1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
典题精讲
【例1】 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
思路分析：欲完成从两个口袋内任取一个小球这件事，可有两类办法，或从第一个口袋取或从第二个口袋取，都能完成这件事，所以题（1）可用分类加法计数原理来解；欲完成从两个口袋内各取一个小球这件事，需分两个步骤，第一步从第一个口袋内任取1个小球，第二步从第二个口袋内任取1个小球，两个步骤都完成了这件事就解决了，因此题（2）可用分步乘法计数原理来解.21教育网
解：（1）从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个小球，可以从4个小球中任取1个，有4种方法.根据分类加法计数原理，得到不同的取法种数是N=m1+m2=5+4=9.21cnjy.com
所以从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法.
（2）从两个口袋内各取一个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步是从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法；第二步是从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法.根据分步乘法计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1×m2=5×4=20.www.21-cn-jy.com
所以从两个口袋内各取1个小球，有20种不同的取法.
绿色通道：在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有n类办法还是需分成n个步骤,而判断“分步”还是“分类”，主要是看作一次能否完成整个事件，这是问题的实质所在.应用分类加法计数原理必须要求各类的每一种方法都能完成这件事.应用分步乘法计数原理则需要各步均是完成这件事必须经过的若干彼此相关联的步骤.
变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?
思路解析：此题在于完成穿衣这一件事：需分4个步骤：穿上衣、裙子、丝袜和鞋子才能完成整件事，其中各个步骤互不干扰又不可或缺.根据分步乘法计数原理，得到不同的穿法的种数为4×5×3×3=180.
答案:180.
变式训练2 有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？
思路解析:先用分步乘法计数原理，后用分类加法计数原理.选中文、英文书各一本有7×5=35种选法，选中文、法文书各一本有7×3=21种选法，选英文、法文书各一本有5×3=15种选法，所以总共有35+21+15=71种不同的选法.
答案：71.
【例2】 有四位同学参加三项不同的竞赛.
(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？
(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？
思路解析：（1）学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会.要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步.而每位学生均有3个不同机会，所以用分步乘法计数原理.（2）竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同学生中的一个.要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步乘法计数原理.
解：（1）3×3×3×3=34=81种.
（2）4×4×4=43=64种.
黑色陷阱：解答此题，先考虑学生问题还是竞赛问题才能很好地完成这件事，易把两问结果混淆；另外,每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生这一做法对完成整个事件的影响理解错误导致原理弄错，其原因是对题意理解不清，对事情完成的方式有错误的认识.
变式训练1 火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？
思路解析：本题应以“乘客”来考虑：十名乘客下车可看作十步，每人下车有5种方式，十名乘客不同下车方式有510种.2·1·c·n·j·y
答案:510种.
变式训练2 有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?www-2-1-cnjy-com
思路解析:由于5只不同的量杯都要倒进一种溶液（溶液足够多），量杯不能空置，故以“量杯”来考虑：5只不同的量杯各倒进一种溶液可看作5步，每个量杯都有4种溶液可供选择，由此可得倒法数为45=1 024.21*cnjy*com
答案：1 024种.
【例3】 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？
思路分析：方法一：排出所有的分配方案.
甲取得乙卡，分配方案如下表：
此时乙有甲、丙、丁3种取法，若乙取甲，则丙取丁、丁取丙，故有3种分配方案；
（2）甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：
丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；
（3）甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：
丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.
由加法原理，共有3+3+3=9种.
方法二：排除法.
先求4个人各取1张贺卡的总方法，再去掉不合题意的取法.不合题意的取法包括：
有3个人都取自己写的贺卡；有2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写的贺卡；有1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写的贺卡.【来源：21·世纪·教育·网】
方法三：分步法.
第一步，甲取1张不是自己所写的贺卡，有3种取法；第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步，由剩余两人中任一人取，此时只有1种取法；第四步，最后1个人取，只有1种取法.21教育名师原创作品
由乘法原理，共有3×3×1×1=9种.
解法一：根据分析，由加法原理，共有3+3+3=?9种.
解法二：4个人各取1张贺卡.甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法.由乘法原理，4个人各取1张贺卡共有4×3×2×1=24种.2-1-c-n-j-y
3个人都取自己写的贺卡只有1种方法；
2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己写的贺卡方法有6种（即从4个人中选出取自己所写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）；
1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写的贺卡方法有8种.（从4个人中选出自己写的贺卡的1个人有4种方法，而3个人都不取自己写的贺卡的方法有2种方法，如下表）
因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有24-（1+6+8）=9种.
解法三：根据分析，由乘法原理，共有3×3×1×1=9种.
黑色陷阱：（1）方法二中容易多减一项4个人都取自己所写贺卡的取法，原因在于4个人都取自己所写贺卡与3个人都取自己所写贺卡是同一种情况.21世纪教育网版权所有
（2）方法一与方法三中若甲先取乙卡，第二步由乙取，有3种取法，若由丙、丁中1人先取，就会误入歧途，很难断定有两种还是3种取法.21*cnjy*com
变式训练1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，各取1张，其中甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？
思路解析：分类法：第一类，丁取自己所写的贺卡，则甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡只有2种方法.（分配如下表）
第二类，丁不取自己所写的贺卡，有3种方法，甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡只有3种方法，这时由乘法原理可得9种方法.（此时就是例3的情形）
综合上述两类，有加法原理可得共有2+3×3=11种.
答案：11.
变式训练2 设有编号①，②，③，④，⑤的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球投入这5个盒子内，要求每个盒子内投入一个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为多少？
思路解析：由题意知需保证只有2个球的编号与盒子的编号相同，另外3个球的编号与盒子的编号全不相同，这样先在5个球中任选2个球投放到恰好编号相同的盒子内，有10种选法（①②；①③；①④；①⑤；②③；②④；②⑤；③④；③⑤；④⑤）；剩下3个球不能投放到与之编号相同的盒子内只有2种方法.（不失一般性，不妨设它们的编号为③、④、⑤分配如下）【出处：21教育名师】
故共有投放方法为10×2=20种.
答案：20.
问题探究
问题1：随着人民生活水平的提高，“家庭理财”已经成为普通家庭一个关注的问题.李明大学毕业参加工作后，从每月工资中节余一笔钱，他打算从人民币定期储蓄和购买国债两种方式中选择一种来投资.人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可从一年期、二年期和三年期三种中选择一种.问：李明一共有多少种不同的理财方式？
导思：李明共有两类不同形式的选择：第一类，从一年期和二年期两种人民币定期储蓄中任意选择一种投资方法；第二类，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种投资方法.以上任选一种方法都能达到理财的目的，因此，李明的不同选择共有2+3＝5种.
探究：分类是指做一件事，完成它可以有几类方案，这是对完成这件事的所有方法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，分属于不同类的方法是不同的方法.21·cn·jy·com
问题2：由于李明工资水平逐步提高，他决定把节余的钱分成两笔，其中一笔存入人民币定期储蓄，另一笔用来购买国债，定期储蓄和国债的种类与问题1相同，问：李明共有多少种不同的理财方式？21·世纪*教育网
导思：李明要完成定期储蓄和国债这两项投资，理财目标才算完成，所以可以分两步来做.第一步，将一笔钱存入人民币定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方法；第二步，用另一笔钱购买国债，从一年期、二年期和三年期中选择一种理财方法.对于第一步中的两种储蓄方法中的每一种方法，在第二步中都有不同的购买国债的选择，当这两步选择完成后，理财的任务也就完成了.所以所有的方式共有2×3＝6种.【来源：21cnj*y.co*m】
探究：这一个问题与问题1不同，问题1是进行了分类，各类方法中任何一种都可以把这件事情完成.而问题2是进行了分步，每一个步骤中的任何一种方法都不能把这件事做完.只有把各个步骤依次全部完成，才能把这件事做完.分步时，首先根据问题的特点确定一个可行的分类标准，其次步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这几个步骤后，这件事才算最终完成.【版权所有：21教育】
1.2 排列与组合
典题精讲
【例1】 用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？
思路分析:组成符合条件的五位数可分两步，首先确定个位数字，然后再确定其他各位数字；或按是否含有5这个特殊的数字，分为两类;或由所有1—6这6个数组成的五位数，去掉1—6这6个数组成可被5整除的五位数.
解法一：不能被5整除，末位只能从1、2、3、4、6五个数字中选1个，有种方法；再从余下5个数字中选4个放在其他数位,有种方法.由乘法原理，所求五位数有=600(个).
解法二：不含有数字5的五位数有个；含有数字5的五位数，末位不选5有种方法，其余数位有种选法，含有5的五位数有个.因此可组成不能被5整除的无重复数字的五位数有+=600(个).
解法三：由1—6组成的无重复数字的五位数有个，其中能被5整除的有个.因此，所求的五位数共有-=720-120=600(个).
绿色通道：若从最高位数字开始考虑，则问题就无法解决.被5整除的数，个位数字必须是0或5，因此，被5整除的问题，一般从个位数字开始考虑.21*cnjy*com
变式训练1 用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数？
思路解析:分为两类：一类是个位数字为0，再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有种方法；另一类是个位数字为5，由于0不能放在首位，所以在1、2、3、4中选一个数放在首位有4种方法，然后从余下的4个数中选3个放在中间三个数位上有种方法，此时有4种方法.故由加法原理可得能被5整除的五位数有+4=216(个).
