1.3.1 二项式定理 1
课堂导学
三点剖析
一、利用（a+b)n的二项展开式解题
【例1】 求二项式（2x-)5的展开式
解法一：直接用二项式定理.
（2x-)5=(2x)5+(2x)4(-)+(2x)3·(-)2+(2x)2(-)3+(2x)(-)4+(-)5=32x5-120x2+180x-1-135x-4+
解法二：先化简，后用二项式定理
（2x-)5=
温馨提示
求二项式的展开式有时需先化简，特别是较复杂的展开式问题，如(|x|+-2)5的展开式，可先转化为()10然后再展开.
二、求展开式的某一项
【例2】 （1）在()8的展开式中常数项是( )
A.-28 B.-7 C.7 D.28
（2）在(x+)2n的展开式中，第4项的系数与第6项的系数相等，求n并求展开式中的常数项.
解析：（1）Tk+1=(-1)k()8-k·=(-1)k·2k-8·.
令8-=0，得k=6.
∴T7=T6+1=·26-8=·2-2=7.应选C.
（2）由已知得=，由组合数得3=2n-5，∴2n=8,n=4.
展开式通项为，要为常数项；应使8-r-r=0,即r=4.∴常数项为=70.
温馨提示
求二项展开式中有关的常数项、有理项等特殊项的问题，可通过求二项展开式的通项，根据问题的要求，列出n,k的方程（组）求解.
三、求二项式系数、某项的系数问题
【例3】(+1)4（x-1）5的展开式中，x4的系数是( )
A.-40 B.10 C.40 D.45
解析:展开式的通项为
=(0≤r≤4,0≤k≤5).
令.得2k+r=6.
∴或或
∴x4的系数为=45，应选D.
温馨提示
此类问题也可用加法原理，从项的来源求解：（+1）4（x-1）5是两个二项式相乘，从（x-1）5展开式中取4次项，从（+1）4展开式中取常数项相乘；从（x-1）5展开式中取3次项，从（+1）4展开式中取1次项相乘；从（x-1）5展开式中取2次项，从（+1）4展开式中取2次项相乘，然后相加，即可得到要求的（+1）4(x-1)5的展开式中x的4次项的系数.即-·+·+·（-1）3·=-5+60-10=45.
这也是求二项展开式系数的一种重要方法.
各个击破
【类题演练1】若n∈N*,(+1)n=an+bn(an,bn∈Z),则bn的值（ ）
A.一定是奇数 B.一定是偶数
C.与n的奇偶性相反 D.与n有相同的奇偶性
解析：由（+1）n=an+bn,
知an+bn=(1+)n=·+·()2+()3+…+()n
∴bn=1+()2+()4+…
∴bn为奇数 故选A.
【变式提升1】求数11100-1的末尾连续的零的个数.
解析：因为11100-1=（10+1）100-1
=10100+×1099+…+·102+·10=103［1097+·1096+…++5×99+1］
令M=1097+·1096+…+
N=5×99+1
因为M的末位数是0，N的末位数是6，所以11100-1=103·（M+N）的末尾连续零的个数是3个.
【类题演练2】在二项式()n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.
解析：先求指数n,再考虑展开式中含x的各次项的指数应为整数.
展开式前三项的系数是1，.
由题意有=n,
解得 n=8.（n=1舍去）
展开式通项为Tr+1=当为整数时，Tr+1为有理项，而0≤r≤8,且r是自然数,故只能取r=0,4,8.所以有理项共有三项，分别是
T1=x4,T5=.
【变式提升2】由（）100展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有( )
A.50项 B.17项 C.16项 D.15项
解析：展开式中的各项其系数为(0≤n≤100)，为使系数为有理数，n必为2与3的倍数，当0≤n≤100时，有且只有17个.
答案：B
【类题演练3】 在(x2+3x+2)5的展开式中，x的一次项的系数是( )
A.160 B.240 C.360 D.800
解析：（x2+3x+2）5=［(x2+3x)+2］5，通项为［x2+3x］5-k2k(0≤k≤5),该通项的通项为(0≤r≤5-k),令10-2k-r=1,即2k+r=9.∴r=1,k=4.∴x的系数为·24·3=240，应选B.
【变式提升3】 在（1-x2）20的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等.
（1）求r的值；
（2）写出展开式中第4r项和第r+2项.
解析：（1）由题设可知,得4r-1=r+1,或4r-1+r+1=20,解得r=或r=4.∵r∈N,
∴r=4.
（2）T4r=T16=（-x2）15=-15 504x30.
Tr+2=T6=(-x2)5=-15 504x10.
1.3.1 二项式定理
学习目标
重点、难点
1.能用计数原理证明二项式定理．
2．能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题.
重点：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能求特定项和系数．
难点：解决与二项式定理有关的简单问题.
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项式的展开式，展开式中一共有____项．
(3)二项式系数：各项的系数__(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
2．二项展开式的通项
(a＋b)n展开式中第k＋1项____________(k∈{0,1,2，…，n})称为二项展开式的通项．
预习交流
(1)二项展开式的特点有哪些？
(2)(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于( )．
A．9 B．10 C．11 D．12
(3)7的展开式中第3项的二项式系数为__________，第6项的系数为__________，x的次数为5的项为__________．
答案：
1．(2)n＋1 (3)C
2．Tk＋1＝Can－kbk
预习交流：(1)提示：①项数：n＋1项；②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0，同时b的指数由0递增到n；③通项公式Tr＋1＝Can－rbr指的是第r＋1项，不是第r项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x)3的二项展开式中第3项的二项式系数为C＝3，而该项的系数为C·22＝12.
