22.3 实际问题与二次函数课件
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(共54张PPT)
（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：
当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）求其解析式；
当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式
求其解析式；
当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）,（x2，0）时，可用交点式 求其解析式.
（2）对于任意一个二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0），可以利用配方把它化为顶点式，进而写出顶点坐标和对称轴.
（3）求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点，即令y=0即可；其与x轴交点即为（x1，0）、（x2，0）； 求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点，即令x=0即可；其与y轴交点即为（0，c）.
（4）将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值.
创设情境 明确目标
自主学习 指向目标
2.会运用二次函数知识解决其他简单的实际问题.
1.会建立恰当的平面直角坐标系，构建二次函
数模型，解决抛物线拱桥问题．
合作探究 达成目标
探究点一 用二次函数解决拱桥类问题
探究3：图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
阅读教材P51探究3，完成下列填空：
1. 以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________．
2. 一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为__________，
当水位线在AB位置时，水面宽4 m，这时水面离桥顶的高度为_____m；当桥拱顶点到水面距离为2 m时，水面宽为_____m，A点坐标为______________，B点坐标为_____________，
则函数解析式为_______________．
探究一：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题
活动2
自学互研，生成能力
重点知识★
4
2
（-2，-2）
（2，-2）
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
合作探究 达成目标
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
我们来比较一下
（0，0）
（4，0）
（2，2）
（-2，-2）
（2，-2）
（0，0）
（-2，0）
（2，0）
（0，2）
（-4，0）
（0，0）
（-2，2）
谁最合适
y
y
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
合作探究 达成目标
解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的
二次函数的解析式为:
此时,抛物线的顶点为(0,2)
合作探究 达成目标
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即:抛物线过点(2,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
此时,抛物线的顶点为(2,2)
合作探究 达成目标
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
∴这时水面的宽度为:
合作探究 达成目标
1.理解问题;
回顾上一节“最大利润”和本节“桥梁建筑”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.用数学求解;
5.检验结果的合理性
“二次函数应用”的思路
合作探究 达成目标
1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是___________.
2.在上题中，若水面下降，宽度变为2米，此时水面离涵洞顶点的距离为_______米。
例、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是多少？
探究二：建立二次函数模型，解决其它实际问题
解：当y=3.05时， +3.5=3.05
解得：
所以 L=3+1.5=4.5
则他与篮底的距离L是4.5m.
合作探究 达成目标
探究点二 用二次函数解决生活中的实际问题
例：飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行的时间t(单位:s)的函数关系式是s=60t-1.5t2 ，飞机着陆后滑行多少秒才能停下来？
思考：飞机从着陆的一瞬间开始计时，到滑行到最远距离停下来所用的时间即为所求，也就是使S取得什么值时的t的值？
解： s=60t-1.5t2
=-1.5(t-20)2+600
∴当t=20时，s最大，此时飞机才能停下来。
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解决
解题步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
实际问题
合作探究 达成目标
探究点二 用二次函数解决生活中的实际问题
600
飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行的时间t(单位:s)的函数关系式是s=60t-1.5t2 ，飞机着陆后滑行_________m才能停下来.
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
D
B
y=-2x2
练习2. 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，求校门的高．(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)
【思路点拨】先建立坐标系，然后根据线段的长度写出点的坐标，再设出函数的解析式，利用点的坐标求出解析式.
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：以大门的地面为x轴，大门的正中间为y轴建立直角坐标系，
由题意可知抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点．
∵ 抛物线关于y轴对称，
可设解析式为y＝ax2＋c，
则
解得
所以抛物线的函数解析式为
∴ 顶点坐标为(0， )，
则校门的高为 ≈9.1(米)
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
达标检测 反思目标
102
练习. 有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为_________________ .
解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0），
∴ y=ax（x- 40）①
又∵ 函数过点（20，16）代入①得20a（20-40）=16，
解得
∴ 抛物线的解析式为 .
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例2. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．
问：此船能否顺利通过这座拱桥？
【思路点拨】
（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．
（2）先求x=3米时y的值，用拱桥最大高度减去｜y｜，然后与3.6相比较即可得出答案．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10 a=100a，n+3=5 a=25a，
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，
∴ 当x=3时，
∴ 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
即
解得
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习. 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.
