1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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课程目标
学习脉络
1．会分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能知道两个原理的区别与联系．
2．能用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决一些实际问题．
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
思考1完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？
提示：m1＋m2＋…＋mn
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
思考2完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？
提示：m1×m2×…×mn
1.2 排列与组合 1
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课程目标
学习脉络
1．通过实例正确理解排列的意义，能利用树形图写出简单问题的所有排列．
2．理解和掌握排列和排列数公式，能应用排列及排列数公式解决某些实际问题．
3．掌握几种具有限制条件的题型，如团体排列、插空问题等，掌握解决有关排列问题的一些方法，如直(间)接法、捆绑法，优先考虑特殊位置(元素)等.
1．排列的相关概念
(1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．
思考1如何理解排列及相同排列的概念？
提示：排列的定义包括两个方面：①取出元素；②按一定顺序排列．
两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的顺序也相同．
2．排列数与排列数公式
(1)排列数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
(2)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．
(3)全排列和阶乘：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．即有A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1.就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示．所以n个不同元素的全排列数公式可以写成A＝n！.另外，我们规定0！＝1.所以A＝.
思考2“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念？
提示：不是同一概念．“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数”；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”．例如，从“a，b，c”中任取2个元素的排列有ab，ba，ac，ca，bc，cb共6个，6就是从a，b，c中任取2个元素的排列数．
1.2 排列与组合 2
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课程目标
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1．能分析组合的意义，并能正确区分排列与组合．
2．能记住组合数的计算公式，组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题．
3．能合理进行分类、分步，综合应用排列组合知识解决实际问题.
1．组合的相关概念
(1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)相同组合：只要组合的元素完全相同，就是相同的组合，与元素顺序无关．
思考1排列与组合的共同点和不同点分别是什么？
提示：共同点：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．
不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
2．组合数与组合数公式
(1)组合数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
(2)组合数公式：C＝＝＝.
规定C＝1.
思考2“组合”与“组合数”是否为同一个概念？
提示：不是同一概念．“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m个元素合成一组”；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数”．例如，从“a，b，c”中任取2个元素的组合有ab，bc，ac共3个，3就是从a，b，c中任取2个元素的组合数．
3．组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＝C＋C.
思考3 (1)C＝________.
(2)C＋C＝________.
提示：(1)C＝C＝＝190.
(2)C＋C＝C＝＝161 700.
1.3 二项式定理 1
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1．能用计数原理证明二项式定理．
2．理解二项式定理及二项展开式的特征，能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．正确运用二项展开式展开或化简某些二项式，运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数．
4．能解决与二项式定理有关的简单问题.
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈)叫做二项式系数．
思考1如何理解二项式定理？
提示：(1)项数：n＋1项．(2)指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0，同时b的指数由0递增到n.
2．二项展开式的通项
(a＋b)n展开式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．
思考2 如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数？
提示：某一项的系数与该项的二项式系数不是一个概念，C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x)3的二项展开式中第3项的二项式系数为C，而该项的系数为C×22＝12.
1.3 二项式定理 2
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1．能认识杨辉三角，并能利用它写出(a＋b)n次数不是很大时的展开式．
2．能记住二项式系数的性质，并能灵活运用解决相关问题．
3．会用赋值法求展开式系数的和.
1．杨辉三角
(a＋b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式：
上面的二项式系数表称为“杨辉三角”．
特点：(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
思考1利用杨辉三角，写出(a＋b)7的展开式．
提示：a7＋7a6b＋21a5b2＋35a4b3＋35a3b4＋21a2b5＋7ab6＋b7.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C.
(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值．
思考2(a＋b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n＝( )
A．6 B．7 C．8 D．9
提示：由已知C＝C可知，n＝1＋5＝6.
3．各二项式系数的和
C＋C＋C＋…＋C＝2n.
思考3 你能证明C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1吗？
提示：∵(1＋1)n＝C＋C＋C＋…＋C＝2n，
(1－1)n＝C－C＋C－…＋(－1)nC＝0，
∴C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
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1．能知道用回归分析处理两个变量之间的不确定关系的统计方法．
2．会利用散点图分析两个变量是否存在相关关系．会用残差及R2来刻画线性回归模型的拟合效果．
3．能记住建立回归模型的方法和步骤；能知道如何利用线性回归模型求非线性回归模型．
1．回归分析
(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．
(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝， ＝－ ，其中，(，)称为样本点的中心．
思考1 如果记录了x，y的几组数据分别为(0,1)，(1,3)，(2,5)，(3,7)，则y关于x的线性回归直线必过点( )
A．(2,2) B．(1.5,2) C．(1,2) D．(1.5,4)
提示：∵＝＝1.5，＝＝4，
∴样本点的中心为(1.5,4)，而回归直线过样本点的中心．
2．随机误差
(1)随机误差的均值E(e)＝0，方差D(e)＝σ2＞0.
