50+50+80=180个.
11.用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥?
解析：按四棱锥的底面分别在正五棱柱的底面、侧面、对角面(平行四边形与梯形)分类求
解，共有=170个.
12.从5双不同的鞋子中任取4只，
(1)取出的4只鞋子中至少能配成1双，有多少种不同的取法?
(2)取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，有多少种不同的取法?
解析：(1)分两类：①取出的4只鞋子恰好配成2双，有种取法.②取出的4只鞋子有且只有2只能配成1双，分2步完成：第1步，从5双鞋子中任取1双，有种取法.第2步再分为3类，第1类，从余下的穿在左脚的4只鞋子中任取2只，有种取法；第2类，从余下的穿在右脚的4只鞋子中任取2只，有种取法；第3类，从余下的左(或右)脚的4只中任取1只，再在余下的右(或左)脚的和乙取的1只不相配的3只鞋子中任取1只，有种取法.故共有(++·)种取法.由①②知，共有+(++)=130种.21·cn·jy·com
（2）分二步：第1步，从5双不同的鞋子中任取4双，有种；第2步，从取出的4双的每1双中任取1只，有()4种，故共有·()4=80种.21·世纪*教育网
1.3.1 二项式定理（一）
课后导练
基础达标
1.(2x3-)7的展开式中常数项是( )
A.14 B.-14 C.42 D.-42
解析：由Tr+1=(2x3)7-r(-)r
=（-1）r·2 7-r··
令21-3r-=0
得r=6.故常数项为
T7=（-1）6·21·=14,故选A.
2.（x+2）10(x2-1)的展开式中x10的系数为_____________（用数字作答）.
解析：由x10项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：
x2-1
(x+2)10
常数项：-1
x10的系数：
x2的系数：1
x8的系数：·22
因为，x10项的系数是4-=179.
3.若在（1+ax）5的展开式中，x3的系数为-80，则a=______________.
解析：设x3的项为Tr+1=(ax)r=,则r=3.这样，x3的系数为=-80，可求得a=-2.
4.求展开式(x+y+z)6中含x3y2z的项.
解析：（x+y+z）6就是6个（x+y+z）相乘，那么为了组成x3y2z的项，可以分三步完成：
(1)从6个括号中选3个括号，抽取3个x()；
(2)从剩下的3个括号中，再取2个y()；
(3)从最后1个括号中，抽取1个z().
运用分步计数原理，可知组成一个x3y2z项，选取方式共有··=60.所以展开式中x3y2z项的系数为60，即含x3y2z的项为60x3y2z.21教育网
5.已知()n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3，求展开式中不含x的项.
解析：由已知条件及通项公式得：T5∶T3=（·24）∶(·22)=56∶3n2-5n-50=0n=10或n=-5(舍).21cnjy.com
设第r+1项不含x,Tr+1=·2r·，所以=0，解得r=2.
所以，不含x的项为T3=·22=180.
综合运用
6.（2x+）4的展开式中x3的系数是( )
A.6 B.12 C.24 D.482·1·c·n·j·y
解析：由Tr+1=
=24-r·.
令=3,得r=2
故x3的系数为·22=24,故选C.
7.若在（）n展开式中，第4项是常数项，则n=____________.
解析：T4=T3+1=.由题意知=0，得n=18.
8.（1）求()12的展开式的第5项.
（2）设（a+b）20的展开式中，第3r项与第r+2项是不同的两项，但系数相等，求第r项的系数.
解析：（1）可直接利用通项公式，得T5=.
（2）由通项公式知：
T3r=，
Tr+2=.
依题意，有=，但3r-1≠r+1.
故由组合数性质可知，必有3r-1=20-(r+1)，解之得r=5.
所以，T5==4 845.
9.将（|x|+-2）3展开，其中值为常数的各项之和等于多少？
解析：(|x|+-2)3=()6
其通项为Tr+1=
=·(-1)r·|x|3-r
r=3时，T4=·（-1）3=-20
答案：-20
拓展探究
10.求实数（5+）15的个位数字.
解析：利用二项式定理展开S=（5+）15+（5-）15，得S为个位是0的整数.
而0＜5-＜1,
所以0＜(5-)15＜1，
因此实数（5+）15的个位数字是9.
备选习题
11.若()n展开式中存在常数项，则n的值可以是( )
A.8 B.9 C.10 D.1221·cn·jy·com
解析：由Tr+1=
=2r·，令=0
即r=∈N，则3n是5的倍数，由选项知，n只能取10，故选C.
12.(2005浙江高考，理5)在（1-x）5+(1-x) 6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中，含x3的项的系数是 ( )21世纪教育网版权所有
A.74 B.121 C.-74 D.-121
解析：先求原式的和再求系数：
原式=
故x3的项的系数可由（1-x）5-（1-x）9的展开式中x4项的系数求得，即-=-|2|，故选D.www.21-cn-jy.com
13.设f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x+1，则f(x)的反函数f-1(x)等于( )
A. B.1+ C.-1+ D.1-
解析：f(x)=
=（x-1）5+2
故f-1(x)=1+，故选A.
14.()8展开式中x5的系数为_________.
解析：由通项
Tr+1=,
得=5，得r=2.
所以x5的系数是（-1）2=28.
15.（x2+1）(x-2)7的展开式中x3项的系数是____________.
解析：由x3项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：
x2+1
(x-2)7
常数项：1
x3的系数：
x2的系数：1
x的系数：
因为，x3项的系数是
+=1 008.
1.3.2 二项式定理（二）
课后导练
基础达标
1.（0.998）5精确到0.001的近似值为______________.
解析：(0.998)5=(1-0.002)5
答案：0.990
2.今天是星期四，再过260天后的第一天是星期______________.
解析：260=820=（7+1）20
答案：六
3.7100被36除所得的余数是______________.
解析：7100=（6+1）100=6100+699+…+62+6+，只须求6+1被36除余几.21教育网
答案：25
4.(湖北高考，14)()5的展开式中整理后的常数项为____________.
解析：由()5=()10，设常数项为Tr+1=()10-r()r.据题意令10-2r=0，即r=5.故常数项为T6=.【来源：21·世纪·教育·网】
5.若n为正奇数，则7n+7n-1+7n-2+…+7被9除的余数是( )
A.0 B.2 C.7 D.8
解析：原式=7n+7n-1+7n-2+…+·7+1-1
=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1
=·9n-9n-1+…+·9·(-1)n-1+（-1）n-1=9n-·9n-1+…+·9-2(n为正奇数)，所以被9除，余数为7.www-2-1-cnjy-com
答案：C
综合运用
6.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95 933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为( )
A.115 000亿元 B.120 000亿元 C .127 000亿元 D.135 000亿元
解析：设到“十·五”末我国国内年生产总值为A，由复利公式或等比数列通项公式，得
A=95 933(1+7.3%)4
≈95 933(1+4×0.073+6×0.0732)
≈127 000亿元.
故选C.
7.0.9910的小数点后第1位数字为n1，第2位数字为n2,第3位数字为n3，则n1,n2,n3分别为( )2-1-c-n-j-y
A.9，4，0 B.9，0，4 C.9，2，0 D.9，0，2
解析：0.9910=(1-0.01)10
=1-10×0.01+45×(0.01)2-…=1-0.1+0.004 5-…=0.9+0.004 5-…21*cnjy*com
故选B.
8.1-2+4-8+16-…+(-1)n·2n等于( )
A.1 B.-1 C.±1 D.（-1）n
解析：原式=（1-2）n=(-1)n
选D.
9.已知（x+m）2n+1与(mx+1)2n（n∈N*，m≠0）的展开式中含xn项的系数相等，求实数m的取值范围.21cnjy.com
解析：设(x+m)2n+1的展开式通项公式为Tr+1=x2n+1-r.mr，令2n+1-r=n
得r=n+1.
故此展开式中，xn项的系数为·mn+1
由题意知：
·mn+1=·mn，
∴)
m是n的减函数.
∵n∈N*，∴m＞，
又当n=1时，m=，
∴＜m≤.
故m的取值范围是［,］
拓展探究
10.已知数列{an}满足Sn=(n∈N*)，Sn是{an}的前n项的和，并且a2=1.
(1)求数列{an}的前n项的和；
（2）证明：≤()an+1＜2.
解析：（1）由题意Sn=an，得Sn+1=an+1.
两式相减得2an+1=(n+1)an+1-nan,即（n-1）an+1=nan.
所以（n+1）an+1=nan+2.
再相加2nan+1=nan+nan+2，即2an+1=an+an+2.
所以数列{an}是等差数列.
又∵a1=a1,
∴a1=0.
又a2=1,∴an=n-1.
所以数列{an}的前n项的和为Sn=an=.
（2）(1+)an+1=(1+)n
=.
∵(r=1,2,…,n),
∴(1+)n＜1+
=2-()n＜2
而(1+)n≥+·,
∴＜2.
备选习题
11.农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3 150元（其中工资性收入为1 800元，其它收入为1 350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元.根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于( )www.21-cn-jy.com
A.4 200元—4 400元 B.4 400元—4 600元
C.4 600元—4 800元 D.4 800元—5 000元
解析：在处理与二项式高次幂有关的近似估值问题时，可运用二项式定理将其展开，经简略计算去解决估值问题.【来源：21cnj*y.co*m】
2008年农民工资性人均收入为
1 800（1+0.06）5≈1 800（1+×0.06+×0.062）= 1 800（1+0.3+0.036）
=1 800×1.336≈2 405;
又2008年农民其它人均收入为
1 350+160×5=2 150
故2008年农民人均总收入约为
2 405+2 150=4 555（元）.故选B.
12.已知函数f(x)=，证明：对于任意不小于3的自然数n，f(n)＞.
证明：若直接运用二项式定理或数学归纲法去证明困难都大，故应另辟解题蹊径，将其转化为熟悉命题：f(n)＞＞2n＞2n+1(n≥3,n∈N),再证明就容易了.
2n=(1+1)n=1+++…++＞2n+1.
∵n≥3，展开至少有4项，故原命题获证.
13.（经典回放）某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？21世纪教育网版权所有
解析：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷，依题意得
≥(1+10%)，
化简得，
x≤，
即x≤1 000-1 000××1.0110.
