1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自我小测
1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为( )
A．6 B．5 C．3 D．2
2．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
3．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( )
A．15 B．12 C．5 D．4
5．已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数为( )21教育网
A．9 B．12 C．8 D．24
6．一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种．21·世纪*教育网
7．某电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，则不同的选择有________种．
8．在一次运动会选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．【出处：21教育名师】
9．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取1张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？
(2)某人想得到1张中国移动手机卡和1张中国联通手机卡，供自己今后选择使用，问一共有多少种不同的取法？2·1·c·n·j·y
10．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选1幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中任选出2幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？
参考答案
1．解析：“完成这件事”即选出1人作主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3＋2＝5种不同的选法．www.21-cn-jy.com
答案：B
2．解析：5名同学依次报名，每人均有2种不同的选择，所以共有2×2×2×2×2＝32种不同的报名方法．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：D
3．解析：自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37(种)．2-1-c-n-j-y
答案：C
4．解析：利用分类加法计数原理．
当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，有6种情况．
当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，有5种情况．
当x＝3时，y＝0,1,2,3，有4种情况．
据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15种情况．
答案：A
5．解析：完成表示不同的圆这件事有三步：第一步，确定a有3种不同的选取方法；第二步，确定b有4种不同的选取方法；第三步，确定r有2种不同的方法．由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24个．
答案：D
6．解析：任选1名同学参加学科竞赛，有两类办法：
第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法；
第二类，从女同学中选取1名参加学科竞赛，有5种不同的选法．
由分类加法计数原理，不同的选派方法共有3＋5＝8种．
答案：8
7．解析：分两类情况：
(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果；www-2-1-cnjy-com
(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．
因此共有不同的选择17 400＋11 400＝28 800(种)．
答案：28 800
8．解析：分两步安排这8名运动员．
第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)．21·cn·jy·com
第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．21*cnjy*com
∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)．
答案：2 880
9．解：(1)任取1张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取1张，或从12张不同的中国联通卡中任取1张，由分类加法计数原理知，有10＋12＝22种取法．
(2)从中国移动、中国联通手机卡中各取1张，则要分两步完成：从中国移动手机卡中任取1张，再从中国联通手机卡中任取1张，由分步乘法计数原理知，有10×12＝120种取法．21世纪教育网版权所有
10．解：(1)利用分类加法计数原理得，有5＋2＋7＝14种不同的选法．
(2)国画有5种不同选法，油画有2种不同的选法，水彩画有7种不同的选法，利用分步乘法计数原理得，有5×2×7＝70种不同的选法．21cnjy.com
(3)三类分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画，再利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理知，共有5×2＋2×7＋5×7＝59种不同的选法．
1.2 排列与组合 1
自我小测
1．设a∈N*，且a＜27，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )
A．A B．A C．A D．A
2．三位老师和三名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法总数为( )
A．720 B．144 C．36 D．12
3．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( )
A．20种 B．30种 C．40种 D．60种
4．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120个 B．80个 C．40个 D．20个
5．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144
6．方程：A＝140A的解是________．
7．有5名男生和2名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)21世纪教育网版权所有
8．(2014江苏扬州中学高二第二学期阶段测试理科)将3名男生和4名女生排成一行，甲、乙两人必须站在两头，求共有多少种排法？www.21-cn-jy.com
9．用0,1,2,3,4,5这六个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(3)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？
参考答案
1．解析：8个括号是连续的自然数，依据排列数的概念可知D正确．
答案：D
2．解析：先将老师排好有A种排法，形成4个空位，将3个学生插入4个空位中，有A种排法，∴共有A·A＝144种排法．2·1·c·n·j·y
答案：B
3．解析：分类完成：①甲排周一，乙、丙只能从周二至周五中选2天排，有A种排法；
②甲排周二，乙、丙有A种排法；
③甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A种排法，
∴共有A＋A＋A＝20种不同的安排方法．
答案：A
4．解析：①当十位是3时，个位与百位从1,2中选有A种选法；
②当十位是4时，个位与百位有A种选法；
③当十位是5时，个位与百位有A种选法；
④当十位是6时，个位与百位有A种选法，
则伞数有A＋A＋A＋A＝2＋6＋12＋20＝40个，故选C.
答案：C
5．解析：第一步，先将2,4,6全排，有A种排法．第二步，将1,3,5分别插入2,4,6排列产生的前3个空中，若1,3相邻且不与5相邻，有AA种排法，若1,3,5均不相邻，有A种排法．故六位偶数有A(AA＋A)＝108种．故选C.21教育网
答案：C
6．解析：根据原方程，x(x∈N*)应满足
解得x≥3.
根据排列数公式，原方程化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)，x≥3，
两边同除以4x(x－1)，
得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)．
即4x2－35x＋69＝0.
解得x＝3或x＝5(因x为整数，故应舍去)．
∴原方程的解为x＝3.
答案：x＝3
7．解析：由题意知，从7人中选出5人担任5个学科课代表，共有A＝2 520种不同的选法．
答案：2 520
8．解：第一步，先排甲、乙有A＝2种方法；第二步，其余人共有A＝120种排法，所以不同的排法有A×A＝240种．21cnjy.com
9．解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有A个；
第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选(有A种)，十位和百位从余下的数字中选(有A种)，于是有A×A个；21·cn·jy·com
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A×A个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数A＋A×A＋A×A＝156个．
(2)五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有A个；
个位上的数字是5的五位数有A×A个．
故满足条件的五位数共有A＋A×A＝216个．
(3)比1 325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A×A个；
第二类：形如14□□，15□□，共有A×A个；
第三类：形如134□，135□，共有A×A个；
由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有A×A＋A×A＋A×A＝270个．
1.2 排列与组合 2
自我小测
1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )21·cn·jy·com
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种
2．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，且既会划左舷又会划右舷的最多选1人，则不同的选法有( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．4种 B．36种 C．40种 D．92种
3．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )21·世纪*教育网
A．360 B．520 C．600 D．720
4．(C＋C)÷A的值为( )
A．6 B．101 C． D．
5．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是( )
A．15 B．45 C．60 D．75
6．6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有________种．
7．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB四种之一，根据血型遗传学，当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型所有可能情况有________种．www-2-1-cnjy-com
8．如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有____个．
9．有8名男生和5名女生，从中任选6人．
(1)有多少种不同的选法？
(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？
(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？
(4)其中有2名女生，4名男生，分别负责6种不同的工作，共有多少种不同的分工方法？
(5)其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？
10．在某次抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名专家中有4名是骨科专家．21教育网
(1)抽调的6名专家中恰有2名是骨科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名骨科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名骨科专家的抽调方法有多少种？
参考答案
1．解析：分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C×C＋C×C＝30种选法．2·1·c·n·j·y
答案：A
2．解析：第一类：无既会划左舷又会划右舷的有C×C＝4种选法．
第二类：只有一名既会划左舷又会划右舷的有C(CC＋CC)＝2×(3×4＋6)＝36种．
∴共有4＋36＝40种选法．
答案：C
3．解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝2×10×24＝480种选法．
第二类，甲、乙都参加时，则有C(A－AA)＝10×(24－12)＝120种选法．
∴共有480＋120＝600种选法．
答案：C
4．解析：(C＋C)÷A＝(C＋C)÷A＝C÷A＝÷A＝＝.