(2)提示：B
(3)提示：21 －84 －448x5
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
一、二项式定理的直接应用
求4的展开式．
思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．
化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．
二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算
1．(2011山东高考，理14)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为__________．
思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x的项即可．
2．(2011天津高考，理5)在6的二项展开式中，x2的系数为( )．
A．－ B． C．－ D．
思路分析：利用二项展开式的通项公式求．
1．(2011陕西高考，理4)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )．
A．－20 B．－15 C．15 D．20
2．(2011广东高考，理10)x7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．
三、二项式定理的应用(整除问题)
试判断7777－1能否被19整除．
思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开．
证明：32n＋2－8n－9是64的倍数．
用二项式定理解决an＋b整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r＜m)的形式，利用二项展开式求解．
答案：
活动与探究1：解法1：4＝C(3)40＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C(3)04＝81x2＋108x＋54＋＋.
解法2：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.
迁移与应用：解：原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
活动与探究2：1.4 解析：由二项式定理可知Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－)rx6－3r，
令6－3r＝0，得r＝2，
∴T3＝C(－)2＝60.
∴15a＝60.∴a＝4.
2．C 解析：设含x2的项是二项展开式中第r＋1项，
则Tr＋1＝C6－r·r
＝C6－r(－2)rx3－r.
令3－r＝2，得r＝1.
∴x2的系数为C5(－2)＝－.
迁移与应用：1.C 解析：设第r＋1项为常数项，
Tr＋1＝C22x(6－r)(－2－x)r＝(－1)r·C212x－2rx－rx，
∴12x－3rx＝0，
∴r＝4.
∴常数项为T5＝(－1)4C＝15.
2．84 解析：7的通项Tr＋1＝Cx7－rr＝(－2)rCx7－2r.令7－2r＝3得r＝2.
因而7展开式中含x3项的系数为(－2)2·C＝＝84.故x7的展开式中，x4的系数为84.
活动与探究3：解：7777－1＝(76＋1)77－1
＝7677＋C·7676＋C·7675＋…＋C·76＋C－1＝76(7676＋C7675＋C7674＋…＋C)．
由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．
迁移与应用：证明：∵32n＋2－8n－9
＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
＝8n＋1＋C·8n＋…＋C·82＋C·8＋1－8n－9
＝8n＋1＋C·8n＋…＋C·82＋8(n＋1)＋1－8n－9＝8n＋1＋C·8n＋…＋C·82
＝(8n－1＋C·8n－2＋…＋C)·64，
故32n＋2－8n－9是64的倍数．
1.16的二项展开式中第4项是( )．
A．Cx12 B．Cx10 C．－Cx10 D．Cx8
2．(2012天津高考，理5)在5的二项展开式中，x的系数为( )．
A．10 B．－10 C．40 D．－40
3．(2012山东省实验中学诊断，理6)二项式10的展开式中的常数项是( )．
A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项
4．(2012湖南高考，理13)6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)
5．在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项．
6．(1－x)4·(1－)3的展开式中x2的系数是__________．
答案：
1．C 解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x)16－r·r＝(－1)r·C·x16－2r，
∴第4项为T4＝(－1)3C·x10＝－Cx10.
2．D 解析：Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝(－1)r25－rCx10－3r，
∴当10－3r＝1时，r＝3.∴(－1)325－3C＝－40.
3．B 解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx20－2rr＝2rC·x20－，令20－＝0，得r＝8.
∴常数项为第9项．
4．－160 6的通项为
Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)rC26－rx3－r.当3－r＝0时，r＝3.故(－1)3C26－3＝－C23＝－160.