而（1.01）10=(1+0.01)10=1+×0.01+×0.012+…≈1.104 5，
所以x≤1 000-1 000××1.104 5
＜1 000-996=4(公顷).
答案：耕地平均每年至多只能减少4公顷.
14.如果（ax+1）9与（x+2a）8的展开式中x3的系数相等，求a的值，并求无穷等比数列1,a,a2,a3,…各项的和（其中a≠0）.2·1·c·n·j·y
解析：由已知得a3= (2a)5，a≠0，
解得a=±.
当a=时，
1+a+a2+a3+…=；
当a=-时，
1+a+a2+a3+…=.
15.设数列{an}是等比数列，a1=，公比q是(x+)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）.21·世纪*教育网
（1）用n,x表示通项an与前n项和Sn；
（2）若An=,用n,x表示An.
解析：(1)∵a1=，
∴即∴m=3.
由(x+)4知T2=x3·=x,
∴an=xn-1,Sn=
（2）当x=1时，Sn=n，
An=+2+3+…+n，
又∵An=n+(n-1) +(n-2)+…+,=, =,…
∴2An=n(++…+)=n·2n,
∴An=n·2n-1.
当x≠1时，Sn=.
［(++…+)-(x+x2+…+xn)］=［2n-1-(1+x+x2+xn-1)］=［2n-(1+x)n］.21·cn·jy·com
∴An=
16.求证：5151-1能被7整除.
解析：5151-1=（49+2）51-1
=(4951+4950×2+…+×49×250)+( ×251-1)
然后再证251-1能被7整除.
251-1=（7+1）17-1=…
=7（·716+·715+…+）
显然能被7整除.
1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质
课后导练
基础达标
1.若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4
,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为（ ）
A.1 B.-1 C.0 D.2
解析：令x=1，
得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4;
令x=-1，
得a0-a1+a2-a3+a4=(2-)4.
两式相乘，得
(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(2+)4(2-)4=1,故选A.
2.若(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn中，a3=a12，则自然数n的值为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
答案：C
3.若(1-2x)2006=a0+a1x+a2x2+…+a200 6x200 6(x∈R)则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ …+(a0+a200 6）=(用数字作答).21cnjy.com
解析：取x=0,得a0=1;
取x=1,
得a0+a1+a2+…+a200 6=(1-2)200 6=1.
故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ …+(a0+a200 6)
=200 6a0+(a0+a1+a2+…+a200 6）
=200 6+1=200 7.
4.若(x+1)n=xn+…+ax3+bx2+cx+1(n∈N*)，且a∶b=3∶1，那么n=____________.
解析：a∶b=∶=3∶1，n=11.
答案：11
5.在二项式(ax m+bxn)12(a＞0,b＞0,m、n≠0)中有2m+n=0,如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.www.21-cn-jy.com
(1)求它是第几项；
(2)求的范围.
解析：(1)设Tr+1=(axm)12-r·(bxn)r=a12-rbrxm(12-r)+nr为常数项，则有m(12-r)+nr=0,即m(12-r)-2mr=0,∴r=4,它是第5项.2·1·c·n·j·y
(2)∵第5项又是系数最大的项，
∴有
由①得,
∵a＞0,b＞0，∴b≥a,即≤.
由②得≥，∴≤≤.
综合运用
6.二项式(x-)10的展开式，系数最大的项为( )
A.第六项 B.第五项和第六项
C.第五项和第七项 D.第六项和第七项
解析：先求二项展开式的通项为Tr+1=()r=(-1)r·，则此
项系数为(-1)r·，故而得到每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为，但第六项系数为-，显然不是最大的.又因第五项和第七项的系数相等且为=，再由二项式系数的增减性规律可知，即为最大值，因此正确【来源：21·世纪·教育·网】
选项为C.
答案：C
7.已知(x-)8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是( )21·世纪*教育网
A.28 B.38 C.1或38 D.1或28
解析：Tr+1=·x8-r·(-ax-1)r=(-a)r·x8-2r.
令8-2r=0,∴r=4.
∴(-a)4=1 120.∴a=±2.
当a=2时，令x=1，则(1-2)8=1.
当a=-2时，令x=-1,则(-1-2)8=38
答案：C
8.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=29-n(n∈N，n＞1),那么(1+y)6的展开式中含yn项的系数是____________.www-2-1-cnjy-com
答案:15
9.已知()8,则展开式中系数绝对值最大项是第几项?并求出系数最大的项和系数最小的项.
解析:设第r+1项系数的绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值.则有
5≤r≤6.
故系数绝对值最大项是第六项与第七项.
∵T6=(-1)5()3·()5
=-1 792，
T7=(-1) 6()2·()6=1 792x-11，
则系数最大项为1 792x-11，系数最小项为-1 792.
拓展探究
10.已知数列｛an｝是首项为a1,公比为q的等比数列.
(1)求和：a1-a2+a3，a1-a2+a3-a4；
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
解析：(1)a1-a2+a3
=a1-a1q+a1q2=a1(1-q)2,
a1-a2+a3-a4
=a1-a1q+a1q2-a1q3
=a1(1-q)3.
(2)结论是：a1-a2+a3-…+(-1)nan+1=a1(1-q)n.
证明如下：
左边=a1-a1q+a1q2-…+(-1)na1qn=a1［-q+q2-…+(-1)nqn］=a1(1-q)n=右边.21教育网
备选习题
11.已知(a+b)n的展开式各项的二项式系数之和为8 192，则(a-b)2n的展开式中共有( )
A.13项 B.14项 C.26项 D.27项
解析：由2n=8 192得n=13,
∴(a-b)2n有27项
答案：D
12.(经典回放)已知()n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是___________.(以数字作答)21·cn·jy·com
解析:()n的展开式中各项系数和为128，
∴令x=1,即得所有项系数和为2n=128.
∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为Tr+1= ()7-r·()r=·,
令=5即r=3时，x5项的系数为=35.
答案：35
13.如图所求，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，……，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)_____________.
解析：由题意得S(16)=++++…++=(++…+)+(++… +)
=(+++…+)+( ++…+)-1=+-1=164.
14.求和Sn=-++…+(-1)n··.
解析：由=及+=,有Sn=1-·(+)+·(+)+…+(-1)n-1··()+(-1)n·=Sn-1-+-…+（-1）n·21世纪教育网版权所有
=Sn-1+［·-·+…+(-1)n··］
=Sn-1+［·(1-1)- ·(1-)+…+(-1)n··(1-)］
=Sn-1+·(1-1)n-分 Sn
∴Sn=·Sn-1，
用迭代法，有
Sn=
=…=
15.设a0,a1,a2, …，an成等差数列，求证：a0+a1+a2+…+ak+…+an=(a0+an)·2n-1.
证明：设Sn=a0+a1+a2+…+an
∵= (k=0,1,2, …，n)
∴Sn=an+an-1+an-2+…+a0
两式相加得：2Sn= (a0+an)+ (a1+an-1)+ (a2+an-2)+ …+(an+a0)
∵a0+an=a1+an-1=…=an+a0
∴2Sn=(a0+an)( +++…+)=(a0+an)·2n
∴Sn=(a0+an)·2n-1.
16.在()n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.
解析：由题意得：, ·, ·成等差数
列，
∴2·=+ ∴n=8
∴T5为中间项，T5=()4·()4=x
17.已知a,b＞0,n∈N*且n＞1，求证：≥()n
证明：∵a,b＞0,n＞1,n∈N*，不妨设a≥b＞0,则≥0，()n≥0
故an+bn=( +)n+(-)n
=2［()n+ ()n-2()2+ ()n-4
·()4+…+ ()n］≥2()n
∴≥()n
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
课后导练
基础达标
1.工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y-=50+80x下列判断正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
（1）劳动生产率为1 000元时，工资为130元
（2）劳动生产率提高1 000元则工资提高80元
（3）劳动生产率提高1 000元则工资提高130元
（4）当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元
A.（1） B.（2） C.（3） D.（4）
解析：由回归系数b的意义知，b＞0时，自变量和因变量按同向变化;b＜0时，自变量和因变量按反向变化.B=80，可知只有（2）正确.B2·1·c·n·j·y
2.相关关系与函数关系的区别是____________.
答案：函数关系是两个变量之间有完全确定的关系，而相关关系是两个变量之间并没有严格的确定关系，当一个变量变化时，另一变量的取值有一定的随机性.【来源：21·世纪·教育·网】
3.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：
广告费用（千元）
1.0
4.0
6.01
0.0
14.0
销售额（千元）
19.0
44.0
40.0
52.0
53.0
现要使销售额达到6万元，则需广告费用为______________.（保留两位有效数字）
解析：先求出回归方程=bx+a,令=6,得x=1.5万元.
答案：1.5万元
4.假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的，若10个学生初一（x）和初二（y)数学分数如下：
x
74
71
72
68
76
73
67
70
65
74
y
76
75
71
70
76
79
65
77
62
72
试求初一和初二数学分数间的回归方程.
解析：因为=71，=50 520, =72.3, =51 467,
所以，b=≈1.218 2;a=72.3-1.218 2×71=-14.192.
回归直线方程是：
=1.218 2x-14.192.
5.部分国家13岁学生数学测验平均分数为：
中国
朝国
瑞士
俄罗斯
法国
以色列
加拿大
英国
美国
约旦
授课天数
251
222
207
210
174
215
188
192
180
191
分数
80
73
71
70
64
63
62
61
55
46
试作出该数据的散点图并由图判断可否存在回归直线，若有则求出直线方程.
解析：（图略）由图知，存在回归直线方程.
因为
=203，=416 824,=64.5, =132 418,
所以b=≈0.313 3;
a=64.5-0.313 3×203=0.900 1,回归直线方程是：=0.313 3x+0.900 1.
综合运用
6.电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电.由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式u=Aebt（b＜0）表示.现测得时间t(s)时的电压U（V）如下所示：
t: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U:100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5
试求电压U对时间t的回归方程.
解析：对u=Aebt两边取自然对数得
lnu=lnA+bt
令y=lnu
a=lnA
即y=a+bt
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
4.6
4.3
4.0
3.9
3.4
2.9
2.7
2.3
2.3
1.6
1.6
即ln=-0.3t+4.6
∴=-0.3t+4.6
拓展探究
7.称SST=为总偏差平方和，SSE=为残差平方和，SSR=为回归平方和.在线性回归模型中，有==.21世纪教育网版权所有
解释总偏差平方和、残差平方和、回归平方和以及该等式的统计含义.
