1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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知识梳理
1.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=___________种不同的方法，这一原理叫做___________.21世纪教育网版权所有
2.完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步与有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=___________种不同的方法，这一原理叫做___________.
3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理回答的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.区别在于：分类加法计数原理针对的是___________问题，其中各种方法相互___________，用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是___________问题，各个步骤中的方法相互___________，只有各个步骤都完成才算完成这件事.21教育网
知识导学
计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们是研究“完成一件事”方法数的重要工具，学习时要弄清“完成一件事”的含义，明白题目中“一件事”是什么事.这两个原理看起来很简单，但用起来却不那么容易，有时容易混淆.21·cn·jy·com
对于分类加法计数原理，要注意理解“分类完成一件事”是指做这件事可分为若干类方法，各种方法相互独立、相互排斥，用每一种方法都能做完这件事.2·1·c·n·j·y
对于分步乘法计数原理，要注意理解“分步完成一件事”是指完成这件事要分成若干个步骤，各个步骤相互依存、相互联系，每一步都必须取一种方法，事情才能完成，单独的每一步都不能独立地完成这件事.【来源：21·世纪·教育·网】
疑难突破
1.如何正确理解两个原理？
剖析：对于两个原理的理解关键在于“分类”“分步”.可结合电学中的“并联”和“串联”加以理解.分类加法计数原理类似于电学中的“并联”（每段线路都能通电），即每“类”方法相互之间是独立的、互斥的，其中用任何一类的任何一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理类似于“串联”（每段线路都不能独立完成通电），即每“步”方法都不能独立完成这件事.21cnjy.com
“完成一件事有几类不同方案”是指一件事在一定标准下的分类.标准不同,分类也不同,分类要满足“不重不漏”.分步乘法计数原理中下一步选用的方法与上一步选用的方法无关.
2.何时使用“分类”原理？何时使用“分步”原理？
剖析：完成一件事时，若每一类方法中的任一种方法均能将这件事从头到尾完成，则计算完成这件事的方法总数用分类加法计数原理；完成一件事，若每一步的任一种方法只能完成这件事的一部分，而且必须依次完成所有各步后才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原理.www.21-cn-jy.com
1.2 排列与组合
知识梳理
1.排列及排列数公式
（1）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，___________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.21cnjy.com
（2）两个排列相同，当且仅当两个排列的元素___________,且元素的___________也相同.
（3）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号___________表示.21*cnjy*com
（4）排列数公式=___________=___________；特别地=___________=___________ (m、n∈N*且m≤n),0!=____________.2·1·c·n·j·y
2.组合及组合数公式
（1）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.www.21-cn-jy.com
（2）如果两个组合中的元素____________，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合，只有当两个组合中的元素____________时，才是不同的组合.【来源：21cnj*y.co*m】
（3）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号____________表示.【出处：21教育名师】
（4）组合数公式=____________=____________.
3.排列与组合的联系与区别
（1）排列和组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，但排列与元素的顺序____________，而组合与元素的顺序____________；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）排列数与组合数的关系：____________.
知识导学
要学好排列与组合这一节内容，除了要学好分类加法计数原理与分步乘法计数原理，更重要的是区分排列和组合，切实掌握排列和组合的概念，运用乘法计数原理理解排列数与组合数的关系，并能从实际问题出发，掌握排列数和组合数的相应性质.
对于排列与组合的区分，关键是判断事件有无“顺序性”，这可以用“交换法”来检验任取完成事件的一个方案，交换其中的两个元素，若交换后的方案与交换前的方案是不同的方案，则事件具有顺序性从而是排列，否则就是组合.21·cn·jy·com
疑难突破
1.理解排列的定义需要注意的问题
(1)元素:是指被取的对象;
(2)一定取出m个不同的元素(m≤n);
(3)定义包含两个基本内容;一是“取出元素”,一是“按照一定顺序排成一列”.这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关,所以,取出的元素与“顺序”有无关系就成为我们判断问题是否为排列问题的标准.在具体问题中，究竟何时有关,何时无关,由问题的性质和条件来决定.21世纪教育网版权所有
(4)全排列：把n个不同的元素全部取出来进行排列，即n=m时.