5．6 解析：∵Tr＋1＝3Cx20－ryr(r＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，
∴r＝0,4,8,12,16,20，共6项．
6．－6 解析：展开式中的x2项为C·(－x)1·C·(－)2＋C(－x)2C＝－6x2.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领
1.3.1 二项式定理
问题导学
一、二项式定理的直接应用
活动与探究1
求4的展开式．
迁移与应用
1．(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝__________．
2．(2013安徽合肥模拟)求4的展开式．
熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．
二、二项展开式中特定项、项的系数
活动与探究2
1．若6展开式的常数项为60，则常数a的值为__________．
2．在6的二项展开式中，x2的系数为( )
A．－ B． C．－ D．
迁移与应用
1．(2012天津高考，理5)在5的二项展开式中，x的系数为( )．
A．10 B．－10 C．40 D．－40
2．求二项式10的展开式中的常数项．
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．
三、二项式定理的应用(整除问题)
活动与探究3
试判断7777－1能否被19整除．
迁移与应用
1．9192除以100的余数是__________．
2．证明：32n＋2－8n－9是64的倍数．
用二项式定理解决an＋b整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r＜m)的形式，利用二项展开式求解．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．(2)n＋1 (3)C
2．Can－kbk
预习交流 (1)提示：①项数：n＋1项；②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0，同时b的指数由0递增到n；③通项公式Tr＋1＝Can－rbr指的是第r＋1项，不是第r项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x)3的二项展开式中第3项的二项式系数为C＝3，而该项的系数为C·22＝12．
(2)提示：B
(3)提示：21 －84 －448x5
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．
解法一：4＝C(3)40＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C(3)04＝81x2＋108x＋54＋＋．
解法二：4＝
＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋＋．
迁移与应用 1．x5－1 解析：原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．
2．解法一：4＝C()4－C()3·＋C()2·2－C3＋C4
＝x2－2x＋－＋．
解法二：4＝4
＝(2x－1)4
＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋－＋．
活动与探究2 1．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x的项即可．
4 解析：由二项式定理可知
令6－3r＝0，得r＝2，
∴T3＝C(－)2＝60．
∴15a＝60．∴a＝4．
2．思路分析：利用二项展开式的通项公式求．
C 解析：设含x2的项是二项展开式中第r＋1项，
则Tr＋1＝C6－r·r
＝C6－r(－2)rx3－r．
令3－r＝2，得r＝1．
∴x2的系数为C5(－2)＝－．
迁移与应用 1．D 解析：Tr＋1＝(2x2)5－r·r＝(－1)r25－rx10－3r，
∴当10－3r＝1时，r＝3．
∴(－1)325－3C＝－40．
2．解：设第r＋1项为常数项，则
Tr＋1＝C(x2)10－r·r＝C·r(r＝0,1，…，10)．
令20－r＝0，得r＝8，∴T9＝C·8＝．
∴第9项为常数项，其值为．
活动与探究3 思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开．
解：7777－1＝(76＋1)77－1
＝7677＋C·7676＋C·7675＋…＋C·76＋C－1
＝76(7676＋C7675＋C7674＋…＋C)．
由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．
迁移与应用 1．81 解析：∵9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋1，该式前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除．
又由于C·90＋1＝8 281＝8 200＋81，
∴9192被100除余81．
2．证明：∵32n＋2－8n－9
＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
＝8n＋1＋C·8n＋…＋C·82＋C·8＋1－8n－9
＝8n＋1＋C·8n＋…＋C·82＋8(n＋1)＋1－8n－9
＝8n＋1＋C·8n＋…＋C·82
＝(8n－1＋C·8n－2＋…＋C)·64，
∴32n＋2－8n－9是64的倍数．
当堂检测
1．的二项展开式中第4项是( )
A． B．
C． D．
答案：C 解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝·x16－r·＝(－1)r··x16－2r，
∴第4项为T4＝(－1)3·x10＝．
2．(2013江西高考，理5)展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80 C．40 D．－40
答案：C 解析：展开式的通项为Tr＋1＝x2(5－r)(－2)rx－3r＝(－2)rx10－5r．令10－5r＝0，得r＝2，所以T2＋1＝(－2)2＝40．故选C．
3．在(x＋)20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项．
答案：6 解析：∵Tr＋1＝x20－ryr(r＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，
∴r＝0,4,8,12,16,20，共6项．
4．(1－x)4·(1－)3的展开式中x2的系数是__________．
答案：－6 解析：展开式中的x2项为·(－x)1··()2＋(－x)2＝－6x2．
5．求证：(1)5151－1能被7整除；
答案：
证明：(1)∵5151－1＝(49＋2)51－1
＝4951＋4950·2＋…＋·49·250＋·251－1，
易知除(·251－1)以外各项都能被7整除，
又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1
＝·717＋·716＋…＋·7＋－1
＝7(716＋715＋…＋)，
显然上式能被7整除，∴5151－1能被7整除．
(2)32n＋3－24n＋37能被64整除．
答案：32n＋3－24n＋37＝3·9n＋1－24n＋37＝3(8＋1)n＋1－24n＋37
＝3(8n＋1＋8n＋…＋8＋1)－24n＋37
＝3×64(8n－1＋8n－2＋…＋)＋24－24n＋40
＝64×3(8n－1＋8n－2＋…＋)＋64，
显然上式是64的倍数，故原式可被64整除．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
学习目标
重点、难点
1.能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题．
2．能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．
3．会用赋值法求展开式系数的和.
重点：1.二项式系数的性质及应用．
2．“赋值法”的应用．
难点：利用杨辉三角解决实际问题.
1．杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是__，与这两个1等距离的项的系数____．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__，即________．
2．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与____________的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C.
(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐____的，由对称性可知它的后半部分是逐渐____的，且在中间取到最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数____取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数______________相等，且同时取到最大值．
3．各项二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝__.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__.
预习交流
(1)(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )．
A．第n－1项 B．第n项 C．第n＋1项 D．第n项，第n＋1项
(2)(x＋1)10的展开式中的各项系数和是( )．
A．0 B．1 C．－1 D．210
答案：
1．(1)1 相等 (2)和 C＝C＋C
2．(1)首末两端等距离 (2)增大 减小 ，
3．(1)2n (2)2n－1
预习交流：(1)提示：C
(2)提示：D
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
一、与杨辉三角有关的问题
如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )．
A．144 B．146 C．164 D．461
思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．
下列是杨辉三角的一部分．
(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？
(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察．
二、二项式系数的性质
(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
思路分析：求(a＋bx)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，…，An＋1，再设第k＋1项系数最大，则由不等式组确定k的值．
1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( )．
A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项
2．若n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )．
A．462 B．252 C．210 D．10
(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
三、二项式系数、展开式系数的求和
1．(2012山东临清三中模拟，理14)设(3x＋x)n的二项展开式中各项系数之和为t，二项式系数和为h，若h＋t＝272，则二项展开式含x2项的系数为__________．
思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．
2．设函数f(x，y)＝x(m＞0，y＞0)．若f(4，y)＝a0＋＋＋＋，且a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝81，则a0＋a2＋a4＝__________.