答案:216.
变式训练2 用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位偶数？
思路解析:分为两类：一类是个位数字为0，再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有种方法；另一类是个位数字为2或4，由于0不能放在首位，所以余下4个数中选一个数放在首位有4种方法，然后余下的4个数选3个放在中间三个数位上有，此时有2×4×种方法.故由加法原理可得五位偶数有+2×4×=312(个).
答案:312.
【例2】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )
A.140种 B.84种 C.70种 D.35种
思路解析:取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各1台，它包括两种可能：2台甲型与1台乙型、1台甲型与2台乙型，所以可用分类原理和分步原理来解决，另外也可以用间接法解决.
方法一：从4台甲型电视机中取2台和5台乙型电视机中取1台有·种取法；从4台甲型电视机中取1台和5台乙型电视机中取2台有·种取法.所以共有·+· =70(种)，故应选C.
方法二：从所有的9台电视机中取3台有种取法，其中全部为甲型的有种取法，全部为乙型的有种取法，则至少有甲型与乙型各1台的取法共有--=70(种)，故应选C.
答案:C
黑色陷阱：解决这类问题最容易出现的错误就是产生重复，比如首先从4台甲型电视机与乙型电视机中各取1台，有·种取法，再在剩下的7台电视机中任取1台，有种取法，所以不同的取法共有··=140种.这种看起来很不错的解法实际上是错误的，因为它产生了重复.避免产生重复的方法就是“先分类后分步”.
变式训练1 假设200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有( )
A.种 B.（）种
C.种 D.（+）种
思路解析:已知200件产品中有3件次品，197件合格品，则至少有2件次品的抽法为2件次品、3件合格品或3件次品、2件合格品，所以其抽法有.
答案:D
变式训练2 某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机,从中选购5台,且至少有品牌机和兼容机各2台,则不同的选购方法有( )21世纪教育网版权所有
A.1 050种 B.700种 C.350种 D.200种
思路解析:分两类:(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台;
(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.所以不同的选购方法有 +=350(种).21教育网
答案:C
【例3】（1）写出从5个元素a,b,c,d,e中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数.
思路分析:考虑画出如下树形图,注意按给出字母从左到右的顺序来考虑.
解：根据树形图，所有组合为abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde.组合数为=10（个）.www-2-1-cnjy-com
（2）将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四.试写出他们四人所有不同的排法.
思路分析:由于A不排在第一，所以第一只能排B，C，D中的一个.据此可分为三类，作树图可得
解:所有的排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
绿色通道：写符合条件的组合或排列要运用树图,利用它可以具体列出各种情况,从而避免重复或遗漏,能把抽象问题具体化,使解题思路明朗.其中排列的树形图与组合的树形图是有区别的,排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列,而组合的树形图中其元素也不能重复出现,但元素出现的次序一般按照从左到右的顺序来考虑,否则容易出现重复或遗漏.
变式训练1 a,b,c,d四人排成一列，a不在排头，d不在排尾，写出所有的排列.
思路分析:作出树图.
图中，有4层分枝的树叶，对应一个合要求的排列，共有14个.
解:badc,bcda,bdac,bdca,cadb,cbda,cdab,cdba,dabc,dacb,dbac,dbca,dcab,dcba.
变式训练2 利用树图，写出用数字1、2组成的所有四位数.（数字可以重复）
思路分析:因为每个数位上的数字只可能是1或2，所以在树图中，每个分枝都只有两个分叉，左边写1右边写2，经过四次分叉即可写出全部的四位数.【来源：21·世纪·教育·网】
图中，共有16片“树叶”，对应着16个四位数.
解:1 111，1 112，1 121，1 122，1 211，1 212，1 221，1 222，2 111，2 112，2 121，2 122，2 211，2 212，2 221，2 222.21·cn·jy·com
【例4】 三个女生和五个男生排成一排,
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的?排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
思路分析:（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，排成一排有种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有种不同的排法，因此共有·=4 320（种）不同的排法.
（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空当.这样共有4个空当，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有·=14 400（种）不同的排法.
（3）方法一：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有·=14 400(种)不同的排法.21·世纪*教育网
方法二：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的·种排法和女生排在末位的·种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有·种不同的排法，所以共有-2·+·=14 400种不同的排法.2-1-c-n-j-y
方法三：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有·=14 400种不同的排法.【来源：21cnj*y.co*m】
（4）方法一：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有·种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，这时末位就只能排男生，有种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有种不同的排法，这样可有··种不同排法.因此共有·+··=36 000种不同的排法.【版权所有：21教育】
方法二：3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中减去两端都是女生排法·种，就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有-·=36 000种不同的排法.
解:(1)·=4 320(种).
(2)·=14 400(种).
(3)·=14 400(种)或-2·+·=14 400(种)或·=14 400(种).
(4)·+··=36 000(种)或-·=36 000(种).
绿色通道：解决排列、组合应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.
若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.21教育名师原创作品
若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其他的元素.
间接法也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快.
捆绑法、插入法对于有的问题的确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用.
变式训练1 某小组6个人排队照相留念.
(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?
(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?
(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?
(4)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻,有多少种不同的排法?
解:(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样,只不过把第3—6个位子看成是第二排而已,所以实际上是6个元素的全排列问题.故有=720种.21*cnjy*com
先确定甲的排法,有种;再确定乙的排法,有种;最后确定其他人的排法,有种,因为这是分步的问题,所以用乘法原理,有··=2×4×24=192种不同排法.
采用“捆绑法”,即先把甲、乙两人看成一人,这样有种不同排法,然后甲、乙两人之间再排队,有种排法,因为是分步问题,应当用分步计数原理,所以有·=120×2=240种排法.
(4)采用“插入法”,把3个女生的位子拉开,在两端和她们之间放进4张椅子,如___________女___________女___________女___________,再将3个男生放到这4个位子上,就保证任何两个男生都不会相邻了.这样,男生有种排法,女生有种排法,因为是分步问题,应当用乘法原理,所以共有·=24×6=144种排法.2·1·c·n·j·y
变式训练2 5名男生、2名女生站成一排照相.
（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？
（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？
（3）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？
（4）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？
解:（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排:·=240（种）.
（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生:·=2 400（种）.
（3）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生:·=3 600（种）.
（4）七个位置中任选五个排男生,问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的:=2 520（种）.www.21-cn-jy.com
【例5】 解方程:
(1)3Ax8=4·;(2).
思路分析:利用排列数公式和组合数公式,消掉,转化为x的代数方程再求解；同时注意排列数或组合数的方程或不等式中未知数的取值范围;对于排列数或组合数公式的两种形式能合理运用:一般连乘形式用于求值,而阶乘形式常用于化简和证明.
解:(1)由排列数公式,原方程可化为,
化简得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13.
因为x≤8且x-1≤9,x∈N*,
所以原方程的解是x=6.
(2)由组合数公式,原方程可化为.
化简得6-(6-x)=,解得x1=2,x2=21.
因为x≤5且x≤6,x≤7,x∈N*,所以原方程的解是x=2.
变式训练1 解方程:.
解：由排列数公式,得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1).
因为x≥3,所以3(x-1)(x-2)=2(x+1)+?6(x-1),
3x2-17x+10=0.
解之,得x=5,x=,所以x=5.
变式训练2 解不等式:.
解：由组合数公式,原方程可化为.
化简得n2-9n-10＜0,解得-1＜n＜10.
因为n≥6,n∈N*,
所以不等式的解集为{6,7,8,9}.
问题探究
问题1:在解决排列和组合问题中都用到“树图”,它起到什么作用?
导思:树图法虽然在解决排列和组合问题中不是用的很多或许有时根本不去理会它,但是它在教材中还是占有一定的比例去介绍,对教材前后内容的联系起着铺垫的作用,是解决排列和组合问题的基础方法.虽然解决排列和组合问题的方法很多,但都是一些技巧性较强、适用性很窄的方法,从而会让学生感到做题无从选择、举棋不定.树图法虽操作啰嗦,但适应性很广泛,思路明确清晰,有利于我们打开困惑,找出规律,为解题开拓新的局面.对此我们应不能低估其作用,而片面追求各种各样的技巧性方法.21cnjy.com
探究: “树”是图论中的一个概念,它指的是一个连通的无圈图.“树图”就是“数”的图形,好象一颗树一样,从树干上长出几个主枝,主枝又可分叉长出分枝,分枝再分叉成小分枝……最后一次分枝出的小分枝我们称为“树叶”.利用树图可以把排列组合问题直观化、形象化、具体化,起到了“数形结合”中“形”的作用,从而很容易不遗漏、不重复地写出所有的排列或组合,一般适用于数字不太大的情况.若对于数字较大的排列组合问题,先缩减数字,用树图帮助我们思考,找出规律,也不失为一种较好的方法.【出处：21教育名师】
问题2：计数原理中学过两种方法：加法与乘法原理，但是在解决排列组合过程中发现有些计数问题中会出现除法，这是何故呢？
导思:由此启发我们想到：对于某些比较生疏或困难的问题，可以采用这种补充一个步骤，使它变为已学过的熟悉的问题，反过来再用除法求原问题的解,即原问题+补充一个步骤=熟悉的问题，若原问题方法数为x，补充步骤的方法数为y,熟悉的问题方法数为z,根据乘法原理：x·y=z,所以x=,即原问题的方法数=.