(5)排列的方法一般可采用树图法或框图法.
(6)排列数与一个排列是两个不同的概念:根据定义,一个排列是具体的一件事,它不是一个数;而排列数是所有排列的个数,它是一个数.解题时应分清求排列还是排列数.
(7)公式右边乘积的特点是：第一个因数最大，它是A的下标n，后面每个因数比前面少1；共有m个因数；最后一个因数是下标n减去上标m再加上1，即n-m+1.
(8)全排列表示为=n!=n·(n-1)·…·2·1;这是自然数n的阶乘；要掌握好两相邻整数的阶乘间的关系.21·世纪*教育网
（9）组合与元素的顺序无关，仅与所取元素的不同有关；
（10）组合数与一个组合是两个不同的概念:根据定义,一个组合是具体的一件事,它不是一个数;而组合数是所有组合的个数,它是一个数.解题时应分清求组合还是组合数.
（11）组合数与排列数的公式的差别在于，这正体现排列与组合差别所在：所取出的m个元素有无顺序问题.www-2-1-cnjy-com
2.如何解决有条件限制的排列问题?
剖析：首先读懂题意，理清题目所要求一件事的完成程序；然后在此基础上进行分步，若不能“统一分步”,则需先分类再分步：2-1-c-n-j-y
(1)限制条件只有一个，则先排受限制的位置或元素，再排其他任意元素.
(2)若限制条件有两个，要进一步分析两个限制条件间的关系：
设甲位置上可排元素的集合为A，乙位置上可排元素的集合为B.
①A∩B=(相离)：可先排甲、乙，再排其他；
②AB（包含）：先排受限制严者，再排受限制较宽者，最后排其他；
③A∩B≠且AB（相交）：甲、乙均可作为第一步，但必须从第一步起就分类，把它转化为①或②的情况.21教育网
1.3 二项式定理
知识梳理
1.二项式定理
（1）(a+b)n=___________（n∈N*）.
（2）(a+b)n的展开式中共有___________项，其中各项的系数(r=0,1,2, …,n)叫做___________.式中的an-rbr叫做二项展开式的___________.它是展开式中的第_________项.21世纪教育网版权所有
（3）(a-b)n=___________;
(1+x)n=___________.
2.“杨辉三角”与二项式系数的性质
（1）对称性：在(a+b)n的展开式中，___________的两项的二项式系数相等.
（2）增减性与最大值：当r＜时,二项式系数是逐渐___________的，由对称性可知它的后半部分是逐渐___________的,且在中间取到最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式系数___________取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数___________相等,且同时取到最大值.21教育网
3.各二项式系数的和
=_________________.
…=________________.
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学习二项式定理首先要记住二项式(a+b)n的展开式，应该了解展开式各项的如下两个特征：①每一项次数之和为n,②a按降幂排列，从n到0次;b按升幂排列，从0次到n次.其次要掌握二项式展开式的应用要理解二项式的展开式的通项.21·cn·jy·com
在二项式定理中，对a、b赋予不同的值，就得不同形式的组合恒等式，在多项展开式中，系数的和也常用赋值法来求.同时要注意逆向思维的培养，掌握二项式定理的逆用.
疑难突破
1.如何正确区分二项展开式中某一项的二项式系数与系数的概念？
剖析：两者是不同的概念. (r=0,1,2, …,n)叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分.如（1+2x）7的二项展开式的第4项的二项式系数为=35.而其第4项的系数为·23=280.www.21-cn-jy.com
2.如何用组合的知识理解二项式定理？
剖析：由于(a+b)n=,将(a+b)看作是含有红（a）、白（b）两球的盒子，则(a+b)n的展开式的每一项可以理解为从n个盒子中每一个盒子取出一个球的可能结果，而其前面的系数则是这种结果的方法数，如an-rbr是从这n个盒子中取出r个（b）白球、(n-r)个红球的情况，其方法数为，因此有(a+b)n= .2·1·c·n·j·y
3.如何理解赋值法在证明二项式系数的三条性质中的运用？
剖析：事实上，二项式定理给出的是一个恒等式，对于a、b的一切值都成立，因此对一些特定的值也成立.对a、b赋予一些特定的值是解决二项式问题的一种重要思想方法.赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f(a,b)=(a+b)n=,对a、b赋于一定的值，就能得到一个等式.21cnjy.com
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
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1.回归分析
(1)函数关系是一种_____________关系,而相关关系是一种_____________关系.