答案：C
5．解析：从4个重点项目和6个一般项目各选2个项目共有C×C＝90种不同选法，重点项目A和一般项目B都不被选中的不同选法有C×C＝30种，所以重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是90－30＝60.21世纪教育网版权所有
答案：C
6．答案：15
7．解析：父母的血型应为A或B或O，C×C＝9种．
答案：9
8．解析：有一个点在圆内的有：
C×(C－4)＝248(个)．
有两个顶点在圆内的有：C×(C－2)＝60(个)．
三个顶点均在圆内的有：C＝4(个)．
所以至少有一个点在圆内的三角形共有248＋60＋4＝312(个)．
答案：312
9．解：(1)适合题意的选法有C＝1 716种．
(2)第1步，选出女生，有C种；第2步，选出男生，有C种．
由分步乘法计数原理知，适合题意的选法有C×C＝560种．
(3)至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2名女生，3名女生四类情况．
第1类没有女生，有C种；第2类1名女生，有C×C种；第3类2名女生，有C×C种；第4类3名女生，有C×C种．21cnjy.com
由分类加法计数原理知，适合题意的选法共有
C＋C×C＋C×C＋C×C＝1 568种．
(4)第1步，选出适合题意的6名学生，有C×C种；
第2步，给这6名学生安排6种不同的工作，有A种．
由分步乘法计数原理知，适合题意的分工方法共有C×C×A＝504 000种．
(5)用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生的情况即是符合题意的选法．而由题意知不可能6人全是女生，所以只需排除全是男生的情况，所以有C－C＝1 716－28＝1 688种选法．www.21-cn-jy.com
10．解：(1)分两步：第一步，从4名骨科专家中任选2名，有C种选法；
第二步，从除骨科专家的6人中任选4人，有C种选法；所以共有C×C＝90种抽调方法．
(2)第一类：有2名骨科专家，共有C×C种选法；
第二类：有3名骨科专家，共有C×C种选法；
第三类：有4名骨科专家，共有C×C种选法；
根据分类加法计数原理知，共有C×C＋C×C＋C×C＝185种抽调方法．
(3)“至多两名”包括“没有”，“有1名”，“有2名”三种情况：
第一类：没有骨科专家，共有C种选法；
第二类：有1名骨科专家，共有C×C种选法；
第三类：有2名骨科专家，共有C×C种选法；
根据分类加法计数原理知，
共有C＋C×C＋C×C＝115种抽调方法．
1.3.1 二项式定理
自我小测
一、选择题
1．·2n＋·2n－1＋…＋·2n－k＋…＋等于( )．
A．2n B．2n－1 C．3n D．1
2．(2012山东济南一中期末，理2)(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为( )．21世纪教育网版权所有
A．－210 B．210 C．－120i D．－210i
3.展开式中x3的系数为10，则a的值等于( )．
A．－1 B． C．1 D．2
4．(2012安徽高考，理7)(x2＋2)的展开式的常数项是( )．
A．－3 B．－2 C．2 D．3
5．若x＋x2＋…＋xn能被7整除，则x，n的值可能为( )．
A．x＝5，n＝5 B．x＝5，n＝4 C．x＝4，n＝4 D．x＝4，n＝3
二、填空题
6．(x3＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数是__________，第4项的系数是__________．21教育网
7．(2012浙江高考，理14)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝__________.
8．设二项式(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B．若B＝4A，则a的值是________．21cnjy.com
三、解答题
9．设m，n是正整数，整式f(x)＝(1－2x)m＋(1－5x)n中含x的一次项的系数为－16，求含x2项的系数．www.21-cn-jy.com
10．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(1)求展开式的第四项；
(2)求展开式的常数项．
参考答案
1.答案：C 解析：原式＝(2＋1)n＝3n.
2.答案：A 解析：由通项公式得T7＝·(－i)6＝＝－210.
3.答案：D 解析：展开式的通项公式Tr＋1＝·x5－r·＝ar·x5－2r，
令5－2r＝3，∴r＝1.
∵x3的系数为10，∴a＝10.∴a＝2.
4.答案：D 解析：的通项为Tr＋1＝(－1)r＝(－1)r.要使(x2＋2) 的展开式为常数，须令10－2r＝2或0，此时r＝4或5.故(x2＋2)的展开式的常数项是(－1)4×＋2×(－1)5×＝3.
5.答案：B 解析：＋…＋＝(1＋x)n－1，检验得B正确．
6.答案：35 280 解析：因为(x3＋2x)7的展开式的第4项是T4＝(x3)4(2x)3，故该项的二项式系数是＝35，该项的系数是23＝280.21·cn·jy·com
7.答案：10 解析：由x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5可得，
可解得
8.答案：2 解析：Tr＋1＝＝(－a)r，
所以6－r＝3时，r＝2，
所以A＝15a2,6－r＝0时，r＝4，所以B＝15a4，
所以15a4＝4×15a2，所以a2＝4，又a＞0，得a＝2.
9.解：由题意得·(－2)＋·(－5)＝－16.
∴2m＋5n＝16.
又∵m，n是正整数，∴m＝3，n＝2.
∴展开式中含x2项的系数是·(－2)2＋·(－5)2＝12＋25＝37.
10.解：Tr＋1＝.
由前三项系数的绝对值成等差数列，得，解这个方程得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)展开式的第4项为：T4＝.
(2)当＝0，即r＝4时，常数项为.