探究: 其实在组合数的计算中就出现了除法：.这是因为把组合问题补充上一个排序步骤后，就变成了排列问题.根据分步乘法计数法=·,所以.
1.3 二项式定理
典题精讲
【例1】 用二项式定理展开(2x-)5.
思路分析:可以直接看作2x与()的二项式展开，也可先化简，再利用二项式定理展开.
解法一：直接展开
（2x-)5=(2x)5+(2x)4()+…+(2x)()4+()5
=32x5-120x2+.
解法二：(2x-)5=［ (4x3)5+ (4x3)4·(-3)+ …+ (4x3)·(-3)4+ (-3)5］21*cnjy*com
=［1 024x15-3 840x12+5 760x9-4 320x6+1 620x3-243］
=32x5-120x2+.
绿色通道：记准、记熟二项式(a+b)n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷.21世纪教育网版权所有
变式训练1 求(2x-)5的倒数第二项.
解:T5=(2x)·(-)4=.
变式训练2 在(2x-)5的展开式中是否存在常数项.若有，请求出;若没有，请说明理由.
解：Tr+1= (2x)5-r(-)r=(-1)r·25-2r·3rx5-3r.
若存在常数项，必存在r∈N*，使得5-3r=0，但5-3r=0,r=N*.
∴展开式中不存在常数项.
【例2】 (1)用二项式定理证明1110-1能被100整除.
(2)求9192被100除所得的余数.
思路分析:解决利用二项式定理证明整除问题关键是判断所证式子与除数之间的联系，要掌握好对式子的拆分，如本例的第（1）小题，可以利用1110=（10+1）10展开式进行证明，第（2）小题则可利用9192=(100-9)92展开式,或利用(90+1)92展开式进行求解.
（1）证明：∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+·109+…+·10+1)-1
=1010+·109+·108+…+102
=100(108+·107+·106+…+1).
∴1110-1能被100整除.
(2)解法一：(100-9)92=·10092-·10091·9+·10090·92-…+992,
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.
∵992=(10-1)92=·1092-·1091+…+·102-·10+1,
前91项均能被100整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000-919=81,2·1·c·n·j·y
故9192被100除可得余数为81.
解法二:(90+1)92=·9092+·9091+…+·902+·90+.
前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8 281,显然8 281除以100所得余数为81.
绿色通道：利用二项式定理可以求余数和整除性问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.21教育网
黑色陷阱：出现余数为负数的情况.余数不可能为负,如本题中余数的范围是(0,100).
变式训练1 11100-1末尾连续零的个数为( )
A.7 B.5 C.4 D.3
解：11100-1=(10+1)100-1=10100+1099+…+10+-1.
答案:D
变式训练2 求证：nn-1-1能被(n-1)2整除(n≥3,n∈N*).
证明：∵n≥3,n∈N*，
故［(n-1)+1］n-1-1=(n-1)n-1+(n-1)n-2+…+(n-1)2+(n-1)+-1= (n-1)n-1+(n-1)n-2+(n-1)2+(n-1)2.21cnjy.com
由于上式各项都能被(n-1)2整除，所以当n≥3,n∈N*时，nn-1-1能被(n-1)2整除.
【例3】 (1)求二项式()6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;
(2)求()9的展开式中x3的系数.
思路分析:利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解，同时注意某一项的二项式系数与系数的区别.2-1-c-n-j-y
解:（1）∵T6=()()5=,
∴第6项的二项式系数为=6,第6项的系数为·2·(-1)=-12.
(2)设展开式中的第r+1项为含x3的项,则
Tr+1=x9-r()r=(-1)rx9-2r,
∴9-2r=3.∴r=3,
即展开式中的第4项含x3,其系数为(-1)3=-84.
绿色通道：求某项的二项式系数、系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的内容.
黑色陷阱：某项二项式系数与系数两者概念出现?混淆.
变式训练 求(1-x)6(1+x)4的展开式中x3的?系数.
解法一：(1-x)6(1+x)4=［(1-x)(1+x)］4(1-x)2=(1-x2)4(1-x)2【来源：21·世纪·教育·网】
=(1-x2+x4-x6+x8)(1-x)2,
∴x3的系数为-·(-2)=8.
解法二：∵(1-x)6的通项为Tr+1=(-x)r=(-1)r·xr,r∈{0,1,2,3,4,5,6},
(1+x)4的通项为Tk+1=xk,k∈{0,1,2,3,4}.
令r+k=3,则
∴x3的系数为-+-=8.
【例4】 (1)求(x+2y)7展开式中系数最大的项;
（2）求(x-2y)7展开式中系数最大的项.
思路分析:要使第r项系数最大，则应该满足Tr+1的系数≥Tr的系数,
成立，同时还要注意各项系数的符号.
解:（1）设r+1项系数最大，则有
即
又∵0≤r≤7,∴r=5.
∴系数最大项为T6=x2·25y5=672x2y5.
（2）展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因(x-2y)7括号内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较T5和T7的大小即可.21·cn·jy·com
.
∴系数最大项为第五项,T5=C47(-2y)4x3=560x3y4.
绿色通道：Tr+1与Tr+2、Tr系数的大小关系是研究求系数最值的有效方法，它利用的是增减性.
变式训练 求(x-2y)7的展开式中系数最小的项.
解:因为在(x-2y)7的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第四项T4=x4(-2y)3，第五项T5=x3(-2y)4,
所以系数最小的项的系数为(-2)3=-280.
【例5】已知(1-2y)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
(1)a1+a2+a3+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6.
思路分析:求恒等式的系数间的关系，一般采用赋值法，且常赋特殊值0，1，-1等，再注意适当组合.
解: (1)令x=0,则a0=1;
令x=1,则a0+a1+a2+…+a7=-1. ①
∴a1+a2+…+a7=-1-1=-2.
(2)令x=-1,则a0-a1+a2-…+a6-a7=37. ②www.21-cn-jy.com
由(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1 094.
（3）由（①+②）÷2，得a0+a2+a4+a6==1 093.
绿色通道：一般地，对于多项式g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,g(x)的各项的系数和为g(1);g(x)的奇数项的系数和为［g(1)+g(-1)］;g(x)的偶数项的系数和为［g(1)-g(-1)］.21·世纪*教育网
变式训练 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求a5.
解：(1-2x)7的通项为Tr+1=(-2x)r，令r=5，可得a5=(-2)5=-480.
问题探究
问题1:二项式定理(a+b)n=+…+an-rbr+…+bn，从左到右是展开式，由简变繁，从右到左则是由繁变简，为什么要把二项式展开，化简为繁呢？
导思:一般地，化繁为简是我们解题的基本思路，但有时候，化简为繁也是一种创举；
探究:由简变繁可以判断二项式系数的关系，如=等，可以更深刻地理解组合数的一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征，比较二项式系数之间的大小关系，如n是偶数，则中间一项二项式系数最大等，如果给左边赋值的话，会出现更有趣的一些结论，如2n=.
从这个角度看，二项式定理的由简变繁是为了更好地由繁变简.
问题2:在二项式定理这一节中，研究了二项式系数的三个性质，那么研究二项式系数的意义是什么呢？
导思:理解研究二项式系数的意义，应从二项式定理的应用这一点进行考虑，它会涉及到今后学习的内容.
探究:研究二项式系数的意义在于：一是有助于研究二项式展开式的性质.例如当a=b=时，二项式展开式的各项依次是(r=0,1,2, …,n)，而它正是概率论中最重要的随机变量的分布之一——二项分布的一个特例，可见研究二项式系数的性质对研究概率中的二项分布有着重要意义；二是由于二项式系数是一组特定的组合数，它对我们进一步认识组合数，进行组合数的计算和变形也有一定作用.www-2-1-cnjy-com
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
典题精讲
【例1】下列五个命题，正确命题的序号为_____________.
①任何两个变量都具有相关关系
②圆的周长与该圆的半径具有相关关系
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意?义的
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究
思路解析:变量的相关关系是变量之间的一种近似关系,并不是所有的变量都有相关关系,而有些变量之间是确定的函数关系.例如,②中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系;另外,线性回归直线是描述这种关系的有效的方法；如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程就是毫无意义的.www.21-cn-jy.com
答案:③④⑤
绿色通道：相关关系是一种不确定关系,但是它们之间也有一定的规律,根据回归分析可以对它们之间的关系进行估计.www-2-1-cnjy-com
变式训练 两个变量之间的相关关系是一种 ( )
A.确定性关系 B.线性关系
C.非线性关系 D.可能是线性关系也可能不是线性关系
思路解析:变量之间的相关关系是一种非确定性的关系,如果所有数据点都在一条直线附近,那么它们之间就是一种线性相关关系,否则不是线性相关关系.21*cnjy*com
答案:D
【例2】为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是( )
A.l1与l2有交点（s，t） B.l1与l2相交，但交点不一定是（s，t）
C.l1与l2必定平行 D.l1与l2必定重合
思路解析:回归直线=a+bx中的系数,所以,方程又可以写成:.显然,当x=时,y=,所以,回归直线一定通过定点（）.这里的=s,=t,也即是说,所得回归直线方程恒过点（s，t）,所以,l1与l2有交点（s，t），但是考虑到一般数据之间是有误差的，所以，不一定重合.21cnjy.com
答案:A
黑色陷阱：回归直线是对相关关系的一种估计关系式,由于相关关系的不确定性,实际上这些点不一定都在回归直线上.否则就会因为不理解相关关系的含义而导致错误.