(1)建立如图的坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)若洪水到来时水位以0.2 m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？
解：(1)由题意知点D的横坐标为5，点B的横坐标为10，EF＝3，
设OE＝h，则OF＝h－3，则点B(10，－h)，D(5，3－h)．
设抛物线的函数解析式为y=ax2，
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
(2) ∵B(10，-4)，
∴ 拱桥顶O到CD的距离为4，
∴ 小时．
所以再过20 h就能到达桥面.
则
解得
所以抛物线的函数解析式为
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例3．在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面 米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为原点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）
（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）求羽毛球落地点N离球网的水平距离（即NC的长）；
（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
活动2
提升型例题
【思路点拨】
（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0， ）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式．
（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ON﹣OC即可得出答案．
（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-5）2+3，将点（0， ）代入
可得：
（2）当y=0时，
解得：
故抛物线的解析式为：
解得：
即
∵ OC=6
∴ CN=
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，
此时
解得：m1=2，m2=8，
∵ 运动员接球高度不够，
∴ 2＜m＜8，
∵ OC=6，乙运动员接球时不能触网（接不到），
∴ m的取值范围为：6＜m＜8．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习. 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式 表示．经过_______s，火箭达到它的最高点．
【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；
【解题过程】解：配方可得 ,
因此当t=15秒时火箭达到最高点.
15
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例4．某桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2m（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱），CO=1m，FG=2m.
（1）求经过A、B、C三点的抛物线相应的二次函数关系式；
（2）求柱子AD的高度．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
(2)因为点A的横坐标为－8，当x=－8时，y＝5.
所以柱子AD的高度为5米．
解：(1)由题意可知：点C坐标为(0，1)，点F坐标为(－4，2)，设抛物线解析式为y＝ax2＋c，把这两个点代入函数解析式可以解得抛物线解析式y＝ x2＋1.
（1）求经过A、B、C三点的抛物线相应的二次函数关系式；
（2）求柱子AD的高度．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例5．如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
活动3
探究型例题
图1
图2
【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF的宽度.
依题意，得B(10，0)．
∴ a×10 ＋6＝0.
解得a＝－0.06.
即
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为
∴DF＝5，EF＝10.
即水面宽度为10米．
当y＝4.5时， ，解得
例5．如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（1）设抛物线对应的函数关系式为
因为抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，
所以抛物线过点A（-3，-3），
代入得-3=9a，解得
所以函数关系式为
练习. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（2）如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，
将x=1.5代入抛物线方程，得y=-0.75，
此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，
即4.25＜4.5，从而此车不能通过此隧道．
练习. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．
（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式．(不要求写自变量x的取值范围)
(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式．(不要求写自变量x的取值范围)
解： (1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7，3.2)，
设抛物线解析式为y＝a(x－7)2＋3.2
将点C(0，1.8)代入得49a＋3.2＝1.8，
解得
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
解：(2)由题意当x＝9.5时，
故这次她可以拦网成功．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)
解：(3)设抛物线解析式为y＝a(x－7)2＋h，将点C(0，1.8)代入得49a＋h＝1.8，
由题意得
解得
则排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2米的C处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a(x-6) +h。已知球网AB与O点的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界D距离O点18米。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式。
（2）当h=2.6时，球能否过网？会不会出界？说明理由。
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
（1）
（2）当x=9时，y=2.45>2.43，所以能过网；当y=0时，
(3)当球正好过（18,0）时，抛物线还过点（0,2），代入解析式得
当球正好能过网，此时抛物线过（9,2.43），还过点（0，2），代入解析得
练习. 如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 的一部分．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由
解：(1)配方得
当x＝ 时，y有最大值 ，
∴ 演员弹跳离地面的最大高度是4.75米.
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习. 如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 的一部分．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由
解：(2)表演成功．
理由：把x＝4代入解析式得y＝3.4，
即点B(4，3.4)在抛物线 上，所以表演成功.
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
知识梳理
1. 解拱桥问题、投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题时，一般分为以下五个步骤：
（1）建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；
（2）确定解析式的类型，若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2 ；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k；
（3）根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；
（4）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：
当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）求其解析式；
知识梳理
当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式
求其解析式；
当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）,（x2，0）时，可用交点式 求其解析式.
（5）利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.
2. 建立坐标系之后，根据线段的长度写出点的坐标，把点的坐标代入到相关的解析式中求出解析式，利用解析式求解相关问题.
重难点归纳
1.根据实际问题，建立适当的直角坐标系.
2.根据给定的条件,确定二次函数的解析式，求出与问题相关的点的坐标.
3.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.