解析：SST度量y自身的差异程度，即数据总的变动.
SSE度量实际值与拟合值之间的差异程度，即被回归方程解释的部分.
SSR度量因变量y的拟合值自身的差异程度，即未被回归方程解释的部分.
统计含义：
如果x引起的变动部分在y的总变动中占很大比例，那么x很好地解释了y，否则x不能很好地解释y.即：在总偏差平方和中，回归平方和占所占比重越大，则线性回归效果就越好，否则效果就越差.21教育网
备选习题
8.用721分光光度计在730 nm波长处测定SiO2含量，得以下数据（见表1）
表1 SiO2含量（x）与吸光度（y)对应关系
SiO2含量/（mg·mL-1）
吸光度
SiO2含量/（mg·mL-1）
吸光度
0
0.032
0.08
0.359
0.02
0.135
0.10
0.435
0.04
0.187
0.12
0.511
0.06
0.268
若未知磷铵试液吸光度为0.250,未知磷铵中SiO2含量是多少？用一元线性回归方程求之.
解析：先根据表1数据确定线性回归方程系数a和b的计算数据（见表2），然后按以下算式计算a、b值.
==0.275 ==0.06
b=
==3.94
a==0.275-3.94×0.06=0.039
于是求得回归方程：y=0.039+3.94x
9.现随机抽取了我校10名学生在入学考试中数学成绩（x）与入学后的第一次考试数学成绩（y),
数据如下：
学生号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
120
108
117
104
103
110
104
105
99
108
y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71
请问：这10个学生的两次数学考试成绩是否具有显著性线性相关系？
解析：因为=107.8, =116 584, =68, =47 384, =73 796,所以相关系数为：21cnjy.com
r=≈0.750 6,查表：显著性水平0.05，自由度10—2相应的相关关系临界值r0.05=0.602 1，由r＞r0.05知，两次数学考试成绩有显著性的线性相关关系.21·cn·jy·com
3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
课后导练
基础达标
1.在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时，得到了以下数据：
存活数
死亡数
合计
新措施
132
181
50
对照
114
36
150
合计
246
54
300
试问新措施对防治猪白痢是否有效？
解析：K2=≈7.3＞6.635
∴我们有90%的把握认为新措施对防治猪白痢有效.
2.有260份血清样品，每份样品一分为二，用两种不同的免疫学检测方法检验类风湿因子，其结果见下表.试问这两种检验方法有无差别？试用图形和独立性检验方法分别给出说明.
表 两种血清免疫检验方法比较
A法
B法
合计
+
-
+
172
8
180
-
12
68
80
合计
184
76
260
解析：假设H0：A法与B法相互独立.
计算K2的观测值k：
k=
=
=173.74
由表1可查得
P（K2≥10.828)≈0.001
故有99.9%的把握认为H0不成立，即A法与B法存在关联性.
根据2×2列联表可得到相应的三维柱形图如下：
比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，可以在某种程度上认为“A法与B法存在关联性”.
3.有205份检品每份分别接种于甲乙两种培养基，培养结果见下表，问两种培养基的阳性率有无差别？
表 两种培养基的培养结果
甲培养基础 合计
+ 26（a) 34（b） 70
- 0（c） 135（d） 135
合计 36 169 205
分别利用图形和独立性检验方法进行判断.
解析：三维柱形图如下：
比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，可以在某种程度上认为：两种培养基的阳性率有差别.21世纪教育网版权所有
法二：独立性检验方法
假设H0：两种培养基的阳性率相同.
计算K2的观测值k：
k==43.928 6
由表1可查得：
P（K2≥10.828)≈0.001
故H0不成立，即有99.9%的把握认为两种培养基的阳性率有差别.
4.中国医药学院周医师从事原住民痛风流行率之研究，周医师发现原住民342人中，患有痛风40人，其中17位TG（三酸甘油酯）超出正常值160以上，而非痛风组302人中有66位TG超出正常值.21教育网
（1）请列出2×2列联表.
(2)请分析痛风组与非痛风组其TG（三酸甘油酯）超出正常值160以上之比率是否有关系？
解析：
（1）2×2列联表：
痛风
非痛风
合计
TG＞160
17
66
83
TG≤160
23
236
259
合计
40
302
342
（2）计算K2的观测值k=8.191 7
∴P(K2≥7.879)≈0.005
这说明有99.5%的把握认为“TG超出正常值与痛风有关”.
5.社会学家欲研究家庭状况与青少年犯罪是否有关系，经随机抽样得到如下数据：
家庭状况
青少年行为
完整
离异
合计
犯罪
76
74
150
未犯罪
9 200
800
10 000
试分析家庭状况与青少年犯罪是否有关系？
解析：计算K2的值：
k=320.838 1
由P（K2≥10.828)≈0.001
知青少年犯罪与家庭状况有关，其可信程度为99.9%.
综合运用
6.某厂家想调查该厂产品“回头客”的情况，根据随机抽样得到如下的2×2列联表：
以前采购过
以前未采购
合计
目前采购
35
15
50
目前不采购
25
38
63
合计
60
53
113
试分析目前采购与以前采购过有无关联？
解析：计算K2的值k≈10.3，由P（K2≥7.879)≈0.005可知，有99.5%的把握可以认为“目前采购与以前采购过”有关.21cnjy.com
7.某防疫站对屠宰场及食品零售点的猪肉进表皮沙门氏杆菌代菌情况进行检验，结果如下表，问屠宰场与零售点猪肉带菌率有无显著性差异？21·cn·jy·com
采样地点
带菌头数
不带菌头数
合计
屠宰场
8
32
40
零售点
14
16
30
合计
22
48
70
解析：计算K2的值k=5.656 6,由P(K2≥5.024）=0.025,故有97.5%的把握说明猪肉带菌率与采样地点（屠宰场与零售点）有关.www.21-cn-jy.com
8.某系应届毕业生59人，其中男生38人，女生21人.考取研究生的情况是男生9人，女生5人.问考取研究生的人数在性别上有没有显著差异？2·1·c·n·j·y
解析：由已知数据列出2×2列联表如下：
未考取研究生
考取研究生
合计
男生
29
9
38
女生
16
5
21
合计
45
14
59
由以上表数据可求得K2的值：k=0.000 17
∴P(K2≥k）＜0.50
因此，考取研究生在性别上没有显著差异.
9.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表.
药物效果试验列联表
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
没服用药
20
30
50
总计
30
75
105
请问能有多大把握认为药物有效？
解析：K2=≈6.1＞5.024
∴我们有97.5%的把握认为药物有效.
拓展探究
10.通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：
性别与读营养说明列联表
女
男
总计
读营养说明
16
28
44
不读营养说明
20
8
28
总计
36
36
72
请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系？
解析：K2=≈8.42＞7.879
∴性别和读营养说明之间有99.5%的可能性.
2.1.1 离散型随机变量
课后导练
基础达标
1.①某座大桥一天经过的车辆数为ξ；②某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为ξ；③一天之内的温度为ξ；④一个射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分.上述问题中ξ是离散型随机变量的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
答案：B
2.给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
3.抛掷两次骰子，两次出现的总数之和不等于8的概率为( )
A. B. C. D.
解析：可先求对立事件的概率：
设抛掷两次的点数分别为x,y，把（x,y）记作试验的一个结果，则试验的结果总数为n=6×6=36个.而点数和等于8的有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，“点数和等于8”的概率为，故所求事件的概率为.21·cn·jy·com
答案：B
4.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )
A.ξ取每一个可能值的概率都是非负数；
B.ξ取所有可能值的概率之和为1；
C.ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D.ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和.
答案：D
5.一用户在打电话时忘记了最后三个号码，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨出最后三个数（两两不同），设他拨到所需要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能值共有______________个.2·1·c·n·j·y
答案：24
综合运用
6.①某机场侯机室中一天的游客数量为ξ；②某寻呼台一天内收到寻呼的次数为ξ；③某水文站观察到一天中长江的水位为ξ；④某立交桥一天经过的车辆数为ξ，则______________不是离散型随机变量.（ ）21世纪教育网版权所有
A.①中的ξ B.②中的ξ C.③中的ξ D.④中的ξ
解析：①、②、④中的随机变量ξ可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的ξ可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故ξ不是离散型随机变量.【出处：21教育名师】
答案：C
7.写出下列各离散型随机变量可能取的值：
（1）从10张已编号的卡片（从1—10号）中任取一张，被取出的卡片的号数；
（2）抛掷一个骰子得到的点数；
（3）一个袋子里装有5个白球和5个黑球.从中任取3个，其中所含白球的个数；
（4）同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数.
答案：（1）{1，2，…，10} （2）{1，2，…，6}
（3）{0，1，2，3}
（4）{0，1，2，3，4，5}
8.把一枚硬币先后抛掷两次.如果出现两个正面得5分，出现两个反面得-3分，其它结果得0分.用x来表示得到的分值，列表写出可能出现的结果与对应的x值.
面
正正
正反
反正
反反
x
5
0
0
-3
9.假设进行一次从袋中摸出一个球的游戏，袋中有3个红球、4个白球、1个蓝球、2个黑球，摸到红球得2分，摸到白球得0分，摸到蓝球得1分，摸到黑球得-2分，试列表写出可能的结果.对应的分值x及相应的概率.www.21-cn-jy.com
球色
红
白
蓝
黑
分值
2
0
1
-2
概率
拓展探究
10.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超过4 km，则按10元的标准收租车费.若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费（超出不足1 km的部分按1 km计）.
从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程（这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费），这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费也是一个随机变量.21教育网
（1）求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
（2）已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？21cnjy.com
解析：（1）依题意得y=2(ξ-4)+10即η=2ξ+2.
(2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15
所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟.
备选习题
11.口袋中有5个黑球，10个白球，现每次随机地抽取一个球，若是黑球，则另以一个白球放回袋中，直到抽取到白球为止.记抽取次数为ξ，则表示事件“放回5个白球”的ξ应是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ=7
答案：C
12.一口袋中装有编号为1—5的5个白球，现从中随机取出3个球，被取出的球的最大号码为ξ，则ξ的取值可能是______________.21·世纪*教育网
答案：3，4，5
13.一串5把钥匙，其中只有1把钥匙可打开锁.现随机地依次用这5把钥匙开锁，直到打开锁为止，则需开次数ξ的取值为_____________www-2-1-cnjy-com
答案：ξ=1，2，3，4，5.
