1.2
排列与组合
知识梳理
1.排列及排列数公式
（1）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，___________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
（2）两个排列相同，当且仅当两个排列的元素___________,且元素的___________也相同.
（3）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号___________表示.
（4）排列数公式=___________=___________；特别地=___________=___________
(m、n∈N
且m≤n),0!=____________.
2.组合及组合数公式
（1）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
（2）如果两个组合中的元素____________，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合，只有当两个组合中的元素____________时，才是不同的组合.
（3）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号____________表示.
（4）组合数公式=____________=____________.
3.排列与组合的联系与区别
（1）排列和组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，但排列与元素的顺序____________，而组合与元素的顺序____________；
（2）排列数与组合数的关系：____________.
知识导学
要学好排列与组合这一节内容，除了要学好分类加法计数原理与分步乘法计数原理，更重要的是区分排列和组合，切实掌握排列和组合的概念，运用乘法计数原理理解排列数与组合数的关系，并能从实际问题出发，掌握排列数和组合数的相应性质.
对于排列与组合的区分，关键是判断事件有无“顺序性”，这可以用“交换法”来检验任取完成事件的一个方案，交换其中的两个元素，若交换后的方案与交换前的方案是不同的方案，则事件具有顺序性从而是排列，否则就是组合.
疑难突破
1.理解排列的定义需要注意的问题
(1)元素:是指被取的对象;
(2)一定取出m个不同的元素(m≤n);
(3)定义包含两个基本内容;一是“取出元素”,一是“按照一定顺序排成一列”.这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关,所以,取出的元素与“顺序”有无关系就成为我们判断问题是否为排列问题的标准.在具体问题中，究竟何时有关,何时无关,由问题的性质和条件来决定.
(4)全排列：把n个不同的元素全部取出来进行排列，即n=m时.
(5)排列的方法一般可采用树图法或框图法.
(6)排列数与一个排列是两个不同的概念:根据定义,一个排列是具体的一件事,它不是一个数;而排列数是所有排列的个数,它是一个数.解题时应分清求排列还是排列数.
(7)公式右边乘积的特点是：第一个因数最大，它是A的下标n，后面每个因数比前面少1；共有m个因数；最后一个因数是下标n减去上标m再加上1，即n-m+1.
(8)全排列表示为=n!=n·(n-1)·…·2·1;这是自然数n的阶乘；要掌握好两相邻整数的阶乘间的关系.
（9）组合与元素的顺序无关，仅与所取元素的不同有关；
（10）组合数与一个组合是两个不同的概念:根据定义,一个组合是具体的一件事,它不是一个数;而组合数是所有组合的个数,它是一个数.解题时应分清求组合还是组合数.
（11）组合数与排列数的公式的差别在于，这正体现排列与组合差别所在：所取出的m个元素有无顺序问题.
2.如何解决有条件限制的排列问题
剖析：首先读懂题意，理清题目所要求一件事的完成程序；然后在此基础上进行分步，若不能“统一分步”,则需先分类再分步：
(1)限制条件只有一个，则先排受限制的位置或元素，再排其他任意元素.
(2)若限制条件有两个，要进一步分析两个限制条件间的关系：
设甲位置上可排元素的集合为A，乙位置上可排元素的集合为B.
①A∩B=(相离)：可先排甲、乙，再排其他；
②AB（包含）：先排受限制严者，再排受限制较宽者，最后排其他；
③A∩B≠且AB（相交）：甲、乙均可作为第一步，但必须从第一步起就分类，把它转化为①或②的情况.1.2.3
组合（1）
课堂导学
三点剖析
一、有限制条件的组合问题——“在”与“不在”问题
【例1】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
（1）从口袋内取出3个球，共有多少不同的取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，共有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，共有多少取法？
解析：（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是
=56
答：从口袋内取出3个球，共有56种取法.
（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是=21.
答：取出含有1个黑球的3个球，共有21种取法.
（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是
=35
答：取出不含黑球的3个球，共有35种取法.
温馨提示
(1)从n个不同的元素中，每次取出m个不同元素的组合，其中一个必须在内.这类问题的思考方法是先将这个特定元素置于其内，则只需由余下的n-1个元素中每次取出m-1个元素，再汇总原置于内的特定元素，所以符合条件的种数为.
(2)从n个不同的元素中，每次取出m个不同元素的组合，其中某一元素不能在内.这类问题有两种思考方法：
①将这个特定元素选出，而从其余的n-1个元素中每次取m个不同元素的组合，这些组合显然必符合条件，为种；
②以间接法解之，即从不带附加条件的总数中，减去不合本题条件的数，为-种.
二、有限制条件的组合问题——“至多”“至少”问题
【例2】
从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有(
)
A.140种
B.84种
C.70种
D.35种
思路分析：取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台，它包括两种可能：2甲1乙或1甲2乙，所以可用分类计数原理和分步计数原理解决，另外也可以采用间接法.
解法一
从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台，有种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有+
=70(种).
解法二
从所有的9台电视机中取3台有种取法，其中全为甲型的有种取法，全为乙型的有种取法，则至少有甲型与乙型各一台的取法有--=70(种).
答案：C
温馨提示
本题解法一用了直接法，解法二用的是间接法；本题最易出现如下取法错误=140（种）.这样计算就出现了重复.
三、求组合题的原则——“正难则反”
【例3】
空间中有8个点，有且只有4个点共面，共可确定多少个平面？
解析：利用间接法：不考虑限制条件，从8个点中任取3个点共有种取法，由于其中4个点共面，从这4个点中任取3个的组合数为，故一共确定的平面数为：
-+1=53.
（这里加1是因为多减了一个平面）.
温馨提示
有些计数问题正面情况太繁杂或直接法难以入手时，往往从问题的反面考虑更易解决.
各个击破
【类题演练1】从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数.
(1)A，B必须当选；
(2)A，B必不当选；
(3)A，B不全当选；
(4)至少有两名女同学当选；
(5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须男同学担任，文娱委员必须女同学担任.
解析：（1）只要从其余的10人中再选3人即可，有=120（种）.
（2）5个都选自另外10人，即有=252（种）.
（3）法一：分类如下：
A，B中有一人当选：有种.
A，B都不入选：有种.
所以共有+=672（种）.
法二：-=672（种）
(4)间接法：
=596（种）
（5）法一：分三步：
第一步：选一男一女分别担任体育委员、文娱委员的方法有种；
第二步：选出两男一女，补足5人的方法有种；
第三步：为这三人分配职务，有种；
由分步计数原理，共有安排方法··=12
600（种）
法二：分两步：
第一步：选出3名男同学，2名女同学，有种方法；
第二步：分配职务有··种.
根据分步计数原理，共有安排方法
····=12
600(种)
【变式提升1】某学习小组8名同学，从男生中选出2人，从女生中选出1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？
解析：设有男同学x人，则女同学有8-x人，第一步，先从x名男同学中任选2名，有种选法；第二步从8-x名女同学中任选1名，有种选法，两次共选出3名同学，这三名同学的组合为·；第三步，将这3名同学全排列，有种排法.因为每个排列都对应一种参赛方式，所以，共有·=180种选法，其中x的取值范围是2≤x≤7，x∈N
.解方程，得x=5或6，8-x=3或2，即男生5人，女生3人；或男生6人，女生2人.
【类题演练2】从全班48人中选出5人参加东湖水污染情况调查小分队，假若班长和副班长至少有一人在内，有多少种选法？
解析：这是一个有限制条件的组合问题，要抓住题中的关键字眼“至少”进行正确的分类.
班长、副班长中只有一人在内，有种；班长、副班长两人都在内，有种，所以根据分类计数原理和分步计数原理，符合条件的选法共有(+)(种).
【变式提升2】从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有一位女同志，分别到四个工厂去调查，不同的分配方法有(
)
A.100种
B.400种
C.480种
D.2
400种
解析：可分两类：2男2女、3男一女
第一类有·种取法；第二类有·种取法，故共有（·+·）种，即100种取法.
每一种取法都有种分配方法.共有100×=2
400(种).选D.
【类题演练3】
由正方体的8个顶点和中心，可组成多少个四面体？
解析：在正方体的顶点和中心共9个点中，其中四点共面的情况有6种，5点共面情况有种，所以组成四面体的个数为=90(种).