(2)线性回归模型的完整表达式为在线性回归模型中，随机误差e的方差σ2越小，用bx＋a预报真实值y的精度越高．
(3)对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为＝yi－＝yi－xi－ ，i＝1,2，…，n， i称为相应于点(xi，yi)的残差．
(4)以样本编号为横坐标，残差为纵坐标作出的图形称为残差图．
(5)我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是R2＝1－.
(6)R2越大，意味着残差平方和 (yi－)2越小，也就是说，模型拟合的效果越好．
思考2 如何刻画回归模型拟合效果？
提示：
类别
残差图法
残差平方和法
R2法
特点
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高
残差平方和(yi－)2越小，模型的拟合效果越好
R2＝1－表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好
3．建立回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．
(2)画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．
(3)由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y＝ x＋ )．
(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
思考3 用回归方程求预报值应注意哪些问题？
提示：(1)回归方程只适用于所研究的样本的总体．
(2)所建立的回归方程一般都有时间性．
(3)样本的取值范围会影响回归方程的适用范围．
(4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．
3.2独立性检验的基本思想及其初步应用
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课程目标
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1．能用等高条形图反映两个分类变量之间是否有关系．
2．能够根据条件列出列联表并会由公式求r.
3．能知道独立性检验的基本思想和方法.
1．数据的表示方法
(1)变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
(2)用图表列出两个分类变量的频数表，称为列联表．
(3)与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．
思考1 班级与成绩2×2列联表：
优秀
不优秀
总计
甲班
10
35
45
乙班
7
38
p
总计
m
n
q
表示数据m，n，p，q的值应分别为( )
A．70,73,45,188 B．17,73,45,90
C．73,17,45,90 D．17,73,45,45
提示：B
2．独立性检验
(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
(2)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}{y1，y2}，其样本频数列联表如下：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
思考2 如何理解独立性检验的思想？
提示：独立性检验的基本思想类似于反证法．要判断“两个分类变量有关系”，首先假设结论不成立，即H0：“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量K2，应该很小．如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则断言H0不成立，即认为“两个分类变量有关系”；如果观测值k很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝H0.
2.1 离散型随机变量及其分布列 1
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课程目标
学习脉络
1．会分析随机变量的意义，能知道随机变量与函数的区别与联系．
2．能区分离散型与非离散型随机变量，能举出离散型随机变量的例子．
3．能理解随机变量所表示的试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．
1．随机变量
(1)定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示法：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
思考1 随机变量与函数有何区别与联系？
提示：联系：两者均是特殊的映射．
区别：随机变量把试验的结果映射为实数，而函数是把一个非空数集映射到另一个非空数集上．
2．离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
思考2 离散型随机变量有什么特点？
提示：(1)随机变量的取值能一一列出，这是判定随机变量是否为离散型随机变量的关键．
(2)离散型随机变量的取值可以是有限个，如取值1,2,3，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….
2.1 离散型随机变量及其分布列 2
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课程目标
学习脉络
1．能知道取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．
2．会求出简单的离散型随机变量的分布列并能记住分布列的性质．
3．能知道两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用.
1．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．用等式可表示为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，也可以用图象来表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；②i＝1.
思考1 随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
m
则m为( )
A． B． C． D．
提示：由概率分布列的性质知，＋m＋＋＝1，得m＝.
2．两点分布
(1)随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布．
(2)上表中的p＝P(X＝1)为成功概率．
思考2 如果随机变量X的分布列由下表给出，它服从两点分布吗？
X
1
2
P
0.4
0.6
提示：不服从两点分布，因为X的取值只能是0和1.
3．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，即
X
0
1
…
m
P
…
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
思考3 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A． B．
C． D．
提示：由超几何分布概率公式为：P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m.
根据题意知N＝100，M＝80，n＝10，k＝6，所以P(X＝6)＝.
2.2 二项分布及其应用 1
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1．会分析条件概率的概念．
2．会用两种方法求条件概率．
3．能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
1．条件概率的概念
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
思考1 如何从集合角度理解条件概率？
提示：如图，事件的样本点已落在图形A中(事件A已发生)，问落在B(事件B)中的概率．由于样本点已落在A中，且又要求落在B中，于是落在AB中的概率计算公式为P(B|A)＝(P(A)＞0)，类似地，P(A|B)＝(P(B)＞0)．
2．条件概率的性质
(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
思考2 某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上或周五晚上值班所占的概率为________．
提示：设事件A为“周日值班”，事件B为“周五值班”，事件C为“周六值班”，
则P(A)＝，P(AB)＝，P(AC)＝，
所以P(B|A)＝＝，P(C|A)＝＝，
故他在周六晚上或周五晚上值班所占的概率为P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝.