上交作业：教科书第42页第11.12题 ．
课后作业：“学生用书”的“课后作业”部分．
（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：
当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）求其解析式；
当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式
求其解析式；
当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）,（x2，0）时，可用交点式 求其解析式.
（2）对于任意一个二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0），可以利用配方把它化为顶点式，进而写出顶点坐标和对称轴.
（3）求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点，即令y=0即可；其与x轴交点即为（x1，0）、（x2，0）； 求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点，即令x=0即可；其与y轴交点即为（0，c）.
（4）将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值.
创设情境 明确目标
自主学习 指向目标
2.会运用二次函数知识解决其他简单的实际问题.
1.会建立恰当的平面直角坐标系，构建二次函
数模型，解决抛物线拱桥问题．
合作探究 达成目标
探究点一 用二次函数解决拱桥类问题
探究3：图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
阅读教材P51探究3，完成下列填空：
1. 以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________．
2. 一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为__________，
当水位线在AB位置时，水面宽4 m，这时水面离桥顶的高度为_____m；当桥拱顶点到水面距离为2 m时，水面宽为_____m，A点坐标为______________，B点坐标为_____________，
则函数解析式为_______________．
探究一：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题
活动2
自学互研，生成能力
重点知识★
4
2
（-2，-2）
（2，-2）
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
合作探究 达成目标
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
我们来比较一下
（0，0）
（4，0）
（2，2）
（-2，-2）
（2，-2）
（0，0）
（-2，0）
（2，0）
（0，2）
（-4，0）
（0，0）
（-2，2）
谁最合适
y
y
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
合作探究 达成目标
解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的
二次函数的解析式为:
此时,抛物线的顶点为(0,2)
合作探究 达成目标
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即:抛物线过点(2,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
此时,抛物线的顶点为(2,2)
合作探究 达成目标
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
∴这时水面的宽度为:
合作探究 达成目标
1.理解问题;
回顾上一节“最大利润”和本节“桥梁建筑”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.用数学求解;
5.检验结果的合理性
“二次函数应用”的思路
合作探究 达成目标
1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是___________.
2.在上题中，若水面下降，宽度变为2米，此时水面离涵洞顶点的距离为_______米。
例、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是多少？
探究二：建立二次函数模型，解决其它实际问题
解：当y=3.05时， +3.5=3.05
解得：
所以 L=3+1.5=4.5
则他与篮底的距离L是4.5m.
合作探究 达成目标
探究点二 用二次函数解决生活中的实际问题
例：飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行的时间t(单位:s)的函数关系式是s=60t-1.5t2 ，飞机着陆后滑行多少秒才能停下来？
思考：飞机从着陆的一瞬间开始计时，到滑行到最远距离停下来所用的时间即为所求，也就是使S取得什么值时的t的值？
解： s=60t-1.5t2
=-1.5(t-20)2+600
∴当t=20时，s最大，此时飞机才能停下来。
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解决
解题步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
实际问题
合作探究 达成目标
探究点二 用二次函数解决生活中的实际问题
600
飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行的时间t(单位:s)的函数关系式是s=60t-1.5t2 ，飞机着陆后滑行_________m才能停下来.
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
D
B
y=-2x2
练习2. 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，求校门的高．(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)
【思路点拨】先建立坐标系，然后根据线段的长度写出点的坐标，再设出函数的解析式，利用点的坐标求出解析式.
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：以大门的地面为x轴，大门的正中间为y轴建立直角坐标系，
由题意可知抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点．
∵ 抛物线关于y轴对称，
可设解析式为y＝ax2＋c，
则
解得
所以抛物线的函数解析式为
∴ 顶点坐标为(0， )，
则校门的高为 ≈9.1(米)
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
达标检测 反思目标
102
练习. 有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为_________________ .
解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0），
∴ y=ax（x- 40）①
又∵ 函数过点（20，16）代入①得20a（20-40）=16，
解得
∴ 抛物线的解析式为 .
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例2. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．
问：此船能否顺利通过这座拱桥？
【思路点拨】
（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．
（2）先求x=3米时y的值，用拱桥最大高度减去｜y｜，然后与3.6相比较即可得出答案．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10 a=100a，n+3=5 a=25a，
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，
∴ 当x=3时，
∴ 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
即
解得
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习. 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.
(1)建立如图的坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)若洪水到来时水位以0.2 m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？
解：(1)由题意知点D的横坐标为5，点B的横坐标为10，EF＝3，
设OE＝h，则OF＝h－3，则点B(10，－h)，D(5，3－h)．
设抛物线的函数解析式为y=ax2，
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
(2) ∵B(10，-4)，
∴ 拱桥顶O到CD的距离为4，
∴ 小时．
所以再过20 h就能到达桥面.