【变式提升3】
从三棱柱6个顶点所连的直线中，能组成多少对异面直线？
解析：众所周知，四面体的六条棱可以组成3对异面直线.由三棱柱的6个顶点可组成
-3=12个四面体.故三棱柱6个顶点所连的直线一共能组成3(-3)=36(对)异面直线.1.2.2 组合
问题导学
一、组合概念的理解与应用
活动与探究1
判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？
迁移与应用
1．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为__________．
2．中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛，赛制采取单循环赛方式，请列举出所有各场比赛的双方．
区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
二、与组合数有关的计算与证明
活动与探究2
1．计算：(1)3C－2C＋C；(2)C＋C；
(3)C＋C＋C．
2．证明：mC＝nC．
迁移与应用
1．计算：C＋C＋C＋…＋C＝__________．
2．若C＝C，则x＝__________．
3．证明下列各等式：
(1)C＝C；
(2)C＝C；
(3)C＋C＋C＋…＋C＝C．
(1)组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字母的可以用阶乘式计算．
(2)性质1：C＝C主要应用于简化运算．性质2：C＝C＋C从右到左两个组合数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．
三、简单组合问题
活动与探究3
现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
迁移与应用
1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种
B．63种
C．65种
D．66种
2．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有__________种．
解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．
四、有限制条件的组合问题
活动与探究4
1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种
B．35种
C．42种
D．48种
2．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，且既会划左舷又会划右舷的最多选1人，则不同的选法有( )
A．4种
B．36种
C．40种
D．92种
迁移与应用
1．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )
A．360
B．520
C．600
D．720
2．(2013辽宁大连模拟)有8名男生和5名女生，从中任选6人．
(1)有多少种不同的选法？
(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？
(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？
(4)其中有2名女生，4名男生，分别负责6种不同的工作，共有多少种不同的分工方法？
(5)其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？
(1)解有约束条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法．
(2)要正确理解题中的关键词(如“都”与“不都”，“至少”与“至多”，“含”与“不含”等)的确切含义，正确分类，合理分步．
(3)分配问题的一般思路是先选取，再分配．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．组合
预习交流1 提示：联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．
区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
2．(1)组合数 C (2)
预习交流2 (1)提示：C
(2)提示：D
3．C C＋C
预习交流3 提示：(1)C (2)C
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：明确组合、排列的定义是解题的关键．若问题是否与顺序有关不明显，可以尝试写出其中的一个结果进行判断，再运用排列数与组合数公式求值．
解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．分配方法有C＝5种．
(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．不同的分数有A＝20个．
(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．不同的选法有C＝126种．
迁移与应用 1．20 解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C＝20种．
2．解：单循环赛，指双方只赛一场，
因此所有各场比赛双方为
中国——日本；中国——韩国；
中国——朝鲜；日本——韩国；
日本——朝鲜；韩国——朝鲜．
活动与探究2 1．思路分析：先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，然后利用组合数公式展开计算．
解：(1)3C－2C＋C＝3×－2×＋1＝149．
(2)C＋C＝C＋C＝＋200＝5
150．
(3)C＋C＋C＝C＋C＝C＝＝56．
2．思路分析：式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．
证明：左边＝m·
＝
＝n＝nC＝右边，
∴mC＝nC．
迁移与应用 1．165 解析：∵C＝C＝1，
∴原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝＝165．
2．6或7 解析：由已知x＝2x－6或x＋2x－6＝15，∴x＝6或x＝7．
3．证明：(1)右边＝·
＝＝
＝C＝左边，
∴原式成立．
(2)右边＝·
＝·＝
＝C＝左边，
∴原式成立．
(3)左边＝(C＋C)＋C＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
…
＝C＋C＝C＝右边，∴原式成立．
活动与探究3 思路分析：首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．
解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45．
(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2名是女教师有C种方法，即C＋C＝21种．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有选法C×C＝×＝90种．
迁移与应用 1．D 解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C＝1种，取2奇数2偶数的取法有C·C＝60种，取4个数均为奇数的取法有C＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．
2．21 解析：分两类：一类是2个白球有C＝15种取法，另一类是2个黑球有C＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．
活动与探究4 1．思路分析：两类选修课选3门，依据A类选修课选1门或2门进行分类，每类需要利用分步乘法计数原理解决．
A 解析：分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C·C＋C·C＝30种选法．
2．思路分析：既会划左舷又会划右舷是多面手，是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论．
C 解析：第一类：无既会划左舷又会划右舷的有C·C＝4种选法．
第二类：只有一名既会划左舷又会划右舷的有C(CC＋CC)＝2(3×4＋6)＝36种选法．
∴共有40种选法．
迁移与应用 1．C 解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝2×10×24＝480种选法．
第二类，甲、乙都参加时，则有C(A－AA)＝10(24－12)＝120种选法．
∴共有480＋120＝600种选法．
2．解：(1)是无限制条件的组合问题．适合题意的选法有C＝1
716种．
(2)是有限制条件的组合问题．
第1步，选出女生，有C种；第2步，选出男生，有C种．
由分步乘法计数原理，适合题意的选法有C·C＝560种．
(3)是有限制条件的组合问题．
至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2名女生，3名女生四类情况．
第1类没有女生，有C种；第2类1名女生，有C·C种；
第3类2名女生，有C·C种；第4类3名女生，有C·C种．
由分类加法计数原理，适合题意的选法共有
C＋C·C＋C·C＋C·C＝1
568种．
(4)是有限制条件的组合与排列问题．
第1步，选出适合题意的6名学生，有C·C种；
第2步，给这6名学生安排6种不同的工作，有A种．
由分步乘法计数原理，适合题意的分工方法共有C·C·A＝504
000种．
(5)是有限制条件的组合问题．
用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生的情况即是符合题意的选法．而由题意知不可能6人全是女生，所以只需排除全是男生的情况，C－C＝1
716－28＝1
688种．
当堂检测
1．的值为( )
A．6
B．101
C．
D．
答案：C 解析：
．
2．从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( )
A．
B．
C．
D．
答案：A 解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，则抽取方法有种．
3．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有__________种．
答案：34 解析：(间接法)共有种不同的选法．
4．6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有__________种．
答案：15 解析：当选用信息量为4的网线时有种；当选用信息量为3的网线时有种，共有种．
5．计算：
(1)；
解：由题意知，原式中的自然数n必须满足不等式组
由①，得解此不等式组得≤n≤38；
由②，得解此不等式组得0≤n≤．
又∵nN
，∴n＝10，
．
(2)．
答案：由原式知，n需满足0≤3n≤13＋n且0≤17－n≤2n，
即满足不等式组
即
∴可得n＝6，
∴原式＝．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．1.2
排列与组合
2
课堂探究
探究一
组合概念的理解与应用
区别排列与组合的关键是看取出元素之后，在安排这些元素时，是否与顺序有关，与顺序有关的则为排列，与顺序无关的则为组合．
【典型例题1】判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
(3)从a，b，c，d这四名学生中选2名学生，去完成同一件工作有多少种不同的选法？
(4)规定每两个人相互通话一次，5个人共通了多少次电话？
(5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？
思路分析：观察取出的元素与顺序有关还是无关，从而确定是排列问题，还是组合问题．
解：(1)取出3个数字后，如果改变三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．
(3)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．
(4)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．
(5)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．
规律总结
区分排列与组合的办法是首先弄清楚条件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
探究二
借助图表列出所有组合
对于给出的组合问题，要求写出所有组合，一般是将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示或图表的方法逐个地将各个组合表示出来．这样做直观、明了、清楚，可避免重复和遗漏．
【典型例题2】(1)已知a，b，c，d这4个元素，写出每次取出2个元素的所有组合；
(2)已知A，B，C，D，E这5个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．
思路分析：先将元素按一定顺序写出，然后按照顺序用图示的方法逐步写出各个组合即可．
解：(1)可按a→b→c→d顺序写出，即
所以，所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即
所以，所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
探究三
组合数公式
(1)组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字母的可以用阶乘式计算．(2)性质1：C＝C，主要应用于简化运算．性质2：C＝C＋C，从右到左两个组合数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．
【典型例题3】(1)计算：①3C－2C＋C；②C＋C；③C＋C＋C.
(2)证明：mC＝nC.
思路分析：(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，然后利用组合数公式展开计算．(2)式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．
(1)解：①3C－2C＋C＝3×－2×＋1＝149.
②C＋C＝C＋C＝＋200＝5
150.
③C＋C＋C＝C＋C＝C＝＝56.
(2)证明：∵左边＝m·＝
＝n＝nC＝右边，
∴mC＝nC.
规律总结
应用组合数公式时应注意以下几个方面：
(1)准确展开：应用组合数公式展开时要注意展开式的项数要准确．
(2)应用两个性质可以简化运算，起到事半功倍的效果．
探究四
常见的组合问题
解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意无重复或遗漏．
【典型例题4】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
思路分析：首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．
解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C＝＝45种不同的选法．
(2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师有C种方法；第2类，选出2名女教师有C种方法，即共有C＋C＝21种不同的选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有C×C＝×＝90种不同的选法．
探究五
易错辨析
易错点 考虑问题不全面重复计数或漏解
【典型例题5】有编号分别为1,2,3,4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．恰有一个空盒，有多少种放法？
错解一：将3个小球放入4个盒子中，有A种放法，再把余下的1个小球放到3个盒子中的一个，有C种放法．所以有A×C＝72种放法．
错解二：从4个小球中任取3个，有C种取法，从4个盒子中任取3个，有C种取法．将3个小球放到取出的3个盒子中，有A种放法，再把余下的小球放到3个盒子中的一个，有3种放法，所以放法共有C×C×A×3＝288种．
错因分析：错解一属于遗漏计数问题．从四个小球中取出3个(不妨设为1号、2号、3号)放入三个盒中，则把4号小球放入三个盒中的一个时，只有1号和4号；2号和4号；3号和4号三种情况，漏掉了1号和2号；1号和3号；2号和3号的情况．
错解二属于重复计数问题．若取出的3个小球为1号，2号，3号，则4号小球放入盒中时，其中一种方式为
；若取出的3个小球为2号，3号，4号，则1号小球放入盒中时，其中也有一种方式为
，故出现重复计数．
正解：由题设，必有一个盒子内放入2个小球，从4个小球中取出2个小球，有C种取法，此时把它看作一个小球，与另2个小球共3个小球放入4个盒子中，有A种放法，所以满足题意的放法为C×A＝144种．1.2.4
组合（2）
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三点剖析
一、求解组合问题的等价转化方法
【例1】
有10级台阶，一个人每步上一级、两级或三级，共7步上完，则不同的走法共有多少种？
解析：要首先确定每步一上级、两级或三级的步数，这可将问题等价转化为方程的解的问题.设每步上一级的步数为x，每步上两级的步数为y，每步上三级的步数为z，则
(x、y、z∈N).
易知0≤z≤1，可解得
或
当x=4,y=3,z=0时，它等价于将4个相同的黑球、3个相同的白球排成一列，共有=35种排法，则有35种走法.
当x=5,y=1,z=1时，同理可知有=42种走法.
