一
不等式
1．不等式的基本性质
1．掌握不等式的基本性质．
2．会利用基本不等式的性质证明不等式和比较大小．
1．两个实数大小的比较
(1)a＞b________；
(2)a＝ba－b____0；
(3)______a－b＜0.
2．不等式的基本性质
(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么______，即________.
(2)如果a＞b，b＞c，那么______，即a＞b，b＞c______.
(3)如果a＞b，那么a＋c____b＋c.
(4)如果a＞b，c＞0，那么ac____bc；如果a＞b，c＜0，那么ac____bc.
(5)如果a＞b＞0，那么an____bn(n∈N，n≥2)．
(6)如果________，那么＞(n∈N，n≥2)．
3．作差比较法
(1)理论依据：__________；__________；__________.
(2)方法步骤：①____；②____；③________；④______.
①0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”．
②如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.
③如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
④如果ab＞0，且a＞b，那么＜.
【做一做1－1】
若a＞b，则下列不等式一定成立的是( )
A.＜1
B.＞0
C．－a＞－b
D．a－b＞0
【做一做1－2】
若a＜0，－1＜b＜0，则有( )
A．a＞ab＞ab2
B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2
D．ab＞ab2＞a
【做一做1－3】
已知不等式组的解集为x≥b，则a与b的大小关系是________．
答案：1．(1)a－b＞0 (2)＝ (3)a＜b
2．(1)a＞b a＞bb＜a (2)a＞c a＞c (3)＞ (4)＞ ＜ (5)＞ (6)a＞b＞0
3．(1)a－b＞0a＞b a－b＝0a＝b a－b＜0a＜b
(2)作差 整理 判断符号 下结论
【做一做1－1】
D
【做一做1－2】
D ∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，ab2＜0，故排除A，B选项；又∵0＜b2＜1，∴ab2＞a.故选D.
【做一做1－3】
b＞a
1．使用不等式的性质时要注意的问题
剖析：(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b＜ca＜c.(2)在乘法法则中，要特别注意乘数c的符号，例如当c≠0时，有a＞bac2＞bc2；若无c≠0这个条件，则a＞bac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．(3)a＞b＞0an＞bn＞0成立的条件是“n为大于1的自然数”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现3－1＞2－1，即＞的错误结论．
2．不等式性质中的“”和“”表示的意思
剖析：在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“”与“”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0＜，而反之则包含几类情况，即若＜，则可能有a＞b，ab＞0，也可能有a＜0＜b，即a＞b，ab＞0与＜是不等价关系．
3．文字语言与数学符号语言之间的转换
剖析：
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
＞
至多
≤
小于
＜
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
在数学命题中，文字语言的表述通常要“翻译”成相应的数学符号语言，只有准确地转换，才能正确地解答问题．
题型一
不等式的基本性质
【例1】
若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A.＜
B．a2＞b2
C.＞
D．a|c|＞b|c|
反思：对于考查不等式的基本性质的选择题，解答时，一是利用不等式的相关性质，其中，特别要注意不等号变号的影响因素，如数乘、取倒数、开方、平方等；二是对所含字母取特殊值，结合排除法去选正确的选项，这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性，如选取0、正数、负数等．
题型二
用作差法比较大小
【例2】
当a≠0时，比较(a2＋a＋1)(a2－a＋1)与(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大小．
分析：比较两个数的大小，将两数作差，若差值为正，则前者大，反之，则后者大．
反思：(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的步骤进行，即：―→―→―→，其中变形是关键，定号是目的．
(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断，变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论．
题型三
利用不等式的基本性质求范围
【例3】
已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为________________，的取值范围为______．
反思：本题不能直接用x的范围去减或除以y的范围，应严格利用不等式的基本性质去求得范围，其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．
题型四
易错辨析
【例4】
已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．
错解：∵－≤α＜β≤，∴－≤≤，
－≤≤，因而两式相加得
－≤≤，又∵－≤－≤，
∴－≤－≤，∴－≤≤.
错因分析：在解答本题的过程中易出现－≤≤和－≤≤的错误，导致该种错误的原因是忽视了、都不能同时取到和－.