思路分析：由a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝81表示的为各项系数和，可令y＝1求得m值．a0＋a2＋a4为奇数项系数和，可令y＝－1，结合已知求出．
1．(2012北京昌平期末考试，理13)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则m＝__________，a1＋a2＋a3＋…＋a7＝__________.
2．已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h，奇数次项的系数和为t，则h2－t2＝__________.
赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0)．
答案：
活动与探究1：C 解析：由题图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C.
∴S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C
＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)
＝C＋C－1＝164.
迁移与应用：解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．
(2)设a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，
若令bn＝an＋1－an，则b1＝2，b2＝3，b3＝4，所以可得{bn}是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．
活动与探究2：解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26?n＝8.
∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C·(2x)4＝1 120x4.
设第k＋1项系数最大，则有
?5≤k≤6.
∴k＝5，或k＝6(∵k∈{0,1,2，…，8})．
∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
迁移与应用：1.B 解析：由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．
2．C 解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.
活动与探究3：1.1 解析：由已知令x＝1，则展开式各项系数和t＝(3＋1)n＝4n，二项式系数和h＝C＋C＋…＋C＝2n，∴h＋t＝4n＋2n＝272，解得n＝4.
∴(＋)n＝(＋)4.
则展开式的通项公式为Tr＋1＝C·()4－r·()r＝34－rC，令＋＝2，则r＝4.
∴含x2项的系数为1.
2．41 解析：f(4，y)＝a0＋＋＋＋＝4，
令y＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋m)4＝81，
又m>0，∴m＝2.
令y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(1－m)4＝1.
两式相加得2(a0＋a2＋a4)＝82，
∴a0＋a2＋a4＝41.
迁移与应用：1.1 1 解析：展开式通项公式Tr＋1＝Cx7－r·(－m)r，令7－r＝4，则r＝3.
∴C·(－m)3＝－35.∴m＝1.
∴(x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
令x＝0，得a0＝(－1)7＝－1；
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1.
2．729 解析：由已知2n－1＝32，∴n＝6.
∴(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝(－3)6.
而h＝a0＋a2＋a4＋a6，t＝a1＋a3＋a5，
∴h2－t2＝(h＋t)(h－t)＝36＝729.
1.11的展开式中二项式系数最大的项是( )．
A．第6项 B．第8项 C．第5,6项 D．第6,7项
2．若(2－)n的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等，则含x4项的系数为( )．
A．－45 B．45 C．180 D．－180
3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝( )．
A．32 B．1 C．－243 D．1或－243
4．(2012山东济南二月月考，理14)已知n的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x的系数为__________．
5．若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋的值为__________．
答案：
1．D 解析：由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．
2．C 解析：由已知C＝C，∴n＝10.
∴(2－)n＝(2－)10.
∴展开式通项公式为Tr＋1＝C·210－r·(－)r＝(－1)r·C·210－r·x，令＝4，则r＝8.
∴含x4项的系数为(－1)8·C·22＝4C＝180.
3．B 解析：展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC·a5－r·xr，令r＝2，则a2＝(－1)2C·a3＝80，∴a＝2.
∴(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝1.
4．10 解析：由已知2n－1＝16，n＝5，
∴5的展开式通项为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－3r，令10－3r＝1，则r＝3，∴含x项的系数为C＝10.
5．－1 解析：令x＝0，得a0＝1，令x＝得a0＋＋＋…＋＝0，∴＋＋…＋＝－1.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
问题导学
一、与杨辉三角有关的问题
活动与探究1
如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A．144 B．146
C．164 D．461
迁移与应用
下列是杨辉三角的一部分．
(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？
(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．
二、二项式系数的性质
活动与探究2
(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
迁移与应用
1．10的展开式中，系数最大的项为( )
A．第六项 B．第三项
C．第三项和第六项 D．第五项和第七项
2．若n(nN*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )
A．462 B．252 C．210 D．10
(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．
三、二项式系数、展开式系数的求和
活动与探究3
1．设的二项展开式中各项系数之和为t，二项式系数和为h，若h＋t＝272，则二项展开式含x2项的系数为__________．
2．设函数f(x，y)＝x(m＞0，y＞0)．若f(4，y)＝a0＋＋＋＋，且a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝81，则a0＋a2＋a4＝__________．
迁移与应用
1．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
2．已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h，奇数次项的系数和为t，则h2－t2＝__________．
赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0)．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．(1)1 相等 (2)和 C＋C
2．(1)首末两端等距离 (2)增大 减小 ，
3．(1)2n (2)2n－1
预习交流 (1)提示：C
(2)提示：D
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．
C 解析：由题图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C．
∴S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C
＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)