(2)回归分析是对具有_____________关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
(3)线性回归分析的步骤是:_____________、_____________、_____________.
(4)对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为_____________、_____________.21教育网
2.相关系数
(1)样本相关系数的计算公式为_____________.
(2)当_____________时,表示两个变量正相关,当_____________时,表示两个变量负相关.
(3)r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性_____________;r的绝对值越接近于_____________时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.21世纪教育网版权所有
(4)通常,当r大于_____________时,认为两个变量具有很强的线性相关关系.
3.随机误差
(1)随机误差的均值E(e)= _____________,方差D(e)= _____________.
(2)线性回归模型的完整表达式是_____________.在线性回归模型中,随机误差e的方差越小,通过回归直线预报真实值y的精确度越_____________.21cnjy.com
(3)对于样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)而言,相应于它们的随机误差为_____________,其估计值为_____________.称为相应于(xi,yi)的.可以用_____________作为σ2的估计量,Q()称为_____________.www.21-cn-jy.com
4.简单的非线性回归分析
(1)我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是_____________.
(2)R2越大,意味着残差的平方和_____________,也就是说,模型拟合的效果越_____________.21·世纪*教育网
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要学好本节内容,要先巩固必修Ⅲ中与此有关的基础知识,并结合生活中的实际,在应用中体现知识的联系.2-1-c-n-j-y
对于回归分析我们首先要知道它的意义是:可以对一些不确定关系进行预报.一般情况下,都是根据数据的规律,转换为最接近的一条直线,根据直线上对应点的值预报可能出现的情况.这就是线性回归.21*cnjy*com
误差分析主要研究预报的准确度,为了使这种预报更加精确,我们对预报的误差进行分析,尽量使其降低到最小情况,这就需要对一组数据进行分析,找出一种最能代表误差的量,于是就出现了相关系数等概念,在此基础上来分析随机误差可能出现的结果,从而给出线性回归模型的完整表达式,根据表达式可以研究一般的相关关系,对生产、生活中的实际问题进行更准确的数值预报.【来源：21cnj*y.co*m】
有些数据不在一条直线附近,也就是说,不是所有的数据都能直接利用线性回归进行分析,但是为了研究方便,我们通常也是用一条最接近的线性回归模型进行拟合,这里亦需要考虑怎样减小误差,使拟合的数据尽量与实际数据相近.这就是简单的非线性回归问题.因此,对误差的分析也是解决问题的关键.www-2-1-cnjy-com
疑难突破
1.相关分析的意义和作用
剖析：函数关系是大家比较熟悉的概念,它是指变量之间的确定性关系,即当X取某一数值x时,变量Y按照某种规则总有一个或多个确定的数值与之对应.相关关系则是指变量之间的非确定性关系,由于随机因素的干扰,当变量X取确定值x时,变量Y的取值不确定,是一个随机变量,但它的概率分布与X的取值有关.这里,我们看到了函数关系与相关关系的本质区别,在函数关系中变量X对应的是变量Y的确定值,而在相关关系中,变量X对应的是变量Y的概率分布.换句话说,相关关系是随机变量之间或随机变量与非随机变量之间的一种数量依存关系,对于这种关系,只能运用统计方法进行研究.通过对相关关系的研究又可以总结规律,从而指导人们的生活与生产实践.2·1·c·n·j·y
2.举例说明怎样确定线性回归的模型
剖析:在确定数据适合哪种模型之前首先应该将观测量的数据绘图,以便进行简单的观测.例如:为了研究建立初始工资与现有工资的回归模型,首先对观测量制图如下图所示.