变式训练 “回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的.他的研究结果是子代的平均身高向中心回归.根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的回归方程y=中，( )
A.在（-1，0）内 B.等于0
C.在（0，1）内 D.在［1，+∞）内
思路解析:根据遗传的含义,子女的身高应该逐渐接近父亲的身高,也就是一种正相关关系,所以,应是一个正值,又子女的身高逐渐回归到父亲的身高,所以,<1.
答案:C
【例3】要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生,分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩（如下表）：
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
入学成绩x
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
高一期末成绩y
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75
(1)计算入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)的相关关系；
(2)对变量x与y进行相关性检验，如果x与y之间具有线性相关关系,求出一元线性回归方程；
(3)若某学生入学数学成绩80分,试估计他高一期末数学考试成绩.
思路分析:可以直接代入相关公式得出回归直线方程,根据方程对他高一的期末成绩进行估计.
解:(1)因为（63+67+…+76）=70,
（65+78+…+75）=76，
Lxy==1 894,
Lxx==2 474,lyy==2 056,
因此求得相关系数为r==0.839 789.
结果说明这两组数据的相关程度是比较高的.
(2)查表求得在显著水平0.05和自由度10-2=8的相关系数临界值r0.05=0.632,因r=0.839 768>r0.05，这说明数学入学成绩与高一期末成绩之间存在线性相关关系.
设线性回归方程为y=a+bx，在两组变量具有显著的线性关系情况下:
b==0.765 56,a==22.410 67.
因此所求的线性回归方程是y=22.410 67+0.765 56x.
(3)若某学生入学数学成绩为80分，代入上式可求得y≈84分，即这个学生高一期末数学成绩预测值为84分.21世纪教育网版权所有
绿色通道：回归直线是对相关关系的一种估计关系式,通过回归直线可对某些事物的发展趋势进行预报,但是要通过对其误差进行分析确定预报的可信度,这也是研究相关关系一种常用的思路.21·cn·jy·com
变式训练 某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，ξ的分布列如下：
ξ
1
2
3
…
12
P
…
设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费用100元，问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？
思路分析:首先根据已知条件建立回归直线方程,再代入相应数据即可.
解:设x为月初电器商购进的冰箱台数，只需考虑1≤x≤12的情况，设电器每月的收益为η元，则η是随机变量ξ的函数，且2·1·c·n·j·y
η=
电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为
Eη=300x(Px+Px+1+…+P12)+［300-100(x-1)］P1+［2×300-100(x-1)］P2+［3×300-100(x-1)］P3+…+［300×300-100(x-1)］Pn-1=(-2x2+38x).【来源：21·世纪·教育·网】
由于x∈N*，故可求出，当x=9或10，也即电器商月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.
【例4】灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为ξ（单位：小时），已知ξ—N（1 000，302），要使灯泡的平均寿命为1 000小时的概率为99.7%，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？
思路分析:由于ξ服从正态分布,故应利用正态分布的性质解题.
解:因为灯泡的使用寿命ξ—N（1 000，302），故ξ在?（1 000-3×30，1 000+3×30）的概率为99.7%，即ξ在（910，1 090）内取值的概率为99.1%，故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上.21·世纪*教育网
绿色通道：正态分布是一种很常见的分布规律,要解决此类问题要理解正态分布的性质并加以应用.
变式训练 假设某次数学考试成绩ξ服从正态分布N（70，102）.已知第100名的成绩是60分，求第20名的成绩约是多少分？2-1-c-n-j-y
思路分析:由于成绩服从正态分布，故分数落在某范围内的概率可用两种方法即Φ函数或人数比来进行计算.
解:由题意可知：P(ξ≥60)=1-P(ξ<60)=1-Φ()=1-Φ(-1)=-0.841 3,这说明数学成绩在60分和60分以上的考生（共100名）在全体考生中占84.13%，因此，考生总数大致为≈119名，故前20名考生在全体考生中的比率大约为≈0.168 1.设t为第20名考生的成绩，则有P(ξ≥t)=1-Φ()≈0.831 9,经查表得≈0.96,于是,第20名学生的数学成绩约为79.6分.21*cnjy*com
问题探究
问题1：相关系数是相关分析中的主要参数，那么怎样理解它的意义呢?
导思：相关系数是反映相关关系的一个重要因素,体现了回归方程与实际观测值的密切程度,也即是根据回归方程预报结果的准确程度,因此,是线性回归模型中一个重要的参数.
探究：假设对两个相关变量X和Y作了n次观测,得到n对数据:(X1,Y1),(X2,Y2)，…,(Xn,Yn)，如果把它们描在坐标图上即得散点图,借助散点图可以观察到X和Y或者同升,或者同降,或者一升一降的共同变化趋势,也即相关关系.21教育网
相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的直线关系,并判断其密切程度的统计方法.相关系数没有单位.在-1—+1范围内变动,其绝对值愈接近1,两个变量间的直线相关愈密切;愈接近0,相关愈不密切.相关系数若为正,说明一变量随另一变量增减而增减,方向相同;若为负,表示一变量增加、另一变量减少,即方向相反,但它不能表达直线以外（如各种曲线）的关系.【出处：21教育名师】
问题2：怎样理解回归分析的基本思想?回归分析有哪些实际的应用?
导思：回归分析涉及统计学知识、建立数学模型的思路与方法,体现了数学研究问题的规律,无论从情感价值还是数学本身的思维意识,都能使我们有一个全面的提高,是高中教材中极有价值的知识点.除此之外,回归分析在生产实践中也有极为广泛的应用,是数学应用能力的一种体现.【版权所有：21教育】
探究：回归分析是统计学中一种重要的方法,体现了统计的基本思想,研究如何从样本的统计性质去推测相应总体的统计性质，即如何根据样本去探求有关总体的规律性.首先,从所收集的数据的特点,找出一条最接近的直线方程,即线性回归方程,而把其他一些不具有线性回归关系的数据用一种线性回归方程进行拟合,给出数据之间类似函数的一种关系,体现了从特殊到一般的基本思路,使对不确定关系的预报成为一种可能,进而分析预报的准确度,通过对误差的分析让我们理解回归方程所具有的可信度.21教育名师原创作品
回归分析的基本思想不仅体现了统计的基本思想,还提供了建立数学模型的一种基本方法,加深我们对数学应用能力的认识.而回归分析本身可以总结很多数学或者生产与生活实际中的规律,比如人的身高与体重的关系、水稻的产量与施肥量的关系等,加深我们对自然规律的认识,指导生产与实践,帮助我们改善自然,更好地为人类服务.【来源：21cnj*y.co*m】
3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
典题精讲
【例1】下列关于三维柱形图和二维条形图的叙述正确的是( )
A.从三维柱形图可以精确地看出两个分类变量是否有关系
B.从二维条形图中可以看出两个变量频数的相对大小,而从三维柱形图中无法看出相对频数的大小
C.从三维柱形图和二维条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D.以上说法都不对
思路解析:三维柱形图和二维条形图都是反映两个变量频数大小的图形,从三维柱形图和二维条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系.【出处：21教育名师】
答案:C
绿色通道：三维柱形图和二维条形图是列联表的直观反映,从中可以看出两个分类变量频数的相对大小,进而粗略地看出两个变量是否有关系,再进行证明并分析它们之间有关系的可信度,这就是独立性检验的基本思路.【版权所有：21教育】
变式训练 在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形高度的乘积相差越大,H1(即两个分类变量有关系)成立的可能性就__________________________.21教育名师原创作品
思路解析:主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形高度的乘积相差越大,H1成立的可能性就越大.21*cnjy*com
答案:越大
【例2】在某测试中,卷面满分为100分,60分为及格,为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响,特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计,数据如下表所示:
分数段
午休的考生成绩
不午休的考生成绩
29—40
23
17
41—50
47
51
51—59
30
67
60—70
21
15
71—80
14
30
81—90
31
17
91—100
14
3
(1)请根据上述表格完成列联表.
及格人数
不及格人数
总计
午休
不午休
总计
(2)根据列联表可以得出什么样的结论?对今后的复习有什么指导意义?
思路分析:要正确给出列联表,首先要把表中的数据进行统计,分别计算出午休和不午休时对应的及格及不及格人数,然后填入相应表格即可;根据列联表可以粗略判断出变量之间是否有关系.21世纪教育网版权所有
解:(1)根据表中数据可以得出列联表中的数据如下:
及格人数
不及格人数
总计
午休
80
100
180
不午休
65
135
200
总计
145
235
380
(2)计算可知,午休的考生及格率为P1=,不午休的考生及格率为P2=,显然P1＞P2.
因此,可以粗略判断午休对考生考试及格有关系,并且午休的及格率高,所以,在以后的复习中考生应尽量适当午休,以保持最佳的学习状态.21教育网
绿色通道：列联表是对数据的一种简单统计,也是对数据的一种整理,在列联表中可以看出每种变量对应的数据的频数和总计数量,进而可以计算对应变量的频率,再用频率代替概率,可以粗略估计两个分类变量是否有关系.21·cn·jy·com
黑色陷阱：列联表是对相应数据频数的统计,在判断两个分类变量是否有关系时不是看频数的大小,而是要结合列联表计算出频率,再对变量的关系进行估计,否则可能得出错误的结论;根据列联表进行的判断只是对两个变量之间的粗略估计,有时候可能是错误的,所以,还要进一步判断,否则也可能得出错误的结论.【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练 用A和B两种药物各治疗9个病人，结果如下：
痊愈
未愈
合计
A药
7
2
9
B药
2
7
9
合计
9
9
18
问:两种药物的疗效有无显著差别?并判断它们之间在多大程度上有差别.