＝C＋C－1
＝164．
迁移与应用 解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．
(2)设a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，
若令bn＝an＋1－an，则b1＝2，b2＝3，b3＝4，所以可得{bn}是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．
活动与探究2 思路分析：求(a＋bx)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，…，An＋1，再设第k＋1项系数最大，则由不等式组确定k的值．
解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有
C25＝C26n＝8．
∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C·(2x)4＝1 120x4．
设第k＋1项系数最大，则有
5≤k≤6．
∴k＝5或k＝6(∵k{0,1,2，…，8})．
∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6．
迁移与应用 1．D 解析：由二项式定理可知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．
由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝Cx5·5＝－C中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小．
而T5＝C·x6·4＝Cx2，T7＝Cx4·6＝C·x－2，且C＝C，
∴系数最大的项为第五项和第七项．
2．C 解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210．
活动与探究3 思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．
1 解析：由已知令x＝1，则展开式各项系数和t＝(3＋1)n＝4n，二项式系数和h＝C＋C＋…＋C＝2n，
∴h＋t＝4n＋2n＝272，解得n＝4．
∴(3x＋x)n＝(3x＋x)4．
则展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(3x)4－r·(x)r＝34－rCx＋，
令＋＝2，则r＝4．
∴含x2项的系数为1．
2．思路分析：由a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝81表示的为各项系数和，可令y＝1求得m值．a0＋a2＋a4为奇数项系数和，可令y＝－1，结合已知求出．
41 解析：f(4，y)＝a0＋＋＋＋＝4，
令y＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋m)4＝81，
又m＞0，∴m＝2．
令y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(1－m)4＝1．
两式相加得2(a0＋a2＋a4)＝82，
∴a0＋a2＋a4＝41．
迁移与应用 1．A 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2)4．
∴(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)
＝(2＋)4·(－2＋)4＝[(＋2)(－2)]4＝1．
2．729 解析：由已知2n－1＝32，∴n＝6．
∴(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6．
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝(－3)6．
而h＝a0＋a2＋a4＋a6，t＝a1＋a3＋a5，
∴h2－t2＝(h＋t)(h－t)＝36＝729．
当堂检测
1．的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第6项 B．第8项
C．第5,6项 D．第6,7项
答案：D 解析：由n＝11为奇数，则展开式中第项和第项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．
2．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝( )
A．32 B．1
C．－243 D．1或－243
答案：B 解析：展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r·a5－r·xr，
令r＝2，则a2＝(－1)2·a3＝80，∴a＝2．
∴(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝1．
3．(2013课标全国Ⅰ高考，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b．若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案：B 解析：由题意可知，，，
又∵13a＝7b，∴，
即．解得m＝6．故选B．
4．已知的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x的系数为__________．
答案：10 解析：由已知2n－1＝16，n＝5，
∴展开式的通项为Tr＋1＝·(x2)5－r·＝·x10－3r，
令10－3r＝1，则r＝3，∴含x项的系数为．
5．(2013江苏常州模拟)在的展开式中，
(1)系数的绝对值最大的项是第几项？
答案：
解：Tr＋1＝＝(－1)r··2r·．
(1)设第r＋1项系数的绝对值最大，
则∴
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
(2)求二项式系数最大的项．
答案：二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．
∴T5＝·24·＝1 120x－6．
(3)求系数最大的项．
答案：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．
则系数最大的项为T7＝·26·x－11＝1 792x－11．
(4)求系数最小的项．
答案：系数最小的项为T6＝(－1)5·25＝－1 792．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
1.3.2 二项式定理（2）
课堂导学
三点剖析
一、二项式定理的应用——解决整除、余数有关问题
【例1】 9192除以100的余数是多少？
解析:9192=（100-9）92=10092-·10091·9+·10090·92-…-·100·991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.
∵992=（10-1）92
=1092-·1091+·1090-…+·102-·10+（-1）92
=1092-·1091+·1090-…+·102-920+1
=（1092-·C91+·1090-…+·102-1 000）+81
∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.
二、二项式定理的应用——近似计算问题
【例2】 一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率P（单位：马力）和螺旋桨的直径D（单位：米）的关系是P=6D5,已知D=3.11，求P(精确到100马力)
解析：∵D=3.11
∴P=6×(3.11)5=6×(3+0.11)5
=6［35+·34·0.11+·33·(0.11)2+…+ (0.11)5］
在精确到100马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计.
∴P≈6×［35+·34×0.11］
=6×（243+44.55）
=1 725.3≈1 700
即所消耗的功率约为1 700马力.
温馨提示
在用二项式定理求近似值时，要根据题目精确度的要求，合理选取二项展开式的某几项进行求值，特别当h很小而n又很大时，（1+h）n≈1+nh是工业计算中经常使用的粗算公式.
三、二项式定理的应用——证明不等式
【例3】 证明：2≤(1+)n＜3(n∈N*)
证明：当n=1时，（1+1）1=2,
当n＞1时，（1+）n=1++…＞1+1+＞2，
∴2≤(1+)n
又
∴(1+)n=1+·+·+…+·
≤
=2+1-＜3
∴2≤(1+)n＜3
温馨提示
证明(1+)n＜3还可以有如下的证法：
(1+)n≤
=＜3.
在证明过程中，要善于联想数列求和的各种方法.恰当地进行放缩.
各个击破
【类题演练1】1+3+32+…+399被4除所得的余数为____________.
解析：1+3+32+…+399=［3100-1］
=［(4-1)100-1］=［·4100-499+…-·41+-1］
=8（·498-·497+…+·2-50）
∴原式被4除所得的余数为0.