观测量数据绘图
从图中可以发现初始工资与当前工资的趋势大概呈线性关系,可以建立线性方程.如果观测量数据不呈线性分布,那么还可以根据其他方程模型的观测量分布图形的特点以及对建立各方程后所得的R2进行比较以便确定一种最佳方程式.21·cn·jy·com
一般说来,如果所有的观测量都落到回归线上,那么R2等于1;如果自变量与因变量之间没有回归关系,那么R2等于0.【来源：21·世纪·教育·网】
另外,我们通过对观测量绘图的仔细观察还可以发现一些奇异值,如本图中画圈的观测值,因为不可能哪一位教师的初始工资为6 000 左右,而当前工资却高达?32 000 ,这与其他情况极为不同,所以还可以通过对数据的检查来消除奇异值.但是,对待奇异值时要格外小心,因为也可能那位雇员的高工资是参与教学改革,获得奖励后获得的.
3.2独立性检验的基本思想及其初步应用
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1.数据的表示方法
(1)变量的不同值表示个体所属的不同类别,象这种变量称为分类____________变量.
(2)用图表列出两个变量的频数表,称为____________.
(3)与表格相比, ____________和____________能更直观地反应出相关数据的总体状态;从列联表中能清晰地看出各个数据的相对大小;而等高条形图更能反应出每一类数据的相对特点.21cnjy.com
2.独立性检验的方法
(1)利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的____________.www.21-cn-jy.com
(2)在H0成立的情况下,统计学家估计出的概率为____________.
(3)独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度,首先假设结论不成立,即假设结论____________成立,在该假设下构造的随机变量K2应该____________.如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大,则在一定程度上说明____________.根据随机变量K2的含义,可以通过概率式____________评价该假设不合理的程度.2·1·c·n·j·y
(4)一般地,假设有两个变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2},{y1,y2},若要推断的结论为:
H1:“X和Y有关系”.可以按照下列步骤判断结论H1成立的可能性:
1)通过____________和____________,可以粗略地判断两个分类变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度.21世纪教育网版权所有
①在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形高度的乘积相差越大,H1成立的可能性就____________.21教育网
②在二维条形图中,可以估计满足条件____________的个体中具有____________的个体所占的比例,也可以估计满足条件____________的个体中具有____________的个体的比例,两个比例的值相差越大,H1成立的可能性____________.21·cn·jy·com
2)可以利于独立性检验来考查两个分类变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体做法是:根据观测数据计算随机变量K2的值k,其值越大,说明“X与Y有关系”成立的可能性____________.21·世纪*教育网
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要学好本节内容,首先要理解独立性检验的含义,为什么要进行独立性检验,要在实际问题中加深理解.www-2-1-cnjy-com
对于三维柱形图和二维条形图,首先要理解这两个图表的数据意义,另外,还要知道从三维柱形图和二维条形图可以较直观地看出变量之间的某种关系,得出基本的结论,同时要进一步判断这个关系的可信度.这就是引入独立性检验的意义.【来源：21·世纪·教育·网】
独立性检验主要是对分类变量之间是否有关系,以及分类变量之间关系的可信程度,即概率进行检验,这就需要建立一个随机变量,对随机变量的大小进行判断,得出相应的结论.它主要体现两个方面的内容,一是两个变量之间有什么样的关系,二是这种关系有多大的可信度.2-1-c-n-j-y
对于两个分类变量X和Y之间的关系进行判断的方法类似于反证法,也即是首先假设两个变量没有关系,再根据所设的随机变量对应概率的大小得出多大程度上变量X和Y存在某种关系. 21*cnjy*com
疑难突破
1.理解独立性检验的基本思想
剖析:独立性检验是对两个分类变量之间是否具有某种关系的研究.一般是先画出对应数据的三维柱形图或二维条形图,首先从直观上对它们之间的关系有一个初步的认识,但是这种认识还需要理论上的证明,其证明类似于反证法,首先假设两个分类变量之间没有关系,然后构造某分类变量,通过对分类变量概率的讨论不仅能证明它们之间具有的关系,还能计算出它们之间存在这种关系的可能性,也就是在数字上认识它们的这种关系.