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
自我小测
一、选择题
1．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数和是( )．
A．2n＋1 B．2n＋1＋1 C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
2．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )．
A．－7 B．7 C．－28 D．28
3．(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．已知展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )．
A．第19项 B．第17项
C．第17项或第19项 D．第18项或第19项
5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )．21世纪教育网版权所有
A．1 B．－1 C．36 D．26
二、填空题
6．(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为__________．21cnjy.com
7．(2012安徽安庆模拟，理14)设(－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为__________．
8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.21·cn·jy·com
三、解答题
9．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．【来源：21·世纪·教育·网】
10．设m，n∈N，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.
(1)当m＝n＝2 013时，f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013，求a0－a1＋a2－a3＋…－a2 013的值．www.21-cn-jy.com
(2)若f(x)展开式中x的系数为20，当m，n变化时，试求x2系数的最小值．
参考答案
1.答案：D 解析：令x＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
2.答案：B 解析：由已知n为偶数，则＋1＝5，
∴n＝8.
∴的展开式通项公式为Tr＋1＝＝(－1)r·，令8－＝0，得r＝6，∴常数项为T7＝(－1)6·×28＝7.21教育网
3.答案：B 解析：令x＝1，得展开式中各项系数之和为(2－)8＝1，
由Tr＋1＝，令r＝8，得T9＝·20x4＝x4，其系数为1，
∴展开式中不含x4的项的系数和为1－1＝0.
4.答案：A 解析：T10＝()n－9·，由T10为常数，得－9＝0，所以n＝36，故第19项系数最大．2·1·c·n·j·y
5.答案：C 解析：由已知展开式中a0，a2，a4，a6大于零，a1，a3，a5小于零．
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36.②
∴①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＝，
①－②得a1＋a3＋a5＝.
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝＝36.
6.答案：2 解析：令x＝1，得a0＝－2.
令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0.
∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.
7.答案：－160x 解析：当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，
由已知M·N＝64，
∴2n＝64，n＝6.
∴第四项T4＝·()3·(－1)3＝－160x.
8.答案：34 解析：由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3，
故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3，即＝2∶3，
所以＝2∶3，
∴.∴n＝34.
9.解：由，得Tr＋1＝，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4，常数项T5＝＝16.
又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.
所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝a4＝54.
所以a＝.
10.解：(1)当m＝n＝2 013时，f(x)＝(1＋2x)2 013＋(1＋x)2 013，
x＝－1，得f(－1)＝(－1)2 013＝－1，即a0－a1＋a2－a3＋…－a2 013＝－1.
(2)由已知＝2m＋n＝20，
∴n＝20－2m.
∴x2的系数为＝2m2－2m＋(20－2m)(19－2m)＝4m2－41m＋190.
当m＝5，n＝10时，f(x)展开式中x2的系数最小，最小值85.
1.3 二项式定理 1
自我小测
1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得( )
A．x4 B．(x－1)4
C．(x＋1)4 D．x5
2．若n展开式的第4项为含x3的项，则n等于( )
A．8 B．9
C．10 D．11
3．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是( )
A．－297 B．－252
C．297 D．207
4．对于二项式n(n∈N*)，有以下四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是( )
A．①与③ B．②与③
C．②与④ D．①与④
5．若n的展开式中的常数项为84，则n＝________.
6．已知9的展开式中x3的系数为，则常数a的值为________．
7．233除以9的余数是多少？
8．已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．
9．已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．
参考答案
1．解析：原式＝(x－1＋1)4＝x4.
答案：A
2．解析：Tk＋1＝C·xn－k·k＝C·(－1)k·xn－2k，k∈{0,1,2，…，n}，
因为当k＋1＝4时，n－2k＝3，所以n＝9.
答案：B
3．解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(1＋x)10展开式中含x5的项的系数为C－C＝207.21教育网
答案：D
4．解析：二项式n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
答案：D
5．解析：Tr＋1＝，令3n－＝0知2n＝3r.又C＝84，得n＝9.
答案：9
6．解析：Tr＋1＝Ca9－r·(－1)r·，
令r－9＝3，得r＝8.
依题意，得C(－1)8×2－4·a9－8＝，解得a＝4.
答案：4
7．解：233＝811＝(9－1)11＝C×911－C×910＋C×99－…＋C×9－C，
∵除最后一项－1外，其余各项都能被9整除，故余数为9－1＝8.
8．解：T5＝C()n－4·24x－8＝，T3＝C()n－2·22x－4＝.
由题意知，＝，
解得n＝10.
Tk＋1＝C()10－k·2kx－2k＝2k ，令5－＝0，解得k＝2，
∴展开式中的常数项为C×22＝180.
9．解：已知二项展开式的通项
Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－k·C
(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，解得n＝10.
(2)令2n－k＝5，
得k＝(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)6×4C＝.
(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．21世纪教育网版权所有
1.3 二项式定理 2
自我小测
1．如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A．144 B．146 C．164 D．461
2．若n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )
A．210 B．252 C．462 D．10
3．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为( )
A．5 B．8
C．10 D．15
4．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是( )
A．－2 048 B．－1 023
C．1 024 D．－1 024
5．在(a－b)20的二项展开式中，与第6项二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
6．若n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
7．若(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 014x2 014(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 014)＝________.(用数字作答)21世纪教育网版权所有
8．对于二项式(1－x)10.
(1)求展开式的中间项是第几项？写出这一项；
(2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；
(3)写出展开式中系数最大的项．
9．在8的展开式中，
(1)系数的绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项．
(3)求系数最大的项．
(4)求系数最小的项．
参考答案
1．解析：由题图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C.21教育网
∴S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C
＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)
＝C＋C－1
＝164.
答案：C
2．解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.21cnjy.com
答案：A
3．解析：(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5.21·cn·jy·com
答案：A
4．解析：(x－1)11＝Cx11＋Cx10·(－1)＋Cx9·(－1)2＋…＋(－1)11，
偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024.
答案：D
5．解析：第6项的二项式系数为C，与它相等的为倒数第6项，即第16项．
答案：B
6．解析：展开式中各项系数之和为
S＝C＋C＋…＋C＝2n＝32，∴n＝5.
Tr＋1＝C(x2)5－rr＝Cx10－2r－3r＝Cx10－5r，
令10－5r＝0，得r＝2，
∴展开式中的常数项为T3＝C＝10.