由分类计数原理，共有35+42=77种走法.
二、注意排列组合应用题中的形同实异问题
【例2】（1）把6本不同的书平均分放在三只抽屉里，有多少种不同的放法？
(2)把6本不同的书平均分放在甲、乙、丙三只抽屉里，有多少种不同的放法？
解析：（1）和（2）的主要区别在于对三只抽屉有没有编号，(1)中对三只抽屉没有编号，所以说哪一只抽屉是第一只、第二只或第三只都是可以的.而（2）中对三只抽屉已经编了号.
问题1有··/=15种放法；
问题2有··=90种放法.
温馨提示
在排列组合应用题中，有不少问题形同实异，在学习中容易发生混淆.对这样的题目，如果能经常注意对照、类比、辨析，对提高分析问题和解决问题的能力无疑是很有好处的.
三、立体几何中的组合问题的解法
【例3】（2005全国高考卷Ⅲ，11）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共面(
)
A.3个
B.4个
C.6个
D.7个
解析：事实上，平面α可以分为两类：一类是在平面α的两侧各有两个点；另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点.不共面的四个定点可以构成三棱锥（如图），设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面α满足题意，这样的平面有四个；又过E、F、H、M的平面α也满足题意，这样的平面有三个.
故适合题设的平面α共有七个，应选D.
温馨提示
在近几年的高考试题中出现了以立体几何的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题，这类问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强，能力要求高，解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时要注意避免重复和遗漏.本例中，根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，从而使问题得以解决.
各个击破
【类题演练1】8个不加区别的小球放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放一个，共有多少种放法？
解析：将8个球摆成一列，设法分成四部分，则每种分法对应一种放法.要想分成四部分，只需用3个隔板将它们隔开.8个球共有7个空隙，选其中3个空隙插隔板，共有=35种分法，故共有35种放法.
【变式提升1】圆周上有n(n≥4)个点，每两个点连一条弦，这些弦在圆内最多有多少个交点？
解析：如图所示，P是圆上四点A、B、C、D所引的弦在圆内的惟一交点，即圆内接四边形ABCD对角线的交点，易知，当没有三弦交于圆内一点（端点除外）时，弦在圆内的交点个数最多，且这时弦在圆内的交点与相应的圆内接四边形可以建立一一映射，所以这些弦在圆内最多有个交点.
【类题演练2】（1）把7个不同的玻璃球放在两个布袋中，有多少种不同的放法？
（2）把7个玻璃球放在甲、乙两个布袋中，有多少种不同的放法？
（必须两个布袋里都有玻璃球）
解析：（1）共有++=63（种）；
（2）共有2（++）=126（种）.
【变式提升2】十件奖品全部赠给九位先进工作者，每人至少得一件.如果十件奖品都相同，有多少种不同的赠送方法？
解析：如果10件奖品都相同，那么得奖方法只有得2件与1件的区别，赠2件的方法有9种，也就是赠送的方法一共有种，即9种.
【类题演练3】（2005江苏高考，12）四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库存放是安全的，现在编号①②③④的四个仓库存放这8种化工产品，则安全存放的不同方法总数为(
)
A.96
B.48
C.24
D.0
解析：如图分别用1—8标号的棱表示8种不同的化工产品，易知可以两两放入同一仓库的情况如下：（实质就是异面直线配对）
故8种产品安全存放有“（1，5）、（2，6）、（3，7）、（4，8）”和“（1，8）、（2，5）、（3，6）、（4，7）”两种可能，故所求的方法种数为=48（种），故选B.
【变式提升3】
在四棱锥P—ABCD中,顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中任取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有_______________种.(
)
A.40
B.48
C.56
D.62
解析：如图满足题设的取法可分为三类：
①在四棱锥的每个侧面上除P点外任取3点，有4×=40种取法；
②在两个对角面上除点P外任取3点，共有2×=8种不同取法；
③过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有4×=8种不
同的取法.
故不同的取法共有40+8+8=56种.
答案：C1.2.2 组合
2
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三点剖析
一、解排列问题的直接求法和间接求法
【例1】
6个人排值日，每日一人，甲不排星期一，乙不排星期二，丙不排星期三，共有多少种不同的排法.
解析：正面思考，情形太繁多，不易解决，考虑问题的反面，即甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三，其中至少有一种情况发生.甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三可能排法的集合依次用A、B、C表示.那么，不符合题意的排法共有Card(A∪B∪C)种.
因为Card(A∪B∪C)
=Card(A)+Card(B)+Card(C)-Card(A∩B)-Card(B∩C)-Card(C∩A)+Card(A∩B∩C)=，所以符合题意的排法共有
=426(种).
温馨提示
排列问题大多使用直接法求解.但有些计数问题正面情况太繁杂或直接法难以入手，这时往往从问题的反面考虑更容易解决.因此，在解排列问题时直接求法和间接求法互相补充.
二、允许重复的排列问题的求法
【例2】
四本读物中有三本是相同的，把这四本读物平均分给四个人，有多少种不同的分法？
解析：设所求的分法有N种，在每一种分法里，有三人分得的是相同的读物，一人分得的是不同的读物，假定其中第二人分得读物是b，第一、第三、第四人分得的读物都是a，因为把三本不同的书籍分给三人有种方法，所以如果把三本相同的书籍换成三本不同的书籍a1,a2,a3，那么这时分法的种数是原来的倍，也就是说，把a1,a2,a3,b四本不同的书籍分给四人的方法种数（有种）是把a,a,a,b四本书分给四人的方法种数的倍，即=，
所以N==4(种)
三、树形图在解排列问题中的应用
【例3】某工程由A，B，C，D，E，F，G，H，I
9个工序组成，由众多的施工队施工，当工序甲只有在工序乙完成后才能开工时，我们称工序乙是工序甲的紧前工序，现在这9个工序的关系及所需要工时（天）如下表：
工序
A
B
C
D
E
F
G
H
I
紧前工序
-
A
A
-
C，I
B，C，I
E，F
D
D
所需工时
6
2
2
4
4
3
1
2
5
试问该工程至少需要多少天才能完成，并给出工序的安排.
解析：给出工序的安排，也就是要正确画出体现工序之间衔接关系的工程网络树形图，求出其关键路线，就可知道整个工程的总工期.
依题意画出工程网络树形图（如图），由图易知：
①→③→④→⑥→⑦所需时间最长，它表明整个工程的总工程至少为4+5+4+1=14（天）.
很明显，在①→②→④→⑥→⑦这条路线上的工序，若有一个延迟一天，整个工程就要推迟一天，而不在这条路线上的工序对总工期就没有这种直接的影响.
（树形图）
温馨提示
近年来，在北京、上海中学生数学知识应用竞赛及各地的高考模拟训练中，出现了以工程的工序、工期为题材的所谓“工序网络”问题，利用数形图能清楚地反映工作的先后顺序和相互关系，使管理者对全局有一个完整清晰的了解.因此，学会正确有序地使用树形图，是解决问题的有力工具.
各个击破
【类题演练1】用0，1，2，3，4，5能组成多少个没有重复数字且大于201
345的自然数？
解析：用0，1，2，3，4，5组成的六位数共有()个，其中小于或等于自然数201345的数可分成两类，一类是首位数字是“1”的共有个，一类是首位数字是“2”的，只有201345本身一个.这时不符合条件的数就有(+1)个，因此符合条件的数共有()-(+1)=479(个)
【变式提升1】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是(
)
A.234
B.346
C.350
D.363
解析：直接法，分三类：1)两人坐前排，按要求有4×4×+6×=44种坐法；2)两人坐后排，按要求有=110种坐法；3)两人分别坐在前、后排，有2×8×12=192种坐法.
∴共有44+110+192=346种排法，选B.
【类题演练2】七名同学争夺五项冠军的可能性的种数为(
)
A.75
B.57
C.
D.
解析：因一个同学可同时夺得几项冠军，故学生可重复排列.将7名同学看做7家“店”，五项冠军看做5名“客”，都可住进7家“店”中任意一家，即每个“客”有7种住宿选择.由乘法原理得到共75种.故选A.
【变式提升2】一市区有5条南北向大道，4条东西向大道，一人想从市区的西北角走到东南角，问有多少种最短的路径可走？
解析：下图中，1，2，3，4为东西向的大道被5条南北向的大道所截断的相应部分；a,b,c为南北向的大道被4条东西向的大道所截断的相应部分.
1
2
3
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
b
1
b
2
b
3
b
4
b
c
1
c
2
c
3
c
4
c
由西北角到东南角需依次经过东西向的1，2，3，4与依次经过南北向的a,b,c，从而使路径最短.由此可知，所求路径等于两组元素1，2，3，4及a,b,c的全排列，其中数字大小的次序、文字字母的次序一定，即相当于这7个元素里有4个元素是相同的，另外有3个元素是相同的，因此，所求最短路径数为N==35.
【类题演练3】
如图（甲），有一个正方体的铁丝架，把它的侧棱中点I，J，K，L也用铁丝依次连上，现有一只蚂蚁想沿着铁丝从A点爬到G点，问最近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来.
（甲）
解析：设正方体的边长为2，则其一半为1，这样从A点到各点的最短路线长如图（乙）所示（图中括号
标记），再逆向追踪用树形图表示路线如图丙.
从而找出从A到G的12条最短路径：
AIEFG，ABJFG，AIJFG，
AIEHG，ADLHG，AILHG，
ABCKG，ADCKG，ADLKG，
AILKG，ABJKG，AIJKG.