2.2 二项分布及其应用 2
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1．能知道相互独立事件的定义及意义．
2．能记住相互独立事件概率的乘法公式．
3．能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.
1．相互独立的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
思考1 如何理解事件的相互独立与互斥？
提示：(1)两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件是否发生没有影响．
(2)相互独立事件可以同时发生．只有当A与B相互独立时，才能使用P(AB)＝P(A)P(B)；同时也只有当A与B互斥时，才能使用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(3)事件A与B是否具备独立性，一般都由题设条件给出．但在实际问题中往往要根据实际问题的性质来判定两个事件或一组事件是否相互独立．
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
思考2 如何判断两事件相互独立？
提示：(1)由定义，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与B相互独立．
(2)有些事件没有必要通过概率的计算来判定其独立性．例如，有放回地两次抽奖，掷5次同一枚硬币等．由事件本身的性质也能直接判定是否相互影响，从而得出相互独立与否
2.2 二项分布及其应用 3
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1．会分析n次独立重复试验的模型及意义．
2．能记住二项分布．
3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．
1．n次独立重复试验的概念
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
思考1 如何正确认识独立重复试验？
提示：①在相同条件下重复做n次试验的过程中，各次试验的结果都不会受到其他试验结果的影响．②在独立重复试验中，每一次试验只有两个结果，也就是事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中，某事件发生的概率都是一样的．
2．二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2,3，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
思考2 如何理解二项分布与超几何分布的关系？
提示：由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，这两个分布的关系是：在产品抽样检验中，如果采用有放回抽样，则次品数服从二项分布，如果采用不放回抽样，则次品数服从超几何分布．在实际工作中，抽样一般都采用不放回方式，因此在计算次品数为k的概率时应该用超几何分布，但是超几何分布的数值涉及抽样次数和一个概率值，计算相对复杂，并且二项分布的计算可以查专门的数表，所以，当产品总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，计算超几何分布可以用计算二项分布来代替．
2.3 离散型随机变量的均值与方差 1
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1．能记住离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．
2．能记住离散型随机变量的均值的性质，能记住两点分布、二项分布的均值．
3．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题.
1．离散型随机变量的均值
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
思考1 随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系？
提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化，对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
2．两点分布、二项分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P；
(2)若随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则E(X)＝np.
思考2 一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则每射击3次中靶次数X的均值为( )
A．0.8 B．0.83 C．3 D．2.4
提示：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，
所以E(X)＝3×0.8＝2.4.
2.3 离散型随机变量的均值与方差 2
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1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.
1．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xl－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
(3)离散型随机变量的方差的性质：
设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
思考1 随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
提示：随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随抽样样本的变化而客观变化；样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的，对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．
2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
思考2 两名射手每次射击中靶的概率分别为0.8和0.7，则每射击3次中，两名射手的方差分别为( )
A．0.8,0.7 B．2.4,2.1
C．0.48,0.63 D．0.16,0.21
提示：射手独立射击3次中靶次数X都服从二项分布，即X～B(3,0.8)，Y～B(3,0.7)，
所以D(X)＝np(1－p)＝3×0.8×0.2＝0.48，D(Y)＝nq(1－q)＝3×0.7×0.3＝0.63.
2.4 正态分布
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课程目标
学习脉络
1．会分析正态分布的意义．
2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．
3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.
1．正态曲线
(1)函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)随机变量X落在区间(a，b)的概率为P(a＜X≤b)≈
思考1 正态曲线φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义是什么？
提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，则E(x)＝μ，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2．正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜x≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
思考2 设随机变量X的正态分布密度函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )
A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2
C．μ＝3，σ＝ D．μ＝－3，σ＝
提示：写成标准式φμ，σ(x)＝，∴μ＝－3，σ＝.
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.
思考3 如何理解正态曲线的特点？
提示：
曲线特点
概率体现
曲线在x轴上方
P(X)＞0
曲线关于直线
x＝μ对称
①P(X＞μ)＝P(X＜μ)＝，
②P(μ－ε＜X＜μ)＝P(μ＜X＜μ＋ε)(其中ε＞0)
曲线在x＝μ处达到峰
值
0＜φμ，σ(x)≤
曲线与x轴围成的
面积为1
P(－∞＜x＜＋∞)＝1
4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率
若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a＞0，概率
P(μ－a＜X≤μ＋a)＝.特别地有
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
思考4 如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率？
提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．