反思：求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．
答案：
【例1】
C 本题只提供了“a，b，c∈R，a＞b”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选项来进行判断．选项A，还需有ab＞0这个前提条件；选项B，当a，b都为负数或一正一负时都有可能不成立，如2＞－3，但22＞(－3)2不正确；对于选项C，＞0，因而正确；选项D，当c＝0时不正确．
【例2】
解：(a2＋a＋1)(a2－a＋1)－(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝(a2＋1)2－2a2－[(a2＋1)2－a2]＝－2a2＋a2＝－a2.
又∵a≠0，∴－a2＜0.
∴(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＜(a2＋a＋1)(a2－a＋1)．
【例3】
(27,56) (，3) x－y＝x＋(－y)，∴需先求出－y的范围；＝x×，∴需先求出的范围．
∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28，＜＜.
又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，＜＜，
即＜＜3.
【例4】
正解：∵－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤.
因而两式相加得－＜＜.
又∵－＜≤，∴－≤－＜，
∴－≤＜.
又∵α＜β，∴＜0，∴－≤＜0.
即的取值范围为(－，)，的取值范围为[－，0)．
1．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )
A.＜
B.＞
C．a＞b2
D．a2＞2b
2．“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设角α，β满足＜α＜β＜，则α－β的取值范围是( )
A．－π＜α－β＜0
B．－π＜α－β＜π
C．＜α－β＜0
D．＜α－β＜
4．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是________．
5．比较与2的大小(n≠0)．
答案：1．C A项中，若b＜0，则＜不成立；B项中，若a＞b＞0，则＜；C项中，由a＞1,0≤b2＜1，得b2＜a，∴C项正确；D项中，若a＝1.1，b＝0.6，则a2＞2b不成立．
2．A ∵a＋c＞b＋da＞b且c＞d，但a＞b且c＞da＋c＞b＋d.
∴所求条件应为必要不充分条件．
3．A ∵＜α＜β＜，
∴＜－β＜－α＜.
∴－π＜α－β＜β－α＜π，且α－β＜0.
∴－π＜α－β＜0.
4．ab≠1或a≠－2 x－y＝(ab－1)2＋(a＋2)2，
因为x＞y，所以(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，则ab－1≠0或a＋2≠0，即ab≠1或a≠－2.
5．分析：本题中为一个整体，因而可以用换元法将第一个式子化简变形，再与2比较大小．
解：设a＝，则
＝(a＋1)3－(a－1)3
＝(a3＋3a2＋3a＋1)－(a3－3a2＋3a－1)
＝6a2＋2＝n2＋2.
∴－2＝n2.
又n≠0，∴n2＞0.
∴－2＞0(n≠0)．
即＞2(n≠0)．一
不等式
3.三个正数的算术－几何平均不等式
1．了解三个正数的算术－几何平均不等式．
2．会应用三个正数的算术－几何平均不等式解决简单问题．
1．三个正数的算术－几何平均不等式
如果a，b，c∈R＋，那么≥________，当且仅当________
时，等号成立．
【做一做1－1】
若x＞0，则4x＋的最小值是( )
A．9
B．3
C．13
D．不存在
【做一做1－2】
若logxy＝－2，则x＋y的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
2．n个正数a1，a2，…，an的算术－几何平均不等式
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均______它们的几何平均，即
____________.
当且仅当____________时，等号成立．
从不等式的式子结构入手，拼凑出所需形式是解决此类问题的突破点．
【做一做2】
已知a，b，c∈R＋，则(＋＋)(＋＋)≥______.
答案：1. a＝b＝c
【做一做1－1】
B ∵x＞0，∴4x＋＝2x＋2x＋≥3，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立．
【做一做1－2】
A ∵logxy＝－2，∴x＞0且x≠1，y＞0，且y＝x－2.∴x＋y＝x＋x－2＝＋＋≥3＝.