则
解得
所以抛物线的函数解析式为
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例3．在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面 米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为原点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）
（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）求羽毛球落地点N离球网的水平距离（即NC的长）；
（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
活动2
提升型例题
【思路点拨】
（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0， ）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式．
（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ON﹣OC即可得出答案．
（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-5）2+3，将点（0， ）代入
可得：
（2）当y=0时，
解得：
故抛物线的解析式为：
解得：
即
∵ OC=6
∴ CN=
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，
此时
解得：m1=2，m2=8，
∵ 运动员接球高度不够，
∴ 2＜m＜8，
∵ OC=6，乙运动员接球时不能触网（接不到），
∴ m的取值范围为：6＜m＜8．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习. 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式 表示．经过_______s，火箭达到它的最高点．
【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；
【解题过程】解：配方可得 ,
因此当t=15秒时火箭达到最高点.
15
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例4．某桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2m（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱），CO=1m，FG=2m.
（1）求经过A、B、C三点的抛物线相应的二次函数关系式；
（2）求柱子AD的高度．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
(2)因为点A的横坐标为－8，当x=－8时，y＝5.
所以柱子AD的高度为5米．
解：(1)由题意可知：点C坐标为(0，1)，点F坐标为(－4，2)，设抛物线解析式为y＝ax2＋c，把这两个点代入函数解析式可以解得抛物线解析式y＝ x2＋1.
（1）求经过A、B、C三点的抛物线相应的二次函数关系式；
（2）求柱子AD的高度．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例5．如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
活动3
探究型例题
图1
图2
【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF的宽度.
依题意，得B(10，0)．
∴ a×10 ＋6＝0.
解得a＝－0.06.
即
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为
∴DF＝5，EF＝10.
即水面宽度为10米．
当y＝4.5时， ，解得
例5．如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（1）设抛物线对应的函数关系式为
因为抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，
所以抛物线过点A（-3，-3），
代入得-3=9a，解得
所以函数关系式为
练习. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（2）如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，
将x=1.5代入抛物线方程，得y=-0.75，
此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，
即4.25＜4.5，从而此车不能通过此隧道．
练习. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．
（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式．(不要求写自变量x的取值范围)
(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式．(不要求写自变量x的取值范围)
解： (1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7，3.2)，
设抛物线解析式为y＝a(x－7)2＋3.2
将点C(0，1.8)代入得49a＋3.2＝1.8，
解得
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
解：(2)由题意当x＝9.5时，
故这次她可以拦网成功．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)
解：(3)设抛物线解析式为y＝a(x－7)2＋h，将点C(0，1.8)代入得49a＋h＝1.8，
由题意得
解得
则排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2米的C处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a(x-6) +h。已知球网AB与O点的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界D距离O点18米。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式。
（2）当h=2.6时，球能否过网？会不会出界？说明理由。
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
（1）
（2）当x=9时，y=2.45>2.43，所以能过网；当y=0时，
(3)当球正好过（18,0）时，抛物线还过点（0,2），代入解析式得
当球正好能过网，此时抛物线过（9,2.43），还过点（0，2），代入解析得
练习. 如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 的一部分．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由
解：(1)配方得
当x＝ 时，y有最大值 ，
∴ 演员弹跳离地面的最大高度是4.75米.
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习. 如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 的一部分．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由
解：(2)表演成功．
理由：把x＝4代入解析式得y＝3.4，
即点B(4，3.4)在抛物线 上，所以表演成功.
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
知识梳理
1. 解拱桥问题、投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题时，一般分为以下五个步骤：
（1）建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；
（2）确定解析式的类型，若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2 ；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k；
（3）根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；
（4）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：
当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）求其解析式；
知识梳理
当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式
求其解析式；
当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）,（x2，0）时，可用交点式 求其解析式.
（5）利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.
2. 建立坐标系之后，根据线段的长度写出点的坐标，把点的坐标代入到相关的解析式中求出解析式，利用解析式求解相关问题.
重难点归纳
1.根据实际问题，建立适当的直角坐标系.
2.根据给定的条件,确定二次函数的解析式，求出与问题相关的点的坐标.
3.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.
上交作业：教科书第42页第11.12题 ．
课后作业：“学生用书”的“课后作业”部分．
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