（乙）
（丙）
【变式提升3】某药品研究所研制了5种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行进行疗效试验，但a1,a2两种药或同时用或同时不用，a3,b4两种药不能同时使用，则不同实验方法有(
)
A.12种
B.14种
C.16种
D.18种
解析：如图得：不同方案有4+6+4=14种
答案：B1.2.1 排列
1
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三点剖析
一、没有限制条件的排列问题
【例1】
从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法
解析：从甲、乙、丙3名同学中任选2名分别参加上午、下午的活动，对应于从3个元素中
任取2个元素的一个排列，因此共有=3×2=6种不同的方法.
温馨提示
判断是否是排列问题，关键是看是否与顺序有关.此问题的活动分上午和下午.甲参加上午的活动，乙参加下午的活动与甲参加下午的活动，乙参加上午的活动是不同的选派方法，与顺序有关.因此，此题是排列问题.
二、有限制条件的排列问题
【例2】
用0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的六位数
解法一：从特殊元素入手，0只能放在除十万位外的其他五个数位上，故共组成=4
320个没有重复数字的六位数.
解法二：从特殊位置入手，十万位不能排0，可先从其他6个数字中选出一个数字排到该位上，其他位置可随意排列，故共组成=4
320(个)没有重复数字的六位数.
解法三：用排除法：先不考虑任何限制条件，共组成个六位数，但需去掉0在十万位上的情形，有种，故共有-=4
320(个)没有重复数字的六位数.
温馨提示
有限制条件的排列问题，往往先考虑有限制条件的特殊元素或特殊位置，这可叫“特殊元素(位置)优先法”.
三、处理排列问题的典型问题和方法
【例3】
三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法
解析：(1)(捆绑法)因为三个女生必须在一起，所以可以把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排共有种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有种不同的排法，因此共有·=4
320种不同的排法.
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间一个空，这样共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，使得每个位置至多有一个女生插入，就能保证任意两个女生都不相邻，因此共有·=14
400种不同的排法.
(3)(位置分析法)：因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2人，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余6位都有种排法，所以共有·=14
400种不同的排法.
(4)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可以有·种不同的排法；如果首位是女生，有种排法，这时末位就只能排男生，共有··种不同的排法，所以共有·+··=36
000种不同的排法.
各个击破
【类题演练1】5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的选法
解析：不同选法的种数有=5×4×3=60(种).
【变式提升1】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号
解析：用1面旗表示的信号有种，用2面旗表示的信号有种，用3面旗表示
的信号有种，根据分类计数原理，所求的信号数是++=3+3×2+3×2×1=15(种).
【类题演练2】某年级开设语文、政治、外语、体育、数学、物理、化学七门课程，依下列条件课程表有多少种不同排法.
(1)一天开设七门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第七节；
(2)一天开设四门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第四节.
解析：(1)从元素考虑
先满足体育后再安排其他课，从2-6节中任取一节排体育有种排法，再从剩下的6
节课中排其它课程有种排法.依乘法原理有·=3
600(种).
【变式提升2】用0，1，2，…9十个数字可组成多少个没有重复数字的：
(1)五位奇数
(2)大于30
000的五位偶数
解析：(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有种取法.取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的八种不同取法.首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位，百位与千位三个数位选取，共有种不同的安排方法.因此由分步计数原理共有5×8×=13
440个没有重复数字的五位奇数.
(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30
000大的五位偶数，可分两类：
①末位数字从0，2中选取，则首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共种取法.所以共有2×7×种不同情况.
②末位数字从4、6、8中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有种选法，所以共有3×6×种不同情况.
由分类计数原理，共有2×7×+3×6×=10
752个比30
000大的无重复数字的五位偶数.
【类题演练3】从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法
解析：设全集U={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元集个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card
(B)+card(A∩B)==252(种).
【变式提升3】信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是(
)(用数字作答)
解析：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次
的挂法，故共有不同的信号种数是=10(种).1.2.5
排列组合的综合问题
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三点剖析
一、要正确合理使用两个计数原理
【例1】
某国际旅行社共有9名专业导游，其中6人会英语，4人会日语，若在同一天要接待5个不同的外国旅游团队，其中有3个队要安排会英语的导游，2个队要安排会日语的导游，则不同的安排方法共有_____________种.(用数字作答)
解析：可从那名既会英语，也会日语的人(记为甲)出发进行分类，按照甲是否被安排到需要英语的旅游团可分两类：
第一类，甲被安排到需要英语的旅游团，则再分两步进行，第1步再从会英语的另外5人中选2人共3人分别安排到3个需要英语翻译的旅游团，共有·种安排方法；第2步从只会日语的3人中选出2人安排到需要日语翻译的旅游团队有种安排方法，故一共有··种安排方法；
第二类，甲没有被安排到需英语翻译的旅游团，则可分两步：第1步，从只会英语的5人中选3人安排到需英语翻译的3个旅游团有种安排方法；第2步从会日语的4人(包括甲)中选2人安排到需要日语翻译的旅游团，有种安排方法，故共有·种安排方法.由分类计数原理，一共有+=1
080(种)不同的安排方法.
温馨提示
本题既用了加法原理，也用到了乘法原理，当两个原理同时使用时，要根据问题的特点分清使用的先后顺序.
二、解排列组合问题要遵循一定的先后原则
【例2】
（1）从1、3、5、7、9中任取3个数字，从2、4、6、8中任取2个数字组成没有重复数字的五位数，一共可组成多少个
解析：从1，3，5，7，9中任取3个数字有种取法，从2，4，6，8中任取2个数字共有种取法，再将取出的5个元素作全排列有种，由乘法原理共有··=7
200(种)
(2)6个人站成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有多少种
解析：将甲、乙看成一个元素进行全排列有种，相邻的两人又有种排法，因此，共有·=240(种)排法.
温馨提示
对于排列组合的综合问题，一般原则是先任取元素组合，后排列顺序，即先组合后排列.在(2)中用到了先整体后个别的原则，即整体排好之后，再考虑特殊元素.这在处理“相邻”、“不相邻”、“连排”问题中有所体现.
三、“枚举法”和“逆向思考”
【例3】有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班级的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法总数是(
)
A.8
B.9
C.10
D.11
解析：设甲、乙、丙、丁四位老师分别执教1班、2班、3班、4班，由表格知，当乙监考1班时的方法数为3种，同理丙与丁监考1班时也都为3种，从而安排监考的方法总数为9种.
乙监考1班情况表
1班
2班
3班
4班
乙
甲
丁
丙
乙
丙
丁
甲
乙
丁
甲
丙
温馨提示
人们在解决排列组合问题时，常习惯于用定义或含有排列数、组合数的式子来解决，但有时会遇到障碍，难以突破，如采用枚举的方法会收到意想不到的效果.
各个击破
【类题演练1】某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张不同花色的A，有5次出牌的机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法
解析：出牌的方法可分为以下几类：①5张牌全部分开出，有种方法；②两张2一起出，3张A一起出，有种方法；③2张2一起出，3张A分开出，有种方法；④2张2一起出，3张A分两次出，有种方法；⑤2张2分开出，3张A一起出，有种方法；⑥2张2分开出，3张A分两次出，有种方法，因此共有不同的出牌方法+++++=860种.
【变式提升1】有五张卡片，它们的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，可组成多少个不同的三位数
解析：解法一
(直接法)从0与1两特殊元素着眼分为三类：
①取0不取1，可从四张卡片中选一张作百位，有种方法，0可在后两位有
种方法；最后从剩下的三张中任取一张，有种方法；又除含0的那张外，其它两张都
有正面与反面两种可能，故不同的三位数有···22(个).
②取1不取0，同上分析可得不同三位数
·22·(个).
③0和1都不取，有不同的三位数·23·
(个).
综上，共有不同的三位数···22+·22·+·23·=432个.
解法二
(间接法)任取三张卡片可以组成不同三位数·23·
(个).
其中0在百位的有·22·
(个)，这些不合题意，故共有三位数·23·-·22·=432个.
【类题演练2】
6名同学站成一排，其中甲不站在排头，也不站在排尾，共有多少种方法
解法一：(先满足特殊元素)
甲站在除排头和排尾以外的四个位置，其余的元素做全排列.
故有·=480(种).
解法二：(先满足特殊位置)
从除甲以外其余5个元素中任取两个元素排在排头和排尾两个位置，其它元素做全排列，所以有·=480(种).
【变式提升2】从6名短跑运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有(
)
A.180种
B.240种
C.300种
D.360种
解析：分三种情况：(1)甲、乙都不参加，有=24种；(2)甲、乙仅有1人参加，有2=144种；(3)甲、乙两人都参加，有=72种.由分类计数原理，∴共有24+144+72=240种.
答案：B
【类题演练3】
从集合｛1，2，3，……，10｝中选出5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有(
)
A.10
B.16
C.20
D.32
解析：由于11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,即和为11的有下述五组数：(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),现从这五组数中各取一个数，方法数共有25，即正确答案为D.
【变式提升3】从六种小麦品种a、b、c、d、e、f中选出四种，在不同土质的四块土地甲、乙、丙、丁上试种，每块土地上各种一个品种.已有实验定论：a与b不适于土地甲，其余小麦品种均适于这块土地，则试种的方法有多少种
解析：将土地作为元素，小麦品种视为位置，原问题即为四块土地甲、乙、丙、丁的排列问题，显然共有·=240种排法，故有240种试种方法.1.2.2 组合
学习目标
重点、难点
1.能分析组合的意义，并能正确区分排列、组合．2．能记住组合数的计算公式，组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题．3．能合理进行分类、分步，综合应用排列组合知识解决实际问题.
重点：1.掌握组合数公式，能用组合数公式及其性质进行计算、化简．2．利用组合知识解决实际问题．难点：1.组合与排列的区别与联系．2．排列组合问题的解题策略.