答案：10
7．解析：在(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 014x2 014中，令x＝0，则a0＝1，
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝(－1)2 014＝1，
故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 014)
＝2 013a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝2 014.
答案：2 014
8．解：(1)由题意可知，r＝0,1,2，…，11，展开式共11项，
所以中间项为第6项，T6＝C(－x)5＝－252x5.
(2)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
(3)∵中间项T6的系数为负，
∴系数最大的项为T5和T7，T5＝Cx4＝210x4，T7＝Cx6＝210x6.
9．解：(1)Tr＋1＝C·()8－rr＝(－1)r·C·2r·.
设第r＋1项系数的绝对值最大，
则
∴
∴5≤r≤6.∵r∈{0,1,2，…，8}，
∴r＝5或r＝6.
∴系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．
∴T5＝C×24·＝1 120x－6.
(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．
则系数最大的项为T7＝C×26·x－11＝1 792x－11.
(4)系数最小的项为T6＝(－1)5C×25.
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
自我小测
1．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是( )21·cn·jy·com
A．l1和l2有交点(s，t)
B．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)
C．l1与l2必定平行
D．l1与l2必定重合
2．已知x，y取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若x，y具有线性相关关系，且回归方程为＝0.95x＋a，则a＝( )
A．0.325 B．2.6 C．2.2 D．0
3．在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型1的相关指数R2为0.98，模型2的相关指数R2为0.80，模型3的相关指数R2为0.50，模型4的相关指数R2为0.25.其中拟合效果最好的模型是( )
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
5．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元．www.21-cn-jy.com
6．若对于变量y与x的10组统计数据的回归模型中，R2＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么 (yi－)2的值为________．2·1·c·n·j·y
7．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：【来源：21·世纪·教育·网】
＝，＝71，x＝79，xiyi＝1 481.
则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．
8．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
(1)求样本中心点；
(2)画出散点图；
(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．
9．为了研究某种细菌繁殖的个数随时间x变化的情况，收集如下数据：
天数x(天)
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y(个)
6
12
25
49
95
190
(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；
(2)观察散点图是否可用曲线拟合，描述解释变量与预报变量之间的关系．
参考答案
1．解析：都过样本中心点(s，t)，但斜率不确定．
答案：A
2．解析：由已知＝2，＝4.5，而回归方程过点(，)．则4.5＝0.95×2＋a，∴a＝2.6.21世纪教育网版权所有
答案：B
3．解析：相关指数R2能够刻画用回归模型拟合数据的效果，相关指数R2的值越接近于1，说明回归模型拟合数据的效果越好．21教育网
答案：A
4．解析：法一：由线性回归直线方程过样本中心(176,176)，排除A，B选项，结合选项可得C为正确选项．21cnjy.com
法二：将表中的五组数值分别代入选项验证，可知y＝88＋x最适合．
答案：C
5．解析：∵当x＝10时，y＝0.8×10＋2＋e＝10＋e，
又∵|e|≤0.5，∴y≤10.5.
答案：10.5
6．解析：依题意有0.95＝1－，所以(yi－)2＝2 410.6.
答案：2 410.6
7．解析：由题意知＝≈－1.818 2，
＝71－(－1.818 2)×≈77.36，＝－1.818 2x＋77.36，所以销量每增加1千箱，单位成本下降1.818 2元．21·世纪*教育网
答案：1.818 2
8．解：(1)＝6，≈79.86，即样本中心点(6,79.86)．
(2)散点图如下图：
(3)因为＝≈4.75，
＝－ ≈51.36，所以＝4.75x＋51.36.
9．解：(1)作出散点图，如图
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条指数型函数曲线的周围，于是令z＝ln y，则
x
1
2
3
4
5
6
z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由计算得＝0.69x＋1.115，
则有＝e0.69x＋1.115.
3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
自我小测
1．下列关于等高条形图的叙述正确的是( )
A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
D．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C．从等高条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D．以上说法都不对
2．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表.
认为作业量大
认为作业量不大
总计
男生
18
9
27
女生
8
15
23
总计
26
24
50
则推断“学生的性别与认为作业量大有关”，这种推断犯错误的概率不超过( )
A．0.01 B．0.005 C．0.025 D．0.00121世纪教育网版权所有
3．利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X与Y有关系”的可信程度．如果k≥5.024，那么就有把握认为“X与Y有关系”的百分比为( )21教育网
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．25% B．75% C．2.5% D．97.5%
4．关于分类变量x与y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( )
A．k的值越大，“X和Y有关系”可信程度越小
D．k的值越小，“X和Y有关系”可信程度越小
C．k的值越接近于0，“X和Y无关”程度越小
D．k的值越大，“X和Y无关”程度越大
5．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：
文化程度与月收入列联表(单位：人)
月收入
2 000元以下
月收入
2 000元及以上
总计
高中文化以上
10
45
55
高中文化及以下
20
30
50
总计
30
75
105
由上表中数据计算得K2的观测值k＝≈6.109，请估计认为“文化程度与月收入有关系”的把握是( )21cnjy.com
A．1% B．99% C．2.5% D．97.5%
6．中国医药学院周医师从事原住民痛风流行率的研究，周医师发现原住民342人中，患有痛风的有40人，其中17位TG(三酸甘油酯)超出正常值160，而非痛风组302人中有66位TG超出正常值．通过计算犯错误的概率认为“TG超出正常值与痛风________关．(填“有”或“无”)21·cn·jy·com
7．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
根据表中数据，得k＝________.
8．某卫生机构对366人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有16例，不发病的有93例，有阴性家族史者糖尿病发病的有17例，不发病的有240例，认为糖尿病患者与遗传有关系的概率为________．www.21-cn-jy.com
9．第16届亚运会于2010年11月12日至27日在中国广州进行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．2·1·c·n·j·y
(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
16
女
6
14
总计
30
(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
参考答案
1．解析：在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：C
2．解析：k＝≈5.059＞5.024.
∵P(K2≥5.024)＝0.025，
∴犯错误的概率不超过0.025.
答案：C
3．解析：k＝5.024对应的0.025是“X和Y有关系”不合理的程度，因此两个分类变量有关系的可信程度约为97.5%.21·世纪*教育网
答案：D
4．解析：k的值越大，X和Y有关系的可能性就越大，也就意味着X与Y无关系的可能性就越小．
答案：B
5．解析：由于6.109＞5.024，故在犯错误的概率不超过0.025的前提下，即有97.5%的把握认为“文化程度与月收入有关系”．www-2-1-cnjy-com
答案：D
6．解析：列出2×2列联表；
痛风
非痛风
合计
TG＞160
17
66
83
TG≤160
23
236
259
合计
40
302
342
计算K2的观测值k为8.191 7，P(K2≥7.879)≈0.005，
这说明在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“TG超出正常值与痛风有关”．
答案：有
7．解析：k＝≈4.844.