当且仅当＝即x＝时等号成立．
2．不小于 ≥ a1＝a2＝…＝an
【做一做2】
9 (＋＋)(＋＋)
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋6＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号．
1．三个正数或三个以上正数的算术－几何平均不等式的应用条件
剖析：“一正”：不论是三个数的或者n个数的算术－几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a＋b＋c≥3，取a＝b＝－2，c＝2时，a＋b＋c＝－2，而3＝6，显然－2≥6不成立．
“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋an为定值)，求其积a1a2…an的最大值；二是已知乘积a1a2…an为定值，求其和a1＋a2＋…＋an的最小值．
“三相等”：取“＝”号的条件是a1＝a2＝a3＝…＝an，不能只是其中一部分相等．
不等式a2＋b2≥2ab与a3＋b3＋c3≥3abc的运用条件不一样，前者要求a，b∈R，后面要求a，b，c∈R＋.要注意区别．
2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法
剖析：为了使用三个正数的算术－几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y＝＋x2＝＋＋，其中把x2拆成和两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y＝＋x2＝＋＋x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“＝”号的条件是＝＝x2，显然x无解．
题型一
应用三个正数的算术－几何平均不等式求函数的最值
【例1】
已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．
分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×.求出最值后再开方．
反思：拼凑数学结构，以便能利用算术－几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：
y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝·x(2－2x)·(1＋x)≤()3＝.
虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x＝2－2x＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．这就要求平时多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．
题型二
应用三个正数的算术－几何平均不等式证明不等式
【例2】
设a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(＋＋)≥9.
分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术－几何平均不等式证明．
反思：三个正数的算术－几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．
连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致．
题型三
应用三个正数的算术－几何平均不等式解决实际问题
【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k，这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
分析：―→―→
―→―→
反思：处理此类求最值的实际问题，应正确找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，把问题转化为求函数的最值问题，并将关系式配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．
答案：
【例1】
解：∵y＝x(1－x2)，
∴y2＝x2(1－x2)2
＝2x2(1－x2)(1－x2)·.
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤()3＝.
当且仅当2x2＝1－x2，
即x＝时取等号成立．
∴y≤.∴y的最大值为.
【例2】
证明：∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥3，＋＋≥3.
∴(a＋b＋c)(＋＋)≥9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
【例3】
解：∵r＝，
∴E＝k·(0＜θ＜)，
∴E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·()3＝，
当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，
即tan2θ＝，tan
θ＝，
∴h＝2tan
θ＝，即h＝时，E最大．
∴灯的高度h为时，才能使桌子边缘处最亮．
1．已知θ为锐角，求y＝sin
θ·cos2θ的最大值．
2．求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．
3．已知x∈R＋，求函数y＝x2(1－x)的最大值．
4．设a，b，c∈R＋，求证：≥.
答案：
1．分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因式的和为定值．要特别注意sin2θ＋cos2θ＝1的应用．
解：y2＝sin2θ·cos2θ·cos2θ
＝·2sin2θ(1－sin2θ)·(1－sin2θ)
≤×＝.
当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sin
θ＝时取等号．
此时ymax＝.
2．证明：设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x，y，z，则长方体的体积为V＝xyz，表面积为A＝2xy＋2yz＋2xz，则A＝2xy＋2yz＋2xz≥.而这里A为定值，即A≥，从而有V≤，当且仅当xy＝yz＝xz，即x＝y＝z时，等号成立．所以当长方体为正方体时，体积取得最大值，最大值为.所以在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．
3．分析：本题积结构中x2＝x·x，所以y＝x2(1－x)＝x×x(1－x)，为使“和”为定值，还需拼凑系数．
解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x)
＝x·x·(2－2x)×
≤＝＝.
当且仅当x＝2－2x，即x＝时取等号．
此时，y的最大值为.
4．证明：因为a，b，c∈R＋，由算术－几何平均不等式可得
≥，
即≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
所以≥.
而≥＝(当且仅当a2b2c2＝3时，等号成立)，
所以≥(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．一
不等式
2.基本不等式
1．了解两个正数的几何平均与算术平均．
2．会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用问题．
1．定理1
如果a，b∈________，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当______
时，等号成立．
2．定理2(基本不等式)
(1)定理2：如果________，那么≥，当且仅当________
时，等号成立．
(2)________称为a，b的算术平均，__________称为a，b的几何平均．
(3)基本不等式可以表述为：
两个正数的________不小于(即大于或等于)它们的________．
(4)基本不等式的几何意义．
直角三角形斜边上的______不小于斜边上的______．
基本不等式成立的条件：“一正、二定、三相等”．
【做一做1－1】
logab＋logba≥2成立的必要条件是( )
A．a＞1，b＞1
B．a＞0,0＜b＜1
C．(a－1)(b－1)＞0
D．以上都不正确
【做一做1－2】
下列各式中，最小值等于2的是( )
A.＋
B.