1．组合的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个____．
预习交流1
排列与组合有何联系与区别？
2．组合数、组合数公式
(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的______，用符号____表示．
(2)组合数公式：C＝____＝______________，C＝________.规定C＝1.(m，n∈N
，且m≤n)
预习交流2
(1)已知平面内A，B，C，D，E五个点中任何3个点都不在一条直线上，这五个点确定的三角形个数为( )．
A．A
B．A
C．C
D．C
(2)下列计算结果为28的是( )．
A．A＋C
B．C
C．A
D．C
3．组合数的性质
性质1：C＝______.
性质2：C＝________.
预习交流3
(1)C＝__________；(2)C＋C＝__________.(可用组合数回答)
答案：
1．组合
预习交流1：提示：联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．
区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
2．(1)组合数 C (2)
预习交流2：(1)提示：C
(2)提示：D
3．C C＋C
预习交流3：提示：(1)C；(2)C
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
一、组合概念的理解与应用
判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？
思路分析：明确组合、排列的定义是解题的关键．若问题是否与顺序有关不明显，可以尝试写出其中的一个结果进行判断，再运用排列数与组合数公式求值．
1．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为__________．
2．中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛，赛制采取单循环赛方式，请列举出所有各场比赛的双方．
区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
二、与组合数有关的计算
1．计算：(1)3C－2C＋C；(2)C＋C；
(3)C＋C＋C.
思路分析：先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，然后利用组合数公式展开计算．
2．证明：mC＝nC.
思路分析：式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．
1．计算：C＋C＋C＋…＋C＝__________.
2．计算：C＋C＝__________.
3．若C＝C，则x＝__________.
(1)组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字母的可以用阶乘式计算．
(2)性质1：C＝C主要应用于简化运算．性质2：C＝C＋C从右到左两个组合数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．
三、简单组合问题
现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
思路分析：首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．
1．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有__________种(用数字作答)．
2．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有__________种．
解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．
四、有限制条件的组合问题
1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )．
A．30种
B．35种
C．42种
D．48种
思路分析：两类选修课选3门，依据A类选修课选1门或2门进行分类，每类需要利用分步乘法计数原理解决．
2．2012年“嘉庚”“敬贤”杯海峡两岸龙舟赛于2012年6月9日至11日在厦门市集美区举行．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，且既会划左舷又会划右舷的最多选1人，则不同的选法有( )．
A．4种
B．36种
C．40种
D．92种
思路分析：既会划左舷又会划右舷是多面手，是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论．
1．某班级要从4名男生2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )．
A．14
B．24
C．28
D．48
2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )．
A．360
B．520
C．600
D．720
(1)解有约束条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法．
(2)要正确理解题中的关键词(如“都”与“不都”，“至少”与“至多”，“含”与“不含”等)的确切含义，正确分类，合理分步．
(3)分配问题的一般思路是先选取，再分配．
答案：
活动与探究1：解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．分配方法有C＝5种．
(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．不同的分数有A＝20个．
(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．不同的选法有C＝126种．
迁移与应用：1.20 解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C＝20种．
2．解：单循环赛，指双方只赛一场，
因此所有各场比赛双方为
中国——日本；中国——韩国；
中国——朝鲜；日本——韩国；
日本——朝鲜；韩国——朝鲜．
活动与探究2：1.解：(1)3C－2C＋C＝3×－2×＋1＝149.
(2)C＋C＝C＋C＝＋200＝5
150.
(3)C＋C＋C＝C＋C＝C＝＝56.
2．证明：左边＝m·
＝
＝n＝nC＝右边，
∴mC＝nC.
迁移与应用：1.165 解析：∵C＝C＝1，
∴原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝＝165.
2．81 解析：C＋C＝C＋C＝＋＝15＋66＝81.
3．6或7 解析：由已知x＝2x－6或x＋2x－6＝15，
∴x＝6或x＝7.
活动与探究3：解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45.
(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2名是女教师有C种方法，即C＋C＝21(种)．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有选法C×C＝×＝90(种)．
迁移与应用：1.140 解析：第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C种不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有CC＝140种不同的安排方案．
2．21 解析：分两类：一类是2个白球有C＝15种取法，另一类是2个黑球有C＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．
活动与探究4：1.A 解析：分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C·C＋C·C＝30种选法．
2．C 解析：第一类：无既会划左舷又会划右舷的有C·C＝4种选法．
第二类：只有一名既会划左舷又会划右舷的有C(CC＋CC)＝2(3×4＋6)＝36种选法．
∴共有40种选法．
迁移与应用：1.A 解析：(间接法)6人中选派4人的组合数为C，其中都选男生的组合数为C，所以至少有1名女生的选派方案有C－C＝14种．
2．C 解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝2×10×24＝480种选法．
第二类，甲、乙都参加时，则有C(A－AA)＝10(24－12)＝120种选法．
∴共有480＋120＝600种选法．
1．若A＝12C，则n等于( )．
A．8
B．5或6
C．3或4
D．4
2．(C＋C)÷A的值为( )．
A．6
B．101
C.
D．
3．从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( )．
A．C·C
B．C·C
C．C
D．A·A
4．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有__________种．
5．6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有__________种．
答案：
1．A 解析：A＝n(n－1)(n－2)，12C＝6n(n－1)，
∴n－2＝6，n＝8.
2．C 解析：(C＋C)÷A＝(C＋C)÷A＝C÷A＝÷A＝＝.
3．A 解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，则抽取方法有C·C种．
4．34 解析：(间接法)共有C－C＝34种不同的选法．
5．15 解析：当选用信息量为4的网线时有C种；当选用信息量为3的网线时有(CC＋C)种，共有C＋CC＋C＝15(种)．
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领1.2.1 排列
学习目标
重点、难点
1.能分析排列的意义，能记住排列数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用问题．2．掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法.
重点：排列的简单应用与有限制条件的排列．难点：排列与排列数的综合应用.
1．排列的概念及排列数的定义
排列
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__表示.
预习交流1
(1)如何理解排列及排列数的定义？
(2)A，B，C三名同学站成一排照相留念，写出所有站队方法．
2．排列数公式
A＝__________________＝______，特别地，当n＝m时，A＝n！＝n(n－1)(n－2)…1，规定0！＝1(n，m∈N
，且m≤n)．
预习交流2
(1)13×12×11×10×9×8等于( )．
A．A
B．A
C．A
D．A
(2)的值为( )．
A．2n！
B．A
C.
D．2
答案：
1．排成一列 所有不同排列 A
预习交流1：(1)提示：排列的定义包括两个方面：①取出元素；②按一定顺序排列．
两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的顺序也相同．
排列是按一定顺序排列的一列元素，而排列数是一个数，并不表示具体的排列．
(2)提示：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.
2．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
预习交流2：(1)提示：B
(2)提示：＝＝＝A，故选B.
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
一、排列数公式的应用
1．计算：(1)2A＋A；(2).
思路分析：按公式将排列数写成连乘形式计算．
2．化简A＋mA＝( )．
A．A
B．A
C．A
D．A
1．若3A＝4A，则x＝( )．
A．4
B．5
C．6
D．7
2．化简＝__________.
应用排列数公式时应注意以下几个方面：
(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．
(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．
(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．
二、排列的概念与简单的排列问题
1．判断下列问题是否为排列问题：
(1)从1,2,3,4,5中任取两个数相加，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相减，其结果有多少种不同的可能？
(3)有12个车站，共需要准备多少种普通票？
(4)从10个人中选2人分别去植树和种菜，有多少种不同选法？
(5)从10个人中选2人去参加座谈会，有多少种不同选法？
思路分析：判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系．
2．(1)若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )．
A．180种
B．360种
C．15种
D．30种
思路分析：直接运用排列的概念求值．
(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面(旗的颜色无重复)，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示__________种不同的信号．
思路分析：如果把3面旗看做3个元素，那么“表示信号”这件事则是从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的排列问题．
判断下列问题是否是排列问题，若是排列问题，求出对应的排列数．
(1)从1,2,3,4,5中任取两个数组成两位数，有多少个这样的两位数？
(2)若一个班级有40名同学，从中选5人组成学习小组，有多少种选法？
(3)8种不同的菜种，任选4种种在不同的土地上，有多少种不同的种法？
解决排列问题的步骤：
(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题．
(2)注意排列对元素或位置有无特殊要求．
(3)借助排列数公式计算．
三、排队问题
有4个男生和3个女生排成一排．
(1)男生甲必须站在中间有多少种排法？
(2)男生甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同排法？
(3)甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同排法？
(4)三个女生要排在一起有多少种不同排法？
(5)三个女生两两不能相邻有多少种不同排法？
(6)三个女生顺序一定，共有多少种不同排法？
思路分析：本题都涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置．相邻问题(如(4))可用捆绑法，不相邻问题(如(5))可用插空法．
1．(2012山东济南2月定时练习，理6)三位老师和三位学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法总数为( )．
A．720
B．144
C．36
D．12
2．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( )．
A．20种
B．30种
C．40种
D．60种
(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏．
(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．
四、数字的排列问题
用0,1,2,3,4,5这六个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(3)能组成多少个无重复数字且比1
325大的四位数？
思路分析：该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．
1．(2012广东执信中学期末，5)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )．
A．120个
B．80个
C．40个
D．20个
2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )．
A．72
B．96
C．108
D．144
不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．
答案：
活动与探究1：1.解：(1)2A＋A＝2×4×3×2＋5×4＝48＋20＝68.
(2)＝＝6.
2．D 解析：A＋mA＝＋
＝＝
＝＝A.
迁移与应用：1.C 解析：由3A＝4A，得＝，∴(8－x)！＝2！.∴x＝6.故选C.
2．1 解析：＝×(n－m)！×＝×(n－m)！×＝1.