14.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷2次，只出现一次6点向上的结果是什么？2-1-c-n-j-y
解析：设先后抛掷2次的点数分别为x,y，试验的一个结果为（x,y)，则只出现一次6点的结果为：（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6）.21*cnjy*com
15.某校为学生定做校服，规定凡身高不超过160 cm的学生交校服费80元，凡身高超过160 cm的学生，身高每超出1 cm多交5元钱.若学生应交的校服费为η，学生身高用ξ表示，试写出η与ξ之间的关系式.【来源：21cnj*y.co*m】
解析：η与ξ之间的关系式为η=（ξ-160）×5+80
16.一部机器一天内发生故障的概率是0.2，机器发生故障则全天停止工作.如果一周5个工作日均无故障，工厂可获利润10万无，如发生一次故障可获利5万元，发生两次故障，则不获利也不亏损，而要是发生三次或三次以上故障，则要亏损2万元，设ξ为一周内机器故障的天数，η为工厂的利润，试写出ξ的可能取值，以及两随机变量ξ与η间的函数关系式.
解析：η是ξ的函数，ξ的取值为0，1，2，3，4，5，则η=g(ξ)=
2.1.2 离散型随机变量的分布列
课后导练
基础达标
1.设某篮球运动员投篮投中的概率为P=0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是___________.21世纪教育网版权所有
解析：
ξ
0
1
P
0.7
0.3
2.已知随机变量ξ的概率分布如下表，则x的值是_________.
ξ
1
2
3
4
5
P
x
解析：由求得x=.
3.一只盒中有8张分别标有1，2，3，…，8的数字卡片，任取1张，返回后再取1张，两张卡片上数字之和为ξ，则P（ξ＜5)=___________,P(ξ≥13)= ___________,P(ξ≤13)= ___________.www.21-cn-jy.com
解析：
ξ
2
3
4
…
14
15
16
P
…
P(ξ＜5)=;P(ξ≥13)= ,
P(ξ≤3)=.
4.从一副52张（去掉两张王）的扑克牌中任取5张，其中黑桃张数的概率分布公式是___________，黑桃不大于1张的概率是__________.2·1·c·n·j·y
解析：P（ξ=k)=(k=0,1,2,3,4,5);P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=0.222+0.414=0.633
5.设离散型随机变量ξ的分布列如下
ξ
1
2
3
4
P
则P(＜ξ＜)=_______________.
答案：
6.在10件产品中，有3件是次品，现从中任取2件，如果用随机变量ξ表示取到次品的件数，那么( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.ξ的取值为0，1 B.ξ的取值为1，2
C.ξ的概率分布为 D.ξ的概率分布为
答案：D
7.下列数表中，可以作为离散型随机变量分布列的是( )
A.
ξ1
-1
0
1
P
B.
ξ1
0
1
2
P
-
C.
ξ3
1
2
3
P
D.
ξ4
1
0
1
P
答案：D
综合运用
8.有5支不同标价的圆珠笔，分别标有10元、20元、30元、40元、50元，从中任取3支，若以ξ表示取到的圆珠笔中的最高标价，试求ξ的分布列.21·cn·jy·com
解析：ξ的可能取值为30、40、50，
P（ξ=30）=
P(ξ=40）=
P(ξ=50)=
故分布列为：
ξ
30
40
50
P
9.一个袋子里装有分别标有数字的小球，其中标有1的1个，标有2的2个，…标有9的9个，现从中任意取出1个，求取出的球上所标数字的分布列以及所取之球所标数字为奇数的概率.www-2-1-cnjy-com
解析：显然，袋子中一共有1+2+3+…+9=45个球，从中任意取出一个球，每个球被取出的可能性是一样的，所以这是等可能事件的概率问题，其中取出标有1的球的概率为，取出标有2的球的概率为，…，标有9的球的概率为即，所以取出的球上所标数字的分布列为2-1-c-n-j-y
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
其中所取之球所标数字为奇数的概率为：++++=.
拓展探究
10.在一批10件产品中，有3件是次品，7件是合格品.现从中一件一件地抽取产品，设各件产品被抽到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需要抽取次数ξ的分布列：21*cnjy*com
（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；
（2）每次取出的产品若是次品，则放回此批产品中，然后再取出一件产品；
（3）每次取出一件产品后，另以一件合格品放回此批产品中.
解析：（1）ξ的取值为1，2，3，4.
当ξ=1时，即只取一次就取到合格品，故P（ξ=1）=.
当ξ=2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故
P（ξ=2）=×=.
类似地，有
P（ξ=3)=××=,
P(ξ=4)= ×××=.
所以ξ的分布列是
ξ
1
2
3
4
P
（2）ξ的取值为1，2，3，…，n，….
当ξ=1时，即第一次就取到合格品，故
P（ξ=1）==0.7.
当ξ=2时，即第一次取到次品，第二次取到合格品，故
P（ξ=2）=×=0.3×0.7.
当ξ=3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取到合格品，故
P（ξ=3）=××=(0.3)2×0.7.
依此类推，当ξ=n时，前n-1次均取到次品，而第n次取到正品，故
P（ξ=3）=（0.3)n-1×0.7(n=1,2,3, …).
因此ξ的分布列为
ξ
1
2
3
…
n
…
P
0.7
0.7×0.3
0.7×0.32
…
0.7×0.3n-1
…
(3)ξ的值为1，2，3，4.
当ξ=1时，即第一次就取到合格品，故
P（ξ=1）=.
当ξ=2时，即第一次取出一件次品，另以一件合格品放回此批产品中，再第二次取到合格品，故
P（ξ=2）=×.
类似地，
P（ξ=3）=××，
P（ξ=4）=×××.
因此ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
0.7
0.24
0.054
0.006
备选习题
11.某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是( )21·世纪*教育网
A.P（ξ=2） B.P（ξ=3） C.P（ξ≤2) D.P（ξ≤3)
解析：ξ的可能取值为0，
1、2、3、4、5，由于
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
故P（ξ=2）=
答案：A
12.下列表中，可以作为某离散随机变量分布列（其中0＜P＜1)的是( )
ξ
1
2
3
P
P
p-1
2-2p
A.
ξ
1
2
3
P
B.
ξ
1
2
3
P
P
p-p2
1-2p+p2
C.
Ξ
1
2
3
P
P
1-p-
D.
答案：C
13.离散型随机变量ξ的概率分布P（ξ=k)=，k=1,2, …,n,则c=____________.
解析：∵(ξ=k)=1,而
=c(1-+-+…+-)
=c·(1-)=
∴c=
答案：
14.已知随机变量ξ的分布列是
ξ
-2
-1
0
1
2
3
P
分别求下列随机变量η的分布列
（1）η=2ξ-1;(2)η＝ξ2+1.
解析：（1）由于η=2ξ-1对不同的ξ取不同的值，所以将ξ的值依次代入，得η的分布列为
ξ
-5
-3
-1
1
3
5
P
（2）由于η=ξ2+1对ξ的不同值-2与2，以及-1与1，使η取相同的值5以及2，那么η取5的概率应是ξ取-2与2的概率之和，即为+=；η取2的概率应是ξ取-1与1的概率之和，即为+=.所以η的分布列为21教育网
η
1
2
5
10
P
15.一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止.设分裂n次终止的概率是（n=1,2,3,…），记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求P（ξ≤10).21cnjy.com
解析：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目ξ的分布裂为：
ξ
2
4
8
16
…
2n
…
P
…
…
∴P（ξ≤10)=P(ξ=2)+P(ξ=4)+P(ξ=8)= ++=.
16.盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列.
解析：ξ的所有可能取值为3，4，5，6.
P（ξ=3）=；
P（ξ=4）=；
P（ξ=5）=；
P（ξ=6）=.
所以ξ的分布列为
ξ
3
4
5
6
P
2.2.1 条件概率
课后导练
基础达标
1.甲乙两城市都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道一年中雨天的比例甲城市占20%，乙城市占18%，两地同时下雨占12%.求（1）已知甲城市下雨，求乙城市下雨的概率；（2）已知乙城市下雨，求甲城市下雨的概率；21cnjy.com
解析：以事件A记甲城市出现雨天，事件B记乙城市出现雨天，事件AB则为两地同时出现雨天.已知P（A）=0.20，P（B）=0.18，P（AB）=0.12，因此，P（B|A）=P（AB）/P（A）=0.12/0.20=0.60，P（A|B）=P（AB）/P（B）=0.12/0.18=（1）0.60,(2)0.67
2.设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品.从中任取1件，求（1）取得一等品的概率；（2）已知取得的是合格品，求它是一等品的概率.
解析：设A表示取得一等品，B表示取得合格品，则
（1）因为100件产品中有70件一等品，所以P（A）==0.7
（2）方法1：因为95件合格品中有70件一等品，所以
P（A|B）==0.736 8
方法2：
P（A|B）=≈0.736 8
3.把一枚硬币任意抛掷两次，事件A表示“第一次出现正面”，事件B表示“第二次出现正面”，求P（B|A）.21世纪教育网版权所有
解析：基本事件空间为：
Ω={（正，正），（正，，反），（反，正），（反，反）}.
A={（正，正），（正，反）}
B={（反，正），（正，正）}
∴P(AB)=,P(A)=
∴P(B|A)=.
答案：
4.一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率.21·cn·jy·com
解析：设A表示取到的产品是一等品，B表示取出的产品是合格品，则P（A|B）=45%，P（）=4%
于是P（B）=1-P（）=96%
所以P（A）=P（AB）=P（B）P（A|B）
=96%×45%=43.2%
5.抛掷红、蓝两个骰子，事件A表示“红骰子出现4点”，事件B表示“蓝骰子出现的点数是偶数”，求P（A|B）.【来源：21·世纪·教育·网】
解析：设蓝、红骰子出现的点数分别为x,y，则（x-y)表示“蓝骰子出现x点，红骰子出现y点”的试验结果，于是基本事件空间中的事件数为n(Ω)=36（个）.
n(B)=3×6=18(个）
∴P（B）=
P（AB）=
∴P（A|B）=
综合运用
6.一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求
（1）第一次取得白球的概率；
（2）第一、第二次都取得白球的概率；
（3）第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
解析：设A表示第一次取得白球，B表示第二次取得白球，则
(1)P（A）==0.6
(2)P（AB）=P（A）P（B|A）=≈0.33
(3)P（B）=P（）P（B|）=≈0.27
7.两台车床加工同一种零件共100个，结果如下
合格品数
次品数
总计
第一台车床加数
30
5
35
第二台车床加数
50
15
65
总计
80
20
100
设A={从100个零件中任取一个是合格品}
B={从100个零件中任取一个是第一台车床加工的}
求：P(A),P(B),P(AB),P(A|B).