【变式提升1】求证：3 2n+3-24n+37能被64整除.
证明：32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37
=3(8+1)n+1-24n+37
=3(8n+1+8n+…+)-24n+37
=3×64(·8n-1+·8n-2+…+)+24-24n+40
=64×3(8n-1+8n-2+…+)+64是64的倍数
故原式可被64整除.
【类题演练2】某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增长0.2%，则100天后这家公司的股票指数约为______________（精确到0.001）.
解析：100天后指数为
2(1+)100=2·（1+0.002）100
=2(1+0.002+×0.0022+×0.0023+…)
≈2(1+0.2+0.019 8+0.001 293 6)=2.442
答案：2.442
【变式提升2】一种A型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年的价格是57.6万元（含28.8万元关税税款）.某人在2001年将33万元存入银行，若该银行扣利息税后的年利率是1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（每一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息能否购买一辆A型进口汽车？
解析：33万元存入银行，到2006年得到的本息和为33（1+0.018）5=33(1+0.018+0.0182+…+0.0185)＞33(1+0.090+0.003 24)=36.076 92.
到2006年A型进口汽车的价格为
28.8+28.8×=36.
因为36.076 92＞36，所以五年到期后这笔钱连本带息能够买一辆A型进口汽车.
【类题演练3】 当n∈N*，求证：(1+)n＜(1+)n+1
证明：因为(1+)n=1+·+·+…+·,
其中
=(1-)(1-)…(1-)
＜(1-)(1-)…(1-)
=
=·
∴(1+)n＜1+·+·
=(1+)n
【变式提升3】已知i,m,n是正整数，且1＜i≤m＜n，
（1）证明＜；
（2）证明（1+m）n＞(1+n) m.
证明：（1）略.
（2）由二项式定理：
（1+m）n=，
（1+n）m=.
由（1）知＜ (1＜i≤m＜n).
又，
∴，
∴
∵=1,
，
∴，
即（1+m）n＞(1+n) m.
1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质
课堂导学
三点剖析
一、增减性与最值问题
【例1】 在（1+2x）10的展开式中，（1）求系数最大的项；（2）若x=2.5,则第几项的值最大？
解析：（1）设第r+1项的系数最大，由通项公式Tr+1=·2rxr，依题意Tr+1项的系数不小于Tr项及Tr+2项的系数，
即，解得.
∴≤r≤且r∈Z,∴r=7,故系数最大项为T8=27x7=15 360x7.
(2)设展开式中的第r+1项的值最大，则Tr+1≥Tr＞0,Tr+1≥Tr+2＞0,
∴
∴.
将x=2.5代入得,得≤r≤.
∴r=9,即展开式中的第10项的值最大.
二、“二项式系数和”、“系数和”问题
【例2】 已知（1-3x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8.
求（1）a0+a1+…+a8;
(2)a0+a2+a4+a6+a8;
(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|.
解析：（1）令x=1，得
a0+a1+…+a8=28=256. ①
(2)令x=-1，得
a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=48 ②
∴①+②得
2(a8+a6+a4+a2+a0)=28+48.
∴a8+a6+a4+a2+a0=(28+48)=32 896.
(3)由于（1-3x）8
=C08+ (-3x)+ (-3x)2+…+(-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8
故a0,a2, …,a8＞0，a1,a3, …,a8＜0，
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|
=a0-a1+a2-a3+…+a8.
由②可知
|a0|+|a1|+…+|a8|=48=65 536.
三、与“杨辉三角”有关的问题
【例3】 如下图的数表中每一个数都是某个正整数的倒数，起始行（第0行）为1，每一个数都等于脚下两数之和.
（1）试填写第1行和第2行，填法是否唯一，并说明理由.
（2）注意第n行（n=0,1,2,…）的第1个数为1n+1，猜想此时第n行第r个数（不证明）.
解析：（1）=1,(m,n∈N*),则有,n与n-1互质，故m=2,n=2,第一行为,,令= (m,n∈N*),
则有.
当n-2=1时，n=3,m=6;
当n-2=2时，n=4,m=4;
当n-2是n的约数时，记n=R(n-2)(R∈N*),(R-1)n=2R,R与R-1互质，所以R-1=2，R=3，此时n=3,进而知m=6.故第二行填法不唯一，可为，，，也可为，，.
（2）猜想：令第3行第1个数为，则第3行各数依次为，，，.
第1行：;
第2行：;
第3行：；
……
第n行：…,.
∴猜想第n行第r个数为.
各个击破
【类题演练1】已知f(x)=(1+x) m+(1+2x)n,(m,n∈N)的展开式中x的系数为11，求：
（1）x2的系数的最小值.
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中的x的奇次幂项的系数之和.
解析：（1）由已知+2=11,
∴m+2n=11,x2的系数为+2n(n-1)
=(m-)2+,∵m∈N
∴m=5时，x2的系数取得最小值22，此时n=3.
(2)由（1）知，当x2系数取得最小值22时n=3.
∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3
设这时f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+…+a5x5
令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33
令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1
相减得2（a1+a3+a5）=60
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
【变式提升1】已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20 000，求x的值.
解析：由题意++=22
即++=22,
∴n=6,∴第4项的二项式系数最大，
∴（xlgx）3=20 000即x 3lgx=1 000
∴x=10,或.
【类题演练2】一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为…………（ ）
A.20 B.219 C.220 D.220-1
解析：-1.