活动与探究2：1.解：(1)两数相加，由加法交换律知与两数顺序无关，所以(1)不是排列问题．
(2)两数相减，要确定谁是被减数，谁是减数，与顺序有关，所以(2)是排列问题．
(3)票中要确定哪一个车站为起点站，哪一个车站为终点站，与顺序有关，所以(3)是排列问题．
(4)要从选出的2人中确定谁去植树，谁去种菜，与顺序有关，所以(4)是排列问题．
(5)只需从10人中选出2人即可，与顺序无关，所以(5)不是排列问题．
2．(1)B 解析：不同的选派方案有A＝6×5×4×3＝360种．
(2)15 解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；
第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；
第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法；
根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．
迁移与应用：解：(1)选取的两个数，要确定哪一个数在十位，哪一个数在个位，与顺序有关，是排列问题，且有A＝5×4＝20个这样的两位数．
(2)只需选出5人即可，与顺序无关，不是排列问题．
(3)选取的4种菜种，与4块不同的地对应，与顺序有关，是排列问题，且有A＝8×7×6×5＝1
680种不同的种法．
活动与探究3：解：(1)由于甲的位置已确定，其余6人可随意排列，共有A＝720种排法．
(2)由于甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余5人中选两人来站，共有A种排法，剩下的人有A种排法，共有A·A＝2
400种不同排法．
(3)甲站排头有A种排法，乙站排尾有A种排法，但两种情况都包含了“甲站排头且乙站排尾”的A种排法，故共有A－2A＋A＝3
720种排法．
(4)先把女生看成一个元素，与其他4个男生共5个元素来排有A种排法，再排三个女生有A种排法，共有A·A＝720种不同排法．
(5)先排4个男生，有A种排法，形成5个空位，将3个女生插入5个空位中，有A种排法，因此共有A·A＝1
440种不同排法．
(6)在7个位置上任意排列7名学生共有A种排法．
由于女生的顺序一定，且在所有不同排法中，女生的某一顺序均会有A种情况，因此三名女生顺序一定的排法共有＝840种．
迁移与应用：1.B 解析：先将老师排好有A种排法，形成4个空位，将3个学生插入4个空位中，有A种排法，∴共有A·A＝144种排法．
2．A 解析：分类完成：①甲排周一，乙、丙只能从周二至周五中选2天排，有A种排法；②甲排周二，乙、丙有A种排法；③甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A种排法，
∴共有A＋A＋A＝20种排法．
活动与探究4：解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有A个；
第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个(有A种)，十位和百位从余下的数字中选(有A种)，于是有A·A个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A·A个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数：
A＋A·A＋A·A＝156(个)．
(2)五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有A个；个位上的数字是5的五位数有A·A个．
故满足条件的五位数共有A＋A·A＝216(个)．
(3)比1
325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A·A个；
第二类：形如14□□，15□□，共有A·A个；
第三类：形如134□，135□，共有A·A个；
由分类加法计数原理知，比1
325大的四位数共有：
A·A＋A·A＋A·A＝270(个)．
迁移与应用：1.C 解析：①若十位是3时，个位与百位从1,2中选有A种选法；②若十位是4时，个位与百位有A种选法；③若十位是5时，个位与百位有A种选法；④若十位是6时，个位与百位有A种选法，则共有A＋A＋A＋A＝2＋6＋12＋20＝40种，故选C.
2．C 解析：第一步，先将2,4,6全排，有A种排法．第二步，将1,3,5分别插入2,4,6排列产生的前3个空中，若1,3相邻且不与5相邻，有AA种排法，若1,3,5均不相邻，有A种排法．故总的排法有A(AA＋A)＝108(种)．故选C.
1．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是( )．
A．1
260
B．120
C．240
D．720
2．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有( )种．
A．16
B．12
C．20
D．10
3.＝( )．
A．12
B．24
C．30
D．36
4．五人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有_______种．
5．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有__________个．
答案：
1．D 解析：由题意知有A＝10×9×8＝720种分法．故选D.
2．A 解析：先选一人参加物理竞赛有A种方法，再从剩下的4人中选1人参加数学竞赛，有A种方法，共有A·A＝16种方法．
3．D 解析：＝＝7×6－6＝36.
4．36 解析：五人全排列有A种排法，甲、乙相邻有AA种排法，甲、丙相邻有AA种排法，甲、乙相邻且甲、丙相邻有AA种排法，故所有排法有A－AA－AA＋AA＝36(种)．
5．144 解析：先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，
∴共有AA＝144种．
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领1.2.1 排列
问题导学
一、排列数公式的应用
活动与探究1
1．计算：(1)2A＋A；(2)．
2．化简：A＋mA．
迁移与应用
1．(2013江苏南京模拟)方程：A＝140A的解是__________．
2．化简＝__________．
应用排列数公式时应注意以下几个方面：
(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．
(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．
(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．
二、排列的概念与简单的排列问题
活动与探究2
1．判断下列问题是否为排列问题：
(1)从1,2,3,4,5中任取两个数相加，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相减，其结果有多少种不同的可能？
(3)有12个车站，共需要准备多少种普通票？
(4)从10个人中选2人分别去植树和种菜，有多少种不同选法？
(5)从10个人中选2人去参加座谈会，有多少种不同选法？
2．(1)若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )
A．180种
B．360种
C．15种
D．30种
(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面(旗的颜色无重复)，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示__________种不同的信号．
迁移与应用
1．某年全国足球联赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共进行比赛__________场．
2．判断下列问题是否是排列问题，若是排列问题，求出对应的排列数．
(1)从1,2,3,4,5中任取两个数组成两位数，有多少个这样的两位数？
(2)若一个班级有40名同学，从中选5人组成学习小组，有多少种选法？
(3)8种不同的菜种，任选4种种在不同的土地上，有多少种不同的种法？
解决排列问题的步骤：
(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题．
(2)注意排列对元素或位置有无特殊要求．
(3)借助排列数公式计算．
三、排队问题
活动与探究3
有4个男生和3个女生排成一排．
(1)男生甲必须站在中间有多少种排法？
(2)男生甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同排法？
(3)甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同排法？
(4)三个女生要排在一起有多少种不同排法？
(5)三个女生两两不能相邻有多少种不同排法？
(6)三个女生顺序一定，共有多少种不同排法？
迁移与应用
1．三位老师和三位学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法总数为( )
A．720
B．144
C．36
D．12
2．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( )
A．20种
B．30种
C．40种
D．60种
(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏．
(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．
四、数字的排列问题
活动与探究4
用0,1,2,3,4,5这六个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(3)能组成多少个无重复数字且比1
325大的四位数？
迁移与应用
1．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120个
B．80个
C．40个
D．20个
2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72
B．96
C．108
D．144
不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．排成一列 所有不同排列 A
预习交流1 (1)提示：排列的定义包括两个方面：①取出元素；②按一定顺序排列．
两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的顺序也相同．
排列是按一定顺序排列的一列元素，而排列数是一个数，并不表示具体的排列．
(2)提示：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA．
2．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
预习交流2 (1)提示：B
(2)提示：＝＝＝A，故选B．
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1 1．思路分析：按公式将排列数写成连乘形式计算．
解：(1)2A＋A＝2×4×3×2＋5×4＝48＋20＝68．
(2)＝＝6．
2．解：A＋mA＝＋
＝＝
＝＝A．
迁移与应用 1．x＝3 解析：根据原方程，x(xN
)应满足解得x≥3．
根据排列数公式，原方程化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)，x≥3，两边同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)．
即4x2－35x＋69＝0．
解得x＝3或x＝5(因x为整数，故应舍去)．
∴原方程的解为x＝3．
2．1 解析：＝×(n－m)！×＝×(n－m)！×＝1．
活动与探究2 思路分析：判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系．
解：(1)两数相加，由加法交换律知与两数顺序无关，所以(1)不是排列问题．
(2)两数相减，要确定谁是被减数，谁是减数，与顺序有关，所以(2)是排列问题．
(3)票中要确定哪一个车站为起点站，哪一个车站为终点站，与顺序有关，所以(3)是排列问题．
(4)要从选出的2人中确定谁去植树，谁去种菜，与顺序有关，所以(4)是排列问题．
(5)只需从10人中选出2人即可，与顺序无关，所以(5)不是排列问题．
2．(1)思路分析：直接运用排列的概念求值．
B 解析：不同的选派方案有A＝6×5×4×3＝360种．