解析：P(A)=，P(B)=，
P(AB)=，P(A|B)=
8.掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，求至少有一个是6点的概率.
解析1：设两枚骰子出现的点数分别为x,y，事件A：“两枚骰子出现的点数不同，即x≠y”，事件B：“x,y中有且只有一个是6点”；事件C：“x=y=6”，www.21-cn-jy.com
则
P(B|A)=,
P(C|A)=
∴至少有一个是6点的概率为:
P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+0=.
解析2：也可用古典概型来求解D“至少有一个是6点”包含的结果数是10个，故所求的概率为：P(D)=21教育网
(由于两枚骰子点数不同，故基本事件空间中包含30个结果).
9.设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20的这种动物能活到25岁以上的概率？2·1·c·n·j·y
解析：设这种动物活到20岁以上的事件为A，活到25岁以上的事件为B，则P(A)=0.7，而AB=B，即P(AB)=P(B)=0.4.故事件A发生条件下B发生的条件概率为
P(B|A)=≈0.571 4
拓展探究
10.某彩票的中奖规则为：从1，2，…，6这六个号码中任意选出三个不同的号码，如果全对（与顺序无关）则中一等奖，求www-2-1-cnjy-com
（1）买一注号码中一等奖的概率;
（2）假设本期开出的中奖号码为1，2，3，如果某位彩票预测专家根据历史数据推断本期中奖号码中必有2，那么买一注号码中一等奖的概率是多少？21*cnjy*com
（3）若预测本期不会出现5，且本期开出的中奖号码为1，2，3，那么买一注号码中一等奖的概率是多少？
解析：（1）中一等奖概率为：P=
（2）所有含有号码2的组合有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6）.故中一等奖概率为P==0.1.
（3）记事件A为“从1，2，3，4，5，6中任选3个数字，这3个数字中不含有5”，事件B：“选的号码为1，2，3”，于是：【来源：21cnj*y.co*m】
P(A)=
P(AB)=
∴P(B|A)=
即中一等奖概率为.
备选习题
11.设A，B为两事件，已知P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|)=0.4，试求
（1）P(B)； （2）P(AB）；
解析：（1）P(B)=P()P(B|)=（1-0.5）×0.4=0.2
(2)P(AB)=P(B)-P(B)=0.6-0.2=0.4
12.一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率.
解析：A={第一次取到白球}
B={第二次取到白球}
因为B=AB∪B且AB与B互不相容，所以
P（B）=P(AB)+P(B)
=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
=×+×=0.6
13.盒子中有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率.2-1-c-n-j-y
解析：设事件A为“从盒子中任取一球，它不是黑球”；事件B为“取的球是黄球”，则所求事件的概率为：
.
14.盒中有10个红球及1个黄球.A随意抽出第一个球后不放回盒中，之后B随意抽出第二个球.求下列事件的概率.21·世纪*教育网
（1）A和B都抽得红球.
（2）A和B都抽得黄球.
（3）A抽得黄球和B抽得红球.
（4）A和B抽得不同颜色的球.
（5）已知B抽得黄球，A抽得红球.
解析：（1）P=
（2）P=0
（3）P=
（4）P=
（5）P(A|B)=
15.设某种灯管使用了500 h还能继续使用的概率是0.94，使用到700 h后还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500 h的灯管还能继续使用到700 h的概率是多少？
解析：P==0.926
2.2.2 事件的相互独立性
课后导练
基础达标
1.若A与B相互独立，则下面不相互独立事件有( )
A.A与 B.A与 C.与B D 与
解析：由定义知，易选A.
答案：A
2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( )
A.0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.42
解析：P=（1-0.3）（1-0.4）=0.42.
答案：D
3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1,乙解决这个问题的概率是P2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )21教育网
A.P1P2 B.P1(1-P2)+P2(1-P1) C.1-P1P2 D.1-(1-P1)(1-P2)
解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p1(1-p2)+p2(1-p1).21cnjy.com
答案：B
4.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
解析：P=.
答案：B.
5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____________.
解析：P=.
答案：.
综合运用
6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_______________.2-1-c-n-j-y
解析：因为这位司机在第一，二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=(1-)(1-)×=.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：
7.(2006四川高考，18)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.【出处：21教育名师】
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.
解析：记“甲理论考核合格”为事件A1；“乙理论考核合格”为事件A2；“丙理论考核合格”为事件A3；记为Ai的对立事件，i=1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B1;“乙实验考核合格”为事件B2；“丙实验考核合格”为事件B3.【版权所有：21教育】
（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记为C的对立事件
P（C）=P（A1A2+A1A3+A2A3+A1A2A3)
=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)+P(A1A2A3)
=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7=0.902
(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D
P（D）=P[(A1·B1)·（A2·B2）·（A3·B3）]
=P（A1·B1）·P（A2·B2）·P（A3·B3）
=P（A1）·P（B1）·P（A2）·P（B2）·P（A3）·P（B3)
=0.9×0.8×0.7×0.8×0.7×0.9
0.254 016≈0.254
所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254
8.外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.
解析：设事件A：从第一个盒子中取得一个标有字母A的球；事件B：从第一个盒子中取得一个标有字母B的球，则A、B互斥，且P（A）=，P（B）=；事件C：从第二号盒子中取一个红球，事件D：从第三号盒子中取一个红球，则C、D互斥，且P（C）=，P（D）=.21·cn·jy·com
显然，事件A·C与事件B·D互斥，且事件A与C是相互独立的，B与D也是相互独立的.所以试验成功的概率为P=P(A·C+B·D)=P(A·C)+P(B·D)=P(A)·P(C)+P(B)·P(D)=.
∴本次试验成功的概率为.
9.如图，用A、B、C、D四类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C、D都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A、B至少有一个正常工作，且C、D至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90、0.70，分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.www.21-cn-jy.com
解析：N1正常工作等价于A、B、C、D都正常工作，N2正常工作等价于A、B中至少一个正常工作，且C、D中至少有一个正常工作.且A、B、C、D正常工作的事件相互独立.分别记元件A、B、C、D正常工作为事件A、B、C、D，由已知P（A）=0.80，P（B）=0.90，P（C）=0.90，P（D）=0.70.21教育名师原创作品
(1)P1=P(A·B·C·D)
=P(A)P(B)P(C)·P(D)=0.80×0.90×0.90×0.70=0.453 6.
(2)P2=P(1-·)·P(1-·)
=［1-P()·P()］［1-P()·P()］
=(1-0.2×0.1)×(1-0.1×0.3)=0.98×0.97=0.950 6.
拓展探究
10.一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为P，计算在这一时间段内，21*cnjy*com
（1）恰有一套设备能正常工作的概率；
（2）能进行通讯的概率.
解析：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.
由题意知P（A）=p3,P(B)=p3,
P()=1-p3,P()=1-p3.
(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A·+·B)=P(A·)+P(·B)
=p3(1-p3)+(1-p3)p3=2p3-2p 6.
(2)方法一：两套设备都能正常工作的概率为
P(A·B)=P(A)·P(B)=p 6.
至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为
P(A·+·B)+P(A·B)=2p3-2p 6+p 6=2p3-p 6.
方法二：两套设备都不能正常工作的概率为
P(·)=P()·P()=(1-p3)2.
至少有一套设备能正常工作的概率，
即能进行通讯的概率为1-P(·)=1-P()·P()=1-(1-p3)2=2p3-p 6.
答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p3-2p 6,能进行通讯的概率为2p3-p 6.
备选习题
11.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于( )21·世纪*教育网
A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率 D.2个球中恰好有1个红球的概率
答案：C
12.某人有一串8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，一次该人醉酒回家每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是____________.
解析：()2×=.
答案：
13.下列各对事件
（1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；
（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；
（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”.
（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”.
是互斥事件的有____________；
是相互独立事件的有____________.
解析：（1）甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件.
（2）甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件.21*cnjy*com
（3）甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件.
（4）甲、乙各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能会同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件.
答案：（1），（3）；（2）
14.现有四个整流二极管可串联或并联组成一个电路系统，已知每个二极管的可靠度为0.8(即正常工作的概率），请你设计一种四个二极管之间的串并联形式的电路系统，使得其可靠度大于0.85.画出你的设计图并说明理由.
解析：（1）P=1-(1-0.8)4=0.998 4＞0.85;
(2)P=1-(1-0.82)2=0.870 4＞0.85;
(3)P=［1-(1-0.8)2］2=0.921 6＞0.85;
(4)P=1-(1-0.8)(1-0.83)=0.902 4＞0.85;
(5)P=1-(1-0.8)2(1-0.82)=0.985 6＞0.85.
以上五种之一均可.
15.某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.www-2-1-cnjy-com
（1）两人都抽到足球票的概率是多少？
（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？
解析：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件,“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件.
于是P（A）=，P（)=;
P(B)==,P()=.
由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件.
（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P（A·B）=P（A）·P（B）=·.2·1·c·n·j·y
答：两人都抽到足球票的概率是.
(2)甲、乙两人均未抽到足球票（事件发生）的概率为
P（）=P（）·P（）=.
∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为
P=1-P()=1-=.
答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是.
16.（2005全国高考卷3，文18）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125，21世纪教育网版权所有
（Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
DBBCA，CCBCD，BA18.
解析：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，
则A、B、C相互独立.
由题意得P(AB)=P(A)·P(B)=0.05
P(AC)=P(A)·P(C)=0.1,P(BC)=P(B)·P(C)= 0.125
解得P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5
所以，甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5
(Ⅱ)∵A、B、C相互独立，∴、、相互独立
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
P(··)=P()P()P()=0.8×0.75×0.5=0.3
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为
p=1-P(··)=1-0.3=0.7
2.2.3 独立重复试验与二项分布
课后导练
基础达标
1.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：由()k()5-k
=()k+1·()5-k-1，
即=,k+(k+1)=5,k=2.