思路分析:首先从列联表观察可以看出A药的治愈率要高些,所以,可以粗略估计两种药物的疗效有区别,然后根据独立性检验的方法进行证明,并验证多大程度上存在差别.
解:根据列联表可以看出,使用A药的9个人中痊愈了7个,而使用B药的9个人中痊愈了2个,因此使用A药痊愈的概率高于B药,所以,可以粗略估计两种药是有区别的.
为了估计这两种药的区别程度,用字母代替列联表中的数据,可得关于字母的列联表:
痊愈
未愈
合计
A药
a
b
a+b
B药
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d
构造随机变量K2=,
其中n=a+b+c+d,
把数据代入可得K2=≈5.56,查表可知,P(K2≥5.024)=0.025,也即认为这两种药有区别的可信度为1-0.025=0.975,即可信度为97.5%.2·1·c·n·j·y
【例3】为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下的列联表:
患病
未患病
合计
服用药
10
45
55
未服用药
20
30
50
合计
30
75
105
试用三维柱形图分析服用药和患病之间是否有关系?
思路分析:首先根据条件画出三维柱形图,再根据柱形图所具有的特点即可进行判断.
解:根据列联表所给出的数据可得对应的三维柱形图如下图所示:
主对角线上两个柱形的高a与d的乘积ad=10×30=300与副对角线上两个柱形的高b与c的乘积bc=20×45=900相差很大,因而服用药和未服用药对患病有很大的影响.
绿色通道：在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形高度的乘积相差越大,H1(即两个分类变量有关系)成立的可能性就越大.这是根据三维柱形图判断两个分类变量的重要依据,但是这只能粗略判断它们之间有关系,具体有多大把握是不能判断的.21cnjy.com
变式训练 请把变式训练2的列联表转化成对应的条形图(包括痊愈、未愈及总计内容).
思路解析:对应的条形图可以采用直接描绘的方法,也可以借助EXCEL软件进行绘图.
答案:结果如下:
问题探究
问题1：列联表、三维柱形图及二维条形图是对数据直观描述的三种方法,那么,它们分别具有什么特点,各反映了数据之间的哪些特征?21·世纪*教育网
导思：列联表、三维柱形图及二维条形图是根据数据绘制的三种不同图表,可以从不同的侧面加强对数据的认识,通常把这几种图表结合起来更能加深对数据特征的认识.
探究：列联表是两个分类变量的频数表,通过列联表可以粗略估计两个变量数据的差异性;而三维柱形图和二维条形图是在列联表的基础上对数据的整理,它们能从直观上更清晰地反映两个分类变量各个频数的相对大小,三维柱形图从不同侧面都可以看出两个分类变量所占比例的大小,加强对比例关系的进一步认识,二维条形图相对来说比三维柱形图要简单些,但是三维柱形图也可以更详细地表示分类变量对应数据所占比例,为了更清晰地表示分类变量之间的关系,还可以绘制数据的等高条形图,通过颜色深浅的不同可以使人们从心理上加深对两种变量关系的认识,从心理上理解两个分类变量可能具有的某种关系.通常把这几种图表结合起来才能深刻认识两个分类变量之间的关系.www-2-1-cnjy-com
问题2：独立性检验中有一个重要的步骤就是设随机变量,那么,随机变量的作用是什么?设随机变量的基本原则是什么?www.21-cn-jy.com
导思：独立性检验实际上体现了对分类变量关系从感性到理性认识的过程,而对随机变量的分析就是从感性到理性的一种过渡,通过随机变量概率的计算可以从数的角度加深对我们得出的结论可信度的认识.2-1-c-n-j-y
探究：数据的列联表和三维柱形图及二维条形图可以从直观上显示两个分类变量之间的某种关系,但是这个关系缺少理论依据,是一种简单的统计结果,这种统计结果是一种不确定的结果,有时候甚至可能是一种错误的结论,因此就需要对这种关系的确定性进一步判断,这就需要设随机变量,通过对随机变量的概率进行计算和对比理解这种关系的可能性,从而实现从感性认识到理性认识的飞跃,这就是设随机变量的作用.21*cnjy*com
设随机变量首先把列联表所提供的数据进行抽象,抽象成字母,这些字母分别表示两个分类变量的频数,进而计算相应的频率,用频率近似代表概率,得出概率的近似值,建立相应的关系式,通过统一的评判标准使用随机变量对应的概率值建立相应的关系式,通过关系式判断这种关系存在的可能性的大小.【来源：21cnj*y.co*m】
2.1 离散型随机变量及其分布列
典题精讲
【例1】 ①某路口一天经过的机动车的车辆数为X;②一天内的温度为X;③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数X;④某投篮手在一次训练中,投中球的个数X.上述问题中的X是离散型随机变量的是( )
A.①②③④ B.②③④ C.①③④ D.①②④
思路解析:随机试验的结果可以一一列出的,就是离散型随机变量.一天内的温度变化的取值不能一一列出,是非离散型随机变量.
答案:C
绿色通道：判断一个量是否是离散型随机变量,关键是看它的取值能否一一列出,分析时要紧紧把握定义.
变式训练 抛掷两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的随机试验的结果是( )
A.一颗是3点,一颗是1点 B.两颗都是2点
C.两颗都是4点 D.一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点
思路解析:X=4应代表所有试验结果中和为4的试验.故选D.
答案:D
【例2】 有10把钥匙串成一串,其中只有一把能把某房门打开,若依次尝试开锁,打不开则扔掉,直到打开为止,则试验次数X的取值为_____________.
思路解析:根据题意可以看出,由于打不开的即刻扔掉,所以最多开10次即可打开.
答案: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
绿色通道：写离散型随机变量的取值要结合具体的试验和试验可能出现的结果来写.
变式训练 例2中条件“打不开,则扔掉”改为“若打不开,放回再随机地取一把”,如此重复下去,直到打开为止,则试验次数X的取值为____________.
答案:1,2,3, …
【例3】 将一颗骰子投掷两次,设两次掷出点数的最大值为X,求X的分布列.
思路分析:由题意知X的取值为1、2、3、4、5、6.再根据古典概型求出取每个值时的概率.
解:由题意知X可取的值为1、2、3、4、5、6,则
P(X=1)=;
P(X=2)= ;
P(X=3)=;
P(X=4)=;
P(X=5)=;
P(X=6)=.
所以抛掷两次最大点数的分布列为:
X
1
2
3
4
5
6
P
绿色通道：求离散型随机变量的分布列关键有两点:(1)随机变量的取值;(2)每一个取值所对应的概率值.所求是否正确,可通过概率和是否为1来检验.www-2-1-cnjy-com
变式训练 将一颗骰子投掷两次,设两次掷出点数的差的绝对值为X,求X的分布列.
解：由题意可知,X的取值为0、1、2、3、4、5.
则P(X=0)=;
P(X=1)=;
P(X=2)=;
P(X=3)=;
P(X=4)=;
P(X=5)=.
所以X的分布列为:
X
0
1
2
3
4
5
P
【例4】 若离散型随机变量的分布列为
X
0
1
P
9c2-c
3-8c
试求出常数c.
思路分析:根据性质列出不等式组求解.
解:由离散型随机变量分布列的性质,得解得c=.
绿色通道：离散型随机变量分布列的两个性质:①pi≥0,i=1,2,3,…,n;②p1+p2+…+pn=1,这是处理分布列问题的关键.【来源：21cnj*y.co*m】
变式训练 随机变量X的概率分布规律为P(X=k)=,k=1、2、3、4.其中c为常数,则P(＜X＜)的值为( )
A. B. C. D.
答案:D
【例5】 设某项试验的成功概率是失败概率的4倍,试写出一次试验成功次数的分布列.
思路分析:首先求出随机变量的取值,即试验成功次数,然后求出对应的概率.
解:一次试验成功的次数是一个随机变量X,它的取值为0、1.设P(X=0)=p1,P(X=1)=p2,由题意知p2=4p1.
又∵p1+p2=1,
∴p1=0.2,p2=0.8.
∴一次试验成功次数的分布列为
X
0
1
P
0.2
0.8
绿色通道：两点分布在生产、生活中有很多应用,如新生儿的性别,某天是否下雨,一件产品是否合格等,都要用两点分布来研究.21世纪教育网版权所有
变式训练 在“30选7福利彩票”中,小李一次买了一注,试写出他中一等奖的分布列.
解:
X
0
1
P
【例6】 四名同学同时报名参加了数学、物理、化学三科知识竞赛,每个同学取得第一名的机会均等.记一个人取得第一名的最多次数为X,求X的分布列.(不考虑并列名次)
思路分析:随机变量的取值为1、2、3.分别计算所对应的概率.
解:由题意可知,一个人所得第一名的次数取值可能为1,2,3.当X=1时,对应于四人中恰有三人各获得一个第一名;当X=2时,对应于四人中有一人获得两个第一;当X=3时,三个第一被同一人获得.21·世纪*教育网
当X=1时,P(X=1)=;
当X=2时,P(X=2)=;
当X=3时,P(X=3)=.