(2)思路分析：如果把3面旗看做3个元素，那么“表示信号”这件事则是从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的排列问题．
15 解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；
第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；
第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法；
根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．
迁移与应用 1．132 解析：将参加比赛的12个队看作12个元素，每一场比赛即为从12个不同元素中任取2个元素的一个排列(设排在前面的队为主场比赛)．总共比赛的场次，就是从12个不同元素中任取2个元素的排列数：A＝12×11＝132．
2．解：(1)选取的两个数，要确定哪一个数在十位，哪一个数在个位，与顺序有关，是排列问题，且有A＝5×4＝20个这样的两位数．
(2)只需选出5人即可，与顺序无关，不是排列问题．
(3)选取的4种菜种，与4块不同的地对应，与顺序有关，是排列问题，故有A＝8×7×6×5＝1
680种不同的种法．
活动与探究3 思路分析：本题都涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置．相邻问题(如(4))可用捆绑法，不相邻问题(如(5))可用插空法．
解：(1)由于甲的位置已确定，其余6人可随意排列，共有A＝720种排法．
(2)由于甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余5人中选两人来站，共有A种排法，剩下的人有A种排法，共有A·A＝2
400种不同排法．
(3)甲站排头有A种排法，乙站排尾有A种排法，但两种情况都包含了“甲站排头且乙站排尾”的A种排法，故共有A－2A＋A＝3
720种排法．
(4)先把女生看成一个元素，与其他4个男生共5个元素来排有A种排法，再排三个女生有A种排法，共有A·A＝720种不同排法．
(5)先排4个男生，有A种排法，形成5个空位，将3个女生插入5个空位中，有A种排法，因此共有A·A＝1
440种不同排法．
(6)在7个位置上任意排列7名学生共有A种排法．
由于女生的顺序一定，且在所有不同排法中，女生的某一顺序均会有A种情况，因此三名女生顺序一定的排法共有＝840种．
迁移与应用 1．B 解析：先将老师排好有A种排法，形成4个空位，将3个学生插入4个空位中，有A种排法，∴共有A·A＝144种排法．
2．A 解析：分类完成：①甲排周一，乙、丙只能从周二至周五中选2天排，有A种排法；②甲排周二，乙、丙有A种排法；③甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A种排法，∴共有A＋A＋A＝20种排法．
活动与探究4 思路分析：该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．
解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有A个；
第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个(有A种)，十位和百位从余下的数字中选(有A种)，于是有A·A个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A·A个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数：
A＋A·A＋A·A＝156个．
(2)五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有A个；个位上的数字是5的五位数有A·A个．
故满足条件的五位数共有A＋A·A＝216个．
(3)比1
325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A·A个；
第二类：形如14□□，15□□，共有A·A个；
第三类：形如134□，135□，共有A·A个；
由分类加法计数原理知，比1
325大的四位数共有：
A·A＋A·A＋A·A＝270个．
迁移与应用 1．C 解析：①当十位是3时，个位与百位从1,2中选有A种选法；②当十位是4时，个位与百位有A种选法；③当十位是5时，个位与百位有A种选法；④当十位是6时，个位与百位有A种选法，则共有A＋A＋A＋A＝2＋6＋12＋20＝40种，故选C．
2．C 解析：第一步，先将2,4,6全排，有A种排法．第二步，将1,3,5分别插入2,4,6排列产生的前3个空中，若1,3相邻且不与5相邻，有AA种排法，若1,3,5均不相邻，有A种排法．故总的排法有A(AA＋A)＝108种．故选C．
当堂检测
1．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是( )
A．1
260
B．120
C．240
D．720
答案：D 解析：由题意知有＝10×9×8＝720种分法．故选D．
2．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有( )种．
A．16
B．12
C．20
D．10
答案：A 解析：先选一人参加物理竞赛有种方法，再从剩下的4人中选1人参加数学竞赛，有种方法，共有种方法．
3．＝( )
A．12
B．24
C．30
D．36
答案：D 解析：
＝7×6－6＝36．
4．五人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有__________种．
答案：36 解析：五人全排列有种排法，甲、乙相邻有种排法，甲、丙相邻有种排法，甲、乙相邻且甲、丙相邻有种排法，故所有排法有种．
5．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有__________个．
答案：144 解析：先排奇数位有种，再排偶数位有种，∴共有种．
6．(2013浙江高考，理14)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)．
答案：480 解析：如图六个位置．若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有种情况；若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下的3个位置排D，E，F，共种排法；若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A，B，其余位置排D，E，F，则共有种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A，B，再在其余3个位置排D，E，F，共有种排法；若C在第4个位置，则有种排法；若C在第5个位置，则有种排法；若C在第6个位置，则有种排法．
综上，共有种排法．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．1.2.6
排列组合的易错问题
课堂导学
三点剖析
一、避免重复与遗漏的方法之一——正确区别有序还是无序
【例1】
将9份不同的礼品，平均分成3份，有多少种不同的分法？
错解:分三步：第一步，从9件不同的礼品中，选出3件有种；第二步，从剩下的6件中选3件有种；第三步，从余下的3件中选3件有种，由乘法原理有=1
680种不同的分法.
剖析:实质上，本题属于平均分组问题，造成错误的原因在于分步的本身就在排序，而平均分成的3份，其份与份之间不存在排序的关系，因而出现了重复.如（为了方便起见，以数字1—9代表9份不同的礼品）先取1，2，3，再取4，5，6，最后取7，8，9和先取4，5，6再取1，2，3，最后取7，8，9以及先取7，8，9，再取4，5，6，最后取1，2，3等这些相同的分法被重复计算了，因而正确的解法为：=280种不同的取法.
温馨提示
该用排列的问题，用组合去做，容易导致“遗漏”；该用组合做的却用了排列，会导致“重复”.因此，在解题时要正确区分问题是否与顺序有关.另外，在使用乘法原理时，分步本身有时是在排序，在解题时要特别小心.
二、避免重复和遗漏的措施之二——恰当地使用两个原理进行分类或分步
【例2】
用0，1，2，3，4，5，6，7，8这九个数字组成九位数，要求1不能排在个位，问这样的不重复的九位数有多少个？
错解1:九个数字排在九个位置上，共有种排法，从中扣去0在首位的有种排法，再除去1在个位的排法，故所求的有-（个）.
错解2:0不能排在首位，1不能排在个位，那么0，1就排在中间七个位置，有种排法.0，1排定后，其余七个数排在留下的七个位置上，有种排法，故所求九位数有个.
剖析:解法1的错误在于减“重”了，当分别减去0在首位或1在个位时，重复减去了0在首位且1在个位两次，故应再补上一次，即所求九位数应是：-+（个）.
解法2的错误在于遗漏了1在首位或0在个位的情况.1在首位的情况有种，0在个位的情况有种，但这里又重复了1在首位且同时0在个位的情况两次，应再扣一次，故所求九位数应是：+2-（个）.
温馨提示
对符合或不符合条件的分类情况考虑不全时，会出现“遗漏”；另外，把符合条件和不符合条件的相混容易造成错误.
三、避免重复遗漏的措施之三——认真审题，缜密考虑特殊情形以及题目的隐含条件
【例3】
将10个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子里，每个盒子中的球数不小于盒子的编号数，则有________种不同的放法.
错解：先在编号为1，2，3的盒子里分别放入1，2，3个小球，则剩余的小球可以任意放.有34种放法.
剖析：解题过程中，先把盒子里放上小球是可以的，这是注意到小球都是相同的这一特点，但是接下来则忽视了这一特点，从而导致错误.正确解法是：先在编号为1，2，3的盒子里分别放入1，2，3个小球，则：
①余下的4个球放入同一个盒子里，有种放法；②余下的4个球分为两组，一组3个、一组1个，放入两个盒子里，有种放法；③余下的4个球分两组，每组均为2个，有种放法；④余下的4个球分三组，一组2个、另两组各一个，有种放法.
综上可以知道，共有15种放法.
下列解法更妙：首先在2号盒子里放1个球，3号盒子里放2个球，余下的7个球可以用“隔板法”分为3组，每组至少1个球，然后把三组依次放入3个盒子里即可.因此一共有15种放法.
各个击破
【类题演练1】把n+1本不同的书分给n个人，每人至少一本，有多少不同的分法？
错解：如果我们把解决这个问题的方案设计为：先把多余的一本书给n个人中的一个，然后再把剩下的n本书分给n个人，这样，计算的结果为=n·(n+1)!.
剖析：其错误的原因在于拿到2本书的人选这两本书有了先后顺序，而实际上先拿A书后拿B书与先拿B书后拿A书是同一种方法.于是，出现了重复.这是一道较典型的排列组合综合题，题设虽然简单，但思路却不可以从简.正确的切入点应该是：从n个人中选出一个人拿到2本书的分法有种，而剩下的n-1本书分给剩下的n-1个人有种不同的分法，根据乘法原理有=·(n+1)!.
【变式提升1】有100个学生，站成前后两排，每排50人，问有多少种不同的排法.
错解：先从100个学生中任选50个学生，有种选法.选出的50个学生站在前排，有种排法.留下的50名学生站在后排，有种排法.前后两排再交换一下，有种排法，所以共有种不同的排法.
剖析：错在哪里？我们先把问题特殊化：有两个学生，一个站前、一个站后，共有=2种不同站法，而不可能有=4种不同的站法.通过特殊到一般的类比，原问题的正确答案应是种，如果再乘以就排“重”了.事实上，在中，已含着前、后两排交换的思想，因此没有必要乘以.
【类题演练2】已知l1,l2是两条异面直线，在l1上有A1，A2，A3三点，在l2上有B1,B2,B3,B4,B5五点，求这八个点可以确定不同的平面的个数.
错解：分成两类：一类是从A1，A2，A3三点中取一个点，在B1，B2，B3，B4，B5五点中取两个点，根据不共线的三点确定一个平面，有·个不同平面；同理，另一类是从A1，A2，A3三点中任取两个点，在B1，B2，B3，B4，B5五点中取一个点，有·个不同平面，由加法原理有·+·=45个不同的平面.
剖析：上述解法的错误在于分类重复.因为在l1上任取两点与l2上任取一点确定的平面，实际上就是直线l1分别与B1,B2,B3，B4，B5确定的平面，这样的平面共有5个；同理，在l2上任取两点与l1上任取一点确定的平面，就是直线l2分别与点A1，A2，A3确定的平面，这样的平面共有三个，于是，由这八个点可以确定八个平面.
【变式提升2】从8名男生7名女生中选出4人分别参加4个不同的课外活动小组，在选出的4人中至少有2男1女的选法有多少种？
错解：先从8名男生中选取2人，有种选法；再从7名女生中选取1人，有种选法；最后从余下的男、女生（共12人）中选出1人，有种选法.然后，将选出的4人分别分配到四个不同的课外活动小组，所以，符合题意的选法共有（）=56
448种不同的选法.