答案：4.844
8．解析：列出2×2列联表：
发病
不发病
总计
阳性家族史
16
93
109
阴性家族史
17
240
257
总计
33
333
366
所以随机变量K2的观测值为k＝≈6.067＞5.024，
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为糖尿病患者与遗传有关．
答案：0.975
9．解：(1)
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
6
16
女
6
8
14
总计
16
14
30
(2)假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：
k＝≈1.157 5＜2.706，
因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．
2.1.1 离散型随机变量
自我小测
一、选择题
1．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，随机变量为( )．
A．掷硬币的次数 B．出现正面向上的次数
C．出现正面向上或反面向上的次数 D．出现正面向上与反面向上的次数之和
2．已知下列随机变量：
①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；
②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分；
③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X；
④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是( )．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④
3．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为( )．
A．X＝4 B．X＝5 C．X＝6 D．X≤4
4．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为( )．21cnjy.com
A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
5．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )．21·cn·jy·com
A．20 B．24 C．4 D．18
二、填空题
6．下列变量：
①某信息台1分钟内接到的信息总数ξ是一个随机变量；
②以仪器测量的最小单位来计数，测量的舍入误差ξ是一个随机变量；
③一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置是一个随机变量．
其中是离散型随机变量的是________(填序号)．
7．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是__________．
8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，取后不放回，抽取次数为X，则“X＝3”表示的试验结果是__________．21世纪教育网版权所有
三、解答题
9．王刚同学平时积攒的零钱兑换后有100元，50元，20元，10元各一张，他决定随机抽出两张用来捐款，用X表示抽出两张金额的和，那么写出X可能的取值，并说明所取值表示的随机试验结果．2·1·c·n·j·y
10.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
参考答案
1.答案：B 解析：出现正面向上的次数为0或1，是随机变量．
2.答案：C 解析：③中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量．
3.答案：C 解析：第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则放回2个球…共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.www.21-cn-jy.com
4.答案：D
5.答案：B 解析：由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有＝24(种)．【来源：21·世纪·教育·网】
6.答案：①
7.答案：－300，－100,100,300 解析：若答对0个问题得分－300；
若答对1个问题得分－100；
若答对2个问题得分100；
若问题全答对得分300.
8.答案：前两次均取到正品，第三次取到次品
9.解：X的取值可能为30,60,70,110,120,150.
X＝30，表示抽到10元和20元的两张；X＝60，表示抽到10元和50元的两张；
X＝70，表示抽到20元和50元的两张；
X＝110，表示抽到10元和100元的两张；
X＝120，表示抽到20元和100元的两张；
X＝150，表示抽到50元和100元的两张．
10.解：(1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球2个黑球
取得2个白球1个黑球
取得3个白球
(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，∴η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6，5×3＋6.21教育网
故η的可能取值为{6,11,16,21}，显然η为离散型随机变量．
2.1.2 离散型随机变量的分布列
自我小测
一、选择题
1．设某项试验的成功概率是失败概率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于( )．21·cn·jy·com
A．0 B． C． D．
2．已知随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
则常数c的值为( )．
A． B． C．或 D．以上答案都不对
3．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么( )．
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n＝9
4．设随机变量X的分布列如下，则下列各项中正确的是( )．
X
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.1
0.2
0.4
A．P(X＝1.5)＝0 B．P(X＞－1)＝1 C．P(X＜3)＝0.5 D．P(X＜0)＝021教育网
5．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列概率中等于的是( )．www.21-cn-jy.com
A．P(0＜ξ≤2) B．P(ξ≤1) C．P(ξ＝2) D．P(ξ＝1)
二、填空题
6．设随机变量ξ的概率分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
m
则m＝________，η＝ξ－3的分布列为________．
7．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，c为常数，则P(0.5＜ξ＜2.5)＝________.2·1·c·n·j·y
8．某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加两会的志愿者，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)＝__________.【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
9．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．
分别从甲、乙两组数据中随机取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．
10．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力，求X的分布列．www-2-1-cnjy-com
参考答案
1.答案：C 解析：设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，
∴p＝.
2.答案：A 解析：由离散型随机变量的分布列的性质知9c2－c＋3－8c＝1，
∴c＝或.
又∵∴c＝.
3.答案：C 解析：由ξ＜4知ξ＝1,2,3，
所以P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，
解得n＝10.
4.答案：A 解析：由分布列知X＝1.5不能取到，
∴P(X＝1.5)＝0，正确；而P(X＞－1)＝0.9，P(X＜3)＝0.6，P(X＜0)＝0.1.故A正确．
5.答案：B 解析：由已知得ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.
∴P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
6.答案：
η
－2
－1
0
1
P
7.答案： 解析：由概率和为1，
得1＝，∴c＝.
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.
∴P(0.5＜ξ＜2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
8.答案： 解析：由题意可知ξ的可能取值为0,1,2，且ξ服从超几何分布，即P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2，21·世纪*教育网
∴P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
9.解：由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.21世纪教育网版权所有
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.2-1-c-n-j-y
事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝.21*cnjy*com
同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；
P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
10.解：由题意知X服从超几何分布．
其中，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，P(X＝i)＝ (i＝0,1,2,3,4)，故X的分布列为21cnjy.com
X
0
1
2
3
4
P
2.1 离散型随机变量及其分布列 1
自我小测
1．给出下列四个命题：
①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x2－2x－3＝0根的个数是随机变量．其中正确的是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是( )
A．出现正面的次数
B．出现正面或反面的次数
C．掷硬币的次数
D．出现正、反面次数之和
3．一个袋子中有质量相等的红，黄，绿，白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是( )21教育网
A．小球滚出的最大距离
B．倒出小球所需的时间
C．倒出的三个小球的质量之和
D．倒出的三个小球的颜色的种数
4．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )
A．5 B．9 C．10 D．25
5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果不可能是( )www.21-cn-jy.com
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标
6．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种．2·1·c·n·j·y
7．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是________．2-1-c-n-j-y
8．下列随机变量中是离散型随机变量的有________．
①某鱼塘所养的鲤鱼中，重量在2.5千克以上的条数X；
②直线y＝x上的整点个数X；
③放学后，小明同学离开学校大门的距离X；
④网站中，歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X.