答案：C
2.把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子个数为ξ,则P(ξ≤2)等于( )
A.()2×()8 B.()×()9+()10
C.()×()9+ ()2×()8 D.以上都不对
解析：P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)= ()2×()8+ ()×()9+()10.
答案：D
3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为,若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是____________.21世纪教育网版权所有
解析：该生被选中，他解对5题或4题.
∴P=()5+×()4×(1-)=.
答案：
4.现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒数，则ξ的分布列公式是____________.21·cn·jy·com
解析：ξ—B(5,0.3),ξ的分布列是P(ξ=k)= 0.3k0.75-k,k=0,1,…,5.
答案：P(ξ=k)=0.3k0.75-k,k=0,1,…,5
5.（2005全国高考，文20）9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种.2-1-c-n-j-y
(1)求甲坑不需要补种的概率；
（2）求三个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
（3）求有坑需要补种的概率（精确到0.01).
解析：（1）因为甲坑内三粒种子都不发芽的概率为（1-)3=,∴甲坑不需补种的概率为
1-==0.875.
(2)3个坑恰有一个不需要补种的概率为
··()2=0.041.
(3)三个坑都不需要补种的概率为()3,所以有坑需要补种的概率为1-()3=0.330.
综合运用
6.某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取出5件，其中次品数ξ的分布列为____________.【来源：21cnj*y.co*m】
解析：本题中商品数量较大，故从中任意抽取5件（不放回）可以看作是独立重复试验n=5,因而次品数ξ服从二项分布，【出处：21教育名师】
即ξ—B(5,0.1).
ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
3
4
5
P
0.95
0.5×0.94
0.1×0.93
0.01×0.92
4.5×0.14
0.15
7.设随机变量ξ—B(2,p),η—B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥1)=____________.
解析：P(ξ≥1)=1-P(ξ＜1)
=1-p0·(1-p)2=,
∴p=,P(η≥1)=1-P(η=0)=1-()0()4=1-=.
答案：
8.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，
（1）至少有2天预报准确的概率是多少？
（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？
解析：（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即
×0.82×0.2+×0.83=0.896.
∴至少有2天预报准确的概率为0.896.
(2)至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为2×0.82×0.2+0.83=0.768.21cnjy.com
∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0.768.
9.一袋子装有1只红球和9只白球，每次从袋中任取一球，取后放回，直到取到红球为止，求取球次数ξ的分布列.21·世纪*教育网
解析：ξ的所有可能取值为1,2,…,n, …,令Ak表示第k次取得红球，则由于每次取球相互独立，且取到红球的概率为p=0.1,于是得：21教育名师原创作品
P(ξ=1)=P(A1)=0.1,
P(ξ=2)=P(·A2)=P()·P(A2)=0.9×0.1
…
P(ξ=k)=P(·…·Ak)
=P()P()…P()P(Ak)
=0.9×0.9×…×0.9×0.1
=0.9k-1×0.1
由此，ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
…
K
…
P
0.1
0.9×0.1
0.92×0.1
…
0.9k-1×0.1
…
拓展探究
10.把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率.
解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P=.这样n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验.由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式知，1号盒恰有r个球的概率
Pn(r)=(1-p)n-r=·()r·(1-)n-r=.
解法二：用古典概型.把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有mn个等可能的结果.其中1号盒内恰有r个球的结果数为(m-1)n-r,故所求概率P(A)=.
答：1号盒恰有r个球的概率为.
备选习题
11.在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同.若事件A至少发生一次的概率为,求事件A在一次试验中出现的概率.21教育网
解析：设事件A在一次试验中出现的概率为P，则事件A在一次试验中不发生的概率为1-p.
∵事件A至少发生一次记为事件N，其对立事件在4次试验中A全不发生，
∴P(N)=1-P()=1-(1-p)4=
即(1-p)4=
解得：P=
即事件A在一次试验中出现的概率为.
12.（2005江苏高考，20）甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和.假设两人是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
（1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
（2）求两个人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
解析：（1）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1,由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验，故www.21-cn-jy.com
P(A1)=1-P()=1-()4=.
(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2,则P(A2)= ·()2·(1-)2=,P(B2)= ·()3·(1-)1=,由于甲、乙射击相互独立，故2·1·c·n·j·y
P(A2·B2)=P(A2)·P(B2)= ·=.
(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di(i=1,2,3,4,5)，则A3=D5·D4·()且P(Di)=,由于各事件相互独立，故
P(A3)=P(D5)P(D4)P()P()
=×××(1-×)=.
13.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；
（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.
解析：（1）P(ξ=0)=,P(ξ=1)= ,
P(ξ=2)=,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)P(η=k)= ·0.8 3-k·0.2k(k=0,1,2,3),所以η的分布列为
η
0
1
2
3
P
14.冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；
（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.
解析：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶.
记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，
则p=P(A)=.
题（1）即求7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为
P7(5)=p5(1-p)2=()7=.
(2)有且仅有3种情形满足要求：
甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.
所求概率为P6(5)+P5(5)+P4(4)=P5(1-P)+ P5+P4=.
答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为,甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为.www-2-1-cnjy-com
15.金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的.21*cnjy*com
（1）现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大？
（2）在一个工作班的8个小时内，不能正常工作的时间大约是多少？
解析：（1）设10台机床实际开动的机床数为随机变量ξ,由于车床类型相同，且机床的开动与否相互独立，因此ξ—B(10,P).其中P是每台车床开动的概率，由题意P==.从而P(ξ=k)= ()k()10-k,k=0,1,2,…,10.【版权所有：21教育】
50千瓦电力可同时供给5台机床开动，因而10台机床同时开动的数不超过5台时都可以正常工作.这一事件的概率为P（ξ≤5)= ()10+··()9+ ()2·()8+ ()3()7+()4·()6+()5()5≈0.994.
(2)由(1)知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0.006，从而在一个工作班的8个小时内，不能正常工作的时间只有大约8×60×0.006=2.88(分钟），这说明，10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响.21*cnjy*com
16.某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近6天内用水量正常的天数的分布列.
解析：设最近6天内用水量保持正常的天数为ξ.它服从二项分布，其中n=6,P=0.75，用公式计算其概率值，得到P{ξ=0}=() 6=0.000 2
P{ξ=1}=()()5=0.004 4
…
P{ξ=6}=() 6=0.178 0
列成分布表如表4-1:
表4-1
ξ
0
1
2
P
0.000 2
0.004 4
0.033 0
ξ
3
4
5
6
P
0.131 8
0.296 6
0.356 0
0.178 0
2.3.1 离散型随机变量的均值
课后导练
基础达标
1.袋中有7个白球，3个红球，现采取不放回方式取球，直到取到红球为止.以ξ表示取球次数，则Eξ=( )21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
答案：A
2.某随机变量ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
且Eξ=1.5，则a=_________，b=_________.
答案：a=b=0.4
3.已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ.
解析：每次取1件产品，∴至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，ξ=4，所以ξ可以取2，3，4.
P（ξ=2）=；
P（ξ=3）=；
P（ξ=4）=1-.
∴ξ的分布列如下：
Ξ
2
3
4
P
Eξ=2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）+4×P（ξ=4）=.
4.某工厂对2月份的奖金发放作出了如下规定：在这四周时间里有1周完成生产任务，则得奖金48元；如果有2周完成生产任务，则可得奖金80元；如果有3周完成生产任务，则可得奖金128元；如果4周都完成了生产任务，则可得奖金160元；如果4周都未完成任务，则没有奖金，假设某工人每周完成任务与否是等可能的，求一工人在2月份所得奖金的期望.
解析：设该工人在2月份所得奖金为ξ，他每周完成任务的概率为，P（ξ=0）=（）0（）4=，P（ξ=48）=（）1（）3=21·世纪*教育网
P（ξ=80）=（）2（）2=
P（ξ=128）=（）3（）=
P（ξ=160）=（）4=
∴Eξ=0×+48×+80×+128×+160×=84.
5.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（1）求甲答对的试题数ξ的概率分布及数学期望.
（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
解析：（1）ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P
甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.
（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B，则
P（A）=，
P（B）=，
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为：
P（·）=P（）P（）=（1-）·（1-)=
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P=1-P（·）=1-=
综合运用
6.某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设在一年内E发生的概率为P，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？www-2-1-cnjy-com
解析：设保险公司要求赔偿顾客交x元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ的分布列为：
ξ
x
x-a
P
1-p
p
∵公司每年收益ξ的期望值为
Eξ=x（1-p）+（x-a）p=x-ap要使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eξ=0.1a，即21教育网
x-ap=0.1a，x=（0.1+p）a，
∴应交的保险金为（0.1+p）a.
7.一批商品共100件，商家称其中只有10件是次品.为检验其质量的真实情况，现从中随机地抽出5件.
（1）求抽出的5件商品中次品数的分布列与期望值；
（2）如果抽出的5件商品中，有3件是次品，你如何评价该批商品的质量.
解析：（1）按商家所说，抽出的5件商品中的次品数是随机变量ξ，则ξ可以取0到5的6个整数.如果抽出的5件商品中恰好有k（k=0，1，2，3，4，5）件次品，则其相应的概率为【来源：21cnj*y.co*m】
P（ξ=k）=.
按这个计算公式，并精确到0.001，则可求得ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
4
5
P
0.584
0.340
0.070
0.006
0.000
0.000
次品数ξ的期望值是
Eξ=0×0.584+1×0.340+2×0.070+3×0.006+4×0.000+5×0.000=0.498.
这表明，通常情况下，抽出的5件商品中，只能约有半个次品.
（2）由上面的分布列可知，P（ξ=3）=0.006.可见，所抽取的5件商品中有3件是次品的可能性极小，只有0.6%.如此小的概率，在一般情况下是不可能发生的.
因此，商家“100件商品中只有10件次品”的说法是不可信的.