C．tan
θ＋
D．2x＋2－x
3．重要的不等式链
设0＜a≤b，则a≤≤≤__________________≤≤b.
【做一做2】
下列结论中不正确的是( )
A．a＞0时，a＋≥2
B.＋≥2
C．a2＋b2≥2ab
D．a2＋b2≥
4．应用基本不等式求函数最值
已知x，y都为正数，则
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当且仅当______时，积xy取得最大值________；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当且仅当______时，和x＋y
取得最小值__________．
基本不等式应用中有“积定和最小，和定积最大”的规律．
【做一做3－1】
设x＞0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．
【做一做3－2】
已知lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为________．
答案：1．R a＝b
2．(1)a，b＞0 a＝b
(2)
(3)算术平均 几何平均
(4)中线 高
【做一做1－1】
C 因为logab与logba互为倒数，符合基本不等式的结构．但两个数应是正数，所以a，b同时大于1或a，b都属于区间(0,1)．
【做一做1－2】
D ∵2x＞0,2－x＞0，∴2x＋2－x≥2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．
3.
【做一做2】
B 选项A、C显然正确；选项D中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab≥0，∴a2＋b2≥成立；而选项B中，＋≥2不成立，因为若ab＜0，则不满足不等式成立的条件．
4．(1)x＝y
(2)x＝y 2
【做一做3－1】
3－2 y＝3－(3x＋)≤3－2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．∴ymax＝3－2.
【做一做3－2】
∵lgx＋lgy＝2，
∴lg(xy)＝2.∴xy＝102.
∴＋＝≥＝＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．
认识基本不等式中的数a，b
剖析：在利用基本不等式时，要准确定位其中的“数”．例如在试题“已知2x＋y＝1，x，y∈R＋，求xy的最大值”中，“两个数”不是“x”与“y”，而是已知条件中的“2x”与“y”，这是因为定值是“2x＋y＝1”，而“x＋y”不是定值，因而要求xy的最大值应视作求(2x)·y的最大值，即
xy＝(2x)·y≤×()2＝，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立．
定位准确基本不等式中的“数”是使用基本不等式的大前提．
再如：在“设实数a，b，x，y满足a2＋b2＝1，x2＋y2＝3，求ax＋by的最大值”中要求的“ax＋by”，似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值．
ax＋by≤＋＝＝2.
但是这种解法不正确，这四个数分两组使用基本不等式，不符合使用的条件，本题中取“＝”的条件是
这与a2＋b2＝1和x2＋y2＝3矛盾．
因此正确的解法应是三角换元法：
令a＝cos
α，b＝sin
α，x＝cos
β，y＝sin
β，
∴ax＋by＝cos
α·cos
β＋sin
α·sin
β
＝(cos
αcos
β＋sin
αsin
β)＝cos(α－β)≤，当且仅当cos(α－β)＝1，即α＝β时，等号成立．
∴ax＋by的最大值是.
题型一
利用基本不等式证明不等式
【例1】
已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
分析：不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，－1＝＝≥，可由此变形入手．
反思：用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．
题型二
利用基本不等式求函数最值
【例2】
已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值．
分析：由x＜，可知4x－5＜0，转化为变量大于零，首先调整符号，配凑积为定值．
反思：在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：
①首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；
②其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；
③利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．
题型三
基本不等式的实际应用
【例3】
某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
分析：(1)两个基本关系式是解题的关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；
(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．
反思：(1)应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．
(2)解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：
①阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型．这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．
②建立数学模型：根据①中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．
③讨论不等关系：根据题目要求和②中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等关系，得出有关理论参数的值．
④作出问题结论：根据③中得到的理论参数的值，结合题目要求得出问题的结论．
题型四
易错辨析
【例4】
已知两正数x，y满足x＋y＝1，求z＝(x＋)(y＋)的最小值．
错解：方法一：∵对任意a＞0恒有a＋≥2，
∴z＝(x＋)(y＋)≥4，
∴z的最小值为4.