9．某篮球运动员在罚球时，罚中1球得2分，罚不中得0分，该队员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．21·世纪*教育网
(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果．
(2)若记该队员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．
10．王刚同学平时积攒的零钱兑换后有100元，50元，20元，10元各一张，他决定随机抽出两张用来捐款，用X表示抽出两张金额的和，写出X所有可能的取值，并说明所取值表示的随机试验结果．www-2-1-cnjy-com
参考答案
1．解析：①②③是正确的，④中方程x2－2x－3＝0的根有2个是确定的，不是随机变量．
答案：C
2．解析：掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选A.而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，不是随机变量，D中对应的事件是必然事件．
答案：A
3．解析：A小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C三个小球的质量之和是一个定值，可以预见，但结果只有一种，不是随机变量；D倒出的三个小球的颜色的种数是一个离散型随机变量．21cnjy.com
答案：D
4．解析：X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．
答案：B
5．解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．
答案：D
6．解析：后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A＝24种．
答案：24
7．解析：由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k－1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中，第4次击中目标．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：前3次未击中目标，第4次击中目标
8．解析：③中距离X可取某区间内的任意值，∴③中X不是离散型随机变量．①②④的X可以一一列举，且②中的X是无限的．21·cn·jy·com
答案：①②④
9．解：(1)ξ可取0,1,2,3,4,5.表示在5次罚球中分别罚中0次，1次，2次，3次，4次，5次．21世纪教育网版权所有
(2)η可取0,2,4,6,8,10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．
10．解：X的取值可能为30,60,70,110,120,150.
X＝30，表示抽到10元和20元的两张；
X＝60，表示抽到10元和50元的两张；
X＝70，表示抽到20元和50元的两张；
X＝110，表示抽到10元和100元的两张；
X＝120，表示抽到20元和100元的两张；
X＝150，表示抽到50元和100元的两张．
2.1 离散型随机变量及其分布列 2
自我小测
1．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n＝9
2．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X＝k)等于( )21·cn·jy·com
A． B．
C． D．
3．设随机变量ξ的分布列如下：
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
则P(ξ＝10)＝( )
A． B．
C． D．
4．随机变量X所有可能取值的集合为{－2,0,3,5}，且P(X＝－2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝5)＝，则P(X＝0)的值为( )www.21-cn-jy.com
A．0 B． C． D．
5．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，P(Y＜6)的值为( )2·1·c·n·j·y
A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2
6．随机变量Y的分布列如下：
Y
1
2
3
4
5
6
P(Y＝yi)
0.1
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则(1)x＝________；(2)P(Y＞3)＝________；(3)P(1＜Y≤4)＝________.
7．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝mk，k＝1,2,3，则m的值为________．
8．设随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
9．已知随机变量X的分布列为
X
－6
－2
0
1
2
6
P(X＝xi)
求随机变量Y＝X的分布列．
10．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设X＝m2，求X的分布列．
参考答案
1．解析：由ξ＜4知ξ＝1,2,3，
所以P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，
解得n＝10.
答案：C
2．解析：X＝k表示第k次恰好打开，前k－1次没有打开，
∴P(X＝k)＝××…××＝.
答案：B
3．解析：P(ξ＝10)＝1－＝1－＝9.
答案：C
4．解析：由分布列的性质可知，
P(X＝0)＝1－P(X＝－2)－P(X＝3)－P(X＝5)＝.
答案：C
5．解析：Y＜6，即2X－1＜6，∴X＜3.5.X＝1,2,3，P＝0.3.
答案：A
6．解析：(1)由i＝1，得x＝0.1.
(2)P(Y＞3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6)
＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.
(3)P(1＜Y≤4)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)
＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55.
答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.55
7．解析：由离散型随机变量分布列的性质得，
m＝1，解得m＝.
答案：
8．解析：由题意，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＋＋＝1，∴a＝.
∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＝×＝.
答案：
9．解：由于Y＝X，对于X的不同取值－6，－2,0,1,2,6可得到不同的Y，即Y＝－3，－1,0，，1,3.故Y＝X的分布列为21cnjy.com
Y
－3
－1
0
1
3
P(Y＝yi)
10．解：(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．21世纪教育网版权所有
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以X＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝9)＝.21教育网
故X的分布列为
X
0
1
4
9
P
2.2 二项分布及其应用 1
自我小测
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A． B． C． D．
2．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )
A． B． C． D．
3．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )21cnjy.com
A． B．
C． D．
4．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是( )
A． B． C． D．
5．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．21·cn·jy·com
6．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率为________．【来源：21·世纪·教育·网】
7．从1～100这100个整数中，任取1个数，已知取出的1个数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．21·世纪*教育网
8．盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出1个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率．21教育网
9．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：www.21-cn-jy.com
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
参考答案
1．解析：由条件概率公式变形得到的乘法公式，P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
答案：C
2．解析：抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，此时两颗骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件．所求概率为.2·1·c·n·j·y
答案：B
3．解析：设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”，则P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，从而吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)＝＝＝.
答案：D
4．解析：设Ai表示第i次(i＝1,2)取到白球的事件，因为P(A1)＝，P(A1A2)＝×＝，所以P(A2|A1)＝＝.www-2-1-cnjy-com
答案：C
5．解析：该动物由出生算起活到20岁记为事件A，活到25岁记为事件B.
P(A)＝0.8，P(AB)＝0.4，
∴P(B|A)＝＝＝0.5.
答案：0.5
6．解析：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝×，所以P(B|A)＝＝.21世纪教育网版权所有
答案：
7．解析：根据题意可知取出的1个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数共有33个，故所求概率为.2-1-c-n-j-y
答案：
8．解：已知取出的球不是黑球，则它是黄球的概率P＝＝.
9．解：记事件A为最后从2号箱中取出的是红球；
事件B为从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝.
(1)P(A|B)＝＝.