8.有一个赌场，3个骰子设赌，任何人投掷一次若出现3个六点，可赢100元，否则输掉1元.问这个赌规是否公平？为什么？在上述赌规下，赌场出现了一件意外的事，有人掷出了两个六点，另一颗骰子却被突如其来的不速之客——猫撞飞了，于是赌场出现了激烈的争执，赌主要求重掷，赌客当然不干，看客中说赢的，输的，平的都有，请你用概率理论作分析，提出一种对赌注（1+100=101元）作分配的公平方案.2·1·c·n·j·y
解析：该赌规不公平，因为同时掷出3个六点的概率是（）3=，若赌规规定为1∶215就公平了.（即掷不出3个六点，输1元，掷出3个六点，赢215元）.
赌事因无法预见的原因而夭折，论输赢都无依据；已出现两个六点，胜率已由提升到，说平了也不对，比较公平的方案是，将赌资（100+1=101元）按5∶1分配，赌主留下，赌客拿走.【来源：21·世纪·教育·网】
9.一种电路控制在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把二件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出测试.
（1）求前两次取出的都是二等品的概率；
（2）求第二次取出的是二等品的概率；
（3）用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取出的件数，求ξ的分布列及数学期望.
解析：（1）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有×种方法，
∴前两次取出的产品都是二等品的概率为.
（2）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有×种方法，∴第二次取出的产品是二等品的概率为.
（3）ξ的分布列为
ξ
2
3
4
P
∴Eξ=2×+3×+4×=.
拓展探究
10.在一块倾斜放置的矩形木板上钉着一个形如“等腰三角形”的九行铁订，钉子之间留有间隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙，…，第9行10个铁钉之间有9个空隙（如图所示），一个玻璃球通过第1行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第2行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或者右空隙，以后玻璃球按类似方式继续往下滚动，落入第9行的某一个空隙内，最后掉入木板下方的相应槽内，玻璃球落入不同的球槽得到不同的分数ξ在图中给出，求Eξ（结果保留两位有效数字）.
解析：本题解决的关键是读懂题意，看清图形从第1行开始，玻璃球从一个空隙往下滚，玻璃球碰到此下方的一个铁钉后以的概率落入铁钉左边空隙.同样以的概率落入铁钉右边空隙，玻璃球继续往下滚时，总有落入铁钉左边和右边空隙两种结果，直到最后掉入某一个球槽内，一共进行了8次独立重复试验，若设8次独立重复试验中落入铁钉左边空隙的次数为η，则η—B（8，）.21·cn·jy·com
∵P（ξ=10）=P（η=0或η=8）=P（η=0）+P（η=8）=（）0（）8+（）8（）0=，2-1-c-n-j-y
P（ξ=8）=P（η=1或η=7）=P（η=1）+P（η=7）=（）1（）7+（）7（）1=，
P（ξ=6）=P（η=2或η=6）=P（η=2）+P（η=6）=（）2（）6+（）6（）2=，www.21-cn-jy.com
P（ξ=4）=P（η=3或η=5）=P（η=3）+P（η=5)=C38（）3（)5+（）5（）3=
P（ξ=2）=P（η=4）=（）4（）4=，
∴Eξ=10×+8×+6×+4×+2×≈4.19.
备选习题
11.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.【版权所有：21教育】
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的分布列和数学期望；
（2）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率.
解析：（1）ξ的可能值为：
-300，-100，100，300.
P（ξ=-300）=0.23=0.008
P（ξ=-100）=3×0.22×0.8=0.096
P（ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384
P（ξ=300）=0.83=0.512
所以ξ的分布列为：
ξ
-300
-100
100
300
P
0.008
0.096
0.384
0.512
于是：
Eξ=（-300）×0.008+（-100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180
（2）这名同学总得分不为负分的概率为
P（ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.
12.在一个人数很多的单位中普查某种疾病，n个人去验血，可以用两种方案进行：
（1）每个人的血分别化验，这需要n次；
（2）按k个人一组进行分组，把k个人的血混在一起化验，如果结果是阴性的，那么这k个人只作一次化验就够了，如果结果是阳性的，那么就必须对这k个人逐一化验，即对这k个人进行k+1次化验，假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这些人的化验是相互独立的，求按第二种方案这n个人平均需要化验的次数.21cnjy.com
点拔：第二种方案中k个人一组化验，呈阴性和呈阳性时每个人的血化验的次数为随机变量ξ的取值，所以第二种方案这n个人平均化验的次数即为nEξ.21教育名师原创作品
解析：按第二种方案，k个人一组化验，若混合呈阴性，则一个人的血化验次，若混合呈阳性，则一个人的血化验次.
又k个人的混合血化验是阴性的概率是（1-p）k，呈阳性的概率是1-（1-p）k.
于是有分布列
ξ
P
（1-p）k
1-（1-p）k
∴平均化验次数即ξ的数学期望.
∴Eξ=（1-p）k+ ［1-（1-p）k］=1+-（1-p）k.
∴按第二种方案这n个人平均需要化验的次数为n［1+-（1-p）k］.
13.某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）.21*cnjy*com
（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望.
解析：（1）记路段MN不发生堵车事件为，因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次.【出处：21教育名师】
所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率为P1为1-P（）=1-P（）·P（）·P（）=1-［1-p（AC）］［1-P（CD）］［1-P（DB）］=1-；
同理路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2=1-P（）=（小于）；
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率为P3=1-P（）=（大于）；
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择，因此选择路线A→C→F→B可使得途中堵车事件的概率最小.
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=P（）=；
P（ξ=1）=P（）+P（）+P（）=；
P（ξ=2）=P（AC·CF·）+P（AC··FB）+P（·CF·FB）=
;
P（ξ=3）=P（AC·CF·FB）
=
∴Eξ=0·.
答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为.
14.据统计，一年中一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者须交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元（a＞100）.问a如何确定，可使保险公司期望获利？21*cnjy*com
解析：设保险公司的获利为ξ，ξ所有可能的取值为100、100-a，则ξ的分布列为
ξ
100
100-a
P
0.99
0.01
∴Eξ=100·0.99+(100-a)·0.01=100-0.01a.
要使保险公司的获利，须有
100-0.01a＞0，
即a＜10 000.
又因为a＞100，
∴当100＜a＜10 000时保险公司可期望获利.
15.在有奖摸彩中，一期（发行10 000张）有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的，在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
解析：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能的取值为0、5、25、100，则ξ的分布列为
ξ
0
5
25
100
P
∴Eξ=0·+5·+25·+100·=0.2.
答：一张彩票的合理价格是0.2元.
2.3.2 离散型随机变量的方差
课后导练
基础达标
1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( )
A.Eξ=3.5,Dξ=3.52 B.Eξ=3.5,Dξ=21cnjy.com
C.Eξ=3.5,Dξ=3.5 D.Eξ=3.5,Dξ=www.21-cn-jy.com
解析：ξ可以取1，2，3，4，5，6.
P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=P(ξ=6)= ,
∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5,
Dξ=［(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2］×=.
答案：B
2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是( )
A.Eξ=0.1 B.Dξ=0.1 C.P(ξ=k)=0.01k·0.9910-k D.P(ξ=k)= ·0.99k·0.0110-k2·1·c·n·j·y
解析：ξ—B(n,p),Eξ=10×0.01=0.1.
答案：A
3.已知ξ—B(n,p)，且Eξ=7,Dξ=6,则p等于 ( )
A. B. C. D.【来源：21·世纪·教育·网】
解析：Eξ=np=7,Dξ=np(1-p)=6,所以p=.
答案：A
4.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病
的牛的头数为ξ,则Dξ等于( )
A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804
解析：Dξ=10×0.02×0.98=0.196.
答案：C
5.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2,已知Eξ1=Eξ2,Dξ1＞Dξ2,则自动包装机_______________的质量较好.21·世纪*教育网
解析：Eξ1=Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.Dξ1＞Dξ2说明甲
机包装重量的差别大，不稳定.∴乙机质量好.
答案：乙
综合运用
6.下列说法正确的是( )
A.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值.
B.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平.
C.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平.
D.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值.
答案：C
7.设服从二项分布B(n,p)的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44,则二项分布的参数
n、p的值为 ( )
A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1
解析：由Eξ=2.4=np,Dξ=1.44=np(1-p)可得
1-p==0.6,p=0.4,n==6.
答案：B
8.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹，命中后的
剩余子弹数目ξ的期望为( )
A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4
解析：ξ=0,1,2,3,此时P(ξ=0)=0.43,P(ξ=1)=0.6×0.42,P(ξ=2)=0.6×0.4,P(ξ=
3)=0.6,Eξ=2.376.
答案：C
9.某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3 km时，租车费为6元，若行驶路程超过3 km，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费.设出租车一天行驶的路程数ξ(21世纪教育网版权所有
按整km数计算，不足1 km的自动计为1 km)是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量.
已知一个司机在某个月每次出车都超过了3 km，且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a、4a.
(1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差；
(2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差.
解析：(1)由概率分布的性质有，0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1.
∴100a2+7a=0.3,
∴1 000a2+70a-3=0,a=,或a=- (舍去)，
即a=0.03,
∴100a2+3a=0.18,4a=0.12,
∴ξ的分布列为：
ξ
200
220
240
260
280
300
P
0.12
0.18
0.20
0.20
0.18
0.12
∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km).
Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964;
(2)由已知η=3ξ-3(ξ＞3,ξ∈Z),
∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)，
Dη=D(3ξ-3)=32Dξ=6 723
拓展探究
10.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20
和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望
Eξ和方差Dξ.
解析：设A1={部件i需要调整}(i=1,2,3),则P(A1)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3.由
题意，ξ有四个可能值0，1，2，3.由于A1,A2,A3相互独立，可见
P(ξ=0)=P()=0.9×0.8×0.7=0.504;
P(ξ=1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398;21·cn·jy·com
P(ξ=2)=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092;www-2-1-cnjy-com
P(ξ=3)=P(A1A2A3)=0.1×0.2×0.3=0.006.
∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6,
Dξ=Eξ2-(Eξ)2=1×0.398+4×0.092+9×0.006-0.62=0.82-0.36=0.46.
备选习题
11.在一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白
球的个数为ξ，则下式等于的是( )
A.P(0＜ξ≤2) B.P(0≤ξ≤1) C.Dξ D.Eξ
答案：B
12.精制食盐每袋的质量是随机变量，期望值为500 g，标准差为5 g，求装有50袋这种食
盐的一箱质量(不含箱子的质量)的数学期望与标准差.
解析：设ξi表示第i袋食盐的重量(i=1,2,…,50),η表示一箱食盐的总重量，则η=.