∴X的分布列为
X
1
2
3
P
绿色通道：对分布列的求解,归根结底还是概率的求法,而求概率还要运用排列组合的知识,掌握好排列组合是解决这类概率问题的关键.www.21-cn-jy.com
变式训练 将3个小球任意放入4个盒子里,盒子里球的个数的最大值记为X,求X的分布列.
解:由题意可知,盒子里球的个数的最大值可能取1,2,3.当X=1时,4个盒子里恰有3个盒子各放一球;当X=2时,对应着4个盒子里恰有一个放两个球;当X=3时,对应着4个盒子中恰有1个放了3个球.
∴X的分布列为
X
1
2
3
P
【例7】 某10人兴趣小组,其中有5名团员,从中任选4人参加某项活动,用X表示4人中的团员人数,求X的分布列.
思路分析:要把问题的背景转化为超几何分布,问题迎刃而解.
解:X的可能取值为0、1、2、3、4.
P(X=0)=;
P(X=1)=;
P(X=2)=;
P(X=3)=;
P(X=4)=.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
绿色通道：超几何分布的分布列中,要搞清附加条件:P(X=k)=,k=0,1,2, …,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N.
变式训练 为迎接2008奥运会,北京某中学准备成立一个义务宣传队,现高一有3名、高二有5名、高三有4名备选人员,从中选出4名同学组成宣传队,求所选队员中高三所占人数的分布列.
解:由题意可知,所选队员中高三所占人数X服从超几何分布,其中N=12,M=4,m=4,
所以分布列为
X
0
1
2
3
4
P
【例8】 已知随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
2
3
P
分别求出随机变量Y1=2X,Y2=X2的分布列.
思路分析:在求新的随机变量的分布列时要根据它与原来随机变量的关系,从而求出所对应的概率值.
解:由Y1=2X,对X不同的取值-1、0、1、2、3,Y1的取值分别为-2、0、2、4、6.
∴Y1的分布列为
Y1
-2
0
2
4
6
P
由Y2=X2,对于X的不同取值-1、1,Y2的取值为1,当Y2取1时对应的概率应是X取-1与1的概率和,即.21cnjy.com
∴Y2的分布列为
Y2
0
1
4
9
P
绿色通道：X是离散型随机变量,Y=f(X)也是离散型随机变量,计算Y的分布列时,要注意当多个X对应1个Y值时,概率对应的要求和.21·cn·jy·com
变式训练 已知X的分布列为
X
-1
0
1
P
求Y=2X+3,Z=|X|的分布列.
解:Y=2X+3,对X取-1、0、1的值,Y取1、3、5,
∴Y的分布列为
Y
1
3
5
P
Z=|X|,当X取-1、0、1的值,Z取0、1.
当Z=1时,X=-1或1,
所以P(Z=1)=+=.
∴Z的分布列为
Z
0
1
P
【例9】 有三粒骰子同时掷出,求三个骰子中的最大点数的分布列.
思路分析:要搞清对应每一个随机变量取值的情况.如最大点数是3,可能是1、1、3,1、2、3,2、2、3,3、3、3.2·1·c·n·j·y
解:设掷出的最大点数为X,则X的取值为1、2、3、4、5、6.当X=1时,即三粒骰子都掷出1点,P(X=1)=;【来源：21·世纪·教育·网】
当X=2时,即三粒骰子掷出1、1、2,1、2、2,2、2、2三种情况,P(X=2)=；
当X=3时,可能掷出1、1、3,1、2、3,2、2、3,3、3、3,P(X=3)=.
依次类推,可求出P(X=4)=,P(X=5)=,P(X=6)=.
∴最大点数的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
绿色通道：对随机变量的取值有时要分类进行讨论,在分类时,要考虑各种情况,有时要采取列举的方式来解决.2-1-c-n-j-y
变式训练 数字1、2、3、4任意排成一列,如果数字k恰好出现在第k个位置,则称有一个巧合,求巧合数X的分布列.21*cnjy*com
解:X的取值有0、1、2、4.
当X=0时,没有巧合,这时有3×3=9种,?P(X=0)=;
当X=1时,只有一个巧合,P(X=1)==;
当X=2时,只有两个巧合,P(X=2)==;
当X=4时,四个数位置都巧合,P(X=4)=.
∴巧合数X的分布列为
X
0
1
2
4
P
【例10】 核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分.RNA长链的每个位置都有一种称为碱基的化学成分占据,总共有四种不同的碱基,分别用A、C、G、U来表示.在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意的次序出现,所以在任意位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成,求含碱基A的个数的分布列.
解:由题意可知,出现碱基A的个数是一个随机变量,设为X,则X的取值为0,1,2,3, …,100.
当X=0时,即100个位置中都不出现A,P(X=0)=;当X=1时,即100个位置中出现一个A,P(X=1)=;当X=2时,即100个位置中出现两个A,?P(X=2); …;
当X=100时,即100个位置中出现100个A,P(X=100)=.
∴含有A的个数的分布列为
X
0
1
2
…
100
P
…
绿色通道：在求一类随机变量分布列的概率值时,有时有一定的规律可寻,这样求概率变得简单,在做题时要找出这种规律,使问题得以简化.如例10中的概率分母都相同,分子变化有规律.21教育网
变式训练 已知一密码锁有四个拨号盘,每个拨号盘上有0到9这10个数字,求所有密码中含数字9的个数X的分布列.【出处：21教育名师】
解:由题意可知,X可取的值为0、1、2、3、4.
当X=0时,P(X=0)=;
当X=1时,P(X=1)=;
当X=2时,P(X=2)=;
当X=3时,P(X=3)=;
当X=4时,P(X=4)=.
∴密码中含数字9的个数X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
问题探究
问题1:在随机试验中,随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.试探究在抛掷一枚硬币数次的试验中,出现正面或反面的次数是一随机变量,这种说法对吗?
导思:随机变量的取值实质是试验结果的对应值,有的虽然不是数,但我们可以用数来表示,如抛硬币,出现正面朝上用数字1表示,反面朝上用数字0表示.当然也可以用其他数字表示.
探究:判断一个量是否是随机变量,关键看随机试验的量与所描述的量间的关系.随机变量表示随机试验所有可能的结果,但要有标准,有了标准之后,量是变化的.问题中的出现正面或反面的次数给出的标准模糊不清,所以不是随机变量,若改为出现正面的次数,它就是随机?变量.【版权所有：21教育】
问题2:随机变量与函数都是一种映射,对于离散型随机变量的分布列你能给出几种表示方式?对比不同表示方式,试说出它们的优缺点.21教育名师原创作品
导思:类比是一种重要的数学思想方法,很多数学的定理及结论都是通过类比得到的,随机变量与函数既然都是映射,他们在表达方式上应有类似的地方,通过类比可以得到随机变量分布列的不同表达方式.21*cnjy*com
探究:随机变量分布列的表达方式有:
(1)表格法
随机变量X的分布列用表格的形式可表示为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
优点是较直观地得到随机变量不同取值时的概率,缺点是当n取值较大时,制作表格不方便.
(2)解析式法
用解析式P(X=xi)=pi,i=1,2,3, …,n表示.
解析式表示随机变量分布列的优点是能准确表达X取不同值时的概率值,缺点是不直观.
(3)图象法
与函数图象类似,可以用图象的形式把分布列表示为〔其中横坐标xi上小柱体的高度为pi=P(X=xi),i=1,2,3, …,n〕
图象法的优点是直观体现X取各个不同值的概率大小,缺点是不能精确表达这些概率值.
2.2 二项分布及其应用
典题精讲
【例1】 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.
思路分析:首先搞清所求概率是在什么条件下的事件的概率.利用古典概率进行求解.
解：设事件A为“两颗点数之和为7”,事件B为“一颗点数为1”.两颗点数之和为7的种数为3,其中有一颗为1点的种数为1,故所求概率为P=.www-2-1-cnjy-com
绿色通道：在等可能性事件的问题中,求条件概率可采用古典概型的方法更容易理解.计算出基本事件的总数,然后算出有利事件数,从而求出概率.21*cnjy*com
变式训练 掷两颗均匀的骰子,已知点数不同,求至少有一个为6的概率.
解：在“点数不同”(事件A)的条件下,总的基本事件数为=30，至少有一个点数为6的(事件B)事件的个数为×2=10,∴P(B|A)=.【版权所有：21教育】
【例2】 某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？
思路分析:与例1不同的是此题适合运用条件概率的公式来求解,分清事件A,事件AB.
解：A={任选一人是女生}，B={任选一人来自北京}，依题意知道北京的学生有女生8名，这是一个条件概率问题，即计算P（B|A）.
由于P（A）=,P(AB)=,则P(B|A)=.
绿色通道：求条件概率问题要把握在什么前提条件下的概率问题,也就是搞清事件A、事件B、以及事件AB和它们发生的概率，再利用条件概率公式进行求解.
变式训练 根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是，既刮东风又下雨的概率是.问该地四月份刮东风与下雨的关系是否密切？以“四月份刮东风”的条件下，“某地四月份下雨”的概率的大小来说明.