(2)∵P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
2.2 二项分布及其应用 2
自我小测
1．两个射手彼此独立射击一目标，甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，在一次射击中，甲、乙同时射中目标的概率是( )2·1·c·n·j·y
A．0.72 B．0.85
C．0.1 D．不确定
2．一袋中有3个红球，2个白球，另一袋中有2个红球，1个白球，从每袋中任取1个球，则至少取1个白球的概率为( )www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都命中目标的概率是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )21·世纪*教育网
A． B． C． D．
5．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )21*cnjy*com
A． B． C． D．1
6．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．【来源：21cnj*y.co*m】
7．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．【出处：21教育名师】
8．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________，________，________.【版权所有：21教育】
9．有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛．每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是0.4，甲队胜丙队的概率是0.3，乙队胜丙队的概率是0.5，现规定比赛顺序是：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对前场中的败者，若某队连胜四场则比赛结束，求：(1)第四场结束比赛的概率；21教育名师原创作品
(2)第五场结束比赛的概率．
10．计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，.所有考试是否合格相互之间没有影响．2-1-c-n-j-y
(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？
(2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率．
参考答案
1．解析：甲、乙同时射中目标的概率是0.9×0.8＝0.72.
答案：A
2．解析：至少取1个白球的对立事件为从每袋中都取得红球，从第一袋中取1个球为红球的概率为，从另一袋中取1个球为红球的概率为，则至少取1个白球的概率为1－×＝.21世纪教育网版权所有
答案：B
3．解析：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，依题意知，P(A)＝＝，P(B)＝，且A与B相互独立．www-2-1-cnjy-com
故他们都命中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
答案：A
4．解析：该生三项均合格的概率为××＝.
答案：B
5．解析：设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝(A)∪(B)，且A和B互斥．21*cnjy*com
故P(C)＝P((A)∪(B))
＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
答案：C
6．解析：加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.
答案：
7．解析：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为事件，，，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥．
∴至少两颗预报准确的概率为
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
答案：0.902
8．解析：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C，由题意可知A，B，C是相互独立事件．21cnjy.com
由题意可知得
所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.
答案：0.2 0.25 0.5
9．解：(1)∵P(甲连胜4场)＝0.4×0.3×0.4×0.3＝0.014 4.
P(乙连胜4场)＝0.6×0.5×0.6×0.5＝0.09，
∴P(第4场结束比赛)＝0.014 4＋0.09＝0.104 4.
(2)第5场结束比赛即某队从第2场起连胜4场，只有丙队有可能．
∵P(甲胜第一场，丙连胜4场)＝0.4×0.7×0.5×0.7×0.5＝0.4×0.122 5，
P(乙胜第一场，丙连胜4场)＝0.6×0.5×0.7×0.5×0.7＝0.6×0.122 5.
∴P(第5场结束比赛)＝0.4×0.122 5＋0.6×0.122 5＝0.122 5.
10．解：记“甲理论考试合格”为事件A1，“乙理论考试合格”为事件A2，“丙理论考试合格”为事件A3，i＝1,2,3；记“甲上机考试合格”为事件B1，“乙上机考试合格”为事件B2，“丙上机考试合格”为事件B3.21教育网
(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，则P(A)＝P(A1)P(B1)＝×＝，P(B)＝P(A2)P(B2)＝×＝，P(C)＝P(A3)P(B3)＝×＝，有P(B)＞P(C)＞P(A)，故乙获得合格证书的可能性最大．21·cn·jy·com
(2)记“三人计算机考试都获得合格证书”为事件D.
P(D)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
所以，这三人计算机考试都获得合格证书的概率是.
2.2 二项分布及其应用 3
自我小测
1．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现(k＋1)次正面的概率，那么k的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知某班有6个值日小组，每个值日小组中有6名同学，并且每个小组中男生的人数相等，现从每个小组中各抽一名同学参加托球跑比赛，若抽出的6人中至少有1名男生的概率为，则该班的男生人数为( )21cnjy.com
A．24 B．18 C．12 D．6
3．已知随机变量ξ～B，则使P(ξ＝k)取得最大值的k值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．某一批种子，如果每1粒发芽的概率为，播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A． B．
C． D．
5．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为( )21世纪教育网版权所有
A．5
B．C×5
C．C×3
D．C×C×5
6．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于______．
7．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为______．
8．下列说法正确的是______．
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；②某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P)；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.21·cn·jy·com
9．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．2·1·c·n·j·y
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．
10．如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一位儿童和一位成年人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成年人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．
(1)求某个家庭获奖的概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X，求X的分布列．【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案
1．解析：根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得C×k×5－k＝C×k＋1×4－k，解得k＝2.www.21-cn-jy.com
答案：C
2．解析：设每个小组抽一名同学为男同学的概率为p，则由已知1－(1－p)6＝，即(1－p)6＝，解得p＝，所以每个小组有6×＝4名男生，全班共有4×6＝24名男生．
答案：A
3．解析：因为ξ～B，那么P(ξ＝k)＝C×k×9－k，求出各概率值，知当k＝2时其值最大．21·世纪*教育网
答案：A
4．解析：∵每1粒发芽的概率为定值，∴播下3粒种子相当于做了3次试验，设发芽的种子数为X，则X服从二项分布，即X～B，∴P(X＝2)＝C×2×1＝.
答案：D
5．解析：质点每次只能向上或向右移动，且概率均为，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P移动5次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次)的概率为C×2×3＝C×5.www-2-1-cnjy-com
答案：B
6．解析：P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝2×2，解得p＝或p＝.
答案：或
7．解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x＝1处的概率为C×2×1＝.2-1-c-n-j-y
答案：
8．解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．21*cnjy*com
答案：①②
9．解：依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝C×i×4－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)＝C×2×2＝.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.【来源：21cnj*y.co*m】
由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C×3×＋C×4＝.
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
10．解：(1)某个家庭在游戏中获奖记为事件A，则符合获奖条件的得分包括(5,3)，(5,5)，(3,5)共3种情况，21教育网
∴P(A)＝×＋×＋×＝.∴某个家庭获奖的概率为.
(2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验．
∴X～B.∴P(X＝0)＝C×0×5＝，
P(X＝1)＝C×1×4＝，
P(X＝2)＝C×2×3＝，
P(X＝3)＝C×3×2＝，
P(X＝4)＝C×4×1＝，
P(X＝5)＝C×5×0＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
2.3 离散型随机变量的均值与方差 1
自我小测
1．已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，则E(η)等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
2．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )21世纪教育网版权所有
A． B． C．2 D．
3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则E(ξ)＝( )21教育网
A．1.48 B．0.76 C．0.24 D．1
4．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝( )21cnjy.com
A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.222·1·c·n·j·y
5．一高考考生咨询中心有A，B，C三条咨询热线，已知某一时刻热线A，B占线的概率均为0.5，热线C占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条占线，E(ξ)＝______.【来源：21·世纪·教育·网】
6．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为______．
7．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为______．www.21-cn-jy.com
8．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：21·世纪*教育网
(1)抽取次数X的分布列；
(2)抽取次数X的均值．
9．甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的均值．www-2-1-cnjy-com
参考答案
1．解析：因为ξ～B，所以E(ξ)＝.