∵各ξi相互独立，且Eξi=500,=5(i=1,2,…,50),
∴Eη=E()==25 000 g,
Dη=D()==
=1 250 g2,
∴≈35.4 g.
13.若ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1)= ,P(ξ=x2)= ,且x1＜x2,又知Eξ=，Dξ=.
求ξ的分布列.
解析：依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有Eξ=35x1+x2=,
Dξ=x12+x22-Eξ2=.
从而得方程组
解之得或
而x1＜x2,
∴x1=1,x2=2.
∴ξ的分布列为
ξ
1
2
P
14.把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数,求Eξ、Dξ.
解析：ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
P（ξ=0）=，P（ξ=1）
=,P(ξ=2)
=,P(ξ=3)
=.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
∴Eξ=,Dξ.
15.摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望.
解析：设此次摇奖数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6;当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9；当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时ξ=12.21教育网
所以，P（ξ=6）=，
P（ξ=9）=，
P（ξ=12）=，
Eξ=6×+9×+12×=(元)
即此次摇奖获得奖金数额的数学期望是元.
2.4 正态分布
课后导练
基础达标
1.如果提出统计假说：某工人制造的零件尺寸服从正态分布N（μ，σ2）,当随机抽取其一个值a时，下列哪种情况中，可以说明假设不成立( )21教育网
A.a∈(μ-3σ,μ+3σ) B.a(μ-3σ,μ+3σ) C.a∈(μ-2σ,μ+2σ) D.a(μ-2σ,μ+2σ)【来源：21cnj*y.co*m】
答案：B
2.设随机变量ξ服从正态分布N(10,22)，且P(|ξ-10|＜a)=0.9,则a=___________(a取整数).
答案：a=3.
3.正态总体的概率密度函数f(x)=(x∈R)，则正态总体在区间(1,4)内取值的概率________________.www-2-1-cnjy-com
答案：0.997
4.ξ服从标准正态分布.
试求:(1)P(ξ＜1.8); (2)P(-1＜ξ＜1.5);
(3)P(ξ＞1.5); (4)P(|ξ|＜2).
解析：标准正态曲线关于y轴对称，且有P（x＜x0）=Φ(x0),Φ(-x0)=1-Φ(x0)，关于Φ（x）的计算可查标准正态分布表，可得（1）P（ξ＜1.8）=Φ(1.8)=0.964 1;(2)P(-1＜ξ＜1.5)=Φ(1.5)-Φ(-1)=0.933 2-1+Φ(1)=0.774 5;(3)P(ξ＞1.5)=1-Φ(1.5)=1-0.933 2=0.066 8;(4)P(|ξ|＜2)=Φ(2)-Φ(-2)=2Φ(2)-1=2×0.977 2-1=0.954 4.
5.在某次人事录用考试中，某科的分数ξ—N(80,100)(满分100分)，已知某考生通过查分得知自己的成绩为92分，且排名第20名，而总共录取人数为50名，问录取分数线约为多少（若下限分数有相同者，再补充其他规定）.21cnjy.com
解析：因为ξ—N(80,100)，由条件知
P(ξ≥92)=1-P(ξ＜92)=1-Φ()=1-Φ(1.2)=1-0.884 9=0.115 1.
这说明成绩在92分和92分以上的这20名考生在全体考生中占11.51%.
因此考生总数大致为≈174名，
故前50名考生在全体考生中占的比例为0.287 4.
设第50名考生的成绩为x，则
P(ξ≥x)=1-P(ξ＜x)
=1-Φ()=0.287 4.
Φ()=0.712 6,=0.56,解得x=85.6.所以录取分数线约为86分.
综合运用
6.总体密度曲线是函数f(x)=,x∈R的图象的正态总体有以下命题：
(1)正态曲线关于直线x=μ对称；
(2)正态曲线关于直线x=σ对称；
（3）正态曲线与x轴一定不相交；
（4）正态曲线与x轴一定相交，其中正确的命题是( )
A.(2)(4) B.(1)(4) C.(1)(3) D.(2)(3)
答案：C
7.假设总体服从正态分布N(3,)时，如果要拒绝这个统计假设，则在一次试验中的取值a应落在区间____________内.21世纪教育网版权所有
答案：a∈(-∞, ］∪［,+∞).
8.设随机变量ξ—N(μ,σ2)，而且已知P（ξ＜0.5）=0.079 3,P(ξ＞1.5)=0.761 1,求μ与σ.www.21-cn-jy.com
解析：因为ξ—N(μ,σ2)，所以P（ξ＜0.5）=Φ()=0.079 3,即1-Φ()=0.079 3,【来源：21·世纪·教育·网】
所以Φ()=0.920 7，查表得=1.41,易得=0.71.解方程组,得.
9.假设某次数学考试成绩ξ服从正态分布N(70,102)，已知第100名的成绩是60分，求第20名的成绩约是多少分？21·cn·jy·com
解析：由题意可知：P(ξ≥60)=1-P(ξ＜60)=1-Φ()=1-Φ(-1)=0.841 3.这说明数学成绩在60分和60分以上的考生（共100名）在全体考生中占84.13%，因此考生总数大致为≈119名，故前20名考生在全体考生中的比率大约为：≈0.168 1.设t为第20名考生的成绩，则有P(ξ≥t)=1-Φ()≈0.168 1.从而Φ()≈0.831 9,经查表，得≈0.96，于是第20名学生的数学成绩约为79.6分.
拓展探究
10.一投资者在两个设资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x（万元）分别服从正态分布N（8，32）和N（6，22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案？2-1-c-n-j-y
解析：对第一个方案，有x—N(8,32),于是P（x＞5）=1-P(x≤5)=1-F(5)=1-Φ()=1-Φ(-1)=1-［1-Φ(1)］=Φ(1)=0.841 3.
对第二个方案，有x—N(6，22),于是P（x＞5）=1-P(x≤5)=1-F(5)=1-Φ()= 1-Φ(-0.5)=Φ(0.5)=0.691 5.
相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案.
备选习题
11.设随机变量ξ—N(μ,σ2)，且P（ξ≤C）=P(ξ＞C),则C等于( )
A.0 B.σ C.-μ D.μ
解析：由正态曲线的图象关于直线x=μ对称可得答案为D.
答案：D
12.某厂生产的零件外直径ξ—N（8.0,0.152）(mm)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为( )
A.上、下午生产情况均为正常 B.上、下午生产情况均为异常
C.上午生产情况正常、下午生产情况异常 D.上午生产情况异常、下午生产情况正常
解析：根据3 σ原则，在8+3×0.15=8.45(mm)与8-3×0.15=7.55(mm)之外时为异常.
答案：C
13.随机变量ξ服从正态分布N（0,1）,如果P（ξ＜1）=0.841 3,求P（-1＜ξ＜0）.
解析：∵ξ—N(0,1),∴P(-1＜ξ＜0)=P(0＜ξ＜1)=Φ(1)-Φ(0)=0.841 3-0.5=0.341 3.
14.将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d℃，液体的温度ξ(单位：℃)是一个随机变量，且ξ—N(d,0.52).21·世纪*教育网
(1)若d=90°,求ξ＜89的概率；
（2）若要保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d至少是多少？（其中若η—N(0,1),则Φ（2）=P（η＜2）=0.977 2，Φ(-2.327)=P(η＜-2.327)=0.01）.
解析：(1)要求P（ξ＜89）=F(89)，
∴ξ—N(d,0.5)不是标准正态分布，而给出的是Φ（2），Φ（-2.327），故需转化为标准正态分布的数值.【出处：21教育名师】
P(ξ＜89)=F(89)=Φ()=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8.
(2)由已知d满足0.99≤P(ξ≥80),即1-P(ξ＜80)≥1-0.01,∴P(ξ＜80)≤0.01.
∴Φ()≤0.01=Φ(-2.327).
∴≤-2.327.
d≥81.163 5.
故d至少为81.163 5.
15.已知测量误差ξ—N(2,100)(cm)，必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8 cm的频率大于0.9?【版权所有：21教育】
解析：设η表示n次测量中绝对误差不超过8 cm的次数，则η—B(n,p).
其中P=P（|ξ|＜8）=Φ()-Φ()=Φ(0.6)-1+Φ(1)=0.725 8-1+0.841 3=0.567 1.21*cnjy*com
由题意，∵P(η≥1)＞0.9,n应满足P(η≥1)=1-P(η=0)=1-(1-p)n＞0.9,
∴n＞.
因此，至少要进行3次测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过8 cm的概率大于0.9.
16.某企业准备通过招聘考试招收300名职工，其中正式工280人，临时工20人，报考的人数是1 675人，考试满分是400分，考试后得知，考试平均成绩μ=166分，360分以上的高分考生有31人，某考生甲得256分，问他能否录取？能否被聘为正式工？
（参考数据：标准正态分布表（部分））
Φ（x0）=p(x＜x0)
x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
… … … … … … … … … … …
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8213 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83892·1·c·n·j·y
… … … … … … … … … … …
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.98080 .981 0.981721教育名师原创作品
解析：分二步解答.第一步，预测最低分线，设最低分数线为x1,考生的成绩为ξ,则对一次成功的考试来说，ξ服从正态分布.由题意知：ξ—N(166,σ),∴η=—N(0,1).∵高于360分考生占全体考生,∴P(ξ＞360)=P(η＞)=,
∴P(η≤)=1-≈0.981,由题后附表可知=2.08,即σ=93,∴ξ—N(166,93).21*cnjy*com
∵最低分数线的确定应该使录取考生的概率等于.即P(η＜)=,∴P(η≤)=1-≈0.819,查附表得=0.91.
∴x1≈251，即最低分数线为251分.
第二步，预测考生甲的考试名次，确定他是否能被录取，在ξ=256时，由题后附表知：P(η≤)=P(η≤)=P(η≤0.968)≈0.831 5.
∴P(η＞)≈1-0.831 5=0.168 5.
这说明，考试成绩高于256分的概率是0.168 5，也就是成绩高于考生甲的人数大约占考生总数的16.85%，∴名次排在考生甲之前的考生人数大约有1 657×16.85%≈280名.即考生甲大约排名在281名.由于一共招收300名.故考生甲可以被录取.但正式工只招280名，而281＞280，所以考生甲不能聘为正式工，但被录取为临时工的可能性很大.