解:设A为“某地四月份刮东风”，B为“某地四月份下雨”，则P(A)= ,P(B)=,在“某地四月份刮东风”的条件下，“某地四月份下雨”的概率P(B|A)=.
【例3】 甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为和,求:
(1)两个人都译出密码的概率;
(2)两个人都译不出密码的概率;
(3)恰有一人译出密码的概率;
(4)至多一人译出密码的概率;
(5)至少一人译出密码的概率.
思路分析:把甲独立破译记为事件A,乙独立破译记为事件B,A与B相互独立, 与B也相互独立.
解:记A为甲独立的译出密码,B为乙独立的译出?密码.
(1)两个人都译出密码的概率P(AB)=P(A)P(B)=.
(2)两个人都译不出密码的概率为P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=.
(3)恰有一人译出密码分为两类:甲译出乙译不出;乙译出甲译不出,即
∴P()=P()+P()=P(A)P()+P()P(B)=.
(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码,
∴1-P(AB)=1-P(A)P（B）=.
(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码,
∴1-P()=.
绿色通道：求相互独立事件同时发生的概率时,运用公式P(AB)=P(A)P(B).在解决问题时,要搞清事件是否独立,同时要注意把复杂事件分解为若干简单事件来处理,同时还要注意运用对立事件把问题简化.2·1·c·n·j·y
变式训练 甲、乙、丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率为,三人都做对的概率为,三人全做错的概率为.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)分别求乙、丙两人各自做对此题的概率;
(2)求甲、乙、丙中恰有一人做对此题的概率.
解：(1)设甲、乙、丙三人各自做对此题分别为事件A、B、C,则P(A)=,由题意可知:
解得P(B)=,P(C)=或P(B)=,P(C)=.
(2)设甲、乙、丙中恰有一人做对此题为事件D,则
P(D)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=.
【例4】 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.
（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.
思路分析:至少一人命中可考虑对立事件无人命中;恰有两人命中要分为三个互斥事件,具体哪两个命中;甲单独射击目标3次就是独立重复试验?问题.21·cn·jy·com
解:（1）设Ak表示“第k人命中目标”，k=1、2、3.这里，A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5.从而，至少有一人命中目标的概率为1-P（）=1-P（）P（）P（）=1-0.3×0.4×0.5=0.94.21*cnjy*com
恰有两人命中目标的概率为
P(A1A2+A1A3+A2A3)=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P(A2)P()+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A4)=0.7×0.6×0.5+0.7×0.4×0.5+0.3×0.6×0.5=0.44.
答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44.
(2)设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为P3（2）=0.72×0.3=0.441.
答：他恰好命中两次的概率为0.441.
绿色通道：求较复杂的事件的概率问题要注意:
(1)把复杂事件分解为若干简单事件;
(2)分别求出每个简单事件的概率.
变式训练 甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设击中目标的概率分别为0.4、0.5、0.8.如果只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2,如果有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;如果三人都击中,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.21cnjy.com
解：设甲、乙、丙三人分别击中的事件为A、B、C,飞机被击落,要看几人击中,若一人击中,为事件A··+·B·+··C；若有两人击中,则为事件··+·B·C+A··C,三人全击中为事件A·B·C.21教育名师原创作品
所以飞机被击落的概率P=[]×0.2+
[]×0.6+P(A·B·C)=(0.4×0.5×0.2+0.6×0.5×0.2+0.6×0.5×0.8)×0.2+(0.4×0.5×0.2+0.4×0.8×0.5+0.6×0.5×0.8)×0.6+0.4×0.5×0.8=0.492.
答:飞机被击落的概率为0.492.
【例5】 假定人在一年365天中的任何一天出生的概率相同,某班级有50名同学,其中有两人或两人以上生日是5月1日的概率是多少?
思路分析:每个人生日在某一天是等可能的,50人相当于做了50次试验,故可以认为是n次独立重复试验问题.
解:设“一个人的生日为5月1日”为事件A.50个人的生日相当于进行了50次独立重复试验,事件发生的概率为P(A)=.
设50人中生于5月1日的人数为X,则
P(X=0)=；
P(X=1)=.
∴两人以上生日为5月1日的概率P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1- ≈0.008 5.
绿色通道：处理一类概率问题时,看能否归结为n次独立重复试验,关键是试验在相同条件下重复进行,每次事件发生的概率相同,恰好发生k次的概率可用公式P(X=k)=(1-p)n-k来计算.
变式训练 设有m升经过紫外线消毒的自来水,其中含有n个大肠杆菌,今从其中任取一升水进行检验,问在取出的一升水中含有k个(k=0,1,2, …,n)个大肠杆菌的概率为多少?
解:对于每个大肠杆菌来说只有两个结果:落入或不落入被取的一升水中,并且可认为每个大肠杆菌的落入与否是相互独立的,这样n个大肠杆菌落入所取的一升水中可看作n次独立重复试验,每次事件的结果是某一个大肠杆菌落入该升水中(事件A)的概率为P(A)=,故所求概率为P(k)=.
【例6】 (2005全国高考卷Ⅰ,理20)9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,求需要补种坑数的分布列.
思路分析:把一个坑需要补种看作事件A,则三个坑相当于做了三次重复试验,从而把问题进行了转化.
解:因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=,所以单个坑不需补种的概率为1-.
3个坑都不需补种的概率为=0.670;
恰有1个坑需要补种的概率为=0.287;
恰有2个坑需要补种的概率为=0.041;
3个坑都需要补种的概率为=0.002.
∴需要补种坑数的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.670
0.287
0.041
0.002
绿色通道：有些问题看上去不是n次独立重复试验问题,但经过转化可以看作独立重复试验,把问题进行了简化,从这里也看到转化思想在数学问题的处理中所发挥的重要作用.有些概率问题可以转化为我们熟悉的模型来处理.21·世纪*教育网
变式训练 某企业正常用水(一天24小时用水不超过一定量)的概率为,则在5天内至少4天用水正常的概率是多少?【出处：21教育名师】
解:5天内至少4天正常用水包括两种情况:
(1)恰有4天正常用水,其概率为P1=p4(1-p)=5×()4×;
(2)5天全部正常用水,其概率为P2=p5=()5=.
∴5天内至少4天用水正常的概率为P=P1+P2=.
【例7】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
解:（1）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验，故P（A1）=1-P（）=1-（）4=.
（2）记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则P（A2）=×()2×(1-)4-2=,P(B2)=×()3×(1-)4-3=.
由于甲、乙射击相互独立，
故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=×=.
（3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为Di（i=1、2、3、4、5），则A3=D5D4，且P（Di）=.由于各事件相互独立，故P（A3）=P（D5）P（D4）P（）P（）=.21世纪教育网版权所有
答：甲连续射击4次至少有1次未击中目标的概率为.两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为.乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.
绿色通道：处理“至多”“至少”问题的概率时,可考虑对立事件.在处理复杂问题时要把问题分为若干简单问题,然后分别求出概率,利用互斥事件或相互独立事件的概率公式进行求解.
变式训练 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响，求：
(1)前三局比赛甲队领先的概率；
(2)本场比赛乙队以3∶2取胜的概率.(精确到0.001)
解:单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4.
(1)记“甲队胜三局”为事件A，
“甲队胜两局”为事件B,
P(A)=0.63=0.216,
P(B)=×0.62×0.4=0.432,
∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)+P(B)=0.648.
(2)若本场比赛乙队3∶2取胜，则前四局双方应以2∶2战平，且第五局乙队胜.
所以，所求事件的概率为×0.42×0.62×0.4=0.138.
【例8】 有10台机床各自独立工作,因修理调配等原因,每台机床停车的概率为0.2,求(1)同时停车台数X的概率分布;(2)10台机床中恰有一台停车的概率;(3)10台机床中最多一台停车的概率.
思路分析:10台独立工作且停车概率相等可看作n次独立重复试验来处理.
解:(1)由题意知,X服从参数n=10,p=0.2的二项分布,即X—B(10,0.2).
由二项分布的概率分布，知
P(X=k)=0.2k0.810-k(k=0,1,2,3, …,10).
(2)“10台中恰有一台停车”相当于X的取值为1,即P(X=1)=0.210.810-1≈0.268 4.
(3)“10台机床中最多一台停车”是指“有0台停车”或“恰有一台停车”,等价于X取值为0和1.
P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)
=0.200.810+0.210.810-1≈0.375 8.
绿色通道：数学中的很多问题都体现了转化思想,把一个问题换一个角度来考虑转化为熟悉问题,使问题迎刃而解.此题转化为了二项分布问题,避免了大量的重复计算.
变式训练 某气象站天气预报的准确率为0.8,?计算：
(1)五次预报中恰有四次准确的概率;
(2)五次预报中至少四次准确的概率.
(结果保留两位有效数字)
解:(1)记“预报一次,结果准确”为事件A,预报五次相当于做5次独立重复试验,五次预报中恰好四次准确的概率为×0.84×(1-0.8)1≈0.41.2-1-c-n-j-y
(2)五次预报中至少四次准确的概率,就是五次预报中恰有四次准确的概率与五次都准确的概率和,即
P=×0.84×(1-0.8)1+×0.85×(1-0.8)0≈0.410+0.328≈0.74.
问题探究
问题1：日常生活中经常遇到名额分配问题，在人多名额少时，往往采取抽签的方式来确定，抽签有先有后，对各人公平吗？你对这种抽签决定式认同吗？试说出你的理由.