答案：D
【变式提升2】证明：（）2+()2+…+()2=,并求()2+()2+…+()2的值.
证明：比较（1+x）n·(1+x)n=(1+x)2n两边x的系数.
左边xn的系数为
·+·+·+…+·,
右边xn的系数为
∴·+·+…+·=
∵=
∴()2+()2+…+()2=
∴()2+()2+…+()2==252.
【类题演练3】 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第____________行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3.
解析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言.
设所求的行数为n，将条件转换为组合数语言，得
,即，解得n=34.
答案：34
【变式提升3】设{an}是集合{2t+2s|0≤s＜t,且t,s∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,……,将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图的三角形数表.
（1）写出这个三角形数表的第四、五行各数；
（2）求a100.
解析：（1）以有序数对（t,s）表示表中各数的位置，则表中各数排列规律为
第四行：17，18，20，24，
第五行：33,34,36,40,48
(2)a100=16 640.
1.3 二项式定理
知识梳理
1.二项式定理
（1）(a+b)n=___________（n∈N*）.
（2）(a+b)n的展开式中共有___________项，其中各项的系数(r=0,1,2, …,n)叫做___________.式中的an-rbr叫做二项展开式的___________.它是展开式中的第_________项.
（3）(a-b)n=___________;
(1+x)n=___________.
2.“杨辉三角”与二项式系数的性质
（1）对称性：在(a+b)n的展开式中，___________的两项的二项式系数相等.
（2）增减性与最大值：当r＜时,二项式系数是逐渐___________的，由对称性可知它的后半部分是逐渐___________的,且在中间取到最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式系数___________取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数___________相等,且同时取到最大值.
3.各二项式系数的和
=_________________.
…=________________.
知识导学
学习二项式定理首先要记住二项式(a+b)n的展开式，应该了解展开式各项的如下两个特征：①每一项次数之和为n,②a按降幂排列，从n到0次;b按升幂排列，从0次到n次.其次要掌握二项式展开式的应用要理解二项式的展开式的通项.
在二项式定理中，对a、b赋予不同的值，就得不同形式的组合恒等式，在多项展开式中，系数的和也常用赋值法来求.同时要注意逆向思维的培养，掌握二项式定理的逆用.
疑难突破
1.如何正确区分二项展开式中某一项的二项式系数与系数的概念？
剖析：两者是不同的概念. (r=0,1,2, …,n)叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分.如（1+2x）7的二项展开式的第4项的二项式系数为=35.而其第4项的系数为·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理？
剖析：由于(a+b)n=,将(a+b)看作是含有红（a）、白（b）两球的盒子，则(a+b)n的展开式的每一项可以理解为从n个盒子中每一个盒子取出一个球的可能结果，而其前面的系数则是这种结果的方法数，如an-rbr是从这n个盒子中取出r个（b）白球、(n-r)个红球的情况，其方法数为，因此有(a+b)n= .
3.如何理解赋值法在证明二项式系数的三条性质中的运用？
剖析：事实上，二项式定理给出的是一个恒等式，对于a、b的一切值都成立，因此对一些特定的值也成立.对a、b赋予一些特定的值是解决二项式问题的一种重要思想方法.赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f(a,b)=(a+b)n=,对a、b赋于一定的值，就能得到一个等式.
1.3 二项式定理 1
课堂探究
探究一 二项式定理
(1)简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开，对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形，然后再展开，以使运算得到简化，记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提．
(2)逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点．a的指数是从高到低，b的指数是从低到高，a，b的指数和都相等，如果项的系数是正负相间，则是(a－b)n的形式．
【典型例题1】(1)求4的展开式；
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
思路分析：(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开．
(2)分析式子的结构形式，逆用二项式定理求解．
解：(1)方法一：直接利用二项式定理展开并化简：
4＝C·(2)4·0＋C·(2)3·＋C·(2)2·2＋C·(2)·3＋C·(2)0·4＝16x2＋32x＋24＋＋.
方法二：4＝4＝(2x＋1)4
＝[C(2x)4·10＋C·(2x)3·1＋C·(2x)2·12＋C·(2x)·13＋C·(2x)0·14]
＝(16x4＋32x3＋24x2＋8x＋1)
＝16x2＋32x＋24＋＋.
(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
规律总结 熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．
探究二 二项展开式中特定项的计算
求展开式中的某些特定项时，应先确定哪些项是要求的项，再用通项公式求解．常见问题：求常数项(未知量的指数为零)，求有理项(项的指数为整数)，求某一项．注意某项的系数与二项式系数的区别．
【典型例题2】已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
思路分析：利用展开式的通项公式，求出当x的次数为0时n的值，再求解第(2)问、第(3)问．
解：(1)由通项公式知，展开式中第k＋1项为Tk＋1＝C·()n－k·k＝C··＝k·.
∵第6项为常数项，∴k＝5，且n－5×2＝0，
∴n＝10.
(2)由(1)知Tk＋1＝k·C·.
令＝2，则k＝2.
∴x2的系数为2×C＝×45＝.
(3)当Tk＋1为有理项时，为整数，0≤k≤10，且k∈N*.
令＝z，则k＝5－z，
∴z为偶数，从而求得当z＝2,0，－2时，k＝2,5,8符合条件．
∴有理项为T3＝C·2x2＝x2，T6＝C5＝－，T9＝C8x－2＝x－2.