分析：错解在于选元时有重复.把8名男生记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，7名女生记为a,b,c,d,e,f,g.那么，比如对于任何一种一女三男的选法，假如选“a,①,②,③”都重复计算了三次：（1）先选a,再选①,②,最后选③;(2)先选a,再选①,③最后选②;(3)先选a,再选②,③,最后选①.同理，在选出的2女2男的每一种选法，在原解法中都被重复计算了二次.
因此，正确的解法是：依题意分两步完成，第一步先选出符合条件的4人，第二步是选出的4人分别参加4个不同的课外活动小组，而第一步中又分两类：第一类是选出1女3男有种；第二类是选出2女2男有种，故符合条件的选法有
(+)=23
520(种).
【类题演练3】数学、语文、外语、物理、化学、体育六门科目，安排在一天的六节课内，要求体育不在第一节，数学不在第六节，问共有多少种不同的排法？
错解：六门科目排六节课，有种排法，再减去体育在第一节的排法种和数学在第六节的排法，种，因此共有=480种.
剖析：上述解法产生了遗漏.因为减去的第一个种，其中包括体育在第一节，数学在第六节的种；减去的第二个种也包含体育在第一节，数学在第六节的种.上述解法中显然减去了两个.
正确答案应是：共有+=504种排法.
【变式提升3】在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中共有多少对异面直线？
错解：一个正方体中有12条棱、12条面对角线和4条体对角线，这些棱、面对角线和体对角线共可组成对直线.又一个正方体中有底面和侧面共6个，对角面6个，每个面都有6条直线，底面、侧面和对角面共12个面的每一个面中任两条直线不能构成异面直线.
∴正方体共有-12=198对异面直线.
分析：以上解答只考虑了正方体中底面、侧面、对角面中的直线不能构成异面直线，而忽视了一些虽不是同在上述各面上但共点的直线也不能构成异面直线的特殊情况，即8个顶点中过每个顶点的三条面对角线不能构成异面直线，故共有-12-8=174对异面直线.1.2
排列与组合
2
预习导航
课程目标
学习脉络
1．能分析组合的意义，并能正确区分排列与组合．2．能记住组合数的计算公式，组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题．3．能合理进行分类、分步，综合应用排列组合知识解决实际问题.
1．组合的相关概念
(1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)相同组合：只要组合的元素完全相同，就是相同的组合，与元素顺序无关．
思考1排列与组合的共同点和不同点分别是什么？
提示：共同点：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．
不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
2．组合数与组合数公式
(1)组合数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
(2)组合数公式：C＝＝＝.
规定C＝1.
思考2“组合”与“组合数”是否为同一个概念？
提示：不是同一概念．“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m个元素合成一组”；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数”．例如，从“a，b，c”中任取2个元素的组合有ab，bc，ac共3个，3就是从a，b，c中任取2个元素的组合数．
3．组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＝C＋C.
思考3
(1)C＝________.
(2)C＋C＝________.
提示：(1)C＝C＝＝190.
(2)C＋C＝C＝＝161
700.1.2
排列与组合
1
课堂探究
探究一
简单的排列问题
在“树形图”的操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素为首位为标准，进行分类，再在余下的元素中确定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列．这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有的排列．
【典型例题1】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成不同的两位数，一共可以组成多少个？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
思路分析：解答时按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有排列．
解：(1)由题意作树形图，如下．
故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．
(2)由题意作树形图，如下．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
规律总结
解决排列问题的步骤：(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题；(2)注意排列对元素或位置有无特殊要求；(3)借助排列数公式计算．
探究二
排列数公式
(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式；在运用该公式时要注意它的特点．
(2)排列数的第二个公式A＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且m∈N
，n∈N
”的运用．
【典型例题2】(1)计算2A＋A；(2)计算；
(3)求3A＝4A中的x.
思路分析：(1)，(2)两题直接运用排列数的公式计算．(3)用排列数的公式展开得方程，然后求解．要注意x的取值范围，并检验根是否合理．
解：(1)2A＋A＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝72.
(2)＝＝＝.
(3)原方程3A＝4A可化为＝，
即＝，化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
由题意知解得x≤8.
所以原方程的解为x＝6.
规律总结
应用排列数公式时应注意以下几个方面：
(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．
(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．
(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．
探究三
常见的排列问题
涉及有约束条件的排列问题，首先考虑元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素的位置(这种方法称为特殊元素法或特殊位置法)；或者，先求出无约束条件的排列数，再减去不符合条件的排列数(也叫做间接法或排除法)，这是解排列题的基本策略．所谓“捆绑法”与“插空法”，实际上都是特殊元素(位置)特殊考虑的结果．要求相邻的两个元素是特殊元素，先把这两个元素“捆绑”起来处理；要求不相邻的元素也是特殊元素，一般考虑用“插空法”．
【典型例题3】用0,1,2,3,4这五个数字，组成五位数：
(1)可组成多少个五位数？
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？
(4)若1和3相邻，则可组成多少个无重复数字的五位数？
(5)若1和3不相邻，则可组成多少个无重复数字的五位数？
(6)若1不在万位，2不在个位，则可组成多少个无重复数字的五位数？
思路分析：该题目中的特殊元素为0，它不能放在首位．(1)首位不为0，数字可以重复；(2)只需限制首位不为0；(3)限制末位是奇数，首位不是0；(4)把1,3看成整体进行排列；(5)可间接求，也可直接求，用插空法；(6)可从特殊位置或元素入手分析．
解：(1)各个数位上的数字允许重复，由分步计数原理得，共可组成4×5×5×5×5＝2
500个五位数．
(2)方法一：(优先考虑特殊位置)先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种方法，其余四个位置排四个数字共有A种方法，所以组成的无重复数字的五位数共有AA＝96(个)．
方法二：(优先考虑特殊元素)先排0，除首位之外的其他四个数位均可，有A种方法，其余四个数字全排，有A种方法．故组成的无重复数字的五位数共有AA＝96(个)．
(3)(优先考虑特殊位置)先排个位，1和3均可，有A种方法．然后从剩下的3个非0数中选一个排在万位，有A种方法，最后将剩下的3个数排在其他三个数位上，有A种方法．故组成的无重复数字的五位奇数共有AAA＝36(个)．
(4)(捆绑法)若1和3相邻，则把1和3“捆绑”，看成一个整体与0,2,4进行排列．则共可组成无重复数字的五位数共有AAA＝36(个)．
(5)方法一：(间接法)由(2)，(4)两问可得，1和3不相邻时，共可组成无重复数字的五位数有96－36＝60(个)．
方法二：(插空法)先将0,2,4排好，再将1和3分别插入产生的4个空当中有AA＝72种排法，而当0在万位时，1,3分别插入2,4产生的3个空当中有AA＝12种排法．
所以1和3不相邻的无重复数字的五位数共有72－12＝60(个)．
(6)方法一：(间接法)无重复数字的所有五位数有96个，当1在万位时，有A种排法，当2在个位时，0又不能在万位，先把0排在中间三个位上，再排其余的3个数，有AA种排法，但这两种排法中都包括1在万位，2在个位的排法，这种排法有A种，所以符合条件的五位数共有96－A－AA＋A＝60(个)．
方法二：(优先考虑特殊元素或位置)①1排在个位时，0不能在万位，有AA＝18种排法．②1不在个位且不在万位时，先排1，有A种方法，再排剩下的数分两类．一类是当2在万位时，有A种方法，另一类是2不在万位，有AAA种排法，所以1不在个位且不在万位时，有A(A＋AAA)＝42种排法，所以1不在万位，2不在个位时，共可组成无重复数字的五位数18＋42＝60(个)．
规律总结
(1)排列问题的限制条件一般包括某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏．
(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．
探究四
易错辨析
易错点 重复排列
【典型例题4】6个人站成前后三排，每排2人，有多少种不同的排法？
错解一：分步完成，先安排第一排的2人，有A种排法；再安排中间一排的2人，有A种排法；余下的2人排在最后一排．由分步乘法计数原理，共有A·A＝360种不同排法．
错解二：分步完成，先安排第一排的2人，有A种排法；再安排中间一排的2人，有A种排法；最后安排余下的2人，有A种排法．因为排在第一排，中间一排和最后一排不同，所以三排再排列，有A种排法．由分步乘法计数原理，有A·A·A·A＝4
320种不同排法．
错因分析：错解一的解答错在第3步，余下的2人还要去排最后一排的2个不同位置．
错解二的解答错在前三步已经分清了三排，不需要再排列了．
正解一：6个人站成前后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法共有A·A·A＝720(种)．
正解二：此问题可看作将排成的三排“拉直”，实际上就是将6人排成一排的问题．故共有A＝720种不同排法．1.2
排列与组合
1
预习导航
课程目标
学习脉络
1．通过实例正确理解排列的意义，能利用树形图写出简单问题的所有排列．2．理解和掌握排列和排列数公式，能应用排列及排列数公式解决某些实际问题．3．掌握几种具有限制条件的题型，如团体排列、插空问题等，掌握解决有关排列问题的一些方法，如直(间)接法、捆绑法，优先考虑特殊位置(元素)等.
1．排列的相关概念
(1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．
思考1如何理解排列及相同排列的概念？
提示：排列的定义包括两个方面：①取出元素；②按一定顺序排列．
两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的顺序也相同．
2．排列数与排列数公式
(1)排列数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
(2)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．
(3)全排列和阶乘：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．即有A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1.就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示．所以n个不同元素的全排列数公式可以写成A＝n！.另外，我们规定0！＝1.所以A＝.
思考2“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念？
提示：不是同一概念．“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数”；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”．例如，从“a，b，c”中任取2个元素的排列有ab，ba，ac，ca，bc，cb共6个，6就是从a，b，c中任取2个元素的排列数．