方法二：∵x＋y＝1，
∴x2＋y2＋2xy＝1，
∴x2＋y2＝1－2xy，
∴z＝(x＋)(y＋)＝(x2y2＋x2＋y2＋1)
＝＝(＋xy)－2≥2－2＝2－2.
∴z的最小值为2－2.
错因分析：方法一：z＝4成立的条件是x＝且y＝，即x＝1且y＝1，与x＋y＝1相矛盾；方法二：z＝2－2的条件是＝xy，即xy＝，这与0＜xy≤相矛盾．
答案：
【例1】
证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥.
同理：－1≥，－1≥.
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得(－1)(－1)(－1)≥··＝8，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
【例2】
解：∵x＜，∴5－4x＞0.
∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时上式等号成立．
∴当x＝1时，y的最大值为1.
【例3】
解：(1)由题意可设3－x＝，
将t＝0，x＝1代入，得k＝2.
∴x＝3－.
当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x＋3＝32(3－)＋3.
当销售x万件时，
年销售收入为150%[32(3－＋3]＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，
由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，
得年利润y＝(t≥0)．
(2)y＝＝50－(＋)
≤50－2＝50－2＝42，
当且仅当＝，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，
∴当促销费定在7万元时，年利润最大．
【例4】
正解：由x＋y＝1知x2＋y2＋2xy＝1，x2＋y2＝1－2xy，从而有
z＝(x＋)(y＋)＝(x2y2＋x2＋y2＋1)
＝(2＋x2y2－2xy)＝，
令xy＝t(0＜t≤，t＝时，x＝y＝)，
则z＝＝＋t－2，
令f(t)＝＋t，
不难证明f(t)＝＋t在(0，]上单调递减，
故当t＝时，f(t)＝＋t取最小值，
∴当x＝y＝时，z＝(x＋)(y＋)取最小值.
1．函数y＝的最小值是( )
A．
B．－3
C．
D．
2．(2012广州三中高考模拟)已知a＞0，b＞0，则的最小值是( )
A．2
B．
C．4
D．5
3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：≥9.
4．(1)若x＞0，求f(x)＝的最小值；
(2)若x＜0，求f(x)＝的最大值．
5．(2011山东枣庄模拟，理18)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3
m，AD＝2
m.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32
m2，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；
(3)若AN的长度不小于6
m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
答案：1．D y＝3x2＋＝3x2＋3＋－3，
又∵3x2＋3＞0，＞0，
∴y≥＝.
2．C 因为≥≥4，当且仅当a＝b，＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4.
3．分析：(1)注意“1”的代换．
(2)＋＋3＋(＋)＋(＋)＋(＋)．这一步为使用基本不等式创造了条件．
证明：＝
＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
4．解：(1)x＞0，由基本不等式，得f(x)＝≥＝＝12.
当且仅当3x＝，即x＝2时，f(x)取最小值12.
(2)∵x＜0，∴－x＞0，则f(x)＝＋3x＝－(－－3x)＝－[(－)＋(－3x)]≤
＝－12，
当且仅当＝－3x，即x＝－2时，f(x)取最大值－12.
5．解：(1)设AN＝x(m)(x＞2)，
则ND＝(x－2)m.
∵＝，∴＝，
∴AM＝，
∴＞32，∴3x2－32x＋64＞0，
∴(3x－8)(x－8)＞0，
∴2＜x＜或x＞8.
∴AN的长的范围为(2，)∪(8，＋∞)．
(2)由(1)知，S矩形AMPN＝
＝
＝3(x－2)＋＋12≥＝24.
当且仅当x＝4时取等号．
∴当AN的长度为4
m时，矩形AMPN的面积最小，矩形AMPN的最小面积为24
m2.
(3)由(2)得S矩形AMPN＝3(x－2)＋＋12(x≥6)，令x－2＝t(t≥4)，
则S矩形AMPN＝3t＋＋12(t≥4)．
设f(t)＝3t＋＋12(t≥4)，
∴f′(t)＝，当t≥4时，f′(t)＞0，
∴函数f(t)在[4，＋∞)上单调递增，
∴f(t)min＝f(4)＝27，此时x＝6.
∴若AN的长度不小于6
m，则当AN的长度是6
m时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27
m2.