规律总结 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2,3，…，n)．
(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0，建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．
探究三 利用二项式定理解决整除和余数问题
用二项式定理解决an＋b整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r≤n)的形式，利用二项展开式求解．
【典型例题3】试判断7777－1能否被19整除．
思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开．
解：7777－1＝(76＋1)77－1
＝7677＋C×7676＋C×7675＋…＋C×76＋C－1
＝76×(7676＋C×7675＋C×7674＋…＋C)．
由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．
规律总结 应用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．
探究四 易错辨析
易错点 混淆二项展开式中项的系数与二项式系数
【典型例题4】(x－1)5的展开式中第4项的系数是( )
A．10 B．－10 C．20 D．－20
错解：第4项的系数为C＝10.故选A.
错因分析：把二项展开式中项的系数与二项式系数混淆了．
正解：由展开式通项得T4＝C·(x)2·(－1)3＝－10×2x2＝－20x2，所以第4项的系数为－20.
答案：D
1.3 二项式定理 1
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课程目标
学习脉络
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．理解二项式定理及二项展开式的特征，能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．正确运用二项展开式展开或化简某些二项式，运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数．
4．能解决与二项式定理有关的简单问题.
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈)叫做二项式系数．
思考1如何理解二项式定理？
提示：(1)项数：n＋1项．(2)指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0，同时b的指数由0递增到n.
2．二项展开式的通项
(a＋b)n展开式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．
思考2 如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数？
提示：某一项的系数与该项的二项式系数不是一个概念，C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x)3的二项展开式中第3项的二项式系数为C，而该项的系数为C×22＝12.
1.3 二项式定理 2
课堂探究
探究一 与杨辉三角有关的问题
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路．
【典型例题1】下列是杨辉三角的一部分．
(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？
(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？
解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．
(2)设a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，若令bn＝an＋1－an，则b1＝2，b2＝3，b3＝4，所以可得{bn}是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．
规律总结 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．
探究二 有关二项式系数的性质的问题
(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得．
【典型例题2】(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
思路分析：求(a＋bx)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，…，An＋1，再设第k＋1项系数最大，则由不等式组确定k的值．
解：T6＝C·(2x)5，T7＝C·(2x)6，依题意有
C·25＝C·26n＝8.
∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C·(2x)4＝1 120x4.
设第k＋1项系数最大，则有
解得5≤k≤6.
∴k＝5或k＝6(∵k∈{0,1,2，…，8})．
∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
规律总结 熟记二项展开式的通项是解决本题的关键，注意k只能取正整数．
探究三 有关二项式系数和与展开式的系数和的问题
赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．
【典型例题3】设的二项展开式中各项系数之和为t，二项式系数和为h，若h＋t＝272，则二项展开式含x2项的系数为__________．
思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．
解析：由已知令x＝1，则展开式各项系数和t＝(3＋1)n＝4n，二项式系数和h＝C＋C＋…＋C＝2n，
∴h＋t＝4n＋2n＝272，解得n＝4.
∴.
则展开式的通项公式为Tr＋1＝C·()4－r·()r＝34－rC，令＋＝2，则r＝4.
∴含x2项的系数为1.
答案：1
规律总结 求展开式中各项系数和或差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需要根据所求的展开式系数和或差的特征来进行．
探究四 易错辨析
易错点 混淆二项展开式中奇次项与奇数项、偶次项与偶数项的概念
【典型例题4】已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数和小38，求C＋C＋C＋…＋C的值．
错解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
则奇次项的系数和为a0＋a2＋a4＋…，
偶次项的系数和为a1＋a3＋a5＋…，
令x＝－1，得
(a0＋a2＋a4＋…)－(a1＋a3＋a5＋…)＝(－3)n，
由已知可得，(－3)n＝－38＝(－3)8，
∴n＝8，∴C＋C＋C＋…＋C＝28.
错因分析：错解有三处错误．一是误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数项．二是把C＋C＋C＋…＋C看成二项展开式各项二项式系数和，忽略了C.三是(－3)n＝－38＝(－3)8也不成立．解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误．
正解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…
由已知可知，B－A＝38.
令x＝－1，得：
a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)
＝(－3)n，即B－A＝(－3)n.
∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.
由二项式系数性质可得：C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1.
1.3 二项式定理 2
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课程目标
学习脉络
1．能认识杨辉三角，并能利用它写出(a＋b)n次数不是很大时的展开式．
2．能记住二项式系数的性质，并能灵活运用解决相关问题．
3．会用赋值法求展开式系数的和.
1．杨辉三角
(a＋b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式：
上面的二项式系数表称为“杨辉三角”．
特点：(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
思考1利用杨辉三角，写出(a＋b)7的展开式．
提示：a7＋7a6b＋21a5b2＋35a4b3＋35a3b4＋21a2b5＋7ab6＋b7.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C.
(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值．
思考2(a＋b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n＝( )
A．6 B．7 C．8 D．9
提示：由已知C＝C可知，n＝1＋5＝6.
3．各二项式系数的和
C＋C＋C＋…＋C＝2n.
思考3 你能证明C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1吗？
提示：∵(1＋1)n＝C＋C＋C＋…＋C＝2n，
(1－1)n＝C－C＋C－…＋(－1)nC＝0，
∴C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