导思：抽签、抓阄问题在日常生活中经常遇到,从概率学的角度看是非常合理的.我们看一种方案是否合理,要从概率角度考查对每人是否公平,若每人的机会均等就是合理的.在这里我们要注意的是探究过程中有一个前提:后抽者不知道前面人的结果.也可以从所有奖券的排列上来考虑.得出一般公式:如果在n张票中有一张中奖,n个人依次从中抽取一张,且后人不知先抽人的结果,那么第i个抽票人抽到奖票的概率为Pi=，即抽到奖的概率与抽票的顺序无关.
探究：抽签有先有后,对各人是否公平,要看每个人抽到某签的概率是否相等.如:有5张奖券,只有一张中奖，每个人中奖的概率是否都是呢?
显然第一个人抽到中奖的概率为.第二个人抽到中奖的概率可以理解为在第一个未中的前提下第二个中奖的概率为.依次类推,每个人中奖的概率都相等.所以抽签是公平合理的.21教育网
问题2：在一些俗语中包含着很多概率知识的应用.俗话说:“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”“三人行，必有我师”“真理有时掌握在少数人手里”.试从概率的角度来探究这些俗语的合理性.www.21-cn-jy.com
导思：日常生活中的很多俗语都包含着概率论的知识.对于三个臭皮匠顶一个诸葛亮问题,我们从臭皮匠的能力出发来研究问题,前提是每个人独立的提出决策方案,为使问题简化,可假设每个人的能力相同,这就转化为独立重复试验问题.
探究：从概率角度讲,谁的概率大,谁发生的可能性就大.我们从下面的问题加以探究:若有9个谋士,每人贡献正确建议的概率为0.7,而诸葛亮贡献正确建议的概率为0.9.现为一事征求意见，并按多数人的意见作决策.作出正确决策的概率为【来源：21cnj*y.co*m】
P=0.75·0.34+0.76·0.33+0.77·0.32+0.78·0.31+0.79·0.30=0.901 2>0.9.
由此说明:“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”的说法有一定的科学性.
改变每人作出正确判断的概率，也可以说明“真理有时掌握在少数人手里”的合理性.
2.3 离散型随机变量的均值与方差
典题精讲
【例1】抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的均值与方差分别为( )
A.EX=0,DX=1 B.EX=,DX=
C.EX=0,DX= D.EX=,DX=1
思路解析:要计算随机变量的均值和方差，应先列出其分布列.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的分布列为21cnjy.com
X
1
-1
P
0.5
0.5
所以EX=1×0.5+(-1)×0.5=0，
DX=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.
故选A.
答案:A
绿色通道：求离散型随机变量的均值或方差，列分布列是关键.
黑色陷阱：列分布列关键在于清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时要能正确求出每一个结果出现的概率.21世纪教育网版权所有
变式训练 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的标准差σX=___________,E(5X+1)= ___________,D(3X+4)= ___________.21教育网
思路解析:在例1的基础上，利用σX==1,E(5X+1)=5EX+1=1,D(3X+4)=9DX=9.
答案:1 1 9
【例2】设有甲、乙两门火炮，它们的弹着点与目标之间的距离为随机变量X1和X2（单位：cm）,其分布列为21·cn·jy·com
X1
82
83
90
92
98
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
X2
82
86.5
90
92.5
94
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
求EX1,EX2,DX1,DX2，并分析两门火炮的优劣.
思路分析:当EX1=EX2时，要通过DX1,DX2来比较两门火炮的优劣.
解：根据题意，有
EX1=82×0.2+83×0.2+90×0.2+92×0.2+98×0.2=89,
EX2=(82+86.5+90+92.5+94)×0.2=89，
DX1=(82-89)2×0.2+(83-89)2×0.2+(90-89)2×0.2+(92-89)2×0.2+(98-89)2×0.2=35.2,
DX2=(82-89)2×0.2+(86.5-89)2×0.2+(90-89)2×0.2+(92.5-89)2×0.2+(94-89)2×0.2=18.5,www.21-cn-jy.com
∵EX1=EX2，故两门火炮的平均性能相当.
但DX1>DX2，故乙火炮相对性能较稳定，则甲火炮相对分布较分散，性能不够稳定.
绿色通道：在实际问题中仅靠离散型随机变量的均值还不能完善地说明随机变量的分布特征，有时还要研究其偏离均值的平均程度即方差.2·1·c·n·j·y
黑色陷阱：不能以为两个随机变量的均值相同了，就认为两者的优劣性相同，应该比较两者的方差.
变式训练 设X是一个随机变量，其分布列如下表，试求EX,DX.
X
-1
0
1
P
1-2q
q2
解:根据分布列的性质可得+1-2q+q2=1，解得q=，
∴EX=-1×+0×(2-1)+1×()=1-，
DX=(-2+)2×+(-1+)2×(-1)+()2×()=-1.
问题探究
问题：有了离散型随机变量的分布列，就能明确随机变量的取值规律，为何还要研究离散型随机变量的期望和方差？这在现实生活中有什么作用？【来源：21·世纪·教育·网】
导思：离散型随机变量的期望或均值反映了离散型随机变量的平均水平，而离散型随机变量的方差则反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.21·世纪*教育网
探究：离散型随机变量的期望与方差都是随机变量的重要特征数，是对于随机变量的一种简明的描写，虽然随机变量的分布列决定了随机变量的取值规律，但是研究随机变量的期望与方差有其必要性.因为随机变量的分布列往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点，如随机变量取值的平均水平、集中位置、稳定与波动状况、集中与分散程度等.且在实际应用中，人们并不知道随机变量的确切分布，因此往往有必要知道它的一切概率特征，这也是概率论和数理统计的重要任务之一.www-2-1-cnjy-com
2.4 正态分布
典题精讲
【例1】下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ.
（1）φμ,σ(x)=（-∞＜x＜+∞）;
（2）φμ,σ(x)=（-∞＜x＜+∞）;
（3）φμ,σ(x)=（-∞＜x＜+∞）.
思路分析:掌握正态曲线的表达式的特征是学习本节的前提，本题只要对照φμ,σ(x)=，就可以确定均值μ和标准差σ.21世纪教育网版权所有
解:（1）μ=0,σ=1.（2）μ=1,σ=2.（3）μ=-1,σ=.
绿色通道：通过正态总体的函数表示式判断其均值μ和标准差σ是因为在总体密度曲线的表达式中参数μ，σ分别可用样本均值和样本标准差去估计.当μ=0，σ=1时，总体称为标准正态总体，相应的曲线称为标准正态曲线.www.21-cn-jy.com
黑色陷阱：在记忆正态曲线的表达式φμ,σ(x)=时，应该注意指数的特征，切不可误记为等形式.
变式训练 若某一正态分布的期望和方差分别为2和4，则这一正态曲线的表达式为___________.21教育网
答案:φμ,σ(x)=（-∞＜x＜+∞）
【例2】下图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是( )2·1·c·n·j·y
A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B.日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C.日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好
思路解析:只要理解正态曲线中两个参数μ,σ的意义，就不难判断四个命题的真假.从图象中可以看出甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同，所以它们的日走时误差的均值相等，A是正确的；再根据图象的“瘦高”与“矮胖”情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，这也说明甲、乙、丙三种品牌的手表日走时误差的均值相当，但甲品牌偏离于均值的离散程度较小，所以甲品牌的质量最好，因此C、D是正确的，答案应选B.
答案:B
绿色通道：通过函数的图象研究函数的性质是学习数学的基本方法之一.
黑色陷阱：对于正态分布密度曲线，易将两个参数μ,σ混淆，如本题常会误认为B正确.
变式训练 下图是正态分布N(0,σ2)的曲线，则阴影部分所表示的区域( )
A.范围无界，面积为1 B.范围有界，面积与σ有关
C.范围有界，面积为1 D.范围无界，面积与σ有关
答案:A
【例3】正态分布密度函数的表示式是
f(x)=（-∞＜x＜+∞).
（1）求f（x）的最大值；
（2）利用指数函数性质说明其单调区间及曲线的对称轴.
解:（1）因为e>1，所以要使f(x)最大，则-2(x+1)2最大，即x=-1时，f(x)有最大值.
（2）由于指数函数y=ex是增函数，故
当x∈（-∞,-1）时，函数为增函数；
当x∈［-1,+∞）时，函数为减函数.
其对称轴为直线x=-1.
黑色陷阱：本题容易忽视e的值对单调性和最值的影响.
变式训练 由正态分布N(1,8)对应曲线可知，当x____________=时，函数f(x)有最大值__________.21cnjy.com
思路解析:画出N(1,8)的图象,由图象可直观得出答案.
答案:1
问题探究
问题：正态分布在实际生活中有什么重要意义（或有哪些应用）？你能举例说明吗？
导思：理解正态分布在实际生活中的应用有助于更好地学习这一部分内容，同时可感受到数理统计在我们生活、生产、军事等领域的作用.21·cn·jy·com
探究：在实际生产与生活中，大量的随机现象都服从或近似服从正态分布.如生产上的产品的质量、使用寿命、农作物的亩产量等，测量上如测量的误差、群体的身高、群体的智商，军事上如射击命中点与靶心距离的偏差、炮弹的落点等等都可认为是服从正态分布的随机变量.正态分布在概率与统计中占有重要地位，这也是我们要学习正态分布的原因.