又E(ξ)＝15，则n＝30.所以η～B.
故E(η)＝30×＝10.
答案：B
2．解析：X的可能取值为2,3，则
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
∴E(X)＝2×＋3×＝.
答案：D
3．解析：ξ的分布列为
ξ
1
3
P
0.76
0.24
E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.
答案：A
4．解析：P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
答案：B
5．解析：随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3，依题意知P(ξ＝0)＝0.15，P(ξ＝1)＝0.4，P(ξ＝2)＝0.35，P(ξ＝3)＝0.1.∴E(ξ)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4.21·cn·jy·com
答案：1.4
6．解析：由
解得y＝0.4.
答案：0.4
7．解析：设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，
则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，
E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48.
答案：48
8．解：(1)由题意知，X取值为1,2,3.
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝×＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，
9．解：由题意，X的所有可能值是3,4,5.
P(X＝3)＝C×3＋C×3＝，
P(X＝4)＝C×2××＋C×2××＝.
P(X＝5)＝C××2×＋C×2×2×＝.
∴X的分布列为
X
3
4
5
P
∴E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
2.3 离散型随机变量的均值与方差
自我小测
1．已知X的分布列为
X
1
2
3
4
P
则D(X)的值为( )
A． B． C． D．
2．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是( )21·cn·jy·com
A．E(X1)＝12，D(X1)＝1
B．E(X1)＝7，D(X1)＝1
C．E(X1)＝12，D(X1)＝2
D．E(X1)＝7，D(X1)＝2
3．已知X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝1.6，则n，p的值分别为( )
A．100,0.8 B．20,0.4
C．10,0.2 D．10,0.8
4．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于( )
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
5．某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数ξ的标准差为________，在5次投篮中(假设各次投篮相互之间没有影响)命中次数η的方差是________．
6．若p为非负实数，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
－p
p
则E(X)的最大值是______，D(X)的最大值是________．
7．某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团队可任选其中一条线路，则选择a线路旅游团数ξ的数学期望E(ξ)＝________.
8．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)．21世纪教育网版权所有
9．数字1,2,3,4,5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合，(1)求巧合数ξ的分布列；(2)求巧合数ξ的期望与方差．www.21-cn-jy.com
参考答案
1．解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
∴D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
答案：C
2．解析：E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2.
答案：D
3．解析：由题意可得解得q＝0.8，p＝0.2，n＝10.
答案：C
4．解析：随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
P
1－m
m
∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.
∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
答案：D
5．解析：依题意知，ξ服从两点分布，η服从二项分布，
即η～B(5,0.8)，
所以D(ξ)＝0.8×(1－0.8)＝0.16，
所以＝0.4.
D(η)＝5×0.8×(1－0.8)＝0.8.
答案：0.4 0.8
6．解析：由分布列性质可知p∈，
则E(X)＝p＋1∈，故E(X)的最大值为.
又D(X)＝(p＋1)2＋p(p＋1－1)2＋(p＋1－2)2＝－p2－p＋1＝－2＋，
∵p∈，∴当p＝0时，D(X)取得最大值1.
答案： 1
7．解析：由题意知ξ的可能取值有0,1,2,3，并且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.21cnjy.com
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
8．解：由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
9．解：(1)ξ可能取值为0,1,2,3,5，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝5)＝，所以巧合数ξ的分布列为2·1·c·n·j·y
ξ
0
1
2
3
5
P
(2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1，D(ξ)＝1×＋0＋1×＋4×＋16×＝1.21教育网
2.4 正态分布
自我小测
1．一批电阻的阻值X服从正态分布N(1 000,52)(Ω)．今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为( )
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂
D．甲电阻箱不可出厂，乙电阻箱可出厂
2．设随机变量X～N(1,22)，则D＝( )
A．4 B．2 C． D．1
3．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )21世纪教育网版权所有
A．997 B．954 C．819 D．683
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于( )
A．0.84 B．0.32 C．0.16 D．0.08
5．正态分布的概率密度函数P(x)＝在(3,7]内取值的概率为______．
6．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为______．21教育网
7．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为____________．
8．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：21·cn·jy·com
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在80～90分内的学生占多少？
9．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数百分比．
参考答案
1．解析：∵X～N(1 000,52)，
∴μ＝1 000，σ＝5，∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985，
μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015.
∵1 011∈(985,1 015)，982(985,1 015)，
∴甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂．
答案：C
2．解析：因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1.
答案：D
3．解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，
故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，
从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.
答案：D
4．解析：由题意P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＞4)＝0.16.又μ＝2，P(ξ≤0)＝P(ξ＞4)＝0.16.21cnjy.com
答案：C
5．解析：由题意可知X～N(5,4)，且μ＝5，σ＝2，
∴P(3＜X≤7)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6.
答案：0.682 6
6．解析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.www.21-cn-jy.com
答案：1
7．解析：因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，
D(Y)＝9DX＝62.
∴Y～N(2,62)．
答案：Y～N(2,62)
8．解：(1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10.
在60～80分之间的学生的比例为P(70－10＜X≤70＋10)＝0.682 6，
所以不及格的学生的比例为×(1－0.682 6)＝0.158 7＝15.87%，
即成绩不及格的学生占15.87%.
(2)成绩在80～90分内的学生的比例为
[P(70－2×10＜X≤70＋2×10)－P(70－10＜x≤70＋10)]
＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9＝13.59%，
即成绩在80～90分内的学生占13.59%.
9．解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，
结合图象可知，μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为
P(x)＝
＝，x∈(－∞，＋∞)．
(2)∵P(7 500＜ξ≤8 500)
＝P(8 000－500＜ξ≤8 000＋500)＝0.682 6.
∴P(8 000＜ξ≤8 500)＝P(7 500＜ξ≤8 500)＝0.341 3＝34.13%.
即农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数占总体的34.13%.