2.独立性检验在实际中的重要作用
剖析:独立性检验是数理统计的一种方法,是数学中的一种基本理论,是数学体系中对数据关系进行探索的一种基本思想.当然,对数据的统计分析得出的结论只能是在一定程度上对某种关系进行判断,而不是一种确定性的关系,这也是统计思想与确定性思维的差异所在.独立性检验在实际中也有着广泛的应用,是对实际生活中数据进行分析的一种方法,通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用.例如,通过研究吸烟和患肺癌关系的研究可以让我们认识吸烟的危害,及时预防吸烟对人体的危害;通过对水稻产量和施肥量关系的研究可以帮助人们正确施肥,提高水稻的产量,从而提高生活的质量等.
2.1 离散型随机变量及其分布列
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2.1 离散型随机变量及其分布列
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1.离散型随机变量
（1）随着试验结果的变化而变化的变量称为___________,常用字母___________、___________、___________表示.www.21-cn-jy.com
（2）___________和___________都是一种映射,试验结果的范围相当于函数的___________,随机变量的范围相当于函数的___________.2·1·c·n·j·y
2.离散型随机变量的分布列
（1）______________________,称为离散型随机变量.
（2）离散型随机变量X可能的取值为x1,x2, …，xi, …,xn,则它的概率分布列用表格可表示为【来源：21·世纪·教育·网】
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
用等式可表示为,也可以用来表示.
3.离散型随机变量分布列的性质
(1)______________________;
(2) ______________________.
4.较简单的随机变量的分布列为两点分布,其分布列为
ξ
0
1
P
q
p
其中0＜p＜1,p+q=1.
5.一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中含有次品的件数ξ为随机变量,且服从____________,其分布列为______________________.21世纪教育网版权所有
知识导学
本节知识是整个概率论中的基础,知识与知识间的联系紧密,学好本节内容,要复习好前面的两个计数原理及排列组合知识,还要掌握好必修三的有关概率问题.
运用实例来理解离散型随机变量的概念及分布列的意义,掌握离散型随机变量分布列的求法,要抓住分布列的特点:概率值非负,所有概率和为1.对特殊的两个分布:两点分布和超几何分布要在实际生活中会运用,特别是超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数.求出离散型随机变量分布列的关键是:要搞清随机变量可能取的每个值及其所对应的概率.
疑难突破
1.如何辨别一变量是否是离散型随机变量?
剖析：首先搞清离散型随机变量的含义,其次还要清楚除了离散型随机变量还有连续型随机变量,即如果随机变量可以取一个区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量.对离散型随机变量来说,它所取的值为有限个或至多可列个,或者说可以按一定次序一一列出.
辨别的关键是搞清随机变量到底取什么样的值,是在一连续区间上取值,还是取有限个值.
2.写离散型随机变量的分布列注意的问题及步骤.
剖析:要写离散型随机变量的分布列,就要求出P(X=xi)(i=1,2, …),而P(X=xi)=P(Ai),要求基本事件Ai的概率就要用到等可能性事件的概率、排列组合、加法原理、乘法原理等知识和方法.一个分布列写的是否正确,一是看随机变量的取值,二是根据分布列的两条性质来检验.21教育网
求离散型随机变量的步骤:
(1)找出随机变量可能的取值xi(i=1,2, …);
(2)求出对应取值的概率P(X=xi)=Pi;
(3)列出表格.
对随机变量的取值要搞清是有限的还是无限的,若是无限的,后面要用省略号表示.如抛一枚硬币,直到抛出正面朝上为止,随机变量的取值就是有限的.21cnjy.com
随机变量分布列与函数类似,可以有不同的给出方式,除了列表格,还可以用等式来表示,也可以用图象来表示.对不同的变量选择一个合适的表示方式.21·cn·jy·com
2.2 二项分布及其应用
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1.条件概率
（1）一般地,设A、B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=____________为在事件A发生的条件下,事件B发生的____________,一般把P(B|A)读作____________________________________.21·cn·jy·com
（2）条件概率的性质:
①条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即___________________;
②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=_______________________________________.
2.事件的相互独立性
（1）如果两事件A、B中任一事件发生,不影响另一事件的发生,即P(AB)=________________,则称事件A与是__________________.21cnjy.com
（2）若A与B相互独立,则__________与__________,_________与__________,____________与____________也都相互独立.2·1·c·n·j·y
3.独立重复试验与二项分布
（1）独立重复试验是指________________________一种试验,在这种试验中每一次试验只有____________个结果,并且在任何一次试验中,事件发生的概率都相等.
（2）n次独立重复试验中,事件A发生k次的概率为________________________(p为事件A发生的概率).21世纪教育网版权所有
（3）n次独立重复试验中,事件A发生的概率为p,发生的次数X是一个随机变量,当X=k,P(X=k)= ____________,k=0,1,2, …,n.此时称随机变量X服从____________分布,记作____________.www.21-cn-jy.com
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学习本节内容是在学习必修三古典概型及几何概型的基础上来学习的，要理解条件概率的背景及实际意义.二项分布是一种应用较广泛的概率分布，在学习过程中要通过具体问题来理解二项分布的分布列，本节内容与后面的随机变量的均值与方差联系紧密，起着承上启下的作用，学习时要引起重视.要把它融入到整个概率知识当中，形成概率知识的整体性.
条件概率作为一种重要的概率类型，它的判断要看某事件发生是否有附加条件；或从另一个角度考虑也就是基本事件的空间发生了变化，即P（B）与P（B|A）考虑的基本事件空间不同.21·世纪*教育网
相互独立事件的判断要根据P(AB)与P（A）P（B）是否相等来判断；有时也可根据具体问题作出判断.在学习中还要区分互斥事件与相互独立事件.www-2-1-cnjy-com
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1．如何判断和计算条件概率
剖析：条件概率不同于一般的概率计算,在事件A发生的前提下事件B发生的概率与没有事件A为前提的概率不同,从集合角度考虑,如图所示:21教育网
在A发生的前提下,B发生的概率为P(B|A)=.
条件概率的判断要从它的定义出发,若两个事件之间没有关系,也不是条件概率.从条件概率的计算公式可以得到P(AB)=P(B|A)P(A).【来源：21·世纪·教育·网】
已知事件A发生,在此条件下事件B发生,相当于事件AB发生.求P(B|A)相当于把A看作了新的基本空间来计算.2-1-c-n-j-y
2．二项分布与两点分布的关系
剖析：二项分布是指n次独立重复试验某事件恰好发生k次的概率分布列,需要做n次试验,两点分布指的是一次试验的两个结果的概率分布.两者的含义不同,将两点分布的试验进行n次,恰好发生k次的概率分布就成了二项分布.21*cnjy*com
概率问题中,重要的是把各种不同的问题区别开来.区分两个概念关键是从定义中来区分.二项分布P(X=k)=中:n表示重复试验的次数,p是在一次试验中事件A发生的概率;k表示n次试验中A发生的次数.【来源：21cnj*y.co*m】
2.3 离散型随机变量的均值与方差
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1.离散型随机变量的均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称_____________为随机变量X的均值或数学期望.
(2)离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的_____________.
(3)若Y=aX+b，其中a、b为常数，则EY=E(aX+b)=____________.
(4)若随机变量X服从两点分布，则EX=____________.
(5)若X—B(n,p)，则EX=____________.
2.离散型随机变量的方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称DX=______________为随机变量X的方差(variance),其算术平方根为随机变量X的______________,记作______________.21教育网
(2)随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的______________，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的______________.21·cn·jy·com
3.D(aX+b)= ______________.
若X服从两点分布，则DX=______________.
若X—B(n,p)，则DX=______________.
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要学好离散型随机变量的均值与方差，首先要理解什么是随机变量，其次是能列出随机变量的分布列，这归根到底是要掌握概率的相应知识.这一节内容事实上是概率知识的引申，而随机变量的均值与方差是统计中两个最重要的量.www.21-cn-jy.com
对于离散型随机变量的均值，要理解随机变量的均值Eξ是一个数值，是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平.
对于离散型随机变量的方差，要了解掌握它的必要性.因为在实际问题中，有时仅凭均值还难以确切地反映随机变量的分布特征，还必须进一步考虑其偏离均值的离散程度，即方差大小.方差与均值相同，也是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，也不具有随机性，它反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.21cnjy.com
疑难突破
1.求离散型随机变量的均值或方差
剖析:求离散型随机变量的均值常分为两步：①列出随机变量的分布列；②计算随机变量的均值.
求离散型随机变量的方差常分为以下三步：①列出随机变量的分布列；②求出随机变量的均值；③求出随机变量的方差.21世纪教育网版权所有
2.如何证明下列结论？
(1)D(aX+b)=a2DX；
(2)若X服从两点分布，则DX=p(1-p)；
(3)若X—B(n,p)，则DX=np(1-p).
剖析:证明：(1)D(aX+b)=
=.
(2)若X服从两点分布，则EX=p，所以
DX=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p).
(3)若X—B(n,p)，则EX=np，设q=1-p，
DX=
=
=
=
=,
而
=
=n(n-1)p2+np,
∴DX=n(n-1)p2+np-n2p2=np(1-p)
=
=+np=n(n-1)p2+np.
∴DX=n(n-1)p2+np-n2p2=np(1-p).
2.4 正态分布
知识梳理
1.正态曲线
若φμ,σ(x)=___________,x∈（-∞,+∞）,其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称___________.21教育网
2.正态曲线的特点
（1）曲线位于x轴___________，与x轴___________；
（2）曲线是单峰的，它关于___________对称；
（3）曲线在___________处达到峰值___________；
（4）曲线与x轴之间的面积为___________；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿___________平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越___________，表示总体的分布越___________；σ越大，曲线越___________，表示总体的分布越___________.
3.正态分布
（1）一般地，如果对于任何实数a（2）特别地，如图可知，
P(μ-σP(μ-2σP(μ-3σ4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取___________之间的值，并简称为___________.21·cn·jy·com
知识导学
学习正态曲线要先了解什么是频率直方图，了解直方图法是适用于对大量计量值数据进行整理加工，找出其统计规律，即分析数据分布形态，以便对其总体的分布特征进行分析的方法.因为正态曲线是频率直方图随着试验次数的增加逐步形成的，正态曲线的特征是“两头低，中间高，左右对称”，同时要掌握正态曲线的有关性质，能从函数的角度来学习正态密度函数.www.21-cn-jy.com
学习正态曲线要掌握在正态曲线中，若X是随机变量，则X落在区间（a,b］上的概率为P(a疑难突破
1.从正态分布的总体特征判断随机变量服从正态分布
剖析:一般地，当一随机变量是大量微小的独立的随机因素共同影响的结果，而每一种随机因素都不能起到压倒性的影响时，这个随机变量就被认为服从正态分布.
2.判断离散型随机变量的分布是否服从正态?分布
剖析:在随机抽样中，样本是不完全相同的，但总在一个范围内变动，这样可以使一定的抽样分成若干组，按其顺序分别在坐标上画出一系列的直方形，并将直方形连起来，观察图的形状，来判断样本的分布状况.当分组足够多，就可用一条曲线来拟合频率直方图的分布形态，如果曲线呈对称钟形分布，就可以初步判断该分布服从正态分布.同时可以通过计算直方图的对称度、峰度来定量判断该分布是否服从正态分布，若对称度、峰度均为0，就认为该分布服从正态分布.21世纪教育网版权所有
